一类具有食饵避难和阶段结构的捕食者-食饵模型的注记
一类具有食饵避难的Leslie-Gower捕食-食饵模型的定性分析
斑图;
本文借助文献[３]的方法,主要研究在 N 维
情况下系 统 (２)在 常 数 正 平 衡 解 处 的 线 性 稳 定
性,运用分支理论 讨 论 非 常 数 正 平 衡 解 的 整 体 分
支 ,因 此 考 虑 系 统 (２)对 应 的 平 衡 态 方 程 :
ìï－d１ΔH ＝H (r－aH )－
ïïï b＋(１(１－－mm)H)H , x ∈ Ω;
一类具有食饵避难的 LeslieＧGower捕食Ｇ食饵 模型的定性分析
贾延飞
(西北师范大学 数学与统计学院,甘肃 兰州 ７３００７０)
摘要:研究了一类具有食饵避难的 LeslieＧGower捕食Ｇ食饵模型．利用线性稳定性理论,得到 了 平 衡 态 方 程 正 常 数解的渐进稳定性;借助分支理论,得到了以扩散系数d２ 为分支参数,平衡态方程在 正 常 数 解 E∗ 处 的 局 部 分 支,证明了在一定条件下,(dj２,E∗ )处产生的局部分支可以延拓成全局分支． 关 键 词 :捕 食Ｇ食 饵 模 型 ;稳 定 性 ;局 部 分 支 ;全 局 分 支 中 图 分 类 号 :O２４１．８１ 文 献 标 志 码 :A
第 ３２ 卷 第 ２ 期 ２０１８ 年 ３ 月
兰 州 文 理 学 院 学 报 (自 然 科 学 版 ) JournalofLanzhou UniversityofArtsandScience (NaturalSciences)
Vol．３２ No．２ Mar．２０１８
文 章 编 号 :２０９５Ｇ６９９１(２０１８)０２Ｇ０００１Ｇ０６
出现空间避难,这 些 食 饵 种 群 在 一 定 程 度 上 可 以
得到保护以避免 被 捕 食,从 而 有 利 于 减 小 被 捕 食
一类具阶段结构的捕食者-食饵模型的周期解
. / !， #
! ! ! *） （ -0（ -（ # *） ! * ）& "# -（ # "’ !） 下面考察如下矩阵 1 ： !
{
{
! -0（ ! *） " ()
( ( ! ! #" ) $
"
!（ * ）&（ ’ ! （"）! "!） -（ &! # ! *）
)
（!#）
周期解
这一节主要讨论系统 （"） 的周期解 0 为此，必须讨论平衡点的稳定性及种群的持续生存性 0 定义 #"$ 系统 （"）被称为是一致持续生存的， 如果存在正常数 ) ! ， ) " 使得系统的任意一个正解 （ 2） （ 2） ) ! " 3.4 .56 1 " 3.4 8’9 1 " )"
2# ( 7 2# ( 7
"
模
型
众所周知，捕食者 食饵模型是非常重要的种群模型 ! 文献 ［& " @］ 中考虑的食饵种群多是受密度制约 的，当不存在捕食者时食饵的增长率 （ 具有 E(F9739> 形式或满足 #% （ $ ）& $ ! 然而有些种群在数量很小时 # $） 无密度制约，当达到一定数量后受密度制约 ! 这时 （ 可具有如下形式： # $） （ # $ ）’
第 !" 卷
第#期
西 南 师 范 大 学 学 报（自然科学版）
!$$% 年 &! 月
’() * !" +( * # ,(-./0) (1 2(-345673 849/0 +(.:0) ;/9<6.793=（+03-.0) 2>96/>6） ?6> * !$$% ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
一类具有阶段结构和功能性反应的捕食系统
关键词 ： 功能性反应 ； 阶段 结构； 永久持 续生存 ； 全局渐近稳 定性
Ａ ｒ ｄ ｔ ｒ ｐ ｅ ｙ ｔｍ ｔ ｔ ｇ － ｔ ｕ ｔ ｒ ｎ ｎ ｔｏ ａ ｓ ｏ ｓ Ｐ ｅ ａ ｏ － ｒ ｙＳ ｓｅ ｗｉ Ｓ ａ ｅ－ ｒ ｃｕ ｅａ ｄＦｕ ｃ ｉ ｎ ｌ ｈ ｓ Ｒｅ ｐ ｎ ｅ
（ －ａ ：ｔ ｒ ｌ）ｒ ｌ ｔ－ Ｏ （ －ｘ（ － ￣ （ ） ￣） ｔ ｘ
奶 ＝ 。） （ （
２一 （ （ （
（） ２
（ 一 ＋ 日０ ） ＝ （ （ 凸 （
近 几年来 ．许 多学 者 考虑 了捕 食 者种 群功 能
性 反 应函数 为 （ 功＝ （＞ＯＯ ＜ １的情形 。 Ｐ （ ｃ ｃ ，＜８ ）
Ａｐ ． ２ ０ ｒ ０８
文 章 编 号 ： ６ ２４ ４ （０ ８ ０ ．０ ８０ １ ７ － １ ３ ２ ０ ｌ２ ０ １ ． ４
文 献标 识 码 ： Ａ
一
类有 段构 功性应捕 系 具 阶结 和能反 的食 统
杨 文生 ， 李 学鹏
摘 要 ： 究一类具有阶段结构和功能性反应的捕食系统 ， 研 讨论 了 系统非 负边界平衡点的全局 渐近稳定性， 该
其中 （， ￡ 。） ） ￡ （ 分别表示幼年食饵与成年食饵在时
刻ｔ 的密度 ， ￡ 示 捕 食者 在 时 刻 ｔ （ 表 ） 的密度 ， ｄ 分别表 示幼年 食 饵 的死 亡 率与捕 食者 种群 的死亡
率 ，。 仅 表示 幼 年食 饵 的 出生 率 ， 示成 年食饵 转 ｅ表
在 自然 界中 ，物 种 的增 长常 常 有 一个 成长 发 育的 过程 ， 从幼年 到成 年等 等 ， 且在 成长 的 每一 阶 如 而
具时滞和食物补贴的捕食者—食饵模型的分支研究
具时滞和食物补贴的捕食者—食饵模型的分支研究为了保护物种的多样性,维护生态平衡,需要对种群动力学模型进行深入研究,揭示出种群之间的相互作用关系。
在种群动力学中,捕食者-食饵模型因其重要性一直受到各界学者的关注。
在描述种群数量变化时,需要考虑到物种的成熟期和能量的转化时间,因此有必要在系统中引入时滞,以便更好地反应实际情况。
所以本文讨论了一类具时滞的捕食者-食饵模型,并在模型中引入了食物补贴项的影响。
首先,讨论了系统正平衡点的存在唯一性,在此基础上利用特征方程根的分布分析方法分析其稳定性,得到了在正平衡点处存在局部Hopf分支的充分条件。
又由中心流形定理和规范型理论,分析了正平衡点处Hopf分支的性质,包括分支的方向、分支周期解的稳定性以及周期解周期的变化等。
其次,在局部Hopf分支的基础上进一步研究系统周期解的大范围存在性问题。
由全局Hopf分支定理可以得到每个连通分枝是无界的,接着证明了系统的解具有正性,又利用常微分方程高维Bendixson定理证明系统没有非常值?-周期解,进而得到了周期解的全局存在性结论。
最后,本文分为两部分进行数值模拟。
第一部分以时滞为参数,观察系统在不同时滞处的稳定性和全局Hopf分支的存在性,对之前的理论结果给予了算例支撑;第二部分分别以食物补贴投放率、环境承载量、捕食者消耗食饵的最大速率和转换因子为参数。
通过模拟观察其对第一个分支值的影响,从而得到各参数对系统稳定区间的影响,同时解释了各种情况下的生物学意义。
具有阶段结构的Beddington-DeAngelis功能性反应的捕食者-食饵系统的动力学行为
】 ．
其 中 Ｘ ｔ和 ｊ（ 分别表示幼年食饵和成年食饵 的种群密度 ； ｆ ｌ） ｃｆ （ ２） （ 表示仅捕食 （ 的捕食者的种群密度． ） ｆ ）
功能 反应 项 为 ｆ ＝ ， ） ａ（ ｌ 丽 丽ｔ （ ）ｔ ｘ ）
，
且 毒 ） ． 节给系 １ 的久 有 ＞ 在 将出统（ 持性 。下 ． １ ）
Ｘ ＝ ６ 一口ｆ ］ 【 ） （ ， ） （．） ２ ２
存在一个全局渐近稳定的正 一 周期解．
定 理 ２４ 系统 （．）是 持久 的当且 仅 当 ． １２
