北师大版 高考数学总复习 常用逻辑用语-命题 随堂训练+变式训练
2020高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题作业2 北师大版选修1-1
1.1 命题[A.基础达标]1．“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是( )A．x＞－1 B．x＞0C．x＞1 D．x＞2解析：选D. x＞1⇒/ x＞2，故选D.2．命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的逆命题是( )A．“若x<a2＋b2，则x<2ab”B．“若x>a2＋b2，则x≥2ab”C．“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”D．“若x>2ab，则x>a2＋b2”解析：选D.把命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的条件和结论互换得其逆命题为“若x>2ab，则x>a2＋b2”．3．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是( )A．真命题B．假命题C．与所给的命题有关D．无法判断解析：选A.因为一个命题的逆命题、否命题是互为逆否命题，它们的真假性相同．由于逆命题是真命题，所以否命题也是真命题．4．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.因为“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，所以在M中存在不属于集合P的元素，故②③④正确，①不正确，故选C.5．若命题p的等价命题是q，q的逆命题是r，则p与r是( )A．互逆命题B．互否命题C．互逆否命题D．不确定解析：选B.因为p与q互为逆否命题，又因为q的逆命题是r，则p与r为互否命题．6．命题“对顶角相等”的等价命题是________________．解析：因为原命题和逆否命题是等价命题，所以该原命题的等价命题为“若两个角不相等，则这两个角不是对顶角”．答案：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角7．命题“若x∈R，则x2＋(a－1)x＋1≥0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得：Δ≤0，即：(a－1)2－4×1×1≤0，解得：a∈[－1，3]．答案：[－1，3]8．命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为________．解析：该命题的否命题为“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”．因为∠A、∠B可能等于90°，所以该命题的否命题为假命题．答案：假9．已知命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假．解：逆否命题为“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”．因为a≥0，所以4a≥0，所以方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1>0，所以方程x2＋x－a＝0有实根．故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真命题．又因原命题与其逆否命题等价，所以“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．10．(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．解：(1)证明：如图，设c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c ， 因为PO ⊥π，a π，所以PO ⊥a ，又a ⊥b ，b 平面PAO ，PO ∩b ＝P ，所以a ⊥平面PAO ，又c 平面PAO ，所以a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在平面π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．[B.能力提升]1．有下列四个命题：①“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题为( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④解析：选B.对于①：原命题为真命题，故逆否命题也为真命题．对于②：该命题的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，显然为假命题．对于③：该命题的逆否命题为“若x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q >1”，即Δ＝4－4q <0⇒q >1，故③为真命题．对于④：该命题的逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”．反例：等腰梯形，故为假命题．2．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选A.a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列． 原命题与其逆命题都是真命题，其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.3．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24＜1，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则实数x 的取值范围是________．解析：由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24＜1， 得x 2－4x ＜0，解得0＜x ＜4.因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4. 所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[4，＋∞)4．设p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，q 表示下列不同的结论：①|a ＋b |＜|a |＋|b |.②a·b ＝|a |·|b |.③(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直．④(a·b )c ＝a (b·c )．其中，使命题“若p ，则q ”为真命题的所有序号是________．解析：由于p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，则必有|a ＋b |＜|a |＋|b |，①正确；由于a·b ＝|a ||b |cos θ＜|a ||b |，②不正确；由于[(a·b )c －(a·c )b ]·a ＝(a·b )(c·a )－(a·c )(b·a )＝0，所以(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直，③正确；由于平面向量的数量积不满足结合律，且a ，b ，c 互不共线，故(a·b )c ≠a (b·c )，④不正确． 综上可知真命题的序号是①③.答案：①③5．求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.证明：该命题的逆否命题为：若p ＋q ＞2，则p 2＋q 2≠2.p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12(p ＋q )2. 因为p ＋q ＞2，所以(p ＋q )2＞4，所以p 2＋q 2＞2.即p ＋q ＞2时，p 2＋q 2≠2成立．所以若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.6．(选做题)在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项的和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断公比q 为何值时，逆命题为真？公比q 为何值时，逆命题为假？解：(1)逆命题：在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．(2)因为{a n }为等比数列，所以a n ≠0，q ≠0.由a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．得2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，所以2a m ·q 2＝a m ＋a m ·q ，所以2q 2－q －1＝0.解得q ＝－12或q ＝1. 当q ＝1时，a n ＝a 1(n ＝1，2，…)，所以S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＝ma 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1，因为2(m ＋2)a 1≠ma 1＋(m ＋1)a 1，即2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，所以S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列．即q ＝1时，原命题的逆命题为假命题．当q ＝－12时， 2S m ＋2＝2·a 1（1－q m ＋2）1－q， S m ＋1＝a 1（1－q m ＋1）1－q ，S m ＝a 1（1－q m ）1－q， 所以2S m ＋2＝S m ＋1＋S m ，所以S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．即q ＝－12时，原命题的逆命题为真命题．。
北师版高中同步学考数学选修1-1精品课件 模块复习课 第1课时 常用逻辑用语
件,故选A.
(2)由a⊥b知a·b=0,即2(x-1)+2=0,所以x=0.
而当x=0时,a=(-1,2),b=(2,1),必有a⊥b,所以a⊥b的充要条件是
x=0.
(3)要使不等式x2-2ax+a>0的解集为R,应有Δ=(-2a)2-4a<0,即4a24a<0,所以0<a<1,此为“关于x的不等式x2-2ax+a>0的解集为R”的
不必要条件;
④已知p,q为两个命题,若p∨q为假命题,则( p)∧( q)为真命题.
其中所有真命题的序号是
.
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第1课时
专题归纳
J基础梳理 Z专题整合
常用逻辑用语
ICHU SHU LI
高考体验
专题一
专题二
专题三
HUANTIZHENGHE
专题四
答案:①②④
解析:①∵x-3=0⇒x-3≤0,∴原命题为真命题.
打“×”.
(1)“x2+2x-3<0”是命题.(
)
(2)“sin 45°=1”是真命题.(
)
(3)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则 q”.(
)
(4)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至
少有一个为真.(
)
(5)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(
)
(6)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.(
充要条件,因此一个必要不充分条件是0≤a≤1.
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第1课时
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第2讲 常用逻辑用语 高中数学 北师大(2019) 必修 第一册 同步讲义
