对坐标的曲线积分的概念与性质.
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对坐标的曲线积分
4、性质 性质1 设、 为常数，则 L [F1 ( x, y ) F2 ( x, y )] dr L F1 ( x, y ) dr L F2 ( x, y ) dr 性质2 若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧 L1和L2，则 L F ( x, y) dr L1 F ( x, y) dr L2 F ( x, y) dr 性质3 设L是有向光滑曲线弧，L-是L的反向曲线弧， 则
时，点M ( x, y )从L的起点A沿L运动到终点B， (t )、 (t )在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数 , 且 ' (t ) ' (t ) 0，则曲线积分 P( x, y )dx Q( x, y )dy
2 2 L
存在, 且 : P( x, y )dx Q( x, y )dy
L
2 xydx x 2 dy 2 xydx x 2 dy
y 2 ydy
1 4 2 1 y dy 5 1
y 4 2 5 1 5
例2 计算 y 2 dx 其中L为 :
L
(1)半径为a、圆心为原点, 按逆时针方向绕行的上半圆周；
(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(a,0)的直线段.
解:(1) L的参数方程 :
x a cos y a sin
3
4 3 a 3 0
x由a变到 a 0
y dx
2 L
a 0dx a
注意: 由此题可见，当两个曲线积分的被积函数相同，
起点、终点相同时，沿不同路径的曲线积分并不相等.
例3 计算 2 xydx x 2 dy, 其中L为 :
L
高数10-2
Γ
性质 是有向曲线弧, 反向的有向曲线弧 的有向曲线弧, （1） 设 L是有向曲线弧 − L 是与 L 反向的有向曲线弧 则 ）
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = −∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy
−L L
对坐标的曲线积分具有方向性. 对坐标的曲线积分具有方向性. 方向性 合并而成， （2） 设有向曲线弧 L 是由有向曲线弧 L1 , L2合并而成， 即 ）
π
2
(
)
3
∫
L
y dx = ∫ 0dx = 0
2 a
−a
此题说明：对坐标的曲线积分一般与路径有关。 一般与路径有关 此题说明：对坐标的曲线积分一般与路径有关。
11
例4 计算 I =
y = x 2上从 O (0,0 ) 到 B (1,1)的一段弧； （1）抛物线 ） 的一段弧；
∫
L
2 xydx + x 2 dy 其中 L 为：
L = L1 + L2 , 则
∫ Pdx + Qdy = ∫
L
L1
Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy
L2
对坐标的曲线积分关于积分弧段具有可加性 对坐标的曲线积分关于积分弧段具有可加性. 关于积分弧段具有可加性
6
二. 对坐标的曲线积分的计算法
x = ϕ (t ) 定理 设曲线弧 L 由参数方程 给出， 且满足下列条件： 给出， 且满足下列条件： y = ψ (t )
可简记作： ∫ P( x, y)dx + ∫ Q( x, y)dy 可简记作：∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy
性质 是有向曲线弧, 反向的有向曲线弧 的有向曲线弧, （1） 设 L是有向曲线弧 − L 是与 L 反向的有向曲线弧 则 ）
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = −∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy
−L L
对坐标的曲线积分具有方向性. 对坐标的曲线积分具有方向性. 方向性 合并而成， （2） 设有向曲线弧 L 是由有向曲线弧 L1 , L2合并而成， 即 ）
π
2
(
)
3
∫
L
y dx = ∫ 0dx = 0
2 a
−a
此题说明：对坐标的曲线积分一般与路径有关。 一般与路径有关 此题说明：对坐标的曲线积分一般与路径有关。
11
例4 计算 I =
y = x 2上从 O (0,0 ) 到 B (1,1)的一段弧； （1）抛物线 ） 的一段弧；
∫
L
2 xydx + x 2 dy 其中 L 为：
L = L1 + L2 , 则
∫ Pdx + Qdy = ∫
L
L1
Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy
L2
对坐标的曲线积分关于积分弧段具有可加性 对坐标的曲线积分关于积分弧段具有可加性. 关于积分弧段具有可加性
6
二. 对坐标的曲线积分的计算法
x = ϕ (t ) 定理 设曲线弧 L 由参数方程 给出， 且满足下列条件： 给出， 且满足下列条件： y = ψ (t )
可简记作： ∫ P( x, y)dx + ∫ Q( x, y)dy 可简记作：∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy
对坐标的积分
于是变力 F(x, y) 在有向曲线弧 MoMn 上所作功的 近似值为
W Wi P (x i ,h i )xi Q(x i ,h i )yi .
i 1 i 1 n n
令 表示 n 个小弧段的最大弧长，当 0 时， 上式 的右端极限如果存在， 则这个极限就是 W 的精确值，
a b Q( x, y)dy a Q[x(t ), y(t )] y(t )dt .
L L
P ( x, y )dx P[x(t ), y( t )] x( t )dt . (11.2.1)
(11.2.2)
b
证明从略.
