创新方案2017届高考数学一轮复习几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质课后作业理选修4_1
高考数学一轮总复习 几何证明选讲 第一节 相似三角形
第一节相似三角形的判定及有关性质【最新考纲】 1.理解相似三角形的定义与性质，了解平行线截割定理.2.会证明和应用直角三角形射影定理．1．平行线等分线段定理(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．(3)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．(3)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．定理3：三边对应成比例，两三角形相似．4．相似三角形的性质(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．5．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其他直线上截得的线段也相等．( )(2)两组对应边成比例，一组对应边所对的角相等的两个三角形相似．( ) (3)三角形相似不具有传递性．( )(4)相似多边形不具有面积比等于相似比的平方的性质．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．(2014·广东卷改编)如图所示，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________．解析：因为ABCD 的平行四边形，所以AB∥DC，且AB ＝DC ，于是△CDF ∽△AEF，且CDAE ＝ABAE＝3. 因此△CDF 的面积△AEF的面积＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD AE 2＝9.答案：93．如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，点E ，F 分别是△ABD，△ACD 的重心，EF 与AD交于点M ，则AMDM＝________．解析：连接AE ，AF ，并延长交BC 于G ，H.因为点E ，F 分别是△ABD，△ACD 的重心， 所以AE EG ＝AFFH ＝2，所以EF∥GH，所以AMDM ＝2.答案：24．如图所示，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A＝∠C，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________．解析：∵PE∥BC，∴∠C ＝∠PED，又∠C＝∠A，则有∠A＝∠PED，又∠P 为公共角， 所以△PDE∽△P EA ，∴PDPE＝PEPA，即PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故PE＝ 6.答案： 65．(2015·广东卷)如图，AB为圆O的直径，E为AB延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D.若AB＝4，CE＝23，则AD________．解析：由切割线定理，EB·(AB＋EB)＝EC2又AB＝4，CE＝2 3∴EB2＋4EB＝12，解得EB＝2.连接OC，由题意得OC∥AD.所以△EOC∽△EAD.∴OCAD＝EOEA＝46，则AD＝3.答案：3一个关键平行线发线段成比例定理、射影定理是通过三角形相似证明的，故掌握好三角形相似的判定是解决本节问题的关键．两个防范1．防止写三角形相似时，两个三角形的顶点不对应；2．防止应用射影定理时，线段的位置记错．三种方法判定三角形相似有三种常用的方法：1．两组对应角分别相等，两三角形相似；2．一组对应角相等，且角的两边对应成比例，两三角形相似． 3．三边对应成比例，两三角形相似．1．如图所示，已知：在R t△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是BC 的中点，CN ⊥AM ，垂足是N ，求证：AB·BM＝AM·BN.证明：∵在Rt △ACM 中， CM 2＝MN·AM，又∵M 是BC 的中点，即CM ＝BM ， ∴BM 2＝MN·AM，∴BM AM ＝MN BM，又∵∠BMN＝∠AMB，∴△AMB ∽△BMN ， ∴AB BN ＝AMBM，∴AB ·BM ＝AM·BN. 2．(2014·陕西卷改编)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，求EF 的长．解：连接EC ，BF ，如图所示．由题设，四边形BCFE 为圆的内接四边形． 因此∠AEF＝∠ACB，∠AFE ＝∠ABC. 所以△AEF∽△ACB，于是AE AC ＝EFCB又AC ＝2AE ，BC ＝6 所以EF ＝3.3．如图所示，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF·HF.证明：∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF ＋∠BAC＝90°， ∴∠H ＝∠GBF.∵∠AFH ＝∠GFB＝90°， ∴△AFH ∽△GFB.∴HF BF ＝AFGF ，∴AF ·BF ＝GF·HF.因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ，∴DF 2＝AF·BF， 所以DF 2＝GF ·HF.4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点，ED ，CB 延长线交于一点F.求证：FD2＝FB·FC.证明：∵E是Rt△ACD斜边中点，∴ED＝EA，∴∠A＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A，∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FBD＝∠FDC，∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，∴FBFD＝FDFC，∴FD2＝FB·FC.5．(2016·贵阳质检)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC ＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°. 又因为∠A＝∠A， 所以Rt △ADO ∽Rt △ACB. 所以BC OD ＝AC AD .又BC ＝2OC ＝2OD ， 故AC ＝2AD.6．(2016·大连模拟)如图所示，⊙O 为△ABC 的外接圆，且AB ＝AC ，过点A 的直线交⊙O 于D ，交BC 的延长线于F ，DE 是BD 的延长线，连结CD.求证：(1)∠EDF＝∠CDF； (2)AB 2＝AF·AD.证明：(1)∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB. ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形． ∴∠CDF ＝∠ABC.又∠ADB 与∠EDF 是对顶角． ∴∠ADB ＝∠EDF. 又∠ADB＝∠ACB，∴∠EDF＝∠CDF.(2)由(1)知∠ADB＝∠ABC.又∵∠BAD＝∠FAB，∴△ADB∽△ABF，∴ABAF＝ADAB，∴AB2＝AF·AD.7.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.证明：(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD.∵AB＝DC，B C＝CB，∴△ABC≌△DCB.(2)∵△ABC≌△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC，∴∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠DC B，∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，∴∠EDA＝∠DBC，∴△ADE∽△CBD.∴DE∶BD＝AE∶DC，∴DE·DC＝AE·BD.8．(2016·河北衡水中学调研)如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE 的延长线交BC于F.(1)求BF FC的值． (2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值． 解：(1)过点D 作DG∥BC，并交AF 于G 点，因为E 是BD 的中点，所以BE ＝DE. 又因为∠EBF＝∠EDG，∠BEF ＝∠DEG， 所以△BEF≌△DEG，则BF ＝DG ， 所以BF∶FC＝DG∶FC.又因为D 是AC 的中点，则DG∶FC＝1∶2，则BF∶FC＝1∶2，即BF FC ＝12. (2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底， 则由(1)知BF∶BC＝1∶3，又由BE∶BD＝1∶2可知h1∶h2＝1∶2，其中h1，h2分别为△BEF和△BDC的高，则S△BEFS△BDC＝13×12＝16，则S1∶S2＝1∶5.。
高考数学一轮复习几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质课件理选修4_1
在△BDC 中，过 D 作 DE⊥BC 于 E.
∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC＝12x2.
又∵AF⊥BC，∴DE∥AF，∴DAFE＝DACC，
∴DE＝DCA·CAF＝
x2－1 x.
在 Rt△DEC 中，∵DE2＋EC2＝DC2，
即 x2x－12＋12x22＝12，∴x2x－2 1＋x44＝1.
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
[典题 1] (1)如图，在△ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 E 是 BD 的中点，AE 交 BC 于点 F，求BFFC的值．
(2)如图，等边三角形 DEF 内接于△ABC，且 DE∥BC， 已知 AH⊥BC 于点 H，BC＝4，AH＝ 3，求△DEF 的边 长．
[听前试做] (1)如图，过点 D 作 DM∥AF 交 BC 于点 M. ∵点 E 是 BD 的中点，
[典题 2] 如图，已知在△ABC 中，D 是 BC 边的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE 与 AB 相交于点 E，EC 与 AD 相交于 点 F.
