第4章 傅里叶变换和系统的频域分析
合集下载
信号与系统——傅里叶变换和系统的频域分析
[
f1(t)
c12
f
2(t )] 2
dt
令 2 0，则误差能量
c12
2021/4/22 2021/4/22
最2 小
15 15
1
c12
t
2
t1
[t2
t1
f1 (t )
c12
f2 (t )]2
dt
0
1
t2 t1
t2 t1 c12
f12 (t )dt 2
t2 t
f1(t )
2021/4/22 2021/4/22
7 7
书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三
角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶级
数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断言
：“任意”函数（实际上要满足 一定的条件,例如分段单调）都
可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的
直流系数
1 a0 T
t0 T f (t )dt
t0
余弦分量系数
2
an T
t0 T t0
f (t)cos(n1t)dt
正弦分量系数
2
bn T
t0 T t0
f (t)sin(n1t)dt
2021/4/22 2021/4/22
30 30
狄利赫利条件：
在一个周期内只有有限个间断点； 在一个周期内有有限个极值点； 在一个周期内函数绝对可积，即
为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。” 这一见解已
成为数学史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点
。 2021/4/22 2021/4/22
8 8
傅立叶的两个最主要的贡献——
傅里叶变换及系统的频域分析
这样可以由周期信号的频谱推论出非周期信号的 频谱特点。
我们已经知道周期信号的周期T增大，相邻谱线 的间隔Ω变小；若周期T趋于无穷大，谱线的间隔 Ω趋于无穷小，这时离散的频谱就变为连续的频 谱。同时每条谱线的幅度也趋于无穷小。
因此我们可以初步推断出，非周期信号的频谱特 点为：连续的频谱，每条谱线的幅度接近于零。
| F ( j) | R 2 () X 2 ()
()
arctan
X () R()
R(ω)是ω的偶函数，X(ω)是ω的奇函数，
|F(j ω)|是ω的偶函数，ϕ(ω)是ω的奇函数
1 F ( j) e d j(t ())
2
1
F ( j) cos(t ())d j 1
F ( j) sin(t ())d
2
2
1
F ( j) cos(t ())d 1
F ( j) cos(t ())d
2
0
一个非周期信号f(t)可以分解为无穷多个余弦分量 cos(ωt+ϕ(ω))之和，每个分量的幅度为
由于每个函数的周期性，上面展开式在 区间上都成立。
含义：任意周期信号f(t)可以分解为无穷多个具有不同
频率的复指数信号
之和，各分量的幅度为Fn
将例题4-1中f(t)展开为指数形式的傅里叶级 数
首先求出傅里叶系数Fn
傅里叶级数：
利用欧拉公式
a 可以建立Fn与 n、bn、An的关系
a a a 1= 3= 5=……=b1=b3=……=0
我们已经知道了傅里叶级数的物理含义：周期信号是由
我们已经知道周期信号的周期T增大，相邻谱线 的间隔Ω变小；若周期T趋于无穷大，谱线的间隔 Ω趋于无穷小，这时离散的频谱就变为连续的频 谱。同时每条谱线的幅度也趋于无穷小。
因此我们可以初步推断出，非周期信号的频谱特 点为：连续的频谱，每条谱线的幅度接近于零。
| F ( j) | R 2 () X 2 ()
()
arctan
X () R()
R(ω)是ω的偶函数，X(ω)是ω的奇函数，
|F(j ω)|是ω的偶函数，ϕ(ω)是ω的奇函数
1 F ( j) e d j(t ())
2
1
F ( j) cos(t ())d j 1
F ( j) sin(t ())d
2
2
1
F ( j) cos(t ())d 1
F ( j) cos(t ())d
2
0
一个非周期信号f(t)可以分解为无穷多个余弦分量 cos(ωt+ϕ(ω))之和，每个分量的幅度为
由于每个函数的周期性，上面展开式在 区间上都成立。
含义：任意周期信号f(t)可以分解为无穷多个具有不同
频率的复指数信号
之和，各分量的幅度为Fn
将例题4-1中f(t)展开为指数形式的傅里叶级 数
首先求出傅里叶系数Fn
傅里叶级数：
利用欧拉公式
a 可以建立Fn与 n、bn、An的关系
a a a 1= 3= 5=……=b1=b3=……=0
我们已经知道了傅里叶级数的物理含义：周期信号是由
信号与系统 吴大正 第四章 傅立叶变换和系统的频域分析
4.2 傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数—f(t) = –f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶 次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
f(t) 0 T/2 T t
4.3 周期信号(Periodic Signal)的频谱