对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算， 其要点是： (1) 因为 P(x, y)、 Q(x, y) 定义在曲线 L 上， 所以 x、 y 应分别换为 x(t)、 y(t)； (2) dx、dy 是有向小曲线段在坐标轴上的投 影， dx = x(t)dt、 dy = y(t)dt ； (3) 起点 A 对应的参数 t = a 是对 t 积分的下 限，终点 B 对应的参数 t = b 是对 t 积分的上限.
对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分. 在应 用上常把上述两个曲线积分结合在一起，即
简记为
L
P ( x, y )dx Q( x, y )dy.
L
L
P ( x, y )dx Q( x, y )dy.
称之为组合曲线积分.
设Ｌ是有向曲线弧，记Ｌ- 是与Ｌ方向相反的有向 曲线弧，则对坐标的曲线积分有如下的性质：
第五模块
第四节
二重积分与曲线积分
对坐标的曲线积分
一、对坐标曲线积分的概念
二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分间的联系
高等数学之对坐标的曲线积分
高 等 数 学 电 子 案
例1 计算 L xydx
,其中L为抛物线y2=x上从点A(1,-1)到点
y
B(1,1) o A(1,-1)
B(1,1)的一段弧.
解法一：把x作为参数,利用对x的定积分
x
来计算,把L分成AO和OB两段,被积函数
可用积分路线的方程来处理.
xydx
L
AO
xydx xydx
由于
xi xi xi 1 (ti ) (ti 1 ) xi ( i)ti
应用微分中值定理，有 其中 ti ti ti 1 , i 在 ti 1 与 t i 之间，于是
L
P( x, y )dx lim P ( i ), ( i ) ( i)ti
L 0 i 1 i i
n
i
为P(x,y)对坐标x的曲线积分； 当P=0 时,
Q( , )y Q( x, y)dy lim
L 0 i 1 i i
n
i
为Q(x,y)对坐标y的曲线积分.
高 等 上述定义可推广到空间曲线Γ的情况： 数 学 P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz 电 n 子 [P(i ,i , i )xi Q(i ,i , i )yi R(i ,i , i )zi ] 案 lim 0
P( x, y)dx 存在，并且有
L
P( x, y)dx P (t ), (t ) (t )dt
L
同理可证：
Q( x, y)dx Q (t ), (t ) (t )dt
L
高 等 (1)式推广到空间曲线,得到如下公式： 数 学 设 x x(t ), y y(t ), z z(t ), 则 电 子 Pdx Qdy Rdz 案
数学分析考研讲义10
∫ 的部分，计算积分 xyds . C
{ 解：因C :
x = r cosθ y = r sinθ
，0
≤θ
≤
π 2
，所以
∫ ∫ ∫ xyds =
π
2 r2 sinθ cosθ
r2 dθ = r3
uLv+
r
∫ （2） L = L1 + L2 ，
F ( x, y) d r
L
uv
r uv
r
= ∫L1 F ( x, y) d r + ∫L2 F ( x, y) d r .
（3） （4）
∫L ∫L
k
⋅
uv F
(
x,
uv uFv
(
x,
y
r
)y+) rdGuvr(=x,kuyv⋅)∫L
uv F
(
∴
∫L
(
x,
y
)
ds
=
1
∫0
xdx
+
1
∫0
ydy
+
1
∫0
(
x
+
1
−
x
)
2dx
= 1 + 1 + 2 =1+ 2 . 22
∫ 例 10.1.2 （湖南大学考研试题）计算 x2 + y2 ds ，其中 c : x2 + y2 = −2 y . c
解：令 x = r cosθ ， y = r sinθ ，则 c : r = −2sinθ (−π ≤ θ ≤ 0) .
)
dx
+
Q
( x,
r
y
)
dy
对坐标的曲线积分的概念二对坐标的曲线积分的计算法三两类曲线-
把 L分成n个有向弧段 Mi1Mi i 1,2, ,n, 设
Mi1Mi xii yi j, 并记为所有小弧段长度的最
大者, 在 Mi1Mi 上任取一点 i ,i , 如果极限
n
lim P
0 i1
i ,i
xi
存在, 则称此极限为函数 P(x, y) 在有向线段 L上对坐 标 x的积分, 记为
作用下, 沿曲线 L 从点 A移到点B, 则力F 所做的功为
W yzdx 3xzdy 2xydz.
而在曲线上, 有
dy dz
x dx, a2 x2
z
y a2 x2
yz0
O
y
x
W yzdx 3xz`dy 2xydz
yzdx xzdy
a
a2
x2
x
a2 x2
a
a a2dx 2a3. a
x dx
a2 x2
三、两类曲线积分的联系
变到 时, 点 M x, y 从 L的起点 A沿L移动到L 的终
点B, 则有
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
b
a
P
(t
),
(t
)
(t
)
Q
(t
),
(t
)
(t
)dt.
（8.7）
下面来推导该公式.
因 P x, y,Qx, y在 L 上连续, 故所给的曲线积分
定存在. 在 L上取取一一列点 A M 0 , M1, M 2 , , M n1,
故, 单位切向量为
y
e
1 1,2x.
