2014人教A版数学必修一第2章《基本初等函数》(1)(1.1《指数与指数幂的运算》第1课时)示范教案
人教版A版必修一第二章基本初等函数指数函数2.1.1(一)
反思与感悟 根式化简或求值的两个注意点：(1)解决根式 的化简问题，首先要分清根式是奇次根式还是偶次根式， 然后运用根式的性质进行化简. (2)注意正确区分 a 和( a)n.
n
n
n
跟踪训练 2 化简 a ＋ 1－a4的结果是( C )
3
3
4
A.1 C.1或2a－1
B.2a－1 D.0
解析
故选C.
3
a3＋
4
a≤1 1 ， 4 1－a ＝a＋|1－a|＝ . 2a－1， a>1
探究点三 有限制条件的根式的化简
例 3 设－3<x<3，求 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9的值.
解 原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|
∵－3<x<3，∴当－3<x<1时， 原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2； 当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4，
(4) a－b2(a>b).
解 a－b2＝|a－b|＝a－b.
n n 反思与感悟 当 n 为偶数时， a 化简得到结果， 先取绝 对值，再由绝对值算具体的值，这样就避免出现错误.
跟踪训练1 5 －27 ________.
±4 ，－ 27 的 5 次 方 根 为 (1)16 的平方根为 ___
的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？
，
零的 n 次方根为零，记为 0＝0.
n
小结
一个数到底有没有 n 次方根，我们一定先考虑
被开方数到底是正数还是负数，还要分清 n 为奇数和
偶数这两种情况.
思考 3
n
n n 根据 n 次方根的意义，可得：( a) ＝a， a 表示
人教A版数学必修一第2章《基本初等函数》(1)(1.1《指数与指数幂的运算》第2课时)示范教案
河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修1第2章 基本初等函数（1）-1.示范教案（1.1 指数与指数幂的运算 第2课时）导入新课思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.思路2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂. 推进新课 新知探究 提出问题(1)整数指数幂的运算性质是什么？(2)观察以下式子,并总结出规律：a ＞0, ①510a=352)(a =a 2=a510;②8a =24)(a =a 4=a 28;③412a =443)(a =a 3=a412; ④210a=225)(a =a 5=a210.(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？435,357,57a ,n m x (x>0,m,n∈N *,且n>1).(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (5)你能推广到一般的情形吗？ 活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示.讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n =a·a·a·…·a,a 0=1(a≠0);00无意义; a -n=n a1(a≠0);a m ·a n =a m+n ;(a m )n =a mn ;(a n )m =a mn ;(ab)n =a n b n. (2)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2次方根.实质上①510a =a510,②8a =a 28,③412a =a412,④210a =a210结果的a 的指数是2,4,3,5分别写成了510,28,412,510,形式上变了,本质没变. 根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）. (3)利用(2)的规律,435=543,357=735,57a =a 57,n mx=x nm .(4)53的四次方根是543,75的三次方根是735,a 7的五次方根是a 57,x m的n 次方根是x nm . 结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.(5)如果a>0,那么a m的n 次方根可表示为na m=a n m ,即a nm =n a m(a>0,m,n∈N *,n>1).综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书: 规定:正数的正分数指数幂的意义是a mn =n a m(a>0,m,n∈N *,n>1).提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的? ②你能得出负分数指数幂的意义吗?③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a ＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果?⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢? 活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a ＞0的必要性,教师及时作出评价. 讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a -n=n a1(a≠0),n∈N *. ②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.规定:正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma 1(a>0,m,n∈N *,n>1).③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. ④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a mn =n m a (a>0,m,n∈N *,n>1),正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma 1(a>0,m,n∈N *,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢?如(-1)31=3-1=-1,(-1)62=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a ＞0的条件,比如式子3a 2=|a|32,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质:（1）a r ·a s =a r+s(a>0,r,s∈Q ),（2）(a r )s =a rs(a>0,r,s∈Q ),（3）(a·b)r =a r b r(a>0,b>0,r∈Q ).我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题.应用示例思路1 例1求值:①832;②2521-③(21)-5;④(8116)43-.活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52,21写成2-1,8116写成(32)4,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来. 解：①832=(23)32=2323⨯=22=4; ②2521-=(52)21-=5)21(2-⨯=5-1=51; ③(21)-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32; ④(8116)43-=(32))43(4-⨯=(32)-3=827.点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如832=328=364=4. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式.a 3·a ;a 2·32a ;3a a (a>0).活动：学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结. 解：a 3·a =a 3·a 21=a213+=a 27;a 2·32a =a 2·a 32=a232+=a 38;3a a =(a·a 31)21=(a 34)21=a 32.点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.例3计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a 32b 21)(-6a 21b 31)÷(-3a 61b 65); （2）(m 41n83-)8.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交流,其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注意符号,第（2）小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算,熟悉后可以简化步骤.解：（1）原式=［2×(-6)÷(-3)］a 612132-+b653121-+=4ab 0=4a;（2）(m 41n83-)8=(m 41)8(n83-)8=m841⨯n883⨯-=m 2n -3=32nm .点评：分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用. 变式训练 求值:(1)33·33·63;(2)6463)12527(nm . 解：(1)33·33·63=3·321·331·361=36131211+++=32=9；(2)6463)12527(nm =(6463)12527(n m =(646333)53(n m =646643643643)()5()()3(n m =42259n m =42259-n m . 例4计算下列各式:（1）(125253-)÷425; （2）322aa a ∙(a ＞0）.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第（1）小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答.解：（1）原式=(2531-12521)÷2541=(532-523)÷521 =52132--52123-=561-5=65-5;（2）322a a a ∙=32212aa a ∙=a32212--=a 65=65a .思路2例1比较5,311,6123的大小.活动：学生努力思考,积极交流,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一的根指数,才能进行比较,又因为根指数最大的是6,所以我们应化为六次根式,然后,只看被开方数的大小就可以了.解：因为5=635=6125,311=6121,而125＞123＞121,所以6125>6123>6121. 所以5>6123>311.点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法. 例2求下列各式的值:(1)432981⨯;(2)23×35.1×612.活动：学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由里往外432981⨯=421344)3(3⨯,对(2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进行评价.解：(1)432981⨯=［34×(334)21］41=(3324+)41=(3314)41=367=633;(2)63125.132⨯⨯=2×321×(23)31×(3×22)61=231311++·3613121++=2×3=6.例3计算下列各式的值: （1）［(a23-b 2)-1·(ab -3)21(b 21)7］31;（2）1112121-+-++--a a a aa;(3)14323)(---÷a b b a.活动：先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进行积的乘方,再进行同底数幂的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再进行同底数幂的乘法,对（2）把分数指数化为根式,然后通分化简,对（3）把根式化为分数指数,进行积的乘方,再进行同底数幂的运算. 解：(1)原式=(a23-b 2)31-(ab -3)61·(b 21)37=a 21b32-a 61b21-b 67=a6121+b672132+--=a 32b 0=a 32;另解：原式=(a 23b -2a 21b 23-·b 27)31=(a2123+b27232+--)31=(a 2b 0)31=a 32;（2）原式=11111-+-++a aa aa =)1(1-+a a a =)1(11-+-a a a a=)111(1-+-a a a= )1(2--a a =)1(2a a a-;（3）原式=（a 21b 32）-3÷(b -4a -1)21=a23-b -2÷b -2a21-=a2123+-b-2+2=a -1=a1. 例4已知a ＞0,对于0≤r≤8,r∈N *,式子(a )8-r·)1(4ar能化为关于a 的整数指数幂的情形有几种？活动：学生审题,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路,把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方,化为关于a 的指数幂的情形,再讨论,及时评价学生的作法.解：(a )8-r·)1(4ar=a 28r -·a4r -=a448rr --=a4316r -.16-3r 能被4整除才行,因此r=0,4,8时上式为关于a 的整数指数幂.点评：本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍.利用分数指数幂进行根式运算时,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式.例5已知f （x ）=e x －e -x ,g （x ）=e x +e -x.（1）求［f （x ）］2－［g （x ）］2的值； （2）设f （x ）f （y ）=4,g （x ）g （y ）=8,求)()(y x g y x g -+的值.活动：学生观察题目的特点,说出解题的办法,整体代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果学生有难度,教师可以提示引导,对（1）为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难以发现已知和未知的关系,可写出具体算式,予以探求.解：(1)［f （x ）］2－［g （x ）］2=［f （x ）+g （x ）］·［f （x ）－g （x ）］=（e x －e -x +e x +e -x ）（e x －e -x －e x －e -x ）=2e x （－2e -x ）=－4e 0=－4;另解：(1)［f （x ）］2－［g （x ）］2=(e x -e -x )2-(e x +e -x )2=e 2x -2e x e -x +e -2x-e 2x -2e x e -x -e -2x=-4e x -x=-4e 0=-4;(2)f （x ）·f（y ）=（e x －e -x ）（e y －e -y ）=e x +y+e -(x+y)－e x -y －e -(x-y)=g （x+y ）－g （x －y ）=4, 同理可得g （x ）g （y ）=g （x+y ）+g （x －y ）=8, 得方程组⎩⎨⎧=++=+8,y)-g(x y)g(x 4,y)-g(x -y)g(x 解得g （x+y ）=6,g （x －y ）=2.所以)()(y x g y x g -+=26=3.点评：将已知条件变形为关于所求量g （x+y ）与g （x －y ）的方程组,从而使问题得以解决,这种处理问题的方法在数学上称之为方程法,方程法所体现的数学思想即方程思想,是数学中重要的数学思想. 知能训练课本P 54练习 1、2、3. ［补充练习］教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答,教师巡视,启发,对做得好的同学给予表扬鼓励.1.(1)下列运算中,正确的是( ) A.a 2·a 3=a 6B.(-a 2)3=(-a 3)2C.(a -1)0=0D.(-a 2)3=-a 6(2)下列各式①42)4(n -,②412)4(+-n ③54a ,④45a （各式的n∈N ,a∈R ）中,有意义的是( )A.①②B.①③C.①②③④D.①③④ (3)24362346)()(a a ∙等于( )A.aB.a 2C.a 3D.a 4(4)把根式－232)(--b a 改写成分数指数幂的形式为( )A.-2(a-b)52-B.-2(a-b)25-C.-2(a52--b52-) D.-2(a25--b 25-)(5)化简（a 32b 21）（-3a 21b 31）÷（31a 61b 65）的结果是( )A.6aB.-aC.-9aD.9a 2.计算：(1)0.02731-－（－71）-2+25643－3-1+（2－1）0=________.(2)设5x=4,5y=2,则52x -y=________.3.已知x+y=12,xy=9且x ＜y,求21212121yx y x +-的值.答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)83.解：21212121yx y x +-=))(())((2121212121212121y x y x y x y x -+--=yx yy x x -+-21212. 因为x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27. 又因为x ＜y,所以x-y=-2×33=-63.所以原式36612--=33-. 拓展提升1.化简111113131313132---+++++-x xx x x x x x .活动：学生观察式子特点,考虑x 的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进行因式分解,根据本题的特点,注意到: x-1=(x 31)3-13=(x 31-1)·(x 32+x 31+1); x+1=(x 31)3+13=(x 31+1)·(x 32-x 31+1); x-x 31=x 31［(x 31)2-1］=x 31(x 31-1)(x 31+1). 构建解题思路教师适时启发提示.解：111113131313132---+++++-x xx x x x x x =111)(11)(3131323131333131323331---+++++-x x x x x x x x x=)1()1)(1(1)1)(1(1)1)(1(31313131313132312132313231-+--++-++++++-x x x x x x x x x x x x x=x 31-1+x 32-x 31+1-x 32-x 31=-x 31. 点拨:解这类题目,要注意运用以下公式,(a 21-b 21)(a 21+b 21)=a-b, (a 21±b 21)2=a±2a 21b 21+b, (a 31±b 31)(a 32 a 31b 31+b 32)=a±b.2.已知a 21+a21-=3,探究下列各式的值的求法.(1)a+a -1;(2)a 2+a -2;(3)21212323----aa a a .解：(1)将a 21+a21-=3,两边平方,得a+a -1+2=9,即a+a -1=7;(2)将a+a -1=7两边平方,得a 2+a -2+2=49,即a 2+a -2=47; (3)由于a 23-a23-=(a 21)3-(a21-)3,所以有21212323----aa a a =2121212112121))((-----++-aa a a a a a a =a+a -1+1=8.点拨:对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值. 课堂小结活动：教师,本节课同学们有哪些收获?请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间相互交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点:(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a mn =n a m(a>0,m,n∈N *,n>1),正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma 1(a>0,m,n∈N *,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. (3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r 、s,均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r+s(a>0,r,s∈Q ),②(a r )s =a rs(a>0,r,s∈Q ),③(a·b)r =a r b r(a>0,b>0,r∈Q ). (4)说明两点:①分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性,其中没有推出关系.②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因而分数指数幂与根式可以互化,也可以利用(a n)nm =nm n a⨯=a m来计算.作业课本P59习题2.1A组 2、4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用,分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生反复理解分数指数幂的意义,教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解,用观察、归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定,没有合理的解释,因此多安排一些练习,强化训练,巩固知识,要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.。
人教版高中数学必修1第二章知识点汇总 (1)
