【全国市级联考】河北省邢台市2018届高三上学期期末考试数学(理)试题(原卷版)
【全国市级联考】河北省邢台市2018届高三上学期期末考试理综化学试题(解析版)
河北省邢台市2018届高三上学期期末考试化学试题1. 化学与生活、社会密切相关，下列说法正确的是（）A. 将矿物燃料脱硫脱硝可有效防止酸雨B. 通信光缆的主要成分是晶体Si，太阳能电池的材料主要是SiO2C. 高锰酸钾溶液、酒精、双氧水能杀菌消毒，都利用了强氧化性D. 以“地沟油”为原料生产的生物柴油与以“石油”为原料生产的柴油化学成分相似【答案】A【解析】A、矿物燃料脱硫脱硝就是向燃料中加入适当的物质，将其中的硫和氮转化为无毒、无害的物质，从而减少氮硫的化合物向空气中的排放，达到防止污染、防止酸雨形成的目的，所以A正确；B、通信光缆的主要成分是SiO2，太阳能电池的材料主要是Si，所以B错误；C、高锰酸钾溶液和双氧水能杀菌消毒，都是利用了强氧化性，而酒精能杀菌消毒是因为酒精能使蛋白质变性，所以C错误；D、以“地沟油”为原料生产的生物柴油的主要成分是酯类，而以“石油”为原料生产的柴油的主要成分是烃类，所以二者的成分是不同的，故D错误。
本题正确答案为A。
2. 2017年5月9 日中国科学院正式向社会发布113号、115号、117号和118号元素的中文名称。
已知117号元素有多种原子，如293117Ts、294117Ts等。
下列说法正确的是（）A. 293117Ts和294117Ts的化学性质不同B. Ts位于周期表的第六周期ⅦA族C. 元素Ts的相对原子质量为293.5D. 293117Ts和294117Ts质子数相同，中子数不同【答案】D【解析】A、293117Ts和294117Ts是Ts元素的两种同位素，化学性质几乎相同，故A错误；B、117号元素Ts 位于周期表的第七周期ⅦA族，故B错误；C、117号元素Ts有多种同位素，这些同位素的含量各不相同，所以元素Ts的相对原子质量不一定是293.5，即C错误；D、293117Ts和294117Ts质子数都是117，而中子数分别是176和177，所以D是正确的。
河北省邢台市2018届高三上-第二次月考数学(理)试卷(含答案)
2017~2018学年高三（上）第二次月考数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{(,)|3}M x y y x ==，{(,)|5}N x y y x ==，则M N I 中的元素的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32.已知,a b R ∈，i 为虚数单位，(2)(13)7a i i bi ++=-+，则a b -=（ ） A ．9 B ．-9 C ．24 D ．-343.设向量(3,2)a =r ，(6,10)b =r ，(,2)c x =-r.若(2)a b +r r c ⊥，则x =（ ）A ．-2B ．-3C ．76 D ．734.已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则下列命题正确的是（ ） A ．若αβ⊥，则//l m B ．若l m ⊥，则//αβ C.若//l β，则m α⊥ D ．若//αβ，则l m ⊥5.①已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +>；②设a 为实数，2()f x x ax a =++，求证|(1)|f 与|(2)|f 中至少有一个不小于12，用反证法证明时可假设1|(1)|2f ≥，且1|(2)|2f ≥，以下说法正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C. ①的假设正确，②的假设错误 D ．①的假设错误，②的假设正确6.用数学归纳法证明“6331232n n n +++++=L ，n N •∈”，则当1n k =+时，应当在n k =时对应的等式的两边加上（ ）A ．333(1)(2)(1)k k k ++++++LB ．31k + C. 3(1)k +D ．63(|1)(1)2k k ++7.已知213252+⨯+⨯++L 1(21)22()n n n na b c --⨯=++对一切*n N ∈都成立，则,,a b c 的值为（ ）A ．3a =，2b =-，2c =B ．3a =，2b =，2c = C.2a =，3b =-，3c = D ．2a =，3b =，3c =8.如图，在四棱锥P ABCD -中，PO ⊥平面ABCD ，E 为线段AP 的中点，底面ABCD 为菱形，若2BD a =，4PC a =，则异面直线DE 与PC 所成角的正弦值为（ ）A ．255 B ．55 C. 32 D ．129.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3．243803D ．26310.某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断： 甲说胡老师不是上海人，是福州人； 乙说胡老师不是福州人，是南昌人； 丙说胡老师既不是福州人，也不是广州人.听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另一人说的全不对，由此可推测胡老师（ ）A ．一定是南昌人B ．一定是广州人 C.一定是福州人 D ．可能是上海人 11.已知2()xf x e ax =-.命题:p 对1a ∀≥，()y f x =有三个零点， 命题:q a R ∃∈，使得()0f x ≤恒成立. 则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝ C.()p q ⌝∧ D ．()p q ∧⌝12.已知()f n 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4,6,12，则(12)3f =；21的因数有1,3,7,12，则(21)21f =，那么10051()i f i =∑的值为（ ）A ．2488B ．2495 C.2498 D ．2500第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量a r ，b r 满足1(23)2a ab •-=r r r，则向量a r 与b r 的夹角为 ．14.在等差数列{}n a 中，24a =，且31a +，6a ，104a +成等比数列，则公差d = ． 15.已知0m >，0n >，若212m n =-，则327m n+的最小值为 ． 16.已知三棱柱111A B C ABC -内接于球O ，24AB AC ==，120BAC ∠=︒，1AA ⊥平面ABC ，114AA =，则球O 的表面积是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的前n 项和22n S n kn =-（其中*k ∈N ），且n S 的最小值为-9.（1）确定常数k ，并求n a ； （2）若()()2216n n b n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 设函数()()sin f x A x ωϕ=+()0,0,A ωϕπ>><的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）当,3x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的取值范围. 19. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4a =，23B π=，sin 2sin b C B =. （1）求b 的值； （2）求ABC ∆的面积.20. 如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，1160AA B ∠=︒，P 为1CC 的中点，11AB A B O =I . （1）证明：11AB A P ⊥.（2）若M 是AC 棱上一点，满足45MOP ∠=︒，求二面角1M BB A --的余弦值.21. 在ABC ∆中，()sin sin sin A B C B -=-，D 是边BC 的一个三等分点（靠近点B ），记sin sin ABDt BAD∠=∠.（1）求A 的大小；（2）当t 取最大值时，求tan ACD ∠的值.22.已知函数()22ln ax bf x x x-=-的图象在1x =处的切线过点()0,22a -，,a b ∈R .（1）若85a b +=，求函数()f x 的极值点； （2）设()1212,x x x x ≠是函数()f x 的两个极值点，若111ex <<，证明：()()211f x f x -<.（提示2e 7.40≈）2017~2018学年高三（上）第二次月考数学试卷参考答案（理科）一、选择题1-5:CADDC 6-10:ACBAD 11、12：BD二、填空题13.60°（或3π） 14.3 15.96 16.2500π 三、解答题17.解：（1）因为22n S n kn =-=()222n k k k --≥-， 所以29k -=-，解得3k =，26n S n n =-.当2n ≥时，127n n n a S S n -=-=-，显然当1n =时，也满足. 所以27n a n =-. （2）因为()()2216n n b n a ==++()()21121212121n n n n =-+--+， 所以1111335n T ⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭L 1112121212121n n n n n ⎛⎫-=-= ⎪-+++⎝⎭. 18.解：（1）由图象知3A =，4433T πππ=-=，即4T π=.又24ππω=，所以12ω=， 因此()13sin 2f x x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 又因为33f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以()262k k ππϕπ+=-+∈Z ，即()223k k πϕπ=-+∈Z . 又ϕπ<，所以23πϕ=-，即()123sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）当,3x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，125,2366x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦. 所以1211sin 232x π⎛⎫-≤-≤-⎪⎝⎭，从而有()332f x -≤≤-. 19.解：（1）因为sin 2sin b C B =， 所以2bc b =，即2c =.由余弦定理得222224224cos 283b π=+-⨯⨯=，所以b =（2）因为4a =，2c =，23B π=，所以1sin 2ABC S ac B ∆==14222⨯⨯⨯=20.解：（1）取AB 的中点D ，连接,,OP CD OD ， 易证OPCD 为平行四边形，从而OP CD ∥.由底面ABC ⊥侧面11AA B B ，底面ABC I 侧面11AA B B AB =，CD AB ⊥，CD ⊆底面ABC ，所以CD ⊥侧面11AA B B ，即OP ⊥侧面11AA B B . 又1AB ⊆侧面11AA B B ，所以1AB OP ⊥.又侧面11AA B B 为菱形，所以11AB A B ⊥，从而1AB ⊥平面1A OP . 因为1A P ⊆平面1A OP ，所以11AB A P ⊥.（2）由（1）知，1OP OA ⊥，OP OA ⊥，1OA OA ⊥， 以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系z xoy -.因为侧面11AA B B 是边长为2的菱形，且1160AA B ∠=︒， 所以()0,0,0O ，()0,1,0A ，()10,1,0B -，()B，12C ⎛ ⎝，(P，得(OP =uu u r.设()0AM AC λλ=>uuu r uu u r，得1,12M λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以1,12OM λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu r ，所以3OP OM λ⋅=uu u r uuu r . 而cos OP OM OP OM MOP ⋅=⋅⋅∠=uu u r uuu r uu u r uuur 2.32λ=，解得12λ=.所以3,442M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1B B =uuu r，17,442B M ⎛=- ⎝⎭uuuu r .设平面1B BM 的法向量()1,,n x y z =r，由111100B B n B M n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r r uuuu r r得070442y x y z ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩，取()13n =-r . 而侧面11AA B B 的一个法向量()20,0,1n =r.设二面角1M BB A --的大小为θ.则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅===r r r rrr 13=. 21.解：（1）因为()sin sin sin A B C B -=-，所以()sin sin sin B C A B =--，即()()sin sin sin B A B A B =+--， 整理得sin 2cos sin B A B =. 又sin 0B ≠，所以1cos 2A =，即3A π=. （2）设BD x =，BAD θ∠=，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2DC x =，sin sin B t θ=. 由正弦定理得AD tx =，sin sin sin 23AD DAC t C DC πθ∠⎛⎫==- ⎪⎝⎭.又2sin sin cos 32C B B π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭1sin cos sin 222t B B θ=+，sin sin 223t t B πθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得cos cos 3B t πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为222222sin cos sin cos 13B B t t πθθ⎛⎫+=++=⎪⎝⎭，所以2221sin cos 3t πθθ==⎛⎫++ ⎪⎝⎭221cos 21cos 23πθθ=⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭2226πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 因为0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2662πππθ-<-<.所以当206πθ-=，即12πθ=时，t1，此时)sin 12B ==， 所以4B π=，tan tan 234ACD πππ⎛⎫∠=--= ⎪⎝⎭22.解：∵()222ax x bf x x-+'=，∴()12f a b '=+-. 又()1f a b =-，曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,22a -.∴()22210a b a a b ---=+--，得a b =.（1）∵85a b +=，∴45a b ==， 令()0f x '=，得22520x x -+=， 解得12x =或2，∴()f x 的极值点为12或2. （2）∵12,x x 是方程()2220ax x af x x-+'==的两个根， ∴121x x =，12121221x a x x x ==++，∵111ex <<，∴2111x x =>，0a >，∴()1f x 是函数()f x 的极大值，()2f x 是函数()f x 的极小值， ∴要证()()211f x f x -<，只需()()121f x f x -<，()()121112ln af x f x ax x x -=---2222ln a ax x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭11122ln a ax x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2112114ln 1x x x ⎛⎫-=-= ⎪+⎝⎭221121114ln 12x x x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，令21t x =，则211et <<， 设()11ln 12t h t t t -=-=+211ln 12t t --+，则()()()221021t h t t t -'=-<+，函数()h t 在21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴()2212e e 1h t h ⎛⎫<=⎪+⎝⎭， ∴()()12214e f x f x h ⎛⎫-<= ⎪⎝⎭281e 1<+.。
