2011届高三数学一轮复习过关测试题及答案(九)

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2011届高考数学一轮复习测评卷13.4

2011年《新高考全案》高考总复习第一轮复习测评卷第十三章第四讲一、选择题1．若变量y 与x 之间的相关系数r ＝－0.936 2，查表得到相关系数临界值r 0.05＝0.801 3，则变量y 与x 之间( )A ．不具有线性相关关系B ．具有线性相关关系C ．它们的线性关系还要进一步确定D ．不确定 [答案] B2．如果有95%的把握说事件A 和B 有关系，那么具体计算出的数据( )A ．K 2＞3.841B ．K 2＜3.841C ．K 2＞6.635D ．K 2＜6.635[解析] 比较K 2的值和临界值的大小，95%的把握则K 2＞3.841，K 2＞6.635就约有99%的把握．[答案] A3．实验测得四组(x ，y )的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 与x 之间的线性回归方程为( )A.y ∧＝x ＋1 B.y ∧＝x ＋2 C.y ∧＝2x ＋1D.y ∧＝x －1[解析] 画散点图，四点都在直线y ∧＝x ＋1上． [答案] A4．如下图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( )[解析]图A中的点不成线性排列，故两个变量不适合线性回归模型，故选A.[答案] A5．观察下列各图，其中两个分类变量关系最强的是()[解析]D选项中主对角线上两个柱形高度之积与副对角线上两个柱形高度之积相差最大，选D.[答案] D6．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据如下表．由此建立的身高与年龄的回归模型为y＝7.19x＋73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是() 年龄/岁3456789身高/cm94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.0 A.C．身高在145.83 cm左右D．身高在145.83 cm以下[解析]将x＝10代入得y＝145.83，但这种预测不一定准确，应该在这个值的左右．故选C.[答案] C二、填空题7．下列命题：①用相关指数R 2来刻画回归的效果时，R 2的值越大，说明模型拟合的效果越好； ②对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”可信程度越大；③两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1；④三维柱形图中柱的高度表示的是各分类变量的频数．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)[答案] ①③④8．若两个分类变量x 和y 的列联表为：则x 与y [解析] x 2＝(5＋15＋40＋10)(5×10－40×15)2(5＋15)(40＋10)(5＋40)(15＋10)≈18.822，查表知P (x 2≥6.635)≈0.1，∴x 与y 之间有关系的概率约为1－0.1＝0.99. [答案] 0.999．若施化肥量x 与水稻产量y 的回归直线方程为y ∧＝5x ＋250，当施化肥量为80 kg 时，预计水稻产量为________．[答案] 650 kg10．根据下面的列联表：得到如下的判断：99%的把握认为患肝病与嗜酒有关；③认为患肝病与嗜酒有关的出错的可能为1%；④认为患肝病与嗜酒有关的出错的可能为10%.其中正确的命题为________．[解析] 正确命题为②③. [答案] ②③ 三、解答题11．某体育训练队共有队员40人，下表为跳远和跳高成绩的统计表，成绩分为1～5共5个档次，例如表中所示跳高成绩为4分、跳远成绩为2分的队员为5人，将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，得该卡对应队员的跳高成绩为x 分，跳远成绩为y 分，设x ，y 为随机变量．(注：没有相同姓名的队员)(1)跳高成绩是否“优秀”与跳远是否“优秀”有没有关系？(2)若跳远成绩相等和跳高成绩相等的人数分别为m 、n .试问：m 、n 是否具有线性相关关系？若有，求出回归直线方程．若没有，请说明理由．(回归相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2)[解] (1)根据题中条件，对两变量进行分类，先看跳远成绩“优”的队员有10人，“一般”的有30人；跳高“优”的有15人，“一般”的有25人；于是，列联表如下：假设跳高“优则K 2＝80×(15×30－10×25)240×40×25×55＝1.455＜2.706，显然，没有充分的证据显示跳高“优”与跳远“优”有关． (2)将跳远、跳高成绩及人数整理如下表：易得m ＝8，n ＝8，∑i ＝1k(m i －m)2＝30，∑i ＝1k(n i －n )2＝22，∑i ＝1k(m i －m )(n i －n )＝5，那么r ＝∑i ＝1k(m i －m )(n i －n )∑i ＝1k(m i －m)2·∑i ＝1k (n i －n )2＝530×22≈0.194 6，可见变量n 与m 不具有线性相关性．12．某数学教师为了研究学生的性别与喜欢数学之间的关系，随机抽测了20名学生，得到如下数据：(2)根据题(1)系？(3)按下面的方法从这20名学生中抽取1名学生来核查测量数据的误差：将一个标有数字1,2,3,4,5,6的正六面体骰子连续投掷两次，记朝上的两个数字的乘积为被抽取学生的序号．试求：①抽到12号的概率；②抽到“无效序号(超过20号)”的概率．参考公式：K 2＝n ×(ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )参考数据：P (K 2≥k )0.025 0.010 0.005 k5.0246.6357.879[解] (1)根据题中表格数据可得2×2列联表如下：男生女生合计喜欢数学 5 3 8 不喜欢数学 1 11 12 合计61420(2)提出假设H 0：性别与是否喜欢数学之间没有关系．根据上述列联表可以求得K 2的观测值为k ＝20×(5×11－1×3)26×14×8×12≈6.7063.当H 0成立时，P (K 2≥6.635)≈0.010＝1%，而这里6.7063＞6.635. ∴认为性别与是否喜欢数学之间没有关系的概率是1%，∴该数学教师有99%的把握认为：性别与是否喜欢数学之间有关系．(3)将一个骰子连续投掷两次，事件“朝上的两个数字的乘积”有6×6＝36种． ①∵朝上的两个数字的乘积为12的事件有4种：2×6,3×4,6×2,4×3. ∴抽到12号的概率为P 1＝436＝19.②∵朝上的两个数字的乘积为“无效序号(超过20号)”的事件有6种：4×6,5×5,5×6,6×4,6×5,6×6，∴抽到“无效序号(超过20号)”的概率为P 2＝636＝16.亲爱的同学请你写上学习心得________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。

2011届高考数学一轮达标精品试卷 (16)

2010届高考数学一轮达标精品试卷(十一)第十一单元排列组合、二项式定理(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共18小题，每小题5分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为 A ．120B ．324C ．720D ．12802．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 A ．40B ．74C ．84D ．2003．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有 A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个4．从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是 A ．512B ．968C ．1013D ．10245．如果(n x +的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是A ．6810C xB ．510C xC ．468C xD ．611C x6．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是 A ．36B ．32C ．24D ．207．若n 是奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋯⋯+被9除的余数是A ．0B ．2C ．7D ．88．现有一个碱基A ，2个碱基C ，3个碱基G ，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有A ．20个B ．60个C ．120个D ．90个9．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为 A ．504B ．210C ．336D ．12010．在342005(1)(1)(1)x x x ++++⋯⋯++的展开式中，x 3的系数等于A ．42005CB ．42006CC ．32005CD ．32006C11．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参加数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是 A ．2男6女B ．3男5女C ．5男3女D ．6男2女12．若x ∈R ，n ∈N ＋，定义n x M ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如55M -＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，则函数199()x f x xM -=的奇偶性为 A ．是偶函数而不是奇函数 B ．是奇函数而不是偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数13．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1),x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++定义映射12341234:(,,,)(,,,),f a a a a b b b b →则f （4，3，2，1）等于A ．（1，2，3，4）B ．（0，3，4，0）C ．（－1，0，2，－2）D ．（0，－3，4，－1）14．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5，6}，从A 到B 的映射f (x )，B 中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为 A ．8B ．9C ．24D ．2715．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有 A ．24种B ．36种C ．60种D ．66种16．等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10，这样不同形状的三角形的种数为A ．8B ．9C ．10D ．1117．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有 A ．36种B ．42种C ．50种D ．72种18．若1021022012100210139),()()x a a x a x a x a a a a a a =+++⋯+++⋯+-++⋯+则的值为 A ．0B ．2C ．－1D ．1二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在横线上．19．某电子器件的电路中，在A ，B 之间有C ，D ，E ，F 四个焊点（如图），如果焊点脱落，则可能导致电路不通．今发现A ，B 间电路不通，则焊点脱落的不同情况有种． 20．设f (x )＝x 5－5x 4＋10x 3－10x 2＋5x ＋1,则f (x )的反函数f －1(x )＝．21．正整数a 1a 2…a n …a 2n －2a 2n －1称为凹数，如果a 1>a 2>…a n ，且a 2n －1>a 2n －2>…>a n ，其中a i （i ＝1,2,3,…）∈{0,1,2,…,9}，请回答三位凹数a 1a 2a 3（a 1≠a 3）共有个（用数字作答）． 22．如果a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4，那么a 2－a 3＋a 4 ．23．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有．24．已知（x ＋1）6（ax －1）2的展开式中，x 3的系数是56，则实数a 的值为．三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 25．（本小题满分12分）将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？ 26．（本小题满分12分）已知(41x＋3x 2)n 展开式中的倒数第三项的系数为45，求： ⑴含x 3的项； ⑵系数最大的项．27．（本小题满分12分）求证：123114710(31)(32)2.nn n n n n C C C n C n -++++⋯++=+⋅第十一单元排列组合、二项式定理参考答案提示1．D 分五步：5×4×4×4×4＝1280．2．B 分三步：33425154545474.C C C C C C ++=3．C 46312.C -= 4．B 分8类：3451001210012101010101010101010101010()2(11045)968.C C C C C C C C C C C +++⋯+=+++⋯+-++=-++=5．B 12512,10,n n -=∴=中间项为555561010T C x C x ==6．D 按首位数字的奇偶性分两类：2332223322()20A A A A A +-=7．C 原式＝（7＋1）n －1＝(9－1)2－1＝9k －2＝9k ’＋7（k 和k ’均为正整数）．8．B 分三步：12365360C C C =9．A 939966504,504.A A A ==或10．B 原式＝11．B 设有男生x 人，则2138390,(1)(8)30x x C C A x x x -=--=即，检验知B 正确．12．A 2222()(9)(8)(9191)(1)(4)(81).f x x x x x x x x x =--⋯-+-=--⋯-13．D 比较等式两边x 3的系数，得4＝4＋b 1,则b 1＝0，故排除A ，C ；再比较等式两边的常数项，有1＝1＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4,∴b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝0．14．D 223327.C =15．B 先排甲、乙外的3人，有33A 种排法，再插入甲、乙两人，有24A 种方法，又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占12 ，故所求不同和站法有3234136().2A A =种16．C 共有（1，1，1），（1，2，2），（1，3，3），（1，4，4），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，4，4），（3，3，3）（3，3，4）10种．17．B 每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周六的排法，共有2212264544242().C C A C A -+=种18．D 设f (x )＝(2－x )10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…－a 9＋a 10)＝f (1)f (－1)＝(2＋1)10(2－1)10＝1。

2011届高考数学一轮单元达标精品试卷六)

2011届高考数学一轮单元达标精品试卷(六)第三单元 [不等]符号定，比较技巧深(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集是 A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |x ＜0且x ≠－1} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x <1且x ≠－1}2．直角三角形ABC 的斜边AB ＝2，内切圆半径为r ，则r 的最大值是 A ． 2B ．1C ．22D ．2－13．给出下列三个命题 ①若1->≥b a ，则bba a +≥+11 ②若正整数m 和n 满足n m ≤，则2)(n m n m ≤- ③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为1．当1)()(2121=-+-y b x a 时，圆1O 与圆2O 相切其中假命题的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．34．不等式|2x －log 2x |＜2x ＋|log 2x |的解集为 A ．(1，2) B ．(0，1)C ．(1，+∞)D ．(2，+∞)5．如果x ，y 是实数，那么“xy ＜0”是“|x －y |＝|x |＋|y |”的 A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充要条件D ．非充分条件非必要条件6．若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c7．已知a 、b 、c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 A ．ab ac > B ．c b a ()-<0 C ．cb ab 22< D ．0)(<-c a ac 8．设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是 A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)9．某工厂第一年年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则 A ．x ＝2ba + B ．x ≤2b a + C ．x ＞2b a + D ．x ≥2ba + 10．设方程2x ＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0的根分别为p 和q ，函数f (x )＝(x ＋p )(x ＋q )+2，则A ．f (2)＝f (0)<f (3)B ．f (0)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (0)＝f (2)D ．f (0)<f (3)<f (2)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上． 11．对于－1<a <1，使不等式(12)2x ax +<(12)2x +a －1成立的x 的取值范围是_______ ．12．若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m ＝．(lg2≈0．3010)13．已知{1,0,()1,0,x f x x ≥=-<则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是．14．已知a ＞0，b ＞0，且2212b a +=，则的最大值是． 15．对于10<<a ，给出下列四个不等式 ①)11(log )1(log aa a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aaa a 111++< ④aaa a111++> 其中成立的是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分l2分)设函数f (x )|1||1|2--+=x x ，求使f (x )≥22的x 取值范围．17．（本题满分12分）已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x π=+∈求使()f x 为正值的x 的集合．18．（本题满分14分）⑴已知,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．19．（本题满分14分）设函数f(x)＝|x－m|－mx，其中m为常数且m<0．⑴解关于x的不等式f(x)<0；⑵试探求f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值．20．(本题满分14分)已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2．⑴当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤2b；⑵当b>1时，证明对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b；⑶当0<b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|≤1的充要条件．21．(本题满分14分)⑴设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； ⑵设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，证明 n p p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log ．[不等]符号定，比较技巧深参考答案一、选择题二、填空题11．x ≤0或x ≥2； 12．155；13．]23,(-∞； 14； 15．②④三、解答题16．解：由于y ＝2x 是增函数，f (x )≥22等价于|x +1|－|x －1|≥32， ① (2)分(i)当x ≥1时，|x +1|－|x －1|＝2。