） ＋ 】０ ＞． （．） ２３
的动力学行为 。通过建立＿定 的条 件 ，得到 了保证该 系统捕食 者和食饵 种群得以持久生存的充分条件
和必要条件 。此外 ，这一充分条件也保证 了该系统正周期解 的存 在性 。
【 关■词】 阶段结构 ；Ｂｄｉ ｔ — ｅ ｎｅｓ ｅｄ ｇ ｎ ＤＡ ｇ ｉ功能性反应 ；持久性 ； 自 ；正周期解 ｎｏ ｌ 非 治
葛＝））力ｆ（（ 丢 （口 （６ （ ｆｆ 警 ｆ ｆ（ ） ）） 乏 ） ・一 一 一
ｘ＇
２
（ ｆ ） ，
ｆ１ １１ ．
（ ＝ （ｊ ， ｆｔ ￣ ） ｔ ｆｃ ） （ｘＣ， ） ）ｌ 一 ） ｔ （
ｌ ｔｔ ｆｉ ｔ （ｘ ）（ ）
’） （ 【ｇ ｆ一 ・ ，＋ （ ＝ ｆ 一 （ （ ｆ ） ） ） ）
具有 阶段 结构 的 Ｂ ｄ ｉｇ ｎ Ｄ Ａ ｇｌ 功能性 ｅｄｎｔ — ｅ ｎｅ ｓ ｏ ｉ 反应 的捕食者 一食饵 系统 的动力 学行 为
于新艳
（ 长春大学光华学院数理教研部 ，吉林长春
【 摘
１０ ） ３ １７ １
一类具有避难所和时滞的非自治阶段结构捕食系统的动力学分析
o
r
ems,su
f
f
i
c
i
en
tc
ond
i
t
i
onsf
o
rpe
rmanenc
eo
ft
hesy
s
t
em we
r
eob
t
a
i
ned.Thesu
f
f
i
c
i
en
t
c
ond
i
t
i
onsf
o
rt
heex
i
s
t
enc
eandg
l
oba
la
symp
t
o
t
i
cs
t
ab
i
l
i
t
fpo
s
i
t
i
vepe
r
i
od
i
cs
o
型
[
11
16]
2024 年 4 月
d
t
c1 (
t)(
1-q1 (
t))(
1-q2 (
t))
x2 (
t)]d1 (
t)[
1-q1 (
t)]
x1 (
t)
t)
y2 (
,
(
)
(
)
[
(
)
]
α1 t y2 t + 1-q1 t x1 (
t)
dx2 (
t)
t)[
a2 (
t)-b2 (
t)
x2 (
t)= x2 (
d
具阶段结构、密度制约的捕食者—食饵模型
具阶段结构、密度制约的捕食者—食饵模型本文的主要目的是建立几个捕食者-食饵模型并研究这些模型的渐近性态以及阶段结构、密度制约对种群的影响。
本文第一章，我们将捕食者种群分为未成年与成年两个阶段，并且假使只有成年个体捕食食饵，而未成年个体不捕食食饵；同时假设捕食种群中未成年个体成熟为成年个体的转化率是未成年种群密度的函数；建立了具有阶段结构的捕食者-食饵模型。
得到了系统持续生存的条件，并得到了渐近稳定的周期解。
这说明阶段结构可能是种群数量周期扰动的原因，从而使得种群模型的性态更加复杂。
本文第二章，我们对比率依赖型的捕食者-食饵模型进行了研究。
对于捕食者的死亡率，我们不仅考虑了捕食者的自然死亡因素，而且还考虑了由于种内之间争夺资源及其它原因引起的死亡等因素，即考虑捕食者之间密度制约因素。
对系统在原点的性态，我们作了全面的分析。
原点是一个高阶奇点，在它的邻域内存在多种拓扑结构。
我们得到了系统稳定性的条件，并通过分支理论得到了极限环的存在性。
对退化的唯一正平衡点进行研究，得到了Bogdanov-Takens分支，分支出同宿圈。
并进行了数值模拟。
本文第三章，首先假设捕食者的死亡率依赖于捕食者与食饵的比率，接着分别考虑了捕食者的功能性反应为双线性型的与比率依赖型的捕食者-食饵模型。
对于功能性反应为双线性型的模型，我们得到了正平衡点的全局稳定性。
对于功能性反应为比率依赖型的捕食者-食饵模型，通过分支理论得到了极限环的存在性。
并进行了数值模拟。
一类具有阶段结构的捕食开发模型的动力学行为
．
２ 一堕
垂
平衡点 Ｅ＊ （ ｚ ， ｚ ， ， ） ， 其中． ｚ 一 二 垒 ± — — 『 ＿ ＿ 一 ’ 一— —
， ：： ＝
ｚ ，
一 呈 ＿ 二 望 竺
二 ＿ 二
， ｚ
一
— 一
’ 其中 △ 具甲 。 卢 。 十 ＋ａ ２ ０ ／ １ 。 ～ ‘ ．
即（ ＋ ｒ １ ＋ Ｅ） （ — ａ 】 ｅ － （ ｑ
一
＋ａ １ ： ） （ ＋ ｒ ２ ） （ — ２ ｅ － （ ｒ ２ ＋ ￣ ， ｈ ｚ ＋２ Ｙ ２ ） 一０ ． 显 然特 征方 程有 负实 根 一
（ ｒ １ ＋Ｅ ）和 一 一ｒ ， 其 他根分别 由方程 —ｄ ｅ － １ ＋ Ａ ｈ ＋ａ 一 ０ 和 —ｄ ｅ － ‘ ｒ ２ ｚ ＋２ Ｙ 一 ０ 来确定 ．
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｏｎ ｔ ｈ ｅ ｂａ ｓ ｉ ｓ ｏｆ ａ ｓ ｔ ａ ｇｅ — ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕｒ ｅ ｄ ｐｒ ｅ ｄａ ｔ ｏｒ — ｐｒ ｅ ｙ ｓ ｙｓ ｔ ｅ ｍ ｗｉ ｔ ｈ Ｄ ｅ ｌ ａ ｙ ｓ， ｗ ｅ ｐｒ ｏｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ｐ ｒ ｅ ｄａ ｔ ｏｒ － ｐｒ ｅ ｙ
ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｗｉ ｔ ｈ ｈ ａ ｒ ｖ ｅ ｓ ｔ ｉ ｎ ｇ ｉ ｍｍａ ｔ ｕ ｒ ｅ ｐ ｒ ｅ ｙ ａ ｎ ｄ ｓ ｔ ｏ ｃ ｋ ｉ ｎ ｇ ｉ ｍ ｍａ ｔ ｕ ｒ ｅ ｐ ｒ ｅ ｄ ａ ｔ ｏ ｒ ．Ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｍｐ ａ ｒ ｉ ｓ ｏ ｎ ｐ ｒ ｉ ｎ ｃ ｉ ｐ ｌ ｅ ａ ｎ ｄ
１ —０ ｔ ２ Ｙ ２ （ ）一 ｔ ＂ ２ １ （ ）一 ａ ２ ｅ － ｒ ２ ２ （ ｔ —ｒ ２ ）＋ Ｆ— Ｆｅ ２ ２ ， 一 ≤ ｔ ≤ ０，ｉ 一１ ， ２ ． （ １ ）
一类具有阶段结构的食饵-捕食收获模型分析
Ａｎ ｌｓ ｆａ Ｐ ｅ － ｒ ｄ ｔ ｒＭ ｏ ｅ ｎ ｅ ｎ ｔｎ －ａ ｅ ａｙ ｉ ｏ ｒ ｙ ｐ ｅ ａ ｏ ｄ ｌｕ ｄ ｒ Ｃｏ ｓａ ｔ ｔ ｓ ｒ Ｐ ｅ ａ ｏ ｒ ｅ ｔ ｇ ｗｉ ｔｇ ｔｕ ｔ ｒ ｒ ｄ ｔ ｒＨａ ｖ ｓｉ ｔ Ｓａ ｅ Ｓ ｒ ｃｕ ｅ ｎ ｈ
ｏ ｏ ｉ ｖ ｑ ｉ ｂ ｉｍ ｙ ｏ ｃ ｒｄ ｅ ｔ ｅ ｔ ｎ ｉ ｏ ａｅ ｉｃ ｒｏ ｔ ｇ ｔｅ ｉｆ ｅ ｃ ｕ ｒ ｎ ，ａ ｄ ｔｅ ｆ ｓ ｉｅ ｅ ｕ ｌ ｒ ｐ ｔ ｉ ｕ ｍ ｃ ｕ ｕ ｏ ｔ ａ ｓｔ ｎ ｒ ｔ ｎ ｏ ｐ ｒ ｉ ｎ ｕ ｎ ｅ ｏ ｎ ｔ ｅ ｔ ｎ ａ ｈ ｒ ｉ ａ ｎ ｈ ｌ ｆ ｉ ｈ ｈ ｒｅ ｔ ｇ ｍｔ ｏ ｔｅ ｐ ｅ ａｏ ． ａ ｖ ｓｉ ｅ ｔ ｒｄ ｒ ｎ ｈ ｔ
Ａｂ ｔａ ｔ ａｅ ｎｔｅｔ ｏｓ ｅｉｓｉｔｒｃｉｅＬ ｔａＶｏｔｒ ｄ ｌ ｈｓｐ ｐ ｒ ｕｓｆｒ ａｄ ａｐｅ－ ｒｄ － ｓｒ ｃ ：Ｂ ｓｄｏ ｗ ｐ ｃｅ－ ｅａｔ ｏｋ － ｌ ｒ ｍｏ ｅ，ｔｉ ａ ｔ ｏｗ ｒ ｒｙｐｅ ａ ｈ ｎ ｖ ｅａ ｅ ｐ
维普资讯
第 ２ 卷 第 ３ ｌ 期
Ｖ０ ． ｌ Ｎｏ ３ １２ 。
重 庆 工 学 院 学 报（ 自然科 学版 ） Ｊ ｒ ｌ ｏ ￣ Ｉｔ ｔｏＴｃ ｏｇ（ａｒ ｉｃ ｄ ｏ） ｏｎ Ｃ ． ｕ ａｄ ｈ ｇ ｎｉ ｅｆｅｈ ｌｙＮｔａＳｅ ｅ ｉｎ ｓｔ ｕ ｎｏ ｕｌｃｎ Ｅ ｔ ｉ
