第四章系统频域分析
信号与系统第四章连续系统的频域分析V4.
那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过 渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近 于无穷小。
4.4 非周期信号的频谱—傅里叶变换
一、傅里叶变换
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度 的概念。令
F ( j) lim Fn
T 1/ T
将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平
面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频 谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。
也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn
为实数，也可直接画Fn 。
例：周期信号
f(t)
=
1
1 2
cos
4
t
2
3
1 4
sin
3
t
6
试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画 出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。
若 f1(t) ←→F1(jω)， f2(t) ←→F2(jω) 则 [a f1(t) + b f2(t) ] ←→ [a F1(jω) + b F2(jω) ] 例：f(t)的波形如图，则 F(jω) = ?
f(t) 1
-1 0 1
t
解: f (t) = f1(t) – g2(t) f1(t) = 1 ←→ 2πδ(ω) g2(t) ←→ 2Sa(ω)
lim
T
FnT
f (t) e j t d t
f (t) 1 F ( j) e j t d
2
傅里叶变换式 傅里叶反变换式
F(jω)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称 频谱。f(t)称为F(jω)的傅里叶反变换或原函数。
信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
信号与系统 吴大正 第四章 傅立叶变换和系统的频域分析
4.2 傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数—f(t) = –f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶 次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
f(t) 0 T/2 T t
4.3 周期信号(Periodic Signal)的频谱
周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关 系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位 随频率的变化关系，即将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω 为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相 位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实 数，也可直接画Fn 。
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
4.2 傅里叶级数
周期信号展开的无穷级数成为傅里叶级数，分“三角型傅里 叶级数”和“指数型傅里叶级数”，只有当周期信号满足狄 里赫利条件时，才能展开成傅里叶级数。 狄利赫利条件(Dirichlet condition)
t 0 T
2 T bn 2T f (t )sin(nt ) d t T 2
任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分， 由于f(-t) = -fod(t) + fev(t) ，所以 f (t ) f (t ) f (t ) f (t ) f e v (t ) f od (t ) 2 2
4.2 傅里叶级数
三角形式 指数形式 奇偶函数的傅里叶级数
e jx e jx 由于 cos x 2
A0 f (t ) An cos( n t n ) 2 n 1
信号系统(陈后金)第4章-信号的频域分析
0 2 lim[ 2 ] 2 0 + w
