打印2——观察归纳与猜想
观察、归纳、猜想
一类 ：从特殊到一般 通过对给定情
况的观察、 况的观察、分析 ，发现规律 （一）、数量的统计
• 例1、你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用 一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸， 再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗 的面条拉成了许多细的面条，如图所示：
第一次捏合
第二次捏合
第三次捏合
A O A E A E O B 图３
O B D 图１
E C B 图２ D
C
D
C
AE 1 在图4中，依照上述研究结论，当 = 时， AC 1 + n
AO 请你猜想用n表示 AD 数）．
的一般结论，（其中n是正整
A E
AO 2 解： = AD 2 + n
O
B
D 图４
C
上一页
例5. 观察下列各式，你会发现什么规律？ 观察下列各式，你会发现什么规律？ 1×3=3， 而 3=22-1 × ， 3×5=15，而15=42-1 × ， 5×7=35，而35=62-1 × ， 7×9=63，而63=82-1 × ， …… …… 13×15=195， 13×15=195，而195=142-1 …… …… 将你猜想到的规律用含n(n≥1的整数 的等式表示出来 的整数)的等式表示出来 将你猜想到的规律用含 的整数 ）（2n+1）=（2n）2-1，其中 是大于 的 是大于1的 解：（2n-1）（ ：（ ）（ ） （ ） ，其中n是大于 自然数． 自然数． 或者n（ 表示奇数． 或者 （n+2）=（n+1）2-1，其中 表示奇数． ） （ ） ，其中n表示奇数
2 2 2+ = 2 3 3 4 4 4+ =4 15 15
3 3 3+ = 3 8 8
华师大版-数学-七年级上册-1.2让我们来做数学 观察、归纳与猜想
观察、归纳与猜想当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜想，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的.请同学们有理有据的大胆猜想！1.（1）计算下列各式：1+2+1= ；1+2+3+2+1= ；1+2+3+4+3+2+1= ；（2）你能发现什么规律吗？请将你猜想到的规律用含一个字母的式子表示出来： .（3）写出第1000个式子.2.（1）比较下列各组数的大小：12 21；23 32；34 43；45 54；56 65.（2）从（1）中结果，你发现了什么规律？（3）利用上述规律，比较20042005与20052004的大小. 3.你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成10n+5（n 为自然数），即求()2105n +的值，试分析n=1，2，3 ，…… ，这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面空格内填上你的探索结果）.（1）通过计算，探索规律152=225可写成100×1×（1＋1）＋25；252=625可写成100×2×（2＋1）＋25；352=1225可写成100×3×（3＋1）＋25；452=2025可写成100×4×（4＋1）＋25；……752=5625可写成： ；852=7225可写成： ；（2）从第（1）题的结果，归纳猜想，得()2105n += ；（3）根据上面的归纳猜想，请算出19952= .当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形和特殊情形入手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般性规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法.请验证你的猜想！解1：（1）1+2+1=4=22；1+2+3+2+1=9=32；1+2+3+4+3+2+1=16=42；（2）1+2+3+……+（n-1）+n+（n-1）+……+3+2+1=n 2.（n 为自然数）（3）1+2+3+……+1000+1001+1000+……+3+2+1=10012=1002001.解2：（1）12＜21；23＜32；34＞43；45＞54；56＞65.（2）1n n +＞()1n n +.（n≥3，n 为自然数）（3）20042005 ＞20052004. 解3：（1）752=5625=100×7×（7＋1）＋25；852=7225=100×8×（8＋1）＋25；（2）()2105n +=100×n×（n ＋1）+25；（3）19952=100×199×200＋25=3980025.。
中考数学复习专题一观察归纳与猜想题含答案
学习好资料 欢迎下载专题一 观察、归纳与猜想题专题解法探究特点：观察、归纳与猜想题的特点是问题的结论或条件不直接给出，而常常是给出一列数、一列等式或一列图形的一部分，然后让考生通过观察、分析、概括、推理、猜想等一系列活动，逐步确定需要求的结论．解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用．类型：观察、归纳与猜想题的主要类型有数字猜想型，数式规律型，图象变化猜想型，坐标变化型．热点知识：考查的知识有数与式的运算，平面直角坐标系，三角形、特殊四边形，几何变换，图形的组合等知识．解题策略：根据已有的图象与文字提供的信息或解题模式，进行适当的正向迁移和归纳推理，并通过计算或证明解决实际问题．知识归类探究1) 数字猜想型例1 某校生物教师李老师在实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，…，按此规律，请你推测第n 组应该取种子数是__________粒．【解析】 本题实质是求数列3，5，7，9，…的排列规律，观察可知这组数是首项为3的一组奇数，故可猜想其规律为2n ＋1.【答案】 2n ＋1【思路点拨】 找出数列→观察数列→找出规律2) 数式规律型例2 观察下列计算：11×2＝1－12，12×3＝12－13，13×4＝13－14，14×5＝14－15，…，从计算结果中找出规律，利用规律计算11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋…＋12 012×2 013＝__________． 【解析】 原式＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＋…＋(12 012－12 013)＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋…＋12 012－12 013＝1－12 013＝2 0122 013.【答案】2 0122 013【思路点拨】通过题目所给规律，将所给出式子各项进行拆分，再计算．3)图形排列规律型例3搭建如图①的一顶帐篷需要17钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要__________根钢管．【解析】观察图形①可知搭建一顶帐篷要钢管17根，由②可知多串一顶多需11根，所以串n顶就需要[17＋11(n－1)]根，所以串7顶帐篷需要钢管17＋11×(7－1)＝83根．【答案】83【思路点拨】观察每多一顶帐篷时需要的钢管增加的根数→发现规律→列出代数式→结果4)坐标变化型例4如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴和y轴，物体甲和物体乙分别由点A(2，0)同时出发，沿矩形BCDE的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2 012次相遇地点的坐标是()A．