1 4x2
y x2
O
x
2.变力沿曲线的作功问题
设一质点从点 A沿光滑的平面曲线 L移动到点 B, 在移
高等数学对坐标的曲面积分
cos
1 1 x2 y2
(z2 x)( x)dxdy
dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
dxdy
cos
对坐标的曲面积分
(z2 x)dydz (z2 x)( x)dxdy
(z2 x)由dy对dz称性zdxdy
z 1(x2 y2)
[(z2 x14)x((xx2 )yz2 )]d2dxxddyy 0
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y, z)cos dS
两类曲面积分之间的联系
Pdydz Qdzdx Rdxdy
(P cos Q cos Rcos )dS
其中cos、cos 、cos 是有向曲面Σ在点 ( x, y, z)
处的法向量的方向余弦. 不论哪一侧都成立.
对坐标的曲面积分
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
2
1
xy 1 x2 y2dxdy xy( 1 x2 y2 )dxdy
Dxy
Dxy
对坐标的曲面积分
Dxy : x2 y2 1( x 0, y 0)
xy 1 x2 y2dxdy xy( 1 x2 y2 )dxdy
对坐标的曲面积分 Mobius(1790--1868) 19世纪德国数学家
(2) 单侧曲面
莫比乌斯(Mobius)带.
它是由一张长方形纸条ABCD, 扭转一下,
将A、D粘在一起，B、C 粘在一起形成的环
行带.小毛虫在莫比乌斯带上,不通过边界可以
爬到任何一点去.
这在双侧曲面上是不能实现的.
决定了侧的曲面称为 有向曲面.
i 1
2. 存在条件
当P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z) 在有向光滑
11-2 对坐标的曲线积分
第二讲 对坐标的曲线积分
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
P
[
x,j
(
x)]
+
Q
[
x,j
(
x)]j
¢(
x
)}
dx
(2) L：x =y ( y) （y=c 对应L的起点，y=d 对应L的终点）
òL
P(
x,
y
)dx
+
Q(
x,
y)dy
=
d
òc
{P
[y
(
y),
y
]y
¢(
y)
+
Q
[y
(
y
),
y]}
dy
Ø推广
空间曲线弧Γ： x = j(t), y =y (t), z = w(t)
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
变力沿曲线作功
y
B
设一质点在xoy面内从点A沿曲线
L移动到点B
Dyi
力F! ( x,
y)
=
P( x,
! y)i
+
Q( x,
y)
! j
变力所作的功 ?
A o
L
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
P
[
x,j
(
x)]
+
Q
[
x,j
(
x)]j
¢(
x
)}
dx
(2) L：x =y ( y) （y=c 对应L的起点，y=d 对应L的终点）
òL
P(
x,
y
)dx
+
Q(
x,
y)dy
=
d
òc
{P
[y
(
y),
y
]y
¢(
y)
+
Q
[y
(
y
),
y]}
dy
Ø推广
空间曲线弧Γ： x = j(t), y =y (t), z = w(t)
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
变力沿曲线作功
y
B
设一质点在xoy面内从点A沿曲线
L移动到点B
Dyi
力F! ( x,
y)
=
P( x,
! y)i
+
Q( x,
y)
! j
变力所作的功 ?
A o
L
辽宁工业大学高数习题课(10)
（这里 L 为区域 D 的正向边界曲线) 3．利用积分与路径无关的条件计算法.
c . Pdx Qdy 与路径无关 Pdx Qdy 0 ，为区域内任意闭曲线
L
c
P Q , ( x, y ) G ─单连域. y x
du Pdx Qdy, ( x, y ) G —单连域.
所以
AB
dx dy ydz [1 (1 x )]dx 2;
1
0
BC
dx dy ydz [(1 z ) (1 z )z ]dz ( 2 z )dz
0
0
1
1
3 2
CA
dx dy ydz 1 dx 1
采用框图中线路2→21的方法计算；此时应注意首先要利
用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使 其满足格林公式的条件。
解法1：化为定积分计算。
x a cos t L 的参数方程为： , t 从 0 变到 2 . 则 y a sint
( x y )dx ( x y )dy I L x2 y2 1 2 2 [(a cos t a sint )(a cos t ) (a cos t a sint )(a sint )]dt a 0 1 2 2 [( a 2 )dt 2 a 0
0
1
从而
I
dx dy ydz (
3 1 1 2 2
AB
BC
) dx dy ydz
CA
2
解法2：利用斯托克斯公式计算. 设 为平面 x y z 1 上 L AB BC CA 所围成部分的上侧，
对坐标曲线积分
第二节 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念
与性质
二、 对坐标的曲线积分的计算法
第二类曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功.
y
设一质点受如下变力作用
L A
B
F ( x, y ) ( P( x, y ) , Q( x, y ))
动过程中变力所作的功W. 变力沿直线所作的功
L
2 其中 L 为沿抛物线 x yd x , y x 从点
y
B ( 1,1 )
AO : y x ,
L AO
y x
x : 0 1
OB
O
x yd x
x yd x
0
y x A(1,1)
1 3 2
x
2 x
L
P( x, y )d x Q( x, y )d y
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
x y
yx
4
1 1 3 x dx 0
A( 1, 0 ) x
解: (1) 原式
(2) 原式 ( 2 y y 2 y y )d y
0
2
4
(3) 原式
0
0 d y
1
例3 求
L
y 2dx 及
L
x 2 dy , L ：x 2 y 2 1，x 0,
y 0的 边 界 ， 逆 时 针 方 向闭 （ 路 默 认 正 向.）
k 1
n
4) “取极限”
W lim P(ξ k , ηk )Δxk Q(ξ k , ηk )Δ yk
0 k 1
n
一、对坐标的曲线积分的概念
与性质
二、 对坐标的曲线积分的计算法
第二类曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功.
