2-5导数的简单应用

MP(x) =P'(x)------边际利润 边际利润
显然, 显然 P(x) = R(x) −C(x).
例4 设生产 件产品的成本和收益分别是 设生产x件产品的成本和收益分别是
1 1 2 R x) =140x − x2(元 ( ), C(x) = 1800+ 4x + x (元 ), 2 2
生产30件产品时的平均成本及边际成本 求: (1)生产 件产品时的平均成本及边际成本 生产 件产品时的平均成本及边际成本; (2)生产 件产品时的边际收益及边际利润 生产30件产品时的边际收益及边际利润 生产 件产品时的边际收益及边际利润.
四、相关变化率
知 F 已 ： (x, y) = 0 —— 相关方程
dx =ϕ(t) dt
x 关于 的相关变化率 关于t
相关变化率问题: 相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率
相关变化率问题解法 相关变化率问题解法: 解法 找出相关联的变量间的等式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
2 2
3 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x, 显然通过原点. 显然通过原点. 2 2
x = a(t −sint) t π 点处的切线方程. 在 = 点处的切线方程. 例1-3 求摆线 2 y = a(1−cost) dy sint asint dy dt 解 = = = a(1−cost) 1−cost dx dx dt π sin dy dy 2 = 1. ∴ = dx t=π 1−cosπ 2 2 π π t , ), y = a. 当 = 时 x = a( −1 2 2 所求切线方程为
分析 两曲线 y=f (x) 与 y = g(x) 在点( x0 , y0 ) 相切 在点
切 相 ) f (x0) = g(x0) (在 点 交 ⇔ 线 率 同 f ′(x0) = g′(x0) (切 斜 相 )
y y0 O
x0
x
解
切 为 设 点 (x0, y0),则
kx = x2 + ax + b ① 0 0 0 ② 0 k = 2x + a
1 y − f (x0) = − (x − x0), f ′(x0) 其中 f ′(x0) ≠ 0.
法线方程: 法线方程
x = 3t2 + 2t , 求该曲线 在 t = 0 例1 设 y e sint − y +1= 0
点处的切线方程. 点处的切线方程 解 1° 求切点 令t = 0 得 ， °
一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上 例5 一气球从离开观察员 升,其速率为 140m m , 当气球高度为 500 m 时, 其速率为 in 观察员视线的仰角增加率是多少? 观察员视线的仰角增加率是多少 分钟后其高度为h 解 设气球上升 t 分钟后其高度为 , 仰角为α , 则
h tanα = 500
2.物理应用: 2.物理应用: 物理应用
3. 经济应用: 经济应用: 常用 C(x), R(x), P(x)分别表示成本、收益 分别表示成本、 及利润， 及利润，于是 C '(x) 表示边际成本 R (x)表示边际收益 表示边际成本; ' 表示边际收益;
P'(x)表示边际利润 表示边际利润.
4. 相关变化率 列出依赖于 t 的相关变量关系式
MR(x) =R (x) = 140− x, '
MP(x) = P'(x) = MR(x) − M (x) = 136−2x, C
因此,生产 件产品时的边际收益及边际利润分别为 因此 生产30件产品时的边际收益及边际利润分别为 生产
1 ( / ), MR(30) =1 0 元件
MP(30) =7 (元件 6 / ).