第2讲常用逻辑用语模块1 必要条件与充分条件一、知识梳理1.命题可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题.一般用小写英文字母表示一个命题，如p,q,r,···一个命题通常可以表示为“若p，则q”和“p是q”两种形式.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫做作假命题．2.充分条件与必要条件一般地，当命题“若 p，则 q”是真命题时，我们就说由 p 可以推出 q，记作 p ⇒q，读作“p 推出 q”．此时称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．3.充要条件当命题“如果 p ⇒ q且 q ⇒ p，则称 p 是 q 的充分且必要条件，简称 p 是 q 的充要条件，记作 p ⇔ q．p 是 q 的充要条件，又常说成“p成立当且仅当q成立”或“ p与q ”等价．p 是 q 的充要条件时，q也是p的充要条件.4. p 与 q 之间的四种关系与相应结论二、精讲讲练考点 1：充分性与必要性的判断例 1★★★用“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”填空．①在同一平面内，同位角相等是两直线平行的条件．②设a∈R，则 a > 1 是a2> 1的条件．③设a，b ∈R，则a+b > 4 是 a > 2 且b > 2 的条件．④x > 1是1x< 1的条件．⑤若A，B 是两个集合，则A∩B ≠∅是A ⊆B 的条件．⑥已知x，y∈R，则（x−1）2 +（y−2）2= 0是(x−1) (y−2) = 0 的条件．例 2 ★★★已知p：x＝2，q：x－2＝2－x，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件例 3 ★★★设a，b ∈R ，则“a+b > 4”是“a > 2 且b > 2”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件考点 5：充分条件和必要条件逆向求参问题例 4★★★若“条件α：2 ⩽ x ⩽4”是“条件β：3m−1 ⩽ x ⩽−m”的充分条件，则实数 m 的取值范围是．例 5★★★设α：−1 ⩽ x ⩽ 3，β：x ∈[m−1,2m+5]，若α是β的充分条件，则m∈．模块2 全称量词与存在量词一、知识梳理1.全称量词与全称量词命题在给定集合中，断言所有元素都具有同一性质的命题叫作全称量词命题.在命题中，诸如“任意”“所有”“每一个”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”.2.存在量词与存在量词命题在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.在命题中，诸如“存在”、“有一个”、“至少有一个”“有些”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“对任意的”量词的命题，称为存在量词命题.3.全称量词命题与存在量词命题的否定（1）命题的否定一般地，对命题 p 加以否定，就得到一个新的命题，记作¬p，读作“非 p”或“p 的否定”．若 p 是真命题，则¬p 必是假命题；若 p 是假命题，则¬p 必是真命题．（2）全称量词命题与存在量词命题的否定对于全称量词命题p：∀x∈M，具有性质p(x)，通常把它的否定表示为：∃x∈M，不具有性质p(x)对于存在量词命题p：∃x∈M，具有性质p(x)，通常把它的否定表示为：∀x∈M，不具有性质p(x)二、精讲讲练考点 1：含量词的命题真假判断例 1 ★★下列命题中为存在量词命题的是 ( )A. ∀x∈R, x2 > 0B. ∃x∈R, x2⩽ 0C. 所有平行四边形的对边平行D. 矩形的任一组对边相等例 2 ★★下列四个命题中为全称量词命题的是 ( )A. 有些实数是无理数B. 至少有一个整数不能被3 整除C. 任意一个偶函数的图象都关于y 轴对称D. 存在一个三角形不是直角三角形例 3 ★★用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题：（1）实数的平方大于等于0；（2）存在一对实数x，y，使2x+3y+3 > 0 成立．例 4 ★★下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A. ∀x∈R，x2 +2x+1 > 0B. 有一个素数不是奇数C. 所有菱形的四条边都相等D. π是无理数考点 2：含量词的命题否定例 5 ★★已知命题p : ∃x，y∈Z，x2 + y2 = 2015，则¬p 为()A. ∀x, y∈Z, x2 + y2≠ 2015B. ∃x, y∈Z, x2 + y2≠ 2015C. ∀x, y∈Z, x2 + y2 = 2015D. 不存在x, y∈Z, x2 + y2 = 2015例 6 ★★命题“∀x∈R，|x|+ x2⩾0”的否定是()A. ∀x∈R，|x|+ x2 < 0B. ∀x∈R，|x|+ x2⩽ 0C. ∃x∈R，|x|+ x2 < 0D. ∃x∈R，|x|+ x2⩽ 0考点 3：命题与量词的逆向求参问题例7 ★★★已知命题“∀x∈R, a x2+4x+1 > 0”是真命题，则实数a 的取值范围是()A. (4, +∞)B. (0, 4]C. (−∞, 4]D. [0, 4)例8 ★★★若命题“∃x∈R，x2+ (a−1)x+1 < 0”是真命题，则实数a 的取值范围是() A. [−1, 3] B. (−1, 3)C. (−∞, −1]∪[3, +∞)D. (−∞, −1)∪(3, +∞)例9 ★★★命题“∀x∈R，x2+mx+m > 0 恒成立”为真命题，则实数m 的取值范围为() A. [0, 4] B. (0, 4) C. [−4, 0] D. (−4, 0)。
高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题(1)课时作业北师大版选修1-1(2021学年)
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１。
1 命题（1)一、选择题１.下列语句不是命题的是( ）Ａ. 3是15的约数B． 1５能被5整除吗?C。
３小于2 ﻩD。
1不是质数解析：因为B选项中为疑问句,故不是命题.答案:B2．“红豆生南国，春来发几枝?愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》,在这四句诗中，可作为命题的是( )A．红豆生南国ﻩB．春来发几枝C.愿君多采撷D．此物最相思解析:“红豆生南国”是陈述句,意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题,且是真命题;“春来发几枝＂是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句,故都不是命题．答案：A3.下列语句中假命题的个数是( )①3是１5的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正方形｝是{ｘ|x是平行四边形}的子集吗?④３小于2；⑤9的平方根是３或-３；⑥2不是质数;⑦２既是自然数,也是偶数.A．2 B.3Ｃ.4ﻩD．5解析:④⑥是假命题,②③不是命题,①⑤⑦是真命题.答案:Ａ4．ｌ１,l２,l３是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是（)A．l１⊥ｌ2,ｌ2⊥l3⇒l1∥l3B．l１⊥ｌ2,ｌ2∥l３⇒ｌ1⊥l３C．l1∥l２∥l3⇒l1，l2，l３共面D.l1,l２,l３共点⇒ｌ１，l2，l3共面解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错;两条平行直线中的一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线，B正确;相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错;共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．答案:B二、填空题5．下列命题:①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形;③平行四边形是梯形；④若ac２>ｂc2,则a〉b。
2020学年高中数学第1章常用逻辑用语章末复习课学案北师大版选修2-1(2021-2022学年)
第1章常用逻辑用语1.四种命题及其关系(1)四种命题若p,则ｑ若q,则p(2(3）四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．２.充分条件与必要条件(1）如果p⇒q,那么称p是q的充分条件,q是ｐ的必要条件．(2)分类:①充要条件:p⇒q且q⇒p,记作p⇔q;②充分不必要条件：ｐ⇒ｑ,q_p;③必要不充分条件：q⇒p,p_q;④既不充分也不必要条件:p_ｑ且q_ｐ.3.简单的逻辑联结词与复合命题及其真假的判断(１)常见的逻辑联结词有“且”、“或”、“非”.ﻬ(2)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q,可得复合命题:p且ｑ,p或q，p.（3）命题ｐ且q中p、q有一假为假,p或ｑ有一真为真，p与p必定是一真一假.4.量词与含有一个量词的命题否定(1)短语“所有”“任意”“每一个"等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词.（２）短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词．（3）含有全称量词的命题叫作全称命题，含有存在量词的命题叫作特称命题.(４)对全称(特称)命题进行否定的两步操作①改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词.②否定结论:对原命题的结论进行否定.提醒：若命题p是真命题,则ｐ是假命题;若命题ｐ是假命题,则p是真命题.四种命题及其真假①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若ｌg x2=０,则x＝-1"的逆命题；③若“x≠y或x≠-y，则|ｘ|≠|y|”的逆否命题．其中真命题的个数是(）A．0B．1C．2 ﻩ D.3B [对于①,否命题是“不全等三角形的面积不相等”,它是假命题；对于②，逆命题是“若x=-1,则ｌg x2=0"，它是真命题;对于③，逆否命题是“若|x|=|y|，则x＝y且x=-y”，它是假命题，故选Ｂ。
2024届新高考一轮复习北师大版 2 常用逻辑用语 作业
课时规范练2 常用逻辑用语基础巩固组1.命题“∀n∈Z,n∈Q”的否定为()A.∀n∈Z,n∉QB.∀n∈Q,n∈ZC.∃n∈Z,n∈QD.∃n∈Z,n∉Q答案:D解析:改变量词,否定结论,得命题的否定为“∃n∈Z,n∉Q”.2.(2022·天津,2)“x为整数”是“2x+1为整数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由题意,若x为整数,则2x+1为整数,故充分性成立;当x=12时,2x+1为整数,但x不为整数,故必要性不成立.所以“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件.3.(2023·河南新乡模拟)已知命题p:∃x∈R,sin x=32;命题q:∀x∈R,2cos x≥12.则下列关于命题真假的说法正确的是()A.p真q假B.p假q真C.p,q均假D.p,q均真答案:B解析:因为-1≤s in x≤1,所以命题p为假命题;又因为cos x≥-1,所以2cos x≥12,所以命题q为真命题.4.(2022·山东聊城二模)已知a,b∈R,则“3a>3b”是“a2>b2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件答案:C解析:当a=1,b=-2时,满足3a>3b,而a2=1<b2=4,所以3a>3b成立时,a2>b2不一定成立.当a=-2,b=1时,满足a2>b2,而3a=19<3b=3,所以a2>b2成立时,3a>3b不一定成立.所以“3a>3b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件.5.(2023·湖北八市联考)设α,β为两个不同的平面,则α∥β的一个充要条件可以是()A.α内有无数条直线与β平行B.α,β垂直于同一个平面C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一条直线答案:D解析:对于A,α内有无数条直线与β平行不能得出α∥β,α内的所有直线与β平行才能得出α∥β,故A错误;对于B,C,α,β垂直于同一平面或α,β平行于同一条直线,不能确定α,β的位置关系,故B,C错;对于D,α,β垂直于同一条直线可以得出α∥β,反之,当α∥β时,若α垂直于某条直线,则β也垂直于该条直线,故D正确.6.(2023·广东茂名模拟)若不等式|x-1|<a的一个充分条件为0<x<1,则实数a的取值范围是()A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)答案:D解析:由不等式|x-1|<a,可得-a+1<x<a+1,当a<0时,不合题意.要使0<x<1是-a+1<x<a+1的一个充分条件,则需{-a+1≤0,a+1≥1,解得a≥1.7.(多选)(2023·河北石家庄模拟)命题“∀x∈R,2kx2+kx-38<0”为真命题的一个充分不必要条件是()A.k∈(-3,0)B.k∈(-3,0]C.k∈(-3,-1)D.k∈(-3,+∞)答案:AC解析:因为∀x∈R,2kx2+kx-38<0为真命题,所以k=0,或{k<0,k2+3k<0,所以-3<k≤0,即k∈(-3,0].要求使“k∈(-3,0]”为真命题的充分不必要条件,即寻找(-3,0]的真子集,显然A,C正确.综合提升组8.(2023·江苏南京模拟)若命题“∀x∈[1,4],x2>m”是假命题,则实数m的取值范围是()A.[16,+∞)B.[1,+∞)C.(16,+∞)D.(-∞,1)答案:B解析:因为“∀x∈[1,4],x2>m”是假命题,所以其否定“∃x∈[1,4],x2≤m”为真命题,则当x∈[1,4]时,m≥(x2)min,而当x=1时,x2取得最小值1,所以m≥1.9.(2022·山东潍坊二模)十七世纪,数学家费马提出猜想:“对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程x n+y n=z n没有正整数解”,经历三百多年,数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明,使它终成费马大定理,则费马大定理的否定为()A.对任意正整数n,关于x,y,z的方程x n+y n=z n都没有正整数解B.对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程x n+y n=z n至少存在一组正整数解C.存在正整数n≤2,关于x,y,z的方程x n+y n=z n至少存在一组正整数解D.存在正整数n>2,关于x,y,z的方程x n+y n=z n至少存在一组正整数解答案:D解析:命题的否定要先改变量词,再否定结论,故只有D满足题意.10.(2023·湖北荆门模拟)若命题“∃x∈π6,π3,tan x>m”是假命题,则实数m的取值范围是. 答案:[√3,+∞)解析:由题意得“∀x∈π6,π3,tan x≤m”为真命题,故m≥(tan x)max=tanπ3=√3.创新应用组11.写出一个使命题“∃x∈(2,3),mx2-mx-3>0”成立的充分不必要条件(用m的值或范围作答).答案:m=1(答案不唯一)解析:当x∈(2,3)时,易知x2-x=x-122-14∈(2,6),因为∃x∈(2,3),mx2-mx-3>0,所以∃x∈(2,3),m>3x2-x.令f(x)=3x2-x ,则f(x)在(2,3)上单调递减,所以12<f(x)<32,所以m>12.显然m=1⇒m>12,m>12m=1,故“m=1”是使命题“∃x∈(2,3),mx2-mx-3>0”成立的充分不必要条件.。
高中数学第一章常用逻辑用语11命题北师大版1-1!
