线性空间习题课选讲(1)
第六章 线性空间
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例5 设1 , 2 , A是n s矩阵, (1 , 2 , 证明 : L( 1 , 2 ,
, n 是n维线性空间V 的一组基, , s ) (1 , 2 , , n ) A
, s )的维数等于A的秩.
证 设秩( A) r , 则存在可逆矩阵P , Q , 使得 Er A P O
(4) 基变换
其中1 , 2 ,
, n 和1 , 2 ,
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, n 都是V的
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基, A为过渡矩阵, 可逆.
3
性质:设1 , 2 , 则 1 , 2 ,
, n为V 的基, , n ) ( 1 , 2 , , n ) A, , n 也为V 的基 A可逆.
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若 V2 , 则因 V2 , 有 ( ) V2 , 与 V2矛盾. 故在V中存在向量x , x V1且x V2 .
注: 此例说明,若V1 ,V2是V的两个非平凡子空 间, 则在V中存在向量x, 使x V1 V2 ,即V V1 V2 .
证 取P n的一组基 1 , 2 , 个 i , 使得A
m 1
i 0.
, n, 令
B ( 1 , 2 , , n )
事实上,若Am1 j 0, j 1,2,
则B可逆, 且有Am1 B O. 于是Am1 O. 与题设矛盾.
令 i , 则Am1 0, Am 0.
k1 l1 k2 l2 则有坐标变换公式 : A kn ln
数学第一章空间向量与立体几何1-1第1课时空间向量及其线性运算练习含解析新人教A版选择性必修第一册
第1课时 空间向量及其线性运算学习目标 1.理解空间向量的有关概念.2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律．知识点一 空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. 4．几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a ，都有0∥a相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量思考 空间中的两个向量是不是共面向量？答案 是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 知识点二 空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a ＋b ＝OA →＋ AB → ＝OB →减法a －b ＝OA →－OC →＝CA →数乘当λ>0时，λa ＝λOA →＝PQ →； 当λ<0时，λa ＝λOA →＝MN →；当λ＝0时，λa ＝0运算律 交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c ，λ(μa )＝(λμ)a ；分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .思考1 怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？答案 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变． 思考2 由数乘λa ＝0，可否得出λ＝0? 答案 不能．λa ＝0⇔λ＝0或a ＝0.1．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × ) 2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( √ )3．空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算．( × ) 4．向量AB →与AC →是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上．( √ )一、向量概念的应用例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．方向相反的两个向量是相反向量 B ．空间中任意两个单位向量必相等C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|＞|CD →|，则AB →＞CD →D ．相等向量其方向必相同 答案 D解析 A 中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B 中，单位向量模都相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小，故选D. (2)(多选)下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的加法满足结合律D ．任一向量与它的相反向量不相等 答案 BC解析 |a |＝|b |，说明a 与b 模相等，但方向不确定；对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确；空间向量的加法满足结合律，C 正确；零向量的相反向量仍是零向量．故选BC.反思感悟 空间向量的概念问题在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1 下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________． ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同． 答案 ①解析 根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确． 二、空间向量的加减运算例2 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′———→.解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AA ′—→＋A ′D ′———→＝AD ′—→. (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′———→＝AA ′—→＋A ′B ′———→＋B ′C ′———→ ＝AB ′—→＋B ′C ′———→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→如图所示．延伸探究试把本例中的体对角线所对应向量AC ′—→用向量AA ′—→，AB →，AD →表示． 解 在平行四边形ACC ′A ′中，由平行四边形法则可得AC ′—→＝AC →＋AA ′—→， 在平行四边形ABCD 中，由平行四边形法则可得AC →＝AB →＋AD →. 故AC ′—→＝AB →＋AD →＋AA ′—→.反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．跟踪训练2 (多选)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1—→的是( )A.A 1D 1—→－A 1A —→－AB →B.BC →＋BB 1—→－D 1C 1—→C.AD →－AB →－DD 1—→D.B 1D 1—→－A 1A —→＋DD 1—→ 答案 AB解析 A 中，A 1D 1—→－A 1A —→－AB →＝AD 1—→－AB →＝BD 1—→； B 中，BC →＋BB 1—→－D 1C 1—→＝BC 1—→＋C 1D 1—→＝BD 1—→；C 中，AD →－AB →－DD 1—→＝BD →－DD 1—→＝BD →－BB 1—→＝B 1D —→≠BD 1—→；D 中，B 1D 1—→－A 1A —→＋DD 1—→＝BD →＋AA 1—→＋DD 1—→＝BD 1—→＋AA 1—→≠BD 1—→.故选AB. 三、空间向量的线性运算例3 在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F ，H 分别为边CD ，AD 和BC 的中点，化简下列各表达式． (1)AG →＋13BE →＋12CA →；(2)12(AB →＋AC →－AD →)．解 (1)因为G 是△BCD 的重心，所以|GE →|＝13|BE →|，所以13BE →＝GE →，又因为12CA →＝EF →，所以由向量的加法法则，可知AG →＋13BE →＋12CA →＝AG →＋GE →＋EF →＝AE →＋EF →＝AF →.从而AG →＋13BE →＋12CA →＝AF →.(2)如图所示，分别取AB ，AC 的中点P ，Q ，连接PH ，QH ，则四边形APHQ 为平行四边形，且有12AB →＝AP →，12AC →＝AQ →，而AP →＋AQ →＝AH →，12AD →＝AF →，所以12(AB →＋AC →－AD →)＝AP →＋AQ →－AF →＝AH →－AF →＝FH →.反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的注意点(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．跟踪训练3 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若A 1B 1—→＝a ，A 1D 1—→＝b ，A 1A —→＝c ，则下列向量中与B 1M —→相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c答案 A解析 B 1M —→＝B 1B —→＋BM →＝A 1A —→＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .1．