第四章 频域分析(第四-六节)

L( ) / dB L( ) / dB
－20 －20
/(rad s 1 )
K
－40
/(rad s 1 )
K
b)
－40
a)
(3) Ⅱ 型 系 统 n = 2 ， 其 低 频 段 是 斜 率 为 - 4 0 d B / d e c 的 直 线 ， 该 直 线 或 其 延 长 线 与 0 d B 线 ( 横 轴 )的 交 点 频 率 为 w a , 此 时 ， K = w a。
p
= e
- xp /
1- x
2
和谐振峰值M
r
= 1 / 2x 1- x
2
可 以 看 出 ， 它 们 均 随 着 阻 尼 比 x的 增 大 而 减 小 。 由 此 可 见 ， M r 越 大 的 系 统 ， 相 应 的 M p也 越 大 ， 瞬 态 响 应 的相对稳定性越差。为了减弱系统的振荡性，同时使 系 统 又 具 有 一 定 的 快 速 性 ， 应 当 适 当 选 取 M r值 。 如 果 M r 取 值 在 1＜ M r ＜ 1 .4 范 围 内 ， 相 当 于 阻 尼 比 x 在 0 .4 ＜ x ＜ 0 .7 范 围 内 ， 这 时 二 阶 系 统 阶 跃 响 应 的 超 调 量 M p ＜ 25% 。
= e
由 此 可 见 ， 最 大 超 调 量 M p和 谐 振 峰 值 M r都 随 着 阻 尼 比 x的 增 大 而 减 小 。 同 时 随 着 M r的 增 加 ， 相 应 地 M p也 增 加 ， 其 物 理 意 义 在 于 ： 当 闭 环 幅 频 特 性 有 谐 振 峰 值 时 ， 系 统 的 输 入 信 号 的 频 谱 在 w = w r附 近的谐波分量通过系统后显著增强，从而引起振 荡。
令
G ( jw ) H ( jw ) 1 + G ( jw ) H ( jw )
= M 1 (w ) e
ja 1 (w )
H ( jw ) = M 2 (w ) e
ja 2 (w )
则
F (j w ) = M 1 (w ) M 2 (w ) e
G ( jw )
1
1 + G ( jw ) H ( jw ) H ( jw ) = M (w ) e
c
/( r a d s
－ 40
)
低
中
高
－ 60
1. 低频段 这一段特性完全由系统的类型和开环增益决定。在 低频段，根据幅频特性曲线的幅值L(ω)=20lgK和斜率， 就可确定开环增益K和积分环节个数v，这两个参数反映 了闭环系统的稳态性能。因此，闭环系统的稳态性能可 通过分析开环对数幅频特性曲线的低频段来确定。
二阶系统的谐振频率为 w r = w n 1 - 2 x 2 其过渡过程时间为
ts = 3 4 xw n =
2 (3 4 ) 1 - 2 x
xw r
由 此 可 见 ， 当 阻 尼 比 x一 定 时 ， 调 整 时 间 ts与 谐 振 频 率 w r成 反 比 。 w r大 的 系 统 ， 瞬 态 响 应 速 度 快 ； w r 小，则瞬态响应速度慢。
4 2
wc = wn
1 + 4x - 2x
式 中 ， 若 阻 尼 比 x 保 持 不 变 ， 则 w c与 w n 成 正 比 。 对 于 二 阶 系 统 ， 其 动 态 性 能 指 标 t r﹑ t p﹑ t s 均 与 w n 成 反 比 ， 即 与 wc成 反 比 。 因 此 ， 幅 值 穿 越 频 率 w c反 映 了 闭 环 系 统 动 态 响 应 的 快 速 性 。
将 s=jw代 入 式 中 ， 则 得 X 0 ( jw ) G ( jw ) F (j w ) = = = = M (w ) e X i ( jw ) 1 + G ( jw )
ja (w )
则 F (j w ) 称 为 闭 环 频 率 特 性 ， M ( w ) 表 示 闭 环 频 率 特 性 的 幅 值 ， a (w ) 表 示 其 相 位 。
－ 20
c
/( r a d s
1
)
这时，如果H(s)=1，则有
G (s) 1 + G (s) wc / s 1 + wc / s 1 1 + s / wc
F (s) =
?
