艺术生高考数学考试知识点
艺术生高考数学专题讲义：考点37 直线及其方程
考点三十七 直线及其方程知识梳理1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下：3．直线方程的五种形式4．过P 1(11222(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1； (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1； (3)若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0； (4)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0.5．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x22y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．典例剖析题型一 直线的倾斜角和斜率例1 已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的倾斜角等于__________． 答案 56π解析 斜率k ＝－1－33－(－3)＝－33，又∵θ∈[0，π)， ∴θ＝56π.变式训练 经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝__________．答案 －3解析 由2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋42＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π4＝－1.∴y ＝－3.解题要点 求斜率的常见方法：1．若已知倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．2．若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．3．若已知直线的一般式方程ax ＋by ＋c ＝0，一般根据公式k ＝－ab 求斜率．题型二 直线方程的求解例2 已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解析 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0. 变式训练 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解析 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.解题要点 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．题型三 直线的截距式方程有关的易错题例3 过点P (－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为__________________． 答案 x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0解析 (1)当截距不为0时，设所求直线方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0.∵点P (－2，3)在直线l 上，∴－2＋3－a ＝0， ∴a ＝1，所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0.(2)当截距为0时，设所求直线方程为y ＝kx ，则有3＝－2k ，即k ＝－32，此时直线l 的方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0.变式训练 过点M (－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 答案 y ＝－53x 或x －y ＋8＝0解析 (1)当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；(2)当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(－3，5)，得a ＝－8.即直线方程为x －y ＋8＝0.解题要点 1.弄清截距和距离的区别：截距不是距离，而是一个坐标值，纵截距是直线与y 轴交点的纵坐标值，横截距是直线与x 轴交点的横坐标值．截距可为一切实数，而距离是一个非负数．2.在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．3.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用.当堂练习1．已知直线l ：y ＝x ，则直线l 的倾斜角为__________． 答案 π4解析 ∵k ＝1.故倾斜角为π4.2．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为__________． 答案 2x ＋y －1＝0解析 因所求直线与直线x －2y ＋3＝0垂直，故可设为2x ＋y ＋m ＝0. 又因为所求直线过点(－1,3)，所以有2×(－1)＋3＋m ＝0，解得m ＝－1.故所求直线方程为2x ＋y －1＝0.3. 如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1、k 2、k 3 的大小关系是__________．答案 k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.4．（2015山东理）一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为__________． 答案 －43或－34解析 由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.5．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为________． 答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0解析 由题意可设直线方程为x a ＋yb＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.课后作业一、 填空题1．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为__________． 答案 －32解析 过两点(－1,1)和(0,3)的直线方程为y －13－1＝x －(－1)0－(－1) ，即y ＝2x ＋3，令y ＝0得x ＝－32，即为所求．2．已知直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0与l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于__________． 答案 －1或2解析 由l 1∥l 2，得(a －1)×a －2×1＝0，即a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2. 当a ＝－1时，l 1：－2x ＋2y ＋1＝0，即2x －2y －1＝0， l 2：x －y ＋3＝0，显然l 1∥l 2. 当a ＝2时，l 1：x ＋2y ＋1＝0， l 2：x ＋2y ＋3＝0，显然l 1∥l 2， 综上，a ＝－1或2.3．已知A (3,4)，B (－1,0)，则过AB 的中点且倾斜角为120°的直线方程是__________． 答案 3x ＋y －2－3＝0解析 由题意可知A 、B 两点的中点坐标为(1,2)，且所求直线的斜率k ＝tan120°＝－ 3 ∴直线方程为y －2＝－3(x －1)，即3x ＋y －2－3＝0.4．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是__________． 答案 －2或1解析 由题意，知a ≠0，令x ＝0，得y ＝2＋a ；令y ＝0，得x ＝a ＋2a ，故2＋a ＝a ＋2a ，解得a ＝－2或a ＝1.5．