人教版高中数学必修一第二章知识点汇总第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．①这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．①n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．①正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ①()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈①()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．①负数和零没有对数．①对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ①减法：log log log a a aM M N N-= ①数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ①log a N a N =①log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ①换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；①从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；①将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．①函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．①若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．①一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．①过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．①单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．①奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．①图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠①顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠①两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．①已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ①若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ①当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ①对称轴位置：2bx a=- ①判别式：∆ ①端点函数值符号．①k ＜x 1≤x 2 ⇔①x 1≤x 2＜k ⇔①x 1＜k ＜x2 ⇔ af (k )＜0①k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔①有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合①k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由①推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （①）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ①若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ①若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ①02b x a->，则()M f p =(①)当0a <时(开口向下)xxxxx xx①若2b p a -<，则()M f p = ①若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ①若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ①02b x a->，则()mf p =．xfxf xfxxx。
人教A版数学必修一第2章《基本初等函数》(1)(1.1《指数与指数幂的运算》第1课时)示范教案
河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修1第2章 基本初等函数（1）-1.示范教案（1.1 指数与指数幂的运算 第1课时）本章教材分析教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题.本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=a x 的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）,通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=log a x 的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）;知道指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数（a ＞0,a≠1）,初步了解反函数的概念和f -1(x)的意义;通过实例了解幂函数的概念,结合五种具体函数y=x,y=x 2,y=x 3,y=x -1,y=x 21的图象,了解它们的变化情况.本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算整体设计我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫. 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.三维目标1.通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的能力.2.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.3.能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.4.通过训练及点评,让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解.(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质.(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值.教学难点:(1)分数指数幂及根式概念的理解.(2)有理指数幂性质的灵活应用.课时安排3课时教学过程第1课时指数与指数幂的运算(1)导入新课思路 1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化,又怎样判断它们所处的年代?(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的,第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的.教师板书本节课题:指数函数——指数与指数幂的运算.思路2.同学们,我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的,这就是我们本堂课研究的课题:指数函数——指数与指数幂的运算. 推进新课提出问题(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？(2)如x4=a,x5=a,x6=a根据上面的结论我们又能得到什么呢?(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?(4)可否用一个式子表达呢?活动：教师提示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的,对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子,对问题②的结论进行引申、推广,相互交流讨论后回答,教师及时启发学生,具体问题一般化,归纳类比出n次方根的概念,评价学生的思维. 讨论结果：(1)若x2=a,则x叫做a的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4的平方根为±2,负数没有平方根,同理,若x3=a,则x叫做a的立方根,一个数的立方根只有一个,如:-8的立方根为-2.(2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于a,则这个数叫a的四次方根.一个数的五次方等于a,则这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a,则这个数叫a的六次方根.(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,则这个数叫a的n次方根.(4)用一个式子表达是,若x n=a,则x叫a的n次方根.教师板书n次方根的意义:一般地,如果x n=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n＞1且n∈N*.可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.提出问题(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗?(多媒体显示以下题目).①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.(2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0,a6分别对应什么性质的数,有什么特点?(3)问题（2）中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢?(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢?活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念,求一个数a的n次方根,就是求出的那个数的n次方等于a,及时点拨学生,从数的分类考虑,可以把具体的数写出来,观察数的特点,对问题（2）中的结论,类比推广引申,考虑要全面,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：（1）因为±2的平方等于4,±2的立方等于8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,a2.（2）方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总的来看,这些数包括正数,负数和零.（3）一个数a的奇次方根只有一个,一个正数a的偶次方根有两个,是互为相反数.0的任何次方根都是0.（4）任何一个数a的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶次方是一个负数.类比前面的平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到n 次方根的性质:①当n 为偶数时,a 的n 次方根有两个,是互为相反数,正的n 次方根用n a 表示,如果是负数,负的n 次方根用n a -表示,正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0).②n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时a 的n 次方根用符号n a 表示.③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零.上面的文字语言可用下面的式子表示:a 为正数:⎪⎩⎪⎨⎧±.,,,n n a n a n a n a n 次方根有两个为的为偶数次方根有一个为的为奇数 a 为负数:⎪⎩⎪⎨⎧.,,,次方根不存在的为偶数次方根只有一个为的为奇数n a n a n a n n 零的n 次方根为零,记为n 0=0.可以看出数的平方根、立方根的性质是n 次方根的性质的特例.思考根据n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况?活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握,即正数的奇偶次方根,负数的奇次方根,零的任何次方根,这样才不重不漏,同时巡视学生,随机给出一个数,我们写出它的平方根,立方根,4次方根等,看是否有意义,注意观察方根的形式,及时纠正学生在举例过程中的问题. 解答：答案不唯一,比如,64的立方根是4,16的四次方根为±2,-27的5次方根为527-,而-27的4次方根不存在等.其中527-也表示方根,它类似于n a 的形式,现在我们给式子n a 一个名称——根式.根式的概念: 式子n a 叫根式,其中a 叫被开方数,n 叫根指数. 如327-中,3叫根指数,-27叫被开方数.思考n n a 表示a n 的n 次方根,等式n n a =a 一定成立吗？如果不一定成立,那么n n a 等于什么？ 活动：教师让学生注意讨论n 为奇偶数和a 的符号,充分让学生多举实例,分组讨论.教师点拨,注意归纳整理. 〔如33)3(-=327-=-3,44)8(-=|-8|=8〕.解答：根据n 次方根的意义,可得:(n a )n=a. 通过探究得到：n 为奇数,n n a =a.n 为偶数,n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a因此我们得到n 次方根的运算性质： ①(n a )n=a.先开方,再乘方（同次）,结果为被开方数. ②n 为奇数,n n a =a.先奇次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数.n 为偶数,n n a =|a|=a,⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 先偶次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数的绝对值.应用示例思路1例1求下列各式的值: (1)33)8(-;(2)2)10(-;(3)44)3(π-;(4)2)(b a -(a>b). 活动：求某些式子的值,首先考虑的应是什么,明确题目的要求是什么,都用到哪些知识,关键是啥,搞清这些之后,再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况,让学生展示结果,抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方根,可按方根的运算性质来解,首先要搞清楚运算顺序,目的是把被开方数的符号定准,然后看根指数是奇数还是偶数,如果是奇数,无需考虑符号,如果是偶数,开方的结果必须是非负数.解：(1)33)8(-=-8; (2)2)10(-=10; (3)44)3(π-=π-3; (4)2)(b a -=a-b(a>b).点评：不注意n 的奇偶性对式子n n a 的值的影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在理解的基础上,记准,记熟,会用,活用.变式训练求出下列各式的值: (1)77)2(-; (2)33)33(-a (a≤1); (3)44)33(-a .解：(1)77)2(-=-2, (2)33)33(-a (a≤1)=3a -3,(3)44)33(-a =⎩⎨⎧<-≥-.1,33,1,33a a a a点评：本题易错的是第(3)题,往往忽视a 与1大小的讨论,造成错解.思路2例1下列各式中正确的是( ) (1)44a =a; (2)62)2(-=32-;(3)a 0=1; (4)105)12(-=)12(-.活动：教师提示,这是一道选择题,本题考查n 次方根的运算性质,应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解,既要考虑被开方数,又要考虑根指数,严格按求方根的步骤,体会方根运算的实质,学生先思考哪些地方容易出错,再回答.解：(1)44a =a,考查n 次方根的运算性质,当n 为偶数时,应先写n n a =|a|,故本题错. (2)62)2(-=32-,本质上与上题相同,是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,结论为62)2(-=32,故本题错.(3)a 0=1是有条件的,即a≠0,故本题也错.(4)是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故本题正确.所以答案选(4).点评：本题由于考查n 次方根的运算性质与运算顺序,有时极易选错,选四个答案的情况都会有,因此解题时千万要细心. 例223++223-=_________活动：让同学们积极思考,交流讨论,本题乍一看内容与本节无关,但仔细一想,我们学习的内容是方根,这里是带有双重根号的式子,去掉一层根号,根据方根的运算求出结果是解题的关键,因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了,从何处入手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键,教师提示,引导学生解题的思路. 解：223+=2)2(221++=2)21(+=2+1. 223-=122)2(2+-=2)12(-=2-1. 所以223++223-=22.点评：不难看出223-与223+形式上有些特点,即是对称根式,是B A 2±形式的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式.思考上面的例2还有别的解法吗?活动：教师引导,去根号常常利用完全平方公式,有时平方差公式也可,同学们观察两个式子的特点,具有对称性,再考虑并交流讨论,一个是+,一个是-,去掉一层根号后,相加正好抵消.同时借助平方差,又可去掉根号,因此把两个式子的和看成一个整体,两边平方即可,探讨得另一种解法.另解：利用整体思想,x=223++223-,两边平方得x 2=3+22+3-22+2(223+)(223-)=6+222)22(3-=6+2=8,所以x=22.点评：对双重二次根式,特别是B A 2±形式的式子,我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式,问题迎刃而解,另外对B A B A 22-±+的式子,我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解.变式训练 若12a -a 2+=a-1，求a 的取值范围.解：因为12a -a 2+=a-1,而12a -a 2+=2)1(-a =|a-1|=a-1,即a-1≥0,所以a≥1.点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号,是解题的关键.知能训练(教师用多媒体显示在屏幕上)1.以下说法正确的是( )A.正数的n 次方根是一个正数B.负数的n 次方根是一个负数C.0的任何次方根都是零D.a 的n 次方根用n a 表示(以上n ＞1且n∈N *). 答案：C2.化简下列各式: (1)664;(2)42)3(-;(3)48x ;(4)636y x ;(5)2y)-(x .答案：(1)2;(2)9;(3)x 2;(4)|x|y ;(5)|x-y|.3.计算407407-++=__________. 解：407407-++=2222)2(252)5()2(252)5(+∙-++∙+ =22)25()25(-++=5+2+5-2- =25.答案：25拓展提升 问题：n n a =a 与(n a )n=a （n ＞1,n∈N ）哪一个是恒等式,为什么?请举例说明. 活动：组织学生结合前面的例题及其解答,进行分析讨论,解决这一问题要紧扣n 次方根的定义.通过归纳,得出问题结果,对a 是正数和零,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下.再对a 是负数,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论.解答：①（n a ）n=a （n ＞1,n∈N ）. 如果x n=a （n ＞1,且n∈N ）有意义,则无论n 是奇数或偶数,x=n a 一定是它的一个n 次方根,所以（n a ）n=a 恒成立. 例如：（43）4=3,33)5(-=－5. ②n n a =⎩⎨⎧.|,|,,为偶数当为奇数当n a n a当n 为奇数时,a∈R ,n n a =a 恒成立. 例如：552=2,55)2(-=－2.当n 为偶数时,a∈R ,a n ≥0,n n a 表示正的n 次方根或0,所以如果a≥0,那么n n a =a.例如443=3, 40=0；如果a ＜0,那么n n a =|a|=－a,如2(-3)=23=3. 即（n a na ）n =a （n ＞1,n∈N ）是恒等式,n n a =a （n ＞1,n∈N）是有条件的.点评：实质上是对n 次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解.课堂小结学生仔细交流讨论后,在笔记上写出本节课的学习收获,教师用多媒体显示在屏幕上.1.如果x n =a,那么x 叫a 的n 次方根,其中n ＞1且n∈N *.用式子n a 表示,式子n a 叫根式,其中a 叫被开方数,n 叫根指数.(1)当n 为偶数时,a 的n 次方根有两个,是互为相反数,正的n 次方根用n a 表示,如果是负数,负的n 次方根用-n a 表示,正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0).(2)n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时a 的n 次方根用符号n a 表示.(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零.2.掌握两个公式：n 为奇数时,(n a )n =a,n 为偶数时,n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 作业课本P 59习题2.1A 组 1.补充作业:1.化简下列各式： (1)681;(2)1532-;(3)48x ;(4)642b a .解：(1)681=643=323=39; (2)1532-=1552-=32-; (3)48x =442)(x =x 2; (4)642b a =622)|(|b a ∙=32||b a ∙.2.若5<a<8,则式子22)8()5(---a a 的值为__________.分析:因为5<a<8,所以22)8()5(---a a =a-5-8+a=2a-13.答案：2a-13. 3.625625-++=__________.分析：对双重二次根式,我们觉得难以下笔,我们考虑只有在开方的前提下才可能解出,由此提示我们想办法去掉一层根式, 不难看出625+=22)(3+=3+2. 同理625-=22)(3-=3-2.所以625++625-=23.答案：23设计感想学生已经学习了数的平方根和立方根,根式的内容是这些内容的推广,本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解,在引入根式的概念时,要结合已学内容,列举具体实例,根式n a 的讲解要分n 是奇数和偶数两种情况来进行,每种情况又分a>0,a<0,a=0三种情况,并结合具体例子讲解,因此设计了大量的类比和练习题目,要灵活处理这些题目,帮助学生加以理解,所以需要用多媒体信息技术服务教学.。
2014年新课标人教A版必修1数学2.1.1根式与分数指数幂随堂优化训练课件
(1) 3 (16)3 ； (2) 6 ( 3) 6 ； (3) 3.14－π2＋ 3.14＋π2. 解：(1) 3 (16)3 ＝－16. (2) 6 ( 3) 6 ＝|－3|＝3. (3) 3.14－π2＋ 3.14＋π2＝|3.14－π|＋|3.14＋π|＝2π.
2.化简：
题型 3 分数指数幂与根式的互化 【例 3】 将下列分数指数幂化为根式(其中 a>0)：
4 3 1 2 3 2 5 2
(1)5 ；
4 3
(2)2 ；
(3)a ；
(4)a .
思维突破：根据分数指数幂的意义计算.
解：(1)5 ＝ 3 54 . 2 (2)2 ＝ 2 .
1 2
(3)a ＝ a3. 1 (4)a ＝ 5. a
依此类推，若 xn＝a，那么 x 叫做 a 的______________. 答案：二次方根 立方根 四次方根
n 次方根
2.计算( 3)2，3 43 ，n (2) n .从特殊到一般， 思考( n a )n，n a n 的结果.
答案：( 3)2＝3， 3 43 ＝4， n (2) n
－2，n为奇数， ＝ 2，n为偶数.
a
－a
a≥0， (n 为大于 1 a＜0
2 －7 练习 2： 3 (7)3 ＝________ ； 4 (2) 4 ＝________.
