大学物理课件刚体1

转动惯量 J 是刚体转动时惯性大小的量度。
3 影响转动惯量大小的因素：
转动惯量大小决定于刚体自身及转轴的位置。
V2.0
4 转动惯量求法：
⑴ 实际中多用实验的方法测定。有些几何形状简单、质量分 布均匀的刚体的转动惯量，可用微积分法求得。
例：长为l 质量为m 的均匀分布细杆，绕过质心（即其中心） 且垂直杆的轴转动。J=？ 建立图示坐标系。 解： o' A' 在距原点为x 处取质元dm，其长为dx dm m o x dx x 其质量为：dm dx l A o' ' 1 m 2 l 2 m 2 2 dJ x dm x dx J l 2 x dx ml 2 12 l l
（二）运动规律 ——刚体定轴转动运动学问题： 1 匀速转动：
特点： = 常量； = 0 。
0 t
其中0 为初始时刻的角位置。
2 匀变速转动：
1 2 0 0 t t 2 2 d d 2 =常量 t 特点： 0 dt dt 2 2 0 2 ( 0 ) 3 角量与线量的关系：
Mf
L 0 dM f

L mg 0 L ldl
转动定律： M J 1 mgL 3 g M 2 1 mL2 2L J 3 2 匀变速转动规律： 2 0 2
当细杆停止转动时，角位移为：
2 2 0 0 0 L 2 3 g
各分力矩的代数和 （定轴转动）
各分力矩的矢量和 （非定轴转动）
二、定轴转动的转动定律：
o'
质元△mi 受力可分解为： 合外力Fi、合内力fi
Fi fi mi ai
o
ri
Hale Waihona Puke m i在自然系中： 法向： Fin f in mi ain 对轴不产生力矩
切向： Fi f i mi ai ai ri i

dN
V
O
l
dl
此微元所受的摩擦力矩元为： mg dM f l df l gdm ldl L 作用在细杆上的总摩擦力矩为：
df
dm g
Mf
L 0 dM f

L mg 0 L ldl
1 mgL 2
方向： 竖直向下。若设初始角速度方向为正，则Mf <0
⑵ 若细杆只受此摩擦力矩作用，它转动多少圈停止？
刚体的转动可分为
定轴转动 非定轴转动
质心的平动 绕质心的转动
3 一般运动：
可分解为
平动 + 转动
o'
二、 刚体定轴转动的描述：
（一） 物理量： 1 角位置、角位移△ ：
⑴ 过P点作平面垂直于转轴 交转轴于O ---- 转心
---- 转动平面
o

r
p ·
x
作辅轴ox ⊥oo′
1 mgL 2 方向： ↑↓0

dN
V
O
l
dl
df
dm g
故：当细杆停止转动时，一共转过的圈数为：
2 0 L n 2 6g
Fi f i mi ri

Fi ri f i ri mi ri2
Fi ri f i ri mi ri2 2 F r f r m r 将上式对组成刚体的全部质元求和： i i i i i i 由牛三律知：内力矩之和为0，即 f i ri 0
则P点位置可用两种方法表示： r r (t ) 矢径 r op 二者均为时间t的函数 (t ) 角度 ( r, ox )
角位置或角坐标
⑵ 此刚体在△t时间内绕oo′转过△ 角， 称△ 为刚体在△t时间内的角位移。
o'
⑶ 显然： p' 角位置 是状态量， r o p 刚体上不同点的角位置一般不同。 角位移△ 是过程量， x 在相同的一段时间间隔内，刚体上各点的角位移相同。

Fr sin Fd M r F M (r F ) o' 2 力对转轴的力矩：(力对点的力矩在轴上的投影)
⑴ 转动平面内的力对转轴的力矩：
定义：在点o与力F组成的平面内，力F对点o的力矩为：
轴上点o与力F位于同一转动平面内。 定义：力F对转轴oo′的力矩为
若转轴为AA′：
m 2 1 2 J 0 x dx ml 3 l
l
⑵ 平行轴定理： J AA ′：刚体绕过AA′轴的转动惯量 JC ：刚体绕过质心且平行于AA′轴 的转动惯量
J AA' J c md
2
d
：两平行轴间的垂直距离。
：刚体的总质量。
A' A
o'
m
dm
x
dx
o
o' '
x
1 J c ml 2 12