２ ０ 年 ３月 ０７
Ｍａ 。 ０。７ ｒ ２ ｒ
【 数理化科学 】
一
类 具 有 阶段 结构 的食 饵 一捕食 收 获 模 型分 析 。
孙军芳 ， 张 睿
一类具有脉冲和食饵具有阶段结构的时滞捕食模型的定性分析
文章 编 号 ：０ ９４ ２ （０ １ ０ －１５０ １０ －８２ ２ １ ）２０ ２ －６
一
类具 有 脉 冲和 食 饵 具 有 阶段 结构 的 时 滞 捕 食 模 型 的 定 性 分 析
王玲 书 一， 徐 瑞 冯 光辉 ，
０ ０６ ； ５０ １ ００ ０ ） ５０ ３ （ ． 北 经 贸 大学 数 学 与 统计 学 学 院 ， 北 石 家 庄 １河 河 ２军械工程学院基础部 ， 北 石家庄 ． 河
第 ｌ ２卷 第 ２期
２ １ 年 ４月 ０１
北 华 大学 学 报 （ 自然科 学 版 ）
Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｏ Ｅ ＨＵ Ｎ Ｖ Ｒ Ｉ Ｙ（ ａ ｒ ｃｅ ｃ ） Ｏ Ｒ Ａ Ｆ Ｂ Ｉ Ａ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ Ｎ ｔ ａ Ｓ ｉ ｅ ｕ ｌ ｎ
Ｖｏ ＿ ２ Ｎｏ． ｌ１ ２ Ａｐ ． ｒ ２０１ １
２ Ｂ ｓ ｅａｔ ｅｔ Ｍｅ ａ ｉ ｌ ｎ ｉ ｅｉ ｏｌ ｅＳ ｉ ｚｕ ｎ ５ ０ ３ Ｃ ｉ ） ． ａｉ Ｄｐ ｒ ｎ ｃ ｍ ｏ ｆ ｃ ｎ ａ ｇｎ ｒ ｇ Ｃｌｇ ，ｈ ａｈ ａｇ０ ００ ，ｈｎ ｈ ｃ Ｅ ｅ ｎ ｅ ｆ ａ
Ａｂｓｒ ｃ ｔ ａ ｔ：Ａ ｅ ａ ｅ ｒ ｄ ｔｒｐ ｅ ｄ ｌｗｉｈ ｓａ ｅ ｓｒ ｃｕ ｅ ｏ ｈｅ ｐ ｅ ｎ ｉ ｅ ａ ｕ ｏ ｔｅ ｍ ａｕ ｔ ｆ ｄ ｌｙ ｄ ｐ ｅ ａ ｏ — ｒ ｙ ｍｏ ｅ ｔ ｔｇ － ｔｕ ｔ ｒ ｆｔ ｒ ｙ ａ ｄ ｔ ｍｅ ｄ ｌ ｙ ｄ ｅ ｔ ｈ ｔ ｒ ｙ ｏ ｉ
Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ：ｉ ｐ ｌｅ ｄ ｌｙ；ｔ ｇ －ｔｕ ｔ ｒ ｅ ｔｎ ｔｏ ｐ ｒ ｎ ｎ ｅ ｄｓ ｍ ｕ ｓ ｓ； ｅａ ｓａ ｅ ｓｒ ｃｕ ｅ； ｘ ｉ ｃｉｎ； ｅ ｍａ ｅ ｅ
一类具有时滞和阶段结构的捕食者一食饵系统的全局稳定性
本文分 别将捕食 者种群和食饵 种群分成 两个阶段 ： 成年种 群和幼年 种群， 并 且假 设仅有成
年捕食者捕食 幼年 食饵． 这一假 设对 许多动物来说是合理 的， 因为幼年种群不具有生育能力， 并
收稿 日期： ２ ０ １ ２ — ０ ３ — ０ ７ 修 回日期： ２ ０ １ ３ — ０ １ 一 Ｏ ８
例系数为ｄ ２＞０ １ ．
（ Ｂ ） 捕食者种群： 假定只有成年捕食者种群捕食 幼年食饵， 并且具有生育 能力． 丁 ０ 表示 捕食者个 体从幼年到成年 的转化所需要 的时间． 参 数ａ 】＞０ 表 示捕食者种群 的捕获率， ａ ２ ａ 】 表
示捕食 者种群的生育转化 率． 幼年捕食者 的死亡率和从 幼年 向成年 的转 化率分别与现存 的幼年 种群 的密 度成正 比（ 比例系数分别为ｄ ３＞０ 和ｒ ２＞０ ） ； ｂ＞０ 表 示成年捕食者 的种 内竞争率； 成年 捕食者 的死亡率与现存密度成正 比（ 比例 系数为ｄ ４ ＞０ ） ．
绝 的充分条件．
关键词： 捕食 系统； 时滞； 阶段结构 ： 全局稳 定
中图分类号： ０１ ７ ５ ． １
文献标识码： Ａ
文章编号： １ ０ ０ ０ — ４ ４ ２ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ５ １ — ０ １ ２
５ １ 引 言
捕 食者一 食饵 系统是种群动力 学中一类非常 重要的模型，已经被许多 学者所研 究． 在经典 的
性． 首先通 过分析 特征 方程 ， 运 用Ｈ ｕ ｒ ｗｉ ｔ ｚ － Ｙ １ 定定理， 讨论 了该模 型非 负平衡 点的局部
稳定性， 并得到 了Ｈｏ ｐ ｆ ￣ ， ＞ 支存在 的充分条件 ； 其次运 用单调迭 代方法和比较 定理 ， 讨论 了该模型 的非 负平衡点 的全局稳 定性 ， 从 而得到 了保证 该生态 系统永久持续生存 与灭
一类捕食者和食饵均具有阶段结构的捕食模型的稳定性分析
其中， Ｋ 表示 环境 对食 饵 的最 大承 载力 ， 忌表示 捕食 者 的消化 率 ，
为 Ｈ。 ｌ ｌ ｉ ｎ ｇ 一 Ⅱ型功 能反 应 函
数， 为简 单起 见 ， 不妨 只对 食饵 考虑 环 境承 载力 ． Ｘ （ ￡ ） 和 ｚ （ ￡ ） 分 别 表 示 幼年 食 饵 和成 年 食 饵在 ｔ 时刻 的 密 度 函数 ； （ ￡ ） 和Ｙ 。 （ ） 分别 表示 幼年 捕食 者 和成年 捕食 者在 ｔ 时刻 的密度 函数 ．
的条件 ．
［ 关键 词） 阶段 结 构 ； 捕食模型； 环 境承 载 力 ； 特征 方程 ［ 文章 编号 ］ １ ６ ７ ２ — ２ ０ ２ ７ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ４ — ０ ０ ５ ５ － ０ ５ （ 中图分类 号］ Ｏ２ １ ２ ［ 文献标 识码］ Ａ
本 文研 究 了一类 具有 Ｈｏ ｌ ｌ ｉ ｎ ｇ 一 Ⅱ型功 能反应 函数和环 境 承载力 且捕 食者 和食 饵均 具有 阶段 结 构 的捕 食
析 ， 运 用 Ｈｕ ｒ ｗｉ ｔ ｚ判 定 定 理 ， 探 讨 了模 型 的 非 负 平衡 点 的局 部 稳 定 性 ； 利 用 构造 函数 法 ， 结合 Ｌ ａ — Ｓ ａ ｌ ｌ ｅ不 变 集 原 理 ， 讨 论 了模 型 的 非 负 平 衡 点 的 全 局 稳 定 性 ， 得 到 了捕 食 者 和 食 饵 种 群 可 持 续 生 存
（ ０ ， ０ ， ０ ， ０ ） 是不 稳定 的． １ ． １ ． ２ 平衡 点 Ｅ 。 （ Ｏ ， ０ ， ０ ， ０ ） 的全 局稳定 性 定理 １ ． １ 如果 ｒ ｒ ＜ （ ｒ ＋ｄ ） ， 则 平衡 点 （ Ｏ ， ０ ， ０ ， ０ ） 具有 全局 渐进 稳定 性 ．
（ ２ ）
一类具有常数避难所的功能反应Ⅲ的食铒-捕食模型动力学性态
证明： 当系 统 （ ） ５ 的正 平 衡 点
（ 转 第 １６页 ） 下 ５
１６ ５
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四 川 兵 工 学 报
证明 ： Ｅ Ｘ ） 当 （ ２ ＝０时 ， ＝ （ 一 ） 此时 ＸＹ ｏ 。 ） 故 Ｅ（ ）＝ 不 等式成立 ； ｏａ ， ： （一 ， ＸＹ ０， 当 （ ）＞ ０时 ， ， ｔ 令 （）＝Ｅ［ 一 （ ｙ 。 ＝ｔ （ ２ 一２ Ｘ ＋Ｅ ） ≥０ 于是 △＝ （ Ｘ ） 一 Ｅ Ｘ ） ） ， （ ） 。 （ ） （ ２ 。 ）］ ２ Ｘ ） ｔ Ｙ （ 恒 Ｅ Ｅ ， ４ Ｅ Ｙ 。 ４ （ ２ （ ＧＯ 即［ ｙ ］ ≤Ｅ Ｅ ｙ ）
０ 一２ｘ ］ ｂ
设 Ｒ（ ｍ）：２ 。＋ （ ６８ ６Ｂｍ ２ ２—２ｘ ｂ 一２ ） ＋ａ 一 ｑ ｍ ｘ
０
ｚ
一２ｂ ｘ
Ｏ ｙ 一
：
一
’ａ
，
：
一
２ … ’
△ ： （ ２
一２ ｘ ｂ 一２ ） ＋
