人教A版高中数学选修2-3检测：第二章2.4正态分布
高中新课标数学人教A版选修2-3课件：2.4 正态分布 (共29张PPT)
2.对正态分布的理解 (1)正态分布是自然界最常见的一种分布，例如：测量的误差；人 的身高、体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸：直径、长度、 宽度、高度„„都近似地服从正态分布． (2)正态分布定义中的式子实际是指随机变量 X 的取值区间在(a， b]上的概率等于总体密度函数在[a，b]上的定积分值．也就是指随机变 量 X 的取值区间在(a，b]上时的概率等于正态曲线与直线 x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的封闭图形的面积．
考点二 正态分布的概率计算 例 2 在某项测量中，测量结果服从正态分布 N(1,4)，求正态总体 X 在(－1,1)内取值的概率．
(3)从正态曲线可以看出，对于固定的 μ 和 σ 而言，随机变量在(μ －σ，μ＋σ)上取值的概率随着 σ 的减小而增大．这说明 σ 越小，X 取 值落在区间(μ－σ， μ＋σ)的概率越大， 即 X 集中在 μ 周围的概率越大． 正 态分布的 3σ 原则是进行质量控制的依据， 要会应用给定三个区间的概 率解决实际问题.
1 ( x2 ) 【练习 2】 正态分布的概率密度函数为 f(x)＝ e ， x∈R， 2πσ 则总体的标准差为( ) A．σ B．σ2 C．μ D．μ2
2 2
解析：由已知总体的方差为 σ2，开方即得标准差，故标准差为 σ. 答案：A
知识点三 3σ 原则 μ＋a 1.若 X～N(μ， σ2)， 则对于任何实数 a＞0， P(μ－a＜X≤μ＋a)＝
【练习 1】 把一正态曲线 C1 沿着横轴方向向右移动 2 个单位， 得到一条新的曲线 C2，下列说法不正确的是( ) A．曲线 C2 仍是正态曲线 B．曲线 C1，C2 的最高点的纵坐标相等 C． 以曲线 C2 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 C1 为概率密 度曲线的总体的方差大 2 D． 以曲线 C2 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线 C1 为概率密 度曲线的总体的期望大 2
高中数学 2.4 正态分布 新人教A版选修2-3
2 1
)的密度曲线较N(μ2，
2 2
)的密度曲线“高瘦”，因此σ1
＜σ2.
答案：＜＜
(3)可知正态分布N(1,σ2)的密度曲线关于直线x=1对称.若ξ 在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8. 答案:0.8
【要点探究】 知识点正态分布 1.对正态曲线的三点说明 (1)解析式中含有两个常数:π和e,这是两个无理数,其中π是 圆周率,e是自然对数的底数,即自然常数. (2)解析式中含有两个参数:μ和σ.其中μ可取任意实数;σ>0. 在不同的正态分布中μ,σ的取值是不同的,这是正态分布的两 个特征数.
曲线,简称正态曲线.
(2)正态曲线的性质: ①曲线位于x轴_上__方__,与x轴不相交. ②曲线是单峰的,它关于直线_x_=_μ__对称.
1
③曲线在x=μ处达到峰值___2 _ _ _. ④曲线与x轴之间的面积为_1_. ⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着_μ__的变化而沿
x轴平移.
⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“_瘦__高__”, 表示总体的分布越_集__中__;σ越大,曲线越“_矮__胖__”,表示总体 的分布越_分__散__.如图所示:
关于x=0对称可知，P(x＜0)的值是整个概率1的一半，由此得
【即时练】 (2014·汕头高二检测)若ξ～N(1,0.04),则P(ξ>1)=( ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 【解析】选D.因为ξ～N(1,0.04),所以μ=1,由正态分布密度 曲线可知曲线关于x=1对称,故P(ξ>1)=0.5.
【题型示范】 类型一 正态曲线及其性质 【典例1】 (1)某次我市高三教学质量检测中,甲、 乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示 (由于人数众多,成绩分布的直方图可视 为正态分布),则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是
人教版高中数学选修2-3第二章2.4正态分布
你能说 说正态曲线 的特点吗？ （1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；
1 （3）曲线在x=μ处达到峰值 ； σ 2π
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
观察
(5) 当 一定时，曲线的位置由μ确定， 曲线随着μ的变化而沿x轴平移.