y
设一质点受如下变力作用
L A
B
F ( x, y ) ( P( x, y ) , Q( x, y ))
动过程中变力所作的功W. 变力沿直线所作的功
L
2 其中 L 为沿抛物线 x yd x , y x 从点
y
B ( 1,1 )
AO : y x ,
L AO
y x
x : 0 1
OB
O
x yd x
x yd x
0
y x A(1,1)
1 3 2
x
2 x
L
P( x, y )d x Q( x, y )d y
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
x y
yx
4
1 1 3 x dx 0
A( 1, 0 ) x
解: (1) 原式
(2) 原式 ( 2 y y 2 y y )d y
0
2
4
(3) 原式
0
0 d y
1
例3 求
L
y 2dx 及
L
x 2 dy , L ：x 2 y 2 1，x 0,
y 0的 边 界 ， 逆 时 针 方 向闭 （ 路 默 认 正 向.）
k 1
n
4) “取极限”
W lim P(ξ k , ηk )Δxk Q(ξ k , ηk )Δ yk
0 k 1
n
10-02第二类曲线积分的概念和性质
L
xi P (( tix ), y ) (tdx Q ( ) t , i 1 ) ( x , y )dy i i
L
L
L
i 1
L
A
M2 M1
Mi 1 xi
yi
M i M n 1
o
x
P ( x , y )dx
L
令 max {s i }
i在 . 取 i ( i ), i ( i ), 可得 ti与t i 1之间 Q[ (t ), (t )] (t )dt n [ (t ), (t )] (t )dt n P P ( i , i )x i P ( ( i ), ( i )) ( i )t i
10.2.1 变力沿曲线作功问题 (2)近似代替: 用有向线段
M i 1 M i ( xi )i ( yi ) j 来近似代替 M i 1M i , 其中xi xi xi 1 , y yi yi yi 1 , F (i ,i ) B
用M i 1M i上任一点 (i ,i )的力: F (i ,i ) P(i ,i )i Q(i ,i ) j
2
2
Qx(t ), y(t )
2 2 x(t ) y(t ) y(t )
P ( x , y ) cos Q( x , y ) cos ds
L
2 2 x ( t ) y ( t ) dt
Pdx Qdy Rdz { P[ (t ), (t ), (t )] (t )
Q[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) R[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t )}dt
xi P (( tix ), y ) (tdx Q ( ) t , i 1 ) ( x , y )dy i i
L
L
L
i 1
L
A
M2 M1
Mi 1 xi
yi
M i M n 1
o
x
P ( x , y )dx
L
令 max {s i }
i在 . 取 i ( i ), i ( i ), 可得 ti与t i 1之间 Q[ (t ), (t )] (t )dt n [ (t ), (t )] (t )dt n P P ( i , i )x i P ( ( i ), ( i )) ( i )t i
10.2.1 变力沿曲线作功问题 (2)近似代替: 用有向线段
M i 1 M i ( xi )i ( yi ) j 来近似代替 M i 1M i , 其中xi xi xi 1 , y yi yi yi 1 , F (i ,i ) B
用M i 1M i上任一点 (i ,i )的力: F (i ,i ) P(i ,i )i Q(i ,i ) j
2
2
Qx(t ), y(t )
2 2 x(t ) y(t ) y(t )
P ( x , y ) cos Q( x , y ) cos ds
L
2 2 x ( t ) y ( t ) dt
Pdx Qdy Rdz { P[ (t ), (t ), (t )] (t )
Q[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) R[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t )}dt
对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分
对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分
对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分是两种不同的积分方法，它们有不同的积分公式和不同的应用场景。
1. 对弧长的曲线积分：
对弧长的曲线积分也被称为第一类曲线积分，它是对弧长进行积分的一种方法。
这种积分方法可以求得曲线段上变力所做的功。
在这种方法中，我们假设线段在每一点的线密度为
f(x,y)，那么在这段线段上任意一点的附近取一个微小弧长ds，则有ds与dx、dy满足勾股定理。
在这种情况下，我们可以将
力F分解为两个分量，即沿着x轴的分力和沿着y轴的分力，它们分别记为P和Q。
这样，力F所做的功就可以分解为沿着
x轴和y轴的两个分量分别所做的功，再将它们相加即可得到
总功。
2. 对坐标的曲线积分：
对坐标的曲线积分也被称为第二类曲线积分，它是对坐标进行积分的一种方法。
这种积分方法可以求得沿着曲线段的功。
在这种方法中，我们将曲线段看作是由许多微小的线段组成的，然后对每一段微小的线段进行积分。
在线段上每一点，我们都有P=Fcosα，Q=Fcosβ，其中F是与x轴夹角为α，与y轴夹
角为β的力。
这样，我们就可以将力F分解为两个分量，即沿着x轴的分力和沿着y轴的分力，它们分别记为P和Q。
然后，我们可以将沿着x轴和y轴的两个分量分别与坐标x和y相乘，再将它们相加即可得到总功。
总之，对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分是两种不同的积分方法，它们有不同的积分公式和不同的应用场景。
在解决实际问题时，我们需要根据具体场景选择合适的积分方法。
对坐标的曲线积分
到点B.