2 w dw 2arctg( ) 2 2 2 +w
f (t )
dt (t )e jwt dt 1
(t )
(1)
1
F (w )
0
t
0
w
单位冲激信号及其频谱
(4) 直流信号
直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限 的方法求出其傅里叶变换。
F [1] lim F [1 e
0
| t|
2 ] 2 (w ) ] lim[ 2 2 0 + w
符号表示：
F ( jw ) F[ f (t )] f (t ) F 1[ F ( jw )]
或
f (t ) F ( jw )
F
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
P 1
2 2 2 | C ( n w ) | C ( 0 ) + 2 | C ( n w ) | 0.1806 0 0 n =1 4 4
n =—4
P 0.1806 1 90 % P 0.200
周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功 率之和占整个信号平均功率的90%。
虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
• 常见周期信号的频谱密度
1. 常见非周期信号的频谱
(1) 单边指数信号
信号与系统第四章-连续信号复频域分析
j
0
（可以用复平面虚轴上的连续频谱表示） 实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正
弦分量 d cost 之和。 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
F ( )
f (t )e jt dt
ZB
3. 拉普拉斯变换
2 j f (t ) F ( s)
称 为衰减因子； e- t 为收敛因子。 返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
取 f(t)e- t 的傅里叶变换：
F [ f (t )e
t
]
f (t )e
t jt
e
f (t )e ( j )t dt dt
它是 j的函数，可以表示成
拉普拉斯变换（复频域）分析法 – 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 – 可以看作广义的傅里叶变换 – 变换式简单 – 扩大了变换的范围 – 为分析系统响应提供了规范的方法
返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
单边拉氏变换的优点： (1) 不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入响应 或全响应。 (2) 单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中，而且只需 要了解 t=0- 时的情况就可以了。 (3) 时间变量 t 的取值范围为 0 ~ ，复频域变量 s 的取 值范围为复平面( S 平面)的一部分。 j S 平面 当 >0 时， f(t)e- t 绝对收敛。
ZB
按指数规律增长的信号：如 e t ，0 =
比指数信号增长的更快的信号：如 e 或t t 找不到0 ， 则此类信号不存在拉氏变换。
频域分析方法
解为许多个周期性信号之和，然后分别求解，
最后求和（积分）。 在某频率点 ω ，实际（复）振幅是一个无穷
小量：
E&(ω) = lim 1 E( jω) = lim Ω E( jω) = E( jω) dω
T→∞ T
Ω→0 2π
2π
所以其响应为：
∴R& (ω) = H( jω)E&(ω) = H( jω)E( jω) dω 2π
4、系统的频率特性
H ( jω) 在特定 ω 点上的取值实际上表示了系统
对该频率点上的信号的幅度和相位的影响。由
H ( jω ) 可以引出系统的频域特性：
1） 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各 个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信 号幅度和相位的影响。
2）频率特性曲线 系统的传输特性也可以用图形的方法表示。
如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证
明只有 R( jω ) ⋅ e jωt 可能是系统对 E( jω ) ⋅ e jωt 信
号的响应。
令系统的传输函数为：
H ( jω) = bm ( jω )m + bm−1( jω )m−1 + ... + b1( jω ) + b0