观察
当μ一定时，曲线的形状由 确定， 越 小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集 中； 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的 分布越分散.
下图中阴影部分的面积就是X落在区间 （a，b]的概率的近似值. y
0
a
b
x
知识要点
2.正态分布
一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机 变量X满足
P(a < X b) = φμ,σ (x)dx，
a b
则称随机变量X服从正态分布(normal distribution).正态分布完全由参数μ和 确定，因此 正态分布常记作N(μ，2).如果随机变量X服从正态 分布，则记为X~N(μ，2).
y
0
μ-a μ-b
x
特别有
P(μ- <X≦μ+)=0.6826,
P(μ- 2<X≦μ+2)=0.9544,
P(μ- 3<X≦μ+3)=0.9974. 上述 结果用右 图表示
由图可知，正态分布几乎总取之于区间 （μ- 3，μ+3 ）之间.而在此区间之外取值的 概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验 中几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 N(μ，2 )的随机变量X只取（μ- 3，μ+3 ）之 间的值，并简称之为3原则.
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2.4正态分布(高中数学人教A版选修2-3)
_X __ ___N __(__,___2_)．μ,σ分别表示_总__体__的___期__望__与_标___准__差___．
的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平
x= μ
产品
尺寸
(mm)
x3
x4
称f( x)的图象称为正态曲线。式中的 实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示 总体的平均数与标准差。
x
x y
2、标准正态总体的函数表示式
x2
f (x)
1
2
e
2 x(,)
μ=0
σ=1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
附：正态总体的函数表示式
f (x)
1
e
2
(x)2 22
x(,)
当μ= 0，σ=1时
积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间
的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
(a,a]
特别地有
x=μ P(X)0.6826,
P(2X2)0.9544,பைடு நூலகம்
P(3X3)0.9974.
-a +a
P(X)0.6826, P(2X2)0.9544, P(3X3)0.9974.
我们从上图看到，正态总体在2,2 以外取值的概率只有4.6％，在3,3以外
知识回放
以格子的编号为横坐标，小球落入各个 格子内的频率值为纵坐标，则在各个格 子内小球的分布情况大致可用下列频率 分布直方图表示.
频率/组距
1 2 3 4 5 6 7 8 91011 编号
Y
总体密度曲
线
高中数学人教A版选修2-3课件：2.4 正态分布
-1-
1.了解正态分布的意义. 2.借助正态曲线理解正态分布的性质. 3.了解正态曲线的意义和性质. 4.会利用φ(x),F(x)的意义求正态总体小于X的概率.
题型一
题型二
题型三
题型四
正态曲线的应用 【例1】 如图是一条正态曲线,试根据图象写出该正态分布密度曲 线的函数解析式,求出总体随机变量的均值和方差.
1
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求正态总体在某个区间上取值的概率,要充分利用正态曲线的 对称性和正态分布的三个常用数据.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 设X~N(10,1). (1)求证:P(1<X<2)=P(18<X<19); (2)若P(X≤2)=a,求P(10<X<18). (1)证明:∵X~N(10,1), ∴正态曲线 φμ,σ(x)关于直线 x=10 对称,而区间(1,2)和(18,19)关 于直线 x=10 对称,
1 2 1 1
1
∴P(ξ≥5)= 2 [1 − ������(−3 < ������ ≤5)]
= [1 − ������(1 − 4 < ������ ≤1+4)] = =
1 2 1 [1 − ������(������ − 2������ < ������ ≤ ������ +2σ)] 2 1 (1 − 0.954 4)=0.022 8. 2
2 19
∴
1
������������, ������(������)d������ =
18
������������, ������(������)d������,
2020_2021学年高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布跟踪训练含解析新人教A版选修2_3
正态分布[A组学业达标]1．正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为( )A．P1＝P2B．P1＜P2C．P1＞P2D．不确定解析：根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．答案：A2．已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X＞1)＝0.5，则实数a的值为( ) A．1 B．2C．3 D．4解析：随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X＞a)＝0.5，由P(X＞1)＝0.5，可知μ＝a＝1.答案：A3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%解析：P(3＜ξ＜6)＝12[P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)]＝12(95.44%－68.26%)＝13.59%.故选B.答案：B4．随机变量ξ服从正态分布N (1,4)，若P (2＜ξ＜3)＝a ，则P (ξ＜－1)＋P (1＜ξ＜2)＝( ) A.1－a 2 B.12－a C ．