2011高考数学一轮复习测评卷9.3

2011《新高考全案》一轮复习测评卷（第九章第三讲）一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( )A ．2 B.22C ．1 D. 2[解析] x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心为(1，－2)，它到直线x －y －1＝0的距离为d ＝|1＋2－1|2＝ 2.故选D. [答案] D2．(2009·五校联考)方程x 2＋y 2＋2k 2x －y ＋k ＋1k ＝0所表示的曲线关于y ＋2x ＋1＝0对称，则k ＝( )A.32B ．－32 C ．±32D ．不存在[答案] B3．(2008·山东)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －73)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．(x －32)2＋(y －1)2＝1[解析] 设圆心坐标为(a,1)(a ＞0)，由题意有|4a －3|5＝1，解得a ＝2或a ＝－12(舍)．故选B.[答案] B4．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8[解析] 线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)的两端点分别为(2,0)、(0,2)，所以圆心为(1,1)，又因为圆半径为1222＋22＝2，所以圆方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. [答案] B5．(2009·广州二模)已知圆x 2＋y 2＝9与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．4x －4y ＋1＝0B ．x －4＝0C ．x ＋y ＝0D ．x －y －2＝0[答案] D6．(2006·四川卷)已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π[解析] 设动点为P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |，则(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，平方变形得(x －2)2＋y 2＝4，则P 点的轨迹是一个半径为2的圆，其面积为4π.故选B.[答案] B 二、填空题7．圆x 2＋(y ＋1)2＝1的圆心坐标是________，如果直线x ＋y ＋a ＝0与该圆有公共点，那么实数a 的取值范围是________．[解析] 可知圆心坐标为(0，－1)．直线x ＋y ＋a ＝0与该圆有公共点，则|0－1＋a |12＋12≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2.[答案] (0，－1),1－2≤a ≤1＋ 2.8．过圆C 1∶(x －4)2＋(y －5)2＝10与圆C 2：(x ＋2)2＋(y －7)2＝12交点的直线方程为________．[解析] 两圆方程相减为6x －2y ＋5＝0. [答案] 6x －2y ＋5＝09．(2008·四川)已知直线l ：x －y ＋6＝0，圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到直线l 的距离的最小值是________．[解析] 由数想形，所求最小值＝圆心到直线的距离－圆的半径．圆心(1,1)到直线x －y ＋6＝0的距离d ＝62＝3 2.故最小值为32－2＝2 2. [答案] 2 210．(2009·天津卷文)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.[解析] 由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为y ＝1a ，利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝|1a|1为22－32＝1，解得a ＝1.[答案] 1 三、解答题11．根据下列条件，求圆的方程．(1)经过坐标原点和点P (1,1)，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上；(2)已知一圆过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为4 3. [解] (1)显然，所求圆的圆心在OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程为： x 2＋y 2＝(x －1)2＋(y －1)2，即x ＋y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝02x ＋3y ＋1＝0得圆心C 的坐标为(4，－3)．又圆的半径r ＝|OC |＝5，∴所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. (2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.① 将P 、Q 点的坐标分别代入①得：⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0.④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1、y 2是方程④的两根．。

2011届高三数学一轮复习过关测试题及答案(二)

备考2011高考数学基础知识训练（3）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题（每题5分，共70分）1．若集合A ={}3x x ≥，B ={}x x m <满足A ∪B =R ，A ∩B =∅，则实数m = ． 2．命题“03,2>+-∈∀x x R x ”的否定是______________________3. 函数lg(5)ln(5)3y x x x =++-+-的定义域为． 4．设函数f (x ) = xa (a ＞0且a ≠1),若f (2) =14，则f (–2)与f (1)的大小关系是________5．设(0,)2πα∈，若3sin 5α=)4πα+=_______________ 6．直角ABC ∆中, 90=∠C ,30=∠A ,1=BC ,D 为斜边AB 的中点，则 CD AB ⋅= ___7．已知}{n a 是递减的等差数列，若56,7758264=+=⋅a a a a ，则前项和最大．8．设直线b x y +=21是曲线sin ((0,))y x x π=∈的一条切线，则实数b 的值是 9．已知()()2,1,,2a b t =-=，若b a 与的夹角为锐角，则实数t 的取值范围为10. 已知01a <<，log log aa x =，1log 52a y =，log log a a z =，则,,x y z 由大到小的顺序为．11．已知函数()y f x =（x ∈R ）满足(2)()f x f x +=，且当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，则()y f x =与5log y x =的图像的交点的个数为____________12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，在(,0)-∞上有'()()0xf x f x +<且(2)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为____________．13．设{}n a 是公比为q 的等比数列，10q q <≠且，若数列{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81---中，则_______q =14．若关于x 的不等式211()22n x x +-≥0对任意*n N ∈在(,]x λ∈-∞恒成立，则实常数λ的取值范围是__________．二、解答题（共90分，写出详细的解题步骤）15. 设A ＝｛x ｜x 2＋4x ＝0｝，B ＝｛x ｜x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0｝，若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．16. 试讨论关于x 的方程k x =-|13|的解的个数．17．若奇函数f （x ）在定义域（－1，1）上是减函数，（1）求满足f （1－a ）＋f （－a ）＜0的a 的取值集合M ；（2）对于（1）中的a ，求函数F （x ）＝a log ［1－21()xa－］的定义域．18．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t （件），价格近似满足1()20|10|2f t t =--（元）．（1）试写出该种商品的日销售额y 与时间t （0≤t ≤20）的函数表达式；（2）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．19. ()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，f(x)=2x －x 2； (1) 求x<0时，f(x)的解析式；(2) 问是否存在这样的正数a,b,当[,]x a b ∈时,g(x)=f(x),且g(x)的值域为[11,]?b a若存在，求出所有的a,b 值；若不存在，请说明理由．20．已知函数()2()log 21xf x =+.（1）求证：函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增；（2）若()2()log 21(0)xg x x =->，且关于x 的方程()()g x m f x =+在[1,2]上有解，求m 的取值范围.参考答案：1．解：结合数轴知，当且仅当m =3时满足A ∪B =R ，A ∩B =∅．答案：3.2、 2,30x R x x ∃∈-+≤3. 解：由50501030x x x x +>⎧⎪->⎪⎨-≥⎪⎪-≠⎩ 得定义域为: [1,3)(3,5)⋃．答案：[1,3)(3,5)⋃．4、(2)(1)f f ->5、156、−17、 14 86π- 9、 (,4)(4,1)-∞-⋃- 10. 解：由对数运算法则知log ax=log a y=log a z =又由01a <<知log a y x =在(0,)+∞上为减函数, y x z ∴>>．答案：y x z >>． 11、4 12、(,2)(0,2)-∞-⋃ 13、 23- 14、1λ≤-15. 解：由x 2＋4x ＝0得，x 1＝0，x 2＝－4；∴A ＝｛0，－4｝． ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ．（1）若B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1．（2）若0∈B ，则a 2－1＝0，∴a ＝±1；当a ＝－1时，B ＝｛0｝；当a ＝1时，B ＝A ；都符合A ∩B ＝B ．（3）若－4∈B ，则(－4)2＋2(a ＋1)²(－4)＋a 2－1＝0，∴a ＝1或a ＝7；当a ＝7时，B ＝｛x ｜x 2＋2(7＋1)x ＋72－1＝0｝＝｛－4，－12｝，不符合A ∩B ＝B ．综上，实数a 的取值范围是a ＝1或a ≤－1．16. 解：设()|31|x f x =-，则关于x 的方程k x=-|13|的解的个数可转化为观察函数()f x 的图象与直线y k =的交点个数；而函数31,(0)()|31|13,(0)xx xx f x x ⎧-≥⎪=-=⎨-<⎪⎩，由函数3xy =的图象通过图象变换易作出函数()f x 的图象，如下图所示：y=k(k>1)直线y k =是与x 轴平行或重合的直线，观察上图知：当0k <时，直线y k =与()f x 的图象没有交点，故方程k x =-|13|的解的个数为0个；当0k =时，直线y k =与()f x 的图象有1个交点，故方程k x =-|13|的解的个数为1个；当01k <<时，y k =与()f x 的图象有2个交点，故方程k x =-|13|的解的个数为2个；当1k ≥时，直线y k =与()f x 的图象有1个交点，故方程k x =-|13|的解的个数为1个．17．解：（1）不等式f （1－a ）＋f （－a ）＜0可化为f （1－a ）＜－f （－a ），而f （x ）为奇函数，∴ f （1－a ）＜f （a ），又f （x ）在定义域（－1，1）上是减函数，∴111111a a a a ⎧⎪⎨⎪⎩－＜－＜，－＜-＜，－＞，解得0＜a ＜12， ∴M ＝{a |0＜a ＜12}．（2）为使F （x ）＝a log ［1－21()xa－］有意义，必须1－21()xa－＞0，即21()xa－＜1．由0＜a ＜12得12a>，∴2－x ＜0，∴x >2． ∴函数的定义域为{2}x x >． 18．解：（1）1()()(802)(20|10|)(40)(40|10|)2y g t f t t t t t =⋅=-⋅--=---＝(30)(40),(010),(40)(50),(1020).t t t t t t +-<⎧⎨--⎩≤≤≤（2）当0≤t ＜10时，y 的取值范围是[1200，1225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1225；当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600，1200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600． ∴第5天，日销售额y 取得最大，为1225元；第20天，日销售额y 取得最小，为600元．答：日销售额y 最大为1225元；最小为600元． 19. 解: (1)设0,x <则0x ->于是22()2,()()()2,f x x x f x f x f x x x -=--=--=+又为奇函数,所以0x <即时,2()2(0);f x x x x =+<(2)分下述三种情况: ①01,a b <<≤那么11a>,而当0,()x f x ≥的最大值为1,故此时不可能使()()g x f x =；②若01,a b <<<此时若()(),()g x f x g x =则的最大值为g(1)=f(1)=1,得a=1,这与01a b <<<矛盾;③若1,a b ≤<因为1x ≥时,f(x)是减函数,则2()2,f x x x =-于是有22221()2(1)(1)01(1)(1)0()2g b b b a a a b b b b g a a a a⎧==--⎪⎧--+=⎪⎪⇔⎨⎨---=⎪⎩⎪==-+⎪⎩考虑到1,a b ≤<解得11,2a b ==；综上所述，1,12a b =⎧⎪⎨=⎪⎩20．解：（1）证明：任取12x x <，则()()11221222221()()log 21log 21log 21x x x x f x f x +-=+-+=+，1212,02121x x x x <∴<+<+ ， 11222212101,log 02121x x xx ++∴<<∴<++， 12()()f x f x ∴<，即函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增.（2）解法1：由()()g x m f x =+得()()m g x f x =-=()()22log 21log 21x x--+22212log log 12121x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，当12x ≤≤时，222123,152133215x x ≤≤∴≤-≤++， m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）解法2：解方程()()22log 21log 21xxm -=++，得221log 12m m x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭， 22112,1log 212m m x ⎛⎫+≤≤∴≤≤ ⎪-⎝⎭，解得 2213log log 35m ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.备考2011高考数学基础知识训练（4）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题（每题5分，共70分）1．若{}21A x x ==，{}2230B x x x =--=，则A B = ___________ 2．若a>2,则函数131)(23+-=ax x x f 在区间（0，2）上恰好有_______个零点 3．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是4．若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f =5．若(0)()ln (0)x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩,则1(()2g g =6．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为__ _____ 7．若31)sin(,21)sin(=-=+ββαa ，则=βαtan tan _______________. 8．已知31)4sin(=+πθ，),2(ππθ∈，则=θ2sin _______________. 9．=︒︒︒40cos 20cos 10sin _______________.10．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是 _______________. 11．若παπ223<<，则=+-α2cos 21212121_______________. 12．在ABC ∆中，已知53sin =A ，135cos =B ，则=C cos _______________. 13．设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+,114,1)1(2x x x x 则使得f （x ）≥1的自变量x 的取值范围为_______________.14．已知α 、β为一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中错误．．的是__________.①1tan tan <βα； ②2sin sin <+βα；③1cos cos >+βα； ④2tan )tan(21βαβα+<+．二、解答题（共90分，写出详细的解题步骤）15.(14分)已知παπ<<43，103cos sin -=αα；（1）求αtan 的值；（2）求)2sin(282cos 112cos2sin82sin 522ααααα--++．16．(14分)求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线；（2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线．17．(15分) 已知函数23bx ax y +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值．18．(15分) 设命题:p 函数3()()2xf x a =-是R 上的减函数，命题:q 函数2()43f x x x =-+在[]0,a 的值域为[]1,3-．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．19. (16分 )统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米；（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？20. (16分)设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3 （1）求)(x f 的单调区间和极值；（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围；（3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围.参考答案： 1．}1{- 2．1 3．2y x =-4．1x 5．126、(10)(01)- ，，7、5； 8、97-； 9、81； 10、]3,3[-； 11、2sin α；12、651613、x ≤－2或0≤x ≤10 14、④15．（1）因为παπ<<43所以0tan 1<<-α又103cos sin -=αα 所以103tan 1tan cos sin cos sin 222-=+=+αααααα即03tan 10tan 32=++αα 解得：3tan -=α或31tan -=α，又0tan 1<<-α，所以31tan -=α.(2)原式αααααcos 282cos 6sin 4)2cos 52sin 5(222--+++=αααcos 282cos 6sin 452--++=αααcos 232cos 6sin 42--+=αααcos 2cos 3sin 4-+=625223tan 22-=--=α 16．解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即，（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为0/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或17．解：（1）'232,y ax bx =+当1x =时，'11|320,|3x x y a b y a b ===+==+=，即320,6,93a b a b a b +=⎧=-=⎨+=⎩（2）32'269,1818y x x y x x =-+=-+，令'0y =，得0,1x x ==或0|0x y y =∴==极小值18、 P 真2523)1,0()23(<<⇔∈-⇔a a 1)2()(2--=x x f 的值域为[—1，3]42≤≤∴a429≤≤⇔a 真由题意知p 、q 中有一个为真命题，一个为假命题1°p 真q 假⎪⎩⎪⎨⎧><<<422523a a a 或223<<∴a 2°p 假q 真⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥≤422523a a a 或425≤≤∴a ∴综上所述a 的取值范围为]4,25[)2,23( 19、解：（1）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了100 2.540=小时，要耗没313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）。