1.1 命题学习目标1. 理解命题的概念及命题的构成，会判断一个命题的真假.2. 理解四种命题及其关系，掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断.知识点一命题的概念思考 1给出下列语句：①若直线 a∥ b，则直线 a 和直线 b 无公共点；②3＋ 6＝ 7；③偶函数的图像关于 y 轴对称；④5能被 4 整除 .请你找出上述语句的特点.答案上述语句有两个特点：①都是陈述句；②能够判断真假.梳理(1) 定义可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.(2)分类①真命题：判断为真的语句叫作真命题；②假命题：判断为假的语句叫作假命题.知识点二命题的形式思考 1你能把“内错角相等”写成“若, ，则 , ”的形式吗？答案若两个角为内错角，则这两个角相等.思考 2“内错角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？答案是命题，是假命题.梳理命题的形式：“若p，则 q”，其中命题的条件是p，结论是 q.由 p 能推出 q，则为真命题.能举一反例即可确定为假命题.知识点三四种命题的概念思考给出以下四个命题：(1)当 x＝2时， x2－3x＋2＝0；(2)若 x2－3x＋2＝0，则 x＝2；(3)若 x≠2，则 x2－3x＋2≠0；(4)若 x2－3x＋2≠0，则 x≠2.你能说出命题(1) 与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？答案命题 (1) 的条件和结论与命题(2) 的条件和结论恰好互换了. 命题 (1) 的条件与结论恰好是命题 (3) 条件的否定和结论的否定. 命题 (1) 的条件和结论恰好是命题(4) 结论的否定和条件1的否定 .梳理一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫作互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫作互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫作互为逆否命题.把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.知识点四四种命题的关系及其真假判断思考 1 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？答案互逆、互否、互为逆否 .思考 2 如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？答案原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题 .梳理(1) 四种命题的相互关系(2) 在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题.(3) 两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.类型一命题的概念例 1下列语句：(1)2是无限循环小数； (2) x2－ 3x＋ 2＝ 0；(3) 当x＝ 4 时， 2x>0； (4) 垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5) 一个数不是合数就是素数；(6) 作△ABC≌△A′B′C′；(7) 二次函数的图像太美了！(8)4 是集合 {1 ，2， 3} 中的元素 .其中是命题的是 ________.( 填序号 )答案(1)(3)(5)(8)解析本题主要考查命题的判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假 .(1) 是命题，能判断真假； (2) 不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量 x 赋值前，我们无法判断语句的真假； (3) 是命题； (4) 不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断； (5) 是命题； (6) 不是命题； (7) 不是命题； (8) 是命题 . 故答案为 (1)(3)(5)(8).反思与感悟一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假.2其流程图如图：跟踪训练1下列语句中，是命题的为________.①红豆生南国；②作射线 AB；③中国领土不可侵犯！④当 x≤1时， x2－3x＋2≤0.答案①④解析②和③都不是陈述句，根据命题定义可知①④是命题.类型二四种命题及其相互关系命题角度1四种命题的概念例 2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.(1) 若· <0，则方程2－＋＝ 0 有实数根；m n mx x n(2) 弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；(3) 若 m≤0或 n≤0，则 m＋ n≤0；(4) 在△ ABC中，若 a>b，则∠ A>∠B.解(1) 逆命题：若方程mx2－ x＋ n＝0有实数根，则m· n<0，假命题.2否命题：若 m·n≥0，则方程 mx－ x＋ n＝0没有实数根，假命题.2m· n≥0，真命题.逆否命题：若方程 mx－ x＋ n＝0没有实数根，则(2) 逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题 .否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题 .逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题 .(3)逆命题：若 m＋ n≤0，则 m≤0或 n≤0，真命题.否命题：若m>0且 n>0，则 m＋ n>0，真命题.逆否命题：若m＋ n>0，则 m>0且 n>0，假命题.(4)逆命题：在△ ABC中，若∠ A>∠ B，则 a>b，真命题.否命题：在△ ABC中，若 a≤ b，则∠ A≤∠ B，真命题.逆否命题：在△ABC中，若∠ A≤∠ B，则 a≤b，真命题.反思与感悟四种命题的转换方法(1) 交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题.(2) 同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题.3(3) 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题 .跟踪训练 2 命题“若函数 f ( x ) ＝log a x ( a >0，a ≠1) 在其定义域内是减函数， 则 log a 2<0”的逆否命题是 ()A. 若 log a 2<0，则函数 f ( x ) ＝ log a x ( a >0， a ≠1) 在其定义域内不是减函数B. 若 log a 2≥0，则函数f ( x ) ＝ log a ( >0， ≠1) 在其定义域内不是减函数x a aC. 若 log a 2<0，则函数f ( x )＝log a x ( a >0， a ≠1)在其定义域内是减函数D. 若 log a 2≥0，则函数f ( x )＝log a x ( a >0， a ≠1)在其定义域内是减函数答案B解析 直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减 函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数. 命题角度 2四种命题的相互关系例 3若命题 p ：“若 x ＋ y ＝ 0，则 x ， y 互为相反数”的否命题为q ，命题 q 的逆命题为r ， 则 r 与 p 的逆命题的关系是() A. 互为逆命题 B. 互为否命题 C. 互为逆否命题 D. 同一命题 答案 B解析 已知命题 p ：若 ＋ ＝ 0，则 x ， y 互为相反数 .x y命题 p 的否命题 q 为：若 x ＋ y ≠0，则 x ，y 不互为相反数， 命题 q 的逆命题 r 为：若 x ， y 不互为相反数，则x ＋ y ≠0， ∴ r 是 p 的逆否命题，∴ r 是 p 的逆命题的否命题，故选B.反思与感悟(1) 判断四种命题之间四种关系的两种方法 ①利用四种命题的定义判断；②巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是 互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系. (2) 要判断四种命题的真假：首先， 要熟悉四种命题的相互关系， 注意它们之间的相互性； 其 次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握. 跟踪训练 3有下列四个命题：①“若 x ＋ y ＝0，则 x ，y 互为相反数”的否命题； ②一个实数不是正数就是负数；③“若 x ≤－3，则 x 2－ x －6>0”的否命题； ④“同位角相等”的逆命题.4其中真命题的个数是________.答案1解析①“若 x＋ y≠0，则 x， y 不是相反数”，是真命题.②实数 0 既不是正数，也不是负数，所以原命题是假命题.③“若 x>－3，则 x2－ x－6≤0”，解不等式 x2－ x－6≤0可得－2≤ x≤3，而 x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题 .④“相等的角是同位角”，是假命题.类型三等价命题的应用例 4判断命题“已知a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x2＋(2 a＋1) x＋ a2＋2≤0的解集非空，则 a≥1”的逆否命题的真假.解方法一原命题的逆否命题：已知a， x 为实数，若a<1，则关于x 的不等式 x2＋(2 a＋1)x＋ a2＋2≤0的解集为?，判断如下：抛物线 y＝ x2＋(2 a＋1) x＋a2＋2的开口向上，令 x2＋(2 a＋1) x＋ a2＋2＝0，则＝ (2 a＋ 1) 2－ 4( a2＋ 2) ＝4a－ 7.因为 a<1，所以4a－7<0，即关于 x 的不等式 x2＋(2 a＋1) x＋a2＋2≤0的解集为?.故此命题为真命题.方法二利用原命题的真假去判断逆否命题的真假.因为关于 x 的不等式 x2＋(2 a＋1) x＋ a2＋2≤0的解集非空，所以 (2 a＋ 1) 2－4( a2＋2) ≥0，即 4 －7≥0，解得≥7≥1，a a 4所以原命题为真，故其逆否命题为真.引申探究2 2 7判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x ＋(2 a＋ 1) x＋a＋2>0的解集为 R，则a<4”的逆否命题的真假 .解先判断原命题的真假如下：因为 a，x 为实数，关于 x 的不等式 x2＋(2 a＋1) x＋a2＋2>0的解集为R，且抛物线 y＝ x2＋(2 a ＋ 1) x＋a2＋ 2 的开口向上，所以＝ (2 a＋1) 2－ 4( a2＋ 2) ＝ 4a－ 7<0，7所以 a<4.5所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题.反思与感悟由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.跟踪训练4证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则 a≠2b＋1.证明“若 a2－4b2－2a＋1≠0，则 a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则 a2－4b2－2a ＋ 1＝0”.∵ a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2 b＋1)2－4b2－2(2 b＋1)＋1＝4b2＋1＋ 4b－4b2－ 4b－ 2＋ 1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则 a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题.由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确.1. 下列语句是命题的是()A.2 014 是一个大数B.若两条直线平行，则这两条直线没有公共点C.对数函数是增函数吗D.a≤15答案B解析A、D 不能判断真假，不是命题； B 能够判断真假而且是陈述句，是命题；C 是疑问句，不是命题 .2. 