第10章 Lingo软件包及其应用

第十章Lingo软件包及其应用Lingo软件包是一种专门用来求解数学规划和优化问题的软件包，由美国芝加哥大学的Linus Schrage教授创立的Lindo系统公司开发出来，可以在Windows 和Linux环境下运行，同一版次具有不同的版本，如：演示版（试用版）、学生班、高级版、超级版、工业版、扩展版等等，不同的版本对求解问题的规模、变量数目和约束条件的限制不同。

对于Lingo软件包来说，编写很简单的程序就能调用大量的外部已有数据进行优化计算，是其出色的亮点。

§9.1 Lingo软件包的基础知识（一）Lingo软件包的运算符（1）算术运算符（Arithmetic Operators）—取反（negation）^ 乘方（Exponentiation）* 乘法（Multiplication）/ 除（Division）+ 加（Addition）—减（Subtraction）（2）逻辑运算符Lingo软件包的逻辑运算符，主要用于优化计算中定义各种逻辑条件。

逻辑运算符为：＃NOT# 非运算＃EQ# 相等＃NE# 不相等＃GT# 严格大于＃GE# 大于等于＃LT# 严格小于＃LE# 小于等于＃AND# 与＃OR# 或（3）关系运算符Lingo软件包中的关系运算符用在数学表达式中。

＝等号<＝小于等于>＝大于等于注：Lingo软件包不支持严格大于和严格小于，即，在Lingo软件包的数学表达式中“>”等价于“>=”，“<”等价于“<=”。

运算符的运算优先级（Priority Level）由高到低依次为：优先级运算符最高级#NOT# —(negation)^* /+ -#EQ# #NE# #GT# #GE# #LT# #LE##AND# #OR#最低级<= = >=（4）Lingo软件包的内部函数Lingo软件包提供下列内部函数：@ABS( X) 绝对值函数@COS( X) 余弦函数@EXP( X)xe函数@FLOOR( X) 小于X的最大整数@LGM( X) ))!1log((-X，即)!1(-X的自然对数@LOG( X) 自然对数@SIGN( X) 符号函数，当X < 0时，取值-1，否则取值+1@SIN( X) 正弦函数@SMAX( X1, X2,..., XN) 求最大@SMIN( X1, X2,..., XN) 求最小@TAN( X) 正切函数@IF If函数，使用格式为：@IF（条件，T，F），即，条件为真时，得到T，否则得到F。

@SUM 求和函数@FREE(X) 取消变量X的非负限制（Lingo在求解优化问题时，默认所有变量非负）@FOR 优化计算时，用于限定约束条件@bin(X) 限定X是（0,1）变量@bnd（下界，X，上界）限定下界≤X≤上界@gin（X）限定X为整数变量例如，@FOR(A(i,j)|a(i,j)#gt#0:@bin(x(i,j))) 表示限定矩阵A中元素：当0ai)j,(>时，对应的变量)x是（0,1）变量。

,(ji注：（1）在Lingo软件包中调用内部函数，一定要以@符号开头。

（2）在Lingo软件包中，model、sets、data以“：”结尾，其它语句每行都以“；”结尾，endsets、enddata、end尾部不加任何符号。

（3）以！开头，书写注释行。

（4）在Lingo软件包中，不能写100x，要写成100*x（5）无论是否是求解优化问题，Lingo的结果中都有松弛分析（Slack or Surplus）（6）Lingo软件包求解时，已经假设所有变量≥0例10-1 在Lingo软件包中编写如下程序：model:data:m=?;n=?;enddataf=@sin(m)+@cos(n);end执行后，依次输入1n，得到结果：=m、2=Feasible solution found at iteration: 0Variable ValueM 1.000000N 2.000000F 0.4253241Row Slack or Surplus1 0.000000注：如果输入1n，则，得不到有效的结果，这说明Lingo软件包不能=m、3=做通常的数学计算，它的优点在于优化计算。

（5）Lingo 软件包编程的基本格式格式1 model: 开头，end 结尾格式2 model: 开头，结尾省略end格式3 省略model: 和end例10-2 在Lingo 软件包中，求解下列线性规划问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤+=0,1602120100..150100max y x y x y x t s yx f Lingo 软件包中优化程序如下：model:max = 100 * x + 150 * y;x <= 100;y <= 120;x + 2 * y <= 160;end执行后得到结果：Global optimal solution found at iteration: 0Objective value: 14500.00Variable Value Reduced CostX 100.0000 0.000000Y 30.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 14500.00 1.0000002 0.000000 25.000003 90.00000 0.0000004 0.000000 75.00000即，目标函数14500max =f ，最优解30,100==y x 。

