20.5.1等腰梯形的判定
初中数学等腰梯形的性质和定理学习技巧
初中数学等腰梯形的性质和定理学习技巧学习初中数学中关于等腰梯形的性质和定理时，以下是一些有效的学习技巧：1.理解定义：首先确保你清楚等腰梯形的定义：等腰梯形是一组对边平行，另一组对边不平行但相等的四边形。
理解这个定义是掌握等腰梯形性质的基础。
2.掌握基本性质：等腰梯形有一些基本的性质，如两腰相等、两底平行、对角线相等、同一底上的两个角相等。
深入理解和记忆这些性质，它们将是你解题的关键。
3.学习判定定理：等腰梯形的判定定理主要有两条对角线相等的梯形是等腰梯形，以及一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形等。
理解这些定理的条件和结论，并能够灵活应用它们。
4.大量练习：通过做大量的练习题来巩固对等腰梯形性质和定理的理解。
从简单的题目开始，逐步挑战更复杂的题目，提升解题能力。
5.图形直观：利用图形来辅助学习。
绘制等腰梯形并标记出重要的元素（如腰、底、对角线、角等），这样可以更直观地理解等腰梯形的性质和定理。
6.关联与对比：将等腰梯形的性质与矩形、平行四边形、菱形等其他四边形进行对比和关联，找出它们之间的异同点，加深对等腰梯形知识的理解。
7.总结归纳：将学习到的等腰梯形性质和定理进行归纳整理，形成自己的知识体系。
这样可以帮助你更好地记忆和应用这些知识。
8.参与讨论：与同学或老师讨论等腰梯形相关的问题，通过交流和分享来加深对等腰梯形性质和定理的理解。
9.持续复习：定期复习等腰梯形的性质和定理，确保你能够长期记忆和应用它们。
在复习过程中，可以不断回顾和巩固之前学过的知识，形成更加完整的知识体系。
遵循这些学习技巧，你将能够更好地掌握初中数学中等腰梯形的性质和定理，提高解题能力。
等腰梯形判定
正定镇中学仝树霞
等腰梯形的性质
1.等腰梯形在同一底上的两个底角相等.
2.等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴.
3.等腰梯形的对角线相等.
如何判定一个梯形是等腰梯形呢
有两腰相等的梯形是等腰梯形.
2. 解决梯形问题的基本思路和方法：通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为（）问题来解决.
三角形和平行四边形或矩形㈠. 有两腰相等的梯形是等腰梯形.㈡.同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
1.等腰梯形的判定:
A B C
D
E A B C
D
E
A B C D E F E 3. 常画的辅助线有以下几种：
⑵延长两腰相交于一点
⑴作一腰的平行线⑶作两条高⑷作一条对角线的平行线A B C D。
等腰梯形的特点性质.
等腰梯形的特点性质.
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等。
两腰相等，两底平行，对角线相等。
等腰梯形中位线的长度是上下底边长度和的一半。
性质有哪些：
1、全等梯形同一底上的两个内角成正比。
2、两腰相等，两底平行，对角线相等。
3、由托勒密定理可以得全等梯形abcd，存有abxcd+bcxad=acxbd
4、等腰梯形对角线的平方等于腰的平方与上、下底积的乘积和。
bd=ac=ab+adxbc=cd+adxbc
5、全等梯形中位线的长度就是上下底边长度和的.一半。
6、等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，过上下两底中点的直线即为对称轴。
7、全等梯形的面积公式：s=(上底+下底)×低÷2。
8、特殊面积计算：当对角线垂直时：s=acxbd/2。
等腰梯形的判定(2)__(习题讲解)
形是等腰梯形（ ） ５、一组对边平行而不相等，另一组对边相等
的四边形是等腰梯形（ ） 6、存在既是直角梯形，又是等腰梯形的梯形
（）
例1： 已知：梯形ABCD的两条对角线交
于O 点，过B点作AC的平行线，与DC的
延长线交于点G。
求证：S梯形ABCD SBDG
20.5 等腰梯形的判定(2) 习题课角 对角线等腰梯形
性质
判定
等腰梯形同一底上 同一底上的两个
的两个角相等
角相等的梯形是
等腰梯形
等腰梯形的对角 线相等
对角线相等的 梯形是等腰梯
形
判断
1、一 组对边平行的四边形是梯形（ ） ２、一组对边平行但不相等的四边形是梯形( ) ３、一组对边平行，另一组对边不平行的四边
A
D
B
C
综合应用
1． 如图，△ABC中， AB=AC， DE∥BC.求证： 四 边形DBCE是等腰梯形.
