2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
2011年考研数学试题详解及评分参考
(1) 曲线 y = (x -1)(x - 2)2 (x - 3)3 (x - 4)4 的拐点是
(A) (1, 0)
(B) (2, 0)
(C) (3, 0)
(D) (4, 0)
【答】 应选 (C) .
【解】 显然 x = 1, 2, 3, 4 分别是 y(x) 的一、二、三、四重根，因此有 y¢¢(2) ¹ 0, y¢¢(3) = 0, y¢¢(4) = 0, y¢¢¢(3) ¹ 0, y¢¢¢(4) = 0 ，由此可见，点 (2, 0) 不是拐点，点 (3, 0) 是拐点.故选 (C) .
(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是
(A) f (0) > 1, f ¢¢(0) > 0
(B) f (0) > 1, f ¢¢(0) < 0
(C) f (0) < 1, f ¢¢(0) > 0
(D) f (0) < 1, f ¢¢(0) < 0
【答】 应选 (A) .
2011 年 • 第 1 页
æ1 0 0ö
æ1 0 0ö
位矩阵.
记 P1
=
ç ççè
1 0
1 0
0 1
÷ ÷÷ø
， P2
=
ç ççè
0 0
0 1
1 0
÷ ÷÷ø
，则
A
=
(A) P1P2
(B) P1-1P2
(C) P2P1
(D) P2 P1-1
【答】 应选 (D) .
【解】 易见 P1, P2 正是与题中所给初等变换相对应的初等矩阵，故由初等矩阵的性质，有 B = AP1 ， E = P2B ，从而 E = P2 AP1 ，即 A = P2-1P1-1 . 又 P2-1 = P2 ， P1-1 ¹ P1 ，所以 A = P2P1-1 ，但 A ¹ P2P1 ，故选 (D) .
2011考研试题及评分标准.
(D) α 2 , α 3 , α 4
(7) 设 F1 ( x) 与 F2 ( x ) 为两个分布函数，其相应的概率密度 f1 ( x ) 与 f 2 ( x) 是连续函数，则必 为概率密度的是 (A) f1 ( x ) f 2 ( x) 则 E (UV ) = (A) EU ⋅ EV (B) EX ⋅ EY (C) EU ⋅ EY (D) EX ⋅ EV (B) 2 f 2 ( x ) F1 ( x) (C) f1 ( x ) F2 ( x ) (D) f1 ( x ) F2 ( x) + f 2 ( x ) F1 ( x) (8) 设随机变量 X 与 Y 相互独立， 且 EX 与 EY 存在， 记 U = max{ X , Y } ， V = min{ X , Y } ，
T (6) 设 A = (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 是 4 阶矩阵， A 为 A 的伴随矩阵。 若 (1, 0,1, 0) 是方程组 Ax = 0 *
的一个基础解系，则 A* x = 0 的基础解系可为 (A) α1 , α 3 (B) α1 , α 2 (C) α1 , α 2 , α 3
(B) I < K < J (C) J < I < K (D) K < J < I
(5) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3 行得
1 0 0 1 0 0 单位矩阵。记 P1 = 1 1 0 ， P2 = 0 0 1 ，则 A = 0 0 1 0 1 0 −1 (A) P1P2 (B) P1 P2 (C) P2 P1 (D) P2 P1−1
D
计算二重积分 I =
2011考研数学(一二三)真题(含答案)
(B) 1,2 ．
(C) 1,2,3 ． (D) 2 ,3,4 ．
【解析】由 x 0 的基础解系只有一个知 r(A) 3 ，所以 r( A) 1，
f
(0),
B
2z xy
|(0,0)
f
(x)
f ( y) f (y)
|(0,0)
[
f (0)]2 f (0)
0,
C
2z y2
|(0,0)
f
(x)
f
( y) f
(y) [ f f 2(y)
( y)]2
|(0,0)
f (0) [ f (0)]2 f (0)
较强。
观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为 1，幂级数收敛区间的中心在 x 1 处，
故(A)，(B)错误；
因为
an
单调减少，lim n
an
0 ，所以 an
0 ，所以
n1
an
为正项级数，将
x
2 代入幂级数得
n1
an
，
n
而已知 Sn ak 无界，故原幂级数在 x 2 处发散，(D)不正确． k 1
2011 年全国硕士研究生入学 统一考试
数学（一、二、三） 试题及解析
山东考研辅导专家 苏老师
1
2011 年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要 求，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上．
2
考研数学二历年真题(2000-2012)
2 2
的极值.
(17)(本题满分 12 分) 过 (0,1) 点作曲线 L : y ln x 的切线,切点为 A ,又 L 与 x 轴交于 B 点,区域 D 由 L 与直线 A B 围成,求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. (18)(本题满分 10 分) 计算二重积分 xy d ，其中区域 D 为曲线 r 1 cos 0 与极轴围成.
D
(19)(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) 满足方程 f ( x ) f ( x ) 2 f ( x ) 0 及 f ( x ) f ( x ) 2 e x , (I) 求 f ( x ) 的表达式; (II) 求曲线 y f ( x 2 ) f ( t 2 )d t 的拐点.