(2，0)B．(－1，1)C．(－2，1)D．(－1，－1)【解析】由题意知，甲乙第一次相遇时在点(－1，1)，第二次相遇在点(－1，－1)，第三次相遇在点(2，0)，……以此类推，可知甲乙两物体每相遇三次是一个循环，因为2 012÷3的余数为2，所以第2 012次相遇地点的坐标为(－1，－1)．故选D.【答案】D【思路点拨】 先分别找出前几次相遇时的坐标 →发现规律→计算→结果专题跟踪训练1. 观察下面几组数：1，3，5，7，9，11，13，15，……2，5，8，11，14，17，20，23，……7，13，19，25，31，37，43，49，……这三组数具有共同的特点．现在有上述特点的一组数，第一个数是3，第三个数是11，则其第n 个数为()A . 8n －5B . n 2＋2C . 4n －1D . 2n 2－4n ＋52. 已知整数a 1、a 2、a 3、a 4…满足下列条件：a 1＝0，a 2＝－|a 1＋1|，a 3＝－|a 2＋2|，a 4＝－|a 3＋3|…依次类推，则a 2 012的值为()A . －1 005B . －1 006C . －1 007D . －2 0123. 一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是()A . 3B . 4C . 5D . 64. 一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向运动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是()A . (4，0)B . (5，0)C . (0，5)D . (5，5)5. 某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规律是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报(11＋1)，第2位同学报(12＋1)，第3位同学报(13＋1)，……这样得到的20个数的积为________． 6. 一个自然数的立方，可以“分裂”成若干个连续奇数的和．例如：23，33和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23＝3＋5；33＝7＋9；43＝13＋15＋17＋19；….若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是________．7. 如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1 cm ，一个微型机器人由点A 开始按ABCDEFGA …的顺序沿正方形循环移动．①第一次到达G 点时移动了________cm ；②当微型机器人移动了2 012 cm 时，它停在________点．8. “数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1＋2＋3＋…98＋99＋100＝5 050.我们可以将高斯的做法归纳如下：令S ＝1＋2＋3＋…＋98＋99＋100， ①S ＝100＋99＋98＋…＋3＋2＋1.②①＋②得2S ＝101×100所以S ＝101×100÷2＝5 050请类比以上做法，回答下列问题：若n 为正整数，3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)＝168，则n ＝________．9. 观察数：根据表中数的排列规律，则B＋D＝________．10. 如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形，……如此下去，若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，a n，则a n＝______．11. 如图，用小棒摆下面的图形，图形(1)需要3根小棒，图形(2)需要7根小棒……照这样的规律继续摆下去，第n个图形需要________根小棒(用含n的代数式表示)．12. 如图，直线y＝3x，点A1坐标为(1，0)，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A5的坐标为________．13. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：(1)第5个图形有多少颗黑色棋子？(2)第几个图形有2 013颗黑色棋子？请说明理由．14. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝20，两条对角线相交于点O.以OB、OC 为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1；再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1……依次类推．(2)求第1个平行四边形OBB1C、第2个平行四边形A1B1C1C和第6个平行四边形的面积．参考答案1. C2. B3. C4. B5. 216. 417. 7E8. 129. 2310. (2)n －111. 4n －112. (16，0) 13. 解：(1)第5个图形有18颗黑色棋子．(2)解法1：设第n 个图形有2 013颗黑色棋子，由题意，得3(n ＋1)＝2 013解得n ＝670，∴第670个图形有2 013颗黑色棋子．解法2：2 013－33＝670，∴第670个图形有2 013颗黑色棋子． 14. 解：(1)在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝202－122＝16，∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝12×16＝192.(2)∵矩形ABCD 的对角线相交于点O ，∴S 矩形ABCD ＝4S △OBC . ∵四边形OBB 1C 是平行四边形，∴OB ∥CB 1，OC ∥BB 1， ∴∠OBC ＝∠B 1CB ，∠OCB ＝∠B 1BC .又∵BC ＝CB ，∴△OBC ≌△B 1CB ，∴S ▱OBB 1C ＝2S △OBC ＝12S 矩形ABCD ＝96. 同理，S 四边形A 1B 1C 1C ＝12S ▱OBB 1C ＝12×96＝48. 第6个平行四边形的面积为126S 矩形ABCD ＝3.。
归纳与猜想2(数学思想方法
归纳与猜想（2） 数学思想的应用
一、数形结合的思想
• 例1、如图是由若干个小圆堆成的等边 三角形的图案最上面一层有一个圆圈， 以下各层均比上一层多一个圆圈，一 共堆了n层. 将图1倒置后与原图1拼成 图2的形状，这样我们可以算出图1中 所有圆圈的个数为 1+2+3+…+n= ，
一、数形结合的思想
ห้องสมุดไป่ตู้ 图4
• 用整体思想解题：为了简化问题，我们往往 把一个式子看成一个数的整体，是按提示解 答下列问题： （1）已知A＋B＝3x2－5x＋1，A－C＝－2x ＋3x2－5，求当x＝2时B＋C的值。 （2）若代数式2x2＋3y+7=8，求代数式6x2＋ 9 y＋8的值． xy 3x 5 xy 3 y 2, 求代数式 的值 （3）已知
x y x 3xy y
类型二、整体的思想
类型三、化归思想
• 如图，“回”字形的道路宽为1米，整个 “回”字例2.如图，“回”字形的道路宽为 1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米， 一个人从入口点A沿着道路中央走到终点B， 他共走了( )． (A)5 5米 (B)5 5．5米 (C)5 6米 (D)5 6．5米
七年级数学培优辅导(三) 观察、归纳与猜想.
