高考数学专项精析精炼考点25 不等关系与不等式(含解析)

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高中数学知识点精讲精析不等关系

13.1 不等关系（一）不等关系与不等式1. 用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式。

2. 数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。

3. 对于任意两个实数a 和b ，在三种关系中有且只有一种关系成立。

4. 这组关系告诉我们比较两个实数的大小，可以通过判断它们的差的符号来确定。

5. 若a 、b ∈R ＋，则这组关系告诉我们比较两个正实数的大小，可以通过判断它们的商与“1”的大小关系来确定。

（二）不等式的性质不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础，证明这些性质必须是严格的，不能盲目地乱用。

保证每一步推理都有理论根据，否则可能导致推理错误。

1. 等式两边同乘以同一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数a （或代数式），结果有三种：（1）当a ＞0时，得同向不等式。

（2）当a ＝0时，得等式。

（3）当a ＜0时，得异向不等式。

a b,a b,ab =><2. 不等式性质，有同向不等式相加，得同向不等式，并无相减。

若或.这个结论常用，不妨记为：“大数减小数大于小数减大数。

”3. 不等式性质，有均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除。

若，这个结论也常用。

不妨记为：“大正数除以小正数大于小正数除以大正数。

”4. 不等式性质有.不能忽略a 、b 均为正数这个条件，即由是不一定成立的。

5. 由成立。

但不一定成立。

反过来也不一定成立。

事实上。

（三）均值不等式1. 对于任意实数a ，b 都有，当且仅当a ＝ b 时等号成立。

2. 对于任意正实数a ，b，当且仅当a ＝ b 时等号成立。

3. 对于任意正实数a, b 都有，当且仅当a ＝ b 时等号成立。

4.的几何解释：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 上任意一点，DE是过C 点垂直于AB 的弦。

若AC ＝a, BC ＝b 则AB ＝a ＋b ，⊙O 的半径，Rt △ACD∽Rt △BCD ，,。

人教版高中数学必修二讲义专题03 不等关系与不等式(解析版)

目录不等关系与不等式 ................................................................................................. 错误!未定义书签。

考点1:不等关系与不等式 (2)考点2:等式性质与不等式性质 (7)专题03 不等关系与不等式考点1:不等关系与不等式知识点一基本事实两个实数a ,b ,其大小关系有三种可能,即a >b ,a ＝b ,a <b .思考 x 2＋1与2x 两式都随x 的变化而变化,其大小关系并不显而易见．你能想个办法,比较x 2＋1与2x 的大小吗?正确答案作差:x 2＋1－2x ＝( x －1)2≥0,所以x 2＋1≥2x . 知识点二重要不等式∀a ,b ∈R ,有a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立．题型1:用不等式( 组)表示不等关系例1 《铁路旅行常识》规定:一、随同成人旅行,身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票( 以下称儿童票),超过1.5米的应买全价票,每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童,超过一名时,超过的人数应买儿童票． ……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米,杆状物品不得超过200厘米,重量不得超过20千克……设身高为h ( 米),物品外部长、宽、高尺寸之和为P ( 厘米),请用不等式表示下表中的不等关系.解由题意可获取以下主要信息:( 1)身高用h ( 米)表示,物体长、宽、高尺寸之和为P ( 厘米);( 2)题中要求用不等式表示不等关系．参考解答本题应先理解题中所提供的不等关系,再用不等式表示．身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h ≤1.5, 身高超过1.5米可表示为h >1.5, 身高不足1.2米可表示为h <1.2,物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P ≤160.如下表所示:变式某套试卷原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本．据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?解提价后销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20( 2.5≤x <6.5)．题型2:作差法比较大小例2 已知a ,b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．解 ∵a 3＋b 3－( a 2b ＋ab 2)＝( a 3－a 2b )＋( b 3－ab 2) ＝a 2( a －b )＋b 2( b －a )＝( a －b )( a 2－b 2)＝( a －b )2( a ＋b )．当a ＝b 时,a －b ＝0,a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2; 当a ≠b 时,( a －b )2>0,a ＋b >0,a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述,a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.变式已知x <1,试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．解 ∵( x 3－1)－( 2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝( x 3－x 2)－( x 2－2x ＋1)＝x 2( x －1)－( x －1)2 ＝( x －1)( x 2－x ＋1)＝( x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34, 又∵⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0,x －1<0, ∴( x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0,∴x 3－1<2x 2－2x .考点1:练习题1．下列说法正确的是( )A ．某人月收入x 元不高于2 000元可表示为“x <2 000”B ．小明的身高为x ,小华的身高为y ,则小明比小华矮可表示为“x >y ”C ．变量x 不小于a 可表示为“x ≥a ”D ．变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ” 正确答案 C详细解析对于A,x 应满足x ≤2 000,故A 错误;对于B,x ,y 应满足x <y ,故B 错误;C 正确;对于D,y 与a 的关系可表示为“y ≤a ”,故D 错误．2．在开山工程爆破时,已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm,人跑开的速度为每秒4 m,为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区,导火索的长度x ( cm)应满足的不等式为( ) A ．4×x0.5≥100B ．4×x0.5≤100 C ．4×x0.5>100D ．4×x0.5<100正确答案 C详细解析导火索燃烧的时间x 0.5秒,人在此时间内跑的路程为4×x0.5m ．由题意可得4×x0.5>100. 3．设M ＝x 2,N ＝－x －1,则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关正确答案 A详细解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0, ∴M >N .4．若y 1＝2x 2－2x ＋1,y 2＝x 2－4x －1,则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1>y 2 B ．y 1＝y 2C ．y 1<y 2D ．随x 值变化而变化正确答案 A5．如图,在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库,四周是绿地,仓库的长a 大于宽b 的4倍,则表示上述的不等关系正确的是( )A ．a >4bB ．( a ＋4)( b ＋4)＝200C.⎩⎪⎨⎪⎧a >4b ，(a ＋4)(b ＋4)＝200 D.⎩⎪⎨⎪⎧a >4b ，4ab ＝200 正确答案 C详细解析由题意知a >4b ,根据面积公式可以得到( a ＋4)( b ＋4)＝200,故选C.6．某次数学智力测验,共有20道题,答对一题得5分,答错一题得－2分,不答得零分．某同学有一道题未答,设这个学生至少答对x 题,成绩才能不低于80分,列出其中的不等关系:________.( 不用化简)正确答案 5x －2( 19－x )≥80,x ∈N *详细解析这个学生至少答对x 题,成绩才能不低于80分,即5x －2( 19－x )≥80,x ∈N *. 7．某商品包装上标有重量500±1克,若用x 表示商品的重量,则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为________．正确答案 |x －500|≤1详细解析 ∵某商品包装上标有重量500±1克, 若用x 表示商品的重量, 则－1≤x －500≤1, ∴|x －500|≤1.8．若x ∈R ,则x 1＋x 2与12的大小关系为________．正确答案x 1＋x 2≤12详细解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0.∴x 1＋x 2≤12. 9．已知a ,b ∈R ,x ＝a 3－b ,y ＝a 2b －a ,试比较x 与y 的大小．解因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2( a －b )＋a －b ＝( a －b )( a 2＋1), 所以当a >b 时,x －y >0,所以x >y ; 当a ＝b 时,x －y ＝0,所以x ＝y ; 当a <b 时,x －y <0,所以x <y .10．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A,B 含量及成本如下表:若用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用x ,y 表示混合食物成本c 元,并写出x ,y 所满足的不等关系．解依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z , 又x ＋y ＋z ＝100,∴c ＝400＋7x ＋5y ,由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56 000，800x ＋400y ＋500z ≥63 000及z ＝100－x －y ,得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130.∴x ,y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.11．已知0<a 1<1,0<a 2<1,记M ＝a 1a 2,N ＝a 1＋a 2－1,则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．无法确定正确答案 B详细解析 ∵0<a 1<1,0<a 2<1,∴－1<a 1－1<0,－1<a 2－1<0,∴M －N ＝a 1a 2－( a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1( a 2－1)－( a 2－1)＝( a 1－1)( a 2－1)>0, ∴M >N ,故选B.12．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2,且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1,则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12正确答案 A详细解析令a 1＝0.1,a 2＝0.9;b 1＝0.2,b 2＝0.8.则A 项a 1b 1＋a 2b 2＝0.74;B 项,a 1a 2＋b 1b 2＝0.25;C 项,a 1b 2＋a 2b 1＝0.26,故最大值为A.13．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个,黑球个数至少是白球个数的一半,至多是红球个数的13,白球与黑球的个数之和至少为55,则用不等式( 组)将题中的不等关系表示为________．正确答案 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55( x ,y ,z ∈N *)详细解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55( x ,y ,z ∈N *)．14．若a 1<a 2,b 1”“<”“＝”) 正确答案 >详细解析 a 1b 1＋a 2b 2－( a 1b 2＋a 2b 1) ＝a 1( b 1－b 2)＋a 2( b 2－b 1) ＝( b 1－b 2)( a 1－a 2), ∵a 1<a 2,b 10, ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.考点2:等式性质与不等式性质知识点一等式的基本性质 ( 1)如果a ＝b ,那么b ＝a . ( 2)如果a ＝b ,b ＝c ,那么a ＝c . ( 3)如果a ＝b ,那么a ±c ＝b ±c . ( 4)如果a ＝b ,那么ac ＝bc . ( 5)如果a ＝b ,c ≠0,那么a c ＝bc .知识点二不等式的性质题型1:利用不等式的性质判断或证明例1 ( 1)给出下列命题: ①若ab >0,a >b ,则1a <1b ;②若a >b ,c >d ,则a －c >b －d ;③对于正数a ,b ,m ,若a 0,则1ab >0,又a >b ,所以a ab >b ab ,所以1a <1b ,所以①正确;对于②,若a ＝7,b ＝6,c ＝0,d ＝－10, 则7－0<6－( －10),②错误; 对于③,对于正数a ,b ,m , 若a 0,所以a b <a ＋m b ＋m ,③正确．综上,真命题的序号是①③.( 2)已知a >b >0,c <d <0.求证:3ad<3b c. 证明因为c <d <0,所以－c >－d >0. 所以0<－1c <－1d.又因为a >b >0,所以－a d >－bc>0.所以3－a d>3－bc,即－3a d>－3b c, 两边同乘－1,得3a d<3b c.变式若1a <1b <0,有下面四个不等式:①|a |>|b |,②a b 3. 则不正确的不等式的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 正确答案 C详细解析由1a <1b <0可得b <a <0,从而|a |<|b |,①②均不正确;a ＋b <0,ab >0,则a ＋b <ab 成立,③正确;a 3>b 3,④正确．故不正确的不等式的个数为2.题型2:利用性质比较大小例2 若P ＝a ＋6＋a ＋7,Q ＝a ＋5＋a ＋8( a >－5),则P ,Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P >Q D ．不能确定正确答案 C详细解析 P 2＝2a ＋13＋2(a ＋6)(a ＋7),Q 2＝2a ＋13＋2(a ＋5)(a ＋8),因为( a ＋6)( a ＋7)－( a ＋5)( a ＋8)＝a 2＋13a ＋42－( a 2＋13a ＋40)＝2>0, 所以(a ＋6)(a ＋7)>(a ＋5)(a ＋8),所以P 2>Q 2,所以P >Q .变式下列命题中一定正确的是( ) A ．若a >b ,且1a >1b,则a >0,b <0B ．若a >b ,b ≠0,则a b>1 C ．若a >b ,且a ＋c >b ＋d ,则c >dD ．若a >b ,且ac >bd ,则c >d正确答案 A详细解析对于A,∵1a >1b ,∴b －a ab>0, 又a >b ,∴b －a <0,∴ab <0,∴a >0,b <0,故A 正确;对于B,当a >0,b <0时,有a b<1,故B 错; 对于C,当a ＝10,b ＝2时,有10＋1>2＋3,但1<3,故C 错;对于D,当a ＝－1,b ＝－2时,有( －1)×( －1)>( －2)×3,但－1<3,故D 错．题型3:利用性质比较大小例3 已知12<a <60,15<b <36.求a －b 和a b的取值范围．解 ∵15<b <36,∴－36<－b <－15,∴12－36<a －b <60－15,即－24<a －b <45.又136<1b <115,∴1236<a b <6015,即13<a b<4. 故－24<a －b <45,13<a b<4.变式已知0<a ＋b <2,－10,那么下列不等式中正确的是( )A.1a <1bB.－a <bC ．a 2|b |正确答案 A详细解析 ∵a <0,b >0,∴1a <0,1b >0,∴1a <1b ,故选A.2．若a ,b ,c ∈R ,且a >b ,则下列不等式一定成立的是() A ．a ＋c ≥b －c B ．ac >bcC.c 2a －b >0 D ．( a －b )c 2≥0正确答案 D详细解析 ∵a >b ,∴a －b >0,∴( a －b )c 2≥0,故选D.3．已知a >b >c ,则1b －c ＋1c －a 的值是( )A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数正确答案 A详细解析 1b －c ＋1c －a ＝c －a ＋b －c (b －c )(c －a )＝b －a (b －c )(c －a ), ∵a >b >c ,∴b －c >0,c －a <0,b －a <0,∴1b －c ＋1c －a>0,故选A. 4．若x >1>y ,下列不等式不一定成立的是( )A ．x －y >1－yB ．x －1>y －1C ．x －1>1－yD ．1－x >y －x 正确答案 C详细解析利用性质可得A,B,D 均正确,故选C.5．已知a <0,b <－1,则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a >a b 2 D.a b >a b 2>a 正确答案 D详细解析 ∵a <0,b <－1,∴a b>0,b 2>1, ∴0<1b 2<1,∴0>a b 2>a 1, ∴a b >a b 2>a . 6．不等式a >b 和1a >1b同时成立的条件是________．正确答案 a >0>b详细解析若a ,b 同号,则a >b ⇒1a <1b. 7．给出下列命题:①a >b ⇒ac 2>bc 2;②a >|b |⇒a 2>b 2;③a >b ⇒a 3>b 3;④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确命题的序号是________．正确答案 ②③详细解析 ①当c 2＝0时不成立;②一定成立;③当a >b 时,a 3－b 3＝( a －b )( a 2＋ab ＋b 2)＝( a －b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2>0成立; ④当b <0时,不一定成立．如:|2|>－3,但22<( －3)2.8．设a >b >c >0,x ＝a 2＋(b ＋c )2,y ＝b 2＋(c ＋a )2,z ＝c 2＋(a ＋b )2,则x ,y ,z 的大小顺序是________．正确答案 z >y >x详细解析 ∵a >b >c >0,y 2－x 2＝b 2＋( c ＋a )2－a 2－( b ＋c )2＝2ac －2bc＝2c ( a －b )>0,∴y 2>x 2,即y >x .同理可得z >y ,故z >y >x .9．判断下列各命题的真假,并说明理由．( 1)若a b ; ( 3)若a >b ,且k ∈N *,则a k >b k ;( 4)若a >b ,b >c ,则a －b >b －c .解 ( 1)假命题．∵a 0,∴1a >1b不一定成立, ∴推不出c a <c b,∴是假命题． ( 2)假命题．当c >0时,c －3>0,则a b ,b >c 这两个条件,但是a －b ＝2<b －c ＝3,∴是假命题．10．若－1<a ＋b <3,2<a －b <4,求2a ＋3b 的取值范围．解设2a ＋3b ＝x ( a ＋b )＋y ( a －b ),则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧ x ＝52，y ＝－12.因为－52<52( a ＋b )<152,－2<－12( a －b )<－1,所以－92<52( a ＋b )－12( a －b )<132, 所以－92<2a ＋3b <132. 11．下列命题正确的是( )A ．若ac >bc ,则a >bB ．若a 2>b 2,则a >bC ．若1a >1b,则a 0,b <0,其不成立;对于D,其中a ≥0,b >0,平方后显然有a y >z ,x ＋y ＋z ＝0,则下列不等式中一定成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y | 正确答案 C详细解析因为x >y >z ,x ＋y ＋z ＝0,所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0,所以x >0,z <0. 所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 13．若a ,b ,c ∈R ,a >b ,则下列不等式成立的是( )A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1D ．a |c |>b |c | 正确答案 C详细解析对于A,若a >0>b ,则1a >0,1b<0, 此时1a >1b,∴A 不成立; 对于B,若a ＝1,b ＝－2,则a 2b ,∴a c 2＋1>b c 2＋1恒成立,∴C 成立;对于D,当c＝0时,a|c|＝b|c|,∴D不成立．14．有外表一样,重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,已知a＋b＝c＋d,a＋d>b＋c,a＋c<b,则这四个小球由重到轻的排列顺序是( )A．d>b>a>c B．b>c>d>aC．d>b>c>a D．c>a>d>b正确答案A详细解析∵a＋b＝c＋d,a＋d>b＋c,∴a＋d＋( a＋b)>b＋c＋( c＋d),即a>c.∴b<d.又a＋c<b,∴a<b.综上可得,d>b>a>c.。