(6) 设区域 D 由曲线 y sin x , x
, y 1 围成，则 ( x y 1)d x d y
5 D
( (A) (B) 2 (C) -2 (D) -
)
0 0 1 1 (7) 设 α 1 0 , α 2 1 , α 3 1 , α 4 1 ,其中 c1 , c 2 , c 3 , c 4 为任意常数，则下列向量 c c c c 2 3 4 1
*
1 T （8）设 A ， P 均为 3 阶矩阵， P 为 P 的转置矩阵，且 P A P = 0 0
T
0 1 0
0 0 ，若 2
）
T ，则 Q A Q 为（ P= （ 1， 2， 3） ， Q = （ 1 + 2， 2， 3）
2 A . 1 0 2 C . 0 0
2011年考研数学二真题及解析
2011年考研数学二考试真题试题及答案
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2011全国硕士研究生入学统一考试数学二真题答案解析
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2011年考研数学二真题及答案解析
x2 f x x2 f 0 2 f x3 2 f 0
lim x0
x3
f x f 0 f x3 f 0
lim x0
x
2
x3
f 0 2 f 0 f 0．
故答案选(B)． (3)【答案】(C)．
1
1
2
1 O
1
x
x2 y2 1 1
图１
(21) (本题满分 11 分)
已知函数 f (x, y) 具有二阶连续偏导数，且 f (1, y) 0 ，f (x,1) 0 ， f (x, y)dxdy a ，
D
其中 D (x, y) | 0 x 1,0 y 1 ，计算二重积分 I xy fxy (x, y)dxdy ．
(6)【答案】(B)．
【解析】因为 0 x 时， 0 sin x cos x 1 cot x ， 4
又因 ln x 是单调递增的函数，所以 ln sin x ln cos x ln cot x ．
故正确答案为(B)． (7)【答案】 (D)．
【解析】由于将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，故
xyd ．
D
(14) 二次型 f (x1, x2, x3) x12 3x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3 ，则 f 的正惯性指数
为
．
三、解答题(15～23 小题，共 94 分．请将解答写在答．题．纸．指定位置上．解答应写出文
．
xy x1
y 1
(18) (本题满分 10 分)
数学(二)试题 第 2 页 (共 13 页)
设函数 y(x) 具有二阶导数，且曲线 l : y y(x) 与直线 y x 相切于原点，记 为曲线 l
2011-数二真题、标准答案及解析
0
0
0
小关系是( )
(A) I J K ． (B) I K J ． (C) J I K ． (D) K J I ． (7) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3
1 0 0
1 0 0
行得单位矩阵，记
P1
=
1
1
0
，
P2
2 = (1, 2,3)T ， 3 = (3, 4, a)T 线性表示． (I) 求 a 的值； (II) 将 1, 2 , 3 由1,2 ,3 线性表示．
(23) (本题满分 11 分)
1 1 −1 1
A 为三阶实对称矩阵，
A
的秩为
2，即 r ( A)
=
2 ，且
A
0
0
=
0
0 ．
−1 1 1 1
(A) k = 1, c = 4 ． (B) k = 1, c = −4 ． (C) k = 3, c = 4 ． (D) k = 3, c = −4 ．
( ) x2 f ( x) − 2 f x3
(2) 已知 f ( x) 在 x = 0 处可导，且 f (0) = 0 ，则 lim x→0
x3
=(
)
(A) −2 f (0) ． (B) − f (0) ．
(C) f (0) ．
(D) 0．
(3) 函数 f (x) = ln (x −1)(x − 2)(x − 3) 的驻点个数为( )
(A) 0．
(B) 1．
(C) 2．
(4) 微分方程 y − 2 y = ex + e−x ( 0) 的特解形式为( )
考研数学二真题29套：1989年至2018年
六、(本题满分 7 分) 证明方程ln x
x 1 cos 2xdx 在区间(0, ) 内有且仅有两个不同实根. e 0
含 29 套考研数学二历年真题：1985 年至 2018 年 全国考研数学二真题 真题目录（29 套）
1、1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 2、1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 3、1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 4、1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 5、1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 6、1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 7、1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 8、1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 9、1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 10、1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 11、1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 12、2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 13、2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 14、2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 15、2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 16、2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 17、2005 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 18、2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 19、2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 20、2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 21、2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 22、2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 23、2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 24、2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 25、2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 26、2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 27、2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 28、2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 29、2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则 ( )(A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 (2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x →-= ( )(A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0.(3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( ) (A)若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(4) 设40ln sin I x dx π=⎰，4ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I <<(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = ( )(A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 121-P P(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( )(A)23121()2k ηηηη++-(B)23121()2k ηηηη-+-(C) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+- (D)23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 ( )(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x(C) 1()f x 2()F x (D) 1()f x 2()F x +2()f x 1()F x (8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n i n i T X X n n -==+-∑，有 ( )(A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C) 1ET <2ET ,1DT >2DT (D) 1ET <2ET ,1DT <2DT二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()()0lim 13xtt f x x t →=+，则()f x '= .