第11章曲线积分与曲面积分

目录1对弧长的曲线积分

（扩展）对弧长曲线积分的应用

2对坐标的曲线积分

3格林公式及其应用

4对面积的曲面积分

课后典型题

1对弧长的曲线积分

1复习

之前已经学过计算曲线长度的积分

（1）对于y=y(x)，有

（2）对于参数方程

有

（3）对于极坐标方程是

，转成直角坐标

，则

。代入

2曲线积分的概念

上面3个都是求弧长，现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。那么，如果把被积函数f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。当然如果密度均匀为1，则求的弧长积分就是弧长。如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。

对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。

扩展到空间，若被积函数是f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线L的密度，求得的结果就是空间的线质量。

定义：

3计算方法

计算步骤

1画出图形

2写出L的方程，指出自变量范围，确定积分上下限（下限必须小于上限）

3由L类型写出对应ds的表达式

4因被积函数f(x,y)的点x，y在L上变动，因此x，y必须满足L的方程。即把L中的x，y代入被积函数f(x,y)中。

5写出曲线积分的定积分表达式，并计算。

注，二重积分中xy在投影域D内动，而被积函数的xy在L上动，故(x，y)必须满足L。如，L的方程y=k,则

（保留。还不太懂）

参数方程

设曲线有参数方程

，则有：

显式方程

设曲线为

，则有：

设曲线为

，则有：

极坐标方程

设曲线为

则有：

注：常用，半径R的圆弧对应

空间曲线方程

设曲线为空间曲线

，则有：

4、对称性：见重积分总结

5、特别性质

设在L上f(x,y)<=g(x,y)，则

，特别的，有

此性质不能用于第二类曲线积分

扩展对弧长曲线积分的应用

1求柱面面积

2求曲线的质心、转动惯量（其实和二重积分一样，完全可以自己推导）质心坐标：

、

转动惯量：I=mr^2,因此有

3变力沿曲线做的功

设平面力场的力为

求该力沿着曲线L从a到b所做的功。

对于直线的路径ab来说功的大小是

（这里有两个特点：1路径是直线2力的方向和位移的方向相同）

4、平面流速场面积和流量计算

5、平面环流场面积计算

6、特别性质

第二类曲线积分不具有此性质。其证明比较简单，看课本。

2对坐标的曲线积分

1、对坐标的曲线积分的定义：

对坐标的曲线积分，分为对x坐标和y坐标的曲线积分，两者合在一起，为：

2、计算方法：化为定积分

求解曲线积分时，最好先用格林公式看看是否与路径有关？

①作出L的图形，标出L路径的方向

②写出L的方程

,并指出起点和终点的参数

注意，

并不分谁大谁小。

③把

分别代入被积表达式，α为下限，β为上限。

注意：仍然有被积函数的（x,y）须满足L方程。

空间曲线计算必须化为参数方程来计算

同样的，在计算时，算圆能用直角坐标很难，用极坐标就很简单

3、第一类曲线积分和第二类曲线积分的区别

不同点：第一类曲线积分是对弧长的曲线积分，其被积函数f(x,y)仅是一个数量值。而第二类曲线积分是对坐标的曲线积分，其被积函数既有大小，又有方向。

相同点：第二类曲线积分可以化为第一类曲线积分

在力场

中，沿路径L从A到B，第一类曲线积分和第二类都是可以计算的。有：

4、第一类和第二类曲线积分的互相转换

为了能消去dx,dy,得到第一类曲线积分的ds，我们将x，y改写设为参数方程。设

，则

设

，则

代表着L上某点的切线方向。而

、

则就是切线方向的单位向量。

若从切线方向上考虑，则

、

，因此可以改为

若设

，则结果也可以改为

而这种在转换时更方便常用一些。（见典型例题）

格林公式及其应用

文中全部的P，Q都代表P(x,y)，Q(x,y)

格林公式定理：

一个光滑的闭曲线L围成了一个D区域。设P（x,y）,Q(x,y)都存在一阶连续偏导数，那么则有：

格林公式对L所围成的形状没有要求，只要求L是一条正向的闭曲线。（正向即走在该路径上，左手边是被积域）

注意，被积P，Q不能在定义域内出现奇点，出现了，就是不可偏导的了。那么怎么办？一般使用挖洞法。

上式是二重积分与第二类曲线积分的关系。经过推导还有与第一类曲线积分的关系：

若令n为下图向量，则有：

格林公式的求解考点

使用格林公式的情况：

格林公式使求曲线积分和二重积分可以互换，因此在求曲线积分（多为第二类）或者二重积分时又多了一个格林公式这个方法。注意，曲线积分第一类又可以化为第二类，如果这样考，可能会综合一些。（当然曲线第一类也有直接跟格林公式互换的方法（见上））

(加边法)求非封闭曲线的第二类曲线积分：

可以加一条边成封闭曲线，再用格林公式算。算完后再减去加上的那条边的第二类曲线积分。注意：一般加的都是一些简单的直线，如加x=a或y=a等。这样减它的第二类曲线积分时非常简单，很多步都可以化为0.

（挖洞法）求闭曲线内含奇点的积分：

那么挖一个什么形状的洞呢？一般做的都是让出现奇点的部分化为常数。如