2． 如图，E、F分别是矩形 ABCD的对角线AC和BD上 的点，且AE＝DF．求证： 四边形BCFE是等腰梯形．
（第 1 题）
（第 2 题）
1.等腰梯形的判定:
㈠.有两腰相等的梯形是等腰梯形.
等腰梯形的判定方法:
㈠.有两腰相等的梯形是等腰梯形.
㈡.同一底上的两个角相等的梯形是等 腰梯形. ㈢．对角线相等的梯形是等腰梯形。
例2、如图，在菱形ABCD中，∠ DAB=60°，过 点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E。
求证：四边形AECD是等腰梯形。
D
C
AB
E
练习
1 、 如 图 ： 四 边 形 ABCD 中 ， AD<BC，AB=CD，AC=BD，那 么 四 边 形 ABCD 是 等 腰 梯 形 吗 ？ 为什么？
等腰梯形的三种判定方法
等腰梯形的三种判定方法
等腰梯形是一种特殊的梯形，其两侧的边长相等。
在几何学中，我们可以通过三种判定方法来判断一个四边形是否为等腰梯形。
一、对角线平分线段判定法
在一个四边形中，如果两条对角线互相平分对方，即相交于对方的中点，那么这个四边形就是等腰梯形。
这个判定方法的原理是，对角线平分线段的四边形具有对称性，可以证明其两边是相等的。
二、底角相等判定法
在一个四边形中，如果相邻两边的夹角相等，那么这个四边形就是等腰梯形。
这个判定方法的原理是，等腰梯形的两条斜边与底部的夹角相等，可以通过角度的对称性来证明其两边是相等的。
三、高相等判定法
在一个四边形中，如果两条非平行边的高相等，那么这个四边形就是等腰梯形。
这个判定方法的原理是，等腰梯形的两条斜边与底部的高相等，可以通过三角形的高相等性来证明其两边是相等的。
通过以上三种判定方法，我们可以很容易地判断一个四边形是否为等腰梯形。
当然，在实际应用中，我们还需要注意梯形的特殊情况，如矩形和正方形都是等腰梯形，但它们有其他的特征，需要综合考
虑。
等腰梯形在几何学中具有重要的应用价值，它不仅可以帮助我们解决一些实际问题，还可以训练我们的逻辑思维和证明能力。
希望大家在学习中多加探索，加深对等腰梯形的理解和认识。
等腰梯形的判定
求证：梯形ABCD是等腰梯形 求证：梯形ABCD是等腰梯形 证明： 证明： 作AE⊥BC于点E， AE⊥BC于点 于点E 作DF⊥BC于点F DF⊥BC于点 于点F 分析： 分析：证Rt△AEC≌Rt△DFB △ ≌ △ ∴∠ACE=∠DBF ∴∠ ∠ 再证△ 再证△ABC≌△DCB ≌ ∴AB=CD 即梯形ABCD是等腰梯形 是等腰梯形 即梯形
N O
B
C
想一想
如图：在梯形 如图：在梯形ABCD中，AD∥BC， 中 ∥ ， 平分∠ ∠ABC=60°，BD平分∠ABC，BC=2AB. ° 平分 ， 求证:四边形 是等腰梯形. 求证 四边形ABCD是等腰梯形 四边形 是等腰梯形
A D
B
C
拓展训练
已知：四边形 是直角梯形， 已知：四边形ABCD是直角梯形，AB=8cm,∠B=900 是直角梯形 ∠ AD=24cm,BC=26cm,点P从A出发，以1cm/s 点 从 出发 出发， 的速度向D运动， 出发， 的速度向 运动，点Q从C出发，以3cm/s的速 运动 从 出发 的速 度向B运 动，其中一动点达到端点时，另一动 其中一动点达到端点时， 度向 运 点随之停止运动。从运动开始，经过多少时间， 点随之停止运动。从运动开始，经过多少时间， 四边形PQCD是平行四边形？成为等腰梯形？ 是平行四边形？成为等腰梯形？ 四边形 是平行四边形
平移 腰
命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
已知: 已知
E
如图，在梯形 如图，在梯形ABCD中， 中 AD∥BC，∠B＝ ∠C ∥ ， ＝
等腰梯形的判定
梳理知识
1、等腰梯形的两种判定方法:
①两腰相等的梯形是等腰梯形（定义法） ②同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形.