高中数学高考总复习----不等式与不等关系知识梳理及考点梳理

高中数学高考总复习----不等式与不等关系知识梳理及考点梳理【考纲要求】1.了解不等关系、不等式（组）的实际背景；2.理解并掌握不等式的性质，理解不等关系；3.能用不等式的基本性质解决某些数学问题.【知识网络】、【考点梳理】要点一、符号法则与比较大小1.实数的符号任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立。

2.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：；③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.3、比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、①；②；③。

对于任意实数、,,,三种关系有且只有一种成立。

不等式与不等关系不等式的性质基本性质的应用实际背景要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。

它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

要点二、不等式的基本性质１．不等式的基本性质（1）（2）（3）（4）２．不等式的运算性质（１）加法法则：（２）减法法则：（３）乘法法则：（４）除法法则：（５）乘方法则：（６）开方法则：要点诠释：不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。

基本不等式可以在解题时直接应用。

要点三、比较大小的方法1、作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小。

2、作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小。

3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.4、利用函数的单调性比较大小：若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.【典型例题】类型一：比较代数式（值）的大小例1．已知：,比较和的大小.【解析】∵，，∴∴.【总结升华】作差比较法基本步骤：作差，变形，判断差的符号，结论，其中判断差的符号为目的，变形是关键，常用变形技巧有因式分解，配方，拆、拼项等方法.举一反三：【高清课堂：不等式与不等关系394833典型例题一】【变式1】若，则下列不等式中，不能成立的是()A. B. C. D.【解析】取特殊值，代入验证即可【答案】B【变式2】已知,试比较和的大小.【解析】∵，又∵即∴当时，；当时，.【变式3】且，比较与的大小.【解析】作差：(1)当，即时，，此时.(2)当，即(3)当，,此时，其中时取等号.(4)当即时，，此时例2．已知：、,且,比较的大小.【解析】∵、，∴，作商：（*）(1)若a>b>0,则，a-b>0,,此时成立；(2)若b>a>0,则,a-b<0，,此时成立。

高三数学不等式高考复习一：不等关系与不等式人教实验版(B)知识精讲

高三数学不等式高考复习一：不等关系与不等式人教实验版（B ）【本讲教育信息】一. 教学内容：不等式高考复习一：不等关系与不等式二. 教学目的1、复习不等式的性质及应用2、复习平均值不等式及其应用三. 教学重点、难点不等式的性质及均值不等式四. 知识分析（一）不等式的性质及应用【考点梳理】考点一：不等式有关概念1. 不等式定义用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）表示不等关系的式子叫不等式．记作()(),()()f x g x f x g x >≥等等．用“＜”或“＞”号连结的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”号连结的不等式叫非严格不等式．2. 同向不等式、异向不等式对于两个不等式，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫同向不等式．对于两个不等式，如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫异向不等式．3. 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式（1）绝对不等式：如果不论用什么实数代替不等式中的字母它都能够成立，这样的不等式叫绝对不等式．（2）条件不等式：如果只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母它才能够成立，这样的不等式叫条件不等式．（3）矛盾不等式：如果不论用什么样的实数代替不等式中的字母它都不能成立，这样的不等式叫矛盾不等式．4. 关于a ≤b 和a ≥b 的含义不等式“a ≥b ”的含义是“或者a ＞b ，或者a ＝b ”等价于“a 不小于b ”，即若a ＞b 或者a ＝b 之中有一个正确，则a ≥b 正确．考点二：实数的特征与实数比较大小1. 实数的两个特征（1）任意实数的平方不小于0，即0a R a 2≥⇔∈。

（2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数。

2. 实数比较大小的依据和方法（1）实数比较大小的依据：在数轴上不同的点A 与点B 分别表示两个不同的实数a 与b ，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示如图，可以看出a 、b 之间具有以下性质：如果b a -是正数，那么b a >；如果b a -是负数，那么b a <；如果b a -等于零，那么b a =，反之也成立，就是b a 0b a >⇔>-；b a 0b a =⇔=-；b a 0b a <⇔<-。

高考数学不等式考点,高考数学不等式题及解析

考点03不等关系【命题解读】不等式是每年高考都要考察的内容，数学就是研究各种变量间的关系的，因此可以说就是研究相等与不等的，不等式的考察主要有不等式的性质、解法和证明应用等，常常与函数、数列、导数等相结合。

在解答题中是必考的，在集合和函数的定义域、单调性、极值、最值等方面都有，因此应用比较广泛。

【命题预测】预计2021年的高考不等式的考察还是必须的，对于题目的难易度来说，易、中、难都有，主要是以数学运算和逻辑推理为主。

【复习建议】集合复习策略：1.理解不等关系以及不等式的性质，高考对不等式的考察还是比较稳定的；2.掌握不等式的应用，高考主要是考察不等式的各种应用；3.掌握与不等式考察有关的知识点。

考向一比较大小1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法{a -b >0⇔a >b ，a -b =0⇔a =b ，a -b <0⇔a 1(a ∈R ，b >0)⇔a >b (a ∈R ，b >0)，ab =1⇔a =b (a ，b ≠0)，a b<1(a ∈R ，b >0)⇔a 0).1. 已知2t a b =+，21s a b =++，则t 和s 的大小关系为A ．t s >B ．t s ≥C ．t s <D ．t s ≤【答案】D【解析】s ﹣t =a +b 2+1﹣a ﹣2b =b 2﹣2b +1=（b ﹣1）2≥0，故有 s ≥t ，故选D ．2. 【2020陕西省期末】若P =Q =()0a ≥，则,P Q 的大小关系是（） A ．P Q D ．,P Q 的大小由a 的取值确定【答案】A【解析】因为220P Q -==<，,P Q >0，所以P Q <，故选A.考向二不等式性质1.对称性:a>b ⇔b<a (双向性)2.传递性:a>b ，b>c ⇒a>c (单向性)3.可加性:a>b ⇔a+c>b+c (双向性)； a>b ，c>d ⇒a+c>b+d (单向性)4.可乘性:a>b ，c>0⇒ac >bc ； a>b ，c<0⇒ac <bc ；a>b>0，c>d>0⇒ac >bd (单向性)5.乘方法则:a>b>0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)(单向性)6.开方法则:a>b>0⇒√a n>√b n(n ∈N ，n ≥2)(单向性)1. 如果实数,a b 满足：0a b <<，则下列不等式中不成立的是（） A ．0a b +>B ．11a b> C ．330a b -<D ．11a b a>-【答案】D【解析】由0a b <<，得0a b a b b b >⇒->-=，A 正确；由0a b <<，得11a b>，B 正确；由()()()2332221324a b a b a ab b a b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又0a b <<，则0a b -<，所以330a b -<，C 正确.由0a b <<，得0b ->，所以0a b a >->，则11a b a<-，D 错误. 故选D.2. 【2020江苏省期末】若实数m ，n 满足m n >，则下列选项正确的是（） A ．()lg 0m n -> B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．330m n ->D ．m n >【答案】C【解析】根据实数m ，n 满足m n >，取0m =，1n =-，则可排除ABD ．因为函数3y x =在定义域上单调递增，因为m n >，所以33m n >，即330m n ->故选C ．3. 【2020浙江省杭州第二中学高三其他】若0a b +>，则（） A ．ln ln 0a b +> B ．330a b +>C ． tan tan 0a b +>D ．a b >【答案】B【解析】由a b >-得()333a b b >-=-，所以330a b +>.对于A ，取1a b ==，不成立；对于C 取a b π==，不成立；对于D 取1a b ==，不成立. 故选B.题组一（真题在线）1. 【2020年新高考全国Ⅰ】已知a >0，b >0，且a +b =1，则A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D2. 【2019年高考全国Ⅰ】已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a << 3. 【2019全国 III 卷】若a b >，则（）A.ln()0a b ->B.33ab <C.330ab -> D.||||a b >4. 【2019天津高考理科】已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（）A. a c b <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<5.【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题组二1. 【2020浙江省课时练习】已知a ,b ,c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中不一定成立的是（） A ．ab ac >B ．()0c b a -<C ．22cb ab <D ．()0ac a c -<2. 【2020浙江省高一课时练习】已知,a b ∈R ，“a b >”是“||||a a b b >”的（）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.【2020浙江省高一单元测试】若12a <<，13b -<<，则a b -的值可能是（）． A ．4-B ．2-C ．2D ．44.【2020安徽省六安中学期末（理）】函数()2f x x =，则对任意实数12x x 、,下列不等式总成立的是( )A ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭B ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭＜C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭ D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫⎪⎝⎭＞5. 【2020黑龙江省哈尔滨三中期末（理）】若,,,a b c d R ∈，则下列说法正确的是（） A ．若a b >，c d >，则ac bd > B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a b <<，则11a b< D ．若a b >，则33a b >6. 【2020浙江省高一期末】已知数列{}n a 满足12a >，21n n n a a a +=-，*n N ∈，则下列结论中不一定正确的是（） A ．134n n a a +>-，*n N ∈B ．()()321211a a a >--C ．1234311111314a a a a a +++<+- D ．()()()222234551114a a a a -+-+-<+7. 【2020福建省高一期末】下列命题为真命题的是（） A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若00a b c >><且，则22c c a b > D ．若a b >且11a b>，则0ab <题组一1.ABD 【解析】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+++=，≤12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选ABD.2. B 【解析】由对数函数的图像可知：2log 0.20a =<；再有指数函数的图像可知：0.221b =>，0.300.21c <=<，于是可得到：a c b <<.3.C 【解析】由函数3y x =在R 上是增函数，且a b >，可得33a b >，即330a b ->.4.A 【解析】551log 2log 2a =<<， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=，10.200.50.50.5<<，故112c <<，所以a c b <<.故选A5.A 【解析】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选A ．题组二1.C 【解析】因为a ,b ,c 满足c b a <<，且0ac <，则0a >，0c <，所以ab ac >一定成立；又因为0b a -<，所以()0c b a ->，即()0c b a -<一定不成立；因为2b 是否为0不确定，因此22cb ab <也不一定成立；因为0a c ->，所以()0ac a c -<一定成立. 故选C2.A 【解析】由题意，若||a b >，则||0a b >，则a b >，所以2a a a =，则||||a a b b >成立.当1,2a b ==-时，满足a a b b >，但||a b >不一定成立，所以||a b >是a a b >的充分不必要条件. 故选A. 3.C 【解析】13b -<<，31b ∴-<-<，23a b ∴-<-<．故选C.4.A 【解析】依题意()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭222121222x x x x ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21204x x -=≥，故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以A 选项正确.故选A.5.D 【解析】A ：根据不等式的性质可知当0a b >>，0c d >>时，能得到ac bd >.例如当0,1a b ==-，0,1c d ==-，显然a b >，c d >成立，但是ac bd >不成立，故本选项说法不正确； B ：当0c 时，显然22ac bc >不成立，故本选项说法不正确；C ：111111,0,0,00b a b a a b ab b a a b ab a b ab a b---=<<∴>->∴-=>⇒>，故本选项说法不正确；D ：33222213()()()[()],24a b a b a ab b a b a b b -=-++=-++223333130,()0024a b a b a b b a b a b >∴->++>⇒->⇒>，故本选项说法是正确的.故选D6.C 【解析】因为()212=2n n n n n n a a a a a a +-=--，12a >，所以有112n n a a a +>>>.又因为()21=1n nn n n a a a a a +=--，所以()2111111==11n n n n n n na a a a a a a +=---- 对于A 选项，()2221343444020n n n n n n n n a a a a a a a a +>-⇔->-⇔-+>⇔->，故成立；对于B 选项，()()32321311321211222a aa a a a a a a a a >--⇔>⋅=⇔>，故成立；对于C 选项，123433111111111111a a a a a a a +++=+<+---，故不成立；对于D 选项，()()()()22222223423423411123a a a a a a a a a =++-+-+-++-+()()()()334453224=23a a a a a a a a a +++++++-+52554153a a a a +=<<+-+，故成立.故选C.7. BCD 【解析】选项A ：当0c时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B: 2222,00a b a b a ab ab b a ab b a b <<⎧⎧⇒>⇒>∴>>⎨⎨<<⎩⎩，所以本命题是真命题；选项C: 22222211000,0c c a b a b c a b a b>>⇒>>⇒<<<∴>，所以本命题是真命题；选项D:2111100,00b aa b b a ab a b a b ab->⇒->⇒>>∴-<∴<，所以本命题是真命题，所以本题选BCD.考点04 基本不等式【命题解读】基本不等式是高考的一个重点，根据近几年的高考分析，基本不等式的考察主要是利用基本不等式求最值，求未知参数的范围等等，题目难度主要集中在中难度上，基本不等式牵扯到的知识点比较多，主要集中在导数、数列、三角函数、解析几何等等。