高考数学一轮复习 几何证明选讲 第1讲 相似三角形的判定及有关性质 理 选修4-1
考点多维探究
考点 1 平行线截割定理的应用
回扣教材 1.平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也 相等． 2．平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段 成比例． 推论 1 平行于三角形一边的直线截其他两边(或 两边的延长线 )所得的对应线段 成比例． 推论 2 用平行于三角形一边且和其他两边 相交 的直线截三角形，所截得的三角形的三边与原三角 形的三边对应 成比例．
与相似三角形的定理和性质有关的问题的常见类型及解题策略 (1)证明线段成比例(或线段之积相等)．利用已知条件证明三角形相似，即可得出结论． (2)证明角相等．先确定两个角所在的三角形，然后证明三角形相似，进而得出角相等． (3)求线段长．可转化成(1)，再利用已知条件求线段长．
【跟踪训练】 2. [2016·长春模拟]如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，过点 A 的直线与其外接圆交于点 P，交 BC 的 延长线于点 D.
∴DAFF＝BADB，①
AECE＝ABCB.②
在 Rt△ABC 中，由射影定理知，
AB2＝BD·BC，即BADB＝ABCB.③
由①③得DAFF＝ABCB，④
由②④得DAFF＝AECE.
巧用射影定理解题
已知条件中含直角三角形，且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注 意射影定理与斜边的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分 清比例中项．
典例2
[2016·沈阳模拟]如图，AB 为⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切于 E，AD 垂直 CD 于 D，
BC 垂直 CD 于 C，EF 垂直 AB 于 F，连接 AE，BE.
证明：(1)∠FEB＝∠CEB；
高三数学一轮复习精品教案2：第1讲 相似三角形的判定及有关性质教学设计
选修4－1 几何证明选讲 第1课时 相似三角形的进一步认识考情分析考点新知应用平行截割定理，相似三角形的判定定理与性质定理解决有关三角形问题．①理解平行截割定理，相似三角形的判定定理与性质定理，能运用它们解决三角形中的计算与证明问题.②了解直角三角形的射影定理.1. 如图，△ABC 中， DE ∥BC, DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，求BF 的长． 『解』DE BC ＝AEAC 6BC ＝35BC ＝10，∴ BF ＝10－6＝4.2. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AD ＝4，DB ＝2，求DE 与BC 的长度比．『解』因为DE ∥BC ，所以DE BC ＝AD AB ＝46＝23.3. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD.且AB ＝2，AD ＝2，求AF 的长． 『解』设AF ＝x ，则由AD DB ＝AE EC ＝AF DF ，22－2＝x2－x ，解得x ＝1.4. 如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB.连结BD 、EC ，若BD ∥EC ，求△BCD 和四边形ABCD 的面积．『解』S △BCD ＝S △BDE ＝12·BE·DF ＝12×1×3＝32，S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝12·AE·DF ＝12×4×3＝6.5. 如图，平行四边形ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，△AEF 的面积为6，求△ADF 的面积． 『解』由题意可得△AEF ∽△CDF ，且相似比为1∶3，由△AEF 的面积为6，得△CDF 的面积为54.又S △ADF ∶S △CDF ＝1∶3，所以S △ADF ＝18.1. 平行截割定理(1) 平行线等分线段定理及其推论①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．②推论：经过梯形一腰的中点而平行于底边的直线平分另一腰． (2) 平行截割定理及其推论①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例． ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形的边与原三角形的对应边成比例．(3) 三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．(4) 梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．2. 相似三角形(1) 相似三角形的判定①判定定理a. 两角对应相等的两个三角形相似．b. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．c. 三边对应成比例的两个三角形相似．②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．③直角三角形相似的特殊判定．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．(2) 相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(3) 直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．『备课札记』题型1平行线分线段成比例问题例1如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，E是AB边的中点，求证：ED＝EC.『证明』如图，过E点作EF∥BC交DC于点F.在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.∵E是AB的中点，∴F是DC的中点．∵∠ADC＝90°，∴∠DFE＝90°.∴EF是DC的垂直平分线，∴ED＝EC.备选变式（教师专享）如图，在△ABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB于点D，交边CA的延长线于点E，交边BC于点N.求证：AD∶AB＝AE∶AC.『证明』∵AM∥EN，∴AD∶AB＝NM∶MB，NM∶MC＝AE∶AC.∵MB＝MC，∴AD∶AB＝AE∶AC.题型2三角形相似的证明与应用例2 已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，过点D 作AC 的平行线DE ，交BA 的延长线于点E.求证：(1) △ABC ≌△DCB ； (2) DE·DC ＝AE·BD.『证明』(1) ∵ 四边形ABCD 是等腰梯形，∴ AC ＝DB. ∵ AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴ △ABC ≌△BCD. (2) ∵ △ABC ≌△BCD ，∴ ∠ACB ＝∠DBC ，∠ABC ＝∠DCB ，∵ AD ∥BC ，∴ ∠DAC ＝∠ACB ，∠EAD ＝∠ABC. ∵ ED ∥AC ，∴ ∠EDA ＝∠DAC ， ∴ ∠EDA ＝∠DBC ，∠EAD ＝∠DCB. ∴ △ADE ∽△CBD. ∴ DE ∶BD ＝AE ∶CD ， ∴ DE·DC ＝AE·BD. 变式训练如图，在矩形ABCD 中，AB>12·AD ，E 为AD 的中点，连结EC ，作EF ⊥EC ，且EF交AB 于F ，连结FC.设ABBC＝k ，是否存在实数k ，使△AEF 、△ECF 、△DCE 与△BCF 都相似？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．『解』假设存在实数k 的值，满足题设． ①先证明△AEF ∽△DCE ∽△ECF. 因为EF ⊥EC ，所以∠AEF ＝90°－∠DEC ＝∠DCE. 而∠A ＝∠D ＝90°，故△AEF ∽△DCE.故得CE EF ＝DE AF .又DE ＝EA ，所以CE EF ＝AE AF .又∠CEF ＝∠EAF ＝90°， 所以△AEF ∽△ECF.②再证明可以取到实数k 的值，使△AEF ∽△BCF ， 由于∠AFE ＋∠BFC≠90°，故不可能有∠AFE ＝∠BFC ， 因此要使△AEF ∽△BCF ，应有∠AFE ＝∠BFC ， 此时，有AE AF ＝BC BF ，又AE ＝12BC ，故得AF ＝12BF ＝13AB.