2011年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)§9.5--椭圆--答案

§9.5 椭圆1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的线段.（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆.（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.3.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by a x 时,点P 在椭圆上. 4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔.1.答案 232.答案 23或383.答案 434.答案 (－∞,－1)∪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1 5.答案 121622y x +＝1 例1解两定圆的圆心和半径分别为O 1（－3，0），r 1＝1；O 2（3，0），r 2＝9.设动圆圆心为M （x ，y ），半径为R ，则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R. ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10.由椭圆的定义知：M 在以O 1、O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3. ∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为162522y x +＝1.例2解（1）若焦点在x 轴上，设方程为2222b y a x +＝1 (a ＞b ＞0).∵椭圆过P （3，0），∴222203b a +＝1. 又2a ＝3×2b,∴a ＝3,b ＝1,方程为1922=+y x . 若焦点在y 轴上，设方程为2222b x a y +＝1(a ＞b ＞0).∵椭圆过点P （3，0），∴222230b a +＝1 又2a ＝3×2b,∴a ＝9,b ＝3.∴方程为98122x y +＝1. ∴所求椭圆的方程为1922=+y x 或98122x y +＝1. （2）设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0,n ＞0且m ≠n).∵椭圆经过P 1、P 2点，∴P 1、P 2点坐标适合椭圆方程，则 ⎩⎨⎧=+=+,123,16n m n m①、②两式联立，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,91n m ∴所求椭圆方程为13922=+y x . 例3（1）解设椭圆方程为2222b y a x +＝1 （a ＞b ＞0）, |PF 1|＝m,|PF 2|＝n.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mncos60°.∵m ＋n ＝2a ， ∴m 2＋n 2＝（m ＋n ）2－2mn ＝4a 2－2mn ， ∴4c 2＝4a 2－3mn.即3mn ＝4a 2－4c 2.又mn ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m ＝a 2（当且仅当m ＝n 时取等号）, ∴4a 2－4c 2≤3a 2，∴22a c ≥41，即e ≥21. ∴e 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21.（2）证明由（1）知mn ＝34b 2, ∴21F PF S ∆＝21mnsin60°＝33b 2, 即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关. 例4解（1）∵|BC|＝2|AC|，且BC 经过O （0，0）,∴|OC|＝|AC|.又A （23，0），∠ACB ＝90°, ∴C （3，3）, 3分∵a ＝23，将a ＝23及C 点坐标代入椭圆方程得23123b+＝1,∴b 2＝4, ∴椭圆E 的方程为:41222y x +＝1.7分（2）对于椭圆上两点P 、Q ，∵∠PCQ 的平分线总垂直于x 轴，∴PC 与CQ 所在直线关于直线x ＝3对称，设直线PC 的斜率为k ，则直线CQ 的斜率为－k ，∴直线PC ：y －3＝k(x －3), 即y ＝k(x －3)＋3.① 直线CQ ：y ＝－k(x －3)＋3,②10分将①代入41222y x +＝1,得(1＋3k 2)x 2＋63k(1－k)x ＋9k 2－18k －3＝0,③∵C(3,3)在椭圆上，∴x ＝3是方程③的一个根. ∴x P ·3＝22313189k k k +--，∴x P ＝)31(3318922k k k +--，① ②同理可得,x Q ＝)31(3318922k k k +-+, ∴k PQ ＝PQ P Q PQ P Q x x kx x k x x y y -++-=--32)(＝31. 14分∵C （3，3），∴B （－3，－3），又A （23，0），∴k AB ＝333＝31， 15分∴k AB ＝k PQ ，∴向量PQ 与向量AB 共线. 16分1.答案 6 3.答案222.解（1）设椭圆的标准方程是2222by ax +＝1或2222bx ay +＝1，则由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴a ＝5.在方程2222b y a x +＝1中令x ＝±c 得|y|＝a b 2 在方程2222bx a y +＝1中令y ＝±c 得|x|＝a b 2依题意并结合图形知ab 2＝532.∴b 2＝310. 即椭圆的标准方程为103522y x +＝1或103522x y +＝1. （2）设经过两点A （0，2），B ⎪⎭⎫⎝⎛3,21的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2＝1，代入A 、B 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=134114n m n ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==411n m ， ∴所求椭圆方程为1422=+y x . 4.解（1）由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2,代入椭圆方程得22x ＋(kx ＋2)2＝1.整理得2221x k ⎪⎭⎫⎝⎛+＋22kx ＋1＝0①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎪⎭⎫⎝⎛+221k ＝4k 2－2＞0,解得k ＜－22或k ＞22.即k 的取值范围为(－∞,－ 22)∪(22,＋∞). （2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则OP ＋OQ ＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2），由方程①得x 1＋x 2＝－22124kk + ②又y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋22 ③而A （2，0），B （0，1），AB ＝（－2，1）.所以OP ＋OQ 与AB 共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝22.由（1）知k ＜－22或k ＞22,故没有符合题意的常数k. 1.答案71622y x +＝1或16722y x +＝1 2.答案191222=+y x 或191222=+x y 3.答案1752522=+y x4.答案 75.答案 4416.答案 277.答案－318.答案 83 9.解（1）由于椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为2222b y a x +＝1(a ＞b ＞0).∴2a ＝22)45()45(-++＝10,∴a ＝5.又c ＝4,∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆的方程为92522y x+＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为2222b x a y +＝1 (a ＞b ＞0).由于椭圆经过点（0，2）和（1，0），∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,110,1042222b a b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧==.1,422b a 故所求椭圆的方程为42y ＋x 2＝1.(3)设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1 (m ＞0,n ＞0,m ≠n),点P （－23,1）,Q(3,－2)在椭圆上，代入上述方程得⎩⎨⎧=+=+143112n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,51,151n m ∴51522y x +＝1.10.解在椭圆4522x y +＝1中，a ＝5,b ＝2.∴c ＝22b a -＝1.又∵点P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25.① 由余弦定理知：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos30°＝|F 1F 2|2＝(2c)2＝4. ②①式两边平方得：|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20， ③ ③－②得（2＋3）|PF 1|·|PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝16（2－3）， ∴21F PF S ∆＝21|PF 1|·|PF 2|sin30°＝8－43. 11.解（1）设所求椭圆方程是2222b y a x +＝1（a ＞b ＞0）.由已知，得c ＝m ，a c ＝21，∴a ＝2m ，b ＝3m. 故所求的椭圆方程是：222234my mx +＝1.（2）设Q （x Q ，y Q ），直线l ：y ＝k （x ＋m ），则点M （0，km ），当MQ ＝2QF 时，由于F （－m ，0），M （0，km ）， ∴（x Q －0，y Q －km ）＝2（－m －x Q ，0－y Q ）∴x Q ＝2120+-m ＝－32m，y Q ＝210++km ＝3km . 又点Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,32km m 在椭圆上，所以2222239494m m k m m +＝1. 解得k ＝±26. 当MQ ＝－2QF 时，x Q ＝21)()2(0--⨯-+m ＝－2m ，y Q ＝21-km＝－km.于是2244m m ＋2223m m k ＝1,解得k ＝0.故直线l 的斜率是0，±26. 12.解由e ＝23得a 2＝4b 2,椭圆可化为:x 2＋4y 2＝4b 2. 将y ＝21x ＋1代入上式，消去y 并整理得：x 2＋2x ＋2－2b 2＝0.①∵直线y ＝21x ＋1与椭圆交于A 、B 两点，∴Δ＝4－4（2－2b 2）＞0,∴b ＞22.设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),M(x,y),则由OM ＝21OA ＋23OB ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=)3(21)3(212121y y y x x x . ∵M 在椭圆上，∴41（x 1＋3x 2)2＋(y 1＋3y 2)2＝4b 2,∴x 1x 2＋4y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋⎪⎭⎫ ⎝⎛+1211x ⎪⎭⎫⎝⎛+1212x ·4＝0，即x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋2＝0 ②又由①知x 1＋x 2＝－2,x 1·x 2＝2－2b 2,代入②中得b 2＝1,满足b ＞22. ∴椭圆方程为42x ＋y 2＝1.。