a ＋0.003a D.12＋a 解析：因为随机变量ξ服从正态分布N (1,4)，所以正态曲线关于x ＝1对称，因为P (2＜ξ＜3)＝a ，所以P (－1＜ξ＜0)＝a ，P (1＜ξ＜2)＝P (0＜ξ＜1)，P (ξ＜－1)＋P (1＜ξ＜2)＝12－a .答案：B5．已知X ～N (0,1)，则X 在区间(－∞，－2)内取值的概率为( )A ．0.954B ．0.046C ．0.977D ．0.023解析：由题意知，正态曲线的对称轴为x ＝0，所以P (X ＜－2)＝0.5－12P (－2≤X ≤2)＝0.5－0.954 42＝0.022 8.故选D. 答案：D6．若随机变量ξ～N (10，σ2)，P (9≤ξ≤11)＝0.4，则P (ξ≥11)＝________.解析：由P (9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x ＝μ＝10为对称轴知，P (9≤ξ≤11)＝2P (10≤ξ≤11)＝0.4.P (10≤ξ≤11)＝0.2，∵P (ξ≥10)＝0.5，∴P (ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.答案：0.37．如果ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ＞3)＝P (ξ＜1)成立，则μ＝________.解析：因为ξ～N (μ，σ2)，故正态密度函数关于直线x ＝μ对称，又P (ξ＜1)＝P (ξ＞3)，从而μ＝1＋32＝2，即μ的值为2. 答案：28．抽样调查表明，某校高三学生成绩ξ(总分750分)近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P (400＜ξ＜450)＝0.3，则P (550＜ξ＜600)＝________.解析：由图可以看出P (550＜ξ＜600)＝P (400＜ξ＜450)＝0.3.答案：0.39．已知随机变量X ～N (μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P (72＜X ≤88)＝0.682 6.(1)求参数μ，σ的值．(2)求P (64＜X ≤72)．解析：(1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，即参数μ＝80.又P (72＜x ≤88)＝0.682 6.结合P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，可知σ＝8.(2)因为P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝P (64＜X ≤96)＝0.954 4.又因为P (X ≤64)＝P (X ＞96)，所以P (X ≤64)＝12(1－0.954 4)＝12×0.045 5＝0.022 8. 所以P (X ＞64)＝0.977 2.又P (X ≤72)＝12[1－P (72＜X ≤88)]＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7，所以P (X ＞72)＝0.841 3，P (64＜X ≤72)＝P (X ＞64)－P (X ＞72)＝0.135 9.10．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N (90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？ 解析：因为ξ～N (90,100)，所以μ＝90，σ＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率就是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．[B 组 能力提升]11．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，且二次方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，则μ等于( ) A ．1B ．2C ．4D ．不能确定解析：因为方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，由Δ＝16－4ξ＜0，得ξ＞4，即P (ξ＞4)＝12＝1－P (ξ≤4)，故P (ξ≤4)＝12，所以μ＝4. 答案：C12．已知随机变量X 服从正态分布即X ～N (μ，σ2)，且P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 6，若随机变量X ～N (5,1)，则P (X ＞6)≈( )A ．0.341 3B ．0.317 4C ．0.158 7D ．0.158 6解析：由题设P (4＜X ≤6)≈0.682 6，所以由正态分布的对称性可得P (X ≥6)＝12[1－P (4＜X ≤6)]≈12(1－0.682 6)≈0.158 7. 答案：C13.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为________．附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4. 解析：X ～N (0,1)知，P (－1＜X ≤1)＝0.682 6，所以P (0≤X ≤1)＝12×0.682 6＝0.341 3， 故S ≈0.341 3，所以落在阴影部分中点的个数x 的估计值为x 10 000＝S1，所以x ＝10 000×0.341 3≈3 413.答案：3 41314．某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩X ～N (100，a 2)(a ＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，则此次测试中数学考试成绩不低于120分的学生约有________人．解析：因为成绩X ～N (100，a 2)，所以其正态曲线关于直线x ＝100对称，又成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，由对称性知：成绩在120分以上的人数约为总人数的12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝15，所以此次数学考试成绩不低于120分的学生约有：15×600＝120(人)． 答案：12015．一投资者要在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润ξ(万元)分别服从正态分布N (8,32)和N (3,22)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应选择哪个方案？解析：由题意知，只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率哪个大，大的即为最佳选择方案．对于第一套方案ξ～N (8,32)，则μ＝8，σ＝3.于是P (8－3＜ξ≤8＋3)＝P (5＜ξ≤11)≈0.682 6.所以P (ξ≤5)＝12[1－P (5＜ξ≤11)] ≈12(1－0.682 6)＝0.158 7. 所以P (ξ＞5)≈1－0.158 7＝0.841 3.对于第二套方案ξ～N (3,22)，则μ＝3，σ＝2.于是P (3－2＜ξ≤3＋2)＝P (1＜ξ≤5)≈0.682 6，所以P (ξ＞5)＝12[1－P (1＜ξ≤5)] ≈12(1－0.682 6)＝0.158 7. 所以应选择第一套方案．。
