对坐标的曲线积分的概念与性质.

• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
• 定积分是第二类曲线积分的特例.
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二、对坐标的曲线积分的计算法
定理:
在有向光滑弧 L 上
有定义且连续,
L
的参数方程为
x y
(t) (t)
t : ,
则曲线积分 存在, 且有
P[
A
在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移x
动过程中变力所作的功W. 变力沿直线所作的功
解决办法: “大化小”
F A
W F AB cos
B F AB
“常代变” “近似和” “取极限”
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1) “大化 小把”L分. 成 n 个小弧段, F 沿
(1) 抛物线 L : y x2, x : 0 1; x y 2
(2) 抛物线
y x2
(3) 有向折线 L : OA AB.
第十章
第二节 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系
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一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用
y L
B
F(x, y) (P(x, y), Q(x, y))
3) “近似和”
n
W P(k , k )xk Q(ξk , k )yk
k 1
4) “取极限”
n
W
lim
0
k
1
P(ξk
,
ηk
)Δxk
(其中 为 n 个小弧段的
Q(ξk , ηk )Δyk
y F(k , k )
最大长度)
L
M ykk
B
Mxkk1
A
x
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2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 在L 上定义了一个向量函数
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
n
lim
0
k 1
P(k Biblioteka Baidu k
记作
)xk
Q(k
, k
)yk
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
都存在, 则称此极限为函数
(t),
(t)]
(t
)
Q
[
(t),
(t)]
(t)d
t
证明: 下面先证
P[ (t), (t)](t)dt
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n
根据定义
lim
0
i 1
P(i
,
i
)xi
设分点 xi 对应参数 ti ,
对应参数 i ,
由于 xi xi xi1 (ti ) (ti1) (i)ti
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3. 性质
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
则 P(x, y)dx Q(x, y)dy L
k
P(x, y)dx Q(x, y)dy
i1 L i
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
,k
说明:
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
A(1, 1)到B(1, 1)的一段.
解法1 取 x 为参数, 则 L : AO OB
y B(1,1)
AO : y x, x :1 0
y x
OB : y x, x : 0 1
xydx xydx xydx
L
AO
OB
解法2 取 y 为参数, 则
xydx 1 y2 y( y2 )dy
Q( k
k 1
,
k
)yk ,
称为对
y
的曲线积分.
若记 d s (d x , dy), 对坐标的曲线积分也可写作
L F d s L P(x, y)dx Q(x, y)dy
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (d x , dy , dz)
F(x, y, z) (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
在有向曲线弧 L 上
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中,
称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
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n
L
P(x,
y)dx
lim
0
P(k
k 1
,
k
)xk ,
称为对
x
的曲线积分;
n
L
Q(x,
y)d
y
lim
0
所做的功为
则
n
W Wk
k 1
2) “常代变”
有向小弧段
用有向线段
近似代替, 在
上任取一点
y F(k , k )
L
M ykk B
Mxk k1
A
x
则有
Wk F (k , k ) M k1M k
P(k , k )xk Q(k , k )yk
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n
lim
0
i 1
P[
(
i
)
,
(
i
)]
(
i)ti
因为L 为光滑弧 ,
n
lim
0
i 1
P[
(
i
)
,
(
i
)]
(
i
)ti
P[ (t), (t)](t)dt
同理可证
Q[ (t), (t)] (t) d t
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特别是, 如果 L 的方程为 y (x), x : a b,则
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
x (t) 对空间光滑曲线弧 : y (t) t : , 类似有
z (t)
P[
(t
),
(t
)
,
(t
)]
(t)
(t)
(t )
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例1. 计算 xyd x , 其中L 为沿抛物线 y2 x 从点 L
L
1
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o y xx
A(1,1)
2
1
x
3 2
dx
4
0
5
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例2. 计算
其中 L 为
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的B
A
上半圆周, 方向为逆时针方向; a o a x
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
解: (1) 取L的参数方程为
则
y2 dx a2 sin2 t (a sin t )d t
L
0
2a3 2 1 4 a3
3
3
(2) 取 L 的方程为 y 0, x : a a,则
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例3. 计算
其中L为 y
B(1,1)