2011高考数学一轮复习阶段性测试题综合测试模拟

阶段性测试题十四(综合能力测试卷一(文十三))本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．(文)已知直线l 1：x ＋ay ＋1＝0与直线l 2：y ＝12x ＋2垂直，则a 的值是 ( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12[答案] C[解析] 由条件知l 1的斜率存在且kl 1·kl 2＝－1a ·12＝－1，∴a ＝12.(理)点A (a,1)与点B (－1，a )位于直线x ＋y ＋1＝0的两侧的一个充分不必要条件是( ) A ．－2<a <0 B ．a >0 C ．－2<a <－1 D ．1<a <2 [答案] C[解析] 由题意得点A (a,1)与点B (－1，a )位于直线x ＋y ＋1＝0的两侧的充分必要条件是(a ＋1＋1)(－1＋a ＋1)<0，即－2<a <0.因此结合各选项知，选C.[点评] 点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)位于直线Ax ＋By ＋C ＝0的两侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.2．(文)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝3a 1，则数{a n }的公比q 的值为( ) A ．－2 B ．1 C ．－1或2 D ．1或－2 [答案] D[解析] 由S 3＝3a 1，设公比为q ， ∴a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝3a 1. ∵a 1≠0，∴q 2＋q ＋1＝3.∴q ＝1或q ＝－2.(理)在等差数列{a n }中，a 1＝3，且a 1，a 4，a 10成等比数列，则a n 的通项公式为( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝n ＋2 C ．a n ＝2n ＋1或a n ＝3 D ．a n ＝n ＋2或a n ＝3 [答案] D[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 24＝a 1·a 10， ∴(3＋3d )2＝3×(3＋9d )，解得d ＝0或d ＝1. ∴a n ＝n ＋2或a n ＝3. 3．若(2＋3i)·z ＝－3i ，则复数z 对应的点在复平面内的 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] C[解析] 解出z ＝－3－23i ，∴选C.4．已知平面向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，若9x ＋3y 的最小值是 ( ) A ．2 3 B ．6 C ．12 D ．3 2 [答案] B[解析] a ⊥b ⇔4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ≥232x ＋y ＝6.当且仅当3y ＝9x 即y ＝2x ＝1时等号成立．5．已知双曲线x 2m －y 2n＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点恰好是抛物线y 2＝4x 的焦点，则此双曲线的渐近线方程是( )A.3x ±y ＝0 B ．x ±3y ＝0 C ．3x ±y ＝0 D ．x ±3y ＝0 [答案] A[解析] y 2＝4x 焦点F (1,0)，∴c ＝1，e ＝c a ＝2.∴a ＝12.∴双曲线方程为x 214－y234＝1，渐近线方程为3x ±y ＝0.6．(文)若函数f (x )＝a sin x －b cos x (ab ≠0)，对任意的实数x 满足f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x ，则直线ax －2by ＋c ＝0的斜率是( )A ．－2B ．2C ．－12D.12[答案] C[解析] ∵f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x ，∴对称轴x ＝π4. ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝0.∵f ′(x )＝a cos x ＋b sin x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝a ·22＋b ·22＝0，∴b ＝－a . ∴k ＝a 2b ＝a －2a ＝－12.(理)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋x 2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x 2的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋7π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋3π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．[2k π，2k π＋π](k ∈Z ) [答案] A[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋x 2·cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x 2 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 由π2＋2k π≤x ＋π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )得， x ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋76π(k ∈Z )，故选A. 7．(文)设f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－5，＋∞)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，－3]∪[－5，＋∞)D ．[－5，5] [答案] C[解析] f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5，∵f (x )在[1,3]上为单调函数，∴f ′(x )≥0恒成立(或f ′(x )≤0恒成立)．a ＝3时，f ′(x )≥0在[1,3]上恒成立，排除B 、D ；a ＝－3时，f ′(x )＝x 2－6x ＋5＝(x －1)(x －5)≤0在[1,3]上恒成立，排除A ，∴选C.(理)在函数y ＝x 3－8x 的图象上，其切线的倾斜角小于π4的点中，坐标为整数的点的个数是 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0 [答案] D[解析] 函数y ＝x 3－8x 的导数y ′＝3x 2－8.∵切线的倾斜角小于π4，∴斜率k 满足0≤k <1，即0≤3x 2－8<1.解得－3<x <－83或83<x < 3.易见x 无整数解，故无坐标为整数的点．选D.8．(文)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为 ( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6 [答案] C[解析] 以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ，则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得，平行四边形OACB 为矩形，OA →⊥OB →.由图形易知直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2，所以选C.(理)已知a=(cos2α，sin α)，b=(1,2sin α-1)，α∈ ，若a ·b= ，则tan 的值为( ) A.13 B.27 C.17 D.23 [答案] C[解析] a ·b ＝cos2α＋sin α(2sin α－1)＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25.∴sin α＝35.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45. ∴tan ＝－34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17. 9．(文)如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为 ( )A ．e1<e2<e3<e4B ．e 1<e 2<e 4<e 3C ．e 2<e 1<e 3<e 4D ．e 2<e 1<e 4<e 3[答案] B[解析] 椭圆①，②的b 值相同，椭圆①的a 值小于椭圆②的a 值，由e ＝ca＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2可得e 1<e 2<1.同理可得1<e 4<e 3，故e 1<e 2<e 4<e 3.(理)(08·湖北)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a1+c1=a2+c2; ②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2; ④c 1a 1<c 2a 2.其中正确式子的序号是 ( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ [答案] B[解析] ∵P 点既在椭圆Ⅰ上，又在椭圆Ⅱ上，且F 是椭圆Ⅰ和Ⅱ的同一侧的焦点， ∴PF ＝a －c ，即a 1－c 1＝a 2－c 2，故②正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2得a 1－a 2＝c 1－c 2，c 1＝a 1－a 2＋c 2，∴c 1a 2－a 1c 2＝(a 1－a 2＋c 2)a 2－a 1c 2＝(a 1－a 2)a 2＋(a 2－a 1)c 2＝(a 1－a 2)(a 2－c 2)，又∵从图中可以看出，a 1>a 2，a 2>c 2，∴c 1a 2－a 1c 2>0，即c 1a 2>a 1c 2，故③正确，故选B.[点评] 数形结合解答更简便，由图知，a 1－c 1＝|PF |＝a 2－c 2，排除A 、C 选项；由于离心率越大，椭圆越扁，由图知Ⅰ比Ⅱ的离心率大，∴c 1a 1>c 2a 2，即c 1a 2>a 1c 2，∴选B.10．在如图△ABC 中，tan C 2＝12，AH →·BC →＝0，则过点C ，以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为 ( )A ． B. 3 C ．2D ．3[答案] C[解析] 由题设条件知，AH ⊥BC ，tan C ＝2tanC 21－tan 2C 2＝43，∵C 点在以A 、H 为焦点的双曲线上，设双曲线的实、虚半轴及半焦距分别为a 、b 、c ，则有AH ＝2c ，CH ＝b 2a ，∴2c b 2a＝43，∴3ac＝2(c 2－a 2)，∴3e ＝2(e 2－1)，即2e 2－3e －2＝0，∵e >1，∴e ＝2.11．(文)如果一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为 ( )A ．80+16B ．64＋16 2C ．96D ．80 [答案] A[解析] 由图知，该几何体由同底的正四棱锥和正方体构成；表面由四个三角形和五个正方形组成．三角形的底边都为4，高为22＋⎝⎛⎭⎫422＝22，正方形边长为4.S 几何体＝4S △＋5S 正方形＝4×4×222＋5×4×4＝80＋16 2.(理)一个几何体的三视图如下图所示，其中主视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为 ( )A ．12B ．6C.32D.23[答案] C[解析] 容易看出该几何体是正六棱锥，由正视图为边长为2的正三角形知六棱锥的高为3，由主视图和俯视图知，底面正六边形边长为1，故左视图是底边长为3，高为3的三角形，面积S ＝32.12．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点，如果AB ＝AC ＝BC ＝23，则球心到平面ABC 的距离为 ( )A ．1 B. 2C. 3 D ．2 [答案] A[解析] S ＝4πR 2＝20π，∴R ＝ 5. △ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝23，∴小圆直径AB sin60°＝2332＝4.∴小圆半径r ＝2.∴球心到截面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝1.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(文)与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线共有________条． [答案] 4[解析] 在两坐标轴上截距相等的直线有两类：①直线过原点时，有两条与已知圆相切；②直线不过原点时，设其方程为x a ＋ya＝1，也有两条与已知圆相切．易知①、②中四条切线互不相同．(理)已知两个点M (－5,0)和N (5,0)，若直线上存在点P ，使|PM |－|PN |＝6，则称该直线为“B 型直线”，给出下列直线：①y ＝x ＋1，②y ＝43x ，③y ＝2，④y ＝2x ，其中为“B 型直线”的是________．(填上所有正确结论的序号)[答案] ①③[解析] 显然使|PM |－|PN |＝6的轨迹为x 29－y 216＝1(x >0)，通过观察图象以及结合渐近线y ＝±43x 的位置，可以得出①③与曲线有交点．14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7 (x <0)x (x ≥0)，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．[答案] －3<a <1[解析] 当a <0时，由f (a )<1得⎝⎛⎭⎫12a－7<1， ∴2－a <8，即a >－3，∴－3<a <0；当a ≥0时，由f (a )<1得a <1，∴0≤a <1. 综上，实数a 的取值范围是(－3,1)．15．(文)设x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3y ≤x －1y ≥0，则z ＝(x －1)2＋(y －1)2的最小值为________．[答案][解析] 画出不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3y ≤x －1y ≥0，所表示的平面区域如图所示，而z ＝(x －1)2＋(y －1)2表示可行域内的点到点P (1,1)的距离的平方．∵P 到直线y ＝x －1的距离为12，∴z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12. 故z 的最小值为12.(理)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 成角的大小等于________．[答案] 90°[解析] 取AD 中点F ，BC 中点E ，连结A 1F ，B 1E ，EF . 则A 1、F 、E 、B 1四点共面．∵A 1A ＝AD ，AF ＝MD ，A 1F ＝AM ， ∴△A 1AF ≌△ADM . ∴∠AA 1F ＝∠DAM .∴∠MAD ＋∠A 1F A ＝90°. ∴A 1F ⊥AM .∵AM ⊥A 1B 1，A 1B 1∩A 1F ＝A 1，∴AM ⊥平面A 1B 1EF . ∵OP ⊆平面A 1B 1EF ，∴AM ⊥OP ，即所成角为90°.16．已知直线l 过P (－1,2)，且与以A (－2，－3)、B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．[答案] ⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞)[解析] 方法1：设P A 与PB 的倾斜角为分别为α、β，直线P A 的斜率是k 1＝5，直线PB 的斜率是k 2＝－12.当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[5，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12.故斜率的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞)．方法2：设直线l 与线段AB 相交于点M (x ，y )，且M 不同于A 、B 两点．设AM →＝λMB →(λ>0)．由向量相等可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3λ－21＋λ，－31＋λ.又∵直线l 过点P (－1,2)，∴直线l 的斜率k ＝－31＋λ－23λ－21＋λ－(－1)＝－5－2λ－1＋4λ，整理得λ＝k －54k ＋2.∵λ>0，∴k －54k ＋2>0，解得k >5或k <－12.当M 与A 重合时，k P A ＝2－(－3)－1－(－2)＝5，当M 与B 重合时，k PB ＝2－0－1－3＝－12.综上所述，直线l 的斜率k 的取值范围是 ⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞)．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos2x －1，x ∈R . (1)求f (x )的最值和最小正周期；(2)设p ：x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，q ：|f (x )－m |<3，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )＝⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos2x －1 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∵x ∈R ，∴f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2，T ＝π.(2)由题意可知：|f (x )－m |<3在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上恒成立．∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴π6≤2x －π3≤2π3，即1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤2. ∴f (x )max ＝2，f (x )min ＝1.∵|f (x )－m |<3⇔f (x )－3<m <f (x )＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2， ∴m >f (x )max －3且m <f (x )min ＋3.∴－1<m <4，即m 的取值范围是(－1,4)．18．(本小题满分12分)(文)在几何体ABCDE 中，∠BAC ＝π2，CD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝BE ＝2，CD ＝1，(1)设平面ABE 与平面ACD 的交线为直线l ，求证：l ∥平面BCDE ；(2)设F 是BC 的中点，求证：平面AFD ⊥平面AFE ； (3)求几何体ABCDE 的体积．[解析] (1)证明：∵CD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ， ∴CD ∥EB .∴CD ∥平面ABE .又l ＝平面ACD ∩平面ABE ，∴CD ∥l . 又l ⊄平面BCDE ，CD ⊂平面BCDE ， ∴l ∥平面BCDE .(2)证明：在△DEF 中，FD ＝3，FE ＝6，DE ＝3，∴FD ⊥FE .∵CD ⊥平面ABC ， ∴CD ⊥AF . 又BC ⊥AF ，∴AF ⊥平面BCDE . ∴AF ⊥FD .∴FD ⊥平面AFE . 又FD ⊂平面AFD ， ∴平面AFD ⊥平面AFE .(3)V ABCDE ＝V A －BCDE ＝13S 四边形BCDE ·AF＝13×12(1＋2)×22×2＝2. (理)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点．(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ； (2)求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1；(3)设E 是CC 1上一点，试确定E 的位置，使平面A 1BD ⊥平面BDE ，并说明理由． [解析] (1)证明：如图，连结AB 1与A 1B 相交于M ，则M 为A 1B 的中点． ∵D 为AC 的中点． ∴B 1C ∥MD .又B 1C ⊄平面A 1BD ， MD ⊂平面A 1BD ， ∴B 1C ∥平面A 1BD . (2)证明：∵AB ＝B 1B ，∴四边形ABB 1A 1为正方形． ∴A 1B ⊥AB 1.又∵AC 1⊥平面A 1BD ， ∴AC 1⊥A 1B .∴A 1B ⊥平面AB 1C 1. ∴A 1B ⊥B 1C 1.又在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥B 1C 1， ∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.(3)解：当点E 为C 1C 的中点时，平面A 1BD ⊥平面BDE ， ∵D 、E 分别为AC 、C 1C 的中点，∴DE ∥AC 1. ∵AC 1⊥平面A 1BD ，∴DE ⊥平面A 1BD . 又DE ⊂平面BDE ，∴平面A 1BD ⊥平面BDE .19．(本小题满分12分)(文)已知函数f (x )＝ln x －2x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．[解析] (1)函数f (x )＝ln x －2x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－2.令f ′(x )>0，∵x >0，∴0<x <12.令f ′(x )<0，∵x >0，∴x >12.∴函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. (2)由(1)得f ′(1)＝1－2＝－1. ∵f (1)＝－2，∴函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y ＋2＝－(x －1)，即x ＋y ＋1＝0. (理)已知函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R )． (1)当a ＝1时，证明函数f (x )只有一个零点；(2)若函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．[解析] (1)证明：当a ＝1时，f (x )＝ln x －x 2＋x ，其定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2x ＋1＝－2x 2－x －1x.令f ′(x )＝0，即－2x 2－x －1x＝0，∵x >0，∴x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.∴函数f (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．∴当x ＝1时，函数f (x )取得最大值，其值为f (1)＝0.当x ≠1时，f (x )<f (1)，即f (x )<0. ∴函数f (x )只有一个零点．(2)f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2a 2x ＋a ＝－2a 2x 2＋ax ＋1x＝－(2ax ＋1)(ax －1)x.①当a ＝0时，f ′(x )＝1x>0，∴f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数，不合题意．②当a >0时，f ′(x )<0(x >0)等价于(2ax ＋1)(ax －1)>0(x >0)，即x >1a.此时f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞.依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤1a >0，解之得，a ≥1.③当a <0时，f ′(x )<0(x >0)等价于(2ax ＋1)(ax －1)>0(x >0)，即x >－12a.此时f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞. 依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧－12a ≤1a <0，解之得，a ≤－12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞)． 20．(本小题满分12分)(文)现有编号分别为1、2、3、4、5的五个不同的政治题和编号分别为6、7、8、9的四个不同的历史题．甲同学从这九个题中一次随机抽取两道题，每题被抽到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两题的编号分别为x 、y ，且x <y ”．(1)共有多少个基本事件？并列举出来．(2)求甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11的概率． [解析] (1)共有36个等可能性的基本事件，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)．(2)记事件“甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11”为事件A . 即事件A 为“x ，y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且x ＋y ∈[11,17)，其中x <y ”，由(1)可知事件A 共含有15个基本事件，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)．∴P (A )＝1536＝512.答：(1)共有36个基本事件；(2)甲同学所抽取的两题的编号之和不小于11且小于17的概率为512.(理)某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为23. (1)求选手甲可进入决赛的概率；(2)该选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．[解析] (1)选手甲答3题进入决赛的概率为⎝⎛⎭⎫233＝827；选手甲答4题进入决赛的概率为C 23·⎝⎛⎭⎫232·13·23＝827.选手甲答5道题进入决赛的概率为C 24⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫132·23＝1681；∴选手甲可进入决赛的概率P ＝827＋827＋1681＝6481. (2)依题意，ξ的可值为3,4,5.则有P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＋⎝⎛⎭⎫133＝13，P (ξ＝4)＝C 23⎝⎛⎭⎫232·13·23＋C 23⎝⎛⎭⎫132·23·13＝1027， P (ξ＝5)＝C 24⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫132＝827，因此，ξ的分布列为： ∴E (ξ)＝3·13＋4·1027＋5·827＝10727. 21．(本小题满分12分)(文)已知“接龙等差”数列a 1，a 2，…，a 10，a 11，…，a 20，a 21，…，a 30，a 31，…的构成如下：a 1＝1，a 1，a 2，…，a 10是公差为1的等差数列；a 10，a 11，…，a 20是公差为d 的等差数列；a 20，a 21，…，a 30是公差为d 2的等差数列；…；a 10n ，a 10n ＋1，a 10n ＋2，…，a 10n ＋10是公差为d n 的等差数列(n ∈N *)，其中d ≠0.(1)若a 20＝80，求d ；(2)设b n ＝a 10n ，求b n ；(3)当d >－1时，证明对所有奇数n 总有b n >5.[解析] (1)由a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列得a 10＝10，a 10，a 11，…，a 20是公差为d 的等差数列得a 20＝a 10＋10d ＝10＋10d ＝80，解得d ＝7.(2)由题意有a 20＝a 10＋10d ，a 30＝a 20＋10d 2，a 40＝a 30＋10d 3，a 10n ＝a 10(n －1)＋10d n －1.累加得a 10n ＝a 10＋10d ＋10d 2＋…＋10d n －1＝10＋10d ＋10d 2＋…＋10d n －1，所以b n ＝10＋10d ＋10d 2＋…＋10d n －1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10(1－d n )1－d (d ≠1)10n (d ＝1). (3)证明：设n 为奇数，当d ∈(0，＋∞)时，b n ＝10＋10d ＋10d 2＋ (10)n －1>10；当d ∈(－1,0)时，b n ＝10(1－d n )1－d ， ∵1<1－d <2及1－d n >1，∴b n ＝10(1－d n )1－d>102＝5. 综上所述，当n 为奇数且d >－1时，恒有b n >5.(理)已知函数f (x )＝12x 2＋32x .数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．(1)令b n ＝a n 2n －1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求T n ； (2)令c n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n，证明2n <c 1＋c 2＋…＋c n <2n ＋12. [分析] ∵点(n ，S n )在函数f (x )的图象上，∴S n ＝12n 2＋32n ，从而{a n }为等差数列，故{b n }求和可用“乘公比错位相减法”；由于c n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n，故c n ≥2，从而c 1＋c 2＋…＋c n ≥2n ，因此只须考虑证明c 1＋c 2＋…＋c n <2n ＋12，考虑到{a n }为等差数列，故可将c n 的常数项分离出来，只须证余下项的和∈⎝⎛⎭⎫0，12. [解析] (1)解：∵点(n ，S n )在函数f (x )的图象上，∴S n ＝12n 2＋32n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，适合上式，∴a n ＝n ＋1对任意n ∈N *都成立．∴b n ＝a n 2n －1＝n ＋12n －1， T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2＋32＋422＋…＋n ＋12n －1① 12T n ＝22＋322＋423＋…＋n 2n －1＋n ＋12n ② ①－②得，12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －1－n ＋12n ＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫1－n ＋12n ＝1－12n 1－12＋1－n ＋12n ＝3－n ＋32n ， ∴T n ＝6－n ＋32n －1. (2)证明：由c n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2＋n ＋2n ＋1>2n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋1＝2，∴c 1＋c 2＋…＋c n >2n . 又c n ＝n ＋1n ＋2＋n ＋2n ＋1＝1－1n ＋2＋1＋1n ＋1＝2＋1n ＋1－1n ＋2， ∴c 1＋c 2＋…＋c n＝2n ＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2＝2n ＋12－1n ＋2<2n ＋12. ∴2n <c 1＋c 2＋…＋c n <2n ＋12成立．22．(本小题满分14分)已知圆A 、圆B 的方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝254，(x －2)2＋y 2＝14，圆心分别为A 、B ，动圆P 与此两圆均外切，直线l 的方程为x ＝a ⎝⎛⎭⎫a ≤12. (1)求圆心P 的轨迹方程，并证明：当a ＝12时，点P 到点B 的距离与点P 到定直线l 的距离之比为定值；(2)延长PB 与点P 的轨迹交于另一点Q ，求|PQ |的最小值．[解析] (1)设动圆P 的半径为R ，则|P A |＝R ＋52，|PB |＝R ＋12，所以|P A |－|PB |＝2(定值)．所以点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右支，其方程为x 2－y 23＝1(x >0)．若a ＝12，则l 的方程为x ＝12，为双曲线的右准线．所以点P 到点B 的距离与点P 到l 的距离之比等于离心率2.(2)若PQ 的斜率存在，设斜率为k ，则直线PQ 的方程为y ＝k (x －2)，代入双曲线方程得，(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0.由⎩⎨⎧ Δ>0x 1＋x 2＝－4k 23－k 2>0x 1·x 2＝－4k 2＋33－k 2>0得，k 2>3. 所以|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝6(k 2＋1)k 2－3＝6＋24k 2－3>6. 当直线的斜率不存在时，x 1＝x 2＝2，得y 1＝3，y 2＝－3，|PQ |＝6.综上可知，|PQ |的最小值为6.。

2011届高三数学综合检测卷及答案

Read xIf x >0 Then1y x ←+Else1y x ←-End If Print y （第7题）2011届高三数学综合检测卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．复数ii4321+-在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限． 2．设全集{1,3,5,7}U =，集合{1,5}M a =-，M U ⊆，{}5,7U M =ð，则实数a 的值为 ▲ ．3．过点()1,0且倾斜角是直线210x y --=的倾斜角的两倍的直线方程是 ▲ ． 4．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标()n m 、，求点P 落在圆1622=+y x 内的概率为 ▲ ．5．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 ▲ ．6．如图所示，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+ ， AQ =23AB+14AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 ▲ ．7．下图是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数1100n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭()n N +∈ 中的前200项，则所得y 值中的最小值为 ▲ ．8．在ABC ∆中，若,,AB AC AC b BC a ⊥==，则ABC ∆的外接圆半径r ，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA SB SC 、、两两垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径R = ▲ ．9．若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为 ▲ ．10．空间直角坐标系中，点,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ▲ ．（第6题）11请将错误的一个改正为lg ▲ = ▲ ．12．如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 ▲ ．13．已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，n n T S ,分别是它们的前n 项和，并且317++=n n T S n n ，则1612108221752b b b b a a a a ++++++= ▲ ．14．已知函数)(x f 的值域为[][]0,4(2,2)x ∈-，函数()1,[2,2g x a x x =-∈-，1[2,2]x ∀∈-，总0[2,2]x ∃∈-，使得01()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是▲ ．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。