“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B2．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3答案 D解析 向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等，方向相反，故选D. 3．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝CB → D.AB →＝－BA → 答案 B4．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形答案 A解析 ∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →， ∴AB →＝DC →.∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．5．化简：5(3a －2b )＋4(2b －3a )＝________. 答案 3a －2b1．知识清单： (1)向量的概念．(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)． (3)向量的线性运算的运算律． 2．方法归纳：三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想． 3．常见误区：对空间向量的理解应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．1．(多选)下列说法中，正确的是( ) A ．模为0是一个向量方向不确定的充要条件B ．若向量AB →，CD →满足|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →同向，则AB →＞CD →C ．若两个非零向量AB →，CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →，CD →互为相反向量 D.AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合 答案 AC解析 A 正确，模不为0的向量方向是确定的． B 错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小． C 正确，由AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，所以AB →，CD →互为相反向量．D 错误，AB →＝CD →的充要条件是|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向．但A 与C ，B 与D 不一定重合． 2．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM → B.NP → C ．0 D.MN →答案 C解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0，故选C. 3．在空间四边形OABC 中，OA →＋AB →－CB →等于( ) A.OA → B.AB → C.OC →D.AC →答案 C4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( ) A.AB →＋A 1D 1—→＋C 1A 1—→ B.AB →－AC →＋BB 1—→ C.AB →＋AD →＋AA 1—→ D.AC →＋CB 1—→答案 A解析 在A 选项中，AB →＋A 1D 1—→＋C 1A 1—→＝(AB →＋AD →)＋CA →＝AC →＋CA →＝0. 5．如果向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC → B.AB →＝－AC →－BC → C.AC →与BC →同向 D.AC →与CB →同向 答案 D6．设A ，B ，C ，D 为空间任意四点，则AC →－BC →＋BD →＝________. 答案 AD →解析 AC →－BC →＋BD →＝AC →＋CB →＋BD →＝AD →.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是________． 答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝AB →＋BC →＋DC →－DA →＝AC →＋AC →＝2AC →.8．已知向量a ，b ，c 互相平行，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________. 答案 29.如图所示的是平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列各式：(1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)DD 1—→－AB →＋BC →.解 (1)AB →＋AD →＋AA 1—→＝AC →＋AA 1—→＝AC 1—→.(2)DD 1—→－AB →＋BC →＝AA 1—→－AB →＋BC →＝BA 1—→＋BC →＝BD 1—→.10．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简：AB →＋BC →＋CD →，AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解 AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.因为E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点， 所以BE →＝EC →，EF →＝GD →.所以AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋EF →＋BE →＝AF →. 故所求向量为AD →，AF →，如图所示．11．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B.AB → C.AC → D.BA →答案 D解析 方法一 DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →. 方法二 DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →)＝DA →＋BD →＝BA →.12．在三棱锥A －BCD 中，E 是棱CD 的中点，且BF →＝23BE →，则 AF →等于( )A. 12AB →＋34AC →－34AD →B. AB →＋34AC →－34AD →C ．－5AB →＋3AC →＋3AD →D.13AB →＋13AC →＋13AD → 答案 D解析 因为 E 是棱 CD 的中点，BF →＝23BE →，所以 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BE →＝AB →＋23(AE →－AB →)＝23AE →＋13AB →＝13(AC →＋AD →)＋13AB →＝13AB →＋13AC →＋13AD →. 13．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________. 答案 －c －a ＋b 解析 如图，A 1B —→＝B 1B —→－B 1A 1—→＝B 1B —→－BA →＝－CC 1—→－(CA →－CB →) ＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b .14．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简A 1O —→－12AB →－12AD →＝________.(2)用AB →，AD →，AA 1—→表示OC 1—→，则OC 1—→＝________. 答案 (1)A 1A —→ (2)12AB →＋12AD →＋AA 1—→解析 (1)A 1O —→－12AB →－12AD →＝A 1O —→－12(AB →＋AD →)＝A 1O —→－AO →＝A 1O —→＋OA →＝A 1A —→.(2)因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，所以OC 1—→＝OC →＋CC 1—→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1—→＝12AB →＋12AD →＋AA 1—→.15．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′——→，则x ＋y ＋z ＝________.答案 6解析 在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC ′——→＝AB →＋BC →＋CC ′——→，又AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′——→， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y 2＝1，z 3＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，z ＝3，∴x ＋y ＋z ＝6.16.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →.解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1—→＋A 1D 1——→＋D 1P —→＝a ＋AD →＋12D 1C 1——→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b . (2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N —→＝A 1A —→＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC → ＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c . (3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A —→＋AP → ＝－12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .。