dv d2 s a(t) = = 2 = s′′(t) dt dt
一小球在斜面上向上而滚， 例3 一小球在斜面上向上而滚，在t 秒之终与 的单位为米)， 开始的距离为 s = 3 t – t 2 (s的单位为米 ， 的单位为米 问其初速为多少？何时开始下滚？ 问其初速为多少？何时开始下滚？ 解 初速： 初速：
M (30) =C'(30) = 3 (元件 . 4 / ） C
这说明,生产 件产品的平均成本为 这说明 生产30件产品的平均成本为 元, 但在此基础 生产 件产品的平均成本为79元 上生产第31件产品则只需增加 元 上生产第 件产品则只需增加34元. 件产品则只需增加 (2) 边际收益及边际利润分别为
所求切线方程为
e e y −1= (x −0), 即 y = x +1. 2 2
a 何 时 曲 例2 当 取 值 ， 线y = ax和 线y = x 相 ， 直 切
求切点的坐标. 求切点的坐标 分析 两曲线 y=f (x) 与 y = g(x) 在点 x0 , y0 ) 相切 在点(
切 相 ) f (x0) = g(x0) (在 点 交 ⇔ 线 率 同 f ′(x0) = g′(x0) (切 斜 相 )
600
1 4000⋅ ⋅ h⋅ 2(h⋅ tan60°) =4000 3 2 V(t) = h 2
1 V(t) = 4000⋅ ⋅ h⋅ 2(h⋅ tan60°) =4000 3 2 h 2
上式两边都对t求导得
dV dh = 8000 3h⋅ dt dt
600
dV dV 3 Q = 8(m / s) = 28800 m / h), ( 3 dt dh 0 时 ∴ h = 2 m , ≈ 0.104(m/ h). 当 dt
第二章
第五节 导数的简单应用
一、几何应用 二、物理应用 三、经济应用 四、相关变化率
一、几何应用
•
切线、 切线、法线 平面曲线 y = f (x)上点 (x0, f (x0)) 处
的切线斜率为: 的切线斜率为: tanα = f ′(x0). 切线方程: 切线方程
y − f (x0) = f ′(x0)(x − x0),
y −a = x −a( −1) 即 y = x + a(2− ) . 2 2
π
π
例1-4 求 形 ρ = a(1+cosθ)(a为 数) 心 线 常 ，
点 θ 在 ( ρ， ) = (a, )处 切 的 率 的 线 斜 . 2 解 心 线 参 方 ： 形 的 数 程
π
s s s x =ρ co θ = a(1+co θ) co θ s y =ρ sinθ = a(1+co θ) sinθ
x0 ∈(a,b)
设x------产品数量 则 产品数量,则 产品数量 C(x)------产品成本 产品成本, 产品成本 R(x)------销售收益 销售收益, 销售收益 P(x)------销售利润 销售利润
M (x) = C'(x)------边际成本 边际成本 C
MR(x) =R (x) ------边际收益 ' 边际收益
形 在 ( 心 线 点a, )处 切 斜 ： 的 线 率 2 dy −asin2θ + a(1+cosθ )cosθ d y = dθ = = 1. − asinθ cosθ − a(1+cosθ ) sinθθ=π dxθ=π dx 2 2 d θ θ=π
2
π
原 向 物 y 切 例2-1 从 点 抛 线 = x2 +ax +b引 线 引 条 可 几 ？
水面上升之速率
备用题
1 1 ) 例1-1 求等边双曲线 y = 在点 ( ,2 处的切线 2 x
的斜率, 并写出该点的切线方程和法线方程. 的斜率, 并写出该点的切线方程和法线方程. 解 由导数的几何意义,得切线斜率为 由导数的几何意义,
k = y′
1 x= 2
1 1 = ( )′ 1 = − 2 x x= x 2
e
y(0)
点 ⋅ 0− y(0) +1= 0 y(0) =1. ∴ 切 (0,1)
2° 求斜率 ° 求导, 方程组两边同时对 t 求导 得
dy ⋅ dt
dy − =0 dt
dy ⋅ dt
dy − =0 dt
yt=0 = y(0) = 1
dy ∴ dx t=0
t =0
ey(0) e .= . = 2 2
1+ ln(lna) = 0
e−1
得 a =e 解
, 故切点为 e). 故切点为(e,
二、物理应用
•
速度、 速度、加速度 位移函数s 的一阶导数的物理意义是速度 速度, 位移函数 (t ) 的一阶导数的物理意义是速度, ds v(t) = = s′(t) dt
位移函数s 的二阶导数的物理意义是加速度 加速度. 位移函数 (t ) 的二阶导数的物理意义是加速度
1 C(x) 1800 解 (1) 平均成本为 C(x) = + 4+ x, = 平均成本为 x 2 x
边际成本为 C 边际成本为 M (x) =C'(x) = 4+ x . 因此,生产 件产品时的平均成本及边际成本分别为 因此 生产30件产品时的平均成本及边际成本分别为 生产
C(30) C(30) = =79 元 件， ( / ) 30
线通过原点. 线通过原点. 解 方程两边对x求导得, 3x + 3y y′ = 3y + 3xy′ 求导得,
2 2
y − x2 ∴y′ 3 3 = 2 1 3 3 =− . ( , ) y −x ( , ) 22
22
所求切线方程为 y − 3 = −(x − 3) 即 x + y − 3= 0. =
3− 2t
3 令v(t) = 0 得 t = (s) ， 2