高中数学考点24 不等关系与不等式(含高考试题)新人教

1 考点24 不等关系与不等式一、选择题1.(2015·浙江高考文科·T6)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m 2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m 2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是 ( )A.ax+by+czB.az+by+cxC.ay+bz+cxD.ay+bx+cz【解题指南】利用作差法比较大小.【解析】选B.由x<y<z,a<b<c,所以ax+by+cz-(az+by+cx)=a(x-z)+c(z-x)=(x-z)(a-c)>0,故ax+by+cz>az+by+cx;ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(x-z)(c-b)<0,故ay+bz+cx<ay+bx+cz;az+by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y)+b(y-z)=(a-b)(z-y)<0, 故az+by+cx<ay+bz+cx,所以最低费用为az+by+cx.2.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T12)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x 的取值范围是 ( )A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭UC ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【解题指南】先判断函数f(x)=ln(1+|x|)-的奇偶性及单调性,然后利用函数的性质求解. 【解析】选A.f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,所以()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<<. 二、填空题3. (2015·江苏高考·T7)不等式224x x -<的解集为 .【解题指南】利用指数函数的单调性将原不等式转化为一元二次不等式,求解即可.【解析】因为4=22且y=2x 在R 上单调递增,所以224x x -<可化为x 2-x<2,解得-1<x<2.所以224x x -<的解集是{x|-1<x<2}.答案:{x|-1<x<2}。

高考数学第一轮复习：《不等关系与不等式》

高考数学第一轮复习：《不等关系与不等式》最新考纲1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景．3.掌握不等式的性质及应用.【教材导读】1．若a>b，c>d，则a－c>b－d是否成立？提示：不成立，同向不等式不能相减，如3>2,4>1，但3－4<2－1. 2．若a>b>0，则ac>bc是否成立？提示：不成立．当c＝0时，ac＝bc，当c<0时，ac<bc.3．若a>b，则a n>b n，na>nb是否成立？提示：不一定．当a>b>0，n∈N，n≥2时才成立．1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系设a，b∈R，则(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2．不等式的基本性质性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a ⇔传递性a>b，b>c⇒a>c ⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c ⇔可乘性⎭⎪⎬⎪⎫a>bc>0⇒ac>bcc的符号⎭⎪⎬⎪⎫a>bc<0⇒ac<bc同向可加性⎭⎪⎬⎪⎫a >b c >d ⇒a ＋c >b ＋d ⇒同向同正可乘性⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ⇒可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)a ，b 同为正数可开方性a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)(1)倒数性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b . ②a <0b >0，m >0，则 ①真分数的性质b a b －ma －m (b －m >0)． ②假分数的性质a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0)．1．设a ＋b ＜0，且b ＞0，则( ) (A)b 2＞a 2＞ab (B)b 2＜a 2＜－ab (C)a 2＜－ab ＜b 2 (D)a 2＞－ab ＞b 2答案：D2．若b ＜a ＜0，则下列结论不正确．．．的是( ) (A)a 2＜b 2 (B)ab ＜b 2 (C)b a ＋ab ＞2 (D)|a |－|b |＝|a －b | 答案：D3．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c的大小关系是() (A)a>b>c(B)a>c>b(C)b>a>c(D)b>c>aB解析：b＝7－3＝47＋3，c＝6－2＝46＋2.因为7＋3>6＋2，所以47＋3<46＋2，所以b<c.因为2(6＋2)＝23＋2>4，所以46＋2< 2.即c<a.综上可得b<c<a.故选B.4．若P＝a＋2＋a＋5，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系为() (A)P>Q(B)P＝Q(C)P<Q(D)由a的取值确定C解析：因为a≥0，P>0，Q>0，所以Q2－P2＝2a＋7＋2a2＋7a＋12－(2a＋7＋2a2＋7a＋10)＝2(a2＋7a＋12－a2＋7a＋10)>0.所以P<Q.5．已知a>b，ab≠0，则下列不等式中：①1a<1b；②a3>b3；③a2＋b2>2ab，恒成立的不等式的个数是________．解析：①取a＝2，b＝－1，则1a<1b不成立；②函数y＝x3在R上单调递增，a>b，所以a3>b3成立；③因为a>b，ab≠0，所以a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，所以a2＋b2>2ab成立．综上可得：恒成立的不等式有两个．答案：2考点一用不等式(组)表示不等关系(1)某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为________．(2)已知4枝郁金香和5枝丁香的价格最多22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格不小于24元，则满足上述所有不等关系的不等式组为________．答案：(1)(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20 (2)⎩⎨⎧4x ＋5y ≤226x ＋3y ≥24，x ≥0y ≥0【反思归纳】用不等式(组)表示不等关系 (1)分析题中有哪些未知量．(2)选择其中起关键作用的未知量，设为x 或x ，y 再用x 或x ，y 来表示其他未知量． (3)根据题目中的不等关系列出不等式(组)．提醒：在列不等式(组)时要注意变量自身的范围．【即时训练】已知甲、乙两种食物的维生素A ，B 含量如表：甲乙维生素A(单位/kg) 600 700 维生素B(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各有56 000单位维生素A 和62 000单位维生素B ，则x ，y 应满足的所有不等关系为________．解析：x ，y 所满足的关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤100，600x ＋700y ≥56 000，800x ＋400y ≥62 000，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤100，6x ＋7y ≥560，2x ＋y ≥155，x ≥0，y ≥0.答案：⎩⎨⎧x ＋y ≤1006x ＋7y ≥5602x ＋y ≥155x ≥0，y ≥0考点二不等式的性质若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) (A)a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b ) (B)b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b (C)a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2a (D)log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b2a【命题意图】本题考查不等式的应用，同时考查对数的运算．B 解析：根据题意，令a ＝2，b ＝12进行验证，易知a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252＞1，因此a ＋1b ＞log 2(a ＋b )＞b2a .【反思归纳】判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：①不等式两边都乘以一个代数式时，所乘的代数式是正数、负数或0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；③不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变．【即时训练】 (1)已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题成立的是( ) (A)a 2＜b 2 (B)ab 2＜a 2b(C)1ab2＜1ba2(D)ba＜ab(2)若a，b∈R则1a3＞1b3成立的一个充分不必要条件是()(A)ab＞0 (B)b＞a(C)a＜b＜0 (D)a＞b＞0答案：(1)C(2)C考点三比较大小(1)比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R；(2)比较a a b b与a b b a(a，b为不相等的正数)的大小．解析：(1)(x6＋1)－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)＝(x2－1)(x2－1)(x2＋1)＝(x2－1)2(x2＋1)．当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2；当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.(2)a a b ba b b a＝a a－b b b－a＝⎝⎛⎭⎪⎫aba－b，当a＞b＞0时，ab ＞1，a－b＞0，∴⎝⎛⎭⎪⎫aba－b＞1；当0＜a＜b时，ab ＜1，a－b＜0，∴⎝⎛⎭⎪⎫aba－b＞1.综上所述，总有a a b b＞a b b a.【反思归纳】比较大小常用的方法(1)作差法一般步骤是①作差；②变形；③判号；④定论．其中变形是关键，常采用因式分解、配方等方法把差变成积或者完全平方的形式．当两个式子都含有开方运算时，可以先乘方再作差．(2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．作商比较大小时，要注意分母的符号避免得出错误结论．(3)特值法对于选择题可以用特值法比较大小．【即时训练】(1)(2017崇明县一模)若a<0，b<0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为()(A)p<q(B)p≤q(C)p>q(D)p≥q(2)若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．解析：(1)p－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝(b2－a2)·1a－1b＝(b2－a2)(b－a)ab＝(b－a)2(a＋b)ab，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0，若a＝b，则p－q＝0，此时p＝q，若a≠b，则p－q<0，此时p<q，综上p≤q.故选B.(2)ab＝18161618＝1816161162＝98161216＝98216，因为982∈(0,1)，所以98216<1，因为1816>0,1618>0，所以1816<1618.即a<b.答案：(1)B(2)a<b不等式变形中扩大变量范围致误设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．解析：法一设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，于是得⎩⎨⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10. 法二由⎩⎨⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法三由⎩⎨⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A 32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，所以5≤f (－2)≤10. 答案：[5,10]易错提醒：(1)解决此类问题的一般解法是，先建立待求整体与已知范围的整体关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；(2)此类求范围问题如果多次利用不等式的可加性，有可能扩大变量的取值范围而致误．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．设a ，b ∈R ，则“a ＞1且b ＞1”是“ab ＞1”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件A 解析：a ＞1且b ＞1⇒ab ＞1；但ab ＞1，则a ＞1且b ＞1不一定成立，如a ＝－2，b ＝－2时，ab ＝4＞1.故选A.2．如果a >b ，则下列各式正确的是( ) (A)a ·lg x >b ·lg x (x >0) (B)ax 2>bx 2 (C)a 2>b 2(D)a ·2x >b ·2xD 解析：两边相乘的数lg x 不一定恒为正，选项A 错误；不等式两边都乘以x 2，它可能为0，选项B 错误；若a ＝－1，b ＝－2，不等式a 2>b 2不成立，选项C 错误．选项D 正确．3．已知1a ＜1b ＜0，给出下面四个不等式：①|a |＞|b |；②a ＜b ；③a ＋b ＜ab ；④a 3＞b 3.其中不正确的不等式的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3C 解析：由1a ＜1b ＜0可得b ＜a ＜0，从而|a |＜|b |，①不正确；a ＞b ，②不正确；a ＋b ＜0，ab ＞0，则a ＋b ＜ab 成立，③正确；a 3＞b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.故选C.4．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) (A)M ＜N (B)M ＞N (C)M ＝N (D)不确定答案：B5．设a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是( ) (A)1a ＞1b (B)1a －b ＞1a (C)|a |＞－b (D)－a ＞－b答案：B6．若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞lnb 2.其中正确的不等式是( ) (A)①④ (B)②③ (C)①③ (D)②④答案：C7．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞cb ；②ac ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )(A)① (B)①② (C)②③ (D)①②③答案：D8．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%.若p ＞q ＞0.则提价多的方案是________．解析：设原价为a ，方案甲提价后为a (1＋p %)(1＋q %)，方案乙提价后为a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋p %＋1＋q %22≥((1＋p %)(1＋q %))2＝(1＋p %)(1＋q %)，又∵p ＞q ＞0，∴等号不成立，则提价多的为方案乙．答案：乙9．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n (n ∈N ＋，n ＞2)，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是________．解析：f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n＜12n ＝φ(n )，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1＞12n ＝φ(n )，∴f (n )＜φ(n )＜g (n )．答案：f (n )＜φ(n )＜g (n )10．已知－1<a ＋b <3，且2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为____________．解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝52，y ＝－12，因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1，所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132，即－92<2a ＋3b <132.答案：－92，132能力提升练(时间：15分钟)11．有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d ＞b ＋c ，a ＋c ＜b ，则这四个小球由重到轻的排列顺序是( )(A)d ＞b ＞a ＞c(B)b ＞c ＞d ＞a (C)d ＞b ＞c ＞a (D)c ＞a ＞d ＞bA 解析：∵a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d ＞b ＋c ，∴2a ＞2c ，即a ＞c .因此b ＜d .∵a ＋c ＜b ，∴a ＜b ，综上可得，c ＜a ＜b ＜d .12．若不等式(－1)n a ＜2＋(－1)n ＋1n 对于任意正整数n 都成立，则实数a 的取值范围是( )(A)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32 (B)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32 (C)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32 (D)⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 A 解析：当n 取奇数时，－a ＜2＋1n ，因为n ≥1，故2＜2＋1n ≤3，所以－a ≤2，所以a ≥－2；当n 取偶数时，a ＜2－1n ，因为n ≥2，所以32≤2－1n ＜2，所以a ＜32，综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32，故选A.13．若a ，b ，c ，d 均为正实数，且a ＞b ，那么四个数b a ，a b ，b ＋c a ＋c ，a ＋d b ＋d由小到大的顺序是________．解析：∵a ＞b ＞0，∴a b ＞1，a ＋d b ＋d ＞1，b a ＜1，b ＋c a ＋c ＜1，则a b －a ＋d b ＋d ＝d (a －b )b (b ＋d )＞0，即a b ＞a ＋c b ＋c ，b a －b ＋c a ＋c ＝c (b －a )a (a ＋d )＜0，即b a ＜b ＋c a ＋c ，所以由小到大的顺序是b a ＜b ＋c a ＋c ＜a ＋d b ＋d ＜a b答案：b a ＜b ＋c a ＋c ＜a ＋d b ＋d ＜a b14．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76000v v 2＋18v ＋20l. ①如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；②如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增加______辆/时．解析：①当l ＝6.05时，F ＝76000v v 2＋18v ＋121＝76000v ＋121v ＋18≤760002v ·121v＋18＝7600022＋18＝1900. 当且仅当v ＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1900辆/时．②当l ＝5时，F ＝76000v v 2＋18v ＋100＝76000v ＋100v ＋18≤760002v ·100v ＋18＝7600020＋18＝2000. 当且仅当v ＝10米/秒时，车流量最大为2000辆/时比①中最大车流量增加100辆/时．15．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．解：设原来的窗户面积与地板面积分别为a 、b ，且a b ≥10%，窗户面积和地板面积同时增加的面积为c ，则现有的窗户面积与地板面积分别为a ＋c ，b ＋c .于是原来窗户面积与地板面积之比为a b ，面积均增加c 以后，窗户面积与地板面积之比为a ＋c b ＋c，因此要确定采光条件的好坏，就转化成比较a b 与a ＋c b ＋c的大小，采用作差比较法． a ＋c b ＋c －a b ＝c (b －a )(b ＋c )b. 因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，又由题设条件可知a ＜b ，故有a b ＜a ＋c b ＋c 成立，即a ＋c b ＋c ＞a b≥10%. 所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．。