叶子的方向靠风,人的方向靠自已 . 第9页只要路是对的,就不要怕路远 .第三讲观察、归纳与猜想※知识纵横当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时,我们可以从问题的简单情形或特殊情况入手,通过对简单情形或特殊情况的试验,从中发现一般规律或作出某种猜想,从而找到解决问题的途径或方法,这种研究问题的方法叫归纳猜想法 .观察、实验、猜想是科学技术创造过程中的一个重要方法,通过观察与实验提出问题,再提出猜想和假设,最后通过推理去证明假设和猜想 .※典例剖析【例 1】如图,一张餐桌可以坐 6人,两张放在一起可以坐人,三张放在一起可以坐人, n 张放在一起可以坐人 .【例 2】一楼梯共有 n 级台阶,规定每步可以迈 1级或 2级或 3级,设从地面到台阶的第 n 级,不同的迈法为 n a 种,当 8 n 时,求 8a .【例 3】已知一列数:-1, 2, -3, 4, -5, 6, -7,…将这列数排成下列形式: 第 1行 -1 第2行 2 -3 第 3行 4 -5 6 第 4行 -7 8 -9 10 第 5行 -11 12 -13 14 -15 …………按此规律排下去,那么第 10行从左边数第 6个数是 .叶子的方向靠风,人的方向靠自已 . 第10【例 4】阅读下面的材料:数学王子高斯在读小学的时老师出了这样一道计算题:1+2+3+… +99+100=?高斯很快得到了答案, 他的思路和方法整理后即是:一一相加太繁,分析 100个连续自然数的规律和特点,利用加法运算律可大大简化运算 .解:令=x 1+2+3+4+ … +99+100, … ①则=x 100+99+98+ … +2+1, … ②① +②得:=x 2(1+100 +(2+99 +… +(99+2 +(100+1 ∵ 1+100 =2+99 =3+98 = … =100 +1=101, ∴ =x 2100×101, ∴ =x 5050.即:1+2+3+… +99+100 = 5050.这种求和的方法我们称之为“倒序相加求和法” .请利用以上方法计算:(1 2+4+6+ … +98+100的值(请保留计算过程 . (2 20122011201232012220121( 434241( 3231(21+++++++++++等差数列的和 =(首项 +末项×项数÷2; 等差数列的项数 =(末项﹣首项÷公差 +1叶子的方向靠风,人的方向靠自已 . 第11页只要路是对的,就不要怕路远 .等差数列的末项 = 首项 +公差 ×(项数﹣ 1※培优训练1.如图,用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设成矩形地面 . (1请问按这样的要求铺设,第 4个图中共有块瓷砖,第 n 个图中有块白色瓷砖,有个黑色瓷砖 .2. 认真观察下列式子:326121=+; 5215131=+; 7228141=+; 9245151=+; 11266161=+;… 按此规律第 n 个式子是.3.如图,第二个图形是由第一个图形中的三角形连结三边中点而得到的,第三个图形是由第二个图形中间的一个三角形连结三边中点而得到的,依此类推,……,记上面的图中的三角形的个数为 1a 、2a 、 3a 、…… .(1由图可以看出:1a = 1个, 2a = 5个, 3a (2根据以上结果猜得:=20a 个(只需直接填出结果 ; (3计算:1a +2a +3a +… +19a +20a 的值(请保留计算过程 .4、观察按下列规律排成的一列数:, 61, 15, 24, 33, 42, 51, 14, 23, 32, 41, 13, 22, 31, 12, 21, 11(※ (1在(※中,从左边起第n 个数记为 n a ,当 20012=n a 时,求 n 的值和这 n 个数的积 .(2在(※中,末经约分且分母为 2的数记为 x ,它后面一个数记为 y ,是否存在这样的两个数 x 和 y使得 2001000=xy ,如果存在,求出 x 和 y ,如果求存在,请说明理由 .……第 1个第 2个第 3个①②③叶子的方向靠风,人的方向靠自已 . 第 12页※能力拓展题组一:1、 43-++x x 的最小值 = ,此时 x 的取值范围是 .2、 432-+++-x x x 的最小值 = ; 此时 x 的取值范围是 . 题组二:1、不相等的有理数 a 、 b 、 c 在数轴上对应点分别为 A 、 B 、 C , 若 c a c bb a -=-+-, 那么点 B ( .A 、在 A 、 C 点的右边;B 、在 A 、C 点的左边; C 、在 A 、 C 点之间;D 、以上均有可能 . 2、已知数轴上有 A 、 B 两点, A 、 B 之间的距离为 1,点 A 与原点O 的距离为 3,求所有满足条件的点 B 与原点的距离的和 . 题组三:阅读材料,解答下列问题:大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题, 1+2+3+4+… +100=?经过研究,这个问题的一般性结论是:1+2+3+4+… +n =1(21+n n ,其中 n 是正整数,现在我们来研究一个类似的问题: =+++⨯+⨯+⨯1(433221n n ?观察下面三个特殊的等式:210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯, 321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯, 432543(3 143⨯⨯-⨯⨯=⨯将这三个等式的两边相加,可以得到:=⨯+⨯+⨯433221 .阅读完这段材料,请你计算:(1 101100433221⨯++⨯+⨯+⨯ ; (2 1(433221+++⨯+⨯+⨯n n ;(3 2(1(543432321++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n .。
观察、归纳、猜想(找规律)答案
数学竞赛培训资料：观察、归纳、猜想（找规律）在解一些复杂或抽象问题时，可以通过观察或从简单、特殊情形入手，在观察的基础上寻找规律，并通过归纳、猜想得出一般结论，这是数学解题中经常用到的思想方法，称为观察、归纳、猜想。
例1、（1）有一组数：1，5，11，19，29，x ，55，……，则x = 41 。
（2）有一列数组：（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），……，则第100组数中三个数之和是 1010100 。