3.分数指数幂的意义 正分数 指数幂
m a 规定： a ＝________(a>0，m，n∈N*， 且 n>1)
m n
n
分 1 数 m n am 指 负分数 规定： a n ＝ 1m ＝____________( a>0，m， an 数 指数幂 * n ∈ N ，且 n>1) 幂 0 0 的正分数指数幂等于____________ ， 性质 没有意义 0的负分数指数幂____________
高中数学 人教A版 必修一 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数(2)
在(-∞,+∞)上↘
当x>0时，0<y<1 当x<0时，y>1
图象过定点(0,1) ，即x＝0时，y＝1；
一、复习回顾
1、当a (1,+)时，y ax (a 0且a 1)是R上的 增函数。这时，当x (0, +)时, y 1。
2、指数函数y (2a 1)x 在(, )上是减函数，
则实数a的取值范围是
解： 原不等式等价于6x2 x-2 60；
∵y＝6x是R上的增函数
∴原不等式等价于 x2+x-2<0 解之得 -2<x<1
∴原不等式的解集为 (-2，1)
➢方法总结：
化成同底 指数式
利用指数函数 的单调性化成 熟悉的不等式
解不等式
二、应用举例
例2、解关于x的不等式 6x2x-2 1。
变式、
1 2
解：(3)由指数函数的性质知: 1.7 0.3 ﹥1.7 0 =1， 0.9 3.1﹤0.9 0 =1,
即 1.7 0.3﹥1，0.9 3.1﹤1 ∴1.7 0.3﹥ 0.9 3.1
利用指数函数的单调性来比较函数值 注意中间值“1”的作用！
二、应用举例
例1、比较下列各题中两个值的大小 (1) 1.72.5 和 1.73 ；(2) 0.8–0.1 和 0.8–0.2 ； (3) 1.70.3 和 0.93.1
一、复习回顾
1、指数函数的定义
函数 y a x (a 0且a 1) 叫做指数函数，
其中 x 是自变量，函数的定义域是 R。
2、指数函数的图像和性质
函数
图象
定义域
值域 单调性
备注
y=ax(a>0且a≠1)
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)1.1指数与指数幂的运算基础训练(含解析)新人教A版必修1
指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算基础过关练题组一 根式的概念及其性质1.(2020福建三明第一中学高一月考)下列各式正确的是 ( )A.√(-3)2=3B.√a 44=a C.(√-23)3=2D.√(-2)33=22.若2<a <3,则√(2-a )2+√(3-a )44的化简结果是( )a a 53.已知xy ≠0且√4a 2a 2=2xy ,则有 ( )A .xy <0B .xy >0C .x >0,y >0D .x <0,y >04.若√a 2+2a +1+√a 2+6a +9=0,则(x2019)y= .5.已知a <b <0,n >1,n ∈N *,化简√(a -a )aa+√(a +a )aa.题组二 分数指数幂及其运算6.(2020广东佛山一中高一月考)下列运算结果中,一定正确的是 ( )A.a 3·a 4=a 7B.(-a 2)3=a 6C.√a 88=aD.√(-π)55=π7.(2020广东佛山一中高一上第一次段考)√a ·√a 3的分数指数幂表示为 ( )A.a 12B.a 32C.a 34D.都不对8.(2020浙江高一月考)计算:π0+22×(94)12= ;化简:(√√a 963)4(√√a 936)4= .9.化简下列各式.(1)√23√56√34;(2)(a 23·a 14·z 1)·(x 1·a 34·z 3)-13; (3)(14)2+(6√6)-13+√3+√2√3-√2(1.03)0×(-√62). 题组三 条件求值问题10.已知x =1+2b ,y =1+2b,若用x 表示y ,则y = ( )A.a +1a -1B.a +1aC.a -1a +1D.a a -111.(2020山东师范大学附属中学高一月考)已知a ,b ∈R,若8a=223b,则a +b = . 12.已知x =27,y =64,化简并计算:5a -23a 12(-14a -1a 12)·(-56a 13a 16).13.(2020浙江塘栖中学高一期末)若a 12+a -12=3,求下列代数式的值. (1)x 2x 2; (2)a 32a -32.能力提升练一、选择题1.(2020安徽屯溪一中高一上期中,)若a <14,则化简√(4a -1)24的结果是( )A.√4a -1B.√1-4a√4a -1 √1-4a2.(2020河北衡水安平中学高一月考,)设α,β是方程2x 2+3x +1=0的两根,则(14)a +a的值为 ( )B.18183.(2020河南鹤壁高中高三月考,)已知a +a 1=3,则下列各式中正确的个数是 ( )①a 2+a 2=7;②a 3+a 3=18; ③a 12+a -12=±√5;④a √a +a√a=2√5.4.(2020广东深圳中学高一月考,)若a +b =a 13,ab =16a 23(m >0),则a 3+b 3=( )B.a2a2D.3a 2二、填空题5.(2020湖南邵阳第十一中学高一期中,)设2x =8y +1,9y =3x 9,则x +y = .6.()已知a =3,则11+a 14+11-a 14+21+a 12+41+a 的值为 .7.()(√3+√2)2020×(√3√2)2021= .三、解答题8.(2020山西晋中平遥二中高一月考,)(1)(√8)-23×(√1023)92÷√105;(2)2×(√23×√3)6+(√2√2)434×(1649)-12√24×80.25+(2019)0.9.(2020甘肃兰州一中高一月考,)(1)计算:(0.0081)-143×7801×810.25+278-13-12;(2)已知a 12+a -12=3,求a 2+a 2的值.10.()已知x =12,y =23,求√a +√a √a -√a √a -√a√a +√a的值.11.(2020云南丽江高一月考,)已知方程x 28x +4=0的两根分别为x 1,x 2(x 1<x 2).(1)求a 1-2a 2-2的值;(2)求x 1-12x 2-12的值.答案全解全析 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算基础过关练1.C 对于A 选项,√(-3)2=3,故A 选项错误;对于B 选项,√a 44=|a |,故B 选项错误;对于C 选项,(√-23)3=2,故C 选项正确;对于D 选项,√(-2)33=2,故D 选项错误.故选C .2.C 原式=|2a |+|3a |, ∵2<a <3,∴原式=a 2+3a =1.3.A 因为xy ≠0且√4a 2a 2=2xy ,所以xy <0.4.答案 1解析 因为√a 2+2a +1+√a 2+6a +9=0,所以√(a +1)2+√(a +3)2=|x +1|+|y +3|=0,所以x =1,y =3.所以(x2019)y=[(1)2019]3=(1)3=1.5.解析 当n 是奇数时,原式=(ab )+(a +b )=2a ; 当n 是偶数时,因为a <b <0,所以ab <0,a +b <0, 所以原式=|ab |+|a +b | =(ba )+(ab )=2a.所以√(a -a )aa+√(a +a )aa={2a ,a 为奇数,-2a ,a 为偶数(n >1,n ∈N *). 6.A a 3a 4=a 3+4=a 7,故A 正确;(a 2)3=a 6,故B 不正确;√a 88=|a |,故C 不正确;√(-π)55=π,故D 不正确.故选A .7.A 原式=√a ·a 123=√a 323=(a 32)13=a 12,故选A . 8.答案118;a 4解析 根据指数幂的运算,化简可得 π0+22×(94)12=1+14×32=118. 由根式与指数幂的转化,可得(√√a 9634(√√a 9364=(√a 963)4(√a 36)4=(a96×3)4(a 36)4=a9×46×3·a3×46=a 2·a 2=a 4. 方法点拨 根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子.9.解析 (1)原式=a 13a 23a 56a 34=a 13-56a 23-34=a -12a -112.(2)原式=(a 23a 14z 1)·(a 13a -14z 1)=a23+13a 14-14z 11=xz 2.(3)原式=116+√6+(√3+√2)21×(-√62)=116+√6+5+2√6+√62=81+56√616. 10.D 由x =1+2b,得2b=x 1, ∴y =1+2b=1+12a =1+1a -1=aa -1.11.答案 23解析 8a=223b⇒23a=223b⇒3a =23b ⇒a +b =23.12.解析 原式=5a -23a 12524a -23a 23=24a -16.将y =64代入,得原式=24×64-16=24×(26)-16=24×21=12.13.解析 (1)因为a 12+a -12=3,所以(a 12+a -12)2=9,整理得x +x 1=7,令t =a 12a -12,则t 2=(a 12-a -12)2=x +x 12=5,所以a 12a -12=±√5, 所以x 2x 2=(x +x 1)·(xx 1)=(x +x 1)·(a 12+a -12)(a 12a -12) =7×3×(±√5)=±21√5.(2)a 32a -32=(a 12a -12)·(x +x 1+1)=±8√5.能力提升练一、选择题1.B ∵a <14,∴4a 1<0, ∴√(4a -1)24=√1-4a .故选B . 2.A 由题意可知α+β=32,则(14)a +a=(14)-32=432=√43=8,故选A .3.C ①a 2+a 2=(a +a -1)22=92=7,正确; ②a 3+a 3=(a +a 1)(a 21+a 2)=3×(71)=18,正确;③因为a +a 1=3,所以a >0,所以a 12+a -12>0,又(a 12+a -12)2=a +2+a 1=5,所以a 12+a -12=√5,故错误; ④a √a +a √a=a 32+a -32=(a 12+a -12)(a 1+a 1)=√5×(31)=2√5,正确.故选C .4.B a 3+b 3=(a +b )(a 2ab +b 2) =(a +b )[(a +b )23ab ] =a 13·(a 23-12a 23)=a2.故选B .二、填空题 5.答案 27解析 由2x =8y +1得2x =23y +3,所以x =3y +3①. 由9y=3x 9得32y=3x 9, 所以2y =x 9②. 由①②,得x =21,y =6, 所以x +y =27.6.答案 1 解析11+a 14+11-a 14+21+a 12+41+a=2(1+a 14)(1-a 14)+21+a 12+41+a=21-a 12+21+a 12+41+a=4(1-a 12)(1+a 12)+41+a =41-a +41+a =8(1-a )(1+a )=81-a 2.因为a =3,所以原式=1. 7.答案 √3√2 解析 (√3+√2)2020×(√3√2)2021=[(√3+√2)(√3√2)]2020×(√3√2)=12020×(√3√2)=√3√2.三、解答题8.解析 (1)原式=(232)-23×(1023)92÷1052=21×103×10-52=21×1012=√102. (2)原式=2×(213×312)6+(212×214)434×74214×234+1=2×22×33+272+1=210. 9.解析 (1)原式=(34×104)-1431×[(34)-14+23]-12=31×1013×(13+23)-12=3.(2)由a 12+a -12=3,得(a 12+a -12)2=9,即a +a 1+2=9,∴a +a 1=7,∴(a +a 1)2=49,即a 2+a 2+2=49,∴a 2+a 2=47. 10.解析√a +√a √a -√a √a -√a √a +√a=(√a +√a )2a -a (√a -√a )2a -a =4√aaa -a.将x =12,y =23代入上式,则原式=4√12×2312-23=4√13-16=24√13=8√3.11.解析 ∵x 1,x 2是方程x 28x +4=0的 两根,∴x 1+x 2=8,x 1·x 2=4.(1)a 1-2a 2-2=(a 1+a 2)(a 2-a 1)(a 1a 2)2=a 2-a 12=√(a 1+a 2)2-4a 1a 22=√64-4×42=2√3. (2)x 1 -12x 2-12=√a +a -2√a a √a a=√8-2×22=1.。
人教A版高中数学教材目录(全)
必修1【1】第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞3．4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步 2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用 3．4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ) 1．1 任意角的概念与弧度制 1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式 3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法 3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法 1．4 绝对值的三角不等式 1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式(选学) 2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
2014年新课标人教A版必修1第二章基本初等函数I课后提升练习及答案
第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2．1 指数函数2．1.1 根式与分数指数幂1．27的平方根与立方根分别是( ) A ．3 3，3 B ．±3 3，3 C ．3 3，±3 D ．±3 3，±3 2.44(2)-的运算结果是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．不确定3．若a 2－2a ＋1＝a －1，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，1] 4．下列式子中，正确的是( ) A.416＝±2 B.364-＝－4 C.66(3)-＝－3D ．55(2)-＝25．下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是( ) A ．－x ＝12()x -(x >0) B.26y ＝13y (y <0)C ．34x -＝341x ⎛⎫⎪⎝⎭(x >0)D ．13x -＝－3x (x ≠0)6．设a ，b ∈R ，下列各式总能成立的是( ) A ．(3a －3b )3＝a －b B.2244()a b +＝a 2＋b 2 C.44a －44b ＝a －b D.88()a b +＝a ＋b7．计算：()n n a b -＋()n n a b +(a <b <0，n >1，n ∈N *)．8．化简：6＋4 2＋6－4 2＝__________.944(3.14π)-55()a b -66(π10)π10--＝( )A．1 B．－1 C．3 D．－310．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a＞b＞0，求a－ba＋b的值．2.1.2 指数幂的运算1．化简1327125-⎛⎫⎪⎝⎭的结果是( )A.35B.53 C ．3 D ．5 2．计算[(－2)2]12-的值为( )A. 2 B ．－ 2C.22 D ．－22 3．若(1－2x )12-有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ∈RB ．x ∈R ，且x ≠12C ．x >12D ．x <124．设a ≥0，计算(369a )2·(639a )2的结果是( ) A ．a 8 B ．a 4 C ．a 2 D ．a5．211.533[(0.027)]-的值为( ) A.103 B ．3 C ．－13D ．66．计算：(－1.8)0＋(1.5)－2×23338⎛⎫⎪⎝⎭＋329＝________.7．化简：3322114423()a b ab b a b a⋅.8．化简：a b 3b a 3a2b＝__________. 9．若x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x12-(x －x 12)＝__________.10．已知f (x )＝e x－e －x，g (x )＝e x＋e －x(e ＝2.718…)． (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)设f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g (x ＋y )g (x －y )的值．2.1.3指数函数及其图象1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是()A．y＝(－4)x B．y＝λx(λ>1)C．y＝－4x D．y＝a x＋2(a>0，且a≠1)2．y＝2x＋2－x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是偶函数又是奇函数D．既不是奇函数也不是偶函数3．函数f(x)＝1－2x的定义域是()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)4．已知0＜a＜1，b＜－1，则函数f(x)＝a x＋b的图象不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．如图K2-1-1所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分所表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x(x>0)}，则A#B为()图K2-1-1A．{x|0<x<2}B．{x|1<x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2}D．{x|0≤x≤1或x>2}6．函数y＝a|x|(a>1)的图象是()A B C D7．求函数y＝16－4x的值域．8．已知f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝10x，则当x<0时，f(x)＝()A．10x B．10－xC．－10x D．－10－x9．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0；④f (x 1)－1x 1<0(x 1≠0)；⑤f (－x 1)＝1f (x 1).当f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x时，上述结论中，正确结论的序号是____________．10．(1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x的值总大于1，求实数a 的取值范围；(2)对于任意实数a ，函数y ＝a x －3＋3的图象恒过哪一点？2.1.4 指数函数的性质及其应用1.⎝⎛⎭⎫1323，34，⎝⎛⎭⎫13－2的大小关系是( ) A.⎝⎛⎭⎫1323<⎝⎛⎭⎫13－2<34 B.⎝⎛⎭⎫1323<34<⎝⎛⎭⎫－132 C.⎝⎛⎭⎫13－2<⎝⎛⎭⎫1323<34 D.⎝⎛⎭⎫13－2<34<⎝⎛⎭⎫13232．若⎝⎛⎭⎫122a ＋1<⎝⎛⎭⎫123－2a，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 3．下列选项中，函数y ＝|2x －2|的图象是( )4．函数y ＝a x在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则函数y ＝3a x －1在[0,1]上的最大值为( )A ．6B ．1C ．3 D.325．(2014年四川泸州二模)已知在同一直角坐标系中，指数函数y ＝a x 和y ＝b x 的图象如图K2-1-2，则下列关系中正确的是( )图K2-1-2A ．a ＜b ＜1B ．b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞16．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x (x ≥4)，f (x ＋1) (x ＜4)，求f (3)的值．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x， x ∈(－∞，1)，x 2， x ∈[1，＋∞).若f (x )>4，则x 的取值范围是________________．9．函数f (x )＝2213x x-⎛⎫⎪⎝⎭的值域为__________．10．已知f (x )＝10x－10－x10x ＋10－x.(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)证明f (x )是定义域内的增函数； (3)求f (x )的值域．2.2 对数函数2．2.1 对数与对数运算1．下列各组指数式与对数式互化，不正确的是( ) A ．23＝8与log 28＝3B ．1327-＝13与log 2713＝－13C ．(－2)5＝－32与log －2(－32)＝5 D ．100＝1与lg1＝02．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．以下四个命题：①若log x 3＝3，则x ＝9；②若log 4x ＝12，则x ＝2；③若3log x ＝0，则x ＝3；④若15log x ＝－3，则x ＝125.其中是真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．方程3log 2x ＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝95．若f (e x )＝x ，则f (e)＝( ) A ．1 B ．e e C ．2e D ．06．设集合P ＝{3，log 2a }，Q ＝{a ，b }，若P ∩Q ＝{0}，则P ∪Q ＝( ) A ．{3,0} B ．{3,0,1} C ．{3,0,2} D ．{3,0,1,2}7．