2018年全国高考理科数学(全国一卷)试题及参考答案(2021年整理)
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2018年全国普通高等学校招生全国统一考试(全国一卷）理科数学一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。
) 1、设z=，则∣z ∣=（）A 。
0B.C.1D.2、已知集合A={x|x 2-x —2>0｝,则A =（）A 、{x ｜-1〈x 〈2｝B 、｛x ｜—1≤x ≤2｝C 、｛x ｜x<-1｝∪{x ｜x>2}D 、｛x|x ≤-1｝∪｛x ｜x ≥2}3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记S n 为等差数列{a n ｝的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4，a 1=2,则a 5=（)建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例A、—12B、—10C、10D、125、设函数f（x)=x3+（a—1）x2+ax。
2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品
2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
河北省邢台市2018届高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年高三（上）第一次月考数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数41iz i -=+的共轭复数的虚部为（ ） A ． 52i - B ．52- C ．52i D ．522.已知全集{|08}U x Z x =∈<≤，集合{|2}(28)A x Z x m m =∈<<<<，若U C A 的元素的个数为4，则m 的取值范围为（ ）A ．(6,7]B ．[6,7)C ． [6,7]D ．(6,7) 3.已知函数()lg f x x =，则“1a >”是“()1f a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.在等差数列{}n a 中，59a =，且3226a a =+，则1a =（ ） A ．-3 B ．-2 C. 0 D ．15.下列函数中，在[1,1]-上与函数cos y x =的单调性和奇偶性都相同的是（ ） A ．22x x y -=- B ．||1y x =+ C.2(2)y x x =+ D ．22y x =-+6.若sin cos 4sin 5cos αααα+=-，则cos 2α=（ ）A ．2425-B ．725- C. 2425 D ．7257.已知变量x y ，满足约束条件2360,25100,60,x y x y x -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数z x y =+的最大值为（ ）A ．12B ．525 C. 465D ．2 8.已知定义在(0,)+∞的函数()f x 的图象如图所示，则函数0.3()log ()g x f x =的单调递减区间为（ ）A ．()a b ，B ．(1)(3)a +∞，，， C.(,2)a D ．(0,)a ,(,)b +∞ 9.将函数2()2sin (2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位后，得到新函数图象的对称轴方程为（ ）A ．()424k x k Z ππ=+∈ B ． ()412k x k Z ππ=-∈ C. ()412k x k Z ππ=+∈ D ．()424k x k Z ππ=-∈ 10.在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若||10AC =，||2BC =，0GA GB GC ++=，则||||AB CG =（ ） A ．3 B ．5 C.2 D ．10211. 已知函数()1ln g x x x =-+，给出下列两个命题：命题:(0,)p x ∃∈+∞，244()x x g x -+=.命题:q 若(2)()a x g x +>对(0,)x ∈+∞恒成立，则0a >. 那么，下列命题为真命题的是（ ）A.p q ∧B.()p q ⌝∧C.()p q ∧⌝D.()()p q ⌝∧⌝12. 设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，12a =，11(21)n n n S S S ++-+3(1)n n S S =+，记21nn i i T a ==∑则310log (21)T +=（ ）A ．10B ．11 C.20 D ．21第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.记函数29y x =-，2ln(6)y x x =--的定义域分别为A B ，，则A B =∩ ． 14.已知向量(,2)m x x =+与向量(1,3)n x =是共线向量，则||n = ．15.若25sin 3cos 5αα+=，(,)36ππα∈-，tan()43πβ+=，则tan()αβ-= ．16.在Rt ABC ∆中，AC BC ⊥，3BC =，5AB =，点D E 、分别在AC AB 、边上，且//DE BC ，沿着DE 将ADE ∆折起至'A DE ∆的位置，使得平面'A DE ∆⊥平面BCDE ，其中点'A 为点A 翻折后对应的点，则当四棱锥'A BCDE -的体积取得最大值时，AD 的长为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且2sin b a B =，tan 0A >. （1）求角A 的大小；（2）若1b =，23c =，ABC ∆的面积为S ，求aS. 18. 在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知4cos 3(cos cos )a A B b C =+. （1）证明：22232b c a bc +-=； （2）若6AB AC =•，求a 的最小值.19. 已知正项数列{1}n a -是公差为2的等差数列，且24是2a 与3a 的等比中项. （1）求数列的通项公式；（2）若(1)1n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 20. 设函数2()(1)ln x a x x ϕ=--，其中a R ∈. （1）讨论函数()x ϕ的单调性；（2）若关于x 的方程()0x a ϕ+=在[1,]x e ∈上有解，求a 的取值范围.21. 将函数sin y x =的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的14，得到函数()y f x =的图象.已知函数2()24g x x =-.（1）若函数()()p x g x kx =+在区间[1,2]上的最大值为5()24f π，求k 的值； （2）设函数()()()h x f x g x =-，证明：对任意(0,)λ∈+∞，都存在(0,)μ∈+∞，使得()0h x >在(,)4πλμ上恒成立.22.已知函数2()(22)xf x x x e =--.（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）当0x >时，31()43f x x x a ≥-+恒成立，求a 的最大值； （3）设2()()(2)x F x xf x x x e =+-，若()F x 在5[,]2t t +的值域为6[(6618),0]e -，求t 的取值范围.（提示：6 2.4≈，611.6e ≈）2017-2018学年高三（上）第一次月考数学试卷参考答案（理科）一、选择题1-5: DABAD 6-10: AABCB 11、12：BC二、填空题13.[3,2)--(或{32})x x -≤<- 14.5或10 15.76-16.433三、解答题17.解：（1）∵2sin b a B =，∴sin 2sin sin B A B =，sin 0B >， ∴1sin 2A =，∵tan 0A >，∴A 为锐角，∴6A π=. （2）∵2222cos a b c bc A =+-31124372=+-⨯=，∴7a =. 又13sin 22S bc A ==，∴2213a S =. 18. 解：（1）证明：由4cos 3(cos cos )a A c Bb C =+及正弦定理得，4sin cos A A 3(sin cos sin cos )C B B C =+3sin()B C =+=3sin A ，又sin 0A >，∴3cos 4A =，∴222324b c a bc +-=，即22232b c a bc +-=.（2）解：∵cos 6AB AC bc A ==，∴8bc =， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-322bc bc ≥-142bc ==，∴2a ≥，∴a 的最小值为2.19. 解：（1）∵{1}n a -数列是公差为2的等差数列， ∴1n a -112(1)a n =-+-，∴21(22)n a n a =+-，∴221(2)a a =+，231(4)a a =+.又24是2a 与3a 的等比中项，∴2222311(2)(4)24a a a a =++=，∴11(2)(4)24a a ++=解得12a =(18a =-不合舍去)，故数列{}n a 的通项公式为24n a n =.（2）∵(1)1n n b a -=，∴211141n n b a n ==--1(21)(21)n n =-+111()22121n n --+， ∴1111(12335n S =-+-11)2121n n ++--+11(1)22121nn n =-=++. 20. 解：（1）1'()2x ax x ϕ=-221(0)ax x x-=>，当0a ≤时，'()0x ϕ<，函数()x ϕ在(0,)+∞上单调递减. 当0a >时，由'()0x ϕ=，解得12x a =或12x a=-（舍）， ∴当1(0,)2x a ∈时，'()0x ϕ<，函数()x ϕ单调递减；当1(,)2x a∈+∞时，'()0x ϕ>，函数()x ϕ单调递增.综上，当0a ≤时，()x ϕ在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()x ϕ在1(0,)2a上单调递减，在1(,)2a+∞上单调递增. （2）由()0x a ϕ+=得2ln xa x =， 设2ln ()(1)x g x x e x =≤≤，312ln '()xg x x -=， 当1x e ≤<时，'()0g x >；当e x e <≤时，'()0g x <.∴max 1()()2g x g e e ==. 又(1)0g =，21()g e e =，∴1()[0,]2g x e ∈，∴a 的取值范围为1[0,]2e.21. 解：（1）由题可得()sin 4f x x =，551()sin2462f ππ==.2()24p x x kx =-+，224()2816k k x =--++，[1,2]x ∈，当128k <<即816k <<时，max ()()28k p x p ==21162k +=，此方程无实数解.当28k ≥即16k ≥时，max 1()(2)2142p x p k ==-=，∴294k =，又16k ≥，则294k =不合题意.当18k ≤即8k ≤时，max 1()(1)22p x p k ==-=，∴52k =. 综上，52k =.（2）∵()y g x =在(0,)4π上递减，()y f x =在(0,)8π上递增，在(,)84ππ上递减， 且(0)(0)f g <，()()44f g ππ>，∴()y f x =与()y g x =的图象只有一个交点.设这个交点的横坐标为0(0,)4x π∈，则由图可知，当0(0,)x x ∈时，()()f x g x <，∴()0h x <；当0(,)4x x π∈时，()()f x g x >，∴()0h x >.故对任意(0,)λ∈+∞，都存在0(0,)x μλ=∈+∞，使得()0h x >在(,)4πλμ上恒成立.22. 解：（1）∵2'()(4)xf x x e =-，∴'(0)4f =-，又(0)2f =-，∴所求切线方程为24y x +=-，即42y x =--. （2）当0x >时，31()43f x x x a ≥-+，即31()43a f x x x ≤-+恒成立， 设31()()4(0)3g x f x x x x =-+>， 22'()(4)4x g x x e x =--+2(4)(1)x x e =--，当02x <<时，'()0g x <，()g x 递减；当2x >时，'()0g x >，()g x 递增. ∴2min 16()(2)23g x g e ==-+， ∴21623a e ≤-+，a 的最大值为21623e -+. （3）32()(3)xF x x x e =-，3'()(6)xF x x x e =-，令'()0F x <得6x <-或06x <<；令'()0F x >得60x -<<或6x >.∴当6x =±时，()f x 取得极小值，当0x =时，()f x 取得极大值. ∵6(6)6(63)F e --=--,6(6)(6618)F e=-,∴(6)(6)0F F <-<.令()0F x =得0x =或3x =.∴0.562t t ≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩或5326t t ⎧+=⎪⎨⎪≤⎩，∴51[6,0]{}22t ∈-∪.。
【全国市级联考】河北省邢台市2018届高三上学期第一次月考数学(理)试题