（3）已知一列数按以下规律排列：a 1＝1，a 2＝2＋3，a 3＝4＋5＋6，a 4＝7＋8＋9＋10， a 5＝11＋12＋13＋14＋15，… ，求a 200 ．19901＋19902＋……＋20100＝4000100数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…的排列规律是：前两个数是1，从第3个数开始，每一个数都是它前面两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列.在斐波那契数列的前2004个数中共有______个偶数.668例2、观察以下两列数（其中有些数是相同的，如11，23等）： A ：3，7，11，15，19，23，27，31，…… B ：2，5，8，11，14，17，20，23，…… 问：（1）它们中第20个相同的数是什么？239（2）如果它们分别有200个数，那么它们中有几个数是相同的？50例3、观察以下数列： ,51,14,23,32,41,13,22,31,12,21,1 问：（1）在数列中第100个数是什么？（2）98在数列中是第几个数？（1）96 ；（2）128例4、把奇数象下面那样按2、3、2、3、……的个数分解：（1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19），……（1）要使数列1，3，5，7，……的前n项的和最先超过1000，问第n项位于第几群第几位？（2）第19群和第20群，每群的数字之和分别是多少？（1）13群第2个；（2）（91,93）＝184,（95,97,99）＝291例5、有一列数：21，34，65，78，109，1112，1413，……，把它的每个数码隔开，组成第二列数：2，1，3，4，6，5，7，8，1，0，9，1，1，1，2，……（1）第一列数中，第45个数是几？第一个六位数是多少？排在第几个？9089,102101,51 （2）第二列数中，第1998个数处在第一列数中的第几个数的什么数位上？是多少？351,1例6、给出一个“三角形”的数表如下：此表构成的规则是：第一行是0，1，2，…，999，以后下一行的数是上一行相邻两数的和。
专题：归纳与猜想
专题：归纳与猜想（一）归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
★ 范例精讲【归纳与猜想】1． 【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 2． 〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23③3×34＝3－34④4×45＝4－45……⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ； ⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次；⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解，∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到： a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。
观察 归纳与猜想 教案设计
教学方法与 手段
例 5．给出两列数：1，3，5，7，9，„，2001 和 1，6，11，16， 21，„，2001，同时出现在这两列数中的数的个数为（ A、199 B、200 C、201 D、202 ）
例 6．一串数 1，1，1，2，2，3，4，5，6，7，9，12，16，21，„ 称为帕多瓦数列，请陈述这个数列的一个规律，并且写出其中的第 14 个数和第 18 个数．
课 堂 练 习
观察上表，推断出一个平面力的顶点数、边数、区域数 之间有什么关系？有一个平面图，它共有 11 个区域，且每 个顶点都是 4 条边的端点，问这个平面图共有多少条边？
8．如图，第几个图形是由正 n 2 边形“扩展”而来，
(n 1,2,3,) ，则第 10 个图形中共有
个顶点．
9．有一列数 2，9，8，2，„，从第三个数起，都是前面 两数乘积的个位数字，求这列数前 100 个数积的个位是多 少？
教学方法与手段
根据上面排列规律，则 2000 应在（ A、第 125 行，第 1 列 C、第 250 行，第 1 列
3 3 3 3 3
B、第 125 行，第 2 列 D、第 250 行，第 2 列
3 3 3
3． 请你从下表归纳出计算 1 2 3 n 的公式， 并算 出 1 2 3 100 的值． 13 2
3 3 3 3
1 2 3 4 5
2 4 6 8 10
3 6 9 12 15
4 8 12 16 20
5 10 15 20 25 ，
课 堂 练 习
3 4 5
4．一串数排成一行 1，1，3，5，11，21，43， ，„„，请将后面的空填完整．
5．下面是一个由数字组成的三角形，试研究它的组成规律， 从面确定出其中的 x 的数值．
培优辅导3 观察、归纳与猜想(含答案)-
3.创造的基石──观察、归纳与猜想知识纵横当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的。
从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史。
20世纪数学发展中巨大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350•多年的“费尔马大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已经历经了两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性。
当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况入手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法，是创造发明的基石。
