05-11高数历年真题及答案
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(江苏卷)
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第一卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin 2sin cos sin sin 2cos sin 2222cos cos 2cos cos cos cos 2sin sin 2222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=+-+-+=-=-若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n k n n P k C p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 其中x 为这组数据的平均数值一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
（1） 设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3} （B ）{1,2,4} （C ）{2,3,4} （D ）{1,2,3,4}（2） 函数123()x y x R -=+∈的反函数的解析表达式为（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x =- （3） 在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189（4） 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，AA 1=1则点A 到平面A 1BC 的距离为（A）4 （B）2 （C）4（D（5） △ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为 （A）)33B π++ （B）)36B π++ （C ）6sin()33B π++ （D ）6sin()36B π++（6） 抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（A ）1716 （B ）1516 （C ）78（D ）0 （7） 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A ）9.4, 0.484 （B ）9.4, 0.016 （C ）9.5, 0.04 （D ）9.5, 0.016（8） 设,,αβγ为两两不重合的平面，l ,m ,n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,αγβγ⊥⊥则α∥β；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥,β则α∥β；③若α∥,,l βα⊂则l ∥β；④若,,,l m n l αββγγα⋂=⋂=⋂=∥,γ则m ∥n .其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9） 设k=1,2,3,4,5,则（x +2）5的展开式中x k 的系数不可能是（A ）10 （B ）40 （C ）50 （D ）80（10） 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+= （A ）79- （B ）13- （C ）13 （D ）79 （11） 点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（A ）3 （B ）13 (C)2 （D ）12（12） 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0参考答案：DACBD CDBCA AB第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(16计数原理、二项式定理)
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（16计数原理、二项式定理）一、选择题：1. (2005北京文)五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（A ）1444C C 种 （B ）1444C A 种 （C ）44C 种 （D ）44A 种 【答案】B【详解】分两个步骤进行。
第一步：先考虑安排甲工程队承建的项目，有C 14种方法；第二步：其余的4个队任意安排，有44A 种方法。
故，不同的承建方案共有1444C A 种。
【名师指津】排列组合中的分步计数原理与分类计数原理做为解决此类问题的基础.2．(2005北京理)北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 （ ）A ．484121214C C CB ．484121214A A CC ．33484121214A C C C D ．33484121214A C C C【答案】A【详解】本题可以先从14人中选出12人即1214C ,然后从这12人中再选出4人做为早班即412C ,最后再从剩余的8人选出4人安排为中班即48C ,剩下的4个安排为晚班,以上为分步事件应用乘法原理可得不同的排法为：124414128C C C .【名师指津】 排列组合中的分步计数原理与分类计数原理做为解决此类问题的基础.3．(2005福建文、理)从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种 解：分三种情况：情况一,不选甲、乙两个去游览:则有44P 种选择方案,情况二:甲、乙中有一人去游览：有11332343C C C P 种选择方案;情况三：甲、乙两人都去游览,有22132433C C C P 种选择方案,综上不同的选择方案共有44P +11332343C C C P +22132433C C C P =240,选(B)4．(2005湖北文)把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144 解：本题主要关键是抓连续编号的2张电影票的情况,可分四种情况：情况一：连续的编号的电影票为1,2;3,4;5,6,这时分法种数为222432C P P情况二：连续的编号的电影票为1,2；4,5,这时分法种数为222422C P P 情况三：连续的编号的电影票为2,3;4,5;这时分法种数为222422C P P 情况四：连续的编号的电影票为2,3;5,6,这时分法种数为222422C P P综上, 把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张,且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是222432C P P +3222422C P P =144(种)5．(2005湖南文)设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ） A ．20 B ．19 C ．18D ．16[评析]:本题考查直线方程和排列组合知识交汇问题. 【思路点拨】本题涉及直线的位置关系与排列组合知识.【正确解答】[解法一]:从1,2,3,4,5中每次取两个不同的数的排列有25A 种其中取1,2和2,4或2,1和4,2表示相同直线.所以所得不同直线条数为:。
2005年全国统一高考数学试卷及解析(理)
2005年全国统一高考数学试卷ⅰ（理）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数=（）A．﹣i B．i C．2﹣i D．﹣2+i2．（5分）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（）A．∁I S1∩（S2∪S3）=∅B．S1⊆（∁I S2∩∁I S3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅ D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）3．（5分）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A．B． C．D．4．（5分）已知直线l过点（﹣2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．5．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A． B． C．D．6．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条准线与抛物线y2=﹣6x的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A． B．C． D．7．（5分）当0＜x＜时，函数的最小值为（）A．2 B．C．4 D．8．（5分）设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．9．（5分）设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，log a3）D．（log a3，+∞）10．（5分）在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域面积为（）A． B．C．D．311．（5分）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1，②1＜sinA+sinB≤，③sin2A+cos2B=1，④cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③12．（5分）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对B．24对C．30对D．36对二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m=．（lg2≈0.3010）14．（4分）的展开式中，常数项为．（用数字作答）15．（4分）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=度．16．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为．（写出所有正确结论的编号）三、解答题（共6小题，17~20、22题每题12分，21题14分，满分74分）17．（12分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求φ，并指出y=f（x）由y=sin2x作怎样变换所得．（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．19．（12分）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和S n＞0（n=1，2，…）．（Ⅰ）求q的取值范围；（Ⅱ）设，记{b n}的前n项和为T n，试比较S n与T n 的大小．20．（12分）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望．（精确到0.01）21．（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且=λ+μ（λ，μ∈R），证明λ2+μ2为定值．22．（12分）为了了解某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩，从中抽取了部分学生的竞赛成绩（均为整数），整理后绘制成如下的频数分布直方图（如图），请结合图形解答下列问题．（1）指出这个问题中的总体；（2）求竞赛成绩在79.5～89.5这一小组的频率；（3）如果竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学可获得奖励，请估计全校约有多少人获得奖励．2005年河北省高考数学试卷Ⅰ（理）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2005•安徽）复数=（）A．﹣i B．i C．2﹣i D．﹣2+i【分析】两个复数相除，分子、分母同时乘以分母的共轭复数，复数的乘法按多项式乘以多项式的方法进行．【解答】解：复数====i，故选B．2．（5分）（2005•安徽）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（）A．∁I S1∩（S2∪S3）=∅B．S1⊆（∁I S2∩∁I S3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅ D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）【分析】根据公式C U（A∩B）=（C U A）∪（C U B），C U（A∪B）=（C U A）∩（C U B），容易判断．【解答】解：∵S1∪S2∪S3=I，∴C I S1∩C I S2∩C I S3）=C I（S1∪S2∪S3）=C I I=∅．故答案选C．3．（5分）（2008•湖北）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A．B． C．D．【分析】做该题需要将球转换成圆，再利用圆的性质，获得球的半径，解出该题即可．【解答】解：截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径是，所以根据球的体积公式知，故选B．4．（5分）（2005•安徽）已知直线l过点（﹣2，0），当直线l与圆x2+y2=2x 有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】圆心到直线的距离小于半径即可求出k的范围．【解答】解：直线l为kx﹣y+2k=0，又直线l与圆x2+y2=2x有两个交点故∴故选C．5．（5分）（2005•安徽）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A． B． C．D．【分析】该几何体是一个三棱柱截取两个四棱锥，体积相减即为该多面体的体积．【解答】解：一个完整的三棱柱的图象为：棱柱的高为2；底面三角形的底为1，高为：，其体积为：；割去的四棱锥体积为：，所以，几何体的体积为：，故选A．6．（5分）（2005•安徽）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条准线与抛物线y2=﹣6x的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A． B．C． D．【分析】先根据抛物线和双曲线方程求出各自的准线方程，然后让二者相等即可求得a，进而根据c=求得c，双曲线的离心率可得．【解答】解：双曲线的准线为抛物线y2=﹣6x的准线为因为两准线重合，故=，a2=3，∴c==2∴该双曲线的离心率为=故选D7．（5分）（2005•安徽）当0＜x＜时，函数的最小值为（）A．2 B．C．4 D．【分析】利用二倍角公式化简整理后，分子分母同时除以cosx，转化成关于tanx的函数解析式，进而利用x的范围确定tanx＞0，最后利用均值不等式求得函数的最小值．【解答】解：=．∵0＜x＜，∴tanx＞0．∴．当时，f（x）min=4．故选C．8．（5分）（2005•安徽）设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．【分析】根据题中条件可先排除前两个图形，然后根据后两个图象都经过原点可求出a的两个值，再根据抛物线的开口方向就可确定a的值【解答】解：∵b＞0∴抛物线对称轴不能为y轴，∴可排除掉前两个图象．∵剩下两个图象都经过原点，∴a2﹣1=0，∴a=±1．∵当a=1时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左方，∴第四个图象也不对，∴a=﹣1，故选B．9．（5分）（2005•安徽）设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，log a3）D．（log a3，+∞）【分析】结合对数函数、指数函数的性质和复合函数的单调性可知：当0＜a＜1，log a（a2x﹣2a x﹣2）＜0时，有a2x﹣2a x﹣2＞1，解可得答案．【解答】解：设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），若f（x）＜0则log a（a2x﹣2a x﹣2）＜0，∴a2x﹣2a x﹣2＞1∴（a x﹣3）（a x+1）＞0∴a x﹣3＞0，∴x＜log a3，故选C．10．（5分）（2005•安徽）在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域面积为（）A． B．C．D．3【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用三角形的面积公式计算即可．【解答】解：原不等式组可化为：或画出它们表示的可行域，如图所示．可解得A（，﹣），C（﹣1，﹣2），B（0，1）原不等式组表示的平面区域是一个三角形，其面积S△ABC=×（2×1+2×）=，故选C．11．（5分）（2005•安徽）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1，②1＜sinA+sinB≤，③sin2A+cos2B=1，④cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③【分析】先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos=进而求得A+B=90°进而求得①tanA•cotB=tanA•tanA等式不一定成立，排除；②利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，②正确；③sin2A+cos2B=2sin2A不一定等于1，排除③；④利用同角三角函数的基本关系可知cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，进而根据C=90°可知sinC=1，进而可知二者相等．④正确．【解答】解：∵tan=sinC∴=2sin cos整理求得cos（A+B）=0∴A+B=90°．∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正确．∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+45°）45°＜A+45°＜135°，＜sin（A+45°）≤1，∴1＜sinA+sinB≤，所以②正确cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，sin2C=sin290°=1，所以cos2A+cos2B=sin2C．所以④正确．sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A=1不一定成立，故③不正确．综上知②④正确故选B．12．（5分）（2005•安徽）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对B．24对C．30对D．36对【分析】直接解答，看下底面上的一条边的异面直线的条数，类推到上底面的边；再求侧面上的异面直线的对数；即可．【解答】解：三棱柱的底面三角形的一条边与侧面之间的线段有3条异面直线，这样3条底边一共有9对，上下底面共有18对．上下两个底边三角形就有6对；侧面之间的一条侧棱有6对，侧面面对角线之间有6对．加在一起就是36对．（其中棱对应的两条是体对角线和对面的面与其不平行的另一条对角线）．故选D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2005•安徽）若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m= 155．（lg2≈0.3010）【分析】利用题中提示lg2≈0.3010，把不等式同时取以10为底的对数，再利用对数的运算性质，转化为关于m的不等式求解即可．【解答】解：∵10m﹣1＜2512＜10m，取以10为底的对数得lg10m﹣1＜lg2512＜lg10m，即m﹣1＜512×lg2＜m又∵lg2≈0.3010∴m﹣1＜154.112＜m，因为m是正整数，所以m=155故答案为155．14．（4分）（2005•安徽）的展开式中，常数项为672．（用数字作答）=C n r a n﹣r b r求出通项，进行指【分析】利用二项式定理的通项公式T r+1数幂运算后令x的指数幂为0解出r=6，由组合数运算即可求出答案．=C9r（2x）9﹣r=（﹣1）r29﹣r C9r x9【解答】解：由通项公式得T r+1﹣r=（﹣1）r29﹣r C9r，令9﹣=0得r=6，所以常数项为（﹣1）623C96=8C93=8×=672故答案为67215．（4分）（2005•山西）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=115度．【分析】由三角形内切定义可知：OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线；再利用角平分线的定义可知∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），代入数值即可求答案．【解答】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（50°+80°）=65°，∴∠BOC=180°﹣65°=115°．故答案为：115°．16．（4分）（2005•安徽）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形B FD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为①③④．（写出所有正确结论的编号）【分析】由平行平面的性质可得①是正确的，当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故③④正确，②错误．【解答】解：①：∵平面AB′∥平面DC′，平面BFD′E∩平面AB′=EB，平面BFD′E∩平面DC′=D′F，∴EB∥D′F，同理可证：D′E∥FB，故四边形BFD′E一定是平行四边形，即①正确；②：当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故②错误；③：四边形BFD′E在底面ABCD内的投影为四边形ABCD，所以一定是正方形，即③正确；④：当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB′D，又∵EF⊂平面BFD′E，∴此时：平面BFD′E⊥平面BB′D，即④正确．故答案为：①③④三、解答题（共6小题，17~20、22题每题12分，21题14分，满分74分）17．（12分）（2005•山西）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求φ，并指出y=f（x）由y=sin2x作怎样变换所得．（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．【分析】（I）由图象的一条对称轴是直线，从而可得，解的∅，根据平移法则判断平移量及平移方向（II）令，解x的范围即为所要找的单调增区间（III）利用“五点作图法”做出函数的图象【解答】解：（Ⅰ）∵x=是函数y=f（x）的图象的对称轴，∴，∴，k∈Z．∵．由y=sin2x向右平移得到．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知ϕ=﹣，因此y=．由题意得，k∈Z．所以函数的单调增区间为，k∈Z．（3分）（Ⅲ）由知x 0 πy ﹣﹣1 0 1 0 ﹣故函数y=f（x）在区间[0，π]上图象是（4分）18．（12分）（2005•安徽）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M 是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．【分析】法一：（Ⅰ）证明面PAD⊥面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；（Ⅱ）过点B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角；（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，说明∠ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小．法二：以A为坐标原点AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，（Ⅰ）求出，计算，推出AP⊥DC．，然后证明CD垂直平面PAD，即可证明面PAD⊥面PCD；（Ⅱ），计算．即可求得结果．（Ⅲ）在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，说明∠ANB 为所求二面角的平面角．求出，计算即可取得结果．【解答】法一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得：CD⊥PD．因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD．又CD⊂面PCD，∴面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角．