问：F做功W多少？
解决的方法：微积分思想
y F(k , k )
L
M ykk B
Mxk k1
A
x
大化小，常代变，近似和，取极限
n
W
lim 0
i 1
P(i ,i )xi
Q(i ,i )yi
３. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 在L 上定义了一个向量函数
F(x, y, z) (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
说明： (1) 变力做功 W P(x, y)dx Q(x, y)dy. L (2) 与定积分比较
(3) 规定： 若L是由光滑曲线 L1与L2组成的分段光滑曲线弧 ，
则 P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy
对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算方法
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 复习:
(1)常力F将质点从点 A沿直线
移动到点B所作的功W
F
A
W F AB cos
F AB B
(2)变力F (x) F (x)i 将质点从点 A沿x轴方向移动
到点B所作的功W
P
[
(t
),
(t
)
,
(t)]
(t
)
Q[ (t), (t), (t)] (t) R[ (t), (t), (t)] dt
备用题
例29.6. 设L为逆时针方向的圆 : x2 y 2 ax, (a 0),
求I x2 y 2 dx. L
解: I 0.
例29.7. 计算I
§10.2[1]对坐标的曲线积分
![§10.2[1]对坐标的曲线积分](https://img.taocdn.com/s3/m/ca48a806eff9aef8941e067a.png)
解
t : 0 →π,
′ xt = asint.
2
B(a,0)
o
A(a,0)
x
y dx = ∫ (asin t )2(asin t ) dt ∫L 0
π
t : 0 →π, ′ xt = asint.
2
∫L Pdx = ∫a P[x, y( x)]dx
y
b
y dx = ∫ (asin t )2(asin t ) dt ∫L 0
dx = ′(t )dt, dy =ψ′(t )dt.
∫L P( x, y)dx + Q( x, y)dy
=∫
注意: 注意:
β {P[(t ),ψ (t )] ′(t ) + Q[(t ),ψ (t )] ′(t )}dt ψ α
1. 定积分的下限α不一定 不一定要小于上限β; 2. f ( x, y)中x, y不彼此独立 而是相互有关的 , .
性质
(1) 如果把L分成L 和L2 (L = L + L2 ) , 则 1 1
∫L Pdx + Qdy = ∫L1 Pdx + Qdy + ∫L2 Pdx + Qdy.
(2) 设L是有向曲线弧 L是与L方向相反的 , 有向曲线弧 则 ,
∫L P( x, y)dx = ∫L P( x, y)dx; ∫LQ( x, y)dy = ∫LQ( x, y)dy
∫L Pdx + Qdy = ∫a{P[ x, y( x)]+ Q[ x, y( x)]y′( x)}dx
例 3 计算 L 2xydx + x2dy,其中 为 L ∫
b
(1) 抛物线 y = x2上从 (0,0)到B(1,1)的一段弧 O ; (2) 抛物线 x = y2上从 (0,0)到B(1,1)的一段弧 O ;
高等数学对坐标的曲面积分
z
体的整个表面的外侧.
解: 利用对称性.
O
y
原式 3 (z x) d x d y
x
的顶部
1
:
z
a 2
(x
a 2
,
y
a 2
)
取上侧
的底部
2
:
z
a 2
(x
a 2
,
y
a 2
)
取下侧
2 (z x) d x d y
( a x)d x dy Dxy 2
3a d x d y
2012.4
Dx y
lim
0
P(i
i 1
, i
,
i
) Si
y
z
Q(i , i , i ) Si z x
R(i , i , i ) Si x y
2012.4
22
性质: P d y d z Q d z d x R d x d y P d y d z Q d z d x R d x d y
向量形式 A d S A n d S
An A n ( A 在 n 上的投影)
An dS
2012.4
16
例4. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为
求E 通过球面 : r = R 外侧的电通量 .
