第二节 抛物线1
高中数学抛物线的几何性质总结课件
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的，一般来说，向上开口的抛物线开口会逐渐变小，向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时，抛物线退化为一条直线，此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致，向上开口时函数值随x增大而增大，向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系
高二数学选修1-1 第二章 第2节 抛物线北师大版(文)知识精讲
高二数学选修1－1 第二章 第2节 抛物线北师大版（文）【本讲教育信息】一、教学内容选修1—1 抛物线的标准方程及其几何性质二、教学目标1、掌握抛物线定义、抛物线的标准方程四种形式及其几何性质并能熟练地应用定义、几何性质解决抛物线问题。
2、方程的数学思想、函数的数学思想、等价转化的数学思想、数与形结合的思想及待定系数法、定义法等数学思想方法的应用。
三、知识要点分析1、抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线L （L 不过F 点）的距离相等的点的集合叫抛物线。
定点F 叫做抛物线的焦点，定直线L 叫做抛物线的准线。
2、抛物线的标准方程形式：px y 22=（p>0）px y 22-=，（p>0）py x 22=，（p>0）py x 22-=（p>0）P ：称为焦准距（焦点到准线的距离）3、抛物线的几何性质：对称性，X 围，顶点，离心率，（以px y 22=为例） 4、抛物线的通径：过抛物线焦点F 且垂直于对称轴的直线，与抛物线相交于P 1、P 2两点，则两交点)P P (21之间的距离就是抛物线的通径，长度是2p 。
5、有关的重要结论：设过抛物线px y 22=的焦点的直线的倾斜角是θ，与抛物线交于A （),(),,2211y x B y x 。
则有下列结论（1）|AB|=p x x ++21，|AB|=θ2sin p2，（显然当︒=θ90时，|AB|最小。
最小值是2p ，此时|AB|是抛物线的通径。
）（2）=21x x 2212,4p y y p-=（3）θsin 22p S AOB =∆（4）pBF AF 2||1||1=+（定值） （5）以|AB|为直径的圆与准线相切。
【典型例题】考点一：考查求抛物线的标准方程例1：求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P （－2，－4）的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标。
【思路分析】因顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点P （－2，－4），故可设抛物线方程是)0(,22>-=p py x 或设)0(,22>-=p px y解：由已知设抛物线的标准方程是)0(,22>-=p py x 或)0(,22>-=p px y 把P （－2，－4）代入py x 22-=或px y 22-=得21=p 或p=4 故所求的抛物线的标准方程是x y y x 822-=-=或当抛物线方程是y x -=2时，焦点坐标是F （)41,0-，准线方程是41=y 当抛物线方程是x y 82-=时，焦点坐标是F （－2，0），准线方程是x=2 【说明】对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程可设为)0a (,ay x ax y 22≠==或例2：设过P （－2，4），倾斜角为π43的直线L 与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的顶点在原点，以x 轴为对称轴，若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求抛物线C 的标准方程。
高中数学选修2-1-抛物线的方程及性质
抛物线的方程及性质知识集结知识元抛物线的定义知识讲解1．抛物线的定义【概念】抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．【标准方程】①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．【性质】我们以y2＝2px（p＞0）为例：①焦点为（，0）；②准线方程为：x＝﹣；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．【实例解析】例1：点P是抛物线y2＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为解：∵点P是抛物线y2＝x上的动点，∴设P（x，），∵点Q的坐标为（3，0），∴|PQ|＝＝＝，∴当x＝，即P（）时，|PQ|取最小值．故答案为：．这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．例2：已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，点P到点（0，3）的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值是．解：如图所示，设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．过点P作PM⊥l，垂足为M．则|PM|＝|PF|．设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|＝＝．即|PM|+|PQ|的最小值为．故答案为：．这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点．这个题很有参考价值，我希望看了这个例题的同学能把这个题记下了，并拓展到椭圆和双曲线上面去．【考点分析】抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．例题精讲抛物线的定义例1.'已知动圆过定点F（2，0），且与直线x=-2相切，求动圆圆心C的轨迹．'例2.'平面内哪些点到直线l：x=-2和到点P（2，0）距离之比小于1．'例3.'点M到点F（3，0）的距离等于它到直线x=-3的距离，点M运动的轨迹是什么图形？你能写出它的方程吗？能画出草图吗？'抛物线的标准方程知识讲解1．抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：（1）y 2＝2px ，焦点在x 轴上，焦点坐标为F（，0），（p 可为正负）（2）x 2＝2py ，焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，），（p 可为正负）四种形式相同点：形状、大小相同；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．下面以两种形式做简单的介绍：标准方程y 2＝2px （p ＞0），焦点在x 轴上x 2＝2py （p ＞0），焦点在y 轴上图形顶点（0，0）（0，0）对称轴x 轴焦点在x 轴长上y 轴焦点在y 轴长上焦点（，0）（0，）焦距无无离心率e ＝1e ＝1准线x ＝﹣y ＝﹣例题精讲抛物线的标准方程例1.'已知Q（1，1）是抛物线x2=2py（p>0）上一点，过抛物线焦点F作一条直线l与抛物线交于不同两点A，B．在点A处作抛物线的切线l1，在点B处作抛物线的切线l2，直线l1、l2交于P 点．（Ⅰ）求p的值及焦点F的坐标；（Ⅱ）求证PA⊥PB．'例2.'根据下列条件求抛物线的标准方程：（1）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）；（2）焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5。