线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题1-习题
2021/4/22
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方法四：降级法。（行列式中某一行（列）只有一、
二个非零元素）
例3 证明
x 1 0
00
0 x 1
00
Dn 00 0
x 1
an an1 an2
a2 x a1
xn a1 xn1 an1 x an
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证法一：按最后一行展开
1 0 Dn (1)n1an x 1
an
1 aa c1
i
n 2
1 ai 1
ci
n 1
i1 i
1
1
0
a1
0
0
0
an
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例2 计算
1111
abcd D
a2 b2 c2 d 2
a4 b4 c4 d 4
解：构造
1111 1 abcd x
f (x) a2 b2 c2 d 2 x2
a3 b3 c3 d 3 x3
a4 b4 c4 d 4 x4
1
n
n2 nn1
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上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知
Dn n! ( x i x j)
ni j1
n!(2 1)(3 1)(n 1) • (3 2)(4 2)(n 2)[n (n 1)] n!(n 1)!(n 2)!2!1!.
2021/4/22
个，则D= ；
5、若行列式每行元素之和为零，则D= ；
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9
a11 a12 a13
4a11 2a11 3a12 a13
6.若 a21 a22 a23 1,则 4a21 2a21 3a22 a23
0230第七章线性变换(习题二)解读
第七章 习 题 课（一）一、复习内容1、线性空间的值域、核的概念及表示法；2、线性变换A 的秩(A)r 、A 的零度(A)nul 的概念；3、线性变换A 的秩、零度与线性空间的维数之间的关系；4、等式 1A A (0)V V -=⊕ 是否成立？5、若A 是线性空间V 的一个线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基，则 A ?V =。
若A 在基12,,,n εεε的矩阵是A ，则A 的秩为？6、不变子空间（ A -子空间）的概念；7、线性变换A 的值域与核的概念。
二、新课讲解1、设A 是n 维线性空间V 的线性变换，α是V 中一个非零向量。
证明：如果21,A ,A ,,A (1)k k αααα-≥线性无关，而21,A ,A ,,A ,A k k ααααα-线性相关，那么1）211(,A ,A ,,A )k V L αααα-=是A -子空间；2）211(,A ,A ,,A )k V L αααα-=是包含α的最小A -子空间。
证明：1）因为21,A ,A ,,A (1)k k αααα-≥线性无关，而21,A ,A ,,A ,A k k ααααα-线性相关，所以A kα可以由21,A ,A ,,A k αααα-线性表示。
因此21,A ,A ,,A k αααα-在A 下的象都在1V 中，故1V 是A -子空间。
2）如果A -子空间W 包含α，则W 包含α的象A α，A α的象2A α，…，2A k α-的象1A k α-，所以211(,A ,A ,,A )k W V L αααα-⊇=，即211(,A ,A ,,A )k V L αααα-=是包含α的最小A -子空间。
2、323 14P 设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换A 这组基下的矩阵为1021121312552212A ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪⎪--⎝⎭2）求A 的值域与核；解：设A 在基1234,,,εεεε的矩阵为A ，先求1A (0)-。
南京航空航天大学研究生课程《矩阵论》内容总结与习题选讲
《矩阵论》复习提纲与习题选讲Chapter1 线性空间和内积空间内容总结：z 线性空间的定义、基和维数；z 一个向量在一组基下的坐标；z 线性子空间的定义与判断；z 子空间的交z 内积的定义；z 内积空间的定义；z 向量的长度、距离和正交的概念；z Gram-Schmidt 标准正交化过程；z 标准正交基。
习题选讲：1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下的坐标；3]x [R 3]x [R 221x x ++ （2） 在中定义3]x [R ， ∫−=11)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基；3][x R （3）求与之间的距离；221x x ++2x 2x 1+−（4）证明：是的子空间；2][x R 3]x [R （5）写出2[][]3R x R x ∩的维数和一组基；二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。
（1） 求22R ×的维数，并写出其一组基；（2） 在(1)所取基下的坐标； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基；（4） 在W 中定义内积， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈求出W 的一组标准正交基；（5）求与之间的距离； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：V 也是22R ×的子空间；并写出V 的维数和一组基；（7）写出子空间的一组基和维数。
高等代数课后习题答案(山东大学出版社第二版)第六章线性空间
第六章 线性空间第一节 映射∙代数运算1．（1）双射. （2）非单射也非满射. (3）非单射也非满射. （4）满射. 2．（1）由b a b gf a gf =⇒=)()(.（2）C c ∈∀，B b ∈∃使c b g =)(（因为g 为满射），对于b ，又A a ∈∃使b a f =)(（因为f 为满射），即c a gf=)(.3．由2知gf为双射，且C I g gff=--11，C I gf g f=--11，因此111)(---=g fgf .4.A b a ∈∀,，若)()(b f a f =，则)()(b gf a gf =，由b a I gf A =⇒=，故f为单射.B b a f A a ∈=∃∈∀)(,，使a a gf b g ==)()(.第二节 线性空间的定义1. (1)，(2)不是线性空间；(3)，(4)，(5)，(6)是线性空间．2. 否．因为R i i ∉=⋅1．4. 设α为非零向量，F l k ∈∀,，当l k ≠时， ααl k ≠，因此V中含有无限个向量．5. 因为φ≠∈V )0,0(,显然⊕是V 上的代数运算，"" 为V V R →⨯的代数运算．且容易验证（１）——(8）条运算律均成立.6. 若在nF 中,通常的加法及如下定义的数量乘法: 0=⋅αk ．容易验证当0≠α时，αα≠=⋅01,但其余7条运算律均成立．第三节 基维数坐标1. 提示：反证法．2.(1)一个基为),,2,1(n i E ij =,)(j i E E ji ij ≠+，维数为2)1(+n n ．(2)一个基为)(j i E E ji ij≠-，维数2)1(-n n ．(3)一个基为2，维数为1． (4)一个基2,,A A E ，维数为3．3. 易证n n n l ααααααα,,,,,,2121 +↔，由l 的任意性及当l k ≠时n n k l αααα+≠+11，可得结论．4.易知C x x x a x a x a xn n ),,,,1())(,,)(,,1(1212--=--- ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-------10)(100)(210)(133122112n n n n n n n a C a C a a a a C且01≠=C ．其坐标为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1101n a a a C ． 5. (1))3,4,1,4(--． (2) )0,1,0,1(-．6. 22n 维．一个基为),,2,1,(,n j k i E E kj kj =．第四节 基变换和坐标变换１.(1) 过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001100001000010 ．