2012年全国各省市中考试题分类解析-----二次函数
2012中考数学-第25讲-二次函数(含答案)附2011中考真题精选共58页
2012年中考数学一轮复习精品讲义第二十五章二次函数本章小结小结1 本章概述本章从实际问题的情境入手引出基本概念，引导学生自主探索变量之间的关系及其规律，认识二次函数及其图象的一些基本性质，学习怎样寻找所给问题中隐含的数量关系，掌握其基本的解决方法．本章的主要内容有两大部分：一部分是二次函数及其图象的基本性质，另一部分是二次函数模型．通过分析实例，尝试着解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力．二次函数综合了初中所学的函数知识，它把一元二次方程、三角形等知识综合起来，是初中各种知识的总结．二次函数作为一类重要的数学模型，将在解决有关实际问题的过程中发挥重要的作用．小结2 本章学习重难点【本章重点】通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数的图象，能从图象中认识二次函数的性质；会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．【本章难点】会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题．【学习本章应注意的问题】1．在学习本章的过程中，不要死记硬背，要运用观察、比较的方法及数形结合思想熟练地画出抛物线的草图，然后结合图象来研究二次函数的性质及不同图象之间的相互关系，由简单的二次函数y＝ax2(a≠0)开始，总结、归纳其性质，然后逐步扩展，从y＝ax2＋k，y ＝a(x－h)2一直到y＝ax2＋bx＋c，最后总结出一般规律，符合从特殊到一般、从易到难的认识规律，降低了学习难度．2．在研究抛物线的画法时，要特别注意抛物线的轴对称性，列表时，自变量x的选取应以对称轴为界进行对称选取，要结合图象理解并掌握二次函数的主要特征．3．有关一元二次方程与一次函数的知识是学习二次函数内容的基础，通过观察、操作、思考、交流、探索，加深对教材的理解，在学习数学的过程中学会与他人交流，同时，在学习本章时，要深刻理解两种思想和两种方法，两种思想指的是函数思想和数形结合思想，两种方法指的是待定系数法和配方法，在学习过程中，对数学思想和方法要认真总结并积累经验．小结3 中考透视近几年来，各地的中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放性探索题和函数的应用题，尤其是全国各地中考试题中的压轴题，有三分之一以上是这一类题，试题考查的范围既有函数的基础知识、基本技能以及基本的数学方法，还越来越重视对学生灵活运用知识能力、探索能力和动手操作能力的考查，特别是二次函数与一元二次方程、三角形的面积、三角形边角关系、圆的切线以及圆的有关线段组成的综合题，主要考查综合运用数学思想和方法分析问题并解决问题的能力，同时也考查计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和创造能力.知识网络结构图 二次函数的概念 二次函数的图象开口方向 对称轴顶点坐标增减性专题总结及应用一、知识性专题专题1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质【专题解读】 对二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质的考查一直是各地中考必考的重要知识点之一，一般以填空题、选择题为主，同时也是综合性解答题的基础，需牢固掌握． 例1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图26－84所示，则下列结论：①a ＞0；②c ＞0；③b 2－4ac ＞0．其中正确的个数是 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二次函数二次函数的性质 二次函数的应用 一元二次方程的近似解 一元二次不等式的解集 二次函数的最大(小)值 在实际问题中的应用分析 ∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；∵抛物线与y 轴交于正半铀，∴c ＞0;∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0．故②③正确．故选C ．【解题策略】 解此类题时，要注意观察图象的开口方向、与y 轴交点的位置以及与x 轴交点的个数．例 2 若y ＝ax 2＋bx ＋c ，则由表格中的信息可知y 与x 之间的函数关系式是( )x-1 0 1 ax 21 ax 2+bx +c 8 3A ．y ＝x 2－4x ＋3B ．y ＝x 2－3x ＋4C ．y ＝x 2－3x ＋3D ．y ＝x 2－4x ＋8分析 由表格中的信息可知，当x ＝1时，ax 2＝1，所以a ＝1．当x =－1时，ax 2＋bx ＋c ＝8，当x ＝0时，ax 2＋bx ＋c ＝3，所以c ＝3，所以1×(－1)2＋b ×(－1)＋3＝8，所以b ＝－4．故选A ．【解题策略】 本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，解决此题的突破口是x ＝1时，ax 2＝1，x ＝0时，ax 2＋bx ＋c ＝3和x ＝－1时，ax 2＋bx ＋c ＝8．例3 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的大致图象如图26－85所示，则函数y ＝ax ＋b 的图象不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限分析 由图象可知a ＜0，2b a＜0，则b ＜0，所以y ＝ax ＋b 的图象不经过第一象限．故选A ．【解题策略】 抛物线的开口方向决定了a 的符号，b 的符号由抛物线的开口方向和对称轴共同决定．例4 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a ＞0，b ＞0，c ＜0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．其中正确的个数为 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个分析 由a ＞0，得抛物线开口向上，由2b a -＜0，得对称轴在y 轴左侧，由c ＜0可知抛物线与y 轴交于负半轴上，可得其大致图象如图26—86所示，因此顶点在第三象限，故①③正确．故选C .【解题策略】 此题考查了二次函数的开口方向、对称轴、顶点等性质，解题时运用了数形结合思想．例5 若A 113,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 25,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 31,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为二次函数y ＝x 2＋4x ＋5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 ( )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 2分析 因为y ＝x 2＋4x ＋5的图象的对称轴为直线x ＝－2，所以x =134-与x ＝－34的函数值相同，因为抛物线开口向上，所以当54-＜34-＜14时，y 2＜y 1＜y 3．故选B ． 【解题策略】 此题考查了抛物线的增减性和对称轴，讨论抛物线的增减性需在对称轴的同侧考虑，因此将x =134-的函数值转化为x ＝－34的函数值． 例6 在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋1与y ＝－32(x －1)2的图象大致是(如图26—87所示) ( )分析 直线y ＝－x ＋1与y 轴交于正半轴，抛物线y ＝－32(x －1)2的顶点为(1，0)，且开口向下．故选D ．专题2 抛物线的平移规律【专题解读】 当二次函数的二次项系数a 相同时，图象的形状相同，即开口方向、大小相同，只是位置不同，所以它们之间可以进行平行移动，移动时，其一，把解析式y ＝ax 2＋bx ＋c 化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式；其二，对称轴左、右变化，即沿x 轴左、右平移，此时与k 的值无关；顶点上、下变化，即沿y 轴上、下平移，此时与h 的值无关．其口诀是“左加右减，上加下减”．例7 把抛物线y ＝－2x 2向上平移1个单位，得到的抛物线是 ( )A ．y ＝－2(x ＋1)2B ．y ＝－2(x －1)2C ．y ＝－2x 2＋1D ．y ＝－2x 2－1分析 原抛物线的顶点为(0，0)，向上平移一个单位后，顶点为(0，1)．故选C ．【解题策略】 解决此题时，可以用“左加右减，上加下减”的口诀来求解，也可以根据顶点坐标的变化来求解．例8 把抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＋5，则 ( )A ．b ＝3，c ＝7B ．b ＝6，c ＝3C ．b ＝－9，c ＝－5D ．b ＝－9，c ＝21分析 y ＝x 2－3x ＋5变形为y ＝232x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋5－94，即y ＝232x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋114，将其向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得抛物线y ＝2332x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＋114＋2，即y ＝x 2＋3x ＋7，所以b ＝3，c ＝7．故选A ．【解题策略】 此题运用逆向思维解决了平移问题，即抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到y ＝x 2－3x ＋5，那么抛物线y ＝x 2－3x ＋5则向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线y ＝x 2＋bx ＋c ．专题3 抛物线的特殊位置与函数关系的应用【专题解读】若抛物线经过原点，则c ＝0，若抛物线的顶点坐标已知，则2b a-和244ac b a -的值也被确定等等，这些都体现了由抛物线的特殊位置可以确定系数a ，b ，c 以及与之有关的代数式的值．例9 如图26－88所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2＋3ax ＋a 2－1的图象，则a 的值是 .分析 因为图象经过原点，所以当x ＝0时，y ＝0，所以a 2－1=0，a ＝±1，因为抛物线开口向下，所以a ＝－1.故填－1:专题4 求二次函数的最值【专题解读】 在自变量x 的取值范围内，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在顶点24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭处取得最值．当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，顶点最低，当x ＝2b a-时，y 有最小值为244ac b a -；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，顶点最高，当x ＝2b a-时，y 有最大值为244ac b a-． 例10 已知实数x ，y 满足x 2＋2x ＋4y ＝5，则x ＋2y 的最大值为 .分析 x 2＋2x ＋4y ＝5，4y ＝5－x 2－2x ，2y ＝12(5－x 2－2x )，x ＋2y ＝12(5－x 2－2x )＋x ，整理得x ＋2y ＝－12x 2＋52.当x ＝0时，x ＋2y 取得最大值，为52．故填52． 专题 5 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系【专题解读】 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，可以用函数的观点来理解方程的解和不等式的解集．已知函数值，求自变量的对应值，就是解方程，已知函数值的范围，求对应的自变量的取值范围，就是解不等式．例11 已知二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点(2，0)，(－1，6)．(1)求二次函数的解析式；(2)不用列表，画出函数的图象，观察图象，写出当y ＞0时x 的取值范围．分析 (1)列出关于a ，b 的方程组，求a ，b 的值即可．(2)观察图象求出y ＞0的解集．解：(1)由题意可知，当x ＝2时，y ＝0，当x ＝－1时，y ＝6，则420,6,a b a b +=⎧⎨-=⎩解得2,4.a b =⎧⎨=-⎩∴二次函数的解析式为y ＝2x 2－4x ．(2)图象如图26—89所示，由图象可知，当y ＞0时，x ＜0或x ＞2．【解题策略】 求二次函数的解析式，其实质就是先根据题意寻求方程组，并解方程组，从而使问题得到解决．二、规律方法专题专题6 二次函数解析式的求法【专题解读】用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条件，根据不同的条件，选择不同的设法．(1)设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若已知条件是图象经过三个点，则可设所求的二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，即可求出a，b，c的值．(2)设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．(3)设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．(4)设对称点式：y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)．若已知二次函数图象上的对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求的二次函数解析式为y ＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)，将已知条件代入，求得待定系数a,m，最后将解析式化为一般式．例12 根据下列条件求函数解析式．(1)已知二次函数的图象经过点(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)，求这个二次函数的解析式；(2)已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)，求此抛物线的解析式；(3)已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(1，0)两点，且经过点M(0，1)，求此抛物线的解析式；(4)已知抛物线经过(－3，4)，(1，4)和(0，7)三点，求此抛物线的解析式．分析(1)已知图象上任意三点的坐标，可选用一般式，从而得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，即可得到二次函数的解析式．(2)已知抛物线的顶点坐标，应选用顶点式．