由△AEF ∽△DCE ，可知AE AF ＝CDDE ，因此，⎝⎛⎭⎫12BC 2＝13AB 2， 所以AB 2BC 2＝34，求得k ＝AB BC ＝32.可以验证，当k ＝32时，这四个三角形都是有一个锐角等于60°的直角三角形，故它们都相似．题型3 射影定理的应用例3 已知：如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F.求证：AE·BF·AB ＝CD 3.『证明』∵ ∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴ CD 2＝AD·BD ，故CD 4＝AD 2·BD 2. 又在Rt △ADC 中，DE ⊥AC ， Rt △BDC 中，DF ⊥BC ， ∴ AD 2＝AE·AC ，BD 2＝BF·BC. ∴ CD 4＝AE·BF·AC·BC. ∵ AC·BC ＝AB·CD ，∴ CD 4＝AE·BF·AB·CD ，即AE·BF·AB ＝CD 3. 备选变式（教师专享）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为E，∠ABC＝45°，过E作AD 的垂线交AD于F，交BC于G，过E作AD的平行线交AB于H.求证：FG2＝AF·DF＋BG·CG ＋AH·BH.『证明』因为AC⊥BD，故△AED、△BEC都是直角三角形．又EF⊥AD，EG⊥BC，由射影定理可知AF·DF＝EF2，BG·CG＝EG2.又FG2＝(FE＋EG)2＝FE2＋EG2＋2FE·EG＝AF·DF＋BG·CG＋2FE·EG，∠ABC＝45°，如图，过点H、A分别作直线HM、AN与BC垂直，易知，AH＝2FE，BH＝2EG，故AH·BH＝2EF·EG.所以FG2＝AF·DF＋BG·CG＋2FE·EG＝AF·DF＋BG·CG＋AH·BH.1. 如图，在ABCD中，BC＝24，E、F为BD的三等分点，求BM－DN的值．『解』∵E、F为BD的三等分点，四边形为平行四边形，∴M为BC的中点．连CF交AD于P，则P为AD的中点，由△BCF∽△DPF及M为BC中点知，N为DP的中点，∴BM－DN＝12－6＝6.2. 如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.『证明』由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CAB＝∠CDB.再由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA.因此∠DBA＝∠CDB，所以AB∥CD.3. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中位线，BD交EF于P，已知EP∶PF＝1∶2，AD＝7 cm，求BC的长．『解』EF是梯形中位线，得EF∥AD∥BC，∴PEAD＝PE7＝BEAB＝12，PFBC＝FDCD＝12.∵PE∶PF＝1∶2,∴BC＝2PF＝14cm.4. 如图，已知A、B、C三点的坐标分别为(0，1)、(－1，0)、(1，0)，P是线段AC上一点，BP交AO于点D，设三角形ADP的面积为S，点P的坐标为(x，y)，求S关于x的函数表达式．『解』如图，作PE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，则PE＝x，PF＝y.∵OA＝OB＝OC＝1，∴∠ACO＝∠FPC＝45°，∴PF＝FC＝y，∴OF＝OC－FC＝1－y，∴ x ＝1－y ，即y ＝1－x ， ∴ BF ＝2－y ＝1＋x.∵ OE ∥FP ，∴ △BOD ∽△BFP ， ∴OD PF ＝BO BF ，即OD y ＝11＋x， ∴ OD ＝y 1＋x ＝1－x 1＋x，∴ AD ＝1－OD ＝1－1－x 1＋x ＝2x1＋x ，S △ADP ＝12AD·PE ＝12·2x 1＋x ×x ＝x 21＋x ，∴ S ＝x 21＋x(0<x≤1)．1. 在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，求|PA|2＋|PB|2|PC|2.『解』不失一般性，取特殊的等腰直角三角形，不妨令|AC|＝|BC|＝4，则|AB|＝42，|CD|＝12|AB|＝22，|PC|＝|PD|＝12|CD|＝2，|PA|＝|PB|＝|AD|2＋|PD|2＝（22）2＋（2）2＝10，所以|PA|2＋|PB|2|PC|2＝10＋102＝10.2. 如图，在ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD.(1) 求证：△ABF ∽△CEB ；(2) 若△DEF 的面积为2，求ABCD 的面积． (1) 『证明』∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ ∠A ＝∠C ，AB ∥CD ， ∴ ∠ABF ＝∠CEB ， ∴ △ABF ∽△CEB. (2) 24.3. 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是AD 上一点，且AE ＝14AD ，N 是AB 的中点，NF ⊥CE 于F ，求证：FN 2＝EF·FC.『证明』连结NC 、NE ，设正方形的边长为a ， ∵ AE ＝14a ，AN ＝12a ，∴ NE ＝54a.∵ BN ＝12a ，BC ＝a ，∴ NC ＝52a.∵ DE ＝34a ，DC ＝a ，∴ EC ＝54a.又NE 2＝516a 2，NC 2＝54a 2，EC 2＝2516a 2，且NE 2＋NC 2＝EC 2，∴ EN ⊥NC. ∵ NF ⊥CE ，∴ FN 2＝EF·FC.4. 在梯形ABCD 中，点E 、F 分别在腰AB 、CD 上，EF ∥AD ，AE ∶EB ＝m ∶n.求证：(m ＋n)EF ＝mBC ＋nAD.你能由此推导出梯形的中位线公式吗？『解』如图，连结AC ，交EF 于点G. ∵ AD ∥EF ∥BC ， ∴ DF FC ＝AE EB ＝m n， ∴AE AB ＝m m ＋n ，CF CD ＝n m ＋n. 又EG ∥BC ，FG ∥AD ， ∴AE AB ＝EG BC ＝m m ＋n ，CF CD ＝GF AD ＝n m ＋n， ∴ EG ＝m m ＋n ·BC ，GF ＝nm ＋n·AD.又EF ＝EG ＋GF ，∴ (m ＋n)EF ＝mBC ＋nAD.∴ 当m ＝n ＝1时，EF ＝12(BC ＋AD)，即表示梯形的中位线．高三数学一轮复习教案11比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a b ＝c d(或a ∶b ＝c ∶d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 注意：(1) 在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成统一单位．(2) 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(3) 比例线段是有顺序的，如果说a 是b ，c ，d 的第四比例项，那么应得比例式为：b c＝d a.。
高考数学一轮总复习 几何证明选讲 第一节 相似三角形的判定及有关性质课件 文 选修4-1
(1)求证：OE＝OF； (2)求OADE＋OBCE的值．
(1)证明：∵AD∥BC，EF∥AD ∴EF∥AD∥BC， ∴OBCE＝AABE，OBCF＝DDCF. ∵EF∥AD∥BC，∴AAEB＝DDCF. ∴OBCE＝OBCF，∴OE＝OF.
选修4－1 几何证明选讲
第一节 相似三角形的判定及有关性质
如图，将一块边长为 12 的正方形纸 ABCD 的顶点 A 折叠至边上的点 E，使 DE＝5，折痕为 PQ，求MPMQ.
解：如图所示，过 M 作 MN∥AD 交 DC 于 N，所以DNNE＝AMME. 又因为 AM＝ME，
所以 DN＝NE＝12DE＝52.
(1)证明：∵AB∥CD. ∴∠BAF＝∠AED. 又∵∠BFE＝∠C， ∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠EDA， ∴∠BFA＝∠ADE. ∴△ABF∽△EAD.
(2)在 Rt△ABE，∠BAE＝30°，AB＝4.
∴cos
30°＝AABE，则
AE＝8
3
3 .
根据(1)知，△ABF∽△EAD.
则ABDF ＝AABE，
(2015·江苏卷)如图，在△ABC 中，AB＝AC，△ABC 的外接 圆⊙O 的弦 AE 交 BC 于点 D.
求证：△ABD∽△AEB.
证明：因为 AB＝AC 所以∠ABD＝∠C. 又⊙O 是三角形 ABC 的外接圆 ∴∠E＝∠C，从而∠ABD＝∠E. 又∠BAE＝∠BAD. 故△ABD∽△AEB.
因此
BF＝AABE·AD＝3
2
3 .
