【数学】3.1.1《解析几何的产生.ppt;直线的倾斜角和斜率》课件(A版必修2)
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直线的倾斜角与斜率ppt课件
什么叫倾斜角？倾斜角的范围是什么？
倾斜角：直线l与x轴正方向所成的角， 叫做直线的倾斜角.常用α表示.
（1）倾斜角的取值范围： 0≤α＜1800
（2）倾斜角的作用——刻画直线相对x 轴的倾斜程度.
3.1.2
结论：坡度越大，楼梯越陡．
3.1.2 由于直线的倾斜角不利于用坐标法刻画直线，引入直线的斜率斜率.
P2 (x2 ,y2 )
三、直线的斜率公式
2 P1( x1 ,y1)
△x
△y
1
你注意到了吗？
3.1.2
1.当x1=x2时，公式右边没有意义，直线的斜率不存 在；
2. K与点P1、P2的顺序无关； 3.斜率k可以不通过倾斜角而由直线上两点的坐标求 得；
4.当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角a=0º，直线与 x轴平行或重合;
(2) - 4 . 5
学
3.1.2
以
致
用
例3、若三点(1,－1), (3，3), (5，a)在一 条直线上，求实数a的值．
例4 、直线l过点M（－1，1），且与以P
（2，2），Q（3，3）为两端点的线段 PQ有公共点，求直线l的斜率的取值范 围．
五 1.直线l过点 P(2,2 3)、Q（1，33）.1.2
二、直线的斜率
a为什么不能等 于900呢？
一条直线的倾斜角a（ a‡90º）的正切值叫作这 条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，也就是 k=tan a.
从00 900 , k从0 ＋ () ＝900 时，k不存在 从900 1800，k从－ 0 ()
3.1.2
问题：已知直线上的两个点，如何求直线的斜率呢？
开 关
那么它们都与 x 轴 垂直，故 l1 ∥ l2.
倾斜角：直线l与x轴正方向所成的角， 叫做直线的倾斜角.常用α表示.
（1）倾斜角的取值范围： 0≤α＜1800
（2）倾斜角的作用——刻画直线相对x 轴的倾斜程度.
3.1.2
结论：坡度越大，楼梯越陡．
3.1.2 由于直线的倾斜角不利于用坐标法刻画直线，引入直线的斜率斜率.
P2 (x2 ,y2 )
三、直线的斜率公式
2 P1( x1 ,y1)
△x
△y
1
你注意到了吗？
3.1.2
1.当x1=x2时，公式右边没有意义，直线的斜率不存 在；
2. K与点P1、P2的顺序无关； 3.斜率k可以不通过倾斜角而由直线上两点的坐标求 得；
4.当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角a=0º，直线与 x轴平行或重合;
(2) - 4 . 5
学
3.1.2
以
致
用
例3、若三点(1,－1), (3，3), (5，a)在一 条直线上，求实数a的值．
例4 、直线l过点M（－1，1），且与以P
（2，2），Q（3，3）为两端点的线段 PQ有公共点，求直线l的斜率的取值范 围．
五 1.直线l过点 P(2,2 3)、Q（1，33）.1.2
二、直线的斜率
a为什么不能等 于900呢？
一条直线的倾斜角a（ a‡90º）的正切值叫作这 条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，也就是 k=tan a.
从00 900 , k从0 ＋ () ＝900 时，k不存在 从900 1800，k从－ 0 ()
3.1.2
问题：已知直线上的两个点，如何求直线的斜率呢？
开 关
那么它们都与 x 轴 垂直，故 l1 ∥ l2.
直线的倾斜角与斜率(第一课时)课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
典例：经过 A(2，0)，B(0，－1)两点的直线的方向向量为(1，k)，则 k＝________．
解：因为 A(2，0)，B(0，－1)，
所以A→B
－1 ＝(－2，－1)，所以 k＝
1 ＝
.
－2 2
斜率和倾斜角的对应关系 图示
倾斜角 (范围) 斜率 (范围) k 的增 减情况
α＝0°
0°<α<90°
＝；
－1－1 2
(2)∵x1＝x2，∴斜率不存在．
2－1 1
(3)当 m＝2 时，斜率不存在；当 m≠2 时，kPQ＝
＝
.
m－2 m－2
例 4：(1)已知过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为 45°，求实数 m 的值； (2)若过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为 90°，求实数 m 的值；
－1－3
(1)∵直线的倾斜角为 45°，∴k＝1，即
＝1.∴m＝3.