抛物线的定义及标准方程PPT课件-2024鲜版
抛物线具有对称性，其对称轴是 过焦点且垂直于准线的直线；抛 物线上任一点到焦点的距离等于 到准线的距离。
4
抛物线的焦点和准线
焦点
抛物线上所有点到焦点的距离相等的 点，用F表示。
准线
焦点和准线的位置关系
对于开口向上的抛物线，焦点在准线 的上方；对于开口向下的抛物线，焦 点在准线的下方。
抛物线上所有点到准线的距离相等的 直线，用l表示。
18
05
抛物线与相关曲线的联系与区别
2024/3/28
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与直线的交点问题
抛物线与直线交点的 求解方法
交点在抛物线对称轴 上的特殊情况
2024/3/28
交点个数的判断及位 置关系
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与圆的切线问题
抛物线与圆的切线求解方法
切线个数的判断及位置关系
切点在抛物线顶点处的特殊情况
2024/3/28
21
无限延伸
抛物线在两端无限延伸，且越来越 接近其对称轴。
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抛物线的顶点、焦点和准线的性质
顶点
抛物线的顶点是抛物线上距离对 称轴最近的点，也是抛物线的最
高点或最低点。
焦点
抛物线的焦点位于对称轴上，且 距离顶点的距离等于焦距。所有 从焦点出发的光线经过抛物线反
射后平行于对称 轴且距离顶点等于焦距的直线。 所有从焦点出发的光线经过抛物
线反射后，都会与准线相交。
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抛物线的对称性和平移性质
对称性
抛物线关于其对称轴对称，即如果点P(x,y)在抛物线上，那么点P'(-x,y)也在抛物线上。
平移性质
抛物线可以通过平移变换得到新的抛物线。如果抛物线沿x轴平移a个单位，沿y轴平移b个单位，那么新的抛物线 的方程可以通过在原方程中替换x为x-a，y为y-b得到。这种平移变换不会改变抛物线的形状和开口方向，只会改 变其位置和顶点坐标。
抛物线及其标准方程 课件
思路分析先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,
求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.பைடு நூலகம்
解(1)由方程 y2=-12x 知,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半
轴上,2p=12,所以 p=6,2=3,因此焦点坐标为(-3,0),准线方程为
解(1)因为点M(-8,4)在第二象限,所以抛物线焦点在y轴的正半轴
或x轴的负半轴上.
设抛物线方程为x2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0).
将点M(-8,4)代入可得(-8)2=2p·4或42=-2p·(-8),
解得2p=16或2p=2,
故所求抛物线方程为x2=16y或y2=-2x.
(2)因为直线 x+4y+6=0 与坐标轴的交点为(-6,0),
轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形
式;“计算”就是指根据所给的已知条件求出方程中参数p的值,从而
得到抛物线的标准方程.
2.求抛物线的标准方程时需注意以下三个问题:
(1)注意开口方向与方程间的对应关系;
(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=my,这样
可以减少讨论情况的个数;
2 2 4
1
- ,0
4
,准线方程为
1
x= .
4
综上可知,当 a≠0 时,抛物线 x=-ay2 的焦点坐标为 1
线方程为 x=4.
1
,0
4
,准
纠错心得在解决抛物线问题时,必须注意抛物线方程的形式,若
不是标准方程,应首先转化为标准方程,其次要注意分类讨论思想
最新人教版高中数学选修2-1第二章《抛物线及其标准方程》教材梳理
疱丁巧解牛知识·巧学一、抛物线1.抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F 叫抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.（1）定义的“双向运用”，即：一方面，符合定义的条件的动点轨迹为抛物线；另一方面，抛物线上点有定义中条件的性质.（2）两个定义的综合运用是解决有些抛物线问题的捷径.（3）求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法.2.抛物线的方程（1）抛物线的标准方程（a ＞b ＞0）①y 2=2px(p ＞0)；②y 2=-2px(p ＞0)；③x 2=2py(p ＞0)；④x 2=-2py(p ＞0).抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p 等于焦点到抛物线顶点的距离.二次函数y=ax 2(a≠0)方程满足抛物线的定义，所以它的图象是抛物线，它的焦点坐标为（2a ,0），准线方程x=2p . （2）中心在(x 0,y 0)的抛物线方程(a ＞b ＞0)利用平面向量的平移可得到上述标准方程中对应的形式，如顶点在（x 0,y 0）有对称轴为y=y 0,开口向右的抛物线方程为(y-y 0)2=2p(x-x 0)(p ＞0).要点提示 在求抛物线的方程的时候一定要考虑焦点在哪个轴上，开口方向两个方面.此外，因为抛物线有四个标准方程，确定了焦点在哪个轴上和开口方向，这个抛物线的方程大致形状也就确定了.问题·探究问题1 抛物线在现实生活中有哪些应用？探究:抛物线在现实生活中的应用很广泛，我们熟悉的汽车前灯，太阳灶，有的大桥也设计成抛物线形状，抛物线最重要的应用还是在物理学上，根据抛物线的运行轨迹，人们把它运用到了军事上的大炮、导弹.问题2 学习抛物线方程，要注意些什么？探究:抛物线的标准方程有四个，在学习它们的时候一定要注意区分，焦点在x 轴上两个，焦点在y 轴上两个，焦点坐标与准线方程都于一次项的系数有关，抛物线的方程在确定了焦点位置和一次项的系数，抛物线的形状也就确定了下来.典题·热题例1 已知点M （3，2），F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点p 在该抛物线上移动，当|PM|+|PF|取最小值时，点P 的坐标为______________________.思路分析：本题若建立目标函数来求|PM|+|PF|的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决.解：如右图所示，由定义知|PF|=|PE|，故|PM|+|PF|=|PF|+|PM|≥|ME|≥|MN|=213.取等号时，M,P,E 三点共线，∴P 点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以P 点坐标为(2,2).方法归纳 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离.要重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与到准线距离的相互转换. 