周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关 系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位 随频率的变化关系，即将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω 为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相 位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实 数，也可直接画Fn 。
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
4.2 傅里叶级数
周期信号展开的无穷级数成为傅里叶级数，分“三角型傅里 叶级数”和“指数型傅里叶级数”，只有当周期信号满足狄 里赫利条件时，才能展开成傅里叶级数。 狄利赫利条件(Dirichlet condition)
t 0 T
2 T bn 2T f (t )sin(nt ) d t T 2
任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分， 由于f(-t) = -fod(t) + fev(t) ，所以 f (t ) f (t ) f (t ) f (t ) f e v (t ) f od (t ) 2 2
4.2 傅里叶级数
三角形式 指数形式 奇偶函数的傅里叶级数
e jx e jx 由于 cos x 2
A0 f (t ) An cos( n t n ) 2 n 1
第章_傅里叶变换和系统的频谱分析
2019/7/26
3
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
信号的分量和信号的分解
正交信号空间
设n个函数 1(t),2(t), n (t) 构成一函数集，如在区间 (t1, t2 )
内满足下列特性：
t2 t1
i
(t)
j
(t)dt
0
t2 t1
i2
(t
)dt
Ki
(i j)
——常数
则称此函数集为正交函数集，这n
个
i
(t
)
构成一个n维
正交信号空间。
任意一个代表信号的函数 f(t)，在区间
(t ,t ) 内可以用 12
组成信号空间的这n个正交函数的线性组合来近似。
n
f (t) c (t) ii
i 1
2019/7/26
4
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
1822年法国数学家傅里叶（1768－1830）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出 并证明了将周期函数展开为三角函数的无穷级数的 原理。
2019/7/26
9
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.2 傅里叶级数
1829年， Dirichlet给出了补充，只有当周期信号 f (t) 满足Dirichlet条件时，才能展开为傅立叶级数。 (电子技术中的周期信号大都满足条件。)
t0
cos
mt
cos
nt
d
t
T
2
,
mn0
T , m n 0
Sin 0=0 不包含在 三角函数
傅里叶变换的性质课件
c n
1 T0
T0
2 T0
2
f ( t ) e j d0 t t d
c n
1 2
f ( t ) e j td td
F ( ) f ( t ) e j t d t
cn
1 2
F ( )d
(4―22) (4―23) (4―24) (4―25)
现将信号f(t)的傅里叶级数展开式重写如下
1sin2ft]
n
n1,3,5,
4.2 信号的频谱
4.2.1 信号频谱 上一节我们指出,信号可分解为傅里叶级数,即信号
可由系列复数指数函数加权之和构成。一般我们称这 里的复数指数函数ejnΩt为n次谐波,在该函数上所加的权 为谐波的振幅,nΩ为谐波的角频率,可以说所有的信号均 是由系列角频率不同的谐波叠加而成的(角频率可简称 为频率）。
0
t
(a)
F()
2
1
－ 0
(b)
图4.8 双边指数信号及其频谱
例4―6 求单位直流信号的频谱。
解 幅度为1的单位直流信号可表示为
f(t)=1,-∞<t<∞
(4―44)
它可以看作是双边指数信号在α取极限趋近0时的 一个特例,即
1limetu(t), 0 0
[1]
[limet 0
u(t)]
lim[et
4.2.4 常见信号的频谱分析举例 例4―2求冲激信号δ(t)的频谱。 解 由频谱函数的定义式（4―28）有
F() (t)ejtdt 1
(t) 1
(4―34) (4―35)
(t)
(1)
0 (a)
F()
1
t
0
(b)
最新课件-信号与系统教学第四章傅里叶变换和系统的频域分析 推荐
t2 t1
t2 t1
f
2 (t) d t
n
C
2 j
K
j
]
0
j 1
4.1 信号分解为正交函数
巴塞瓦尔公式
当 n ，有最小均方误差为零， 2 0 ，则
t2 t1
f
2 (t) d t
C
2 j
K
j
j 1
第j个正交分 量的能量
信号的能量 各正交分量的能量和
Parseval公式表明：在区间(t1,t2)上， f(t)所含能量恒等 于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总
n
arctan
bn an
bn An sin n ,
上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。