命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是()A.两个平面B.一条直线C.垂直D.两个平面垂直于同一条直线答案 D解析只要分清命题中的条件和结论即可.3. 命题“若f ( x)是奇函数，则 f (－ x)是奇函数”的否命题是()A. 若f ( x) 是偶函数，则f (－ x)是偶函数6B. 若f ( x ) 不是奇函数，则f (－ x )不是奇函数C. 若f ( －x ) 是奇函数，则f ( x )是奇函数D. 若f ( －x ) 不是奇函数，则f ( x )不是奇函数 答案B解析否命题是既否定条件又否定结论.因此否命题应为“若f ( x )不是奇函数，则 f (－ x )不是奇函数”.4. 命题“若 a >b ，则 ac 2>bc 2( a ， b ，c ∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的 个数为() A.0B.2 C.3D.4 答案B解析命题“若 a >b ，则 ac 2>bc 2( a ， b ， c ∈R)”是假命题， 则其逆否命题是假命题.该命题的逆命题为“若ac 2>bc 2，则 a >b ( a ， b ， c ∈R)”是真命题，则其否命题是真命题. 故 选 B.5. 给出以下命题：①“若 x 2＋ y 2≠0，则 x 、 y 不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题；③“若 >0，则 x2＋ － ＝ 0 有实根”的逆否命题 .m x m其中为真命题的是 ________. 答案 ①③解析 ①否命题是“若 x 2＋ y 2＝ 0，则 x ， y 全为零”，真命题 .②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题 .③∵ ＝ 1＋ 4m ，当 m >0 时， >0，∴ x 2＋ x － m ＝ 0 有实根，即原命题为真 . ∴逆否命题为真 .1. 可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可 .2. 任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p ，则 q ”的形式.含有大前提的命题写 成“若 p ，则 q ”的形式时，大前提应保持不变.3. 写四种命题时，可以按下列步骤进行： (1) 找出命题的条件 p 和结论 q ；(2) 写出条件 p 的否定和结论 q 的否定； (3) 按照四种命题的结构写出所有命题.4. 判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.740 分钟课时作业一、选择题1. 下列语句中，不能成为命题的是() A.5>12 B. x >0C. 已知 a 、 b 是平面向量，若 a ⊥ b ，则 a · b ＝0D. 三角形的三条中线交于一点 答案B解析 A 是假命题， C 、D 是真命题， B 中含变量x ，未指定x 的取值范围，无法判断真假，故不是命题 .2. 下列说法正确的是 ()A. 命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B. 语句“最高气温 30℃时我就开空调”不是命题C. 命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D. 语句“当 a >4时，方程 x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 答案 D解析 对于 A ，改写成“若，则 ”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；pqB 所给语句是命题；C 的反例可以是“用边长为 3 的等边三角形与底边为3，腰为 2 的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明 .故选 D.3. 已知命题“若ab ≤0，则 ≤0或 ≤0”，则下列结论正确的是 ()a b A. 真命题，否命题：“若 ab >0，则 a >0 或 b >0”B. 真命题，否命题：“若 ab >0，则 a >0 且 b >0”C. 假命题，否命题：“若>0，则 >0 或 b >0”ab aD. 假命题，否命题：“若 ab >0，则 a >0 且 b >0”答案 B解析 “若 a >0 且 >0，则 >0”是真命题，又“若 >0 且 b >0，则>0”是“若≤0，babaab ab 则 a ≤0 或 b ≤0”的逆否命题，故原命题为真命题. 已知命题的否命题是“若ab >0，则 a >0且 b >0”.4. 下列命题中为真命题的是 ()A. 命题“若x >2 016，则 x >0”的逆命题B. 命题“若xy ＝0，则 x ＝0或 y ＝0”的逆否命题C. 命题“若x 2＋x －2＝0，则 x ＝1”D. 命题“若x 2≥1，则 x ≥1”的逆否命题8答案B解析A 选项，“若x >2 016，则x >0”的逆命题为“若x >0，则 x >2 016”是假命题；B 选项， “若 xy ＝0，则 x ＝0或 y ＝0”的逆否命题为“若 x ≠0且 y ≠0，则 xy ≠0”是真命题；C 选 项，由 x 2＋x －2＝0，得 x ＝1或 x ＝－2，故C 是假命题；D 选项，“若 x 2≥1，则 x ≥1”是 假命题，故其逆否命题是假命题.5. 若命题p 的否命题为q ，命题 p 的逆否命题为 r ，则 q 与 r 的关系是() A. 互逆命题B. 互否命题C. 互为逆否命题D. 以上都不正确 答案A6. 已知命题“若 a ， b ， c 成等比数列，则 b 2＝ac ”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中， 真命题的个数是 ( ) A.0B.1C.2D.3 答案B解析命题“若 a ， b ， c 成等比数列，则 b 2＝ac ”是真命题，故其逆否命题是真命题.该命题的逆命题为“若b 2＝ ac ，则 a ，b ，c 成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题， 故选 B.7. 下列命题： (1) 若“a 2<b 2，则a <b ”的逆命题； (2) “全等三角形面积相等”的否命题；(3) “若 a ≥0，则 2－ 2 ax ＋ ＋ 3>0 的解集为 R ”的逆否命题； (4) “若 3 ( x ≠0) 为有理数，axax则 x 为无理数” . 其中正确的命题是 ( ) A.(3)(4) B.(1)(3) C.(1)(2) D.(2)(4)答案 A解析 对于 (1) ，逆命题是“若 a <b ，则 a 2<b 2”，易知是假命题；对于 (2) ，否命题是“若两个三角形不全等， 则这两个三角形的面积不相等”， 易知是假命题； 对于 (3) ，结论成立的条件是a ＝ 0 或 a >0，2 2－4a ＋ 3aa故 a ≥0，原命题与其逆否命题真假性相同，所以 (3) 正确；对于 (4) ，若 x 为有理数，则3 x 必为无理数，因为3 为有理数，故 x 为无理数，则 (4) 正x确，故选A. 二、填空题8. 已知命题：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 若把上述命题改为 “若 p ，则 q ”的形式，则p 是________________________________________________，9q 是 ________________________________________________________________________.答案 一个点在线段的垂直平分线上这个点到线段的两个端点的距离相等9. 已知命题 p 的逆命题是“若实数 a ，b 满足 a ＝1且 b ＝2，则 a ＋ b <4”，则命题 p 的否命题 是 __________________________________.答案 若实数 ， b 满足 a ＋ ≥4，则 a ≠1或 b ≠2a b解析由命题 p 的逆命题与其否命题互为逆否命题可得.10. 在命题“若抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 的开口向下，则{ x | ax 2＋ bx ＋ c <0}≠?”的逆命题、否 命题、逆否命题中结论成立的个数是________. 答案1解析 原命题是真命题，则其逆否命题是真命题，该命题的逆命题是假命题，则其否命题也 是假命题，故答案为1. 11. 给定下列命题：①若 k >0，则方程 x 2－2x － k ＝0有实数根； ②若 x ＋ y ≠8，则 x ≠2或 y ≠6； ③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若 xy ＝0，则 x ， y 中至少有一个为零”的否命题. 其中真命题的序号是________. 答案 ①②④解析①∵＝4－ 4( － k ) ＝ 4＋ 4k >0， ∴①是真命题.②其逆否命题为真，故②是真命题.③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题. ④否命题：“若xy ≠0，则 x ， y 都不为零”是真命题. 三、解答题12. 判断命题：“若b ≤－ 1，则关于x 的方程x 2－ 2bx ＋b 2＋b ＝ 0 有实根”的逆否命题的真假. 解 方法一 因为原命题与逆否命题真假性一致， 所以只需判断原命题的真假即可. 方程判别式为＝ 4b 2－ 4( b 2＋ b ) ＝－ 4b ，因为 b ≤－ 1，所以≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真 .方法二( 利用逆否命题 ) 原命题的逆否命题为“若关于 x 的方程 x 2－ 2bx ＋ b 2＋ b ＝ 0 无实根，则 b >－1”.方程判别式为＝ 4 2－4(b 2＋ )＝－4 ，b b b因为方程无实根，所以 <0，即－ 4b <0，所以 b >0，10高中数学第一章常用逻辑用语11命题北师大版1-1!所以 b>－1成立，即原命题的逆否命题为真.13.已知奇函数 f ( x)是定义域为R的增函数， a， b∈R，若 f ( a)＋ f ( b)≥0，求证： a＋ b≥0.证明假设 a＋b<0，则 a<－ b.∵ f ( x)在R上是增函数，∴f ( a)< f (－ b)，又∵ f ( x)为奇函数，∴f (－b)＝－ f ( b)，∴ f ( a)<－ f ( b).即 f ( a)＋ f ( b)<0.∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.11。
高中数学选修1-1(北师版)第一章常用逻辑用语1.1命题(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案
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高中数学选修1-1(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 常用逻辑用语 1.1 命题
一、知识清单
命题的概念与真假判断 若则命题的四种形式
二、知识讲解
1.命题的概念与真假判断 描述： 命题的概念 一般地，用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句叫做命题 （proposition）．判断一个语句是不是命题，就要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真 假”这两个条件．一个命题一般可以用一个小写英文字母来表示，如 p ，q ，r ，⋯． 真命题与假命题 判断为真的命题称为真命题 （true proposition）；判断为假的命题称为假命题 （false proposition）． 例题： 判断下列语句中哪些是命题？ （1） √2 是无限循环小数； （2） x 2 − 3x + 2 = 0； （3） 当 x = 4 时， 2x > 0 ； （4） 垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？ （5） 一个数不是奇数就是偶数； （6） 2030 年 6 月 1 日上海会下雨． 解：（2）语句中含有变量 x ，在没有给 x 赋值前，无法判断 x 2 − 3x + 2 = 0 的真假，所以 不是命题；（4）是疑问句，没有做出任何判断，所以不能判断真假，所以不是命题．（1）、 （3）、（5）、（6）均可判断真假，故均为命题． 判断下列命题的真假． （1）一个实数不是质数就是合数； （2）若 x = 3 或 x = 7 ，则 (x − 3)(x − 7) = 0； （3）正方形既是矩形又是菱形； （4）若 A ∩ B = B，则 B ⊆ A． 解：（1）假命题，如实数 1 既不是质数也不是合数；（2）、（3）、（4）均为真命题． “不等式 x 2 + (a − 1)x + a2 ⩽ 0 的解集为 ∅ ”是真命题，求 a 的取值范围． 解：命题为真命题，则可知二次函数 y = x2 + (a − 1)x + a2 的图象与 x 轴没有交点，即