例题求题【例1】(1)用●表示实圆,用○表示空心圆,现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下:●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○……问:前2001个圆中,有_______个空心圆. (2001年江苏省泰州市中考题)(2)古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数,它有一定的规律性,则第24个三角形数与第22个三角形数的差为__________.(2003年舟山市中考题) 思路点拨 (1)仔细观察,从第一个圆开始,若干个圆中的实圆数循环出现,而空心圆的个数不变;(2)每个三角形数可用若干个数表示.解:(1)667 提示:每9个圆一组中实圆个数循环出现,而空心圆每组3个;(2)(1+2+3+…+24)-(1+2+3+…+22)=47.【例2】观察下列图形,并阅读图形下面的相关文字:两条直线相交, 三条直线相交, 四条直线相交,最多有1个交点最多有3个交点最多有6个交点像这样,10条直线相交,最多交点的个数是( )A.40个B.45个C.50个D.55个(2001年湖北省荆门市中考题) 思路点拨随着直线数的增加,最多交点也随着增加,从给定的图形中,•探讨每增加一条直线,最多交点的增加数与原有直线数的关系,是解本例的关键.解:选B.提示:每增加一条直线,最多交点的增加数与原有直线数相同,问题就转化为求1+2+3+…+9的和.【例3】化简999n ⋅⋅⋅个×999n ⋅⋅⋅个+1999n ⋅⋅⋅个(第18届江苏省竞赛题)思路点拨 先考察n=1,2,3时的简单情形,然后作出猜想,这样,化简的目标更加明确.解:原式=102n【例4】古人用天干和地支记次序,其中天干有10个:甲乙丙丁戊己庚辛壬癸;地支有12个:子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥,将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列如如下两行:甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸……子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数,第1列是甲子,第3列是丙寅…,问当第二次甲和子在同一列时,该列的序号是多少? (第12届“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 把“甲”、“子”在第一行、第二行出现的位置分别用相应的代数式表示，将实际问题转化为数学问题求解。
观察、实验、归纳、类比、猜想、证明
观察、实验、归纳、类比、猜想、证明认识来源于实践，观察和实验是我们认识事物的重要方法，通过观察和实验，可以发现许多规律。
归纳的方法也是人们认识事物的重要方法，归纳法有完全归纳法和不完全归纳法两类，初中阶段只要了解归纳的一些补步知识，在高中阶段将会进一步进行研究。
一、本节重点、难点、关键：重点：善于观察和认识事物的内在规律。
难点：对事物内在规律的归纳和总结。
关键：对自己归纳和总结的规律要得得到广泛的认可，对实验要具有可重复操作性。
二、知识要点：1．人们的认知来源于实践，观察是人们认识事物的一种重要方法，人的观察角度和看问题的方法不尽相同。
因此对于你观察后得出的结论要能经得起广泛的认同。
例如：农历十五和十六，哪一天晚上的月亮更圆。
人们通过长期观测，得出的结论是十六的月亮比十五圆，也就是人们通常所说的“十五的月亮，十六圆”。
人们归纳出“蚂蚁搬家，大雨哗啦”这条谚语，以及自然界中的各种现象。
我们在生活中也一样，有些事情都是通过观察后作出判断，如横穿马路时观察两个方向的车流情况，选择时机过马路；如到饭店吃饭前，首先要看看饭店的环境，观察菜的质量等情况后再决定是否就餐。
例一条直线上有3个点，观察它共有几条线段？一条直线上有n个点呢？2．实验是人们认识事物的一种有目的的探索过程，一般是为了检验某种猜想或理论而进行的操作或活动，实验的关键是要具有可重复操作性。
例1．三条线段能组成一个三角形吗？解：不一定，如果三条线段的长度分别为1cm，2cm，10cm，它们就不能构成一个三角形；如果三条线段的长度分别为2cm，3cm，4cm，它们就能构成一个三角形。
结论：若三角形的最长边为c，当a+b≤c时，a，b,c三条线段就构不成一个三角形；当a+b>c时，a，b，c三条线段就能构成一个三角形。
例2．一张长方形的纸剪了一次，剩余的一部分纸是什么图形？解：长方形或正方形或直角梯形，直角三角形，五边形。
3．归纳的方法是人们对事物规律的总结一种重要表达方式，它有完全归纳法和不完全归纳法两种，我们现在只研究完全归纳法这一类，所谓完全归纳法就是要将出现的情况完全无遗地一一加以研究，从而得出一般性的结论。
专题四归纳与猜想 (2)
_九年级下册 学科：数学主备人：卢志祥审核人：卢志祥
教学课题
专题四归识与技能
归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形,或是给出与图形有关的操作、变化过程,要求通过观察、分析、推理,探求其中所蕴涵的规律,进而归纳或猜想出一般性的结论,在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动,以加深学生对相关数学知识的理解,认识数学知识之间的联系.在中考试卷中多以选择题、填空题、解答题的形式出现.
考向三 数形规律问题
根据一组图形的排列,探究图形变化所反映的规律,其中以图形为载体的数字规律最为常见.
【例3】(2013四川遂宁中考)为庆祝“六一”儿童节,某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示:
按照上面的规律,摆第(n)个图,需用火柴棒的根数为.
三、巩固练习：
优化设计
四、归纳总结：
本节课你的收获是什么？哪些知识是你这节课的提高？
教学反思：
问题二、给出下列命题:
命题1:直线y=x与双曲线y= 有一个交点是(1,1);
命题2:直线y=8x与双曲线y= 有一个交点是 ;
命题3:直线y=27x与双曲线y= 有一个交点是 ;
命题4:直线y=64x与双曲线y= 有一个交点是 ;
……
(1)请你阅读、观察上面的命题,猜想出命题n(n为正整数);
(2)请验证你猜想的命题n是真命题.
1234321
2345432
3456543
4567654
5678765
6789876
78910987
则(1)(a23-a22)+(a52-a53)=;
(2)此数表中的四个数anp,ank,amp,amk,满足(anp-ank)+(amk-amp)=.