(3)由于A(－l，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，因此应选用交点式．(4)显然已知条件是抛物线经过三点，故可用一般式，但由于(－3，4)，(1，4)是抛物线上两个对称点，因此选用对称点式更简便．解：(1)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c 将(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)分别代入，得6,2,423,a b ca b ca b c-+=-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得1,2,5.abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴所求的二次函数的解析式为y＝x2＋2x－5．(2)∵抛物线的顶点为(－1，－3)，∴设其解析式为y＝a(x＋1)2－3，将点(0，－5)代入，得－5＝a－3，∴a＝－2，∴所求抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)2－3．即y＝－2x2－4x－5．(3)∵点A(－1，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)，将点M(0，1)代入，得1＝－a，∴a＝－1，∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y=－x2＋1(4)∵抛物线经过(－3，4)，(1，4)两点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)＋4，将点(0，7)代入，得7＝a·3·(－1)＋4，∴a＝－1，∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＋4，即y＝－x2－2x＋7．【解题策略】(1)求二次函数解析式的4种不同的设法是指根据不同的已知条件寻求最简的求解方法，它们之间是相互联系的，不是孤立的.(2)在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特别是当已知条件不是上述所列举的4种情形时，应灵活地运用不同的方法来求解，以达到事半功倍的效果．(3)求，函数解析式的问题，如果采用交点式、顶点式或对称点式，最后要将解析式化为一般形式．三、思想方法专题专题7 数形结合思想【专题解读】 把问题的数量关系和空间形式结合起来考查，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，也可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究．例13 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图26－90所示，则点A (a ，b )在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限分析 由图象开口方向向下可知a ＜0，由对称轴的位置可知x ＝2b a-＞0，所以b ＞0，故点A 在第二象限．故选B ．【解题策略】 解决此题的关键是观察图象的开口方向以及对称轴的位置．专题8 分类讨论思想【专题解读】 分类讨论是对问题的条件逐一进行讨论，从而求得满足题意的结果． 例14 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，与x 轴交于B (1，0)，C (5，0)两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；(3)若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上某点(设为点E )，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F )，最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E ，F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．分析 (1)用待定系数法求a ，b ，c 的值．(2)用分类讨论法求直线CD 的解析式．(3)根据轴对称解决最短路径问题.解：(1)根据题意，得c =3，所以30,25530,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得3,518.5a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以抛物线的解析式为y ＝35x 2－185x ＋3． (2)依题意可知，OA 的三等分点分别为(0，1)，(0，2)，设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ，当点D的坐标为(0，1)时，直线CD的解析式为y＝－15x＋1，当点D的坐标为(0，2)时，直线CD的解析式为y＝－25x＋2．(3)由题意可知M30,2⎛⎫⎪⎝⎭，如甲26－91所示，点M关于x轴的对称点为M′3 0,2⎛⎫-⎪⎝⎭，点A关于抛物线对称轴x＝3的对称点为A′(6，3)，连接A′M′，根据轴对称性及两点间线段最短可知，A′M′的长就是点P运动的最短总路径的长．所以A′M′与x轴的交点为所求的E点，与直线x＝3的交点为所求的F点．可求得直线A′M，的解析式为y＝34x－32．所以E点坐标为(2，0)，F点坐标为3 3,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，由勾股定理可求出A′M′＝152．所以点P运动的最短总路径(ME＋EF＋F A)的长为152．【解题策略】(2)中点D的位置不确定，需要分类讨论，体现了分类讨论的数学思想．(3)中的关键是利用轴对称性找到E，F两点的位置，从而求出其坐标，进而解决问题．专题9 方程思想【专题解读】求抛物线与坐标轴的交点坐标时，可转化为二次函数y＝0或x＝0，通过解方程解决交点的坐标问题．求抛物线与x轴的交点个数问题也可以转化为求一元二次方程根的情况．例15 抛物线y＝x2－2x＋1与x轴交点的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个分析可设x2－2x＋1＝0，Δ＝(－2)2－4×1×1＝0，可得抛物线y＝x2－2x＋1与x轴只有一个交点．故选B．【解题策略】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的个数可由一元二次方程ax2＋bx＋c＝o(a≠0)的根的个数来确定．专题10 建模思想【专题解读】 根据实际问题中的数量关系建立二次函数关系式，再用二次函教的性质来解决实际问题．例16 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若以每箱50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天的销售量y (箱)与销售价x (元／箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润W (元)与销售价x (元／箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少?分析 (1)原来每箱售价50元，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，若提高(x －50)元，则平均每天少销售3(x －50)箱，所以提价后每天销售[90－3(x －50)]箱，即y ＝90－3(x －50).(2)每天的销售利润可用(x －40)[90－3(x －50)]来表示．(3)建立W 和x 之间的二次函数关系式，利用二次函数的最值求利润的最值．解：(1)y ＝90－3(x －50)，即y ＝－3x ＋240．(2)W ＝(x －40)(－3x ＋240)＝－3x 2＋360x －9600，(3)∵a ＝－3＜0，∴当x ＝2b a＝60时，W 有最大值， 又∵当x ＜60时，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝55时，W 取得最大值为1125元，即每箱苹果的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润．【解题策略】 求实际问题的最值时，可通过建立二次函数关系式，根据二次函数的最值来求解．例17 某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，可获利25％，设每双鞋的成本价为a 元．(1)试求a 的值；(2)为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每年投入广告费为x (万元)，则产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 与x 之间的关系如图26—92所示，可近似看作是抛物线的一部分．①根据图象提供的信息，求y 与x 之间的函数关系式；②求年利润S(万元)与广告费x(万元)之间的函数关系式，并计算广告费x(万元)在什么范围内时，公司获得的年利润S(万元)随广告费的增多而增多．(注：年利润S＝年销售总额－成本费－广告费)解：(1)由题意得a(1＋25％)＝250，解得a＝200(元)．(2)①依题意可设y与x之间的函数关系式为y＝ax2＋bx＋1，则421 1.36,1641 1.64,a ba b++=⎧⎨++=⎩，解得0.01,0.2,ab=-⎧⎨=⎩∴y＝－0.01x2＋0.2x＋1．②S＝(－0.01x2＋0.2x＋1)×10×250－10×200－x,即S＝－25x2＋499x＋500，整理得S=－25(x－9.98)2＋2990.01．∴当0≤x≤9．98时，公司获得的年利润随广告费的增多而增多．例18 某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有5间客房空闲．(注：宾馆客房是以整间出租的)(1)若某天每间客房的定价增加了20元，则这天宾馆客房收入是元；(2)设某天每间客房的定价增加了x元，这天宾馆客房收入y元，则y与x的函数关系式是；(3)在(2)中，如果某天宾馆客房收入y＝17600元，试求这天每间客房的价格是多少元．分析本题是用二次函数解决有关利润最大的问题，由浅入深地设置了三个问题．解：(1)18000(2)y=12-x2＋10x＋18000(3)当y＝17600时，－12x2＋10x＋400=0，即x2－20x－800＝0．解得x＝－20(舍去)或x＝40．180＋40＝220，所以这天每间客房的价格是220元．例19 （09·泰安）如图26－93(1)所示，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝3-x＋m与x轴交于点E．(1)求点E的坐标；(2)求过A，O，E三点的抛物线的解析式．解：(1)如图26－93(2)所示，过A作AF⊥x轴于F，则OF=OAcos 60°=1，AF=OFtan 60°3∴点A(13．代入直线解析式，得3×1＋m3m43∴y=3x43当y=0时，3x43，解得x＝4，∴点E(4，0)．(2)设过A，O，E三点的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵抛物线过原点，∴c＝0，∴3,1640,a ba b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得343ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为y＝3243.例20 如图26－94所示，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．(1)求点B的坐标；(2)求过点A，O，B的抛物线的表达式．解：(1)如图26－95所示，过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，则AF＝2，OF＝1．∵OA⊥OB，∴∠AOF＋∠BOE＝90°．又∵∠BOE＋∠OBE＝90°，∴∠AOF＝∠OBE．∴Rt△AFO∽Rt△OEB．∴BE OE OBOF AF OA==＝2∴BE＝2，OE＝4．∴B(4，2)．(2)设过点A(－1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c．则2,1642,0.a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得1,23,20.abc⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴所求抛物线的表达式为y＝12x2－32x.例21如图26－96所示，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．解：(1)已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(0，2)两点，∴01,200,b cc=++⎧⎨=++⎩解得3,2,bc=-⎧⎨=⎩∴所求抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2．(2)∵A(1，0)，B(0，2)，∴OA＝1，OB＝2，可得旋转后C点的坐标为(3，1)．当x＝3时，由y=x2－3x＋2得y＝2，可知抛物线y＝x2－3x＋2过点(3，2)．∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C∴平移后的抛物线的解析式为y＝x2－3x＋1．例22 如图26－97所示，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(－1，0)，C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC 对称的点的坐标．解：(1)∵抛物线y=ax2＋bx－4a经过A(－1，0)，C(0，4)两点，∴40,4 4.a b aa--=⎧⎨-=⎩解得1,3. ab=-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4．(2)如图26－98所示，点D(m，m＋1)在抛物线上，∴m＋1＝－m2＋3m＋4，即m2－2m－3＝0，∴m＝－1或m＝3．∵点D在第一象限，∴点D的坐标为(3，4)．由(1)得B点的坐标为(4，0)，∴OC=OB，∴∠CBA＝45°．设点D关于直线BC的对称点为点E．∵C(0，4)，∴CD∥AB，且CD＝3，∴∠ECB＝∠DCB＝45°，∴E点在y轴上，且CE＝CD＝3．∴OE＝1，∴E(0，1)．即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0，1)．综合验收评估测试题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题1．抛物线y＝－3(x－2)2＋9的对称轴、开口方向和顶点坐标分别为( ) A．对称轴为x＝－2，开口向下，顶点坐标为(2，9)B．对称轴为x＝2，开口向下，顶点坐标为(2，9)C．对称轴为x＝－2，开口向下，顶点坐标为(－2，9)D．对称轴为x＝2，开口向下，顶点坐标为(－2，－9)2．将抛物线y＝－(x＋1)2－3向上平移3个单位，所得抛物线的顶点坐标为( ) A．(－1，0) B．(1，0) C．(1，－6) D．(－1，－6)3．下列四个函数：①y＝2x；②y＝2x；③y＝3－2x；④y＝2x2＋x(x≥0)．