1．相似三角形的证明方法：(1)先找两对内角对应相等；(2)若只 有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若 无角对应相等，就要证明三边对应成比例．
2017版高考数学一轮复习 第十三章 选考部分 第1讲 几何证明选讲课件 理
知识梳理
1.平行截割定理 (1)平行线等分线段定理 如果一组 平行线 在一条直线上截得的线段 相等 ，那么在任
一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等 .
(2)平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应 线段成 比例 .
2.相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理 ①两角对应 相等 的两个三角形 相似 . ②两边对应成 比例 且夹角 相等 的两个三角形 相似 ； ③三边对应成 比例 的两个三角形 相似 ； (2)相似三角形的性质定理 ①相似三角形的对应线段的比等于相似比. ②相似三角形周长的比等于 相似比 . ③相似三角形面积的比等于 相似比的平方.
连 接 BE ， 如 图 1 所 示 ， 由 (1) 知 ∠EAB ＝ 60 ° ＝
∠CBA，AB为公共边，则Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC
＝3.
法二
连接 EC ， OC ，如图 2 所示，则由弦切角定
理，知∠DCE ＝∠CAE ＝ 30 °，又∠DCA ＝ 60 °，
故∠ECA＝30°，又因为∠CAB＝30°，故∠ECA ＝∠CAB，从而EC∥AO， 图2
(2)解
因为△ABE∽△ADC，
AB AE 所以AD＝AC，即 AB· AC＝AD· AE 1 1 又 S＝2AB·ACsin∠BAC，且 S＝2AD·AE， 故 AB· ACsin∠BAC＝AD· AE， 则 sin∠BAC＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC＝90°.
考点一 相似三角形的判定及性质
诊断自测
1.(2016· 南通调研 ) 如图所示，已知 PA与⊙O相切， A 为切点， PBC 为割线，弦 CD∥AP ， AD ， BC 相交于 点 E ， F 为 CE 上一点，且 DE2 ＝ EF· EC. 求证：∠P ＝ ∠EDF. 证明 因为DE2＝EF· EC， 所以DE∶CE＝EF∶ED. 因为∠DEF是公共角， 所以△DEF∽△CED，所以∠EDF＝∠C.
【名师A计划】2017高考数学一轮复习 几何证明选讲 第一节 相似三角形的判定及有关性质课件 理 选修4-1
3.直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 比例中项.
1.如图,AB∥CD∥EF,AF,BE 相交于点 O,若 AO=OD=DF,BE=10,则 BO 的长为 ( )
A. 3 C.2
5
10
B.5 D.3
1.A 【解析】由 AB∥CD∥EF 知△ABO,△DCO 和△FEO 互为相似三角形,可得 BO=3 ������������ =
(2)直角三角形相似的判定定理
定理 判定定理 1 判定定理 2 判定定理 3 内容 如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似. 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形 相似.
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=
������������ , ������������
3.如图,在平行四边形 ABCD 中,F 是 BC 边上的点,延长 DF 与 AB 的延长线相交于点 G, 则相似三角形有 对.
3.6 【解析】包括全等三角形在内,有 6 对相似三角形,其中上、下看:△GBF∽ △GADDFC,△GAE∽△DCE,△GAD∽△DFC.又因为 DC∥AG,所以△ABC∽△CDA,于 是共有 6 对三角形相似.
=
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高考数学一轮复习 选修部分 几何证明选讲 第1讲 相似三角形的判定及有关性质知能训练轻松闯关 理 北
第1讲 相似三角形的判定及有关性质1.如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，求BC 的长．解：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 的中点，M 为BC 的中点． 又EF∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ，所以BC ＝2MC ＝24 cm .2.在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE∶EB＝1∶2，DE与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6 cm 2，求△ABC 的面积． 解：在平行四边形ABCD 中，AB 綊CD. 因为AE∶EB＝1∶2，所以AE∶DC＝1∶3，所以△AEF 与△CDF 对应边AE 与DC 上的高的比为1∶3， 所以△AEF 与△ABC，AE 与AB 边上的高的比为1∶4. 因为AE∶AB＝1∶3，所以S △AEF ∶S △ABC ＝1∶12，所以S △ABC ＝6×12＝72(cm 2)． 3.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH∥BE.连接ED 并延长，交AB 于F ，交AH 于H.若AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长．解：因为AH∥BE，所以HF HE ＝AFAB .因为AB ＝4AF ，所以HF HE ＝14.因为HE ＝8，所以HF ＝2.因为AH∥BE，所以HD DE ＝ADDC.因为D 是AC 的中点，所以HDDE＝1.因为HE ＝HD ＋DE ＝8，所以HD ＝4. 所以DF ＝HD －HF ＝4－2＝2. 4.如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E.求证：AE·BF＝2DE·AF.证明：取AC 的中点M ，连接DM 交CF 于点N.在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，所以DN ＝12BF.因为DN∥AF，所以△AFE∽△DNE，所以AE AF ＝DE DN.又因为DN ＝12BF ，所以AE AF ＝2DEBF，即AE·BF＝2DE·AF. 5.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF∥AB，BP 的延长线交AC 、CF于E 、F 两点，求证：PB 2＝PE·PF. 证明：如图，连接PC.易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP. 因为CF∥AB， 所以∠F＝∠ABP. 从而∠F＝∠ACP.又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角，从而△CPE∽△FPC，所以CP FP ＝PEPC.所以PC 2＝PE·PF.又PC ＝PB ，所以PB 2＝PE·PF. 6.已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE⊥BC，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B＝∠1.又因为AD ＝AC ，所以∠2＝∠ACB.所以△ABC∽△FCD.(2)如图，过点A 作AM⊥BC，垂足为点M.因为△ABC∽△FCD，BC ＝2CD ，所以S △ABC S △FCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20.因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE∥AM，所以DE AM ＝BD BM .因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，BD ＝12BC ＝5，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.。
【高考调研】(新课标)高考数学一轮复习 几何证明选讲 第1课时 相似三角形的判定及有关性质课件
6．直角三角形的射影定理和逆定理
(1)定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射
中项 ； 两 直 角 边 分 别 是 它 们 在 斜 边 上 ______ 射影 与 影 的 比 例 _____ _____ 斜边 的比例中项． (2)逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条 比例中项 ，那么这个三角形是直角三角形． 边上的射影的_________
【解析】 (1)证明：∵OE∥BC， AE AO ∴ ＝ .又∠BAC＝∠CAB，∴△EAO∽△BAC. AB AC OE AE OF DF ∴ ＝ ，同理 ＝ . BC AB BC DC AE DF OE OF ∵AD∥EF∥BC，∴ ＝ ，∴ ＝ . AB DC BC BC ∴OE＝OF.