2－2m
(2)∵直线的倾斜角为 90°，∴k 不存在．∴2m＝2.∴m＝1.
( 1 ) 求直线斜率的两种类型 一种是已知倾斜角求直线的斜率，注意倾斜角为 90°的情况；另一种是已知
两点的坐标求直线的斜率，注意斜率不存在的情况． (2)在 0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
5
6
且 kAB＝－2－m ，kAC＝－6 ＝－1，
所以直线 AB，AC 的斜率存在，
5
所以 kAB＝kAC，即
＝－1，解得 m＝3.
－2－m
直线的倾斜角与斜率的综合运用
例 5：(2)直线 l 过点 P(1，0)，且与以 A(2，1)，B(0， 3 )为端点的线段有公共点，求
解：因为 A(2，0)，B(0，－1)，
所以A→B
－1 ＝(－2，－1)，所以 k＝
1 ＝
.
－2 2
斜率和倾斜角的对应关系 图示
倾斜角 (范围) 斜率 (范围) k 的增 减情况
α＝0°
0°<α<90°
＝；
－1－1 2
(2)∵x1＝x2，∴斜率不存在．
2－1 1
(3)当 m＝2 时，斜率不存在；当 m≠2 时，kPQ＝
＝
.
m－2 m－2
例 4：(1)已知过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为 45°，求实数 m 的值； (2)若过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为 90°，求实数 m 的值；
－1－3
(1)∵直线的倾斜角为 45°，∴k＝1，即
＝1.∴m＝3.
2－2m
(2)∵直线的倾斜角为 90°，∴k 不存在．∴2m＝2.∴m＝1.
( 1 ) 求直线斜率的两种类型 一种是已知倾斜角求直线的斜率，注意倾斜角为 90°的情况；另一种是已知
两点的坐标求直线的斜率，注意斜率不存在的情况． (2)在 0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
5
6
且 kAB＝－2－m ，kAC＝－6 ＝－1，
所以直线 AB，AC 的斜率存在，
5
所以 kAB＝kAC，即
＝－1，解得 m＝3.
－2－m
直线的倾斜角与斜率的综合运用
例 5：(2)直线 l 过点 P(1，0)，且与以 A(2，1)，B(0， 3 )为端点的线段有公共点，求
直线的倾斜角与斜率完整(公开课)ppt课件
直线的斜率
定义：我们把一条直线的的倾斜角的正切值叫做 这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
ktan（ 90）
注：倾斜角是90 °的直线没有斜率。 我们也可以用斜率表示直线的倾斜程度
试一试 提 ta 1 示 - n 8 - 0 t： a n
已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率.
( 1 ) 3 0 o ; ( 2 ) 4 5 o ; ( 3 ) 1 2 0 o ; ( 4 ) 1 3 5 o ;
y
这些直线有何区别？
l O Px
它们的倾斜程度不同．
用什么量来刻画直 线的倾斜程度？
直线的倾斜角
定义：当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基 准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做 直线 l 的倾斜角．
y
规定 当直线l与x轴平行或重合时，
它的倾斜角为 0 .
注意： (1)直线向上方向； o (2)x轴的正方向。
()
⑤两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等 ( )
⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 0或π ( )
典例讲解
1 、 若 直 线 的 倾 斜 角 为 6 ， 3 ， 求 斜 率 k 的 取 值 范 围 。
变式训练
1 、 若 直 线 的 倾 斜 角 为 6 ， 3 4 ， 求 斜 率 k 的 取 值 范 围 。
如图，直线的斜率分别为，则（C）
A．k1k2 k3 B． k3 k1 k2
Y
l1
C．k3 k2 k1 D．k1 k3 k2
O
X
l3
判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 tan（ ）
②直线的斜率的范围是 (,)
（）
∨
③任一条直线都有倾斜角，所以任一条直线都有
定义：我们把一条直线的的倾斜角的正切值叫做 这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
ktan（ 90）
注：倾斜角是90 °的直线没有斜率。 我们也可以用斜率表示直线的倾斜程度
试一试 提 ta 1 示 - n 8 - 0 t： a n
已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率.