新高考数学复习知识点讲解与练习2---不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法

新高考数学复习知识点讲解与练习不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法知识梳理1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b ＜0⇔a ＜b ；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a ＞b （a ∈R ，b ＞0），ab ＝1⇔a ＝b （a ∈R ，b ≠0），a b＜1⇔a ＜b （a ∈R ，b ＞0）.2.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2).3.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅∅1.有关分数的性质若a ＞b ＞0，m ＞0，则 (1)真分数的性质b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (a －m ＞0). (2)假分数的性质a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m(b －m ＞0). 2.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形. 3.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.诊断自测1.判断下列说法的正误. (1)a ＞b ⇔ac 2＞bc2.()(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.()(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R .() (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析 (1)由不等式的性质，ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；反之，c ＝0时，a ＞b ⇒/ ac 2＞bc 2. (3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根.则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为∅. (4)当a ＝b ＝0，c ≤0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0也在R 上恒成立. 2.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有() A.a d ＞b c B.a d ＜b c C.a c ＞b d D.a c ＜b d 答案B解析因为c ＜d ＜0，所以0＞1c ＞1d ，两边同乘－1得－1d ＞－1c ＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质可知－a d ＞－b c ＞0.两边同乘－1得a d ＜bc.故选B.3.设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是() A.A ≤B B.A ≥B C.A B 答案B解析∵a ，b ∈[0，＋∞)，∴A ≥0，B ≥0，又A 2－B 2＝(a ＋2ab ＋b )－(a ＋b )＝2ab ≥0，∴A ≥B . 4.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则() A.c ≤3 B.3<c ≤6 C.6<c ≤9 D.c >9 答案 C解析由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，则f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，由0<f (－1)≤3，得0<－1＋6－11＋c ≤3，即6<c ≤9.5.已知角α，β满足－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________.答案(－π，0)解析因为－π2<α<β<π2，所以－π<α－β<π，且α－β<0，所以－π<α－β<0.所以α－β的取值范围是(－π，0).6.(必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________.解析由题意知Δ＝[－(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0，解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2. 答案(－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)考点一比较大小及不等式的性质的应用【例1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是()A.c ≥b >aB.a >c ≥bC.c >b >aD.a >c >b(2)已知非负实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则(c －a )(c －b )的取值范围为________. 答案(1)A(2)⎣⎡⎦⎤－18，1 解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)因为a ，b ，c 为非负实数，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＝1－c ，0≤c ≤1，故|(c －a )(c －b )|＝|c －a ||c －b |≤1，即－1≤(c －a )(c －b )≤1；又(c －a )(c －b )＝c 2－(1－c )c ＋ab ≥2⎝⎛⎭⎫c －142－18≥－18.综上，有－18≤(c －a )(c －b )≤1.感悟升华(1)比较大小常用的方法： ①作差法；②作商法；③函数的单调性法.(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除或特殊值法验证.【训练1】 (1)(2020·浙江卷)已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x －a )(x －b )(x －2a －b )≥0，则()A.a ＜0B.a ＞0C.b ＜0D.b ＞0(2)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是() A.a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b )B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1bC.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2aD.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2a答案(1)C(2)B解析 (1)法一由题意，知a ≠0，b ≠0，则方程 (x －a )(x －b )(x －2a －b )＝0的根为a ，b ，2a ＋b .①a ，b ，2a ＋b 均为不同的根，则不等式可标根为图(1)，此时应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b ＜0，2a ＋b ＜0，可得a ＜0，b ＜0.②a ，b ，2a ＋b 中有两个根为相等的根，则 (ⅰ)a ＝2a ＋b ＞0，即b ＝－a ＜0，此时(x －a )2(x ＋a )≥0，符合图(2).(ⅱ)a ＝b ＜0，此时(x －a )2(x －3a )≥0，符合图(3). 综合①②，可知b ＜0符合题意.故选C.法二(特殊值法) 当b ＝－1，a ＝1时，(x －1)(x ＋1)(x －1)≥0在x ≥0时恒成立；当b ＝－1，a ＝－1时，(x ＋1)(x ＋1)(x ＋3)≥0在x ≥0时恒成立；当b ＝1，a ＝－1时，(x ＋1)(x －1)(x ＋1)≥0在x ≥0时不一定成立.故选C.(2)令a ＝2，b ＝12，则a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252∈(1，2)，则b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b .考点二一元二次不等式的解法角度1 不含参的不等式【例2－1】求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集. 解化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0，解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 角度2含参不等式【例2－2】解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 解原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a ＜－1，即－2<a <0，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a ，或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .感悟升华含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论： (1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便正确写出解集.【训练2】 (1)(2019·天津卷)设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2<0成立的x 的取值范围为________. (2)已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b ＝() A.－3 B.1 C.－1 D.3答案(1)⎝⎛⎭⎫－1，23(2)A 解析 (1)3x 2＋x －2<0变形为(x ＋1)(3x －2)<0，解得－1<x <23，故使不等式成立的x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，23.(2)由题意得A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由题意知－1，2为方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系可知a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.考点三一元二次不等式的恒成立问题角度1 在R 上恒成立【例3－1】若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为()A.(－3，0]B.[－3，0)C.[－3，0]D.(－3，0) 答案D解析一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，∴k ≠0，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38＜0，解之得－3＜k ＜0.角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |0＜m ＜67或m ＜0解析要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立. 有以下两种方法：法一令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]. 当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可. 因为m ≠0，所以m 的取值范围是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |0＜m ＜67或m ＜0.角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】已知a ∈[－1，1]时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为() A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3) 答案C解析把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3. 感悟升华恒成立问题求解思路(1)一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解. (2)一元二次不等式f (x )≥0在x ∈[a ，b ]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围.(3)一元二次不等式对于参数m ∈[a ，b ]恒成立确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围就选谁当主元，求谁的范围谁就是参数.【训练3】 (1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是() A.[－1，4] B.(－∞，－2]∪[5，＋∞) C.(－∞，－1]∪[4，＋∞) D.[－2，5](2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________.(3)若不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0在|a |≤1时恒成立，则x 的取值范围是________.答案(1)A(2)⎝⎛⎭⎫－22，0(3)(－∞，2)∪(4，＋∞) 解析(1)由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(2)二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，解得－22＜m ＜0. (3)将原不等式整理成关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以①若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去.②若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4. 故x 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞).基础巩固题组一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是()A.f (x )＝g (x )B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化答案B解析f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x ).2.已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b成立的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案C解析运用倒数性质，由a ＞b ，ab ＞0可得1a ＜1b，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.3.已知a ，b >0，且P ＝a ＋b 2，Q ＝a 2＋b 22，则P ，Q 的大小关系是() A.P ≥Q B.P >Q C.P ≤Q D.P <Q答案C解析因为a ，b >0，所以P 2－Q 2＝（a ＋b ）24－a 2＋b 22＝－（a －b ）24≤0，当且仅当a ＝b 时取等号.故选C.4.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是()A.{a |0＜a ＜4}B.{a |0≤a ＜4}C.{a |0＜a ≤4}D.{a |0≤a ≤4}答案D解析由题意知a ＝0时，满足条件.a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4. 5.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是()A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定答案C解析由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a 2＝1，解得a ＝2. 又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.6.若实数a ，b ，c 满足对任意实数x ，y 有3x ＋4y －5≤ax ＋by ＋c ≤3x ＋4y ＋5，则()A.a ＋b －c 的最小值为2B.a －b ＋c 的最小值为－4C.a ＋b －c 的最大值为4D.a －b ＋c 的最大值为6答案A解析由题意可得－5≤(a －3)x ＋(b －4)y ＋c ≤5恒成立，所以a ＝3，b ＝4，－5≤c ≤5，则2≤a ＋b －c ≤12，即a ＋b －c 的最小值是2，最大值是12，A 正确，C 错误；－6≤a －b ＋c ≤4，则a －b ＋c 的最小值是－6，最大值是4，B 错误，D 错误，故选A.二、填空题7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________. 答案{x |x ＞1}解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}. 8.若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________.答案⎝⎛⎭⎫－1，45 解析由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a 得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，45. 9.当x ＞0时，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a 的最小值为________.答案－2解析当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立，当Δ＝a 2－4＞0，则需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＞0，－a 2＜0，解得a ＞2，所以使不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立的实数a 的最小值是－2.10.下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是________.①a >b ＋1；②a >b －1；③a 2>b 2；④a 3>b 3答案①解析 ①中，若a >b ＋1，则必有a >b ，反之，当a ＝2，b ＝1时，满足a >b ，但不能推出a >b ＋1，故a >b ＋1是a >b 成立的充分而不必要条件；②中，当a ＝b ＝1时，满足a >b －1，反之，由a >b －1不能推出a >b ；③中，当a ＝－2，b ＝1时，满足a 2>b 2，但a >b 不成立；④中，a >b 是a 3>b 3的充要条件，综上所述答案为①.三、解答题11.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值.解(1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3. 所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}.(2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3. 即a 的值为3±3，b 的值为－3.12.已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，求z ＝2x －3y 的取值范围.解设z ＝2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，即2x －3y ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3，所以⎩⎨⎧m ＝－12，n ＝52，由－1<x ＋y <4知－2<－12(x ＋y )<12，① 由2<x －y <3知5<52(x －y )<152，② ①＋②得3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<z <8. 能力提升题组13.(2021·浙江十校联盟联考)已知a >b >0，给出下列命题： ①若a －b ＝1，则a －b <1；②若a 3－b 3＝1，则a －b <1；③若e a －e b ＝1，则a －b <1；④若ln a －ln b ＝1，则a －b <1.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析对于①，当a >b >0，a －b ＝1时，a －b ＝(a ＋b )(a －b )＝(1＋b ＋b )(1＋b －b )＝1＋2b >1，①错误；对于②，由a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝1得a －b ＝1a 2＋ab ＋b 2.又因为a >b >0，a 3－b 3＝1，所以a 3＝1＋b 3>1，即a >1，所以a 2＋ab ＋b 2>1，a －b ＝1a 2＋ab ＋b 2<1，②正确；对于③，由e a －e b ＝1得e a －b ＝e a e b ＝e b ＋1e b ＝1＋1e b <2，所以a －b <ln 2<1，③正确；对于④，由ln a －ln b ＝1得a ＝b e ，则a －b ＝(e －1)b ，当b >1e －1时，a －b ＝(e －1)b >1，④错误.综上所述，真命题的个数为2，故选B.14.(2020·湖州期末质检)已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋2c 2＝1，则2ab ＋c 的最小值是()A.－34B.－98C.－1D.－43答案B解析由题意得1－2c 2＝a 2＋b 2≥－2ab ，所以2ab ＋c ≥2c 2＋c －1＝2⎝⎛⎭⎫c ＋142－98≥－98，当且仅当c ＝－14，ab ＝－716时等号成立，所以2ab ＋c 的最小值为－98，故选B. 15.若关于x 的不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集恰好是[a ，b ]，则a ＝________，b ＝________. 答案04解析令f (x )＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1，其图象对称轴为x ＝2.①若a ≥2，则a ，b 是方程f (x )＝x 的两个实根，解得a ＝43，b ＝4，矛盾； ②若b ≤2，则f (a )＝b ，f (b )＝a ，两式相减得a ＋b ＝83，代入f (a )＝b 可得a ＝b ＝43，矛盾； ③若a <22 解得b ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝4，a <2解得a ＝0. 16.若实数x ，y 满足x 2＋4y 2＋4xy ＋4x 2y 2＝32，则x ＋2y 的最小值为________，7(x ＋2y )＋2xy 的最大值为________.答案－4216解析因为x 2＋4y 2＋4xy ＋4x 2y 2＝32，所以(x ＋2y )2＋4x 2y 2＝32，则(x ＋2y )2≤32，－42≤x ＋2y ≤42，即x ＋2y 的最小值为－4 2.由(x ＋2y )2＋4x 2y 2＝32，不妨设⎩⎨⎧x ＋2y ＝42sin θ，2xy ＝42cos θ，则7(x ＋2y )＋2xy ＝42(7sin θ＋cos θ)＝16sin(θ＋φ)，其中tan φ＝77，所以当sin(θ＋φ)＝1时，7(x ＋2y )＋2xy 取得最大值16. 17.解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R ).解原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0＜a ＜12时，2＜1a，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜2. (2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2，即原不等式的解集是{x |x ＞2}.(3)当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0，由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜1a 或x ＞2. 综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜1a 或x ＞2；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜2. 18.(2016·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋11＋x，x ∈[0，1]，证明： (1)f (x )≥1－x ＋x 2； (2)34<f (x )≤32. 证明(1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ）＝1－x 41＋x ，由于x ∈[0，1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f (x )≥1－x ＋x 2.(2)由0≤x ≤1得x 3≤x ，故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32，所以f (x )≤32.由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，又因为f ⎝⎛⎭⎫12＝1924>34，所以f (x )>34.综上，34<f (x )≤32.。

高考数学一轮复习第6章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义理(含解析)-

第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x b >0，m >0，则b a b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析因为c 0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立，当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型一不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ，由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )．又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10，即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定答案 C解析显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________．答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型二不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解本题采用分类讨论思想．原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？解若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型三二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围．解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。

高中不等关系与不等式知识点+例题全面

[巩固] (2013·课标全国Ⅱ)设 a＝log32，b＝log52，c＝log23，则 a，b，c 的大小关系是____________. 答案 (2) c>a>b (2)因为 log32＝log123<1，log52＝log125<1，又 log23>1，所以 c 最大．又 1<log23<log25，所以log123>log125，即 a>b，
[例 3] 若 m x 2 2x 3(x R) ， n 2 ，则 m，n 的大小关系是________. m n
[巩固]
已知 m 2a2 2a ， n log 2 (a 2
a 17) ，则 m_____n（填“>”，“<”或“=”） 4
m<n
知识模块 3 经典题型
题型一：用不等式(组)表示不等关系 [例] 某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元销售，每天可销售 100 件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的单价每提高 1 元，销售量就相应减少 10 件．若把提价后商品的单价设为 x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于 300 元？
a>b>0⇒n a>n b(n∈N，n≥2)
a>b，ab>0 1 1 ab
2．不等式的一些常用性质
（1）倒数的性质
①a>b，ab>0 1 1 ； ab
②a<0<b⇒1a 1b；
③a>b>0,0<c<d⇒ac bd；
④0<a<x<b
或
a<x<b<0⇒1b
1 x
1 a.
（2）有关分数的性质