( jω )n + an−1( jω )n + ... + a1( jω ) + a0 它实际上可以将时域中的转移算子 H ( p) 中的算 子 p 用 jω 替代后得到。这里的 H 完全是一个代
E(
jω )
= H ( jω)E( jω)
非周期信号通过线性系统的 rzs 求解公式还 有第三种推导方法： 根据卷积积分公式，有：
r(t) = e(t) ⊗ h(t)
信号与系统第4章
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
第四章 连续系统的频域分析例题详解
第四章 连续系统的频域分析例题详解1．一带限信号的频谱图如下图1所示，若次信号通过图2所示系统，请画出A 、B 、C 三点处的信号频谱。
理想低通滤波器的频率函数为)15()15()(--+=ωεωεωj H ，如图3所示。
解：设A 处的信号为：A f ，B 处的信号为：B f ，C 处的信号为：C f)30cos()(t t f f A = )30cos(t f f A B =)]]30([)]30([[21)()]]30([)]30([[21)(++-=++-=w j F w j F jw F w j F w j F jw F A A B A1. 如图2（a ）所示的系统，带通滤波器的频率响应如图2（b ）所示，其相频特性()0ϕω=，若输入 sin(2)(),()cos(1000)2t f t s t t tπ==，求输出信号()y t 。
f ()H j ω()0ϕω=1/(.)rad s ω--1001 -999 0 999 10011-10001000图（b ）图2解 4sin(2)1()[]()22t F j F g t ωωπ== [cos(1000)][(1000)(1000)]F t πδωδω=++-441[()cos(1000)][()][cos(1000)]21[(1000)(1000)]4F f t t F f t F t g g πωω=⋅*=++- 则系统输出信号的傅里叶变换为()[()cos(1000)]()Y j F f t t H j ωω= 由()H j ω的波形图及相频特性可得22()(1000)(1000)H j g g ωωω=++- 所以可得2221()[(1000)(1000)]41()[(1000)(1000)]4Y j g g g ωωωωδωδω=++-=*++-由此可得输出信号为1()()cos(1000)2y t Sa t t π=3．一理想低通滤波器的频率响应如图3示，其相频特性φ(ω)=0。
第四章 频域分析(第四-六节)
－20 －20
/(rad s 1 )
K
－40
/(rad s 1 )
K
b)
－40
a)
(3) Ⅱ 型 系 统 n = 2 ， 其 低 频 段 是 斜 率 为 - 4 0 d B / d e c 的 直 线 ， 该 直 线 或 其 延 长 线 与 0 d B 线 ( 横 轴 )的 交 点 频 率 为 w a , 此 时 ， K = w a。
p
= e
- xp /
1- x
2
和谐振峰值M
r
= 1 / 2x 1- x
2
可 以 看 出 ， 它 们 均 随 着 阻 尼 比 x的 增 大 而 减 小 。 由 此 可 见 ， M r 越 大 的 系 统 ， 相 应 的 M p也 越 大 ， 瞬 态 响 应 的相对稳定性越差。为了减弱系统的振荡性，同时使 系 统 又 具 有 一 定 的 快 速 性 ， 应 当 适 当 选 取 M r值 。 如 果 M r 取 值 在 1＜ M r ＜ 1 .4 范 围 内 ， 相 当 于 阻 尼 比 x 在 0 .4 ＜ x ＜ 0 .7 范 围 内 ， 这 时 二 阶 系 统 阶 跃 响 应 的 超 调 量 M p ＜ 25% 。
= e
由 此 可 见 ， 最 大 超 调 量 M p和 谐 振 峰 值 M r都 随 着 阻 尼 比 x的 增 大 而 减 小 。 同 时 随 着 M r的 增 加 ， 相 应 地 M p也 增 加 ， 其 物 理 意 义 在 于 ： 当 闭 环 幅 频 特 性 有 谐 振 峰 值 时 ， 系 统 的 输 入 信 号 的 频 谱 在 w = w r附 近的谐波分量通过系统后显著增强，从而引起振 荡。
第四章频域分析
第4章频域分析前面三章中，我们已介绍了信号处理技术的理论基础。
从本章开始，我们将具体介绍信号分析的方法。
信号分析和处理的目的是要提取或利用信号的某些特征。
而信号既可以从时域描述，也可以从频域描述，因此，按分析域的不同，信号分析方法可分为时域分析法和频域分析法。
在多数情况下，信号的频域表示比起其时域表示更加简单明了，容易解释和表征。
因此，我们首先介绍信号的频域分析法。
