2013年北京中考数学二模圆的切线与计算
中考数学模拟试题圆的方程与切线
中考数学模拟试题圆的方程与切线中考数学模拟试题圆的方程与切线圆是几何学中最重要的图形之一，它的方程与切线是数学中常见的问题。
本文将介绍关于圆的方程以及如何求解圆的切线问题。
一、圆的方程圆是由平面上所有距离圆心相等的点组成的图形。
给定圆心坐标为$(h,k)$，半径为$r$，我们可以得到圆的方程：$$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$其中，$(x,y)$为圆上任意一点的坐标。
根据圆的方程，我们可以进行一些常见的圆的问题的求解。
例1：已知圆心坐标为$(2,3)$，半径为$4$，求满足圆的方程的点的坐标。
解：根据圆的方程，代入给定的圆心坐标和半径：$$(x-2)^2+(y-3)^2=4^2$$展开得到：$$x^2-4x+4+y^2-6y+9=16$$化简得：$$x^2+y^2-4x-6y-3=0$$所以，满足圆的方程的点的坐标为$(x,y)$，其中$x^2+y^2-4x-6y-3=0$。
二、圆的切线切线是圆上一点的切线是与圆相切且在该点处与圆相交于一点。
求解圆的切线问题，我们主要关注以下两种情况：1. 切线与圆的非切点处的交点在圆上任取一点$P(x_0,y_0)$，以该点为切点作切线。
设切线方程为$y=kx+b$，且该切线与圆的交点为$Q(x_1,y_1)$。
根据切线与圆的性质，切线与圆的交点满足两个条件：首先，$Q$点位于切线上，即满足$y_1=kx_1+b$；其次，$Q$点也位于圆上，即满足圆的方程：$(x_1-h)^2+(y_1-k)^2=r^2$。
通过解这两个方程组，可以求解出切线与圆的交点坐标。
2. 切线与圆的切点处的交点在圆上任取一切点$P(x_0,y_0)$，以该点为切点作切线。
设切线方程为$y=kx+b$，且该切线与圆的切点为$Q(x_1,y_1)$。
根据切线与圆的性质，切线与圆的切点满足两个条件：首先，$Q$点位于切线上，即满足$y_1=kx_1+b$；其次，$Q$点也位于圆上，即满足圆的方程：$(x_1-h)^2+(y_1-k)^2=r^2$；此外，切线与圆在切点处的斜率相等，即满足$k=\frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}$。
2013北京昌平中考二模数学(含解析)
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三、解答题（共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分）
1 13．计算： 12 4sin 60 ( )1 (1 π)0 ． 3
14．解分式方程：
2 3 1 ． 3x 1 6x 2
15．已知 m2 5m 14 0 ，求 (m 1)(2m 1) (m 1)2 1 的值．
） ．
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（ B． 1.45 ， 1.40
C． 1.425 ， 1.40
6． 将抛物线 y 3x 2 向上平移 3 个单位， 再向左平移 2 个单位， 那么得到的抛物线的解析式为 （ A． y 3( x 2)2 3 C． y 3( x 2)2 3 B． y 3( x 2)2 3 D． y 3( x 2)2 3
） ．
7．如图，在 △ABC 中，C 90 ， BC 6 ， D ， E 分别在 AB ， AC 上，将 △ADE 沿 DE 翻折后， 点 A 落在点 A 处，若 A 为 CE 的中点，则折痕 DE 的长为（ A． 1 B． 6 C． 4 D． 2
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） ．
8． 正三角形 ABC 的边长为 2 ， 动点 P 从点 A 出发， 以每秒 1 个单位长度的速度， 沿 A B C A 的方向运动，到达点 A 时停止．设运动时间为 x 秒， y PC 2 ，则 y 关于 x 的函数的图象大致为 （ ） ．
22． （1 ） 【原题呈现】如图，要在燃气管道 l 上修建一个泵站分别向 A 、 B 两镇供气．泵站修在管 道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 解决问题：请你在所给图中画出泵站 P 的位置，并保留作图痕迹；
（2） 【问题拓展】已知 a 0 ， b 0 ，且 a b 2 ，写出 m a2 1 b2 4 的最小值； （3） 【问题延伸】已知 a 0 ， b 0 ，写出以 a 2 b2 、 a 2 4b2 、 4a 2 b2 为边长的三 角形的面积．
2013年北京市11个区(县)中考二模数学试题(含参考答案及评分标准)-6
顺义区2013届初三第二次统一练习数学试卷学校 姓名 准考证号 考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．9的算术平方根是A ．9B ．3-C ．3D ． 3± 2．如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是A ．B ． C. D.3．一副扑克牌，去掉大小王，从中任抽一张，恰好抽到的牌是8的概率是 A ．154B ．113C ．152D ．144．把代数式269ab ab a -+分解因式，下列结果中正确的是A ．2(3)a b +B ．(3)(3)a b b +-C ．2(4)a b -D ．2(3)a b - 5．函数y kx k =-与ky x=（0k ≠）在同一直角坐标系中的图象可能是6．如图，AEBD ∥，1120240∠=∠=°，°，则C ∠的度数是Ａ．10° Ｂ．20° Ｃ．30° Ｄ．40°7．若22a a -=-，则a 的取值范围是A ．2a >B ．0a >C ．2a ≤D ．0a ≤ 8．右图中是左面正方体的展开图的是二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．函数23xy x -=-中，自变量x 的取值范围是 .10．甲、乙两个旅游景点今年5月上旬每天接待游客的人数如图所示，甲、乙两景点日接待游客人数的方差大小关系为：2S 甲 2S 乙．11．若把代数式257x x ++化为2()x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则k m -= .12．正方形111A B C O ， 2221A B C C ,，3332A B C C ， …按如图所示的方式放置．点1A ，2A ，3A ，…和点1C ，2C ，3C …分别在直线(0)y kx b k =+>和x 轴上，已知点1(1,1)B ，2(3,2)B ，则点6B 的坐标是 ， 点n B 的坐标是 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：201273tan 30()4(32)2-+︒+--．14．解方程：21133x x x-+=--.15．已知220x x +-=，求代数式2(2)(3)(3)(1)x x x x x -++--+的值．A ．B ．C ．D ．A 3A 2A 1B 3B 2B 1C 3C 2C 1Oyx16．已知：如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，MN 是过点C 的一条直线，AM MN ⊥于M ，BN MN ⊥于N . 求证: AM CN =17．列方程或方程组解应用题:某企业向四川雅安地震灾区捐助价值17.6万元的甲、乙两种帐篷共200顶，已知甲种帐篷每顶800元，乙种帐篷每顶1000元，问甲、乙两种帐篷各多少顶？18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数22y x =-+的图象与x 轴相交于点B ，与y 轴相交于点C ，与反比例函数图象相交于点A ，且2AB BC =. (1) 求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且APC ∆的面积等于12，直 接写出点P 的坐标．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知：如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点E ，90ABC ACD ∠=∠=︒,62AB BC ==,2tan 3CDE ∠=. 求对角线BD 的长和ABD ∆的面积.20．已知：如图，O ⊙是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC =90°，点P 是O ⊙外一点，PA 切O ⊙于点A ，且PA=PB ． （1）求证：PB 是O ⊙的切线；（2）已知PA =23，BC =2，求O ⊙的半径．A NMCB EDCBAOABCP21．甲、乙两学校都选派相同人数的学生参加综合素质测试，测试结束后，发现每名参赛学生的成绩都是70分、80分、90分、100分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两学校的学生获得100分的人数也相等．根据甲学校学生成绩的条形统计图和乙学校学生成绩的扇形统计图，解答下列问题：（1）求甲学校学生获得100分的人数，并补全统计图；（2）分别求出甲、乙两学校学生这次综合素质测试所得分数的中位数和平均数，以此比较哪个学校的学生这次测试的成绩更好些．22． 问题：如果存在一组平行线a b c ，请你猜想是否可以作等边三角形ABC 使其三个顶点分别在,,a b c 上.小明同学的解答如下：如图1所示，过点A 作AM b ⊥于M ，作60MAN ∠=︒，且AN AM =，过点N 作CN AN ⊥交直线c 于点C ,在直线b 上取点B 使BM CN =，则ABC ∆为所求．(1) 请你参考小明的作法,在图2中作一个等腰直角三角形DEF 使其三个顶点分别在,,a b c 上，点D 为直角顶点；(2) 若直线,a b 之间的距离为1， ,b c 之间的距离为2， 则在图2中，DEF S ∆= ，在图1中，AC = ．甲学校学生成绩的条形统计图乙学校学生成绩的扇形统计图207080134人数分数59010060°90°120°90°100分90分80分70分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线232y x mx =+-．（1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴 总有两个交点；（2）若m 为整数，当关于x 的方程2320x mx +-=的两个有理数根都在1-与43之间 （不包括-1、43）时，求m 的值． （3）在(2）的条件下，将抛物线232y x mx =+-在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ，再将图象G 向上平移n 个单位，若图象G 与过点（0，3）且与x 轴平行的直线有4个交点，直接写出n 的取值范围是 ．24．如图，直线MN 与线段AB 相交于点O , 点C 和点D 在直线MN 上，且45ACN BDN ∠=∠=︒.(1) 如图1所示，当点C 与点O 重合时 ，且AO OB =，请写出AC 与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转到如图2所示的位置，AO OB =，（1）中的AC与BD 的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到如图3，求ACBD的值．1xyOABCDEFxyO25． 已知抛物线214y x bx c =-++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，连结AC BC ，，D 是线段OB 上一动点，以CD 为一边向右侧作正方形CDEF ，连结BF ．若8O B C S ∆=，AC BC =．（1）求抛物线的解析式； （2）求证：BF AB ⊥； （3）求FBE ∠的度数；（4）当D 点沿x 轴正方向移动到点B 时，点E 也随着运动，则点E 所走过的路线长 是 ．顺义区2013届初三第二次统一练习数学试题参考答案及评分参考一、选择题 号 案二、填空题9. 3x ≠ ； 10．22S S >乙甲 ； 11．134； 12．6(63B ，32) ， 1(21,2)n n n B -- ． 三、解答题13．解：原式=3333443+⨯+- …………………………………………4分 =43 ……………………………………………… 5分 14． 解：方程两边同乘以(3)x -，得， ………………………………………… 1分213x x --=-． ………………………………………… 2分解方程得 2x =． ………………………………………… 3分 当2x =时，30x -≠ ……………………………… 4分所以，原方程的根为2x = …………………………………………5分15．解：原式= 222443(23)x x x x x x -+++---…………………………………… 3分 =22244323x x x x x x -+++-++=27x x ++ ………………………………………… 4分 ∵220x x +-= ， ∴22x x +=∴原式=2+7=9 ………………………………………………5分 16．证明：∵,,AM MN BN MN ⊥⊥∴ 90AMC CNB ∠=∠=︒ ……………………………………………1分90MAC ACM ∠+∠=︒ ∵ 90ACB ∠=︒∴ 90BCN ACM ∠+∠=︒ ∴ MAC BCN ∠=∠在AMC ∆和CNB ∆中∵AMC CNB MAC BCN AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩……………………………………………3分 ∴AMC ∆≌CNB ∆ …………………………………………… 4分 ∴AM CN = ……………………………………………5分17．解：设甲种帐篷x 顶，乙种帐篷y 顶 ……………………………………1分 依题意，得2008001000176000x y x y +=⎧⎨+=⎩ …………………………………3分解以上方程组，得x =120，y =80答：甲、乙两种帐篷分别是120顶和80顶. ………………………………5分18．（1）由已知可得点(1,0)B ，点(0,2)C …………1分 ∴1,2OB CO ==过点A 作AD x ⊥轴于点D∴ BOC ∆∽BDA ∆ …………………2分 ∴12CO OB BC AD DB AB === ∴ 24,22AD CO DB OB ====∴ 点(3,4)A - …………………………3分 设反比例函数解析式为(0)ky k x=≠，点(3,4)A -在图象上， ∴ 12k =-∴ 反比例函数的解析式为12y x=-…………………………………4分 （2） 点(5,0)P 或(3,0)P - ………………………………………………5分 19．解：过点B 作BF AC ⊥于F∵90ABC ACD ∠=∠=︒, 62AB BC ==， ∴ 6BF AF CF === …………………1分 90BFC ACD ∠=∠=︒∴BF ∥CD∴ FBE CDE ∠=∠ …………………… 2分∴ 2tan tan 3FBE CDE ∠=∠= 即23EF BF = ∴ 4EF =∴2,3EC CD == ……………………………3分 ∴222264213BE BF EF =+=+=22222313D E E C C D =+=+=∴313BD BE DE =+= ……………………………………4分(2) 114522ABD ABE ADE S S S AE BF AE CD ∆∆∆=+=⋅+⋅= ……………5分20．解：（1）证明：连接OBOA OB =，PA PB = ∴ OAB OBA ∠=∠，PAB PBA ∠=∠．∴OAB PAB OBA PBA ∠+∠=∠+∠．即PAO PBO ∠=∠． ………………1分 又∵PA 是O ⊙的切线，∴90PAO ∠=°∴90PBO ∠=°∴OB PB ⊥．又∵OB 是O ⊙的半径，∴PB 是O ⊙的切线． …………………2分（2）解：连接OP ，交AB 于点D ．∵PA PB =，OA OB =，∴点P 和点O 都在线段AB 的垂直平分线上． ∴OP 垂直平分线段AB ． ∴ AD BD = ∵OA OC =∴112OD BC ==……………………………………3分∵90PAO PDA ∠=∠=°，APO DPA ∠=∠ ∴APO DPA △∽△ ∴AP PO DP PA= ∴2AP PO DP =·．……………………………………4分∴()2PO PO OD AP -=即()2223PO PO -=，解得4PO =．在Rt APO △中，222OA PO PA =-=，即O ⊙的半径为2． …………………………………………5分21．解：（1）设甲学校学生获得100分的人数为x ．由题意和甲、乙学校学生成绩的统计图得O AB C PD12356x x =+++ 得2x =所以甲学校学生获得100分的人数有2人．