人教新课标A版高二数学《选修2-3》2.4 正态分布
O
x
(5)当一定时,曲线随着的变化而沿x轴平移 (6)当一定时,曲线的形状由的确定.
越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中; 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
若X~N(,2),则对于任何实数a>0,概率
P a X a
dx , a x a
大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ C ）
A.(90,110] B.(95,125] C.(100,120] D.(105,115]
2.已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228
3.设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X
a
P X 0.6826
P 2 X 2 0.9544 P 3 X 3 0.9974
3原则 通常认为服从于正态分布N(,2)的随机变量X只取 (-3,+3)之间的值.
课堂小结
b a
如果对于任何实数a<b,随机变量X满足 b Pa X b , x dx a
则称X的分布为正态分布 记N , 2 X服从正态分布,则记 X ~ N , 2
是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去
估计；
是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去
第二章 随机变量及其分布
2.4 正态分布
知识回顾
随机变量的方差
性质
意义
D(aX+b)=a2D(X)
若X服从两点分布,则DX=p(1-p)
若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p)
高中数学人教A版选修2-3 第二章 2.4 正态分布教案
课题：正态分布教学目标：理解取有限值的离散型随机变量的方差的概念，及简单应用教学重点：理解取有限值的离散型随机变量的方差的概念，及简单应用教学过程一、复习引入：简要复习模块3种的相关内容，材料如下，可选取相关内容重点复习1.简单随机抽样：设一个总体的个体数为N ．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样 ⑴用简单随机抽样从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为N1；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为N n ； ⑵简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且各个个体被抽到的概率相等； ⑶简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的基础．（4）.简单随机抽样的特点：它是不放回抽样；它是逐个地进行抽取；它是一种等概率抽样2.抽签法：先将总体中的所有个体（共有N 个）编号（号码可从1到N ），并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可用小球、卡片、纸条等制作），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为n 的样本 适用范围：总体的个体数不多时优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法．3.随机数表法： 随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码4.系统抽样:当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样．系统抽样的步骤：①采用随机的方式将总体中的个体编号为简便起见，有时可直接采用个体所带有的号码，如考生的准考证号、街道上各户的门牌号，等等 ②为将整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k 当N n（N 为总体中的个体的个数，n 为样本容量）是整数时，k=N n ;当N n不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体的个数N '能被n 整除，这时k=N n'.③在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号l ④按照事先确定的规则抽取样本（通常是将l 加上间隔k ，得到第2个编号l +k,第3个编号l +2k ，这样继续下去，直到获取整个样本） ①系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，它与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；②与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的．③总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除在进行系统抽样 5.分层抽样: 当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层6.不放回抽样和放回抽样:在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样．