2011高考数学一轮复习质量检测数列

第五章数列(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知实数列－1，x ，y ，z ，－2成等比数列，则xyz 等于 ( ) A.－4 B.±4 C.－2 2 D.±2 2 解析：∵xz ＝(－1)×(－2)＝2，y 2＝2，∴y ＝－2(正不合题意)，∴xyz ＝－2 2. 答案：C2.等差数列{a n }的通项公式是a n ＝1－2n ，其前n 项和为S n ，则数列{S nn}的前11项和为( )A.－45B.－50C.－55D.－66 解析：S n ＝(a 1＋a n )n 2，∴S n n ＝a 1＋a n2＝－n ， ∴{S nn}的前11项的和为－66. 答案：D3.已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为( ) A.4 B.14 C.－4 D.－14解析：∵{a n }是等差数列， ∴S 5＝5a 3＝55，∴a 3＝11. ∴a 4－a 3＝15－11＝4， ∴k PQ ＝a 4－a 34－3＝41＝4. 答案：A4.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12·a 8的值为 ( )A.4B.6C.8D.10解析：由已知得：(a 2＋a 10)＋(a 4＋a 8)＋a 6＝5a 6＝80⇒a 6＝16，又分别设等差数列首项为a 1，公差为d ，则a 7－12a 8＝a 1＋6d －12(a 1＋7d )＝12(a 1＋5d )＝12a 6＝8.答案：C5.记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n (n －1)，则该数列是 ( )A.公比为2的等比数列B.公比为12的等比数列C.公差为2的等差数列D.公差为4的等差数列解析：由条件可得n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n (n －1)－2(n －1)(n －2)＝4(n －1)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝0，代入适合，故a n ＝4(n －1)，故数列{a n }表示公差为4的等差数列. 答案：D6.定义：在数列{a n }中，a n ＞0且a n ≠1，若aa n ＋1n 为定值，则称数列{a n }为“等幂数列”.已知数列{a n }为“等幂数列”，且a 1＝2，a 2＝4，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2009＝( )A.6026 B .6024 C.2 D.4 解析：12aa ＝24＝16＝aa 32＝4a 3，得a 3＝2，同理得a 4＝4，a 5＝2，…，这是一个周期数列. ∴S 2009＝2009－12×(2＋4)＋2＝6026. 答案：A7.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).试问三角形数的一般表达式为 ( ) A.n B.12n (n ＋1) C.n 2－1 D.12n (n －1)解析：由1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)可得. 答案：B8.在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n，那么S 100的值等于 ( ) A.2500 B.2600 C.2700 D.2800 解析：据已知当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0⇒a n ＝1，当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2⇒a n ＝n ，10050501(),()11...1246 (100)n an nn S ⎧=⎨⎩=++++++++奇数故这偶数故＝50＋50×2＋1002＝2600. 答案：B9.在函数y ＝f (x )的图象上有点列{x n ，y n }，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为 ( ) A.f (x )＝2x ＋1 B.f (x )＝4x2C.f (x )＝log 3xD.f (x )＝(34)x解析：结合选项，对于函数f (x )＝(34)x 上的点列{x n ，y n }，有y n ＝(34)x n .由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n ＝(34)x n ＋1(34)x n ＝(34)x n ＋1－x n ＝(34)d，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列. 答案：D10.数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有：a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2008＝ ( )A.20072008 B.20071004 C.20082009 D.40162009解析：因为a n ＋m ＝a n ＋a m ＋mn ，则可得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，则可猜得数列的通项a n ＝n (n ＋1)2，∴1a n＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2008＝2(1－12＋12－13＋…＋12008－12009)＝2(1－12009)＝40162009答案：D11.各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( )A.5－12 B.5＋12 C.－1－52 D.5－12或5＋12解析：设{a n}的公比为q(q＞0)，由a3＝a2＋a1，得q2－q－1＝0，解得q＝1＋52.从而a4＋a5a3＋a4＝q＝1＋52.答案：B12.已知等比数列{a n}的各项均为不等于1的正数，数列{b n}满足b n＝lg a n，b3＝18，b6＝12，则数列{b n}前n项和的最大值等于 ( )A.126B.130C.132D.134解析：由题意可知，lg a3＝b3，lg a6＝b6.又∵b3＝18，b6＝12，则a1q2＝1018，a1q5＝1012，∴q3＝10－6.即q＝10－2，∴a1＝1022.又∵{a n}为正项等比数列，∴{b n}为等差数列，且d＝－2，b1＝22.故b n＝22＋(n－1)×(－2)＝－2n＋24.∴S n＝22n＋n(n－1)2×(－2)＝－n2＋23n＝－(n－232)2＋5294.又∵n∈N*，故n＝11或12时，(S n)max＝132.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上)13.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝. 解析：设等比数列的公比为q，则由S6＝4S3知q≠1.∴S6＝1－q61－q＝4(1－q3)1－q.∴q3＝3.∴a1q3＝3.答案：314.已知数列{a n}满足a n＋1a n＝n＋2n(n∈N*)，且a1＝1，则a n＝.解析：由已知得a na n－1＝n＋1 n－1，a n－1 a n－2＝nn－2，…a2 a1＝31，a 1＝1，左右两边分别相乘得a n ＝1·31·42·53·64·…·n －1n －3·n n －2·n ＋1n －1＝n (n ＋1)2答案：n (n ＋1)215.“欢欢”按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的数列为{a n }，则数到 2 008时对应的指头是，数列{a n }的通项公式a n ＝ .(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指).解析：注意到数1,9,17,25，…，分别都对应着大拇指，且1＋8×(251－1)＝2 001，因此数到2 008时对应的指头是食指.对应中指的数依次是：3,7,11,15，…，因此数列{a n }的通项公式是a n ＝3＋(n －1)×4＝4n －1. 答案：食指 4n －116.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26.记T n ＝S n n2，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都成立，则M 的最小值是 . 解析：∵{a n }为等差数列，由a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26，可解得S n ＝2n 2－n ，∴T n ＝2－1n，若T n ≤M 对一切正整数n 恒成立，则只需T n 的最大值≤M 即可.又T n ＝2－1n<2，∴只需2≤M ，故M 的最小值是2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求{a n }前n 项和S n 的最大值. 解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知条件得，1111,3,2,45,a d a d a d +=⎧==-⎨+=-⎩解得所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5. (2)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2.所以n ＝2时，S n 取到最大值4.18.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足：a 1＝14，a 2＝34，a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＜0,3b n －b n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n . (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)求证：数列{b n －a n }为等比数列.解：(1)证明∵2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)， ∴{a n }是等差数列.又∵a 1＝14，a 2＝34，∴a n ＝14＋(n －1)·12＝2n －14，(2)证明：∵b n ＝13b n －1＋n 3(n ≥2，n ∈N *)，∴b n ＋1－a n ＋1＝13b n ＋n ＋13－2n ＋14＝13b n －2n －112＝13(b n －2n －14)＝13(b n －a n ). 又∵b 1－a 1＝b 1－14≠0，∴{b n －a n }是以b 1－14为首项，以13为公比的等比数列.19.(本小题满分12分)(2010·苏北三市联考)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝3，a 5＝6，数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋12b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式与前n 项的和M n ； (2)求数列{b n }的通项公式.解：(1)设{a n }的公差为d ，则：a 2＝a 1＋d ，a 5＝a 1＋4d .125133,6,,46a d a a a d +=⎧∴==⎨+=⎩所以∴a 1＝2，d ＝1∴a n ＝2＋(n －1)＝n ＋1.M n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2＋3n2.(2)证明：当n ＝1时，b 1＝T 1，由T 1＋12b 1＝1，得b 1＝23.当n ≥2时，∵T n ＝1－12b n ，T n －1＝1－12b n －1，∴T n －T n －1＝12(b n －1－b n )，即b n ＝12(b n －1－b n ).∴b n ＝13b n －1.∴{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列.∴b n ＝23·(13)n －1＝23n .20.(本小题满分12分)用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%，若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？解：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额顺次构成数列{a n }，故a 1＝100＋2000×0.01＝120(万元)，a 2＝100＋(2000－100)×0.01＝119(万元)，a 3＝100＋(2000－100×2)×0.01＝118(万元)，a 4＝100＋(2000－100×3)×0.01＝117(万元)， …a n ＝100＋[2000－100(n －1)]×0.01＝120－(n －1)＝121－n (万元)(1≤n ≤20，n ∈N *).因此{a n }是首项为120，公差为－1的等差数列. 故a 10＝121－10＝111(万元)，a 20＝121－20＝101(万元)，20次分期付款的总和为S 20＝(a 1＋a 20)×202＝(120＋101)×202＝2210(万元).∴实际要付300＋2210＝2510(万元).即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2510万元. 21.(本小题满分12分)已知数列{a n }的每一项都是正数，满足a 1＝2且a 2n ＋1－a n a n ＋1－2a 2n ＝0；等差数列{b n }的前n 项和为T n ，b 2＝3，T 5＝25. (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)比较1T 1＋1T 2＋…＋1T n与2的大小；(3)[理]若b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n＜c 恒成立，求整数c 的最小值. 解：(1)由a 2n ＋1－a n a n ＋1－2a 2n ＝0，得(a n ＋1－2a n )(a n ＋1＋a n )＝0，由于数列{a n }的每一项都是正数，∴a n ＋1＝2a n ，∴a n ＝2n. 设b n ＝b 1＋(n －1)d ，由已知有b 1＋d ＝3,5b 1＋5×42d ＝25，解得b 1＝1，d ＝2，∴b n ＝2n －1. (2)由(1)得T n ＝n 2，∴1T n ＝1n2，当n ＝1时，1T 1＝1＜2.当n ≥2时，1n 2＜1(n －1)n ＝1n －1－1n.∴1T 1＋1T 2＋…＋1T n ＜1＋11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝2－1n＜2. (3)[理]记P n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n .∴12P n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1，两式相减得P n ＝3－2n ＋32n .∵P n 递增，∴12≤P n ＜3，P 4＝3716＞2，∴最小的整数c ＝3.22.(本小题满分14分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a 2＝3，S 6＝36. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }是等比数列且满足b 1＋b 2＝3，b 4＋b 5＝24.设数列{a n ·b n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)∵数列{a n }是等差数列， ∴S 6＝3(a 1＋a 6)＝3(a 2＋a 5)＝36.∵a 2＝3，∴a 5＝9，∴3d ＝a 5－a 2＝6，∴d ＝2，又∵a 1＝a 2－d ＝1，∴a n ＝2n －1.(2)由等比数列{b n }满足b 1＋b 2＝3，b 4＋b 5＝24，得b 4＋b 5b 1＋b 2＝q 3＝8，∴q ＝2， ∵b 1＋b 2＝3，∴b 1＋b 1q ＝3，∴b 1＝1，b n ＝2n －1，∴a n ·b n ＝(2n －1)·12n －.∴T n ＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －3)·22n －＋(2n －1)·12n －，则2T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)·12n －＋(2n －1)·2n，两式相减得(1－2)T n ＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋2·2n －2＋2·12n －－(2n －1)·2n，即－T n ＝1＋2(21＋22＋…＋212n －)－(2n －1)·2n＝1＋2(2n－2)－(2n －1)·2n＝(3－2n )·2n－3， ∴T n ＝(2n －3)·2n＋3.。

2011届高考数学一轮复习测评卷12.3

2011年《新高考全案》高考总复习第一轮复习测评卷第十二章第三讲一、选择题1．225与135的最大公约数为() A．5B．15C．65D．45[答案] D2．把88化成五进制数是() A．324(5)B．323(5)C．233(5)D．332(5)[答案] B3．将51化为二进制数是() A．110 011(2)B．110 110(2)C．10 011(2)D．110 101(2)[答案] A4．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别是A．5,15 B．5,5 C．4,5 D．4,4[答案] C5．(2009·大连模拟)下图是把二进制数11111(2)化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是()A ．i ＞4B ．i ＜＝4C ．i ＞5D ．i ＜＝5 [答案] A6．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F十进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15( )A ．6EB ．72C ．5FD ．B 0[解析] A ×B 用十进制可以表示为10×11＝110，而110＝6×16＋14，所以用十进制表示为6E .[答案] A 二、填空题7．完成数制转换：255(10)＝________(8)． [答案] 3778．1624与899的最大公约数是________． [答案] 299．用秦九韶算法计算多项式f (x )的值，我们可以得到公式⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n v k ＝v k －1x ＋a n －k (k ＝1,2…n )现求f (x )＝3x 5＋4x 4＋5x 3＋2x 2＋2x ＋1当x ＝3时的值，其中v 3＝________. [答案] 13410．(2009·沈阳模拟)已知n次多项式P n(x)＝a0x n＋a1x n－1＋…＋a n－1x＋a n，如果在一种算法中，计算xk0(k＝2,3,4，…，n)的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P10(x0)的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)＝a0，P k＋1(x)＝xP k(x)＋a k＋1(k＝0,1,2，…，n－1)．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算P10(x0)的值共需要________次运算．[答案]6520三、解答题11．(1)将101111011(2)转化为十进制的数；(2)将53(8)转化为二进制的数．[解](1)101111011(2)＝1×28＋0×27＋1×26＋1×25＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1＝379.(2)53(8)＝5×81＋3＝43.∴53(8)＝101011(2)．12．用秦九韶算法写出求f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.16667x3＋0.04167x4＋0.00833x5在x＝－0.2时的值的过程．[解]先把函数整理成f(x)＝((((0.00833x＋0.04167)x＋0.16667)x＋0.5)x＋1)x＋1，按照从内向外的顺序依次进行．x＝－0.2a5＝0.00833v0＝a5＝0.008333a4＝0.04167v1＝v0x＋a4＝0.04a3＝0.016667v2＝v1x＋a3＝0.15867a2＝0.5v3＝v2x＋a2＝0.46827a1＝1v4＝v3x＋a2＝0.90635a0＝1v5＝v4x＋a0＝0.81873∴f(－0.2)＝0.81873.亲爱的同学请你写上学习心得________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。

2011届高三数学第一轮复习(数列综合)