第1页 共6页 第2页 共6页绝密★启用前【全国市级联考】河北省邢台市2018届高三上学期第一次月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、复数的共轭复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．2、已知全集，集合，若的元素的个数为4，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．3、已知函数，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、在等差数列中，，且，则等于（ ）A ．－3B ．－2C ．0D ．15、下列函数中，在上与函数的单调性和奇偶性都相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．6、若，则（ ）A ．B ．C ．D ．7、已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）A ．12B ．C ．D ．28、已知定义在的函数的图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）A ．B ．C ．D ．,9、将函数的图象向右平移个单位后，得到新函数图象的对称轴方程为（ ）第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页A ．B ．C ．D ．10、在中，为边上一点，且，向量与向量共线，若，，，则（ ）A ．3B ．C ．2D ．11、已知函数，给出下列两个命题：命题，. 命题若对恒成立，则.那么，下列命题为真命题的是（ ） A ．B ．C ．D ．12、设为正项数列的前项和，， ，记则（ ）A ．10B ．11C ．20D ．21第5页 共6页 第6页 共6页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、记函数，的定义域分别为，则__________．14、已知向量与向量是共线向量，则__________．15、若，，，则__________．16、在中，，，，点分别在边上，且，沿着将折起至的位置，使得平面平面，其中点为点翻折后对应的点，则当四棱锥的体积取得最大值时，的长为__________.三、解答题（题型注释）17、在中，角的对边分别是，且，.（1）求角的大小；（2）若，，的面积为，求.18、在中，角的对边分别是，已知.（1）证明：；（2）若，求的最小值.19、已知正项数列是公差为2的等差数列，且24是与的等比中项.（1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和.20、设函数，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）若关于的方程在上有解，求的取值范围.21、将函数的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图象.已知函数.（1）若函数在区间上的最大值为，求的值；（2）设函数，证明：对任意，都存在，使得在上恒成立.22、已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，恒成立，求的最大值；（3）设，若在的值域为，求的取值范围.（提示：，）参考答案1、D2、A3、B4、A5、D6、A7、A8、B9、C10、B11、B12、C13、或14、或15、16、17、(1)；(2).18、(1)证明见解析；(2)2.19、(1)；(2).20、(1)答案见解析；(2).21、(1)；(2)证明见解析.22、(1)；(2)；(3).【解析】1、的共轭复数为，所以虚部为，选D.2、若的元素的个数为4，则本题选择A选项.3、若，则，则“”是“”的必要不充分条件.本题选择B选项.4、根据题意,设等差数列的公差为d,首项为a1，若,则有+4d=9，又由,则2(+2d )=(+d)+6，解可得d =3,=−3；故选：A.5、在上递增，在上递减，且为偶函数，而也具有相同的奇偶性和单调性.本题选择D选项.6、本题选择A选项.点睛：关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．7、画出约束条件表示的平面区域，如图所示：目标函数化为，由，解得，所以目标函数过点时取得最大值为，故选A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8、令，在递减，结合复合函数的单调性可知要求的单调递减区间即求的递增区间，且要满足，故由图可得的单调递减区间为 .本题选择B选项.9、令得即得到新函数图象的对称轴方程为.本题选择C 选项.点睛：由y ＝sin x 的图象，利用图象变换作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)(x ∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．10、取BC 的中点E ，则与向量共线，所以A 、D 、E 三点共线，即中边上的中线与高线重合，则.因为，所以G 为的重心，则所以本题选择B 选项.11、设函数当时，在上递增.当时，在上递减.又因为不等式左右的函数取得最值的条件不同，故p 为假命题.曲线表示经过定点（-2,0）斜率为a 的直线，结合函数的图象，可知故q 为真命题.从而为真命题.本题选择B 选项.12、是首项为2，公比为3的等比数列，，则当时，，则：，据此可得：.本题选择C 选项. 点睛：给出与的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .13、求解不等式：可得，求解不等式：可得：，则或.14、由向量共线的充要条件可得：，解得：，则：或，据此可得：或.15、由题意可得：，，.点睛：给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．16、由勾股定理易得：，设，则，而△AED ∽△ABC ，故，四棱锥的体积：，求导可得：，当时，单调递增；当时，单调递减；故当时，取得最大值.17、试题分析：(1)利用正弦定理边化角，据此可得，结合为锐角可得.(2)利用余弦定理可得，利用面积公式可得，则. 试题解析：（1）∵，∴，，∴，∵，∴为锐角，∴.(2)∵，∴.又，∴.18、试题分析：(1)利用正弦定理边化角，结合余弦定理即可证得题中的结论；(2)由题意结合余弦定理可得，∴的最小值为2.试题解析：(1)证明：由及正弦定理得，，又，∴，∴，即.(2)∵，∴，由余弦定理得，∴，∴的最小值为2.19、试题分析：(1)由题意结合题意可得，则数列的通项公式为；(2)结合(1)的结论裂项求和可得数列的前项和.试题解析：(1)∵数列是公差为2的等差数列，∴，∴，∴，.又是与的等比中项，∴，∴解得 (不合舍去)，故数列的通项公式为.(2)∵，∴，∴.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．20、试题分析：(1)结合导函数分类讨论和两种情况即可确定函数的单调性；(2)构造函数，讨论函数在区间上的值域即可确定的取值范围是.试题解析：(1)，当时，，函数在上单调递减.当时，由，解得或（舍），∴当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)由得，设，，当时，；当时，.∴.又，，∴，∴的取值范围为.21、试题分析：(1)构造函数，分类讨论函数的最大值可得.(2)由题意可知函数与的图象只有一个交点，结合交点横坐标的范围即可证得题中的结论. 试题解析：(1)由题可得，.，，，当即时，，此方程无实数解. 当即时，，∴，又，则不合题意.当即时，，∴.综上，.(2)∵在上递减，在上递增，在上递减，且，，∴与的图象只有一个交点.设这个交点的横坐标为，则由图可知，当时，，∴；当时，，∴. 故对任意，都存在，使得在上恒成立.22、试题分析：(1)首先求解导函数，利用导函数求得斜率即可求得切线方程；(2)结合题意构造新函数，讨论函数g(x)的最小值可得的最大值为.(3)构造函数，结合导函数的性质得到关于实数t的不等式组，求解不等式组可得的取值范围是.试题解析：(1)∵，∴，又，∴所求切线方程为，即.(2)当时，，即恒成立，设，，当时，，递减；当时，，递增.∴，∴，的最大值为.(3)，，令得或；令得或.∴当时，取得极小值，当时，取得极大值.∵,,∴.令得或.∴或，∴.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。
2018年全国卷3理科数学试题及参考答案
绝密★启用前试题类型：新课标Ⅲ2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}0,1,2B =，则A B = ( ) A ．{}0 B ．{}1 C ．{}1,2 D ．{}0,1,2 【答案】C【解析】:1A x ≥，{}1,2A B ∴= 【考点】交集2．()()12i i +-=( )A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i + 【答案】D【解析】()()21223i i i i i +-=+-=+【考点】复数的运算3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做榫头，凹进部分叫做卯眼，图中的木构件右边的小长方体是榫头. 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )【答案】A【解析】注意咬合，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小长方体的一个面，而B 答案能看见小长方体的上面和左面，C 答案至少能看见小长方体的左面和前面，D 答案本身就不对，外围轮廓不可能有缺失 【考点】三视图 4.若1sin 3α=，则cos 2α=( ) A ．89 B ．79 C ．79- D ．89- 【答案】B【解析】27cos 212sin 9αα=-= 【考点】余弦的二倍角公式5.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80 【答案】C【解析】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +项为：()521035522rr r r r r C x C x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭，故令2r =，则10345240r r r C x x -=【考点】二项式定理俯视方向D.C. B.A.6．直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于点,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是( )A ．[]2,6B ．[]4,8 C． D．⎡⎣【答案】A【解析】()()2,0,0,2A B --，AB ∴=，可设()2,P θθ+，则4P ABd πθ-⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭[]12,62ABP P AB P AB S AB d ∆--∴=⋅=∈ 注：P AB d -的范围也可以这样求：设圆心为O ，则()2,0O，故P AB O AB O AB d d d ---⎡∈+⎣，而O AB d -==，P AB d -∴∈ 【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数) 7．422y x x =-++的图像大致为( )【答案】DxxxxyyyyD.C.B.A.OO11OO111111【解析】()12f =，排除A 、B ；()32'42212y x x x x =-+=-，故函数在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭单增，排除C【考点】函数图像辨识(按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势、单调性(导数)的顺序来考虑)8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10为成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3 【答案】B【解析】由题意得X 服从二项分布，即()~10,X p ，由二项分布性质可得()101 2.4DX p p =-=，故0.4p =或0.6，而()()()()64446610104161P x C p p P x C p p ==-<==-即()221p p -<，故0.5p >0.6p ∴=【考点】二项分布及其方差公式9.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为2224a b c+-，则C =( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】2221sin 24ABCa b c S ab C ∆+-==，而222cos 2a b c C ab+-= 故12cos 1sin cos 242ab C ab C ab C ==，4C π∴= 【考点】三角形面积公式、余弦定理10.设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为D ABC -的体积最大值为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】如图，O为球心，F为等边ABC∆的重心，易知OF⊥底面ABC，当,,D O F三点共线，即DF⊥底面ABC时，三棱锥D ABC-的高最大，体积也最大. 此时：6ABCABCABS∆∆⎫⎪⇒==等边，在等边ABC∆中，233BF BE AB===，在Rt OFB∆中，易知2OF=，6DF∴=，故()max163D ABCV-=⨯=【考点】外接球、椎体体积最值11.设12,F F是双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左，右焦点，O是坐标原点，过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若1PF=，则C的离心率为( )AB．2CD【答案】C【解析】渐近线OP的方程为：by xa=，利用点到直线的距离公式可求得2PF b=，(此结论可作为二级结论来记忆)，在Rt ABC∆中，易得OP a=，1PF∴=，在1POF∆中，由余弦定理可得：22216cos2a c aPOFac+-∠=，又2cosaPOFc∠= 22262a c a aac c+-∴+=，故cea==【考点】双曲线几何性质、余弦定理解三角形OF ECBAD12. 设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则( )A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+ 【答案】B【解析】首先由0.2log y x =单调递减可知0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21a =<=<=，同理可知21b -<<-，0,0a b ab ∴+<<，排除C 、D 其次：利用作商法：0.30.30.311log 0.2log 2log 0.41a b ab a b+=+=+=<(注意到0ab <) a b ab ∴+>【考点】利用对数函数单调性确定对数范围、作商法比较大小 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量()1,2a = ，()2,2b =- ，()1,c λ=. 若()//2c a b + ，则_______.λ= 【答案】12【解析】()24,2a b +=，故24λ=【考点】向量平行的坐标运算14. 曲线()1xy ax e =+在点()0,1处的切线斜率为2-，则______.a =【答案】3-【解析】()'1x xy ae ax e =++，12k a ∴=+=-【考点】切线斜率的计算方法15.函数()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,π的零点个数为_________.