连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB=，∴．∴AC与PB所成的角为．（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC，∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．在等腰三角形AMC中，AN•MC=，∴．∴AB=2，∴故所求的二面角为．法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（Ⅰ）证明：因为，故，所以AP⊥DC．又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD．又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD（Ⅱ）解：因，故=，所以由此得AC与PB所成的角为．（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，，∴x=1﹣λ，y=1，z=λ．要使AN⊥MC，只需即，解得．可知当时，N点坐标为，能使．，有由得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB为所求二面角的平面角．∵，∴．故所求的二面角为arccos．19．（12分）（2005•安徽）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和S n ＞0（n=1，2，…）．（Ⅰ）求q的取值范围；（Ⅱ）设，记{b n}的前n项和为T n，试比较S n与T n 的大小．【分析】（Ⅰ）设等比数列通式a n=a1q（n﹣1），根据S1＞0可知a1大于零，当q不等于1时，根据等比数列前n项和公式，进而可推知1﹣q n＞0且1﹣q＞0，或1﹣q n＜0且1﹣q＜0，进而求得q的范围，当q=1时仍满足条件，进而得到答案．（Ⅱ）把a n的通项公式代入，可得a n和b n的关系，进而可知T n和S n的关系，再根据（1）中q的范围来判断S n与T n的大小．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列通式a n=a1q（n﹣1）根据S n＞0，显然a1＞0，当q不等于1时，前n项和s n=所以＞0 所以﹣1＜q＜0或0＜q＜1或q＞1当q=1时仍满足条件综上q＞0或﹣1＜q＜0（Ⅱ）∵∴b n==a n q2﹣a n q=a n（2q2﹣3q）∴T n=（2q2﹣3q）S n∴T n﹣S n=S n（2q2﹣3q﹣2）=S n（q﹣2）（2q+1）又因为S n＞0，且﹣1＜q＜0或q＞0，所以，当﹣1＜q＜﹣或q＞2时，T n﹣S n＞0，即T n＞S n；当﹣＜q＜2且q≠0时，T n﹣S n＜0，即T n＜S n；当q=﹣，或q=2时，T n﹣S n=0，即T n=S n．20．（12分）（2005•安徽）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望．（精确到0.01）【分析】首先根据独立重复试验的概率公式计算出一个坑不需要补种的概率，由题意知一共种了3个坑，每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，得到变量ξ的可能取值是0，10，20，30，根据独立重复试验得到概率的分布列．【解答】解：首先根据独立重复试验的概率公式计算出一个坑不需要补种的概率p=1﹣C330.53=0.875由题意知一共种了3个坑，每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元得到变量ξ的可能取值是0，10，20，30，ξ=0，表示没有坑需要补种，根据独立重复试验得到概率P（ξ=0）=C330.8753=0.670P（ξ=10）=C320.8752×0.125=0.287P（ξ=20）=C31×0.875×0.1252=0.041P（ξ=30）=0.1253=0.002∴变量的分布列是ξ0 10 20 30P0.670 0.287 0.041 0.002∴ξ的数学期望为：Eξ=0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.7521．（14分）（2005•安徽）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且=λ+μ（λ，μ∈R），证明λ2+μ2为定值．【分析】（Ⅰ）直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率（Ⅱ）用向量运算将λμ用坐标表示，再用坐标的关系求出λ2+μ2的值．【解答】解：（1）设椭圆方程为则直线AB的方程为y=x﹣c，代入，化简得（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0．令A（x1，y1），B（x2，y2），则．∵与共线，∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，又y1=x1﹣c，y2=x2﹣c，∴3（x1+x2﹣2c）+（x1+x2）=0，∴．即，所以a2=3b2．∴，故离心率．（II）证明：由（1）知a2=3b2，所以椭圆可化为x2+3y2=3b2．设M（x，y），由已知得（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），∴∵M（x，y）在椭圆上，∴（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2．即λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．①由（1）知．∴，∴x1x2+3y1y2=x1x2+3（x1﹣c）（x2﹣c）=4x1x2﹣3（x1+x2）c+3c2==0．又x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2，代入①得λ2+μ2=1．故λ2+μ2为定值，定值为1．22．（12分）（2005•安徽）为了了解某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩，从中抽取了部分学生的竞赛成绩（均为整数），整理后绘制成如下的频数分布直方图（如图），请结合图形解答下列问题．（1）指出这个问题中的总体；（2）求竞赛成绩在79.5～89.5这一小组的频率；（3）如果竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学可获得奖励，请估计全校约有多少人获得奖励．【分析】（1）根据总体的概念：所要考查的对象的全体即总体进行回答；（2）根据频率=频数÷总数进行计算；（3）首先计算样本中的频率，再进一步估计总体．【解答】解：（1）总体是某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩．（2），答：竞赛成绩在79.5～89.5这一小组的频率为0.25．（3），答：估计全校约有300人获得奖励．。
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(天津卷.文)
2005年普通高等学校招生全国统一考试 数学（天津文科卷）试题精析详解一、5分⨯10=50分）（1） 集合{|03}A x x x N =≤<∈且的真子集个数是 （ ） （A ）16 （B ）8 （C ）7 （D ）4 【思路点拨】本题考查集合、真子集的基本概念，可采用直接法求集合A【正确解答】用列举法，{0,1,2}A =，A 的真子集有：,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}∅，共7个，选C【解后反思】注意不要忘记空集，以及真子集不包含集合本身.（2） 已知111222log log log b a c <<，则 （ ）（A ）222b a c >> (B) 222a b c >> (C) 222c b a >> (D) 222c a b >> 【思路点拨】本题考查指数函数和对数函数的增减性.【正确解答】由函数性质可知，函数12log y x =在()0,∞上是减函数，因此得b a c >>，又因为2xy =是增函数，所以222b a c >>，选A【解后反思】要深刻理解指数函数和对数函数的图象与性质，并从已知条件和结论的特征出发，发现它们各自所具有的模型函数，以便有目的地思考.（3）某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为 （ ）（A ）81125 （B ）54125 （C ）36125 （D ）27125见理第7题（4）将直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-= 相切，则实数λ的值为 （ ） （A ）－3或7 （B ）－2或8 （C ）0或10 （D ）1或11 【思路点拨】本题考查了平移公式、直线与圆的位置关系，只要正确理解平移公式和直线与圆相切的充要条件就可解决.【正确解答】由题意可知：直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位后的直线l 为：2(1)0x y λ+-+=.已知圆的圆心为(1,2)O -解法1：直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有=，得3λ=-或7.解法2：设切点为(,)C x y ，则切点满足2(1)0x y λ+-+=，即2(1)y x λ=++，代入圆方程整理得：225(24)(4)0x x λλ+++-=， （*）由直线与圆相切可知，（*）方程只有一个解，因而有0∆=，得3λ=-或7. 解法3：由直线与圆相切，可知CO l ⊥，因而斜率相乘得－1，即2211y x -⨯=-+，又因为(,)C x y 在圆上，满足方程22240x y x y ++-=，解得切点为(1,1)或(2,3)，又(,)C x y 在直线2(1)0x y λ+-+=上，解得3λ=-或7.选A【解后反思】直线与圆的位置关系历来是高考的重点.作为圆与圆锥曲线中的特殊图形，具有一般曲线的解决方法外（解法2）还有特别的解法，引起重视理解和掌握.（5）设,,αβγ为平面，,,m n l 为直线，则m β⊥的一个充分条件是 （ ）（A ）,,l m l αβαβ⊥=⊥ （B ）,,m αγαγβγ=⊥⊥ （C ）,,m αγβγα⊥⊥⊥ (D) ,,n n m αβα⊥⊥⊥ 见理第4题（6）设双曲线以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 （ ） （A ）±2 （B ）43± （C ）12± （D ）34± 见理第5题（7）给出三个命题：①若1a b ≥>-，则11a b a b≥++. ②若正整数m 和n 满足m n ≤2n ≤. ③设11(,)P x y 为圆221:9O x y +=上任一点，圆2O 以(,)Q a b 为圆心且半径为1．当2211()()1a x b y -+-=时，圆1O 和2O 相切．其中假命题的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 见理第3题（8）函数sin()(0,,)2y A x x R πωϕωϕ=+><∈的部分图像如图所示，则函数表达式为（ ）（A ）4sin()84y x ππ=-+ （B ）4sin()84y x ππ=- （C ）4sin()84y x ππ=-- （D ）4sin()84y x ππ=+ 【思路点拨】本题考查正弦曲线的图象变换，考查图与形的等价转换能力. 只要由已知图形依次确定A 、ω、φ，而φ的确定是解决本题的难点，必须用最高点或最低点进行处理. 【正确解答】解法1：由函数图象可知，函数过点(2,0),(6,0)-，振幅4A =，周期16T =，频率28T ππω==，将函数4sin 8y x π=向右平移6个单位，得到 34sin((6))4sin()4sin()88484y x x x πππππ=-=-=-+.选A解法2：由函数图象可知，函数过点(2,0),(6,0)-，振幅||4A =，周期16T =，频率28T ππω==，这时4sin()8y x πφ=±+，又因为图象过点(2,4)-，代入得，sin()14πφ+=±.当sin()14πφ+=时，2,2()424k k k Z πππφπφπ+=+=+∈，而||,24ππφφ<∴=,当sin()14πφ+=-时，32,2()424k k k Z πππφπφπ+=-=-∈，而||2πφ<,无解. ∴ 33sin(2)4sin()4sin()848484y x k x x πππππππ=+-=-=-+.选A.解法3：可将点的坐标分别代入进行筛选得到.选A.【解后反思】一般地，如果由图象来求正弦曲线sin()(0,,)2y A x x R πωϕωϕ=+><∈的解析式时，其参数A 、ω、φ的确定：由图象的最高点或最低点求振幅A ，由周期或半个周期（相邻最值点的横坐标间的距离）确定ω，考虑到φ的唯一性，在确定A 、ω的基础上将最值点的坐标代入正弦函数的解析式，在给定的区间内求出φ的值.（9）若函数2()log (2)(0,1)a f x x x a a =+>≠在区间1(0,)2，内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间为 （ ） （A ）1(,)4-∞- （B ）1(,)4-+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）1(,)2-∞- 【思路点拨】本题考查二次函数对数函数的性质，区间1(0,)2的题意就是要研究出22y x x =+的值域来判定a 的取值范围.【正确解答】函数的定义域为1{|0}2x x x ><-或，在区间1(0,)2上，2021x x <+<，又()0f x >，则01a <<，因此log a y t =是减函数，函数()f x 的单调递增区间为函数22y x x =+的递减区间，考虑对数函数的定义域，得所求的单调递增区间为1(,)2-∞-选D【解后反思】对复合函数的性质，一方面要考虑定义域，另一方面要有借助函数图象，用数形结合的思想来解决问题.（10）设()f x 式定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减，且()y f x =的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是 （ ） （A ）(1.5)(3.5)(6.5)f f f << （B ）(3.5)(1.5)(6.5)f f f << （C ）(6.5)(3.5)(1.5)f f f << （A ）(3.5)(6.5)(1.5)f f f << 【思路点拨】本题考查函数的周期性，单调性和对称性等性质，对相关概念有深刻的理解，将自变量的值转化到同一个单调区间，借助图象进行处理.【正确解答】函数图象关于直线3x =对称，则有(3)(3)f x f x +=-，因此有(3.5)(30.5)(30.5)(f f f f =+=-=，又因为函数周期为6，因此(6.5)(0.5)f f =， ()f x 在(0,3)内单调递减，所以(3.5)(1.5)(6.5)f f f <<，选B【解后反思】直观的几何图形是解决问题的有效的重要方法之一，必须引起重视. 二、填空题（4分⨯6=24分）（11）二项式10的展开式中常数项为 ． 【思路点拨】本题考查二项式定理的通项公式，只要概念清楚和运算无误即可.【正确解答】展开式的一般项为1010(t tt C -，令1()(10)032t t +--=，6t =，因此常数项为610210C =.【解后反思】要注意符号因子不能丢.（12）已知2,4a b == ，a 和b 的夹角为3π，以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 ．【思路点拨】本题以向量为背景，考查余弦定理，要判断较短的一条应是3π所对的对角线. 【正确解答】222||||||2||||cos 416224cos 123c a b a b C π=+-⋅=+-⨯⨯⨯=【解后反思】要正确向量的加减法则的几何意义，对向量a=（x,y ）的模有几种方法.①||a = 22||a a = .（１３）如图，PA ABC ⊥平面，90ACB PA AC BC a ∠==== 且，则异面直线PB 与AC 所成的角的正切值等于 ．见理第12题（1４）在数列{}n a 中，121,2a a ==，且21(1)nn n a a +-=+- *()n N ∈，则10S = ． 见理第13题 （15）设函数1()ln1x f x x +=-，则函数1()()()2x g x f f x=+的定义域为 ． 【思路点拨】本题考查复合函数定义域的求法，必须使常见各类函数都有意义，构成不等式组来解.【正确解答】由题意得120122221121111011x x x x x x x x x⎧+⎪>⎪⎪--<<⎧⎪⇒⇒-<<-<<⎨⎨><-⎩⎪+⎪>⎪-⎪⎩或或则所求定义域为(2,1)(1,2)-- . 【解后反思】正确地解不等式组，将繁分式化简是一关键. （16）在三角形的每条边上各取三个分点（如图）．以这9个分点为顶点可画出若干个三角形，若从中 任意抽取一个三角形，则其三个顶点分别落在原 三角形的三个不同边上的概率为 .【思路点拨】本题考查等可能事件的概率，关键是要确定基本事件.【正确解答】可画出的三角形个数为39381C -=，三个顶点分别落在不同边上的个数为11133327C C C = ，所求概率为271813=. 【解后反思】理解和掌握等可能事件的概率的计算公式P （A ）＝mn，本题中构成三角形的个数是一难点.三、解答题（共6小题，共76分） （17）（本小题满分12分）已知7sin()241025παα-==，求sin α及tan()3πα+．【思路点拨】本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到.【正确解答】解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即57cos sin =-αα①由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722ααααααααα+-=+-=-== 故51sin cos -=+αα ②由①和②式得53sin =α，5cos =α因此，43tan -=α，由两角和的正切公式11325483343344331433tan 313tan )3tan(-=+-=+-=-+=+ααπα 解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得αα2sin 212cos 257-==， 解得 259sin 2=α，即5sin =α由1027)4sin(=-πα可得5cos sin =-αα 由于0cos 57sin >+=αα，且057sin cos <-=αα，故α在第二象限53sin =α， 从而557sin cos =-=αα以下同解法一【解后反思】在求三角函数值时，必须对各个公式间的变换应公式的条件要理解和掌握，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形. （18）（本小题满分12分）若公比为c 的等比数列{}n a 的首项11a =且满足13(3,4,)2n n n a a a n --+== ． （I ）求c 的值；（II ）求数列{}n na 的前n 项和n S ．【思路点拨】本题考查等比数列的通项公式及前n 项和的求法.可根据其定义进行求解，要注意①等比数列的公比C 是不为零的常数②前n 项和的公式是关于n 的分段函数，对公比C 是否为1加以讨论.【正确解答】(Ⅰ)解：由题设，当3n ≥时，2212,n n n n a c a a ca ---==，221212---+=+=n n n n a ca a a ，由题设条件可得20n a -≠，因此212c c +=，即2210c c --= 解得c ＝1或2=c (Ⅱ)解：由(Ⅰ)，需要分两种情况讨论，当c ＝1时，数列{}n a 是一个常数列，即1n a = (n ∈N *)这时，数列{}n na 的前n 项和2321=++++=n S n 当21-=c 时，数列{}n a 是一个公比为21-的等比数列，即1)21(--=n n a (n ∈N *)这时，数列{}n na 的前n 项和12)21()21(3)21(21--++-+-+=n n n S①① 式两边同乘21-，得n n n n n S )21()21)(1()21(2212112-+--++-+-=-- ②①式减去②式，得n nn n n n n S )21(211)21(1)21()21()21()21(1)211(12--+--=---++-+-+=+- 所以]223)1(4[911-+--=n n n n S (n ∈N *) 【解后反思】本题是数列求和及极限的综合题.（1）完整理解等比数列{}n a 的前n 项和公式：11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（2）要掌握以下几种情形的极限的求法.①利用1lim 0n n →∞=②利用lim 0n n q →∞=（1q <）③要掌握分类讨论的背景转化方法.如1q >时转化为11q<. （19）（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，11111,,A AB A AC AB AC A A A B a ∠=∠===，侧面11B BCC 与底面ABC 所成的二面角为120，,E F 分别是棱111,B C A A 的中点 （I ）求1A A 与底面ABC 所成的角； （II ）证明1//A E 1平面B FC ； （III ）求经过1,,,A A B C 四点的球的体积．见理第19题 （20）（本小题满分12分）某人在山坡P 点处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高80BC =米，塔所在的山高220OB ＝米，200OA =米，图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上，l 与水平面的夹角为1,tan 2αα=．试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC ∠最大（不计此人身高）？ 见理第20题 （21）（本小题满分14分） 已知m R ∈，设P ：1x 和2x 是方程220x ax --=的两个实根，不等式21253m m x x --≥-对任意实数[1,1]a ∈-恒成立；Q ：函数324()()63f x x mx m x =++++在(,)-∞+∞上有极值．求使P 正确且Q 正确的m 的取值范围．【思路点拨】本题是组合题，考查一元二次方程的根的概念和导数的应用. 【正确解答】 (Ⅰ)由题设1x 和2x 是方程220x ax --=的两个实根，得1x +2x ＝a 且1x 2x ＝－2，所以，84)(||22122121+=-+=-a x x x x x x当a ∈[-1,1]时，28a +的最大值为9，即12||x x -≤3由题意，不等式212|53|||m m x x --≥-对任意实数a ∈[1,1]恒成立的m 的解集等于不等式2|53|3m m --≥的解集由此不等式得2533m m --≤- ①或 2533m m --≥②不等式①的解为0m ≤≤不等式②的解为1m ≤或m ≥因为，对1m ≤或05m ≤≤或6m ≥时，P 是正确的(Ⅱ)对函数6)34()(23++++=x m mx x x f 求导3423)('2+++=m mx x x f 令0)('=x f ，即34232=+++m mx x 此一元二次不等式的判别式124)34(12422--=+-=∆m m m m 若∆＝0，则0)('=x f 有两个相等的实根0x ，且)('x f 的符号如下：因为，0()f x 不是函数()f x 的极值若∆>0，则0)('=x f 有两个不相等的实根1x 和2x (1x <2x )，且)('x f 的符号如下：因此，函数f (x )在x ＝1x 处取得极大值，在x ＝2x 处取得极小值综上所述，当且仅当∆>0时，函数f (x )在(－∞,+∞)上有极值由0161242>--=∆m m 得1m <或4m >， 因为，当1m <或4m >时，Q 是正确得综上，使P 正确且Q 正确时，实数m 的取值范围为(-∞,1)⋃,6[]5,4(+∞⋃【解后反思】对恒成立问题的等价转换，相应知识的完整理解是关键.对P 来说，转化为求使12x x -的最大值时的范围，而要注意一次二次方程根存在的充要条件.对Q 来说，()f x 的导函数存在的充要条件的理解是一难点，也是易错点.（22）（本小题满分14分）抛物线C 的方程为2(0)y ax a =<，过抛物线C 上的一点000(,)(0)P x y x ≠作斜率为12,k k 的两条直线分别交抛物线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点（,,P A B 三点互不相同），且满足120(0,1)k k λλλ+=≠≠-．（I ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（II ）设直线AB 上一点M ，满足BM MA λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上；（III ）当1λ=时，若点P 的坐标为（1，－1），求PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围． 见理第22题.。
2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全(函数的性质及其应用)
况(1)分母不能为零(2)开偶次根的因式要大于或等于零，注意偶次根号下的因式是可以等于零（3）
对数函数的真数要大于零,底数要大于零且不等于 1(4)指数函数的底也要大于零且不等于 1,如果碰
到多种情况,应求它们的交集.此外用特殊值法代入也是解决关于复杂的定义域的选择题是一种比较
好的方法.