BO BE (2)∵OE∥AD，∴ ＝ ，∴△EBO∽△ABD. BD BA OE BO OE AO ∴ ＝ ，同理 ＝ . AD BD BC AC BO CO OE OE CO AO 又 AD∥BC，∴ ＝ ，∴ ＋ ＝ ＋ ＝1. BD AC AD BC AC AC
选பைடு நூலகம்部分
选修系列4
选修4-1
几何证明选讲
第1课时
相似三角形的判定及有关性质
理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证 明直角三角形射影定理． 请注意 此部分多和圆的有关知识，结合考查．
课前自助餐 授人以渔
题组层级快练
课前自助餐
1．平行线等分线段定理 平行线 在______ 一条 直线上截得的线段相等，那么 如果一组_______ 在其他直线上截得的线段也相等． 推论 1 ：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 平分 第三边． ______ 推 论 2 ： 经过 梯 形一腰 的 中点 ， 且 与底边 平 行的直 线 平分 另一腰． _____
2017届高三数学一轮复习第十三篇几何证明选讲第1节相似三角形的判定及有关性质基丛点练理
第十三篇几何证明选讲(选修41)第1节相似三角形的判定及有关性质【选题明细表】1.如图所示,平行四边形ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD交于点F,DE=CD.(1)求证:△ABF∽△CEB;(2)若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以∠A=∠C,AB∥CD.所以∠ABF=∠CEB.所以△ABF∽△CEB.(2)解:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,AB∥CD.所以△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.因为DE=CD,所以==,==.因为S△DEF=2,所以S△CEB=18,S△ABF=8.所以S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=16.所以S平行四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.2.已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,DF⊥AC,垂足为F,DE⊥AB,垂足为E.求证:(1)AB·AC=AD·BC;(2)AD3=BC·BE·CF.证明:(1)因为∠BAC=90°,AD⊥BC,所以∠BAC=∠ADB,又因为∠B=∠B,所以△ABD∽△CBA,所以=,即AB·AC=AD·BC.(2)由题AD2=BD·DC,所以AD4=BD2·DC2=BE·BA·CF·CA=BE·CF·AD·BC,所以AD3=BC·BE·CF.3.如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.(1)求证:△ABF∽△EAD;(2)若∠BAE=30°,AD=3,求BF的长.(1)证明:因为AB∥CD,所以∠BAF=∠AED.又因为∠BFE=∠C,∠BFE+∠BFA=∠C+∠EDA,所以∠BFA=∠ADE.所以△ABF∽△EAD.(2)解:因为∠BAE=30°,所以∠AEB=60°,所以=sin 60°=,又=,所以BF=·AD=.4.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF∥AD.(1)求证:OE=OF;(2)求:+的值;(3)求证:+=.(1)证明:因为EF∥AD,AD∥BC,所以EF∥AD∥BC.因为EF∥BC,所以=,=.因为EF∥AD∥BC,所以=.所以=,所以OE=OF.(2)解:因为OE∥AD,所以=.由(1)知=,所以+=+==1.(3)证明:由(2)知+=1,所以+=2.又EF=2OE,所以+=2, 所以+=.。
高考数学一轮复习几何证明选讲第1讲相似三角形的判定及有关性质习题选修41
2017高考数学一轮复习几何证明选讲第1讲相似三角形的判定及有关性质习题选修4-1A组基础巩固一、选择题1．如图，已知点A、D在直线BC上的射影分别为B、C，点E为线段AD的中点，则BE 与CE的大小关系为导学号 25402760( )A．BE＞CEB．BE＜CEC．BE＝CED．无法确定[答案] C[解析] 过点E作EF⊥BC于F，则AB∥EF∥CD.因为E为AD的中点，所以F为BC的中点．所以EF是BC的中垂线，则BE＝CE.2．如图，E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，且DC∶BE＝3∶2，则AD∶BF＝导学号 25402761( )A．5∶3B．5∶2C．3∶2D．2∶1[答案] B[解析] 由题可得△BEF∽△CDF，∴DCBE＝DFEF＝32，∴ADBF＝DEEF＝DFEF＋1＝52.3．如图所示，在▱ABCD中，BC＝24，E、F为BD的三等分点，则BM－DN＝导学号 25402762 ( )A．6 B．3C．2 D．4[答案] A[解析] ∵E、F为BD的三等分点，四边形ABCD为平行四边形，∴M为BC的中点．连CF 交AD 于P ，则P 为AD 的中点，由△BCF ∽△DPF 及M 为BC 中点知，N 为DP 的中点，∴BM－DN ＝12－6＝6，故选A.4．如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5 cm ，则线段BF 的长为导学号 25402763( )A ．5 cmB ．8 cmC ．9 cmD ．10 cm[答案] D[解析] ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形． ∴FC ＝DE ＝5 cm.∵DF ∥AC ，∴BF FC ＝BDDA.即BF 5＝84，∴BF ＝10 cm. 5．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ∶AC ＝3∶2，则CD ∶BD ＝导学号 25402764( )A ．3∶2B ．2∶3C ．9∶4D ．4∶9[答案] D[解析] 射影定理得AB 2＝BD ·BC .AC 2＝DC ·BC .∴CD ·BC BD ·BC ＝AC 2AB 2＝49，即CD ∶BD ＝4∶9. 6．(2016·梅州联考)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为导学号 25402765( )A ．13B ．635C.656D ．212[答案] C[解析] 过A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形． ∴AH ＝FG .∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称． ∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH .∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE ∽Rt △DAH . ∴BE AB ＝AH AD.∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5，∴BE ＝122＋52＝13. ∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656. 二、填空题7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________.导学号 25402766[答案] 92[解析]AD AB ＝DE BC ＝23，DF AD ＝CE AC ＝13.∵BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，解得AB ＝92. 8．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD ∶BD ＝3∶2，则斜边AB 上的中线CE 的长为________.导学号 25402767[答案]562[解析] ∵CD 2＝BD ·AD ， 设BD ＝2k ，则AD ＝3k ，∴36＝6k 2，∴k ＝6，∴AB ＝5k ＝5 6.∴CE ＝12AB ＝562.9．(2011·广东)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________.导学号 25402768[答案] 7∶5[解析] (1)在梯形ABCD 中，过C 作CG ∥AD 交AB 于G ，交EF 于H ，如图．则HF ＝1，GB ＝2.又EF ∥AB ，即HF ∥GB ，∴HF GB ＝CF CB ＝12，∴F 为CB 的中点，∴EF 为梯形ABCD 的中位线． 设梯形EFCD 的高为h ，则梯形ABCD 的高为2h .S 梯形ABCD ＝AB ＋CDh 2＝＋h 2＝6h ， S 梯形EFCD ＝CD ＋EFh2＝＋h 2＝5h2.所以S 梯形ABCD ∶S 梯形EFCD ＝12∶5，S 梯形ABFE ∶S 梯形EFCD ＝7∶5.10．(2015·广东梅州联考)如图，在△ABC 中，BC ＝4，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC ，过B 作CA 的垂线，交CA 的延长线于E ，交DA 的延长线于F ，则AF ＝________.导学号 25402769[答案]433[解析] 设AE ＝x ，∵∠BAC ＝120°，∴∠EAB ＝60°.