(2) 过渡矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010000100001 k ．3. 非零向量=ξ),,,(k k k k -,F k ∈且0≠k .4. 易知C n n ),,,(),,,(2113221ααααααααα =+++，其中C 的行列式为1)1(1+-=+n C N k k n k n ∈⎩⎨⎧-===12,22,0． 因此当n 为偶数时不为V 的基;当n 为奇数时为V的基．第五节 线性子空间1. (1),(2)是nF 的 子空间，(3)不是nF 的 子空间． 2. (1) 一个基为1,12--x x ，维数为2．(2)一个基为421,,ααα，维数为3．3. (1)φ≠)(A C ，且)(,21A C B B ∈∀,易证AB B B B A )()(2121+=+,因此)(21A C B B ∈+，又Fk ∈∀,有A kB kB A )()(11=，所以n F kB ∈1，从而)(AC 是n F 子空间．(2)n n F A C ⨯=)(．(3) 一个基为),,2,1(n i E ii =，维数为n ．4. 只证3221,,αααα↔．5.若1dim >W ,必V ∈∃βα,,对F k ∈∀均有βαk ≠．令),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα且11kb a =,当2≥n 时至少有一个i使i ikb a ≠,于是βαk -的第一个分量为0,但是第i个分量不为0的向量，矛盾．6. 只证V ∈∃α，但1W ∉α且2W ∉α．由1W 为真子空间知，V ∈∃α但1W ∉α，若2W ∉α则结论成立．若2W ∈α，则由2W 为真子空间知V∈∃β但2W ∉β，若则结论成立．若1W ∈β则V ∈+βα但1W ∉+βα，且2W ∉+βα．第六节 子空间的和与直和2．取V 的基n εεε,,,21 ，易证)()()(21n L L L V εεε⊕⊕⊕= ．3．显然21211W W W V ++=，设21211=++ααα，其中2211),2,1(,W i W i i ∈=∈αα，则)(21211=++ααα及21W W V ⊕=，可得0,021211==+ααα，再由12111W W W ⊕=知01211==αα，故21211W W W V ⊕⊕=．4.必要性∑-=⋂∈∀11i j ji i W W α，则∑-=∈11i j ji W α于是令121-+++=i i αααα 从而由000121=+++-+++- i i αααα及∑=ti iW 1为直和可知0=i α．充分性 假设21=+++t ααα 中最后一个不为的是iα,即)1(,01>===+i t i αα ，则{}011121≠⋂∈----=∑-=-i j j i i i W W αααα 矛盾．5. 首先21W W Fn+=，其次2121),,,(W W a a a n ⋂∈=∀ α，由n a a a === 21及021=+++n a a a ，可知0=i a 即0=α．6.nF ∈∀α，由αααA E A +--=)(,易证21,)(W A W E A ∈∈--αα，故21W W +∈α，即21W W F n +⊆且n F W W ⊆+21，于是21W W F n +=．21W W +∈∀β,可得0=β,从而21W W F n ⊕=.7. 充分性n F X ∈∀，由X AE X X E X 22-++=，易证21W W Fn+⊆．且21W W ⋂∈∀α由 ⎝⎛=+=-0)(0)(ααE A E A ，可得0=α，故21W W F n ⊕=．必要性 由21W W F n ⊕=可知，nF X ∈∀有21X X X +=，且由⎪⎩⎪⎨⎧-==+=-21210)(0)(XX X X E A X E A ，可得X A E X X A E X 2,221-=+=．故0)(212)(2=-=+-X E A X A E E A ，由X 的任意性可知E A =2． 8. 余子空间为),(43εεL ，其中)1,0,0,0(),0,1,0,0(43==εε．9. 取W 的基r ααα,,,21 ,将其扩充成V 的基n r r ααααα,,,,,,121 +,取F k k L W n r r k ∈+=++),,,,(211αααα ，则k W 为W 的余子空间，且当l k ≠时，l k W W ≠．10.)3()2(),2()1(⇒⇒,显然．)4()3(⇒利用维数公式对t 用数学归纳法； )5()4(⇒只证i W 的基的联合是线性无关的即可； )1()5(⇒∑=∈∀ti iW 1α,设t t βββαααα+++=+++= 2121,其中ti W i i i ,,2,1,, =∈βα,令iiirir i i i i i b b b αααα+++= 2211,iiirir i i i i i c c c αααβ+++= 2211,其中iiri i ααα,,,21为iW 的基．由0)()()(2211=+++-+-t t βαβαβα 得0)()()()(111111*********=-++-++-++-t t t tr tr tr t t t r r r c b c b c b c b αααα于是0,,01111=-=-t t tr tr c b c b ，即t i i i ,,2,1, ==βα．第七节 线性空间的同构2.R x ∈∀，令x x 2)(=σ即可．3. 二者维数相同．n m ij F a A ⨯∈∈∀)(,令),,,,,,,,()(2111211mn m m n a a a a a a A =σ4.112210)(--++++=∀n n x a x a x a a x f ，令),,,())((110-=n a a a x f σ．5. 基为4321,,,ββββ，维数为4．6. 基为D C B A ,,,，维数为4．7. 令b a V V →:σ， )()(()()(x h b x x h a x x f -→-=a V x h a x x f x h a x x f ∈-=-=∀)()()(),()()(2211,若)()()()(21x hb x x h b x -=-则)()(21x h x h =，从而)()(21x f x f =，即σ为单射．)()()(1x g b x x g -=∀，有)()()(1x g a x x f -=使)())((x g x f =σ，即σ为满射．a V x f x f ∈∀)(),(21及F l k ∈∀,，易证)()(),()()((22121x f l x f x f k x lf x kf σσσ+=+．补充题六1.),,,(21 ++n n n x x x L ．2. 设F 作为K 上的线性空间的维数为n ，其一个基为n e e e ,,,21 ，设E 作为F 上的线性空间的维数为m ，其一个基为n εεε,,,21 ，则{}m j n i e j i ,,2,1;,,2,1| ==ε为E 作为K 上的线性空间的一个基．事实上，E ∈∀α，可设m i F b e b i ni i i ,,2,1,,1 =∈=∑=α．而F 是K 上的线性空间，可设n j m i K a a a a b ij n in i i i ,,2,1;,,2,1,,2211 ==∈+++=εεε．故∑∑===mi nj j i ij e a 11)(εα．令0)(11=∑∑==mi nj i j ije kε,n j m i K k ij ,,2,1;,,2,1, ==∈，则0))(11=∑∑==m i nj i j ij e k ε，故j nj ijkε∑=1，进而n j m i k ij ,,2,1;,,2,1,0 ===．故{}m j n i e j i ,,2,1;,,2,1| ==ε是其一个基．3. 设1V 的基为r εεε,,,21 ，将其扩充为V的基n r r εεεεε,,,,,,121 +，令),,(11n r L W εε +=,则11W V V⊕=，又令),,,(22112r n n r r L W -+++++=εεεεεε这里r r n ≤-,易证r εεε,,,21 ,r n n r r -+++++εεεεεε,,,2211 线性无关,从而21W V V ⊕=．设21W W ⋂∈α,则n n r r r n n n r r l l k k εεεεεεα++=++++=++-++ 11111)()(,得到01===+n r k k ，进而0=α，即{}021=⋂W W ．若2n r<上述问题不成立，用反证法，设2111W V W V V ⊕=⊕=，而{}021=⋂W W ，令n r r εεε,,,21 ++是1W 的基，''1,,n r εε +是2W 的基，则n r r εεε,,,21 ++,''1,,n r εε +线性无关．事实上,考察n n r r k k εε++++ 110''11=+++++nn r r l l εε 所以n n r r k k εε++++ 11{}021''11=⋂∈---=++W W l l nn r r εε 因此011=++++n n r r k k εε进而0,011====+=++n r n r l l k k ,而''11,,,,,n r n r εεεε ++共有)2(r n n r n r n -+=-+-个向量，因为2nr <，所以02,2>->r n r n ，故n r n r n >-+-，矛盾．4. 解 设)(x m A 为A 的最小多项式,令)(x m A 的次数m ，则1,,,-m A A E线性无关，从而m W =dim .事实上，首先1,,,-m A A E线性无关，否则存在110,,-m k k k 不全为零，使01110=+++--m m A k A k E k ，而令0,011===≠-+m i ik k k ，即10,010-≤<=+++m i A k A k E k i i ，与)(x m A 为A 的最小多项式矛盾，从而它们线性无关． ][)(x P x f ∈∀，则存在)(),(x r x q ，使,)(deg 0)(),()()()(m x r or x r x r x q x m x f A <=+=故 )()(A r A f =即)(A f 可由 1,,,-m A A E 线性表示．