图(略) …………………………………2分(2）由（1）可知： 甲学校的学生得分与 相应人数为：乙学校的学生得分与 相应人数为：所以，甲学校学生分数的中位数为90（分）．甲学校学生分数的平均数为 270380590210051585.823526x ⨯+⨯+⨯+⨯==≈+++甲（分）…………3分乙学校学生分数的中位数为80（分） 乙学校学生分数的平均数为 370480390210050025083.3343263x ⨯+⨯+⨯+⨯===≈+++乙（分） …4分由于甲学校学生分数的中位数和平均数都大于乙学校学生分数的中位数和平均 数，所以甲学校学生的数学竞赛成绩较好． ……………………5分22. 解:(1)作图 …………………………………………………………2分 (2 ) 5DEF S ∆= …………………………………………………………3分AC =2213…………………………………………………………5分 23．解：（1）∵△=2243(2)24m m -⨯⨯-=+，分数 70 80 90 100 人数 2 3 5 2分数 70 80 90 100 人数 3 4 32∴无论m 为任何实数，都有2240m ∆=+>………………………… 1分 ∴抛物线与x 轴总有两个交点． …………………………………… 2分（2）由题意可知：抛物线232y x mx =+-的开口向上，与y 轴交于（0，-2）点，∵方程2320x mx +-=的两根在-1与43之间， ∴当x =-1和43x =时，0y >． 即320,16420.33m m -->⎧⎪⎨+->⎪⎩ ………………………………………… 4分 解得 512m -<<． ………………………………………… 5分 因为 m 为整数，所以 m =-2，-1，0 ．当 m=-2时， 方程的判别式△=28，根为无理数，不合题意.当 m=-1时， 方程的判别式△=25，根为1221,3x x ==-，符合题意. 当 m=0时， 方程的判别式△=24，根为无理数，不合题意.综上所述 m =-1 . ………………………………………… 6分（3）n 的取值范围是11312n <<．………………………………… 7分 24.(1) ,AC BD AC BD =⊥ ； ………………………………………… 2分（2） 仍然成立.证明: 过点A 作AE MN ⊥于E ,过点B 作BF MN ⊥于F∴90AEO BFO ∠=∠=︒∵AOE BOF ∠=∠,AO OB =∴AOE ∆≌BOF ∆∴AE BF = ………………………………………… 3分∵45ACN BDN ∠=∠=︒ ∴2,2AC AE BD BF ==∴ AC BD = ………………………………………… 4分延长AC 与DB 的延长线相交点H∴45DCH ACN ∠=∠=︒又∵45BDN ∠=︒∴90CHD ∠=︒∴AC BD ⊥ ………………………………………… 5分(3) 过点A 作AE MN ⊥于E ,过点B 作BF MN ⊥于F易证 AOE ∆∽BOF ∆∴ AE AO BF OB=． ………………………………………… 6分 ∵ OB kAO =，∴ 1AO OB k=． 由（2）知 2,2AC AE BD BF ==．212AC AE AE BD BF k BF=== ．………………………………………7分 25. 解：（1）由AC BC =，可知此抛物线的对称轴是y 轴，即0b =所以(0,),(4,0)C c B c由182OBC S OB OC ∆=⨯⨯=，得4c = 抛物线解析式为 2144y x =-+ …………………………………………2分 （2）由（1）得(0,4),(4,0)C B所以224590ACB OCB ∠=∠=⨯︒=︒ ………………………………3分 在ADC ∆和BFC ∆中90ACD DCB BCF ∠=︒-∠=∠，,AC BC DC FC ==所以ADC ∆≌BFC ∆ ………………………………………… 4分 所以45FBC CAD ∠=∠=︒所以90ABF ABC CBF ∠=∠+∠=︒所以BF AB ⊥ …………………………………………5分（3）作EM x ⊥轴，交x 于点M易证ODC ∆≌DME ∆所以4DM OC ==，OD EM =又因为4OD OB BD BD DM BD BM =-=-=-=所以BM EM =因为90EMB ∠=︒所以45MBE MEB ∠=∠=︒ …………………………………………7分（4）由（3）知，点E 在定直线上当D 点沿x 轴正方向移动到点B 时，点E 所走过的路线长等于42BC = ………………………………8分。
北京市2013届中考数学二轮专题突破《圆中档题》课件(知识概括+典型例题点拨)
解：(1)证明：联结 OC. ∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA. ∵AC 平分∠PAE， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴AD∥OC. ∵CD⊥PA，∴∠ADC＝∠OCD＝90°， 即 CD⊥OC.∵点 C 在⊙O 上， ∴CD 是⊙O 的切线．
(2)过 O 作 OF⊥AB 于 F， ∴∠OFA＝90°. ∵AB＝8，∴AF＝4. 在 Rt△AFO 中，∠AFO＝90°，∴AO2＝42＋OF2. ∵∠FDC＝∠OFA＝∠DCO＝90°， ∴四边形 DFOC 是矩形， ∴OC＝DF，OF＝CD. ∵AD∶DC＝1∶3， ∴设 AD＝x，则 DC＝OF＝3x， OA＝OC＝DF＝DA＋AF＝x＋4， ∴(x＋4)2＝42＋(3x)2， 解得 x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝1.则 OA＝5. ∴⊙O 的半径是 5.
解：(1)证明：连接 OC， ∵OD⊥BC， ∴OC＝OB，CD＝BD， ∴△CDO≌△BDO， ∴∠COD＝∠BOD. 在△OCE 和△OBE 中， ∵OC＝OB ，∠COE＝∠BOE, OE＝OE， ∴△OCE≌△OBE， ∴∠OBE＝∠OCE＝90°， 即 OB⊥BE， ∴BE 与⊙O切，证明如下：联结 CO， ∵DM⊥AB，∴∠D＋∠A＝90°. ∵PD＝PC，∴∠D＝∠PCD. ∵OC＝OA，∴∠A＝∠OCA， ∴∠OCA＋∠PCD＝90°，∴PC⊥OC， ∴直线 PC 是⊙O 的切线．
(2)∵AN∥PC，∴∠NAC＝∠PCD＝∠D，AN⊥OC， 设垂足是 Q，则有 NQ＝AQ. 2 ∴Rt△CQA 中，tan∠QAC＝tanD＝ ， 2 设 CQ＝x，则 AQ＝ 2x， ∴OQ＝3－x. ∵OA2＝OQ2＋AQ2， ∴32＝(3－x)2＋( 2x)2，解得 x＝2， ∴AQ＝2 2， ∴AN＝2AQ＝4 2.
2013年北京中考二模第12题综汇(全)
2013年北京中考二模第12题综汇（13昌平二模）12．如图，从原点A 开始，以AB =1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC =2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD =4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE =8为直径画半圆，记为第4个半圆；……，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为 ，第n 个半圆的面积为 ．32π, 252n π-（13朝阳二模）12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 、y 轴分别交于点A 、B ，且A (-2，0)，B (0，1)，在直线 AB 上截取BB 1=AB ，过点B 1分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为点A 1 、C 1，得到矩形OA 1B 1C 1；在直线 AB 上截取B 1B 2= BB 1，过点B 2分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为点A 2 、C 2，得到矩形OA 2B 2C 2；在直线 AB 上截取B 2B 3= B 1B 2，过点B 3分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为点A 3 、C 3，得到矩形OA 3B 3C 3；……则第3个矩形OA 3B 3C 3的面积是 ；第n 个矩形OA n B n C n 的面积是 （用含n 的式子表示，n 是正整数）．.24，2n 2+2n（13东城二模）12. 如图，∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与 1ACD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分 线与1n A CD -∠的平分线交于点n A . 设A θ∠=, 则1A ∠＝ θ/2 ；n A ∠＝ θ/2^n .（13房山二模）12．观察下列等式：①23a a +=；②65a a +=；③127a a+=；④209a a +=…；则根据此规律第6个等式为 ，第n 个等式为 ．1342=+a a ； 122+=++n ann a . （13丰台二模）12．如图，在△OA 1B 1中，∠OA 1B 1=90°，OA 1= A 1B 1=1.以OOA 1B 2,⌒A 1B 2与1OB 相交于点2B ，设△OA 1B 1与扇形OA 1B 2之间的阴影部分的面积为B 2A 2⊥OA 1于点A 2，又以O 为圆心，2OA 为半径作扇形OA 2B 3，⌒A 2B 3 与1OB 相交于点3B 设△OA 2B 2与扇形OA 2B 3之间的阴影部分面积为2S ；1123按此规律继续操作，设△OA n B n 与扇形OA n B n +1之间的阴影部分面积为n S ．128π-； 2122n n π+-则S 1=___________； S n = ．（13海淀二模）12．已知：n x ，'n x 是关于x 的方程244=0n n n a x a x a n -+-1()n n a a +>的两个实数根，'n n x x <，其中n 为正整数，且1a =1．（1）11'x x -的值为 ；（2）当n 分别取1，2，⋅⋅⋅，2013时，相对应的有2013个方程，将这些方程的所有实数根按照从小到大的顺序排列，相邻两数的差恒为（11'x x -）的值，则20132012'x x -= 2；8048 ．（13门头沟二模）12．如图，将边长为2的正方形纸片ABCD 折叠，使点B落在CD 上，落点记为E （不与点C ，D 重合），点A 落在点F 处，折痕MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ．若12CE CD =，则BN 的长是 ，AM BN 的值 等于 ；若1CE CD n=（2n ≥，且n 为整数）， 示）．22(1)1n n -+则AM BN 的值等于 （用含n 的式子表（13密云二模）12如图1，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE ，它的面积为1；取△ABC和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，如图(2)中阴影部分；取△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1各边中点，连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A 4F 4B 4D 4C 4E 4的面积为_______1256__________．（13石景山二模）12．如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1，4，7，10，13，16，…的点作OA的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为,,,321s s s …，观察图中的规律，第4个黑色梯形的面积=4S ，第n (n 为正整数)个黑色梯形的面积=n S ．2123；）（71223-n ．（13西城二模）12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点点B 在x 轴的正半轴上，∠OAB =90°．⊙P 1是△OAB 的内切圆，且P 1的坐标为(3,1)．(1) OA 的长为 ，OB 的长为 ；(2) 点C 在OA 的延长线上，CD ∥AB 交x 轴于点D ．将⊙P 1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P 2，将⊙P 2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P 3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P 4，……⊙P n ．若⊙P 1，⊙P 2，……⊙P n 均在△OCD 的内部，且⊙P n 恰好与CD 相切，则此时OD 的长为 ．（用含n 的式子表示）2n +3A BCDEFMN 图1 D 图3（13顺义二模）12．正方形111A B C O ， 2221A B C C ,，3332A B C C ， …按如图所示的方式放置．点1A ，2A ，3A ，…和点1C ，2C ，3C …分别在直线(0)y kx b k =+>和x 轴上，已知点1(1,1)B ，2(3,2)B ，则点6B 的坐标是 ，点n B 的坐标是 ．6(63B ，32) ，1(21,2)n n n B -- ．（13大兴二模）12. 如图，已知EF 是O 的直径，把A ∠为60的直角三角板ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上，斜边AB 与O 交于点P ，点B 与点O 重合．将三角板ABC 沿OE 方向平移，使得点B 与点E 重合为止．设POF x ∠=，则x 的取值范围是 3060x ≤≤（13怀柔二模）12. 如12题图1个方向：东、南、西、北、东南、东北、西南、西北，方向线交点为O ，以O 为圆心、等距的圆由内向外分别称作1、2、3、……n.将点所处的圆和方向称作点的位置，例如M(2,西北)，N(5,南)，则P 点位置为（ ， ）.如12题图2，若将（1，东）标记为点A 1,在圆1上按逆时针方向旋转交点依次标记为A 2、A 3、…、A 8；到A 8后进入圆2，将（2，东）标记为A 9，继续在圆2上按逆时针方向旋转交点依次标记为A 10、A 11、…、A 16；到A 16后进入圆3，之后重复以上操作过程.则点A 25的位置为（ ， ），点A 2013的位置为（ ， ），点A 16n+2（n 为正整数）的位置为（ ， ），（3，东北），（4，东）,（252，西）,（2n+1，东北）A。
2013年北京中考数学试卷解析：计算题
2013年北京中考数学试卷解析：计算题23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx －2 m≠0 与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B.求点A，B的坐标；设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；若该抛物线在－2 x －1这一段位于直线l的上方，并且在2 x 3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式。
【考点】一次函数、二次函数综合题。
【难度】中等。
【点评】前两问都比较简单，第三问有一定难度，考察学生对于函数图象平移的理解，以及对于直线与抛物线位置关系的运用。
此题的关键在于临界点讨论需要同学们能够表示出临界点的坐标，带入直线解析式即可得到n的取值范围该题目在初三强化提高班讲座1 专题讲座第八章总复习讲座2 综合复习部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目十分相似，考查的知识点及解题方法完全相同。
【解析】24．在△ABC中，AB＝AC，BAC＝α，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.如图1，直接写出ABD的大小；如图2，BCE＝150°，ABE＝60 °，判断△ABE的形状并加以证明；在的条件下，连接DE，若DEC＝45°，求α的值。
【考点】二次函数综合题。
【难度】中等。
【点评】本题考查了二次函数的综合运用，该题目在初三强化提高班讲座1 专题讲座第八章总复习讲座2 综合复习部分做了专题讲解，中考原题与讲义中给出的题目十分相似，考查的知识点及解题方法完全相同。
【解析】25．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得APB＝60°，则称P为⊙C的关联点。