( 1 ) 3 0 o ; ( 2 ) 4 5 o ; ( 3 ) 1 2 0 o ; ( 4 ) 1 3 5 o ;
y
这些直线有何区别？
l O Px
它们的倾斜程度不同．
用什么量来刻画直 线的倾斜程度？
直线的倾斜角
定义：当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基 准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做 直线 l 的倾斜角．
y
规定 当直线l与x轴平行或重合时，
它的倾斜角为 0 .
注意： (1)直线向上方向； o (2)x轴的正方向。
()
⑤两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等 ( )
⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 0或π ( )
典例讲解
1 、 若 直 线 的 倾 斜 角 为 6 ， 3 ， 求 斜 率 k 的 取 值 范 围 。
变式训练
1 、 若 直 线 的 倾 斜 角 为 6 ， 3 4 ， 求 斜 率 k 的 取 值 范 围 。
如图，直线的斜率分别为，则（C）
A．k1k2 k3 B． k3 k1 k2
Y
l1
C．k3 k2 k1 D．k1 k3 k2
O
X
l3
判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 tan（ ）
②直线的斜率的范围是 (,)
（）
∨
③任一条直线都有倾斜角，所以任一条直线都有
高一必修二数学说课课件：3.1.1直线的倾斜角与斜率+(共40张PPT)
本课时是概念性教学，涉及两个概念——倾斜 角和斜率。 倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联 系新旧知识的纽带，在研究斜率、直线的平行、 垂直的解析表示等问题时都要用这个概念； 斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析 法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研 究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角 坐标系下，确定直线的最本质条件是直线上的 一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两 个条件上来。
三、教学目标
知识与技能目标：（直接性目标）
了解直线的方程和方程的直线的概念;在新的问题的情境中，去 主动构建理解直线的倾斜角和斜率的定义;初步感悟用代数方法 解决几何问题的思想方法。 过程与方法目标： （发展性目标） 引导学生观察发现、类比，猜想和实验探索，培养学生的创新能 力和动手能力 情感、态度与价值观目标：（可持续性目标） 在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和 评价，实现共同探究、教学相长的教学情境，并体验认识事物的 一般规律：从特殊到一般的过程。
四、教学重难点
重点：理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历
用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握 过两点直线的斜率的计算公式。
难点：
斜率公式的推导。 <鉴于本课特点，我选择教学方法如下：>
五、教法选择
直观教学法、启发发现法、 课堂讨论法、电化教学法。
遵循“教师的主导作用和学生的主体地位相 统一的教学规律”，本节课我采用观察发现、 启发引导、探索实验相结合的教学方法并充分 利用多媒体辅助教学。通过教师在教学过程中 的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、 动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接 受，突出体现以学生为主体的探索性学习和因 材施教的原则。
第三章 3.1.1 倾斜角与斜率(共44张PPT)
2.理解斜率公式应注意的事项 (1)当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角 α=90°,直线与x轴垂直. (2)斜率k与P1,P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后 次序可以同时交换,但分子与分母不能交换. (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得 . (4)当y1=y2,x1≠x2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°,直线与x 轴平行或重合.
【拓展提升】 1.用斜率公式解决三点共线问题
2.直线斜率在平面几何中的运用
解决几何图形中直线的倾斜角与斜率的综合问题时 ,要善于利
用几何图形的几何性质,注意倾斜角是几何图形中的夹角还是
其邻补角,也可以利用经过两点的直线的斜率公式 ,先求斜率, 再求倾斜角.
【变式训练】如图,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,一边在 x轴的正半轴上,已知∠BOD=60°,求菱形各边和两条对角线所 在直线的倾斜角及斜率.
α =0° k=0 ____
0°<α <90° k>0 ____
90° 90°<α <180° α =___ k<0 ____
斜率(范围)
不存在
3.经过两点的斜率公式
y 2 y1 x 2 x1 直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),其斜率k=______.