故 1,,,-m A A E 为W 的基．5. 参考本章第五节练习题6．6. 证 对用数学归纳法．当2=s 时，由上题知，结论成立；假定对1-s 个非平凡的子空间结论成立，即在V中存在向量α，使1,,2,1,-=∉s i V i α对第s 个子空间s V ，若s V ∉α，结论已对；若s V ∈α，则由于s V 为非平凡子空间，故存在s V ∉β．对任意数k ，向量s V k ∉+βα，且当21k k ≠时向量βαβα++21,k k 不属于同一个)11(-≤≤s i V i ．今取s 个互不相同的数s k k k ,,,21 ，则s 个向量βαβαβα+++s k k k ,,,21中至少有一个不属于任何121,,,-s V V V ，这样的向量即满足要求．7. 只证0=X AA T 与0=X A T 同解即可．8. 设012=X A 与012=X B 的解空间分别为1V 与2V ．1V ∈∀α，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααααα2222222222121000A B A B A B A A ,故222V A ∈α．令αασ22:A →，易证σ是1V 到2V 的同构映射．9. 由维数公式)dim(dim )dim())dim((k j i k j i k j i W W W W W W W W W ++-++=⋂+得)dim ()dim (dim )dim (j i k j i k j i k W W W W W W W W d ⋂+++-++=)dim(dim dim dim k j i k j i W W W W W W ++-++=从而321d d d ==．10. 证 设齐次方程组0=AX 的解空间为1W ，齐次方程组0=BX 的解空间为2W ．任取21W W ⋂∈α,则0,0==ααB A ,从而0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛αB A ,由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C可逆,所以0=α,即{}021=+W W ,因此n F n W W dim )dim (21==+,且n F W W ⊆+21,因此21W W F n⊕=． 11. 证 任取)(AB N X ∈，由n I BD AC =+，则 BDX ACX X +=由0)()(==ABX C ACX B ,所以)(B N A C X ∈,由)()(==ABX D BDX A ,所以)(A N B D X ∈,从而)()()(B N A N AB N +=．任取)()(B N A N X ⋂∈，则)(A N X ∈，从而)(,0NB X AX ∈=，从而0=BX ，于是0)()(=+=+=BX D AX C BDX ACX X 即)()()(B N A N AB N ⊕=．12. 证法同上题. 13. (1)证 例如，取)1,,1,1( =α，则由α的一切倍数)(F k k ∈α作成的子空间W 中，每个非零向量0),,,,(≠=k k k k k α的分量都不是零．(2) 见习题6.5中的题5． 14. 证 必要性 显然； 充分性 设221121,,0V V ∈∈=+ββββ，则21ααα+=，由α的分解唯一可知021==ββ，故21V V +是直和． 15. 若n ααα,,,21 是V 作为C 上的线性空间的基，则n n i i ααααα,,,,,,121 是V作为R 上的线性空间的基．16. 若{}0=W ，则n n F A ⨯∈∀且0,0||=≠AX A 的解空间即为W ;若{}0≠W,且设r W =dim ,取其一个基r ααα,,,21 ,令r i in i i i ,,2,1),,,,(21 ==αααα则以n r ij a A ⨯=)(为系数矩阵的齐次方程组0=AX 的基础解系为r n -βββ,,,21 ，且令r n j b b b jn j j j -==,,2,1),,,,(21 β．则齐次方程组0=BY 的解空间为r 维，且r ααα,,,21 为其一个基础解系．即),,(21r L W ααα =，其中n r n ij b B ⨯-=)()(．17. 令121dim )dim(V t V V =+⋂,221dim )dim (V l V V =+⋂而1)dim ()dim (dim dim dim )dim (2121212121+⋂=+++=⋂-+=+V V t l V V V V V V V V于是1,01==⇒=+t l t l或者0,1==t l ．当0=l时，221V V V =⋂，此时12V V ⊆．当0=t时，121V V V =⋂，此时21V V ⊆．18. 取基为n n αααα,,,21 ++．19. 设A 为半正定的，故存在秩为r 的矩阵B ，使B B A '=，由此'S S =．其中{}|'==xAx x S{}|'1==Ax x S 此时构成线性空间，维数为r n -．设A 为半负定的，则A -为半正定的．令 {}0|'==xAx x S {}0|'1==Ax x S若A 不定，则存在可逆矩阵Q 使 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0'qp E E QAQ 那么经过线性变换YQ X =,)(x f 化为221221'')(q p p p y y y y Y YQAQ x f ++---++==取1,111==+p y y ，其它0=i y ，得)0,,0,1,0,,0,1(1 =x ,从而0)(1=x f ,取1,111=-=+p y y ，其它0=i y ，得)0,,0,1,0,,0,1(2 -=x ，从而0)(2=x f ，但是)0,,0,2,0,,0,0(21 =+x x ，04)(21≠-=+x x f ，所以此时不能构成线性空间．20. (1) 用定义直接验证; (2) 维数为n ,基:1,,,-n A A E ．。
七,线性变换知识题课
七、线性变换习题课1．复习线性变换的概念例1 将C看成R上的线性空间，变换是线性的，看成C上的线性空间则不是。
证明：R上：有==又故A是R上线性空间C的线性变换。
C上：取及，有，而，故A不是C上线性空间C的线性变换。
由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。
2．利用运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。
例2设A,B是线性变换，如果证明：，（k>0）证明: 由已知,对k=1结论成立,故考虑用数学归纳法.对k用归纳法.当k=1时结论成立. K=2时,由已知=AB=(BA+E)A+A-BA2=BA2+A+A-BA2=2A 结论成立.设当k时结论成立,即,也即.当k+1时,=ABA k+AkA k-1-BA k+1=(BA+E)A k+kA k-BA k+1=BA k+1+A k+kA k-BA k+1=(k+1)A k所以结论对k+1也成立,从而对一切k1成立.例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换.证明: 需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵.设令A,B在某基下的矩阵分别为A,B.因为,所以由得AB=BA.由的任意性,也是任意的,从而存在某个k使得A=kE为数量阵(P.204,ch.4.ex.7.3),于是为数量变换.有了变换乘积,进一步可考虑可逆变换.3. 系统小结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明一些基本论证方法.A可逆10存在使=E.A是双射.A在基下的矩阵A可逆—有限维例4 设是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关.证明:证法一:“”,,若=0,有B()=0,即=0,=0,即线性无关.“”线性无关,因dimV=n,故使得=A()令使=()易见,且,即又任给设=有()==故,从A可逆.证法二:利用双射“”A是双射,则0==A()得0=(0对应0)故,线性无关.“”由dimV=n,V的任一向量可由唯一表示,即V中任一向量有唯一(要证明)原像(显然).故A是双射.证法三:利用矩阵A可逆A在下的矩阵A可逆()A也是一组基=n线性无关例5设,W 1,W2是V的子空间,且,则可逆.证明:由,有V,可设W 1的一组基为, W2的一组基为,则为V的一组基.“”A可逆,故线性无关,1,2的秩为r,n-r,和分别为1和2的基,故. “”,有dimV=dim,=(),故为AV 的一组基,即线性无关,A可逆.4.小结:线性变换矩阵的求法,进一步掌握矩阵的概念.为V的一组基,() =()A, ()=()X为另一组基,有()=()例6在空间P[x]n中,是线性变换,求在基,下的矩阵.证明: 首先由ex.1.5)知,是线性变换,是线性变换,故是线性变换.其次,只要求出,用表示,就可得A.=(1)=1-1=0,=-==所以, (,)=(,), 所求矩阵为.例7设三维线性空间V上的线性变换A在基下的矩阵为,1).求在基()下的矩阵;2).求在基()下的矩阵,其中k;3).求在基()下的矩阵.证明:1). === =()=()所求矩阵为。
线性代数教案-线性空间与线性变换
地，如果取Vn U m ，那么T 是一个从线性空间Vn 到其自身的线性映射，称为线性空间Vn 中的线性变换.
二、线性变换的性质：
性质 1 T 0 0,T T ；
性质 2
若
k 1
k
12
2
km
m
，则T
kT 1
k T
12
2
kmT
m
；
性质 3 若1,2,,m 线性相关，则T 1,T 2,,T m 亦线性相关.
的一个基，n 称为线性空间V
的维数，记作 dimV
n 。只含一个零元
素的线性空间称为零空间，零空间没有基，规定它的维数为 0. n 维线性空间V 也记作Vn .