(10) 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .(11) 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . (12)曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 .(13) 设二次型()123,,T f x x x x Ax =的秩为1，x Q y =下的标准形为 .(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布(,μN三、解答题：15~23小题，共94分.证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分)求极限0x →(16) (本题满分10分)已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，()(,,)z f x y f x y =+.求()21,1zx y∂∂∂(17) (本题满分10分)求不定积分(18) (本题满分10分)证明方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根.(19)(本题满分10分)设函数()f x 在区间[]0,1具有连续导数，(0)1f =，且满足'()()+=⎰⎰⎰⎰ttD D f x y dxdy f t dxdy , {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤tD x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.(20) (本题满分11分)设向量组()11,0,1Tα=，()20,1,1T α=，()31,3,5T α= 不能由向量组()11,1,1β=T,()21,2,3T β=,()33,4,β=Ta 线性表出.(I)求a 的值 ；(II)将1β，2β，3β用1α，2α，3α线性表出. (21) (本题满分11分)A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(I) 求A 的所有特征值与特征向量;(II) 求矩阵A . (22)(本题满分11分)设随机变量与的概率分布分别为且22()1P X Y ==.(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ. (23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ； (II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y .2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则 ( )(A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 【答案】 (C)【详解】本题涉及到的主要知识点： 当0x →时，sin x x 在本题中，03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2limkx x x x x xcx →--= ()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx --→→-== 304lim 14,3k x c k cx -→==⇒==，故选择(C).(2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x→-= ( )(A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0. 【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点： 导数的定义 0000()()lim ()x f x x f x f x x→+-'=在本题中，()()()()()()232233320220limlimx x x f x f x x f x x f f x f xx→→---+=()()()()()()()33000lim 20200x f x f f x f f f f x x →⎡⎤--'''⎢⎥=-=-=-⎢⎥⎣⎦故应选(B)(3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( )(A)若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛【答案】(A)【详解】本题涉及到的主要知识点： 级数的基本性质 若级数1nn u∞=∑收敛，则不改变其项的次序任意加括号，并把每个括号内各项的和数作为一项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变. 在本题中，由于级数2121()n n n uu ∞-=+∑是级数1n n u ∞=∑经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当1nn u∞=∑收敛时，2121()n n n uu ∞-=+∑也收敛，故（A ）正确.(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << 【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点： 如果在区间[,]a b 上，()()f x g x ≤，则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰()a b <在本题中，如图所示： 因为04x π<<，所以0sin cos 1cot <<<<x x x又因ln x 在(0,)+∞是单调递增的函数，所以lnsin lncos lncot x x x << (0,)4x π∈4440ln sin ln cos ln cot x dx x dx x dx πππ⇒<<⎰⎰⎰即I K J <<.选（B ）.(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = ( )(A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 121-P P 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.在本题中，由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110,001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即111,AP B A BP -==故由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即2,P B E =故122,B P P -==因此，1112121,A P P P P ---==故选(D)(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( )(A)23121()2k ηηηη++-(B)23121()2k ηηηη-+-(C) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+-(D) 23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-【答案】(C)【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果1ξ，2ξ是Ax b =的两个解，则12ξξ-是0Ax =的解； （2）如n 元线性方程组Ax b =有解，设12,,,t ηηη是相应齐次方程组0Ax =的基础解系，0ξ是Ax b =的某个已知解，则11220t t k k k ηηηξ++++是Ax b =的通解（或全部解），其中12,,,t k k k 为任意常数.在本题中，因为123,,ηηη是Ax β=的3个线性无关的解，那么21ηη-，31ηη-是0Ax =的2个线性无关的解.从而()2n r A -≥，即3()2()1r A r A -≥⇒≤ 显然()1r A ≥，因此()1r A =由()312n r A -=-=，知（A ）（B ）均不正确. 又232311222A A A ηηηηβ+=+=，故231()2ηη+是方程组Ax β=的解.所以应选（C ）.(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 ( )(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x(C) 1()f x 2()F x (D) 1()f x 2()F x +2()f x 1()F x 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点： 连续型随机变量的概率密度()f x 的性质：()1f x dx +∞-∞=⎰在本题中，由于1()f x 与2()f x 均为连续函数，故它们的分布函数1()F x 与2()F x 也连续.