警 ： ｃ ） ｋ 一（ ＋ ＋ａ 卢
ｆ ｃ ｝ｃ 仇一 １ ，一， 一
【 一 ＝ ＋
。
一
砌 ＋ ∞≤ 。因此 ， ｔ Ａ 当 充分大 ， 满足初始 条件 的模 型
（） ４ 的解 是 正的 ， 且最 终 有 界 。
并 且 讨 论 了躲 避 系 数 在 该 模 型 中 的 作 用 。 Ｇ ｎａ ｚＯｉ ｒｓ ｏ ｚｌ —ｌ ａｅ ｅ ｖ ａｄＲ ｍ ｓ ｉｂｒ 在 文献 ［ ］ ｎ ａ ｏ— ｌ ｅｔ Ｊｉ ｏ ３ 中对 模 型 （ ） １ 中的 食 铒 引 人 了 具 有 比例 避 难 所 ， 加 入 常 数 收 获 进 行 了 改 进 ， 并 同时 研 究 了
一类具有阶段结构的捕食者-食饵扩散模型解的整体性态
ｄ ｙ
出
＿
ｄ２ △ ＝ 耽 一
ｄ ｚ
— ３ △ 一 如 ＋ 一 ｅ ２ ｚ一 弦 ，
ａ 一ａ 一 ａｖ ｚ一 ０，
（ ｚ， ｔ ）∈ ａ Ｑ× （ Ｏ， ｏ 。 ） ，
ｕ （ ｘ， Ｏ ）＝ Ｕ Ｏ （ ）≥ ０ ， ｖ （ ｘ， Ｏ ）＝ （ ）≥ ０ ，
Ｘ ∈ Ｑ，
第３ ２ 卷第 ３期
２ ０ １ ３ 年 ３月
数学教 学研 究
５ ７
一
类具有阶段结构的捕食者一 食饵扩散模型解的整体性态
刘志琳 ，张 睿
７ ３ ０ ０ ７ ０ ） （ 兰州交通大学 数学与软件工程学 院 ， 甘肃 兰州
摘
要： 本文讨论一类具有 阶段 结构 的捕 食者一 食 饵扩散模 型解 的整体 性 态． 主要 通 过线性 化方 法
， ３ 一 南ｖ 一（ ＋ ｅ １ ） ，
基金项 目： 甘肃省 自 然科学基金 （ １ １ Ｏ ７ Ｚ Ａ １ ９ ７ ） ， 甘肃省教育厅硕导项 目（ １ １ ０ ４ 一 Ｉ Ｉ ） 作者简介 ： 刘志琳 （ １ ９ ８ ７ 一） ， 女， 甘肃会 宁人 。 硕士研究 生 ， 主要研究方向为偏微分方程及其应用的研究。
和Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ函数方法证明该模 型正平衡 点的局部 渐近稳定性和全局渐近稳 定性．
关键词 ： 阶段 结构 ｝ 捕食 者一 食饵模 型 ， 稳定性
中图分 类号 ： Ｏ１ ７ ５ ． ２ ６
ｌ 引言 Ａ ｉ ｅ ｌ ｌ ｏ和 Ｆ ｒ ｅ ｅ ｄ ｍ ａ ｎ 在文［ １ － １ ￣首先提出并研究了具有阶段结构的单种群模型， 证 明了该
其中Ｑ ｃ 是边界 ａ Ｑ光滑的有界区域， 是 ａ Ｑ上的单位外法向量 ， ａ ＝ａ ／ ａ ， ｚ ， Ｙ和 分别表示食饵 ， 幼年捕食者和成年捕食者的物种密度 ， 模型中的所有参数都是正的 ， 其中常数 ｄ ｌ ， ｄ ｚ 和ｄ ｚ 是扩散系数 ， ｒ 表示食饵的内禀增长率 ， Ｋ 表示 环境容纳量 ， 口 表示成年捕食者 的 捕获率， ｓ 表示成年捕食者的生长率 ， ｐ 表示幼年捕食者转化成成年捕食者 的转化率 ， ｅ 表示幼 年捕食者转化成成年捕食者 的死亡率 ， ｈ表示成年捕食者吞食食饵后转化为 自身能量的转化
一类具有食饵避难的Leslie-Gower捕食模型的最优税收
ｌ 詈 一 ）
本 文在 上 述模 型 的基 础 上 ，对 发生 食饵 避 难 的 Ｌ ｅ ｓ ｌ ｉ ｅ — Ｇｏ ｗｅ ｒ 捕 食 系 统 的食 饵 种群 进行 了捕 获 。假 设
把食饵种群分为两部分： 肋ｃ （ ， ） 数量的 食饵提供避难所，捕食者只能捕食（ １ 一 ） （ ） 数量的食饵种群，
其中， （ ， ） ， ｙ （ ｔ ） 分别为食饵和捕食种群的密度， ， 分别代表两种群的内禀增长率，Ｅ为捕获努力
量， ｌ ，Ｌ ／ ２ ， ｍ 为正 常数 ， 为税 收量 ， ｃ 代 表单位 捕 获努力 量要 付 出的常量 价格 ， Ｐ代表 单位 捕获 量 的价格 ， ｇ为食 饵种 群 的收获 系数 ， 表示 资金 的折 旧率 ， 表 示在捕 获努 力量 作用 下 总投 入 的刚性伸 缩 量系数 ， ０≤ ＜ｌ ，
（ １ 一ｍ） ｘ
一
： ０
口
Ｉ ａ ｌ ｆ ［ ｑ ａ ｐ
一
ｒ ２ （ １ 一ｍ） ｘ Ｅ ＝ 一ａ 】 （ １ 一ｍ） ｙ 一ｂ ｌ
。
一
ｒ
０
ａ ｌ ｆ ｑ （ ｐ— 、
ＤＯｈ ｌ ０ ． ３ ９ ６ ９ ￣ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ４ － ５ ０ ４ ３ ． ２ ０ １ ３ ． ０ １ ． ０ １ ８ 中图分类号 ：０２ ２ 文献标志码 ：Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ４ — ５ ０ ４ ３ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ － ０ ０ ７ ５ － ０ ４
并对食 饵 种群 在捕 获努 力量 Ｅ下进 行捕 获 ，其 中 Ｏ≤ ＜１ 。考 虑如 下模 型 ：
ｄ ｘ
＝
（ 一 ）Ｘ一 １ （ １ 一， ）ｘ ｙ—ｑ Ｅｘ （ 一 ）Ｙ （ １ ）
一类具有食饵避难的Leslie-Gower捕食系统的征税模型
在 种群 生态 学 中 ， Ｌ ｅ ｓ ｌ ｉ ｅ 捕 食一 食饵 模 型 的一 般形 式 为
｛ ｝ 一 ｚ （ ｒ 一 ｂ ｌ ａ ： ） 一 ａ （ ｚ ） ，
， 、
ห้องสมุดไป่ตู้
１ 一Ｙ 一 了
其中 ： ｚ（ ￡ ）、 （ ￡ ） 分 别为 食饵 、 捕食 种群 的密度 ， （ ）为功 能反 应 函数． 针 对 各种 不 同的功 能反 应 函数 ， 许 多学者 对模 型 （ １ ） 及 其修 正模 型 进行 深 入 研究 ． 有些 学 者 发现
Ｆｉ ｎ ａ ｌ ｌ ｖ， ｔ ｈｅ ｏｐ ｔ ｉ ｍａ １ ｔ ａ ｘａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐｏ ｌ ｉ ｃ ｙ ｏｆ ｔ ｈｅ ｍ ｏ ｄｅ ｌ ｗ ａ ｓ ｄｅ ｒ ｉ ｖ ｅ ｄ ｂｙ ｍ ｅ ａ ｎｓ ｏ ｆ Ｐｏｎ ｔ ｒ ｙａ ｇ ｉ ｎ ｍａ ｘｉ ｍ ｕｍ ｐｒ ｉ ｎｃ ｉ ｐ ｌ ｅ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ：Ｌｅ ｓ ｌ ｉ ｅ — Ｇｏ ｗｅ ｒ ｐｒ ｅ ｄ ａ ｔ ｏ ｒ — ｐ ｒ ｅ ｙ ｓ ｙｓ ｔ ｅ ｍ ；ｇ ｌ ｏｂ ａ ｌ ａ ｓ ｙ ｍ ｐｔ ｏ ｔ ｉ ｃ ｓ ｔ ａ ｂｉ ｌ ｉ ｔ ｙ；ｏ ｐｔ ｉ ｍａ ｌ ｔ ａ ｘ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
２ ０ １ ７年 １ １月
安徽大学学报 （ 自然 科 学 版 ）
（ Ｎａ ｔ ｕｒ ａ ｌ Ｓｃ ｉ ｅ ｎｃ ｅ Ｅｄｉ ｔ ｉ ｏｎ） Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ａｎ ｈ ｕ ｉ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｎｏ ｖｅ ｍｂ ｅ ｒ ２ Ｏｌ７
ｇｌ ｏ ｂ ａ １ ａ ｓ ｙ ｍｐ ｔ ｏ ｔ ｉ ｃ ｓ ｔ ａ ｂｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ｐ ｏｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｅ ｑｕ ｉ ｌ ｉ ｂｒ ｉ ｕ ｍ ｐｏ ｉ ｎ ｔ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈｅ ｍ ｏ ｄｅ ｌ ｗｅ ｒ ｅ ｏ ｂｔ ａ ｉ ｎｅ ｄ ．