求下列各式中x 的取值范围： (1)log (x －1)(x ＋2)； (2)log (x ＋3)(x ＋3)．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x ，x ≤0，则f [f (－2)]＝__________.9．已知23a ＝49(a >0) ，则23log a ＝__________.10．(1)若f (log 2x )＝x ，求f ⎝⎛⎭⎫12的值； (2)若log 2[log 3(log 4x )]＝0，log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值．2.2.2 对数的性质及其应用1．计算log 23·log 32的结果为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－22.(2013年陕西)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a bc ＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c3．(2014年四川泸州一模)2lg2－lg 125的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．lg12.5－lg 58＋lg0.5＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．－25．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝( )A ．9 B.19C ．25 D.1256．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20 D ．1007．计算：lg2·lg 52＋lg0.2·lg40.8．已知lg2＝a ，lg3＝b ，用a ，b 表示log 1245＝______________. 9．已知log 83＝p ，log 35＝q ，以含p ，q 的式子表示lg2.10．已知lg a和lg b是关于x的方程x2－x＋m＝0的两个根，而关于x的方程x2－(lg a)x －(1＋lg a)＝0有两个相等的实根．求实数a，b和m的值．2.2.3 对数函数及其性质(1)1．若log 2a ＜0，⎝⎛⎭⎫12b＞1，则( ) A ．a ＞1，b ＞0 B ．a ＞1，b ＜0 C ．0＜a ＜1, b ＞0 D ．0＜a ＜1, b ＜02．(2014年广东揭阳一模)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( )A ．－3∈AB ．3∉BC ．A ∪B ＝BD ．A ∩B ＝B3．函数y ＝log 2x 与y ＝log 12x 的图象关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称B ．原点对称 D ．直线y ＝x 对称4．函数y ＝1log 0.5(4x －3)的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫34，1B.⎝⎛⎭⎫34，＋∞ C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞)5．若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a ＝( ) A.13 B. 2 C.22D ．2 6．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象只能是图中的( )7．若函数y ＝log a (x ＋b )(a >0，a ≠1)的图象过点(－1,0)和(0,1)，求a ，b 的值．8．已知A ＝{x |2≤x ≤π}，定义在A 上的函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的最大值比最小值大1，则底数a 的值为( )A.2πB.π2C ．π－2 D.π2或2π9．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c10．已知函数f (x )＝ln kx －1x －1(k >0)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在区间[10，＋∞)上是增函数，求实数k 的取值范围．2.2.4 对数函数及其性质(2)1．已知函数y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，下列说法不正确的是( ) A ．两者的图象都关于直线y ＝x 对称B ．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域C ．两函数在各自的定义域内的增减性相同D ．y ＝a x 的图象经过平移可得到y ＝log a x 的图象2．若函数y ＝f (x )的反函数图象过点(1,5)，则函数y ＝f (x )的图象必过点( ) A ．(1,1) B ．(1,5) C ．(5,1) D ．(5,5)3．点(4,16)在函数y ＝log a x 的反函数的图象上，则a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．164．已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．c >a >b 5．若0<x <y <1，则( ) A ．3y <3x B ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4y D.⎝⎛⎭⎫14x <⎝⎛⎭⎫14y6．设log a 23＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．0＜a ＜23 B.23＜a ＜1C ．0＜a ＜23或a ＞1D ．a ＞237．在下面函数中，与函数f (x )＝lg 1＋x1－x有相同奇偶性的是( )A ．y ＝x 3＋1B ．y ＝e 0－1e 0＋1C ．y ＝|2x ＋1|＋|2x －1|D ．y ＝x ＋1x8．函数y ＝ln(4＋3x －x 2)的单调递增区间是___________．9．对于函数f (x )定义域中的任意x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2); ② f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2.当f (x )＝lg x 时，上述结论中，正确结论的序号是____________．10．设f (x )＝log 12⎝⎛⎭⎪⎫1－ax x －1为奇函数，a 为常数， (1)求a 的值；(2)证明f (x )在(1，＋∞)上单调递增；1 2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．(3)若对于[3,4]上的每一个x值，不等式f(x)＞⎝⎛⎭⎫2.2.5对数函数及其性质(3)1．设a＝log132，b＝log133，c＝⎝⎛⎭⎫120.3，则()A．a<b<c B．a<c<bC．b<c<a D．b<a<c2．将函数y＝3x－2的图象向左平移2个单位，再将所得图象关于直线y＝x对称后，所得图象的函数解析式为()A．y＝4＋log3x B．y＝log3(x－4)C．y＝log3x D．y＝2＋log3x3．方程log2x＝x2－2的实根有()A．3个B．2个C．1个D．0个4．设函数f(x)＝log a(x＋b)(a>0，a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b＝()A．3 B．4C．5 D．65．如图K2-2-1，给出函数y＝a x，y＝log a x，y＝log(a＋1)x，y＝(a－1)x2的图象，则与函数y＝a x，y＝log a x，y＝log(a＋1)x，y＝(a－1)x2依次对应的图象是()图K2-2-1A．①②③④B．①③②④C．②③①④D．①④③②6．函数y＝e|ln x|－|x－1|的图象大致是()7．已知函数f(x)＝log a(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图K2-2-2，则a，b满足的关系是()图K2-2-2A．0<a－1<b<1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<18．下列函数的图象中，经过平移或翻折后不能与函数y ＝log 2x 的图象重合的函数是( )A ．y ＝2xB ．y ＝log 12xC ．y ＝4x2 D ．y ＝log 21x＋19．若函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋2a 2)是奇函数，求a 的值．10．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1)． (1)求函数f (x )的定义域； (2)求方程f (x )＝0的解；(3)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．2.3 幂函数1．所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是( ) A ．(0,0) B ．(0,1)C ．(1,1)D ．(－1，－1) 2．下列说法正确的是( ) A ．y ＝x 4是幂函数，也是偶函数 B ．y ＝－x 3是幂函数，也是减函数 C ．y ＝x 是增函数，也是偶函数 D ．y ＝x 0不是偶函数3．已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)的值为( )A ．16 B.116C.12D ．2 4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 135．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数的图象全在直线y ＝x 下方的偶函数是( ) A ．y ＝x 12B ．y ＝x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝x －16．设a ＝0.712，b ＝0.812，c ＝log 30.7，则( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．a <b <c D ．b <a <c 7．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x 22m m --的图象不经过坐标原点，求实数m 的取值范围．8．给出函数的一组解析式如下：①y ＝13x -；②y ＝23x -；③y ＝12x -；④y ＝23x ；⑤y ＝13x ；⑥y ＝12x ；⑦y ＝32x ；⑧y ＝x 3；⑨y ＝x －3；⑩y ＝32x -.回答下列问题： (1)图象关于y 轴对称的函数有__________； (2)图象关于原点对称的函数有__________． 9．请把相应的幂函数图象代号填入表格．①y＝23x；②y＝x－2；③y＝12x；④y＝x－1；⑤13x；⑥y＝43x；⑦y＝12x ；⑧53x.函数代号①②③④⑤⑥⑦⑧图象代号10．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，当m为何值时，f(x)是：(1)幂函数；(2)幂函数，且是(0，＋∞)上的增函数；(3)正比例函数；(4)反比例函数；(5)二次函数．第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2．1 指数函数2．1.1 根式与分数指数幂 1．B 2.A 3.A4．B 解析：A2；C|－3|＝3；D 错，)5＝－2. 5．C 解析：A 错，－x ＝－x 12(x >0)；B＝(－y )13(y <0)；D 错，x13-x ≠0)． 6．B7．解：当n 为奇数时，原式＝a －b ＋a ＋b ＝2a ； 当n 为偶数时，原式＝b －a －a －b ＝－2a .8．4 解析：原式＝22＋2×2×2＋(2)2＋22－2×2×2＋(2)2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2 ＝2＋2＋2－2＝4.9．B 解析：∵3.14<π<10，＝π－3.143.14－π＝－1＝10－ππ－10＝－1 1.故原式＝－1＋1－1＝－1.10．解：∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4. ∵a ＞b ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝(a ＋b )2－4ab a ＋b ＋2ab ＝2010＝2. ∴a －b a ＋b ＝ 2.2．1.2 指数幂的运算 1．B2．C 解析：[(－2)2]12-＝(2)122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝(2)－1＝22. 3．D4．C 解析：原式＝2936a ⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭·2936a ⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭＝a 2.5．A 解析：原式＝⎝⎛⎭⎫3102313323⎛⎫⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭＝103.6．29 解析：原式＝1＋⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫32233⨯＋3223⨯ ＝1＋1＋27＝29.7．解：原式＝12323311233()()a b a b ab b a -⋅⋅＝113133a+-+·212233b +--＝8133a b .解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 3 b a 3a 2b 12＝a 12·b 32-·⎝⎛⎭⎫b a3 a 2b 14＝a 12·b 32-·b 14·a 34-⎝⎛⎭⎫a 2b 18 ＝a1324-·b3124-+·a 28b18-＝a1144-+·b5148--＝a 0b118-＝9．－23 解析：(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x12-(x －x 12)＝4x 12－33－4x 12＋4＝－23. 10．解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2 ＝[f (x )＋g (x )]·[f (x )－g (x )]＝2·e x ·(－2e －x ) ＝－4e 0＝－4.(2)f (x )f (y )＝(e x －e －x )(e y －e －y )＝e x ＋y ＋e －(x ＋y )－e x －y －e －(x －y ) ＝g (x ＋y )－g (x －y )＝4， ①同法可得g (x )g (y )＝g (x ＋y )＋g (x －y )＝8. ②由①②解方程组⎩⎪⎨⎪⎧g (x ＋y )－g (x －y )＝4，g (x ＋y )＋g (x －y )＝8.解得g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2， ∴g (x ＋y )g (x －y )＝62＝3.2．1.3 指数函数及其图象 1．B 2.B 3.A4．A 解析：g (x )＝a x 的图象经过一、二象限，f (x )＝a x ＋b 是将g (x )＝a x 的图象向下平移|b |(b ＜－1)个单位而得，因而图象不经过第一象限．5．D 解析：A ＝{x |y ＝2x －x 2}＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝3x (x >0)}＝{y |y >1}，则A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，根据新运算，得A #B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}．故选D.6．B 解析：函数关于y 轴对称．7．解：∵4x >0，∴0≤16－4x <16，∴0≤16－4x <4.8．B 解析：设x <0，则－x >0，f (－x )＝10－x ，∵f (x )为偶函数．∴f (x )＝f (－x )＝10－x .9．①③④⑤ 解析：因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，f (x 1＋x 2)＝122x x +＝12x ·22x ＝f (x 1)·f (x 2)，所以①成立，②不成立；显然函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 单调递减，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，故③成立；当x 1<0时，f (x 1)>1，f (x 1)－1x 1<0，当x 1>0时，0<f (x 1)<1，f (x 1)－1x 1<0，故④成立；f (－x 1)＝⎝⎛⎭⎫121x -＝12x ＝1f (x 1)，故⑤成立． 10．解：(1)∵当x ＞0时，f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1， ∴a 2－1＞1.∴a 2＞2.∴a ＞2或a ＜－ 2.(2)∵函数y ＝a x －3的图象恒过定点(3,1)，∴函数y ＝a x －3＋3的图象恒过定点(3,4)．2．1.4 指数函数的性质及其应用 1．A 2.B3．B 解析：由y ＝|2x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2， (x ≥1)，－2x＋2， (x ≤1)，分两部分：一部分为y 1＝2x －2(x ≥1)，只须将y ＝2x的图象沿y 轴的负半轴平移2个单位即可，另一部分为y 2＝－2x ＋2(x ≤1)，只须将y ＝2x 的图象对称于x 轴的图象y ＝－2x ，然后再沿y 轴的正半轴平移2个单位，即可得到y ＝－2x ＋2的图象．故选B.4．C 解析：由于函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，因此最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝3a x －1在[0,1]上是单调递增函数，最大值当x ＝1时取到，即为3.5．C 解析：很显然a ，b 均大于1；且y ＝b x 函数图象比y ＝a x 变化趋势小，故b ＜a ，综上所述，a ＞b ＞1.6．B7．解：f (3)＝f (3＋1)＝f (4)＝⎝⎛⎭⎫124＝116. 8．(－∞，－2)∪(2，＋∞)9．(0,3] 解析：设y ＝⎝⎛⎭⎫13u ，u ＝x 2－2x ，∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫13u 是单调减函数，∴函数y ＝f (x )与u ＝x 2－2x 增减性相反．∵u 有最小值－1，无最大值，∴y 有最大值⎝⎛⎭⎫13－1＝3，无最小值．又由指数函数值域y >0知所求函数的值域为(0,3]．10．(1)解：∵f (x )的定义域是R ，且f (－x )＝10－x －10x10x ＋10x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)证法一：f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x ＝102x －1102x＋1＝1－2102x ＋1. 令x 2＞x 1，则f (x 2)－f (x 1)＝2221101x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭－1221101x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭＝212122222(1010)(101)(101)x x x x ⨯-++， ∵y ＝10x 为增函数，∴当x 2＞x 1时，2210x －1210x ＞0. 又∵1210x ＋1＞0,2210x ＋1＞0， 故当x 2＞x 1时，f (x 2)－f (x 1)＞0， 即f (x 2)＞f (x 1)． ∴f (x )是增函数．证法二：考虑复合函数的增减性．由f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x ＝1－2102x＋1. ∵y ＝10x 为增函数，∴y ＝102x ＋1为增函数，y ＝2102x ＋1为减函数，y ＝－2102x ＋1为增函数，y ＝1－2102x ＋1为增函数．∴f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x在定义域内是增函数．(3)解：令y ＝f (x )．由y ＝102x －1102x ＋1，解得102x ＝1＋y1－y.∵102x ＞0，∴1＋y1－y＞0，解得－1＜y ＜1.即f (x )的值域为(－1,1)．2．2 对数函数2．2.1 对数与对数运算1．C 2.B 3.B 4.A5．A 解析：令e x ＝t ，则x ＝ln t ，∴f (t )＝ln t .∴f (e)＝lne ＝1. 6．B 解析：log 2a ＝0，∴a ＝1.从而b ＝0，P ∪Q ＝{3,0,1}． 7．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x －1>0，x －1≠1，解得x >1，且x ≠2.故x 的取值范围为(1,2)∪(2，＋∞)．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，x ＋3≠1，解得x >－3，且x ≠－2.故x 的取值范围为(－3，－2)∪(－2，＋∞)．8．－2 解析：∵x ＝－2<0，∴f (－2)＝10－2＝1100>0，∴f (10－2)＝lg10－2＝－2，即f [f (－2)]＝－2.9．3 解析：(a 23)32＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23232⇒a ＝⎝⎛⎭⎫233⇒log 23a ＝log 23⎝⎛⎭⎫233＝3. 10．解：(1)令log 2x ＝t ，则2t＝x .因为f (log 2x )＝x ， 所以f (t )＝2t .