1.2常用逻辑用语综合训练2024-2025学年新教材高中数学必修1同步教学设计(北师大版)
- 即时测试可以评估学生对逻辑用语的应用能力。我会设计一些具有挑战性的题目，让学生现场解答，以此检验他们的学习效果。
- 对于在课堂中发现的问题，我会及时给予解答和指导，确保学生能够及时纠正错误，加深对知识点的理解。
- 课程平台：学校内部学习管理系统（LMS）、电子教材平台
- 信息化资源：电子教案、PPT课件、数学教学视频、在线逻辑推理练习题库
- 教学手段：小组合作学习、课堂讨论、案例教学、问题驱动教学、课后在线互动交流
五、教学过程
课前准备：
在课前，我已经通过学校内部的LMS平台上传了本节课的相关资源，包括电子教案、PPT课件和预习材料。同时，我也为学生准备了一些逻辑推理的预热题目，以便他们在课前能够对逻辑用语有一个初步的回顾和思考。
1. 命题与定理
- 命题是具有明确真值的陈述句。命题包括简单命题和复合命题。简单命题由主语和谓语构成，如“2是质数”；复合命题由多个简单命题通过逻辑联结词连接而成，如“2是质数且4是偶数”。
- 真命题是具有真值的命题，如“2是质数”；假命题是不具有真值的命题，如“2是偶数”；定理是在一定条件下被证明为真的命题。
3. 数学建模：学生能够运用所学逻辑用语，构建简单的数学模型，解决实际问题，增强数学建模素养。
三、教学难点与重点
1. 教学重点：
- 理解并掌握常用逻辑用语，如命题、定理、逻辑联结词、条件语句、逆否命题、逻辑等价式等；
- 学会运用逻辑用语分析数学问题，进行逻辑推理；
- 能够将逻辑用语应用于数学建模，解决实际问题。
4. 逻辑等价式
超实用高考数学专题复习(北师大版)：第一章集合与常用逻辑用语 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词
[四基自测]
1．(基础点：复合命题真假)已知 p：2 是偶数，q：2 是质数，则命题非 p，非 q，
p 或 q，p 且 q 中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
2．(基础点：特称命题的否定)设命题 p：存在 n∈N，n2＞2n，则非 p 为( ) A．任意 n∈N，n2＞2n B．存在 n∈N，n2≤2n C．任意 n∈N，n2≤2n D．存在 n∈N，n2＝2n 答案：C
1b，则下列命题中为真命题的是( )
A．p 且 q
B．p 且(非 q)
C．(非 p)且 q
D．(非 p)且(非 q)
[解析] x2－x＋1＝(x－12)2＋34≥34＞0，所以存在 x∈R，使 x2－x＋1≥0 成立，故
p 为真命题，非 p 为假命题，又易知命题 q 为假命题，所以非 q 为真命题，由复合
d∈R)，则 z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0，取 z1＝1＋
－
－
2i，z2＝－1＋2i，z1≠z2，∴p3 不是真命题；对于 p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴z
＝a－bi＝a∈R，∴p4 是真命题．故选 B.
[答案] B
(2)(2020·太原模拟)已知命题 p：存在 x∈R，x2－x＋1≥0；命题 q：若 a＜b，则1a＞
2．在例 2 条件下，若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，求实数 a 的取值范围． 解析：由 p 或 q 为真命题，p 且 q 是假命题知，命题 p 和 q 一真一假．若 p 真 q 假，则 a＜－12；若 p 假 q 真，则－4＜a＜4.故 a 的取值范围是(－∞，－12)∪ (－4，4)．
2024届新高考一轮复习北师大版 第1章 第2节 常用逻辑用语 课件(42张)
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.熟练掌握充要条件的判断，并能根据充要条件确定 参数的取值范围.2.理解全称量词命题与存在量词命题的含义.3.能正确地对 含有一个量词的命题进行否定．
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夯实·主干知识
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答案 [0，4) 解析 ①当 a＝0 时，1>0 恒成立，∴a＝0 满足条件，
a>0，
②当 a≠0 时，Δ＝a2－4a<0， 解得 0<a<4.
综上，0≤a<4.
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探究·核心考点
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考点一 充分、必要条件的判定
(1)(2022·江西新余市三模)若 a>0，b>0，则“a2＋b2≥2”是“a
＋b≥2”的________________条件．( )
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既非充分也非必要
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B 依题意，取 a＝ 2 ，b＝12 ，满足 a2＋b2≥2，而 a＋b<2，
当 a＋b≥2 时，a2＋b2＝a＋b2＋2 a－b2
≥12
a＋b
2
，当且仅当 a＝
b 时取“＝”，则 a2＋b2≥2，
a>1，此时
a－1>0，故函数
g x
＝xa－1
在0，＋∞
上单调递增；当
g x
＝xa－1 在0，＋∞
上单调递增时，a－1>0，
所以 a>1，故 f(x)＝ax 为增函数．故选 C.
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思维升华 充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据 p，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于 条件中涉及参数范围的推断问题．
北师大版 高考数学总复习 常用逻辑用语-逻辑联结词 且或非 课时作业4
课时作业(四)一、选择题1．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}．有下列结论：①命题“p且q”是真命题②命题“p且非q”是假命题③命题“非p 或q”是真命题④命题“非p或非q”是假命题其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析：命题p：存在x∈R，使tan x＝1正确．命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}也正确，∴①命题“p且q”是真命题；②命题“p且非q”是假命题；③命题“非p或q”是真命题；④命题“非p或非q”是假命题，故应选D.答案：D2．若p是真命题，q是假命题，则()A．p且q是真命题B．p或q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题解析：根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确．答案：D3．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)＜0}，命题q：Ø＝{0}，则下列判断正确的是()A．p假q真B．“p或q”为真C．“p且q”为真D．“綈p”为真解析：由(x＋2)(x－3)＜0可知－2＜x＜3，∴p为真命题，又q为假命题，∴B正确．答案：B4．已知p：1x2－2x－3＞0，则非p是()A．－1＜x＜3 B．－3＜x＜1 C．－3≤x≤1 D．－1≤x≤3解析：本题易错解为B，即非p是：1x2－2x－3≤0.应由x2－2x－3＞0，解得p：x＞3或x＜－1.故非p是－1≤x≤3.答案：D5．命题p：x＝π是y＝sin x的一条对称轴，q：2π是y＝|sin x|的最小正周期，下列命题：①p或q，②p且q，③非p，④非q，其中真命题有() A．0个B．1个C．2个D．3个解析：p、q都为假命题，∴③④为真命题．答案：C6．已知命题p：任意x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，则实数a的范围是()A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2C．a≥1 D．－2≤a≤1解析：p且q为真命题，则p、q都为真命题．p为真，a≤x2对x∈[1,2]恒成立，即a≤1；q为真，(2a)2－4(2－a)≥0，a≤－2或a≥1，∴a≤－2或a＝1.答案：A二、填空题7．如果命题“非p或非q”是假命题，对于下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．其中正确的是________．(填序号)解析：由“非p或非q”是假命题知，“非p”与“非q”都是假命题，所以p，q都是真命题，从而判断①③正确，②④错误．答案：①③8．已知命题p：函数f(x)＝log0.5(3－x)的定义域为(－∞，3)，命题q：若k＜0，则函数h(x)＝kx在(0，＋∞)上是增函数．下列结论中错误的是________．①命题“p且q”为真命题；②命题“p或非q”为假命题；③命题“p或q”为假命题；④命题“非p且非q”为假命题．解析：由3－x＞0，得x＜3，所以命题p为真命题，命题非p为假命题．又由k＜0，易知函数h(x)＝kx在(0，＋∞)上是增函数，所以命题q为真命题，命题非q为假命题．综上可知命题“p且q”为真命题，命题“p或非q”为真命题，命题“p或q”为真命题，命题“非p且非q”为假命题．答案：②③9．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z，若“p且q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为________．解析：“p且q”“綈q”都是假命题，则p为假命题，q为真命题，则x2－x－6＜0，－2＜x＜3，又x∈Z，∴x＝－1,0,1,2.答案：{－1,0,1,2}三、解答题10．分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题，并判断真假．(1)相似三角形周长相等或对应角相等；(2)9的算术平方根不是－3；(3)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．解：(1)这个命题是“p或q”的形式，其中p：相似三角形周长相等，q：相似三角形对应角相等．因为p假q真，所以“p或q”为真．(2)这个命题是“綈p”的形式，其中p：9的算术平方根是－3.因为p假，所以“綈p”为真．(3)这个命题是“p且q”的形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦，q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧．因为p真q真，所以“p且q”为真．11．写出下列命题的否定和否命题：(1)菱形的对角线互相垂直；(2)若a 2＋b 2＝0，则a ＝0，b ＝0；(3)若一个三角形是锐角三角形，则它的三个内角都是锐角．解：(1)原命题的否定：菱形的对角线不互相垂直．原命题的否命题：不是菱形的四边形的对角线不互相垂直．(2)原命题的否定：若a 2＋b 2＝0，则a 和b 中至少有一个不为0.原命题的否命题：若a 2＋b 2≠0，则a 和b 中至少有一个不为0.(3)原命题的否定：若一个三角形是锐角三角形，则它的三个内角不都是锐角．原命题的否命题：若一个三角形不是锐角三角形，则它的三个内角不都是锐角．12．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立；q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 在R 上是减函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．解：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4.因为关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0， 所以－2＜a ＜2，所以命题p ：－2＜a ＜2.函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，则有5－2a ＞1，即a ＜2.所以命题q ：a ＜2.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 为一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥2，此不等式组无解．②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－2或a ≥2，a ＜2，所以a ≤－2. 综上可知，所求实数a 的取值范围为a ≤－2.。