例2 求过点（-3，2）的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程.思路分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p ；从实际分析，一般需确定p 和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论.解：（1）设所求的抛物线方程为y 2=-2px 或x 2=2py （p ＞0），∵过点（-3，2），∴4=-2p （-3）或9=2p·2.∴p=32或p=49. ∴所求的抛物线方程为y 2=x 34-或x 2=y 29.前者的准线方程是x=31，后者的准线方程是y=89-. 误区警示 这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.思路分析：可设抛物线方程为y 2=2px(p ＞0).如右图所示，只须证明2||AB =|MM 1|，则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切.证明:作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1.M 为AB 中点，作MM 1⊥l 于M 1，则由抛物线的定义，可知|AA 1|=|AF|，|BB 1|=|BF|.在直角梯形BB 1A 1A 中：|MM 1|=21（|AA 1|+|BB 1|）=21（|AF|+|BF|）=21|AB|. ∴|MM 1|=21|AB|.故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切. 方法归纳 类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.例4 如右图所示，直线l 1和l 2相交于点1M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线段C上任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程.思路分析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x 、y 的取值范围. 解：如图以直线l 1为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段.其中A 、B 分别为曲线段C 的端点. 设曲线段C 的方程为y 2=2px （p>0）（x A ≤x≤x B ，y>0），其中x A 、x B 为A 、B 的横坐标，p=|MN|，所以M （2p -，0）、N （2p ，0）. 由|AM|=17，|AN|=3，得（x A +2p ）2+2px A =17， ① （x A -2p ）2+2px A =9. ② ①②联立解得x A =p4，代入①式，并由p>0， 解得⎩⎨⎧==1,4A x p 或⎩⎨⎧==.2,2Ax p 因为△AMN 为锐角三角形，所以A x p >2. 故舍去⎩⎨⎧==.2,2A x p 所以⎩⎨⎧==.1,4Ax p 由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN|-2p =4. 综上，曲线段C 的方程为y 2=8x （1≤x≤4，y>0）.。
抛物线一、二
抛物线 (一）高考要求：掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质了解圆锥曲线的初步应用．二、知识点归纳1、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2、抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段的中点．②焦准距：③通径：过焦点垂直于轴的弦长为．④顶点平分焦点到准线的垂线段：．⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切．所有这样的圆过定点F、准线是公切线．⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切．所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线．⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切．所有这样的圆的公切线是准线．3、抛物线标准方程的四种形式：4、抛物线的图像和性质：①焦点坐标是：，②准线方程是：．③焦半径公式：若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：．④焦点弦长公式：过焦点弦长．⑤抛物线上的动点可设为P 或或．5、一般情况归纳：【典型例题】例1、求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点（－3，2）；（2）焦点在直线x－2y－4=0上．分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论．解：（1）设所求的抛物线方程为y2=－2px或x2=2py（p＞0），∵过点（－3，2），∴4=－2p（－3）或9=2p·2∴p=或p=．∴所求的抛物线方程为y2=－x或x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=－（2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）当焦点为（4，0）时，=4，∴p=8，此时抛物线方程y2=16x；焦点为（0，－2）时，=2，∴p=4，此时抛物线方程为x2=－8y∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=－8y，对应的准线方程分别是x=－4，y=2．点评：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解．抛物线（二）例2、如下图所示，直线相交于点M，，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等若为锐角三角形，，建立适当的坐标系，求曲线段 C的方程．分析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x、y的取值范围．解：以MN中点为原点，MN所在直线方程为x轴建立直角坐标系，设曲线方程为由得：，又，，解得由为锐角三角形，，，又故所求曲线方程为：点评：本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力．例3、设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B 两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴证明直线AC经过原点O．分析：证直线AC经过原点O，即证O、A、C三点共线，为此只需证k OC=k OA本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决．证法一：设AB：x=my+，代入y2=2px，得y2－2pmy－P2=0由韦达定理，得y A y B=－p2，即y B=－∵BC∥x轴，且C在准线x=－上，∴C（－，y B）则k OC====k OA故直线AC经过原点O．证法二：如图，记准线l与x轴的交点为E，过A作AD⊥l，垂足为D．则AD∥EF∥BC连结AC交EF于点N，则==，=．