当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的关联点是＿＿＿＿＿＿＿；②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使GFO＝30 ，若直线l上的点P是⊙O的关联点，求m的取值范围；若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。
2013年北京市中考数学模拟试卷(三)
2013年北京市中考数学模拟试卷（三）2013年北京市中考数学模拟试卷（三）一、仔细选一选（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）1．（3分）（2007•湖州）下列四个点中，在双曲线上的点是（）23．（3分）（2008•绵阳）某几何体的三视图如下所示，则该几何体可以是（）．C D．4．（3分）Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于（）．C D．5．（3分）（2010•武清区二模）现有2008年奥运会福娃卡片20张，其中贝贝6张，京京5张，欢欢4张，迎迎3张，妮妮2张，每张卡片大小、质地均匀相同，将画有福娃的一面朝下反扣在桌子上，从中随机抽取一张，抽到京．C D．6．（3分）（2006•连云港）如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡角为α，则tanα的值为（）．C D．7．（3分）（2007•淮安）如图所示，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB中点，若OE=3，则菱形ABCD 的周长是（）9．（3分）（2008•南充）如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（）10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在（）二、填空题：（每小题4分，共16分）将答案直接写在该题目中的横线上.11．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=4，则cosA=_________．12．（4分）（2008•淮安）小华在解一元二次方程x2﹣4x=0时，只得出一个根是x=4，则被他漏掉的一个根x=_________．13．（4分）如图，⊙O的半径是10cm，弦AB的长是12cm，OC是⊙O的半径且OC⊥AB，垂足为D，则CD=_________ cm．14．（4分）（2007•赤峰）如图，半径为2的两圆⊙O1和⊙O2均与x轴相切于点O，反比例函数（k＞0）的图象与两圆分别交于点A，B，C，D，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留π）三、（第15题每小题12分，第16题6分，共18分）15．（12分）（1）计算：（）﹣1﹣20090+|﹣2|﹣（2）先化简，再求值，其中x=3．16．（6分）（2009•南充）如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．（1）求tan∠BOA的值；（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标；（3）将△OAB平移得到△O′A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点B'的坐标为（2，﹣2），在坐标系中作出△O′A′B′，并写出点O′、A′的坐标．四、（每小题8分，共16分）17．（8分）（2009•铁岭）小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．（1）用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．18．（8分）（2009•襄阳）为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A北偏西45°并距该岛20海里的B处待命．位于该岛正西方向C处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60°的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处？（结果精确到个位．参考数据：≈1.4，≈1.7）五、（每小题10分，共20分）19．（10分）（2009•重庆）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB的解析式．20．（10分）（2009•乐山）如图，一次函数y=﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y=（x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ=．（1）求k的值；（2）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．一、填空题：（每小题4分，共20分）21．（4分）（2007•江苏）将抛物线y=x2的图象向右平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为_________．22．（4分）（2007•大连）如图，A、B是双曲线的一个分支上的两点，且点B（a，b）在点A的右侧，则b的取值范围是_________．23．（4分）（2013•兰州）若，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是_________．24．（4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=5，AC，BD相交于O点，且∠BOC=60°，顺次连接等腰梯形各边中点所得四边形的周长是_________．25．（4分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．则弦AD的长是_________cm．二、（共8分）26．（8分）（2009•十堰）为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m，该村农户共有492户．（1）满足条件的方案共有几种？写出解答过程；（2）通过计算判断，哪种建造方案最省钱？三、（共10分）27．（10分）（2010•兰州）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=AB；（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值．四、（共12分）28．（12分）（2009•天水）如左图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．2013年北京市中考数学模拟试卷（三）参考答案与试题解析一、仔细选一选（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）1．（3分）（2007•湖州）下列四个点中，在双曲线上的点是（）得23．（3分）（2008•绵阳）某几何体的三视图如下所示，则该几何体可以是（）．C D．4．（3分）Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于（）．C D．cosA=设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出cosA=知，设==5．（3分）（2010•武清区二模）现有2008年奥运会福娃卡片20张，其中贝贝6张，京京5张，欢欢4张，迎迎3张，妮妮2张，每张卡片大小、质地均匀相同，将画有福娃的一面朝下反扣在桌子上，从中随机抽取一张，抽到京．C D．张，所以从中随机抽取一张，抽到京京的概率是6．（3分）（2006•连云港）如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡角为α，则tanα的值为（）．C D．=．7．（3分）（2007•淮安）如图所示，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB中点，若OE=3，则菱形ABCD 的周长是（）9．（3分）（2008•南充）如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（）D=10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在（）二、填空题：（每小题4分，共16分）将答案直接写在该题目中的横线上.11．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=4，则cosA=．，cosA==故答案为12．（4分）（2008•淮安）小华在解一元二次方程x2﹣4x=0时，只得出一个根是x=4，则被他漏掉的一个根x=0．13．（4分）如图，⊙O的半径是10cm，弦AB的长是12cm，OC是⊙O的半径且OC⊥AB，垂足为D，则CD=2cm cm．AB=×==8cm14．（4分）（2007•赤峰）如图，半径为2的两圆⊙O1和⊙O2均与x轴相切于点O，反比例函数（k＞0）的图象与两圆分别交于点A，B，C，D，则图中阴影部分的面积是2π．（结果保留π）三、（第15题每小题12分，第16题6分，共18分）15．（12分）（1）计算：（）﹣1﹣20090+|﹣2|﹣（2）先化简，再求值，其中x=3．（﹣1+，=．16．（6分）（2009•南充）如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．（1）求tan∠BOA的值；（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标；（3）将△OAB平移得到△O′A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点B'的坐标为（2，﹣2），在坐标系中作出△O′A′B′，并写出点O′、A′的坐标．BOA==．四、（每小题8分，共16分）17．（8分）（2009•铁岭）小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．（1）用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．=，，18．（8分）（2009•襄阳）为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A北偏西45°并距该岛20海里的B处待命．位于该岛正西方向C处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60°的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处？（结果精确到个位．参考数据：≈1.4，≈1.7）×=10．10≈五、（每小题10分，共20分）19．（10分）（2009•重庆）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB的解析式．ABO=y=3=．ABO=的坐标分别代入，得x+220．（10分）（2009•乐山）如图，一次函数y=﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y=（x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ=．（1）求k的值；（2）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．x可知1=一、填空题：（每小题4分，共20分）21．（4分）（2007•江苏）将抛物线y=x的图象向右平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为y=（x﹣3）．22．（4分）（2007•大连）如图，A、B是双曲线的一个分支上的两点，且点B（a，b）在点A的右侧，则b的取值范围是0＜b＜2．）代入求出双曲线的函数的表达式，再根据反比例函数的性质求出过b=23．（4分）（2013•兰州）若，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是k≤4且k≠0．，24．（4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=5，AC，BD相交于O点，且∠BOC=60°，顺次连接等腰梯形各边中点所得四边形的周长是16．OCB=（×=425．（4分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．则弦AD 的长是5cm．cm5二、（共8分）26．（8分）（2009•十堰）为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m，该村农户共有492户．（1）满足条件的方案共有几种？写出解答过程；（2）通过计算判断，哪种建造方案最省钱？依题意得：三、（共10分）27．（10分）（2010•兰州）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=AB；（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值．AB的中点，的直径，BM=2四、（共12分）28．（12分）（2009•天水）如左图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．ACO=，则（．时，点的坐标为（，﹣）的最大值为参与本试卷答题和审题的老师有：fuaisu；CJX；lanyan；zxw；bjf；137-hui；zhjh；ln_86；自由人；lanchong；csiya；MMCH；hbxglhl；Joyce；workholic；ZJX；心若在；bjy；孙廷茂；zhangCF；张长洪；zhehe；HLing；lk；算术；蓝月梦；星期八；nhx600；thx；zcx（排名不分先后）菁优网2014年2月27日。
圆的相关证明与计算--与切线有关的证明与计算(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
圆的相关证明与计算-中考数学重难点题型与切线有关的证明与计算（专题训练）1.如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，E 为AB 上一点，BE BC =，延长CE 交AD 于点D ，AD AC =．（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若1tan 3ACE ∠=，3OE =，求BC 的长．【答案】（1）见解析；（2）8【分析】（1）根据BE BC =，可得BEC BCE ∠=∠，根据对顶角相等可得AED BEC ∠=∠，进而可得BCE AED ∠=∠，根据AD AC =，可得ADC ACE ∠=∠，结合90ACB ∠=︒，根据角度的转化可得90AED D ∠+∠=︒，进而即可证明AD 是O 的切线；（2）根据ADC ACE ∠=∠，可得1tan tan 3EA D ACE DA ==∠=，设AE x =，则3AC AD x ==，分别求得,,AC AB BC ，进而根据勾股定理列出方程解方程可得x ，进而根据6BC x =+即可求得．【详解】（1） BE BC =，∴BEC BCE ∠=∠，AED BEC ∠=∠，∴BCE AED ∠=∠，AD AC =，∴ADC ACE ∠=∠，AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，90D AED ACD BCE ACB ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴AD 是O 的切线；（2）AD AC = ，∴ADC ACE ∠=∠，1tan tan 3EA D ACE DA ∴==∠=，设AE x =，则3AC AD x ==，3,336OB OA AE OE x BC BE OE OB x x ==+=+==+=++=+，226AB OA x ==+，在Rt ABC 中，222AC BC AB +=，即()()()2223626x x x ++=+，解得122,0x x ==（舍去），68BC x ∴=+=．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键．2.如图，ABC 内接于O ，AB AC =，AD 是O 的直径，交BC 于点E，过点D 作//DF BC ，交AB 的延长线于点F，连接BD ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）已知12AC =，15AF =，求DF 的长．