直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是__________． 答案 50°解析 将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率为k ＝cos40°sin40°＝tan50°，倾斜角为50°.6．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0平行，则l 的方程是_________________． 答案 2x －3y ＋8＝0解析 ∵2x －3y ＋4＝0的斜率为k ＝23，∴所求的直线方程为y －2＝23(x ＋1)，即2x －3y ＋8＝0.7．若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为__________． 答案 1解析 ∵k MN ＝m －4－2－m＝1，∴m ＝1.8．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为__________． 答案3解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°， tan60°＝ 3.9．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (－2,1)解析 k ＝tan α＝2a －(1＋a )3－(1－a ) ＝a －1a ＋2. ∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0，故－2＜a ＜1. 10．过两直线x ＋3y －10＝0和y ＝3x 的交点，并且与原点距离为1的直线方程为__________． 答案 x ＝1或4x －3y ＋5＝0解析 设所求直线为(x ＋3y －10)＋λ(3x －y )＝0， 整理得(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0. 由点到直线距离公式得|－10|(1＋3λ)2＋(3－λ)2＝1，解得λ＝±3.∴所求直线为x ＝1或4x －3y ＋5＝0.11．直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． 答案 [0，π6]∪[56π，π)解析 由题知k ＝－33cos θ，故k ∈[－33，33]，结合正切函数的图象，当k ∈[0，33]时，直线倾斜角α∈[0，π6]，当k ∈[－33，0)时，直线倾斜角α∈[56π，π)，故直线的倾斜角的范围是[0，π6]∪[56π，π)．二、解答题12．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程． 解析 设所求直线方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.， ∴所求直线方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0． 13．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求： (1)△ABC 的平行于BC 边的中位线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线的一般式方程，并化为截距式方程．解析 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标为⎝⎛⎭⎫72，1，⎝⎛⎭⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1.。
文科艺术生数学知识点
文科艺术生数学知识点
1.基础运算：加法、减法、乘法和除法。
这是数学运算的基础，包括
整数、小数和分数等的四则运算。
2.百分数：了解百分数的定义和使用方法，能够计算百分比、比例和
利润等问题。
3.平均数：了解平均数的概念和计算方法，能够求一组数据的平均数。
4.比例和比例关系：了解比例的概念和比例关系的应用，能够解决有
关比例的问题。
5.几何图形：了解常见的几何图形的特征和性质，如圆、矩形、三角
形和正方形等。
6.数据分析：了解如何收集、整理和分析数据，包括制作简单的统计
图表和解读图表。
7.数量关系：了解数量关系和变量之间的关系，能够进行简单的方程
式推导和解答。
8.概率和统计：了解概率和统计的基本概念，能够计算概率、解决统
计问题和应用概率统计的方法。
9.金融数学：了解如何计算利息、本金和投资回报率等金融数学知识，能够进行简单的财务分析。
10.日常生活应用：了解如何在日常生活中应用数学知识，如购物打折、计算时间和距离等。
在学习数学知识时，文科艺术生可以借助教材、辅导资料和在线学习
资源等，注重理解数学概念和方法的应用，培养数学思维和解决实际问题
的能力。
此外，通过数学与文科艺术学科的交叉学习，可以拓宽思维视野，提高综合素质。
艺术生高考数学复习知识点
艺术生高考数学复习知识点艺术生高考对数学的要求并不像理科生那样高，但数学依然是考生最需要花时间和精力准备的一门科目。
艺术生的数学复习主要涉及基础知识的回顾和理解，重点在于培养艺术生的逻辑思维和解决问题的能力。
下面将从几个重要知识点出发，为大家介绍艺术生高考数学的复习内容。
一、函数与方程函数与方程是数学中的基础概念，也是艺术生高考数学的重要内容。
艺术生需要掌握函数的概念、性质和图像的绘制方法。
此外，方程的解法也要熟悉。
高考常涉及到一元一次方程、一元二次方程、指数函数、对数函数等。
二、图形的性质和变换图形的性质和变换是艺术生数学复习的另一个重点。
要熟悉各类图形的定义和性质，比如直线的斜率和截距的计算、圆的方程和性质、三角形的相似和全等条件等。
此外，图形的变换也是重要的考点，包括平移、旋转、镜像等。
三、概率与统计概率与统计是现代社会中不可或缺的一门学科，在高考数学中也占有一定份额。
艺术生需要了解随机事件和概率的基本概念，能够计算概率值和进行事件的概率计算。
统计是对数据进行收集、整理、描述和分析的过程，艺术生需要掌握统计的基本概念和统计量的计算方法。
四、解析几何解析几何是数学中一门重要的几何学科，艺术生需要熟悉平面直角坐标系、点、直线、圆的表示与方程、线性规划等内容。
熟练掌握解析几何的知识有助于艺术生解决几何问题，并培养几何思维。
五、数列与数学归纳法数列是数学中常见的数学工具，艺术生需要掌握等差数列、等比数列等常见数列的概念和性质，并能够进行数列的求和、通项公式的推导等计算。
数学归纳法是数学思维中一种常用的证明方法，艺术生需要了解归纳法的基本思想和使用方法。
除了以上几个主要的知识点外，艺术生高考数学还包括其他一些辅助性的内容，如三角函数、立体几何、复数等等。
这些内容与艺术生专业并不直接相关，但仍然需要进行一定程度的了解和掌握。
总结一下，艺术生高考数学的复习知识点主要包括函数与方程、图形的性质与变换、概率与统计、解析几何、数列与数学归纳法等。
艺考生高考数学知识点总结
艺考生高考数学知识点总结随着新高考改革的实施，文科生也需要参加高考数学考试。
对于艺考生而言，数学一直是一门让人头疼的学科，但无论如何，掌握一定的数学知识对于艺考生来说依然是十分必要的。
本文将以高考数学的各个知识点为线索，总结一些艺考生在备考过程中需要注意的要点。
1.函数与方程在高考数学中，函数与方程是一个重要的知识点。
对于艺考生而言，首先要掌握函数的基本概念与性质，包括函数的定义域、值域、单调性等。
其次，要熟练掌握一次、二次、三次函数的图像特征，并能够灵活运用到实际问题中。
此外，方程的解法也是相当重要的，艺考生应该掌握一元一次方程、一元二次方程的解法，以及应用题中解方程的方法与技巧。
2.立体几何立体几何是高考数学中较为复杂的知识点之一，但艺考生可以从实践的角度去理解与应用。
首先，要掌握空间图形的基本概念与性质，如棱、面、点、体积等。
其次，要熟悉几何体之间的关系，包括相交、相切、相似等。
最后，要掌握计算空间图形的体积的方法，并能够将几何知识与实际情境相结合，解决一些与艺术相关的空间问题。
3.概率与统计概率与统计是高考数学中的一大模块，也是艺考生需要掌握的重要知识点之一。
概率与统计主要包括概率、随机事件、频率与概率、统计图表等内容。
艺考生需要了解基本的概率知识，并能够计算简单的概率问题。
此外，艺考生还应该学会使用统计方法，对数据进行整理与分析，理解与运用统计图表。
艺考生可以通过艺术实践中的数据统计与分析，将数学知识用于艺术创作中，提升自己的独特性。