一类具有移居常数和年龄结构的食饵-捕食模型
一类具有移居常数和年龄结构的食饵-捕食模型白定勇;邱丽华【摘要】考虑一类食饵具有移居常数,捕食者具有年龄结构的食饵-捕食模型.首先,研究了系统的一致有界性、局部稳定性及持久性.接着,利用Lyapunov函数和LaSalle不变性原理,给出系统全局渐近稳定的充分条件.所得结论表明,当移居常数足够小时,不影响捕食者的灭绝性,而当移居常数足够大时,食饵和捕食者将长期共存.最后,通过数值模拟来说明理论结果是正确的.%A predator-prey system with prey immigration and stage structure for the predator is investigated. Firstly,the positivity, boundedness and conditions for persistence have been derived.Furthermore, by using Lyapunov functionals and the LaSalle invariance principle,sufficient conditions are derived for the global stabili-ty of the equilibrium.When the prey immigration is small enough,the prey immigration does not affect the ex-tinction of predator,and when the prey immigration is large enough,the prey and the predator will coexist.Fi-nally numerical simulations are carried out to illustrate the correctness of the main theoretical results.【期刊名称】《广州大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(017)002【总页数】7页(P1-7)【关键词】移居常数;年龄结构;Lyapunov函数【作者】白定勇;邱丽华【作者单位】广州大学数学与信息科学学院,广东广州 510006;广州大学数学与信息科学学院,广东广州 510006【正文语种】中文【中图分类】O1760 引言种群生态学主要是研究生物群落的持久性及群落结构的动态变化.自从Lotka-Volterra模型提出后，为了更准确地描述种群行为，需要考虑其他一些重要因素，如功能反应、年龄结构和移居项等[1-10].在研究食饵-捕食模型的动态行为时，一般假设捕食者在任何年龄阶段都具有捕食能力和繁殖能力，但这对于很多物种是不现实的.对于很多捕食者来说，未成年的捕食者是不具有捕食能力和繁殖能力.那么在研究捕食模型的动态行为时，捕食者的年龄结构有必要加以考虑，通常情况下，假设捕食者的生命周期有2个阶段，即不成熟时期和成熟时期.文献[2]研究一类捕食者具有年龄结构和Monod-Haldane功能反应的捕食模型，对内平衡点的存在性和稳定性进行了深入分析，得到内平衡点稳定的条件.文献[6]研究一类食饵和捕食者都具有年龄结构的食饵-捕食系统，给出了系统稳定的充分条件，并讨论了Hopf分支.文献[7]研究了一类捕食者具有年龄结构的食饵-捕食系统，利用迭代法和比较参数法得到系统全局稳定的条件，研究发现，出生率和死亡率对于系统持续生存起着关键作用.文献[8-10]考虑如下捕食者具有年龄结构的捕食模型:(1)在系统(1)中，x(t)表示t时刻食饵的种群密度，y1(t)和y2(t)分别表示t时刻未成年捕食者和成年捕食者的种群密度，表示捕食者的功能反应，a,b,k,m,r,d1,d2,D都为正常数，其中，a为食饵的种群密度制约因素，b为成年捕食者的捕食率，k为食饵转化为未成年捕食者的转化率，r为食饵的內禀增长率，d1，d2分别为未成年捕食者和成年捕食者的死亡率，D为未成年捕食者转化为成年捕食者的转化率.文献[8]通过构造合适的Lyapunov函数，结合LaSalle不变性原理给出系统(1)全局稳定性的充分条件，并且证明了周期解的存在性及稳定性.文献[9]和文献[10]分别研究了系统(1)的持久性、周期解的存在性以及系统的全局稳定性.与自然界中的种群相比，在实验室环境中生存的食饵和捕食者种群，由于空间的限制，通常会导致种群灭绝.这表明空间因素对于种群数量的变化有重要影响，从而为了保证系统的持久性，通常会考虑不断增加食饵的数量.这样，建立的模型中就出现移居项.文献[9]讨论一类具有移居常数和Rosenweig-MacArthur功能反应的捕食模型：其中，b为食饵的移居常数.研究发现，移居常数b使系统中种群数量的波动减弱，并且在一定条件下对内平衡点的稳定性有影响.文献[10]讨论了一类具有移居常数和时滞的捕食模型，研究了系统的有界性和稳定性，并利用规范型理论和中心流形定理讨论了Hopf分支的稳定性及方向.基于文献[8-12]，本文考虑食饵具有移居常数、捕食者具有年龄结构的食饵-捕食模型：(2)其中,b≥0为食饵的移居常数.本文的目的是研究移居常数b对种群动态学行为的影响.本文共分5部分，第1部分讨论系统的一致有界性；第2部分讨论系统的平衡点及其局部稳定性；第3部分讨论系统的持久性；第4部分通过构造合适的Lyapunov函数，利用LaSalle不变性原理讨论系统的全局稳定性；第5部分通过数值模拟来说明本文的主要结论；最后，在第6部分总结本文的主要工作.1 一致有界性在本节将分析系统(2)的正不变集，证明系统(2)的一致有界性.定理是系统(2)的正不变集，其中，证明由系统(2)的第一个方程，得由系统(2)的第二个方程，有y1(t)= y1(0)e-(d1+D)t+由系统(2)的第三个方程，有y2(t)=Dy1(t)-d2y2(t)≥-d2y2(t),那么y2(t)≥y2(0)e-d2t≥0.证毕.定义1 称系统(2)是最终一致有界的，如果对于该系统的所有解(x(t),y1(t),y2(t))存在正常数M和T，对任意的t>T，有‖(x(t),y1(t),y2(t))‖≤M，其中，M不依赖于T.定理2 系统(2)的解在是最终一致有界的.证明令那么因此，即系统(2)的所有解最终一致有界.注：定理2表明，从出发的所有解最终进入并停留在区域中，即A是系统(2)的一个吸引子.2 局部稳定性在本节将讨论系统(2)的平衡点及其稳定性.显然，系统(2)有一个边界平衡点E0(x0,0,0)，其中,此外，如果a2Dr>md2(d1+D)(3)系统有唯一的正平衡点其中，注：在没有移居项的情况下，系统有3个平衡点加入移居项后，系统只有2个平衡点这说明加入移居项后，食饵不会灭绝.定理3 当d2(d1+D)(1+mx0)>a2Dx0，边界平衡点E0(x0,0,0)是局部渐近稳定的；当d2(d1+D)(1+mx0)<a2Dx0，E0(x0,0,0)是鞍点.证明 E0(x0,0,0)的局部稳定性由系统的雅可比矩阵在E0(x0,0,0)的特征值决定.