2022_2022学年高中数学习题课一常用逻辑用语北师大版选修2_1202222022227
习题课〔一〕 常用逻辑用语1．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．假设命题p ：任意x ∈A,2x ∈B ，那么( )A ．綈p ：存在x ∈A,2x ∈BB ．綈p ：存在x ∉A,2x ∈BC ．綈p ：存在x ∈A,2x ∉BD ．綈p ：任意x ∉A,2x ∉B解析：选C 命题p 是全称命题：任意x ∈M ，p (x )，那么綈p 是特称命题：存在x ∈M ，綈p (x )．应选C.2．命题p ：假设ab ＝0，那么a ＝0；命题q ：假设a ＝0，那么ab ＝0，那么( )A ．“p 或q 〞为假B ．“p 且q 〞为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真解析：选D 由条件易知：命题p 为假命题，命题q 为真命题，故p 假q 真．从而“p 或q 〞为真，“p 且q 〞为假．3．以下命题中，真命题是( )A ．存在x ∈R ，e x ≤0B ．任意x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b ＝－1D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件解析：选D ∵任意x ∈R ，e x >0，∴A 错；∵函数y ＝2x 与y ＝x 2的图像有交点，如点(2,2)，此时2x ＝x 2，∴B 错；∵当a ＝b ＝0时，a ＋b ＝0，而0作分母无意义，∴C 错；a >1，b >1，由不等式可乘性知ab >1，∴D 正确．4．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，那么“α⊥β〞是“a ⊥b 〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A 先证“α⊥β ⇒a ⊥b 〞．∵α⊥β，α∩β＝m ，b ⊂β，b ⊥m ，∴b ⊥α.又∵a ⊂α，∴b ⊥a ；再证“a ⊥b ⇒/ α⊥β〞．举反例，当a ∥m 时，由b ⊥m 知a ⊥b ，此时二面角αm β可以为(0，π]上的任意角，即α不一定垂直于β.应选A.5．以下有关命题的说法错误的选项是( )A ．命题“假设x 2－1＝0，那么x ＝1”的逆否命题为“假设x ≠1，那么x 2－1≠0”B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．假设集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0}中只有一个元素，那么k ＝1D ．对于命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，那么綈p ：任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0 解析：选C A 显然正确；当x ＝1时，x 2－3x ＋2＝0成立，但x 2－3x ＋2＝0时，x ＝1或x ＝2，故“x ＝1〞是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，B 正确；假设集合A ＝{x |kx 2＋4x＋4＝0}中只有一个元素，那么k ＝0或k ＝1，故C 错误；D 显然正确．6．p ：m －1<x <m ＋1，q ：(x －2)(x －6)<0，且q 是p 的必要不充分条件，那么m 的取值范围是( )A ．(3,5)B ．[3,5]C ．(－∞，3)∪(5，＋∞)D ．(－∞，3]∪[5，＋∞)解析：选B p ：m －1<x <m ＋1，q ：2<x <6.因为q 是p 的必要不充分条件，所以由p 能得到q ，而由q 得不到p ，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧ m －1>2，m ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥2，m ＋1<6.解得3≤m ≤5. 7．命题“在△ABC 中，如果∠C ＝90°，那么c 2＝a 2＋b 2”的逆否命题是__________________________________．答案：在△ABC 中，假设c 2≠a 2＋b 2，那么∠C ≠90°8．设p ：x >2或x <23；q ：x >2或x <－1，那么綈p 是綈q 的________条件． 解析：綈p ：23≤x ≤2.綈q ：－1≤x ≤2. 因为綈p ⇒綈q ，但綈q ⇒/ 綈p .所以綈p 是綈q 的充分不必要条件．答案：充分不必要9．命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，假设命题“p 且q 〞是真命题，那么实数a 的取值范围是________．解析：命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”为真，那么a ≤x 2，x ∈[1,2]恒成立，所以a ≤1.命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”为真，那么“4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0”，解得a ≤－2或a ≥1.假设命题“p 且q 〞是真命题，那么实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．答案：(－∞，－2]∪{1}10．p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0，假设p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．解：p ：x 2－8x －20＞0⇔x ＜－2或x ＞10，令A ＝{x |x <－2或x >10}，∵a ＞0，∴q ：x ＜1－a 或x ＞1＋a ，令B ＝{x |x <1－a 或x >1＋a }，由题意p ⇒q 且q p ，知A B ，应有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，1＋a <10，1－a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤10，1－a >－2 ⇒0＜a ≤3， ∴a 的取值范围为(0,3]． 11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －1，x <－2，x ＋3－2≤x ≤12. (1)求函数f (x )的最小值；(2)m ∈R ，命题p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意m ∈R 恒成立；q ：函数y ＝(m 2－1)x是增函数．假设“p 或q 〞为真，“p 且q 〞为假，求实数m 的取值范围．解：(1)作出函数f (x )的图像，可知函数f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－2，12上单调递增，故f (x )min ＝f (－2)＝1. (2)对于命题p ，m 2＋2m －2≤1，故－3≤m ≤1；对于命题q ，m 2－1>1，故m >2或m <－ 2.由于“p 或q 〞为真，“p 且q 〞为假，那么p 与q 一真一假． ①假设p 真q 假，那么⎩⎨⎧ －3≤m ≤1，－2≤m ≤2，解得－2≤m ≤1. ②假设p 假q 真，那么⎩⎨⎧ m >1或m <－3，m <－2或m >2，解得m <－3或m > 2.故实数m 的取值范围是 (－∞，－3)∪[－2，1]∪(2，＋∞)．。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题 四种命题基础知识精讲素材 北师大版选修21
四种命题基础知识精讲1.四种命题关于逆命题，否命题与逆否命题，也可以如下表述：①交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题.如，同位角相等，两条直线平行，它的逆命题就是两条直线平行，同位角相等.②同时否定命题的条件和结论，所得的命题是否命题，如上例的否命题就是同位角不相等，两条直线不平行.③交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.如①例的逆否命题是两条直线不平行，同位角不相等.2.四种命题之间的关系互逆命题，互否命题与互为逆命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题，否命题与逆否命题.四种命题之间的关系如图所示.3.一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系①原命题为真，它的逆命题不一定为真例如，原命题“若a=0，则ab=0”是真命题，它的逆命题“若ab=0，则a=0”是假命题.②原命题为真，它的否命题不一定为真例如，原命题“若a=o，则ab=0”是真命题，它的否命题“若a≠0，则ab≠0”是假命题.③原命题为真，它的逆否命题一定为真例如，原命题“若a=o，则ab=0”为真命题，它的逆否命题是“若ab≠0，则a≠0”是真命题.4.反正法反证法推证问题模式框图①反证法的理论根据是：原命题为真，则它的逆否命题也为真.在直接证明原命题有困难时，就可转化为证明它的逆否命题成立.②用反证法证明命题的一般步骤是第一步：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；第二步：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；第三步：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.③一般地来说，在什么条件下(或问题中)想到用反证法来证明，下面提供几种情形作为参考.第一，问题共计有n种情况，现要证明其中一种情况成立时，可想到用反证法证明把其他的n-1种情况都排除，从而确定这种情况成立.如，要证明两条直线相交，可用反证法证明这两条直线平行不成立，因为在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交，平行不成立，那么间接的证明两条直线相交；第二，命题用否定形式叙述的，如证明2不是方程2x+1=0的根，可用反证法证明，假设2是方程2x+1=0的根，则2×2+1应等于0，而2×2+1=5，产生矛盾，从而确定2不是方程2x+1=0的根成立；第三，命题用“至少”的字样叙述时，可用反证法证明，如证明a≠b，b≠c至少有一个成立，那我们可用反证法证明如下：假设a≠b，b≠c都不成立，即a=b且b=c，从这一条件出发推得矛盾，故a=b，且b=c不成立，因此，a≠b，b≠c至少有一个成立；第四，当命题成立非常明显，而要直接证明，所用的理论不少，且不容易说明白，而它的逆命题易证，如第一中的举例，证明两条直线相交的依据几乎没有，而平行线有很多性质，易于推理，因此，用反证法把证明两条直线相交问题转化到平行线的性质.5.否命题与命题的否定是两个不同的概念若p表示命题，“非p”叫做命题的否定.如果原命题是“若p则q”，那么这个原命题的否定是“p则非q”，即只否定结论.原命题的否定命题是“若非p，则非q”，即否定条件又否定结论，例如“菱形的四条边都相等”的否定为“菱形的四条边不都相等”；把“菱形的四条边都相等”作为原命题，则它的否命题是“若四边形不是菱形，则它的四条边不都相等.”。
高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题课后演练提升北师大版
