高等数学 对坐标的曲线积分
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且它们的方向相应地一致, 则
y
L L1
L2
O
L2
L Pdx Qdy
有向曲线, 则
x
L1
Pdx Qdy Pdx Qdy
y
(3) 有向性: 设L是有向曲线, L是与L方向相反的
L
L
LP ( x, y)dx Q( x, y )dy
P ( x , y )dx Q( x , y )dy
i 1 n
O
M2 M1 A M0
L
xi
yi
M n1
x
近似值
[ P ( i ,i ) xi Q( i ,i ) yi ]
i 1
n i 1
精确值
[ P ( i ,i ) xi Q( i ,i ) yi ] 取极限 W lim 0
W P ( x , y )dx Q( x , y )dy L F ds ds (dx, dy )
L
类似地, 可定义空间向量函数 A P( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 沿着空间曲线L的第二型曲线积分为 L Pdx Qdy Rdz A ds
L
8
O
x
对坐标的曲线积分与曲线的方向有关!
11.2.2 第二型曲线积分的计算
定理11.2 设 P( x, y ),Q( x, y ) 在有向曲线弧L上连续, x (t ) L的参数方程为 , 当参数 t由变到时, y (t ) 点M ( x, y)从L的起点A沿L运动到终点B,
11.2 对坐标的曲线积分
11.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质
问题11.2:变力沿曲线所作的功 y
F ( x, y) P( x, y)i Q( x, y) j
F ( i , i )
Mi
L: A B
L
M i 1
xi
yi
M n1
B Mn
M2 M1
或
W lim P ( i ,i )xi lim Q( i ,i )yi
0
i 1
2
n
n
0
i 1
定义11.2 设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑 曲线弧, 函数P( x, y ), Q( x, y )在L上有界. 用L上的点
A M0 , M1 ( x1 , y1 ),, Mn1 ( xn1 , yn1 ), Mn B
L L
L
其中 A P( x, y)i Q( x, y) j ( P( x, y),Q( x, y)),
ds dxi dyj (dx, dy)
沿闭曲线L的曲线积分记作
5
L
Pdx Qdy .
物理意义 变力F P( x, y)i Q( x, y) j 沿平面曲线L所做 的功为
9
对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
积分下限应是起点的坐标,上限是终点的坐标.
曲线方程的其他情形
(1) L : y y( x ) x起点为a , 终点为b 则 P ( x , y )dx Q ( x , y )dy
( 2) L : x x( y )
Lb { P[ x , y( x )] Q[ x , y( x )] y( x )}dx a
(t ), (t )在以及为端点的闭区间上具有 一阶 2 2 且 ( t ) (t ) 0, 则曲线积分 连续导数,
L
P ( x , y )dx Q( x , y )dy存在, 且
L P ( x , y )dx Q( x , y )dy P[ ( t ), ( t )] ( t )dt Q[ ( t ), ( t )] ( t )dt
y
解 (1) L AB BO,
AB : y 2 x, dy dx.
1
B
O x 2 , A点对应 B点对应 x 1,
A
1
2
x
AB
xydx ( y x )dy
5 [ x(2 x ) (2 x x )(1)]dx 2 3 14
在OB上, x 0, y 从0到1,
虽然路径不同, 但积分结果相同.
18
( x y )dx ( x y )dy 例 计算 I , 其中L为圆周 2 2 L x y
x 2 y 2 a 2 (a 0) 沿逆时针方向绕行一周 .
解 L的参数方程为
x a cos t , (0 t 2 ) y a sin t
P ( x , y, z )dx Q( x , y, z )dy R( x , y, z )dz
{ P[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) Q[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t )
R[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t )}dt
(1) 线性性质: k1 A k2 B 沿曲线L的第二型曲线
积分存在, 且 ( k1 A k 2 B ) d s k1 A d s k 2 B d s
L L L
其中 k1 , k 2 为任意常数.
7
(2) 可加性: 如果把L分成L1和L2 ,
0
1
1
4 2 x dx 0 5
1
12
3 2
计算 xydx , 其中L为抛物线 y 2 x上从
L
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
(2) 取 y为积分变量
y
B(1,1) y2 x
x y 2 , dx 2 ydy , y从 1到1
2 xy d x y L y 2 ydy 1 1
A
O
A点对应 t 0, B点对应 t
0
2
1
x
.