【答案】3【解析】[]0,x π∈，3,3666t x ππππ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，由cos y t =图像可知，当35,,222t πππ=时cos 0t =，即()f x 有三个零点 或者：令362x k πππ+=+，则93k x ππ=+，当0,1,2k =时，[]0,x π∈，故3个零点【考点】换元法(整体法)、余弦函数的图像与性质16. 已知点()1,1M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与抛物线交于,A B 两点，若90AMB ∠= ，则_______.k =【答案】2 【解析】(1) 常规解法：设直线方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩可求121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，由()()12121212110MB MA y y y y x x x x ⋅=-++++++= ，可得12m =，故2k =(2) 二级结论：以焦点弦为直径的圆与准线相切设AB 中点为N ，则由二级结论可知NM ⊥准线，1N M y y ∴==，故22A B N y y y +==，由点差法可得，42A B k y y ==+ 进一步可得二级结论：AB M k y p ⋅=【考点】直线与抛物线联立(二级结论、点差法)三.解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.. 第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分. 17. (12分)等比数列{}n a 中，1531,4a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和. 若63m S =，求m . 【答案】(1)12n n a -=或()12n n a -=-；(2)6m =【解析】(1)25334a a a q ==，2q ∴=±，∴12n n a -=或()12n n a -=-(2) 当2q =时，()()112631mmS -==-，解得6m =当2q =-时，()()112633mm S --==，得()2188m-=-无解综上：6m =【考点】等比数列通项公式与前n 项和公式 18. (12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式8655689 9 7 627012234 5 6 6 89 8 7 7 6 5 4 3 3281445 2 11 009(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式 第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥ 0.0500.010 0.001k3.8416.63510.828【答案】(1)第二组生产方式效率更高；(2)见解析；(3)有；【解析】(1)第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在70min~80min 之间，而第一组数据集中在80min~90min 之间，故可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值，事实上168727677798283838485868787888990909191928420E +++++++++++++++++++==同理274.7E =，21E E < ，故第二组生产方式效率更高 (2)由茎叶图可知，中位数7981802m +==，且列联表为：超过m 不超过m第一种生产方式15 5 第二种生产方式515(3)由(2)可知()22224015510 6.63520202020K -==>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验 19．(12分)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在的平面垂直，M 是CD 上异于,C D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC -体积的最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.【答案】(1)见解析； 【解析】(1)ABCD CDM BC DCM BC DM DM BMC ADN BMC BC CD MC DM ⎫⊥⎫⇒⊥⇒⊥⎬⎪⇒⊥⇒⊥⊥⎬⎭⎪⊥⎭(这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试还需要写一些具体的内容)(2)ABC S ∆ 恒定，故要使M ABC V -最大，则M ABC d -最大，结合图象可知M 为弧 CD中点时，M ABC V -最大. 此时取CD 的中点O ，则MO DC ⊥，故MO ⊥面ABCD ，故可建立如图所示空间直角坐标系 则：()0,0,1M ，()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0C ，()0,1,0D -MBCDA()()0,2,0,2,1,1AB MA ==--，∴平面MAB 的法向量为()11,0,2n = ，易知平面MCD 的法向量为()21,0,0n =，故12cos ,5n n <>== ， ∴面MAB 与面MCD【考点】面面垂直的判定、三棱锥体积最值、二面角的求法 20. (12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >.(1)证明：12k <-； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=. 证明,,FA FP FB 成等差数列，并求该数列的公差. 【答案】(1)见解析；(2)28d =±【解析】(1) 点差法：设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减化简可得： 1212121234y y y y x x x x -+⋅=--+，34OM AB k k ⋅=-(此公式可以作为点差法的二级结论在选填题中直接用)，34m k ∴=-，易知中点M 在椭圆内，21143m +<，代入可得12k <-或12k >，又0m >，0k ∴<，综上12k <-联立法：设直线方程为y kx n =+，且()()1122,,,A x y B x y ，联立22143x y y kx n⎧⎪+=⎨⎪=+⎩可得，()2224384120k x knx n +++-=，则122212284341243kn x x k n x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()121226243ny y k x x n k +=++=+224143343M M kn x k n y m k -⎧==⎪⎪+∴⎨⎪==⎪+⎩，两式相除可得34m k =-，后续过程和点差法一样(如果用∆算的话比较麻烦)(2) 0FP FA FB ++= ，20FP FM ∴+= ，即()1,2P m -，214143m ∴+=，()304m m ∴=>∴71,4k n m k =-=-=，由(1)得联立后方程为2171404x x -+=，1,2114x ∴=±， ()22121223c a c a cFA FB x x a x x a c a c a ⎛⎫⎛⎫∴+=-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(此处用了椭圆的第二定义，否则需要硬算，计算量太大)而32FP =2FA FB FP ∴+=故,,FA FP FB成等差数列.221212214c a c a c d FA FB x x x x a c a c a ⎛⎫⎛⎫=±-=±---=±-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭28d ∴=±【考点】点差法、直线与椭圆联立求解、等差数列、椭圆的第二定义21. (12分)已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-.(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >，()0f x >； (2)若0x =是()f x 的极大值点，求a . 【答案】(1)见解析；(2)16a =-【解析】(1)常规方法：当0a =时，()()()()2ln 121f x x x x x =++->-，()()1'ln 111f x x x∴=++-+ ()()2''1xf x x ∴=+，当10x -<<时，()''0f x <；当0x >时，()''0f x >()'f x ∴在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上单调递增，而()'00f =， ∴()'0f x ≥恒成立，()f x ∴单调递增，又()00f = ∴当10x -<<时，()0f x <；当0x >，()0f x >改进方法：若0a =，则()()()()()22ln 122ln 12x f x x x x x x x ⎡⎤=++-=++-⎢⎥+⎣⎦令()()2ln 12x g x x x =+-+，则()()()()22214'01212x g x x x x x =-=>++++ 所以()g x 在()0,+∞单增，又因为()00g = 故当10x -<<时，()()00g x g <=，即()0f x <； 当0x >时，()()00g x g >=，即()0f x >；方法对比：若直接求导，那么完全处理掉对数经常需要二次求导，而方法二提出()2x +之后对数单独存在，一次求导就可消掉对数(2) 方法一：极大值点的第二充要条件：已知函数y =()f x 在0x x =处各阶导数都存在且连续，0x x =是函数的极大值点的一个充要条件为前21n -阶导数等于0，第2n 阶导数小于0()()()22ln 12f x x ax x x =+++-()()()21'21ln 111ax f x ax x x +∴=+++-+，()'00f ∴=()()()2234''2ln 11ax ax xf x a x x ++∴=+++，()''00f ∴=()()232661'''1ax ax x a f x x +-++∴=+0x =是()f x 的极大值点，()'''0610f a ∴=+=，16a ∴=-，下证：当16a =-时，0x =是()f x 的极大值点，()()()3163'''1x x f x x -+=+，所以()''f x 在()1,0-单增，在()0,+∞单减 进而有()()''''00f x f ≤=，从而()'f x 在()1,-+∞单减，当()1,0x ∈-时，()()''00f x f >=，当()0,x ∈+∞时，()()''00f x f <= 从而()f x 在()1,0-单增，在()0,+∞单减，所以0x =是()f x 的极大值点.方法二： 0x =是()f x 的极大值点，所以存在0δ>，使得在()(),00,δδ- ，()()00f x f <=，即()()22ln 120x ax x x +++-<当()0,x δ∈时，()ln 10x +>，故()()()()2222ln 122ln 1ln 1xx x x x x a x x x +--+-++<=+，当(),0x δ∈-时，()ln 10x +<，故()()()222ln 1ln 1x x x a x x -++>+即()()()()()()()()()()()22000022ln 11ln 1limlimln 121ln 11ln 111lim lim 42642ln 144ln 141x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x x x x x →→→→-++-++==++++--++===-++++++++(洛必达法则，极限思想)【考点】导数的应用(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修44-：坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于,A B 两点.(1) 求α的取值范围；(2) 求AB 中点P 的轨迹的参数方程.【答案】(1)3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；(2)23,,44222x y αππαα⎧=⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎪⎩【解析】(1)当2πα=时，直线:0l x =，符合题意；当2πα≠时，设直线:l y kx =-1d =<，即()(),11,k ∈-∞-+∞ ，又tan k α=，3,,4224ππππα⎛⎫⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(2)可设直线参数方程为cos 3,44sin x t y t αππαα=⎧⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎪⎝⎭⎩，代入圆的方程可得：2sin 10t α-+=122P t t t α+∴==cos 3,44sin x y ααππααα⎧=⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎪⎩即点P的轨迹的参数方程为23sin 2,,244x y ππααα⎧⎛⎫=⎪⎛⎫∈⎨⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎩(也可以设直线的普通方程联立去做，但是要注意讨论斜率不存在的情况) 【考点】参数方程、直线的斜率，轨迹方程23. 选修45-：不等式选讲(10分)已知函数()211f x x x =++-. (1)画出()y f x =的图像；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值. 【答案】(1)见解析；(2)5【解析】(1)()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩，图象如下(2)由题意得，当0x ≥时，ax b +的图象始终在()f x 图象的上方，结合(1)中图象可知，3,2a b ≥≥，当3,2a b ==时，a b +最小，最小值为5， 【考点】零点分段求解析式、用函数图象解决恒成立问题xy21.531-0.5O。
2018年高考全国一卷理科数学答案及解析
2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。
1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。
B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(1、2、3卷)参考答案