中考复习(十)：归纳与猜想——中考复习资料文档
海豚教育个性化教学教案（内页1）【例题讲解】一：知识网络图二：基础知识整理1. 猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
2. 相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
考点1：猜想数式规律例1：下面是一个某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n－2个数是（用含n的代数式表示）考点2：猜想图形规律例2：将相同的矩形卡片，按如图方式摆放在一个直角上，每个矩形卡片长为2，宽为1，依此类推，摆放2021个时，实线部分长为．考点3：猜想坐标的变化规律例3：如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2021次，点B的落点依次为123B B B，，，…，则2014B的坐标为．猜想性问题猜想规律型猜想结论型猜想数式规律猜想图形规律猜想数值结果猜想数量关系猜想变化情况考点4：猜想数量关系例4：【问题情境】如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是BC 边上的一点，E 是CD 边的中点，AE 平分∠DAM ． 【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC ；（2）AM=DE+BM 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）若四边形ABCD 是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．考点5：猜想变化情况例5：如图，在x 轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点1234n A A A A A ⋯，，，，， 分别过这些点做x 轴的垂线与反比例函数y=1x的图象相交于点1234n P P P P P ⋯，，，，； 作211132224333111n n n n P B A P P B A P P B A P P B A P ---⊥⊥⊥⋯⊥，，，， ；垂足分别为12341n B B B B B -⋯，，，，， ；连接1223341n n PP P P P P P P -⋯，，，， ；得到一组11222333411n n n Rt PB P Rt P B P Rt P B P Rt P B P --⋯，，，， 则11n n n Rt P B P -- 的面积为 ．考点6：猜想数字求和例6：计算下列各式的值：2222919;99199;9991999;999919999++++ ．观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得220149201499991999⋯+⋯个个= ．【课堂训练】1．请你计算：（1－x ）（1+x ），（1－x ）（21x x ++ ），…，猜想（1－x ）（21nx x x +++⋯+ ）的结果是（ ） A ．11n x +-B ．11n x ++C ．1n x - D ．1n x +2．将一组数3,6,3,23,15,...,310 ，按下面的方式进行排列：3,6,3,23,15；32,21,26,33,30 ；… 若23 的位置记为（1，4），26 的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（ ） A ．52（，）B ．5（，3）C ．2（6，）D ．（6，5）3. 现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列0S ，将其中的每个数换成该数在0S 中出现的次数，可得到一个新序列S 1，例如序列0S ：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S 1：（2，2，1，2，2），若0S 可以为任意序列，则下面的序列可作为1S 的是（）A ．（1，2，1，2，2）B ．（2，2，2，3，3）C ．（1，1，2，2，3）D ．（1，2，1，1，2）4．下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1棵棋子，第②个图形一共有6棵棋子，第③个图形一共有16棵棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（ ）A ．51B ．70C ．76D ．815．如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OA 1C 1，Rt △22OA C ，Rt △33OA C ，Rt △44OA C …的斜边都在坐标轴上，11223344AOC A OC A OC A OC ∠=∠=∠=∠ =…=30°．若点A 1的坐标为（3，0），122334OA OC OA OC OA OC ===，， …，则依此规律，点2014A 的纵坐标为（ ） A ．0B ．20133332-⨯（）C ．201423（）D ．20133332⨯（）6. 如图，在第1个△A 1BC 中，∠B=30°，A 1B=CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长1CA 到2A ，使121A A A D = ，得到第2个12A A D ；在边2A D 上任取一点E ，延长123A A A 到 ，使232A A A E = ，得到第3个23A A E ，…按此做法继续下去，则第n 个三角形中以n A 为顶点的内角度数是（ ）A ．1•752n︒（） B ．11•652n -︒（） C ．11•752n -︒（） D ．1•852n ︒（）7．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第n 次运算的结果n y ．8. 如图，是由一些点组成的图形，按此规律，在第n 个图形中，点的个数为 ． 9．如图，抛物线2y x = 在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为123n A A A A ⋯，， ，…．将抛物线2y x =沿直线L ：y=x 向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件： ①抛物线的顶点123n M M M M ⋯，，， ，…都在直线L ：y=x 上；②抛物线依次经过点123n A A A A ⋯，，，…．则顶点2014M 的坐标为 ．10．将自然数按以下规律排列：表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2021对应的有序数对为11. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△11AB C 的位置，点B 、O 分别落在点B 11C 、 处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点1B 顺时针旋转到112A B C 的位置，点2C 在x 轴上，将112A B C 绕点2C 顺时针旋转到222A B C 的位置，点2A 在x 轴上，依次进行下去…．若点A （53，0），B （0，4），则点2014B 的横坐标为 ．12．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm ，AD 为BC 边上的高．动点P 从点A 出发，沿A→D 方向以2cm/s 的速度向点D 运动．设△ABP 的面积为1S ，矩形PDFE 的面积为2S ，运动时间为t 秒（0＜t ＜8），则t= 秒时，122S S = .13．如图，已知∠AOB=90°，点A 绕点O 顺时针旋转后的对应点1A 落在射线OB 上，点A 绕点A 1顺时针旋转后的对应点A 2落在射线OB 上，点A 绕点2A 顺时针旋转后的对应点A 3落在射线OB 上，…，连接123AA AA AA ，， …，依次作法，则∠1n n AA A + 等于 度．（用含n的代数式表示，n 为正整数）．14．已知点1122233341n n n A a a A a a A a a A a a +⋯（，），（，），（，），（，） （n 为正整数）都在一次函数y=x+3的图象上．若12a = ，则2014a = .15．如图，一段抛物线y=－x （x －1）（0≤x≤1）记为1m ，它与x 轴交点为O 、1A ，顶点为1P ；将1m 绕点A 1旋转180°得2m ，交x 轴于点2A ，顶点为2P ；将m 2绕点2A 旋转180°得m 3，交x 轴于点3A ，顶点为3P ，…，如此进行下去，直至得10m ，顶点为10P ，则10P 的坐标为 ．