解: E d S
q。
E n d S
q r3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r
r r
d
S
q r2
dS
联系: P d y d z Q d z d x R d xdy P cos Q cos R cos dS
思考:
两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 一个与
《对坐标的曲线积分》课件
理解坐标曲线积 分在物理、工程 等领域的应用
掌握坐标曲线积 分与微积分、线 性代数等课程的 联系
培养解决问题的 能力和创新思维
THANK YOU
汇报人：
曲线积分是微积分的一个重要分支，广泛应用于物理、工程等领域
曲线积分可以帮助我们理解和解决许多实际题，如流体力学、电磁学等
曲线积分在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用价值 曲线积分是微积分的一个重要工具，可以帮助我们理解和解决许多实际问 题
为后续学习打下基础
掌握坐标曲线积 分的概念、性质 和计算方法
例题解析与练习
典型例题解析
例题1：求曲线积分，积分区间为[0,1]，积分曲线为y=x^2 例题2：求曲线积分，积分区间为[0,1]，积分曲线为y=x^3 例题3：求曲线积分，积分区间为[0,1]，积分曲线为y=x^4 例题4：求曲线积分，积分区间为[0,1]，积分曲线为y=x^5
练习题及答案解析
曲线积分概念引入
曲线积分的定义：对曲线上的函数 进行积分
曲线积分的特点：与直线积分不同， 需要考虑曲线的弯曲程度
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
曲线积分的应用：物理、工程、经 济等领域
曲线积分的分类：第一类曲线积分 和第二类曲线积分
本次PPT课件的目的和内容
目的：介绍坐 标的曲线积分 的概念、方法
对坐标的曲线积分的注意事项 及常见错误分析
参数方程和直角坐标系转换时的注意事项
转换时注意参数方程和直角坐标系的转换关系 转换过程中注意参数方程的取值范围 转换过程中注意参数方程的连续性和可微性 转换过程中注意参数方程的积分区间和积分限
计算曲线积分时的常见错误及解决方法
错误：积分区间错误 解决方法：正确选择积分区间， 确保积分区间包含曲线的全部长度 解决方法：正确选择积分区间，确保积分区间包含曲线的全部长 度
对坐标的曲线积分的概念二对坐标的曲线积分的计算法三两类曲线
做的功Wi 近似于常力F i ,i
沿有向线段 Mi1Mi 所做的功, 即
Wi F i ,i M M i1 i
y
yi
L i,i Mi M i1
B Mn
M1
xi
A M0
O
x
Pi ,i xi Qi ,i yi ,
所以
把 L分成n个有向弧段 Mi1Mi i 1,2, , n, 设
Mi1Mi xii yi j, 并记为所有小弧段长度的最
大者, 在 Mi1Mi 上任取一点 i ,i , 如果极限
n
lim P
0 i1
i ,i
xi
存在, 则称此极限为函数 P(x, y) 在有向线段 L 上对坐 标 x的积分, 记为
本节要点
一、对坐标的曲线积分的概念 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分的联系
一、第二类曲线积分的概念
1.有向曲线
在第一节中, 讨论的是对弧长的曲线积分, 这是一种 无方向的曲线积分. 例如曲线的弧长、转动惯量等等, 均与方向无关. 在这一节中, 我们讨论与“方向”有关 的曲线积分.
给定一条曲线, 如果规定了其中的一个走向作为曲线 的“方向”, 则此曲线称为有向曲线.
n
n
W Wi P i ,i xi Q i ,i yi ,
i1
i1
将所有小弧段长度的最大者记为, 并令 0, 所得上
述和式的极限
n
lim
0
i1
P i ,i
xi
Q i ,i
yi
即为变力F 沿有向曲线 L 所做的功.
P x, y,Q x, y 连续, 故在 M M i1 i 上, 可以用任一
沿有向线段 Mi1Mi 所做的功, 即
Wi F i ,i M M i1 i
y
yi
L i,i Mi M i1
B Mn
M1
xi
A M0
O
x
Pi ,i xi Qi ,i yi ,
所以
把 L分成n个有向弧段 Mi1Mi i 1,2, , n, 设
Mi1Mi xii yi j, 并记为所有小弧段长度的最
大者, 在 Mi1Mi 上任取一点 i ,i , 如果极限
n
lim P
0 i1
i ,i
xi
存在, 则称此极限为函数 P(x, y) 在有向线段 L 上对坐 标 x的积分, 记为
本节要点
一、对坐标的曲线积分的概念 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分的联系
一、第二类曲线积分的概念
1.有向曲线
在第一节中, 讨论的是对弧长的曲线积分, 这是一种 无方向的曲线积分. 例如曲线的弧长、转动惯量等等, 均与方向无关. 在这一节中, 我们讨论与“方向”有关 的曲线积分.
给定一条曲线, 如果规定了其中的一个走向作为曲线 的“方向”, 则此曲线称为有向曲线.
n
n
W Wi P i ,i xi Q i ,i yi ,
i1
i1
将所有小弧段长度的最大者记为, 并令 0, 所得上
述和式的极限
n
lim
0
i1
P i ,i
xi
Q i ,i
yi
即为变力F 沿有向曲线 L 所做的功.