2502018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 CBABD ABDCA BA第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分）13．6 14．63- 15．16 16．2-三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分） 解：（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，∴sin =5ADB ∠.由题设知，90ADB ∠<︒，∴cos ADB ∠==.（2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC=+-⋅∠25825255=+-⨯⨯=.∴5BC =.18．（本小题满分12分） 解：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，∴BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ， ∴平面PEF ⊥平面ABFD . （2）作PH ⊥EF ，垂足为H . 由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz .由（1）可得，DE ⊥PE .又DP =2，DE =1，∴PE.又PF =1，EF =2，∴PE ⊥PF .可得3,22PH EH ==，且3(0,0,0),(0,0,1,,0)22H P D -，3(1,22DP =．3(0,0,)2HP =为平面ABFD 的法向量．设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则3sin 4HP DP HP DPθ⋅==⋅. ∴DP 与平面ABFD所成角的正弦值为4． 19．（本小题满分12分） 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1. 由已知可得，点A的坐标为(1,)2或(1,2-． ∴AM 的方程为20x -=或20x --=．（2）当l 与x 轴重合时， 0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴OMA OMB ∠=∠．251当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，且11(,)A x y ，22(,)B x y，则12x x MA ，MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--． 由1122,y kx k y kx k =-=-得 []()()12121223()422MA MB k x x x x k k x x -+++=--．将(1)(0)y k x k =-≠代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=． ∴22121222422=,2121k k x x x x k k -+=++，∴[]121223()4k x x x x -++3332441284021k k k k k k --++==+． 从而0MA MB k k +=，∴MA ，MB 的倾斜角互补， ∴OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠． 20．（本小题满分12分） 解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()(1)f p C p p =-，且 21821720()[2(1)18(1)]f p C p p p p '=---217202(110)(1)C p p p =--．令()0f p '=，得0.1p =． 当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>； 当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<． ∴()f p 的最大值点为0.1p =． （2）由（1）知，0.1p =．（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)Y B ，202254025X Y Y =⨯+=+．∴(4025)4025490EX E Y EY =+=+=．（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元． 由于400EX >，∴应该对余下的产品作检验． 21．（本小题满分12分）解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，且22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-．（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2,1a x ==时，()0f x '=， ∴()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x -=或2a x +=.当2a a x ⎛⎛⎫+∈+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当x∈⎝⎭时，()0f x '>. ∴()f x 在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在⎝⎭单调递增．（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点时，当且仅当2a >．由于()f x 的两个极值点12,x x 满足21=0x a x -+，∴121x x =，不妨设12x x <，则21x >． 1212()()f x f x x x --121212ln ln 11x x a x x x x -=--+-1212ln ln 2x x a x x -=-+-2522222ln 21x ax x -=-+-，∴1212()()2f x f x a x x -<--等价于 22212ln 0x x x -+<． 设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)=0g ，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <． ∴22212ln 0x x x -+<，即 1212()()2f x f x a x x -<--．（二）选考题：22. （本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]解:（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，2=，解得43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为423y x =-+．23．（本小题满分10分） [选修4—5：不等式选讲] 解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即2(1),()2(11),2(1).x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩∴不等式()1f x >的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭． （2）当(0,1)x ∈时11x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时1ax -<1成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时1ax -≥1； 若a >0，1ax -<1的解集为20x a<<，∴21a≥，∴02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．2532018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 DABBA ABCCA CD第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分） 13．2y x = 14．9 15．12-16．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分）解：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．∴{a n }的通项公式为a n =2n –9．（2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．∴当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．18．（本小题满分12分）解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：（i ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y =–30.4+13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．（本小题满分12分）解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为为(1)(0)y k x k =-≠． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由2(1),4y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++=． ∴ 216160k ∆=+>，212224=k x x k++． ∴AB AF BF =+212244(1)(+1)=k x x k +=++．由题设知2244=8k k+，解得k =–1（舍去），k =1．∴l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），∴AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+． 设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005,(1)(1)16,2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩∴所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 20．（本小题满分12分） 解：（1）∵4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且OP =254连结OB .因为2AB BC AC ==，所以ABC ∆为等腰直角三角形，且OB AC ⊥，122OB AC ==．由222OP OB PB +=知OP OB ⊥． 由OP OB ⊥，OP AC ⊥知 OP ⊥平面ABC ．（2）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)O B A -，(0,2,0)C，(0,0,P ，(0,2,AP =．取平面P AC 的法向量(2,0,0)OB =． 设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-．设平面P AM 的法向量为(,,)x y z m =．由0,0,AP AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即20,(4)0y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩得,).y a x z a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取),,)a a -m =．所以cos OB <>=m,由已知得cos 2OB <>=m,．=． 解得4a =或4a=-（舍去）.∴4(,)333-m =．又∵(0,2,PC =-，∴3cos PC <>=m, ∴PC 与平面P AM 所成角的正弦值为4． 21．（本小题满分12分）解：（1）当a =1时，()1f x ≥等价于2(1)10x x e -+-≤．设函数2()(1)1xg x x e-=+-，则22()(21)(1)x x g x x x e x e --'=--+=--． 当1x ≠时，()0g x '<， ∴()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0g =，∴当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．（2）设函数2()1x h x ax e -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（ii ）当a >0时，()(2)x h x ax x e -'=-．当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>．∴()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．∴2(2)14h ae -=-是()h x 在[0,)+∞的最小值．①若(2)0h >，即214a e <，()h x 在255(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即214a e =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即214a e >，由于(0)1h =，∴()h x 在(0,2)内有一个零点， 由（1）知，当0x >时，2x e x >，∴334221616(4)11()a a a a h a e e =-=-34161110(2)a a a>-=->．∴()h x 在(2,4)a 内有一个零点， ∴()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，214a e =．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程] 解：（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为 (tan )2tan y x αα=+-． 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为x =1． （2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos t αα+++ sin )80t α-=．①∵曲线C 截直线所得线段的中点(1,2)在C 内，∴方程①有两个解12,t t ，且1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+． 由参数t 的几何意义得120t t +=．∴2cos sin 0αα+=，于是直线的斜率tan 2k α==-． 22．（本小题满分10分） [选修4—5：不等式选讲] 解：（1）当a =1时，24(1),()2(12),26(2).x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩当1x ≤-时，由()240f x x =+≥得2x ≥-，即21x -≤≤-；当12x -<≤时，()20f x =>； 当2x >时，由()260f x x =-+≥得 3x ≤，即23x <≤． 综上可得()0f x ≥的解集为[]2,3-． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥． 而22x a x a ++-≥+，且当x=2时等号成立．∴()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥． ∴a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞．2562018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 CDABC ADBCB CB第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分） 13．1214．3- 15．3 16．2 （一）必考题：共60分. 