其中在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大的函数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知点A(1，y1)，B(－2，y2)，C(－2，y3)在函数y＝2(x＋1)2－12的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y1＞y3＞y2D.y2＞y1＞y35．如图26－99所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c与两个坐标轴的交点分别为A，B，E，且△ABE 是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列式子不成立的是( )A．b＝0 B．S△ABE＝c2C．ac＝－1 D．a＋c＝06．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图26－100所示，则下列判断正确的是( )A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＞0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＜0，c ＜07．已知二次函数y ＝x 2－2x ＋1，则它的图象大致为(如图26－101所示) ( )8．有3个二次函数，甲：y ＝x 2－1；乙：y ＝－x 2＋1；丙：y ＝x 2＋2x －1．下列叙述正确 的是 ( )A ．甲的图象经过适当的平移后，可以与乙的图象重合B ．甲的图象经过适当的平移后，可以与丙的图象重合C ．乙的图象经过适当的平移后，可以与丙的图象重合D ．甲、乙、丙3个图象经过适当的平移后，都可以重合9．已知关于x 的不等式组3,155x a x a-⎧⎨-⎩≥≤无解，则二次函数y =(a －2)x 2－x ＋14的图象与x 轴 ( )A ．没有交点B ．相交于两点C ．相交于一点D ．相交于一点或没有交点 10．如图26－102所示，二次函数y ＝ax 2＋x ＋a 2－1的图象可能是 ( )二、填空题11．请写出一个开口向上、与y 轴交点的纵坐标为－1，且经过点(1，3)的抛物线的解析式： ．12．二次函数y ＝x 2－2x －3的最小值是 ．13；如果函数y ＝(k －1)22kk x -+＋kx －1是关于x 的二次函数，则k ＝ ． 14．抛物线y ＝12(x －2)2＋1的对称轴是直线 ，顶点坐标为 ．15．用配方法将二次函数y＝4x2－24x＋26写成y＝a(x－h)2＋k的形式是．16．将y＝3x2的图象向平移2个单位，再向平移3个单位，就得到y＝3(x ＋2)2－3的图象．17．二次函数y=x2＋bx＋c的图象如图26－103所示，当函数值y＜0时，对应的x的取值范围是．18．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(－1，0)，B(3，0)两点，其顶点坐标为．19．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图26－104所示，P＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，Q＝|a＋b ＋c|＋|2a－b|，则P，Q的大小关系为．20．初三数学课本上，用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的囱象时，列了如下表格：x …－2 －1 0 1 2 …y …－162－4 －122－2 －12…根据表格中的信息，该二次函数y＝ax2＋bx＋c在x＝3时，y＝.三、解答题21．用周长为6 m的铝合金制成如图26－105所示的窗框，则宽和高各为多少时，窗户的透光面积最大?最大面积是多少?22．如图26－106所示，⊙O1，⊙O2外切于点P，点P在y轴上，⊙O1，⊙O2分别与x轴相切于A，B两点．(1)求证P A⊥PB；(2)若点A(－1，0)，B(4，0)，求过A，B，P三点的抛物线的解析式；(3)(2)中所确定的抛物线的顶点是否在⊙O1与⊙O2的圆心的连线上?23．抛物线y＝－x2＋(m－1)x＋m与y轴交于点(0，3)．(1)求m的值，并在图26－107中画出这条抛物线；(2)求抛物线与x轴的交点坐标和抛物线的顶点坐标；(3)当x取何值时，抛物线在x轴上方?(4)当x取何值时，y的值随x的增大而减小?24．某农用车生产企业上年度生产农用车的投入成本为0.5万元／辆，出厂价为0.6万元／辆，年销售量为10万辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当地增加投入成本，若每辆车投入成本增加的百分率为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的百分率为0.75x，同时预计年销售量增加的百分率为0.6x．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y(万元)与每辆车投入成本增加的百分率x之间的函数关系式；(2)当每辆车投入成本增加的百分率为多少时，本年度的利润与上年度持平?(结果保留小数点后一位)25．已知抛物线经过点A(2，0)和B(6，0)，最高点C的纵坐标为1．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴交x轴于点D，抛物线交y轴于点E，请在抛物线上另找一点P，先分别求出点A，C，E，P到点D的距离，再求这些点与直线y＝2的距离；(3)你发现这条抛物线上的点具有何种规律?26．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0，b＞0)的图象经过(0，y1)，(1，y2)和(－1，y3)三点，且满足y12＝y22＝y32＝1．(1)求这个二次函数的关系式；(2)设这个二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，其中．x1＜x2，C为图象的顶点，连接AC，BC，动点P从A点出发沿折线ACB运动，求△ABP的面积的最大值．27．如图26－108所示，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝14x 2－6与直线y ＝12x 相交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的长；(2)若一个扇形的周长等于(1)中线段AB 的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大?最大面积是多少?(3)如图26－109所示，线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C ，D 两点，垂足为点M ，分别求出OM ，OC ，OD 的长，并验证等式222111OC OD OM +=是否成立．参考答案1．B 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．B8．B [提示：丙函数y ＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，所以甲函数y ＝x 2－1的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，即可得到丙函数的图象．]9．A [提示：解不等式组得a ＞3，Δ＝3－a ＜0．]10．B [提示：把x ＝0代入y ＝ax 2＋x ＋a 2－1，得y ＝a 2－l ，因为a ≠0，所以对称轴x ＝12a -≠0，所以C ，D 选项是不正确的，若选项A 是正确的，则a ＝±1，当a ＝1时，12a -＝12-，即对称轴应为直线x ＝－12，故选项A 错误，若选项B 是正确的，则a ＝－1，对称轴为直线x ＝12(1)-⨯-＝12，因此选项B 是正确的．] 11．y ＝4x 2－1(答案不唯一)[提示：∵抛物线经过点(0，－1)，(1，3)，∴1,3,c a b c =-⎧⎨++=⎩，∴a。
2012年中考数学试题分类解析汇编(二次函数)
中考数学试题分类解析汇编专题二次函数的图象与性质一、选择题1.（龙岩）下列函数中，当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大的有（ ） ①y=x ②y=－2x ＋1 ③1y=x-④2y=3xA ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个2.（北海）已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为（ ）A ．（－2，－1）B ．（2，1） C ．（2，－1）D ．（－2，1） 3.（南宁）如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系不正确的是（ ）A ．k=n B ．h=m C ．k ＜n D ．h ＜0，k ＜04.（南宁）已知二次函数y=ax 2＋bx ＋1，一次函数y=k （x －1）－2k4，若它们的图象对于任意的非零实数k 都只有一个公共点，则a ，b 的值分别为（ ）A ．a=1，b=2 B ．a=1，b=-2 C ．a=-1，b=2D ．a=-1，b=-25.（玉林）二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图像如图所示，其对称轴为x =1，有如下结论： ① c ＜1 ②2a +b =0 ③2b ＜4ac ④若方程2ax bx c 0++=的两个根为1x ，2x ，则1x +2x =2. 则结论正确的是（ ）A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④6.（贵阳）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＜0）的图象如图所示，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ） A ．有最小值﹣5、最大值0 B ．有最小值﹣3、最大值6 C ．有最小值0、最大值6 D ．有最小值2、最大值67.（黔南）已知抛物线2y=x x 1--与x 轴的交点为（m ，0），则代数式2m m+2011-的值为（ ）A ．2009B ．2012C ．2011D ．2010 8.（黔西南）如图，抛物线21y=x +bx 22-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （－1，0），点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，m 的值是（ ）（A ）2540（B ）2441（C ）2340（D ）25419.（鞍山）如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点B坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b 2﹣4ac ＞0．其中正确的结论是（ ）A ．①④ B．①③ C．②④ D．①②10.（大连）如图，一条抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，其顶点P 在折线C －D －E 上移动，若点C 、D 、E 的坐标分别为（－1，4）、（3，4）、（3，1），点B 的横坐标的最小值为1，则点A 的横坐标的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.411.（常州）已知二次函数()()2y=a x 2+c a 0>-，当自变量x 分别取，3，0时，对应的值分别为123y y y ，，，则123y y y ，，的大小关系正确的是（ ）A. 321y y y <<B. 123y y y <<C. 213y y y <<D. 312y y y <<12.（镇江）关于x 的二次函数()()y=x+1x m -，其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m 的取值范围是（ ） A. m<1- B. 1<m <0- C. 0<m <1 D. m>1 13.（杭州）已知抛物线()3y k x 1x k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 14.（湖州）如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）A ．．3 D ．415.（衢州）已知二次函数y=﹣x 2﹣7x+，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＞y 3＞y 1 D ．y 2＜y 3＜y 116.（义乌）如图，已知抛物线y 1=﹣2x 2+2，直线y 2=2x+2，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．例如：当x=1时，y 1=0，y 2=4，y 1＜y 2，此时M=0．下列判断：①当x ＞0时，y 1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小；③使得M 大于2的x 值不存在； ④使得M=1的x 值是或．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④二、填空题1.（贵港）若直线y ＝m （m 为常数）与函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（x≤2）4x（x ＞2）的图像恒有三个不同的交点，则常数m 的取值范围是 。
(中考数学复习)第18讲-二次函数综合应用-课件-解析
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浙派名师中考 (2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理 由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 解：(1)把x＝0，y＝2，及h＝2.6代入到y＝a(x－6)2＋h中，
B．4 s
C．3 s
D．2 s
B
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浙派名师中考 B
图18－1
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4．(2013·宁波)如图18－2所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过(3，0)，下列结论
中，正确的一项是
( D )
图18－2 A．abc<0 B．2a＋b<0 C．a－b－c<0 D．4ac－b2<0
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5．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成 的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈 钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图18－3所示)， 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( C )
函数图象得
∴函数关系式为y＝－x＋180.