2021届全国新高考数学备考复习不等关系与不等式、不等式的解法及其应用

第1节不等关系与不等式、不等式的解法及其应用
【笔记】单向性主要应用于证明不等式；双向性是证明不等式的基础.
第1节不等关系与不等式、不等式的解法及其应用
第1节不等关系与不等式、不等式的解法及其应用
第1节不等关系与不等式、不等式的解法及其应用
第1节不等关系与不等式、不等式的解法及其应用
第1节不等关系与不等式、不等式的解法及其应用
考点3 不等式恒成立或有解问题的解法
第1节不等关系与不等式、不等式的解法及其应用
第1节不等关系与不等式、不等式的解法及其应用
第1节不等关系与不等式、不等式的解法及其应用
对点练
第1节不等关系与不等式、不等式的解法及其应用
第1节不等关系与不等式、不等式的解法及其应用
2021届全国新高考数学备考复习
不等关系与不等式、不等式的解法及其应用
不等关系与不等式、不等式的解法及其应用
真题自测考向速览必备知识整合提升考点精析考法突破
第1节不等关系与不等式、不等式的解法及其应用
真题自测考向速览
考点1 不等式的性质及其应用
【解析】对于A，∵a>b，∴a－b>0，但a－b不一定大于1，故ln(a－ b)>0不一定成立，故A不正确．对于B，∵y＝是R上的增函数，∴当a>b时，，故B不正确．对于C，∵y＝x3在R上是增函数，且a>b，∴a3>b3，故C正确．对于D，由a>b不一定得到|a|>|b|，如a＝3，b＝－5.故选C.
第1节不等关系与不等式、不等式的解法及其应用
第1节不等关系与不等式、不等式的解法及其应用
第1节不等关系与不等式、不等式的解法及其应用

高考数学讲义：不等关系与不等式(解析版)

第12讲：不等关系与不等式【学习目标】1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小．【基础知识】基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.依据a>b⇔a－b>0. a＝b⇔a－b＝0. a<b⇔a－b<0结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小【考点剖析】考点一：不等式组表示不等关系例1．为了全面贯彻党的教育方针，落实“立德树人”的根本任务，切实改变边远地区孩子上学难的问题，某市政府准备投资1800万元兴办一所中学.经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是___________.【答案】2030, 28581800,0,0,,x yx yx y x y N【详解】设该校有初中班x个，高中班y个，则有：2030, 28581800,0,0,,x yx yx y x y N故答案为：2030, 28581800,0,0,,x yx yx y x y N变式训练1：《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为________.【答案】 91110813x y y x x y【详解】设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得： 91110813x y y x x y 故答案为： 91110813x y y x x y 变式训练2：A 杯中有浓度为%a 的盐水x 克，B 杯中有浓度为%b 的盐水y 克，其中A 杯中的盐水更咸一些．若将A 、B 两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为___________．【答案】ax by b a x y【详解】由题意，将A 、B 两杯盐水混合再一起后浓度为ax by x y， b a y ax by a x y x y ∵， a b x ax by b x y x y，∵A 杯中的盐水更咸一些，a b ，ax by b a x y，故答案为：ax by b a x y.变式训练3：已知b 克盐水中含有 0a b a 克盐，若给盐水加热，蒸发了 0m m b a 克水后盐水更咸了，请将这一事实表示为一个不等式：______.【答案】a ab m b 【详解】原来盐占盐水的比例为a b ，给盐水加热，蒸发了 0m m b a 克水后，盐占盐水的比例为a b m ，则a a b m b考点二：作差法比较大小（一）例2．比较231x x 与221x x 两个代数式的大小：；【答案】（1）223121x x x x ；【详解】（1） 2222312122110x x x x x x x ∵，因此，223121x x x x ；变式训练1：已知2253M x x ，242N x x ，则M ________N （用>，<，=填）【答案】＞【详解】2253M x x ，242N x x ，222225342131024M N x x x x x x x ，故M N .故答案为： .变式训练2：试比较 15x x 与 23x 的大小.【答案】2(1)(5)(3)x x x 【详解】因为222153656940x x x x x x x ，2(1)(5)(3)x x x 变式训练3：比较3x 与21x x 的大小；【答案】详解见解析；【详解】作差得：323222(1)()(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x （i）当1x 时，32(1)0x x x ，故321x x x ；（ii）当1x 时，32(1)0x x x ，故321x x x ；（iii）当1x 时，32(1)0x x x ，故321x x x .考点三：作差法比较大小（二）例3．证明不等式：（1）设0,0a b ，求证：3322a b ab a b ；（2）设,x y R ，求证：2252(2)x y x y .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】证明：（1）因为3322a b ab a b 3322a b ab a b 3232a ab b a b 2222a a b b b a 222a b a b a b a b ，因为00a b ，，所以 20a b a b ，所以33220a b ab a b ，所以3322a b ab a b ；（2）因为 22522x y x y 22542x y x y 22425x x y y22210x y ，所以 22522x y x y .变式训练1：若221a x ，22b x x ，3c x ，比较a ，b ，c 的大小.【答案】a b c .详解：∵221a x ，22b x x ，3c x ，∴22212a b x x x 222110x x x ，即a b ， 223b c x x x 223333024x x x ，即b c ，综上可得：a b c .变式训练2：已知a，b R ，比较22a b 与245a b 的大小．【答案】22245a b a b .【详解】a ∵，b R ，22245a b a b 222144a ab b 22(1)(2)0a b ，22245a b a b ，当且仅当1a ，2b 时，等号成立，两式相等．变式训练3：已知0a b ，比较22a b b a 与11a b 的大小.【答案】2211a b b a a b【详解】解：222211a b a b b a b a a b b a2211()a b b a222()()a b a b a b.∵0a b ，2()0a b ，∴222()()0a b a b a b ，当且仅当a b 时，取等号，∴2211a b b a a b.考点四：作商法比较大小例4．设 121p a a ，21q a a ，则（）A．p qB．p q C．p qD．p q 【答案】D【详解】 1222110132411p a a a a a，22131024q a a a ，则222121111a a a a a a a q a p 222222111a a a a .故p q ，当且仅当0a 时，取等号，故选：D变式训练1：2211,,()1P a a Q a R a a ，则,P Q 的大小关系为_______．【答案】≥【详解】因为22131024P a a a ，22131024a a a 则0Q 由 222224211111P a a a a a a a a Q所以P Q故答案为：变式训练2：已知0a ，0b，试比较a b 时取等号）【详解】a b2211，当且仅当ab 时等号成立，a b 时取等号）.变式训练3：设0a b ，比较2222a b a b与a b a b 的大小【答案】2222a b a b a b a b【详解】220,0,a b a b a b ∵，22220,0a b a b a b a b，.两数作商 222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b22222211a b ab a b a b，2222a b a b a b a b.【过关检测】1、已知,a b R ，则2252a b _______42ab a ．（用“>”或“<”填空）【答案】>【详解】因为225242a b ab a 22(2)(1)1a b a ,又2(2)0a b ≥，2(1)0a ，所以2252420a b ab a ，所以225242a b ab a ，故答案为：>.2、已知0x ，则 221x 与421x x 的大小关系为_______.【答案】 221x 421x x 【详解】因为 221x 421x x 42422211x x x x x ，又0x ，所以20x .所以221x 421x x .故答案为： 221x 421x x .3、设222m a a ， 21n a ，则m ，n 的大小关系是______.【答案】m n .【详解】因为 2222110m n a a a ，所以m n .故答案为：m n .4、已知241Ma a ，122N a ，则M ________N .（填“>”或“<”）【答案】【详解】22312(1)022M N a a a，∴M N ．故答案为：．5、已知231M a a ，122N a，则M________N．（填“>”或“<”）【答案】【详解】22111()0224M N a a a，∴M N ．故答案为：．6、设x R ，231Mx x ，21N x x ，则M 与N 的大小关系为________.【答案】M N【详解】22311M N x x x x ∵222132222(1)2[(]024x x x x x ，M N故答案为：M N .7、已知a ，b 为实数，则221214a b______2ab a ．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）【答案】≥【详解】2222112121042a b ab a a b a ，当且仅当1a ，2b 取等号．故答案为：≥8、设2,1M x N x ，则M 与N 的大小关系是________.【答案】M N【详解】由作差比较法，可得22213(1)1(024M N x x x x x，所以M N .故答案为：M N .9、若 23x a a ， 34y a a ，则x 与y 的大小关系是__________.【答案】x y【详解】22233461260x y a a a a a a a a ，因此，x y .故答案为：x y .10、已知1x ，比较36x x 与26x 的大小.【答案】3266x x x .【详解】解： 32226616161x x x xx x x x ∵1x ，∴ 2610x x ∴3266x x x .11、若0x ，试比较251x 和2331x x 的大小；【答案】答案见解析；【详解】作差得： 22251331232212x x x x x x x ；所以当2x 时，2251331x x x ；当2x 时，2251331x x x ；当02x 时，2251331x x x ；12、设a 、b 为实数，比较22a b 与448a b 的值的大小.【答案】22448a b a b 【详解】由于a 、b 为实数，则 2222224484444220a ba b a a b b a b ，当且仅当22a b时，等号成立.因此，22448a b a b .13、比较221x y 与 21x y 的大小；【答案】 22121x y x y ；【详解】因为 2222211111x y x y x y ，又 2210,10x y ，所以222101x y x y ，所以 22121x y x y ；14、x R ，比较2(1)(1)2x x x 与 2(112x x x 的大小．【答案】 22111122x x x x x x【详解】由22(1)(1)(1212x x x x x x 323233331110222222x x x x x x所以 22111122x x x x x x15、设a ，b 为实数，比较22a b 与1ab a b 的大小．【答案】见解析详解：解：22(1)a b ab a b 221(222222)2a b ab a b22221[(2)(21)(21)]2a b ab a a b b 2221[()(1)(1)]2a b a b 222()0,(1)0,(1)0a b a b ∵，当且仅当1a b 时同时取等号22(1)0a b ab a b ，当且仅当1a b 时取等221a b ab a b 16、已知0a ，0b ，试比较11a b M a b 与11b a N a b的大小．【答案】当a b 时，M N =；当a b ¹时，M N .【详解】11111111a b b a a b a b M N a b a b a a b b Q 211111111a b a b a b a b a b a b a b .因为0a ，0b ，所以 110a b ， 20a b ，得0M N 当a b 时，M N =；当a b ¹时，M N .17、已知,R a b的大小．【详解】a ba ba b2，显然成立，，当且仅当a b 时取等号.18、若0a b ，0c d ，0e ，试比较 2e a c 与 2e b d 的大小.【答案】22e e a c b d 【详解】 22ee a c b d2222e b d a c a c b d22e a b c d b a c d a c b d ∵0a b ，0c d ，0a b ，0c d ，0b a ，0c d ，0a b c d ， 0b a c d .∵0e ， 0e a b c d b a c d 又 220a c b d ， 220eea cb d ，即 22e ea cb d .19、先后两次购买同一种物品，可采取两种不同的方式，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品，其中甲在两次购物时采用第一种方式，乙在两次购物时采用第二种方式.已知第一次购物时该物品单价为1p ，第二次购物时该物品单价为2p （12p p ）.甲两次购物的平均价格记为1Q ，乙两次购物的平均价格记为2Q .（1）求1Q ，2Q 的表达式（用12p p ，表示）；（2）通过比较1Q ，2Q 的大小，说明哪种购物方式比较划算.【答案】（1）1212121222p p p p Q Q p p，；（2）第二种购物方式比较划算.【详解】解：（1）设甲两次购物时购物量均为m，则两次购物总花费为1p m+2p m，购物总量为2m，平均价格为1212122p m p m p p Q m .设乙两次购物时用去钱数均为n，则两次购物总花费2n，购物总量为12n n p p ，平均价格为122121222p p n Q n n p p p p =综上，1212121222p p p p Q Q p p （2）∵12p p ，∴ 2212121212121212121242022()2()p p p p p p p p p p Q Q p p p p p p 12Q Q 由此可知，第二种购物方式比较划算.20、甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.（1）若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；（2）设两次购买这种物品的价格分别为a 元，b 元(0,0)a b ，问甲、乙谁的购物比较经济合算.【答案】（1）5，245；（2）乙的购物比较经济合算.【详解】（1）设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ，所以甲两次购买这种物品平均价格为，645m m m m ，乙两次购买这种物品平均价格为，224564n n n .（2）设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ，所以甲两次购买这种物品平均价格为，2am bm a b m m ，乙两次购买这种物品平均价格为22n ab n n a b a b ，22222()42()022()2()2()a b ab a b ab a b ab a b a b a b a b a b ，所以乙的购物比较经济合算.。