11．(2005 湖南文)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为 L1=5.06x－0.15 x
（3）若存在 x0 R ，使得对任意 x R ，有 f (x) f (x0 ) ，则 f (x0 ) 是函数 f (x) 的最大值. 这些命题中，真命题的个数是
（A）0 个.
（B）1 个.
（C）2 个.
（D）3 个.
[答] ( )
4. (2005 北京文)为了得到函数 y 2x3 1 的图象，只需把函数 y 2x 上所有点
【思路点拨】本题涉及是函数的定义域问题即函数存在的条件问题.
【正确解答】解法 1：由题意知，1 2x 0 ，则 x 0 .选 A 解法 2：用特值法令 x 0 ,得 A 、B、D 再令 x 1 ,去掉 B、D ，可以轻易得到答案. 选 A.
【解后反思】函数的定义域的问题是高考数学的一个热点,关于函数的定义域的常规问题有如下几种情
【解后反思】根据函数图形来解客观题,快速而且准确,这就要求对函数的图形要相当了解.
15.(2005 全国Ⅰ理)设 b 0 ，二次函数 y ax 2 bx a 2 1 的图像为下列之一
y
y
y
y
1
1
O
x
1 O 1 x
O
x
O
x
则 a 的值为（ ）
（A）1
2005高考数学真题--年高考山东卷理科试题及答案
2005年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学（必修+选修II ）第I 卷（共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=一．选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项. （1）()()221111iii i -++=+- （ ）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- （2）函数()10x y x-=≠的反函数图像大致是（ ）（（3）已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（ ） （A ）此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭（B ）此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ （C ）此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭（D ）此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭（4）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） （A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2xxf x a a-=+（D ）2()ln 2xf x x -=+（5）如果13nx ⎛⎫-⎝的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（ ） （A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-（6）函数21sin(),10,(),0.x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若(10()2,f f a +=则a 的所有可能值为（ ）（A ）1 （B）2-（C）1,2-（D）1,2（7）已知向量,a b ，且2,56AB a b BC a b =+=-+，72CD a b =- ，则一定共线的三点是（ ）（ A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D（8）设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，则甲、乙两地的球面距离为（ ）（A） （B ）6R π（C ）56R π （D ）23R π（9）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是（ ）（A ）310（B ）112（C ）12（D ）1112（10）设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B ⊂是()U C A B U ⋃=的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）冲要条件（D ）既不充分也不必要条件 （11）01a <<，下列不等式一定成立的是（ ）（A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++>（B ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+ （C ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++ （D ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+（12）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214yx +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使P A B ∆的面积为12的点P 的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第II 卷（共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上. （13）2222lim__________(1)n n nn C C n -→∞+=+.(14)设双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率___________e =.(15)设x 、y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的最大的点(,)x y 是________.(16)已知m n 、是不同的直线，αβ、是不重合的平面，给出下列命题： ①若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n②若,,//,m n m αβ⊂则//αβ③若,,//m n m n αβ⊥⊥，则//αβ④,m n 是两条异面直线，若//,//,//,//m m n n αβαβ，则//αβ上面的命题中，真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共74分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )m θθ=和)()sin ,cos ,,2n θθθππ=∈ ，且5m n += 求cos 28θπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.(18)(本小题满分12分)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为1,7现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数. （I ）求袋中所有的白球的个数； （II ）求随机变量ξ的概率分布； （III ）求甲取到白球的概率.（19）（本小题满分12分）已知1x =是函数32()3(1)1f x m x m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<， （I ）求m 与n 的关系式； （II ）求()f x 的单调区间；（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.(20)(本小题满分12分)如图，已知长方体1111,ABC D A B C D -12,1,AB AA ==直线B D 与平面11AA B B 所成的角为30︒，A E 垂直B D 于E ，F 为11A B 的中点.（I ）求异面直线A E 与B F 所成的角；（II ）求平面B D F 与平面1A A B 所成的二面角； （III ）求点A 到平面B D F 的距离. （21）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈（I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()nn f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.(22)(本小题满分14分) 已知动圆过定点,02p⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线O A 和O B 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线A B 恒过定点，并求出该定点的坐标.A1A BCD1B F1C 1D E2005年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）（试题参考答案）理科数学（必修+选修II ）一．选择题二．填空题 13．3214.e =15. ()2,3 16. ③④三.解答题17.考查知识点：（三角和向量相结合）解:()cos sin cos sin m n θθθθ+=-++m n +===由已知5m n += ,得7cos 425πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又2cos 2cos ()1428πθπθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ 216cos ()2825θπ+=∴(),2θππ∈ ∴598288πθππ<+<∴ cos 028θπ⎛⎫+< ⎪⎝⎭∴ 4cos 285θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭18.（考查知识点：概率及分布列）解:(I)设袋中原有n 个白球,由题意知227(1)1(1)2767762n n n C n n C--===⨯⨯可得3n =或2n =-(舍去)即袋中原有3个白球. (II)由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,53(1);7P ξ==()4322;767P ξ⨯===⨯4326(3);76535P ξ⨯⨯===⨯⨯43233(4);765435P ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯432131(5);7654335P ξ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯所以ξ的分布列为:A 则()()()22()13535P A P P P ξξξ==+=+==19.（考查知识点：函数结合导数）解(I)2()36(1)f x m x m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=，所以36n m =+（II ）由（I ）知，2()36(1)36f x m x m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0m <时，有211>+，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表：故有上表知，当0m <时，()f x 在2,1m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭单调递减，在2(1,1)m +单调递增，在(1,)+∞上单调递减.（III ）由已知得()3f x m '>，即22(1)20m x m x -++>又0m <所以222(1)0x m x mm-++<即[]222(1)0,1,1x m x x mm-++<∈-①设212()2(1)g x x x m m=-++，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，所以22(1)0120(1)010g m mg ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩解之得43m -<又0m <所以403m -<< 即m 的取值范围为4,03⎛⎫-⎪⎝⎭20．(考查知识点：立体几何)解：在长方体1111ABC D A B C D -中，以A B 所在的直线为x 轴，以A D 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴建立如图示空间直角坐标系由已知12,1,AB AA ==可得(0,0,0),(2,0,0)A B ，(1,0,1)F又AD ⊥平面11AA B B ，从而B D 与平面11AA B B 所成的角为30D B A ∠=︒，又2A B =，AE BD ⊥，1,3AE AD ==从而易得10,0223E D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（I）因为()10,1,0,122AE BF ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭所以()cos ,A E B F A E B F A E B F ⋅=14-=- 易知异面直线A E B F 、所成的角为arccos4（II ）易知平面1A AB 的一个法向量(0,1,0)m = 设(,,)n x y z = 是平面B D F的一个法向量，(2,0)3BD =- 由00n B F n B F n B D n B D ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩203x z x y -+=⎧⎪⇒⎨-=⎪⎩x z y =⎧⎪⇒=即()n =所以cos ,5m n m n m n⋅==即平面B D F 与平面1A A B 所成的二面角的大小（锐角）为arccos5（III ）点A 到平面B D F 的距离，即AB在平面B D F 的法向量n 上的投影的绝对值，所以距离cos ,d AB AB n =⋅=5A B n n⋅=A 到平面B D F521．（考查知识点:数列）解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得 ()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；（II ）由（I ）知321n n a =⨯-因为212()n n f x a x a x a x =+++ 所以112()2n n f x a a x na x -'=+++ 从而12(1)2n f a a na '=+++ =()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯- =()232222n n +⨯++⨯ -()12n +++ =()1(1)31262n n n n ++-⋅-+由上()()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()21221n n --=()()1212121(21)nn n n -⋅--+=12(1)2(21)nn n ⎡⎤--+⎣⎦① 当1n =时，①式=0所以22(1)2313f n n '=-；当2n =时，①式=-120<所以22(1)2313f n n '<-当3n ≥时，10n ->又()011211nn n nn n n n C C C C -=+=++++ ≥2221n n +>+所以()()12210nn n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>22313n n - 22．（考查知识点:圆锥曲线） 解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：M F M N =即动点M 到定点F 与定直线2p x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02pF ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；（II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所以直线A B 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x pp==，将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x，得2220k y p y p b -+=由韦达定理知121222,p pb y y y y kk+=⋅=①（1）当2πθ=时，即2παβ+=时，ta n ta n 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=，221212204y y y y p-=所以2124y y p =由①知：224pb p k=所以2.b pk =因此直线A B 的方程可表示为2y kx Pk =+，即(2)0k x P y +-=所以直线A B 恒过定点()2,0p -（2）当2πθ≠时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p+-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pkθ=-，所以22tan p b pk θ=+，此时，直线A B 的方程可表示为y kx =+22tan ppk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭ 所以直线A B 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以由（1）（2）知，当2πθ=时，直线A B 恒过定点()2,0p -，当2πθ≠时直线A B 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
2005年高考数学试题全集32套
2005年全国高考数学试题全集（3）(10套)目录2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） (2)2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（山东卷） (15)2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（山东卷） (25)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（重庆卷） (34)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）（重庆卷） (46)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（浙江卷） (57)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（浙江卷） (68)2005年普通高等学校春季招生考试数学（理工农医类）（北京卷） (77)2005年普通高等学校春季招生考试数学（文史类）（北京卷） (86)2005年上海市普通高等学校春季招生考试 (94)2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数.111-++-=iiz 在复平面内，z 所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．极限)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的（ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）A ．10100610480C C C ⋅ B ．10100410680C C C ⋅ C ．10100620480C C C ⋅ D ．10100420680C C C ⋅ 4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命 题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥；③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂其中真命题是（ ）A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④ 5．函数1ln(2++=x x y 的反函数是（ ）A ．2x x e e y -+=B ．2x x e e y -+-=C ．2x x e e y --= D ．2xx e e y ---=6．若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是（ ）A ．),21(+∞B ．),1(+∞C ．)1,21(D ．)21,0(7．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立， 则（ ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 8．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范 围是（ ）A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．[3，+∞)D ．（3，+∞）9．若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（ ）A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－810．已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x aλλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ ）A ．0<λB ．0=λC ．10<<λD ．1≥λ11．已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是 （ ）A ．23+6B ．21C ．21218+D ．2112．一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）A B C D第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．nxx )2(2121--的展开式中常数项是 .14．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是 .15．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻， 5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答） 16．ω是正实数，设)](cos[)(|{θωθω+==x x f S 是奇函数}，若对每个实数a ，)1,(+⋂a a S ω的元素不超过2个，且有a 使)1,(+⋂a a S ω含2个元素，则ω的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，△ABC ，△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB.（Ⅰ）证明PC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求二面角P —AB —C 的平面角的余弦值； （Ⅲ）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上，求△ABC 的边长. 18．（本小题满分12分）如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中.0>>x y（Ⅰ）将十字形的面积表示为θ的函数；（Ⅱ）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？19．（本小题满分12分）已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=（Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(--≤n nn b ；（Ⅱ）证明.332<n S20．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A 、B 两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品.（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 果为A 级的概率如表一所示，分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙； （Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、 η分别表示一件甲、乙产品的利润，在 （I ）的条件下，求ξ、η的分布列及E ξ、E η；（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额 如表三所示.该工厂有工人40名，可用资. 金60万元.设x 、y 分别表示生产甲、乙产 品的数量，在（II ）的条件下，x 、y 为何 值时，ηξyE xE z +=最大？最大值是多少？ （解答时须给出图示） 21．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学参考答案与评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
2005年考研高数一真题及解析
x2 y2 z 2 1 u ，单位向量 n {1,1,1} ，则 6 12 18 n 3
(2 2) R3 .
