导数的简单应用专题训练

导数的简单应用专题训练

1．设f (x )＝x ln x ，f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C ．

ln 2

2

D ．ln 2

解析：选B ∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴f ′(x 0)＝1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e ，故选B ． 2． 已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示， 则函数g (x )＝

f (x )

e x

的递减区间为( )

A ．(0,4)

B ．(－∞，1)，⎝⎛⎭⎫

43，4 C ．⎝⎛⎭

⎫0，43 D ．(0,1)，(4，＋∞)

解析：选D g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2

＝f ′(x )－f (x )

e x ，令g ′(x )＜0即

f ′(x )－f (x )＜0，

由图可得x ∈(0,1)∪(4，＋∞)，故函数单调减区间为(0,1)，(4，＋∞)，故选D ．

3． 若函数f (x )

ln x 在(1，＋∞)上单调递减，则称f (x )为P 函数．下列函数中为P 函数的序

号为( )

①f (x )＝1 ②f (x )＝x ③f (x )＝1

x ④f (x )＝x

A ．①②④

B ．①③

C ．①③④

D ．②③

解析：选B 当x >1时：f (x )ln x ＝1

ln x 单调递减，①是；⎝⎛⎭⎫x ln x ′＝ln x －1ln 2x ，所以函数在(e ，＋∞)上单调递增， ②不是；⎝⎛⎭⎫1x ln x ′＝－(ln x ＋1)ln 2

x ＜0，∴③是；⎝⎛⎭⎫x ln x ′＝(ln x －2)2x ln 2x ，所以函数在(e 2，＋∞)上单调递增，④不是；选B ．

4．已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( )

A ．e

B ．2e

C ．1

D ．2

解析：选C 由函数的解析式可得y ′＝a e x ＋1，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝a e x 0＋1，

令a e x 0＋1＝2可得x 0＝ln 1

a ，则函数在点(x 0，a e x 0＋x 0)，即⎝⎛⎭⎫ln 1a ，1＋ln 1a 处的切线方程为y －1－ln 1a ＝2⎝⎛⎭⎫x －ln 1a ，整理可得2x －y －ln 1

a ＋1＝0，结合题中所给的切线方程2x －y ＋1＝0有：－ln 1

a ＋1＝1，∴a ＝1.本题选择C 选项．

4． 若函数f (x )＝1

2x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则a 的取值

范围为( )

A ．⎣⎡⎭⎫32，2

B ．⎣⎡⎭⎫3

2，＋∞ C ．⎣⎡⎭

⎫0，3

2 D ．(－1,0)∪⎣⎡⎭

⎫3

2，＋∞ 解析：选B 对函数求导得f ′(x )＝x －1＋a ⎝⎛⎭⎫1－1x ＝(x ＋a )(x －1)

x ，因为函数存在唯一的极值，所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故x ＝1是唯一的极值点，此时－a ≤0且f (1)＝－12＋a ≥1⇒a ≥3

2

，故选B ．

5． 函数f (x )＝x ln x ＋x 2－ax ＋2恰有一个零点，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2

D ．3

解析：选D ∵函数f (x )＝x ln x ＋x 2－ax ＋2恰有一个零点，

∴方程x ln x ＋x 2－ax ＋2＝0在(0，＋∞)上有且只有一个根，即a ＝ln x ＋x ＋2

x 在(0，＋∞)上有且只有一个根．

令h (x )＝ln x ＋x ＋2

x ，

则h ′(x )＝1x ＋1－2x 2＝x 2

＋x －2x 2＝(x ＋2)(x －1)

x 2

．

当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，则h (x )在(0,1)上单调递减； 当x ＞1时，h ′(x )＞0，则h (x )在(1，＋∞)上单调递增．

∴h (x )min ＝h (1)＝3由题意可知，若使函数f (x )＝x ln x ＋x 2－ax ＋2恰有一个零点，则a ＝h (x )min ＝3.故选D ．

