第11章曲线积分与曲面积分

目录1对弧长的曲线积分
（扩展）对弧长曲线积分的应用
2对坐标的曲线积分
3格林公式及其应用
4对面积的曲面积分
课后典型题
1对弧长的曲线积分
1复习
之前已经学过计算曲线长度的积分
（1）对于y=y(x)，有
（2）对于参数方程
有
（3）对于极坐标方程是
，转成直角坐标
，则。

代入
2曲线积分的概念
上面3个都是求弧长，现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。

那么，如果把被积函数f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。

当然如果密度均匀为1，则求的弧长积分就是弧长。

如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。

对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。

扩展到空间，若被积函数是f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线L的密度，求得的结果就是空间的线质量。

定义：
3计算方法
计算步骤
1画出图形
2写出L的方程，指出自变量范围，确定积分上下限（下限必须小于上限）
3由L类型写出对应ds的表达式
4因被积函数f(x,y)的点x，y在L上变动，因此x，y必须满足L的方程。

即把L中的x，y代入被积函数f(x,y)中。

5写出曲线积分的定积分表达式，并计算。

注，二重积分中xy在投影域D内动，而被积函数的xy在L上动，故(x，y)必须满足L。

如，L的方程y=k,则
（保留。

还不太懂）
参数方程
设曲线有参数方程
，则有：
显式方程
设曲线为
，则有：
设曲线为
，则有：
极坐标方程
设曲线为
则有：
注：常用，半径R的圆弧对应
空间曲线方程
设曲线为空间曲线
，则有：
4、对称性：见重积分总结
5、特别性质
设在L上f(x,y)<=g(x,y)，则
，特别的，有
此性质不能用于第二类曲线积分
扩展对弧长曲线积分的应用
1求柱面面积
2求曲线的质心、转动惯量（其实和二重积分一样，完全可以自己推导）质心坐标：
、
转动惯量：I=mr^2,因此有
3变力沿曲线做的功
设平面力场的力为
求该力沿着曲线L从a到b所做的功。

对于直线的路径ab来说功的大小是
（这里有两个特点：1路径是直线2力的方向和位移的方向相同）
4、平面流速场面积和流量计算
5、平面环流场面积计算
6、特别性质
第二类曲线积分不具有此性质。

其证明比较简单，看课本。

2对坐标的曲线积分
1、对坐标的曲线积分的定义：
对坐标的曲线积分，分为对x坐标和y坐标的曲线积分，两者合在一起，为：
2、计算方法：化为定积分
求解曲线积分时，最好先用格林公式看看是否与路径有关？
①作出L的图形，标出L路径的方向
②写出L的方程
,并指出起点和终点的参数
注意，
并不分谁大谁小。

③把
分别代入被积表达式，α为下限，β为上限。

注意：仍然有被积函数的（x,y）须满足L方程。

空间曲线计算必须化为参数方程来计算
同样的，在计算时，算圆能用直角坐标很难，用极坐标就很简单
3、第一类曲线积分和第二类曲线积分的区别
不同点：第一类曲线积分是对弧长的曲线积分，其被积函数f(x,y)仅是一个数量值。

而第二类曲线积分是对坐标的曲线积分，其被积函数既有大小，又有方向。

相同点：第二类曲线积分可以化为第一类曲线积分
在力场
中，沿路径L从A到B，第一类曲线积分和第二类都是可以计算的。

有：
4、第一类和第二类曲线积分的互相转换
为了能消去dx,dy,得到第一类曲线积分的ds，我们将x，y改写设为参数方程。

设
，则
设
，则
代表着L上某点的切线方向。

而
、
则就是切线方向的单位向量。

若从切线方向上考虑，则
、
，因此可以改为
若设
，则结果也可以改为
而这种在转换时更方便常用一些。

（见典型例题）
格林公式及其应用
文中全部的P，Q都代表P(x,y)，Q(x,y)
格林公式定理：
一个光滑的闭曲线L围成了一个D区域。

设P（x,y）,Q(x,y)都存在一阶连续偏导数，那么则有：
格林公式对L所围成的形状没有要求，只要求L是一条正向的闭曲线。

（正向即走在该路径上，左手边是被积域）
注意，被积P，Q不能在定义域内出现奇点，出现了，就是不可偏导的了。

那么怎么办？一般使用挖洞法。

上式是二重积分与第二类曲线积分的关系。

经过推导还有与第一类曲线积分的关系：
若令n为下图向量，则有：
格林公式的求解考点
使用格林公式的情况：
格林公式使求曲线积分和二重积分可以互换，因此在求曲线积分（多为第二类）或者二重积分时又多了一个格林公式这个方法。