4.数列与数列问题在高考数学中，数列与数列问题是一个相对简单但应用广泛的知识点。
艺考生应该掌握等差数列、等比数列的概念与性质，并能够根据已知条件求解数列问题。
此外，数列的应用也是艺考生需要注意的，如根据数列的特点解决艺术中的时间安排问题，提高效率与创作质量。
5.导数与解析几何导数与解析几何是高考数学的难点和重点，艺考生可以将其与艺术创作相结合，提高自身的创作水平。
艺术生高考数学专题讲义：考点14 导数与函数的极值、最值
考点十四导数与函数的极值、最值知识梳理1．函数的极值的定义一般地，设函数f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0 )，就说f(x0)是函数的极大值，x0叫做函数的极大值点．如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0 )，就说f(x0)是函数的极小值，x0叫做函数的极小值点．极大值与极小值统称为函数的极值．极大值点与极小值点统称为极值点．注意：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′＝0，但x＝0不是极值点．2．判断f(x0 )是极大、极小值的方法当函数f(x)在点x0处连续时，若x0满足f′(x0 )＝0，且在x0的两侧f(x)的导数值异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0 )是极值．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．3．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x) ；(2)求方程f′(x) ＝0的根；(3)检查f′(x)在x0两侧的符号①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．4．函数的最值在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(1)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(2)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．5．函数的极值与最值的区别与联系极值是个“局部”概念，而函数最值是个“整体”概念．函数的极值表示函数在某一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．函数的极值不一定是最值，最值也不一定是极值．典例剖析题型一 利用导数求函数的极值例1 已知函数f (x )＝x 3－2x 2e x.求f (x )的极大值和极小值．解析 函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝－x (x 2－5x ＋4)e x ＝－x (x －1)(x －4)e x ，当x 变化时，f (x )、f ′(x )的符号变化情况如下：∴f (x )的极大值为f (0)＝0和f (4)＝32e 4，f (x )的极小值为f (1)＝－1e.变式训练 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解析 对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax(1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．题型二 利用极值求参数例2 设f (x )＝ln(1＋x )－x －ax 2，若f (x )在x ＝1处取得极值，则a 的值为________． 答案 －14解析 由题意知，f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 且f ′(x )＝11＋x －2ax －1＝－2ax 2－(2a ＋1)x 1＋x，由题意得：f ′(1)＝0，则－2a －2a －1＝0，得a ＝－14，又当a ＝－14时，f ′(x )＝12x 2－12x 1＋x ＝12x (x －1)1＋x ，当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0， 所以f (1)是函数f (x )的极小值，所以a ＝－14.变式训练 已知x ＝3是函数f (x )＝a ln x ＋x 2－10x 的一个极值点，则实数a ＝________． 答案 12解析 f ′(x )＝a x ＋2x －10，由f ′(3)＝a3＋6－10＝0，得a ＝12，经检验满足条件．题型三 利用导数求函数的最值例3 设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2. (1)求a ，b 的值；(2)令g (x )＝f (x )－2x ＋2，求g (x )在定义域上的最值． 答案 (1)a ＝－1，b ＝3 (2)最大值为0，无最小值 解析 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx(x >0)，又f (x )过点P (1,0)，且在点P 处的切线斜率为2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得a ＝－1，b ＝3. (2)由(1)知，f (x )＝x －x 2＋3ln x ，其定义域为(0，＋∞)， ∴g (x )＝2－x －x 2＋3ln x ，x >0.则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x .当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )的最大值为g (1)＝0，g (x )没有最小值． 变式训练 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． 解析 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，1a ，单调递减区间为⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞. (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a . 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .解题要点 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．当堂练习1．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x ) ________.①在(－∞，0)上为减函数② 在x ＝0处取极小值 ③ 在(4，＋∞)上为减函数 ④ 在x ＝2处取极大值答案 ③解析 由f ′(x )的图象可知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，∴f (x )在x ＝0处取得极大值，同理f (x )在x ＝2处取得极小值，故①，②，④均不正确 ，由f ′(x )的图象可知f (x )在(4，＋∞)上单调递减．2．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是________.①x ＝1 ②x ＝－1 ③x ＝1或－1或0 ④x ＝0 答案 ③解析 ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.又当x <－1时，f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0，当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0， ∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点．3. 若函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则a 与b 的关系是________. 答案 a ＋2b ＝0解析 y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝13，∴a ＋2b ＝0.4．