定义
2：设
, 1
,, 2
n
是线性空间Vn
的一个基，对于任一元素
Vn
，总有且仅有一组有序数组
x, 1
x, 2
,
xn
，使
x 11
x 22
xnn ，
集合，关于通常的函数加法和数乘函数的乘法构成线性空间.
例3
设
M
mn
A
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
aij 1 i m;1
j
n
是实数域上的矩阵全体所成的
集合. 显然 M mn 是非空的， M mn 对通常的矩阵加法和数乘构成线性空间. 特别地，
教 学 基本内容
一、线性变换的定义：
定义 1：设Vn,Um 分别是n 维和m 维线性空间，如果映射T :Vn Um 满足
(i)
任给 , 12
Vn ，有T
1
第六章 线性空间
第六章 线性空间一．内容概述（一） 基本概念⒈线性空间的定义-----两个集合要明确。
两种运算要封闭，八条公理要齐备。
V ,数域F V ∙V →V V ∈∀βα、 使V ∈+βα。
V F ⨯→V ∀k V ∈使k V ∈α。
满足下述八条公理：⑴αββα+=+； ⑵)()(γβαγβα++=++； ⑶对于,V ∈α都有αα=+0，零元素；⑷对于V ∈α，都有0=+βα，称β为α的负元素，记为α-； ⑸βαβαk k k +=+)(；⑹αααl k l k +=+)(；⑺)()(ααl k kl =； ⑻αα=1。
常用的线性空间介绍如下：（ⅰ）2V 、3V 分别表示二维，三维几何空间。
（ⅱ）nF 或nP 表示数域)(P F 上的n 维列向量构成的线性空间。
（ⅲ）[]x F 表示数域上全体多项式组成的线性空间。
[]x F n 表示数域F 上次数不大于n 的多项式集合添上零多项式构成的线性空间。
（ⅳ）()F M n m ⨯表示数域F 上n m ⨯矩阵的集合构成的线性空间。
当n m =时，记为()F M n m ⨯。
（ⅴ）[]b a R ,表示在实闭区间[]b a ,上连续函数的集合组成的线性空间。
⒉基，维数和坐标------刻画线性空间的三个要素。
⑴基 线性空间()F V 的一个基指的是V 中一组向量{}n ααα,,21 满足（ⅰ）n ααα,,21 线性无关；（ⅱ）V 中每一向量都可由n ααα,,21 线性表出。
⑵维数 一个基所含向量的个数，称为维数。
记为V dim 。
⑶坐标 设n ααα,,21 为()F V n 的一个基。
()F V n ∈∀α有n n a a a αααα+++= 2211则称有序数组n a a a ,,21 为α关于基n ααα,,21 的坐标。
记为(n a a a ,,21 )。
⑷过渡矩阵 设()F V n 的二个基n ααα,,21 （ⅰ）n βββ ,,21（ⅱ）且∑==ni iij j a 1αβn j 2,1=则称n 阶矩阵。
第六章 线性空间
第六章 线性空间§1基本知识§1. 1 基本概念1、集合的相关概念：2、映射：3、单射：4、满射：5、双射（一一映射）：6、可逆映射及其逆映射：7、线性空间：8、向量的线性组合： 9、向量组的等价：10、向量的线性相关与无关：11、线性空间的维数（有限维与无限维线性空间）： 12、线性空间的基与坐标： 13、过渡矩阵：14、线性空间的子空间： 15、生成子空间： 16、子空间的和：17、两个子空间的直和： 18、有限个子空间的直和： 19、线性空间的同构：§1. 2 基本定理1、基与维数的判定定理：设n ααα,,,21 是线性空间V 上n 个线性无关的向量，如果V 上任何一个向量都可以由它线性表出，那么V 是n 维的，n ααα,,,21 是它的一组基.2、子空间的判定定理：设W 是线性空间V 的一个非空子集，如果W 关于V 的两种运算是封闭的，那么W 是V 的一个子空间.3、生成子空间的相等与维数的判定定理：（1）两个向量组生成相同的子空间的充分必要条件是这两个向量组等价； （2）),,,(),,,(dim 2121r r R L αααααα =.4、基的扩充定理：设m ααα,,,21 是n 维线性空间V 上任意m 个线性无关的向量，如果n m <，那么在V 上必定可以找到m n -个向量n m m ααα,,,211 ++，使得n ααα,,,21 是V 的一组基.5、子空间的交的性质定理：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，那么21V V ⋂也是V 的子空间.6、子空间的和的性质定理：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，那么21V V +也是V 的子空间.7、维数定理：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，那么)dim(dim dim )dim(212121V V V V V V ⋂-+=+.推论：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，如果2121dim dim )dim(V V V V +<+，那么{}021≠⋂V V .8、直和的判定定理：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，那么如下条件是等价的 （1）21V V +是直和；（2）若221121,,0V V ∈∈=+αααα，则021==αα；（3）{}021=⋂V V ；（4）2121dim dim )dim(V V V V +=+9、直和的判定定理续：设m V V V ,,,21 都是线性空间V 的子空间，那么如下条件是等价的（1）m V V V +++ 21是直和；（2）若m i V i i m ,,2,1,,021 =∈=+++αααα，则021====m ααα ；（3）{}m i V V ij j i ,,2,1,0 ==⋂∑≠；（4）∑==++m i i m V V V V 121dim )dim(10、直和的存在性定理：设W 是线性空间V 的任何一个子空间，那么一定存在V 的一个子空间U ，使得W U V ⊕=. 11、有限维线性空间同构的判定定理：（1）数域P 任何一个n 维线性空间都同构于n P ；（2）有限维线性空间同构的充分必要条件是，它们的维数相等. §1. 3 基本性质1、线性空间的性质： （1）零元素是唯一的； （2）负元素是唯一的； （3）ααα-=-==)1(;00;00k ； （4）000==⇔=αα或k k .2、过渡矩阵的性质：（1）过渡矩阵都是可逆矩阵；（2）设基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵是A ，则基n βββ,,,21 到基n ααα,,,21 的过渡矩阵是1-A ；（3）设基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵是A ，n βββ,,,21 到基n γγγ,,,21 的过渡矩阵是B ，则基n ααα,,,21 到基n γγγ,,,21 的过渡矩阵是AB .（4）设基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵是A ，向量α在基n ααα,,,21 和n βββ,,,21 下的坐标分别是),,,(21n x x x 和),,,(21n y y y ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y A x x x 2121. 3、子空间的交与和的性质：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，则如下条件等价 （1）21V V ⊂； （2）121V V V =⋂； （3）221V V V =+；4、同构映射的性质：设τ是线性空间V 到线性空间W 的同构映射，则 （1）0)0(=τ；)()(ατατ-=-；（2）)()()()(22112211m m m m k k k k k k ατατατααατ+++=+++ ； （3）⇔线性相关m ααα,,,21 )(,),(),(21m ατατατ 线性相关； （4）同构映射的逆映射1-τ是线性空间W 到线性空间V 的同构映射； （5）若ρ是线性空间W 到线性空间U 的同构映射，则ρτ是线性空间V 到线性空间U 的同构映射.§2 基本题型及其常用解题方法§2. 1 线性空间的判定与证明1、利用定义例6.1（北大教材，P267，3） 2、利用子空间的判定定理 例6.2（北大教材，P267，3）§2.2 基、维数的计算、判定与证明 1、利用定义例6.3（北大教材，P268，8）2、利用定理：设n ααα,,,21 是线性空间V 上的n 个线性无关的向量，若V 上任意一个向量可以由n ααα,,,21 线性表出，那么V 是n 维线性空间且n ααα,,,21 是它的一个基。
第1章 线性空间与线性变换
所以 {e x , e 2x , e3x , , e nx }线性无关 .