【答案】（1）见解析；（2）DF =【分析】（1）由题意根据圆周角定理得出90ABC CBD ∠+∠=︒，结合同弧或等弧所对的圆周角相等并利用经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线进行证明即可；（2）根据题意利用相似三角形的判定即两个角分别相等的两个三角形相似得出FBD FDA ~△△，继而运用相似比FB FD FD FA =即可求出DF 的长．【详解】解：（1）证明：∵AD 是O 的直径∴90ABD ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）即90ABC CBD ∠+∠=︒∵AB AC=∴ABC C ∠=∠（等边对等角）∵ AB AB=∴ADB C ∠=∠（同弧或等弧所对的圆周角相等）∴ABC ADB∠=∠∵//BC DF ，∴CBD FDB∠=∠∴90ADB FDB ∠+∠=︒即90ADF ∠=︒∴AD DF⊥又∵AD 是O 的直径∴DF 是O 的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．（2）解：∵12AB AC ==，15AF =∴3BF AF AB =-=∵F F ∠=∠，90FBD FDA ∠=∠=∴FBD FDA ~△△（两个角分别相等的两个三角形相似）∴FB FD FD FA=，∴231545FD FB FA =⋅=⨯=∴DF =【点睛】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．3.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为AB 上一点，BD BC =，过点A 作AE AB ⊥交CD 的延长线于点E，CE 交O 于点G，连接AC，AG，在EA 的延长线上取点F，使2FCA E ∠=∠．（1）求证：CF 是O 的切线；（2）若6AC =，AG ，求O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据题意判定ADG DCB ∽，然后结合相似三角形的性质求得2AGD E ∠∠＝，从而可得FCA AGD ∠∠＝，然后结合等腰三角形的性质求得90FCO ∠︒＝，从而判定CF 是O 的切线；（2）由切线长定理可得AF CF ＝，从而可得2FAC E ∠∠＝，得到AC AE ＝，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．【详解】（1）证明：B AGC ∠∠ ＝，ADG CDB ∠∠＝，ADG DCB ∴ ∽，BD BC GD GA∴=，BD BC ＝，GD GA ∴＝，ADG DAG ∴∠∠＝，又AE AB ⊥ ，90EAD ∴∠︒＝，90GAE DAG E ADG ∴∠+∠∠+∠︒＝＝，GAE E ∴∠∠＝，AG DG EG ∴＝＝，2AGD E ∠∠＝，2FCA E ∠∠ ＝，FCA AGD B ∴∠∠∠＝＝，AB 是O 的直径，90CAB B ∴∠+∠︒＝，又OA OC Q ＝，ACO CAB ∴∠∠＝，90FCA ACO ∴∠+∠︒＝，90FCO ∴∠︒＝，即CF 是O 的切线；（2） CF 是O 的切线，AE AB ⊥，AF CF ∴＝，2FAC FCA E ∴∠∠∠＝＝，6AC AE ∴＝＝，又AG DG EG ＝＝在Rt ADE △中，2AD ===，设O 的半径为x，则2AB x ＝，22BD BC x＝＝﹣，在Rt ABC △中，2226222x x +（﹣）＝（），解得：5x ＝，O ∴ 的半径为5．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练4.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE⊥AD 交AD 的延长线于点E，延长EC，AB 交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE 为⊙O 的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）⊙O 的半径是4.5【分析】（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD 内接于⊙O，得CDE OBC ∠∠＝，再根据等量代换和直角三角形的性质可得90OCE ∠︒＝，由切线的判定可得结论；（2）如图2，过点O 作OG AE ⊥于G，连接OC，OD，则90OGE ∠︒＝，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC 是矩形，设⊙O 的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】（1）证明：如图1，连接OC，∵OB OC ＝，∴OCB OBC ∠∠＝，∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴180CDA ABC ∠+∠=︒又180CDE CDA ∠+∠=︒∴CDE OBC ∠∠＝，∵CE AD ⊥，∴90E CDE ECD ∠∠∠︒＝＋＝，∵ECD BCF ∠∠＝，∴90OCB BCF ∠∠︒＋＝，∴90OCE ∠︒＝，∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 为⊙O 的切线；（2）解：如图2，过点O 作OG AE ⊥于G，连接OC，OD，则90OGE ∠︒＝，∵90E OCE ∠∠︒＝＝，∴四边形OGEC 是矩形，∴OC EG OG EC ＝，＝，设⊙O 的半径为x，Rt△CDE 中，31CD DE ＝，＝，∴EC =∴OG =1GD xOD x ＝﹣，＝，由勾股定理得222OD OG DG +：＝，∴222(1)x x =+-，解得： 4.5x ＝，∴⊙O 的半径是4.5．【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．5.如图， ABC 内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD 与CO 的延长线交于点D．（1）求证：直线AD 是⊙O（2）若【答案】（1）见解析；（2）6π-【分析】（1）连接OA，证明OA⊥AD 即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明；（2）求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再根据特殊锐角三角函数求出∠BOC．【详解】解：（1）如图，连接OA 并延长交BC 于E，∵AB=AC，△ABC 内接于⊙O，∴AE 所在的直线是△ABC 的对称轴，也是⊙O 的对称轴，∴∠BAE=∠CAE，又∵∠MAD=∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE=180°，∴∠BAD+∠BAE=12×180°=90°，即AD⊥OA，∴AD 是⊙O 的切线；（2）连接OB，∴△AOD∽△EOC，∴AD OA EC OE =，由（1）可知AO 是ABC ∆的对称轴，OE ∴垂直平分BC ，132CE BC ∴==，设半径为r ，在Rt EOC ∆中，由勾股定理得，OE∴，解得6r =（取正值），经检验6r =是原方程的解，即6OB OC OA ===，又6BC = ，OBC ∴∆是等边三角形，60BOC ∴∠=︒，OE ==BOC BOC S S S ∆∴=-阴影部分扇形2606163602π⨯=-⨯⨯6π=-【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质，圆周角定理，三角形外接圆与外心，扇形面积的计算，灵活运用切线的判定方法是解题的关键．6.如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点D 作//DG BC ，DG 交线段AC 于点G，交AB 于点E，交⊙O 于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD 与⊙O 相切；（2）若AE＝OE，CF 平分∠ACB，BD＝12，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）如图1，延长DB 至H ，证明90ABD ∠=︒，即可根据切线的判定可得BD 与O 相切；（2）如图2，连接OF ，先根据圆周角定理证明OF AB ⊥，再证明EFO EDB △∽△，列比例式可得4OF =，即O 的半径为4，根据勾股定理可得DE 的长．【详解】（1）证明：如图1，延长DB 至H ，，DG BC//∴∠=∠，CBH D，∠=∠A D∴∠=∠，A CBH的直径，Q是OAB∴∠=︒，ACB90∴∠+∠=︒，A ABC90∴∠+∠=︒，90CBH ABC∴∠=︒，90ABD∴AB⊥BD，相切；∴与OBD（2）解：如图2，连接OF，CF平分ACB∠，∴∠=∠，ACF BCF∴=，AF BF∴∠AOF＝∠BOF＝90°，OF AB ∴⊥，BD AB ⊥ ，//OF BD ∴，EFO EDB ∴△∽△，∴OF OE BD BE=，AE OE = ，∴13OE EB =，∴1123OF =，4OF ∴=，4OA OB OF ∴===，246BE OE OB ∴=+=+=，DE ∴=．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第2问关键是证明EFO EDB △∽△．7.如图，在Rt△ACD 中，∠ACD＝90°，点O 在CD 上，作⊙O，使⊙O 与AD 相切于点B，⊙O 与CD 交于点E，过点D 作DF∥AC，交AO 的延长线于点F，且∠OAB＝∠F．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若OC＝3，DE＝2，求tan∠F 的值．【答案】（1）见详解；（2）12．【分析】（1）由题意，先证明OA 是∠BAC 的角平分线，然后得到BO=CO，即可得到结论成立；（2）由题意，先求出BD=4，OD=5，然后利用勾股定理求出6AB AC ==，10AD =，结合直角三角形ODF，即可求出tan∠F 的值．【详解】解：（1）∵DF∥AC，∴∠CAO=∠F，∵∠OAB＝∠F，∴∠CAO=∠OAB，∴OA 是∠BAC 的角平分线，∵AD 是⊙O 的切线，∴∠ABO=∠ACO=90°，∴BO=CO，又∵AC⊥OC，∴AC 是⊙O 的切线；（2）由题意，∵OC＝3，DE＝2，∴OD=5，OB=3，CD=8，∴4BD ==，由切线长定理，则AB=AC，设AB AC x ==，在直角三角形ACD 222AC CD AD +=，即2228(4)x x +=+，解得：6x =，∴6AB AC ==，6410AD =+=，∵∠OAB＝∠F，∴10DF AD ==，∵90FDO ACO ∠=∠=︒，∴51tan 102OD F DF ∠===．【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出所需的长度，从而进行解题．8.如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，以斜边AB 上的中线CD 为直径作O ，与BC 交于点M ，与AB 的另一个交点为E ，过M 作MN AB ⊥，垂足为N ．（1）求证：MN 是O 的切线；（2）若O 的直径为5，3sin 5B =，求ED 的长．【答案】（1）见解析；（2）75ED =．【解析】【分析】（1）欲证明MN 为⊙O 的切线，只要证明OM⊥MN．（2）连接,DM CE ，分别求出BD=5，BE=325，根据ED BE BD =-求解即可．【详解】（1）证明：连接OM ，OC OM = ，OCM OMC ∴∠=∠．在Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，12CD AB BD ∴==，DCB DBC ∴∠=∠，OMC DBC ∴∠=∠，//OM BD ∴，MN BD ⊥ ，MN OM ∴⊥，MN ∴是O 的切线．（2）连接,DM CE ，易知,DM BC CE AB ⊥⊥，由（1）可知5BD CD ==，故M 为BC 的中点，3sin 5B =，4cos 5B ∴=，在Rt BMD △中，cos 4BM BD B =⋅=，28BC BM ∴==．在Rt CEB 中，32cos 5BE BC B =⋅=，327555ED BE BD ∴=-=-=．【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．9.如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是半圆O 上不同于,A B 的两点,AD BC AC =与BD 相交于点,F BE 是半圆O 所任圆的切线，与AC 的延长线相交于点E ，()1求证：CBA DAB ∆∆≌；()2若,BE BF =求AC 平分DAB ∠．【答案】()1证明见解析；()2证明见解析．【解析】【分析】()1利用,AD BC =证明,ABD BAC ∠=∠利用AB 为直径，证明90,ADB BCA ∠=∠=︒结合已知条件可得结论；()2利用等腰三角形的性质证明：,EBC FBC ∠=∠再证明,CBF DAF ∠=∠利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明：,EBC CAB ∠=∠从而可得答案．【详解】()1证明：,AD BC = ,AD BC∴=,ABD BAC ∴∠=∠AB Q 为直径，90,ADB BCA ∴∠=∠=︒,AB BA = CBA DAB ∴ ≌．()2证明：,90,BE BF ACB =∠=︒ ,FBC EBC ∴∠=∠90,,ADC ACB DFA CFB ∠=∠=︒∠∠ ,DAF FBC EBC ∴∠=∠=∠BE 为半圆O 的切线，90,90,ABE ABC EBC ∴∠=︒∠+∠=︒90,ACB ∠=︒ 90,CAB ABC ∴∠+∠=︒,CAB EBC ∴∠=∠,DAF CAB ∴∠=∠AC ∴平分DAB ∠．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．10.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交 BC于点D，过点D 作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【详解】解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，AB为⊙O的直径，90,ACB∴∠=︒∵DE∥BC，∴∠E＝ACB=∠90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BF BA BD=，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，同时考查了相似三角形的判定与性质．（1）中判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”，有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”；（2）中能得△DBF∽△ABD是解题关键．11.如图，在⨀O中，AB为⨀O的直径，C为⨀O上一点，P是 BC的中点，过点P作AC的垂线，交AC 的延长线于点D．（1）求证：DP 是⨀O 的切线；（2）若AC=5，5sin 13APC ∠=,求AP 的长．【答案】（1）见解析；（2）AP=．【解析】【分析】（1）根据题意连接OP，直接利用切线的定理进行分析证明即可；（2）根据题意连接BC，交于OP 于点G，利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合分析计算即可.【详解】解：（1）证明：连接OP；∵OP=OA;∴∠1=∠2；又∵P 为 BC的中点；∴ PCPB =∴∠1=∠3；∴∠3=∠2；∴OP∥DA；∵∠D=90°；∴∠OPD=90°；又∵OP 为⨀O 半径；∴DP 为⨀O 的切线；（2）连接BC，交于OP 于点G；∵AB 是圆O 的直径；∴∠ACB 为直角；∵5sin 13APC ∠=∴sin∠ABC=513AC=5,则AB=13,半径为132由勾股定理的12=，那么CG=6又∵四边形DCGP 为矩形；∴GP=DC=6.5-2.5=4∴AD=5+4=9;在Rt△ADP ==.【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的切线定理和勾股定理以及三角函数和矩形的性质是解题的关键.12.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE ＝12，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA＝BC AC ＝tan∠BCE＝BE CE ＝12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC ＝CD AD ＝12，∵AD＝8，∴CD＝4．【点睛】本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．13.如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，CAB ∠的平分线AD 交 BC于点D ，过点D 作//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）过点D 作DF AB ⊥于点F ，连接BD ．若1OF =，2BF =，求BD 的长度．【答案】（1）见解析；（2）BD =【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC 得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB 的值，进而得出AF 和BA 的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD 2的值，求算术平方根即可得出BD 的值．【详解】解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD 平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°−∠E＝90°，∴DE 是⊙O 的切线；（2）因AB 为直径，则90ADB ∠=︒∵1OF =，2BF =∴OB=3∴4AF =，6BA =∵∠ADB=∠DFB=90°,∠B=∠B∴△DBF∽△ABD ∴BF BD BD AB=∴22612BD BF BA =⋅=⨯=所以BD ．【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．。