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的惟一方法.( (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.( (3)一个倾斜角α 不能确定一条直线.( (4)斜率公式与两点的顺序无关.( ) ) ) )
30 1 ，即tan α=-1，所以α=135°. 5 2
(2)斜率不存在，α=90°. (3)k=
3.1.1直线的倾斜角与斜率-课件
当直线 P2 P1 与 x轴平行或重合时，上述式子还成
立吗？为什么？ 成立
经过两点 P 1 (x 1 ,y 1 )P 2 ,(x 2 ,y 2 )x 1 ( x 2 )的直线的
斜率公式为：
k y2 y1
2019/12/14
x2 x1
21
21
归纳： 对于斜率公式要注意下面四点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率 不存在，倾斜角= 90o，直线与x轴垂直；
直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角．
解：直线AB的斜率
kAB142371;
直线BC的斜率
kBC 01( 4 1)421 2;
直线CA的斜率 kCA 0132 3 31;
由 kAB0及 kCA0知，直线AB 与CA的倾斜角均
2019/12/14
14
14
两点的斜率公式
设直线P1 P2的倾斜角为α（ α
≠90° ），当直线P1 P2的方向
（即从P1指向P2的方向）向上
时，过点P1作 x 轴的平行线，
过点P2作 y 轴的平行线，两线
相交于点 Q，于是点Q的坐标为
（ x2，y1 ）．
当 为锐角时， Q 1 P 2 , x 1 P x 2 ,y 1 y 2 .
为锐角；由 2019/12/14
kBC0知，直线BC的倾斜角为钝角．
23
23
典型例题
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率
分别为1，-1，2及-3的直线 l1,l2,l3 及 l 4 ．
解：取 l 1上某一点为 A 1 的
坐标是 (x1, y1)，根据斜率公式 有:
3.1.1直线的倾斜角与斜率课件(新人教A版必修2)
P 1(x 1, y 1) Q (x 2, y 1)
如图，当α为钝角时， 180 ,
且 x 1 x 2, y 1y 2 tan tan( 180 )
y1
o x2
x1
x
y y y y 2 1 2 1 k tan x x x x 1 2 2 1
x
设 1 ,则 ,于是 的坐标为（ 1 ， 1 ） . y 1 x A 1 1
1
l2
过原点及 （ 1 ， 1 ）的直线即为 l1, A 1 如图所示 .
说明：也可设其它特殊点
巩固与测试
1. 判断正误： ①因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有斜率。
（ ） （ ） ( )
②因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线
4、斜率公式：
y y y y 2 1 1 2 k ( 或 k ) x x x x 2 1 1 2
作
P89
业:
习题3.1 A组：1.2 B组：5
x
p
x
o
l x
l
= 0°
k=0
0°＜ ＜ 90°
= 90° 90°＜ ＜180°
k不存在 k<0
k >0
应用与实践
例1
如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC， CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
y
A(3，2) B(-4，1),
O
C（0，-1）
小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 0 180 ( 90 ) 2、直线的斜率定义： ktan 3、斜率k与倾斜角 之间的关系： 0 k tan0 0
如图，当α为钝角时， 180 ,
且 x 1 x 2, y 1y 2 tan tan( 180 )
y1
o x2
x1
x
y y y y 2 1 2 1 k tan x x x x 1 2 2 1
x
设 1 ,则 ,于是 的坐标为（ 1 ， 1 ） . y 1 x A 1 1
1
l2
过原点及 （ 1 ， 1 ）的直线即为 l1, A 1 如图所示 .