所以f ⎝⎛⎭⎫12＝212＝ 2.(2)因为log 2[log 3(log 4x )]＝0， 所以log 3(log 4x )＝1.所以log 4x ＝3，所以x ＝43＝64. 又因为log 3[log 4(log 2y )]＝0. 所以log 4(log 2y )＝1.所以log 2y ＝4.所以y ＝24＝16. 所以x ＋y ＝64＋16＝80.2．2.2 对数的性质及其应用 1．A 2.B 3.B4．B 解析：方法一：原式＝lg 10023－lg 1024＋lg 12＝lg100－lg23－lg10＋lg24＋lg1－lg2 ＝lg102－3lg2－1＋4lg2－lg2＝2－1＝1.方法二：原式＝lg 12.5×1258＝lg10＝1.5．D6．A 解析：∵1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又∵m >0，∴m ＝10.7．解：原式＝lg2·lg 1022＋lg 210·lg(22×10)＝lg2(1－2lg2)＋(lg2－1)(2lg2＋1)＝lg2－2(lg2)2＋2(lg2)2－2lg2＋lg2－1＝－1. 8.2b ＋1－a 2a ＋b 解析：log 1245＝lg45lg12＝2lg3＋lg52lg2＋lg3＝2b ＋1－a 2a ＋b.9．解：由log 83＝p ，得 lg3lg8＝p ，即lg3＝3lg2·p . ①由log 35＝q ，得lg5lg3＝q ，即1－lg2＝lg3·q . ②①代入②中，得1－lg2＝3lg2·pq . ∴(3pq ＋1)lg2＝1.∵3pq ＋1≠0，∴lg2＝13pq ＋1.10．解：∵lg a 和lg b 是关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0的两个根， ∴lg a ＋lg b ＝1， ① lg a ·lg b ＝m . ②∵关于x 的方程x 2－(lg a )x －(1＋lg a )＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(lg a )2＋4(1＋lg a )＝0.∴lg a ＝－2，即a ＝1100.将lg a ＝－2代入①，得lg b ＝3.∴b ＝1000.再将lg a ＝－2，lg b ＝3代入②，得m ＝－6.综上所述，a ＝1100，b ＝1000，m ＝－6.2．2.3 对数函数及其性质(1)1．D 解析：由log 2a <0，得0<a <1.由⎝⎛⎭⎫12b>1，得b <0.故选D. 2．D3．A 解析：y ＝log 12x ＝－log 2x .4．A 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(4x －3)>0，4x －3>0，解得34<x <1.5．D6．B 解析：y ＝log a (－x )与y ＝log a x 关于y 轴对称． 7．a ＝2，b ＝2 8．D9．D 解析：∵log 45>1,0<log 54<1,0<log 53<1， ∴(log 53)2<log 54<log 45.∴b <a <c .故选D.10．解：(1)由kx －1x －1>0，得(kx －1)(x －1)>0.又∵k >0，∴⎝⎛⎭⎫x －1k (x －1)>0. 当k ＝1时，函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}；由0<k <1时，函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1或x >1k ， 当k >1时，函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1k 或x >1. (2)f (x )＝ln k (x －1)＋k －1x －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x －1，∵函数f (x )在区间[10，＋∞)上是增函数，∴k －1<0，即k <1.又由10k －110－1>0，得k >110.综上所述，实数k 的取值范围为110<k <1.2．2.4 对数函数及其性质(2) 1．D 2.C 3.A4．B 解析：∵a ＝log 23.6>log 22＝1.又∵y ＝log 4x ，x ∈(0，＋∞)为单调递增函数，∴log 43.2<log 43.6<log 44＝1，∴b <c <a . 5．C6．C 解析：由log a 23＜1＝log a a ，得(1)当0＜a ＜1时，由y ＝log a x 是减函数，得0＜a ＜23；(2)当a ＞1时，由y ＝log a x 是增函数，得a ＞23，∴a ＞1.综合(1)(2)，得0＜a ＜23或a ＞1.7．D 解析：f (x )的定义域为(－1,1)，且对定义域内任意x ，f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－lg 1＋x 1－x＝－f (x )；又可以验证f ⎝⎛⎭⎫－12≠f ⎝⎛⎭⎫12，因此，f (x )是奇函数但不是偶函数． 用同样的方法可有：y ＝x 3＋1既不是奇函数又不是偶函数；y ＝e 0－1e 0＋1＝0(x ∈R )既是奇函数又是偶函数；y ＝|2x ＋1|＋|2x －1|是偶函数而不是奇函数，只有y ＝12x －1＋12是奇函数但不是偶函数．故选D.8.⎝⎛⎦⎤－1，32 解析：令u (x )＝4＋3x －x 2，又∵4＋3x －x 2＞0⇒x 2－3x －4＜0，解得－1＜x ＜4.又u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254，对称轴为x ＝32，开口向下的抛物线；u (x )在⎝⎛⎦⎤－1， 32上是增函数，在⎝⎛⎭⎫32，4上是减函数，又y ＝ln u (x )是定义域上的增函数，根据复合函数的单调性，y ＝ln(4＋3x －x 2)在⎝⎛⎦⎤－1， 32上是增函数． 9．②③10．(1)解：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴log 121＋ax －x －1＝－log 121－ax x －1⇔1＋ax －x －1＝x －11－ax ＞0⇒1－a 2x 2＝1－x 2⇒a ＝±1.检验a ＝1(舍)，∴a ＝－1.(2)证明：任取x 1＞x 2＞1，∴x 1－1＞x 2－1＞0.∴0＜2x 1－1＜2x 2－1⇒0＜1＋2x 1－1＜1＋2x 2－1⇒0＜x 1＋1x 1－1＜x 2＋1x 2－1⇒log 12x 1＋1x 1－1＞log 12x 2＋1x 2－1，即f (x 1)＞f (x 2)．∴f (x )在(1，＋∞)内单调递增．(3)解：f (x )－⎝⎛⎭⎫12x＞m 恒成立．令g (x )＝f (x )－⎝⎛⎭⎫12x.只需g (x )min ＞m ，用定义可以证g (x )在[3,4]上是增函数，∴g (x )min ＝g (3)＝－98.∴当m ＜－98时原式恒成立．2．2.5 对数函数及其性质(3)1．D 解析：c ＝⎝⎛⎭⎫120.3>0，a ＝log 132<0，b ＝log 123<0，并且log 132>log 133，所以c >a >b .2．C 解析：y ＝3x －2的图象向左平移2个单位得到y ＝3x 的图象，其反函数为y ＝log 3x . 3．B 4.B 5.B 6.D 7.A 8．C 解析：将A 项函数沿着直线y ＝x 对折即可得到函数y ＝log 2x .将B 沿着x 轴对折，将D 向下平移1个单位再沿x 轴对折即可．9.22提示：利用奇函数的定义或f (0)＝0. 10．解：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1.所以函数f (x )的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)， 由f (x )＝0，得－x 2－2x ＋3＝1， 即x 2＋2x －2＝0，x ＝－1±3. ∵－1±3∈(－3,1)，∴方程f (x )＝0的解为－1±3.(3)函数可化为f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3) ＝log a [－(x ＋1)2＋4]，∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4.∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4， 即f (x )min ＝log a 4.由log a 4＝－4，得a －4＝4.∴a ＝4－14＝22.2．3 幂函数 1．C 2.A3．C 解析：设f (x )＝x α，则有2α＝22，解得α＝－12，即f (x )＝x 12-，所以f (4)＝412-＝12. 4．A 5.B 6.B7．解：⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，m 2－m －2≤0，解得m ＝1或m ＝2.8．(1)②④ (2)①⑤⑧⑨9．依次是E ，C ，A ，G ，B ，D ，H ，F10．解：(1)若f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1， 即m 2－m －2＝0.解得m ＝2或m ＝－1.(2)若f (x )是幂函数且又是(0，＋∞)上的增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，－5m －3>0.所以m ＝－1. (3)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－45.此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(4)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.(5)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1. 综上所述，当m ＝2或m ＝－1时，f (x )是幂函数；当m ＝－1时，f (x )既是幂函数，又是(0，＋∞)上的增函数；当m ＝－45时，f (x )是正比例函数；当m ＝－25时，f (x )是反比例函数；当m ＝－1时，f (x )是二次函数．。
人教A版数学必修一必修①第二章基本初等函数(Ⅰ)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第11讲 §2.1.1 指数与指数幂的运算¤学习目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.¤知识要点：1. 若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根，记为n a ，其中n >1，且n N *∈. n 次方根具有如下性质：（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.（2）n 次方根（*1,n n N >∈且）有如下恒等式：()n n a a =；,||,n n a n a a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；np n mp m a a =，（a ≥0）. 2. 规定正数的分数指数幂：mn m na a = （0,,,1a m n N n *>∈>且）； 11m nm nmna aa-==.¤例题精讲：【例1】求下列各式的值：（1）3n nπ-（）（*1,n n N >∈且）； （2）2()x y -. 解：（1）当n 为奇数时，33n n ππ-=-（）；当n 为偶数时，3|3|3n nπππ-=-=-（）.（2）2()||x y x y -=-.当x y ≥时，2()x y x y -=-；当x y <时，2()x y y x -=-.【例2】已知221na =+，求33n n n na a a a--++的值. 解：332222()(1)1121122121n n n n n n n n nn n na a a a a a a a a a a a ------++-+==-+=+-+=-+++. 【例3】化简：（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-； （2）3322114423()a b ab ba b a⋅（a ＞0，b ＞0）； （3）243819⨯.解：（1）原式=2111150326236[2(6)(3)]44a bab a +-+-⨯-÷-==.（2）原式=1312322123[()](/)a b ab ab b a ⋅⋅=1136322733a b a b a b⋅=104632733a b a b=a b. （3）原式=2212124444244332323[(3)]3333⨯⨯⨯=⨯=⨯221111446336444(33)(3)(3)3333=⨯=⨯=⨯=.点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂. 正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键.【例4】化简与求值：（1）642642++-； （2）11111335572121n n +++⋅⋅⋅++++-++.解：（1）原式=22222222(2)2222(2)+⨯⨯++-⨯⨯+ =22(22)(22)++- =2222++-=4. （2）原式=3153752121315375(21)(21)n n n n ---+--+++⋅⋅⋅+---+-- =1(3153752121)2n n -+-+-+⋅⋅⋅++--=1(211)2n +-.点评：形如A B ±的双重根式，当2A B -是一个平方数时，则能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判别技巧. 而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小题也体现了一种消去法的思想. 第（1）小题还可用平方法，即先算得原式的平方，再开方而得.第11练 §2.1.1 指数与指数幂的运算※基础达标1．化简1327()125-的结果是（ ）. A. 35 B. 53C. 3D.52．下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是（ ）. A. 12()(0)x x x -=-> B.1263(0)y y y =< C.33441()(0)xx x-=> D.133(0)x x x -=-≠3．下列各式正确的是（ ）. A. 35351a a-= B.3322x x = C. 111111()824824a a aa-⨯⨯-⋅⋅= D. 112333142(2)12xx x x---=- 4．计算1()02(4)12(15)221--++---，结果是（ ）.A.1B. 22C. 2D. 122-5．化简111113216842(12)(12)(12)(12)(12)-----+++++，结果是（ ）.A. 11321(12)2---B. 1132(12)---C. 13212--D. 1321(12)2-- 6．化简36639494()()a a 的结果是 .7．计算2110332464()( 5.6)()0.125927--+--+= .※能力提高8．化简求值：（1）211132221566()(3)13a b a b a b -； （2）34a a a .9．已知1122x x -+=3，求下列各式的值：（1）1x x -+；（2）33222223x x x x --++++.※探究创新10．已知函数11331()()5f x x x -=-，11331()()5g x x x -=+.（1）判断()f x 、()g x 的奇偶性；（2）分别计算(4)5(2)(2)f f g -和(9)5(3)(3)f f g -，并概括出涉及函数()f x 和()g x 对所有不为0的实数x 都成立的一个等式，并加以证明.第12讲 §2.1.2 指数函数及其性质（一）¤学习目标：理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质.¤知识要点：1. 定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .2. 以函数2x y =与1()2x y =的图象为例，观察这一对函数的图象，可总结出如下性质：定义域为R ，值域为(0,)+∞；当0x =时，1y =，即图象过定点(0,1)；当01a <<时，在R 上是减函数，当1a >时，在R 上是增函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域： （1）132xy -=； （2）51()3xy -=； （3）1010010100x x y +=-.解：（1）要使132xy -=有意义，其中自变量x 需满足30x -≠，即3x ≠. ∴ 其定义域为{|3}x x ≠.（2）要使51()3xy -=有意义，其中自变量x 需满足50x -≥，即5x ≤. ∴ 其定义域为{|5}x x ≤. （3）要使1010010100x x y +=-有意义，其中自变量x 需满足101000x -≠，即2x ≠. ∴其定义域为{|2}x x ≠.【例2】求下列函数的值域：（1）2311()3x y -=； （2）421x x y =++解：（1）观察易知2031x ≠-， 则有203111()()133x y -=≠=. ∴ 原函数的值域为{|0,1}y y y >≠且. （2）2421(2)21x x x x y =++=++. 令2x t =，易知0t >. 则22131()24y t t t =++=++.结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到213()24y t =++在0t >上为增函数，所以221313()(0)12424y t =++>++=. ∴ 原函数的值域为{|1}y y >.【例3】（05年福建卷.理5文6）函数()x b f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）.A ．1,0a b ><B ．1,0a b >>C ．01,0a b <<>D ．01,0a b <<<线位置解：从曲线的变化趋势，可以得到函数()f x 为减函数，从而0<a <1；从曲b <0. 看，是由函数(01)x y a a =<<的图象向左平移|-b |个单位而得，所以-b >0，即所以选D.点评：观察图象变化趋势，得到函数的单调性，结合指数函数的单调性，得到参数a 的范围. 根据所给函数式的平移变换规律，得到参数b 的范围. 也可以取x =1时的特殊点，得到01b a a -<=，从而b <0.【例4】已知函数23()(0,1)x f x a a a -=>≠且.（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.解：（1）当230x -=，即23x =时，2301x a a -==. 所以，该函数的图象恒过定点2(,1)3.（2）∵ 23u x =-是减函数，∴ 当01a <<时，()f x 在R 上是增函数；当1a >时，()f x 在R 上是减函数.点评：底数两种情况的辨析，实质就是分类讨论思想的运用. 而含参指数型函数的研究，要求正确处理与参数相关的变与不变.第12练 §2.1.2 指数函数及其性质（一）※基础达标1．下列各式错误的是（ ）.A. 0.80.733>B. 0.40.60.50.5>C. 0.10.10.750.75-<D. 1.6 1.4(3)(3)> 2．已知0c <，在下列不等式中成立的是（ ）.A. 21c >B. 1()2c c >C. 12()2c c <D. 12()2c c > 3．函数y =a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点（ ）.A.（0，1）B. （1，0）C.（2，1）D.（0，2） 4．设,a b 满足01a b <<<，下列不等式中正确的是（ ）. A. a b a a < B. a b b b < C. a a a b < D. b b b a <5．世界人口已超过56亿，若千分之一的年增长率，则两年增长的人口可相当于一个（ ）.A. 新加坡(270万)B. 香港(560万)C. 瑞士(700万)D. 上海(1200万)6．某地现有绿地100平方公里，计划每年按10%的速度扩大绿地，则三年后该地的绿地为_____平方公里.7．函数21232x x y --=的定义域为 ；函数2231()2xx y -+=的值域为 .※能力提高8．已知,a b 为不相等的正数，试比较a b a b 与b a a b 的大小.9．若已知函数23()(0,1)x f x a a a -=>≠且，()x g x a =. （1）求函数()f x 的图象恒过的定点坐标；（2）求证：1212()()()22x x g x g x g ++≤.※探究创新 10．讨论函数21(01)xy a a a +=>≠，且的值域.第13讲 §2.1.2 指数函数及其性质（二）¤学习目标：在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 掌握指数函数的性质及应用.¤知识要点：以函数2x y =与1()2x y =的图象为例，得出这以下结论： （1）函数()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于y 轴对称.（2）指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象在第一象限内，图象由下至上，底数由下到大. ¤例题精讲：【例1】按从小到大的顺序排列下列各数：23，20.3，22，20.2.解：构造四个指数函数，分别为3x y =，0.3x y =，2x y =，0.2x y =，它们在第一象限内，图象由下至上，依次是0.2x y =，0.3x y =，2x y =，3x y =. 如右图所示.由于20x =>，所以从小到大依次排列是：20.2，20.3，22，23.点评：利用指数函数图象的分步规律，巧妙地解决了同指数的幂的大小比较问题. 当然，我们在后面的学习中，可以直接利用幂函数的单调性来比较此类大小.【例2】已知21()21x x f x -=+. （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）讨论()f x 的单调性.解：（1）()f x 的定义域为R .∵ 21(21)21221()()21(21)21221x x x x x xx x x x f x f x ---------====-=-++++. ∴ ()f x 为奇函数.