(1, 2, 3)
=
3 . 3
x 2 y 2 与半球面 z R 2 x 2 y 2 围成的空间区域， 是 的
n 3n
， 则 f ( x) 在 ( , ) 内 (B)恰有一个不可导点. (D)至少有三个不可导点.
(C)
(A)处处可导. (C)恰有两个不可导点.
(8) 设 F ( x) 是连续函数 f ( x) 的一个原函数， " M N " 表示“M 的充分必要条件是 N” ， 则必有 (A) (A) F ( x) 是偶函数 f ( x) 是奇函数. (9) 设函数 u ( x, y ) ( x y ) (x y ) 一阶导数， 则必有
记 S ( x)
2n(2n 1) x
n 1
(1)
2n
, x (1,1)，
(1)n1 2 n 1 1 x , x ( 1,1) ， S ( x) (1)n1 x 2 n2 , x (1,1).„„6 分 1 x2 n 1 2n 1 n 1 x x 1 由于 S (0) 0, S (0) 0 ，所以 S ( x) S (t )dt dt arctan x, 0 0 1 t 2 x x 1 „„9 分 S ( x) S (t )dt arctan tdt x arctan x ln(1 x 2 ). 0 0 2 x2 n 1 2 n 又 (1) x „„11 分 , x (1,1), 1 x2 n 1
2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全(立体几何)
一、选择题：
1、(2005 春招北京文)下列命题中，正确的是 （C ） A．经过不同的三点有且只有一个平面 B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D．垂直于同一个平面的两个平面平行
2、(2005 春招北京理)有如下三个命题： ①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线； ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线； ③过平面 的一条斜线有一个平面与平面 垂直。 其中正确命题的个数为（ C ） A．0 B．1 C．2 D．3
重心. 从 K、H、G、B′中取一点作为 P， 使得该棱柱恰有
2 条棱与平面 PEF 平行，则 P 为
（）
A．K B．H C．G D．B′
解：用排除法.∵AB∥平面 KEF, AB ∥平面 KEF, BB ∥平面 KEF, AA ∥平面 KEF,否定(A), AB ∥平 面 HEF, AB ∥平面 HEF, AC ∥平面 HEF, AC ∥平面 HEF,否定(B),对于平面 GEF,有且只有两条棱 AB, AB 平面 GEF,符合要求,故(C)为本题选择支.当 P 点选 B 时有且只有一条棱 AB∥平面 PEF,综上
l α
其中为假命题的是（ C ）
A．①
B．②
C．③
D．④
解：③是假命题，如右图所示
满足 l // , m // , // ，
m β
但 l /\/ m ，故选 C．
9．(2005 湖北理)如图，在三棱柱 ABC—A′B′C′中，点 E、F、H、 K 分
别为 AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G 为△ABC 的
④若 a 与 b 异面，且 a // ,则b与 相交；
05年专升本高数真题答案
共 9 页，第 1 页河南省2005年普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学 答案及解析一、单项选择题（每小题2分，共计60分）1.答案：C【解析】：.C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-5105012.答案：D【解析】：图形关于轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数为偶函数,应选D.y 222xx y -+=3.答案：B【解析】： ,应选B.⇒-x e x~12~12x e x -4.答案：B【解析】：,应选B.2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n nn n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→5.答案：C【解析】：,应选C.21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x 6.答案：D 【解析】：,应选D.41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h 7.答案：A【解析】：对方程两边微分得,yx exy +=)(dy dx eydx xdy yx +=++即,dy x e dx ey y x yx )()(-=-++,dy x xy dx xy y )()(-=-所以,应选A.dy dx )1()1(x y y x --=8.答案：B【解析】：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f 及='⋅='''⇒='='',应选B.⇒ =)()(x f n 1)]([!+n x f n 9.答案：A【解析】：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有满足,应选A.]1,1[,1)(2--=x x f 10.答案：B【解析】：在内,显然有,而,故函数在内单调减)1,21(0)12)(1()(<+-='x x x f 014)(>-=''x x f )(x f )1,21(少,且曲线为凹的,应选B.)(x f y =11.答案：C共 9 页，第 2 页【解析】：，应选C.0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x 12.答案：B【解析】：dxdtt a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22,应选B.ta b t a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=13.答案：B【解析】：两边对求导 ,应选B. x 22111)(1()(xx f x e e x f xx-=⇒-⨯=14.答案：A【解析】：,应选A.⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos 15.答案：C 【解析】：;;2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x 2arcsin 1110102π==-⎰x dx x;,应选C.∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln 10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e 16.答案：A【解析】：被积函数在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A.||x x 17.答案：D 【解析】：,应选D.⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaaaa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(18.答案：B【解析】：x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒=',应选B.C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(219.答案：A 【解析】：是常数,它的导数为零,而不是,即不是的原函数 ,应选A.⎰badx x f )()(x f ⎰badx x f )()(x f 20.答案：D【解析】： ,另一方面点不在平面内,所以应为平行关系,应选D.n s n s⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{)2,0,3(-21.答案：B【解析】：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.答案：C 【解析】：,应选C.dy y dx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒23.答案：B【解析】：,应选B.)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz24.答案：A【解析】：积分区域,应选A.}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D共 9 页，第 3 页25.答案：C【解析】：积分区域在极坐标下可表示为：，从而}θcos 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=⎰⎰=σDd y x f ),(，应选C.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d 26.答案：B【解析】：： 从0变到1 , L ,2⎩⎨⎧==x y xx x ,应选B.1422210410310332===+=+⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dy x xydx L27.答案：B【解析】：发散, 和绝对收敛，是收敛的，但是∑∞=+-11)1(n nn n ∑∞=-121)1(n n n ∑∞=+-1)1()1(n n n n ∑∞=-1321)1(n nn ∑∞=1321n n的级数发散的，从而级数条件收敛，应选B.32=p ∑∞=-1321)1(n n n28. 答案：C 【解析】：正项级数与收敛与收敛，∑∞=1n nu∑∞=1n nv⇒∑∞=12n nu∑∞=12n nv而，所以级数收敛 ，应选C.)(2)(222n n n n v u v u +≤+21)(n n nv u+∑∞=29. 答案：D【解析】：注意对所给的方程两边求导进行验证，可得通解应为，应选D.222C y xy x =+-30.答案：A【解析】：微分方程的特征方程为，有两个复特征根，所以方程的通解为0βλ22=+i βλ±=，应选A.t C t C x βsin βcos 21+=二、填空题（每小题2分，共30分）1.答案：116)2(2+-=-x x x f 【解析】：⇒+-=⇒++-+=+32)(3)1(2)1()1(22x x x f x x x f .116)2(2+-=-x x x f 2.答案：1=a 【解析】：因.10)6(lim 0)2(lim 222=⇒=-+⇒=-→→a ax x x x x 3.答案：02π12=+--y x 【解析】：，则切线方程为，2111121=+='===x x x y k )1(214π-=-x y 即 .02π12=+--y x 02π12=+--y x 4.答案：dxx x e x dy x x ]1ln 1[21+-=共 9 页，第 4 页【解析】： .dx x x e x x x x d edy ey x x x xxx xx]1ln 1[)ln (21ln ln +-=+=⇒=++5.答案： 或),21(∞+),21[∞+【解析】： 或.⇒>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>-⇒-='21001414x x xx x x y ),21(∞+),21[∞+6.答案：),1(e 【解析】：,得拐点为.104)1(21=⇒=-=''⇒⨯='x xx x e y xe y x x),1(e 7.答案：271【解析】：等式两边求导有,取有.x dt t f x ⎰=3)(13)(23=x x f 3=x 271)27(=f 8.答案：45【解析】：⎰⎰⎰'-'='=''10101012)2(41)2(21)2(21)2(x d x f x f x x f xd dx x f x .45)0(41)2(41)2(21)2(41)2(2110=+-'=-'=f f f x f f 9.答案：0【解析】：.0)0(00=⇒=⇒=='-f x xey x10.答案：Cx x ++|cos |ln 【解析】：.⎰⎰++=++=+-C x x xx x x d dx x x x |cos |ln cos )cos (cos sin 111. 答案：6【解析】： .6||2210101=⨯=⇒+-=-=⨯b a S k j i k j i b a12.答案：)()(z x y z y z ++【解析】：令 ,则y z z xy z z x F ln ln ln +-=-=.221,1,1zz x z z x F y F z F z y x +-=--='='=' ,所以 .)(;2z x y z F F y z z x z F F x z z y z x +=''-=∂∂+=''-=∂∂)()(z x y z y z y z x z ++=∂∂+∂∂13.答案：821π-共 9 页，第 5 页【解析】：积分区域在极坐标系下表示为,则}10,4πθ0|)θ,{(≤≤≤≤=r r D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=104π021024π02θ)1θ(sec θcos θsin θ(rdr d rdr d dxdy x y D.8π21)θθ(tan 21θ)1θ(sec 214π024π02-=-=-=⎰d14.答案：)11(,21)1(2(21)()(0100<<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=∑∑∑∞=+∞=∞=x x x x x f n n n nn n n n【解析】：,21121112111)2)(1(323)(2x x x x x x xx x f -++=-++=-+=-+=所以.)11(,21)1()2(21)()(0100<<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=∑∑∑∞=+∞=∞=x x x x x f n n n nn n n n 15.答案：xeB Ax x 22)(+【解析】：2是特征方程的二重根,且是一次多项式,特解应设为 .04λ4λ2=+-)12(+x xe B Ax x 22)(+三、计算题（每小题5分，共40分）1．.xx x x x cos sin 1lim2-+→【解析】： x x x x x x x xx x x x x cos sin 1)cos sin 1(limcos sin 1lim 2020-+++=-+→→ )cos sin 1(lim cos sin 1lim20x x x x x x x x x ++⨯-+=→→xx x xx x x x x x cos sin 22lim2cos sin 1lim 20020+=-+=→→.34314sin cos 31lim4000=⨯=-=→x x x x 2.已知,求.2arctan )(,2523x x f x x y ='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=0=x dx dy 【解析】：令,则 ,u x x =+-2523)(u f y =,22)25(162523arctan 2523)(+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'=⨯=x x x x x u f dx du du dy dx dy 所以.π4π42161arctan 20=⨯=⨯==x dx dy共 9 页，第 6 页3.求不定积分.⎰+dx x x 231【解析】：⎰⎰⎰+=+=+222223111x d x dx x x x dx x x )1(11)(1122222222x d x x x x d x x x ++-+=+-+=⎰⎰.C x x x ++-+=23222)1(3214.设 ,求.⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0,210),1ln()(x xx x x f ⎰-20)1(dx x f 【解析】：令 ,则t x =-1⎰⎰-=-112)()1(dtt f dx x f ⎰⎰⎰⎰+++=+=--10011001)1ln(21)()(dt t dt t dt t f dt t f ⎰+-+++=-1010011)1ln()2ln(dttt t t t ⎰+--+=10)111(2ln 2ln dtt .12ln 3)1ln(2ln 21010-=++-=t t 5.设 ，其中可微，求.),sin (22y x y e f z x +=),(v u f yz x z ∂∂∂∂,【解析】：令,则,复合关系结构如图05-1所示,v y x u y e x=+=22,sin ),(v u f z =xv v z x u u z x z ∂∂⨯∂∂+∂∂⨯∂∂=∂∂ ,),(2),(sin v u f x v u f y e v u x'+'=yv v z y u u z y z ∂∂⨯∂∂+∂∂⨯∂∂=∂∂ .),(2),(cos v u f y v u f y e v u x'+'=6．求，其中是由所围成的闭区域.⎰⎰D dxdy yx 22D 2,1===x x y xy 及【解析】：积分区域如图05-2所示，曲线在第一象限内的交点为（1，1），积分区域可表示为：x y xy ==,1.x y xx ≤≤≤≤1,21 则⎰⎰⎰⎰⎰-==21121222122)1(dx y x dy y x dx dxdy y x x xx x D ⎰⎰-=⎦⎤⎢⎣⎡-=213212)(1dxx x dx x x x zvuxxyy图05-1xx 05-2共 9 页，第 7 页.49242124=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x 7．求幂级数的收敛域（考虑区间端点）.12012)1(+∞=∑+-n n n x n 【解析】： 这是缺项的标准的幂级数，因为 ，221232113212lim )1(1232)1(lim lim ρx n n x x n n x u u n n n n n n nn n =++=-+⋅+-==∞→+++∞→+∞→当，即时，幂级数绝对收敛；1ρ<11<<-x 当，即或时，幂级数发散；1ρ>1>x 1-<x 当，即时，1ρ=1±=x 若时，幂级数化为是交错级数，满足来布尼兹定理的条件，是收敛的，若时，幂级数1=x ∑∞=+-012)1(n n n 1-=x 化为也是交错级数，也满足来布尼兹定理的条件，是收敛的.∑∞=++-0112)1(n n n 故幂级数的收敛域为[-1,1].8．求微分方程 通解.0cos 2)1(2=-+'+x xy y x 【解析】：微分方程可化为 ，这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次线性微分方程1cos 1222+=++'x xy x x y 的通解为.0122=++'y x x y 12+=x C y 设非齐次线性微分方程的通解为，则，代入方程得,所以1)(2+=x x C y 222)1()(21)(+-+'='x x xC x x C y x x C cos )(='.C x x C +=sin )(故原微分方程的通解为(C 为任意常数).1sin 2++=x Cx y 四、应用题（每小题7分，共计14分）1. 一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?【解析】：设每套公寓租金为元时,所获收入为元,x y 则 ,)2000(),200](100200050[>---=x x x y 整理得 ),14000007200(10012-+-=x x y 均有意义,)72002(1001+-='x y 令得唯一可能的极值点,而此时,所以是使达到极大值的点,即为最0='y 3600=x 0501<-=''y 3600=x y 大值的点.共 9 页，第 8 页最大收入为(元).115600340034)2003600](1002000360050[=⨯=---=y 故 租金定为每套3600元时,获得的收入最大,最大收入为115600元.2.平面图形由抛物线与该曲线在点处法线所围成,试求:x y 22=)1,21( (1)该平面图形的面积;(2)该平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积.x 【解析】：平面图形如图05-3所示,切点处的切线斜率为,)1,21(A 21='=x y k 由得,故点处的切线斜率x y 22=yy 1='A ,1121='='===y x y y k 从而点处的法线斜率为-1,A 法线方程为.023=-+y x 联立方程组得另一交点⎪⎩⎪⎨⎧=-+=02322y x xy )3,29(-B (1) 把该平面图形看作Y 型区域,其面积为;316)6223(2)23(1332132=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--⎰y y y dy y y S (2) 根据抛物线的对称性知,该平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积等于平面图形绕轴旋转所成旋x OBC x 转体的体积,有故 ⎰⎰+--=--=29232923322902229)312349(ππ)23(π2πx x x xdx x xdx V x .π445]9481[π=-=五、证明题（6分）试证：当 时，有.0>x xx x x 11ln 11<+<+【证明】：构造函数，它在内连续，x x f ln )(=)0(∞+及当时，函数在区间上连续，且. 0>x ]1,[x x +xx f 1)(='故在上满足Lagrange 中值定理,存在,)(x f ]1,[x x +)1,(ξ+∈x x 使得，.)ξ()()1(f x f x f '=-+)1ξ(+<<x x 而,故有,x f x 1ξ1)ξ(11<='<+xx x x 1ln )1ln(11<-+<+x图05-3023=-y共 9 页，第 9 页即时,成立.0>x xx x x 11ln 11<+<+。
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析（湖北卷.文）