2、等腰梯形可转化为我们以前学习的哪些 图形？等腰三角形、平行四边形、矩形、直角
三角形等
3、等腰梯形常添加的辅助线有哪些？
延长两腰、作两条高、平移一腰、平移一条对角 线、平移两腰等
1、已知：如图，在梯形ABCD中AD∥BC ，E是AD的中点，EB＝EC， 求证：梯形ABCD是等腰梯形.
2、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC ，BD、CE是角平分线，求证：四边形 EBCD是等腰梯形.
（请两同学板演说理过程） 拓展题：
已知：如图在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ//ＢＣ， 对角线ＡＣ、ＢＤ，∠ １＝ ∠ ２，求证： 梯形ＡＢＣＤ是等腰梯形
A D
１ B
2 C E
小结与反思：
1、证明一个四边形是等腰梯形，应先证明 它是梯形，再证明它是等腰梯形. 2、在解决梯形问题时，可通过添加适当的 辅助线转化成三角形和规则的四边形来解决. 3、等腰梯形的两种判定方法: ①两腰相等的梯形是等腰梯形（定义法） ②同一底上的两个底角相等的梯形是等腰 梯形.
小试牛刀： （请同学们思考后说出证明思路）
1、已知：在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠A＋∠C＝180°，求证：梯形ABCD是等 腰梯形. 对角互补
的梯形也 是等腰梯 形
１２
2、在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线 AC、BD相交于点O，若OA＝OB， 求证：梯形ABCD为等腰梯形.
（请同学们思考后说出证明思路） 例题分析：
3、已知：如图，四边形ABCD中， AB＝CD，AC＝BD，且AB与CD不平行， 试问四边形ABCD是等腰梯形吗？
等腰梯形的判定
等腰梯形的判定授课人：杨小强知识目标：理解并掌握等腰梯形的判定方法能力目标：经历探索梯形的判定条件的过程，发展学生合情推理能力情感目标：培养主动探究意识，严谨表达能力，几何思维能力体会逻辑思维应用价值 重点：理解等腰梯形的判定方法 难点：证明等腰梯形判定定理 教法：探究法 一、温故而知新等腰梯形除具有一般梯形的性质外，还具有哪些性质？ 1、等腰梯形的两腰相等2、等腰梯形在同一底上的两个角相等3、等腰梯形的两条对角线相等4、等腰梯形是轴对称图形想一想： 你能说出第2、3个性质的逆命题吗？逆命题：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 逆命题：对角线相等的梯形是等腰梯形已知 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=∠C 求证：AB=CD方法一：如图, 延长BA 、CD 相交于点E ∵ ∠B=∠C∴EB ＝EC ∵ AD ∥BC ∴ ∠1=∠2 ∴EA=ED∵ EB ＝EC ∴AB=DC∴梯形ABCD 是等腰梯形.方法二：如图，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ∵ AD ∥BC∴四边形ABED 是平行四边形 ∴DE=AB∵DE ∥AB ∴∠B=∠1又∵∠B=∠C ∴∠1=∠C∴DE=DC ∵ DE=AB ∴AB=CD∴梯形ABCD 是等腰梯形方法三： 如图,作梯形ABCD 的高AE 、DF ∵AD ∥BC ∴AE=DF∵∠AEB=90°,∠DFC=90°∴∠AEB=∠DFC∵∠B=∠C∴Rt △ABE ≌Rt △DCF(AAS) ∴AB=DC∴梯形ABCD 是等腰梯形.三、归 纳等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 符号语言：如图 在梯形ABCD 中 ∵∠B ＝∠C ∴梯形ABCD 为等腰梯形 或者如图 在梯形ABCD 中 ∵∠BAD ＝∠CDA∴梯形ABCD 为等腰梯形 四、知识应用例1 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是BC 的中点，EF ⊥AB 于F ，EG ⊥CD 于G ，且EF=EG 。
等腰梯形的三种判定方法
等腰梯形的三种判定方法等腰梯形是一种特殊的四边形，它的两个底边长度相等，且两个底边之间的两条斜边也相等。
在几何学中，我们需要对不同类型的图形进行分类和判断。