∵|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，∴|EN|===|NF|，l即N是EF的中点从而点N与点O重合，故直线AC经过原点O．点评：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力，在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y A·y B=－p2这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目．例4、已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0，y0），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N．表示）；（1）求点N的坐标（用x（2）过点N与MN垂直的直线交抛物线于P、Q两点，若|MN|=4，求△MPQ 的面积．解：（1）设A（x1，y1）、B（x2、y2），由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得x+x2=2x0．1得线段AB垂直平分线方程：令y=0，得x=x0+4，所以N（x0+4，0）（2）由M（x0，y0），N（x0+4，0），|MN|=4，得x0=2由抛物线的对称性，可设M在第一象限，所以M（2，4），N（6，0）．直线PQ：y=x－6，由得△MPQ的面积是64．。
初三抛物线知识点归纳总结
初三抛物线知识点归纳总结抛物线是数学中的一种重要曲线，具有许多特殊的性质和应用。
在初三数学中，学生将接触到抛物线的相关知识，并需要进行归纳总结。
本文将对初三抛物线的知识点进行系统整理，以帮助学生更好地掌握和运用这一知识。
一、抛物线的定义和性质抛物线是一个平面曲线，其定义为到定点（焦点）和直线（准线）的距离相等的点所构成的轨迹。
抛物线有以下性质：1. 对称性：抛物线关于准线对称，焦点和准线的中点是抛物线的对称中心。
2. 准线上的点：准线上的点到焦点的距离等于到抛物线的顶点的距离。
3. 焦点和直线关系：焦点到直线的距离等于焦距（焦点到抛物线顶点的距离）。
二、抛物线的方程及其性质抛物线的方程有两种常见形式：一般形式和顶点形式。
1. 一般形式：$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$是常数。
- 当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。
- 抛物线的平移：通过改变常数$b$和$c$，可以使抛物线平移。
2. 顶点形式：$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$是抛物线的顶点。
- 顶点坐标$(h,k)$为抛物线的最低点或最高点。
- 抛物线的平移：通过改变顶点坐标$(h,k)$，可以使抛物线平移。
三、抛物线的焦点和准线1. 焦点的坐标：对于一般形式的抛物线，焦点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$y=\frac{1}{4a}-\frac{b^2}{4ac}+c$。
2. 焦距的计算：焦距等于$\frac{1}{4a}$。
3. 准线的方程：对于一般形式的抛物线，准线方程为$y=\frac{-b^2+4ac}{4a}$。
四、与抛物线相关的常见问题1. 抛物线的判别式：对于一般形式的抛物线，判别式$D=b^2-4ac$可以判断抛物线的开口方向和与坐标轴的交点情况。
- 当$D>0$时，抛物线与$x$轴有两个交点。
- 当$D=0$时，抛物线与$x$轴有一个交点，抛物线为切线。
《抛物线及其标准方程一》(课件)
抛物线的形状像一条平滑的曲线 ，它是由所有与焦点和准线等距 的点组成的。
焦点与准线
焦点
抛物线上的一个固定点，通常用大写 字母F表示。所有抛物线上的点到焦 点的距离都等于到准线的距离。
准线
抛物线所在平面内的一条定直线，通 常用小写字母l表示。准线与抛物线的 对称轴平行，且到焦点的距离等于焦 距。
抛物线与对称轴的交点，也称为抛物线的最高点或最低点。顶点的坐标可以通过 抛物线的标准方程求出。
对称轴
抛物线的一条直线，它经过顶点且与抛物线交于两点。对称轴与x轴平行或重合 ，且所有关于对称轴对称的点都在抛物线上。对称轴的方程可以通过抛物线的标 准方程求出。
02
标准方程推导与形式
标准方程推导过程
引入抛物线的定义
顶点位置
抛物线的顶点位置可以由 标准方程直接得出。
借助计算机软件进行可视化展示
使用数学软件
结合动态演示
如Mathematica、MATLAB等数学软 件，可以直接输入抛物线的标准方程， 进行可视化展示。
通过计算机软件，还可以实现抛物线 的动态演示，更直观地展示抛物线的 性质。
使用绘图工具
如GeoGebra、Desmos等在线绘图 工具，也可以方便地绘制出抛物线的 图像。
为：$d=|x+p|$。
对于开口向上或向下的抛物线， 焦点到直线上任意点的距离公式
为：$d=|y+p|$。
注意：这里的距离公式是在标准 方程下的特殊情况，对于一般的 抛物线方程，需要根据具体情况
进行推导。
03
抛物线图像绘制方法
利用描点法绘制图像
01
02
03
确定抛物线的顶点
根据抛物线的标准方程， 可以确定抛物线的顶点坐 标。
抛物线及其标准方程 课件
则a22＝m·－a4，所以m＝－a. 即抛物线方程为x2＝ －ay.
将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，
即y＝－0.a82.
欲使卡车通过隧道，应有y－
－a4
＞3，即
a 4
－
0.82 a
＞
3.
因为a＞0，所以a＞12.21.所以a应取13.
归纳升华 1．考查抛物线知识的实际应用时，首先要建系， 将题目转化成抛物线的问题，再利用解抛物线的知识解 答． 2．在建立抛物线的标准方程时，应以抛物线的顶 点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样 可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方 程不含常数项，形式更为简单，便于应用．
类型2 抛物线定义的应用(互动探究) [典例2] 设P是抛物线y2＝4x上一个动点，若B(3， 2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 解析：如图所示，过点B作BQ垂直准线 于Q，交抛物线于点P1， 则|P1Q|＝|P1F|. 则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 答案：4
类型3 抛物线的实际应用 [典例3] 一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为 抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口 宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值． 解：如图所示，以隧道顶点为原点，拱 高所在直线为y轴建立直角坐标系，则点B的 坐标为a2，－a4. 设隧道所在的抛物线方程为x2＝my，
2．抛物线标准方程的几种形式
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p＞0)
p2，0
y2＝－2px(p＞0) －p2，0
x2＝2py(p＞0)
0，p2
抛物线及其标准方程 课件
解:(1)∵点(-3,2)在第二象限,
∴抛物线的标准方程可设为 y2=-2px(p>0)或 x2=2py(p>0).