16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，1），B （－1，1），C （－1，－2），D （1，－2），把一根长为2021个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A 处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD 的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 ．17．如图，∠AOB=60°，123O O O ，， …是∠AOB 平分线上的点，其中12OO =，若123O O O ，， …分别以为圆心作圆，使得123O O O ，， …均与∠AOB 的两边相切，且相邻两圆相外切，则2014O 的面积是 ．18. 如图，已知△ABC 的面积是12，点E 、I 分别在边AB 、AC 上，在BC 边上依次作了n 个全等的小正方形DEFG ，GFMN ，…，KHIJ ，则每个小正方形的边长为 .19.一列数：0，－1，3，－6，10，－15，21，…，按此规律第n 个数 .20. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P （－y+1，x+1）叫做点P′伴随点．已知点1A 的伴随点为2A，点A2的伴随点为3A，点A3的伴随点为4A，…，这样依次得到点123nA A A A⋯，，，，，…．若点1A的坐标为（3，1），则点3A的坐标为，点2014A的坐标为；若点1A的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点nA均在x轴上方，则a，b应满足的条件为．21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到1M，使得100M M OM⊥，得到线段1OM；又将线段1OM绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到2M，使得211M M OM⊥，得到线段2OM；如此下去，得到线段345OM OM OM，，，…根据以上规律，请直接写出201OM4的长度为．22. 一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？（2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？23. 已知：22211213-=-；22224321431152-+--+-=；.计算：222222654321654321-+-+-=-+-+-；猜想：()()()22222222216543212222126543[()]()()()[]()()()21n nn n+-++⋯+-+-+-+-++⋯+-+-+-.24. 下面是按照一定规律排列的一列数：第1个数：11122⎛⎫-+-⎪⎝⎭；第2个数：()()2311111113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+⨯+⨯+⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭第3个数：()()()()23451111111111+1423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+⨯+⨯+⨯⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…依此规律，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是.25. （1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）] （2）如图2，在▱ABCD中，对角线焦点为O，1111A B C D、、、分别是OA、OB、OC、OD 的中点，A2、B2、C2、D2分别是1111OA OB OC OD、、、的中点，…，以此类推．若▱ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？26. 阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22021的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22021+22021，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22021+22021将下式减去上式得2S-S=22021-1即S=22021-1即1+2+22+23+24+…+22021=22021-1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．27. 如图，矩形ABCD中，AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2…，第n次平移将矩形A n-1B n-1C n-1D n-1沿A n-1B n-1的方向平移5个单位，得到矩形A n B n C n D n（n＞2）．（1）求AB1和AB2的长．（2）若AB n的长为56，求n．28. 我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2，图3，…（1）观察以上图形并完成下表：图形的名称基本图的个数特征点的个数图1 1 7图2 2 12图3 3 17图4 4………猜想：在图（n）中，特征点的个数为（用n表示）；（2）如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为（x1，2），则x1= ；图（2021）的对称中心的横坐标为．海豚教育【出门考】（年月日周）学生姓名：年级：科目：评价：【出门考】正文订正栏1.求1+2+22+23+…+22021的值，可令S=1+2+22+23+…+22021，则2S=2+22+23+24+…+22021，因此2S﹣S=22021﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52021的值为（）A．52021﹣1B．52021﹣1C．D．2. 观察下列一组数：32，54，76，98，1110，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是．3. 一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33，和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;……;若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是_____.4. 如图，在标有刻度的直线L上，从点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；……，按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的倍，第n个半圆的面积为。
观察归纳与猜想
拓展应用领域
观察归纳与猜想是一种通用的科 学方法，可以应用于各个领域。 未来可以进一步拓展其应用领域 ，例如在人工智能、生物技术、 新能源等领域。
结合其他方法
观察归纳与猜想可以与其他科学 方法相结合，例如实验、模拟、 演绎等。未来可以进一步探索这 些方法的组合和应用，以揭示更 多的科学规律和机制。
提高可靠性
人际交往
通过观察他人的言行举止，归纳出其性格特点，从而更好地与他人相处。
猜想假设在日常决策中的运用
商业预测
通过对市场趋势的观察和分析，提出猜想假 设，进而制定营销策略。
科研实验
在实验中提出猜想假设，通过观察实验数据 来验证假设的正确性。
投资理财
通过对市场经济的观察，提出猜想假设，进 而做出投资决策。
对观察到的事物进行详细的描述，包括颜色、形状、大小、位
置等，以便更好地理解和分析。
遵循事实
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描述应基于实际观察到的事实，不应加入个人的情感和偏见，
保持中立和客观。
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归纳与总结
归纳的意义
理解规律性
归纳是从个别或特殊现象中总结出一般规律性的方法，通过归纳 ，我们可以理解事物发展的规律性。
获得新知识
观察归纳也是评估和验证科学理论的重要手段 之一，通过对实验数据或观测数据进行归纳， 可以评估理论的正确性和可靠性。
猜想假设在科学探索中的作用
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02
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猜想假设是科学探索中 重要的思维方式之一， 通过对已知知识和现象 进行推理和想象，提出 可能的解释和预测。
猜想假设可以为科学研 究提供研究方向和切入 点，帮助科学家聚焦研 究问题，提出具有针对 性的假设并进行验证。
猜想假设也可以激发科 学家的创新思维和想象 力，推动科学研究的进