4.1概述一、频域分析法1.定义所谓信号的频域分析．．．．．．．，就是根据信号的频域描述（如DFT、FFT等）对信号的组成及特征量进行分析和估计。
2.频域分析的目的（1）确定信号中含有的频率组成成份（幅值、能量、相位）和频率分布范围；（2）分析各信号之间的相互关系；（3）通过系统的输入与输出频谱，求得系统的传递函数，识别系统的动力学参数；（4）通过频谱分析，寻找系统的振动噪声源和进行故障诊断；二、频谱1.定义所谓频谱，也就是信号的频域描述。
2.分类对于不同的信号和分析参数，我们可以用不同类型的频谱来表示。
（1）周期信号：离散的．．．幅值谱、相位谱或功率谱（2）非周期信号：连续的．．．幅值谱密度、相位谱密度或功率谱密度（3）随机信号：具有统计特征．．．．的功率谱密度3.功率谱（1）自功率谱：一个信号的能量（功率）沿频率轴的分布；（2）互功率谱：分析两个信号的互相关情况；注意：由于互谱是从互相关的角度来描述信号的，所以互谱本身并不含有信号功率的意义。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4.倒频谱所谓倒频谱，是指对功率谱再作一次“谱分析”以研究功率谱中的周期现象（如谐波引起的周期性功率谱峰值）。
5.相干分析所谓相干分析，是指通过求解两个频谱的相干函数来研究它们之间的相关程度（如系统输出频谱与输入频谱的相关程度）。
三、谱估计1.定义由于我们所研究的实际信号通常是含有确定性信号的随机信号，且信号的测试只能在有限时间内进行，因此，我们不可能按定义从无限区间求得真实的频谱，而只能在有限域中进行计算（比如，由有限长的离散采样序列来求得频谱）。
第四章 频域分析(第一节)
频率每变化一倍，称作一倍频程，记作oct， 坐标间距为0.301长度单位。频率每变化10倍，称 作10频程，记作dec，坐标间距为一个长度单位。 横坐标按频率ω的对数分度的优点在于：便于在较 宽的频率范围内研究系统的频率特性。 对数幅频图中的纵坐标采用均匀分度，坐标值 取 G ( jw ) 幅值的20倍对数，坐标值为
1
2
Aw
2
上式取拉氏变换并整理得
e
- t /T
Ts + 1 s + w
+
A 1+ T w
2 2
s in ( w t - a rc ta n T w )
x0 (t ) =
AT w 1+ T w
2 2
e
- t /T
+
A 1+ T w
2 2
s in ( w t - a rc ta n T w )
上式即为由正弦输入引起的响应。其中，右边 第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。 当时间 t→∞，瞬态分量趋近于零，则系统的稳态响应为
(4-1)
相频特性(): 稳态输出信号的相角与输入信号相 角之差: 频率特性G(j) : G(j)的幅值和相位均随输入 正弦信号角频率的变化而变化。 在系统闭环传递函数G(s)中，令s= j，即可得 到系统的频率特性。
例如图4-3所示，简单的RC电路。
RC电路的传递函数为
G (s) = 1 Ts + 1
由此可见，比例环 节的对数幅频图为幅 值等于20LgK(dB)的一 条水平直线。对数相 频图的相角为零，与 频率无关。
L( ) / dB
20 lg K
0 0.1 90 0 -90
( ) /()
第四章系统的频率特性分析
第四章系统的频率特性分析第四章系统的频率特性分析时间响应分析：主要用于分析线性系统的过渡过程，以时间t为独立变量，通过阶跃或脉冲输入作用下系统的瞬态时间响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(s)频率特性分析：以频率ω为独立变量，通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(jω)频域分析的基本思想：把系统输入看成由许多不同频率的正弦信号组成，输出就是系统对不同频率信号响应的总和。
4.1频率特性概述1.频率响应与频率特性（1）频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应。
（frequencyresponse）对稳定的线性定常系统输入一谐波信号xi(t)=Xisin?t稳态输出（频率响应）:xo(t)=Xo(?)sin[ωt+?(ω)]【例】设系统的传递函数为输入谐波信号xi(t)=Xisin?t 则稳态输出（频率响应）与输入信号的幅值成正比与输入同频率，相位不同进行laplace逆变换，整理得同频率?幅值比A(?)相位差?(?)ω的非线性函数(揭示了系统的频率响应特性)输入:xi(t)=Xisinωt稳态输出（频率响应）:xo(t)=XiA(?)sin[ωt+?(ω)]幅频特性：稳态输出与输入谐波的幅值比相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差?(?)[s]A(?)?(?)（2）频率特性：对系统频率响应特性的描述(frequencycharacteristic)频率特性定义为ω的复变函数，幅值为A(?)，相位为?(?)。