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(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是 商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最 大，最大利润是多少？ 解： W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180) ＝－x2＋280x－18 000 ＝－(x－140) 2＋1 600， 当售价定为140元，W最大＝1 600. ∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1 600元．
2012年二次函数中考大题总结附答案
式 h=-5t2+150t+10 表示．经过______s，火箭达到它的最高点．
【答案】15
（六）二次函数与一元二次方程 1、（2010 安徽蚌埠二中）已知：如图在 Rt△ABC 中，斜边 AB＝5 厘米，BC＝ a 厘米，AC
＝b 厘米， a ＞b，且 a 、b 是方程 x2 − (m −1)x + m + 4 = 0 的两根。
x2
b
（3）因为 w= − + 34x + 8000 ，所以当 x= − ，即 x=170 时，利润最大，此时订房数
10
2a
x
y=50- =33．此时的利润是 5110 元．
10
2、（2010 湖北荆门）某商店经营一种小商品，进价为 2.5 元，据市场调查，销售单价是 13.5 元时平均每天销售量是 500 件，而销售单价每降低 1 元，平均每天就可以多售 出 100 件.
M
② 几秒后重叠部分的面积等于 3 平方厘米？ 8
【答案】⑴ a =4，b=3
⑵①
3 y=
x2
− 3x +
6
8
(0 ≤ x ≤ 4)
B' B C' C
7
②经过 3 秒后重叠部分的面积等于 3 平方厘米。 8
2、
（七）综合运用
1、（2010 湖北武汉）某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 180 元时，
中正确的是（▲）
A．a＞0
B．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大
C．c＜0
D．3 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的一个根
【答案】D
（五）二次函数的最值的判断与求解
1、（2011 浙江温州，9，4 分）已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示．关于该函数在所给自
2012年二次函数中考试题汇编2012年二次函数中考试题汇编
2012年二次函数中考试题汇编 达州市19．（6分）大学生王强积极响应“自主创业”的号召，准备投资销售一种进价为每件40元的小家电.通过试营销发现，当销售单价在40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示. （1）求y 与x 的函数关系式.（2）设王强每月获得的利润为p （元）,求p 与x 之间的函数关系式；如果王强想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为多少元？21．（8分）问题背景若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为x ，面积为s ，则s 与x 的函数关系式为： x x x s (212+-=﹥0），利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值. 提出新问题若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？分析问题若设该矩形的一边长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为：)1(2xx y += （x ﹥0），问题就转化为研究该函数的最大（小）值了. 解决问题借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数)1(2xx y +=（x ﹥0）的最大（小）值.（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数)1(2xx y +=（x ﹥0）的图象：（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当x = 时，函数)1(2xx y +=（x ﹥0）有最 值（填“大”或“小”），是 .（3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数x x x s (212+-=﹥0）的最大值，请你尝试通过配方求函数)1(2xx y +=（x ﹥0）的最大（小）值，以证明你的猜想. 〔提示：当x ＞0时，2)(x x =〕23．（12分）如图1，在直角坐标系中，已知点A （0，2）、点B （-2，0），过点B 和线段OA的中点C 作直线BC ，以线段BC 为边向上作正方形BCDE. （1）填空：点D 的坐标为（ ），点E 的坐标为（ ）.（2）若抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 经过A 、D 、E 三点，求该抛物线的解析式. （3）若正方形和抛物线均以每秒5个单位长度的速度沿射线BC 同时向上平移，直至正方形的顶点E 落在y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动. ①在运动过程中，设正方形落在y 轴右侧部分的面积为s ，求s 关于平移时间t （秒）的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围.②运动停止时，求抛物线的顶点坐标.东营市24．（本题满分11分）已知抛物线36232++=bx x y 经过 A （2，0）． 设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ． （1）求b 的值，求出点P 、点B 的坐标； （2）如图，在直线 y=3x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，使△AMP ≌△AMB ？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．试卷试题景仁博闻强识／善叙前言往行／玄每与之言／不倦也／玄出行／殷仲文卞范之之徒／皆骑A PB xyO x y 3=2012年广西柳州市24．已知：抛物线23(1)34y x =--． （1）写出抛物线的开口方向、对称轴；（2）函数y 有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；（3）设抛物线与y 轴的交点为P ，与x 轴的交点为Q ，求直线PQ 的函数解析式．【考点】二次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；抛物线与x 轴的交点．【分析】（1）根据二次函数的性质，写出开口方向与对称轴即可；（2）根据a 是正数确定有最小值，再根据函数解析式写出最小值；（3）分别求出点P 、Q 的坐标，再根据待定系数法求函数解析式解答．【解答】解：（1）抛物线23(1)34y x =--， ∵a=34=＞0， ∴抛物线的开口向上， 对称轴为x=1； （2）∵a=34=＞0， ∴函数y 有最小值，最小值为－3；（3）令x=0，则239(01)344y =--=- ， 所以，点P 的坐标为（0，94- ），令y=0，则23(1)304x --=，解得x 1=-1，x 2=3，所以，点Q 的坐标为（-1，0）或（3，0），当点P（0，94-），Q（-1，0）时，设直线PQ的解析式为y=kx+b，则94bk b⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩，解得k=94-，b=94-，所以直线PQ的解析式为9944y x=--，当P（0，94-），Q（3，0）时，设直线PQ的解析式为y=mx+n，则9430nm n⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得m=34，n=-94-，所以，直线PQ的解析式为3944y x=-，综上所述，直线PQ的解析式为y=-9 4 x-9 4 或y=3 4 x-9 4 ．26．如图，在△ABC中，AB=2，AC=BC= 5 ．（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出A、B、C三点的坐标；（2）求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式；（3）若D为抛物线上的一动点，当D点坐标为何值时，S△ABD=12S△ABC；（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点A′B′，与y轴交于点C′，当平移多少个单位时，点C′同时在以A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）．附：阅读材料一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元二次方程求解．如解方程：y 4-4y 2+3=0．解：令y 2=x （x ≥0），则原方程变为x 2-4x+3=0，解得x 1=1，x 2=3．当x 1=1时，即y 2=1，∴y 1=1，y 2=-1． 当x 2=3，即y 2=3，∴y 3= 3 ，y 4=- 3 ．所以，原方程的解是y 1=1，y 2=-1，y 3= 3 ，y 4=- 3 ．再如22x -，可设y = ，用同样的方法也可求解．【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据y 轴是AB 的垂直平分线，则可以求得OA ，OB 的长度，在直角△OAC中，利用勾股定理求得OC 的长度，则A 、B 、C 的坐标即可求解；（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （3）首先求得△ABC 的面积，根据S △ABD =12S △ABC ，以及三角形的面积公式，即可求得D 的纵坐标，把D 的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标．（4）设抛物线向右平移c 个单位长度，则0＜c ≤1，可以写出平移以后的函数解析式，当点C ′同时在以A ′B ′为直径的圆上时有：OC ′2=OA •OB ，据此即可得到一个关于c 的方程求得c 的值．【解答】解：（1）∵AB 的垂直平分线为y 轴，∴OA=OB=12AB=12×2=1， ∴A 的坐标是（-1，0），B 的坐标是（1，0）．在直角△OAC 中，==OC 2， 则C 的坐标是：（0，2）；（2）设抛物线的解析式是：y=ax 2+b ，根据题意得：02a b b +=⎧⎨=⎩ ，解得：22a b =-⎧⎨=⎩，则抛物线的解析式是：222y x =-+； （3）∵S △ABC =12AB •OC=12×2×2=2， ∴S △ABD =12S △ABC =1．设D 的纵坐标是m ，则12AB •|m|=1， 则m=±1．当m=1时，-2x 2+2=1，解得：x=±2，当m=-1时，，-2x 2+2=-1，解得：x=±2，则D 的坐标是：（2，1）或（- 2，1-1），或（- -1）．（4）设抛物线向右平移c 个单位长度，则0＜c ≤1，OA ′=1-c ，OB ′=1+c ．平移以后的抛物线的解析式是：y=-2（x-c ）2+b ．令x=0，解得y=-2c 2+2．即OC ′= -2c 2+2．当点C ′同时在以A ′B ′为直径的圆上时有：OC ′2=OA ′•OB ′，则（-2c 2+2）2=（1-c ）（1+c ）， 即（4c 2-3）（c 2-1）=0，解得：c=2 ，2-（舍去），1，1-（舍去）．或1个单位长度． 湖北省黄石市201225.（本小题满分10分）已知抛物线1C 的函数解析式为23(0)y ax bx a b =+-<，若抛物线1C 经过点(0,3)-，方程230ax bx a +-=的两根为1x ，2x ，且124x x -=。
(最新最全)2012年全国各地中考数学解析汇编25章_二次函数
（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第二十五章二次函数25.1 二次函数25.2二次函数的图像25.3 用待定系数法求二次函数关系式25.4 用函数观点看一元二次方程（2012年四川省德阳市，第9题、3分．）在同一平面直角坐标系内，将函数1x=xy的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后+422+再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是A.（1-，1）B.（1，2-）D.（1，1-）-）C.（2，2【解析】根据二次函数的平移不改变二次项的系数，先把函数x=xy变成顶点式，再按照“左加右减，上加下减”的规律，把1+422+y=2++的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位．即可241x x求得新抛物线的顶点。