本文将介绍三种判定等腰梯形的方法。
一、通过角度判定等腰梯形有两组对顶角，每组对顶角之和相等。
因此，我们可以通过测量角度来判断一个四边形是否为等腰梯形。
1. 测量内角首先，我们需要测量四个内角。
使用直尺和量角器测量每个内角，并记录下它们的度数。
2. 判断是否相等然后，将每组对顶角之和相加，并比较它们是否相等。
如果它们相等，则这个四边形是一个等腰梯形。
二、通过长度判定除了通过测量角度来判断一个四边形是否为等腰梯形外，我们还可以通过测量长度来进行判断。
1. 测量底边长度首先，我们需要测量底边的长度。
使用直尺或卷尺测量底部两条平行线段之间的距离，并记录下它们的长度。
2. 测量斜边长度其次，我们需要测量斜边的长度。
使用直尺或卷尺测量斜边的长度，并记录下它们的值。
3. 判断是否相等最后，比较两个底边和两个斜边的长度是否相等。
如果底边和斜边都相等，则这个四边形是一个等腰梯形。
三、通过对称性判定除了以上两种方法外，我们还可以通过对称性来判断一个四边形是否为等腰梯形。
1. 找到中心轴线首先，我们需要找到这个四边形的中心轴线。
中心轴线是连接两个底角的直线。
2. 测量对称性然后，我们需要测量这个四边形的对称性。
将中心轴线分成两半，并比较它们是否完全相同。
如果它们是完全相同的，则这个四边形是一个等腰梯形。
总结：以上就是三种判定等腰梯形的方法。
无论使用哪种方法，都需要仔细测量每个角度和长度，并进行比较和分析。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择不同的方法来判断一个图形是否为等腰梯形。
等腰梯形的三种判定方法
等腰梯形的三种判定方法一、等腰梯形的定义等腰梯形是一种特殊的梯形，具有两条斜边相等的特点。
它是由两个平行的底边和连接这两个底边的两个非平行边组成的四边形。
等腰梯形有很多特性和性质，能够被准确地判定。
二、判定等腰梯形的基本条件要判定一个四边形是否为等腰梯形，需要满足以下基本条件：1.两条底边平行：等腰梯形的两条底边必须平行，否则无法构成等腰梯形。
2.两条斜边长度相等：等腰梯形的两条斜边必须长度相等，才能称为等腰梯形。
三、三种判定等腰梯形的方法方法一：根据角度判定1.判断底边是否平行：通过测量底边所在直线与其他边的夹角是否相等，如果相等，则可以确认底边平行。
2.测量斜边长度：通过测量斜边的长度，并进行比较，如果两条斜边的长度相等，则可以确定为等腰梯形。
方法二：根据边长判定1.测量底边长度：通过测量两条底边的长度，并进行比较，如果两条底边的长度相等，则可以确认底边平行。
2.测量斜边长度：通过测量斜边的长度，并进行比较，如果两条斜边的长度相等，则可以确定为等腰梯形。
方法三：根据对角线判定1.连接对角线：将等腰梯形的两个非平行边的端点连接起来，形成两个对角线。
2.判断对角线是否相等：通过测量对角线的长度，并进行比较，如果两条对角线的长度相等，则可以确定为等腰梯形。
四、判定过程示例假设有一个四边形，边长分别为a、b、c、d，我们可以使用以上三种方法来判定它是否为等腰梯形：1.方法一：根据角度判定–判断底边是否平行：测量d与a的夹角和b与c的夹角，如果两对夹角相等，则底边平行。
–测量斜边长度：测量a和b的长度，如果两条斜边长度相等，则为等腰梯形。
2.方法二：根据边长判定–测量底边长度：测量a和c的长度，如果底边长度相等，则底边平行。
–测量斜边长度：测量b和d的长度，如果两条斜边长度相等，则为等腰梯形。
3.方法三：根据对角线判定–连接对角线：将a和c的端点连接成一条对角线AC，将b和d的端点连接成另一条对角线BD。
20.5 等腰梯形的判定
§.20.5.等腰梯形的判定第一课时.等腰梯形的判定（一）＆.教学目标：1.感受等腰梯形的定义和性质，并由此探究出等腰梯形的两种判定方法.2.能运用等腰梯形的两种判定方法进行有关的证明或计算.3.通过对等腰梯形的判定及其应用的学习，发展学生初步的逻辑演绎推理能力.4.通过对等腰梯形的判定方法的选择，获得解决几何问题的经验.＆.教学重点、难点：重点：等腰梯形的两种判定方法.难点：运用等腰梯形的两种判别方法进行证明或计算.＆.教学过程： 一、情景导入1.等腰梯形具有什么样的性质？2.某学校数学兴趣小组，在研究某个机器零件的一个侧面（如图1）形状时，甲同学经过测量，得出结果为DF AE =，C B ∠=∠；乙同学通过测量，得出的结果为DF AE =，BD AC =.于是他们都断定机器零件的侧面ABCD 是等腰梯形.