（2）设任意12,x x R ∈，且12x x <，则121212*********(22)()()2121(21)(21)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++.由于12x x <，从而1222x x <，即12220x x -<.∴ 12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <. ∴ ()f x 为增函数.点评：在这里，奇偶性与单调性的判别，都是直接利用知识的定义来解决. 需要我们理解两个定义，掌握其运用的基本模式，并能熟练的进行代数变形，得到理想中的结果.【例3】求下列函数的单调区间：（1）223x x y a +-=； （2）10.21x y =-.解：（1）设2,23u y a u x x ==+-.由2223(1)4u x x x =+-=+-知，u 在(,1]-∞-上为减函数，在[1,)-+∞上为增函数. 根据u y a =的单调性，当1a >时，y 关于u 为增函数；当01a <<时，y 关于u 为减函数. ∴ 当1a >时，原函数的增区间为[1,)-+∞，减区间为(,1]-∞-； 当01a <<时，原函数的增区间为(,1]-∞-，减区间为[1,)-+∞. （2）函数的定义域为{|0}x x ≠. 设1,0.21x y u u ==-. 易知0.2x u =为减函数. 而根据11y u =-的图象可以得到，在区间(,1)-∞与(1,)+∞上，y 关于u 均为减函数. ∴在(,0)-∞上，原函数为增函数；在(0,)+∞上，原函数也为增函数.点评：研究形如()(01)f x y a a a =>≠，且的函数的单调性，可以有如下结论：当1a >时，函数()f x y a =的单调性与()f x 的单调性相同；当01a <<时，函数()f x y a =的单调性与()f x 的单调性相反. 而对于形如()(01)x y a a a ϕ=>≠，且的函数单调性的研究，也需结合x a 的单调性及()t ϕ的单调性进行研究. 复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，遵循一般步骤和结论，即：分别求出()y f u =与()u x ϕ=两个函数的单调性，再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性，即两个函数同为增函数或者同为减函数，则复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 为何有“同增异减”？我们可以抓住 “x 的变化→()u x ϕ=的变化→()y f u =的变化”这样一条思路进行分析.第13练 §2.1.2 指数函数及其性质（二）※基础达标1．如果指数函数y =(2)x a -在x ∈R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）. A ．a ＞2 B ．a ＜3 C ．2＜a ＜3D ．a ＞32．使不等式31220x -->成立的x 的取值范围是（ ）. A. 3(,)2+∞ B. 2(,)3+∞ C. 1(,)3+∞ D.1(,)3-+∞3．某工厂去年12月份的产值是去年元月份产值的m 倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（ ）. A. mB.12mC. 121m - D.111m -4．函数2651()()3xx f x -+=的单调递减区间为（ ）.A. (,)-∞+∞B. [3,3]-C. (,3]-∞D. [3,)+∞5．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(2m )与时间t (月) 的关系:t y a =,有以下叙述: ① 这个指数函数的底数是2;② 第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ; ③ 浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月; ④ 浮萍每个月增加的面积都相等.其中正确的是（ ）.A. ①②③B. ①②③④C. ②③④D. ①②6．我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x 年后我国人口数为y 亿，则y 与x 的关系式为 .7．定义运算()() ,.a ab a b b a b ≤⎧⎪*=⎨>⎪⎩ 则函数()12x f x =*的值域为 .※能力提高 8．已知(21)1()(21)1x x f x --=-+. （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）讨论()f x 的单调性.9．求函数2233x x y -++=的定义域、值域并指出单调区间．※探究创新 10．函数23()2xax f x --=是偶函数. （1）试确定a 的值及此时的函数解析式；（2）证明函数()f x 在区间(,0)-∞上是减函数；（3）当[2,0]x ∈-时，求函数23()2xax f x --=的值域.2 1 0 y/m 2 t/月2 3814第14讲 §2.2.1 对数与对数运算（一）¤学习目标：理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.¤知识要点：1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=.4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a = ¤例题精讲：【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=； （4）12log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.解：（1）21log 7128=-； （2）3log 27a =； （3）lg 0.11=-； （4）51()322-=； （5）3100.001-=； （6） 4.606100e =. 【例2】计算下列各式的值：（1）lg 0.001； （2）4log 8； （3）ln e .解：（1）设lg 0.001x =，则100.001x =，即31010x -=，解得3x =-. 所以，lg0.0013=-.（2）设4log 8x =，则48x =，即2322x =，解得32x =. 所以，43log 82=. （3）设ln e x =，则x e e =，即12xe e =，解得12x =. 所以，1ln 2e =.【例3】求证：（1）log n a a n =； （2）log log log a a a MM N N-=.证明：（1）设log n a a x =，则n x a a =，解得x n =.所以log n a a n =.（2）设log a M p =，log a N q =，则p a M =，q a N =.因为pp q q M a a N a-==，则log log log aa a M p q M N N =-=-. 所以，log log log a a a MM N N-=.点评：对数运算性质是对数运算的灵魂，其推导以对数定义得到的指对互化关系为桥梁，结合指数运算的性质而得到. 我们需熟知各种运算性质的推导.【例4】试推导出换底公式：log log log c a c bb a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）. 证明：设log c b m =，log c a n =，log a b p =， 则m c b =，n c a =，p a b =. 从而()n p m c b c ==，即np m =. 由于log log 10c c n a =≠=，则m p n=.所以，log log log c a c bb a=. 点评：换底公式是解决对数运算中底数不相同时的核心工具. 其推导也密切联系指数运算性质，牢牢扣住指对互化关系.第14练 §2.2.1 对数与对数运算（一）※基础达标1．log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是（ ）. A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）. A. 01ln10e ==与 B. 1()381118log 223-==-与 C. 123log 9293==与 D. 17log 7177==与 3．设lg 525x =，则x 的值等于（ ）.A. 10B. 0.01C. 100D. 10004．设13log 82x=，则底数x 的值等于（ ）. A. 2 B. 12 C. 4 D. 145．已知432log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）.A.13 B. 123 C. 122D. 133 6．若21log 3x =，则x = ； 若log 32x =-，则x = .7．计算：3log 81= ； 6l g 0.1= . ※能力提高8．求下列各式的值：（1）22log8； （2）9log 3.9．求下列各式中x 的取值范围：（1）1log (3)x x -+； （2）12log (32)x x -+.※探究创新10．（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.第15讲 §2.2.1 对数与对数运算（二）¤学习目标：通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；理解推导这些运算性质的依据和过程；能较熟练地运用运算性质解决问题.¤知识要点：1. 对数的运算法则：log ()log log a a a M N M N =+，log log log aa a MM N N=-，log log n a a M n M =，其中0,1a a >≠且，0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2. 对数的换底公式log log log b a b N N a =. 如果令b =N ，则得到了对数的倒数公式1log log a b b a=. 同样，也可以推导出一些对数恒等式，如log log n n a a N N =，log log m n a a nN N m=，log log log 1a b c b c a =等. ¤例题精讲：【例1】化简与求值：（1）221(lg 2)lg2lg5(lg 2)lg212++-+；（2）2log (4747)++-.解：（1）原式=2211(lg2)lg2lg5(lg 21)22++-=211lg 2lg2lg5(lg 21)42+--=2111lg 2lg2lg5lg21422+-+=1lg2(lg22lg52)14+-+=1lg2(lg1002)10114-+=+=.（2）原式=1222log (4747)⨯++-=221log (4747)2++-=221log (4747247)2++-+-=21log 142.【例2】若2510a b ==，则11a b+= . （教材P 83 B 组2题）解：由2510a b ==，得2log 10a =，5log 10b =. 则251111lg 2g5lg101log 10log 10a b +=+=+==. 【例3】 （1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 . 解：（1）由lg lg(3)1x x ++=，得lg[(3)]lg10x x +=， 即(3)10x x +=，整理为23100x x +-=. 解得x =－5或x =2. ∵ x ＞0， ∴ x =2.（2）设lg x t =，则原方程化为20t at b ++=，其两根为1122lg ,lg t x t x ==. 由121212lg lg lg()lg10b t t x x x x b +=+===，得到1210b x x =.点评：同底法是解简单对数方程的法宝，化同底的过程中需要结合对数的运算性质. 第2小题巧妙利用了换元思想和一元二次方程根与系数的关系.【例4】（1）化简：532111log 7log 7log 7++； （2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=，求实数m 的值. 解：（1）原式=77777log 5log 3log 2log (532)log 30++=⨯⨯=. （2）原式左边=2222222222log 4log 5log 2006log log 3log log 3log 4log 2005log 2006mm ⋅⋅⋅=,∴ 422log 4log 2m ==， 解得16m =.点评：换底时，一般情况下可以换为任意的底数，但习惯于化为常用对数. 换底之后，注意结合对数的运算性质完成后阶段的运算.第15练 §2.2.1 对数与对数运算（二）※基础达标 1．1logn n++（1n n ＋－）等于（ ）. A. 1B. －1C. 2D. －2 2．25log ()(5)a -（a ≠0）化简得结果是（ ）.A. －aB. a 2C. ｜a ｜D. a3．化简3lg 2lg 5log 1++的结果是（ ）.A.12B. 1C. 2D.10 4．已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）.A. 1B. 2C. 8D. 125．化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 （ ）.A .1 B.32C. 2D.3 6．计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .7．若3a ＝2，则log 38－2log 36＝ . ※能力提高8．（1）已知18log 9a =，185b =，试用a 、b 表示18log 45的值；（2）已知1414log 7log 5a b ==，，用a 、b 表示35log 28.9．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(/)v m s 和燃料的质量()M kg 、火箭（除燃料外）的质量()m kg 的关系是2000ln(1)Mv m=+. 当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达到10/km s ？※探究创新10．（1）设,,x y z 均为实数，且34x y =，试比较3x 与4y 的大小.（2）若a 、b 、c 都是正数，且至少有一个不为1，1x y z y z x z x y a b c a b c a b c ===，讨论x 、y 、z 所满足的关系式.第16讲 §2.2.2 对数函数及其性质（一）¤学习目标：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.¤知识要点：1. 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）.2. 由2log y x =与12log y x =的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为(0,)+∞，值域为R ；当1x =时，0y =，即图象过定点(1,0)；当01a <<时，在(0,)+∞上递减，当1a >时，在(0,)+∞上递增.¤例题精讲：【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9； （2）3log 2，2log 3，41log 3. 解：（1）∵ 0.9log y x =在(0,)+∞上是减函数，且0.90.80.7>>， ∴ 0.90.91log 0.8log 0.7<<.又 0.80.8log 0.9log 0.81<=， 所以0.80.90.9log 0.9log 0.8log 0.7<<. （2）由 333log 1log 2log 3<<，得30log 21<<. 又22log 3log 21>=，441log log 103<=， 所以4321log log 2log 33<<. 【例2】求下列函数的定义域：（1）2log (35)y x =-；（2）0.5log (4)3y x =-. 解：（1）由22log (35)0log 1x -≥=，得351x -≥，解得2x ≥. 所以原函数的定义域为[2,)+∞.（2）由0.5log (4)30x -≥，即30.50.5log (4)3log 0.5x ≥=，所以3040.5x <≤，解得1032x <≤. 所以，原函数的定义域为1(0,]32. 【例3】已知函数()log (3)a f x x =+的区间[2,1]--上总有|()|2f x <，求实数a 的取值范围. 解：∵ [2,1]x ∈--， ∴ 132x ≤+≤当1a >时，log 1log (3)log 2a a a x ≤+≤，即0()log 2a f x ≤≤. ∵ |()|2f x <， ∴{1log 22a a ><， 解得2a >.当01a <<时，log 2log (3)log 1a a a x ≤+≤，即log 2()0a f x ≤≤. ∵ |()|2f x <， ∴{01log 22a a <<>-， 解得202a <<.综上可得，实数a 的取值范围是2(0,)(2,)2+∞. 点评：先对底数a 分两种情况讨论，再利用函数的单调性及已知条件，列出关于参数a 的不等式组，解不等式（组）而得到参数的范围. 解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论，不等式法求参数范围.【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.解：当1a >时，原不等式化为2704102741x x x x +>⎧⎪->⎨+>-⎪⎩，解得144x <<.当01a <<时，原不等式化为 2704102741x x x x +>⎧⎪->⎨+<-⎪⎩，解得4x >.所以，当1a >时，x 的取值范围为1(,4)4；当01a <<时，x 的取值范围为(4,)+∞.点评：结合单调性，将对数不等式转化为熟悉的不等式组，注意对数式有意义时真数大于0的要求. 当底数a 不确定时，需要对底数a 分两种情况进行讨论.第16练 §2.2.2 对数函数及其性质（一）※基础达标1．下列各式错误的是（ ）.A. 0.80.733>B. 0.10.10.750.75-<C. 0..50..5log 0.4log 0.6>D. lg1.6lg1.4>.2．当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）.A B C D 3．下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数（ ）A.log (0,1)a xy a a a =>≠ B. y =2x xC. log (0,1)x a y a a a =>≠D. y =2x4．函数12log (1)y x =-的定义域是（ ）.A. (1,)+∞B. (,2)-∞C. (2,)+∞D. (1,2] 5．若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）.A. 1 m n >>B. 1n m >>C. 01n m <<<D. 01m n <<< 6．函数3log y x =的定义域为 . （用区间表示）7．比较两个对数值的大小：ln 7 ln12 ； 0.5log 0.7 0.5log 0.8. ※能力提高8．求下列函数的定义域：（1） ()()34log 11xf x x x -=++-； （2）21log (45)y x =--.9．已知函数2()3log ,[1,4]f x x x =+∈，22()()[()]g x f x f x =-，求： （1）()f x 的值域； （2）()g x 的最大值及相应x 的值.※探究创新10．若,a b 为不等于1的正数，且a b <，试比较log a b 、1log a b 、1log b b.第17讲 §2.2.2 对数函数及其性质（二）¤学习目标：掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题. 知道指数函数y =a x 与对数函数y =log ax 互为反函数. （a > 0, a ≠1）¤知识要点：1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.xy1 1oxy o 1 1oy x11 oy x1 12. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.3. 复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i ）求定义域；（ii ）拆分函数；（iii ）分别求(),()y f u u x ϕ==的单调性；（iv ）按“同增异减”得出复合函数的单调性.¤例题精讲：【例1】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.解：先求定义域，由320x ->, 解得32x <. 设332,(,)2t x x =-∈-∞，易知为减函数. 又∵ 函数0.3log y t =是减函数，故函数0.3log (32)y x =-在3(,)2-∞上单调递增.【例2】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<变量x解：在同一坐标系中分别画出40.4,3,log x x y y y x ===的图象，分别作出当自取3，0.4，0.3时的函数值.观察图象容易得到：30.44log 0.30.43<<. 故选C.【例3】指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？ 解：在指数函数x y a =的图象上任取一点00(,)M x y ，则00x y a =. 由指对互化关系，有00log a y x =.所以，点00'(,)M y x 在对数函数log a y x =的图象上. 因为点00(,)M x y 与点00'(,)M y x 关于直线y x =对称，所以指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象关于直线y x =对称. 点评：两个函数的对称性，由任意点的对称而推证出来. 这种对称性实质是反函数的图象特征，即函数x y a =与log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数，而互为反函数的两个函数图象关于直线y x =对称.