2013年北京市中考数学模拟试卷(2)
（第6题图）2013年北京市中考数学模拟试卷（2）学校 姓名 准考证号_________第I 卷（选择题 共32分）一、选择题（每小题4分，共32分）1、|-5|的值是（ ）A ．5 B.-5 C.15 D.15- 2、“2013北京市政府工作报告”提出：“推行新建住宅75 %节能标准，实施既有建筑节能改造1000万平方米，完成住宅供热计量改造6500万平方米。
”用科学计数法表示6500万是（ ） A ．3105.6⨯ B.21065⨯ C.7105.6⨯ D.7105.6-⨯3、已知△ABC 与△A 1B 1C 1相似，且AB ：A 1B 1=1 ：2，则△ABC 与△ABC 的面积比为（ ） A ．1 ：1 B.1 ：2 C ．1 ：4 D.1 ：84、如图1，将一个底面直径为12CM ，高为8CM 的圆柱形纸筒沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图的面积为（ ） A ．230cm B.230cm π C ．260cm π D.2120cm5、在一个不透明的袋子里装有两个红球和两个黄球，它们除颜色外都相同。
随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球。
两次都摸到黄球的概率是（ ） A ．21 B.31 C ．41 D.61 6、已知：如图，AB ∥CD ，直线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，∠FEB 的平分线交CD 于点M ，且∠CFE=120°，则，∠EMF 的度数为（ ）A ．30° B.40° C ．120° D.60° 7、某青年足球队12名队员的年龄情况如下：则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（ ）A ．19,20 B.19,19 C ．19,20.5 D.20,198、如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，若a b Rt GEF ∥，△从如图所示的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到EG 与BC 重合．运动过程中GEF △与矩形ABCD 重合部分．．．．的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）年龄（单位：岁） 18 21 20 22 19人数 1 2 3 2 4GDCEF ABba（第8题图）s tO A ．stOB ．C ．stOD ．stO（第4题图） BACO第II 卷（非选择题 共88分）二、填空题（每小题4分，共16分）9、把二次函数222+-=x x y 化为()k h x y +-=2的形式，结果为 .10、分解因式：x xy 92-= .11、如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长 米. 12、正方形O C B A 111，1222C C B A ，2333C C B A ， 按如图所示的方式放置.点 ,,,321A A A 和点 ,,,321C C C 分别在直线b kx y +=和x 轴上，已知点()()2,3,1,121B B ，则4B 的坐标 ，n B 的坐标 .三、解答题（每题5分，共30分）13、()︒--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-60tan 2183101π14、()⎩⎨⎧>+->-036514x x x15、已知02=-y x ，求()y x y xy x yx +∙++-2222的值。
2013北京市各城区初三数学二模代几综合题汇总
2013年北京市各区中考二模试题汇编之--------代几综合题2013年海淀二模25. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标是0,2()，过点A 作直线l 垂直y 轴，点B 是直线l 上异于点A 的一点，且ÐOBA =a .过点B 作直线l 的垂线m ，点C 在直线m 上，且在直线l 的下方，ÐOCB =2a .设点C 的坐标为x ,y ().（1） 判断△OBC 的形状，并加以证明；（2） 直接写出y 与x 的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （3） 延长CO 交（2）中所求函数的图象于点D .求证：CD =CO ×DO .2013年西城二模25．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 和抛物线W 交于A ，B 两点，其中点A 是抛物线W 的顶点．当点A 在直线l 上运动时，抛物线W 随点A 作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段AB 的长度保持不变． 应用上面的结论，解决下列问题：如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:2l y x =-．点A 是直线1l 上的一个动点，且点A 的横坐标为t ．以A 为顶点的抛物线21:C y x bx c =-++与直线1l 的另一个交点为点B ． (1) 当0t =时，求抛物线1C 的解析式和AB 的长；(2) 当点B 到直线OA 的距离达到最大时，直接写出此时点A 的坐标；(3) 过点A 作垂直于y 轴的直线交直线21:2l y x =于点C ．以C 为顶点的抛物线22:C y x mx n =++与直线2l 的另一个交点为点D ． ①当AC ⊥BD 时，求t 的值；②若以A ，B ，C ，D 为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的t 的取值范围．2013年石景山二模25．（1）如图1，把抛物线2y x =-平移后得到抛物线1C ，抛物线1C 经过点(4,0)A -和原点(0,0)O ，它的顶点为P ，图1图2 备用图它的对称轴与抛物线2y x =-交于点Q ，则抛物线1C 的解析式为____________；图中阴影部分的面积为_____． （2）若点C 为抛物线1C 上的动点，我们把90ACO ∠=时的△ACO 称为抛物线1C 的内接直角三角形.过点(1,0)B 做x 轴的垂线l ，抛物线1C 的内接直角三角形的两条直角边所在直线AC 、CO 与直线l 分别交于M 、N 两点，以MN 为直径的⊙D 与x 轴交于E 、F 两点,如图2.请问：当点C 在抛物线1C 上运动时，线段EF 的长度是否会发生变化？请写出并证明你的判断．2013年朝阳二模24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = ax 2+bx +4与x 轴交于点A (-2，0)、B (6，0)，与y 轴交于点C ，直线CD ∥x 轴，且与抛物线交于点D ，P 是抛物线上一动 点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 作PQ ⊥CD 于点Q ，将△CPQ 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α（0º﹤α﹤90º），当cos α=35，且旋转后点P 的对应点'P 恰好落在x 轴上时，求点P 的坐标．2013年门头沟二模25． 如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知矩形ABCD 的两个顶点B 、C 的坐标分别是B （1，0）、C （3，0）．直线AC 与y 轴交于点G （0，6）．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动．同时动点 Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P 、Q 的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ． （1）求直线AC 的解析式；（2）当t 为何值时，△CQE 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H ，使得以C 、Q 、E 、H 为顶点的四边形是菱形？图1图 2P Q E yxA B D O C G y x B A D C O 备用图y x B A D C O2013年顺义二模 25、已知抛物线c bx x y ++-=241与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于点C ，连结AC 、BC ，D 是线段OB 上一动点，以CD 为一边向右侧作正方形CDEF ，连结BF 。
北京市各区2013年中考二模试题分类汇编：切线与圆(含答案)
西城1．如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点E ． (1) 求证：DE ⊥AC ；(2) 连结OC 交DE 于点F ，若3sin 4∠=ABC ，求OFFC 的值．海淀2.如图，△ABC 中，E 是AC 上一点，且AE=AB ，BAC EBC ∠=∠21,以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，交EB 于点F .(1)求证：BC 与⊙O 相切； (2)若18,sin 4AB EBC =∠=,求AC 的长．东城3．如图，点A ，B ，C 分别是⊙O 上的点，∠B =60°，AC =3，CD 是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP =AC ． （1）求证：AP 是⊙O 的切线； （2）求PD 的长．朝阳4．如图，在△ABC 中，AC=BC ，D 是BC 上的一点，且满足∠BAD ＝12∠C ，以AD 为直径的⊙O 与AB 、AC 分别相交于点E 、F .（1）求证：直线BC 是⊙O 的切线； （2）连接EF ，若tan ∠AEF ＝43，AD ＝4，求BD 的长.房山5. 如图，在△ABC 中，∠ABC =∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ，点P 在AB 的延长线上，且∠CAB =2∠BCP .（1）求证：直线CP 是⊙O 的切线； （2）若BC =25，sin ∠BCP =55，求⊙O 的半径及△ACP 的周长.B怀柔7．已知：如图，在△ABC 中，BC =AC ，以BC 为直径的⊙O 与边AB 相交于点D ，DE ⊥AC ，垂足为点E ． ⑴判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； ⑵若⊙O 的直径为18，cosB =31，求DE 的长．解：大兴8．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD ⊥CD 于点D ．求证：（1）∠AOC =2∠ACD ；（2）AC 2＝AB ·AD ．丰台9．已知：如图，直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过点C 作CD ⊥PA ，垂足为点D ．（1）求证：CD 与⊙O 相切； （2）若tan ∠ACD =21，⊙O 的直径为10，求AB 的长．石景山10．如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E ．（1）求证：点E 为BC 中点； （2）若tan EDC =25，AD =5，求DE 的长． 解：7题图昌平11. 如图，点A 、B 、C 分别是⊙O 上的点，∠B =60°， CD 是⊙O的直径，P 是CD 延长线上的点，且AP =AC . （1）求证：AP 是⊙O 的切线；（2）若AC =3，求PD 的长.密云12．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E .（1）求证：AC 平分∠DAB ； （2）若∠B =60°，CD=AE 的长。
2013北京通州中考二模数学(含解析)
一、选择题（本题共 24 分，每小题 3 分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个 是符合题意的． ．． 1． 5 的绝对值是（ ） ． A． 5 B． 5 C．
1 5
D．
1 5
2．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约 3 亿 5 千万人．将数 350 000 000 用科学记数法表示为（ ） ． A． 35 107 B． 3.5 108 C． 0.35 109 D． 3.5 109 ） ．
1 ∴ OD AE 4 ， 2
y
1 ∴ 2 AE 4 ， 2
E
A
∴ AE 4 ． ∵ AB x 轴， y 轴⊥ x 轴， ∴四边形 AEOB 是矩形， ∴ OB AE 4 ， ∵ C 是 OB 的中点， ∴ OC 2 ， ∴ C 点的坐标为 (2 , 0) ． ∵一次函数 y2 ax b 的图象经过 C 、 D 两点，
A B C E D F
2 / 13
15．已知 a2 2a 1 ，求 2a(a 1) (a 2)(a 2) 的值．
16．用配方法解方程： x2 4 x 1 0 ．
17．如图，在平行四边形 ABCD 中， E 是对角线 AC 的中点， EF AD 于 F ， B 60 ， AB 4 ，
8 / 13
（ 2 ）小明的演讲答辩得分为
95 94 92 90 94 93 （分） ， 5
小明的民主测评得分为 70% 50 2 20% 50 1 80 （分） ， 小明的综合得分是 93 0.4 80 0.6 85.2 （分） ． （ 3 ）设小亮的演讲答辩得分为 x 分， 根据题意得： 0.4x 82 0.6≥85.2 ， 解得： x≥90 ． 答：小亮的演讲答辩得分至少要 90 分． 20． （ 1 ）证明：连接 OD 、 OE ． ∵ AB 是⊙ O 的直径，弦 DE 垂直平分半径 OA ，
2013北京中考数学试题、答案解析版
2013年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1. 在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）》中，北京市提出了总计约3 960亿元的投资计划。
将3 960用科学计数法表示应为 （ ) A 。
39。
6×102 B 。
3.96×103 C. 3。
96×104 D. 3.96×104 考点：科学记数法—表示较大的数分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤｜a ｜＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时,n 是负数． 解答：将3960用科学记数法表示为3。