【答案】函数12(1)1y xy变形为2=+-平移后的解析式为=x422++x2=--，所以顶点为（1，-2）．故选B.2(1)2y x【点评】抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．（2012山东泰安，12，3分）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A. 2y x=-+3(2)3=++ B.2y x3(2)3C.23(2)3y x =+-D.23(2)3y x =--【解析】平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，3），因为平移抛物线的形状不变，所以平移后的抛物线的解析式为：y=3(x+2)2+3.【答案】A.【点评】主要考查抛物线的平移，左右平移变化横坐标，上下平移变化纵坐标，特别注意符号的不同，关键抓住顶点的变化，二次函数y=a(x-h)2+k 的顶点坐标为（h,k ）.（2012四川内江，12，3分）如图5，正三角形ABC 的边长为3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止．设运动时间为x （秒），y ＝PC 2，则y 关于x 的函数的图象大致为A ．B ．C ．D ．【解析】当点P 在AB 上，如下图所示，过点C 作CP ′⊥AB ，可以发现点P 由A 向B 运动过程中，CP 长由大变小，直到与P ′重合图5时达到最小，然后再由小变大，整个过程需要3秒，根据这一特征可知A，B两选项错误．当点P在BC上，y＝(6－x)2，即y＝(x－6)2，其图象是二次函数图象的一部分，可见D选项也是错误的．故答案选C．图5【答案】C【点评】本题考查了分段函数的概念，同时也考查了二次函数模型以及数形结合的数学思想．上面解法告诉我们根据形的运动特征发现对应图象的变化特征，彼此印证判断，可以避免陷入求解析式的繁琐求解过程中．（2012贵州贵阳，10，3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a<0）的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（）第10题图A.有最小值-5、最大值0B. 有最小值-3、最大值6C.有最小值0、最大值6D. 有最小值2、最大值6解析：根据图象，当-5≤x ≤0时，图象的最高点的坐标是（-2，6），最低点的坐标是（-5，-3），所以当x=-2时，y 有最大值6；当x=-5时，y 有最小值-3.解答：选B ．点评：本题主要考查数形结合思想的运用，解题时，一定要注意：图象的最高（低）点对应着函数的最大（小）值.（2012浙江省义乌市，10，3分）如图,已知抛物线y 1=－2x 2＋2,直线y 2=2x +2,当x 任取一值时,x 对应的函数值分别为y 1、y 2.若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M = y 1=y 2.例如：当x =1时，y 1=0,y 2=4,y 1＜y 2，此时M =0. 下列判断：①当x ＞0时，y 1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小； ③使得M 大于2的x 值不存在； ④使得M =1的x 值是 或 . 其中正确的是 ( )A. ①②B.①④C.②③D.③④ 2122【解析】观察图象可知当x ＞0时，y 1＜y 2，故①不正确；②当x ＜0时，x 值越大，M 值越大，故②不正确；Ｍ＝０时即－2x 2＋2＞２，此不等式无解，故使得M 大于2的x 值不存在；③正确；M =1时，2x +2=1或－2x 2＋2=1，解得x=12或2，故④正确． 【答案】Ｄ【点评】本题综合考查了二次函数、一次函数的图象与性质及一元一次方程和一元二次方程的解法，解答此类题要结合图象认真审题．（2012山东泰安，16，3分）二次函数2()y a x m n =++的；图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过（ ）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限 .D.第一、三、四象限【解析】由二次函数2()y a x m n =++的图象可知其顶点在第四象限，所以-m>0,n<0,m<0, n<0,当m<0, n<0时，由一次函数的性质可得其图象过第二、三、四象限.【答案】C.【点评】由二次函数的图象可确定其顶点坐标的符号；一次函数图象的性质：当k>o,b>o 时，一次函数y=kx+b 过一、二、三象限；当k>o,b<o 时，一次函数y=kx+b 过一、三、四象限；当k<o,b>o 时，一次函数y=kx+b 过一、二、四象限；当k<o,b<o 时，一次函数y=kx+b 过二、三、四象限.（2012山东泰安，19，3分）设A 123(2,),(1,),(2,)y B y C y -是抛物线2(1)y x m =-++上的三点，则123,,y y y 的大小关系为（ ）A.123y y y >>B.132y y y >>C.321y y y >>D.213y y y >>【解析】方法一：把A 、B 、C 三点的坐标分别代入2(1)y x m =-++，得y 1=-1+m, y 2=-4+m, y 3=-9+m,所以123y y y >>.方法二：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）2+a ，如右图，∴对称轴是x=﹣1，∴点A 关于对称轴的点A′是（0，y 1），那么点A′、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小，于是y 1＞y 2＞y 3．故选A ．【答案】A【点评】代入法是比较函数值大小的一种常用方法；数形结合法，当抛物线开口向下的时候离对称轴越近，对应的函数值越大，当抛物线开口向上的时候离对称轴越近，对应的函数值越小。
2012年河北省中考数学试题(解析版)
2012年河北省中考数学试题本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分,考试时间为120分钟．卷Ⅰ（选择题，共30分）2．计算3()ab 的结果是( ）A ．3abB ．3a bC ．33a b D ．3ab[答案] C［考点］ 幂的相关运算：积的乘方[解析］ 幂的运算法则中：()nn nab a b =，依此得333()ab a b = 解： 333()ab a b =,故选C 。
3．图1中几何体的主视图是（ ）[答案] A［考点] 简单几何体的三视图：正视图[解析] 正视图是从正面看所得到的图形，从正面看所得到的图形。
解：正视看所得到的图形是A ，故选A. 4．下列各数中，为不等式组23040x x ->⎧⎨-<⎩解的是（ ）A ．1- Ｂ．0 Ｃ．2 Ｄ．4 [答案］ C[考点] 不等式：一元一次不等式组的解,[解析] 一元一次不等式组解，是使得不等式组中每一个不等式都成立的x 的值。
解：验证:1x =时，230x ->不成立,淘汰A ； 0x =时，230x ->不成立，淘汰B ； 4x =时，40x -<不成立，淘汰D,故选C.5．如图2，CD 是O ⊙的直径，AB 是弦(不是直径），AB CD ⊥于点E ,则下列结论正确的是( ）A ．AE BE >B ．AD BC = C ．12D AEC =∠∠ D ．ADE CBE △∽△[答案］ D[考点］ 圆:圆周角定理、垂径定理、同弧上圆周角与圆心角的关系;相似三角形的判定。
［解析］ 本题逐一排查费时，容易证明ADE CBE △∽△，直接证明即可。
解：在ADE CBE △和△中A C DB ∠=∠⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩（圆内同弧所对的圆周角相等）ADE CBE ∴△∽△(两个角对应相等的两个三角形相似)，故选D 。
6．掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）Ａ．每2次必有1次正面向上 B ．可能有5次正面向上 C ．必有5次正面向上 D ．不可能有10次正面向上 ［答案］ B[考点] 概率：随机事件［解析］ 掷一枚质地均匀的硬币是随机事件,因此A 、C 、D 都错误,故选D 。
2012年中考二次函数(1)附详解。
2012年中考二次函数（一）一．解答题（共30小题）1．（2012•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，﹣）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．2．（2012•资阳）抛物线的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．3．（2012•珠海）如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．4．（2012•株洲）如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．1 / 615．（2012•重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）6．（2012•肇庆）已知二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO﹣tan∠CBO=1．（1）求证：n+4m=0；（2）求m、n的值；（3）当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．7．（2012•湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A 的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？8．（2012•张家界）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=4．点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．（1）分别求出点A、点B的坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．9．（2012•云南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2012•岳阳）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．（1）求C1和C2的解析式；（2）如图②，过点B作直线BE：y=x﹣1交C1于点E（﹣2，﹣），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．11．（2012•益阳）已知：如图，抛物线y=a（x﹣1）2+c与x轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D 两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，，结果可保留根号）12．（2012•义乌市）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？13．（2012•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m）2+n经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1﹣）a．（1）求点A的坐标和∠ABO的度数；（2）当点C与点A重合时，求a的值；（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？14．（2012•宜宾）如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2012•扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2012•盐城）知识迁移当a＞0且x＞0时，因为，所以x﹣+≥0，从而x+≥（当x=）是取等号）．记函数y=x+（a＞0，x＞0）．由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值为2．直接应用已知函数y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则当x=_________时，y1+y2取得最小值为_________．变形应用已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．实际应用已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分，一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？17．（2012•盐城）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=的图象经过点A（2，0）和点B（1，﹣），直线l经过抛物线的顶点且与t轴垂直，垂足为Q．（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t（t≥0）的变化规律为y1=﹣+2t．现以线段OP为直径作⊙C．①当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与⊙C 是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．②若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足P的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2=﹣1+3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a2的最大值．18．（2012•烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．19．（2012•湘潭）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．20．（2012•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O 出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．（1）当点B与点D重合时，求t的值；（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．21．