6． 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其导函数为f ′(x )，若对任意的正实数x ，都有xf ′(x )＋2f (x )＞0恒成立，且f (2)＝1，则使x 2f (x )＜2成立的实数x 的集合为( )

A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

B ．(－2，2)

C ．(－∞，2)

D ．(2，＋∞)

解析：选C 构造函数g (x )＝x 2f (x )，当x ＞0时，依题意有g ′(x )＝x [xf ′(x )＋2f (x )]＞0，

所以函数g (x )在x ＞0上是增函数，由于函数为奇函数，故在x ＜0时，也为增函数，且g (0)＝0，g (2)＝2f (2)＝2，所以不等式x 2f (x )＜2⇔g (x )＜g (2)根据单调性有x ＜2，故选C ．

7． 定义在R 上的连续函数f (x )，其导函数f ′(x )为奇函数，且f (2)＝1，f (x )≥0；当x ＞0时，xf ′(x )＋f (x )＜0恒成立，则满足不等式f (x －2)≤1的解集为( )

A ．[－2, 2]

B ．[0,4]

C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)

D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)

解析：选D 因为其导函数f ′(x )为奇函数，所以原函数f (x )是偶函数，因为当x ＞0时，xf ′(x )＋f (x )＜0恒成立，所以f ′(x )＜－f (x )

x ，∵x ＞0，f (x )＞0，∴f ′(x )＜0，所以函数f (x )

在x >0时，是减函数，在x <0时，是增函数．因为f (x －2)≤1，所以f (x －2)≤f (2)或f (－2)，所以x －2≥2或x －2≤－2，∴x ≤0或x ≥4，故选D ．

9．已知函数f (x )＝ln x

a －x －1(a ＞0)，若y ＝f (x )与y ＝f (f (x ))的值域相同，则a 的取值范

围是( )

A ．⎝⎛⎦⎤0，1e 3

B ．⎝⎛⎦⎤0，1

e 2 C ．(0,1]

D ．(1，e]

解析：选A 由题得f (x )＝ln x －x －1－ln a ，∴f ′(x )＝1

x －1＝1－x x ，所以函数f (x )在(0,

1)上是增函数，在(1，＋∞)是减函数．所以f (x )max ＝f (1)＝－ln a －2，f (x )的值域为(－∞，－ln a －2)．设y ＝f (f (x ))中，f (x )＝t ，则t ∈(－∞，－ln a －2)，所以y ＝f (t )与y ＝f (x )值域相同．因为函数f (x )在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)是减函数， 所以－ln a －2≥1，∴－ln a ≥3，∴ln a ≤－3＝ln e －3，∴a ≤e －

3＝1e 3.∵a ＞0，所以0＜a ≤1e

3，故选A ．

10． 已知函数f (x )＝x 33＋12ax 2

＋2bx ＋c 的两个极值分别为f (x 1)，f (x 2)，若x 1，x 2分别在

区间(0,1)与(1,2)内，则b －2a 的取值范围是( )

A ．(2,7)

B ．(－4，－2)

C ．(－5，－2)

D ．(－∞，2)∪(7，＋∞)

解析：选A ∵函数f (x )＝x 33＋12ax 2

＋2bx ＋c ，

∴f ′(x )＝x 2＋ax ＋2b ＝0的两个根为x 1，x 2， ∵x 1，x 2分别在区间(0,1)与(1,2)内， ∴⎩⎪⎨⎪

⎧

f ′(0)＞0，f ′(2)＞0，f ′(1)＜0

⇒⎩⎪⎨⎪

⎧

b ＞0，a ＋b ＋2＞0，a ＋2b ＋1＜0

做出可行域如图所示，令z ＝b －2a ，平移直线b

＝2a ＋z . 经过点A (－1,0)时，z 最小为2; 经过点B (－3, 1)时，z 最大为7，∴b －2a ∈(2,7)，