相当于一个一阶系统，其阶跃响应按指数规律 变 化 ， 没 有 振 荡 ， 即 有 较 高 的 稳 定 程 度 ， 且 ts » 3 , w c愈 高 ， t s 越 小 ， 系 统 的 快 速 性 越 好 。 故 中 频 wc 段 配 置 较 宽 的 - 2 0 d B / d e c 斜 率 线 ， w c高 一 些 ， 则 系 统 近 似 一 阶 系 统 ， M p 及 t s小 。
高阶系统的阶跃响应与频率响应之间的关 系较复杂。如果高阶系统的控制性能主要由一 对共轭复数主导极点来支配，则其频域性能指 标与时域性能指标之间的关系就可近似视为二 阶系统。对于高阶系统，通常采用以下两个经 验公式
M p = 0 .1 6 + 0 .4 ( M r - 1) p 轾 ts = 2 犏 + 1 .5 ( M r - 1) + 2 .5 ( M wc 臌
骣 ç M m ax ÷ ÷ 3 .谐 振 频 率 w r 及 相 对 谐 振 峰 值 M r ç çM 0 ÷ ç ( )÷ 桫 幅 频 特 性 M ( w )出 现 最 大 值 M m a x 时 的 频 率 称 为 谐 振 频 率 w r。 当 w = w r时 的 幅 值 M ( w r ) = M m a x 与 M m ax M (0 ) 之 比 ，称为相对谐振峰值或谐振比。 M (0 )
L( ) / dB L( ) / dB
2
－40
－40
K
/(rad s 1 )
K
－20
/(rad s 1 )
－20
a)
b)
2. 中频段
中频段：反映了系统动态响应的稳态性和快速性。
对 于 二 阶 系 统 ， 令 G ( jw ) = 1， 可 以 求 得 幅 值 穿 越 频 率 为
r
M ( )
Δ
/( ra d s
0
1
)
M
r
b
例 4-9 已 知 一 阶 系 统 传 递 函 数 为 G (s) = 求 该 系 统 的 w b。
解 G (j w ) = 1 1 + jT w 即 1 1+wb T 1 wb = = wT T
2 2 w = wb
1 Ts + 1
，
1 1 + jT w 1 1 = 2 1 + jT w 1 2
ja (w )
=
j 轾1 ( w )- a 2 ( w ) a 臌
式 中 ， M (w ) =
M 1 (w )
M 2 (w ) a (w ) = a 1 (w ) - a 2 (w )
式中的第一项是单位反馈系统的频率特性， 其开环传递函数为G(s)H(s)，因此，非单位 反馈控制系统的闭环频率特性即转化为一个 单位反馈系统的频率特性乘以1/H(jω)。
M ( ) M
r
若取分贝值，则
2 0 lg M r = 2 0 lg M m ax - 2 0 lg M ( 0 )
M (0) 0 .7 0 7 M ( 0 )
Δ
/( ra d s
0
1
)
M
r
b
在 M ( 0 ) = 1时 ， M r 与 M m a x 在 数 值 上 相 同 ， 系 统 的 M r反 映 了 系 统 的 相 对 稳 定 性 。 一 般 而 言 ， M r 值 愈 大 ， 则 该 系 统 阶 跃 响 应 的 超 调 量 M p也 愈 大 ， 表 明 系统的阻尼小，相对稳定性差。对于二阶系统，由 最大超调量M
2. 复现频率ωM与复现带宽0－ωM M ( ) 复现频率ωM：若事先规 M 定一个△作为反映低频输 Δ M (0) 入信号的允许误差，这样， 0.707M (0) ωM就是幅频特性值与M(0) 之差第一次达到△时的频 0 率值，称为复现频率。
r
/(rad s 1 )
r
M
b
复现带宽0～ωM：当频率超过ωM时，输出就不能 “复现”输入，所以， 0～ωM，表征复现低频输入信 号的频带宽度，称为复现带宽。 M(0)、ωM及△都是用来表征闭环幅频特性低频段的 形状的，所以，控制系统的稳态性能主要取决与闭 环幅频特性在低频段０≤ω≤ωM的形状。
w= 0
=
故
一阶系统的截止频率ωb等于系统的转折频率ωT， 即等于系统时间常数的倒数。也说明频宽愈大，系 统时间常数T愈小，响应速度愈快。
第五节
闭环系统性能分析
2
一、频域指标与时域指标之间的关系
对于标准二阶系统，其谐振峰值为 M r = 1 / ( 2 x 1 - x 2 ) 最大超调量为
M
p - xp / 1- x
中频段的斜率和宽度决定了系统动态响 应的平稳性，下面讨论两种极端情况。
1) 如L(ω)曲线的中频段斜率为-20dB/dec，且占 据的频率区间较宽，这时如只从平稳性和快速性考 虑，可近似认为开环的整个特性为-20dB/dec的直线。 其对应的传递函数为
G (s) ? K s wn s
0 .1
L ( ) / d B
L( ) / dBs 1 )
(2 ) Ⅰ 型 系 统 n = 1 ， 其 低 频 段 是 斜 率 为 - 2 0 d B / d e c 的 直 线 ， 该 直 线 或 其 延 长 线 与 0dB线 的 交 点 频 率 为 wv , 此 时 ， K = w v。
20lg M ( w b ) = 20 lg M ( 0 ) - 3 = 20 lg 0.707 M ( 0 )