I 2 [(cos t sin t )( sin t ) (cos t sin t ) cos t ]dt
2 (cos 2t sin 2t )dt 1 0
17
(2) I ( x y )dx ( x y )dy
16
例 计算 I L ( x y )dx ( x y )dy, 其中
(1) L为从点 A(1,0)沿上半单位圆至点B(0,1); ( 2) L为折线段 AOB, 从点 A(1,0)到点O(0,0)至 点B(0,1).
y B 1
x cos t 解 (1) L的参数方程为 , y sin t
BO
xydx ( y x )dy
5 1 2 3 3
15
(2) AO : y 0, dy 0.
y
1
O
1
A点对应 x 2, O点对应 x 0,
I xydx ( y x )dy
L
2
A
x
x 0dx 0 0
2
0
问题: 被积函数相同, 起点和终点也相同, 但路径不同, 积分结果也不同.
AO
I ( x y )dx ( x y )dy
L
( x y )dx ( x y )dy
OB
y 1 B
在 AO 上, y 0, x从1到 0,
A
0 1
AO
( x y )dx ( x y )dy
1
1 xdx 2
O
1
x
1 OB ( x y)dx ( x y)dy 0 ydy 2 1 1 I 1 2 2 问题: 被积函数相同, 起点和终点也相同,
其中Γ是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.
I
2 0
y
Oห้องสมุดไป่ตู้
a
x
(a cos t a sint )( a sint ) (a cos t a sint )a cos t dt 2 a
2
2 (sin t cos2 t )dt 2 0
19
例 计算
xdx ydy ( x y 1)dz,
O
x
A(1,1)
4 2 y dy 1 5
1 4
13
例 计算 I L xydx ( y x )dy , 其中
(1) L为折线段 y 1 1 x (0 x 2), 从点 A( 2,0)到点B(1,1)至点O(0,0); ( 2) L为直线沿 x轴从点 A( 2,0)到点O(0,0).
y起点为c , 终点为d
则
L P ( x , y )dx Q( x , y )dy d { P[ x ( y ), y ] x( y ) Q[ x ( y ), y ]}dy c
10
x (t ) (3) 对于空间曲线 : y ( t ), t起点 , 终点 z (t )
L
其中 ds dxi dyj6 dzk (dx, dy, dz ).
对坐标的曲线积分具有下列性质: 设 A ( P ( x, y ), Q( x, y )), B ( P1 ( x, y ), Q1 ( x, y )) 沿平面曲线L的第二型曲线积分存在, 则
1
y
BO : y x, dy dx
1
O
B
B点对应 x 1, O点对应 x 0,
A
BO
0
xydx ( y x )dy
1
2
x
1 [ x x ( x x )]dx 1 3
I xydx ( y x )dy
L
AB
xydx ( y x )dy
11
例 计算
L
xydx , 其中L为抛物线 y 2 x上从
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
解 (1) 取 x为积分变量
y
y x
⌒ xydx L xydx ⌒ xydx OB
AO
B(1,1) y2 x
O
x
A(1,1)
x ( x )dx 0 x xdx
常力沿直线所作的功
W F AB
A M0
O
x
分割 A M 0 , M1 ( x1 , y1 ),, Mn1 ( xn1 , yn1 ), M n B
M i 1 M i (xi )i (yi ) j
1
取
F (i ,i ) P(i ,i )i Q(i ,i ) j
L
n
n
0
i 1
称 Q ( x , y ) 在有向曲线弧 L上对坐标y 的曲线积分.
积分弧段
被积函数
4
在应用中常出现组合形式
L P ( x , y )dx L Q( x , y )dy P ( x , y )dx Q( x , y )dy L
或向量“点积”形 式 P ( x , y )dx Q( x , y )dy A ds
把L分成n个有向小弧段 M i 1 M i (i 1,2,, n).