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合） 1．C解：∵{}[)101,A x x =-≥=+∞，{}012B =，，， ∴ {}1,2AB =，∴选C ．2．D解：∵()()212223i i i i i i +-=-+-=+， ∴选D ． 3．A解：选A ． 4．B解：由已知条件，得2217cos 212sin 1239αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，∴选B ．5．C解：由已知条件，得 251031552()2rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1034r -=，解得2r =， x 4的系数为22552240rr C C ==， ∴选C ．6．A解：由已知条件，得(2,0),(0,2)A B --，∴||AB == 圆22(2)2x y -+=的圆心为(2,0)，∴圆心到直线20x y ++=的距离为= ∴点P 到直线20x y ++=的距离的取值范围为d ≤≤+d ≤≤，∴1||[2,6]2ABP S AB d ∆=⋅∈.∴选A ． 7．D解：令0x =，得2y =，∴A,B 不能选. 令321424()02y x x x x '=-+=-->，得2x <-或02x <<，即函数在0⎛ ⎝⎭内单调递增， ∴选D ． 8．B解：由已知条件知，X ～B (10,p )，且 10p (1－p )=2.4，解得p =0.6或p =0.4． 又由P （X=4）< P （X=6）得，即4466641010(1)(1)C p p C p p -<-，0.5p >，∴p =0.6． ∴选B ． 9．C解：由已知条件，得2222cos 44ABC a b c ab CS ∆+-==cos 1sin 22ab C ab C ==，即tan 1C =，∴4C π=．∴选C ． 10．B解：如图，ABC ∆为等边三角形，点O 为,,,A B C D 外接球的球心，E 为ABC ∆的重心，点F 为边BC 的中点.当点D 在EO 的延长上，即DE ⊥面ABC 时，三棱锥D ABC -体积取得最大值．V =，5分，．1=2，x，且196π．257258当366x πππ≤+≤时有1个零点，3,629x x πππ+==；当326x πππ<+≤时有1个零点，343,629x x πππ+==； 当192366x πππ<+≤时有1个零点，573=,629x x πππ+=． ∴零点个数为3，∴填3． 16．2解：由已知条件知，抛物线C 的焦点为(1,0)F ． 设22121212(,),(,)()44y yA yB y y y ≠，则由A ,F ,B 三点共线，得221221(1)(1)44y y y y -=-，∴12=4y y -． ∵∠AMB =90º，∴221212(1,1)(1,1)44y y MA MB y y ⋅=+-⋅+-，221212(1)(1)(1)(1)44y y y y =+++-⋅-2121(2)04y y =+-=， ∴12=2y y +．∴212221124244y y k y y y y -===+-，∴填2． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（本小题满分12分） 解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则由534a a =，得2534a q a ==，解得2q =±. ∴12n n a -=或1(2)n n a -=-.（2）由（1）知，122112nn n S -==--或1(2)1[1(2)]123n n n S +-==--+，∴2163mm S =-=或1[1(2)]633m m S =--=（舍）， ∴6m =.18．（本小题满分12分） 解：（1）第一种生产方式的平均数为184X =，第二种生产方式平均数为274.7X =，∴12X X >，∴第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，即第二种生产方式的效率更高. （2）由茎叶图数据得到中位数80m =，∴列联表为（3）()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()24015155510 6.63520202020⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19．（本小题满分12分） 解：（1）由已知条件知，在正方形ABCD 中，AD CD ⊥.∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ，平面ABCD 半圆面CMD CD =， ∴AD ⊥半圆面CMD .∵CM 在平面CMD 内，∴AD CM ⊥，即CM AD ⊥.259OM (0,0,1)(0,-1,0)0)又∵M 是CD 上异于C ，D 的点， ∴CM MD ⊥.又∵AD DM D =， ∴CM ⊥平面AMD ， ∵CM 在平面BMC 内，∴平面AMD ⊥平面（2）由条件知，2ABC S ∆=是常数， ∴当点M 到平面ABCD 的距离.最大，即点M 为弧CD 的中点时，三棱锥M – ABC 体积最大.如图，以CD 中点O 为原点，过点O 且平行于AD 的直线为x 轴，OC ，OM 所在直线为y ,Z 轴建立空间直角坐标系O-xyz ,则由已知条件知，相关点的坐标为 A(2,-1,0),B(2,1,0),M(0,0,1) ，且(0,2,0)AB =，(2,1,1)MA =--.由（1）知，平面MCD 的法向量为(1,0,0)=m .令平面MXB 的法向量为(,,)x y z =n ，则(,,)(0,2,0)=20,(,,)(2,1,1)20AB x y z y MA x y z x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅--=--=⎪⎩，n n 即0,2y z x ==， ∴取(1,0,2)=n.∴cos ,⋅<>==⋅m nm n m n ，∴sin ,5<>=m n ，即面MAB 与MCD 所成二面角的正弦值.为5.20．（本小题满分12分）解：（1）设直线l 的方程为y kx t =+，则由22,143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得222(43)84120k x ktx t +++-=，①由22226416(43)(3)0k t k t ∆=-+->，得2243t k <+．②设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是方程①的两个根，且122843ktx x k -+=+，121226()243ty y k x x t k +=++=+． ∵线段AB 的中点为()()10M m m >，， ∴1228243ktx x k -+==+，121226()2243ty y k x x t m k +=++==+． ∵0m >，∴0t >，0k <，且2434k t k+=-.③由②③得22243434k k k ⎛⎫+-<+ ⎪⎝⎭，解得12k >或12k <-.∵0k <，∴12k <-.（2）∵点()()10M m m >，是线段AB 的中点，且FP FA FB ++=0，∴2FP FM +=0，即2FP FM =-.④ 由已知条件知，()()10M m m >，，()10F ，.令(,)P x y ，则由④得：(1,)2(0,)x y m -=-，即1,2x y m ==-， ∴P 的坐标为(1,2)m -.由于点P 在椭圆上，得214143m +=，解得26034m =或34m =-（舍去），且3(1,)2P -.又222211221,14343x y x y +=+=， ∴两式相减，得2112211234y y x xx x y y -+=--+. 又12123=2,22x x y y m ++==，∴21122112314y y x xk x x y y -+==-=--+， 243744k t k +=-=，∴直线l 的方程为74y x =-+. 将71,4k t =-=代入方程①，得 2285610x x -+=，解得121,11414x x =-=+，1233414414y y =+=-.∴3(2FA x ==+， 32FP =,3(2FB x == ∴=2FA FB FP +，即,,FA FP FB 成等差数列，且该数列的公差28d =±． 另解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=， 两式相减，得2112211234y y x xk x x y y -+==--+. ∵线段AB 的中点为()()10M m m >，， ∴122x x +=，122y y m +=，34k m=-． 由点()()10M m m >，在椭圆内得21143m +<，即302m <<． ∴12k <-.（2）由题设知(1,0)F .令(,)P x y ，则由FP FA FB ++=0得1122(1,)(1,)(1,)(0,0)x y x y x y -+-+-=，∴1212=3(),()x x x y y y -+=-+. 由得=1,2x y m =-<0. ∴P 的坐标为(1,2)m -.由于点P 在椭圆上，得214143m +=，解得34m =或34m =-（舍去），且3(1,)2P -，且32FP =. (FA x =122x=-，同理222xFB =-.∴12=2222x xFA FB +-+-124322x xFP +=-==，即,,FA FP FB 成等差数列．把34m =代入34k m =-得1k =-，且3(1,)4M∴直线l 的方程为74y x =-+. 把直线方程与椭圆方程联立，消去y 得：2285610x x -+=，于是有121212,28x x x x +==．设成等差数列的公差为d ，则26121122d FB FA x x =-=-==， d =±21．（本小题满分12分）解：由条件知，函数()f x 的定义域为(1,)-+∞．（1）若0a =，则函数()(2)ln(1)2f x x x x =++-，且1()ln(1)11f x x x'=++-+， 2211()1(1)(1)xf x x x x ''=-=+++． ∴(0)0f =，(0)0f '=，(0)0f ''=． ∴当10x -<<时，()0f x ''<，∴当10x -<<时，()f x '单调递减． ∴()(0)0f x f ''>=，∴当10x -<<时，()f x 单调递增， ∴()(0)0f x f <=，即()0f x <． 当x > 0时，()0f x ''>，∴当x > 0时， ()f x '单调递增．∴()(0)0f x f ''>=，∴当x > 0时，()f x 单调递增， ∴()(0)0f x f >=，即()0f x >． 综上可得，当10x -<<时，()f x <0； 当x > 0时，()0f x >． （2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当x >0时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与x=0是()f x 的极大值点矛盾．（ii ）若0a <，设函数2()()2f x g x x ax =++22ln(1)2xx x ax =+-++． 由于当min x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，220x ax ++>， ∴()g x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0g f ==，∴0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()g x 的极大值点．22212(2)2(12)()12x ax x ax g x x x ax ++-+'=-+++（） 22222(461)(1)(2)x a x ax a x x ax +++=+++． 如果610a +>，则当6104a x a+<<-，且m i n 1,x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，()0g x '>，∴0x =不是()g x 的极大值点．如果610a +<，则22461=0a x ax a +++存在根10x <．∴当1(,0)x x ∈，且m in 1,x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，()0g x '<，∴0x =不是()g x 的极大值点． 如果61=0a +，则322(24)()(1)(612)x x g x x x x -'=+--．当(1,0)x ∈-时，()0g x '>； 当(0,1)x ∈时，()0g x '<. ∴0x =是()g x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点．综上，16a =-．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。
河北省邢台市高三上期末数学测试卷(理)(含答案)
2018-2019学年河北省邢台市高三（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合A={x |x 2﹣6x +8＜0}，集合B={x ∈N |y=}，则A ∩B=（ ）A ．{3}B ．{1，3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．若z=1﹣2i ，则复数﹣|z ﹣1|在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若sin α=﹣，α为第三象限的角，则cos （）等于（ ）A ．B ．C ．﹣D ．4．某学生在上学路上要经过3个路口，假设在各路口是否遇到红灯时相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是1分钟，则这名学生在上学路上遇到红灯停留的总时间至多是2分钟的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知在△ABC 中，∠A=60°，D 为AC 上一点，且BD=3， •=•，则•等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为（ ）A ．64B ．73C ．512D ．5857．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．8．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为﹣1的直线，且l与此双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若=，则此双曲线的离心率为（ ）A．B．2C．D．9．若函数y=sinωx能够在某个长度为1的区间上至少两次获得最大值1，且区间[﹣，]上为增函数，则正整数ω的值为（ ）A．6B．7C．8D．910．（x2﹣x+ay）7的展开式中，x7y2的系数为﹣，则a等于（ ）A．﹣2B．C．±2D．±11．棱长为a的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，并且图中三角形（正四面体的截面）的面积是3，则a等于（ ）A．2B．C．2D．12．设函数f（x）=，若曲线y=sinx+上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0成立，则实数a的取值范围为（ ）A．[0，e2﹣e+1]B．[0，e2+e﹣1]C．[0，e2﹣e﹣1]D．[0，e2+e+1]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数g（x）=sinx•log2（+x）为偶函数，则t= ．