P x, y,Q x, y 连续, 故在 M M i1 i 上, 可以用任一
高数10章第2节对坐标曲线积分
06 曲线积分在实际问题中应 用
面积、体积和弧长计算
01
02
03
面积计算
通过曲线积分可以计算由 平面曲线所围成的面积， 例如计算不规则图形的面 积。
体积计算
在空间中，曲线积分可以 用来计算由曲线旋转或平 移所生成的立体体积。
弧长计算
曲线积分还可以用来计算 曲线的弧长，特别是对于 那些无法直接通过几何方 法求解的曲线。
质心、形心和转动惯量计算
质心计算
在物理学和工程学中，经常需要 计算物体的质心位置，曲线积分 可以帮助我们找到由曲线构成的
物体的质心。
形心计算
形心是描述物体几何形状的一个重 要参数，曲线积分同样可以用来计 算由曲线构成的物体的形心。
转动惯量计算
转动惯量是描述物体旋转运动特性 的物理量，曲线积分可以用来计算 由曲线构成的物体绕某轴的转动惯 量。
斯托克斯公式在电磁学、流体力学等 领域有着广泛的应用，可以用来计算 磁场、电场、流场等物理量。
在使用斯托克斯公式时，需要注意被积 函数在包含曲面Σ的空间区域内是否满 足具有一阶连续偏导数的条件，以及曲 面Σ和边界曲线Γ的取向是否正确。
其他求解方法
01
直接计算法
对于一些简单的第二类曲线积分问题，可以直接通过参数化曲线并代入
面积等。
培养分析问题和解决问题的能力，提高数学素养和思维水平。
03
内容概述
本节主要介绍对坐标的曲线积分，包括曲线积分的定义、性质和计算方法。 通过具体例题，讲解如何运用定积分求解曲线积分，并介绍一些常用的计算技巧。
讨论曲线积分在实际问题中的应用，如计算平面曲线的长度、空间曲线的质量等。
02 对坐标曲线积分基本概念
高数10章第2节对坐标曲线积分
对坐标的曲线积分
精确值
二、对坐标的曲线积分的概念
1.定义 设L为xoy面内从点A到点B的一条有 向光滑曲线弧, 函数P(x, y), Q(x, y)在L 上有界. 用L上的点M1(x1, y1), M2(x2, y2), , Mn1(xn1, yn1)把L分成n个有向小弧段 Mi1Mi (i 1,2,,n; M0 A, Mn B). 设xi xi xi1, yi yi yi1, 点(i ,i )为 Mi1Mi 上任意取定的点 . 如果当各小弧段 长度的最大值 0时,
B
W i F (i,i)M i 1 M i,
M i Mn1
L yi
Mi1xi
M2
即 W i P ( i , i ) x i Q ( i , i ) y i .A M1
o
x
n
求和 WWi
近似值
i1
n
[ P (i,i) x i Q (i,i) y i] .
i 1
n
取极限 W l 0 i i 1 [ m P (i,i) x i Q (i,i) y i] .
Ads At ds
例7. 将积分 P (x ,y )d x Q (x ,y )d y化为对弧长的积 L
分, 其中L 沿上半圆周 x2y22x0从 O (0 ,0 )到 B (2 ,0 )
解：
y
2xx2,dy
1x dx 2xx2
y
ds 1y2dx 1 dx 2xx2
O
Bx
cos dx 2xx2, cos dy 1x
(1)半径a为 、圆心为原点、 针按 方逆 向时 绕行 的上半;圆周 (2)从点 A(a,0)沿x轴到B 点 (a,0)的直线. 段
解 (1) L: x y a ascio n ,s
一,对坐标的曲面积分的概念与性质
(|V|t)cos(V,^n)V·n t
的柱体的体积：V·n t S ，这里n {cosa , cosb , cosg}是s上的单 位法向量，S表示s的面积．所以单位时间内流向s 指定侧的流
体的流量近似于
V·n S {P(x, y, z)cosa Q(x, y, z)cosb R(x, y, z)cosg }S ．
1 r 2 sin cos
1 r 2 rdr 2
0
0
Dxy
15
2． 15
三、两类曲面积分之间的联系
由对坐标的曲面积分的定义，有
P(x, y, z) dydzQ(x, y, z) dzdxR(x, y, z) dxdy
S
{P(x, y, z)cosa Q(x, y, z)cosb R(x, y, z)cosg }dS S
除S3、S4外，其余四片曲面在 yO z 面上的投影为零，因此
类似地可得
y2dzdxb 2ac，
S
z2dxdyc 2ab．
S
于是所求曲面积分为 (abc)abc．
x2dydz x2dydz x2dydz a2dydz 0dydz a 2bc．
例11 计算曲面积分 x2dydzy2dzdxz2dxdy，其中S是长方体 S
W的整个表面的外侧，W{(x, y, z) |0xa，0yb，0zc }．
解 把有向曲面S分成以下六部分：
S1：zc (0xa, 0yb)的上侧； S2：z0 (0xa, 0yb)的下侧； S3：xa (0yb, 0zc)的前侧； S4：x0 (0yb, 0zc)的后侧； S5：yb (0xa, 0zc)的右侧； S6：y0 (0xa, 0zc)的左侧．
(|V|t)cos(V,^n)V·n t
的柱体的体积：V·n t S ，这里n {cosa , cosb , cosg}是s上的单 位法向量，S表示s的面积．所以单位时间内流向s 指定侧的流
体的流量近似于
V·n S {P(x, y, z)cosa Q(x, y, z)cosb R(x, y, z)cosg }S ．
1 r 2 sin cos
1 r 2 rdr 2
0
0
Dxy
15
2． 15
三、两类曲面积分之间的联系
由对坐标的曲面积分的定义，有
P(x, y, z) dydzQ(x, y, z) dzdxR(x, y, z) dxdy
S
{P(x, y, z)cosa Q(x, y, z)cosb R(x, y, z)cosg }dS S
除S3、S4外，其余四片曲面在 yO z 面上的投影为零，因此
类似地可得
y2dzdxb 2ac，
S
z2dxdyc 2ab．
S
于是所求曲面积分为 (abc)abc．
x2dydz x2dydz x2dydz a2dydz 0dydz a 2bc．
例11 计算曲面积分 x2dydzy2dzdxz2dxdy，其中S是长方体 S
W的整个表面的外侧，W{(x, y, z) |0xa，0yb，0zc }．
解 把有向曲面S分成以下六部分：
S1：zc (0xa, 0yb)的上侧； S2：z0 (0xa, 0yb)的下侧； S3：xa (0yb, 0zc)的前侧； S4：x0 (0yb, 0zc)的后侧； S5：yb (0xa, 0zc)的右侧； S6：y0 (0xa, 0zc)的左侧．
(|V|t)cos(V,^n)V·n t
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n
lim
0
i 1
P[
(
i
)
,
(
i
)]
(
i)ti
因为L 为光滑弧 ,
n
lim
0
i 1
P[
(i),( Nhomakorabeai
)]
(
i
)ti
P[ (t), (t)](t)dt
同理可证
Q[ (t), (t)] (t) d t
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特别是, 如果 L 的方程为 y (x), x : a b,则