你认为他们的判断正确吗？试一试.二、探究新知问题：等腰梯形具有下列特殊的性质：①等腰梯形同底上的两个内角相等；②等腰梯形的两条对角线相等.条件 结论 条件 结论把上述语句的条件和结论交换位置，你会得到什么样的新命题，交换后的两个命题成立吗？猜想：①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；②对角线相等的梯形是等腰梯形. 验证：如图2，在梯形ABCD 中，BC AD //，C B ∠=∠.求证：四边形ABCD 是等腰梯形. 解析：可过点D 作AB DE //交BC 于点E ，将梯形分割成平行四边形和三角形，以寻求证明.证明：过点D 作AB DE //交BC 于点E ，则DEC B ∠=∠ ∵BC AD //，AB DE // ∴四边形ABED 是平行四边形 ∴DE AB =∵C B ∠=∠，DEC B ∠=∠ ∴DEC C ∠=∠ ∴DE DC = ∴DC AB =图 1ADBE F C图 2A DBEC图 3A DBCE图 4A D EC AE F D C 图 5 图 6ADBE C ADE B C 图 7 ∴四边形ABCD 是等腰梯形.§.等腰梯形的判定定理（一）：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 思考：请同学们探索对角线相等的梯形是等腰梯形的验证.如图3，在梯形ABCD 中，BC AD //，BD AC =.求证：四边形ABCD 是等腰梯形.教学方法：教师可点拨辅助线的作法，然后由学生探究解题思路，并选出学生代表板演解题过程.§.等腰梯形的判定定理（二）：对角线相等的梯形是等腰梯形.三、讲解例题，巩固新知§.例1.如图4，在ABC ∆中，CE BD =，C B ∠=∠.求证：四边形BDEC 是等腰梯形.解析：四边形BDEC 是等腰梯形，因为CE BD =，所以只需证四边形BDEC 是梯形，故应证BC DE //.同步练习：等腰ABC ∆中，D 是BC 的中点，AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别为E 、F ，连结EF .求证：四边形BCFE 是等腰梯形.§.例2.如图6，在梯形ABCD 中，BC AD //，C B ∠=∠，点E 是BC 的中点.求证：DE AE =.同步练习：如图7，在梯形ABCD 中，BC AD //，DC AB =，延长CB 至E ，使AD EB =，连结AE .求证：CA AE =.四、巩固练习教材22P 练习 2~1五、课堂小结通过本节课的学习，要求同学们 1.理解掌握等腰梯形的两种判定方法.2.灵活地运用等腰梯形的判定定理及性质解决一些简单的问题.六、课外作业1.教材122P 习题5.20 2~12.选用课时作业.§.20.5.等腰梯形的判定第二课时.等腰梯形的判定（二）＆.教学目标：1.进一步掌握等腰梯形常见的判定方法.2.学会利用等腰梯形的判定进行简单的证明，培养学生演绎能力.3.在探究等腰梯形的有关知识的活动中获得成功的体验，从而锻炼学生克服困难的意志，建立自信心.＆.教学重点、难点：重点：等腰梯形判别方法的应用.难点：运用等腰梯形的判别方法进行证明或计算.＆.教学过程： 一、知识回顾1.等腰梯形具有什么性质？（数形结合加以解释）2.等腰梯形的判定方法有哪些？（数形结合加以解释）3.等腰梯形的性质与判定有什么区别和联系？二、讲解例题，巩固新知§.例1.如图1，在梯形ABCD 中，BC AD //，DC AD AB ==，AB AC ⊥，求B ∠的度数.解析：由DC AD AB ==得，梯形ABCD 是等腰梯形，所以BCD B ∠=∠而得AC 平分B CD ∠，可以过点D 作AB DE //，从而证CDE ∆是等边三角形，求得︒=∠60B ；或由A CB B ∠=∠2，︒=∠+∠90ACB B ，得︒=∠60B .解：过点D 作AB DE //交BC 于点E ，交AC 于M . 由□ABED 得DC AB DE == ∵AB AC ⊥∴DE AC ⊥，AC 平分BCD ∠ ∴ECM DCM ∆≅∆ ∴DE EC DC == ∴︒=∠=∠60B DCE解法二：可由︒=∠+∠90ACB B ，ACB B ∠=∠2，求得︒=∠60B .变式题：对于上题，若将条件“AB AC ⊥”替换为“AD BC 2=”，即在梯形ABCD 中，BC AD //，a DC AD AB ===，a BC 2=，求B ∠的度数.