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46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
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47、采菊东篱下，悠然见南山。
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48、啸傲东轩下，聊复得此生。
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49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
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50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
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21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！23Fra bibliotek▪26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
文档：归纳、猜想、证明
归纳 猜想 证明“归纳——猜想——证明”是一种重要的思维模式，也是数学归纳法应用的重点题型．解这类问题，需从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后用数学归纳法证明．其中解题的关键在于正确的归纳猜想，下面举例说明．例1 是否存在常数a 、b 、c ，使得等式22222(1)122334(1)()12n n n n an bn c +⨯+⨯+⨯+++=++对一切n *∈N 成立？并证明你的结论．分析：可先进行计算，找到a 、b 、c 的值，再归纳猜想，最后证明． 解：假设存在常数a 、b 、c 使上式对n *∈N 均成立，则当123n =，，时上式显然也成立，此时可得222222112()611223(42)212233493a b c a b c a b c ⎧⨯=++⎪⎪⎪⨯+⨯=++⎨⎪⎪⨯+⨯+⨯=++⎪⎩， 解此方程组，可得31110a b c ===，，．下面用数学归纳法证明等式22222(1)122334(1)(31110)12n n n n n n +⨯+⨯+⨯+++=++对一切n *∈N 均成立． 当时，命题显然成立．假设时，命题成立．即22222(1)122334(1)(31110)12k k k k k k +⨯+⨯+⨯+++=++， 那么当1n k =+时，22222122334(1)(1)(2)k k k k ⨯+⨯+⨯++++++ 22(1)(31110)(1)(2)12k k k k k k +=+++++221[(31110)12(2)]12k k k k k +=++++ 2(1)(2)(31724)12k k k k ++=++2(1)[(1)1][3(1)11(1)10]12k k k k +++=++++．即当1n k =+时，命题成立．综上所述，存在常数31110a b c ===，，， 使得等式22222(1)122334(1)()12n n n n an bn c +⨯+⨯+⨯+++=++对一切n *∈N 均成立． 例2 数列满足0n a >，前n 项和112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列的通项公式． 分析：该题未给出猜想信息，可先创造条件得出结论，再证明． 解：∵0n a >，∴0n S >．由1111112S a a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭变形整理，得211S =，取正根，得11S ==，由222112S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭及22121a S S S =-=-，得 22211121S S S ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，变形整理，得222S =，取正根，得2S =同理，求得3S =由此猜想n S下面用数学归纳法证明：（1）当时，上面已求出11S =，结论成立．（2）假设当，k *∈N时，结论成立，即k S =．那么当1n k =+时，11111111111222k k k k k k k k S a S S S a S S ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪ -⎝⎭⎝⎭⎝， 整理，得211k S k +=+，取正根，得1k S +=故1n k =+时，结论成立．由（1）和（2），可知对任何n *∈N ，n S =例 3 已知是定义在上的不恒为零的函数，且对任意的a b ∈R ，都满足：()()()f ab af b bf a =+，若(2)2f =，(2)()n n U f n *=∈N ，求证：1n n U U +>． 分析：用归纳的思想方法，通过赋值、计算、猜想、证明四步完成． 证明：∵()()()f ab af b b a =+对任意a b ∈R ，都成立，∴对于(2)n n U f =当时，1(2)212f ==⨯；当时，2(22)2(2)2(2)22f f f ⨯=+=⨯；当时，2223(22)2(2)2(2)32f f f ⨯=+=⨯；…，猜想(2)2()n n f n n *=∈N ．（※）下面用数学归纳法证明：（1）当时，(2)12f =⨯，（※）式成立．（2）假设时，（※）式成立，即(2)2k k f k =，当1n k =+时，1(2)(22)2(2)2(2)k k k k f f f f +=⨯=+111222222(1)2k k k k k k k k +++=⨯+⨯=+=+，∴1n k =+时，（※）式成立．由（1）和（2），可知对任何n *∈N ，(2)2n n f n =成立．所以(2)2()n n n U f n n *==∈N ．要证明结论成立，只需证明10()n n U U n *+->∈N ．∵11(1)222(2)0n n n n n U U n n n ++-=+-=+>，∴1n n U U +>成立．。
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1．一个正方体，它的每一个面上写有一个字，组成“数学奥林匹克”．有三个同学从不同的角度看到的结果依次如图所示，那么，“学”字对面的字为 ． (重庆市竞赛题)
2．用盆栽菊花摆在如图所示的大小相同的7个正方形花坛的边缘，正方形每边都等距离地摆n(n ≥3)盆花．那么所需菊花的总盆数s 与n 的关系可以表示为 ．
( “希望杯”邀请赛试题)
【例2】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：
像这样，10条直线相交，最多交点的个数是( )个．
A ．40
B ．45
C ．50
D ．55
3．图①是一个水平摆放的小正方体木块，图②、③是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是( )．
A ．25
B ．66
C ．91
D ．
120
(2003年宁波市中考题)
4．(1)图①是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图②、③、④、⑤的木块．
我们知道，图①的正方体木块有8个顶点，12条棱，6
⑤中木块的顶点数、棱数、面数填人下表： {2}观察此表，请你归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系是： ．
(3)图⑥是用虚线画出的正方体木块，请你想象一种与图②~⑤不同的切法，把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线，则该木块的顶点数为 ，棱数为 ，面数为 ．
2
……
n =1 n =2
n =3
5.（2010吉林）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形；…；如此下去．则图⑨中共有 个正方形．
6.（09广西）图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s ，则s ＝ ．
7.（09铁岭）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，
则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．
8.观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：
①
401413⨯+=⨯-；
②
411423⨯+=⨯-；
421433⨯+=⨯-； ③
④
⑤
_________________；
_________________；。