又AE BE＝x3x＝13， 在Rt △AEF 与Rt △BEC 中，∠F ＝90°－∠EAF ＝90°－∠DAC ＝∠C ， ∴△AEF ∽△BEC ，∴AF BC ＝AE BE. ∴AF ＝4×13＝433.三、解答题11．如图所示，AD 、BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .导学号 25402770[证明] 在△AFH 与△GFB 中， 因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°， 所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°，所以△AFH ∽△GFB . 所以HF BF ＝AFGF，故AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ， 由射影定理，得DF 2＝AF ·BF . 故DF 2＝GF ·HF .12．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证：AD 3＝BC ·BE ·CF .导学号 25402771[证明] 在Rt △ABC 中，因为AD ⊥BC ， 所以AD 2＝BD ·DC ，且AD ·BC ＝AB ·AC . 在Rt △ABD 和Rt ADC 中， 因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，由射影定理，得BD 2＝BE ·BA ，DC 2＝CF ·AC . 所以BD 2·DC 2＝BE ·BA ·CF ·AC ＝BE ·CF ·AD ·BC ＝AD 4. 所以AD 3＝BC ·BE ·CF .B 组 能力提升1．如图，AD 是△ABC 的中线，E 是CA 边的三等分点，BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 为导学号 25402772( )A ．2∶1B ．3∶1C ．4∶1D ．5∶1[答案] C[解析] 要求AF ∶FD 的比，需要添加平行线寻找与之相等的比．注意到D 是BC 的中点，可过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，则DG ＝12EC .又AE ＝2EC ，故AF ∶FD ＝AE ∶DG ＝2EC ∶12EC ＝4∶1.2．如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD 、AC 于点E 、F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，则AFAC＝________.导学号 25402773[答案] 15[解析] 因为AD ∥BC ，所以△AEF ∽△CNF ，所以AF CF ＝AE CN， 所以AFAF ＋CF ＝AEAE ＋CN.因为M 为AB 的中点，所以AE BN ＝AMBM＝1，所以AE ＝BN ，所以AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE2AE ＋BC.因为AE ＝2，BC ＝AD ＝6，所以AF AC ＝22×2＋6＝15.3．如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为点D ，且AD ＝2，AC ＝25，则圆O 的内接正方形的面积为________.导学号 25402774[答案] 50[解析] 由题意可得△ADC ∽△ACB ，由相似三角形中对应边成比例可得AB AC ＝ACAD，即AB ＝AC 2AD＝522＝10.设圆O 的内接正方形的边长为x ，则由勾股定理得x 2＋x 2＝AB 2＝100，所以圆O 的内接正方形的面积为x 2＝50.4．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 上，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，且CF ＝13BC .导学号 25402775求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . [证明] 设AB ＝AC ＝3a ， 则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a .(1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ， 由∠BAC ＝90°得∠EFC ＝90°，故EF ⊥BC . (2)由(1)得EF ＝FCAC·AB ＝2a ， 故AE EF＝a2a＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22， ∴AE EF ＝AD BF， ∴△ADE ∽△FBE ， 所以∠ADE ＝∠EBC .5．(2015·东北三省三校第一次联合模拟)如图，PA 、PB 是圆O 的两条切线，A 、B 是切点，C 是劣弧AB (不包括端点)上一点，直线PC 交圆O 于另一点D ，Q 在弦CD 上，且∠DAQ ＝∠PBC .导学号 25402776求证：(1)BD AD ＝BC AC； (2)△ADQ ∽△DBQ .[证明] (1)因为PB 是切线，所以∠PBC ＝∠BDC ，又∠BPC ＝∠DPB ， 所以△PBC ∽△PDB ，所以BD BC ＝PD PB ，同理AD AC ＝PDPA. 又因为PA ＝PB ，所以BD BC ＝AD AC ，即BD AD ＝BC AC.(2)连接AB .因为∠BAC ＝∠PBC ＝∠DAQ ，∠ABC ＝∠ADQ ， 所以△ABC ∽△ADQ ，即BC AC ＝DQ AQ ，故BD AD ＝DQAQ.又因为∠DAQ ＝∠PBC ＝∠BDQ ，所以△ADQ ∽△DBQ .。
2017届高三数学一轮总复习(人教通用)课件：第11章 第一节 相似三角形的判定及有关性质
解析
第十四页，编辑于星期六：一点 六分。
2．如图，在△ABC 中，点 D 是 AC 的中点， 点 E 是 BD 的中点，AE 交 BC 于点 F，求BFFC 的值．
第八页，编辑于星期六：一点 六分。
2. (教材习题改编)如图，D，E 分别是△ABC 的 边 AB，AC 上的点，DE∥BC 且ADDB＝2，那么 △ADE 与四边形 DBCE 的面积比是________．
解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴SS△△AADBCE＝AADB22. ∵ADDB＝2，∴AADB＝23，
解析
第二十一页，编辑于星期六：一点 六分。
如图所示，CD 垂直平分 AB，点 E 在 CD 上，DF⊥AC，DG⊥BE，F，G 分别为垂足． 求证：AF·AC＝BG·BE. 证明：因为 CD 垂直平分 AB， 所以∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝D B. 在 Rt△ADC 中，因为 DF⊥AC， 所以 AD2＝AF·AC. 同理 BD2＝BG·BE. 所以 AF·AC＝BG·BE.
解：如图，过点 D 作 DM∥AF 交 BC 于点 M. ∵点 E 是 BD 的中点， ∴在△BDM 中，BF＝FM. 又点 D 是 AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM＝MF， ∴FBCF＝FMB＋FMC＝12.
第十六页，编辑于星期六：一点 六分。
第十七页，编辑于星期六：一点 六分。
如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝ 90°，D，E，F 分别在 AB，AC，BC 上， AE＝13AC，BD＝13AB，且 CF＝13BC. 求证：(1)EF⊥BC； (2)∠ADE＝∠EBC.
2017届高三理科数学一轮复习课件：第十五篇第1节 相似三角形的判定及有关性质
所以∠BCD= π . 6
答案: π 6
第十三页，编辑于星期六：一点 二十分。
数学
5.已知梯形ABCD的上底AD=8 cm,下底BC=15 cm,在边AB,CD上分别取E,F,使
AE∶EB=DF∶FC=3∶2,则EF=
.
解析:连接 AC 交 EF 于 P, 因为 AE∶EB=3∶2, 所以 AE∶AB=3∶5. 所以 EP∶BC=3∶5,因为 BC=15 cm, 所以 EP=9 cm,同理 PF=3.2 cm. 所以 EF=12.2 cm.
(3)平行线分线段成比例定理及其推论
平分另一. 腰
①三条平行线截两条直线,所得的对应线段 成比例. ②平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段
. 成比例
第四页，编辑于星期六：一点 二十分。
数学
2.相似三角形的判定定理与性质定理 (1)相似三角形的判定定理
定理 判定定理1 判定定理2 判定定理3
DG AG
GE DG
即 DG2=GE·GF.
第二十六页，编辑于星期六：一点 二十分。
数学
(2) CF = AB . CB AE
证明:(2)因为 BF∥AD,所以 AB = DF . AE DE
又因为 CD∥BE,所以 CF = DF ,所以 CF = AB .
CB DE
CE AE
第二十七页，编辑于星期六：一点 二十分。
③正确,两个三角形相似时,对应边、对应中线、高线、角平分线都成比例;
第九页，编辑于星期六：一点 二十分。
数学
④正确,如图由相似三角形的定义知∠BAC=∠B′A′C′,∠1=∠2,由直角三 角形相似的判定方法知 Rt△ADI∽Rt△A′D′I′,可知结论正确.