A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波， 它的角频率与原周期信号相同；Ancos(nt+n)称为n 次谐波，其频率是基波的n倍。
频率
1/T
4.2 傅里叶级数
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足
狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级
数—— 称为f(t)的傅里叶级数三角形式
f
(t)
a0 2
an
n1
cos(nt)
bn
n1
sin(nt)
傅里叶系数
由Ci表达式 确定
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cos(nt) d t
A C1v x C2 v y
y C2vy
vx , v y 为二维“正交矢量集”
如三维空间矢量B ，可表示为：
B C1v x C2v y C3v z
t2 t1
f
2 (t) d t
n
C
2 j
K
j
]
0
j 1
4.1 信号分解为正交函数
巴塞瓦尔公式
当 n ，有最小均方误差为零， 2 0 ，则
t2 t1
f
2 (t) d t
C
2 j
K
j
j 1
第j个正交分 量的能量
信号的能量 各正交分量的能量和
Parseval公式表明：在区间(t1,t2)上， f(t)所含能量恒等 于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总
n
arctan
bn an
bn An sin n ,
上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。
A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波， 它的角频率与原周期信号相同；Ancos(nt+n)称为n 次谐波，其频率是基波的n倍。
频率
1/T
4.2 傅里叶级数
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足
狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级
数—— 称为f(t)的傅里叶级数三角形式
f
(t)
a0 2
an
n1
cos(nt)
bn
n1
sin(nt)
傅里叶系数
由Ci表达式 确定
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cos(nt) d t
A C1v x C2 v y
y C2vy
vx , v y 为二维“正交矢量集”
如三维空间矢量B ，可表示为：
B C1v x C2v y C3v z
信号系统 第四章总结
第四章:傅立叶变换和系统的频域一、信号分解为正交函数 （一）、完备正交函数 1正交函数：实正交函数：设φ1(t) φ2(t)是定义在（t 1,t 2）内的两个实函数，若∫φ1(t ),t 2t 1φ2(t)dt =0，则称是函数的正交条件。
若∫φ1(t),t 2t 1φ2*dt =∫φ1*(t),t 2t 1φ2dt =0满足实函数的正交条件，则称φ1(t) φ2(t)在（t1,t 2）内正交。
复函数正交：：设φ1(t) φ2(t)是定义在（t 1,t 2）内的两个复函数，若，则称是复函数的共轭条件。
则称φ1(t) φ2(t)在（t 1,t 2）内正交。
2、正交函数集若n 个实函数{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在区间（t 1,t 2）内满足实函数正交条件∫φi (t ),t 2t 1φj(t)dt ={0,i ≠jK i ,i =j，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在（t 1,t 2）内是正交实函数。
≈复正交函数集：若n 个复函数{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在区间（t 1,t 2）内满足复函数正交条件∫φi (t ),t 2t 1φj*(t)dt ={0,i ≠jK i ,i =j，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在（t 1,t 2）内是复正交函数集。
3、完备正交函数集：若正交函数集{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）之外不存在g t （t ）与φi (t )正交，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）是完备正交函数集。
4、完备正交函数集举例： ａ、三角函数集 b 、复指数函数集 c 、沃尔什函数（二）信号正交分解f (t )≈C 1φ1（t ）+ C 2φ2（t ）+……..+ C n φn （t ）=∑C j n j=1φj (t),求系数C j 1、 求误差的均方值最小：2ε= Cj1t 1−t 2∫f (t )−∑C j n j=1φj (t)t 2t 1二、三角傅里叶级数（周期信号在一个周期内展开）1、满足狄利克雷条件f(t)=a02+∑(a n cos nΩt+b n sin nΩt)∞n=1a0 2=1T∫f(t)dt=f(t)π2−π2（f(t)在一个周期内方均值；直流分量）a n=2T∫f(t)cos nΩt dt,n=0,1,2,…T2−T2b n=2T∫f(t)sin nΩt dt,n=0,1,2,…T2−T22、三角傅里叶级数第二种表示方法：3、f(t)=A02+∑(A n cos(nΩt+φn)∞n=1A n=√a n2+b n2（A0=a）φn=tan−1b na nA02直流分量；(A n cos(nΩt+φn)n次谐波分量三角傅里叶级数的特点：A n和a n是nΩ的偶函数；b n和φn是nΩ的奇函数。