随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样7. 分布列: ξ x 1 x 2 … x i… P P 1 P 2 … P i…分布列的两个性质： ⑴i ≥0，＝1，2，…； ⑵1+2+…=1 8.频率分布表或频率分布条形图历史上有人通过作抛掷硬币的大量重复试验，得到了如下试验结果：试验结果频数 频率 正面向上(0)36124 0.5011 反面向上(1) 35964 0.4989抛掷硬币试验的结果的全体构成一个总体，则上表就是从总体中抽取容量为72088的相当大的样本的频率分布表．尽管这里的样本容量很大，但由于不同取值仅有2个（用0和1表示），所以其频率分布可以用上表和右面的条形图表示．其中条形图是用高来表示取各值的频率．说明：⑴频率分布表在数量表示上比较确切，而频率分布条形图比较直观，两者相互补充，使我们对数据的频率分布情况了解得更加清楚．⑵①各长条的宽度要相同；②相邻长条之间的间隔要适当．当试验次数无限增大时，两种试验结果的频率值就成为相应的概率，得到右表，除了抽样造成的误差，精确地反映了总体取值的概率分布规律．这种整体取值的概率分布规律通常称为总体分布.说明：频率分布与总体分布的关系：⑴通过样本的频数分布、频率分布可以估计总体的概率分布.⑵研究总体概率分布往往可以研究其样本的频数分布、频率分布.9.总体分布：总体取值的概率分布规律在实践中，往往是从总体中抽取一个样本，用样本的频率分布去估计总体分布 一般地，样本容量越大，这种估计就越精确10.总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无试验结果 概率 正面向上(记为0) 0．5 反面向上(记为1) 0．5限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线b单位O 频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．二、讲解新课：1．正态分布概率密度函数：22()2(),(,)2x f x e x μσπσ--=∈-∞+∞，（σ＞0） 其中π是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为),(2σμN 2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题6. 对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分课堂小节：本节课学习了取有限值的离散型随机变量的方差的概念，及简单应用课堂练习：略课后作业：第79页习题A:1,2。
高中人教A数学选修2-3学案：2.4 正态分布 含答案
2.4正态分布自主预习·探新知情景引入高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举．德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”．那么，什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？新知导学1．正态曲线及其性质(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质：①曲线位于x轴__上方__，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线__x＝μ__对称；③曲线在x＝μ处达到峰值__12πσ__；④曲线与x轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小；曲线越“瘦高”，总体分布越集中，如图乙所示．甲 乙2．正态分布一般地，如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝__0.6826__； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝__0.9544__； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝__0.9974__． 4．3σ原则通常服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．预习自测1．(2020·遂宁模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ＜2)＝P (ξ＞6)＝0.15，则P (2≤ξ＜4)等于( B )A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7[解析] 由题意可得P (2≤ξ<4)＝1－0.15×22＝0.35，故选B ．2．(2020·孝义市一模)一次考试中，某班学生的数学成绩X 近似服从正态分布N (100,100)，则该班数学成绩的及格率可估计为(成绩达到90分为及格)(参考数据：P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.68)( D )A ．60%B ．68%C ．76%D ．84%[解析] ∵X 服从正态分布N (100,100)，∴P (90≤X ＜100)＝12P (90≤X ≤110)＝12×0.68＝0.34， P (X ≥100)＝0.5，∴P (X ≥90)＝0.34＋0.5＝0.84． 故选D ．3．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，且P (ξ<2)＝0.6，则P (0<ξ<1)＝__0.1__． [解析] ∵随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)， ∴曲线关于直线x ＝1对称， ∵P (ξ<2)＝0.6，∴P (0<ξ<1)＝0.6－0.5＝0.1， 故答案为0.1．4．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N (100，102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为__10__．[解析] 由ξ～N (100,102)知，μ＝100，σ＝10， 又P (90≤ξ≤100)＝0.3，∴P (ξ>110)＝P (ξ<90)＝1－P (90≤ξ≤110)2＝1－2P (90≤ξ≤100)2＝1－2×0.32＝0.2．∴该班学生成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10人．5．商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N (10，0.12)(单位：kg)．