把点(-3,2)的坐标分别代入 y2=-2px(p>0)和 x2=2py(p>0),得
4=-2p·(-3)或 9=2p·2,
4
3
9
2
即 2p= 或2p= .
4
3
9
2
故所求抛物线的标准方程为 y2=− 或x2= .
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可由开口向上或向下的标准形式的抛物线
通过平移得到.
求抛物线的标准方程
【例1】 试求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在直线x-2y-4=0上;
5
(3)焦点到准线的距离为 .
2
分析:对于(1),需要确定 p 的值和开口方向两个条件,因为点(-3,2)
5
2
5
2
(3)由焦点到准线的距离为 , 可知p= ,
即 2p=5.
故所求的抛物线方程为 y2=5x 或 y2=-5x 或 x2=5y 或 x2=-5y.
抛物线的定义及标准方程的应用
【例2】 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动
点P的轨迹方程.
分析一:设点 P 的坐标为(x,y),则有 (-1)2 + 2 = || + 1,
在第二象限,所以抛物线的标准方程可设为 y2=-2px(p>0)或
x2=2py(p>0);对于(2),因为抛物线标准方程的焦点在坐标轴上,所以
求出直线 x-2y-4=0 与坐标轴的两个交点(4,0)和(0,-2),即为所求抛物
高中数学抛物线知识点
高中数学抛物线知识点在高中数学中，抛物线是一个非常重要的知识点，它在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解一下抛物线的相关知识。
一、抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
如果抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标为（p/2, 0)，准线方程为 x ＝ p/2；如果焦点在 x 轴的负半轴上，焦点坐标为（p/2, 0)，准线方程为 x ＝ p/2；若焦点在 y 轴的正半轴上，焦点坐标为（0, p/2)，准线方程为 y ＝ p/2；焦点在 y 轴的负半轴上时，焦点坐标为（0, p/2)，准线方程为 y ＝ p/2。
这里的 p 叫做焦准距，是焦点到准线的距离。
二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种形式：1、＼（y^2 ＝ 2px （p>0)＼），其焦点在 x 轴的正半轴上，开口向右。
2、＼（y^2 ＝－2px （p>0)＼），焦点在 x 轴的负半轴上，开口向左。
3、＼（x^2 ＝ 2py （p>0)＼），焦点在 y 轴的正半轴上，开口向上。
4、＼（x^2 ＝－2py （p>0)＼），焦点在 y 轴的负半轴上，开口向下。
对于给定的抛物线方程，我们可以通过其形式迅速确定抛物线的开口方向、焦点位置和准线方程。
三、抛物线的性质1、对称性抛物线关于其对称轴对称。
例如，＼（y^2 ＝2px\）关于x 轴对称，＼（x^2 ＝ 2py\）关于 y 轴对称。
2、顶点抛物线的顶点是其对称轴与抛物线的交点。
在标准方程中，顶点坐标分别为：＼（y^2 ＝ 2px\）的顶点为（0, 0)；＼（x^2 ＝ 2py\）的顶点也为（0, 0)。
3、离心率抛物线的离心率 e ＝ 1，这意味着抛物线上的任意一点到焦点的距离与到准线的距离相等。
4、焦半径抛物线上一点到焦点的距离叫做焦半径。
若点\（P(x_0, y_0)＼）在抛物线\（y^2 ＝ 2px\）上，则点 P 到焦点的距离\（｜PF| ＝ x_0 ＋p/2\）；若点\（P(x_0, y_0)＼）在抛物线\（x^2 ＝ 2py\）上，则点 P 到焦点的距离\（｜PF| ＝ y_0 ＋ p/2\）。
高二数学选修2-1抛物线知识点总结
高二数学选修2-1抛物线知识点总结抛物线在高二数学中占有非常重要的地位，下面是店铺给大家带来的高二数学选修2-1抛物线知识点总结，希望对你有帮助。
高二数学选修2-1抛物线知识点高二数学学习方法课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。
上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。
特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。
首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，应尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。
认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。
在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
适当多做题，养成良好的解题习惯。
要想学好数学，多做题是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。
刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。
对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。
在平时要养成良好的解题习惯。
让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。
实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。
如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。
调整心态，正确对待考试。
首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。
《数学抛物线》PPT课件
物理学中的抛体运动轨迹
01
02
03
抛体运动的定义
物体以一定的初速度抛出 后，在仅受重力的作用下 所做的运动称为抛体运动。
抛体运动的轨迹
在忽略空气阻力的情况下， 抛体运动的轨迹是一条抛 物线。
抛体运动的应用
利用抛体运动的规律，可 以研究炮弹的射程、运动 员的跳远距离等问题。
工程技术中的最优化问题
01
04 两边成比例且夹角相等， 则两个三角形相似
解析几何中直线与圆锥曲线关系
直线与抛物线的位置关系
相切、相交、相离
直线与抛物线的交点个数及判定方法
通过联立直线和抛物线方程求解，根据判别式判断交点个数
切线性质
切线与抛物线在切点处的切线斜率相等，且切线过抛物线焦点
微积分在抛物线研究中的应用
定积分在求抛物线面积中的应用
03 抛物线在生活中 的应用举例
建筑设计中的抛物线元素
1 2
抛物线型拱门和桥梁 利用抛物线的形状和结构特性，设计出具有优美 曲线和良好承重性能的拱门和桥梁。
抛物线型屋顶 抛物线型屋顶具有良好的排水性能和独特的视觉 效果，被广泛应用于现代建筑设计。
3
抛物线型幕墙 在建筑外立面上采用抛物线型幕墙，可以增加建 筑的层次感和立体感，提高建筑的美观性。
焦点、准线及离心率
抛物线的焦点
对于y^2=2px（p>0）的抛物线， 其焦点坐标为（p/2，0）；对于 x^2=2py（p>0）的抛物线，其
焦点坐标为（0，p/2）。
抛物线的准线
对于y^2=2px（p>0）的抛物线， 其准线方程为x=-p/2；对于
x^2=2py（p>0）的抛物线，其 准线方程为y=-p/2。
课件1：2.3.1 抛物线及其标准方程
[解析] 抛物线方程 y＝ax2(a≠0)化为标准形式：x2＝1ay， 当 a>0 时，则 2p＝1a，解得 p＝21a，p2＝41a， ∴焦点坐标是(0，41a)，准线方程是 y＝－41a. 当 a<0 时，则 2p＝－1a，p2＝－41a. ∴焦点坐标是(0，41a)，准线方程是 y＝－41a， 综上，焦点坐标是(0，41a)，准线方程是 y＝－41a.