【例4】2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M 是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m 和燃料重量x 之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y 关于x 的函数关系式为：[ln()ln(2)]4ln 2(0)y k m x m k =+-+≠其中. 当燃料重量为(1)e m -吨（e 为自然对数的底数， 2.72e ≈）时，该火箭的最大速度为4（km/s ）.（1）求火箭的最大速度(/)y km s 与燃料重量x 吨之间的函数关系式()y f x =；（2）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s ，顺利地把飞船发送到预定的轨道？解：（1）依题意把(1),4x e m y =-=代入函数关系式[ln()ln(2)]4ln 2y k m x m =+-+，解得8k =. 所以所求的函数关系式为8[ln()ln(2)]4ln 2,y m x m =+-+ 整理得8ln().m x y m+= （2）设应装载x 吨燃料方能满足题意，此时，544,8m x y =-= 代入函数关系式8544ln(),ln 1,344().544m x y x m x+===-得解得吨 所以，应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.点评：直接给定参数待定的函数模型时，由待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数. 一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其它问题. 代入法、方程思想、对数运算，是解答此类问题的方法精髓.第17练 §2.2.2 对数函数及其性质（二）※基础达标 1．函数1lg1xy x+=－的图象关于（ ）. A. y 轴对称B. x 轴对称C. 原点对称D. 直线y ＝x 对称2．函数212log (617)y x x =-+的值域是（ ）.A. RB. [8,)+∞C. (,3]-∞-D. [3,)+∞3．（07年全国卷.文理8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）. A.2B. 2C. 22D. 44．图中的曲线是log a y x =的图象，已知a 的值为2，43，310，15，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）.A.2，43，15，310 B. 2，43，310，15 C. 15，310，43，2 D. 43，2，310，155．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（ ）.A. 12log (1)y x =+ B. 22log 1y x =- C. 21log y x= D.20.2log (4)y x =-6． 函数2()lg(1)f x x x =+-是 函数. （填“奇”、“偶”或“非奇非偶”） 7．函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 . ※能力提高 8．已知6()log ,(0,1)a f x a a x b=>≠-，讨论()f x 的单调性.9．我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系. 声音的强度I 用瓦/平方米 （2/W m ）表示. 但在实际测量中，常用声音的强度水平1L 表示，它们满足以下公式：1010lg IL I = （单位为分贝），10L ≥，其中120110I -=⨯，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端. 回答以下问题：（1）树叶沙沙声的强度是122110/W m -⨯，耳语的强度是102110/W m -⨯，恬静的无限电广播的强度为82110/W m -⨯. 试分别求出它们的强度水平. （2）在某一新建的安静小区规定：小区内的公共场所声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？※探究创新10． 已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中(01)a a >≠且．（1）求函数()()f x g x -的定义域； （2）判断()()f x g x -的奇偶性，并说明理由；（3）求使()()0f x g x ->成立的x 的集合.第18讲 §2.3 幂函数¤学习目标：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, y =1/x , y=x 1/2 的图像，了解它们的变化情况.知识要点：1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象.2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)+∞上是增函数.（2）当0α<时，图象过定点(1,1)；在(0,)+∞上是减函数；0 x C 1C 2C 4C 3 1y在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大.¤例题精讲：【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性. 解：设y x α=，代入点(27,3)，得327α=，解得13α=， 所以13y x =，在R 上单调递增.【例2】已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．解：∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，∴{6020m m -<-<，解得26m <<.又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ∴ 2m -为偶数，即得4m =. 【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ）. A ．101n m -<<<< B ．1,01n m <-<<C ．10,1n m -<<>D ．1,1n m <->解：由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x =的右侧，图象由下至上，依次是n y x =，1y x -=，0y x =，m y x =，1y x =，所以有101n m <-<<<. 选B.点评：观察第一象限内直线1x =的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.【例4】本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区2a m 的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需10年. 已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的22. （1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？ （3）若通过技术创新，至少保留24a m 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年？ 解：（1）设每年平改坡的百分比为(01)x x <<，则101(1)2a x a -=，即11011()2x -=，解得11011()0.0670 6.702x =-≈=%.（2）设到今年为止，该工程已经进行了n 年，则2(1)2na x a -=，即110211()()22n=，解得n =5. 所以，到今年为止，该工程已经进行了5年. （3）设今后最多还需平改坡m 年，则 51(1)4m a x a +-=，即521011()()22m +=，解得m =15. 所以，今后最多还需平改坡15年.点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用.第18练 §2.3 幂函数※基础达标1．如果幂函数()f x x α=的图象经过点2(2,)2，则(4)f 的值等于（ ）. A. 16 B. 2 C. 116 D. 122．下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（ ）.A. 1y x =B. 12y x = C. 1()3x y = D. 2215y x x =--3．设120.7a =，120.8b =，c 3log 0.7=，则（ ）.A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c4．如图的曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象. 已知n 分别取2±，12±四个值，与曲线1c 、2c 、3c 、4c 相应的n 依次为（ ）.A ．112,,,222-- B. 112,,2,22--C. 11,2,2,22--D. 112,,,222--5．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）. A.12y x = B. 4y x = C. 2y x -= D.13y x =6．幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则(8)f 的值为 .7．比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32a ； 223(5)a -+ 235-； 0.50.4 0.40.5.※能力提高8．幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.9．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿）.（1）写出1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数； （2）求2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式. 如果要使2008年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？※探究创新10．请把相应的幂函数图象代号填入表格.① 23y x =； ② 2y x -=；③ 12y x =； ④ 1y x -=； ⑤ 13y x =；⑥ 43y x =；⑦ 12y x-=；⑧ 53y x =.第19讲 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习¤学习目标：理解掌握指数函数、对数函数和幂函数的性质、图象及运算性质. 突出联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解.¤例题精讲：【例1】若()(0,1)x f x a a a =>≠且，则1212()()()22x x f x f x f ++≤. 证明：121212122()()()222x x x x f x f x x x a a f a ++++-=-12121222()022x x x x x x a a a a a a +--==≥. ∴ 1212()()()22x x f x f x f ++≤. （注：此性质为函数的凹凸性） 函数代号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 图象代号42-2510c 4c 3c 2c 1【例2】已知函数2()(0,0)1bxf x b a ax =≠>+. （1）判断()f x 的奇偶性； （2）若3211(1),log (4)log 422f a b =-=，求a ，b 的值.解：（1）()f x 定义域为R ，2()()1bxf x f x ax --==-+，故()f x 是奇函数.（2）由1(1)12b f a ==+，则210a b -+=.又log 3(4a -b )=1，即4a -b =3.由{21043a b a b -+=-=得a =1，b =1.【例3】（01天津卷.19）设a ＞0， ()x x e af x a e=+是R 上的偶函数.（1）求a 的值； （2）证明()f x 在(0,)+∞上是增函数．解：（1）∵ ()x x e af x a e=+是R 上的偶函数，∴ ()()0f x f x --=.∴ 110()()x x x x x x e a e a a e a e a e a e a a---+--=⇒-+-10()()0x x a e e a -=⇒--=.e x －e -x 不可能恒为“0”， ∴ 当1a－a ＝0时等式恒成立， ∴a ＝1．（2）在(0,)+∞上任取x 1＜x 2，1212121212111()()()()x x x x x x x x e f x f x e e e a e e e e -=+--=-+-12121()(1)x x x x e e e e =--∵ e ＞1，x 1＜x 2， ∴ 121x x e e >>， ∴12x x e e ＞1，121212()(1)x x x x x x e e e e e e --＜0，∴ 12()()0f x f x -<， ∴ ()f x 是在(0,)+∞上的增函数．点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识．此题中的函数，也可以看成指数函数x y a =与x a y a x =+的复合，可以进一步变式探讨x ay a x=+的单调性. 【例4】已知1992年底世界人口达到54.8亿.（1）若人口的平均增长率为1.2%，写出经过t 年后的世界人口数y （亿）与t 的函数解析式；（2）若人口的平均增长率为x %，写出2010年底世界人口数为y （亿）与x 的函数解析式. 如果要使2010年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？ 解：（1）经过t 年后的世界人口数为 *54.8(1 1.2)54.8 1.012,t t y t N =⨯+%=⨯∈. （2）2010年底的世界人口数y 与x 的函数解析式为 1854.8(1)y x =⨯+%. 由1854.8(1)y x =⨯+%≤66.8， 解得1866.8100(1) 1.154.8x ≤⨯-≈. 所以，人口的年平均增长率应控制在1.1%以内.点评：解应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案. 此题由增长率的知识，可以得到指数型或幂型函数，并得到关于增长率的简单不等式，解决实际中增长率控制问题.第19练 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习※基础达标1．（06年全国卷II.文2理1）已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N =（ ）.A. ∅B. {}|03x x <<C. {}|13x x <<D. {}|23x x << 2．（08年北京卷.文2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ）. A. a b c >> B. b a c >> C. c a b >> D. b c a >>3.（05年福建卷）函数()x b f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）. A. 1,0a b >< B. 1,0a b >>C. 01,0a b <<>D. 01,0a b <<<。
人教A版数学必修一第2章《基本初等函数》(1)(幂函数)备课资料
人教A版数学必修一第2章《基本初等函数》(1)（幂函数）备课资料中学高中数学必修1第2章基本初等函数（1）-4.备课资料（幂函（数字）历史上数学计算方面的三大发明你知道数学计算的三大发明吗？这些是阿拉伯数字、十进制和对数研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题,我们采用的十进制是中国人的一大发明.在商代中期的甲骨文中已有十进制,其中最大的数是3万,印度最早到六世纪末才有十进制.但是,目前使用的计数法和阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早开始使用,后来传到阿拉伯,由阿拉伯人传到欧洲,并被欧洲人所接受.小数点计数法的诞生是自然数发展史上的一次飞跃。
同一个数因其位置不同而具有不同的值。
无限自然数可以由有限个符号控制，所有自然数都可以轻松清晰地表达出来16世纪前半叶,由于实际的需要,对计算技术的改进提出了前所未有的要求.这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用,它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要.为了简化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算,自然希望将乘除法归结为简单的加减法.苏格兰数学家纳皮尔(napier,j.1550~1617)在球面天文学的三角学研究中,首先发明了对数方法.1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中,阐述了他的对数方法,对数的使用价值为纳皮尔的朋友――英国数学家布里格斯(birggs,h.1561~1630)所认识,他与纳皮尔合作,并于1624年出版了《对数算术》一书,公布了以10为底的14位对数表,并称以10为底的对数为常用对数.常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献,而自然对数以及以e为底的指数函数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始,微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说:“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命.”直到一8世纪，瑞士数学家欧拉（l.1707~1783）才发现指数和对数之间的关系。
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创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克*必修1第一章 集合与函数概念 1．1 集合1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质第二章 基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数 2．3 幂函数第三章 函数的应用 3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章 空间几何体 1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章 点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章 直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式 必修3第一章 算法初步1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例阅读与思考 割圆术第二章 统计 2．1 随机抽样阅读与思考 一个著名的案例阅读与思考 广告中数据的可靠性阅读与思考 如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体 阅读与思考 生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系 阅读与思考 相关关系的强与弱第三章 概率3．1 随机事件的概率阅读与思考 天气变化的认识过程3．2 古典概型 3．3 几何概型必修4第一章 三角函数 1．1 任意角和弧度制创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克*1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象与性质 1．5 函数y=Asin （ωx+ψ） 1．6 三角函数模型的简单应用第二章 平面向量 2．1 平面向量的实际背景及基本概念 2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章 三角恒等变换 3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章 解三角形1.1正弦定理和余弦定理 1.2应用举例 1.3实习作业第二章 数列2.1数列的概念与简单表示法 2.2等差数列2.3等差数列的前n 项和 2.4等比数列2.5等比数列的前n 项和第三章 不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法 3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题 3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念创作编号：BG7531400019813488897SX创作者：别如克*3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修3-2选修3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形作编号：BG7531400019813488897SX作者：别如克*第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何选修3-4第一讲平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第三讲对称与群的故事选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修4-3选修4-4第一讲坐标系第二讲参数方程选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修4-8选修4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介高中人教版（B）教材目录介绍必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数3．