§.例2.如图2，在梯形ABCD 中，BC AD //，CD AB =，BD AC ⊥，10=+BC AD ，BC DE ⊥于E ，求DE 的长.解析：作辅助线除平移一腰外，平移对角线也是常用的辅助线之一.过点D 作AC DF //交图 1ADBE M C图 3ADBCA DBE OC F图 4BC 的延长线于F .解：过点D 作AC DF //交BC 的延长线于F ∵BD AC ⊥ ∴BD FD ⊥∵梯形ABCD 中，CD AB = ∴梯形ABCD 是等腰梯形 ∴AC BD =∵BC AD //，AC DF // ∴四边形ACFD 是平行四边形 ∴DF AC =且CF AD =在BCF Rt ∆中，BC DE ⊥，DF BD = ∴()()51021212121=⨯=+=+==AD BC CF BC BF DE . 方法归纳：当告诉有上、下底和的线段长度或关系时，一般要平移对角线，把两底之和转移到三角形的一边上.同步练习：（1）如图3，等腰梯形ABCD 中，BC AD //，对角线AD BC AC +=，求DBC ∠的度数.（2）如图4，等腰梯形ABCD 中，DC AB =，BC AD //，BD AC ⊥于O ，DE 是高.求证：()BC AD DE +=21. §.例3.如图5，在梯形ABCD 中，BC AD //，DC AB =，︒=∠120D ，对角线CA 平分BCD ∠，且梯形的周长为20，求各边的长.解析：利用角度转化为边的关系. 解：过点D 作AB DE //交BC 于E ∵BC AD //，DC AB = ∴梯形ABCD 是等腰梯形 ∴BCD B ∠=∠ 又∵︒=∠120D ∴︒=∠=∠60BCD B 又∵对角线CA 平分BCD ∠∴︒=∠=∠30ACD BCA ，DCA ACB DAC ∠=∠=∠图 2A DF图 5ADBE CA D O GFC图 7∴CD AD =，CD CE =（DCE ∆为等边三角形得到） 又∵BE AD = ∴AD BC 2= ∴20321=+⨯BC BC ，解得：8=BC ∴4===CD AD AB三、巩固练习1.等腰梯形ABCD 中，BC AD //，DC AB =，面积为9，如图6建立直角坐标系，已知A （1，0）、B （0，3）.（1）求C 、D 两点坐标；（2）取点E （0，1），连结DE 并延长交AB 于F .求证：AB DF ⊥.2.（2005.沈阳市）如图7，在梯形ABCD 中，BC AD //，DC AB =，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是BC 边上一动点（点E 不与B 、C 重合），BD EF //交AC 于点F ，AC EG //交BD 于点G .（1）求证：四边形EFOG 的周长等于OB 2；（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，BC AD //，DC AB =”改为另一种四边形，其它条件不变，使得结论“四边形EFOG 的周长等于OB 2”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.四、课堂小结通过本节课的学习，要求同学们 1.理解掌握等腰梯形的两种判定方法.2.灵活地运用等腰梯形的判定定理及性质解决一些简单的问题.五、课外作业1.教材122P 习题5.20 32.选用课时作业A .（2007.太原市）如图8，在等腰梯形ABCD 中，CD AB //，E 、F 为边AB 上的两点，且BF AE =，DE 与CF 相交于梯形ABCD 内一点O .（1）求证：OF OE =；（2）当CD EF =时，请你连结DF 、CE ，试判断四边形DCEF 是什么样的四边形，并证明你的结论.B .（2006.资阳市）填空：如图9（1），在正方形PQRS 中，已知点M 、N 分别在边QR 、RS 上，且RN QM =，连结PN 、SM 相交于点O ，则_______=∠PQM .（2）如图9（2），在等腰梯形ABCD 中，已知CD AB //，CD BC =，︒=∠60ABC ，以此为条件，构造一个与上述命题类似的正确命题并加以证明.图 8AF EDCO图9（1）PQSN R MOABDC图9（2）。
等腰梯形的判定
D N CE
在直角梯形ABCD中，AB⊥CD，E为AB 上一点⊿AED∽⊿BCE， AB=BC=4AD.
求证: CE平分∠BCE.