输入谐波函数xi(t)=Xisin?t，其拉式变换为2.频率特性与传递函数的关系设系统的微分方程为:则系统的传递函数为:则由数学推导可得出系统的稳态响应为根据频率特性定义，幅频特性和相频特性分别为故G(j?)=?G(j?)?ej?G(j?)就是系统的频率特性如例1，系统的传递函数为所以3.频率特性的求法(1)频率响应→频率特性稳态输出（频率响应）故系统的频率特性为或表示为(2)传递函数→频率特性将传递函数G(s)中的s换成jω，得到频率特性G(jω)。
第四章 频域分析(第三节)1
G (s) =
jt m w )
? ( j w ) (1 + jT1 w )(1 + jT 2 w ) 鬃 (1 + jT n - v w )
(n
m)
其分母阶次为n-m，分子阶次为m，v=0，1，2…， 乃奎斯特图具有以下特点： (1) 当ω=0时，乃奎斯特图的起点取决于系统的型次：
0型系统(v=0) 起始于正实轴上某一有限点；
由系统的频率特性
G ( jw ) = = K j w (1 + jT w ) - KT 1+ T w
2 2
= - K
K j w (1 - jT w )
( j w ) (1 + jT w )(1 - jT w )
w (1 + T w
2 2
2
+ j
)
- KT
则系统的实频特性为
U (w ) = R e 轾 ( jw ) = G 2 2 臌 1+ T w
ω=0
Im
K (T1T2 ) T1 T2
3 2
[G ( j )]
O ω=∞
Re
例 4-6 已 知 系 统 的 开 环 传 递 函 数 G (s) =
K (1 + T1 s ) s (1 + T 2 s )
(T1＞ T 2 ) , 试 绘 制 其 N y q u i s t 图 。
解 系统是由一个比例环节﹑一个积分环节﹑ 一个一阶微分环节和一个惯性环节串联组成， 其频率特性为 K (1 + jT1 w ) G ( jw ) = ( j w )(1 + jT 2 w ) = K (T1 - T 2 )
(1 + T 2 w
数字信号处理 第4章 信号与系统的复频域分析
极点的分布反映了系统的各种特征。
系统函数往往用零点和极点在S平面上的分 布图来表示，以”○”表示零点，以”×” 表示极点，以“⊙”表示重零点，以”*” 表示重极点。
jω
×
1
○
*
-2
-1
○
01
○
2
σ
×
-1
H
(s)
s(s (s2 2s
求上式的拉氏反变换，就可以得到系统的
冲激响应为：
n
h(t) bm kie pit i 1
每一极点对应一分量 epit ,(有r重极点时对 应 t e r1 pit ），极点位置就决定了该分量 的时域性质。
在H(s)的系数都为实数时，如果有一极点
为复数，必有另一极点是该极点的共轭复 数，同时系数k也将为共轭复数，一对共轭 极点组成的响应分量仍然为实数。
系统稳定性：对于任何一个有界的激励， 稳定系统产生的响应在任何时候都是有界 的。也就是要求系统的冲激响应有界（随 着t→∞，|h(t)|将逐渐衰减到零）。系统的 冲激响应的时域性质可由系统函数的极点 位置确定，因此，系统的稳定性可由系统 函数的极点位置来判断。
1、系统函数的极点全部位于左半S平面时， 随着t→∞将逐渐衰减到零，系统稳定。因
1
F (s)estds F (s)estds
2 j C0 Ci
Ci
0
k
Re
s(sk
)
1
2
j
Ci
F
(s)e st ds
F (s)estds 0 t 0
C1
F (s)estds 0 t 0
C2
第4章 频域分析法
第4章 频域分析法
r1(t)＝Asin ω1t O t r2(t)＝Asin ω2t O t
c 1(t)＝M 1Asin( ω1t ＋ϕ1)
ϕ1 O
t c 2(t)＝M 2Asin( ω2t －ϕ2)
渐三线线
ϕ2
输输输输
输输输输
图4 - 1 线性系统的频率特性响应示意图
第4章 频域分析法
由图4-1可见，若r1(t)=A sinω1t,其输出为 c1(t)=A1 sin(ω1t+φ1)=M1A sin(ω1t+φ1)，即振幅增加了M1 倍， 相位超前了φ1角。 若改变频率ω， 使 r2(t)=A sinω2t， 则系统的输出变为 c2(t)=A2 sin(ω2t-φ2)=M2Ａ sin(ω2t-φ2)， 这时输出量的振 幅减少了(增加M2倍， 但M2<1), 相位滞后φ2角。 因此， 若以频率ω为自变量， 系统输出量振幅增长的倍数M 和相位的变化量φ为两个因变量， 这便是系统的频率 特性。
2 2
相频特性