说明：也可设其它特殊点
巩固与测试
1. 判断正误： ①因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有斜率。
（ ） （ ） ( )
②因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线
4、斜率公式：
y y y y 2 1 1 2 k ( 或 k ) x x x x 2 1 1 2
作
P89
业:
习题3.1 A组：1.2 B组：5
x
p
x
o
l x
l
= 0°
k=0
0°＜ ＜ 90°
= 90° 90°＜ ＜180°
k不存在 k<0
k >0
应用与实践
例1
如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC， CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
y
A(3，2) B(-4，1),
O
C（0，-1）
小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 0 180 ( 90 ) 2、直线的斜率定义： ktan 3、斜率k与倾斜角 之间的关系： 0 k tan0 0
直线的倾斜角与斜率讲义 ppt课件
8
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
坡度
铅直高度 水平长度
升
高
量
前进量
ppt课件
9
结论：坡度越ppt课件大，楼梯越陡． 10
直线的斜率定义 倾斜角不是 90 的直线，它的倾斜角的正
切值叫做这条直线的斜率，通常用 k 表示，即
练习一
k＝tan ．
已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：
ppt课件
14
y
如图，α为锐角
y2
P2 (x2, y2 )
y1
Q(x2, y1)
P2P1Q,
P1(x1, y1)
o x1
x2 x
在RtP2P1Q中
k
tan
tan P2P1Q
QP2 P1Q
y2 x2
y1 x1
ppt课件
15
如图α为钝角，
180 ,
y tan tan(180 )
(2).过点C的直线 l 与线段ＡＢ有公共点， 求 l 的斜率k的取值范围
y
解：（1）k AB
1 2 4 3
1 7
锐角
B
A
kBC
1 1 0 (4)
1 2
钝角
O
x
kCA
1 2 03
1
锐角
C
（2）k [1,+) (-,- 1]
2
ppt课件
20
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率
y
直线向上的方向
A
B
1
3.1.1解析几何的产生;直线的倾斜角和斜率
1.若直线的斜率存在，则必有唯一的倾斜角 与之对应.
2.若直线的倾斜角存在，则必有唯一的斜率 与之对应.
3.若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 tan.
（1）如果直线 l1的斜率为0，l1 l2 ，那
么直线 l2 的斜率怎样？
（2）如果直线 l 的斜率 k 的范围是 0 k 1
那么它的倾斜角的范围是什么？
y
a o
注意： (1)直线向上方向； (2)X轴的正方线和x轴平行或重合时， 它的倾斜角为0°.
问题：下列图中标出的直线的倾斜角对不
对？如果不对，违背了定义中的哪一
条？
y
y
y
y
o x
o
x o
x
o
x
（1）
（2）
（3）
（4）
规定，直线向上的方向与x轴的正方向所 成的最小正角叫做这条直线的倾斜角。
新 课
直线的倾斜角与斜率
问题一：对直线的已有研究有哪些？
1）R上的一次函数可以表示直线
2）确定一条直线需要的条件
y （两点；一点及其方向）
Q.
.. ...
P.
1
. .o . . .
-1
x 1 2 3
-1
1、直线的倾斜角
直线倾斜角的定义：
当直线L与X轴相交时，我们取X轴作 为基准，X轴正向与直线L向上方向之间 所成的角叫做直线的倾斜角
B
2、直线的斜率
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切 叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，
即： k tan
当 =0°时， k 0
当00＜ ＜ 90°时， k 0
当 =90°时， k不存在（直线存在）
当900＜ ＜180°时， k 0
2.若直线的倾斜角存在，则必有唯一的斜率 与之对应.
3.若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 tan.
（1）如果直线 l1的斜率为0，l1 l2 ，那
么直线 l2 的斜率怎样？
（2）如果直线 l 的斜率 k 的范围是 0 k 1
那么它的倾斜角的范围是什么？
y
a o
注意： (1)直线向上方向； (2)X轴的正方线和x轴平行或重合时， 它的倾斜角为0°.
问题：下列图中标出的直线的倾斜角对不
对？如果不对，违背了定义中的哪一
条？
y
y
y
y
o x
o
x o
x
o
x
（1）
（2）
（3）
（4）
规定，直线向上的方向与x轴的正方向所 成的最小正角叫做这条直线的倾斜角。
新 课
直线的倾斜角与斜率
问题一：对直线的已有研究有哪些？
1）R上的一次函数可以表示直线
2）确定一条直线需要的条件
y （两点；一点及其方向）
Q.
.. ...
P.
1
. .o . . .