任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg 的概率是多少？[解析] 因为大米的质量服从正态分布N (10,0.12)，要求质量在9.8～10.2的概率，需化为(μ－2σ，μ＋2σ)的形式，然后利用特殊值求解．由正态分布N (10,0.12)知，μ＝10，σ＝0.1，所以质量在9.8～10.2kg 的概率为P (10－2×0.1<X ≤10＋2×0.1)＝0.954 4．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶正态曲线及其性质典例1如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的数学期望和方差．[解析]从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以1 2π·σ＝12π，解得σ＝ 2.所以正态分布密度函数的解析式是f(x)＝12πe－(x－20)24，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望μ＝20，方差σ2＝(2)2＝2．『规律总结』求正态曲线的两个方法(1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为12πσ．(2)待定系数法：求出μ，σ即可．┃┃跟踪练习1__■(1)(2020·青岛高二检测)青岛市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝1102π·e－(x－80)2200(x∈R)，则下列命题不正确的是(B)A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为10(2)设随机变量X～N(1,32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c＝(B)A．0B．1C．2D．3[解析](1)由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的．(2)因为P(X≤c)＝P(X>c)，所以c＝1，故选B．命题方向❷利用正态分布求概率典例2已知ξ～N(4，σ2)，且P(2<ξ<6)＝0.682 6，则σ＝__2__，P(|ξ－2|<4)＝__0.84__．[解析]∵ξ～N(4，σ2)且P(2<ξ<6)＝0.682 6，∴μ＝4，结合“3σ”原则可知⎩⎪⎨⎪⎧μ＋σ＝6，μ－σ＝2，∴σ＝2．∴P (|ξ－2|<4)＝P (－2<ξ<6) ＝P (－2<ξ<2)＋P (2<ξ<6)＝12[P (－2<ξ<10)－P (2<ξ<6)]＋P (2<ξ<6) ＝12P (－2<ξ<10)＋12P (2<ξ<6) ＝12[P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＋P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)] ＝12(0.997 4＋0.682 6)＝0.84． 『规律总结』 求在某个区间内取值的概率的方法(1)利用X 落在区间(μ－σ，μ＋σ]、(μ－2σ，μ＋2σ]、(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6,0.954 4，0.997 4求解．(2)充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．①熟记正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等． ②P (X <a )＝1－P (X ≥a )； P (X <μ－a )＝P (X >μ＋a )． ┃┃跟踪练习2__■(1)已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2<ξ<2)＝( C ) A ．0.477 B ．0.625 C ．0.954D ．0.977(2)设随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，若P (ξ>c )＝a ，则P (ξ>4－c )等于( B ) A ．a B ．1－a C ．2aD ．1－2a[解析] (1)P (－2<ξ<2)＝1－2P (ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954． (2)对称轴x ＝2，∴P (ξ>4－c )＝1－P (ξ>c )＝1－a ． 命题方向❸正态分布的应用典例3 某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸X ～N (4,0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm ，试问该厂生产的这批零件是否合格？[思路分析] 判断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想．欲判定这批零件是否合格，关键是看随机抽查的一件产品的外径尺寸是在(μ－3σ，μ＋3σ)之内还是在(μ－3σ，μ＋3σ)之外．[解析]由于圆柱形零件的外径尺寸X～N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，X在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)(即(2.5,5.5))之外取值的概率约为0.002 7.而5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批产品是不合格的．『规律总结』在解决有关问题时，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值．(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化．(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．┃┃跟踪练习3__■某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在80～90内的学生占多少？[解析](1)设学生的得分情况为随机变量X，X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10．