设xi xi xi 1 , yi yi yi 1 , 点( i ,i )为Mi 1 Mi
上任意取定的点. 如果当各小段长度的最大值
0时,
3
P ( i , i )xi的极限总存在, 则称此极限为函数 i 1
n
P ( x , y )在有向曲线弧 L上对坐标x的曲线积分,
或称第二型曲线积分. 记作 P ( x , y )dx , 即
L
P ( i , i )xi L P ( x , y )dx lim 0 i 1
类似地定义 Q ( x , y )dy lim Q( i , i )yi
M i 1 M i (xi )i (yi ) j
F ( i , i ) B M n M
i
取近似 Wi F ( i ,i ) M i 1 M i y
即 Wi P( i ,i )xi Q( i ,i )yi
n
M i 1
求和 W Wi
y
L L1
L2
O
L2
L Pdx Qdy
有向曲线, 则
x
L1
Pdx Qdy Pdx Qdy
y
(3) 有向性: 设L是有向曲线, L是与L方向相反的
L
L
LP ( x, y)dx Q( x, y )dy
P ( x , y )dx Q( x , y )dy
i 1 n
O
M2 M1 A M0
L
xi
yi
M n1
x
近似值
[ P ( i ,i ) xi Q( i ,i ) yi ]
i 1
n i 1
精确值
[ P ( i ,i ) xi Q( i ,i ) yi ] 取极限 W lim 0
W P ( x , y )dx Q( x , y )dy L F ds ds (dx, dy )
L
类似地, 可定义空间向量函数 A P( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 沿着空间曲线L的第二型曲线积分为 L Pdx Qdy Rdz A ds
L
8
O
x
对坐标的曲线积分与曲线的方向有关!
11.2.2 第二型曲线积分的计算
定理11.2 设 P( x, y ),Q( x, y ) 在有向曲线弧L上连续, x (t ) L的参数方程为 , 当参数 t由变到时, y (t ) 点M ( x, y)从L的起点A沿L运动到终点B,
11.2 对坐标的曲线积分
11.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质
问题11.2:变力沿曲线所作的功 y
F ( x, y) P( x, y)i Q( x, y) j
F ( i , i )
Mi
L: A B
L
M i 1
xi
yi
M n1
B Mn
M2 M1
或
W lim P ( i ,i )xi lim Q( i ,i )yi
0
i 1
2
n
n
0
i 1
定义11.2 设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑 曲线弧, 函数P( x, y ), Q( x, y )在L上有界. 用L上的点
A M0 , M1 ( x1 , y1 ),, Mn1 ( xn1 , yn1 ), Mn B
L L
L
其中 A P( x, y)i Q( x, y) j ( P( x, y),Q( x, y)),
ds dxi dyj (dx, dy)
沿闭曲线L的曲线积分记作
5
L
Pdx Qdy .
物理意义 变力F P( x, y)i Q( x, y) j 沿平面曲线L所做 的功为
9
对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
积分下限应是起点的坐标,上限是终点的坐标.
曲线方程的其他情形
(1) L : y y( x ) x起点为a , 终点为b 则 P ( x , y )dx Q ( x , y )dy
( 2) L : x x( y )
Lb { P[ x , y( x )] Q[ x , y( x )] y( x )}dx a
(t ), (t )在以及为端点的闭区间上具有 一阶 2 2 且 ( t ) (t ) 0, 则曲线积分 连续导数,
L
P ( x , y )dx Q( x , y )dy存在, 且
L P ( x , y )dx Q( x , y )dy P[ ( t ), ( t )] ( t )dt Q[ ( t ), ( t )] ( t )dt
y
解 (1) L AB BO,
AB : y 2 x, dy dx.
1
B
O x 2 , A点对应 B点对应 x 1,
A
1
2
x
AB
xydx ( y x )dy
5 [ x(2 x ) (2 x x )(1)]dx 2 3 14
在OB上, x 0, y 从0到1,
虽然路径不同, 但积分结果相同.
18
( x y )dx ( x y )dy 例 计算 I , 其中L为圆周 2 2 L x y
x 2 y 2 a 2 (a 0) 沿逆时针方向绕行一周 .
解 L的参数方程为
x a cos t , (0 t 2 ) y a sin t
P ( x , y, z )dx Q( x , y, z )dy R( x , y, z )dz
{ P[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) Q[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t )
R[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t )}dt
(1) 线性性质: k1 A k2 B 沿曲线L的第二型曲线
积分存在, 且 ( k1 A k 2 B ) d s k1 A d s k 2 B d s
L L L
其中 k1 , k 2 为任意常数.
7
(2) 可加性: 如果把L分成L1和L2 ,
0
1
1
4 2 x dx 0 5
1
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3 2
计算 xydx , 其中L为抛物线 y 2 x上从
L
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
(2) 取 y为积分变量
y
B(1,1) y2 x
x y 2 , dx 2 ydy , y从 1到1
2 xy d x y L y 2 ydy 1 1
A
O
A点对应 t 0, B点对应 t
0
2
1
x
.