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析（湖北卷.文）绝密★启用前2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题卷（文史类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.第I 部分（选择题共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3．考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若 }6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是（）A ．9B ．8C ．7D ．6解：集合P 中和集合Q 中各选一个元素可组成的组合数为11339C C ?=其对应的和有一个重复：0+6=1+5, 故P+Q 中的元素有8个,选(B)2．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解：①是假命题,∵由ac=bc 推不出a=b ；②是真命题；③是假命题；④是真命题,∵“a <3”?“a <5”,选(B) 3．已知向量a =（－2，2），b =（5，k ）.若|a +b |不超过5，则k 的取值范围是（）A ．[－4，6] B ．[－6，4] C ．[－6，2] D ．[－2，6]解：∵22222||28252(102)134a b a b ab k k k k +=++=+++-+=++ ,由题意得k 2+4k+-12≤0,解得-6≤k ≤2,即k 的取值范围为[-6,2],选(C) 4．函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（）解：|1|||ln --=x e y x =111,1101,x x x x x x-+=≥-+<5．木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的（）A ．60倍B ．6030倍C ．120倍D ．12030倍解：设木星的半径为r 1,地球的半径为r 2由题意得3132r r =,则木星的表面积∶地球的表面积=2311223221120r r r r r r =?===,选(C) 6．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（）A ．163 B ．83 C ．316 D ．38 解：抛物线x y 42=的焦点为(1,0),∴1,2,m n ?+=?=得m=14,n=34,∴mn=316,选(A)7．在x y x y x y y x 2c o s ,,l o g,222====这四个函数中，当1021<<<="">)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3解：∵当1021<<<="">,121222log log 22x x x x++>∴>即当1021<<<="" 2x,="" bdsfid="180" p="" x="" 时,使log="">()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立,其它3个函数都可以举出反例当1021<<<="">)()()2(2121x f x f x x f +>+不成立(这里略),选(B) 8．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若c a c b b a //,,则⊥⊥；②若c a c b b a ⊥⊥则,,//；③若b a b a //,,//则ββ?；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：①③④⑤是假命题,②是真命题,选(A)9．把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（）A ．168 B ．96 C ．72 D ．144 解：本题主要关键是抓连续编号的2张电影票的情况,可分四种情况：情况一：连续的编号的电影票为1,2;3,4;5,6,这时分法种数为222432C P P 情况二：连续的编号的电影票为1,2；4,5,这时分法种数为222422C P P 情况三：连续的编号的电影票为2,3;4,5;这时分法种数为222422C P P 情况四：连续的编号的电影票为2,3;5,6,这时分法种数为222422C P P综上, 把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张,且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是222432C P P +3222422C P P =144(种) 10．若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin（）A ．)60(πB ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ解：∵sin α+cos α)4πα+∈),∴排除(A),(B),当α=4π时,tan α=1,sin α+cos α,这时sin α+cos α≠tan α,∴选(C) 11．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（） A ．3B ．2C ．1D ．0解：y '=3x 2-8,由题意得0<3x 2-8<13x <<或3x -<<,其中整x 的可取值为0个,选(D) 12．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（） A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样 C ．①、④都可能为系统抽样 D ．①、③都可能为分层抽样解：①②不是系统抽样,可能为分层抽样; ③可能为系统抽样,也可能为分层抽样：④既非系统抽样也不是分层抽样,综上选(D)第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡相应位置上. 13．函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是 . 解：x 必须满足402030x x x ->??-≥??-≠?解之得,∴函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是{x|3<x<4或2≤x<3}< bdsfid="271" p=""></x<4或2≤x<3}<>14．843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 .解: 342()x x -的通项公式为341241442()()(2)r r r r r rr T C x C x x --+=-=-,令12-4r=0,r=3,这时得342()x x -的展开式中的常数项为3342C -=-32, 81()x x+的通项公式为8821881()k k k k kk T C x C x x --+==,令8-2k=0,k=4,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70,∴843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于3815．函数1cos |sin |-=x x y 的最小正周期与最大值的和为 .解: 函数1cos |sin |-=x x y 的最小正周期为2π,∵1sin 2sin 02|sin |cos 1sin 2sin 02x x x x x x ?≥??=?-的最大值为12,∴1cos |sin |-=x x y 的最大值为12-,∴1cos |sin |-=x x y 的最小正周期与最大值的和为122π-. 16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费元. 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量x f t x x x ?=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围. 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知63,31cos ,3tan ===AC C B ，求△ABC 的面积.19．（本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n . 20．（本小题满分12分）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.21．（本小题满分12分）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p 1=0.8，p 2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）. 22．（本小题满分14分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.1．B 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.13．)4,3()3,2[? 14．38 15．212-π 16．500 三、解答题17．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.解法1：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若,23)(,)1,1(,230)(22x x x g x x t x f -=--≥?≥'∴考虑函数上恒成立在区间,31)(=x x g 的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间（－1，1）上恒成立?.5),1(≥-≥t g t 即.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t5≥t t 的取值范围是故.解法2：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.0)()1,1(,)1,1()(.23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线，时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f.5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1：设AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ，.21cos ,23sin ,60,3tan ==∴==B B B B 得由应用正弦定理得又,322cos 1sin 2=-=C C 8232263sin sin =?==B C b c ..3263332213123sin cos cos sin )sin(sin +=?+?=+=+=∴C B C B C B A 故所求面积.3826sin 21+==A bc S ABC 解法3：同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得.64,,364,32321236330sin sin sin sin ,sin sin .12030,900,60.64,64.0108,21826454,cos 222122222+=<-=>=?=?>?==<<∴<<=-=+==+-∴??-+=-+=a a B b A B b a B b A a A C B a a a a a a B ac c a b 故舍去而得由所得即故所求面积.3826sin 21+==B ac S ABC 19．本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.解：（1）：当;2,111===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.41,4,,11=∴==q d b qd b q 则故.42}{,4121111---=?-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即（II ）,4)12(422411---=-==n n nn nn n b a c]4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121nn n n n n n n T n c c c T -+-++?+?+?=-++?+?+=+++=∴-- 两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T20．本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. 又∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH.∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1. ∴DF=C 1H=2..6222=+=∴DF BD BF（Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ，则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ，且AG ?面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到平面AEC 1F 的距离..113341712317123,17121743cos 3cos 3,.17,1,2211221=+==∴=?===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CGBGCC EB 知由从而可得由解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0），A （2，0，0）， C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）. ∵AEC 1F 为平行四边形，62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF F z z EC F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴（II ）设1n 为平面AEC 1F 的法向量，)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然=+?+?-=+?+=?=?02020140,0,011y x y x n n 得由 ??-==∴=+-=+.41,1,022,014y x x y 即111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则.333341161133cos 1111=++==α ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11334333343cos ||1=?==αCC d 21．本小题主要考查概率的基础知识和运算能力，以及运用概率的知识分析和解决实际问题能力.解：（I ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,5 1p 需要更换2只灯泡的概率为;)1(213125p p C -（II ）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p 1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1(1-p 2)，故所求的概率为);1()1(2121p p p p -+-=（III ）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p 5（其中p 为（II ）中所求，下同）换4只的概率为415p C （1-p ），故至少换4只灯泡的概率为.34.042.34.04.06.056.06.07.08.02.0,3.0,8.0).1(45322141553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当=??+=∴=?+===-+=p p p p p p C p p22．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.（I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，0])3(3)3([422>--+=?∴k k λ ②)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点，得 .3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A.0))(())((33,32121212122222121=+-++-=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠.04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+?>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ（II ）解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得).3(2||)1(1||432-=-?-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x.016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-?+=λx x k AB ⑥.||||.,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当假设在在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆?△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ?=?).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边=.212-λ由④和⑦知，⑧式右边=)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ ,2122923-=--=λλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由（II ）解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,2122,4,321-±-=-±-λλx x不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA)21233,23123(-------+=λλλλ计算可得0=?，∴A 在以CD 为直径的圆上. 又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）。
2005年全国统一高考数学试卷(文)及答案
2005年全国统一高考数学试卷Ⅰ（文）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A．±1 B．C．D．2．（5分）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（）A．∁I S1∩（S2∪S3）=∅B．S1⊆（∁I S2∩∁I S3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）3．（5分）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A． B．C．D．4．（5分）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）当0＜x＜时，函数的最小值为（）A．2 B．C．4 D．8．（5分）反函数是（）A．B．C．D．9．（5分）设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，log a3）D．（log a3，+∞）10．（5分）在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域面积为（）A．B．C．D．311．（5分）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1，②1＜sinA+sinB≤，③sin2A+cos2B=1，④cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③12．（5分）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足•=•=•，则点O是△ABC的（）A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m=．（lg2≈0.3010）14．（4分）（x﹣）4的展开式中的常数项为．15．（4分）从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有种．16．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为．（写出所有正确结论的编号）三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求φ，并指出y=f（x）由y=sin2x作怎样变换所得．（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．19．（12分）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣2x的解集为（1，3）．（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．20．（12分）9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求有坑需要补种的概率．（精确到0.001）21．（12分）设正项等比数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且210S30﹣（210+1）S20+S10=0．（Ⅰ）求{a n}的通项；（Ⅱ）求{nS n}的前n项和T n．22．（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且=λ+μ（λ，μ∈R），证明λ2+μ2为定值．2005年安徽省高考数学试卷Ⅰ（文）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2005•安徽）设直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A．±1 B．C．D．【分析】首先根据已知圆判断其圆心与半径，然后解构成的直角三角形，求出夹角，继而求出倾斜角，解出斜率即可．【解答】解：∵直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切由圆得：圆心为（0，0），半径为1∴构成的三角形的三边为：，解得直线与x轴夹角为30°的角∴x的倾斜角为30°或150°∴k=故选C．2．（5分）（2005•安徽）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（）A．∁I S1∩（S2∪S3）=∅B．S1⊆（∁I S2∩∁I S3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）【分析】根据公式C U（A∩B）=（C U A）∪（C U B），C U（A∪B）=（C U A）∩（C U B），容易判断．【解答】解：∵S1∪S2∪S3=I，∴C I S1∩C I S2∩C I S3）=C I（S1∪S2∪S3）=C I I=∅．故答案选C．3．（5分）（2008•湖北）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A． B．C．D．【分析】做该题需要将球转换成圆，再利用圆的性质，获得球的半径，解出该题即可．【解答】解：截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径是，所以根据球的体积公式知，故选B．4．（5分）（2005•安徽）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣3时取得极值，可以得到f′（﹣3）=0，代入求a值．【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=0⇒a=5，验证知，符合题意故选：D．5．（5分）（2005•安徽）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．【分析】该几何体是一个三棱柱截取两个四棱锥，体积相减即为该多面体的体积．【解答】解：一个完整的三棱柱的图象为：棱柱的高为2；底面三角形的底为1，高为：，其体积为：；割去的四棱锥体积为：，所以，几何体的体积为：，故选A．6．（5分）（2005•安徽）已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由双曲线的一条准线为，可以得到，由此可以求出该双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知，，解得a2=3，或（舍去）．∴，∴，故选D．7．（5分）（2005•安徽）当0＜x＜时，函数的最小值为（）A．2 B．C．4 D．【分析】利用二倍角公式化简整理后，分子分母同时除以cosx，转化成关于tanx 的函数解析式，进而利用x的范围确定tanx＞0，最后利用均值不等式求得函数的最小值．【解答】解：=．∵0＜x＜，∴tanx＞0．∴．当时，f（x）min=4．故选C．8．（5分）（2005•安徽）反函数是（）A．B．C．D．【分析】从条件中函数式中反解出x，再将x，y互换即得到反函数．【解答】解：在定义域为{x|1≤x≤2}，原函数的值域为{y|0≤y≤1}，∵，∴y2=2x﹣x2，解得x=1±，∵1≤x≤2，∴x=1+，∴y=1+（0≤x≤1），故选B．9．（5分）（2005•安徽）设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，log a3）D．（log a3，+∞）【分析】结合对数函数、指数函数的性质和复合函数的单调性可知：当0＜a＜1，log a（a2x﹣2a x﹣2）＜0时，有a2x﹣2a x﹣2＞1，解可得答案．【解答】解：设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），若f（x）＜0则log a（a2x﹣2a x﹣2）＜0，∴a2x﹣2a x﹣2＞1∴（a x﹣3）（a x+1）＞0∴a x﹣3＞0，∴x＜log a3，故选C．10．（5分）（2005•安徽）在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域面积为（）A．B．C．D．3【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用三角形的面积公式计算即可．【解答】解：原不等式组可化为：或画出它们表示的可行域，如图所示．可解得A（，﹣），C（﹣1，﹣2），B（0，1）原不等式组表示的平面区域是一个三角形，=×（2×1+2×）=，其面积S△ABC故选C．11．（5分）（2005•安徽）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1，②1＜sinA+sinB≤，③sin2A+cos2B=1，④cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③【分析】先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos=进而求得A+B=90°进而求得①tanA•cotB=tanA•tanA等式不一定成立，排除；②利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，②正确；③sin2A+cos2B=2sin2A不一定等于1，排除③；④利用同角三角函数的基本关系可知cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，进而根据C=90°可知sinC=1，进而可知二者相等．