函数f (x )＝xe x ，x ∈[0,4]的最大值是________.答案 1e5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝x 2＋2x －a(x ＋1)2，由f (x )在x ＝1处取得极值知f ′(1)＝0，∴a ＝3.课后作业一、 填空题1．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是________．答案 －173解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0，得x ＝1(x ＝－3舍去)， 又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0，2]上的最小值是f (1)＝－173.2．函数f (x )＝x 3－32x 2－6x 的极值点的个数是________．答案 2解析 f ′(x )＝3x 2－3x －6＝3(x 2－x －2)＝3(x －2)(x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.易知x ＝－1为f (x )的极大值点，x ＝2为f (x )的极小值点．故f (x )的极值点有2个． 3．函数f (x )＝12x －x 3在区间[－3,3]上的最小值是________． 答案 －16解析 由f ′(x )＝12－3x 2＝0，得x ＝－2或x ＝2. 又f (－3)＝－9，f (－2)＝－16，f (2)＝16，f (3)＝9， ∴函数f (x )在[－3,3]上的最小值为－16.4．f (x )＝e x －x (e 为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是________． 答案 e －1解析 f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝0.令f ′(x )>0，得x >0，令f ′(x )<0，得x <0，则函数f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，f (－1)＝e －1＋1，f (1)＝e －1，f (－1)－f (1)＝1e ＋2－e<12＋2－e<0，所以f (1)>f (－1).5．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________． 答案 3百万件解析 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab的值为________．答案 －23解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝01＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9满足题意，故a b ＝－23.7．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________．(填序号)①函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) ②函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) ③函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2) ④函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 ④解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 8．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________． 答案 －37解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减． ∴x ＝0为极大值点，也为最大值点． ∴f (0)＝m ＝3，∴m ＝3. ∴f (－2)＝－37，f (2)＝－5. ∴最小值是－37.9．函数f (x )＝x 3+ x 2－x +2在[0,2]上的最小值是________． 答案4927解析 f ′(x )＝3x 3+2x －1，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]，得x ＝13.比较f (0)＝2，f (13)＝4927，f (2)＝12.可知最小值为4927.10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为__________ 元时利润最大，利润的最大值为__________． 答案 30 23 000解析 设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)Q ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)， ∴y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0，∴p ＝30或p ＝－130(舍去)，则p ，y ，y ′变化关系如下表：∴当p ＝30时，y 取极大值为23 000元．又y ＝－p 3＋150p 2＋11 700p －166 000在(20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值． ∴该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．11．若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________. 答案 －23 －16解析 y ′＝ax＋2bx ＋1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－23，b ＝－16.二、解答题12． （2015北京文节选）设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.求f (x )的单调区间和极值解析 函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.由f ′(x )＝0解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：所以，f (x )f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2. 13．设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a 、b 的值；(2)若对于任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2处取得极值，则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0.解得a ＝－3，b ＝4. (2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0. 所以，当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c ，又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c . 则当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . 因为对于任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立， 所以9＋8c <c 2，解得c <－1或c >9， 因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．。
艺术生高考数学专题讲义考点10函数的图象及其变换
艺术生高考数学专题讲义考点10函数的图象及其变换1.函数的图象函数的图象是函数y=f(x)的平面图形表示，通常用笛卡尔坐标系上的点(x,f(x))表示。