14．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x2+y2的取值范围是 ．15．已知点A是抛物线y2=2px上的一点，F为其焦点，若以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，且△FBC为正三角形，当△ABC的面积是时，则抛物线的方程为 ．16．已知a，b，c是△ABC的三边，且b2﹣2a﹣b﹣2c=0，2a+b﹣2c+1=0，则△ABC的最大角的余弦值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分）（22、23、24题任选一题作答，每题10分）17．已知等差数列{a n}的前5项的和为55，且a6+a7=36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列b n=，且数列{b n}的前n项和为S n，证明：S n＜．18．近日有媒体在全国范围开展“2015年国人年度感受”的调查，在某城市广场有记者随机访问10个步行的路人，其年龄的茎叶图如下：（1）求这些路人年龄的中位数与方差；（2）若从40岁以上的路人中，随机抽取3人，其中50岁以上的路人数为X，求X的数学期望．19．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=4．（1）求证：CE∥平面PAB；（2）若F为PC的中点，求AF与平面AEC所成角的正弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F在x轴上，D为短轴上一个端点，且△DOF的内切圆的半径为，离心率e是方程2x2﹣5x+2=0的一个根．（1）求椭圆C的方程；（2）设过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点作直线l∥AB交椭圆C于M，N两点，是否存在常数λ，使得|AB|2=λ|MN|？若存在，请求出λ；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=的最大值为1．（1）求实数a的值；（2）如果函数m（x），n（x）在公共定义域D上，满足m（x）＜n（x），那么就称n（x）为m（x）的“线上函数”，若p（x）=，q（x）=（x＞1），求证：q（x）是p（x）的“线上函数”．四、选择作答（请考生在22、23、24三题中任选一题作答，作答时请写清题号，10分）选修4-1：几何证明选讲22．如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A．（1）若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，求CE的长；（2）若=， =，求的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标线中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系．已知直线与椭圆的极坐标方程分别为l：cosθ+2sinθ=0，C：ρ2=．（1）求直线与椭圆的直角坐标方程；（2）若P是椭圆C上的一个动点，求P到直线l距离的最大值．选修4-5：不等式选讲24．不等式|2x﹣1|﹣|x+1|＜2的解集为{x|a＜x＜b}．（1）求a，b的值；（2）已知x＞y＞z，求证：存在实数k使﹣+≥恒成立，并求出k的最大值． 2018-2019学年河北省邢台市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合A={x|x2﹣6x+8＜0}，集合B={x∈N|y=}，则A∩B=（ ）A．{3}B．{1，3}C．{1，2}D．{1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围，找出正整数解确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣4）＜0，解得：2＜x＜4，即A=（2，4），由B中y=，x∈N，得到3﹣x≥0，x∈N，解得：x≤3，x∈N，即B={0，1，2，3}，则A∩B={3}，故选：A．2．若z=1﹣2i，则复数﹣|z﹣1|在复平面上对应的点在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、几何意义即可得出．【解答】解：∵z=1﹣2i，则复数﹣|z﹣1|=﹣|1﹣2i﹣1|=﹣2=﹣2=+i，在复平面上对应的点在第二象限．故选：B．3．若sinα=﹣，α为第三象限的角，则cos（）等于（ ）A．B．C．﹣D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，求得cos（）的值．【解答】解：∵sinα=﹣，α为第三象限的角，∴cosα=﹣=﹣，则cos（）=cosαcos﹣sinαsin=﹣•﹣（﹣）•=，故选为：D．4．某学生在上学路上要经过3个路口，假设在各路口是否遇到红灯时相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是1分钟，则这名学生在上学路上遇到红灯停留的总时间至多是2分钟的概率为（ ）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】这名学生在上学路上遇到红灯停留的总时间至多是2分钟共包括三种情况，一是没有遇到红灯，二是遇到一次，三是遇到二次，分别求出三种情况的概率，然后代入互斥事件概率加法公式即可得到答案．【解答】解：设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2min为事件A，这名学生在上学路上遇到k次红灯的事件A k（k=0，1，2）．则由题意，得：P（A0）=（）3=，P（B1）=，P（B2）=．由于事件A等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，∴事件B的概率为P（B0）+P（B1）+P（B2）=．故选：A．5．已知在△ABC中，∠A=60°，D为AC上一点，且BD=3，•=•，则•等于（ ）A．1B．2C．3D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可画出图形，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，并设AD=m，这样根据便可得到，从而得到m=，这样在△ABD中由余弦定理便可建立关于c的方程，可解出c=，从而有m=，然后进行数量积的计算便可求出的值．【解答】解：如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设AD=m；∵∠A=60°，∴由得：；∴；又BD=3，∴在△ABD中由余弦定理得：；∴，m=；∴．故选：C．6．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（ ）A．64B．73C．512D．585【考点】程序框图．【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到满足条件输出S，结束循环，得到所求．【解答】解：经过第一次循环得到S=0+13，不满足S≥50，x=2，执行第二次循环得到S=13+23，不满足S≥50，x=4，执行第三次循环得到S=13+23+43=73，满足判断框的条件，退出循环，执行“是”，输出S=73．故选B．7．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是三棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是三棱锥，底面是底边长为2，高为2的等腰三角形，三棱锥的一条侧棱垂直底面，高为2．三棱锥的体积为： ==．故选D．8．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为﹣1的直线，且l与此双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若=，则此双曲线的离心率为（ ）A．B．2C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把B，C表示出来，再由向量共线的坐标表示，求出b，c与a的关系，即可求双曲线的离心率．【解答】解：设右焦点为F（c，0），过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为﹣1的直线为：y=﹣x+c，渐近线的方程是：y=±x，由得：B（，），由得，C（，﹣），所以=（﹣c，）=（，），=（﹣，﹣﹣）=（，﹣），又=，即有=•，化简可得b=a，由a2+b2=c2得， a2=c2，所以e==．故选：A．9．若函数y=sinωx能够在某个长度为1的区间上至少两次获得最大值1，且区间[﹣，]上为增函数，则正整数ω的值为（ ）A．6B．7C．8D．9【考点】正弦函数的图象．【分析】利用三角函数的图象和性质即可解答．【解答】解：函数y=sinωx能够在某个长度为1的区间上至少两次获得最大值1，∴三角函数的图象与性质可知：图象的周期的长度+个周期长度必须小于等于1；即：；解得：，由题意可知：ω只能取：8或9，又∵x∈[﹣，上为增函数．∴上为增函数．考查：ω=8和ω=9当ω=8时，使得函数区间[﹣，]上为增函数．故选：C．10．（x2﹣x+ay）7的展开式中，x7y2的系数为﹣，则a等于（ ）A．﹣2B．C．±2D．±【考点】二项式定理的应用．【分析】根据（x2﹣x﹣ay）7表示7个因式（x2﹣x﹣ay）的积，得出展开式中含x7y2项的系数由2个因式取y，其余的5个因式中有3个取x，有2个取x2，列出方程求出a的值．【解答】解：（x2﹣x+ay）7的展开式中，：（x2﹣x﹣ay）7表示7个因式（x2﹣x﹣ay）的积，故有2个因式取y，其余的5个因式中有3个取x，有2个取x2，可得出含x7y2项的系数；所以x7y2项的系数为•（﹣a）2••（﹣1）3•=﹣210a2=﹣，即a2=．∴a=±，故选：D．11．棱长为a的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，并且图中三角形（正四面体的截面）的面积是3，则a等于（ ）A．2B．C．2D．【考点】球内接多面体．【分析】将截面图转化为立体图，求三角形面积就是求正四面体中的△ABD的面积．【解答】解：如图球的截面图就是正四面体中的△ABD，已知正四面体棱长为a所以AD=a，AC=所以CD==a截面面积是：，∴a=2．故选：C．12．设函数f（x）=，若曲线y=sinx+上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0成立，则实数a的取值范围为（ ）A．[0，e2﹣e+1]B．[0，e2+e﹣1]C．[0，e2﹣e﹣1]D．[0，e2+e+1]【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的值．【分析】利用函数f（x）的单调性可以证明f（y0）=y0．令函数f（x）=x，化为a=x2﹣lnx﹣x．令h（x）=x2﹣lnx﹣x，利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=1时，y=sinx+取得最大值y=+=e，当sinx=﹣1时，y=sinx+取得最小值y=﹣+=﹣1，即函数y=sinx+的取值范围为[﹣1，e]，若y=sinx+上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0成立，则y0∈[﹣1，e]．且f（y0）=y0．若下面证明f（y0）=y0．假设f（y0）=c＞y0，则f（f（y0））=f（c）＞f（y0）=c＞y0，不满足f（f（y0））=y0．同理假设f（y0）=c＜y0，则不满足f（f（y0））=y0．综上可得：f（y0）=y0．y0∈[﹣1，e]．∵函数f（x）=，的定义域为（0，+∞），∴等价为=x，在（0，e]上有解即平方得lnx+x+a=x2，则a=x2﹣lnx﹣x，设h（x）=x2﹣lnx﹣x，则h′（x）=2x﹣1﹣==，由h′（x）＞0得1＜x≤e，此时函数单调递增，由h′（x）＜0得0＜x＜1，此时函数单调递减，即当x=1时，函数取得极小值，即h（1）=1﹣ln1﹣1=0，当x=e时，h（e）=e2﹣lne﹣e=e2﹣e﹣1，则0≤h（x）≤e2﹣e﹣1．则0≤a≤e2﹣e﹣1．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数g（x）=sinx•log2（+x）为偶函数，则t= ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=sinx•log2（+x）为偶函数，∴g（﹣x）=g（x），即﹣sinx•log2（﹣x）=sinx•log2（+x），即log2（﹣x）=﹣log2（+x），则log2（﹣x）+log2（+x）=0，即log2（﹣x）（+x）=log2（x2+2t﹣x2）=log22t=0，即t=，故答案为：．14．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x2+y2的取值范围是 [，5] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，根据z═x2+y2的几何意义求出z的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，z=x2+y2的几何意义表示平面区域内的点到原点的距离的平方，显然A到原点的距离最大，此时z=5，设原点到直线x+2y﹣2=0的距离是d，则d==，故z的取值范围是：[，5]．15．已知点A是抛物线y2=2px上的一点，F为其焦点，若以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，且△FBC为正三角形，当△ABC的面积是时，则抛物线的方程为 y2=16x ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意得|BC|=|AF|=p，利用△ABC的面积是，由抛物线的定义可得×p×p=，求出p，可得抛物线的方程．【解答】解：由题意得|BC|=|AF|=p，∵△ABC的面积是，∴由抛物线的定义可得×p×p=，∴p=8，∴抛物线的方程为y2=16x．故答案为：y2=16x．16．已知a，b，c是△ABC的三边，且b2﹣2a﹣b﹣2c=0，2a+b﹣2c+1=0，则△ABC的最大角的余弦值为 ﹣ ．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】将已知两式子相加可解得：c=，相减可得a==﹣1＞0，显然c＞a，解得：b＞2+，或b＜＜0（舍去），再由c﹣b=﹣b=＞0（b＞2+），可得最大边为c，由余弦定理可得：（）2=（）2+b2﹣2××b×cosC，化简可解得cosC的值．【解答】解：∵b2﹣2a﹣b﹣2c=0，①2a+b﹣2c+1=0，②∴①+②可解得：c=，①﹣②可解得：a==﹣1＞0，∴显然c＞a，解得：|b﹣|＞2，即：b＞2+，或b＜＜0（舍去），再比较c与b的大小．∵c﹣b=﹣b==＞0（b＞2+）．∴c＞b，∴最大边为c．由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即：（）2=（）2+b2﹣2××b×cosC，化简可得：cosC=，解得：cosC=﹣，故答案为：﹣．三、解答题（本大题共5小题，共70分）（22、23、24题任选一题作答，每题10分）17．已知等差数列{a n}的前5项的和为55，且a6+a7=36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列b n=，且数列{b n}的前n项和为S n，证明：S n＜．