（2012•武汉）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？22．（2012•武汉）如图1，点A为抛物线C1：y=x2﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C（1）求点C的坐标；（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．23．（2012•无锡）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？24．（2012•温州）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）．连接CB，CP．（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；（2）当m＞1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．25．（2012•潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90），记录相关数据得到下表：（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．26．（2012•潍坊）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣1）三点，过坐标原点O 的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D（0，﹣2）作平行于x轴的直线l1、l2．（1）求抛物线对应二次函数的解析式；（2）求证以ON为直径的圆与直线l1相切；（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长．27．（2012•天门）如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．28．（2012•铜仁地区）如图已知：直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C （1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y=﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．29．（2012•泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过B、C两点．（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围．30．（2012•泰安）如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．答案与评分标准一．解答题（共30小题）1．（2012•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，﹣）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．，﹣2）解得：x2=﹣，﹣3+2，BAP==x（x332．（2012•资阳）抛物线的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．x（的纵坐标为：，CB=aa（a=，PB=PG==，（﹣，（﹣k=y=x+解方程+x+2=x+，y=）3．（2012•珠海）如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．，则一次函数解析式为4．（2012•株洲）如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．b=ABO===×=2tt+2t+2﹣x5．（2012•重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4），将（（得：解得：•x+）x﹣=5x﹣=0t=，≈6．（2012•肇庆）已知二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO﹣tan∠CBO=1．（1）求证：n+4m=0；（2）求m、n的值；（3）当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．x==2，=CAO==，CBO==﹣=1化简得：代入得：=；当．，m=，xx解析式得到：x+x+3=7．（2012•湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A 的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？t=5=﹣﹣﹣+t BAO=t=××﹣AN=BAO=t，NM=；AN=时，=t=6，即：t=t=t t=或或8．（2012•张家界）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=4．点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．（1）分别求出点A、点B的坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．+﹣=2，，22﹣﹣2OA=2OD=OA=2，纵坐标为（y=，∴k=3AQ=t AQ=2﹣•2t t=﹣2+依题意，得t=2时，．9．（2012•云南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．y=x．y=x+2y=，（y=x+2x+2 x x+2=x+2，，，BD==MD=﹣，，，MD=﹣，即m+=）﹣，BM=﹣，即，），（（，），10．（2012•岳阳）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．（1）求C1和C2的解析式；（2）如图②，过点B作直线BE：y=x﹣1交C1于点E（﹣2，﹣），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．xx﹣y=x EBO=，即∠：=（=（﹣（（﹣y=x+b=x（，﹣）：的距离：=x+b=x（﹣，）：的距离：=（﹣，××．d=11．（2012•益阳）已知：如图，抛物线y=a（x﹣1）2+c与x轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D 两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，，结果可保留根号）（；解得：，，两点的坐标分别为（（…12．（2012•义乌市）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？为定值．需要注意讨的表达式（）；，在抛物线和直线上不同位置时，同理可得OC=AC=OA=，，，，（，（∴顶点为（，时，OE=x=时，任取一个时，时，13．（2012•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m）2+n经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1﹣）a．（1）求点A的坐标和∠ABO的度数；（2）当点C与点A重合时，求a的值；（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？，，∴，∴，的坐标是（，，=（﹣﹣ a﹣a﹣﹣aa，﹣x+3）﹣a+，14．（2012•宜宾）如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．ABx==1PA=BD=315．（2012•扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．，解得：，解得：=1±，，﹣16．（2012•盐城）知识迁移当a＞0且x＞0时，因为，所以x﹣+≥0，从而x+≥（当x=）是取等号）．记函数y=x+（a＞0，x＞0）．由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值为2．直接应用已知函数y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则当x=1时，y1+y2取得最小值为2．变形应用已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．实际应用已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分，一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？变形运用：先得出（时，该函数有最小值为．（=的最小值为：=4=4的最小值为故平均每千米的运输成本为：=0.001x++1.6=0.001x+0.001x=取得最小，此时≥+1.6=1201.617．（2012•盐城）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=的图象经过点A（2，0）和点B（1，﹣），直线l经过抛物线的顶点且与t轴垂直，垂足为Q．（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t（t≥0）的变化规律为y1=﹣+2t．现以线段OP为直径作⊙C．①当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与⊙C 是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．②若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足P的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2=﹣1+3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a2的最大值．。
“二次函数”中考试题分类汇编(含答案)-绝对经典
“二次函数”中考试题分类汇编(含答案)-绝对经典C ）218()32y x =--+ （D ）218()32y x =-++二、填空题7、（2009·襄樊中考）抛物线2y xbx c=-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为 ．8、（2009·安徽中考）已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 .9、（2008·苏州中考）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数2y axbx c=++的图象时，列了如下表格：根据表格上的信息回答问题：该二次函数2y ax bx c=++在3x =时，y = ． 三、解答题10、（2010∙宁波中考）如图，已知二次函数cbx xy ++-=221的图象经过A （2，0）、B （0，－6）两点。
（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与xBA、BC，求△ABC的面积。
11、（2008·兰州中考）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如左图所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如右图所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．12、（2008·巴中中考）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线21855y xx =-+，其中y （m ）是球的飞行高度，x （m ）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ． （1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． （2）请求出球飞行的最大水平距离．（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．要点二、二次函数的性质与图象平移规律 一、选择题1、（2010·成都中考）把抛物线2x y =向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）A12+=x y B()21+=x y C12-=x y D()21-=x y解析：选D ，根据抛物线的平移规律，左右平移，变自变量，“左加右减”，故选D 。
2012年全国部分地区中考试卷分类解析汇编(二次函数
2012年全国各地中考数学真题分类汇编第13章 二次函数一、选择题1．（2012菏泽）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数a y x=在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象。
解答：解：∵二次函数图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴x=﹣＜0， ∴b ＜0，∵二次函数图象经过坐标原点，∴c=0，∴一次函数y=bx+c 过第二四象限且经过原点，反比例函数a y x=位于第二四象限， 纵观各选项，只有C 选项符合．2．（2012•烟台）已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点： 二次函数的性质。
专题： 常规题型。