分析：欲证CE平分∠BCE可转 化为证∠BCE=∠ECD.
证 ∠BCE=∠ECD可通过证 三角形全等或三角形相似或
A D
E
B
C
等量代换等得到. 在分析已知条件⊿AED∽⊿BCE，可得什麽样的结论呢？
求证：梯形ABCD是等腰梯形。
A
E D
A
E D
B
CB
C
MFN
MF N
梯形的
梯形的中位线平行于两底，
中位线定理： 并且等于两底和的一半·
A
已知：梯形ABCD中，AD‖BC
M
MN为中位线．
求证：MN‖AD‖BC，
B
MN = —21（AD+BC）．
分析：设法利用三角形中位线定理来证明． （方法有几种，注意辅助线的作法．）
有两个内角是70° 的梯形一定是等腰 梯形吗？
为什么？
在四边形ABCD(AB≠DC)中，给出 下列论断 1 AB∥CD, 2 AD=BC, 3∠D =∠C, 以其中两个作为题设， 另外一个作为结论 , 用 “如果…那 么…”的形式，写成一个真命题，
AB 。
D
C
2、如图:梯形ABCD中AD∥BC，AD<BC，E、F 分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC
梯形.
E
A1 2B
平行
垂直
D 结束
C
猜想二
梯形ABCD中AB∥CD,若添加
条件∠D=∠C ,梯形ABCD为等腰
梯形.
A
B
DE
延长
等腰梯形的判定(王建军)
4、如图，梯形ABCD中，AB∥CD， M是DC的中点，且AM=BM， 梯形ABCD是等腰梯形吗？说说你的理由。 D A M C B
5、如图，四边形ABCD由三个全等的正 如图，四边形ABCD由三个全等的正 ABCD 三角形围成，它是____________(图 三角形围成，它是____________(图 ____________( 等腰梯形 形），说说为什么？ ），说说为什么？ 说说为什么
D
2 C
E
如图，在梯形 如图，在梯形ABCD中， AD∥BC， 中 ∥ ，
A D
给出条件： 给出条件：∠A与∠C互补 与 互补
B C
梯形ABCD是等腰梯形吗？ 是等腰梯形吗？ 梯形 是等腰梯形吗
结论：一组对角互补的梯形是等腰梯形
达标训练： 达标训练：
判断正误： 1、抢答题 判断正误： 有两个角相等的梯形一定是等腰梯形. （1）有两个角相等的梯形一定是等腰梯形. （2）两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形. 两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形. （3）如果一个梯形是轴对称图形，则它一定是 如果一个梯形是轴对称图形， 等腰梯形. 等腰梯形. 一组对边平行， （4） 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定 是等腰梯形. 是等腰梯形. 对角互补的梯形一定是等腰梯形. （5）对角互补的梯形一定是等腰梯形.
你又能想出什么方法 能证明这是个真命题 吗？
(3)谁能说出等腰梯形的两条对角线相等的逆命题? (3)谁能说出等腰梯形的两条对角线相等的逆命题? 谁能说出等腰梯形的两条对角线相等的逆命题 两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
已知：如图，在梯形ABCD中 AD∥BC，AC=BD。 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD。 ABCD 求证：四边形ABCD是等腰梯形。 求证：四边形ABCD是等腰梯形。 ABCD是等腰梯形 证明：过点D DE∥AC， BC的延长线交 证明：过点D作DE∥AC，与BC的延长线交 于点E.得到平行四边形ACED E.得到平行四边形 于点E.得到平行四边等腰 有两个内角是70度的梯形一定是等腰 有两个内角是 ( ) 梯形.