根据概率密度的性质，应有()f x 非负，且()1f x dx +∞-∞=⎰.在四个选项中，只有（D ）选项满足[]1221()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞+⎰2112()()()()F x dF x F x dF x +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰121212()()()()()()F x F x F x dF x F x dF x +∞+∞+∞-∞-∞-∞=-+⎰⎰1=故选（D ）.(8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n i n i T X X n n -==+-∑，有 ( ) (A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C) 1ET <2ET ,1DT >2DT (D) 1ET <2ET ,1DT <2DT 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）泊松分布()XP λ 数学期望EX λ=，方差DX λ=（2）()E cX cEX =，()E X Y EX EY +=+，2()D cX c DX =，()D X Y DX DY +=+（X 与Y 相互独立） 在本题中，由于12,,,n X X X 独立同分布，且0i i EX DX λ==>，1,2,,i n =，从而()()111111()()n ni i i i E T E X E X n E X n n nλ=====⋅⋅=∑∑，()112111111()()11--==⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭∑∑n n i n in i i E T E X X E X E X n n n n 11(1)()()1=⋅-+-i n n E X E X n n ()()111λ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭E X E X n n 故()()12<E T E T又()()1121((11))λ===⋅⋅==∑n i i D T D n D X D X n n X n n，()12221111()(1)1(1)n i n i D T D X X n n n n n λλ-==+=⋅-⋅+--∑12()1D T n n n λλλ=+>=-，故选（D ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()()0lim 13xtt f x x t →=+，则()f x '= .【答案】()313xex +【详解】本题涉及到的主要知识点： 重要极限公式 10lim(1)xx x e →+=在本题中，()()()31300lim 13lim 13x t xtt tt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3x x e =⋅所以有()()313'=+xf x ex .(10) 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .【答案】()()12ln 2dx dy +- 【详解】用对数求导法.两边取对数得ln ln(1)x x z y y=+， 故11[ln(1)]z x x z x y y x y ∂=++∂+，21[ln(1)]z x x x z y y y x y∂=-++∂+ 令1x =，1y =，得(1,1)2ln 21z x ∂=+∂，(1,1)(2ln 21)zy ∂=-+∂， 从而()()(1,1)12ln 2dz dx dy =+-(11) 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . 【答案】2y x =- 【详解】方程变形为arctan()4y x y e π++=，方程两边对x 求导得211yye y y e ''+=+，在点(0,0)处(0)2y '=-，从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2y x =-.(12)曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 . 【答案】43π【详解】本题涉及到的主要知识点： 设有连续曲线()y f x =()a x b ≤≤，则曲线()y f x =与直线x a =，x b =及x绕x 轴旋转一周产生的旋转体的体积2(bx aV f π=⎰在本题中，()222223111141().33V y dx x dx x x ππππ==-=⋅-=⎰⎰(13) 设二次型()123,,T f x x x x Ax =的秩为1，A 中各行元素之和为3，则f 在正交变换x Q y =下的标准形为 .【答案】213y【详解】本题涉及到的主要知识点： 任给二次型,1()nij ijijji i j f a x x aa ===∑，总有正交变换x Py =，使f 化为标准形2221122n n f y y y λλλ=+++，其中12,,,n λλλ是f 的矩阵()ij A a =的特征值.在本题中，A 的各行元素之和为3，即1112131112132122232122233132333132333,13113,1313113113a a a a a a a a a a a a A a a a a a a ++=⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⇒=⇒=⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 所以3λ=是A 的一个特征值.再由二次型Tx Ax 的秩为10λ⇒=是A 的2重特征值. 因此，正交变换下标准形为：213y .(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN ，则()2E XY = .【答案】22()μμσ+【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果随机变量X 和Y 的相关系数0XY ρ=，则称X 与Y 不相关.（2）若随机变量X 与Y 的联合分布是二维正态分布，则X 与Y 独立的充要条件是X 与Y不相关.（3）如果随机变量X 与Y 相互独立，则有()E XY EXEY = 在本题中，由于(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN，说明X ，Y 独立同分布，故X与2Y 也独立.由期望的性质有22()E XY EX EY =⋅，又EX μ=，2222()EY DY EY σμ=+=+，所以222()()E XY μμσ=+三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分)求极限x →【详解】本题涉及到的主要知识点： 当0x →时，ln(1)x x +在本题中，0x →201lim x x x →-=000x x x →→→===01.2x x →→==-=-(16) (本题满分10分)已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，()(,,)z f x y f x y =+.求()21,1zx y∂∂∂【详解】本题涉及到的主要知识点：极值存在的必要条件 设(,)z f x y =在点00(,)x y 具有偏导数，且在点00(,)x y 处有极值，则必有00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=. 在本题中，(,(,))z f x y f x y =+121(,(,))(,(,))(,)zf x y f x y f x y f x y f x y x∂'''=+++⋅∂ 2111221(,(,))(,(,))(,)(,)zf x y f x y f x y f x y f x y f x y x y∂''''''=++++∂∂ ()21222212[(,(,))(,(,))(,)](,(,)),f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ''''''''+++++⋅()1,12f =为(),f u v 的极值 ()()121,11,10f f ''∴==211212(1,1)2,2(2,2)(1,1)z f f f x y ∂'''''∴=+⋅∂∂(17) (本题满分10分)求不定积分【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）()x t ϕ=，1()[()]()()[()]f x dx f t t dt G t C G x C ϕϕϕ-'==+=+⎰⎰；（2）udv uv vdu =-⎰⎰； （3）[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.在本题中，令t =,2x t =,2dx tdt =∴2arcsin ln 2t t tdt t +=⋅⎰()22arcsin ln t t dt =+⎰ 2222arcsin 22ln 2tt t t t t dt t=⋅-+⋅-⋅⎰222arcsin 2ln 4t t t t t=⋅+⋅+-22arcsin 2ln 4t t t t t C=⋅+⋅++x C =+，其中C 是任意常数.(18) (本题满分10分)证明方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根. 