分析： 结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可．解答： 解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；②图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误；③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，正确；综上所述，说法正确的有④共1个．故选A ．点评： 本题考查了二次函数的性质，主要考查了函数图象的开口方向，对称轴解析式，顶点坐标，以及函数的增减性，都是基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．3．（2012•广州）将二次函数y=x 2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ）A ．y=x 2﹣1B ．y=x 2+1C ．y=（x ﹣1）2D ．y=（x+1）2考点： 二次函数图象与几何变换。
专题： 探究型。
分析： 直接根据上加下减的原则进行解答即可．解答： 解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=x 2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y=x 2﹣1．故选A ．点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．4．（2012泰安）将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）A ．23(2)3y x =++B ．23(2)3y x =-+C ．23(2)3y x =+-D ．23(2)3y x =--考点：二次函数图象与几何变换。
2012中学考试数学大题--二次函数(含问题详解)
实用文档2012中考数学大题之--二次函数1．（2012•泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过B、C两点．（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围．2．（2012•台州）某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：（1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；（2）选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式；（3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？②当t分别为t1，t2（t1＜t2）时，对应s的值分别为s1，s2，请比较与的大小，并解释比较结果的实际意义．3．（2012•绥化）如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．4．（2012•深圳）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？5．（2012•绍兴）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x2﹣4x﹣2经过A，B两点．（1）求A点坐标及线段AB的长；（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．①当PQ⊥AC时，求t的值；②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．6．（2012•山西）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．7．（2012•泉州）如图，O为坐标原点，直线l绕着点A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y=x2+h的图象交于不同的两点P、Q．（1）求h的值；（2）通过操作、观察，算出△POQ的面积的最小值（不必说理）；（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状．8．（2012•青岛）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．9．（2012•黔东南州）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．10．（2012•攀枝花）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．11．（2012•南通）如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点，O为坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y=x2+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长．12．（2012•南昌）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．13．（2012•绵阳）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC．（1）求二次函数的解析式；（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N．①若直线l⊥BD，如图1，试求的值；②若l为满足条件的任意直线．如图2．①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例．14．（2012•娄底）已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，且满足．（1）求这个二次函数的解析式；（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．15．（2012•聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？答案与评分标准解得x+x+2，则﹣x x+2=0）可得：S=即刹车后汽车行驶了米才停止．∴同理＞，）由已知条件得解得×2+2，，，﹣，﹣2可得解得：由题意得：，解得：AE==2=2，解得：的函数解析式可得：解得：，）BF=AF=BC=，=，==，解：（1）由抛物线y=x2﹣4x时，=，即t=＞，≤＜时，，即=，∴t=＜＜，t=≤≤时，t=时，有=，=，OQ==3=OQPM==2PM=，N=，，′（，）y=x）＞时，∠，解得，﹣1+，﹣，AC=，∴=2BF=，，，即．E=，，∴﹣．′点的坐标为（﹣，，解得x+，，解得，）x+h=1x，b ab（﹣OA•﹣）由上式知：当﹣=x，a，a﹣ay=，﹣，解得=13，解得MN MN=（﹣（）2+（m=的面积最大，最大值为．；；∴抛物线：x+x；x，；AEx+bx+b=﹣x+4b=，即直线x+，），﹣）x+9（，；××（）=（，）时，△的面积最大，为解：（1）将A（0，﹣4）、B（﹣y=，x（4+x x+m ；m=；；＜=﹣，=x+ca=y=x xx x ，得x+x xk=，，x+=5 =；==，。
2012年全国各地市中考数学模拟试题分类汇编18二次函数的图象和性质
第2题答案：A）第1题与反比例函数x在同一坐标系内的图像大致为（）x x x x x第15题图答案：A33、(2012年香坊区一模)将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线( )(A) 2(2)1y x =++ (B)2(2)1y x =--第3题图第4题图向左平移l个单位，同时向上平移17.（2012年，广东二模）如图B(x2,0)，点A在点B的左侧．当图2－3如图，二次函数轴相交于负半轴，给出四个结论：．（填上你认为正确结论的所有序号）答案：②③④19、（海南省2012标为，当答案：下，（1图2－10求该抛物线的解析式及对称轴； (1)求a的值 (2)求A、B两点的坐标 (3)以AC、CB为一组邻边作□ABCD，则点D关于x轴的对称点D'是否在该抛物线上？请说明理由．答案：6．（2012年江苏沭阳银河学校质检题）如图，已知二次函数图象顶点为C（1，0），直线=与该二次函数交于A，B两点，其中A点（3，4），B点在y轴上，y+mx（1）求m值及这个二次函数关系式；（2）P为线段AB上一动点（P不与A，B重合），过P做x轴垂线与二次函数交于点E，设线段PE长为h，点P横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x取值范围；（3）D为AB线段与二次函数对称轴的的交点，在AB上是否存在一点P，使四边形DCEP 为平行四边形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由。
第1题图答案：7 （2012年宿迁模拟）如图，直线y＝x－1和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点OB．第3题图是平行四边形，试求抛物线的解析式；的角平分线，与抛物线交于点P，求点P的坐标．：，CA B，4=y ，所以)4,0(B ．，解得⎩⎨⎧=-=41b k ，OABPEQFxy （第24题）C DOABy （第24题 备用）PE Q FM NA第1题。
2012全国各地中考数学解析汇编--第26章 二次函数的应用C(已排版)
（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第二十六章 二次函数的应用C（2012湖北武汉，23，10分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE ，ED ，DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED ＝16米，AE ＝8米，抛物线的顶点C 到ED 距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴y 轴建立平面直角坐标系，（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED 的距离ｈ（单位：米）随时间ｔ（单位：时）的变化满足函数关系 ｈ＝－8)19(12812+-t （０≤ｔ≤40） 且当水面到顶点C 的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？解析：1、根据题意可得A ，B ，C ，三点坐标分别为（-8，8）（０，11）（8，8），利用待定系数法，设抛物线解析式为y=ax 2+c,有⎩⎨⎧=+=cc a 11882,解方程组即可2、水面到顶点C 的距离不大于5米，即函数值不小大于11－5＝６，解方程－8)19(12812+-t ＝６即可 解：1、依题有顶点Ｃ的坐标为（０，11），点Ｂ的坐标为（8，8），设抛物线解析式为y=ax 2+c有⎩⎨⎧=+=c c a 11882,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=11643c a ∴抛物线解析式为y=－643x 2+112、令－8)19(12812+-t ＝11－5，解得t １＝35，t 2=3画出 ｈ＝－8)19(12812+-t （０≤ｔ≤40）的图像，由图像变化趋势可知，当3≤ｔ≤35时，水面到顶点C 的距离不大于5米，需禁止船只通行， 禁止船只通行时间为35－3＝32（时） 答：禁止船只通行时间为32小时。
点评：难度中等（2012贵州省毕节市，25，12分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30，每个月可买出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x 元（x 为整数），每个月的销售利润为x 的取值范围为y 元。
2012-广东省中考数学试题之二次函数.doc
精品文档14、二次函数22．（ 2012 广东）如图，抛物线 y = x 2﹣ x ﹣ 9 与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C ， 连接 BC 、 AC ．（ 1）求 AB 和 OC 的长；（ 2）点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动（点 E 与点 A 、B 不重合），过点 E 作直线 l平行，交 于点 ．设 的长为 ，△的面积为 s ，求 s 关于 的函数关系式，BC AC DAEmADEm并写出自变量 m 的取值范围；（ 3）在（ 2）的条件下，连接，求 △ 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，CECDE与相切的圆的面积（结果保留π）．BC考点：二次函数综合题。