二、线性空间的基和维数
• 基与维数的概念：
定义1.2 设V是线性空间 , 若存在一组线性无关的 向量
1 , 2 ,, n , 使得空间中任一向量可 由它们线性表出 , 则称向量组 {1 , 2 ,, n }为V的一组基.基所含向量个数
因此R 22中任何一个向量都可以 写成向量组 0 0 0 , E 22 0 1 0 k1 k 2 的线性组合 .又k1 E11 k 2 E12 k3 E21 k 4 E22 k 0, k 4 3 得ki 0, i 1,2,3,4, 故E11 , E12 , E21 , E22 线性无关, 因此{E11 , E12 , E21 , E22 }是R 22的一组基, dim R 22 4. 推广 : {Eij , i 1,2, , m; j 1,2, , n}是矩阵空间 R mn的一组基, dim R mn m n 问题 : 矩阵空间R nn : A A T R nn的维数和基?
11
三、坐标
1 定义 1 .3 （P . 3)设{1，2，…， n n } 是空间 xi i ，则 Vn ( F ) 的一组基， Vn ( F ) ， = i 1 x1 ，x2， …， xn 是在基{i}下的坐标。
要点： 坐标与基有关
坐标的表达形式
例1：求 R22中向量
– V n （F）表示数域F上的 n 维线性空间。 – 只研究有限维线性空间。
二、线性空间的基和维数
例5 : 求矩阵空间 R 22的维数与一组基 . a 11 解 : 任取矩阵A a 21 1 0 0 A a11 a 12 0 0 0 1 E11 0 0 0 , E 12 0 0 a 12 , 有 a 22 1 0 a 21 1 0 1 0 , E 21 1 0 0 0 a 22 0 0 0 , 1
线性空间与线性变换习题解析
四、线性空间的基与维数
定义: 在线性空间V中, 如果存在n个元素1, 2, ···, nV, 满足:
(1) 1, 2, ···, n 线性无关; (2) V中任意元素总可以由1, 2, ···, n线性表示, 则称1, 2, ···, n为线性空间V的一个基, 称n为线性空
第六章 习题课
一、线性空间的定义
定义: 设V是一个非空集合, R为实数域. 如果对于
任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之 对应, 称 为与 的和(简称加法运算), 记作 = +.
若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的 元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算), 记作 = .
则上式可表示为
T(1, 2, ···, n)= (1, 2, ···, n)A
其中
A
=
a11 a21
an1
a12 a22
an2
a1n a2n
ann
,
则称A为线性变换T在基1, 2, ···, n下的矩阵.
结论: 在Vn中取定一个基后: 由线性变换T可唯一 地确定一个矩阵A; 反之, 由一个矩阵A也可唯一地确 定一个线性变换T.
(1) 任给1, 2Vn , 都有 T(1+2)=T(1)+T(2); (2) 任给Vn , kR, 都有 T(k)= kT().
则称T为从Vn到Um的线性变换.
一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性 空间Vn中的线性变换.
零变换O: O()=0 恒等变换(或称单位变换)E: E()=, V,
《线性代数与空间解析几何》哈工大版课件幻灯和习题.ppt
3 1
10.
1
2、
3
2
1
1
2
3 1 3 2 3 2 1 2 2
11 12
33 23
3 2
13 1
6 4 2
9
6 3
3、
b1
b2
b3
a11 a21
a12 a22
a13 b1 a23 b2
a31 a32 a33 b3
=( a11b1 a21b2 a31b3
a12b1 a22b2 a32b3
例3 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故 AB BA.
但也有例外，比如设
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2 AB BA. 此时称矩阵A、B可交换。
An2 A
aann11Ana1n2 an2 Aann2n A1n aAnn2nAnn AAnn
A
O
O
A
A
, A
故 AA A E.
同理可得
A
A
n k 1
Aki akj
A E.
五、小结
加法
数与矩阵相乘
矩 阵
矩阵与矩阵相乘
运 转置矩阵
算 方阵的行列式
对称阵与伴随矩阵 共轭矩阵
与反对称阵之和.
证明 设C A AT
则CT
A AT
T
AT
A
C,
所以C为对称矩阵.
设B A AT , 则BT A AT T AT A B,
所以B为反对称矩阵.
高等代数课件(北大版)第六章线性空间§.ppt
1 2 3
3
一般地，向量空间
1
n P { ( a , a , , a ) a P ,1 i , 2 , , n } 为n维的， 1 2 n i
( 1 , 0 , , 0 ) , ( 0 , 1 , , 0 ) , , ( 0 , , 0 , 1 ) 2 n
就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
,2 , ,r , V （ 2） 1 ，若存在
使
1 12 2
可经向量组
r r
则称向量
kk k
数学与计算科学学院
k , k , , k P 1 2 r
, , , 1 2 r线性表出；
24.03.2019
,2 , , 1 s 中每一向量皆可经向量组 , , , ,2 , , 线性表出，则称向量组 1 2 r 1 s
矩阵构成的线性空间 一般地，数域P上的全体 mn
P
维的， 为 mn 0 0 1 E ij 0 0
mn
第 j列
0 第 i 行 i 1 ,2, ,m j 1 ,2, ,n mn 就是 的一组基． P 0
m n
矩阵单位
m n Aa (i ) P ,有 A a E j i j i j
24.03.2019
数学与计算科学学院
, , , 1 2 r 线性表出，且表法是唯一的．
二、线性空间的维数、基与坐标
1、无限维线性空间
若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量， 则称 V 是无限维线性空间． 例1 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是 无限维的. 因为，对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的 向量 1，x，x2，…，xn－1
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第一章 空间向量及其运算 空间向量及其线性运算
+
−
+
=
−
=
−
+
+ ( −
) =
− ,故选D.