− Tω /(T 2ω 2 + 1) ϕ (ω ) = arctan = arctan( −Tω ) 2 2 1 /(T ω + 1)
(4 - 14)
第4章 频域分析法
2) 图形表示方式 (1) 极坐标图（PolAr Plot）。 极坐标图又称奈奎 斯特图。 当ω从0→∞变化时， 根据频率特性的极坐标 表示式 G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)=M(ω)∠φ(ω) 可以计算出每一个ω值下所对应的幅值M(ω)和相 角φ(ω)。 将它们画在极坐标平面上， 就得到了频率特 性的极坐标图。
第4章 频域分析法
Im U (ω2)
ω→ ∞
0 V (ω2)
第四章连续系统的复频域分析
(region of convergence)实际上就是拉氏变换存在的条
件；
则收敛条件为 。 lim f (t) eσt 0 t
σ σ0
jω 收敛轴
收敛区
收敛坐标
σ0 O
σ
图4-2拉普拉斯收敛域
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域
例 4-1-1 求指数函数 f (t) et ( 0) 的拉氏变换及其收敛域。
F(s) f (t)e-stdt 0
F( s ) ：为s的函数，称为象函数。
s = + j，复频率。
变换对：
f( t ) F( s )
电压：u( t ) U( s )
电流：i( t ) I( s )
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域
收敛域就是使 存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC
eα st
1
αs αs
σ α
3.单位冲激信号
0
L
t
0
t
estd
t
1
全s域平面收敛
L t t0
0
t t0
estd t est0
表4—1一些常见函数的拉氏变换
4.1.3 常用信号的拉普拉斯变换
解: 用两种方法进行求解。
dt
的拉普拉斯变换。
方法一：由基本定义求解。 d
因为 f (t) 的导数为
dt
[e
atu(t
)]
aeat
u(t)
(t
)
L
df (t) dt
第四章 连续系统频域分析
第四章 连续系统频域分析徐春梅2010-10-20 2010- 10-主要内容• 4.1 引言 • 4.2 频域系统函数 • 4.3 系统对非正弦周期信号的响应 • 4.4 系统对非周期信号的响应 • 4.5 无失真传输及其条件 • 4.6 理想低通滤波器及其响应 • 4.7 抽样信号与抽样定理 • 4.8 调制与解调2010-10-20主要内容• 4.1 引言 • 4.2 频域系统函数 • 4.3 系统对非正弦周期信号的响应 • 4.4 系统对非周期信号的响应 • 4.5 无失真传输及其条件 • 4.6 理想低通滤波器及其响应 • 4.7 抽样信号与抽样定理 • 4.8 调制与解调2010-10-20• 4.1 引言• Click 零状态 Master text styles to edit y f (t ) f (t ) y f (t ) = f (t ) ∗ h(t ) • Second level LTI • Third level • Fourth level Y f ( jω ) F ( jω ) Y f ( jω ) = F ( jω ) ⋅ H ( jω ) • Fifth levelLTIy f (t ) = F −1 Y f ( jω )2010-10-20[]主要内容• 4.1 引言 • 4.2 频域系统函数 • 4.3 系统对非正弦周期信号的响应 • 4.4 系统对非周期信号的响应 • 4.5 无失真传输及其条件 • 4.6 理想低通滤波器及其响应 • 4.7 抽样信号与抽样定理 • 4.8 调制与解调2010-10-20• 4.2 频域系统函数------系统函数• Click to edit Master text styles 系统函数定义：在零状态情况下 • Second level Y f ( jω ) • Third level( j ω ) = H F ( jω ) • Fourth level • Fifth （1）h(t)的傅立叶变换； level （2）描述系统频率特性。
频域分析法
1
1
U0 (s) Ts 1Ui (s) Ts 1
Ui s2 2
对上式取拉氏反变换，得输出时域解为
u0
(t
)
1
UiT T 2
2
t
eT
Ui sin(t arctanT) 1 T 22
2021年4月15日3时14分
当t→∞时，第一项趋于0，这时电路的稳态输出为
u0 (t)
Ui
1 T 22
sin(t
arctan
T2
T1 2 1 T2 2 1
A
K
T1 2 1 T2 2 12arctan T1