96×103．故选B ．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤｜a|＜10,n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2.43-的倒数是 （ ）A. 34B. 43C. 43-D. 34-考点:倒数分析：据倒数的定义:若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数 解答:D点评：本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是： 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数,0没有倒数． 倒数的定义:若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2，3，4，5，从中随机摸出一个小球,其标号大于2的概率为（ ）A. 51 B 。
52 C 。
53 D. 54考点：概率公式分析：根据随机事件概率大小的求法,找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小． 解答：C点评：本题考查概率的求法与运用,一般方法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率n mA P)(，难度适中。
中考数学与圆的切线相关的证明与计算
中考数学与圆的切线相关的证明与计算圆的切线：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .一、圆的切线的判定及相关计算1.如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O，与BC 交于点D，点E 是弧BD 的中点，连接AE 交BC 于点F，∠ACB＝2∠BAE .求证：AC 是⊙O 的切线．例题1图【分析】连接AD，利用等弧所对圆周角相等及∠ACB＝2∠BAE 可得到∠BAD＝∠BCA，再结合直径所对圆周角为直角即可得证．证明：如解图，连接AD.例题1解图∵点E 是弧BD 的中点，∴弧BE ＝弧DE，∴∠1＝∠2 .∵∠BAD＝2∠1, ∠ACB＝2∠1，∴∠ACB＝∠BAD.∵AB为⊙O 直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∴∠DAC＋∠C＝90°.∵∠C＝∠BAD，∴∠DAC＋∠BAD＝90°.∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC. 又∵AB 是⊙O 的直径，∴AC 是⊙O 的切线．证明切线的常用方法：1．直线与圆有交点，“连半径，证垂直”．(1) 图中有90°角时，证垂直的方法如下：①利用等角代换：通过互余的两个角之间的等量代换得证；②利用平行线性质证明垂直：如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可；③利用三角形全等或相似：通过证明切线和其他两边围成的三角形与含90°的三角形全等或相似得证．(2)图中无90°角时：利用等腰三角形的性质，通过证明半径为所在等腰三角形底边的中线或角平分线，再根据“三线合一”的性质得证．2．直线与圆无交点，“作垂线，证相等”．2.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在⊙O 上，且弧AD＝弧CD , 过点D 作CB 的垂线，与CB 的延长线相交于点E，并与AB 的延长线相交于点F .(1) 求证：DF 是⊙O 的切线；(2) 若⊙O 的半径R＝5，AC＝8，求DF 的长．例题2图【解析】(1) 证明：如解图，连接DO 并延长，与AC 相交于点P.例题2解图∵弧AD = 弧CD，∴DP⊥AC.∴∠DPC＝90°.∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°.∵∠C＝90°.∴∠ODF＝90°，而点D 在⊙O 上，∴DF 是⊙O 的切线；(2) 解：例题2解图∵∠C＝90°，R＝5，∴AB＝2R＝10.在Rt△ABC 中，根据勾股定理可得，BC＝6 .∵∠DPC＋∠C＝180°，∴PD∥CE.∴∠CBA＝∠DOF.∵∠C＝∠ODF，∴△ABC ∽△FOD.∴CA / DF = BC / OD , 即8 / DF = 6 / 5 ,∴DF = 20 / 3 .类型二、切线性质的相关证明与计算3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点B 作⊙O 的切线DE，与AC 的延长线交于点D，作AE⊥AC 交DE 于点E .(1) 求证：∠BAD＝∠E；(2) 若⊙O 的半径为5，AC＝8，求BE 的长．例题3图【解析】(1) 证明：∵⊙O 与DE 相切于点B，AB 为⊙O 的直径，∴∠ABE＝90°.∴∠BAE＋∠E＝90°.又∵∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAE＝90°.∴∠BAD＝∠E；(2) 解：如解图，连接BC.例题3解图∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝8，AB＝2 ×5＝10 .∴在Rt△ACB 中，根据勾股定理可得BC = 6 .又∵∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAD＝∠E，∴△ABC ∽△EAB .∴AC / EB = BC / AB , 即8 / EB = 6 / 10 ,∴BE＝40 / 3 .4.如图，⊙O 的半径OA＝6，过点A 作⊙O 的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B 作BC∥OA，并与⊙O 交于点C，连接AC、CD.(1) 求证：DC∥AP；(2) 求AC 的长．例题4图【解析】(1) 证明：∵AP 是⊙O 的切线，∴∠OAP＝90°.∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD＝90°.∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO.∴DC∥AP；(2) 解：∵AO∥BC，OD＝OB，例题4解图∴如解图，延长AO 交DC 于点E，则AE⊥DC，OE＝1/2 BC，CE＝1/2 CD.在Rt△AOP 中，根据勾股定理可得：OP＝10.由(1) 知，△AOP∽△CBD，∴BD/OP = BC/OA = CD/AP , 即12/10 = BC/6 = DC/8 ,∴BC = 36/5 , DC = 48/5 .∴OE = 18/5 , CE = 24/5 , AE = OA + DE = 6 + 18/5 = 48/5 ,在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：AC = 24√5 / 5 .5.如图，AC 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的一条弦，AP 是⊙O 的切线．作BM＝AB，并与AP 交于点M，延长MB 交AC 于点E，交⊙O 于点D，连接AD.(1) 求证：AB＝BE；(2) 若⊙O 的半径R＝5，AB＝6，求AD 的长．例题5图【解析】(1) 证明：∵AP 是⊙O 的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEM＋∠AME＝90°. 又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE；(2) 解：如解图，连接BC.例题5解图∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝∠EAM＝90°，在Rt△ABC 中，AC＝10，AB＝6，根据勾股定理可得：BC = 8 . 由(1) 知，∠BAE＝∠AEB，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，AC/EM = BC/AM , 即10/2 = 8/AM ,∴AM = 48/5 .又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD.∴AD＝AM＝48/5 .。
《中考数学专题—与圆切线有关的计算和证明》教学设计
1《圆的切线的判定和性质》教学设计与反思学习目标：理解切线的判定定理和性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题．重（难）点预见重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目： 学习流程 一、揭示目标 二、自学指导 1.复习下列内容1、直线与圆的位置关系有几种？分别是那些关系？直线与圆的位置关系的判断方法有哪几种?2、直线与圆相切有哪几种判断方法？3、思考作图：已知：点A 为⊙o 上的一点，如和过点A 作⊙o 的切线呢？ 交流总结：根据直线要想与圆相切必须d=r,所以连接OA 过A 点作OA 的垂线 从作图中可以得出：经过_________________并且___________与这条半径的的直线是圆的切线 思考：如图所示，它的数学语言该怎样表示呢？4、思考探索；如图，直线l 与⊙O 相切于点A ，OA 是过切点的半径， 直线l 与半径OA 是否一定垂直？你能说明理由吗？ 小结：（1）圆的切线 （ ） 过切点的半径。
（2）一条直线若满足①过圆心，②过切点，③垂直于切线这三条中的（ ）两条，就必然满足第三条。
5、例题精析：例1、（教材103页例1）如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB,CA=CB,求证直线AB 是⊙O 的切线。
oCAB例2.如图，点D 是∠AOB 的平分线OC 上任意一点，过D 作DE ⊥OB 于E ，以DE 为半径作⊙D ，判断⊙D 与OA 的位置关系， 并证明你的结论。
（无点作垂线证半径）方法小结：如何证明一条直线是圆的切线 四、当堂检测1、下列说法正确的是（ ）A ．与圆有公共点的直线是圆的切线．B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线2、已知:如图,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C,点B 在圆上,且AB=BC, ∠A=30.求证:直线AB 是⊙O 的切线.ACD COA3.：如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。
2013北京中考一模数学各区圆的汇总
2013圆一模汇总燕山如图，△ABC 中，AC ＝B C 错误！未找到引用源。
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．以B C 为直径作⊙O 交错误！未找到引用源。
于点错误！未找到引用源。
，交错误！未找到引用源。
于点G ．作直线错误！未找到引用源。
交AC 错误！未找到引用源。
于点错误！未找到引用源。
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的延长线于点错误！未找到引用源。
．⑴求证：直线EF 是错误！未找到引用源。
的切线； ⑵若BC ＝6，AB ＝43，求DE 的长． 延庆如图，AB 是⊙O 的直径，AC 和BD 是它的两条切线，CO 平分∠ACD ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AC=2，BD=3，求AB 的长． 通州已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦．过点A 作∠BAC 的角平分线，交⊙O 于点D ，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线ED 是⊙O 的切线；OFEBADCGEA BC DOEO FO 的值．（2）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求昌平如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，延长AB 到E ，使BE =AB ，连接CE . （1）求证：直线CE 是⊙O 的切线；（2）连接OE 交BC 于点F ，若OF =2 , 求EF 的长.EDC BAO F通州已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦．过点A 作∠BAC 的角平分线，交⊙O 于点D ，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线ED 是⊙O 的切线； （2）连接EO ，交AD 于点F ，若5AC =3AB ，求EO FO的值．顺义如图，已知ABC △，以AC 为直径的O 交AB 于点D ，点E 为 AD 的中点，连结CE 交AB 于点F ，且BF BC =.（1）判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若O 的半为2,3cos 5B =,求CE 的长.EA BC DOF OEDC BACBE AOD 石景山如图，BD 为⊙O 的直径，AB =AC ，AD 交B C 于点E ，AE =1，ED =2. (1)求证：∠ABC =∠ADB ； (2)求AB 的长；(3)延长DB 到F ，使得BF =BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的 位置关系，并说明理由． 平谷如图，AB 是O ⊙的直径，点C 在O ⊙上，CAB ∠的平分线交O ⊙于点D ，过点D 作AC 的垂线交AC 的延长线于点E ，连接BC 交AD 于点F .（1）求证：ED 是O ⊙的切线； （2）若108AB AD ==，，求CF 的长. 密云如图，PA PB 、分别与O 相切于点A B 、，点M 在PB 上，且//OM AP ，MN AP ⊥，垂足为N ． （1）求证：=OM AN（2）若O 的半径=3R ，=9PA，求OM 的长．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，M 为AB 上一点，过点M 作DM ⊥AB ，交弦AC 于点E ，交⊙O 于点F ，且DC ＝DE ．（1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）如果DM ＝15，CE ＝10，5cos 13AEM ∠=，求⊙O 半径的长．怀柔如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC=PC ， ∠COB=2∠PCB.（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB=4，求MN ·MC 的值. 丰台已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连结DE ． （1）求证：DE 与⊙O 相切； （2）连结OE ，若cos ∠BAD =35，BE =143，求OE 的长．OE MF DC BACEOB AD已知：如图，过正方形ABCD 的顶点B 作直线BE 平行于对角线AC ，AE=AC （E ，C 均在AB 的同侧）. 求证：∠CAE=2∠BAE . 东城如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过O 作OE ⊥AC 于点E ，过点A 作⊙O 的切线 交OE 的延长线于点F ，连结CF 并延长交BA 的延长线于点P . （1）求证：PC 是⊙O 的切线.（2）若AB =4，AP ∶PC =1∶2，求CF 的长. 朝阳如图，⊙O 是△ABC 是的外接圆，BC 为⊙O 直径，作∠CAD =∠B ，且点D 在BC 的延长线上． (1)求证：直线AD 是⊙O 的切线； (2)若sin ∠CAD =24，⊙O 的半径为8，求CD 长．DABC OPO C BAI海淀已知：如图，在△ABC 中，AB AC =．以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E . (1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)延长DE 交BA 的延长线于点F .若6AB =，sin B =5,5求线段AF 的长.西城如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作FE ⊥AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ．(1) 求证：EF 与⊙O 相切；(2) 若AE=6，sin ∠CFD=35，求EB 的长．。
北京中考13年二模数学部分区23题及答案