−
+
(
+
5.设1 ,2 是空间两个不共线的向量,已知 = 1 + 2 , = 51 + 42 ,
1
= −1 − 22 ,且,,三点共线,则实数的值是___.
1
4
3
8
1
4
3
4
1
4
3
4
C. − − D. + −
[解析]因为在平行六面体 − 中, = , = , = ,是
的中点,是 上的点,且: = : ,所以
= + =
− ) =
= 1 + 7 + 61 − 41 1 ,那么点必() C
A.在平面1 内B.在平面1 内C.在平面1 1 内D.在平面1 1 内
[解析]由于
= + + − = + + − = + +
故选.
14.已知正方体 − 1 1 1 1 ,1 =
1
=__.
4
[解析] = + = +
1
,若
4 1 1
同济大学数学系《工程数学—线性代数》第6版课后习题(线性空间与线性变换)【圣才出品】
同济大学数学系《工程数学—线性代数》第6版课后习题第6章线性空间与线性变换1．验证：（1）2阶矩阵的全体S1；（2）主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2；（3）2阶对称矩阵的全体S3，对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，并写出各个空间的一个基．解：（1）①根据题意，S1对于矩阵的加法和数乘是封闭的，并且满足线性运算的八条规律，根据定义，S1对于矩阵的加法和数乘构成线性空间．在S1中取向量组则向量组π1线性无关．如果有②对于任意，即A可由π1线性表示．综合①②，向量组π1是S1的一个基，从而S1的维数为4．（2）根据题意，S2中矩阵的加法和数乘满足线性运算的八条规律．又①因为，所以S2对加法封闭；②因为，所以S2对数乘封闭；由上可知S2对上述线性运算构成线性空间．取向量组与（1）同理，可证向量组π2线性无关，且，A可由π2线性表示为于是向量组π2是S2的一个基，因而其维数为3．（3）因为对称矩阵的和与数乘仍是对称矩阵，即S3对于矩阵加法和数乘是封闭的，与（2）同理，S3对于上述线性运算构成线性空间．取向量组则①向量组π3线性无关，如果有②，则A可由π3线性表示为，故向量组π3是S3的一个基，从而它的维数为3．2．验证：与向量（0，0，1）T不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和数乘运算不构成线性空间．证：都是R3中与向量不平行的向量，但是其和平行于（0，0，1）T，即该集合对于向量的加法不封闭，所以不构成向量空间．3．在线性空间中，下列向量组是否为一个基？解：（1）设得因1，x，x2，x3线性无关，故上式中它们的系数均为0，即有关于未知数k1，k2，k3，k4的齐次方程，其系数矩阵知其秩为3，故齐次方程有非零解，从而向量组Ⅰ线性相关，不是基；（2）设因1，x，x2，x3线性无关可得齐次线性方程它的系数矩阵秩为4，所以只有零解，从而向量组Ⅱ线性无关，且含4个向量，所以向量组Ⅱ是的一个基．4．在R3中求向量在基中的坐标．解：根据定义，向量α在基α1，α2，α3中的坐标就是a由向量组α1，α2，α3线性表示式中的系数，也就是方程的解．由于于是，α在所给基中的坐标为5．在R3中取两个基试求坐标变换公式．解：记于是有，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵为．因此由定理2得坐标变换公式为即从基α用矩阵的初等行变换求于是所求坐标变换公式为6．在R4中取两个基（1）求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；（2）求向量（x1，x2，x3，x4）T在后一个基中的坐标；（3）求在两个基中有相同坐标的向量．解：（1）根据题意，有所以过渡矩阵为（2）设向量在后一个基{αi}下的坐标为，则由坐标变换公式，有（3）设向量y在两个基下有相同的坐标，由坐标变换公式，并仍记坐标向量为y，则，即．易求得此齐次线性方程系数矩阵的秩，从而解空间的维数等于1，且为它的一个基础解系．故所求向量为，k为任意常数．7．设线性空间S1（习题六第1题（1））中向量（1）问b1能否由a1，a2线性表示？b2能否由a1，a2线性表示？（2）求由向量组a1，a2，b1，b2所生成的向量空间L的维数和一个基．解：可先写出a1，a2，b1，b2在基中的坐标所构成的矩阵由此可见：。
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(2013 1 1 2 , α2 = −1 1．设 α1 = 1 −1 0 1 (ⅰ) 证明 α1 , α2 , α3 , α4 线性无关; 年3月) 2 −1 , α3 = 1 , α 4 = 0 . 43; α2 , β2 = α2 + α3 , β3 = α3 + α4 , β4 = α1 + α2 + α3 , 求 出 α1 , α2 , α3 , α4 到 β1 , β2 , β3 , β4 的过渡矩阵 A, 并指出 β1 , β2 , β3 , β4 到 α1 , α2 , α3 , α4 的过渡矩阵是什么 (不计算); (ⅲ) 哪些 4 维列向量在这两组基下的坐标相同?(可以列出计算式子, 不求具 体结果). 2． (ⅰ) 证明 1, (x − 1), (x − 1)2 , (x − 1)3 是 P [x]4 的一组基; (ⅱ) 给定 f (x) = 4x3 + 2x2 + 5 ∈ P [x]4 . 求 f (x) 在上述基下的坐标; (ⅲ) 求基 1, (x − 1), (x − 1)2 , (x − 1)3 到基 1, (x + 1), (x + 1)2 , (x + 1)3 的过 渡矩阵 A; (ⅳ) 用 f (x) 在上述两组基之间的坐标变换公式求出 f (x) 在基 1, (x + 1), (x + 1)2 , (x + 1)3 的坐标. 3．设 α1 = (1, −1, 3, 7), α2 = (2, −1, 0, 1), α3 = (−1, 1, 1, 1), α4 = (1, 2, 1, 0). (ⅰ) 分别指出生成子空间 L(α1 , α2 ) 与 L(α3 , α4 ) 的基和维数; (ⅱ) 求 L(α1 , α2 , α3 , α4 ) 的一组基和维数; (ⅲ) 求 L(α1 , α2 ) ∩ L(α3 , α4 ) 的一组基和维数. 4. 已知 V1 = {A ∈ P n×n |A = A } 与 V2 = {A ∈ P n×n |A = −A } 都是 P n×n 的子空间, 证明:P n×n = V1 ⊕ V2 . 5．验证 W = {X ∈ P n×n |T r(X ) = 0 } 是 P n×n 的子空间, 并求 W 的一组 基与维数.(注：T r(X ) 表示矩阵 X 的主对角元素之和) 6. 设 R 表示实数域,a, b ∈ R 是实常数, 证明: (ⅰ)W = {(x, y, z ) ∈ R3 |x + ay + bz = 0 } 是 R3 的一个子空间, 求 W 的一组基与维数; (ⅱ) 找出 R3 的一个子空间 U , 使 R3 = U ⊕ W .