分数在60～80之间的学生的比为：P(70－10<X≤70＋10)＝0.682 6，所以不及格的学生的比为12(1－0.682 6)＝0.158 7，即成绩不及格的学生占15.87%．(2)成绩在80～90内的学生的比为12[P(70－2×10<x≤70＋2×10)－0.682 6]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9．即成绩在80～90间的学生占13.59%．学科核心素养假设检验的思想(1)统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设．(2)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则ξ落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为0.997 4，亦即落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.002 6，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明ξ不服从正态分布．(3)对于小概率事件要有一个正确的理解：小概率事件是指发生的概率小于3%的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有3%犯错的可能性．典例4某厂生产的产品，质量要求服从正态分布N(100,4)，现从产品中抽取了10件，测得质量分别为102,92,104,103,98,96,97,99,101,108，则该生产线是否要停产检修？[思路分析]由题意可知产品质量服从正态分布，又由于质量在区间(100－2,100＋2]，即(98,102]内的概率为0.682 6，在区间(96,104]内的概率为0.954 4，在区间(94,106]内的概率为0.997 4，所以据此可以判断结论．[解析]由题意知产品质量X服从正态分布N(100,22)，产品质量在区间(100－3×2,100＋3×2]，即(94,106]内的概率为0.997 4，而在这个区间外的概率仅为0.002 6，在抽测的10件产品中有2件(分别是92,108)不在这个区间内，小概率事件竟然发生了，说明生产线有问题，故应停产检修．『规律总结』假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N(μ，σ2)．②确定一次试验中的取值a是否落入区间(μ－3σ，μ＋3σ]内．③作出判断：如果a∈(μ－3σ，μ＋3σ]，则接受统计假设．如果a∉(μ－3σ，μ＋3σ]，则拒绝统计假设．┃┃跟踪练习4__■假设某省今年高考考生成绩服从正态分布N(500,1002)，某校有考生2 400人，试估计成绩在下列范围内的考生人数．(1)(400,600]；(2)(300,700]．[解析](1)因为该正态分布中，μ＝500，σ＝100.所以区间(400,600]即为(μ－σ，μ＋σ]，其概率为0.6826，所以成绩在(400,600]范围内的考生人数约为2 400×0.682 6≈1 638(人)．(2)同理可求成绩在(300,700]内的考生人数约为2 400×0.954 4≈2 291(人)．易混易错警示因对正态曲线的对称性认识不够而致错典例5已知X～N(μ，σ2)，且P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，则μ＝__－2__．[辨析]对正态分布的正态曲线的对称性理解不到位而致误，充分认识P(X<a)＋P(X≥a)＝1这一结论．[正解]因为P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，又P(X<－4)＋P(X≥－4)＝1．所以P(X>0)＝P(X<－4)．因此正态曲线的对称轴为x＝－2.所以μ＝－2．[误区警示]错解的原因在于对正态曲线的对称性没有充分的认识，无法将所给条件进一步转化，找不清解题的思路．本题的关键在于P(X<－4)＋P(X≥－4)＝1的运用，由此得到解题的突破口．课堂达标·固基础1．设随机变量X服从正态分布，且相应的函数φ(x)＝16πe－x2＋4x－46，则(C)A．μ＝2，σ＝3B．μ＝3，σ＝2 C．μ＝2，σ＝3D．μ＝3，σ＝ 3[解析]由φ(x)＝12π×3e－(x－2)22(3)2，得μ＝2，σ＝ 3.故选C．2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内(C)A．(90,110]B．(95,125]C．(100,120]D．(105,115][解析]由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5．因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4．由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.682 6≈41人，60×0.954 4≈57人，60×0.997 4≈60人．故选C．3．如图是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线分别是图中的__①__、__②__、__③__．[解析] 在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．4．在某市组织的一次数学考试中，全体参加考试学生的成绩近似服从正态分布N (60,100)，已知数学成绩在90分以上的学生有13人．试求参加数学考试的学生共有多少人？[解析] 设学生的数学成绩为X ，共有n 人参加数学考试， ∵X ～N (60,100)，∴μ＝60，σ＝10．∴P (X >90)＝12[1－P (30<X ≤90)]＝12×(1－0.997 4)＝0.001 3．又P (X >90)＝13n ，∴13n ＝0.001 3，∴n ＝10 000，即此次参加数学考试的学生共有10 000人．。
人教a版数学【选修2-3】2.4《正态分布》ppt课件
2
x＝μ 对称； ②曲线关于直线__________ μ 处达到最大值 ③曲线只有一个最大值，在 x＝_____
1 ； σ 2π
第二章
2.4
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④曲线与x轴之间的面积为__________ ； 1
⑤当σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着 μ 的变化而
∵ 随 机 变 量 ξ 服 从 正 态 分 布 N(4 ， σ2) ， μ ＝ 4 ，
P(ξ>8)＝0.4，∴P(ξ<0)＝P(ξ>8)＝0.4，故选B.