频域分析方法
解为许多个周期性信号之和，然后分别求解，
最后求和（积分）。 在某频率点 ω ，实际（复）振幅是一个无穷
小量：
E&(ω) = lim 1 E( jω) = lim Ω E( jω) = E( jω) dω
T→∞ T
Ω→0 2π
2π
所以其响应为：
∴R& (ω) = H( jω)E&(ω) = H( jω)E( jω) dω 2π
4、系统的频率特性
H ( jω) 在特定 ω 点上的取值实际上表示了系统
对该频率点上的信号的幅度和相位的影响。由
H ( jω ) 可以引出系统的频域特性：
1） 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各 个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信 号幅度和相位的影响。
2）频率特性曲线 系统的传输特性也可以用图形的方法表示。
如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证
明只有 R( jω ) ⋅ e jωt 可能是系统对 E( jω ) ⋅ e jωt 信
号的响应。
令系统的传输函数为：
H ( jω) = bm ( jω )m + bm−1( jω )m−1 + ... + b1( jω ) + b0
( jω )n + an−1( jω )n + ... + a1( jω ) + a0 它实际上可以将时域中的转移算子 H ( p) 中的算 子 p 用 jω 替代后得到。这里的 H 完全是一个代
E(
jω )
= H ( jω)E( jω)
非周期信号通过线性系统的 rzs 求解公式还 有第三种推导方法： 根据卷积积分公式，有：
r(t) = e(t) ⊗ h(t)
信号与线性系统分析第四章
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n 1 2
A0 1 j n jnt 1 An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1 第
23 页
指数形式的傅里叶形式
2 an T 2 bn T
T 2 T 2
f ( t ) cos(nt )dt f ( t ) sin ( nt )dt
第 11 页
T 2 T 2
例题1
an 0 n 2,4,6, 0, bn 4 , n 1,3,5, n
• 信号的傅里叶级数展开式为：
上式中第三项的n用–n代换，A– n=An、 – n= – n
A0 1 j n jnt 1 上式写为： An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1
令A0=A0ej0ej0t ，0=0 1 所以 f ( t ) An e j n e j nt 2 n
f (t )
n
F e
n
jnt
1 j cos(n )e jnt n n
第 19 页
四、周期信号的功率 —— Parseval 等式 A
f (t )
0
2
An cos(nt n )
n 1
周期信号一般是功率信号，其平均功率为
1 T
2
2
a0 f ( t ) an cos(nt ) bn sin( nt ) 2 n 1 n 1
2 .f(t)为奇函数——对称于原点
f (t ) f ( t )
4 an =0， bn T
第4(5)章 傅里叶级数和变换
t0
2 2
f (t ) cos( n1t )dt
2 T1
2
E cos( n1t )dt
4 T1
0
E cos( n1t )dt
2
4E 1 sin n1t T1 n1
变
0
不 变
2E n an sin n T1
n sin 2E n T1 n n T1 T1 2 E n Sa ( ) T1 T1
§4.1 引言 信号与系统的时域分析→变换域分析（频域分析）
第四章 连续系统的频域分析P116
任一周期信号都可以用三角函数的线性组合来表示
1822年，法国数学家傅里叶提出；
Poisson、Gauss等将其应用到电学中；
20世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等为傅立 叶分析的应用开辟了广阔的前景 周期信号——傅里叶级数 非周期信号——傅里叶变换
T 2 T 2 T 2 T 2
(3) 半波重迭信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
-T/2
T/2
t
半波重叠周期信号只含有正弦与余弦 的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
(4) 半波镜像信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
T/2 0 T
t
半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇 次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。
