双曲线的几何性质2

江苏省宜兴中学高二数学限时作业
双曲线的几何性质3 选编人：周燕萍
1．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为 ．
2．已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为52
，则C 的渐近线方程为 ．
3．已知F 为双曲线C :)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 ．
4．已知12,F F 分别是双曲线22
221x y a b
-=的左右焦点，若2F 关于渐近线的对称点为M ，且有1||MF c =，则此双曲线的离心率为 ．
5．1F 、2F 是双曲线22
11620
x y -=的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1F 的距离等于9，则点P 到焦点2F 的距离等于 ．
6．已知双曲线22
22x y a b
-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F l ，F 2，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为 ．
7．如图1所示，在△ABC 中，∠CAB ＝∠CBA ＝30°，AC 、BC 边上的
高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆与双曲线
的离心率的倒数和为 ．
8．直线y ＝k (x ＋2)与双曲线x 24
－y 2＝1有且只有一个公共点，则k 的不同取值有 ．
9．已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 1是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
10．设双曲线x 29－y 216
＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为____________．
11．双曲线中心在原点，一个焦点坐标为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，
MN 中点的横坐标为－23
，则双曲线的方程为_______________．
12．直线1y k x =-与双曲线224x y -=的右支有两个相异公共点，则k 的取值范围为 ．
13．已知点(20)M -，，(20)N ，，动点P 满足条件22PM PN -=，记动点P 的轨迹为C ．
⑴ 求C 的方程；
⑵ 若A 、B 是曲线C 上不同的两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值．
14．双曲线C 的中心在原点，右焦点为23,03F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，渐近线方程为3y x =±．
⑴求双曲线C 的方程；
⑵设直线l ：1y kx =+与双曲线C 交于A 、B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点．
15．已知动圆P 过点()50N ，并且与圆()22:516M x y ++=相外切，动圆圆心P 的轨迹为W ，轨迹W 与x 轴的交点为D ．
⑴ 求轨迹W 的方程；
⑵ 设直线l 过点(0)m ，(2)m >且与轨迹W 有两个不同的交点A ，B ，求直线l 的斜率k 的取值范围；
⑶ 在⑵的条件下，若0DA DB ⋅=，证明直线l 过定点，并求出这个定点的坐标．
江苏省宜兴中学高二数学限时作业
双曲线的几何性质3 选编人：周燕萍
1．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲
线的标准方程为 ．y 24－x 24
＝1 2．已知双曲线C ：22
22=1x y a b
-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52
，则C 的渐近线方程为 ． y ＝12
x ± 3．已知F 为双曲线C :)0(322>=-m m my x 的一个焦
点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 ．3
4．已知12,F F 分别是双曲线22
221x y a b
-=的左右焦点，若2F 关于渐近线的对称点为M ，且有1||MF c =，则此双曲线的离心率为 ．2
5．1F 、2F 是双曲线22
11620
x y -=的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1F 的距离等于9，则点P 到焦点2F 的距离等于 ．17
6．已知双曲线22
22x y a b
-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F l ，F 2，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为 ．22
1916
x y -= 7．如图1所示，在△ABC 中，∠CAB ＝∠CBA ＝30°，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 ． 3
A ．1
B ．2
C ．
D ．2 3
解析：如题图，设AB ＝2c ，
由于∠CAB ＝∠CBA ＝30°，
则AE＝BD＝c，BE＝AD＝3c．
则椭圆的离心率为
2
3＋1
，双曲线的离心率为
2
3－1
，
故两个离心率的倒数和为3．
答案：C
8．直线y＝k(x＋2)与双曲线
x2
4－y
2＝1有且只有一个公共点，则k的不同取值有．4个
解析：由已知可得，双曲线的渐近线方程为y＝±
1
2x，顶点(±2，0)，而直线恒过(－2，0)，故有两条与渐近线成平行，有两条切线，共4条直线与双曲线有一个交点，故选D．
9．已知点F1、F2分别是双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是．(1，1＋2)
图2
解析：如图2所示．由于∠F1AB＝∠F1B A，△ABF1为锐角三角形，故∠AF1B为锐角．故只需要∠AF1F2<45°即可
即
|AF2|
|F1F2|<1，∴
b2
a
2c＝
c2－a2
2ac<1即c
2－a2<2ac．
即e2－2e－1<0，解得1－2<e<1＋2，又因为e>1，故1<e<1＋ 2
答案：C
10．设双曲线
x2
9－
y2
16＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
图3
解析：如图3，双曲线渐近线方程为
y ＝43
x ，F(5，0)， ∴直线过F 且斜率为43
， ∴方程是y ＝43
(x －5)， 由⎩
⎨⎧
y ＝43x －5x 29－y 216＝1得 x 29－x －529＝1， 即10x ＝34，x ＝175，y ＝－3215
， 而|AF|＝c －a ＝5－3＝2，
∴S △AFB ＝12·|AF|·|y|＝12×2×3215＝3215
． 答案：3215
11．双曲线中心在原点，一个焦点坐标为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，
MN 中点的横坐标为－23
，则双曲线的方程为________． 解析：由题意知中点坐标为(－23，－53)， 设双曲线方程为x 2a 2－y 27－a 2
＝1． M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 21a 2－y 217－a 2
＝1 ①， x 22a 2－y 227－a 2＝1 ②，①－②得x 1＋x 2x 1－x 2a 2＝y 1＋y 2y 1－y 27－a 2，即x 1＋x 2y 1＋y 2＝a 27－a 2·y 1－y 2x 1－x 2
，
所以－43－103
＝a 27－a 2，解得a 2＝2， 故双曲线方程为x 22－y 25＝1． 答案：x 22－y 25
＝1
12．直线1y k x =-与双曲线224x y -=的右支有两个相异公共点，则k 的取值范围为 ．
13．已知点(20)M -，，(20)N ，，动点P 满足条件22PM PN -=，记动点P 的轨迹为C ．
⑴求C 的方程；
⑵若A 、B 是曲线C 上不同的两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值．
14．双曲线C的中心在原点，右焦点为
23
,0
3
F
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
，渐近线方程为3
y x
=±．
⑴求双曲线C的方程；
⑵设直线l：1
y kx
=+与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．
N，并且与圆()22
50
++=相外切，动圆圆心P的轨迹
:516
M x y
为W，轨迹W与x轴的交点为D．
⑴求轨迹W的方程；
⑵设直线l过点(0)
m，(2)
m>且与轨迹W有两个不同的交点A，B，求直线l的斜率k的取值范围；
⑶在⑵的条件下，若0
DA DB
⋅=，证明直线l过定点，并求出这个定点的坐标．。