由从而得到在E0(x0,0,0)的特征方程(λ-(r-2ax0))λ2+(d1+d2+D)λ+(4)显然方程(4)有1个负根λ1=r-2ax0，其他2个根是下面二次多项式的根，f(λ)=λ2+(d1+d2+D)λ+d2(d1+D)-如果即d2(d1+D)(1+mx0)>a2x0D,则f(λ)=0的所有根均具有负实部，因此，E0(x0,0,0)是局部渐近稳定的.如果则f(λ)=0存在1个正根，从而E0(x0,0,0)为鞍点.注：定理3表明，未成年捕食者的死亡率d1或成年捕食者的死亡率d2足够大时，食饵种群将持续生存，而捕食者将灭绝.下面讨论的局部稳定性.系统(2)在的雅可比矩阵JE*=从而得到在的特征方程λ3+p2λ2+(p1+q1)λ+p0+q0=0(5)其中，p1= d2(d1+D)-(d1+d2+D)·显然p0+q0>0.定理4 设不等式(3)成立且p2>0,p2(p1+q1)-(p0+q0)>0(6)则是局部渐近稳定的.证明根据Routh-Hurwitz定理可知，方程(5)所有的根都有负实部当且仅当Δ1=p2>0,(p2(p1+q1)-(p0+q0))(p0+q0)>0,从而式(6)成立时，是局部渐近稳定的.3 持久性在本节将讨论系统(2)的持久性.定义 2[13] 设E是局部紧致的度量空间，∂E表示E的边界，设F=(E,R,π)是E上的连续流，∂F表示F在∂E上的限制，其中，π(x,t)是从E×R到E的连续映射，满足π(π(x,t)，s)=π(x,t+s),∀x∈E,s,t∈R.称F在E上是弱持久的，如果∀称F在E 上是持久的，如果∀引理 1[13] 若(i)F是耗散的；(ii)F是弱持久的；(iii)∂F是孤立的；(iv)∂F是无环的.则F是持久的.定理5 当a2Dx0>d2(d1+D)(1+mx0)时,系统(2)是持久的.证明由引理1，只需证明系统(2)是弱持久的.假设不成立，由于E0(x0,0,0)是唯一的边界平衡点，则存在一条正轨线(x(t),y1(t),y2(t))满足从而对∀δ>0,存在T>0,当t>T时,x>x0-δ且下面考虑方程：(7)显然，系统(7)有唯一的平衡点(0,0)，在(0,0)的雅可比矩阵为从而得到Vδ的特征方程λ2+(d1+d2+D)λ+d2(d1+D)-(8)假设γ,β(γ>β)为方程(8)的根，由可知γ>0>β.通过简单的计算，容易求得γ对应的特征向量记(u(t),v(t))为系统(7)在t=T时(sμ1,sμ2)的解，其中，s>0,满足sμ1<y1(T)，sμ2<y2(T)，显然，则，从而由比较定理可知这与矛盾，即系统(2)是弱持久的，根据引理1，可知系统(2)是持久的.注：从定理5可见，边界平衡点E0(x0,0,0)不稳定时，系统(2)是一致持久的.在文献[8]中，当a2Dx0>a1d2(d1+D)(1+mx0)时,系统是持久的，对比定理5和文献[8]可见，在没有移居项的情况下，当捕食者的捕食率a1足够小时，各种群可以持续生存.加入移居项后，捕食者的捕食率a1对系统的持久性没有影响.4 全局稳定性在本节通过构造合适的Lyapunov函数，结合LaSalle不变性原理给出各平衡点全局稳定的充分条件.定理6 当d2(d1+D)>a2Dx0时，边界平衡点E0(x0,0,0)是全局渐近稳定的.证明构造Lyapunov函数其中，l1,l2待定.沿着系统(2)的轨线(x(t),y1(t),y2(t))对V1(t)求导，可得取上式可以写为注意到ax0>r，当当且仅当x=x0,y1=0,y2=0时，由LaSalle不变性原理可知，E0(x0,0,0)是全局渐近稳定的.定理7 当d2(d1+D)(a+mr)>a2Dr>m·d2(d1+D)时，是全局渐近稳定的.证明构造Lyapunov函数其中，沿着系统(2)的轨线(x(t),y1(t),y2(t))对V2(t)求导，可得将代入上式得到注意到a1x*y2(t), 从而得到又由于从而得到因此，当ax*>r，即d2(d1+D)(a+mr)>a2Dr时，有当且仅当由LaSalle不变性原理，是全局渐近稳定的.注：在文献[8]中，当时,是全局渐近稳定的，其中，为食饵数量的下界.对比定理7和文献[8]，可见加入移居项后，对食饵数量x的要求更弱，只要即可.5 数值模拟取参数r=1,a=12,a1=12,a2=2,D=0.8,m=0.1,d1=0.2,d2=0.2.为了讨论移居常数对系统的影响，分别取b=0，b=0.06，b=8.例1 当b=0时，计算得到E0(0，0，0).由于d2(d1+D)-a2x0D=0.000 2>0，由定理6,可知E0是全局渐近稳定的(图1).在图1中分别取初值(0.1，3，0.5),(3,0.5，0.1),(0.5，0.1，3).图1 b=0，E0全局渐近稳定.Fig. b=0，E0global stability.例2 当b=0.06时，计算得到E0(0.083 3,0,0).由于d2(d1+D)-a2x0D=0.0667>0，由定理6可知,E0是全局渐近稳定的(图2).在图2中分别取初值(0.1，3，0.5),(3,0.5，0.1),(0.5，0.1，3).图2 b=0.06，E0全局渐近稳定.Fig.2 b=0.06，E0global stability.例3 当b=8时，计算得到E*(0.126 6，3.967 2，15.868 6).由于d2(d1+D)(a+mr)-a2Dr=0.82>0，a2Dr-md2(d1+D)=1.58>0，由定理7可知，E*是全局渐近稳定的(图3).在图3中分别取初值(0.1，3，0.5),(3，0.5，0.1),(0.5，0.1，3).图3 b=8时，E*全局渐近稳定.Fig.3 b=8，E*global stability.注：从例1、例2可见，考虑移居项后食饵不会灭绝，并且在移居常数足够小的情况下不影响E0的全局渐近稳定性.从例3可见，食饵的移居常数足够大时，E*是全局渐近稳定的，食饵和捕食者将长期共存.6 结论本文讨论一类食饵具有移居项，捕食者具有年龄结构的食饵-捕食模型 .研究移居常数对系统动态行为的影响.首先证明系统在是一致有界的，并且给出系统局部稳定的充分条件，接着讨论系统的持久性.结论表明，E0(x0,0,0)不稳定时系统(2)是一致持久的，各种群将持续生存.对比定理5和文献[8]可见，加入移居项后，食饵的数量维持在一定水平，从而捕食者的捕食率a1对系统持久性的影响可以忽略.利用Lyapunov函数和LaSalle不变性原理给出系统全局渐近稳定的条件，在文献[8]中，当a2Dx0>d2(d1+D)(1+mx0)时,是全局渐近稳定的，其中，为食饵数量的下界.对比定理7和文献[8]，可见加入移居项后，对食饵数量x的要求更弱，只要求从数值模拟的结果可见，考虑移居项后食饵不会灭绝，并且在移居常数足够小的情况下不影响E0的全局稳定性，食饵将持续生存而捕食者将灭绝.在食饵的移居常数足够大时，E*是全局稳定的，食饵和捕食者将长期共存.参考文献：[1] SUEBCHAROEN T. Analysis of a Predator-Prey Model with switchingand stage-structure for predator[J]. International Journal of Differential Equations, 2017,3:1-11.