2011届高三数学第一轮复习(数列综合）高考在考什么【考题回放】1、 (2008福建文) 已知{}n a 是整数组成的数列，11a =，且点*1(,)()n n a a n N +∈在函数21y x =+的图像上：（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足111,2n an n b b b +==+，求证：221n n n b b b ++⋅<.解：（1）由已知得：11n n a a +=+，所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列；即1(1)1n a n n =+-⋅= （2）由（1）知122na n n nb b +-==112211123()()()12222212112n n n n n n n n n nb b b b b b b b ------=-+-+⋅⋅⋅+-+-=+++⋅⋅⋅++==-- 221221(21)(21)(21)524220n n n n n n n n n b b b ++++-=----=-⋅+⋅=-<所以：221n n n b b b ++⋅<2、(2008福建理) 已知函数321()23f x x x =+-. （Ⅰ）设{a n }是正数组成的数列，前n 项和为S n ，其中a 1=3.若点211(,2)n n n a a a ++-(n ∈N*)在函数y =f ′(x )的图象上，求证：点（n ,S n ）也在y =f ′(x )的图象上；（Ⅱ）求函数f (x )在区间（a -1,a ）内的极值.(Ⅰ)证明：因为321()2,3f x x x =+-所以f ′(x )=x 2+2x , 由点211(,2)(N )n n n a a a n +++-∈在函数y =f ′(x )的图象上,又0(N ),n a n +>∈所以11()(2)0,n n n n a a a a -+---=所以2(1)32=22n n n S n n n -=+⨯+,又因为f ′(n )=n 2+2n ,所以()n S f n '=, 故点(,)n n S 也在函数y=f ′(x )的图象上.(Ⅱ)解:2()2(2)f x x x x x '=+=+, 由()0,f x '=得02x x ==-或.当x 变化时,()f x '﹑()f x 的变化情况如下表: 注意到(1)12a a --=<,从而 ①当212,21,()(2)3a a a f x f -<-<-<<--=-即时的极大值为,此时()f x 无极小值； ②当10,01,()a a a f x -<<<<即时的极小值为(0)2f =-,此时()f x 无极大值；③当2101,()a a a f x ≤--≤≤≥或或时既无极大值又无极小值.3、（2008安徽理）设数列{}n a 满足3*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；（Ⅱ）设103c <<，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈; x (-∞,-2)-2 (-2,0) 0 (0,+∞) f ′(x ) +- 0 + f (x )↗极大值↘极小值↗（Ⅲ）设103c <<，证明：222*1221,13n a a a n n N c++>+-∈- 解 (1) 必要性：120,1a a c ==-∵∴ ，又 2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ，即[0,1]c ∈充分性：设 [0,1]c ∈，对*n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈ 当1n =时，10[0,1]a =∈.假设[0,1](1)k a k ∈≥则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且31110k k a ca c c +=+-≥-=≥1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立 (2) 设 103c <<，当1n =时，10a =，结论成立当2n ≥ 时，3211111,1(1)(1)n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴103C <<∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 21113n n a a --++≤ 且 110n a --≥113(1)n n a c a --≤-∴21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-=∴1*1(3)()n n a c n N -≥-∈∴(3) 设 103c <<，当1n =时，2120213a c=>--，结论成立当2n ≥时，由（2）知11(3)0n n a c -≥->21212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴222222112212[3(3)(3)]n nna a a a a n c c c -+++=++>--+++∴ 2(1(3))2111313n c n n c c-=+->+---4．（2008北京理）对于每项均是正整数的数列12n A a a a ：，，，，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列 1()T A ：12111n n a a a ---，，，，．对于每项均是非负整数的数列12m B b b b ：，，，，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()T B ；又定义2221212()2(2)m m S B b b mb b b b =+++++++．设0A 是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)k k A T T A k +==，，，．（Ⅰ）如果数列0A 为5，3，2，写出数列12A A ，；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明1(())()S T A S A =；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ，存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=．4．（Ⅰ）解：0532A ：，，， 10()3421T A ：，，，， 1210(())4321A T T A =：，，，； 11()43210T A ：，，，，， 2211(())4321A T T A =：，，，．（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A 为12n a a a ，，，，则1()T A 为n ，11a -，21a -，，1n a -，从而112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]n S T A n a a n a =+-+-+++-222212(1)(1)(1)n n a a a ++-+-++-．又2221212()2(2)n n S A a a na a a a =+++++++，所以1(())()S T A S A -122[23(1)]2()n n n a a a =----+++++2122()n n a a a n +-++++2(1)0n n n n =-+++=，故1(())()S T A S A =．（Ⅲ）证明：设A 是每项均为非负整数的数列12n a a a ，，，．当存在1i j n <≤≤，使得i j a a ≤时，交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B ，则()()2()j i i j S B S A ia ja ia ja -=+--2()()0j i i j a a =--≤．当存在1m n <≤，使得120m m n a a a ++====时，若记数列12m a a a ，，，为C ，则()()S C S A =．所以2(())()S T A S A ≤．从而对于任意给定的数列0A ，由121(())(012)k k A T T A k +==，，，可知11()(())k k S A S T A +≤．又由（Ⅱ）可知1(())()k k S T A S A =，所以1()()k k S A S A +≤．即对于k ∈N ，要么有1()()k k S A S A +=，要么有1()()1k k S A S A +-≤．因为()k S A 是大于2的整数，所以经过有限步后，必有12()()()k k k S A S A S A ++===．即存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=． 5、(2008湖南理)数列{}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22n n n n n a a a a a n ππ+===++=满足(Ⅰ)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设21122,.n n n n na b S b b b a -==+++证明：当162.n n S n≥-<时，13．解: (Ⅰ)因为121,2,a a ==所以22311(1cos)sin 12,22a a a ππ=++=+=22422(1cos )sin 2 4.a a a ππ=++==一般地，当*21(N )n k k =-∈时，222121(21)21[1cos]sin 22k k k k a a ππ+---=++ ＝211k a -+，即2121 1.k k a a +--=所以数列{}21k a -是首项为1、公差为1的等差数列，因此21.k a k -=当*2(N )n k k =∈时，22222222(1cos)sin 2.22k k k k k a a a ππ+=++= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.kk a =故数列{}n a 的通项公式为**21,21(N ),22,2(N ).n n n n k k a n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩(Ⅱ)由(Ⅰ)知，2122,2n n n a n b a -==23123,2222n n nS =++++ ①2241112322222n n nS +=++++ ②①-②得，23111111.222222n n n n S +=++++- 21111[1()]1221.122212n n n n n ++-=-=--- 所以11222.222n n n n n n S -+=--=-要证明当6n ≥时，12n S n -<成立，只需证明当6n ≥时，(2)12nn n +<成立. 证法一(1)当n = 6时，66(62)48312644⨯+==<成立. (2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立，即(2)1.2kk k +<则当n =k +1时，1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)1.222(2)(2)2k kk k k k k k k k k k k k++++++++=⨯<<++ 由(1)、(2)所述，当n ≥6时，2(1)12n n +<.即当n ≥6时，12.nS n-< 证法二令2(2)(6)2n n n c n +=≥，则21121(1)(3)(2)30.222n n n n n n n n n c c ++++++--=-=< 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，66831.644n c c ⨯≤==<于是当6n ≥时，2(2)1.2n n +< 综上所述，当6n ≥时，12.n S n-<6、(2008江西理) 等差数列{}n a 各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中，11b =，且2264b S =，{}n b 是公比为64的等比数列．（1）求n a 与n b ；（2）证明：11S ＋21S ＋……＋n S 1＜43．16.解：设{n a }公差为d ，由题意易知d ≥0，且d ∈N*，则{n a }通项n a =3 +（n －1）d ，前n 项和d n n n S n 2)1(3-+=。

2011年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)§9.7--抛物线--答案

§9.7 抛物线1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0>p )：标准方程 px y 22=px y 22-=py x 22=py x 22-=图形▲y xO▲yxO▲y xO▲yxO焦点 )0,2(pF )0,2(p F - )2,0(p F )2,0(p F - 准线 2p x -= 2p x = 2p y -= 2p y =范围 R y x ∈≥,0 R y x ∈≤,00,≥∈y R x 0,≤∈y R x对称轴 x 轴y 轴顶点（0，0）离心率1=e2.抛物线的焦半径、焦点弦①)0(22≠=p px y 的焦半径=PF 2P x +;)0(22≠=p py x 的焦半径=PF 2P y +；② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.③ AB 为抛物线px y 22=的焦点弦，则=B A x x 42p ，=B A y y 2p -，||AB ＝p x x B A ++1.答案 ⎪⎭⎫⎝⎛a 161,0; 2.答案 4; 3.答案 y 2＝8x; 4.答案 4; 5.答案 2例1 解将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6. ∵6＞2，∴A 在抛物线内部.设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－21的距离为d ，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d ，当PA ⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为27，即|PA|＋|PF|的最小值为27，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 坐标为（2，2）.例2解 ①若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为x 2＝－2py(p ＞0)，这时准线方程为y ＝2p , 由抛物线定义知2p－(－3)＝5,解得p ＝4, ∴抛物线方程为x 2＝－8y,这时将点A （m,－3）代入方程，得m ＝±26.②若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，从p ＝|a|知准线方程可统一成x ＝－2a的形式，于是从题设有⎪⎩⎪⎨⎧==+9252am m a，解此方程组可得四组解⎪⎩⎪⎨⎧==29111m a ,⎪⎩⎪⎨⎧-=-=29122m a ,⎪⎩⎪⎨⎧==21933m a ，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=21944m a . ∴y 2＝2x,m ＝29；y 2＝－2x,m ＝－29；y 2＝18x,m ＝21；y 2＝－18x,m ＝－21.例3(1)证明由题意设A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p x x 2,211,B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p x x 2,222,x 1＜x 2, M ()p x 2,0-. 由x 2＝2py 得y ＝px 22,则y ′＝p x ,所以k MA ＝p x 1,k MB ＝p x 2. 2分因此,直线MA 的方程为y ＋2p ＝p x 1(x －x 0),直线MB 的方程为y ＋2p ＝px2(x －x 0). 所以,px 221＋2 p ＝p x 1 (x 1－x 0),①px 222＋2 p ＝p x 2(x 2－x 0).② 5分由①、②得221x x +＝021x x x -+，因此，x 0＝221x x +，即2x 0＝21x x +. 所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列. 8分（2）解由（1）知，当x 0＝2时，将其代入①、②，并整理得：x 21－4x 1－4p 2＝0，x 22－4x 2－4 p2＝0，所以，x 1、x 2是方程x 2－4x －4 p 2＝0的两根， 10分因此，x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4 p 2，又k AB ＝12212222x x px p x --＝p x x 221+＝p x 0，所以k AB ＝p 2.12分由弦长公式得：|AB|＝21k +212214)(x x x x -+＝241p+21616p +.又|AB|＝410，所以p ＝1或p ＝2，因此所求抛物线方程为x 2＝2y 或x 2＝4y. 16分1.答案2172.解设抛物线的方程为y 2＝2 p x(p ＞0),其准线为x ＝－2p.设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2), ∵|AF|＋|BF|＝8，∴x 1＋2p ＋x 2＋2p＝8，即x 1＋x 2＝8－p. ∵Q （6，0）在线段AB 的中垂线上，∴|QA|＝|QB|.即(x 1－6)2＋y 12＝(x 2－6)2＋y 22,又y 12＝2px 1,y 22＝2px 2,∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p)＝0.∵AB 与x 轴不垂直，∴x 1≠x 2, 故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－ p －12＋2 p ＝0, 即p ＝4.从而抛物线的方程为y 2＝8x.3.解（1）由题意可得直线l 的方程为y ＝21x ＋45, ① 过原点垂直于l 的直线方程为y ＝－2x.② 解①②得x ＝－21.∵抛物线的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上， ∴－2p ＝－21×2, p ＝2.∴抛物线C 的方程为y 2＝4x. (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),N(x,y),由题意知y ＝y 1. 由OA ·OB ＋ p 2＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＋4＝0, 又y 12＝4x 1,y 22＝4x 2,解得y 1y 2＝－8,③ 直线ON ：y ＝22x y x ，即y ＝24y x. ④ 由③、④及y ＝y 1得点N 的轨迹方程为x ＝－2(y ≠0). 1.答案x 2＝8y; 2.答案2a ;3.答案29; 4.答案相等; 5.答案－43; 6.答案6; 7.答案3＋22; 8.答案319.解因为一直角边的方程是y ＝2x, 所以另一直角边的方程是y ＝－21x.由⎪⎩⎪⎨⎧==px y x y 222，解得⎪⎩⎪⎨⎧==p y p x 2,或⎩⎨⎧==00y x （舍去），由⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y xy 2212,解得⎩⎨⎧-==p y p x 48,或⎩⎨⎧==00y x （舍去）,∴三角形的另两个顶点为⎪⎭⎫⎝⎛p p,2和（8 p,－4p ）.∴22)4()82(p p p p ++-＝213.解得p ＝54,故所求抛物线的方程为y 2＝58x.10.解由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2c.抛物线方程为y 2＝4cx.∵抛物线过点⎪⎭⎫⎝⎛6,23，∴6＝4c·23.∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x.又双曲线2222b y a x -＝1过点⎪⎭⎫⎝⎛6,23， ∴22649ba-＝a 2＋b 2＝c 2＝1.∴221649a a --＝1.∴a 2＝41或a 2＝9（舍）. ∴b 2＝43，故双曲线方程为4x 2－342y ＝1. 11.（1）解由已知得2 p ＝8,∴2p＝2,∴抛物线的焦点坐标为F （2，0），准线方程为x ＝－2. （2）证明设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），直线AB 的斜率为k ＝tan α,则直线方程为y ＝k(x －2), 将此式代入y 2＝8x,得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0,故x A ＋x B ＝22)2(4k k +,记直线m 与AB 的交点为E （x E ,y E )，则x E ＝2B A x x +＝22)2(2kk +,y E ＝k(x E －2)＝k 4, 故直线m 的方程为y －k 4＝－k 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2242k k x ,令y ＝0,得点P 的横坐标x P ＝2242k k +＋4, 故|FP|＝x P －2＝22)1(4k k +＝α2sin 4,∴|FP|－|FP|cos2α＝α2sin 4(1－cos2α)＝αα22sin sin 24⋅＝8,为定值.12.解（1）设M （x,y ）为轨迹上任意一点，A （0,b ）,Q(a,0)(a ≥0), 则AM ＝（x,y －b ），MQ ＝(a －x,－y), ∵AM ＝－23MQ ，∴（x ，y －b ）＝－23（a －x ，－y ），∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=y b y x a x 23)(23，从而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==yb x a 2131.∴A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-y 21,0，且PA ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,3y , AM ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 23,. ∵PA ·AM ＝0，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,3y ·⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 23,＝0，即3x －43y 2＝0,∴y 2＝4x,故M 点的轨迹方程为y 2＝4x. (2)轨迹C 的焦点为F （1，0），准线为l:x ＝－1,对称轴为xm 的方程为y ＝k(x －1)(k ≠0), 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=xy x k y 4)1(2⇒ky 2－4y －4k ＝0,设G （x 1,y 1）,H(x 2,y 2),则由根与系数的关系得，y 1y 2＝－4, 又由已知OE ＝（－1，y 1),OH ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛222,4y y , ∴(－1)×y 2－y 1×422y ＝－y 2－421y y ·y 2＝－y 2＋y 2＝0,∴OE ∥OH ,故O ，E ，H 三点共线.。