注意，曲线积分第一类又可以化为第二类，如果这样考，可能会综合一些。

（当然曲线第一类也有直接跟格林公式互换的方法（见上））
(加边法)求非封闭曲线的第二类曲线积分：
可以加一条边成封闭曲线，再用格林公式算。

算完后再减去加上的那条边的第二类曲线积分。

注意：一般加的都是一些简单的直线，如加x=a或y=a等。

这样减它的第二类曲线积分时非常简单，很多步都可以化为0.
（挖洞法）求闭曲线内含奇点的积分：
那么挖一个什么形状的洞呢？一般做的都是让出现奇点的部分化为常数。

如
就做一个分母一样函数的椭圆。

做一个
格林公式的应用
1、求闭区域的面积
显然，令
即可。

于是，可选P=-y,Q=x，得
，
于是求出面积。

注，该公式适合求边界曲线是参数方程的形式。

已知边界曲线参数方程，求面积用此公式。

曲线积分与路径无关的充要条件：
曲线积分结果与路径无关，是指只与起点终点有关。

其物理意义就是变力做功何时与路径无关？
设L1与L2是起点终点相同的两条不同路径，则在平面连通域内与路径无关的充要条件是
，即绕闭曲线一周，曲线积分结果为0，则就与路径无关。

这个方法对任何连通区域均有效。

但是下面的定理仅对单连通域有效：
定理：在一个单连通域G内，
的曲线积分与L路径无关的充要条件是：
因为如果等于0，则闭曲线就等于0。

之所以用单连通区域，因为单连通域内一定存在偏导数。

复连通区域内可能含有奇点，无法满足条件。

求解曲线积分时，最好先用格林公式看看是否与路径有关？
Pdx+Qdy是某函数的全微分的条件
设
，显然对应相等
，
，而
（必要条件须构造
亦可证），因此，
是u(x,y)全微分的充要条件依旧是：
当然，前提是一阶连续偏导数存在，因此仍然仅在单连通域内有效。

从式中可见，
存在是u(x,y)的全微分的充要条件与坐标曲线积分路径无关的充要条件是一样的。

因此，
与积分路径无关。

若存在这个函数，那么如何求得这个函数u(x,y)?
根据上例证明时构造的
，可求
因为构造出来的存在，因此满足积分与路径无关，因此，自己可以选择折线进行积分，这样每条横或竖的折线总能有dx或dy=0,。

如果x0，y0可以任意选，一般选择原点（得到0，0处的特解）。

如果不选择原点，则结果与选择原点的结果相差一个常数C，有
这种上下限是二元的积分，按给定的具体路径积。

像我们做的路径无关的，自己定制了横竖的折线去积的，之所以能导出后面的式子，是因为每条直线分别积，一个直线消去了dx=0，一个直线消去了dy=0
（注：若要计算
其实只要不跳步的用公式，而是自己画图认真算算，是不会错的，就怕背公式，还不熟，就错了）
总结1：曲线积分与路径无关的等价条件
设是连通的开区域D上的有连续偏导数的向量场，则以下四个条件是等价的：
1曲线积分与路径无关
2对D内任何封闭的曲线L均有
3是某函数u（x，y）的全微分，即
4 是势场（梯度场）：即存在u(x,y)使得
5若D是单连通区域，则以上四个条件等价于
总结2求坐标曲线积分的方法
1先看是否，若是，说明路径无关，故可以自己选一条简单的折线积分
2若与积分路径有关，但比较简单如常数，则可以用格林公式转换二重积分计算。

（非闭区域可以加边法）
3如果12均难以满足，只能转换为定积分慢慢求了。

全微分方程的解
遇到求解这个方程。

如果恰有，说明存在u(x,y)，使得，上面求u(x,y)已经说过，若存在u(x,y)，则通解是u(x,y)=C
因此，通解为
其中x0，y0自己选一个恰当的。

和上面的一样。

4对面积的曲面积分
1对面积的曲面积分求的是空间曲面的质量
（第一类曲面积分）其公式是简单的，二重积分中已经学过求空间曲面的面积，那时候没有被积函数，如果添加一个的话，就求得了空间曲面的质量。

显然，也可以投影到yoz平面或者xoz平面，公式做相应更改即可。

课后典型题
注意，F的表达式如何求？
答案：k(a^2+b^2)/2(见课本P198)。