13年二模23题部分区考题23．已知关于x 的一元二次方程x 2+(4-m )x +1-m = 0．（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）此方程有一个根是-3，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线y =x 2+(4-m )x +1-m向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y =x +b 与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b 的值．23. 已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线21122y x x =-上.（1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当a =1时，求△ABC 的面积；（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，请说明理由.23．已知关于x 的方程2(2)30x m x m --+-=. （1）求证：此方程总有两个实数根；（2）设抛物线2(2)3y x m x m =--+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y =-x 的对称点恰好是点M ，求m 的值.（备图）23. 已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m （m 为实数）. （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）求证：抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过x 轴上的一个定点；（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m 有两个不相等的整数根时，把抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．23．在平面直角坐标系xOy 中， A ，B 两点在函数11:(0)k C y x x=>的图象上，其中10k >．AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，且 AC =1．(1) 若1k =2，则AO 的长为 ，△BOD 的面积为 ；(2) 如图1，若点B 的横坐标为1k ，且11k >，当AO =AB 时，求1k 的值；(3) 如图2，OC =4，BE ⊥y 轴于点E ，函数22:(0)kC y x x=>的图象分别与线段BE ，BD 交于点M ，N ，其中210k k <<．将△OMN 的面积记为1S ，△BMN 的面积记为2S ，若12S S S =-，求S 与2k 的函数关系式以及Sy x O 23．已知：抛物线2(2)2y ax a x =+--过点(3,4)A ． （1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线2(2)2y ax a x =+--在直线1y =-下方的部分沿直线1y =-翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ．点()1,M m y 在图象G 上，且10y ≤．①求m 的取值范围；②若点()2,N m k y +也在图象G 上，且满足24y ≥恒成立，则k 的取值范围为 ．23．如图，抛物线2y x ax b =-++过点A （-1，0），B （3，0），其对称轴与x 轴的交点为C , 反比例函数ky x=（x >0，k 是常数）的图象经过抛物线的顶点D ． （1）求抛物线和反比例函数的解析式．（2）在线段DC 上任取一点E ，过点E 作x 轴平行线，交y 轴于点F 、交双曲线于点G ，联结DF 、DG 、FC 、GC ． ①若△DFG 的面积为4，求点G 的坐标； ②判断直线FC 和DG 的位置关系，请说明理由； ③当DF =GC 时，求直线DG 的函数解析式．解：23. （1）证明：∵△=()()2441m m ---.……………………………………………… 1分 =2412m m -+=()228m -+…………………………………………………………2分 ∴△＞0. …………………………………………………………………3分∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根.（2）把x =-3代入原方程，解得m =1. …………………………………………………4分 ∴23y x x =+.即23924y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.依题意，可知新的抛物线的解析式为239'24y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. ………………………5分即2'3y x x =+∵抛物线'y 与直线y x b =+只有一个公共点，∴23x x x b -=+..…………………………………………………………………6分 即240x x b --=. ∵△=0.∴()()2440b --⨯-=.解得b = -4. ……………………………………………………………………7分23．解：（1）由21122y x x =-=0，得01=x ，21x =． ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（1，0）． ········································· 2分 （2）当a =1时，得A （1，0）、B （2，1）、C （3，3）， ······································· 3分分别过点B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则有ABC S ∆=AFC S △ - AEB S △ - BEFC S 梯形=12（个单位面积）…………………………………4分 （3）如：)(3123y y y -=．∵22111112222y a a a a =⨯-⨯=-，()()2221122222y a a a a =⨯-⨯=-， ()()2231193332222y a a a a =⨯-⨯=-，又∵3（12y y -）=()()2211113222222a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=29322a a -． ·································································· 5分∴)(3123y y y -=． ···················································································· 6分23、（1）证明：22224(2)4(3)816(4)0b ac m m m m m ∆=-=---=-+=-≥，-----------1分∴此方程总有两个实数根.------------------------- 2分（2）解：抛物线2(2)3y x m x m =--+-与y 轴交点为M （0，3m -）．---------------------3分 抛物线与x 轴的交点为（1,0）和（3m -,0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0,1-）和（0, 3m -）.-----------------5分 由题意，可得：1333m m m -=--=-或，即m =2或m =3. -------------------------7分23．解：（1）22(2)4(1)m m m ∆=-+-=. ∵方程有两个不相等的实数根，∴0≠m .……………………………………………………………………………1分 ∵01≠-m ，∴m 的取值范围是01m m ≠≠且.………………………………………………………2分 （2）证明：令0=y 得，01)2()1(2=--+-x m x m .∴)1(2)2()1(2)2(2-±--=-±--=m mm m m m x . ∴1)1(221-=--+-=m m m x ，11)1(222-=-++-=m m m m x . …………………………………4分∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0,1-），（0,11-m ）.∴无论m 取何值，抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过定点（1,0-）.……5分 （3）∵1-=x 是整数 ∴只需11-m 是整数. ∵m 是整数，且01m m ≠≠且,∴2=m .…………………………………………………………………………6分 当2=m 时，抛物线为12-=x y ．把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为图1l861)3(22+-=--=x x x y .…………………………………………………7分23．解：(1) AO△BOD 的面积为 1； ………………………… 2分(2) ∵A ，B 两点在函数11:(0)k C y x x=>的图象上，∴点A ，B 的坐标分别为1(1,)k ，1(,1)k . ………………… 3分 ∵AO =AB ，由勾股定理得2211+=AO k ，22211(1)(1)=--+AB k k ， ∴2221111(1)(1)+=--+k k k .解得12k =12k = …………………………………………… 4分 ∵11k >，∴12k = ………………… 5分 (3) ∵OC =4，∴点A 的坐标为(1,4).∴14k =. 设点B 的坐标为4(,)m m ，∵BE ⊥y 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点D ， ∴四边形ODBE 为矩形，且=4ODBE S 四边形，点M 的纵坐标为4m，点N 的横坐标为m .∵点M ，N 在函数22:(0)k C y x x=>的图象上，∴点M 的坐标为24(,)4mk m，点N 的坐标为2(,)km m .∴2=2=OME OND k S S ∆∆. ∴222114=()(224)mk k S BM BN m mm⋅=--22(4)8k -=.∴12=S S S -222=(4)k S S ---22=42k S --.∴222222(4)14284k S k k k -=--⨯=-+， ………………………… 6分其中204k <<.∵2222211(2)144S k k k =-+=--+，而104-<，∴当22k =时，S 的最大值为1. …………………………………… 7分23解：（1）∵抛物线2(2)2y ax a x =+--过点(3,4)A ，∴93(2)24a a +--=． 解得 1a =．∴抛物线的解析式为22y x x =--． --------------2分（2）①当0y =时，220x x --=． ∴1x =-或2.∴抛物线与x 轴交于点(1,0)A -，(2,0)B .-----3分 当2y =-时，222x x --=-． ∴0x =或1．∴抛物线与直线2y =-交于点(0,2)C -, (1,2)D -.∴C ,D 关于直线1y =-的对称点'(0,0)C ，'(1,0)D .----4分 ∴根据图象可得1-≤m ≤0或1≤m ≤2．----------------5分 ②k 的取值范围为k ≥4或k ≤4-．----------------7分 23．解： （1）抛物线2y x ax b =-++过点A （-1，0），B （3，0）10930a b a a b --+=⎧∴⎨-++=⎩解得：23a b =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为223y x x =-++顶点(14)D ，函数(0ky x x=>，m 是常数）图象经过(14)D ，， 4k ∴=．…………………………………………………………………… 2分 （2）①设G 点的坐标为4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭m ，，据题意，可得E 点的坐标为41m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，F 点的坐标为40m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1m >，FG m ∴=，44DE m=-． 由△DFG 的面积为4，即14442m m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得3m =，∴点G 的坐标为433⎛⎫⎪⎝⎭，．………………………………………………… 3分②直线FC 和DG 平行.理由如下：方法1：利用相似三角形的性质.据题意，点C 的坐标为(10)，，1FE =，1m >，易得4EC m =，1EG m =-，44DE m=- 111G E m m EF -∴==-，4414DE m m CEm-==-． G E D EE F C E∴=． D E G F E C∠=∠ ∴△D E G ∽△FEC E D G E C F ∴∠=∠ //FC DG ∴ ………………………………………………… 5分方法2：利用正切值.据题意，点C 的坐标为(10)，，1FE =，1m >，易得4EC m=，1EG m =-， 1444G E m m DE m -∴==-，144FE mCE m==． tan tan EDG ECF ∴∠=∠E D G E CF ∴∠=∠ //FC DG ∴．③解：方法1： F C D G ∥，∴当FD CG =时，有两种情况： 当FD CG ∥时，四边形DFCG 是平行四边形， 由上题得，GE DEEF CE=1m =-，11m ∴-=，得2m =． ∴点G 的坐标是（2，2）．设直线DG 的函数解析式为y kx b =+，把点D G ，的坐标代入，得422k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得26.k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是26y x =-+．…………………………………… 6分 当FD 与CG 所在直线不平行时，四边形ADCB 是等腰梯形， 则DC FG =，4m ∴=，∴点G 的坐标是（4，1）．设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点D G ，的坐标代入，得414.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是5y x =-+．…………………………………… 7分综上所述，所求直线DG 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+． 方法2.在Rt ⊿DFE 中，1FE =，44DE m=-2222241(4)FD FE DE m∴=+=+-在Rt ⊿GEC 中，4EC m =，1EG m =-， 222224()(1)CG EC EG m m∴=+=+-FD CG = 22FD CG ∴=2241(4)m ∴+-224()(1)m m=+-解方程得：2m =或4m =当2m =时，点G 的坐标是（2，2）．设直线DG 的函数解析式为y kx b =+，把点D G ，的坐标代入， 得422k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得26.k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的函数解析式是26y x =-+． 当4m =时，∴点G 的坐标是（4，1）．设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点D G ，的坐标代入， 得414.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是5y x =-+．综上所述，所求直线DG 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+．注：不同解法酌情给分。
北京市各区2013年中考二模数学试题分类汇编(统计)及答案