函数的图象可以帮助我们直观地了解函数的性质。
2.常见函数图象(1) 一次函数y=ax+b (a≠0) 的图象是一条直线，斜率为a，截距为b。
(2) 二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0) 的图象是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。
(3)幂函数y=x^a(a>0,a≠1)的图象是一条指数曲线，根据a的大小关系可以判断增减性。
(4) 对数函数y=loga(x) (a>0, a≠1) 的图象是一条反比例函数的图象。
3.函数图象的平移(1)向右平移h个单位：将x替换为x-h，则对应的函数图象向右平移h个单位。
(2)向左平移h个单位：将x替换为x+h，则对应的函数图象向左平移h个单位。
(3)向上平移k个单位：将y替换为y-k，则对应的函数图象向上平移k个单位。
(4)向下平移k个单位：将y替换为y+k，则对应的函数图象向下平移k个单位。
4.函数图象的伸缩(1) 横向伸缩：将x替换为kx (k>0)，则对应的函数图象在x轴方向上缩短为原来的1/k倍；如果k<0，则函数图象在x轴方向上翻转。
(2) 纵向伸缩：将y替换为ky (k>0)，则对应的函数图象在y轴方向上伸长为原来的k倍；如果k<0，则函数图象在y轴方向上翻转。
5.函数图象的对称(1)关于x轴对称：将y替换为-y，则对应的函数图象关于x轴对称。
(2)关于y轴对称：将x替换为-x，则对应的函数图象关于y轴对称。
(3)关于原点对称：先进行左右对称，再进行上下对称。
6.函数图象的综合变换根据需要，可以将平移、伸缩和对称等操作综合运用于函数的图象，从而得到更加复杂的函数图象。
7.相关考点(1)函数的性质与图象：通过观察函数的图象，可以判断函数的奇偶性、增减性等性质。
(2)函数的反函数：反函数的图象是原函数的图象关于直线y=x的镜像。
艺术生数学高考知识点笔记
艺术生数学高考知识点笔记在高考数学中，艺术生们也需要掌握一些基本的数学知识。
尽管他们的数学并不是重点，但是仍然需要一定的基础来应对高考中的数学考题。
本文将为艺术生们整理一些高考数学知识点的笔记，希望对他们有所帮助。
一、函数与方程函数和方程是数学中基本的概念，也是高考数学中常出现的考点。
1. 函数的定义：函数是一个或多个自变量通过特定规则与对应的因变量之间的关系。
函数可以用公式、图像或者数据表来表示。
2. 函数的类型：常见的函数类型有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
不同类型的函数有不同的特征和性质，艺术生们需要了解它们的图像、定义域、值域等基本概念。
3. 方程的解：方程是含有未知数的关系式，解方程是寻找满足方程的未知数的值。
方程的解可以是实数解或者复数解，艺术生们需要熟练掌握解方程的方法和技巧。
二、数列与数列的求和数列在高考数学中也是常见的考点，艺术生们需要了解数列的概念和求解数列的方法。
1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一系列数，可以用一个通项公式来表示。
2. 等差数列：等差数列是相邻两项之差相等的数列，通常用常数来表示公差。
3. 等差数列的求和：对于等差数列，艺术生们需要熟悉求和公式，并能够根据已知条件求解等差数列的和。
4. 等比数列：等比数列是相邻两项之比相等的数列，通常用常数来表示公比。
5. 等比数列的求和：对于等比数列，艺术生们需要了解求和公式，并能够根据已知条件求解等比数列的和。
三、几何与三角函数几何和三角函数也是艺术生数学高考的重点内容，需要艺术生们熟练掌握相关的概念和计算方法。
1. 平面几何：平面几何主要包括直线、圆、三角形、四边形、多边形等。
艺术生需要了解这些几何图形的性质、定理以及计算方法。
2. 三角函数：三角函数是角的函数，包括正弦、余弦、正切等。
艺术生们需要熟练掌握三角函数的定义、性质、图像以及计算方法。
3. 三角函数的应用：三角函数在实际问题中有广泛的应用，如测量、建筑、导航等。
高三艺术生数学基础知识点
高三艺术生数学基础知识点在高三阶段，作为艺术生的同学们，除了注重专业课程的学习，数学也是必不可少的一门学科。
虽然艺术生相对于理科生来说，对于数学的要求并不像他们那样高，但数学作为一门基础学科，仍然有其重要性。
本文将为高三艺术生总结一些数学基础知识点，以帮助他们更好地备考。
一、函数与方程函数与方程是数学中的基本概念，对于解决各种数学问题起到重要作用。
首先，艺术生需要掌握函数的概念和性质，包括函数的定义、函数的图像、函数的性质等。
其次，方程也是数学中常见的问题形式，艺术生需要学会解一元一次方程、一元二次方程等基本的方程式，并了解方程在实际问题中的应用。
二、数列与数列的应用数列是一系列按照一定规律排列的数，对于解决一些序列问题非常重要。
高三艺术生需要熟悉数列的概念、等差数列和等比数列的性质以及数列求和的方法。
此外，数列的应用也是艺术生需要掌握的，比如利用数列推断某种规律、预测未来的情况等。
三、平面与空间几何艺术生在学习数学时，需要掌握平面几何和空间几何的基本知识。
在平面几何中，艺术生需要学会判断点、线、面等图形的位置关系，熟悉各种图形的性质和计算面积、周长等基本操作。
在空间几何中，艺术生需要学会理解和分析立体图形的特点和各种投影，熟悉体积、表面积等计算方法。
四、概率与统计概率与统计是数学中非常实用的一门学科，也是艺术生需要掌握的。
在概率方面，艺术生需要了解事件的概念、概率的计算方法以及概率的性质。
在统计方面，艺术生需要熟悉统计调查的基本方法、数据的处理与分析等，以求得准确的统计结果。
五、数学思维与解题方法除了基础知识点外，艺术生还需要培养良好的数学思维和解题方法。
数学思维是指运用逻辑、抽象和推理等思维方式解决数学问题的能力。
解题方法包括理解问题、分析问题、选用合适的解法、检查结果等。
艺术生需要通过多做题和多实践，逐渐培养出自己的数学思维和解题方法。
总结：通过学习以上提到的数学基础知识点，高三艺术生可以提高数学水平，更好地备考数学考试。
高考艺术生数学知识点资料
高考艺术生数学知识点资料数学作为一门科学，不仅仅在于解决实际问题，它还涵盖了丰富的艺术性和美感。
对于高考艺术生来说，数学知识点的掌握是备战高考的必备技能之一。
本文将分享一些重要的数学知识点，旨在帮助艺术生们提高数学成绩。
一、平面几何平面几何是数学的重要组成部分，艺术生需要熟悉平面几何中的基本概念和定理。
例如，平面几何的基本元素包括点、线和面；平行线的性质，如平行线的定义、平行线的判定以及平行线的性质等。
二、三角函数三角函数是高考数学中的重点内容之一。
对于艺术生来说，熟练掌握三角函数的定义、性质以及应用是非常重要的。
例如，艺术生需要掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的定义及其主要性质；熟练掌握三角函数的图像变换，如周期性、对称性等。
三、立体几何立体几何是另一个需要艺术生掌握的数学知识点。
立体几何涉及到平面、直线和空间的相互关系，艺术生需要了解立体几何的基本概念和定理。
例如，了解圆柱体、圆锥体、球体的定义以及它们的性质；了解立体的体积和表面积的计算方法。
四、数列与数学归纳法数列与数学归纳法是数学中的基本概念和重要工具。
艺术生需要了解数列的定义、数列的通项公式以及递推关系。
同时，数学归纳法是解决数学问题的重要工具，艺术生需要理解数学归纳法的原理和基本步骤。
五、概率与统计概率与统计是数学的实际应用领域，对于艺术生来说，了解概率与统计的基本概念和技巧是必要的。
例如，艺术生需要了解事件的概率定义、事件的互斥性和独立性；掌握统计图表的制作和解读，如直方图、折线图等。
六、函数与方程函数与方程是高中阶段数学的核心内容。
艺术生需要熟练掌握函数与方程的基本概念和运算法则。
例如，艺术生需要了解函数的定义和性质，如函数的奇偶性、单调性等；掌握方程的解的求解方法，如一元一次方程、一元二次方程等。
七、数学建模数学建模是高考数学中的重要内容，也是艺术生在数学学科中发挥艺术才能的重要阶段。
艺术生需要了解数学建模的基本概念和步骤，掌握数学建模的解题思路和方法。
艺术数学高考知识点
艺术数学高考知识点艺术数学是现代艺术与数学相结合的一门学科，它既注重审美与创造，又运用了数学的逻辑与几何思维。
作为一门独特的学科，在高考中也有着重要的地位。
本文将介绍一些与艺术数学有关的高考知识点，帮助同学们更好地备战考试。
一、立体几何与雕塑立体几何是艺术数学中的重要一环。
在高考中，常涉及到对于立体物体的理解与分析，以及对雕塑作品的艺术欣赏。