2 F r m r i i i i
∑M 外=
J
由于∑Fin 对轴不产生力矩
——刚体的定轴转动定律
J mi ri2 ——转动惯量
三、转动惯量：
1 定义：
质点系：
J mi ri2
2 2 J r dm r 质量连续分布刚体： V V dV
2 物理意义：
§5—1 刚体的定轴转动 一、平动和转动：
（理想模型） （一）刚体：
在任何力作用下，其大小和形状都不发生变化的物体。
（二）刚体的运动： 1 平动：
A B A B
转轴
A B
刚体内任意两点的连线在运动中 保持其方位不变的运动。
注意： 平动的刚体也可以作曲线运动。
2 转动：
可变
刚体上各点均绕空间某一直线作圆周运动的刚体运动。 注意： 转轴未必在刚体内部。
· ·
2 角速度：
d 大小： lim dt t 0 t
方向：与刚体的转向符合右手螺旋关系。


定轴转动可规定一个转轴正方向
转向
拇指指向↑ ↑转轴正向， > 0 拇指指向↓↑转轴正向， < 0
3 角加速度：
d d 2 大小： lim 2 dt dt t 0 t 方向： d 2 定轴转动在规定了转轴正方向后： ↑↑转轴正向 1 d β>0
2

可见：
1 l 2 J AA' ml m 12 2
1 2 ml 3
对同一刚体而言，绕过质心的轴的转动惯量最小。
例 2: 均匀细圆环的 J (质量 m，半径 R，轴过圆心垂直环面)。 讲义 P.146 例 5.4
取质元：
其中：
dm dl m 2 R
dm
R
O
m
J R 2dm R 2 dl
R
2

2 R
0
dl
R 2 2 R
mR
2
例3: 匀质薄圆盘的J (质量 m ，半径 R ，轴过圆心垂直盘面)。 讲义 P.147 取细圆环 其中： 例 5.5
d m 2 r d r m R2
2
2
R
dr
r
m dJ r dm r 2 r dr 2 R
·
力F为空间力，可分解为： FF ∥ F
F∥ ∥轴oo′， 不能改变刚体绕oo′轴运动的状态 故：F∥ 对轴的力矩为零。 F⊥在转动平面内，
o'
F ∥
o
·
F
F
其对轴的力矩采用上面的方法计算。
即：任意力对轴的力矩等于其垂直于转轴的分量对轴的力矩。
3 合力的力矩：
合力的力矩=
·
转动定律： (T1 T2 ) R J 连带条件： a1 a2
设
T1
m1
T2
Mg
a
m1 g
m2
m2 g
a R
联立可解。
例2：如图，一质量为m 长为L 的匀质细杆，在水平面上绕其端 点 o 转动。若初始角速度为 0 ，细杆与水平面的滑动摩 擦系数为 。 求：⑴ 细杆所受摩擦力矩； ⑵ 若细杆只受此摩擦力矩作用，它转动多少圈停止？ 解： ⑴ 在距轴为l 处取一微元dl 则其质量为： dm = m/L · dl 分析此微元受力情况。
轴
1
2





↑↓转轴正向 d
显然： 可见： β<0 加速运动时，

转向
转向
β>0
β<0
减速运动时，


⑴ 对定轴转动刚体，当规定了转轴正向后，其角速度、 角加速度的方向可用正负号表示，从而使问题简化。 ⑵ 在同一时间间隔内，刚体上各点的角速度、角加 速度都相同。
J r dm 0
2
R
m 1 3 2 2 r d r mR 2 2 R
四、转动定律应用举例：
例１：图示的阿特武德机中，已知两物块质量m1、m2，滑轮绕 中心轴的转动惯量J，滑轮半径R 。设：绳为不可伸缩的 轻绳；绳与滑轮间无滑动；且滑轮轮轴处的摩擦可忽略。 求：绳两端的张力T1、T2 ；两物块的加速度a1、a2 以及滑轮 的角加速度 。 解：受力分析如图： N 设转轴正方向垂直纸面向外 相应的加速度、角加速度正 方向如图。 J R m g T m a a 牛二律： 1 1 1 1 2 T2 ' T2 T2 m2 g m2a2 a1 T1 ' T1
o
·
r

F