arctan T2
2021年4月15日3时14分
4.2 频率特性的几种图示方法
序号 1
名称 幅相频率特性曲线
图形常用名 奈奎斯特图
坐标系 极坐标
2 对数幅值频率特性曲线 对数相角频率特性曲线
伯德图
4.1 频率特性 1、频率特性的定义
对于稳定的线性定常系统，其传递函数为G(s)，若输 入量为一正弦信号，则其输出响应的稳态分量也是同 频率的正弦信号，但幅值、相位与输入信号的不同。 保持输入信号的幅值不变，逐次改变输入信号的频率， 则可测得一系列稳态输出的幅值和相位。 （输出信 号稳态时的幅值与相位按照系统传递函数的不同随着 输入正弦信号频率的变化而有规律的变化）。
j p
例：试求
Gs
K
s T1s 1 T2s 1
的幅频特性和相频特性。
G
j
K
j T1 j 1T2 j 1
G j K 1 1 1
j T1 j 1 T2 j 1
K
1
ej
2
1
e jarctanT1
第四章 频域分析法
1. 搞清频率特性的基本概念
2. 掌握典型环节和控制系统频率特性图的绘制方法
学习 目的
3. 掌握系统稳定性的频域分析方法 4. 了解频域性能指标与时间特性指标之间的关系 5. 掌握用系统开环频率特性分析闭环系统性能的方法 6. 掌握应用MATLAB工具分析系统频率性能的方法
内容 提要
本章主要阐述系统频率特性的基本概念、典型环节和 控制系统频率特性图的绘制方法、频域稳定判据和系 统性能频域分析法
（4.10）
V ( ) Im G( j ) A( ) sin ( ) （4.12） 因此，系统频率特性采用下面三种图示表达形式：
（1） 幅相频率特性（尼奎斯特图）：系统频率特性 G ( j ) 是个矢量。按式 （4.9）和式（4.10）可以求出幅频特性 G ( j ) 与相频特性G ( j ) 。给出不同 值，即可算出相应 G ( j ) 和 G ( j )值。这样就可以在极坐标复平面上画 值由零到无 穷大时的 G ( j ) 矢量，把各矢端连成曲线即得到系统的极坐标 幅相频率特性曲线，通常称它为尼奎斯特曲线或尼奎斯特图。 当然，也可根据式（4.11）和式（4.12）通过求出不同 时的 实频特性和虚频特性，来获得幅相频率特性曲线。 （2） 对数频率特性（博德图）：对数频率特性是由两张图
(4.2)
比较系统稳态输出量和输入信号的波形时发现，稳态输出量 的频率与输入量相同，但其振幅及相位都与输入量不同。若改变 输入量 xi (t )的 而保持其振幅 X im 恒定，输出量与输入量的振 幅比 A( )及输出量与输入量的相位差 ( )都是频率 的函数。
为了进一步说明频率特性的基本概念，考虑图4.1所示RC电 路。其传递函数为
重 点 系统开环博德图的绘制
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d vC ( t ) vC ( t ) e( t ) dt
将动态元件电路转化为纯电阻（阻抗）电路
例：
R
1 C j C
t ) Ee(
uc ( t ) uc ( t ) 电容的阻抗： Zc duc ( t ) i c (t ) C dt U (j ) 1 c vC t ) ? ( U c CjU c (j ) j C
调频(FM)和调相(PM) 脉冲幅度调制
O
振幅调制(AM)
t
正弦型 调制
根据载 波的类 型分类
单边带调制(SSB)
t
残留边带调制(VSB)
脉冲 调制
脉冲宽度调制 脉冲周期调制
本节主要从信号 频谱搬移角度， 介绍幅度调制、 解调技术的原理。
抑制载频调幅原理——双边带调制（DSB）
消息 变 信号 换 发送系统 器
声卡均衡器的控制面板
理想选频滤波器
选频滤波器是滤波器 家族中最简单、最基本的 一类。通常，信号与噪声 的频谱不在一个频率段中， 人们可采用选频滤波器进 行去噪。选频滤波器主要 可分为：低通滤波器、高 通滤波器、带通滤波器和 带阻滤波器。 理想选频滤波器的频率响应H()
通带
H j
阻带
理想低通滤波器 H j
理想高通滤波器 H j
理想带通滤波器
H j
理想带阻滤波器
理想低通滤波器
频域
H j
理想低通 滤波器
时域
系统对输入 信号有延时
h(t ) Sa t t π c
c 0
c
π
c
jt 1 e H j 0
F ( )
F cos 0 t
A 2
c
c c m
c
O
O
c
G0 ( )) G 0( 0
c m
A 2A 4
A A 4 4
2 ccc 2
DSB调幅有两个缺陷：
2 2 A ccc 4
c
O O kkk m m m A 4 O
相位
2
f (t )
3 6 6 sin t cos2t
3 2 sint cos2t y( t ) 2
0
2
2
调制、解调与多路复用
一般的通信系统总是由以下环节组成:
信道 信号 变 消息 换 接收系统 器 解调
H 2
2
y( t ) ?