2016-2017学年高中数学第一章常用逻辑用语 1.1 命题课后演练提升北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列语句中是命题的是( )A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 0°＝0C．x2－2x＋1＞0D．作△ABC∽△EFG解析：A、C、D不能判断真假，不是命题，故选B.答案： B2．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )A．4 B．3C．2 D．1解析：原命题与逆否命题为真，逆命题：“△ABC为等腰三角形，则AB＝AC”是假命题，因为还可以是AB＝BC，所以否命题也是假命题．答案： C3．下列命题中真命题的个数为( )①面积相等的两个三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则a＋c>b＋c；④矩形的对角线互相垂直．A．1 B．2C．3 D．4解析：①错．②错，若xy＝0则x，y至少一个为0，而未必|x|＋|y|＝0.③对，同向不等式，两边加上同一个常数．不等号不变．④错．答案： A4．下列命题中，是真命题的是( )A．命题“若ac＞bc，则a＞b”B．命题“若b＝3，则b2＝9”的逆命题C．命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题D．命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题解析：对于A，因为c的正负未知，因而a与b的大小不定，所以A为假；对于B，逆命题是“若b2＝9，则b＝3”，它未必成立，因为b可能等于－3，所以B为假；对于C，否命题是“当x≠2时，x2－3x＋2≠0”，因为x＝1时也可以使x2－3x＋2＝0成立，所以C为假；对于D，逆否命题是“两个三角形对应角不相等，则这两个三角形不相似”，因为原命题与逆否命题同真假，且原命题为真，所以逆否命题为真，故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．给出下列命题①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形②若一个四边形的对角互补，则它内接于圆③圆的内接四边形的对角互补④正方形的四条边相等⑤对角不互补的四边形不内接于圆⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形其中，互为逆否命题的有________，互为否命题的有________，互为逆命题的有________．答案：①和④，③和⑤①和⑥，②和⑤④和⑥，②和③6．下列命题是真命题的有________．(填序号)①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题．解析： ①逆命题“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题．②∵原命题为假，∴逆否命题也为假．③否命题“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，假如x ＝4>－3，但x 2＋x －6＝14>0，故为假．答案： ①三、解答题(每小题10分，共20分)7．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)当m ＜14时，方程mx 2－x ＋1＝0有实根； (2)实数的平方是非负实数；(3)互相垂直的两直线斜率乘积等于－1.解析： (1)若m ＜14，则方程mx 2－x ＋1＝0有实根，真命题．因为方程mx 2－x ＋1＝0有无实根取决于判别式Δ＝1－4m ，当m ＜14时，Δ＞0， 故当m ＜14时，方程mx 2－x ＋1＝0有实根为真； (2)若x ∈R ，则x 2≥0，真命题．(3)若两条直线互相垂直，则这两条直线的斜率乘积等于－1.假命题．当一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时两条直线垂直，而斜率乘积不等于－1.8．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)若q ≤1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2)若ab ＝1，则a ＝1且b ＝1.(3)若直线垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于平面；解析： (1)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ≤1，为真命题．否命题：若q >1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，真命题；逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q >1，真命题．(2)逆命题：若a ＝1且b ＝1，则ab ＝1，真命题．否命题：若ab ≠1，则a ≠1或b ≠1，真命题；逆否命题：若a ≠1或b ≠1，则ab ≠1，假命题．(3)逆命题：若直线垂直于平面，则这条直线垂直于平面内的两条相交直线，为真命题； 否命题：若直线不垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线不垂直于平面，为真命题； 逆否命题：若直线不垂直于平面，则这条直线不垂直于平面内的两条相交直线，为真命题． 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知c ＞0，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减，q ：不等式x ＋|x －2c |＞1的解集为R ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．解析： 函数y ＝c x 在R 上单调递减⇔0＜c ＜1.记P ＝{c |0＜c ＜1}．不等式x ＋|x －2c |＞1的解集为R ⇔函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1.∵x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2c ，x ≥2c ，2c ，x ＜2c ， ∴函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c .∴不等式x ＋|x －2c |＞1的解集为R ⇔2c ＞1⇔c ＞12.记Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ c ＞12.如果p 正确，且q 不正确，则0＜c ≤12. 如果p 不正确，且q 正确，则c ≥1，所以c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．。
新教材老高考适用2024高考数学一轮总复习课时规范练2常用逻辑用语北师大版
课时规范练2常用逻辑用语基础巩固组1.(2024浙江杭州高三月考)已知命题p的否定为∀a,b∈(0,+∞),1a +1b≥√ab,则命题p为()A.∃a,b∈(0,+∞),1a +1b≥√abB.∀a,b∈(0,+∞),1a +1b<√abC.∃a,b∈(0,+∞),1a +1b<√abD.∃a,b∉(0,+∞),1a +1b<√ab2.(2024福建厦门高三月考)已知M,N为全集U的两个不相等的非空子集,若(∁U N)⊆(∁U M),则下列结论正确的是()A.∀x∈N,x∈MB.∃x∈M,x∉NC.∃x∉N,x∈MD.∀x∈M,x∉∁U N3.(2024山东烟台高三期中)已知函数f(x)(x∈D)的最大值为M,函数g(x)(x∈D)的最小值为N,则M≤N是f(x)≤g(x)的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2024河北唐山高三月考)命题“∀x∈14,3,x2-a-2≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥9B.a≤8C.a≥6D.a≤115.(2024浙江金华高三月考)若“∃x∈R,ln(x2+1)-a=0”是真命题,则实数a的取值范围是()A.[0,+∞)B.(0,+∞)C.[e,+∞)D.(-∞,0]6.(2024北京海淀高三模拟)已知向量a=(-8,4m),b=(m,-2),则“m=-2”是“a|a|=b|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.(2024广东珠海高三月考)若“x-1x-3<0”是“|x-a|<2”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是()A.(1,3]B.[1,3]C.(-1,3]D.[-1,3]8.(2024辽宁锦州高三期中)已知p:∃x∈R,mx2+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+1>0,假如命题p,q均为假命题,则实数m的取值范围为()A.[2,+∞)B.(-∞,-2]C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.[-2,2]9.(2024山西太原高三月考)若数列{a n}的前n项和为S n,且满意S n=(n+3)(n-a),则“数列{a n}为等差数列”的充要条件是.综合提升组10.(2024湖南岳阳高三期中)下列说法正确的是()A.∀x<1,都有1x>1B.∃x∈R,使x+1x=√2C.∀x,y∈R,都有2x+y=2x+2yD.∃x,y∈R,使ln x+ln y=ln(x+y)11.(2024山东日照三模)若l,m是平面α外的两条不同直线,且m∥α,则“l∥m”是“l∥α”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.已知向量a=(x-3,2),b=(1,1),则“x>1”是“a与b的夹角为锐角”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.(2024山东淄博二模)已知a,b为正实数,则“aba+b≤2”是“ab≤16”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.(2024广东汕头高三期末)已知p:x-2mx+m<0(m>0),q:x(x-4)<0,若p是q的既不充分也不必要条件,则实数m的取值范围为.创新应用组15.已知x∈0,π2,函数f(x)=x+cos x-π2,则下列选项正确的是()①∃x∈0,π2,f(x)>0②∃x∈0,π2,f(x)<0③∀x∈0,π2,f(x)>0④∀x∈0,π2,f(x)<0A.②④B.①③C.①④D.②③16.(2024海南海口高三期末)已知命题p:∀x∈R,m(4x2+1)>x,命题q:∃x∈[2,8],m log2x+1≥0,若p,q的真假性相同,则实数m的取值范围是.课时规范练2 常用逻辑用语1.C2.D 解析:∵(∁U N )⊆(∁U M ),∴M ⊆N.∴∀x ∈M ,必有x ∈N ,∴∀x ∈M ,x ∉∁U N ,故选D .3.A 解析:函数f (x )(x ∈D )的最大值为M ,函数g (x )(x ∈D )的最小值为N ,若M ≤N ,则f (x )≤g (x ),故充分性成立;若f (x )=sin x ,g (x )=sin x+0.5,x ∈[0,π],明显满意f (x )≤g (x ),但是M=f (x )max =1,N=g (x )min =0.5,不满意M ≤N ,故必要性不成立.故选A .4.A 解析:若当x ∈14,3时,x 2-a-2≤0恒成立,则a ≥x 2-2,由于g (x )=x 2-2在14,3上的最大值为g (3)=7,故a ≥7,即命题为真命题的充要条件是a ≥7,因此其一个充分不必要条件是a ≥9. 5.A 解析:因为“∃x ∈R ,ln(x 2+1)-a=0”是真命题,所以a=ln(x 2+1)≥ln1=0. 6.C 解析:由a|a|=b|b|知a 与b 共线且方向相同,由a ∥b 得(-8)×(-2)=4m 2,解得m=±2,但当m=2时,a =(-8,8),b =(2,-2),a 与b 方向相反,舍去,故m=-2.因此“m=-2”是“a|a|=b |b|”的充要条件.7.B 解析:由x -1x -3<0得1<x<3,由|x-a|<2得a-2<x<a+2,依题意应有a-2≤1且a+2≥3,解得1≤a ≤3. 