[2] KHAJANCHI S. Modeling the dynamics of stage-structure predator-prey system with Monod-Haldane type response function[J]. Applied Mathematics & Computation, 2017,302(1):122-143.[3] KHAJANCHI S. Dynamic behavior of a Beddington-DeAngelis type stagestructured predator-prey model[J]. Applied Mathematics & Computation, 2014, 244(2):344-360.[4] SONG Y, XIAO W, QI X. Stability and Hopf bifurcation of a predator-prey model with stage structure and time delay for the prey[J]. Nonlinear Dynamics, 2016, 83(2):1409-1418.[5] XU R. Global stability and Hopf bifurcation of a predator-prey model with stage structure and delayed predator response[J]. Nonlinear Dynamics, 2011, 67(2):1683-1693.[6] WANG L, XU R, FENG G. Global dynamics of a delayed predator-prey model with stage structure and holling type II functional response[J]. Journal of Applied Mathematics & Computing, 2015, 47(1/2):73-89.[7] XU R, MA Z. The effect of stage-structure on the permanence of a predator-prey system with time delay [J]. Applied Mathematics & Computation, 2007, 189(2):1164-1177.[8] GEORGESCU P, HSIEH Y H. Global dynamics of a Predator-Prey Model with stage structure for the predator[J]. Siam Journal on Applied Mathematics, 2007, 67(4):1379-1395.[9] SUGIE J, SAITO Y. Uniqueness of limit cycles in a Rosenzweig-MacArthur Model with prey immigration[J]. Siam Journal on Applied Mathematics, 2012, 72(1):299-316.[10] ZHU G, WEI J. Global stability and bifurcation analysis of a delayed predator-prey system with prey immigration[J]. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 2016,13:1-20.[11] WANG W. Global dynamics of a population model with stage structurefor predator[J]. Advanced Topics in Biomathematics, 1997,97:253-257. [12] XIAO Y N, CHEN L S. Global Stability of a Predator-Prey System with stage structure for the predator[J]. Journal of Mathematics, 2004, 20(1):63-70.[13] BUTLER G. Uniformly persistent systems[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 1986, 96(2):425-430.。
具有阶段结构及B-D功能反应的食饵-捕食模型
具有阶段结构及B-D功能反应的食饵-捕食模型宋燕;胥东方;李昂【摘要】Stability of a predator-prey model with Beddington-DeAngelis functional response and stage structure for the prey is investigated. By the method of characteristic, the local stability of a predator-extinction equilibrium and a coexistence equilibrium of the model is discussed. By introducing a new lemma and applying the comparison principle of differential equation and iterative method, respectively, sufficient conditions are obtained for the global stability of the predator-extinction equilibrium and the coexistence equilibrium. Finally, numerical simulations are carried out to illustrate the main results.%研究一类食饵具有阶段结构及Beddington-DeAngelis功能反应的食饵-捕食模型的稳定性，利用特征根法，讨论了捕食者灭绝平衡点及食饵和捕食者共存平衡点的局部稳定性；通过引入新的引理，利用微分方程比较定理及迭代法，得到了捕食者灭绝平衡点和食饵、捕食者共存平衡点全局稳定的充分条件；数值模拟验证了主要结果。
【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2016(052)015【总页数】6页(P49-54)【关键词】阶段结构;时滞;Beddington-DeAngelis功能反应;食饵-捕食模型;稳定性【作者】宋燕;胥东方;李昂【作者单位】渤海大学数理学院，辽宁锦州 121000;渤海大学数理学院，辽宁锦州 121000;渤海大学数理学院，辽宁锦州 121000【正文语种】中文【中图分类】O175.1SONG Yan，XU Dongfang，LI Ang.Computer Engineering and Applications，2016，52（15）：49-54.在种群相互作用模型中，食饵-捕食模型引起人们广泛关注。
一类具有阶段结构时滞功能反应的捕食者-食饵模型
一类具有阶段结构时滞功能反应的捕食者-食饵模型
刘琼
【期刊名称】《广西科学》
【年(卷),期】2009(016)002