④正确．【解答】解：∵tan=sinC∴=2sin cos整理求得cos（A+B）=0∴A+B=90°．∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正确．∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+45°）45°＜A+45°＜135°，＜sin（A+45°）≤1，∴1＜sinA+sinB≤，所以②正确cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，sin2C=sin290°=1，所以cos2A+cos2B=sin2C．所以④正确．sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A=1不一定成立，故③不正确．综上知②④正确故选B．12．（5分）（2005•安徽）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足•=•=•，则点O是△ABC的（）A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点【分析】由得到，从而所以OB⊥AC，同理得到OA⊥BC，所以点O是△ABC的三条高的交点【解答】解；∵∴；∴；∴OB⊥AC，同理由得到OA⊥BC∴点O是△ABC的三条高的交点故选D二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2005•安徽）若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m=155．（lg2≈0.3010）【分析】利用题中提示lg2≈0.3010，把不等式同时取以10为底的对数，再利用对数的运算性质，转化为关于m的不等式求解即可．【解答】解：∵10m﹣1＜2512＜10m，取以10为底的对数得lg10m﹣1＜lg2512＜lg10m，即m﹣1＜512×lg2＜m又∵lg2≈0.3010∴m﹣1＜154.112＜m，因为m是正整数，所以m=155故答案为155．14．（4分）（2005•山西）（x﹣）4的展开式中的常数项为6．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：的通项为=（﹣1）r C4r x4﹣2r令4﹣2r=0得r=2∴展开式的常数项为T3=C42=6故答案为615．（4分）（2005•安徽）从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有100种．【分析】根据题意，选用间接法，首先计算从6名男生和4名女生共10人中，任取3名代表的选法数目，再计算没有女生入选的情况数目，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，从6名男生和4名女生共10人中，任取3人作代表，有C103=120种，其中没有女生入选，即全部选男生的情况有C63=20种，故至少包含1名女生的同的选法共有120﹣20=100种；故答案为100．16．（4分）（2005•安徽）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为①③④．（写出所有正确结论的编号）【分析】由平行平面的性质可得①是正确的，当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故③④正确，②错误．【解答】解：①：∵平面AB′∥平面DC′，平面BFD′E∩平面AB′=EB，平面BFD′E∩平面DC′=D′F，∴EB∥D′F，同理可证：D′E∥FB，故四边形BFD′E一定是平行四边形，即①正确；②：当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故②错误；③：四边形BFD′E在底面ABCD内的投影为四边形ABCD，所以一定是正方形，即③正确；④：当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB′D，又∵EF⊂平面BFD′E，∴此时：平面BFD′E⊥平面BB′D，即④正确．故答案为：①③④三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2005•山西）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求φ，并指出y=f（x）由y=sin2x作怎样变换所得．（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．【分析】（I）由图象的一条对称轴是直线，从而可得，解的∅，根据平移法则判断平移量及平移方向（II）令，解x的范围即为所要找的单调增区间（III）利用“五点作图法”做出函数的图象【解答】解：（Ⅰ）∵x=是函数y=f（x）的图象的对称轴，∴，∴，k∈Z．∵．由y=sin2x向右平移得到．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知ϕ=﹣，因此y=．由题意得，k∈Z．所以函数的单调增区间为，k∈Z．（3分）（Ⅲ）由知故函数y=f（x）在区间[0，π]上图象是（4分）18．（12分）（2005•安徽）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．【分析】法一：（Ⅰ）证明面PAD⊥面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；（Ⅱ）过点B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角；（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，说明∠ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小．法二：以A为坐标原点AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，（Ⅰ）求出，计算，推出AP⊥DC．，然后证明CD垂直平面PAD，即可证明面PAD⊥面PCD；（Ⅱ），计算．即可求得结果．（Ⅲ）在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，说明∠ANB为所求二面角的平面角．求出，计算即可取得结果．【解答】法一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得：CD⊥PD．因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD．又CD⊂面PCD，∴面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角．连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB=，∴．∴AC与PB所成的角为．（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC，∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．在等腰三角形AMC中，AN•MC=，∴．∴AB=2，∴故所求的二面角为．法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（Ⅰ）证明：因为，故，所以AP⊥DC．又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD．又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD（Ⅱ）解：因，故=，所以由此得AC与PB所成的角为．（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，，∴x=1﹣λ，y=1，z=λ．要使AN⊥MC，只需即，解得．可知当时，N点坐标为，能使．，有由得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB为所求二面角的平面角．∵，∴．故所求的二面角为arccos．19．（12分）（2005•安徽）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f （x）＞﹣2x的解集为（1，3）．（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）f（x）为二次函数且二次项系数为a，把不等式f（x）＞﹣2x变形为f（x）+2x＞0因为它的解集为（1，3），则可设f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3）且a＜0，解出f（x）；又因为方程f（x）+6a=0有两个相等的根，利用根的判别式解出a的值得出f（x）即可；（Ⅱ）因为f（x）为开口向下的抛物线，利用公式当x=时，最大值为=．和a＜0联立组成不等式组，求出解集即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．f（x）+2x=a（x﹣1）（x ﹣3），且a＜0．因而f（x）=a（x﹣1）（x﹣3）﹣2x=ax2﹣（2+4a）x+3a．①由方程f（x）+6a=0得ax2﹣（2+4a）x+9a=0．②因为方程②有两个相等的根，所以△=[﹣（2+4a）]2﹣4a•9a=0，即5a2﹣4a﹣1=0．解得a=1或a=﹣．由于a＜0，a=﹣，舍去，故a=﹣．将a=﹣代入①得f（x）的解析式．（Ⅱ）由及a＜0，可得f（x）的最大值为．就由解得a＜﹣2﹣或﹣2+＜a＜0．故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是．20．（12分）（2005•山西）9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求有坑需要补种的概率．（精确到0.001）【分析】（Ⅰ）由题意知每粒种子发芽的概率为0.5，且每粒种子是否发芽是相互独立的，得到本题是一个独立重复试验，甲坑不需要补种的对立事件是甲坑内的3粒种子都不发芽，根据对立事件的概率公式得到结果．（Ⅱ）有坑需要补种包括3个坑中恰有1个坑需要补种；恰有2个坑需要补种；3个坑都需要补种，这三种情况之间是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意知每粒种子发芽的概率为0.5，且每粒种子是否发芽是相互独立的，得到本题是一个独立重复试验，∵甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为，∴甲坑不需要补种的概率为（Ⅱ）有坑需要补种包括3个坑中恰有1个坑需要补种；恰有2个坑需要补种；3个坑都需要补种，这三种情况之间是互斥的，∵3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为，恰有2个坑需要补种的概率为，3个坑都需要补种的概率为∴有坑需要补种的概率为0.287+0.041+0.002=0.330．21．（12分）（2005•安徽）设正项等比数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且210S30﹣（210+1）S20+S10=0．（Ⅰ）求{a n}的通项；（Ⅱ）求{nS n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）由210S30﹣（210+1）S20+S10=0得210（S30﹣S20）=S20﹣S10，由此可推出，．（Ⅱ）由题设知．数列{nS n}的前n项和，．由此可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由210S30﹣（210+1）S20+S10=0得210（S30﹣S20）=S20﹣S10，即210（a21+a22+…+a30）=a11+a12+…+a20，可得210•q10（a11+a12+…+a20）=a11+a12+…+a20．因为a n＞0，所以210q10=1，解得，因而，．（Ⅱ）由题意知．则数列{nS n}的前n项和，．前两式相减，得=即．22．（14分）（2005•安徽）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且=λ+μ（λ，μ∈R），证明λ2+μ2为定值．【分析】（Ⅰ）直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率（Ⅱ）用向量运算将λμ用坐标表示，再用坐标的关系求出λ2+μ2的值．【解答】解：（1）设椭圆方程为则直线AB的方程为y=x﹣c，代入，化简得（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0．令A（x1，y1），B（x2，y2），则．∵与共线，∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，又y1=x1﹣c，y2=x2﹣c，∴3（x1+x2﹣2c）+（x1+x2）=0，∴．即，所以a2=3b2．∴，故离心率．（II）证明：由（1）知a2=3b2，所以椭圆可化为x2+3y2=3b2．设M（x，y），由已知得（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），∴∵M（x，y）在椭圆上，∴（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2．即λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．①由（1）知．∴，∴x1x2+3y1y2=x1x2+3（x1﹣c）（x2﹣c）=4x1x2﹣3（x1+x2）c+3c2==0．又x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2，代入①得λ2+μ2=1．故λ2+μ2为定值，定值为1．。
(最新整理)年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国卷.理)
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上.
3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
参考公式：
如果事件 A、B 互斥，那么
球是表面积公式
P( A B) P( A) P(B)
（D）（ 1，1） 88
（4）如图，在多
面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且
ADE、BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多
面体的体积为
（A） 2 3
(B） 3 3
（C） 4 3
（D) 3 2
（5）已知双曲线 x2 y 2 1 (a 0) 的一条准线与抛物线 y 2 6x 的准线重合，则该双曲线的离 a2
（13）若正整数 m 满足10m1 2512 10m ，则 m =
。 (lg 2 0.3010)
（14） (2x 1 )9 的展开式中，常数项为 x
。（用数字作答）
(15) ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H， OH m(OA OB OC) ,则实数 m
=
(16)在正方形 ABCD A' B'C ' D' 中，过对角线 BD' 的一个平面交 AA' 于 E，交 CC ' 于 F,则 ① 四边形 BFD'E 一定是平行四边形
2005 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国卷.理)
2005 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国卷.理)
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2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(全国卷Ⅲ.文)(四川,陕西,云南)
2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k一、选择题：每小题5分，共60分. 1．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 （ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限解：α第三象限，即3222k k k Z πππαπ+<<+∈,∴3224k k k Z παπππ+<<+∈,可知2α在第二象限或第四象限,选D 2．已知过点A(－2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．－8C ．2D ．10 解：直线2x+y-1=0的一个方向向量为a =(1,-2),(2,4)AB m m =+-,由AB a 即(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选B 3．在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是 （ ）A ．－14B ．14C ．－28D ．28解：(x+1)8展开式中x 4,x 5的系数分别为48C ,58C ,∴(x-1)(x+1)8展开式中x 5的系数为 458814C C -=,选B4．设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径A ．16VB ．14VC ．13VD ．12V解：如图，1111111113A ABCB A BC B AC Q ABC A B C V V V V ----===111B PCQA B CQA B PCA V V V ---=+,∵AF=QC 1,∴APQC 1,APQC 都是平行四边形, ∴111B PCQA B CQA B PCA V V V ---=+=12(11B CQA B PCA V V --+) =1111223ABC A B C V -⋅=11113ABC A B C V -,选C 5．设713=x，则（ ）A ．－2<x<－1B ．－3<x<－2C ．－1<x<0D ．0<x<1解：211337--<<,21x -<<-,选A 6．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（ ）A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c解：由题意得a=lnln ln ∵62353153525105(5)(2)2(2)(3)3=<==<=,∴c<a<b,选C7．设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 （ ）A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤ D ．322x ππ≤≤sin cos x x =-得|sinx-cosx|=sinx-cosx,又02x π≤<, ∴544x ππ≤≤,选C 8．αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+ =（ ）A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．12解：22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+222sin 2cos tan 22cos cos 2ααααα⋅=,选B9．已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到 x 轴的距离为 （ ）A ．43 B ．53C D 解：由120MF MF ⋅=,得MF 1⊥MF 2,不妨设M(x,y)上在双曲线右支上，且在x 轴上方,则有(ex-a)2+(ex+a)2=4c 2，即(ex)2+a 2=2c 2,∵得x 2=53,y 2=23,由此可知M 点到x 选C 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A ．2 B C ．2 D 1解：由题意可得22b c a=,∵b 2=a 2-c 2e=c a ,得e 2+2e-1=0,∵e>1,解得1,选D 11．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．6个D ．7解：共有7个，它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个中垂面；四面体的四条高的四个中垂面，选D12．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A ×B= （ ） A ．6E B ．72 C ．5F D ．B0解：∵A=10,B=11,又A ×B=10×11=110=16×6+14,∴在16进制中A ×B=6E,∴选A第Ⅱ卷二．填空题：每小题4分，共（16分）13．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座 谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一 般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人.解：设执“不喜欢”的学生为x 人，则执“一般”的学生为(x+12)人，由题意得1123x x =+,x=6,∴执“喜欢”的学生有30人,全班共有人数为12+6+6+30=54(人),∴全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多3人。
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(北京卷)
2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷 1至2页，第II 卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）设全集U=R ，集合M={x| x>1，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是（A ）M ＝P （B ）P ÜM （C ）M ÜP （ D ）U M P =∅ð（2）“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的（A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°（4）从原点向圆 x2＋y2－12y ＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（A ）π （B ）2π （C ）4π （D ）6π（5）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（A ）sin(α+β)>sin α+sin β （B ）sin(α+β)>cos α+cos β（C ）cos(α+β)<sin α＋sin β （D ）cos(α+β)<cos α＋cos β（6）在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是（A ）BC//平面PDF （B ）DF ⊥平面PA E（C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面PAE ⊥平面 ABC（7）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A （C ）12441412833C C C A （D ）12443141283C C C A（8）函数f(x)=cos x（A ）在[0,),(,]22πππ上递增，在33[,),(,2]22ππππ上递减（B ）在3[0,),[,)22πππ上递增，在3(,],(,2]22ππππ上递减（C ）在3(,],(,2]22ππππ上递增，在3[0,),[,)22πππ上递减（D ）在33[,),(,2]22ππππ上递增，在[0,),(,]22πππ上递减二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分。
2005年高考数学试题(全国1文)及答案