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）零点定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ⋅<），那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使()0f ξ= （2）函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.在本题中，令4()4arctan 3f x x x π=-+-，'24()11f x x=-+当x >'()0f x <，()f x 单调递减；当x <时，'()0f x >，()f x 单调递增.4(4arctan((03f π=-+=.当x <()f x 单调递减,∴(,x ∈-∞,()0f x >；当x <<()f x 单调递增,∴(x ∈,()0f x >x ∴=()f x在(-∞上唯一的零点.又因为48033f ππ==-> 且()4lim lim 4arctan .3x x f x x x π→+∞→+∞⎛=-+-=-∞ ⎝∴由零点定理可知，)0x ∃∈+∞，使()00f x =,∴方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根.(19)(本题满分10分)设函数()f x 在区间[]0,1具有连续导数，(0)1f =，且满足'()()+=⎰⎰⎰⎰ttD D f x y dxdy f t dxdy , {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤tD x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.【详解】本题涉及到的主要知识点： 一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx+=的通解()()(())P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰. 在本题中，因为()()tt t xD f x y dxdy dx f x y dy -''+=+⎰⎰⎰⎰，令x y u +=，则()()()()t xtx f x y dy f u du f t f x -''+==-⎰⎰()(()())()()tttD f x y dxdy f t f x dx tf t f x dx '+=-=-⎰⎰⎰⎰201()()()()2ttD tf t f x dx f t dxdy t f t ∴-==⎰⎰⎰.两边对t 求导，得 2()()02'+=-f t f t t ,解齐次方程得212()(2)--⎰==-dt t C f t Ce t由(0)1f =，得4C =. 所以函数表达式为24()(01)(2)f x x x =≤≤-.(20) (本题满分11分)设向量组()11,0,1T α=，()20,1,1T α=，()31,3,5T α= 不能由向量组()11,1,1β=T,()21,2,3T β=,()33,4,β=Ta 线性表出.(I)求a 的值 ；(II)将1β，2β，3β用1α，2α，3α线性表出. 【详解】本题涉及到的主要知识点： 向量组12,,,l b b b 能由向量组12,,,m a a a 线性表示的充分必要条件是 121212(,,,)(,,,,,,,)m m l r a a a r a a a b b b =(I)因为123101,,01310115ααα==≠，所以123,,ααα线性无关.那么123,,ααα不能由123,,βββ线性表示⇒123,,βββ线性相关，即123113113,,1240115013023a aa βββ===-=-，所以5a =(II)如果方程组112233(1,2,3)j x x x j αααβ++==都有解，即123,,βββ可由123,,ααα线性表示.对123123,,,,,αααβββ（）作初等行变换，有123123,,,,,αααβββ（）=101113013124115135⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭1002150104210001102⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭ 故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-(21) (本题满分11分)A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(I) 求A 的所有特征值与特征向量;(II) 求矩阵A .【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）(0)A αλαα=≠λ为矩阵A 的特征值，α为对应的特征向量（2）对于实对称矩阵，不同特征值的特征向量互相正交. （I ）因()2r A =知0A =，所以0λ=是A 的特征值.又111000111A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，110011A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以按定义1λ=是A 的特征值，1(1,0,1)Tα=是A 属于1λ=的特征向量；1λ=-是A 的特征值，2(1,0,1)T α=-是A 属于1λ=-的特征向量.设3123(,,)Tx x x α=是A 属于特征值0λ=的特征向量，作为实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，因此131323130,0,T Tx x x x αααα⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩ 解出3(0,1,0)Tα= 故矩阵A 的特征值为1,1,0-；特征向量依次为123(1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)T T Tk k k -，其中123,,k k k 均是不为0的任意常数.(II)由12312(,,)(,,0)A ααααα=-，有1112123*********(,,0)(,,)000001000110110100A ααααα---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(22)(本题满分11分)且22()1P X Y ==.(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ. 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）协方差 ()()()()cov ,X Y E XY E X E Y =-⋅ （2）相关系数cov ,XY X Y ρ=(I)设(,)X Y 的概率分布为根据已知条件{}221P XY ==，即{}{}{}0,01,11,11P X Y P X Y P X Y ==+==-+===，可知1221231p p p ++=，从而110p p p ===，1p p p ===，即(,)X Y 的概率分布为(II) Z XY =的所有可能取值为-1，0，1 .{}{}111,13P Z P X Y =-===-={}{}111,13P Z P X Y ====={}{}{}101113P Z P Z P Z ==-=-=-=Z XY =的概率分布为(3) 23EX =，0EY =，0EXY =，故(,)0Cov X Y EXY EX EY =-⋅=，从而0XY ρ=.(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ； (II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）X 、Y 是连续型随机变量，边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰，()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰；（2）在Y y =的条件下X 的条件概率密度(,)()()X Y Y f x y f x y f y =； （3）设G 是平面上的有界区域，其面积为A .若二维随机变量(,)X Y 具有概率密度1,(,),(,)0,x y G f x y A ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他则称(,)X Y 在G 上服从均匀分布.(I)(,)X Y 的联合密度为1,(,),(,)0,(,).x y G f x y x y G ∈⎧=⎨∉⎩当01x ≤<时，0()(,)1x X f x f x y dy dy x +∞-∞===⎰⎰； 当12x ≤≤时，20()(,)12x X f x f x y dy dy x +∞--∞===-⎰⎰；当0x <或2x >时，()0X f x =.所以 , 01,()2, 12,0, X x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它.(II)|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =当01y ≤<时，2()122yY yf y dx y -==-⎰；当0y <或1y ≥时，()0Y f y =.所以|1, 2,01,22(|)0, X Y y x y y y f x y ⎧<<-≤<⎪-=⎨⎪⎩其他.。
历年考研数学历年真题