2017届高三数学一轮复习课件：选4-1-1 相似三角形的判定及有关性质
(2)判定定理： 定理 1：两角 对应相等 ，两三角形相似。 定理 2：三边 对应成比例 ，两三角形相似。 定理 3：两边 对应成比例 且 夹角相等 ，两三角形相似。 推论：如果一条直线与一个三角形的一条边平行，且与三角形的另外 两边相交，则截得的三角形与原三角形 相似 。
第八页，编辑于星期六：一点 六分。
2．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm，则线段 BF 的长为__________。
解析：∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形 DECF 是平行四边形。 ∴FC＝DE＝5 cm。 ∵DF∥AC，∴FBCF＝BDDA，即B5F＝84。 ∴BF＝10 cm。 答案：10 cm
微考点
相似三角形的判定及性质
【典例 2】如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB＝2CD，E、F 分别是 AB、 BC 的中点，EF 与 BD 相交于点 M。
(1)求证：△EDM∽△FBM； 解析：(1)证明：∵E 是 AB 的中点， ∴AB＝2EB。 ∵AB＝2CD，∴CD＝EB。 又 AB∥CD， ∴四边形 CBED 是平行四边形。 ∴CB∥DE， ∴∠ ∠DEDEMM＝ ＝∠ ∠BFFBMM， ， ∴△EDM∽△FBM。
答案：4
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4．(2016·湛江一模)如图，AB∥EF∥CD，已知 AB＝20，CD＝80，BC＝100， 则 EF＝________。
解析：∵AB∥EF∥CD，∴EAFB＝CBCF，CEDF ＝BBCF。 ∴EAFB＋CEDF ＝CFB＋CBF＝1， 即E2F0 ＋E8F0 ＝1，∴EF＝16。 答案：16
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2017版高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.1 几何证明选讲 课时1 相似三角形的进一步认识 理资料
课时1 相似三角形的进一步认识1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边．2．平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定及性质(1)判定定理：(2)性质定理：相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．4．直角三角形的射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．1．如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.证明由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，故A，B，C，D四点共圆，从而∠CAB＝∠CDB.由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA，因此∠DBA＝∠CDB，所以AB∥CD.2．如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，求EC的长度．解 在Rt△ADB 中，DB ＝AB 2－AD 2＝7， 依题意得，△ADB ∽△ACE ， ∴DB EC ＝AD AC ，可得EC ＝DB ·ACAD＝27.3．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BF FC的值．解 如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ，又在△BDG 中，BE ＝DE ，即EF 为△BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BF FC ＝12.题型一 平行截割定理的应用例1 如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，过点O 作AB 的平行线，与AD ，BC 分别交于点E ，F ，与CD 的延长线交于点K .求证：KO 2＝KE ·KF .证明 延长CK ，BA ，设它们交于点H ，因为KO ∥HB ， 所以KO HB ＝DK DH ，KE HA ＝DKDH .因此KO HB ＝KE HA ，即KO KE ＝HBHA.因为KF ∥HB ， 同理可得KF KO ＝HB HA .故KO KE ＝KFKO，即KO 2＝KE ·KF .思维升华 当条件中给出平行线时，应优先考虑平行线分线段成比例定理，在有关比例的计算与证明题中，常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题．作平行线常用的方法有利用中点作中位线，利用比例线段作平行线等．(1)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF 的长度．(2)如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，求AB 的长． 解 (1)∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53，∴OB BD ＝58. ∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15. (2)∵DE ∥BC ， ∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC ＝23，EC AC ＝13.又∵EF ∥CD ，∴DF AD ＝EC AC ＝13.∴AD ＝3.∴AB ＝32AD ＝92.题型二 相似三角形的判定与性质例2 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点，ED 、CB 延长线交于一点F .求证：FD 2＝FB ·FC .证明 ∵E 是Rt△ACD 斜边上的中点，∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A ，∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FBD ＝∠FDC ， ∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ， ∴FB FD ＝FDFC，∴FD 2＝FB ·FC .思维升华 (1)判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点，灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可间接证明线段相等．(1)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P .已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，求PE 的长．(2)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，求四边形ABCD 的面积．解 (1)∵BC ∥PE ， ∴∠PED ＝∠C ＝∠A ， ∴△PDE ∽△PEA ，∴PE PA ＝PD PE，则PE 2＝PA ·PD ， 又∵PD ＝2DA ＝2，∴PA ＝PD ＋DA ＝3. ∴PE ＝PA ·PD ＝ 6.(2)如图，过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ，在Rt△DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝10，由Rt△DFB ∽Rt△ENB ， 知EN DF ＝BE BD，所以EN ＝31010，又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·DF＋12BD ·EN ＝12×3×3＋12×10×31010＝6. 题型三 射影定理的应用例3 如图，在△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，求AC 的长．解 在△ABC 中，设AC 为x ， ∵AB ⊥AC ，AF ⊥BC . 又FC ＝1，根据射影定理， 得AC 2＝FC ·BC ，即BC ＝x 2.再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ， 即AF 2＝x 2－1，∴AF ＝x 2－1. 在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E .∵BD ＝DC ＝1，∴BE ＝EC ＝12x 2.又∵AF ⊥BC ，∴DE ∥AF ，∴DE AF ＝DC AC， ∴DE ＝DC ·AF AC ＝x 2－1x.在Rt△DEC 中，∵DE 2＋EC 2＝DC 2，即(x 2－1x )2＋(12x 2)2＝12，∴x 2－1x 2＋x 44＝1.整理得x 6＝4，∴x ＝32，即AC ＝32.思维升华 (1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法．(1)如图所示，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，且AD ∶BD ＝9∶4，求AC ∶BC .(2)已知圆的直径AB ＝13，C 为圆上一点，过C 作CD ⊥AB 于D (AD >BD )，若CD ＝6，求AD 的长．解 (1)∵AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AC 2∶BC 2＝AD ∶BD ＝9∶4， ∴AC ∶BC ＝3∶2.(2)如图，连结AC ，CB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. 设AD ＝x ，∵CD ⊥AB 于D ， ∴由射影定理得CD 2＝AD ·DB ， 即62＝x (13－x )，∴x 2－13x ＋36＝0，解得x 1＝4，x 2＝9. ∵AD >BD ，∴AD ＝9.1．判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．直角三角形中常用的四个结论在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB (如图)：(1)∠A ＝∠BCD ，∠B ＝∠ACD . (2)△ABC ∽△ACD ∽△CBD .(3)a 2＝pc ，b 2＝qc ，h 2＝pq ，ab ＝ch (其中c ＝p ＋q )．(4)在a 、b 、p 、q 、h 五个量中，知道两个量的值，就能求出其他三个量的值．A 组 专项基础训练 (时间：50分钟)1．如图，△OAB 是等腰三角形，P 是底边AB 延长线上一点，且PO ＝3，PA ·PB ＝4，求腰长OA 的长度．解 如图，作OD ⊥AP ，垂足为D ， 则PO 2－PD 2＝OB 2－BD 2， 所以PO 2－OB 2＝PD 2－BD 2，因为AD ＝BD ，所以PD 2－BD 2＝PD 2－AD 2＝(PD ＋AD )(PD －AD )＝PA ·PB ＝4， 所以PO 2－OB 2＝4， 所以OB 2＝9－4＝5， 所以OB ＝5，所以OA ＝ 5.2．如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，求AE 的长．解 由于∠ACD ＝∠AEB ＝90°， ∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AD ＝AE AC.又AC ＝4，AD ＝12，AB ＝6， ∴AE ＝AB ·AC AD ＝6×412＝2.3.如图，Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，求AD ∶BC .