3) “近似和”
n
W P(k , k )xk Q(ξk , k )yk
k 1
4) “取极限”
n
W
lim
0
k
1
P(ξk
,
ηk
)Δxk
(其中 为 n 个小弧段的
Q(ξk , ηk )Δyk
y F(k , k )
最大长度)
L
M ykk
B
Mxkk1
A
x
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ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
x (t) 对空间光滑曲线弧 : y (t) t : , 类似有
z (t)
P[
(t
),
(t
)
,
(t
)]
(t)
(t)
(t )
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例1. 计算 xyd x , 其中L 为沿抛物线 y2 x 从点 L
(t),
(t)]
(t
)
Q
[
(t),
(t)]
(t)d
t
证明: 下面先证
P[ (t), (t)](t)dt
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n
根据定义
lim
0
i 1
P(i
,
i
)xi
设分点 xi 对应参数 ti ,
对应参数 i ,
由于 xi xi xi1 (ti ) (ti1) (i)ti
L
1
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o y xx
A(1,1)
2
1
x
3 2
dx
4
0
5
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例2. 计算
其中 L 为
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的B
A
上半圆周, 方向为逆时针方向; a o a x
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
第十章
第二节 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系
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一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用
y L
B
F(x, y) (P(x, y), Q(x, y))
解: (1) 取L的参数方程为
则
y2 dx a2 sin2 t (a sin t )d t
L
0
2a3 2 1 4 a3
3
3
(2) 取 L 的方程为 y 0, x : a a,则
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例3. 计算
其中L为 y
B(1,1)
Q( k
k 1
,
k
)yk ,
称为对
y
的曲线积分.
若记 d s (d x , dy), 对坐标的曲线积分也可写作
L F d s L P(x, y)dx Q(x, y)dy
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (d x , dy , dz)
F(x, y, z) (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
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2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 在L 上定义了一个向量函数
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
n
lim
0
k 1
P(k , k
记作
)xk
Q(k
, k
)yk
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
都存在, 则称此极限为函数
A(1, 1)到B(1, 1)的一段.
解法1 取 x 为参数, 则 L : AO OB
y B(1,1)
AO : y x, x :1 0
y x
OB : y x, x : 0 1
xydx xydx xydx
L
AO
OB
解法2 取 y 为参数, 则
xydx 1 y2 y( y2 )dy
所做的功为
则
n
W Wk
k 1
2) “常代变”
有向小弧段
用有向线段
近似代替, 在
上任取一点
y F(k , k )
L
M ykk B
Mxk k1
A
x
则有
Wk F (k , k ) M k1M k
P(k , k )xk Q(k , k )yk
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在有向曲线弧 L 上
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中,
称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
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n
L
P(x,
y)dx
lim
0
P(k
k 1
,
k
)xk ,
称为对
x
的曲线积分;
n
L
Q(x,
y)d
y
lim
0
(1) 抛物线 L : y x2, x : 0 1; x y 2
(2) 抛物线
y x2
(3) 有向折线 L : OA AB.
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
• 定积分是第二类曲线积分的特例.
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二、对坐标的曲线积分的计算法
定理:
在有向光滑弧 L 上
有定义且连续,
L
的参数方程为
x y
(t) (t)
t : ,
则曲线积分 存在, 且有
P[
A
在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移x
动过程中变力所作的功W. 变力沿直线所作的功
解决办法: “大化小”
F A
W F AB cos
B F AB
“常代变” “近似和” “取极限”
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1) “大化 小把”L分. 成 n 个小弧段, F 沿
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3. 性质
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
则 P(x, y)dx Q(x, y)dy L
k
P(x, y)dx Q(x, y)dy
i1 L i
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
,k
说明:
L P(x, y)dx Q(x, y)dy