④ t =±π，±2π，…±nπ；Sa(t)=0
正弦分量的幅度： bn
2 T1
t 0 T1
2 2
t0
f (t ) sin( n1t )dt
2 T1
傅里叶变换与频域分析
傅里叶变换与频域分析傅里叶变换是一种重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、音频处理等领域有着广泛的应用。
通过将一个时域信号转化为频域信号，可以分析信号的频谱分布，从而揭示出信号中隐藏的信息。
本文将探讨傅里叶变换的原理及其在频域分析中的应用。
一、傅里叶变换的原理傅里叶变换是一种线性积分变换，它可以将一个时域连续信号转化为一个频域连续函数。
傅里叶变换的数学表达式如下：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)表示频域函数，f(t)表示时域函数，ω表示角频率，j表示虚数单位。
傅里叶变换的原理是将时域信号分解成多个不同频率的正弦和余弦波的叠加。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号在频域上的频谱分布，从而可以分析信号中各个频率成分的强弱和相位关系。
二、傅里叶变换的应用1. 信号滤波傅里叶变换可以将信号转化为频域信号，通过对频域信号的滤波操作可以去除信号中的噪声或者选择特定频率范围内的信号成分。
这在图像处理和音频处理中特别有用，可以有效地提取出感兴趣的信息。
2. 频谱分析傅里叶变换可以将信号在频域上展开，通过对频域函数的分析可以得到信号的频谱分布，包括各个频率成分的强弱和相位关系。
这对于研究信号特性、识别信号类型以及分析信号变化趋势非常有帮助。
3. 信号压缩傅里叶变换可以将信号转化为频域信号，通过选择性地保留部分频率成分，可以将信号进行压缩。
这在图像压缩和音频压缩中有着广泛的应用。
4. 信号重建傅里叶变换的逆变换可以将频域信号重新转化为时域信号，从而实现信号的重建。
这对于信号处理和通信领域非常重要。
三、频域分析的步骤频域分析是傅里叶变换在实际应用中的一种常见方式。
频域分析可以通过以下步骤实现：1. 采样信号首先，需要采集并采样原始信号。
采样频率要根据信号的最高频率成分来确定，以避免混叠现象的发生。
2. 进行傅里叶变换将采样的时域信号进行傅里叶变换，得到频域信号。
3. 频谱分析对频域信号进行频谱分析，可以得到信号在频率轴上的频谱分布。
信号与系统第四章连续系统的频域分析
极点对系统频率响应的影响更为显著。极点 会使系统频率响应在某些频率处产生谐振峰 或反谐振峰，具体取决于极点的位置和数量。 极点越靠近虚轴，对频率响应的影响越显著。 同时，极点的实部决定了系统的阻尼程度， 虚部决定了谐振频率。
05 连续系统频域性能指标评 价方法
幅频特性曲线绘制方法
确定系统的传递函数
周期信号频谱特性
离散性
周期信号的频谱是离散的，即只在某些特定的频率点 上有值。
谐波性
周期信号的频谱由基波和各次谐波组成，各次谐波的 频率是基波频率的整数倍。
收敛性
随着谐波次数的增加，谐波分量的幅度逐渐减小，即 周期信号的频谱具有收敛性。
02 傅里叶变换及其在频域分 析中应用
傅里叶变换定义与性质
信号调制与解调
在通信系统中，通过傅里叶 变换实现信号的调制与解调 过程，将信息加载到载波信 号上进行传输。
信号滤波与处理
利用傅里叶变换设计数字滤 波器，对信号进行滤波处理 以去除噪声或提取特定频率 成分。
03 拉普拉斯变换及其在频域 分析中应用
拉普拉斯变换定义与性质
定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变换，用于 将时间域的函数转换为复平面上的函数。 对于连续时间信号$x(t)$，其拉普拉斯变 换定义为$X(s) = int_{0}^{infty} x(t) e^{st} dt$，其中$s$是复数频率。
VS
性质
拉普拉斯变换具有线性性、时移性、频移 性、微分性、积分性、初值定理和终值定 理等重要性质。这些性质使得拉普拉斯变 换在信号与系统的分析中非常方便和有效 。
典型信号拉普拉斯变换举例
单位阶跃信号
指数信号
正弦信号
余弦信号
单位阶跃信号的拉普拉斯变 换为$frac{1}{s}$。
第四章(1)周期信号的傅里叶级数和频谱
1 j n jnt f ( t ) An e e 2 n
1 j n j n 令复数量 2 An e Fn e Fn
，称其为复
Fn
傅里叶系数，简称傅里叶系数。其模为
，
相角为 n ， 则得傅里叶级数的指数形式为 ：
f (t )
n
F e
n
jnt
复傅里叶系数
n 2 , 4 , 6 , 8 ,...... n 1 , 3 , 5 , 7 ,.....
, 0 bn 4 n ,
4
1 1 1 f t [sin t sin3t sin5t .... sinnt ...] 3 5 n
2
0
T 2
2 an 0 T
n 0,1 , 2 , 3,.......
2 bn T 2 T
0
T 2 T 2
f ( t ) si nnt dt
2 T2 (1) si nnt dt T
0
T 2 0
si nnt dt
T 2
2 1 2 1 cosnt cosnt T T n T n 0
a0 an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1 2 其中 an , bn 称为傅里叶系数， 。 T
那么,傅里叶系数如何求得呢?