解 设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ，∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5.4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3，求△ACD 与△CBD的相似比．解 如图所示，在Rt△ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理得：CD 2＝AD ·BD ，又∵AD ∶BD ＝2∶3， 令AD ＝2x .则BD ＝3x (x >0)， ∴CD 2＝6x 2，∴CD ＝6x .又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∴△ACD ∽△CBD . 易知△ACD 与△CBD 的相似比为ADCD＝2x 6x＝63. 即相似比为6∶3.5．如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 是∠ABC 的角平分线，交AD 于点F ，求证：DF AF ＝AEEC.证明 ∵BE 是∠ABC 的角平分线， ∴DF AF ＝BD AB，①AE EC ＝AB BC.② 在Rt△ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC.③由①③得DF AF ＝ABBC ，④由②④得DF AF ＝AEEC.6.如图所示，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是BC 的中点，CN ⊥AM ，垂足是N ，求证：AB ·BM ＝AM ·BN . 证明 ∵CM 2＝MN ·AM ， 又∵M 是BC 的中点， ∴BM 2＝MN ·AM ，∴BM AM ＝MN BM，又∵∠BMN ＝∠AMB ，∴△AMB ∽△BMN ， ∴AB BN ＝AM BM，∴AB ·BM ＝AM ·BN .B 组 专项能力提升(时间：30分钟)7.如图所示，平行四边形ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积． (1)证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD .∴∠ABF ＝∠CEB . ∴△ABF ∽△CEB .(2)解 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD .∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∵DE ＝12CD ，∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8. ∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16.∴S 四边形ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.8.如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C .(1)求证：△ABF ∽△EAD .(2)若∠BAE ＝30°，AD ＝3，求BF 的长． (1)证明 ∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠AED . 又∵∠BFE ＝∠C ，∠BFE ＋∠BFA ＝∠C ＋∠ADE ，∴∠BFA ＝∠ADE .∴△ABF ∽△EAD . (2)解 ∵∠BAE ＝30°，∴∠AEB ＝60°， ∴AB AE ＝sin 60°＝32， 又△ABF ∽△EAD ，∴BF AD ＝AB AE，∴BF ＝AB AE ·AD ＝332.9.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M . (1)求证：△EDM ∽△FBM ； (2)若DB ＝9，求BM .(1)证明 ∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2EB . ∵AB ＝2CD ，∴CD ＝EB . 又∵AB ∥CD ，∴四边形CBED 是平行四边形． ∴CB ∥DE ，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ，∴△EDM ∽△FBM .(2)解 ∵△EDM ∽△FBM ，∴DM BM ＝DE BF. ∵F 是BC 的中点， ∴DE ＝2BF .∴DM ＝2BM ， ∴BM ＝13DB ＝3.10．如图，在梯形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF ∥AD ，假设EF 做上下平行移动．(1)若AE EB ＝12，求证：3EF ＝BC ＋2AD ；(2)若AE EB ＝23，试判断EF 与BC ，AD 之间的关系，并说明理由；(3)请你探究一般结论，即若AE EB ＝mn，那么你可以得到什么结论？ (1)证明 过点A 作AH ∥CD 分别交EF ，BC 于点G ，H .因为AE EB ＝12，所以AE AB ＝13，又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ＝13，即3EG ＝BH .又EG ＋GF ＝EG ＋AD ＝EF ， 从而EF ＝13(BC －HC )＋AD ，所以EF ＝13BC ＋23AD ，即3EF ＝BC ＋2AD .(2)解 EF 与BC ，AD 的关系式为5EF ＝2BC ＋3AD ，理由和(1)类似． (3)解 因为AE EB ＝m n ，所以AE AB ＝mn ＋m.又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ，即EG ＝mm ＋nBH .所以EF ＝EG ＋GF ＝EG ＋AD ＝mm ＋n(BC －AD )＋AD ，所以EF ＝mm ＋n BC ＋n m ＋nAD ， 即(m ＋n )EF ＝mBC ＋nAD .。
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【创新方案】2017届高考数学一轮复习 几何证明选讲 第一节 相似
三角形的判定及有关性质课后作业 理 选修4-1
1.在△ABC 中，∠BAC ＝90°，BC 边的垂直平分线EM 和AB 以及CA 的延长线分别交于D 、E ，连接AM ，求证：AM 2＝DM ·EM .
2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝12
CD ，BE 与AD 交于点F .
(1)求证：△ABF ∽△CEB ；
(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．
3．如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AF
AC
的值．
4.如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E .
求证：AE ·BF ＝2DE ·AF .
5. (2016·南阳模拟)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE ＝13AC ，BD ＝13
AB ，点F 在BC 上，且CF ＝1
3
BC .求证：
(1)EF ⊥BC ；
(2)∠ADE ＝∠EBC .
6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .
求证：AB AC ＝PF PE
.
答 案
1.证明：∵∠BAC ＝90°，M 是BC 边的中点，∴AM ＝CM ，∠MAC ＝∠C . 又∵EM ⊥BC ，∴∠E ＋∠C ＝90°.
又∵∠BAM ＋∠MAC ＝90°，∴∠E ＝∠BAM .
又∵∠EMA ＝∠AMD ，∴△AMD ∽△EMA .
∴AM DM ＝EM AM ，∴AM 2＝DM ·EM .
2.解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠BAF ＝∠BCD ，AB ∥CD ，
∴∠ABF ＝∠CEB ，∴△ABF ∽△CEB .
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，
∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF .
∴S △DEF S △CEB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE CE 2，S △DEF S △ABF ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫DE AB 2. 又DE ＝12CD ＝12
AB ， ∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE .
∴S △DEF S △CEB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE CE 2＝19，S △DEF S △ABF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE AB 2＝14
. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8.
∴平行四边形ABCD 的面积S ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.
3．解：∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CNF ，
∴AF CF ＝AE CN ，
∴AF AF ＋CF ＝AE AE ＋CN
. ∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝
AM BM ＝1，∴AE ＝BN ， ∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC
. ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6，∴AF AC ＝
22×2＋6＝15.
4.证明：过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N .
在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，
∴DN ＝12
BF . ∵DN ∥AF ，∴△AFE ∽△DNE ，
∴AE AF ＝DE DN . 又DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DE BF
， 即AE ·BF ＝2DE ·AF .
5.证明：设AB ＝AC ＝3a ，则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a .
(1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23
. 又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ，
由∠BAC ＝90°，∴∠EFC ＝90°，∴EF ⊥BC .
(2)由(1)得EF ＝2a ，
故AE
EF ＝a 2a ＝22，AD FB ＝2a 22a ＝22，∴AE EF ＝AD FB
. ∵∠DAE ＝∠BFE ＝90°，
∴△ADE ∽△FBE ，∴∠ADE ＝∠EBC .
6．证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .
对△MEF 有PF PE ＝AM AE ，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝
AM AF . 对△MBN 有AB AM ＝BD DN ，因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝
DC DN . 对△ADC 有AC AF ＝DC
DN ，所以AB AM ＝AC AF
.
AB AC ＝
AM
AF
，所以
AB
AC
＝
PF
PE
.
所以。