初三数学分类试题—统计西城1．为了解“校本课程”开展情况，某校科研室随机选取了若干学生进行问卷调查(要求每位学生只能填写一种自己喜欢的课程)，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图：调查结果的条形统计图调查结果的扇形统计图请根据以上信息回答下列问题：(1) 参加问卷调查的学生共有人；(2) 在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为度；(3) 统计发现，填写“喜欢手工制作”的学生中，男生人数∶女生人数=1∶6．如果从所有参加问卷调查的学生中随机选取一名学生，那么这名学生是填写“喜欢手工制作”的女生的概率为．海淀2．北京市近年来大力发展绿地建设，2010年人均公共绿地面积比2005年增加了4平方米，以下是根据北京市常住人口调查数据和绿地面积的有关数据制作的统计图表的一部分．北京市人均公共绿地面积调查规划统计图北京市常住人口统计表（1）补全条形统计图，并在图中标明相应数据；（2）按照2013年的预测，预计2020年北京市常住人口将达到多少万人？（3）按照2013年的北京市常住人口预测，要完成2020年的北京市人均公共绿地面积规划，从2005年到2020年，北京市的公共绿地总面积需增加多少万平方米？东城3．某中学九（1）班同学为了解2013年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理.请解答以下问题：（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；（2）求该小区用水量不超过15吨的家庭占被调查家庭总数的百分比；（3）若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20吨的家庭大约有多少户？朝阳4．今年“五一”假期，小翔参加了学校团委组织的一项社会调查活动，了解他所在小区家庭的教育支出情况．调查中，小翔从他所在小区的500户家庭中，随机调查了40个家庭，并将调查结果制成了部分统计图表．（注：每组数据含最小值，不含最大值）根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）频数分布表中的a = ，b = ； （2）补全频数分布直方图；（3）请你估计该小区家庭中，教育支出不足1500元的家庭大约有多少户？房山5. 某学校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）1100 1300 1500 1700 1900 2100 2300 (元)教育支出频数分布表教育支出频数分布直方图请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）在这次问卷调查中，一共抽查了 名学生； （2）请将上面两幅统计图补充完整；（3）在图1中，“踢毽”部分所对应的圆心角为 度；（4）如果全校有1860名学生，请问全校学生中，最喜欢“球类”活动的学生约有多少人？ 门头沟6．某校为了了解该校初二年级学生阅读课外书籍的情况，随机抽取了该年级的部分学生，对他们某月阅读课外书籍的情况进行了调查，并根据调查的结果绘制了如下的统计图表．其它类别表1 阅读课外书籍人数分组统计表阅读课外书籍人数分组统计图图1人数阅读课外书籍人数分组所占百分比统计图图26%26%30%20%AB C D E F请你根据以上信息解答下列问题：（1）这次共调查了学生多少人？E 组人数在这次调查中所占的百分比是多少？（2）求出表1中a 的值，并补全图1；（3）若该年级共有学生300人，请你估计该年级在这月里阅读课外书籍的时间不少于12小时的学生约有多少人．怀柔7．第九届中国（北京）国际园林博览会2013年5月18日正式开幕，，前往参观的人非常多．为了解游客进园前等候检票的时间，赵普同学利用5月19日周末的时间，在当天9：00－10：00，随机调查了部分入园游客，统计了他们进园前等候检票的时间，并绘制成如下图表．表中“10~20”表示等候检票的时间大于或等于10min 而小于20min ，其它类同． （1）这里采用的调查方式是 ； （2）求表中a 的值，并请补全频数分布直方图；（3）在调查人数里，等候时间少于40min 的有 人； （4）此次调查中，中位数所在的时间段是 min ．解：（1）这里采用的调查方式是 ； （2）a = ，补全频数分布直方图在图上； （3） 人； （4） min ．大兴8．为了解某区九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取部分学生的体育成绩进阅读课外书籍人数分组统计图 等候时间（min ）行分段（A ：50分；B ：49~45分；C ：44~40分；D ：39~30分；E ：29~0分）统计如下：根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）在统计表中，a 的值为 ，b 的值为 ，并将统计图补充完整；（2）甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数. ”请问：甲同学的体育成绩应在什么分数段内？ （填相应分数段的字母）（3）如果把成绩在40分以上（含40分）定为优秀，那么该区今年10440名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数约有多少名？丰台9．6月5日是世界环境日，某城市在宣传“绿色环境城市”活动中，发布了一份2013年1至5月份空气质量抽样调查报告，随机抽查的30天中，空气质量的相关信息如下：分数段人数（人） 频率 A48 0.2 Ba 0.25 C84 0.35 D 36 bE 120.05学业考试体育成绩（分数段）统计表分数段学业考试体育成绩（分数段）统计表%请你根据统计图表提供的信息，解答以下问题（结果均取整数）： (1)请将图表补充完整；(2)请你根据抽样数据，通过计算，预测该城市一年(365天)中空气质量级别为优和良的天数大约共有多少天？石景山10．为了解某区九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取部分学生的体育成绩进行分段（A ：40分； B ：39－35分； C ：34－30分； D ：29－20分；E ：19－0分）统计如下：分数段 人数（人） 频率 A 48 0.2 B a 0.25 C 84 b D 36 0.15 E120.05根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）在统计表中，a 的值为_____，b 的值为______，并将统计图补充完整； （2）甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数. ”请问：甲同学的体育成绩应在什么分数段内？______（填相应分数段的字母）（3）如果把成绩在30分以上（含30分）定为优秀，那么该区今年2400名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数有多少名？解：分数段A C昌平11. 某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品. 美术社团从九年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图.4个班征集到的作品数量分布统计图4个班征集到的作品数量统计图班级图1 图2（1）直接回答美术社团所调查的4个班征集到作品共件，并把图1补充完整；（2）根据美术社团所调查的四个班征集作品的数量情况，估计全年级共征集到作品的数量为；（3）在全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生. 现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率.密云12．在暑期社会实践活动中，小明所在小组的同学与一家玩具生产厂家联系，给该厂组装玩具，该厂同意他们组装240套玩具．这些玩具分为A、B、C三种型号，它们的数量比例以及每人每小时组装各种型号玩具的数量如图所示．若每人组装同一种型号玩具的速度都相同，根据以上信息，完成下列填空：（1）从上述统计图可知，A型玩具有____________套，B型玩具有____________套，C型玩具有____________套．（2）若每人组装A型玩具16套与组装C型玩具12套所花的时间相同，那么a的值为____________，每人每小时能组装C型玩具____________套．顺义13．甲、乙两学校都选派相同人数的学生参加综合素质测试，测试结束后，发现每名参赛学生的成绩都是70分、80分、90分、100分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两学校的学生获得100分的人数也相等．根据甲学校学生成绩的条形统计图和乙学校学生成绩的扇形统计图，解答下列问题：（1）求甲学校学生获得100分的人数，并补全统计图；（2）分别求出甲、乙两学校学生这次综合素质测试所得分数的中位数和平均数，以此比较哪个学校的学生这次测试的成绩更好些．甲学校学生成绩的条形统计图乙学校学生成绩的扇形统计图213分数510090分分参考答案1．解：(1) 80；……………………………………………………………………1分(2) 54；……………………………………………………………………3分(3) 3 20．2. 解：（1）如下图:－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2分（2）205575%=2740÷（万人）.答：预计2020年北京市常住人口将达到2740万人.－－－－－－－－－－3分（3）274018154011=32380⨯-⨯（万平方米）.答：从2005年到2020年，北京市的公共绿地总面积需增加32380万平方米.3．解：（1）表格：从上往下依次是：12，0.08；图略；……3分（2）68％；……4分（3）120户. ……5分4．解：（1）a=3，b=0.075；……………………………………………………………2分（2）…………………………3分（3）500(0.050.15)100⨯+=.所以该小区家庭中，教育支出不足1500元的家庭大约有100户.…………5分5. 解：(1)200 ………1分(2)图略 ………3分 (3)54 ………4分 (4)744人 ………5分6．解：（1）这次共调查了学生50人，E 组人数在这次调查中所占的百分比是8％．（2）表1中a 的值是15， 补全图1．（3）54人．7． 解：（1）抽样调查或抽查（填“抽样”也可以）…………………………1分 （2）a =0.350频数分布直方图如下………………………3分（3）32 …………………………………………………………………4分 （4）20~30…………………………………………………………………5分 8．解：（1） 60 ， 0.15 (图略) ………………………………3分 （2） C ………………………………………………………4分 （3）0.8×10440=8352（名） ……………………………………5分 答：该市九年级考生中体育成绩为优秀的学生人数约有8352名.9. 解：（1）度微度级别20 %－－－－－－－－－－－－－3分如图，画图基本准确,每个统计图全部正确得1分.（2）365×(20％＋50％)≈256．答：该城市一年为优和良的天数大约共有256天．10．解：（1）60 ，0.35 ，补充后如右图：………………………… 3分（3）0.8×2400=1920（名）答：该区九年级考生中体育成绩为优秀的学生人数有1920名.…………………………5分1119．解：(1) 12. …………………………………………………………… 1分如图所示. ………………………………………………… 2分4个班征集到的作品数量统计图Array班级(2)42. ………………………………………………………………3分（3）列表如下: ……………………………………………………4分共有20种机会均等的结果，其中一男生一女生占12种，∴ P （一男生一女生）＝123=. ……………………5分12． （每空1分）(1)132，48，60；(2)4，6．13．解：（1）设甲学校学生获得100分的人数为x ．由题意和甲、乙学校学生成绩的统计图得12356x x =+++ 得2x =所以甲学校学生获得100分的人数有2人．图(略) …………………………………2分 (2）由（1）可知： 甲学校的学生得分与 相应人数为：乙学校的学生得分与相应人数为：所以，甲学校学生分数的中位数为90（分）．甲学校学生分数的平均数为 270380590210051585.823526x ⨯+⨯+⨯+⨯==≈+++甲（分）…………3分乙学校学生分数的中位数为80（分） 乙学校学生分数的平均数为 370480390210050025083.3343263x ⨯+⨯+⨯+⨯===≈+++乙（分） …4分由于甲学校学生分数的中位数和平均数都大于乙学校学生分数的中位数和平均 数，所以甲学校学生的数学竞赛成绩较好． ………。
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圆的切线与计算 2013年二模
20. 房山二，如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ，点P 在AB 的延长线上，且∠CAB=2∠BCP. （1）求证：直线CP 是⊙O 的切线；
（2）若BC=25
，sin ∠BCP=
5
5，求⊙O 的半径及△ACP
的周长.
20．丰台，已知：如图，直线P A 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一
点，且AC 平分∠P AE ，过点C 作CD ⊥P A ，垂足为点D ． （1）求证：CD 与⊙O 相切；
（2）若tan ∠ACD =2
1，⊙O 的直径为10，求AB 的长．
20．石，如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E ．
（1）求证：点E 为BC 中点； （2）若tan EDC =2
5，AD =5，求DE 的长．
解：
M
N
A
C
O
P B
第20题图
A B P O
C
D E
20．大，如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点D 作⊙O
的切线交BC 于点E ． （1）求证：点E 为BC 中点； （2）若tan ∠EDC =2
5，AD =5，求DE 的长．
解：
20．顺，已知：如图，O ⊙是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC =90°，
点P 是O ⊙外一点，PA 切O ⊙于点A ，且PA=PB ．
（1）求证：PB 是O ⊙的切线；
（2）已知P A =23，BC =2，求O ⊙的半径．
21．东，如图，点A ，B ，C 分别是⊙O 上的点，∠B =60°，AC =3，CD
是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP =AC ． （1）求证：AP 是⊙O 的切线； （2）求PD 的长．
O
A
B
C
P
20.昌， 如图，点A 、B 、C 分别是⊙O 上的点，∠B =60°， CD 是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的点，且AP =AC .
（1）求证：AP 是⊙O 的切线；（2）若AC =3，求PD 的长.
20．朝，如图，在△ABC 中，AC=BC ，D 是BC 上的一点，且满足∠BAD
＝
12
∠C ，以AD
为直径的⊙O 与AB 、AC 分别相交于点E 、F . （1）求证：直线BC 是⊙O 的切线； （2）连接EF ，若tan ∠AEF ＝43
，AD ＝4，求BD 的长.
20.海，如图，△ABC 中，E 是AC 上一点，且AE=AB ，BAC EBC ∠=∠2
1,以AB 为直径的
⊙O 交AC 于点D ，交EB 于点F . (1)求证：BC 与⊙O 相切； (2)若18,sin 4
A B E B C =∠=
,求AC 的长．
P
O
D
C
B
A
F
E O C
A
B
D
21．西，如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ， ⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点， 过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点E ． (1) 求证：DE ⊥AC ；
(2) 连结OC 交DE 于点F ，若3sin 4
∠=A B C
，求
O F F C
的值．
20．圆，如图，AB 是⊙O 的直径，C
是AB 延长线上一点，
点D 在⊙O 上，且∠A=30°，∠ABD =2∠BDC ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）过点O 作OF ∥AD ，分别交BD 、CD 于点E 、
F ．若OB =2，求 OE 和CF 的长．
20．密，如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互 相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E. （1）求证：AC 平分∠DAB ；
（2）若∠B=60°，CD=23，求AE 的长。
A
B
C
D
E F O。