T 2 T 2
a0 1 2 T
f ( t )dt
T 2 2 an T f ( t ) cos(nt )dt T 2 T b 2 2 f ( t ) sin( t )dt n n T T 2
A0 1 1 j n jnt j n jnt Ane e Ane e 2 2 n 1 2 n 1
第四章 傅里叶变换和系统的频域
例：周期信号 f(t) = 2 4 3 4 3 6 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画 出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。
解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
f (t) 1 1 cos t 2 1 cos t
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cos(nt) d t
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin(nt) d t
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
将上式同频率项合并，可写为
f
(t)
A0 2
n1
An
cos(nt
n)
式中，A0 = a0
An an2 bn2
代入，得最小均方误差（推导过程见教材）
2 1 [ t2 t1
t2 t1
f
2 (t) d t
n
C
2 j
K
j
]
0
j 1
2
2 1 t2 t1
t2
f
t1
(t)
n
C j j (t)
j 1
dt
t2
1 t1
则上式写为
A0
2
1 2
n1
An
e
j n
e
jn
t
1 2
An
n1
e
j n
e
jn
t
令A0=A0ej0ej0t ，0=0 所以
f
(t)
解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
f (t) 1 1 cos t 2 1 cos t
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cos(nt) d t
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin(nt) d t
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
将上式同频率项合并，可写为
f
(t)
A0 2
n1
An
cos(nt
n)
式中，A0 = a0
An an2 bn2
代入，得最小均方误差（推导过程见教材）
2 1 [ t2 t1
t2 t1
f
2 (t) d t
n
C
2 j
K
j
]
0
j 1
2
2 1 t2 t1
t2
f
t1
(t)
n
C j j (t)
j 1
dt
t2
1 t1
则上式写为
A0
2
1 2
n1
An
e
j n
e
jn
t
1 2
An
n1
e
j n
e
jn
t
令A0=A0ej0ej0t ，0=0 所以
f
(t)
吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)章节题库(傅里叶变换和系统的频域分析)【圣才出品】
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第 4 章 傅里叶变换和系统的频域分析
一、选择题 1．图 4-1 所示系统由两个 LTI 子系统组成，已知子系统 H1 和 H2 的群时延分别为 τ1 和 τ2，则整个系统的群时延 τ 为（ ）。
图 4-1 A．τ1＋τ2 B．τ1－τ2 C．τ1·τ2 D．max（τ1,τ2） 【答案】A
9．如图 4-2 所示信号 f1（t）的傅里叶发换 F1（jω）已知，求信号 f2（t）的傅里叶发 换为（ ）。
图 4-2
【答案】A
【解析】由题意知， f2 (t) f1(t t0 ) 。由于 f2（t）＝f1（－（t＋t0）），根据傅里叶 发换的反转性质和时秱性质可知， F2 ( j) F1( j)e jt0 。
4．设 f（t）的频谱函数为 F（jω），则
的频谱函数等于（ ）。
【答案】D
2 / 150
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
【解析】
可写为 f[－1/2（t－6）],根据傅里叶发换的尺度发换性质，
x（at）
|
1 a
|
[x(w
/
a）]，得
f[－1/2（t）]
A．x（t）＝－4Sa[2π（t－3）]
B．x（t）＝4Sa[2π（t＋3）]
C．x（t）＝－2Sa[2π（t－3）]
D．x（t）＝2Sa[2π（t＋3）]
【答案】A
【解析】常用的傅里叶发换对
Sa(ct)
c
G2c
()
令c 2 ，则有 4Sa(2t) 2G4 ()
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
再由傅里叶发换的时秱性质，有
4Sa[2 (t 3)] 2G4 ()e j3
第 4 章 傅里叶变换和系统的频域分析
一、选择题 1．图 4-1 所示系统由两个 LTI 子系统组成，已知子系统 H1 和 H2 的群时延分别为 τ1 和 τ2，则整个系统的群时延 τ 为（ ）。
图 4-1 A．τ1＋τ2 B．τ1－τ2 C．τ1·τ2 D．max（τ1,τ2） 【答案】A
9．如图 4-2 所示信号 f1（t）的傅里叶发换 F1（jω）已知，求信号 f2（t）的傅里叶发 换为（ ）。
图 4-2
【答案】A
【解析】由题意知， f2 (t) f1(t t0 ) 。由于 f2（t）＝f1（－（t＋t0）），根据傅里叶 发换的反转性质和时秱性质可知， F2 ( j) F1( j)e jt0 。
4．设 f（t）的频谱函数为 F（jω），则
的频谱函数等于（ ）。
【答案】D
2 / 150
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
【解析】
可写为 f[－1/2（t－6）],根据傅里叶发换的尺度发换性质，
x（at）
|
1 a
|
[x(w
/
a）]，得
f[－1/2（t）]
A．x（t）＝－4Sa[2π（t－3）]
B．x（t）＝4Sa[2π（t＋3）]
C．x（t）＝－2Sa[2π（t－3）]
D．x（t）＝2Sa[2π（t＋3）]
【答案】A
【解析】常用的傅里叶发换对
Sa(ct)
c
G2c
()
令c 2 ，则有 4Sa(2t) 2G4 ()
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
再由傅里叶发换的时秱性质，有
4Sa[2 (t 3)] 2G4 ()e j3
信号与系统傅里叶变换和系统的频域分析
信号与系统傅里叶变换和系统的频域分析首先，我们来介绍傅里叶变换。
傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的数学工具，它可以将一个连续的时间域信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦波的叠加。
傅里叶变换可以看作是一种能量谱的测量方法，它告诉我们信号中每个频率成分的能量大小。
傅里叶变换的数学定义是通过积分将一个信号从时间域转换到频域。
对于一个连续时间域信号x(t)，它的傅里叶变换X(ω)定义为：X(ω) = ∫[−∞,+∞] x(t) e^(-jωt)dt其中，X(ω)是信号的频域表示，ω是频率，e^(-jωt)是复指数函数。
傅里叶变换将信号x(t)从时间域转换为频域，允许我们分析信号的频谱特性，包括频率成分、幅度和相位等。
傅里叶变换的逆变换可以将频域信号恢复到时间域信号。