解答：解：（ 1）已知：抛物线 y = x 2﹣ x ﹣ 9；当 x =0 时， y =﹣ 9，则： C （ 0，﹣ 9）；当 y =0 时，2﹣x ﹣ 9=0，得： x 1=﹣ 3， 2=6，则： （﹣ 3， 0）、 （ 6， 0）；x x A B∴ AB =9， OC =9．（ 2） ∵ ED ∥ BC ，∴△ AED ∽△ ABC ，∴ =（ 2=（ 2，得： s = 2） ，即：） m （0＜ m ＜ 9）．（ 3） S AEC =? = ，S △AED= = 2；△AE OC m s m2m =﹣ （ m ﹣ 2则： S △EDC =S △AEC ﹣S △AED =﹣ m + ） + ； ∴△ CDE 的最大面积为，此时， AE =m = ， BE =AB ﹣ AE = ．过E作 EF⊥ BC于 F，则 Rt△ BEF∽ Rt△ BCO，得：= ，即：=∴ = ；EF∴ 以E 点为圆心，与相切的圆的面积S⊙E=π?2= ．BC EF23．（ 2013 广东省）已知二次函数2 2y=x ﹣ 2mx+m﹣ 1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（ 0， 0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当 m=2时，该抛物线与y 轴交于点 C，顶点为 D，求 C、 D 两点的坐标；（3）在（ 2）的条件下， x 轴上是否存在一点P，使得 PC+PD最短？若 P 点存在，求出P 点的坐标；若 P 点不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题；最值问题；轴对称- 最短路线问题．分析：（ 1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0， 0），直接代入求出m的值即可；（2）根据 m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与y 轴交点即可；（3）根据当 P、 C、D 共线时 PC+PD最短，利用平行线分线段成比例定理得出 PO的长即可得出答案．解答：解：（ 1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（ 0， 0），22 2∴代入二次函数y=x ﹣ 2mx+m﹣1，得出： m﹣1=0，解得： m=±1，∴二次函数的解析式为：y=x2﹣ 2x 或 y=x 2+2x；（2）∵ m=2，∴二次函数2 2 2 2﹣ 1，y=x ﹣ 2mx+m﹣ 1 得： y=x ﹣ 4x+3=（ x﹣ 2）∴抛物线的顶点为： D （ 2，﹣ 1）， 当 x=0 时， y=3，∴C 点坐标为：（ 0，3）；（ 3）当 P 、 C 、 D 共线时 PC+PD 最短，过点 D 作 DE ⊥ y 轴于点 E ，∵PO ∥ DE ， ∴=，∴ = ，解得： PO= ，∴ P C+PD 最短时， P 点的坐标为： P （ ， 0）．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及配方法求二次函数顶点坐标以及最短路线问题等知识，根据数形结合得出是解题关键．10、（ 2014）二次函数 y ax 2 bx c a0 的大致图象如题 10 图所示， 关于该二次函数，下列说法错误的是（D）题 10 图A 、函数有最小值B、对称轴是直线 x=12、当 x < 1 , y 随 x 的增大而减小 D 、当 -1 < x < 2 时， y>0 C 210. （ 2015） 如题 10 图，已知正△ ABC 的边长为 2， E ，F ， G 分别是 AB ， BC ，CA 上 的点，且 AE =BF =CG ，设 △EFG 的面积为 y ， AE 的长为 x ，则 y 关于 x 的函数图象 大致是（）【答案】 D.【解析】根据题意，有AE=BF=CG ，且正三角形 A BC 的边长为 2，故 BE=CF=AG=2-；x 故△ AEG 、△ BEF 、△ CFG 三个三角形全等．在△ AEG 中， AE=x ，AG=2-x ，则 S △ AEG= 1 AE ×AG ×sinA=3x （2-x ）；24故 y=S △ ABC-3S △ AEG= 3 － 33x （ 2-x ）＝3（ 3x 2-6x+4 ）．44故可得其图象为二次函数，且开口向上，选D 。
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2012年全国各省市中考试题分类解析----二次函数（2012年四川省德阳市，第9题、3分．）在同一平面直角坐标系内，将函数1422++=x x y 的图象沿x 轴方向向右平移2个单位长度后再沿y 轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是A.（1-，1）B.（1，2-）C.（2，2-）D.（1，1-）【解析】根据二次函数的平移不改变二次项的系数，先把函数1422++=x x y 变成顶点式，再按照“左加右减，上加下减”的规律，把y=2241x x ++的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位．即可求得新抛物线的顶点。
【答案】函数1422++=x x y 变形为22(1)1y x =+-平移后的解析式为22(1)2y x =--，所以顶点为（1，-2）．故选B.【点评】抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．（2012山东泰安，12，3分）将抛物线y=3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A. 23(2)3y x =++ B.23(2)3y x =-+ C.23(2)3y x =+- D.23(2)3y x =--【解析】平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，3），因为平移抛物线的形状不变，所以平移后的抛物线的解析式为：y=3(x+2)2+3. 【答案】A.【点评】主要考查抛物线的平移，左右平移变化横坐标，上下平移变化纵坐标，特别注意符号的不同，关键抓住顶点的变化，二次函数y=a(x-h)2+k 的顶点坐标为（h,k ）.（2012四川内江，12，3分）如图5，正三角形ABC 的边长为3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止．设运动时间为x （秒），y ＝PC 2，则y 关于x 的函数的图象大致为图5A． B．C． D．【解析】当点P在AB上，如下图所示，过点C作CP′⊥AB，可以发现点P由A向B运动过程中，CP长由大变小，直到与P′重合时达到最小，然后再由小变大，整个过程需要3秒，根据这一特征可知A，B两选项错误．当点P在BC上，y＝(6－x)2，即y＝(x－6)2，其图象是二次函数图象的一部分，可见D选项也是错误的．故答案选C．图5【答案】C【点评】本题考查了分段函数的概念，同时也考查了二次函数模型以及数形结合的数学思想．上面解法告诉我们根据形的运动特征发现对应图象的变化特征，彼此印证判断，可以避免陷入求解析式的繁琐求解过程中．（2012贵州贵阳，10，3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a<0）的图象如图所示，当-5≤x ≤0时，下列说法正确的是（）第10题图A.有最小值-5、最大值0B. 有最小值-3、最大值6C.有最小值0、最大值6D. 有最小值2、最大值6解析：根据图象，当-5≤x ≤0时，图象的最高点的坐标是（-2，6），最低点的坐标是（-5，-3），所以当x=-2时，y 有最大值6；当x=-5时，y 有最小值-3.解答：选B ．点评：本题主要考查数形结合思想的运用，解题时，一定要注意：图象的最高（低）点对应着函数的最大（小）值.（2012浙江省义乌市，10，3分）如图,已知抛物线y 1=－2x 2＋2,直线y 2=2x +2,当x 任取一值时,x 对应的函数值分别为y 1、y 2.若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M = y 1=y 2.例如：当x =1时，y 1=0,y 2=4,y 1＜y 2，此时M =0. 下列判断： ①当x ＞0时，y 1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小；④使得M =1的x 值是 或 . ①④ C.②③ D.③④【解析】观察图象可知当x ＞0时，y 1＜y 2，故①不正确；②当x ＜0时，x 值越大，M 值越大，故②不正确；Ｍ＝０时即－2x 2＋2＞２，此不等式无解，故使得M 大于2的x 值不存在；③正确；M =1时，2x +2=1或－2x 2＋2=1，解得x=12或，故④正确．【答案】Ｄ【点评】本题综合考查了二次函数、一次函数的图象与性质及一元一次方程和一元二次方程的解法，解答此类题要结合图象认真审题．2122（2012山东泰安，16，3分）二次函数2()y a x m n =++的；图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过（ ）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限 .D.第一、三、四象限【解析】由二次函数2()y a x m n =++的图象可知其顶点在第四象限，所以-m>0,n<0,m<0, n<0,当m<0, n<0时，由一次函数的性质可得其图象过第二、三、四象限. 【答案】C.【点评】由二次函数的图象可确定其顶点坐标的符号；一次函数图象的性质：当k>o,b>o 时，一次函数y=kx+b 过一、二、三象限；当k>o,b<o 时，一次函数y=kx+b 过一、三、四象限；当k<o,b>o 时，一次函数y=kx+b 过一、二、四象限；当k<o,b<o 时，一次函数y=kx+b 过二、三、四象限.（2012山东泰安，19，3分）设A 123(2,),(1,),(2,)y B y C y -是抛物线2(1)y x m =-++上的三点，则123,,y y y 的大小关系为（ ）A.123y y y >>B.132y y y >>C.321y y y >>D.213y y y >>【解析】方法一：把A 、B 、C 三点的坐标分别代入2(1)y x m =-++，得y 1=-1+m, y 2=-4+m, y 3=-9+m,所以123y y y >>.方法二：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）2+a ，如右图，∴对称轴是x=﹣1，∴点A 关于对称轴的点A′是（0，y 1），那么点A′、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小，于是y 1＞y 2＞y 3．故选A ．【答案】A【点评】代入法是比较函数值大小的一种常用方法；数形结合法，当抛物线开口向下的时候离对称轴越近，对应的函数值越大，当抛物线开口向上的时候离对称轴越近，对应的函数值越小。
（2012广州市，2， 3分）将二次函数y=x 2的图像向下平移1个单位。
则平移后的二次函数的解析式为（ ）A. y= x 2－1 B. y= x 2+1 C. y= (x －1)2D. y= (x+1)2【解析】根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”进行解题．【答案】解：∵向下平移1个单位∴y =x 2－1．故得到的抛物线的解析式是y= x 2－1． 【点评】本题比较容易，考查二次函数图象的平移．(2012重庆，10，4分)已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为21-=x 。
下列结论中，正确的是（ ）A.abc>0B.a+b=0C.2b+c>0D.4a 十c<2b 解析：观察图形知，抛物线的开口方向向上，a ＞0,对称轴是直线x=-21,代人对称轴公式得：a=b,所以b ＞0,抛物线与y 轴交点在负半轴上，故c ＜0,由此可知A 项和B 项错误，观察图形，当x=1时，对应点的纵坐标为负，代入函数得，a+b+c ＜0,即2b+c ＜0,知C 项错误。
观察图形，横轴上的数字1所在位置介于对称轴和抛物线与x 轴的交点之间，根据对称性，横轴上的数字2应介于对称轴和与抛物线另一交点之间，即当x=2时，函数值为负，代人函数式得，4a-2b+c ＜0,故D 项正确。
答案：D点评：此类问题通常做法是：一观察图形，所有条件在图形中找，二了解抛物线的性质。
（2012浙江省衢州，10，3分）已知二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( )A.y 1＞y 2＞y 3B. y 1＜y 2＜y 3C.y 2＞y 3＞y 1D. y 2＜y 3＜y 1【解析】因为a =－12<0，此二次函数的开口方向向下，又y ＝－12x 2－7x ＋152＝－12( x +7) 2＋32，抛物线的对称轴为x =-7，当x ＞0＞-7时，y 随x 的增大而减少，故y 1＞y 2＞y 3．【答案】A【点评】主要考查了二次函数的图象性质及单调性的规律，解决此类问题的方法一般是：先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小．25.3 用待定系数法求二次函数关系式（2012江苏泰州市，25，本题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数y=c bx x ++-232的图像经过B 、C 两点．（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数的图像探索：当y>0时x 的取值范围．（第25题图）【解析】用待定系数法将已知两点的坐标代入二次函数解析式，即可求出b ，c 的值，然后通过解一元二次方程求抛物线与x 轴的交点坐标，由图象法求得函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．【答案】由题意可得：B （2,2），C （0,2），将B 、C 坐标代入y=c bx x ++-232得：c=2，b=43，所以二次函数的解析式是y=23-x 2+43x+2 (2) 解23-x 2+43x+2=0，得：x 1=3，x 2=-1，由图像可知：y>0时x 的取值范围是-1＜x ＜3【点评】本题考查了二次函数解析式的求法及利用图象法求解一元二次不等式，渗透了数形结合思想．其中本题的解法将三个“二次”和谐地结合起来，突显二次函数的纽带作用，通过函数，将方程、不等式进行了综合考查．25.4 用函数观点看一元二次方程（2012山东泰安，10，3分）二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为（ ）A.-3B.3C.-5D.9【解析】方法一：图象法，由20ax bx m ++=得2ax bx m +=-，一元二次方程20ax bx m ++=有实数根有实数根，得函数2y ax bx =+与函数y=-m 有交点，所以-m ≥-3,m ≤3;方法二：因为一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，所以b 2-4am ≥0,由2y ax bx =+的图象可得顶点纵坐标，2034b a-=-，b 2=12a,所以12a-4am ≥0,解得m ≤3. 【答案】B.【点评】本题考查了二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系，既可以用图象法，也可以用算术法，开拓了学生的思维。