不等关系与不等式高考数学知识点总结高考数学真题复习

§7.1 不等关系与不等式2014高考会这样考 1.考查有关不等式的命题真假及数式的大小比较；2.考查和函数、数列等知识的综合应用．复习备考要这样做 1.熟练掌握不等式的性质，并会正确理解和应用；2.对含参数的不等式，要把握分类讨论的标准和技巧．1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b >0)．3．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c，a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc，a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(5)可乘方：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a>b>0(n∈N，n≥2)．[难点正本疑点清源]1．在学习不等式的性质时，要特别注意下面几点(1)不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有a－b>0⇔a>b，a－b＝0⇔a＝b，a－b<0⇔a<b，这是比较两数(式)大小的理论根据，也是学习不等式的基石．(2)一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意在解题中灵活、准确地加以应用．(3)不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c，这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明a>c，选择中间量b，在证出a>b，c>b 后，就误认为能得到a>c.(4)同向不等式可相加，但不能相减，即由a>b，c>d，可以得出a＋c>b＋d，但不能得出a－c>b－d.2．理解不等式的思想和方法(1)作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应引起高度注意，要注意强化．(2)加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算．(3)通过复习要强化不等式“运算”的条件．如a>b、c>d在什么条件下才能推出ac>bd.(4)强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系．1．已知a >b >0，且c >d >0，则a d 与bc的大小关系是______________．答案a d>b c解析 ∵a >b >0，c >d >0，∴a d >bc >0，∴a d> b c. 2．已知a <0，－1ab 2>a解析由－1ab 2>a .3．限速40 km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式就是( )A ．v <40 km /hB ．v >40 km/hC ．v ≠40 km /hD ．v ≤40 km/h答案 D4． (2011·浙江)设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 ∵0<ab <1，∴a ，b 同号，且ab <1. ∴当a >0，b >0时，b <1a ；当a <0，b <0时，b >1a .∴“0<ab <1”是“b <1a”的不充分条件．而取b ＝－1，a ＝1，显然有b <1a，但不能推出0<ab <1，∴“0<ab <1”是“b <1a ”的不必要条件．5． (2012·湖南)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >cb ；②ac log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③答案 D解析根据不等式的性质构造函数求解． ∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0，∴c a >cb，故①正确．构造函数y ＝x c .∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数．又a >b >1，∴a c b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．题型一不等式性质的应用例1 已知－π2<α<β<π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．思维启迪：不等式性质的应用是本题的突破点．解因为－π2<α<β<π2，所以－π4<α2<π4，－π4<β2<π4.所以－π2<α＋β2<π2，－π4<－β2<π4.因为α<β，所以α－β2<0.故－π2<α－β2<0.探究提高 (1)利用不等式的性质求范围要充分利用题设中的条件，如本题中的条件α<β；(2)注意“α－β”形式，利用不等式要正确变形．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．答案 (3,8)解析设2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3.解得⎩⎨⎧m ＝－12，n ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152，∴3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<2x －3y <8，所以z ＝2x －3y 的取值范围为(3,8)．题型二比较大小问题例2 已知a ≠1且a ∈R ，试比较11－a与1＋a 的大小．思维启迪：要判断11－a 与1＋a 的大小，只需研究它们差的符号．解 ∵11－a －(1＋a )＝a 21－a，①当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a＝1＋a .②当a <1，且a ≠0时，a 21－a >0，∴11－a >1＋a .③当a >1时，a 21－a <0，∴11－a<1＋a .探究提高实数的大小比较常常转化为对它们差(简称作差法)的符号的判定，当解析式里面含有字母时常需分类讨论．(2012·四川)设a ，b 为正实数．现有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若1b －1a ＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1；④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 答案 ①④解析 ①中，a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝1，a ，b 为正实数，若a －b ≥1，则必有a ＋b >1，不合题意，故①正确． ②中，1b －1a ＝a －b ab ＝1，只需a －b ＝ab 即可．如取a ＝2，b ＝23满足上式，但a －b ＝43>1，故②错．③中，a ，b 为正实数，所以a ＋b >|a －b |＝1，且|a －b |＝|(a ＋b )(a －b )|＝|a ＋b |>1，故③错． ④中，|a 3－b 3|＝|(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)| ＝|a －b |(a 2＋ab ＋b 2)＝1.若|a －b |≥1，不妨取a >b >1，则必有a 2＋ab ＋b 2>1，不合题意，故④正确．题型三不等式与函数、方程的综合问题例3 已知f (x )是定义在(－∞，4]上的减函数，是否存在实数m ，使得f (m －sinx )≤f ⎝⎛⎭⎫1＋2m －74＋cos 2x 对定义域内的一切实数x 均成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．思维启迪：不等式和函数的结合，往往要利用函数的单调性和函数的值域．解假设实数m 存在，依题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧m －sin x ≤4，m －sin x ≥1＋2m －74＋cos 2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧m －4≤sin x ，m －1＋2m ＋12≥－⎝⎛⎭⎫sin x －122. 因为sin x 的最小值为－1，且－(sin x －12)2的最大值为0，要满足题意，必须有⎩⎪⎨⎪⎧m －4≤－1，m －1＋2m ＋12≥0，解得m ＝－12或32≤m ≤3.所以实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，3∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12.探究提高不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，m ≤f (x )恒成立，只需m ≤f (x )min .已知a 、b 、c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．解方法一 (作差法) ∵a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca ) ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 方法二 (函数法)记t ＝a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca ) ＝a 2－(b ＋c )a ＋b 2＋c 2－bc ， ∵Δ＝(b ＋c )2－4(b 2＋c 2－bc ) ＝－3b 2－3c 2＋6bc ＝－3(b －c )2≤0，∴t ≥0对a ∈R 恒成立，即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .不等式变形中扩大范围致误典例：(12分)已知1≤lg x y ≤2,2≤lg x 3y ≤3，求lg x 33y的取值范围．易错分析根据不等式性质先解出lg x ，lg y 的范围，再求lgx 33y的范围，错误原因是lg x ，lg y 的最值不一定能同时取到，这种做法可能扩大所求范围．审题视角 (1)注意已知条件1≤lg x y ≤2,2≤lg x 3y ≤3.(2)分析lg x 33y 与lg x y 、lg x 3y 的线性关系．(3)先将它们表示成lg x 、lg y 的线性关系．规范解答解由⎩⎨⎧1≤lg xy ≤2，2≤lg x3y≤3变形，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤lg x －lg y ≤2，2≤3lg x －12lg y ≤3，[2分] 令⎩⎪⎨⎪⎧lg x －lg y ＝a ，3lg x －12lg y ＝b ，解得⎩⎨⎧lg x ＝2b －a5，lg y ＝2b －6a 5.[4分]∴lgx 33y＝3lg x －13lg y＝3·2b －a 5－13·2b －6a 5＝1615b －15a .[6分]由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤2，2≤b ≤3，得⎩⎨⎧－25≤－15a ≤－15，3215≤1615b ≤165.[9分]∴2615≤1615b －15a ≤3，即2615≤lg x 33y ≤3.[11分] ∴lgx 33y的取值范围是⎣⎡⎦⎤2615，3.[12分]温馨提醒 (1)此类问题的一般解法是：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过”一次性“使用不等式的运算求得整体范围； (2)本题也可以利用线性规划思想求解；(3)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围.方法与技巧1．用同向不等式求差的范围．⎩⎨⎧ a <x 0a >b⇒1a <1b ；⎩⎨⎧ab >0a 1b .3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商．失误与防范1． a >b ⇒ac >bc 或a b ⇒1a <1b 或a 1b ，当ab ≤0时不成立．3． a >b ⇒a n >b n 对于正数a 、b 才成立． 4. ab>1⇔a >b ，对于正数a 、b 才成立．5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a >b ，b >c ⇒a >c ，其中a >c 不能推出⎩⎨⎧a >bb >c.6．求范围问题要整体代换，“一次性”使用不等式性质，注意不要扩大变量的取值范围．A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案 A解析由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分不必要条件是a >b ＋1.2．设a 1bB.1a －b >1a C ．|a |>－bD.－a >－b答案 B解析由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a 成立，即1a －b >1a不成立．3．设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a答案 B 解析 ∵0<lg e<lg 10＝12，∴lg e>12lg e>(lg e)2. ∴a >c >b .4．已知p ＝a ＋1a －2，q ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2，其中a >2，x ∈R ，则p ，q 的大小关系是 ( )A ．p ≥qB ．p >qC ．p <qD ．p ≤q 答案 A解析 p ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号．因为x 2－2≥－2，所以q ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2≤⎝⎛⎭⎫12－2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．所以p ≥q . 二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2011·天津改编)设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的____________条件．答案充分不必要解析 ∵x ≥2且y ≥2，∴x 2＋y 2≥4，∴“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分条件；而x 2＋y 2≥4不一定得出x ≥2且y ≥2，例如当x ≤－2且y ≤－2时，x 2＋y 2≥4亦成立，故“x ≥2且y ≥2”不是“x 2＋y 2≥4”的必要条件．∴“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分不必要条件．6．若角α、β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－3π2，π2 解析 ∵－π2<α<β<π2，∴－π<2α<π，－π2<－β<π2，∴－3π2<2α－β<3π2，又∵2α－β＝α＋(α－β)<α<π2，∴－3π2<2α－β<π2. 7．对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a >b ，则ac <bc ；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0.其中真命题为__________．(把正确命题的序号写在横线上) 答案 ②③解析若c ≥0，①不成立；由ac 2>bc 2知c 2≠0，则a >b ，②正确；当a >b 时，1a －1b ＝b －a ab>0，则a >0，b <0，③成立．三、解答题(共22分)8． (10分)已知a ，b 是正实数，求证：a b ＋b a ≥a ＋b . 证明方法一 a b ＋b a－(a ＋b ) ＝(a )3＋(b )3－(a ＋b )ab ab＝(a ＋b )(a －2ab ＋b )ab＝(a ＋b )(a －b )2ab. ∵a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0， ∴a b ＋b a －(a ＋b )≥0，∴a b ＋b a≥a ＋b . 方法二 a b ＋b a a ＋b ＝a a ＋b b ab (a ＋b )＝(a )3＋(b )3ab (a ＋b )＝a ＋b －ab ab ＝1＋(a －b )2ab≥1，∵a >0，b >0，∴a b ＋b a>0，a ＋b >0， ∴a b ＋b a ≥a ＋b . 9． (12分)设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解方法一设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝1， ∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法二由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝a －b f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧ a ＝12[f (－1)＋f (1)]b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤22≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝⎛⎭⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10.B 组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析当0<x <π2时，0<sin x <1. 由x sin 2x <1知x sin x <1sin x ，不一定得到x sin x <1. 反之，当x sin x <1时，x sin 2x <sin x <1.故x sin 2x <1是x sin x <1的必要不充分条件．2．已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b答案 A解析 c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b ，已知两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2，∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，∴1＋a 2>a ， ∴b ＝1＋a 2>a ，∴c ≥b >a .3．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1aD.2a ＋b a ＋2b >a b 答案 A 解析取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，但g (a )>g (b )未必成立，这样，a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a. 二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n(n ∈N *，n >2)，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是__________．答案 f (n )<φ(n )<g (n )解析 f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n <12n ＝φ(n )， g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1>12n＝φ(n )， ∴f (n )<φ(n )<g (n )．5．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________．答案 27解析由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y2≤81. 又3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13， ∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y4＝27. ∴x 3y4的最大值是27.6．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是_________．答案 z >y >x解析方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .三、解答题7． (13分)(1)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小；(2)已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >y y ＋b. (1)解方法一 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )，∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．方法二 ∵x <y <0，∴x －y <0，x 2>y 2，x ＋y <0.∴(x 2＋y 2)(x －y )<0，(x 2－y 2)(x ＋y )<0，∴0<(x 2＋y 2)(x －y )(x 2－y 2)(x ＋y )＝x 2＋y 2x 2＋y 2＋2xy<1， ∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．(2)证明 x x ＋a －y y ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b ). ∵1a >1b且a ，b ∈(0，＋∞)，∴b >a >0，又∵x >y >0，∴bx >ay >0，∴bx －ay (x ＋a )(y ＋b )>0，∴x x ＋a >y y ＋b .。

高考数学新增分大一轮复习第二章不等式2.1不等关系与不等式讲义含解析0411117

§2.1 不等关系与不等式1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝ba －b <0⇔a <b(a ，b ∈R )(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b ab ＝1⇔a ＝ba b <1⇔a <b(a ∈R ，b >0)2．不等式的基本性质概念方法微思考1．若a >b ，且a 与b 都不为0，则1a 与1b的大小关系确定吗？提示不确定．若a >b ，ab >0，则1a <1b，即若a 与b 同号，则分子相同，分母大的反而小；若a >0>b ，则1a >1b，即正数大于负数．2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘同一个数，不等号方向不变．( × ) (4)a >b >0，c >d >0⇒a d >b c.( √ ) (5)ab >0，a >b ⇔1a <1b.( √ )题组二教材改编2．[P74T3]若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析a －b >0⇒a >b ⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇏a －b >0.3．[P74T3]设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －c b ＋d D ．a ＋d >b ＋c答案 C解析由同向不等式具有可加性可知C 正确．题组三易错自纠4．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c －b d >0 B.a c －b d <0 C.a d >b cD.a d ac ，又∵cd >0，∴bd cd >ac cd ，即b c >ad. 5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A.6．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是__________．答案 (－π，0)解析由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0.题型一比较两个数(式)的大小例1(1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b与q ＝a ＋b 的大小关系为( )A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q答案 B解析 (作差法)p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1b＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a )ab，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q . 综上，p ≤q .故选B.(2)已知a >b >0，比较a a b b与a b b a的大小．解 ∵a a b b a b b a ＝a a －b b a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b，又a >b >0，故ab>1，a －b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>1，即a a b ba b b a >1，又a b b a>0，∴a a b b>a b b a，∴a a b b与a b b a的大小关系为：a a b b>a b b a.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法．跟踪训练1(1)已知p ∈R ，M ＝(2p ＋1)(p －3)，N ＝(p －6)(p ＋3)＋10，则M ，N 的大小关系为________．答案 M >N解析因为M －N ＝(2p ＋1)(p －3)－[(p －6)(p ＋3)＋10]＝p 2－2p ＋5＝(p －1)2＋4>0，所以M >N .(2)若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a 与7a a 7的大小关系不确定答案 C解析 77a a 7a a 7＝77－a a a －7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a ，则当a >7时，0<7a<1,7－a <0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a >1，∴77a a >7a a 7；当0<a <7时，7a>1,7－a >0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a >1，∴77a a >7a a 7. 综上，77a a>7a a 7. 题型二不等式的性质例2(1)若a ，b ，c ∈R ，则下列说法正确的是( ) A ．若a >b ，则a －c >b －c B ．若a >b ，则1a <1bC ．若a >b ，则a 2>b 2D ．若a >b ，则ac 2>bc 2答案 A解析当a >0>b 时，B 不正确，当0>a >b 时，C 不正确，当c ＝0时，D 不正确，由不等式的性质知A 正确，故选A.(2)已知四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0，能推出1a <1b的是________．(填序号)答案 ①②④解析运用倒数法则，a >b ，ab >0⇒1a <1b，②④正确．又正数大于负数，所以①正确．思维升华常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．跟踪训练2(1)已知a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0答案 A解析由c 0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立． (2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘b ，因为b <0，所以ab b >0，给出下列四个不等式： ①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④答案 A解析方法一由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立；∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36，a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立．故选A.方法二令a ＝3，b ＝2，可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A.命题点2 求代数式的取值范围例4已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18. 引申探究1．若将本例条件改为－1<x <y <3，求x －y 的取值范围．解 ∵－1<x <3，－1<y <3， ∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4. 又∵x <y ，∴x －y <0，∴－4<x －y <0，故x －y 的取值范围为(－4,0)．2．若将本例条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围．解设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3， ∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232. 思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法 ①逐一给出推理判断或反例说明．②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． (2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3(1)若a 1b B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n>b n答案 C解析 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确； C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a 0，∴0<y －x <7，故y －x 的取值范围为(0,7)．1．下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2b ，c >d ，则a －c >b －d 答案 C解析 A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误； B 项，当c <0时，ac >bc ⇒a 0，所以a b 2B ．1>⎝ ⎛⎭⎪⎫12b >⎝ ⎛⎭⎪⎫12aC.b a ＋a b<2 D ．a e b>b e a答案 D解析由题意知，b <a <0，则a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >1，b a ＋a b >2，∵b <a <0，∴e a>e b>0，－b >－a >0， ∴－b e a>－a e b，∴a e b>b e a，故选D.3．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b>b －1aD.2a ＋b a ＋2b >ab答案 A解析取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，故选A.4．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xz D ．x |y |>z |y |答案 C解析 ∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0， ∴3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0， ∴x >0，z <0，又y >z ，∴xy >xz .5．(2015·浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A ．ax ＋by ＋cz B ．az ＋by ＋cx C ．ay ＋bz ＋cx D ．ay ＋bx ＋cz答案 B解析令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3. A 项：ax ＋by ＋cz ＝1＋4＋9＝14； B 项：az ＋by ＋cx ＝3＋4＋3＝10； C 项：ay ＋bz ＋cx ＝2＋6＋3＝11； D 项：ay ＋bx ＋cz ＝2＋2＋9＝13.故选B.6．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是( )A ．－π<2α－β<0B ．－π<2α－β<πC ．－3π2<2α－β<π2D ．0<2α－β<π 答案 C解析 ∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π.∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2，∴－3π2<2α－β<3π2.又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2.故－3π2<2α－β<π2.7．已知a ＋b >0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是________．答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2 ＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b.8．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②a c >bc；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件的是________．答案 ①解析 ①由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a b 的充分条件．9．(2019·杭州模拟)已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0， ∴c a －d b ＝bc －adab>0，∴①正确；∵ab >0，又c a －db>0，即bc －adab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确； ∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －adab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．10．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________．答案 T 1<T 2解析 T 1－T 2＝(cos1cos α－sin1sin α)－(cos1cos α＋sin1sin α)＝－2sin1sin α<0.故T 1<T 2.11．(1)若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋dd； (2)已知c >a >b >0，求证：ac －a >bc －b.证明 (1)∵bc ≥ad ，bd >0，∴c d ≥ab， ∴c d ＋1≥a b＋1， ∴a ＋b b ≤c ＋dd.(2)∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0,0<1a <1b.又c >0，∴c a <c b，∴有⎩⎪⎨⎪⎧c －a a <c －b b ，c －a >0，c －b >0，可得ac －a >bc －b.12．已知1<a <4,2<b <8，试求a －b 与ab的取值范围．解因为1<a <4,2<b <8，所以－8<－b <－2.所以1－8<a －b <4－2，即－7<a －b <2. 又因为18<1b <12，所以18<a b <42＝2，即18<a b<2.13．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,2) C ．(1,3) D ．(0,3)答案 B解析由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1ca ，1＋c a >b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1b ，ab ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4答案 A解析结合定义及m ⊗n ≥2，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p q ≤2，可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q b ln a B ．a ln b <b ln a C ．a e b<b e aD ．a e b＝b e a答案 B解析观察A ，B 两项，实际上是在比较ln b b 和ln a a 的大小，引入函数y ＝ln xx，0<x <1.则y ′＝1－ln x x 2，可见函数y ＝ln xx在(0,1)上单调递增．所以ln b b <ln aa，B 正确．对于C ，D 两项，引入函数f (x )＝exx，0<x <1，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e xx 2<0，所以函数f (x )＝exx在(0,1)上单调递减，又因为0b e a，故选B.16．(2018·浙江衢州二中模拟)已知非负实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求(c －a )(c －b )的取值范围．解因为a ，b ，c 为非负实数，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＝1－c ,0≤c ≤1，故|(c －a )(c －b )|＝|c －a ||c －b |≤c 2≤1，即－1≤(c －a )(c －b )≤1；又(c －a )(c －b )＝c 2－(1－c )c ＋ab ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫c －142－18≥－18.综上，－18≤(c －a )(c －b )≤1.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2021年高考数学考点汇总考点25 不等关系与不等式(含解析)