-1
x 1 2 3
-1
1、直线的倾斜角
直线倾斜角的定义：
当直线L与X轴相交时，我们取X轴作 为基准，X轴正向与直线L向上方向之间 所成的角叫做直线的倾斜角
B
2、直线的斜率
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切 叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，
即： k tan
当 =0°时， k 0
当00＜ ＜ 90°时， k 0
当 =90°时， k不存在（直线存在）
当900＜ ＜180°时， k 0
直线的倾斜角和斜率PPT完美课件
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4
下列哪些说法是正确的（ E、F）
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率
B、直线的倾斜角越大，斜率也越大
学科网，zxxk.fenghuangxueyi
C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π
D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等
E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等
F 、直线斜率的范围是R
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2对教育来说，阅读是最基础的教学手 段，教 育里最 关键、 最重要 的基石 就是阅 读。
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3但是现在，我们的教育在一定程度上 ，还不 够重视 阅读， 尤其是 延伸阅 读和课 外阅读 。
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4. “山不在高，有仙则名。水不在深 ，有龙 则灵” 四句， 简洁有 力，类 比“斯 是陋室 ，惟吾 德馨” ，说明 陋室也 可借高 尚之士 散发芬 芳
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10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
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11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
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12简·爱人生追求有两个基本旋律：富 有激情 、幻想 、反抗 和坚持 不懈的 精神； 对人间 自由幸 福的渴 望和对 更高精 神境界 的追求 。
3.1 直线的倾斜角和斜率
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1
复习回顾
一次函数的图象有何特点? 给定函数y=2x+1,如何作出它的图像?
一般地,一次函数y=kx+b的图象是一条 直线,它是以满足y=kx+b的每一对x、y的值 为坐标的点构成的.
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2
问题：在直角坐标系中，过点P的一条直线 绕点P旋转，不管旋转多少周，他对 x轴的相对位置有几种情形，请画出 来？
3.1.1-2直线的倾斜角与斜率PPT课件
直线的倾斜角与 斜率(2)
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交 时，取x轴作为基准， x轴正向与直线l向上方 向之间所成的角α 叫做直线l的倾斜角.
倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正切叫做 这条直线的斜率，常用k来表示.
经过两点P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )的直线的斜率公式:
（1）若 1 k<1，求的范围
（2）若 < 3 ，求k的范围
4
4
点评：1、已知斜率k的范围，求倾斜角范围时，
从0点断开分类讨论.
2、已知倾斜角范围，求斜率k的范围时，
从900断开分类讨论.
例５，过点Ｐ(２，-１)作直线Ｌ与线段ＡＢ有 公共点，Ａ(-3，４),Ｂ(３，２)
（1）求直线l倾斜角的范围.
（2）求直线l的斜率k的范围.
4.判断正误:
(1)直线的倾斜角为,则直线的斜率为tan;( X )
(2)直线的斜率值为tan,则直线的倾斜角为;( X )
(3)因为所有的直线都有倾斜角,故所有的直线都有
斜率;( X )
(4)因为平行于y轴的直线斜率不存在,所以平行于y
轴的直线的倾斜角不存在;( X )
直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线
的倾斜角是什么角？
y.
解：
B
.A
直线AB的斜率
k AB
22 84
0
.
.
. . o.
.
.
.
x
直线BC的斜率
kBC
22 0 (8)
4 8
1 2
C
直线CA的斜率
kCA
2 (2) 40
4 4
1
∵ kAB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交 时，取x轴作为基准， x轴正向与直线l向上方 向之间所成的角α 叫做直线l的倾斜角.
倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正切叫做 这条直线的斜率，常用k来表示.
经过两点P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )的直线的斜率公式:
（1）若 1 k<1，求的范围
（2）若 < 3 ，求k的范围
4
4
点评：1、已知斜率k的范围，求倾斜角范围时，
从0点断开分类讨论.
2、已知倾斜角范围，求斜率k的范围时，
从900断开分类讨论.
例５，过点Ｐ(２，-１)作直线Ｌ与线段ＡＢ有 公共点，Ａ(-3，４),Ｂ(３，２)
（1）求直线l倾斜角的范围.
（2）求直线l的斜率k的范围.
4.判断正误:
(1)直线的倾斜角为,则直线的斜率为tan;( X )
(2)直线的斜率值为tan,则直线的倾斜角为;( X )
(3)因为所有的直线都有倾斜角,故所有的直线都有
斜率;( X )
(4)因为平行于y轴的直线斜率不存在,所以平行于y
轴的直线的倾斜角不存在;( X )
直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线
的倾斜角是什么角？
y.
解：
B
.A
直线AB的斜率
k AB
22 84
0
.
.
. . o.
.
.
.
x
直线BC的斜率
kBC
22 0 (8)
4 8
1 2
C
直线CA的斜率
kCA
2 (2) 40
4 4
1
∵ kAB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。
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当x1=x2, y1= y2（即直线与x轴垂直）时， 直线的倾斜角等于90°，没有斜率.