【摘要】A non-autonomous predator-prey model with stage-structured on prey,time delay,type Ⅲ functional response,continuous harvesting on predator has been studied in this paper.The existence of a positive periodic solution of the system has been established.%研究一类食饵具有阶段结构、捕食者具有时滞功能反应和连续收获的非自治捕食者-食饵模型,得到该模型存在正周期解的充分条件.
【总页数】5页(P126-130)
【作者】刘琼
【作者单位】钦州学院数学与计算机科学系,广西钦州,535000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.12
【相关文献】
1.一类具有时滞和HollingⅡ类功能反应的捕食者-食饵模型 [J], 唐贵坚;唐清干
2.一类具有时滞和阶段结构的强身型食饵-捕食者模型的Hopf分支 [J], 王丽丽;徐瑞
3.一类具有阶段结构和时滞的捕食者-食饵模型的稳定性分析 [J], 李永凤;朱城志
4.一类具有阶段结构和时滞的捕食者-食饵模型分析(英文) [J], 杨金根;周学勇;师向
云
5.一类具有时滞和阶段结构的食饵-捕食者模型的全局稳定性分析 [J], 王丽丽;徐瑞因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
equilibrium of the system are derived by constructing suitable Lyapunov function. It is
shown that our result supplements and complements one of the main results of Khajanchi
conversion coefficient from juvenile preys to adult preys is proportional to the existing juvenile
preys with proportionality constant β. δ1, δ2 and δ3 are the natural death rates of juvenile preys, adult preys and predators, respectively. γ represents the intra-species competitionanΒιβλιοθήκη Banerjee (2017).
Key words: Stage structure; Prey refuge; Beddington-DeAngelis functional response;
Persistence; Global asymptotical stability
CLC Number: O175.1 AMS(2000)Subject Classification: 34D23; 92D25
应用数学 MATHEMATICA APPLICATA 2019, 32(3): 544-551
A Note on Stage Structure Predator-Prey Model with Prey
Refuge
YANG Wensheng(杨文生)1,2, ZHENG Yanhong(郑艳红)1,2
ogy.
No. 3 YANG Wensheng et al.：A Note on Stage Structure Predator-Prey Model with Prey Refuge 545
(overcrowding) rate of adult preys. They introduced a refuge θxm(t), of the adult preys
Abstract: A stage structure predator-prey model with prey refuge and Beddington-
DeAngelis functional response is considered in this work. The sufficient condition which
Document code: A
Article ID: 1001-9847(2019)03-0544-08
1. Introduction
In [1], Khajanchi and Banerjee studied the following predator-prey model with stage
(θ ∈ (0, 1)), which measures the degree or strength of prey refuge. (1 − θ)xm(t) is the density
of adult preys available to predators for their foods/nutrients. The predator population
ensures persistence of the system is obtained by using a comparison method. Furthermore,
the sufficient conditions for the global asymptotical stability of the unique positive
∗ Received date: 2018-07-12 Foundation item: Supported by the National Natural Science Foundation of China(11672074),and
the Natural Science Foundation of Fujian Province (2018J01655, 2016J01003, JK2015007) Biography: YANG Wensheng, male, Han, Fujian, associate professor, major in mathematical biol-
structure andratio-dependent functional response
dxi(t) dt
=
αxm(t)
dxm(t) dt
=
βxi(t)
− −
βxi(t) − δ1xi(t), δ2xm(t) − γx2m(t)
−
η(1 − θ)xm(t)y(t) , g(1 − θ)xm(t) + hy(t)
xdiyd((0tt))
= µη(1 − θ)xm(t)y(t) g(1 − θ)xm(t) + hy(t)
> 0, xm(0) > 0, y(0) > 0,
−
δ3y(t),
(1.1)
where xi(t), xm(t) and y(t) are the densities of immature/juvenile preys, mature/adult preys and predators at time t respectively. α represents the growth rate of immature preys. The