同学们需要掌握以下知识点：1. 立体物体的投影: 包括正射投影和透视投影，了解如何根据给定的视角进行物体的投影绘制。
2. 立体物体的表面积与体积: 掌握计算不规则几何体的表面积和体积的方法。
3. 雕塑的造型要素: 包括雕塑的形状、材质、结构等，了解雕塑的创作过程与艺术风格。
二、色彩理论与绘画色彩是艺术创作中不可或缺的元素，对色彩的理解与运用在绘画中起着至关重要的作用。
同学们需要了解以下知识点：1. 基本颜色的运用: 对于色彩的基本分类以及如何运用基本颜色进行绘画有一定的了解。
2. 色彩搭配与运用: 掌握不同色彩之间的搭配原则，了解如何使用冷暖色调、对比色等进行艺术创作。
3. 光与色彩: 了解光的形成与传播原理，掌握如何运用光线与色彩表现立体感和光影效果。
三、透视与绘画构图透视是艺术数学中重要的技法之一，它能够帮助艺术家更准确地表现物体的远近和立体感。
同学们需要掌握以下知识点：1. 透视的原理与基本方法: 包括单点透视、双点透视和多点透视的原理与构图方法。
2. 透视的运用: 在绘画中灵活运用透视原理，掌握如何表现近大远小、线性透视等效果。
3. 构图与画面布局: 理解画面构图的基本原则，包括对称构图、镜头引导、主次结构等。
四、比例、对称与装饰比例与对称是艺术作品中常用的设计元素，它们能够给人一种美的感受和艺术享受。
同学们需要了解以下知识点：1. 比例与尺度: 理解比例的概念与运用，掌握如何运用比例进行构图和创作。
2. 对称与平衡: 理解对称的种类与对称的美学效果，掌握如何运用对称与平衡原则进行艺术创作。
艺术生高考数学知识点
艺术生高考数学知识点数学在高考中是所有考生的必考科目之一，包括艺术生在内。
虽然艺术生的重点是文化课考试，但数学同样是不能忽视的一门学科。
本文将对艺术生高考数学的重点知识点进行梳理和总结，以帮助艺术生更好地备考数学科目。
一、函数与方程1.1 函数及其表示艺术生在数学中需要掌握函数的概念及其表示方法。
函数由自变量和因变量组成，通常用 f(x) 或 y 表示。
1.2 一次函数与二次函数一次函数的特征是其图像为一条直线，可以通过截距和斜率来确定。
二次函数的特征是其图像为一个抛物线，可以通过顶点、焦点等关键点来确定。
1.3 方程与不等式艺术生需熟练掌握方程与不等式的解法，包括一元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式、一元二次不等式等。
二、数列与数列求和2.1 数列的概念数列是按照一定规律排列的一组数，包括等差数列和等比数列等。
2.2 等差数列与等比数列艺术生需要了解等差数列和等比数列的特点及其求解方法。
2.3 数列的通项公式与求和公式数列的通项公式是指通过一个通项公式可以直接求得数列中任意一项的公式。
数列的求和公式是指通过一个公式可以直接求得数列的前n项和。
三、平面几何与空间几何3.1 平面几何基础知识艺术生需要熟悉平面几何中的基本概念、基本性质和基本定理，包括线段、角、三角形、四边形等的性质和判定方法。
3.2 圆的性质与相关定理圆是平面几何的重要内容之一，艺术生需要掌握圆的性质以及与之相关的定理，如切线定理、弦切角定理等。
3.3 空间几何基础知识艺术生需要了解立体几何中的基本概念、基本性质和基本定理，包括直线、平面、三棱锥、四棱锥等的性质和判定方法。
四、概率与统计4.1 概率的基本概念艺术生需要掌握概率的基本概念，包括样本空间、事件等。
4.2 概率的计算艺术生需要熟悉概率的计算方法，包括事件的概率计算、事件的互斥与对立等。
4.3 统计的基本概念与分析方法艺术生需要了解统计的基本概念和分析方法，包括频数、频率、频率分布表、统计图等。
高三艺术生数学知识点
高三艺术生数学知识点一、导言数学是一门理性与创造性兼备的学科，对于艺术生而言，学习数学不仅可以培养逻辑思维与综合能力，还有助于提高审美与创作能力。
在高三阶段，艺术生需要掌握一些关键的数学知识点，以应对高考数学考试。
本文将重点介绍高三艺术生需要掌握的数学知识点。
二、解析几何在解析几何中，艺术生需要熟悉平面几何和立体几何的基本概念和性质，如平面直角坐标系、直线方程、曲线方程、平面向量等。
此外，还需要掌握平面图形的性质和计算方法，如三角形的面积与周长、正多边形的面积与周长、圆的面积与周长等。
三、函数与方程在函数与方程中，艺术生需要掌握函数、方程与不等式的基本概念和性质，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
此外，还需要了解函数与方程的图像、性质及其应用，如函数图像的变换、函数的最值、方程与不等式的解集等。
四、数列与数学归纳法在数列与数学归纳法中，艺术生需要掌握等差数列、等比数列以及求和公式的应用。
此外，还需要了解数列的性质与特点，如首项、公差、通项公式、求和公式等，以及数学归纳法的基本思想和应用方法。
五、概率与统计在概率与统计中，艺术生需要掌握基本的概率概念，如事件、样本空间、概率等，并能够计算简单的概率问题。
此外，还需要了解统计方法的基本原理与应用，如频数分布表、频数直方图、均值、中位数、众数等。
六、三角函数与向量三角函数是艺术生数学学习中的重要内容，需要掌握三角函数的定义、性质和计算方法，如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
同时，也需要了解向量的基本概念与性质，如向量的加减、数量积、向量积等。
七、数学建模数学建模是数学与现实问题相结合的过程，对于艺术生而言，数学建模能够培养其思维逻辑和创造力。
艺术生需要学习数学建模的基本方法与步骤，并能够运用数学知识解决实际问题。
八、总结高三阶段的艺术生需要在复习数学知识点的同时，注重提高解题能力与解题思路。
数学不仅仅是一门功课，更是一种思维方式，只有通过不断的练习与应用，才能真正掌握数学的精髓。
高三数学艺考复习知识点
高三数学艺考复习知识点数学艺考是许多学生进入理工类院校或艺术类专业的重要途径之一。
高三的数学艺考复习是一项关键性任务，掌握复习的重点知识点对于考生来说至关重要。
本文将介绍高三数学艺考的主要知识点，帮助考生有针对性地进行备考。
1. 函数和方程高三数学艺考的复习重点之一是函数和方程。
考生需要熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本函数的性质和图像特征；同时还要了解二次方程、一元高次方程的求解方法以及方程在平面直角坐标系中的图像表示等内容。
2. 三角函数三角函数是高三数学艺考中的另一个重点。
考生需要掌握正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的定义、性质和图像特征；还需熟悉三角函数的基本关系式，包括和差化积、倍角公式、半角公式等。
3. 二次曲线考生还需要了解二次曲线的相关知识。
包括熟悉圆、椭圆、抛物线、双曲线的方程和性质；了解如何通过方程确定二次曲线的位置、形状和大小等。
4. 三角恒等式在数学艺考的复习中，三角恒等式也是重要的考点。
考生需要掌握基本的三角恒等式，如正弦定理、余弦定理、正切定理等，同时要能熟练应用这些定理解决相关问题。
5. 数列与数学归纳法考生需要理解数列的概念与表示方法，并且熟悉数列的等差数列、等比数列等特殊数列的性质与求和公式。
此外，数学归纳法在数列证明中的应用也是重要的考点。
6. 导数与微分高三数学艺考还涉及到导数与微分的知识。
考生需要熟悉导数的概念、基本性质和运算法则，并能熟练应用导数求函数的增减性、极值、拐点等。
此外，还要了解微分的概念和应用，包括微分近似计算和微分中值定理等。
7. 不等式与极限考生还需要掌握不等式的基本性质、解法和应用，包括一元不等式与二元不等式等；同时还要理解极限的概念与性质，并能运用极限求函数的渐近线和无穷大、无穷小的性质。
8. 统计与概率统计与概率也是高三数学艺考的复习内容之一。
考生需要了解统计的基本概念和描述统计的方法，掌握离散型和连续型随机变量的概率分布和性质，熟悉概率论的基本原理和计算方法。
艺术生高考数学复习资料.大纲人教版