8.A 解析:由p :∃x ∈R ,mx 2+1≤0,可得m<0,由q :∀x ∈R ,x 2+mx+1>0,可得Δ=m 2-4<0,解得-2<m<2,若p 是假命题,则有m ≥0;若q 是假命题,则有m ≤-2或m ≥2,故符合条件的实数m 的取值范围为[2,+∞).9.a=0 解析:当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n+2-a ,当n=1时,a 1=S 1=4(1-a ),由于数列{a n }为等差数列,所以2+2-a=4(1-a ),解得a=0,故“数列{a n }为等差数列”的充要条件是“a=0”.10.D 解析:当x=-1时,x<1,但1x =-1<1,故A 错误;当x ≠0时,x+1x ≥2或x+1x ≤-2,不行能有x+1x =√2,故B 错误;当x=0,y=1时,2x+y≠2x+2y,故C 错误;当x=2,y=2时,有ln x+ln y=ln(x+y ),故D 正确.11.B 解析:由于直线l ,m 在平面α外,且m ∥α,所以当l ∥m 时,必有l ∥α;当l ∥α时,则l ,m 平行、异面或相交,所以“l ∥m ”是“l ∥α”的充分不必要条件,故选B .12.A 解析:若a 与b 夹角为锐角,则有a ·b >0,所以x-3+2>0,解得x>1,但当x=5时,a 与b 同向,因此“x>1”是“a 与b 夹角为锐角”的必要不充分条件.13.A 解析:由于a ,b 为正实数,所以a+b ≥2√ab ,因此ab a+b ≤2√ab=√ab2,当且仅当a=b 时,等号成立,所以当ab ≤16时,aba+b≤√ab2≤2,但当ab a+b≤2时,不肯定有ab ≤16,例如a=2,b=10,故“aba+b≤2”是“ab ≤16”的必要不充分条件. 14.(0,2) 解析:由x -2m x+m<0(m>0)解得-m<x<2m ,由x (x-4)<0解得0<x<4.若p 是q 的充分不必要条件,则有{-m ≥0,2m ≤4,m >0,m 无解;若p 是q 的必要不充分条件,则有{-m ≤0,2m ≥4,m >0,解得m ≥2.因此当p 是q 的既不充分也不必要条件时,实数m 的取值范围是(0,2). 15.A 解析:f'(x )=1-sin x ,当x ∈0,π2时,f'(x )=1-sin x>0,所以f (x )在0,π2上单调递增,又因为f (0)=1-π2<0,fπ2=0,所以当x ∈0,π2时,f (x )<0,故∃x ∈0,π2,f (x )<0,∀x ∈0,π2,f (x )<0,即②④正确.故选A . 16.(-∞,-1)∪14,+∞ 解析:对于命题p ,由m (4x 2+1)>x 得m>x4x 2+1,当x ∈R 时,x4x 2+1∈-14,14,因此m>14.对于命题q ,由m log 2x+1≥0,x ∈[2,8]得m ≥-1log 2x ,由于x ∈[2,8],所以-1log 2x ∈-1,-13,因此m ≥-1.由于p ,q 的真假性相同,所以当p ,q 均为真命题时,{m >14,m ≥-1,即m>14;当p ,q 均为假命题时,{m ≤14,m <-1,即m<-1.综上,实数m 的取值范围是(-∞,-1)∪14,+∞.。
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逆命题 ．
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第一章 1
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自
主
预
习
(3)对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一 课
时
个命题的 结论 的否定和 条件
的否定，我们把这样的两
作 业
要
点 导
个命题叫作互为逆否命题．其中一个命题叫作原命题，另一个
学
命题叫作原命题的 逆否命题
．
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⑤是假命题．如 x＝ 3，y＝－ 3.
⑥祈使句．不是命题． 【答案】 ①③④⑤ ①
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(1)判断一个语句是否是命题的方法
自
主 预
①看语句：一般地，陈述句、反问句是命题，而祈使句、
习
疑问句、感叹句不是命题．
课 时
作
②明特征：看此语句是否具备命题的特征：能判断真假． 业
作 业
要
点 导
前还不能确定这些语句的真假，但是随着科学技术的发展与时
学
间的推移，总能确定它们的真假，人们把这一类猜想仍算为命
题．并非只有已经知道真假的语句才是命题．
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3．四种命题及其关系
自
(1)对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一
主
预 习
个命题的
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第一章 1
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问题探究 1：是不是任何语句都是命题？是否只有已经知
自
主 预
道真假的语句才是命题？
习
提示：(1)并不是任何语句都是命题，只有那些能够判断真 课
时
假的语句才是命题．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不
作 业
要
点 导
是命题，如“三角函数是周期函数吗？”“但愿每一个三次方
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第一章 1
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【解析】 ①通过反意疑问句，对等边三角形是等腰三角
自 形作出判断，是真命题．
主
预 习
②疑问句．没有对垂直于同一直线的两条直线是否平行作
课
出判断，不是命题．
时
作
业
要
③是假命题．数 0 既不是正数也不是负数．
点
导 学
④是假命题．没有考虑到“在两个三角形中”的情况．
要
点
导 学
(2)判断命题的真假的方法
判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，
在判断时，要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判
断．判断一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可．
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自
主
预 习
下列语句中是命题的有________．
①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；
课
②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”；
时
作
业
要
③“一个数不是正数就是负数”；
点
导 学
④“大角所对的边大于小角所对的边”；
⑤“x＋y 为有理数，则 x、y 也都是有理数”；
⑥“作△ABC∽△A′B′C′”． 【思路启迪】 判断一个语句是否是命题的依据是什么？
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要点导学
课 时
作
业
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要点一 命题及命题的真假判断
自
主
命题是特殊的语句，要判断句子是否是命题，首先，要看
预
习 给出的句子的句型，一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是 课
时
命题．其次，要看能不能判断其真假，也就是判断其是否成
作 业
学
程都有三个实数根！”“指数函数的图象真漂亮！”等，都不
是命题．
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自 主Leabharlann (2)在数学或其他科学技术中，还有一类陈述句也经常出
预
习 现，如“每一个不小于 6 的偶数都是两个奇素数之和．”(哥 课
时
德巴赫猜想)“在 2020 年前，将有人登上火星．”等，虽然目
课
问题探究 3：在四种命题中，它们的真假性有什么关系？
时 作
业
要 点
真命题的个数是多少？
导 学
提示：互为逆否的两个命题具有相同的真假性，互逆或互
否的两个命题的真假性没有必然的联系．由于原命题与逆否命
题同真假，逆命题与否命题同真假，因此真命题的个数可以是
0,2,4 个．
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自 主 预 习 要 点 导 学
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第一章 常用逻辑用语
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自 主 预 习
课
时
§1 命题
作 业
要 点 导 学
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自 主 预 习 要 点 导 学
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自主预习
课 时
作
业
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自 主
学习目标
目标解读
课 时 作 业
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第一章 1
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自
主 预
1．命题的概念
习
可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作 命题 ．其
课 时
作
中判断为真的叫作 真命题 ．判断为假的叫作 假命题 ． 业
要
点
导
2．命题的表示
学
数学中，通常把命题表示为“ 若p，则q ”的形式，其
中 p 是命题的条件， q 是命题的结论．
自
主 预
(4)四种命题之间的关系如图所示
习
课 时 作 业
要 点 导 学
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第一章 1
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问题探究 2：四种命题的名称是一成不变的吗？ 提示：不是，它只是反映了命题之间的一种关系，即名称
自 主
是相对的，而关系是绝对的，只要我们事先规定好哪个命题是
预
习 原命题，那么它的其他形式的命题就确定了．
预 习 要 点 导 学
1.了解命题的概念，会判断命 题的真假．通过对命题真假 的判定，体会举反例的作 用． 2．会分析命题的构成，并能 写出其他三类命题． 3．了解命题的逆命题、否命 题、逆否命题，会分析四种 命题的相互关系.
1.命题概念的准确理解．(重 点) 2．四种命题的构造及其真假 关系的判定．(重点) 3．能正确判定是否为命题， 能准确辨析命题的条件与结 论，并能写出其否命题．(难 点)
要
点 导
立．不能判断真假的语句，就不能叫命题．值得注意的是，定
学
义、公理、定理、公式、性质、法则等都是数学命题，在数学
或其他科学技术中的一些猜想仍是命题．
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第一章 1
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下列语句中是命题的有________，其中是真命
自 题的有________．(写出序号)
主
预 习
条件 的否定和 结论 的否定，我们把这样的两个命
题叫作互为否命题．其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫
课 时
作
要 作原命题的 否命题 ．
业
点
导 学
(2)对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一
个命题的 结论 和 条件 ，我们把这样的两个命题叫作互为逆
命题．其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作原命题的