2011届高三理科数学一轮复习过关测试题及答案(一)

2011高三数学一轮复习测试题（理科）1、命题“若a b >，则a c b c +>+”的逆否命题为（）A ．若a b <，则a c b c +<+B ．若a b ≤，则a c b c +≤+C ．若a c b c +<+，则a b <D ．若a c b c +≤+，则a b ≤2、已知{}n a 是等差数列，且2645,6a a a =-=+，则1a = ( )A ．9-B ．8-C ．7-D ．4-3、在ABC ∆中，已知8,60,75a B C ==︒=︒，则b 等于（）A． B． C． D ．3234、0a =是0ab =的什么条件（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知等比数列{}n a 中，123430,120,a a a a +=+=则56a a += ( )A ．150B ．200C ．360D ．4806、椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为6，P 到另一个焦点的距离为（）A ．5B ．6C ．4D ．107．设(2,2,5)u =- 、(6,4,4)v =-分别是平面,αβ的法向量，则平面,αβ的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定8、不等式220x x --+≥的解集是 ( )A ．{}21x x x ≤-≥或B ．{}21x x -<<C ．{}21x x -≤≤D ．∅9．在正方体1111ABCD A BC D -中,11114A E AC = ,1()AE xAA y AB AD =++ ,则（）A ．1122x y ==，B ．112x y ==，C ．113x y ==， D ．114x y ==， 10、设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线l 交于A 、B 两点，则OA OB ⋅ 等于（）A ．34B ．34-C ．3D ．2-11、在ABC ∆中, 若2()()a c a c b bc +-=+,则A= 12、数列{}n a的通项为n a =，若9n S =，则项数n =__________13、设实数,x y 满足2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-的最大值是 14、1F 、2F 是双曲线221916x y -=的两个焦点，P 在双曲线上且满足1232PF PF ⋅=，则12F PF ∠= _____________15．在平行六面体1111ABCD A BC D -中1AB =,2AD =,13AA =,90,BAD ∠=︒1BAA ∠=1DAA ∠60=︒，则1AC 的长为16、已知命题p ：4m >；命题:q 方程244(2)90x m x +-+=无实根. 若p ∨q 为真，p ∧q 为假，⌝p 为假，求m 的取值范围.ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5uks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5uks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u17、已知数列{}n a 是等差数列，11a =，公差为2，又已知数列{}n b 为等比数列，且112211,()b a b a a b =-=.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设n n n a c b =，求{}n c 的前n 项和n S .ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u ks5uks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5uks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5uks5u ks5u ks5u ks5uks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5uks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u18、在△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，且cos 2sin sin cos sin C A C B B -= .（1）求cos B 的值；（2）若4b a c +=，求△ABC 的面积.ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5uks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5uks5u ks5u ks5u ks5u ks5uks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5uks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5uks5u ks5u ks5uks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5uks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5uks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5uks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u19、经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：)0(160039202>++=υυυυy．（1）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？（2）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（结果可保留分数形式）20、（如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=1，AB=2a （0a>），E，F分别CD、PB的中点.（1）求证：EF⊥平面PAB；（2）当a =时，求AC 与平面AEF 所成角的正弦值.21、如图，斜率为k 的直线l 过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>对称轴上的定点(,0)D a λ （λ为非零常数，1λ≠±），且l 交椭圆于A 、B 两点.（1）当12k λ==，且线段AB 中点的横坐标等于4a时，求椭圆的离心率；（2）试探究：在x 轴上是否存在定点M ，使AM BM ⋅恒为定值?参考答案及评分标准一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）ABC D EFP二三. 解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16、（本题满分12分）解：命题p ：4m >由方程244(2)90x m x +-+=无实根，得2216(2)16916(45)0m m m ∆=--⨯=--<，解得，15m -<< 所以，命题q ：15m -<< （5分）p ∨q 为真，p ∧q 为假，⌝p 为假， ∴命题p 为真，命题q 为假， ∴ 41m m >⎧⎨≤-⎩或45m m >⎧⎨≥⎩，解得，5m ≥ ∴m 的取值范围是[5,)+∞ （12分）17、（本题满分12分）解：（1）由{}n a 是等差数列，11a =，公差为2，得21n a n =-数列{}n b 为等比数列，且112211,()b a b a a b =-=，可得，11b =，212b =，11111()22n n n b b --== （5分）（2）1(21)2n nn na c nb -==-⋅∴ 011121232(21)2n n n T c c c n -=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯ ①1221232(21)2n n T n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯ ②①-②，得1211222222(21)2n nn T n --=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯231222(21)2n n n =+++⋅⋅⋅+--⨯1232(21)2222(21)21(21)2121n nnn n n -=+++⋅⋅⋅+--⨯-=--⨯--3(23)2n n T n ∴=+-⋅ （12分）18、（本题满分12分）解：（1）由cos 2sin sin cos sin C A CB B -=得，cos sin 2sin cos cos sin C B A B B C ⋅=⋅-⋅2sin cos sin cos cos sin sin()sin()sin A B B C B C B C A A π∴⋅=⋅+⋅=+=-= s i n0A ≠ ，1cos 2B ∴=. （6分）（2）222222cos 27b a c ac B a c ac =+-=+-=2()37a c ac ∴+-=，3ac ∴=，11sin 322ABC S ac B ∆∴==⨯=（12分）19、（本题满分13分）解：（1）由条件得,10160039202>++v v v整理得28916000v v -+<, 即(25)(64)0v v --<, 解得2564v <<.（6分）（2）依题意，,83920160023920)1600(3920=+≤++=v v y)./(83920,,40,1600max小时千辆所以上式等号成立时即当且仅当===y v v v （13分）20、（本题满分13分）解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz （如图）， AD=1，PD=1，AB=2a （0a >），则E(a,0,0), C(2a,0,0),B(2a,1,0), P(0,0,1),11(,,)22F a .得，11(0,,)22EF = ， (2,1,1)PB a =- ， (2,0,0)AB a =.由11(0,,)(2,0,0)022EF AB a ⋅=⋅= ，得EF AB ⊥，即 EF AB ⊥，同理EF PB ⊥，又AB PB B = ，所以，EF ⊥平面PAB. （6分）（2）解：由2a =，得(2E，11(,)222F，C .有1,0)AC =-，1,0)AE =- ，11(0,,)22EF = . 设平面AEF 的法向量为(,,1)n x y =，由00n EF n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11(,,1)(0,,)022(,,1)(1,0)02x y x y ⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎪⋅-=⎪⎩1102202y x y ⎧+=⎪⎪⇒⎪-=⎪⎩，解得1y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩于是(1,1)n =-设AC 与面AEF 所成的角为θ，AC与n 的夹角为,AC n <> .则sin cos ,6AC n AC n AC nθ⋅=<>===⋅.所以，AC 与平面AEF所成角的大小的正弦值为 . （13分）21、（本题满分13分）解：设直线l 的方程为 ()y k x a λ=-由2222()1y k x a x y a b λ=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得，22222322422()2()0k a b x k a x k a a b λλ+-+-=设，11(,)A x y 、22(,)B x y ，则2312222224221222202k a x x k a b k a a b x x k a b λλ⎧⎪∆>⎪⎪+=⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩ ①，且1122()()y k x a y k x a λλ=-⎧⎨=-⎩ ②（1）12k λ==由中点坐标公式及①式得，231222224x x k a a k a b λ+==+，解得2c e a ==（6分）（2）若存在定点M 符合题意，可设(,0)M m （m 为常数），且AM BM r ⋅=（r 为常数），则AM BM MA MB r ⋅=⋅=.而11(,)MA x m y =- ，22(,)MB x m y =-则112212(,)(,)x m y x m y y y r--+=即2121212()x x m x x m y y r -+++= ③ 把① ②两式代入③式，整理得，22222222222(2)()0k a a b m b m a r b m a r λλλ++---+--= ④（其中,,,,a b m r λ都为常数）要使④式对变量k 恒成立，当且仅当22222222200a b m b ma r m a r λλλ⎧++---=⎪⎨--=⎪⎩解得，222222(1)(1)(0)2a bmar m aλλλλ⎧++-=≠⎪⎨⎪=-⎩，故存在定点(,0)M m符合题意.其中，2222(1)(1)2a bmaλλλ++-=，22AM BM m a⋅=-. （13分）ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u ks5u。

2011届高考数学一轮复习测评卷7.8

2011年《新高考全案》高考总复习第一轮复习测评卷第七章第八讲一、选择题 1．(2009·全国Ⅱ，5)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35[答案] C 2．(2009·浙江，5)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° [答案] C3．点P 在正方形ABCD 所在的平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，则P A 与BD 所成角的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 将其补成正方体，如右图P A 与BD 成60°角，故选C.[答案] C 4．(2009·全国Ⅰ，10)已知二面角α－l －β为60°，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P 、Q 两点之间距离的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 3 D ．4 [答案] C5．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，则直线PQ 与直线AM 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系，A (0,0,0)，M (0,1，12)，Q (12，12，0)，P (x,0,1)∴AM →＝(0,1，12)，PQ →＝(12－x ，12，－1)AM →·PQ →＝0×(12－x )＋1×12＋12×(－1)＝0，∴AM →⊥PQ →.[答案] D 6．(2007·深圳二模理7)在教材中，我们学过“经过点P (x 0，y 0，z 0)，法向量为e ＝(A ，B ，C )的平面的方程是：A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C (z －z 0)＝0”．现在我们给出平面α的方程是x －y＋z ＝1，平面β的方程是x 6－y 3－z6＝1，则由这两平面所成的锐二面角的余弦值是( )A.23B.33C.39D.223 [答案] A 二、填空题 7．(2009·四川，15)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．[答案] 90°8．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于____________．[解析] 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，底面对角线BD ＝26，则边长BC ＝2 3.作SO ⊥底面ABCD ，作OE ⊥CD ，连SE ，则∠SEO 就是侧面与底面所成二面角的平面角，又由V ＝13×(23)2·SO ＝12，得SO ＝3.则在Rt △SEO 中，tan ∠SEO ＝3，∴∠SEO ＝π3，即侧面与底面所成的二面角等于π3.[答案] π39．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为________．[解析] 不妨设正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D (32，－12，2) ∴CD →＝(32，－12，2)，CB 1→＝(3，1,2)设平面B 1DC 的法向量为n ＝(x ，y,1) 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0n ·CB 1→＝0解得 n ＝(－3，1,1)又∵DA →＝(32，－12，－2) ∴sin θ＝1，cos<DA →·n >＝45.[答案] 4510．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为________．[解析] 解法一：A 1B 1∥平面D 1EF ，∴G 到平面D 1EF 的距离为A 1到平面D 1EF 的距离．在△A 1D 1E 中，过A 1作A 1H ⊥D 1E 交D 1E 于H ，显然A 1H ⊥平面D 1EF ，则A 1H 即为所求，在Rt △A 1D 1E 中， A 1H ＝A 1D 1·A 1E D 1E＝1×121＋(12)2＝55. 解法二：等体积法，设h 为G 到平面D 1EF 的距离． ∵VG －D 1EF ＝VA 1－D 1EF ＝VF －D 1A 1E ，∴12×1×52×h ＝12×1×12×1，∴h ＝55. [答案] 55三、解答题 11．(2009·全国Ⅱ，18)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1.(1)证明：AB ＝AC ；(2)设二面角A －BD －C 为60°，求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小．解法一：(1)[证明] 取BC 中点F ，连接EF ，则EF 綊12B 1B ，从而EF 綊DA .连接AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF ∥DE . 又DE ⊥平面BCC 1，故AF ⊥平面BCC 1.从而AF ⊥BC ，即AF 为BC 的垂直平分线，所以AB ＝AC .(2)如图(1)作AG ⊥BD ，垂足为G ，连接CG .由三垂线定理知CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面角A －BD －C 的平面角．由题设知，∠AGC ＝60°.设AC ＝2，则AG ＝23.(1)∴AB ＝2，BC ＝2 2.∴AF ＝ 2.由AB ·AD ＝AG ·BD 得2AD ＝23·AD 2＋22，解得AD ＝ 2.故AD ＝AF .又AD ⊥AF ，∴四边形ADEF 为正方形．∵BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD ＝A ，故BC ⊥平面DEF ，因此平面BCD ⊥平面DEF . 连接AE ，DF ，设AE ∩DF ＝H ，则EH ⊥DF . ∴EH ⊂平面DEF ，∴EH ⊥平面BCD .连接CH ，则∠ECH 为B 1C 与平面BCD 所成的角．因ADEF 为正方形，AD ＝2，故EH ＝1.又EC ＝12B 1C ＝2，∴∠ECH ＝30°，即B 1C 与平面BCD 所成的角为30°.解法二：(1)[证明] 以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图(2)所示的直角坐标系A －xyz .(2)设AB ＝1，则B (1,0,0)，C (0，b,0)，D (0,0，c )，则B 1(1,0,2c )，E (12，b2，c )．于是DE →＝(12，b2，0)，BC →＝(－1，b,0)．由DE ⊥平面BCC 1知DE ⊥BC ，即DE →·BC →＝0，求得b ＝1. 所以AB ＝AC .(2)设平面BCD 的法向量AN →＝(x ，y ，z )，则AN →·BC →＝0，AN →·BD →＝0.又BC →＝(－1,1,0)，BD →＝(－1,0，c )，故⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋cz ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1c ，AN →＝(1,1，1c)．又平面ABD 的法向量AC →＝(0,1,0)，由二面角A －BD －C 为60°知，〈AN →，AC →〉＝60°，故AN →·AC →＝|AN →|·|AC →|·cos60°，求得c ＝12.于是AN →＝(1,1，2)，CB 1→＝(1，－1，2)，cos 〈AN →，CB 1→〉＝AN →·CB 1→|AN →|·|CB 1→|＝12， ∴〈AN →，CB 1→〉＝60°.∴B 1C 与平面BCD 所成的角为30°. 12．(2008·广东理)如图所示，等腰三角形△ABC 的底边AB ＝66，高CD ＝3，点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点，点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE ，记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P －ACFE 的体积．(1)求V (x )的表达式；(2)当x 为何值时，V (x )取得最大值？(3)当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值． [解] (1)∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥PE .又∵PE ⊥AE ，EF ∩AE ＝E ，且PE 在平面ACFE 外， ∴PE ⊥平面ACFE .∵EF ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴EF ∥CD . ∴EF CD ＝x BD ⇒EF ＝CD BD x ＝x 6. ∴四边形ACFE 的面积S 四边形ACFE ＝S △ABC －S △BEF ＝12×66×3－12×16x 2＝96－126x 2.∴四棱锥P －ACFE 的体积V P －ACFE ＝13S 四边形ACFE ·PE ＝36x －166x 3，即V (x )＝36x －166x 3(0＜x ＜36)．(2)由(1)知V ′(x )＝36－126x 2.令V ′(x )＝0⇒x ＝6.∵当0＜x ＜6时，V ′(x )＞0，当6＜x ＜36时，V ′(x )＜0， ∴当BE ＝x ＝6时，V (x )有最大值，最大值为V (6)＝12 6.(3)解法一：如图，以点E 为坐标原点，向量EA →、EF →、EP →分别为x 、y 、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则E (0,0,0)，P (0,0,6)，F (0，6，0)，A (66－6,0,0)，C (36－6,3,0)．于是AC →＝(－36，3,0)，PF →＝(0，6，－6)． AC 与PF 所成角θ的余弦值为cos θ＝AC →·PF →|AC →||PF →|＝3654＋9＋00＋6＋36＝17.∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为17.解法二：过点F 作FG ∥AC 交AE 于点G ，连接PG ，则∠PFG 为异面直线AC 与PF 所成的角．∵△ABC 是等腰三角形， ∴△GBF 也是等腰三角形．于是FG ＝BF ＝PF ＝BE 2＋EF 2＝42，从而PG ＝PE 2＋GE 2＝BE 2＋BE 2＝6 2.在△GPF 中，根据余弦定理得cos ∠PFG ＝PF 2＋FG 2－PG 22PF ·FG ＝17.故异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为17.亲爱的同学请写上你的学习心得。