B．6
C．8
D．12
(2)过点 A(1,0)，且与直线 l：x＝－1 相切的圆的圆心的轨
迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
[分析] (1)根据点 P 到 y 轴的距离求出它到抛物线准线的 距离，利用抛物线定义转化为它到焦点的距离．
(2)根据动圆过点 A，且与直线 l 相切，可知圆心到点 A 的 距离等于它到直线 l 的距离，由抛物线定义知动圆圆心的轨迹 是抛物线．
一、选择题 1．(2012～2013 学年度山东潍坊高二期末测试)抛物线 y2＝4x 的准线方程为( ) A．x＝－2 B．x＝2 C．x＝－1 D．x＝1
[答案] C [解析] ∵2p＝4，p＝2，∴p2＝1， ∴抛物线 y2＝4x 的准线方程为 x＝－1.
2．(2012～2013 学年度陕西西安市第一中学高二期末测试)顶
5．关于抛物线的标准方程 (1)p 的几何意义：焦参数 p 是焦点到准线的距离，所以 p 恒为正数． (2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同， 一次项系数的符号决定抛物线的开口方向. (3)焦点的非零坐标是一次项系数的14. 可用如下口诀帮助记忆： 对称轴要看一次项，符号确定开口方向．
人教版数学选修21第二章抛物线抛物线的几何性质讲义
案例(二)——精析精练 课堂 合作 探究重点难点突破知识点 抛物线的几何性质(1)范围:因为0>p ，将方程()022>=p px y 变为py x 22=，知0≥x ，由此可知，抛物线()022>=p px y 上的点在y 轴上或在y 轴的右侧(不可能在y 轴的左侧)，当x 增大时，y 也随之增大，开口向右并且向右上方和右下方无限伸展。
(2)对称性将抛物线()022>=p px y 中的y 用—y 代替，方程不变，说明抛物线()022>=p px y 关于x 轴对称(结合图形也可看出)。
抛物线的对称轴也叫做拋物线的轴。
(3)顶点在方程()022>=p px y 中，令0=y ，得0=x ，(0，0)点是抛物线px y 2=与它的对称轴(即x 轴)的交点，我们把抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。
由此可见，抛物线()022>=p px y 的顶点是坐标原点(0，0)。
(4)离心率和开口方向①抛物线的离心率：拋物线上的点到焦点和准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，仍用e 表示。
由抛物线的定义易知抛物线的离心率1=e 。
利用1=e 可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，将距离只用点的横坐标(或纵坐标)来表示，使问题得以简化。
②抛物线的开口方向:拋物线()022>=p px y 开口向右；()022>-=p px y 开口向左；()022>=p py x 开口向上；()022>-=p py x 开口向下。
③抛物线的开口大小：在抛物线()022>=p px y 中，对于同一个x 值，p 越大，y 也越大，也就是说抛物线的开口也越大。
④给出各种标准形式的抛物线方程，能熟练说出开口方向、燕点坐标、准线方程、对称轴；反过来，要能根据抛物线的几何性质，求出抛物线的方程。
看到抛物线的标准方程，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向。
【西城学探诊】人教B版高中数学选修2-1导学案：第二章 抛物线定义1
§2.4.1（1）抛物线的定义和标准方程学习目标1.阅读课本，明确抛物线的定义，并能够找到轨迹上动点满足的几何关系。
2.依据求曲线方程的一般步骤求抛物线方程，整理得抛物线的标准方程。
学习过程【任务一】阅读教材，明确定义。
请大家认真阅读教材P59，明确抛物线的定义。
文字语言：轨迹上动点满足的几何关系式：（请描述清楚关系式中字母表示含义）【任务二】抛物线的标准方程的推导（1）建系，设动点：（2）列出动点满足几何关系：（3）几何关系代数化：（4）整理化简：（5）验证：可得焦点在x轴上的抛物线标准方程为：同理可得焦点在y轴上的抛物线标准方程为：【任务三】典型例题分析例1：推断下列方程是否表示抛物线，假如是，请推断抛物线焦点位置，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程。
（1）xy62=（2）xy432-=（3）yx52=（4）yx232=-（5）223yx-=例2：求满足下列条件的抛物线的标准方程。
（1）焦点是)02(，F。
（2）准线方程是23-=x。
【任务四】课堂达标练习1.顶点在原点，焦点是)50(，F的抛物线方程是（）A.xy202= B. yx202= C.xy2012= D.yx2012=2.抛物线24xy=的准线方程是（）A.41-=y B.81=y C.161=y D.161-=y3.准线方程为1=x的抛物线的标准方程是（）A.xy22-= B. xy42-= C. xy22= D. xy42=4.抛物线22xy-=的焦点坐标是（）A.)410(， B. )410(-， C. )0,41( D. )0,41(-5.写出下列抛物线标准方程的焦点坐标和准线方程。
（1）212xy=（2）236xy-=（3）xy82=（4）xy162-=。
高中数学必修2-1抛物线教学讲义(精品)
.03-抛物线【知识点】一、抛物线的标准方程、类型及其几何性质()：对称轴轴轴顶点（0，0）离心率1.焦点弦：过抛物线焦点的弦，若，则(1)x0+，(2)，－p2 (3) 弦长,，即当x1=x2时,通径最短为2p(4) 若AB的倾斜角为θ，则=（5）+=2. 通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦。