等腰梯形的性质定理判定定理及证明
推导等腰梯形的判定定理
通过严格的逻辑推导，得出等腰梯形的判定定理， 为解决实际问题和进行数学研究提供有力工具。
证明等腰梯形的性质定理
通过严谨的证明过程，验证等腰梯形性质定 理的正确性，加深对等腰梯形性质的理解和 掌握。
定义与性质
等腰梯形的定义
等腰梯形是一组对边平行且不相等，另一组对边相等的四边形。
回顾与总结
等腰梯形的性质定理
等腰梯形具有一系列独特的性质，包括两腰相等、同一底上的两个角相等、对角线相等以及中位线等于上下底之和的 一半等。这些性质使得等腰梯形在数学和实际应用中具有重要地位。
等腰梯形的判定定理
要判断一个四边形是否为等腰梯形，可以根据其定义和性质进行判定。具体方法包括比较两腰的长度、检查同一底上 的两个角是否相等、验证对角线是否相等以及使用中位线的性质进行判定等。
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感谢聆听
03
等腰梯形的判定定理
基于边长的判定
定理
若梯形的一组对边平行且相等，则此 梯形为等腰梯形。
证明
设梯形ABCD中，AB//CD，且AB=CD。由于 AB和CD平行且相等，根据平行线的性质，我 们知道∠A+∠D=180°。又因为AB=CD，所以 ∠B=∠C。因此，∠A=∠D，从而证明了梯形 ABCD是等腰梯形。
证明
在等腰梯形ABCD中，由于∠BAD和∠CDA是内错角，因此∠BAD=∠CDA。又因为 AB=CD，AD=DA（公共边），所以△ABD≌△DCA（SAS）。从而BD=AC，即两条 对角线相等。
对称性
定理
等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线（所在直线）。
证明
在等腰梯形ABCD中，设E、F分别为AB、CD的中点，连接EF。由于AE=EB，CF=FD，且AD=BC，因此△AEF和 △BEF关于EF对称。同理，△CEF和△DEF也关于EF对称。因此，等腰梯形ABCD关于EF对称。
精品课件之 等腰梯形的判定(关键是辅助线)
延长两腰作高平移一来自角线作图画等腰梯形ABCD，使底AD=3cm，BC=6cm， 腰AB=3cm
温故而知新
等腰梯形除具有一般梯形的性质外，还具有哪些性质？
1、等腰梯形的两腰相等
2、等腰梯形在同一底上的两个角相等
逆命题：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
3、等腰梯形的两条对角线相等
逆命题：对角线相等的梯形是等腰梯形
4、等腰梯形是轴对称图形
想一想
你能说出第2、3个性质的逆命题吗？
等腰梯形 判定定理
AD∥BC，AC=BD
求证：AB=DC
知识梳理
等腰梯形的判定方法有哪些？
性质 判定
等腰梯形的两腰相等
两腰相等的梯形是 等腰梯形
等腰梯形同一底上的 同一底上的两个角 相等的梯形是等腰 两个角相等 梯形 等腰梯形的对角线相 对角线相等的梯形 等 是等腰梯形
梯形中通常有哪几种添加辅助线的方法？
平移一腰
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
已知在梯形ABCD中， AD∥BC，∠B=∠C， 求证：AB=CD
2
3
132
知识应用
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的 中点，EF⊥AB于F，EG⊥CD于G，且EF=EG。
求证：梯形ABCD是等腰梯形
例2
求证：对角线相等的梯形是等腰梯形 已知：如图，在梯形ABCD中，
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§20.5.1等腰梯形判定
班级： 姓名：
1．培养学生观察、探索并掌握梯形的判别方法，能用它们解决简单的问题。
2
、探索等腰梯形的判别方法及常用辅助线的添加方法。
二、学习过程：
1．
几何图形是梯形， 几何图形是等腰梯形。
2．等腰梯形的性质有 。
3．等腰梯形的判定方法：（1）定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
如图：在梯形ABCD 中， ∥BC ，AB= ∴梯形ABCD 是等腰梯形（定义法）
（ 2）．如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡD ∥ＢC ， ∠B=∠C ，ＤＥ∥A Ｂ且交BC 于点E 。
问题一：AB=ED 吗？为什么？ 问题二：∠DEC=∠C 吗？ 问题三：由此你得到什么结论？
结论： 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
如图∵在梯形ABCD 中，AD ∥ ， =∠D ∴梯形ABCD 是等腰梯形（判定法）
（3）两条对角线 的梯形是等腰梯形 请证明这种判定方法
三、达标测试
1． 如图，△ABC 中，AB=AC ， DE ∥BC.求证： 四边形DBCE 是等腰梯形.
Ｂ C
（第1题）
2． 如图，已知线段a 、b 、c ，求作： 等腰梯形ABCD ，使AD ∥BC ，且AB ＝c ， BC ＝a ， AC ＝b ．
3． 如图，矩形ABCD 中，点E 、F 在边AD 上，AE=FD. 求证： 四边形EBCF 是等腰梯形.
4． 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC, ∠1=∠2.求证： 四边形ABCD 是等腰梯形.
5． 如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的对角线AC 和BD 上的点，且AE ＝DF ．求证： 四边形BCFE 是等腰梯形．
（第2题）
（第3题）
（第4题）
（第5题）。