2021年高考数学考点汇总考点25 不等关系与不等式（含解析）
一、选择题
1. （xx·山东高考理科·Ｔ5）
已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是（）
A、
.
B、.
C、.
D、.
【解题指南】本题考查了指数函数的性质，不等式的性质，先利用指数函数的性质判断x,y的大小，然后判断每个选项.
【解析】选D.由知，，所以
2. （xx·山东高考文科·Ｔ5）与（xx·山东高考理科·Ｔ5）相同
已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是（）
A、
.
B、.
C、.
D、.
【解题指南】本题考查了指数函数的性质，不等式的性质，先利用指数函数的性质判断x,y的大小，然后判断每个选项.
【解析】选D.由知，，所以
3.（xx·四川高考理科·Ｔ4）若，，则一定有（）
A. B. C. D.
【解题提示】本题考查不等式的基本性质.
【解析】选D.因为，所以，即得，又，得，从而有.
4.（xx·四川高考文科·Ｔ5）与（xx·四川高考理科·Ｔ4）相同
若，，则一定有（）
A. B. C. D.
【解题提示】本题考查不等式的基本性质.
【解析】选 B.因为，所以，即得，又，得，从而有.31676 7BBC 箼X20598 5076 偶33377 8261 艡37034 90AA 邪
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2019年高考数学(理)考点一遍过考点25 不等关系与一元二次不等式含解析

1．不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 2．一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. （3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.一、不等关系 1．不等式的概念（1）现实世界与日常生活中，与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系．（2）用数学符号“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式． 2．两个实数大小的比较（1）作差法：设a ，b ∈R ，则0a b a b >⇔->，a 0，b >0，则a >b ⇔1a b >，a b ⇔0a b ->； ②0a b a b =⇔-=； ③a ⇔<；(双向性)②传递性：a >b ，b >c ⇒a c >；(单向性) ③可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性) ④a >b ，c >d ⇒a c b d +>+；(单向性)⑤可乘性：,0a b c ac bc >>⇒>；(单向性) a >b ，c <0⇒ac <bc ；(单向性) ⑥a >b >0，c >d >0⇒ac bd >；(单向性)⑦乘方法则：()0,1nna b a b n n >>⇒>∈≥N ；(单向性)⑧开方法则：a >b >0⇒>n ∈N ，n ≥2)．(单向性)注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递. （2）可乘性中，要特别注意“乘数c ”的符号. 4．必记结论（1）a >b ，ab >0⇒11a b<. （2）a <0b >0,0<c <d ⇒a b c d>. （4）0<a <x b >0，m >0，则b b m a a m +<+；b b ma a m->-(b −m >0)； a a m b b m +>+；a a mb b m-<-(b −m >0)．二、一元二次不等式及其解法 1．一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式，有下列三种形式：（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠；（2）顶点式：224()(0)24b ac b y a x a a a-=++≠；（3）两根式：12()()(0)y a x x x x a =--≠. 2．三个“二次”之间的关系2(,)x +∞3．一元二次不等式的解法由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下：（1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即20(0)ax bx c a ++>>或20(0)ax bx c a ++<>；（2）计算：求出相应的一元二次方程（20(0)ax bx c a ++=>）的根，有三种情况：0,0∆,∆∆=0<>；（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；（4）求解：利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．可用程序框图表示一元二次不等式的求解过程，如图.4．一元二次不等式恒成立问题（1）20(0)ax bx c a ++>≠恒成立的充要条件是：0a >且240()b ac x -<∈R ．（2）20(0)ax bx c a ++≥≠恒成立的充要条件是：0a >且240()b ac x -≤∈R ．（3）20(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且240()b ac x -<∈R ．（4）20(0)ax bx c a ++≤≠恒成立的充要条件是：0a <且240()b ac x -≤∈R ．（5）20ax bx c ++>恒成立的充要条件是：0a b ==且0c >或0a >且240()b ac x -<∈R ．（6）20ax bx c ++<恒成立的充要条件是：0a b ==且0c <或0a <且240()b ac x -<∈R ．考向一比较大小比较大小的常用方法：（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论．注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反. （3）介值比较法：①介值比较法的理论根据是：若a >b ,b >c ,则a >c ，其中b 是a 与c 的中介值. ②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值. （4）利用单调性比较大小.（5）函数法，即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决.典例1 若，，，试比较，，的大小.典例2 已知0<a =, 又1a >1,所以1log ab <1log 1a=0. 综上，得1log ab b >0,求证:2222a b a ba b a b-->++. 考向二求范围的问题求范围的问题需用到不等式的性质，熟记不等式性质中的条件与结论是基础，灵活运用是关键.在使用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的前提条件，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数、两个不等式相乘、一个不等式两端同时求n 次方时，一定要注意其成立的前提条件，如果忽视前提条件就可能出现错误. 求范围的一般思路是：（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解；（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.典例3 设实数x ，y 满足212xy ≤≤，223x y ≤≤，则47x y的取值范围是______. 【答案】[]2,27【解析】因为()324272x y x y xy⎛⎫⎪⎝⎭=，()322282714x xy y ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭，, 所以47827[,][2,27]41x y ∈=.典例4 若二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且)12(1f -≤≤，()314f ≤≤，求f (－2)的取值范围. 【解析】方法一：∵二次函数y ＝f (x )的图象过原点，∴可设2(0())f x ax bx a =+≠.易知()()11f a b f a b =+⎧⎪⎨-=-⎪⎩，∴()()()()11121112a f f b f f ⎧=+-⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎨⎪=--⎡⎤⎣⎦⎪⎩.【名师点睛】同向不等式只能相加，不能相减.2．已知正数满足20350x yx y-≤⎧⎨-+≥⎩，则142yxz-⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭的最小值为A．1 B．4C．116D．132考向三一元二次不等式的解法1．解不含参数的一元二次不等式的方法：（1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.（2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得.（3）若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法.2．在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：（1）关于不等式类型的讨论：若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(∆>0),一根(∆=0),无根(∆<0)；（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：121212,,x x x x x x >=<.典例5 解下列不等式：（1）2230x x --+≥. （2）24410x x +≤+.典例6 已知函数. （1）当时，解关于的不等式；（2）若，解关于的不等式.【解析】（1）当时，,可得，,的解集为.当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为1{|2} x xa≤≤.3．不等式的解集为A．B．C．D．4．已知是偶函数，是奇函数，且=．（1）求和的解析式；（2）设(其中)，解不等式．考向四一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间关系的应用一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.（1）若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系.（2）若一元二次不等式的解集为R 或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围.典例7 已知函数. （1）当时,解关于a 的不等式；（2）若关于x 的不等式的解集是(-1,4)，求实数a ,c 的值.典例8 已知关于的不等式2230kx x k -+<.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若不等式的解集为∅，求实数的取值范围.5．若不等式的解集是11,23⎛⎫-⎪⎝⎭,则的值是 A ．B ．C ．14D ．10考向五一元二次不等式的应用对于分式不等式和高次不等式，它们都可以转化为一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解. 1．分式不等式的解法若()f x 与()g x 是关于x 的多项式，则不等式()0()f xg x >(或<0，或≥0，或≤0)称为分式不等式．解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧>⇒⇒⋅>⎨⎨><⎩⎩或;()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧<⇒⇒⋅<⎨⎨<>⎩⎩或; ()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇒⇒⋅>=⎨≠⎩或;()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≤⎧≤⇒⇒⋅<=⎨≠⎩或. 对于形如()()f xg x >a (或<a )的分式不等式，其中a ≠0，求解的方法是先把不等式的右边化为0，再通过商的符号法则，把它转化为整式不等式求解. 2．高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．解高次不等式常用的方法有两种：（1）将高次不等式()0(0)f x ><中的多项式()f x 分解成若干个不可约因式的乘积，根据实数运算的符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)．于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集．（2）穿针引线法：①将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因式(因式中x 的系数为正)或二次不可约因式的乘积； ②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．典例9 不等式()()23310x x x --+>的解集为_________. 【答案】()1,0,33⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】不等式()()23310x x x --+>可转化为,且方程()()3310x x x -+=的根为12310,3,3x x x ===-，则由穿针引线法可得原不等式的解集为()1,0,33⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.典例10 解关于x 的不等式:2x ax a -- <0(a ∈R ). 【解析】原不等式等价于：(x －a )(x －a 2)<0，其对应方程的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2.6．不等式102xx-≥+的解集为 A ．[]2,1- B ．(]2,1- C ．()(),21,-∞-+∞ D ．(](),21,-∞-+∞7．求下列不等式的解集：（1）25123x x x -≥--；（2）()()()3212110x x x --+<.考向六含参不等式恒成立问题的求解策略解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用，从解题策略的角度看，一般而言，针对不等式的表现形式，有如下四种策略：（1）变换主元，转化为一次函数问题. 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系，有时候变换主元，可以起到事半功倍的效果. （2）联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题.（3）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上分离参数法求最值．即①若()f x 在定义域内存在最大值m ，则()f x a <(或()f x a ≤)恒成立⇔a m >(或a m ≥); ②若()f x 在定义域内存在最小值m ，则()f x a >(或()f x a ≥)恒成立⇔a m <(或a m ≤);③若()f x 在其定义域内不存在最值，只需找到()f x 在定义域内的最大上界(或最小下界)m ，即()f x 在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的m ，只是等号均可以取到.（4）转化为两个函数图象之间的关系，数形结合求参数. 在不等式恒成立问题的处理中，若能画出不等式两边相应的函数图象，恒成立的代数问题立即变得直观化，等价的数量关系式随之获得，数形结合可使求解过程简单、快捷．典例11 已知二次函数，且不等式的解集为，对任意的都有恒成立. （1）求的解析式；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.∵，∴2212223x x xk -≤-⋅+，设，则22tk t ≤+，又∵2122t t t t=≤++，当且仅当即时取得最大值，∴，即实数的取值范围为4⎛-∞⎝⎦，. 典例12 已知函数()21f x mx mx =--.（1）若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立,求实数m 的取值范围; （2）若对于x ∈[1,3]，f (x )<5-m 恒成立,求实数m 的取值范围.8．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．9．若函数的定义域为，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．1．设,则下列结论中正确的是A ．c c a bC ．a c b c <D ．22ac bc >2．设 4.20.60.60.6,7,log 7a b c ===,则,,a b c 的大小关系是A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a b c <<3．不等式()2521x x +≥-的解集是A ．13,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(]1[,1)1,32D ．(]1,11,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭4．实数，，满足且，则下列关系式成立的是 A ． B ． C ．D ．5．已知的大小关系为A ．B ．C ．D ．的大小关系不确定,与的取值有关6．设集合,则A ．B ．C ．D ．7．已知15,13a b a b ≤+≤-≤-≤，则32a b -的取值范围是 A ．[]6,14- B ．[]2,14- C ．[]2,10-D ．[]6,10-8．若不等式222424ax ax x x +-<+对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 A ．(2,2)- B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(2,2]-D ．(,2]-∞- 9．已知下列四个条件:①;②;③;④,能推出11a b<成立的有C ．3个D ．4个10．若关于的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数的取值范围是A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－6]C ．[－6,2]D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞) 11．已知不等式的解集是，则不等式的解集是A ．B ．C ．D ．12．已知函数=的定义域是一切实数，则m 的取值范围是A ．0<m ≤4B ．0≤m ≤1C ．m ≥1D ．0≤m ≤413．设,a b 是不相等的正数，2x y ==，则,x y 的大小关系是___________．(用“<”连接） 14．不等式的解集是___________．15．已知实数,则的取值范围是___________.16．函数()()2log 23(0,1)f x x x a a =-->≠的定义域为___________.17．已知关于的不等式的解集为，则__________． 18．已知实数满足：，，则的最小值是___________.19．若关于x 的不等式()()221121k x k x x x -+-+++>0的解集为R ，则k 的取值范围为___________.20．已知0a b >>，0c d <<，0e <，试比较e a c -与eb d-的大小．21．已知11222x y+≤-≤,12-≤3x+y≤12,求9x+y的取值范围.22．解下列不等式：（1）；（2）.23．已知不等式的解集为.（1）求实数的值;（2）若不等式的解集为,不等式的解集为,且,求实数的取值范围.24．已知不等式的解集是.（1）求，的值；（2）解不等式0c xax b->+(为常数) .25．（1）解关于的不等式a ；（2）已知不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.26．已知函数.(1)若,且函数有零点,求实数的取值范围；(2)当时,解关于的不等式；(3)若正数满足,且对于任意的,恒成立，求实数的值.1．（2017新课标全国Ⅰ理科）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z2．（2017天津理科）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <，则A =R ð A ．{}12x x -<D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥4．（2018新课标全国Ⅲ理科）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<0,∴原不等式得证.方法二:∵a >b >0,∴2222a b a b -+>0,a b a b -+>0,∴22222()211a b aba b a b+==+>++左边右边, ∴原不等式得证. 2．【答案】C3．【答案】B【解析】由题意易得：，即，∴，∴不等式的解集为.故选B.4．【解析】（1）由题意得()()f x g x -+-=22x x --，即()()f x g x -=22x x --，联立得()f x =22x -，()g x =x ．（2）由题意得，即()23130mx m x +--<，当0m =时，30x --<，解得3x >-；当0m ≠时，()()130mx x -+<，对应方程的两个根为1x =1m，2x =3-，故当0m >时，易知13m >-，不等式的解为13x m-<<；5．【答案】A 【解析】因为不等式的解集是11,23⎛⎫-⎪⎝⎭，所以一元二次方程的解是11,23-,所以11112,2323b a a-+=--⨯=,解得,则6．【答案】B【解析】102x x -≥+等价于()()()()120120,212020x x x x x x x ⎧-+≥-+≤⎪⇒∴-<≤⎨+≠+≠⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩，即解集为(]2,1-．故选B.7．【解析】（1）则()()()()()()11230310x x x x x x +--⎧-≤-+≠⎪⎨⎪⎩，由穿针引线法可知原不等式的解集为][()1,12,3-.（2）()()()3212110x x x --+<即()()()3221110x x x --+>，利用穿针引线法可知不等式()()()3212110x x x --+<)()11,1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.8．【答案】C【解析】因为不等式对任意恒成立,所以，解得，即实数的取值范围是，故选C ．9．【答案】A 【解析】对任意的，有恒成立，所以或，得，故选A ．1．【答案】D【解析】当0a b >>时,110a b <<,因为0c <,所以11,c c a b ac bc>>,排除A,B; 当0a b >>时,0a b <<,所以a c b c >,排除C ．选D ． 2．【答案】B【解析】∵0< 4.20.6<1,0.67>1,0.6log 7<0,∴b >a >c ,选B ．考点冲关5．【答案】【解析】由题可得，111111bb ba ab b a bm a a an b b b b-----+--⎛⎫===⋅ ⎪⎝⎭.因为，所以111,1ba bab b--⎛⎫>>⎪⎝⎭，所以111ba bab b--⎛⎫⋅>⎪⎝⎭，所以，即.故选C.当02≠-a 时，要使不等式恒成立，需20a ∆-<⎧⎨<⎩，解得22<<-a .所以a 的取值范围为]2,2(-. 9．【答案】C【解析】①中,因为0b a >>,所以110b a >>,因此①能推出11a b<成立; ②中,因为0a b >>,所以0ab >,所以a b ab ab >,所以11b a>,因此②正确; ③中,因为0a b >>,所以110a b >>,所以③不正确;④中,因为0a b >>,所以a b ab ab>,所以④正确; 故选C ． 10．【答案】D【解析】因为关于的不等式的解集不是空集，所以()2430a a ∆=--≥，解得或，所以实数的取值范围是(][,6,)2-∞-+∞.故选D.12．【答案】C【解析】由题意可知：恒成立，当时，不等式不一定成立；当时，应有，且，解得.综上可得，m的取值范围是m≥1.选C.13．【答案】x y<【解析】由于,a b为不相等的正数，222a bx y+==，则222a ab by x -+-=24a b=>，所以x y<.14．【答案】【解析】由题意得,不等式可化为,所以不等式的解集为. 15．【答案】【解析】由题意可得,当时,;当时,.综上可知,.19．【答案】[1,9)【解析】∵关于x 的不等式()()221121k x k x x x -+-+++>0的解集为R ，而x 2+x +1=+>0，∴(k ﹣1)x 2+(k ﹣1)x +2>0的解集为R .当k =1时，2>0恒成立，因此k =1满足条件.当k ≠0时，可得()210(1)810k k k ∆->⎧⎨=---<⎩，解得1<k <9. 综上，可得k 的范围为[1,9).20．【解析】e a c -－e b d -=()()()()()()()b acde e b d a c a c b d a c b d ⎡⎤-+---+⎣⎦=----，0a b >>，0c d <<，∴0,0,0,0b a b d a c c d -<->->-<.又0e <，∴0e e a c b d ->--，∴e ea cb d>--. 21．【解析】方法一：设a (2x+y )+b (3x+y )=9x+y ,则2a+3b =9,a+b =1,22．【解析】（1），即，所以，即解集为.（2）分式不等式移项得2203xx+->-，即()23233xxx x-+->--，即343xx->-，即343xx-<-，根据穿针引线法，得，所以解集为.23．【解析】（1）依题意,得1,3是方程的两根,且，所以11313aaca⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩,解得1434ac⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.（2）由（1）得1434ac⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以，即为212304x x-+->，解得，所以.又,即为,解得,所以.因为,所以,即.所以实数的取值范围是[)2,-+∞.25．【解析】（1）∵，∴方程的两根为或.当时，，此时不等式的解集为.当时，，此时不等式的解集为.（2）当时，或.当时，符合题意；当时不符合题意，所以.当时，需满足()()22223034230m m m m m --<-+--<⎧⎪⎨⎪⎩，解得.综上可得，的取值范围是.1．【答案】D【解析】令235(1)x y z k k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k =∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >，22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D.【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.2．【答案】C【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．3．【答案】B 【解析】解不等式得，所以，所以可以求得{}|12A x x =-≤≤R ð，故选B ．4．【答案】B【解析】∵0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，.0.3030.211log ,lo 2g a b ∴==，0.311lo 0.g 4a b ∴+=，,即，又，，即，故选B. 5．【答案】[3,1]- 【解析】要使函数式有意义，必有2320x x --≥，即2230x x +-≤，解得31x -≤≤．故答案为[3,1]-.。