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）由等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出数列{a n}的通项公式；（2）由b n====（﹣），利用裂项求和法能求出数列{b n}的前n项和，再由不等式的性质即可得证．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由前5项的和为55，且a6+a7=36，可得，解得a1=7，d=2，则数列{a n}的通项公式a n=7+（n﹣1）×2=2n+5；（2）证明：b n====（﹣），可得数列{b n}的前n项和：S n=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（1+﹣﹣）=﹣（﹣）＜，即有原不等式成立．18．近日有媒体在全国范围开展“2015年国人年度感受”的调查，在某城市广场有记者随机访问10个步行的路人，其年龄的茎叶图如下：（1）求这些路人年龄的中位数与方差；（2）若从40岁以上的路人中，随机抽取3人，其中50岁以上的路人数为X，求X的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．【分析】（1）把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，求出中间两个数的平均数即是中位数；再求出这组数据的平均数与方差；（2）40岁以上有7人，其中40～50岁有4人，50岁以上有3人，X=0，1，2，3，计算对应的概率，即可求X的数学期望．【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据，把这10个数据按照从小到大的顺序排列，排在中间的两个数是43和45，则这组数据的中位数是=44；平均数是=×（22+34+34+42+43+45+45+51+52+52）=42，方差是s2= [（22﹣42）2+（34﹣42）2×2+（42﹣42）2+（43﹣42）2+（45﹣42）2×2+（51﹣42）2+（52﹣42）2×2=82.8；（2）40岁以上的路人有7人，其中40～50岁有4人，50岁以上有3人，X=0，1，2，3．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=．∴EX=1×+2×+3×=．19．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=4．（1）求证：CE∥平面PAB；（2）若F为PC的中点，求AF与平面AEC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AD得中点M，连接EM，CM．则EM∥PA，由∠CAD=60°，CM=AM，得MC∥AB．由此能证明CE∥平面PAB．（2）以C为原点，CA为x轴，CD为y轴，过C作平面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AF与平面AEC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）取AD得中点M，连接EM，CM．则EM∥PA，∵EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EM∥平面PAB，在Rt△ACD中，∠CAD=60°，CM=AM，∴∠ACM=60°，而∠BAC=60°，∴MC∥AB．∵MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴MC∥平面PAB，又∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB，∵EC⊂平面EMC，∴CE∥平面PAB．解：以C为原点，CA为x轴，CD为y轴，过C作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，∵∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，E为PD的中点，PA=2AB=4，F为PC的中点，∴A（4，0，0），C（0，0，0），P（4，0，4），F（2，0，2），D（0，4，0），E（2，2，2），=（﹣2，0，2），=（4，0，0），=（2，2，2），设平面AEC的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（0，，﹣3），设AF与平面AEC所成角为θ，则sinθ===．∴AF与平面AEC所成角的正弦值为．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F在x轴上，D为短轴上一个端点，且△DOF的内切圆的半径为，离心率e是方程2x2﹣5x+2=0的一个根．（1）求椭圆C的方程；（2）设过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点作直线l∥AB交椭圆C于M，N两点，是否存在常数λ，使得|AB|2=λ|MN|？若存在，请求出λ；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和内切圆的性质以及三角形的面积公式，计算即可得到a，b，c，进而得到椭圆方程；（2）设出直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再设直线x=my，代入椭圆方程，运用弦长公式，化简可得|AB|，再由计算即可得到所求常数λ．【解答】解：（1）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得e==，a2﹣b2=c2，bc=•（a+b+c），解方程可得a=2，b=，c=1，即有椭圆的方程为+=1；（2）设l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），由得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，即有y1+y2=﹣，y1y2=﹣，|MN|=•=•=，设A（x3，y3），B（x4，y4），由x=my代入椭圆方程可得消去x，并整理得y2=，|AB|=•|y3﹣y4|=•，即有=•=4．故存在常数λ=4，使得|AB|2=4|MN|．21．已知函数f（x）=的最大值为1．（1）求实数a的值；（2）如果函数m（x），n（x）在公共定义域D上，满足m（x）＜n（x），那么就称n（x）为m（x）的“线上函数”，若p（x）=，q（x）=（x＞1），求证：q（x）是p（x）的“线上函数”．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）f（x）=的最大值为1，则函数f（x）在（0，+∞）不单调，故有极值点，继而到函数的最大值，求出a即可，（2）分别根据导数和函数的最值的关系，求出p（x）和q（x）最值，即可证明．【解答】解：（1）∵f（x）=，x＞0，∴f′（x），∵函数f（x）=的最大值为1∴f′（x）=0，解得x=e1﹣a，此时a≤1∴f（x）max=f（e1﹣a）==1，解得a=1（2）由（1）可知q（x）==，∴q′（x）=＜0在（1，+∞）恒成立，∴q（x）在（1，+∞）为减函数，∴q（x）＜q（1）=，∵p（x）=，x＞1，∴p′（x）=2e x﹣1•＞0在（1，+∞）恒成立，∴p（x）在（1，+∞）为增函数，∴p（x）＞p（1）=，∴p（x）＞q（x），∴q（x）是p（x）的“线上函数”．四、选择作答（请考生在22、23、24三题中任选一题作答，作答时请写清题号，10分）选修4-1：几何证明选讲22．如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A．（1）若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，求CE的长；（2）若=， =，求的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）首先根据题中圆的切线条件再依据割线定理求得一个线段AE的长，再根据勾股定理的线段的关系可求得CE的长度即可．（2）由已知AC=2AB，AE=3AD，从而AD=，由△ABD∽△AEC，能求出的值．【解答】解：（1）∵⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A，BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，∴由割线定理得AB•AC=AD•AE，∴AE===8，DE=AE﹣AD=8﹣3=5，又BD⊥AE，∴BE为直径，∴∠C=90°，在Rt△ACE中，由勾股定理得CE2=AE2﹣AC2=28，∴CE=2．（2）∵∠AEC=∠ABD，∠A=∠A，∵=， =，∴AC=2AB，AE=3AD，∵AD•AE=AB•AC，∴3AD2=2AB2，∴AD=，∴△ABD∽△AEC，∴=，∴=．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标线中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系．已知直线与椭圆的极坐标方程分别为l：cosθ+2sinθ=0，C：ρ2=．（1）求直线与椭圆的直角坐标方程；（2）若P是椭圆C上的一个动点，求P到直线l距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直接根据极坐标和直角坐标的互化公式进行求解即可；（2）利用平行线系，然后，借助于直线与圆相切，求解得到相应的最大值即可．【解答】解：（1）根据直线与椭圆的极坐标方程分别为l：cosθ+2sinθ=0，直线的极坐标方程为l：cosθ+2sinθ=0，ρcosθ+2ρsinθ=0，∴x+2y=0，根据椭圆的极坐标方程为ρ2=．∴ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=4，∴+y2=1，∴直线的直角坐标方程为：x+2y=0，椭圆的直角坐标方程为： +y2=1，（2）设与已知直线平行的直线方程为：x+2y+m=0，联立，∴8y2+4my+m2﹣4=0．∴△=8﹣m2=0∴m=±2，∴d==．∴P到直线l距离的最大值．选修4-5：不等式选讲24．不等式|2x﹣1|﹣|x+1|＜2的解集为{x|a＜x＜b}．（1）求a，b的值；（2）已知x＞y＞z，求证：存在实数k使﹣+≥恒成立，并求出k的最大值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）把要求得不等式去掉绝对值，化为与之等价的3个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由条件可得﹣+＞＞，从而证得结论，可得k的最大值为2．【解答】解：（1）由不等式|2x﹣1|﹣|x+1|＜2，可得①，或，或③．解①求的x∈∅，解②求得﹣＜x≤，解③求得＜x＜4，综上可得，﹣＜x＜4．再根据不等式的解集为{x|a＜x＜b}，可得a=﹣，b=4．（2）∵x＞y＞z，∴x﹣y＞0，y﹣z＞0，x﹣z＞0，∴﹣+=+=+＞+=＞，故存在实数k使﹣+≥恒成立．由以上可得，k的最大值为2．2016年10月19日。
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邢台市2017～2018学年高三（上）期末测试
数学（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则的元素的个数为（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
2. 设是两个互相垂直的单位向量，则（）
A. -3
B. -2
C. 2
D. 3
3. 设复数满足，则复数的实部为（）
A. -2
B. 2
C. -1
D. 1
4. 若双曲线的焦点都在直线的下方，则的离心率的取值范围为（）
A. B. C. D.
5. 在中，，，，现有以下四个命题
；
的面积为；
；
中最大角的余弦值为．
那么，下列命题中为真命题的是（）
A. B.
C. D.
6. 执行如图的程序框图，若输入的，则输出的（）
......
A. 12
B. 13
C. 15
D. 18
7. 设满足约束条件，且目标函数的最大值为16，则（）
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
8. 某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）
A. B. 或6
C. D. 或
9. 已知函数的最小值为8，则（）
A. B. C. D.
10. 若在区间上，函数的图像总在函数的图像的上方，则的最大值为（）
A. B. C. D.
11. 有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的（）
A. 倍
B. 2倍
C. 倍
D. 3倍
12. 过圆的圆心的直线与抛物线相交于两点，且，则点到圆上任
意一点的距离的最大值为（）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. 若，且为钝角，则__________．
14. 某超市经营的某种包装优质东北大米的质量（单位：）服从正态分布，任意选取一袋这种大米，质量在的概率为__________．（附：若，则
，）
15. 设的展开式中的常数项为-16，则__________．
16. 若函数恰有2个零点，则的取值范围为__________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答，第22/23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 设为数列的前项和，且．
（1）若，判断数列的单调性；
（2）若，求数列的前项和．
18. 如图，在正方体中，分别是棱的中点，为棱上一点，且
平面．
（1）证明：为的中点；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19. 某鲜奶店每天以每瓶3元的价格从牧场购进若干瓶鲜牛奶，然后以每瓶7元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的鲜牛奶作垃圾处理．
（1）若鲜奶店一天购进30瓶鲜牛奶，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：瓶，）的函数解析式；
（2）鲜奶店记录了100天鲜牛奶的日需求量（单位：瓶），绘制出如下的柱形图（例如：日需求量为25瓶时，频数为5）：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（ⅰ）若该鲜奶店一天购进30瓶鲜奶，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及数学期望；（ⅱ）若该鲜奶店计划一天购进29瓶或30瓶鲜牛奶，你认为应购进29瓶还是30瓶？请说明理由．
20. 已知椭圆的焦距与椭圆的短轴长相等，且与的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为，直线与直线（为坐标原点）垂直，且与交于两点．
（1）求的方程；
（2）求的面积的最大值．
21. 已知，函数．
（1）若曲线在点处的切线的斜率为，判断函数在上的单调性；
（2）若，证明：对恒成立．
（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半
轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若直线与直线交于点，与曲线交于两点．且，求．23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围．。