2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）第Ⅰ卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()( 一．选择题（1)设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I（B ）123I I S C S C S ⊆⋂（） (C ）Φ=⋂⋂）321S C S C S C I I I（D ）123I I S C S C S ⊆⋃（）（2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（A ）π28 （B)π8 （C)π24 （D ）π4 （3）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =(A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 （4）如图，在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形,EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为(A ）32（B ）33 （C ）34 （D ）23（5)已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心为(A)23 （B ）23 （C ）26（D ）332(6）当20π<<x 时，函数xx x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（A)2 （B ）32 （C)4 (D ）34（7）)21( 22≤≤-=x x x y 反函数是(A ）)11( 112≤≤--+=x x y ; (B))10( 112≤≤-+=x x y ；（C))11( 112≤≤---=x x y ； （D ）)10( 112≤≤--=x x y（8）设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（A ）)0,(-∞（B ）),0(+∞(C ）)3log ,(a -∞（D ）),3(log +∞a（9）在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（A ）2 （B ）23 （C ）223 （D ）2（10)在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断:①1cot tan =⋅B A ；②2sin sin 0≤+<B A ;③1cos sin 22=+B A ；④C B A 222sin cos cos =+，其中正确的是(A ）①③ （B ）②④ （C ）①④ （D)②③（11）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点,满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,则点O 是ABC ∆的 (A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点（C ）三条中线的交点(D ）三条高的交点（12）设直线l 过点)0,2(-,且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（A ）1±（B ）21±（C)33±（D ）3±第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题4分,共16分，把答案填在题中横线上。
05年高考数学试题及答案全国卷
2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3到10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一 选择题（1）函数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是 (A).4π (B)2π（C ）π （D ）2π(2) 正方体ABCD —A 1 B 1 C 1 D 1中，P 、Q 、R 、分别是AB 、AD 、B 1 C 1的中点。
那么正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（A ）三角形 （B ）四边形 （C ）五边形 （D ）六边形 （3）函数Y=32x -1（X≤0）的反函数是（A ）Y=3)1(+x （X≥-1） (B)Y= -3)1(+x （X≥-1）(C) Y=3)1(+x (X≥0) (D)Y= -3)1(+x (X≥0)(4)已知函数Y=tan x ω 在（-2π，2π）内是减函数，则 （A ）0 < ω ≤ 1 （B ）-1 ≤ ω < 0 （C ）ω≥ 1 （D ）ω≤ -1（5）设a 、b 、c 、d ∈R,若dic bia ++为实数，则 （A ）bc+ad ≠ 0 (B)bc-ad ≠ 0 (C) bc-ad = 0 (D)bc+ad = 0(6)已知双曲线 62x - 32y = 1的焦点为F 1、、F 2，点M 在双曲线上且MF 1 ⊥ x 轴，则F 1到直线F 2 M 的距离为 （A ）563 （B ）665 （C ）56 （D ）65（7）锐角三角形的内角A 、B 满足tan A -A2sin 1= tan B,则有（A ）sin 2A –cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0 (C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0(8)已知点A （3,1）,B(0,0),C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λ= ，其中 λ 等于（A ）2 （B ）21 （C ）-3 （D ） - 31（9）已知集合M={x∣2x -3x -28 ≤0},N = {x|2x -x-6>0}，则M∩N 为（A ）{x|- 4≤x< -2或3<x≤7} （B ）{x|- 4<x≤ -2或 3≤x<7 }（C ）{x|x≤ - 2或 x> 3 } （D ）{x|x<- 2或x≥3} （10）点P 在平面上作匀数直线运动，速度向量v =（4，- 3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位）.设开始时点P 的坐标为（- 10，10），则5秒后点P 的坐标为 （A ）（- 2，4） （B ）（- 30，25） （C ）（10，- 5） （D ）（5，- 10） （11）如果21,a a … ,8a 为各项都大于零的等差数列，公差d≠0,则（A>81,a a >54,a a (B) 81,a a < 54,a a (C> 5481a a a a +>+ (D) 81,a a = 54,a a(12)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 （A ）3623+ （B ）2+362 （C ）4+362 （D ）36234+第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
2005年高考数学试题(重庆理)及答案
2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(第一部分（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为 （ ）A ．5)2(22=+-y xB ．5)2(22=-+y xC ．5)2()2(22=+++y xD ．5)2(22=++y x2．=-+2005)11(ii（ ）A ．iB ．－iC ．20052 D ．－200523．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范围是 （ ） A ．)2,(-∞ B ．),2(+∞ C ．),2()2,(+∞--∞ D ．（－2，2） 4．已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向量与DA 的夹角为（ ）A ．54arccos 2-πB ．54arccosC ．)54arccos(-D ．－)54arccos(- 5．若x ，y 是正数，则22)21()21(x y y x +++的最小值是 （ ）A ．3B ．27C ．4D ．29 6．已知α、β均为锐角，若q p q p 是则,2:),sin(sin :πβαβαα<++<的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β，其中，可以判定α与β平行的条件有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．若)12(x x -n 展开式中含21x 项的系数与含41x项的系数之比为－5，则n 等于 （ ）A ．4B ．6C ．8D ．109．若动点（y x ,）在曲线)0(14222>=+b by x 上变化，则y x 22+的最大值为 （ ） A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2),40(442b b b b B ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2),20(442b b b b C ．442+b D ．2b 10．如图，在体积为1的三棱锥A —BCD 侧棱AB 、AC 、AD 上分别取点E 、F 、G ，使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O 为三平面BCG 、CDE 、DBF 的交点， 则三棱锥O —BCD 的体积等于 （ ）A ．91 B ．81 C ． 71 D ．41第二部分（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11．集合∈=<--∈=x B x x R x A {},06|{2R| }2|2|<-x ，则B A = . 12．曲线)0)(,(33≠=a a a x y 在点处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为a 则,61= . 13．已知α、β均为锐角，且αβαβαtan ),sin()cos(则-=+= . 14．n n n n n 231233232lim +-+∞→= . 15．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 .16．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）.①菱形；②有3条边相等的四边形；③梯形；④平行四边形；⑤有一组对角相等的四边形。
2005年全国高等学校招生统一考试数学(上海•理)试题含答案[特约]
![2005年全国高等学校招生统一考试数学(上海•理)试题含答案[特约]](https://img.taocdn.com/s3/m/d58e560e7cd184254b35359c.png)
2005年全国高等学校招生统一考试数学（上海·理）试题考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有22道试题，满分 150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数f(x)=log 4(x+1)的反函数f 1-(x)= ． 2．方程4x +2x-2=0的解是 ．3．直角坐标平面xoy 中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OA OP ⋅=4。
则点P 的轨 迹方程是 ．4．在(x-a)的展开式中,x 的系数是15,则实数a= ． 5．若双曲线的渐近线方程为y=±3x, 它的一个焦点是(10,0), 则双曲线的方程是 ． 6．将参数方程 x=1+2cosθy=2sinθ (θ为参数)化为普通方程,所得方程是 ．7．计箅:∞→n lim112323+++-n nnn = ．8．某班有50名学生，其中 15人选修A 课程，另外35人选修B 课程．从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的慨率是 ．(结果用分数表示)9．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB=5，BC ＝7，则△ABC 的面积S ＝ ． 10．函数f(x)=sinx+2x sin ,x ∈[0,2π]的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是 ． 11．有两个相同的直三棱柱,高为a2,底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,则a 的取值范围是 ．12．用n 个不同的实数a 1,a 2,┄a n 可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3 一个n!行的数阵.对第i 行a i1,a i2,┄,a in ,记b i =- a i1+2a i2-3 a i3+┄+(-1)nna in , 1 3 2 i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3 是12,所以,b 1+b 2+┄+b 6=-12+2⨯12-3⨯12=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1 的数阵中, b 1+b 2+┄+b 120= ． 3 1 23 21二．选择题(本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括内,选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括内),一律得零分． 13．若函数f(x)=121+X, 则该函数在(-∞,+∞)上是 [答]( )(A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值 14．已知集合M={x│1-x ≤, x ∈R},P={x│15+x ≥1, x ∈Z},则M∩P 等于 [答]( )(A){x│0<x≤3, x ∈Z} (B) {x│0≤x≤3, x ∈Z}(C) {x│-1≤x≤0, x ∈Z} (D) {x│-1≤x<0, x ∈Z}15．过抛物线y 2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线 [答]( ) (A)有且仅有一条 (B) 有且仅有两条 (C) 有无穷多条 (D)不存在 16．设定义域为R 的函数f(x)= 1lg -x , x≠10, x=1 ,则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是 [答]( ) (A)b<0且c>0 (B) b>0且c<0 (C)b<0且c=0 (D)b≥0且c=0 三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要步骤.17．（本题满分12分）已知直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中, AA 1=2底面ABCD 是直角梯形,∠A 为直角,AB ∥CD,AB=4,AD=2,DC=1,.求异面直线BC 1与DC 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示) [解]18．（本题满分12分）在复数范围内解方程ii i z z z +-=++23)(2(i 为虚数单位)[解]19．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.如图,点A 、B 分别是椭圆1203622=+yx长轴的左、右端点,点F 是椭圆的右焦点.点P 在椭圆上,且位于x 轴的上方,PA ⊥PF.(1)求点P 的坐标;(2)设M 椭圆长轴AB 上的一点,M 到直线AP 的距离等于MB ,求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值. [解20．(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? [解]21．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.对定义域分别是D f 、D g 的函数y=f(x) 、y=g(x), f(x)·g(x) 当x ∈D f 且x ∈D g 规定: 函数h(x)= f(x) 当x ∈D f 且x ∉D g g(x) 当x ∉D f 且x ∈D g(1) 若函数f(x)=11-x ,g(x)=x 2,x ∈R,写出函数h(x)的解析式;(2) 求问题(1)中函数h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R 的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明. [解]22．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分. 在直角坐标平面中,已知点P 1(1,2),P 2(2,22),┄,P n (n,2n),其中n 是正整数.对平面上任一点A 0,记A 1为A 0关于点P 1的对称点, A 2为A 1关于点P 2的对称点, ┄, A N 为A N-1关于点P N的对称点.(1)求向量20A A 的坐标;(2)当点A 0在曲线C 上移动时, 点A 2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x ∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C 为图象的函数在(1,4]上的解析式; (3)对任意偶数n,用n 表示向量n A A 0的坐标. [解]上海数学(理工农医类)参考答案一.1. 1. 4x-1 2. x=0 3. x+2y-4=0 4. -21 5. 1922=-yx 6. (x-1)2+y 2=47. 3 8. 73 9.4315 10. 1<k<3 11. 0<a<315 12.-1080二.13. A 14. B 15. B 16.C 三.17. [解]由题意AB ∥CD,∴∠C 1BA 是异面直线BC 1与DC 所成的角.连结AC 1与AC,在Rt △ADC 中,可得AC=5. 又在Rt △ACC 1中,可得AC 1=3.在梯形ABCD 中,过C 作CH ∥AD 交AB 于H, 得∠CHB=90°,CH=2,HB=3, ∴CB=13. 又在Rt △CBC 1中,可得BC 1=17,在△ABC 1中,cos ∠C 1BA=17173,∴∠C 1BA=arccos 17173异面直线BC 1与DC 所成角的大小为arccos17173另解:如图,以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在 直线为x 、y 、z 轴建立直角坐标系. 则C 1(0,1,2),B(2,4,0), ∴1BC =(-2,-3,2),CD =(0,-1,0),设1BC 与CD 所成的角为θ,则CD BC ⋅17173,θ= arccos17173.异面直线BC 1与DC 所成角的大小为arccos1717318. [解] 原方程化简为i i z z z -=++1)(2,设z=x+yi(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1-i, ∴x 2+y 2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23,∴原方程的解是z=-21±23i.19. [解]（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)设点P(x,y),则AP ={x+6,y},FP ={x －4,y},由已知可得1203622=+yx(x+6)(x －4)+y 2=0 则2x 2+9x －18=0,x=23或x=－6.由于y>0,只能x=23,于是y=235.∴点P 的坐标是(23,235)(2) 直线AP 的方程是x －3y+6=0.设点M(m,0),则M 到直线AP 的距离是26+m .于是26+m =6+m ,又－6≤m≤6,解得m=2.椭圆上的点(x,y)到点M 的距离d 有 d 2=(x －2)2+y 2=x －4x 2+4+20－95x 2=94(x －29)2+15,由于－6≤m≤6, ∴当x=29时,d 取得最小值1520. [解] (1)设中低价房面积形成数列{a n },由题意可知{a n }是等差数列, 其中a 1=250,d=50,则S n =250n+502)1(⨯-n n =25n 2+225n,令25n 2+225n≥4750,即n 2+9n-190≥0,而n 是正整数, ∴n≥10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{b n },由题意可知{b n }是等比数列, 其中b 1=400,q=1.08,则b n =400·(1.08)n-1·0.85.由题意可知a n >0.85 b n ,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 21. [解] (1)h(x)=12-x xx ∈(-∞,1)∪(1,+∞)1 x=1 (2) 当x≠1时, h(x)=12-x x=x-1+11-x +2,若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立∴函数h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞)(3)令 f(x)=sin2x+cos2x ,α=4π则g(x)=f(x+α)= sin2(x+4π)+cos2(x+4π)=cos2x-sin2x,于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x -sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+2sin2x, α=2π,g(x)=f(x+α)= 1+2sin2(x+π)=1-2sin2x,于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+2sin2x)( 1-2sin2x)=cos4x. 22.. [解](1)设点A 0(x,y), A 0为P 1关于点的对称点A 0的坐标为(2-x,4-y), A 1为P 2关于点的对称点A 2的坐标为(2+x,4+y), ∴20A A ={2,4}. (2) ∵20A A ={2,4},∴f(x)的图象由曲线C 向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.因此, 曲线C 是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x ∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x ∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4. 另解设点A 0(x,y), A 2(x 2,y 2),于是x 2-x=2,y 2-y=4, 若3< x 2≤6,则0< x 2-3≤3,于是f(x 2)=f(x 2-3)=lg(x 2-3). 当1< x≤4时, 则3< x 2≤6,y+4=lg(x -1). ∴当x ∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.(3)n A A 0 =n n A A A A A A 24220-+++ , 由于k k k k P P A A 2122222--=,得 n A A 0 =2(n n P P P P P P 14321-+++ )=2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n-1})=2{2n ,3)12(2-n}={n,3)12(4-n}。
2005高考数学真题理(全国Ⅲ)