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2011年考研数学必备——1996年到2010年——15年考研数学真题（数1、数2、数3、数4）大汇总——免费下载2010年全国硕士研究生入学考试数学一试题2010年全国硕士研究生入学考试数学二试题2010年全国硕士研究生入学考试数学三试题2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2007年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2006年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2005年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2005年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2004年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题2002年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题2001年全国硕士研究生入学考试数学一试题2001年全国硕士研究生入学考试数学二试题2001年全国硕士研究生入学考试数学三试题2001年全国硕士研究生入学考试数学四试题2000年全国硕士研究生入学考试数学一试题2000年全国硕士研究生入学考试数学二试题2000年全国硕士研究生入学考试数学三试题2000年全国硕士研究生入学考试数学四试题1999年全国硕士研究生入学考试数学一试题1999年全国硕士研究生入学考试数学二试题1999年全国硕士研究生入学考试数学三试题1999年全国硕士研究生入学考试数学四试题1998年全国硕士研究生入学考试数学一试题1998年全国硕士研究生入学考试数学二试题1998年全国硕士研究生入学考试数学三试题1998年全国硕士研究生入学考试数学四试题1997年全国硕士研究生入学考试数学一试题1997年全国硕士研究生入学考试数学二试题1997年全国硕士研究生入学考试数学三试题1997年全国硕士研究生入学考试数学四试题1996年全国硕士研究生入学考试数学一试题1996年全国硕士研究生入学考试数学二试题1996年全国硕士研究生入学考试数学三试题1996年全国硕士研究生入学考试数学四试题。
2011版数学二考研大纲
全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲（2011版）教育部考试中心Ⅰ.考试性质数学考试是为高等院校和科研院所招收工学、经济学、管理学硕士研究生而设置的具有选拔性质的全国统一入学考试科目.其目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备继续攻读硕士学位所需要的数学知识和能力，评价的标准是高等学校优秀本科毕业生能达到的及格或及格以上水平，以利于各高等院校和科研院所择优选拔，确保硕士研究生的招生质量.Ⅱ.考查目标要求考生比较系统地理解数学的基本概念和基本理论,掌握数学的基本方法,具备抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.Ⅲ.试卷分类及使用专业根据工学、经济学、管理学各学科、专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的不同要求,硕士研究生入学统考数学试卷分为3种,其中针对工学门类的为数学一、数学二,针对经济学和管理学门类的为数学三.招生专业须使用的试卷种类规定如下:一、须使用数学一的招生专业1.工学门类中的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、冶金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学技术、信息与通信工程、控制科学与工程、计算机科学与技术、土木工程、水利工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等20个一级学科中所有的二级学科、专业.2.授工学学位的管理科学与工程一级学科.二、须使用数学二的招生专业工学门类中的纺织科学与工程、轻工技术与工程、农业工程、林业工程、食品科学与工程等5个一级学科中所有的二级学科、专业.三、须选用数学一或数学二的招生专业(由招生单位自定)工学门类中的材料科学与工程、化学工程与技术、地质资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程等一级学科中对数学要求较高二级学科、专业选用数学一,对数学要求较低的选用数学二.四、须使用数学三的招生专业1.经济学门类的各一级学科.2.管理学门类中的工商管理、农林经济管理一级学科.3.授管理学学位的管理科学与工程一级学科.Ⅳ.考试形式和试卷结构一、 试卷满分及考试时间各卷种试卷满分均为150分,考试时间为180分钟.二、答题方式答题方式为闭卷、笔试.三、试卷内容结构各卷种试卷题型结构均为：单项选择题 8小题 , 每小题 4 分 , 共 32 分 .填空题 6小题 , 每小题 4 分 , 共 24 分 .解答题(包括证明题) 9小题 , 共 94 分。
2011考研数学真题+答案
2 z 所以 xy
f1 (1,1) f11 (1,1) f12 (1,1) .
(17)（本题满分 10 分） 求方程 k arctan x x 0 不同实根的个数，其中 k 为参数. 解：令 f ( x) k arctan x x ，则 f ( x) 是 (, ) 上的奇函数，且
2011 年 • 第 3 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2011 年数学试题答案和评分参考
1 1 ln n (n 1, 2,) ，证明数列 {an } 收敛. 2 n 解： （I）根据拉格朗日中值定理，存在 (n, n 1) ，使得 1 1 1 1 1 1 ln(1 ) ln(n 1) ln n ，所以 ln(1 ) . n n 1 n n 1 1 （II）当 n 1 时，由（I）知 an1 an ln(1 ) 0 ， n 1 n 1 1 1 1 且 an 1 ln n ln(1 1) ln(1 ) ln(1 ) ln n 2 n 2 n ln(1 n) ln n 0 ，所以数列 {an } 单调下降且有下界，故 {an } 收敛.
(A) P1P2 (B) P11P2 (C) P2 P1
*
（D）
(D) P2 P11
T
(6) 设 A (1,2 ,3 ,4 ) 是 4 阶矩阵， A 为 A 的伴随矩阵.若 (1, 0,1, 0) 是方程组 Ax 0
* 的一个基础解系， 则 A x 0 的基础解系可为
（D） (D)
（A） (B) f (0) 1, f (0) 0 (D) f (0) 1, f (0) 0
(4) 设 I 4 ln sin xdx , J 4 ln cot xdx , K 4 ln cos xdx , 则 I , J , K 的大小关系为 （B）
2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二真题及详解【圣才出品】
【考点】定积分值大小的比较
【解析】x∈（0，π/4），有 sinx＜cosx＜1＜cotx，则 lnsinx＜lncosx＜0＜lncotx，故 π
J 4 ln cot xdx 0 0
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π
π
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C．x（aeλx＋be－λx）
D．x2（aeλx＋be－λx）
【答案】C
【考点】微分方程特解的求法
【解析】原方程对应的齐次方程的特征方程 y2－λ2＝0，解得 y1＝λ，y2＝－λ，则 y″－ λ2y＝eλx 的特解 y1＝C1xeλx；y″－λ2y＝eλx 的特解 y2＝C2xe－λx。故原方程的特解 y＝x（C1eλx＋ C2e－λx）。故选 C 项。
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C＝∂2z/∂y2＝f（x）g″（y）
在（0，0）点，A＝f″（0）g（0），B＝f′（0）g′（0）＝0，C＝f（0）g″（0）。由
z x
(0,0)
z y
(0,0)
0
可得，（0，0）是 z＝f（x）g（y）可能的极值点。若 z＝f（x）g（y）在（0，0）有极
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A．α1，α3
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B．α1，α2
C．α1，α2，α3
D．α2，α3，α4
【答案】D
【考点】基础解系的求法
【解析】因为 Ax＝0 基础解系含一个线性无关的解向量，所以 r（A）＝3，于是 r（A*）
＝1，故 A*x＝0 基础解系含 3 个线性无关的解向量。又 A*A＝|A|E＝0 且 r（A）＝3，所以 A
考研数学二历年真题2004-2012
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++ ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ . (11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<. (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<. (21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++= n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.(22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2，(I) 求实数a 的值；(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一考试一、 选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
2011考研数学二真题
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明、证明过程或演算步骤 .