艺术生高考数学复习资料1、1、1任意角一、【学习目标】1、将00—3600的角推广到任意角；2、理解任意角、象限角、终边相同的角的概念和含义；3、理解象限角集合、终边相同角集合、轴线角集合.<1>什么是角？角是怎么定义的？结论：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 如图所示，一条射线的端点是O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，形成一个角∠α，射线OA、OB分别是角α的始边和终边.注意：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，∠α可以简记为α.<2>什么是正角？什么是负角？什么是零度角？结论：按逆时针方向旋转形成的角是正角.按顺时针方向旋转所形成的角叫负角.一条射线没有做任何旋转，我们称为零角.<3>什么是任意角？结论：这样，我们把角分为了正角、负角、零度角，我们就把角的概念推广到了任意角. 如图所示.图1中的角是一个正角，它等于750；图2中的正角为2100，负角为-1500，-6600.<1>什么是象限角？结论：我们常在直角坐标系内讨论角，为了讨论问题方便，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.例如，图中的300角、-1200角分别是第一象限角和第三象限角.<2>将角按照上述方法放在直角坐标系中，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应.反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？（终边相同的角.）结论：不难发现，在图中，如果-320的终边是OB，那么3280，-3920……角的终边都是OB，并且与-32角终边相同的这些角都可以表示成-32的角与k个（k∈Z）周角的和，如3280=-320+3600（这里k=1），-3920=-320-3600（这里k=-1）.设S={β|β=-32+k360，k∈Z }，则3280，-3920都是S的元素，-320也是S 的元素，这里k=0.因此所有与-320角终边相同的角，连同-320在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与-320角终边相同.一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S={β|β=α+k3600，k∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.注意：①α为任意角；②k3600与α之间是“+”号，k3600-α可以理解为k3600+（-α）.③相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，中边相同的角有无数个，它们相差3600的整数倍；④k∈Z这一条件必不可少.练习一：教材例1、例2、例3例1.例1、在0360︒︒~X 围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）例2、写出终边在y 轴上的角的集合.例3、写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤720︒<的元素β写出来.练习二：教材第5页练习（1）、（2）(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.(2)(回答)今天是星期三那么7()k k Z ∈天后的那一天是星期几?7()k k Z ∈天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?练习三：教材第5页练习（3）、（4）、（5）. 【教学效果】：理解象限角、轴线角的概念. 3、知识点引申 <1>象限角集合第一象限角的集合为：{x|k3600<x<k3600+900，k ∈Z}; 第二象限角的集合为：{x|k3600+900<x<k3600+1800，k ∈Z} 第三象限角的集合为：{x|k3600+1800<x<k3600+2700，k ∈Z} 第四象限角的集合为：{x|k3600+2700<x<k3600+3600，k ∈Z} <2>轴线角的集合终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k3600，k ∈Z} 终边落在x 轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k3600+1800，k ∈Z} 终边落在x 轴上的角的集合为{x|x=k1800，k ∈Z}终边落在y 轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k3600+900，k ∈Z} 终边落在y 轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k3600—900，k ∈Z} 终边落在y 轴上的角的集合为{x|x=k1800+900，k ∈Z}【教学效果】：理解轴线角、象限角的集合，对以后的学习是很有用的.1、1、2弧度制一、【学习目标】1、理解弧度的概念，会熟练的进行角度与弧度的转换；2、能用弧度表示终边相同角的角；3、熟记并能熟练应用弧长公式、扇形面积公式. <1>什么叫角度制，请简要复述之.结论：角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. <2>什么叫做弧度制，请简要复述之.结论：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).如图所示：<3>半径为r 的圆的圆心与圆点重合，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，交圆于点A ，终边与圆交于点B.请在下列表格中 填空.结论：我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.<4>如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?结论：角α的弧度数的绝对值是：r l /=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 角的正负主要由角的旋转方向来决定 <5>熟记下列特殊角的弧度数：00，300，450，600，900，1200，1350，1500，1800，2100，2250，2400，2700，3000，3150，3300，3600 结论：角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.例1、按照下列要求,把'6730︒化成弧度:精确值；精确到0.001的近似值. 例2、将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001). 例4、利用计算器比较sin1.5和sin850的大小.注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=,另外注意计算器计算非特殊角的方法.<6>利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)20.5S R α=; (3)0.5S lR =.其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积. 训练题1、已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的中心角是多少？（2或4）2、已知扇形的周长为10cm ，面积为4cm 2，求扇形圆心角的弧度数.3、已知扇形的圆心角为72，半径等于200，求扇形的面积.4、与-15600终边相同的角的集合中，最小正角是多少？最大负角是多少？绝对值最小的角是多少？任意角的三角函数教学目的：1、 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，；2、 掌握三角函数值的符号的确定方法；3、 记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）； 教学重点、难点重点：三角函数的定义，各三角函数值在每个象限的符号，特殊角的三角函数值难点：对三角函数的自变量的多值性的理解，三角函数的求值中符号的确定 教学过程： 一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b asinA cosA tanA c c b=== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
高三艺术生数学知识点