输入信号频率
1 H
1
， 范围
F
6
3
6
3
3
3
3 范围 3 ，
Y
输出信号频率
6
6
6
相位
2
1
2
3
2
1
2 1
2
0
2
1
2
消息 变 信号 发送系统 换 器 调制
在通信系统中广泛采用调制技术的主要原因:
1. 由声音、图像等待传输的信号为低频信号，不能直接以电磁波的 形式辐射进行远距离传输。而高频信号容易以电磁波形式辐射出去。 2. 任何信道都有它自己的传输特性，调制将信号转换成适合与信道传 输的已调信号。 3. 信道带宽要比一路信号带宽要大得多;信道多路复用需进行调制。
第四章 连续时间系统的频域分析
引 言
时域分析
xt
傅 里 叶 变 换
ht
傅 里 叶 变 换
yt * )h ( t t )d xx t( h
表征系统 频域行为
傅 里 叶 变 换
时 域 卷 积 定 理
频域分析
X ( )
H ( )
Y ( ) X ( )
信号 变 消息 换 接收系统 器
解调
高频载波
必须采用 同步解调 （相干解调）
解调模型
g (t ) cos c t
载频信号频谱
乘法器
g 0 t
理想低通
H ( )
2
g(t )
接收信号
cos cos c tc t
本地载波必须 与发送端载波 同频同相
k
O
k
从频谱结构上分析解调的过程
c
c
c
一阶模拟低通滤波器：RC电路
1
v1 ( t )
1
R
2
H j
1
π 2
O
C
v2 (t )
2
2 2
O
π 2
π Байду номын сангаас
二阶低通滤波器的实例
v1 ( t )
H j
1
L
C
R
v2 ( t )
π 2 c
c O
c
R
系统频响
E π
1 j
H
U c E
R1
1 j C 1 R2 j C R2
R2 1 R 1 R 2 1 jωτ
R 2R 1 其中τ R R 1 2
例4-1
1
O
u t
1 1 j C 1 R j j 1 RC
1 C j C
R
越信号u t ，利用 例4-1 下图所示RC电路，在输入端加入阶 傅里叶分析方法求电容 两端电压vc t 。
分析：
1
O
u t
t
频谱
e(t )
R1
R2
C
vC (t ) ?
1 j C 1 R2 j C R2
t
频谱
R1
e(t )
R2
C
vC (t ) F ? U
1 c
t R2 R2 ut e ut R1 R2 R1 R2
系统频响
E π
1 j
H
R2 1 RR 其中τ R R R 1 R 2 1 jωτ
Y ( ) X H
系统微分方程
频域分析法的优点和意义：
将系统的微分方程转化频域中的代数方程。 将系统输出的求解由卷积积分运算转换成乘积运算 物理意义明确，应用广泛。傅里叶分析方法是系统
分析与设计的重要工具。
其在信号传输和滤波器设计等实际问题中具有重要意义 。
当系统内部结构无法确知时，频谱可通过测量得到。
A 2
A 2 O 0 m 0 0 m
O
t
调制后信号频谱形状 不变，只是搬移到高
0
f (t ) g( t ) cos 0 t
频处，此时带宽： 此时带宽： 2 m m
抑制载频调幅（DSB）的解调
将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。
消息 变 信号 换 发送系统 器 信道
A
1.调制和解调时的载波要求严格同 2 频同相，因此，在解调设备中必须 采用频率合成技术和锁相技术，这 样增加了复杂度和成本。 2. 增加了传输时占用的带宽。
0
c
t 0
t0
t
c c
h(t)为无限长、非因果， 因此其不能用硬件实现
理想低通滤波器的物理不可实现性也可根据佩利－维纳 准则（系统可实现的必要条件）判定：
ln H (j ) 1
2
－
d
H j
理想低通滤波器
c
L 时，且令 c C
1 LC
c O π 2 π
滤波器的阶数越高，越接近理想滤波器。模拟滤波器的设计技术已经 很成熟了，其在工程上常用设计的模拟滤波器原型（数学模型）有四 种：巴特沃斯模拟滤波器；切比雪夫I模拟滤波器；切比雪夫II模拟滤 波器和椭圆型模拟滤波器。
例
1 ， 3rad / s 下图所示连续系统，已 知子系统 1的频率响应 H 1 ， 3 其它 0，
本章主要内容
• 信号通过系统的频域分析方法
• 滤波器的基本概念
• 通信系统中的调制、解调与多路复用
• 信号通过线性系统无失真传输条件
信号通过系统的频域分析方法
LTI系统频域分析主要步骤:
xt
FT
ht
y t xt ht
IFT
卷积运算转换为乘法
X
FT
基带信号频谱
基频信号带宽 m
O
A
t
mO m
cos c t
cos c t F 载频信号频谱
(π )
载频要远大于基 频带宽c m
(π )
O
t
c
O
c
F ( )
g t cos c t
F ( )
1 G( 0 ) G( 0 ) 2
Y X H
怎样等到？
H
利用微分方程得到系统频响H(ω)
例：
R
系统微分方程： RC
C
(t) E e
Uv c C (t ) ?
RC jU c U c E ( )
H ( ) U c ( ) 1 E ( ) j RC 1
4