∫x ln(1 + t2 )dt
（ 15）（本题满分 10 分）已知函数 F (x ) = 0 x3a
，设
lim x→+∞ F ( x) = lim x→0+ F ( x) = 0 ，试求 a 的取值范围。
解：由 lim x→+∞ F ( x) = 0 ，所以至少 a > 0
所以 tan α= dy dx
，两边同时对
x 求导数，得
sec2
αdα = dx
d2y dx2
由题知
dα dy = ，并且
sec2 α= 1+ tan2 α所以得微分方程
dx dx
?d 2y
? ??
dx
2
?
= dy + ( dy )3, dx dx
y(0) = 0,
此方程是不显含
（ 5） 设 函 数 f ( x), g ( x) 均 有 二 阶 连 续 导 数 ， 满 足 f (0) > 0, g(0) < 0 ， 且
f ′(0) = g′(0) = 0 ，则函数 z = f ( x) g( y) 在点 (0,0) 处取得极小值的一个充分条件
是（
）
（ A ） f ′(0′) < 0, g′(0′) > 0
4t
( ) 解： dx = t2 +1 ， dx2 = t 2 +1 3
当
t
= 1时，
x=
5
，
y
=
-
1
是极小值
3
3
当 t = - 1时， x = - 1 ， y = 1是极大值
2011年研究生入学统一考试数学二试题及解析.doc
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与kcx 等价无穷小，则（A ）1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==- 【分析】本题考查等价无穷小的有关知识.可以利用罗必达法则或泰勒公式完成。
【详解】法一:由题设知 1003sin sin 33cos 3cos31=lim=lim k k x x x x x xcx kcx-→→-- 23003sin 9sin 33cos 27cos3=lim=lim (1)(1)(2)k k x x x x x xk k cx k k k cx --→→-+-+--- 3024=lim(1)(2)k x k k k cx -→--从而(1)(2)243k k k c k --=⎧⎨=⎩，故3,4k c ==。
从而应选（C ）。
法二:333333(3)()3(())(3())4()3!3!x x f x x o x x o x x o x =-+--+=+ 所以3,4k c ==。
，从而应选（C ）。
2、已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则2330()2()lim x x f x f x x→-= （A ）2'(0)f - （B ）'(0)f - （C ） '(0)f （D ）0【分析】本题考查导数的定义。
通过适当变形，凑出()f x 在0x =点导数定义形式求解。
【详解】2322333300()2()()(0)()(0)limlim[2]x x x f x f x x f x x f f x f x x x →→---=- ()2233300()(0)()(0)lim 2lim '0x x x f x x f f x f f x x →→--=-=- 故应选（B ）。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案详解
= f ′(0) − 2 f ′(0) = − f ′(0)
（3） 函数 f ( x) = ln ( x − 1)( x − 2)( x − 3) 的驻点个数为（ （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 ）
【答案】应选（C） 【详解】令 f ′( x ) = 0 ，解得驻点 x = 2 ± （4） 微分方程 y′′ − λ y = e
dy t 2 − 1 d 2 y 4t = 2 ， 2 = 3 dx t + 1 dx ( t 2 + 1)
5 1 ， y = − 是极小值 3 3
当 t = 1 时， x =
当 t = −1 时， x = −1 ， y = 1 是极大值 当 t = 0 时， x =
1 1 ， y = 是拐点 3 3
（12）设函数 f ( x ) = ⎨ 【答案】 【详解】
1
λ
∫
+∞
−∞
xf ( x )dx = ∫
+∞
0
xλ e − λ x dx =
1
λ
2
或者指数函数的数学期望。 （13）设平面区域 D 由直线 y = x 圆 x + y = 2 y 及 y 轴所组成，则二重积分
2
∫∫ xydσ =
D
【答案】
7 12
海天教育
2011 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案详解
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1） 已知当 x → 0 时，函数 f ( x ) = 3sin x − sin 3 x 与 cx k 是等价无穷小，则（ （A） k = 1, c = 4 （C） k = 3, c = 4 【答案】应选（C） 【分析】由泰勒公式及无穷小阶的比较可得。 【详解一】 sin x = x − （B） k = 1, c = −4 （D） k = 3, c = −4 ）
2011考研数二真题答案
2011考研数二真题答案2011年考研数学二真题答案一直是备受考生关注的话题。
对于考研数学二这门科目来说，考生们都希望能够在考试中取得好成绩，因此对于真题答案的掌握显得尤为重要。
本文将从不同角度来探讨2011年考研数学二真题答案，并对其意义进行分析。
首先，我们来看看2011年考研数学二真题的难度。
根据考生的回忆和讨论，可以得出这套试卷整体难度适中，题目涵盖了数学二各个知识点，并且考查了考生对于知识的理解和应用能力。
因此，对于考生来说，掌握2011年考研数学二真题答案能够帮助他们更好地了解自己的知识掌握情况，找出自己的不足之处，并进行有针对性的复习提高。
其次，我们来分析一下2011年考研数学二真题答案的解题思路。
在解题过程中，考生需要灵活运用所学知识，同时也需要具备一定的数学思维能力。
通过研究真题答案，考生可以了解到解题的一些常用方法和技巧，从而在考试中能够更加高效地解答题目。
此外，真题答案还可以帮助考生培养解题的思维方式和逻辑思维能力，提高解题的准确性和速度。
另外，2011年考研数学二真题答案也对于考生的备考计划和复习重点的确定有一定的指导作用。
通过研究真题答案，考生可以了解到考试的出题规律和重点考查的知识点，从而有针对性地制定自己的备考计划，并将重点放在对应的知识点上。
这样可以提高备考的效率，避免浪费时间在一些次要的知识点上。
此外，通过对2011年考研数学二真题答案的掌握，考生还可以进行模拟考试和自我评估。
考生可以将真题答案作为参考答案，进行模拟考试，从而了解自己在考试中的表现和水平。
同时，考生还可以将自己的答案与真题答案进行对比，找出差距和不足之处，进一步提高自己的解题能力和答题技巧。
最后，我们来谈谈2011年考研数学二真题答案对于考生的意义。
对于考生来说，真题答案不仅仅是一份答案，更是一份宝贵的学习资料。
通过研究真题答案，考生可以更好地了解考试的要求和考点，提高自己的解题能力和应试技巧。