对于一个频域信号X(ω)，它的逆傅里叶变换x(t)定义为：x(t)=(1/2π)∫[−∞,+∞]X(ω)e^(jωt)dω傅里叶变换在信号与系统领域中有广泛的应用，例如，它可以用于频谱分析、滤波器设计、系统响应分析等。
通过傅里叶变换，我们可以获得关于信号的更多信息，并且可以对信号进行处理和改变。
接下来，我们来介绍系统的频域分析。
在信号与系统理论中，系统通常指的是对输入信号进行处理的一种数学结构。
系统的频域分析是一种用频域工具和方法分析系统行为的技术，它可以帮助我们理解系统对不同频率信号的响应。
系统的频域分析基于系统的传递函数，它将输入信号转换为输出信号的关系表示为一个复数表达式。
传递函数通常表示为H(ω)，其中ω是频率。
传递函数描述了系统对不同频率信号的增益和相位响应。
对于一个线性时不变系统，系统的输出可以通过将输入信号与传递函数相乘得到。
这可以用傅里叶变换的性质来实现，因为傅里叶变换将一个输入信号转换为频域中的复数表达式。
将输入信号的傅里叶变换与传递函数的频域表示相乘，然后进行逆傅里叶变换，即可得到系统的输出信号。
系统的频域分析可以提供有关系统频率响应、频率选择性和稳定性等方面的信息。
吴大正 信号与线性系统分析 第4章 傅里叶变换和系统的频域分析
j 1
第 7页
小结
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
f (t )
1 Ci Ki
C i i (t )
i
f (t ) i (t ) d t
Ki
t
t2
1
i2 (t ) d t
巴塞瓦尔能量公式
t
t2
1
f 2 (t ) d t
i 1
Ci2 K i
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越 大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数 集），均方误差为零。此时有
t2
t1
f 2 (t ) d t C 2 K j j
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解 的各正交分量能量的之和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 f (t ) C j j (t )
第 2页
二、信号正交与正交函数集
1. 信号正交： 定义在(t1，t2)区间的 1(t)和 2(t)满足
t2 ( t ) 2 ( t ) d t t1 1
0 (两函数的内积为0)
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集， 这些函数在区间(t1，t2)内满足 i j 0, t2 t1 i ( t ) j ( t ) d t K 0, i j i 则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n 1 2 A0 1 j n jnt 1 An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1
第 7页
小结
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
f (t )
1 Ci Ki
C i i (t )
i
f (t ) i (t ) d t
Ki
t
t2
1
i2 (t ) d t
巴塞瓦尔能量公式
t
t2
1
f 2 (t ) d t
i 1
Ci2 K i
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越 大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数 集），均方误差为零。此时有
t2
t1
f 2 (t ) d t C 2 K j j
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解 的各正交分量能量的之和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 f (t ) C j j (t )
第 2页
二、信号正交与正交函数集
1. 信号正交： 定义在(t1，t2)区间的 1(t)和 2(t)满足
t2 ( t ) 2 ( t ) d t t1 1
0 (两函数的内积为0)
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集， 这些函数在区间(t1，t2)内满足 i j 0, t2 t1 i ( t ) j ( t ) d t K 0, i j i 则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n 1 2 A0 1 j n jnt 1 An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
信号与系统 电子教案
4.1
信号分解为正交函数
代入，得最小均方误差（推导过程见教材）
n t2 1 2 [ f 2 (t ) d t C 2 K j ] 0 j t1 t 2 t1 j 1
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越，即n越 大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数 集），均方误差为零。此时有
系数an , bn称为傅里叶系数
T 2 T 2
2 2 an f (t ) cos(nt ) d t bn f (t ) sin(nt ) d t T T 可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
第4-9页
T 2 T 2
青岛科技大学信息科学技术学院
信号与系统 电子教案
2 .f(t)为奇函数——对称于原点
an =0，展开为正弦级数。
实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部 分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以
第4-11页
青岛科技大学信息科学技术学院
信号与系统 电子教案
f (t ) f (t ) f od (t ) 2
4.2
傅里叶级数
f (t ) f (t ) f e v (t ) 2
f(t) 0
3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2)
此时 其傅里叶级数中只含奇次 谐波分量，而不含偶次谐波分 量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
第4-14页
1 2 jn t Fn T f (t ) e dt T 2
青岛科技大学信息科学技术学院
信号与系统 电子教案
4.2
傅里叶级数
四、周期信号的功率——Parseval等式
周期信号一般是功率信号，其平均功率为
A0 2 1 2 1 T 2 f (t )dt ( ) An | Fn | 2 T 0 2 n 1 2 n
n
T 2 T 2
1 f (t ) sin(nt ) d t f (t ) e jnt d t T
T
T 2 T 2
f (t )
F
n
e
jnt
n = 0, ±1, ±2，… 表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指 数信号之和。 F0 = A0/2为直流分量。
2 f (t ) i (t ) d t 2Ci i2 (t ) d t 0 即 t1 t1
t2 t2
所以系数
Ci
t2 t1
f (t ) i (t ) d t
t2 t1
i2 (t ) d t
1 Ki
t2 t1
f (t ) i (t ) d t
第4-7页
青岛科技大学信息科学技术学院
第4-5页