例10-3 在Lingo 软件包中，利用FREE 函数的功能，可以求解变量可取负值的优化问题；利用IF 函数，可以求解分段函数的优化问题：fy fx F +=min⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+⎩⎨⎧≤>+=⎩⎨⎧≤>+=300,20,3600,00,1002..y x y y y y fy x x x fx t sLingo软件包中优化程序如下：model:min=fx+fy;fx=@if(x#gt#0,100,0)+2*x;fy=@if(y#gt#0,60+3*y,2*y);x+y>30;@free(x);@free(y);end执行后得到结果：Linearization components added:Constraints: 30Variables: 20Integers: 12Global optimal solution found at iteration: 34Objective value: 150.0000Variable Value Reduced CostFX 0.000000 0.000000FY 150.0000 0.000000X 0.000000 0.000000Y 30.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 150.0000 -1.0000002 0.000000 -1.0000003 0.000000 -1.0000004 0.000000 -3.000000即，目标函数150x。

=ymin=f，最优解30,0=注：在Mathematica软件包中，编程画图如下：Plot[{0,If[x>0,2x+100,2x]+If[x<30,60+3(30-x),2(30-x)]},{x,-40,40}] 执行后得到图形如下：例10-4 在Lingo 软件包中，求解下列变量可取负值的优化问题：⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++++-=free x x x x x x x x x t s x x x f 321321321232221,,1923..1224min 在Lingo 软件包中编程如下：min=4*x1^2-x2^2+2*x3^2+12;3*x1+2*x2+x3=9;x1+x2+x3=-1;@free(x1);@free(x2);@free(x3);执行后得到结果：Local optimal solution found at iteration: 6Objective value: 152.0000Variable Value Reduced CostX1 0.9999950 -0.5434437E-08X2 8.000010 0.000000X3 -10.00001 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 152.0000 -1.0000002 0.000000 -23.999993 0.000000 64.00000即，目标函数152min =f ，最优解10,8,1321-===x x x 。

§9.2 利用Lingo 求解不等式组和方程组Lingo 软件包可以有效地求解不等式组，特别是非线性不等式组，这是Lingo 软件包的特色之一。

不过，Lingo 求解不等式组只能给出单独的解，而不能给出区间解。

在求解方程组时，只能求解实数解。

例10-5 在Lingo 软件包中，求解下列非线性不等式组：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥=+=++++≥+++++++≥++++++≥+++≥+++≥+++02,1,3,2,11211321323122*32*232*121*331*221*1332212*32*232*121*331*221*1212*32*231*31*13232*32*231*31*13132*32*231*31*13y y x x x y y x x x x x x y x y x y x y x y x y x x x x y x y x y x y x y x y x y y y x y x y x y x y y x y x y x y x y y x y x y x y x在Lingo 软件包中编程如下：model:3*x1*y1+x3*y1+3*x2*y2+x3*y2>=3*y1;3*x1*y1+x3*y1+3*x2*y2+x3*y2>=3*y2;3*x1*y1+x3*y1+3*x2*y2+x3*y2>=y1+y2;x1*y1+2*x2*y1+3*x3*y1+2*x1*y2+3*x2*y2+x3*y2>=x1+2*x2+3*x3;x1*y1+2*x2*y1+3*x3*y1+2*x1*y2+3*x2*y2+x3*y2>=2*x1+3*x2+x3;x1+x2+x3=1;y1+y2=1;执行后得到结果：Feasible solution found at iteration: 72Variable ValueX1 0.000000Y1 0.000000X3 0.000000X2 1.000000Y2 1.000000Row Slack or Surplus1 3.0000002 0.0000003 2.0000004 1.0000005 0.0000006 0.0000007 0.000000即，得到此不等式组的一组解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====1201031201y y x x x例10-6 在Lingo 软件包中，求解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++121321232221333231x x x x x x x x解：在Lingo 软件包中编程如下：model:x1^3+x2^3+x3^3=3;x1^2+x2^2+x3^2=2;x1+x2+x3=1;@free(x1);@free(x2);@free(x3);执行后，Lingo提示没有得到可行解（即，没有得到实数解），给出的结果是：Variable ValueX1 -0.2228950X2 1.445790X3 -0.2228950Row Slack or Surplus1 0.0000002 -0.18967333 0.000000我们可以验证2228950.03-x不是方程组的解。