例1、已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)， 求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些 直线的倾斜角是什么角？
例2 求证：A(-2,8) B(3,-2) C(1,2) 三点在同一直线上.
例3 直线l的倾斜角 [ ， ）（ ， ]， 4 2 2 4 求斜率k的范围。
11.(北京高考)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b),(ab≠0)共线, 则 1 1 的值等于________. 1 a b 2
解析 : A､B､C三点共线, 02 b2 k AB k AC , 即 , a2 02 即 a 2 b 2 4, ab 2a 2b, ab 0, 2 2 1 1 1 1, . b a a b 2
当 =0°时，
k tan
k 0
当00＜
90°时， k 0 ＜
k不存在（直线存在）
当
=90°时，
当900＜
＜180°时， k 0
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切 叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，
k tan
(k R)
1. k是一个实数. 每条直线都存在唯一的倾斜角， 但不是每条直线都存在斜率; 2. 由正切函数的单调性， 倾斜角不同的直线，其斜率也不同； 斜率不同的直线，其倾斜角也不同。
特别地，当直线和x轴平行或重合时， 它的倾斜角为0°.
问题：下列图中标出的直线的倾斜角对不 对？如果不对，违背了定义中的哪一 条？
y y y y
o
x
o
x
o
（3）
x
o
（4）
x
（1）
（2）
规定，直线向上的方向与x轴的正方向所 成的最小正角叫做这条直线的倾斜角。 特别地，当直线和x轴平行或重合时， 它的倾斜角为0°。 倾斜角的取值范围是: 0°≤
3
例4. 已知两点A(2,3)、B(3，0)，过点 P(-1，0)的直线与线段AB有公共点.求直线 的斜率k的取值范围.
若B(-3,1), B(3,-1),则k的取值范围为？
1、下列命题中真命题是（ D ） A、倾斜角为的直线的斜率为tan B、斜率为tan的直线倾斜角为 C、斜率为0的直线倾斜角为0或 D、斜率小于0的直线倾斜角为钝角
直线的位置
我们知道，两点确定一条直线。
y
过一点O的直线可以作无数条， 可以用直线与X轴的夹角来描述 它们的倾斜程度
x
o
一点能确定一条 直线的位置吗？
1、直线的倾斜角
直线倾斜角的定义：
当直线L与X轴相交时，我们取X轴作 为基准，X轴正向与直线L向上方向之间 所成的角叫做直线的倾斜角
y
l
a
x o
注意： (1)直线向上方向； (2)X轴的正方向。
＜180°
坐标平面上任何一条直都有唯一的倾斜角。
思考:
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
如图，日常生活中，我们经常用“升高量与前 进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程 度），即
升高量 坡度 前进量
A
D
C 升
前进量
高பைடு நூலகம்量
B
2、直线的斜率
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切 叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示， 即：
么直线
l2 ，那
l 2 的斜率怎样？ （2）如果直线 l 的斜率 k 的范围是 0 k 1
那么它的倾斜角的范围是什么？
(3)直线的倾斜角越大，它的斜率就越大?
例1：直线
l1 的倾斜角 1 =30°， 直线 l2 l1，求 l1 , l 2 的斜率。
BAD=60°,
D
例2：如图所示菱形ABCD中,
12.(2008·浙江)已知a>0,若平面内三点A(1,a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a=________. 1 2
a 2 a a3 a 解析 :由题意可得 , 化简得a(a2 2a 1) 0, 2 1 3 1 a 0或a 1 2. a 0, a 1 2.
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切 叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，
判断：
k tan
1.若直线的斜率存在，则必有唯一的倾斜角 与之对应. 2.若直线的倾斜角存在，则必有唯一的斜率 与之对应. 3.若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 tan .
（1）如果直线 l1 的斜率为0， 1 l
求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的
倾斜角和斜率。
o
y
C
x
A
B
3、斜率公式 直线过P1(x1,y1), P2(x2,y2)两点,则
y2 y1 k x2 x1
y2 y1 y1 y2 k x2 x1 x1 x2
斜率公式与两点的顺序无关； 斜率公式表明：直线对于x轴的倾斜程度， 可以通过直线上任意两点的坐标表示， 而不需求出直线的倾斜角，使用比较方便；