高三艺术生数学知识点在高三阶段，作为艺术生的学生们需要加强对数学知识点的掌握，以应对高考数学的考试要求。
以下是一些高三艺术生需要重点复习的数学知识点。
1. 高中数学基础知识回顾在开始复习高三数学知识点之前，艺术生需要回顾和巩固高中数学的基础知识，包括数列、函数、图形的性质、三角函数、概率等内容。
2. 复数与向量复数是艺术生需要重点关注的数学知识点之一，包括复数的定义、运算法则、共轭复数以及与实数的关系。
此外，向量也是需要掌握的重要内容，涉及向量的表示方法、运算法则、数量积和向量积等。
3. 函数与导数函数与导数是高考数学中的重点内容，艺术生需要重点关注函数的性质、图像与变化规律、三角函数的图像与性质。
同时，导数的概念、性质、常用函数的导数以及导数的应用也是需要掌握的内容。
4. 三角函数与解三角形艺术生需要熟悉三角函数的定义、性质、常用角的三角函数值以及三角函数的图像与变化规律。
此外，解三角形的方法、定理等也需要重点复习。
5. 数列与数学归纳法数列是高考数学中的常考点，艺术生需要熟悉数列的定义、性质、通项公式、数列的极限以及等差数列、等比数列等特殊数列的特点。
同时，数学归纳法作为证明数列等式的重要方法也需要掌握。
6. 概率与统计概率与统计是高考数学考试中的一大模块，艺术生需要掌握概率的基本概念、性质，包括事件的计算、概率的计算、条件概率以及排列组合等内容。
同时，统计学的基本概念、统计量的计算、直方图、折线图、频率分布表等图表的解读也需要重点复习。
7. 解析几何解析几何是高考数学中的难点之一，艺术生需要熟悉平面直角坐标系、曲线的方程与性质、直线与圆的相交情况、双曲线与抛物线等内容。
8. 数学证明数学证明是高考数学考试中的重要环节，艺术生需要掌握证明的基本方法与思路，包括直接证明、间接证明、递推证明、反证法等常用证明方法。
总之，高三艺术生在备战高考数学中，需要全面复习数学的基础知识，并重点关注复数与向量、函数与导数、三角函数与解三角形、数列与数学归纳法、概率与统计、解析几何以及数学证明等知识点。
艺术生高考数学专题讲义考点46抽样方法
艺术生高考数学专题讲义考点46抽样方法一、基本概念在实际问题中，由于无法对全部样本进行观测或测量，所以我们往往需要通过对部分样本的研究，来推断总体的性质和规律。
这就是统计学中的抽样方法。
抽样方法是一种重要的数据收集方式，也是统计推断的基础。
在抽样方法中，我们首先要明确两个概念，即总体和样本。
总体是我们要研究的对象的全体，而样本是从总体中抽取的部分个体，用来代表总体。
二、抽样的方法根据抽样的方法可以分为以下几种：1.简单随机抽样：从总体中随机地抽取n个样本，要求每个样本被选中的概率相等。
简单随机抽样是最基本的抽样方法，简单随机抽样得到的样本具有代表性，可以很好地代表总体。
2.分层抽样：将总体划分为若干个相似的层，然后从每一层中进行简单随机抽样。
分层抽样可以保证样本更好地代表总体，特别是当总体的差异比较大时，分层抽样能更好地反映出各个层的特征。
3.整群抽样：将总体划分为若干个互不相交的群，然后从每一群中进行简单随机抽样。
整群抽样适用于总体的群体结构比较明显的情况下，可以减小样本误差，提高效率。
4.系统抽样：将总体的N个个体按照其中一顺序编号，确定一个固定的间隔K，然后从第一个个体开始，每隔K个个体选择一个。
系统抽样是一种简单而高效的抽样方法。
5.多阶段抽样：将总体分为若干个阶段，先抽取一部分阶段，再从每个抽取的阶段中进行抽样。
多阶段抽样适用于总体的结构复杂的情况，可以降低抽样的难度。
三、抽样误差在进行抽样调查时，由于样本是从总体中抽取的部分个体，样本的结果和总体的真实情况往往会有一定的差异，这个差异称为抽样误差。
抽样误差可以分为抽样误差和非抽样误差。
抽样误差是由于样本的随机性引起的，可以通过增加样本容量来减小。
当样本容量足够大时，抽样误差可以忽略不计。
非抽样误差是由于抽样方法、调查方法等原因引起的误差，不可避免。
减小非抽样误差的方法包括设计合理的抽样方案、严格执行抽样过程、控制调查中的偏差等。
四、抽样调查的应用抽样调查在各个领域中都有广泛的应用，特别是在社会调查、市场调查和科学研究等方面。
高考艺术生数学知识点汇总
高考艺术生数学知识点汇总作为高考艺术生，数学可能是你最头疼的科目之一。
艺术生以文化课成绩与专业课成绩综合评分作为录取标准，因此数学成绩对于艺术生来说也是非常重要的。
在高考中，艺术生需要掌握一些数学知识点，下面将对一些重要的知识点进行汇总，希望能对你复习数学有所帮助。
一、函数与极限函数是数学中的基本概念之一，艺术生需要了解函数的定义、性质以及函数的图像等。
另外，极限也是重要的概念，艺术生需要掌握极限的定义、性质以及计算方法等。
二、数列与数列极限数列是艺术生需要熟悉的内容之一，需要了解数列的概念、数列的通项公式以及数列的性质等。
对于数列极限，艺术生需要掌握数列极限的定义、性质以及计算方法等。
三、平面几何与向量平面几何是数学中的基本内容之一，艺术生需要了解平面几何中的基本概念，如点、直线、平面等，以及基本的性质和判定方法等。
另外，向量也是平面几何中的重要概念，艺术生需要掌握向量的概念、基本运算以及向量的性质等。
四、立体几何与空间几何向量立体几何是数学中的重要内容之一，艺术生需要了解立体几何中的基本概念，如多面体、球体、圆锥体等，以及基本的性质和判定方法等。
另外，空间几何向量也是立体几何中的重要内容，艺术生需要掌握空间几何向量的概念、基本运算以及向量的性质等。
五、数与代数数与代数是数学中的基础内容，艺术生需要了解数的性质、数的基本运算以及各种数的表示方法等。
另外，代数是数学中的重要分支，艺术生需要掌握代数中的基本概念和运算法则等。
六、概率与统计概率与统计是数学中的实际应用内容，艺术生需要了解概率与统计中的基本概念和理论，如概率的定义、概率的计算方法以及统计图表的制作等。
以上是高考艺术生数学知识点的一个简单汇总，希望对你的复习有所帮助。
在备考阶段，艺术生可以结合自身情况和学习进度，有针对性地复习相关知识点，并进行大量的练习和题目分析。
通过科学的复习方法和坚持不懈的努力，相信你一定能在高考中取得好成绩。
加油！。
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艺术生高考数学考试知识点
艺术生在高考中不仅需要展示自己的艺术才能，还需要通过数学
考试来证明自己的综合素质。
数学作为一门基础学科，虽然与艺术门
类看似无关，但是它在培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的
能力方面扮演重要角色。
接下来，本文将探讨艺术生高考数学考试中
的一些重要知识点。
首先，艺术生需要掌握的基础知识包括数字的认识与运算、代数
与函数、几何与图形以及概率与统计等。
艺术生在高中阶段的数学学
科教学中，会系统地学习这些基础知识，并在高考中进行考核。
一、数字的认识与运算
在数字的认识与运算方面，艺术生需要掌握整数、有理数、无理
数和实数的概念与性质。
同时，他们还需要了解不同进制之间的转换，例如十进制和二进制的转换。
此外，艺术生还需要掌握基本运算法则，包括加法、减法、乘法和除法，以及带有分数和开方运算的混合运算。
二、代数与函数
代数与函数是数学中的重要内容，艺术生需要熟练掌握代数式的
化简、方程与不等式的求解和函数的基本性质。
在代数式的化简方面，艺术生需要应用分配律、结合律和交换律进行合理的变形。
在方程与
不等式的求解方面，艺术生需要掌握一元一次方程、二次方程和一元
一次不等式的解法。
此外，艺术生还需要了解函数的概念、函数的定
义域与值域以及函数的图象等基本知识。
三、几何与图形
在几何与图形方面，艺术生需要掌握平面几何和空间几何的基本概念与性质，并能灵活运用这些概念解决相关问题。
例如，艺术生需要了解平面几何中的点、线、面、角的概念与特性，以及几何图形的周长、面积和体积的计算方法。
此外，艺术生还需要掌握坐标系的基本知识，能够运用坐标系解决问题。
四、概率与统计
在概率与统计方面，艺术生需要了解概率的基本概念与计算方法，以及数据的收集、整理和分析的基本技巧。
艺术生需要了解概率与统计在日常生活和艺术创作中的应用，能够通过概率和统计分析解决一些实际问题。
综上所述，艺术生在高考数学考试中需要掌握的知识点并不单一，而是涵盖了数学的各个领域。
通过学习和掌握这些知识，艺术生不仅能在数学考试中取得不错的成绩，也能培养出良好的逻辑思维和问题解决能力。
因此，艺术生在备考高考数学时，需要严格按照教学大纲的要求进行复习，注重理论的学习与实践的运用，并及时进行巩固与反馈。
只有充分理解和掌握这些知识点，艺术生才能在高考中取得优异的数学成绩，为自己的综合素质增添光彩。