2011届高三一轮复习精品练习

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)21•集合A = {1,2 , a}, B = {2,3 , a} , C = {1,2,3,4} , a€ R，则集合(A n B) n C 不可能是()A • {2} B• {1,2}C. {2,3} D • {3}【解析】若a=- 1, (A n B) n C= {1,2}；若a= 3,则(A n B) n C= {2,3}若 - 1 且3,则(A n B) n C= {2}，故选D.【答案】 D2. (2009 全国卷I )设集合A = {4,5,7,9} ,B = {3,4,7,8,9},全集U = A U B ,则集合？u(A n B)中的元素共有()A . 3个B. 4个C. 5个D. 6个【解析】 A n B = {4,7,9} , A U B= {3,4,5,7,8,9} , ?u(A n B) = {3,5,8}，故选A.【答案】 A3. (2009 年广东卷)已知全集U = R，集合M = {x| —2< x —K 2}和N = {x|x = 2k- 1, k=1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如右图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A . 3个B. 2个C. 1个D.无穷多个【解析】M = {x| - 1 < x w 3} , M n N = {1,3}，有2 个.【答案】 B4. 给出以下集合：①M = {x|x2+ 2x + a= 0, a€ R}；②N = {x| -x2+ x- 2>0};③p= {x|y = lg( - x)} n {y|y = lg( - x)}；④Q= {y|y = x2} n {y|y = x-4},其中一定是空集的有()A . 0个B. 1个C. 2个D. 3个【解析】在集合M中，当△= 4 - 4a> 0时，方程有解，集合不是空集；而Q = {y|y=x2} n {y|y = x - 4} = {y|y > 0} n {y|y € R} = {y|y > 0}，所以不是空集;在P 中，P= {x|y = lg(- x)} n {y|y = lg(-x)} = {x|x v 0} n R = {x|x v 0}，不是空集；在N 中，由于不等式一x + x- 2 >0? x2-x + 2 v 0, △=—7v 0，故无解，因此，只有1个一定是空集，所以选B.【答案】B5. 如右图所示的韦恩图中，A , B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分所表示的集合. 若x, y€ R,A={x|y=} , B={y|y=3x , x > 0}，贝U A#B=( )A . {x|0 v x v 2} B. {x|1 v x< 2}C. {x|0 w x< 1 或x>2}D. {x|0 w x< 1 或x> 2}【解析】依据定义，A#B就是将A U B除去A A B后剩余的元素所构成的集合. 对于集合A，求的是函数y = • 2x—x2的定义域，解得：A = {x|0 w x w 2};对于集合B ,求的是函数y= 3\x > 0)的值域，解得B = {y|y > 1}，依据定义得：A#B = {x|0 w x w 1或x >2}.【答案】D26. 定义一种集合运算A?B = {x|x € (A U B)，且x?(A A B)},设M = {x||x| v 2}, N = {x|x—4x + 3v 0}，贝U M?N所表示的集合是()A .(―汽一2] U [1,2) U (3,+^ )B. ( —2,1] U [2,3)C. ( —2,1) U (2,3)D .(―汽一2] U (3 ,+s )【解析】M = {x| —2 v x v 2} , N = {x|1 v x v 3}，所以M A N= {x|1 v x v 2}, M U N ={x| —2v x v 3}，故M?N= (—2,1] U [2,3).【答案】B二、填空题(每小题6分，共18分)7. ______________________________________________________________________ 已知集合A = {x € R|ax2+ 2x+ 1 = 0, a€ R}只有一个元素，则a的值为_________________________ .1【解析】当a= 0时，A = {—》；当0时，若集合A只有一个元素，则4 —4a= 0,即即a= 1.综上，当a= 0或a= 1时，集合A只有一个元素.【答案】0或18. (2009 年天津卷)设全集U = A U B = {x € N +|lg x v 1}，若A A (?U B) = {m|m = 2n+ 1,n= 0,1,2,3,4}，则集合B = _________ .【解析】 A U B = {x € N+ |lg x v 1} = {123,4,5,6,7,8,9}, A A (?U B) = {m|m = 2n+ 1, n=0,1,2,3,4} = {1,3,5,7,9},••• B= {2,4,6,8}.【答案】{2,4,6,8}29. __________________ 设全集I = {2,3 , a + 2a—3} , A = {2 , |a+ 1|}, ?I A = {5} , M = {x|x = log2|a|}，则集合M的所有子集是.【解析】I A U (?I A) = I ,• {2,3 , a2+ 2a—3} = {2,5, |a+ 1|},•- |a+ 1 = 3,且a2+ 2a—3= 5 ,解得a= —4或a= 2.•- M = {log 2 2 , log2|—4|} = {1,2}.【答案】? , {1} , {2} , {1,2}三、解答题(共46分)210. (15 分)设集合A = {x ,2x —1 , —4} , B = {x —5,1 —x,9},若A A B = {9},求A U B.【解析】由9€ A ,可得x2= 9或2x —1= 9 ,解得x= ±3或x= 5.当x = 3 时,A = {9,5 , —4}, B = { —2, —2,9},B中元素重复舍去.当x = -3 时，A = {9 , - 7，- 4}, B = { —8,4,9},A AB = {9}满足题意，故A U B = { —7,—4,—8,4,9}.当x = 5 时,A = {25,9 , —4} , B = {0，—4,9},此时A A B = { —4,9}与A A B = {9}矛盾，舍去.综上所述，x = —3 且A U B = { —8, —4,4, —7,9}.11. (15 分)已知集合A = {x|x 2—5x + 6= 0} , B = {x|mx + 1 = 0}，且B? A，求实数m 的值组成的集合.【解析】A = {x|(x —2)(x —3) = 0} = {2,3},若m = 0, B = ?? A ;1 ]若m z 0, B =凶x = —m :由B?A 得11 11—m = 2，或—m = 3，解得m = —- , m = —3因此实数m的值组成的集合是III III 2 3f 1 110,-2，—3.12. (16 分)集合A = {x| —2< x w 5}, B = {x|m + 1< x< 2m—1}.(1) 若B?A，求实数m的取值范围；(2) 当x € Z时，求A的非空真子集的个数；(3) 当x € R时，没有元素x使x€ A与x € B同时成立，求实数m的取值范围.【解析】(1)当m+ 1 >2m—1，即m v 2时，B = ?满足B? A.当m+ 1 w2m—1，即m》2时，要使B? A成立，m+1> —2需，可得2w m w 3,(2m —1 w 5综上，m W 3时有B? A.(2) 当x € Z 时，A = { —2,—1,0,1,234,5},所以A的非空真子集个数为28—2= 254.(3) 因为x € R,且A = {x| —2W x w 5} , B = {x|m + 1 w x w 2m —1},又没有元素x 使x € A 与x€ B同时成立.则①若B = ?，即m+ 1 >2m—1,得m v 2时满足条件.②若B丰?，则要满足的条件是m+ 1 w 2m—1 m + 1 w 2m—1丫或i ,m+ 1 > 5 2m —1 v—2£ £解得m> 4.综上，有m v 2或m> 4。

2011届高三综合测试卷

2011届高三数学综合测试卷一、选择题：1设等差数列{}n a 的公差d ≠0，14a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =(A) 3或-1(B) 3或1 (C) 3 (D) 12已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩ 若f (2-x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是(A) (,1)(2,)-∞-⋃+∞ (B) (,2)(1,)-∞-⋃+∞ (C) (1,2)-(D) (2,1)-3从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点(,)M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为 (A)12(B)13 (C) 14 (D) 16 4已知O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）A ．AO OD =B ．2AO OD =C ．3AO OD = D ．2AO OD =5．6已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ，则使得120PF PF ⋅<的点M 的概率为（）A ．23B ．63C ．63D ．127．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1,()()f f x f x '=为的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足1(2)1,1b f a b a ++<+则的取值范围是（）A ．11(,)53B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞C ．1(,5)3D ．(,3)-∞ 8.已知点(3,3)A ，O 为坐标原点，点(,)P x y 的坐标x ，y 满足303200x y x y ⎧-≤⎪+≥⎨⎪≥⎪⎩，则向量 OA在向量OP 方向上的投影的取值范围是（） A.[3,3]- B.[3,3]- C.[3,3]- D.[3,3]-9对于定义域和值域均为[0，1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则f 的n 阶周期点的个数是 (A) 2n(B) 2(2n -1) (C) 2n (D) 2n 210 定义区间(, )a b ，[, )a b ，(, ]a b ，[, ]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5)的长度(21)(53)3d =-+-=. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，其中x ∈R . 设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，若用123,,d d d 分别表示不等式()()f x g x >，方程()()f x g x =，不等式()()f x g x <解集区间的长度，则当02011x ≤≤时，有（A ）1231, 2, 2008d d d === （B ）1231, 1, 2009d d d ===（C ）1233, 5, 2003d d d === （D ）1232, 3, 2006d d d ===二、填空题11．阅读如图所示的程序框图，运行该程序后输出的k 的值是．12函数2(0)y x x =>的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1n a +，*135,16,n N a a a ∈=+=若则，数列{}n a 的通项公式为．13设正实数a b 、满足等式21a b +=，且有22142a b t -≤-恒成立，则实数t 的取值范围是14 已知()nx x 2323+展开式中各项的系数和比各项二项式系数和大992，则展开式中系数最大项为_______________15 对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i (n 是不小于3的正整数)，对于任意的,{1,2,3,,}p q n ∈，当q p <时有q p i i >，则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于；若数组123(,,,,)n i i i i 中的逆序数为n ，则数组11(,,,)n n i i i -中的逆序数为 .三解答题16在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC 的形状．17 在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23．（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望；（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？18 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为A 1D 1和CC 1的中点．（Ⅰ）求证：EF//平面ACD 1；（Ⅱ）求异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值；（Ⅲ）在棱BB 1上是否存有一点P ，使得二面角P —AC —B 的大小为30°？若存有，求出BP 的长；若不存有，请说明理由．19 已知函数2()ln 20)f x a x a x =+-> (.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记()()()g x f x x b b =+-∈R .当1a =时，函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围.20 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 经过点61(,)22P ，离心率为22，动点(2,)(0).M t t >（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个定值．21 有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a (,1,2,3,,, 3)m k n n =≥，公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列．（Ⅰ）证明1122m d p d p d =+ （3m n ≤≤，12,p p 是m 的多项式），并求12p p +的值；（Ⅱ）当121, 3d d ==时，将数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d (每组数的个数构成等差数列)．设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}m c m d 的前n 项和n S ．（Ⅲ）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（Ⅱ）中的n S ，求使得不等式1(6)50n n S d ->成立的所有N 的值．。

资料：届高三数学试题参考答案

2011届高三数学题库参考答案一．选择题（每题5分，共50分）AADBC CAACB二．填空题（每题5分，共25分） 11．3512．4 13．12114．π20 15．A )1,0[∪),1(+∞； B ．2 C ．26三．解答题（共75分） 16．（本题满分12分）解：（1）∵ 1)4sin()4sin(2)6(cos 2)(2-+-+-=πππx x x x f)4cos()4sin(2)32cos(πππ--+-=x x x)22sin(2sin 232cos 21π-++=x x x x x x 2cos 2sin 232cos 21-+=)62sin(π-=x（5分）∴ 周期 ππ==22T 。

由262πππ+=-k x ，得 32ππ+=k x )(Z k ∈ ∴ 函数图像的对称轴方程为32ππ+=k x )(Z k ∈ （7分）（2）∵]2,12[ππ-∈x ，∴]65,3[62πππ-∈-x ，又∵)(x f )62sin(π-=x 在区间]3,12[ππ-上单调递增，在区间]2,3[ππ上单调递减，∴当3π=x 时，)(x f 取最大值1。

又 ∵1)2(23)12(=<-=-ππf f ，∴当12π-=x 时，)(x f 取最小值23-。

∴ 函数)(x f 在区间]2,12[ππ-上的值域为]1,23[-。

（12分）17．（本题满分12分）解：（1）从袋中随机摸4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5，6，7，8。

(2分)354)5(473314===C C C X P ， 3518)6(472324===C C C X P ， 3512)7(471334===C C C X P ，351)8(47344===C C C X P ， X5 6 7 8P354 3518 3512 351（8分）（2）根据随机变量X 的分布列，可以得到得分大于6的概率为：35133513512)8()7()6(=+==+==>X P X P X P 。

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备考2011高考数学基础知识训练（9）
班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______
一、填空题（每题5分，共70分）
1
．函数ylgx的定义域为
2．在等差数列｛an｝中，已知a1=2,a2+a3=13，则a4+a5+a6等于= ．
3．曲线y?
sinx在点（
4．已知a,b是非零向量，且满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是
5．当x?(1,2)时，不等式(x?1)2?logax恒成立，则实数a的取值范围是_______.
6.已知二次函数f(x)?ax2?bx?c，满足条件f(2?x)?f(2?x)，其图象的顶点为A，又图象与x 轴交于点B、C，其中B点的坐标为(?1,0)，?ABC的面积S=54，试确定这个二次函数的解析式 .
7．函数y?a1?x(a?0,a?1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx?ny?1?0(mn?0) 上，则
8．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n,
通项公式为．
9．在圆x2?y2?5x内，过点(,)有n(n?N)条弦，它们的长构成等差数列，若a1为过该点最短弦的长,an为过该点最长弦的长,公差d?(,)，那么n的值是． ?3 11?的最小值为___________ mnSn)(n?N*)均在函数y=3x-2的图象上．则数列{an}的n5322*1153。