同时，真题答案也可以帮助考生了解自己的学习进度和水平，从而进行有针对性的复习和提高。
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2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1、已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与k
cx 等价无穷小，则
（A ）1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==-
2、已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则233
0()2()
lim
x x f x f x x →-= （A ）2'(0)f - （B ）'(0)f - （C ） '(0)f （D ）0 3、函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4、微分方程2''(0)x x y y e e λλλλ--=+>的特解形式为
（A ）()x x a e e λλ-+ （B ）()x x ax e e λλ-+ （C ）()x x x ae be λλ-+ （D ）2()x x x ae be λλ-+ 5、设函数()f x ，()g x 具有连续二阶连续导数，满足(0)0f >，(0)0g <，且
'(0)'(0)0f g ==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是
（A ）''(0)0f <，''(0)0g > （B ）''(0)0f <，''(0)0g < （C ）''(0)0f >，''(0)0g > （D ）''(0)0f >，''(0)0g <
6、 设4
ln sin I xdx π
=
⎰
，40
ln cot j xdx π=⎰，40
ln cos K xdx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是
（A ）I J K << （B ）I K J << （C ） J I K << （D ）K J I <<
7、设A 为三阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得
单位矩阵，记1100110001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2100001010P ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，则A
（A ）12PP （B ）112P P - （C ）21P P （D ）1
21P P -
8、设1234(,,,)
A αααα=是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T
是方程组0
AX =
的一个基础解系，则*
0A X =的一个基础解系为
（A ）13,αα （B ）12,αα （C ）123,,ααα （D ）234,,ααα 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
9、1
012lim(
)2
x x x →+=________。
10、微分方程'cos x y y e x -+=满足条件(0)0y =的解为y =________。
11、曲线0
tan x
y tdt =⎰
(0)4
t π
≤≤
的弧长s =__________。
12、若函数0()0
0x x e f x x λλ->⎧=⎨≤⎩，0λ>，则()xf x dx +∞-∞
=⎰__________
13、设平面区域D 由直线y x =圆222x y y +=及y 轴所组成，则二重积分D
xyd σ=⎰⎰_____
14、二次型222
123123121323
(,,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++，则f 的正惯性指数为______
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）
已知函数20
ln(1)()x
t dx F x x α
+=
⎰，设lim ()0x F x →+∞
=，0
lim ()0x F x +
→=，试求a 的取值范围 16、（本题满分11分）
设函数()y y x =由参数方程331133
1133x t t y t t ⎧
=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩确定，求函数()y y x =的极值和曲线
()y y x =的凹、凸区间及拐点。
17、（本题满分9分）
设(,())z f xy yg x =其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导，且在1x =处取
得极值(1)1g =，求
21
1
x y z
x y
==∂∂∂
18、（本题满分10分）
设函数()y y x =具有二阶导数，且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点，记α为曲线l 在点(,)x y 处切线的倾斜角，若d dy
dx dx
α=，求()y y x =的表达式。
19.（本题满分10分）
（Ⅰ）证明：对任意正整数n ，都有111ln(1)1n n n
<+<+ （Ⅱ）设11
1ln (1,2,)2n a n n n
=+
++-= ，证明数列{}n a 收敛
20、（本题满分11分）
一容器内侧是由图中曲线绕y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线是由22
2x y y +=1()2
y ≥与22
1x y +=1()2
y ≤连接而成的。
（Ⅰ）容器的容积
（Ⅱ）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：m ，重力加速度2
/gm s ,水的密度为3
3
10/kg m ） 21、（本题满分11分）
已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0,(,1)0,f y f x ==(,)D
f x y dxdy a =⎰⎰
其中{}(,):01,01D x y x y =≤≤≤≤。
计算二重积分(,)xy
D
I xyf x y dxdy ''=⎰⎰
22、（本题满分11分）
设1(1,0,1)T α=，2(0,1,1)T α=，3(1,3,5)T α=不能由1(1,1,1)T β=，2(1,2,3)T β=，
3(3,4,)T a β=线性表出。
（Ⅰ）求a
（Ⅱ）将123,,βββ由123,,ααα线性表出 23、（本题满分11分）
设A是三阶实对称矩阵，A的秩为2且
1111
0000
1111 A
-
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
（I）求A的所有特征值与特征向量（II）求矩阵A。