高三数学下册不等关系知识点分析

高三数学下册不等关系知识点分析不等式的定义：在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式.比较两个实数的大小：两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，令两个实数分别为a和b作差,若a-b＜0,则a＜b,若a-b＞0,则a＞b若a-b=0,则a=b概括为：作差法，作商法，中间量法等.不等式的性质：1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变不等式的技巧：1.“一个技巧” 作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方.2.“ 一种方法”待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围.3.“两条常用性质”(1)倒数性质：①agt;b，abgt;0;lt;; ②alt;0③agt;bgt;0,0; ④0(2)若agt;bgt;0，mgt;0，则①真分数的性质：lt;;gt;(b-mgt;0);②假分数的性质：gt;; lt;(b-mgt;0)。

练习题：1．实数x的绝对值不大于2，用不等式表示为( )A．|x|＞2B．|x|≥2C．|x|＜2D．|x|≤2答案：D2．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为( ) A．h＜4.5B．h＞4.5C．h≤4.5D．h≥4.5答案：C 限高也就是不高于，即指小于等于。

3．若a＝ln22，b＝ln33，c＝ln55，则( )A．alt;blt;cB．clt;blt;aC．clt;alt;bD．blt;alt;c答案：C ∵3ln2＝ln8lt;ln9＝2ln3，∴alt;b，故排除B，D项，同理可得clt;a，故选C。

2020_2021学年高考数学一轮复习考点讲解不等关系与不等式

2020-2021年新高三数学一轮复习考点：不等关系与不等式本部分很少在高考题目中出现，而作为作差法在导数中比较经常，用的比较频繁，其解题思路是，首先进行作差，然后比较大小。

一、比较两个数(式)的大小；二、不等式的基本性质；三、不等式及其性质的应用。

【易错警示】1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.3.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.4.求解参数范围问题时，先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围.比较两个数(式)的大小1.比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．2.两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a 1（a ∈R ，b >0）⇔a >b （a ∈R ，b >0），a b ＝1⇔a ＝b （a ，b ≠0），a b <1（a ∈R ，b >0）⇔a 0）.1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.2.作商法一般步骤：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.【典例】例1 (1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b与q ＝a ＋b 的大小关系为( ) A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q答案 B解析 (作差法)p －q ＝b 2a ＋a 2b－a －b ＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b＝(b 2－a 2)·⎝⎛⎭⎫1a －1b ＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a )ab，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .综上，p ≤q .故选B.(2)已知a >b >0，比较a a b b 与a b b a 的大小．解 ∵a a b b a b b a ＝a a －b ba －b ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b ，又a >b >0，故a b >1，a －b >0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b >1，即a a b ba b b a>1，又a b b a >0，∴a a b b >a b b a ，∴a a b b 与a b b a 的大小关系为a a b b >a b b a . 不等式的基本性质不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)；(6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2).【拓展延伸】等式的性质(1)对称性：若a ＝b ，则b ＝a .(2)传递性：若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .(3)可加性：若a ＝b ，则a ＋c ＝b ＋c .(4)可乘性：若a ＝b ，则ac ＝bc ；若a ＝b ，c ＝d ，则ac ＝bd .解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证； (2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.【易错警示】1.判断不等式的常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．2.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变.3.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a b －m a －m(b －m >0). (2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .【典例】例1 (1)(2020·武汉部分市级示范高中联考)下列命题中正确的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a >b ，c <d ，则a c >b dC ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －dD ．若ab >0，a >b ，则1a <1b答案 D解析对于A 选项，当c ＝0时，不成立，故A 选项错误；当a ＝1，b ＝0，c ＝－2，d ＝－1时，a c |a ＋b |答案 ABC解析由题意可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误．【例2】 (1)已知a ，b ，c 满足c acB.c (b －a )<0C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )>0(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( )A.①④B.②③C.①③D.②④解析 (1)由c 0.由b >c ，得ab >ac 一定成立.(2)法一因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab ，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误；③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b ＞0，所以a －1a ＞b －1b ，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确.答案 (1)A (2)C不等式及其性质的应用判断不等式是否成立的方法①逐一给出推理判断或反例说明．②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．【知识拓展】求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．.解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型.2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.【典例】角度1 不等式在实际问题中的应用【例1－1】 (2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________.②该小组人数的最小值为________.解析令男学生、女学生、教师人数分别为x ，y ，z ，且2z >x >y >z ，①若教师人数为4，则4<y <x <8，当x ＝7时，y 取得最大值6.②当z ＝1时，1＝z <y <x <2，不满足条件；当z ＝2时，2＝z <y <x <4，不满足条件；当z ＝3时，3＝z <y <x <6，y ＝4，x ＝5，满足条件.所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.答案 ①6 ②12角度2 利用不等式的性质求代数式的取值范围典例迁移【例1－2】 (经典母题)已知－1<x <4，2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________.解析因为－1<x <4，2<y <3，所以－3<－y <－2，所以－4<x －y <2.由－1<x <4，2<y <3，得－3<3x <12，4<2y <6，所以1<3x ＋2y <18.答案 (－4，2) (1，18)【迁移探究1】将本例条件改为“－1<x <y <3”，求x －y 的取值范围.解因为－1<x <3，－1<y <3，所以－3<－y <1，－4<x －y <4.①又因为x <y ，所以x －y <0，②由①②得－4<x －y <0，故x －y 的取值范围是(－4，0).【迁移探究2】将本例条件改为“已知－1<x －y <4，2<x ＋y <3”，求3x ＋2y 的取值范围. 解设3x ＋2y ＝λ(x －y )＋μ(x ＋y )，即3x ＋2y ＝(λ＋μ)x ＋(μ－λ)y ，于是⎩⎨⎧λ＋μ＝3，μ－λ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝52，∴3x ＋2y ＝12(x －y )＋52(x ＋y ).∵－1<x －y <4，2<x ＋y <3，∴－12<12(x －y )<2，5<52(x ＋y )<152，∴92<12(x －y )＋52(x ＋y )<192.故3x ＋2y 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫92，192.。

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考点25 不等关系与不等式
一、选择题
1. （2014·山东高考理科·Ｔ5）
已知实数,x y 满足x y a a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（）
A 、221111x y >++.
B 、22ln(1)ln(1)x y +>+.
C 、sin sin x y >.
D 、3
3y x >.
【解题指南】本题考查了指数函数的性质，不等式的性质，先利用指数函数的性质判断x,y 的大小，然后判断每个选项.
【解析】选D.由()10<<>a a a y x 知，y x >，所以
2. （2014·山东高考文科·Ｔ5）与（2014·山东高考理科·Ｔ5）相同
已知实数,x y 满足x y a a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（）
A 、221111x y >++.
B 、22ln(1)ln(1)x y +>+.
C 、sin sin x y >.
D 、3
3y x >.
【解题指南】本题考查了指数函数的性质，不等式的性质，先利用指数函数的性质判断x,y 的大小，然后判断每个选项.
【解析】选D.由()10<<>a a a y
x 知，y x >，所以
3.（2014·四川高考理科·Ｔ4）若，，则一定有（）
A.d b c a >
B. d b c a <
C. c b d a >
D. c
b d a < 【解题提示】本题考查不等式的基本性质.
【解析】选 D.因为0<<d c ，所以0c d ->->，即得110d c
>>--，又0>>b a ，得a b d c
>--，从而有c b d a <. 4.（2014·四川高考文科·Ｔ5）与（2014·四川高考理科·Ｔ4）相同
若0>>b a ，0<<d c ，则一定有（）
A. c b d a >
B. c b d a <
C.d b c a >
D. d
b c a < 【解题提示】本题考查不等式的基本性质.
【解析】选 B.因为0<<d c ，所以0c d ->->，即得110d c
>>--，又0>>b a ，得a b d c
>--，从而有c b d a <.。

高考数学 专项精析精炼 考点25 不等关系与不等式(含解析)

高中数学知识点精讲精析 不等关系