过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.3. 的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.4、弦长公式：三、抛物线问题的基本方法1.直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y得：（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k≠0时，Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；Δ=0，直线与抛物线相切，一个切点；Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线：抛物线，①联立方程法：设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出，在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦AB的弦长或b. 中点,，②点差法：设交点坐标为，，代入抛物线方程，得将两式相减，可得a.在涉及斜率问题时，b.在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）【典型例题】考点1 抛物线的定义题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换[例1 ]已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为[解析]过点P作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P点为抛物线与垂线的交点时，取得最小值，最小值为点Q到准线的距离,因准线方程为x=-1,故最小值为31.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列，则有（）A．B．C． D.［解析］C 由抛物线定义，即：．2. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是( )A. B.C.D.[解析] 设M到准线的距离为,则，当最小时，M点坐标是，选C考点2 抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上[解析] (1)设所求的抛物线的方程为或, ∵过点(-3,2) ∴∴∴抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为(2)令得，令得，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,∴，此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时∴，此时抛物线方程.∴所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值[解析]4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）[解析] 用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件.5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程[解析] 设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或考点3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证[例3 ]设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________.［解析］设直线OA方程为,由解出A点坐标为解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直线AB必过的定点。
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2.2 抛物线的简单性质 第一课时 抛物线的简单性质(一)
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链接一:抛物线的定义与标准方程. 链接二:由椭圆的方程研究其几何性质的过程.
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1.抛物线的几何性质
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解题流程:建立恰当的直角坐标系⇒设出标准方程⇒写出灯口直径一点坐标⇒代入方程 求解
解:如图所示,在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的 顶点)与原点重合,x 轴垂直于灯口直径. 设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0),由已知条件可得点 A 的坐标是(40,30), 代入方程得 302=2p×40, ∴p= 4 .
20 ������ 20 1 1
B
)
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4.抛物线的准线是 x=-4,顶点在坐标原点,则它的焦点坐标是 是 .
������ 2
,标准方程
解析:由准线方程为 x=-4 及顶点在坐标原点得 =4,p=8,∴焦点坐标为(4,0),标准方程为 y2=16x. 答案:(4,0) y2=16x
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探究要点一:抛物线的简单性质 设抛物线标准方程为y2=2px(p>0)① 1.对称性 以-y代y,方程①不变,所以这个抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫作抛物线 的轴.抛物线只有一条对称轴. 2.范围 因为p>0,由方程①可知,这条抛物线在y轴的右侧,对于抛物线①上的点M(x,y)(x≥0),当 x增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的顶点.在方程①中,当y=0时,x=0,因此抛物线①的 顶点就是坐标原点. 4.离心率 抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫作抛物线的离心率,用e表示, 由抛物线定义知,e=1.
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因此,所求的抛物线方程是 x2=-y,图形如图中的抛物线Ⅱ. 抛物线的几何性质 【例 2】 等腰 Rt△ABO 内接于抛物线 y2=2px(p>0),O 为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△ABO 的面积是( ) (A)8p2 (B)4p2 (C)2p2 (D)p2
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(3)通过抛物线的焦点作垂直于轴而交抛物线于 A、 两点的线段 AB,称为抛物线的通 B 径(如图).由 A(2 ,p)、 2 ,-p),可得通径的长|AB|等于 2p.从而可以根据顶点和通径的端点 B( A、B,作出抛物线的近似图形,要掌握这种画抛物线草图的方法.
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2p 的一种几何意义.