2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k一、选择题：每小题5分，共60分.1．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是（ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限2．已知过点A(－2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x +y －1=0平行，则m 的值为（ ） A ．0 B ．－8 C ．2 D ．10 3．在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是（ ）A ．－14B ．14C ．－28D ．284．设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B —APQC 的体积为 （ ）A ．16VB ．14VC ．13VD ．12V5．=+--+-→)342231(lim 221x x x x n（ ）A ．21-B ．21C ．61-D ．616．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（ ） A ．a <b<c B ．c<b<a C ．c<a <bD ．b<a <c 7．设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 （ ）7ππ5ππ3ππ球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径8．αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+ =（ ）A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．129．已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到 x 轴的距离为（ ）A ．43 B ．53C D 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A ．2 B C ．2 D 111．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 （ ） A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．7个12．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A ×B=（ ）A ．6EB ．72C ．5FD ．B0第Ⅱ卷二、填空题：每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．已知复数=+=⋅+=z z z z z z i z 则复数满足复数,3,23000 .14．已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k= . 15．设l 为平面上过点（0，1）的直线，l 的斜率等可能地取,22,3,25,0,25,3,22---用ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E ξ= .16．已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC的距离乘积的最大值是 三.解答题：共74分. 17．(本小题满分12分)乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面V AD是正三角形,平面V AD ⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明AB⊥平面V AD；（Ⅱ）求面V AD与面VDB所成的二面角的大小．19．（本小题满分12分）△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，.43cos =B （Ⅰ）求cotA+cotC 的值； （Ⅱ）设c a BC BA +=⋅求,23的值.20．(本小题满分12分)在等差数列}{n a 中，公差412,0a a a d 与是 的等比中项.已知数列 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项.n k21．（本小题满分14分）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （Ⅱ）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围.22．（本小题满分12分）已知函数].1,0[,274)(2∈--=x xx x f （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和值域；（Ⅱ）设1≥a ，函数],1,0[],1,0[].1,0[,23)(0123∈∈∈--=x x x a x a x x g 总存在若对于任意 使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围.2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）参考答案一、1.D 2.B 3.B 4.C 5.A 6.C 7.C 8.B 9.C 10.D 11.D 12.A 二、13、i 231-，14、23-，15、7416、3三、解答题：17．解：记“机器甲需要照顾”为事件A ，“机器乙需要照顾”为事件B ，“机器丙需要照顾”为事件C ，由题意.各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A ，B ，C 是相互独立事件（Ⅰ）由题意得： P （A ·B ）=P(A)·P(B)=0.05P （A ·C ）=P(A)·P(C)=0.1 P （B ·C ）=P(B)·P(C)=0.125所以, 甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5 （Ⅱ）记A 的对立事件为,A B 的对立事件为B ，C 的对立事件为C ，则5.0)(,75.0)(,8.0)(===C P B P A P ，于是7.0)()()(1)(1)(=⋅⋅-=⋅⋅-=++C P B P A P C B A P C B A P 所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7. 18．证明：方法一：（Ⅰ）证明：VADAB ABCD VAD AD ABCD AB AD AB ABCDVAD 平面平面平面平面平面平面⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋂=⊂⊥⊥ （Ⅱ）解：取VD 的中点E ，连结AE ，BE ，∵△V AD 是正三形， ∴AE ⊥VD ，AE=AD 23∵AB ⊥平面VAD ， ∴AB ⊥AE.又由三垂线定理知BE ⊥VD. 因此，∠AEB 是所求二面角的平面角 tan ∠AEB=.332=AE AB 即得所求二面角的大小为.332arctan方法二：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标图系. （Ⅰ）证明：不防设作A （1，0，0），则B （1，1，0）， )23,0,21(V ， )23,0,21(),0,1,0(-==VA AB由,0=⋅VA AB 得AB ⊥V A. 又AB ⊥AD ，因而AB 与平面V AD 内两条相交直线V A ，AD 都垂直. ∴AB ⊥平面V AD. （Ⅱ）解：设E 为DV 中点，则)43,0,41(E ，).23,0,21(),43,1,43(),43,0,43(=-=-=DV EB EA由.,,0DV EA DV EB DV EB ⊥⊥=⋅又得 因此，∠AEB 是所求二面角的平面角，,721||||),cos(=⋅=EB EA EB EA EB EA 解得所求二面角的大小为.721arccos19．解：（Ⅰ）由,47)43(1sin ,43cos 2=-==B B 得由b 2=a c 及正弦定理得 .sin sin sin 2C A B =于是BC A C A A C A C C C A A CAC A 2sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1cot cot +=+=+=+=+.774sin 1sin sin 2===B B B （Ⅱ）由.2,2,43cos ,23cos 232====⋅=⋅b ca B B ca BC BA 即可得由得 由余弦定理 b 2=a 2+c 2－2a c+cosB 得a 2+c 2=b 2+2a c ·cosB=5. 3,9452)(222=+=+=++=+c a ac c a c a20．解：依题设得,)1(1d n a a n -+= 4122a a a =∴)3()(1121d a a d a +=+，整理得d 2=a 1d ， ∵0,d ≠ ,1a d =∴得,nd a n = 所以， 由已知得d ，3d ，k 1d ，k 2d ，…，k n d …是等比数列. 由,0≠d 所以数列 1，3，k 1，k 2，…，k n ，… 也是等比数列，首项为1，公比为.9,3131===k q 由此得 等比数列),3,2,1(39,3,9}{111 ==⨯===+-n q k q k k n n n n 所以公比的首项， 即得到数列.3}{1+=n n n k k 的通项∵抛物线的准线是x 轴的平行线，2121,,0,0y y y y 依题意≥≥不同时为0，∴上述条件等价于;0))((2121222121=-+⇔=⇔=x x x x x x y y∵21x x ≠， ∴上述条件等价于 .021=+x x 即当且仅当021=+x x 时，l 经过抛物线的焦点F.（II ）设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为b x y +=2；过点A 、B 的直线方程可写为m x y +-=21，所以21,x x 满足方程,02122=-+m x x 得4121-=+x x ； A ，B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式,0841>+=∆m即.321->m 设AB 的中点N 的坐标为),(00y x ，则 .16121,81)(2100210m m x y x x x +=+-=-=+=由.329321165165,41161,=->+=+-=+∈m b b m l N 于是得即得l 在y 轴上截距的取值范围为（+∞,329）.22．解：（I ）对函数)(x f 求导，得222)2()72)(12()2(7164)(x x x x x x x f ----=--+-=' 令0)(='x f 解得.2721==x x 或当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：所以，当)21,0(∈x 时，)(x f 是减函数；当)1,21(∈x 时，)(x f 是增函数.当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为[－4，－3]. （II ）对函数)(x g 求导，得).(3)(22a x x g -=' 因为1≥a ，当)1,0(∈x 时，.0)1(3)(2≤-<'a x g因此当)1,0(∈x 时，)(x g 为减函数，从而当]1,0[∈x 时有)].0(),1([)(g g x g ∈ 又,2)0(,321)1(2a g a a g -=--=即]1,0[∈x 时有].2,321[)(2a a a x g ---∈ 任给]1,0[1∈x ，]3,4[)(1--∈x f ，存在]1,0[0∈x 使得)()(10x f x g =，则].3,4[]2,321[2--⊃---a a a 即⎩⎨⎧-≥--≤--.32,43212a a a 解①式得 351-≤≥a a 或；解②式得.23≤a 又1≥a ，故a 的取值范围为.231≤≤a① ②。
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山东省二〇〇五年专升本统一考试高等数学真题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，请把所选项前的字母填在题后的括号内。
1．设120lim(1)xx mx e →-=，则m =（ ）（A ）12- （B ）2 （C ）2- （D ）122．设1xy e -=是无穷大，则x 的变化过程是（ ）（A ）0x +→ （B ）0x -→ （C ）x →+∞ （D ）x →-∞3．设()(1)(2)(99)f x x x x x =---，则(0)f '=（ ）（A ）99!- （B ）0 （C ）99! （D ）994．设ln y x =，则()n y =（ ）（A ）(1)!n n n x -- （B ）2(1)(1)!n n n x ---（C ）1(1)(1)!n n n x ---- （D ）11(1)!n n n x --+- 5．2sin ()d xd x =（ ） （A ）cos x （B ）sin x - （C ）cos 2x（D ）cos 2xx6．lnsin tan xd x =⎰（ ）（A ）tan lnsin x x x c -+ （B ）tan lnsin x x x c ++ （C ）tan lnsin cos dx x x x -⎰ （D ）tan lnsin cos dxx x x+⎰7．幂级数1(1)(1)nnn x n ∞=--∑的收敛区间是（ ）（A ）(0,2] （B ）(1,1]- （C ）[2,0]- （D ）(,)-∞+∞8. 设D ：01x ≤≤，02y ≤≤，则1Dydxdy x=+⎰⎰（ ） （A ）ln 2 （B ）2ln 2+ （C ）2 （D ）2ln 2二、填空题：本大题共10小题，10个空，每空2分，共20分，请把正确答案填在划线上。
9. x y xe -=的凸区间是 ． 10.31231(sin )x x x e dx -+=⎰．11. 微分方程23y y y x '''--=的通解为 ． 12. 曲线x y x =通过(1,1)点的切线方程为 ． 三、计算题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
13. 求极限 111lim()1ln x x x→-- ．14. 设2y xz =，求dz ．15. 求不定积分12cos dx x +⎰．16．求定积分222sin 4cos d ππθθθ--⎰．17．计算二重积分22Dx y dxdy ⎰⎰，D 为222x y x +≤与0y ≥两个区域的公共部分．18．求微分方程20yy y '''-=的通解．（此题超纲，删去） 19．设2123y x x =--，求()n y ． 20．已知0sin ,0(),0x tdt x f x xa x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰ ． （1）()f x 在0x =处连续，求a ； （2）求()f x '．四、综合题：本大题共3小题，共24分。
21．已知()y f x =与2arctan 0x t y e dt -=⎰在(0,0)处切线相同，写出该切线方程并求2lim ()n nf n→∞．（8分）22．求由曲线ln y x =与直线0y =，1x e =，x e =所围平面图形的面积．（8分）23．一质点徐徐沉入液体，当下沉时，液体的阻力与下沉速度成正比，求此质点的运动规律．（8分）（此题超纲，删去）山东省二〇〇六年专升本统一考试高等数学真题一、选择题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内。
1．设()sin f x x = ，,0(),0x x g x x x ππ-≤⎧=⎨+>⎩ ，则[()]f g x =（ ）（A ）sin x （B ）cos x （C ）sin x - （D ）cos x -2．设()u x ，()v x 为可导函数，则()ud v =（ ）（A ）du dv （B ）2vdu udv u- （C ）2udv vdu u + （D ）2udv vduu- 3．若11()xxf x e dx e C --=+⎰，则()f x =（ ）（A ）1x （B ）1x - （C ）21x（D ）21x-4．交换积分次序1(,)dx f x y dy =⎰⎰（ ）（A）010(,)dy f x y dx -⎰ （B）10(,)dy f x y dx ⎰⎰（C ）011(,)dy f x y dx -⎰⎰ （D）01(,)f x y dx ⎰⎰5．微分方程0y y ''+=的通解是（ ）（A ）12(cos sin )x e c x c x + （B ）12sin cos c x c x +（C ）12(cos sin )y e c x c x + （D ）12cos sin c x c x x +二、填空题：本大题共10小题，10个空，每空2分，共20分，请把正确答案填在划线上。
6．若函数2121212(),0()12,0x x x f x x x a x +⎧->⎪=⎨+⎪-≤⎩在0x =处连续，则a = ．7．曲线2sin y x x =+在点(,1)22ππ+处的切线方程是 ．8. 积分211xxe dx e --=-⎰ ． 9. 点(1,2,3)到平面236x y z -+=的距离是 ． 10. 函数1()12f x x=+在1x =处展开的泰勒级数是 ． 11. 幂级数11(1)(2)12nnnn x ∞=--+∑在0.6x =处的敛散性是 ．12. 方程2dy ydx x y=+的通解为 ． 13. 30ln(1)limsin xx t dt t x x→+=-⎰．14. 函数2()(1)f x x x x =-不可导点的个数是 ．15. 设1(1)xy x=+，则dy = ．三、解答题：本大题共13小题，其中前10个小题每题4分，最后3个小题每题10分，共70分，解答应写出推理、演算步骤。
16．求极限 011limcot ()sin x x x x→- ．17．设函数1sin ,0()20,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 ，求0()()x F x f t dt =⎰在(,)-∞+∞内的表达式． 18．设()f x可导，且()f x '=，求df dx． 19．设1cos 20()sin xf x t dt -=⎰，56()56x x g x =+，求0()lim ()x f x g x →．20．若2()f x dx x C =+⎰，求2(1)xf x dx -⎰． 21．求定积分10xx e edx +⎰．22．设22sin()ln(2)z xy x xy y =+-+，求(2,0)dz ．23．求22(,)(2)3x y f x y e x y -=-+的极值． 24．判定级数21(1)(1)nn nn ∞=-+∑的敛散性． 25．求x yDe dxdy ⎰⎰，D 由0x =，1y =，2x y =（0y >）围成．26．求函数321y x x x =--+的单调区间、极值及凹凸区间、拐点．27．求cos y y x ''+=的通解．（此题超纲，删去） 28．设函数()f x 在[0,1]上连续，且()0f x >． 试证明：方程011()0()xx f t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根．山东省二〇〇七年专升本统一考试高等数学真题 一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．函数21arcsin 3x y -=的定义域为 ．2．21lim()xx x x→∞-= ．3．曲线24x t y t ⎧=⎨=⎩在1t =处的切线方程为 ．4．积分1e ⎰的值等于 ．5．微分方程(1)x x e dy ye dx +=的通解为 ．二、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分） （要求将选中的项标添在括号内）1．下列选项中可作为函数()f x 在点0x 处的导数定义的选项是（ ）（A ）001lim [()()]n n f x f x n →∞+-（B ）000()()lim x x f x f x x x →--（C ）000()()lim x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆（D ）000(3)()limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆2．当0x →时，tan 2x 是（ ）（A ）比sin3x 高阶的无穷小 （B ）比sin3x 低阶的无穷小（C ）与sin3x 同阶的无穷小 （D ）与sin3x 等价的无穷小3. 曲线33y x x =-上切线平行于x 轴的点为（ ）（A ）(1,4)-- （B ）(2,2) （C ）(0,0) （D ）(1,2)-4. 若在区间(,)a b 内，导数()0f x '>，二阶导数()0f x ''<，则函数()f x 在该区间内（ ）（A ）单调增加，曲线为凸的 （B ）单调增加，曲线为凹的（C ）单调减少，曲线为凸的 （D ）单调减少，曲线为凹的5. 若()f u 可导，且(2)x y f =，则dy =（ ）（A ）(2)x f dx ' （B ）(2)2x x f d ' （C ）[(2)]2x x f d ' （D ）(2)2x x f dx '6. 设21()f x x'=（0x >），则()f x =（ ）（A ）2x C + （B ）ln x C + （C ）C + （D ）C+ 7. 设22x y z e+=，则dz =（ ）（A ）222()x y e xdx ydy ++ （B ）222()x y exdy ydx ++ （C ）22()xy e xdx ydy ++ （D ）22222()xy e dx dy ++8. 直线221314x y z -+-==-与平面62870x y z -+-=的位置关系是（ ）（A ）平行但不共面 （B ）直线垂直于平面 （C ）直线在平面上 （D ）两者斜交9. 数项级数1(1)[1cos ]n n an ∞=--∑（其中a 为常数）是（ ）（A ）发散的 （B ）条件收敛 （C ）收敛性根据a 确定 （D ）绝对收敛10. 微分方程20y y y '''++=的通解为（ ）（A ）12x C C e -+ （B ）12cos sin C x C x + （C ）12()x C C x e -+ （D ）x Ce -三、计算题一（本题共4小题，每小题5分，满分20分）1．求极限 011lim()1x x x e →-- ．2．求定积分0xdx ．3．设222(,,)u f x y z x y z ==++，2sin z x y =，求u x ∂∂，uy∂∂． 4．计算2cos Dy dxdy ⎰⎰，其中D 是由直线1x =，2y = 与 1y x =-所围成的闭区域．四、计算题二（本题共2小题，每小题7分，满分14分）1．求幂级数1(1)nn n x∞=-∑的收敛区间与和函数．2．求微分方程(sin)0y x x dx xdy-+=的通解．五、综合题（本题共2小题，每小题8分，共16分）1．求函数11y xx=++的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．2．在周长为定值l的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大？山东省二〇〇八年专升本统一考试高等数学真题 一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．函数ln arcsin y x x =+的定义域为 ．2．设数列n x 有界，且lim 0n n y →∞=，则lim n n n x y →∞= ．3．函数y =的反函数为 ．4．曲线21y x =+在点(1,2)的切线的斜率等于 ．5．由参数方程cos sin x t y t=⎧⎨=⎩ 确定的dydx = ．二、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分） （要求将选中的项标添在括号内）1．函数()f x x =，在点0x =处()f x （ ）（A ）可导 （B ）间断 （C ）连续不可导 （D ）连续可导2．设1()sin f x x x= ，则lim ()x f x →∞等于（ ）（A ）0 （B ）不存在 （C ）∞ （D ）13. 函数()ln f x x =在区间[1,2]上满足拉格朗日公式中的ξ等于（ ）（A ）ln 2 （B ）ln1 （C ）ln e （D ）1ln 24. 设()f x 在0x 处可导，且0()0f x '≠，则0()f x '不等于（ ） （A ）000()()limx x f x f x x x →-- （B ）000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆ （C ）000()()lim x f x x f x x ∆→-∆-∆ （D ）000()()lim ()x f x x f x x ∆→-∆--∆ 5. 已知xyz e =，则zx∂=∂（ ）（A ）xy ye （B ）xy xe （C ）xy xye （D ）xy e6. 当0x →时，23x 是2sin x 的（ ）（A ）高阶无穷小 （B ）同阶无穷小，但不等价（C ）低阶无穷小 （D ）等价无穷小 7. 过点(,0,0)a 且垂直于x 轴的平面方程为（ ）（A ）z a = （B ）y a = （C ）z y = （D ）x a =8. 直线121122x y z --+==--与下列 平面垂直（ ） （A ）4100x y z +-+= （B ）2350x y z -++= （C ）24460x y z -+-= （D ）90x y z ++-= 9. 数项级数21sin n an n∞=∑（a 为常数）是（ ）级数（A ）发散的 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）敛散性由a 确定10. 设D ：221x y +≤，则Ddxdy ⎰⎰等于（ ）（A ）33x C + （B ）33y C + （C ）π （D ）2π三、计算题一（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 1．求极限 2sin 2lim cos()x xx ππ→- ．2．求二元函数33z x y xy =+的全微分．3．求定积分20sin x xdx π⎰．4．求微分方程ln y ydx xdy =的通解．四、计算题二（本题共2小题，每小题7分，满分14分） 1．求广义积分20x xedx +∞-⎰．2．将函数1()3f x x=-展开成(2)x -的幂级数． 五、综合题（本题共2小题，每小题8分，共16分） 1．求函数233y x x =-的单调区间、极值、凹凸区间与拐点． 2．设()f x 的一个原函数为ln x ，求()()f x f x dx '⎰．山东省二〇〇九年专升本统一考试高等数学真题一、单选题（在每个小题的备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的序号填入题后的括号内。