4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步作编号：BG7531400019813488897SX创作者： 别如克*1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章 统计 2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体 2．3 变量的相关性第三章 概率 3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用 3．4 概率的应用必修四第一章 基本初等函(Ⅱ) 1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的图象与性质第二章 平面向量 2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积 2．4 向量的应用第三章 三角恒等变换 3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式 3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五 第一章 解直角三角形 1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章 数列 2．1 数列2．2 等差数列 2．3 等比数列第三章 不等式3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用 3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修1－1第一章 常用逻辑用语 1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词 1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章 圆锥曲线与方程 2．1 椭圆2．2 双曲线 2．3 抛物线第三章 导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算 3．3 导数的应用选修1－2第一章 统计案例 第二章 推理与证明 第三章 数系的扩充与复数的引入 第四章 框图选修4－5第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法 1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法 1．4 绝对值的三角不等式 1．5 不等式证明的基本方法第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2．1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式(选学) 2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章 数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式作编号：BG7531400019813488897SX作编号：BG7531400019813488897SX 作者： 别如克*作者： 别如克*。
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必修 1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2． 1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3． 1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修 2第一章空间几何体1 ．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2 ．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3． 1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3 ． 3 直线的交点坐标与距离公式必修 3第一章算法初步1 ．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2 ．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2 ．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图人教 A 版高中数学目录2． 3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3 ．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3． 2 古典概型3． 3 几何概型必修 4第一章三角函数1 ．1 任意角和弧度制1． 2 任意角的三角函数1． 3 三角函数的诱导公式1． 4 三角函数的图象与性质1． 5 函数 y=Asin （ωx+ψ）1． 6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2 ．1 平面向量的实际背景及基本概念2． 2 平面向量的线性运算2． 3 平面向量的基本定理及坐标表示2． 4 平面向量的数量积2． 5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3 ．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3． 2 简单的三角恒等变换必修 5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.2 应用举例1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n 项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n 项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2 简单的线性规划问题3.4 基本不等式选修 1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算3.3 导数在研究函数中的应用3.4 生活中的优化问题举例选修 1-2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算第四章框图4． 1 流程图4． 2 结构图人教 A 版高中数学目录选修 2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2 立体几何中的向量方法选修 2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修 2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修 3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝人教 A 版高中数学目录选修 3-2选修 3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修 4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修 4-3选修 4-4第一讲坐标系第二讲参数方程第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修 3-4第一讲平面图形的选修 4-5对称群第一讲不等式和绝对值不等式第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第二讲证明不等式的基本方法第三讲对称与群的故事第三讲柯西不等式与排序不等式选修 4-1第四讲数学归纳法证明不等式第一讲相似三角形的判定及有关性质选修 4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修 4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修 4-8选修 4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介高中人教版（ B）教材目录介绍必修一第一章集合1． 1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算人教 A 版高中数学目录第二章函数2．1 函数2． 2 一次函数和二次函数2． 3 函数的应用（Ⅰ）2． 4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3 ．1 指数与指数函数3． 2 对数与对数函数3．3 幂函数3． 4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1． 2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2 ．1 平面真角坐标系中的基本公式2． 2 直线方程2． 3 圆的方程2． 4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1． 2 基本算法语句1． 3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2． 2 用样本估计总体2． 3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3． 2 古典概型3． 3 随机数的含义与应用3． 4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ )1 ．1 任意角的概念与弧度制1． 2 任意角的三角函数1． 3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2 ．1 向量的线性运算2 ．2 向量的分解与向量的坐标运算2． 3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3 ．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修 1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修 1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修 4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1 ．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式人教 A 版高中数学目录1．3 绝对值不等式的解法1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2． 1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式 ( 选学 )2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3． 1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.1指数与指数幂的运算课件新人教A版必修1
引入
问题：当生物死亡后,它机体内原有的
碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年
衰减为本来的一半. 根据此规律,人们获得生物
体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系是
t
P 1 5730
（*）
2
考古学家根据（*）式可以知道，生物死亡t
年后，体内的碳14含量P的值.
n是偶数时，n
an
a | a | a
(a 0) (a 0)
例题
例1 求下列各式的值（式子中字母都大于零）
(1) 3 (8)3 ; (2) (10)2 ;
(3) 4 (3 )4 ;
(4) (a - b)2 (a b).
分数指数
10
5 a10 5 a2 5 a2 a 5 a 0
2.计算下列各式： 1
1
1
1
(1)
a
2 1
b2
1
a2 1
b2
1
a2 b2 a2 b2
(2)(a2 2 a2 ) (a2 a2 )
练习
3.已知 x + x- 1 = 3，求下列各式的值
1
-1
(1)x 2 + x 2
1
-1
(2)x 2 - x 2
4.化简 (3 6 a9 )4 (6 3 a9 )4 的结果是（ C ）
2
1
8 3 ; 25 2 ;
1
5
;
16
3
4
2
81
例3 用分数指数幂的情势表示下列各式(其中a>0):
(1) a 3
a ;(2) a 2 3 a 2 ; (3)
3
a a.
高中数学人教版A版必修一课件：第二章 《基本初等函数》 2.1.1 指数与指数幂的运算
1 3
1 ×3 2
＋
1 3
＋1
6
＝
2×3＝6.
251 (2)原式＝ 9 2 1 － 64 － 2 2 ＋ 10 ＋27 3
37 5 9 － 3×1 ＋48 ＝ 3＋ 100 ＋16 － 3
37 ＋48＝100. (3)原式＝
1 6a2 2 －24×a3
＋
1 2
×b
1 1 ＋ 4 2
2 －4×a3
3 ×b2
2 ＝6×a3
＋
1 2
－
2 3
1 ×b 4
＋
Hale Waihona Puke 1 2－3 2＝
b
－
3 4
.
课前预习 课堂互动 课堂反馈
规律方法 1．指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成
－
2 3
1
4
a3＋b32
＝b
－
.
4
解
(1)
b
－
2 3
＝b 4 ＝b
3
－
2 3
×
1 4
1 6
.
＋
1 (2)原式＝a· a2 a·
3
1 1 1 1 1 1 2 ＝a2 · a4 · a8 ＝a2 2
－
1 4
＋
1 8
7 ＝a8
3
－
.
(3)原式＝[ (a ＋b ) ]
(1)a＋a 1；(2)a2＋a 2.
－
解
－
(1)将
1 a2
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河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修1第2章 基本初等函数（1）-1.示范教案（1.1 指数与指数幂的运算 第1课时）
本章教材分析
教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题.
本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实
例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=a x 的符号
及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）,通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=log a x 的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数
的图象,探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）;知道指数函数y=a x 与
对数函数y=log a x 互为反函数（a ＞0,a≠1）,初步了解反函数的概念和f -1(x)的意义;通过实
例了解幂函数的概念,结合五种具体函数y=x,y=x 2,y=x 3,y=x -1,y=x 2
1的图象,了解它们的变化情况.
本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点.
教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
整体设计
我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.
教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫. 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.
根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.
三维目标
1.通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的能力.
2.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.
3.能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.
4.通过训练及点评,让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.
重点难点
教学重点：
(1)分数指数幂和根式概念的理解.
(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质.
(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值.
教学难点:
(1)分数指数幂及根式概念的理解.
(2)有理指数幂性质的灵活应用.
课时安排
3课时
教学过程
第1课时指数与指数幂的运算(1)
导入新课
思路 1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化,又怎样判断它们所处的年代?(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的,第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的.教师板书本节课题:指数函数——指数与指数幂的运算.
思路2.同学们,我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的,这就是我们本堂课研究的课题:指数函数——指数与指数幂的运算. 推进新课
提出问题
(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？
(2)如x4=a,x5=a,x6=a根据上面的结论我们又能得到什么呢?
(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?
(4)可否用一个式子表达呢?
活动：教师提示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的,对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子,对问题②的结论进行引申、推广,相互交流讨论后回答,教师及时启发学生,具体问题一般化,归纳类比出n次方根的概念,评价学生的思维. 讨论结果：
(1)若x2=a,则x叫做a的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4的平方根为±2,负数没有平方根,同理,若x3=a,则x叫做a的立方根,一个数的立方根只有一个,如:-8的立方根为-2.
(2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于a,则这个数叫a的四次方根.一个数的五次方等于a,则这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a,则这个数叫a的六次方根.
(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,则这个数叫a的n次方根.
(4)用一个式子表达是,若x n=a,则x叫a的n次方根.
教师板书n次方根的意义:
一般地,如果x n=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n＞1且n∈N*.
可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.
提出问题
(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗?(多媒体显示以下题目).
①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；
⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.
(2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0,a6分别对应什么性质的数,有什么特点?
(3)问题（2）中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢?
(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢?
活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念,求一个数a的n次方根,就是求出的那个数的n次方等于a,及时点拨学生,从数的分类考虑,可以把具体的数写出来,观察数的特点,对问题（2）中的结论,类比推广引申,考虑要全面,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
讨论结果：
（1）因为±2的平方等于4,±2的立方等于8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,a2.
（2）方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总的来看,这些数包括正数,负数和零.
（3）一个数a的奇次方根只有一个,一个正数a的偶次方根有两个,是互为相反数.0的任何次方根都是0.
（4）任何一个数a的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶次方是一个负数.。