I 2 [(cos t sin t )( sin t ) (cos t sin t ) cos t ]dt
2 (cos 2t sin 2t )dt 1 0
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(2) I ( x y )dx ( x y )dy
16
例 计算 I L ( x y )dx ( x y )dy, 其中
(1) L为从点 A(1,0)沿上半单位圆至点B(0,1); ( 2) L为折线段 AOB, 从点 A(1,0)到点O(0,0)至 点B(0,1).
y B 1
x cos t 解 (1) L的参数方程为 , y sin t
BO
xydx ( y x )dy
5 1 2 3 3
15
(2) AO : y 0, dy 0.
y
1
O
1
A点对应 x 2, O点对应 x 0,
I xydx ( y x )dy
L
2
A
x
x 0dx 0 0
2
0
问题: 被积函数相同, 起点和终点也相同, 但路径不同, 积分结果也不同.
AO
I ( x y )dx ( x y )dy
L
( x y )dx ( x y )dy
OB
y 1 B
在 AO 上, y 0, x从1到 0,
A
0 1
AO
( x y )dx ( x y )dy
1
1 xdx 2
O
1
x
1 OB ( x y)dx ( x y)dy 0 ydy 2 1 1 I 1 2 2 问题: 被积函数相同, 起点和终点也相同,
其中Γ是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.
I
2 0
y
Oห้องสมุดไป่ตู้
a
x
(a cos t a sint )( a sint ) (a cos t a sint )a cos t dt 2 a
2
2 (sin t cos2 t )dt 2 0
19
例 计算
xdx ydy ( x y 1)dz,
O
x
A(1,1)
4 2 y dy 1 5
1 4
13
例 计算 I L xydx ( y x )dy , 其中
(1) L为折线段 y 1 1 x (0 x 2), 从点 A( 2,0)到点B(1,1)至点O(0,0); ( 2) L为直线沿 x轴从点 A( 2,0)到点O(0,0).
y起点为c , 终点为d
则
L P ( x , y )dx Q( x , y )dy d { P[ x ( y ), y ] x( y ) Q[ x ( y ), y ]}dy c
10
x (t ) (3) 对于空间曲线 : y ( t ), t起点 , 终点 z (t )
L
其中 ds dxi dyj6 dzk (dx, dy, dz ).
对坐标的曲线积分具有下列性质: 设 A ( P ( x, y ), Q( x, y )), B ( P1 ( x, y ), Q1 ( x, y )) 沿平面曲线L的第二型曲线积分存在, 则
1
y
BO : y x, dy dx
1
O
B
B点对应 x 1, O点对应 x 0,
A
BO
0
xydx ( y x )dy
1
2
x
1 [ x x ( x x )]dx 1 3
I xydx ( y x )dy
L
AB
xydx ( y x )dy
11
例 计算
L
xydx , 其中L为抛物线 y 2 x上从
A(1,1)到B(1,1)的一段弧.
解 (1) 取 x为积分变量
y
y x
⌒ xydx L xydx ⌒ xydx OB
AO
B(1,1) y2 x
O
x
A(1,1)
x ( x )dx 0 x xdx
常力沿直线所作的功
W F AB
A M0
O
x
分割 A M 0 , M1 ( x1 , y1 ),, Mn1 ( xn1 , yn1 ), M n B
M i 1 M i (xi )i (yi ) j
1
取
F (i ,i ) P(i ,i )i Q(i ,i ) j
L
n
n
0
i 1
称 Q ( x , y ) 在有向曲线弧 L上对坐标y 的曲线积分.
积分弧段
被积函数
4
在应用中常出现组合形式
L P ( x , y )dx L Q( x , y )dy P ( x , y )dx Q( x , y )dy L
或向量“点积”形 式 P ( x , y )dx Q( x , y )dy A ds
把L分成n个有向小弧段 M i 1 M i (i 1,2,, n).
设xi xi xi 1 , yi yi yi 1 , 点( i ,i )为Mi 1 Mi
上任意取定的点. 如果当各小段长度的最大值
0时,
3
P ( i , i )xi的极限总存在, 则称此极限为函数 i 1
n
P ( x , y )在有向曲线弧 L上对坐标x的曲线积分,
或称第二型曲线积分. 记作 P ( x , y )dx , 即
L
P ( i , i )xi L P ( x , y )dx lim 0 i 1
类似地定义 Q ( x , y )dy lim Q( i , i )yi
M i 1 M i (xi )i (yi ) j
F ( i , i ) B M n M
i
取近似 Wi F ( i ,i ) M i 1 M i y
即 Wi P( i ,i )xi Q( i ,i )yi
n
M i 1
求和 W Wi