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1.下列有关抛物线的说法正确的是(
C
)
①有一个顶点;②有一个焦点;③有一个对称中心;④有一条对称轴;⑤有一条准线 (A)①②③ (B)②③④ (C)①②④⑤ (D)①②③④⑤ 解析:由抛物线的几何性质可知①②④⑤正确,故选 C. 2.抛物线的对称轴为 x 轴,过焦点且垂直于对称轴的弦长为 8.若抛物线的顶点在坐标原点, 则其方程为( C ) (A)y2=8x (B)y2=-8x (C)y2=8x 或 y2=-8x (D)x2=8y 或 x2=-8y 解析:通径长 2p=8,对称轴为 x 轴的方程为 y2=8x 或 y2=-8x.故选 C. 3.顶点在原点,焦点是 F(0,5)的抛物线方程是( (A)y2=20x (B)x2=20y (C)y2= x (D)x2= y 解析:由 2 =5,得 p=10,且焦点在 y 轴的正半轴上,故 x2=20y,故选 B.
������ ������
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由抛物线性质求标准方程 【例 1】已知抛物线关于坐标轴对称,顶点为坐标原点,并且经过点 M( 3,-2 3),试研究 这样的抛物线有几条?并求出其方程. 思路点拨:画出草图,探究设出标准方程代入坐标即可求解. 解:∵抛物线关于坐标轴对称,顶点为坐标原点,∴应分两种情况:焦点在 x 轴上,可设其方 程为 y2=2nx(n≠0),焦点在 y 轴上,可设其方程为 x2=2my(m≠0). 又抛物线经过点 M( 3,-2 3), ∴(-2 3)2=2n·( 3),∴n=2 3, 或( 3)2=2m·(-2 3),∴m=- .
解析:由抛物线的对称性及 OA⊥OB 知, 直线 OA 的方程为 y=x, ������ = ������, 由 2 ������ = 2������������, 得 A(2p,2p),则 B(2p,-2p), ∴|AB|=4p, ∴S△ABO=2·4p·2p=4p2.故选 B. 应用性问题 【例 3】探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口 圆的直径为 60 cm,灯深 40 cm,求抛物线的标准方程和焦点的位置.
解:(1)如果抛物线的轴为 x 轴且开口向左,那么设抛物线的方程为 y 2=-2px(p>0). 因为点 P(-2,-4)在抛物线上, 所以(-4)2=-2p·(-2),得 p=4. 因此,所求的抛物线方程是 y2=-8x, 图形如图中的抛物线Ⅰ.
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(2)如果抛物线的轴为 y 轴且开口向下,那么设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0). 因为点 P(-2,-4)在抛物线上, 所以(-2)2=-2p·(-4),得 p= .
2
������
F(0, ) y=-2
2 ������
������
F(0,- ) y=2 y轴
2 ������
������
x=-2
������
x=2 x轴
������
x≤0,y∈R
x∈R,y≥0
x∈R,y≤0
原点(0,0) e=1
左 向___
向上
右 向___
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2.抛物线的通径 通过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点而垂直于 x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 ������ ������ ( ,p),( ,-p) 2p __________.连接这两点的线段叫作抛物线的_____,它的长为____,这就是抛物线方程中 通径
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四种标准形式的抛物线几何性质的比较 类型 图像 焦点 准线 对称轴 性 质 范围 顶点 离心率 开口 方向 向右 x≥0,y∈R F( ,0)
2 ������
y2=2px (p>0)
y2=-2px ________
(p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py ________
(p>0)
F(- ,0)
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则所求抛物线的标准方程是 y2= 2 x,焦点坐标是( 8 ,0). 数学基础知识和基本方法是正确解决此类问题不可缺少的有力武器,如待定 系数法、 抛物线的对称性,顶点等知识都在解决实际问题时体现出来,解题时要注意应用.
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变式训练 3 1:如图所示,一位运动员在距离球篮正下方 4 m 远处跳起投篮,球运行的路线 是抛物线.当球运行的水平距离为 2.5 m 时,达到最大高度为 3.5 m,然后准确落入篮圈.已 知篮圈中心到地面的距离为 3.05 m.建立平面直角坐标系. (1)试求球运行路线所在抛物线的方程; (2)球出手的瞬间,球距地面的高度是多少? 解:(1)由题意设抛物线方程为 x2=-2py(p>0) 已知抛物线过点(1.5,-0.45)代入方程得 p=2.5, 所以抛物线方程为 x2=-5y. (2)球出手的瞬间即 x=-2.5 代入方程 x2=-5y, 得 y=-1.25, 故球距地面的高度为 3.5-1.25=2.25 m. 即球出手的瞬间,球距地面的高度为 2.25 m.
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探究要点二:抛物线的通径与开口大小 1.抛物线的通径 过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p. 2.开口大小 在y2=2px(p>0)中,对于x一个确定的值,p越大,则|y|也越大,就是对应的点离对称轴越远, 也可以说开口越大;反之p越小,开口也越小. 3.几点说明 (1)抛物线的性质和椭圆的性质比较起来,差别较大.它的离心率等于1;它只有一个焦点、 一个顶点、一条对称轴、一条准线;它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆 为有心圆锥曲线. (2)给出各种标准形式的抛物线方程,能熟练说出开口方向、焦点坐标、对称轴和准线方 程;反过来,也能根据各种类型的抛物线的示意图,说出抛物线的类型.
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故所求方程为 y2=4 3x 或 x2=- y,
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这样的抛物线共两条,一条开口向右,一条开口向下.
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求抛物线标准方程的主要步骤是先定位,即根据题中条件确定抛物线的焦点位置,后定量, 即求出方程中p的值,从而求出方程.
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变式训练 1 1:求以坐标原点为顶点、坐标轴为轴且经过点 P(-2,-4)的抛物线的方程,并画 出草图.