青岛科技大学信息科学技术学院
信号与系统 电子教案
4.1
信号分解为正交函数
三、信号的正交分解
设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2) 构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交 函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn
直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。 n≥0时， |Fn| = An/2。
第4-15页
青岛科技大学信息科学技术学院
信号与系统 电子教案
4.3
周期信号的频谱
4.3
周期信号的频谱及特点
一、信号频谱的概念
从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变 化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信 号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、 相位随频率的变化关系，即 将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平 面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频 谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn 为实数，也可直接画Fn 。
第4-3页
青岛科技大学信息科学技术学院
信号与系统 电子教案
4.1
信号分解为正交函数
二、信号正交与正交函数集
1. 定义： 定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足
t2
t1
1 (t ) 2 * (t ) d t 0 (两函数的内积为0)
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
4.2
傅里叶级数
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n1 2 A0 1 1 An e j e jnt An e j e jnt 2 2 n1 2 n1 上式中第三项的n用–n代换，A– n=An，– n= – n， 则上式写为 A 1 1
由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集
如三维空间中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。 例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以 用一个三维正交矢量集{ vx，vy，vz}分量的线性组合 表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间， 在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信 号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线 性组合。
第4-16页
青岛科技大学信息科学技术学院
信号与系统 电子教案
4.3
周期信号的频谱
例：周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画 出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。 解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
1 2 1 f (t ) 1 cos t cos t 2 3 6 2 4 4 3
4.1
信号分解为正交函数
一、矢量正交与正交分解
矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义： 其内积为0。即 3 T Vx Vy vxiv yi 0
i 1
第4-2页
青岛科技大学信息科学技术学院
信号与系统 电子教案
4.1
信号分解为正交函数
信号与系统 电子教案 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8
第四章 连续系统的频域分析
信号分解为正交函数 傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的频谱——傅里叶变换 傅里叶变换的性质 周期信号的傅里叶变换 LTI系统的频域分析 取样定理
点击目录
第4-1页
，进入相关章节
青岛科技大学信息科学技术学院
2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集， 当这些函数在区间(t1，t2)内满足
第4-4页
t2 t1
i j 0, i (t ) j (t ) d t K i 0, i j
*
则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
青岛科技大学信息科学技术学院
信号与系统 电子教案 3. 完备正交函数集：
4.1
信号分解为正交函数
如果在正交函数集{1(t)， 2(t)，…， n(t)}之外， 不存在函数φ(t)(≠0）满足
t2 t1
(t ) i (t ) d t 0
( i =1，2，…，n)
则称此函数集为完备正交函数集。 例如：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…} 和 虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是两组典型的 在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。
T/2
T
t
三、傅里叶级数的指数形式
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感 不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三 角形式推出：利用 cosx=(ejx + e–jx)/2
第4-12页
青岛科技大学信息科学技术学院
信号与系统 电子教案
A0 f (t ) An cos(nt n ) 2 n1
4.2
傅里叶级数
将上式同频率项合并，可写为
A0 f (t ) An cos(nt n ) 2 n1
式中，A0 = a0
An a b
2 n
2 n
bn n arctan an
可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,… 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周 期信号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。
n n
0
2
2 n1
An e j n e jn t
2 n1
An e j n e jn t
令A0=A0ej0ej0t ，0=0
所以
第4-13页
1 j n jnt f (t ) An e e 2 n
青岛科技大学信息科学技术学院
信号与系统 电子教案
4.2
t2 t1
f 2 (t ) d t C 2 K j j
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各 正交分量能量的总和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 f (t ) C j j (t )