第二章
2.4
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2 ． (2013· 福州文博中学高二期末 ) 已知随机变量 X 服从正 态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝( )
1 3．若 ξ～N(1，4)，η＝6ξ，则 E(η)等于( A．1 C．6
[答案] C
1 [解析] ∵ξ～N(1，4)，∴E(ξ)＝1， ∴E(η)＝6E(ξ)＝6.
)
3 B．2 D．36
第二章
2.4
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4．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布
随机变量及其分布
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自主预习学案
2
新人教版A版选修2-3 高中数学正态分布
当 a 3 时正态总体的取值几乎总取值于区间 由于这些概率值很小（一般不超过 5 ％ ）， ( m 3 , m 3 ) 之内, 其他区间取值几乎不可能 .在实 通常称这些情况发生为小概率事件。 际运用中就只考虑这个区间,称为 3 原则.
2
7 11 15 25 20 12 6 2
0.02
0.07 0.11 0.15 0.25 0.20 0.12 0.06 0.02
0.004
0.014 0.022 0.030 0.050 0.040 0.024 0.120 0.004
第二步：根据频率分布表画出频率分布直方图
y 频率/组距
－ － － － － －
=2
（6）当 m 一定时，曲线的形状由 确定 越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散 越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布越集中
0
三、特殊区间的概率及3 原则:
P( m X m ) 0.6826, P( m 2 X m 2 ) 0.9544, P( m 3 X m 3 ) 0.9974.
1 4、曲线与x轴之间的面积为 _______ .
m 取不同值的正态曲线图示 固定 的值，
m 1 m 0
m 1
0.5
均值 m 决 定正态曲 线的位置
5当
m 的变化而沿x 轴平移 一定时，曲线随着
-1
0
1
取不同值的正态曲线图示 固定 m 的值，
=0.5
μ=0
=1
标准差 决定正态曲 线的“体型”
数学人教A版选修2-3课后训练：2.4 正态分布 含解析 精
2.4 正态分布练习一、选择题1．设两个正态分布N(μ1，σ12)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有()．A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ22．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)＝()．A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 53．已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，则E(2ξ＋1)与D(2ξ＋1)的值分别为()．A．13,4 B．13,8 C．7,8 D．7,164．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X＞C＋1)＝P(X＜C－1)，则C＝()．A．1 B．3 C．2 D．55．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从X～N(50,102)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为()．A．0.682 6 B．0.997 4 C．0.317 4 D．0.954 4二、填空题6．已知正态分布总体落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x)在x＝__________时达到最高点．7．设随机变量X～N(1,22)，则Y＝3X－1服从的总体分布可记为__________．8．某班有50名学生，一次考试的成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为__________．三、解答题9．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ＞0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2.(1)求X在(0,4)内取值的概率；(2)求P(X＞4)．10．商场经营的某种包装的大米质量X服从正态分布N(10,0.12)(单位：kg)，任取一袋大米，质量在10 kg～10.2 kg的概率是多少？参考答案1答案：A 解析：根据正态分布密度曲线的性质：正态分布密度曲线是一条关于x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，结合图象可知μ1＜μ2，σ1＜σ2.故选A.2答案：B 解析：P (X ＞4)＝12[1－P (2≤X ≤4)]＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7. 3答案：D 解析：由已知E (ξ)＝3，D (ξ)＝4，得E (2ξ＋1)＝2E (ξ)＋1＝7，D (2ξ＋1)＝4D (ξ)＝16.4答案：C 解析：∵X ～N (2,9)，∴P (X ＞C ＋1)＝P (X ＜3－C )．又P (X ＞C ＋1)＝P (X ＜C －1)，∴3－C ＝C －1.∴C ＝2.5答案：D 解析：∵X ～N (50,102)，μ＝50，σ＝10，∴P (30＜X ≤70)＝P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4.6答案：0.2 解析：∵P (X ＞0.2)＝0.5，∴P (X ≤0.2)＝0.5，即直线x ＝0.2是正态曲线的对称轴．∴当x ＝0.2时，φμ，σ(x )达到最高点．7答案：Y ～N (2,62) 解析：由已知E (X )＝1，D (X )＝4，∴E (Y )＝3E (X )－1＝2，D (Y )＝9×4＝36＝62.∴Y ～N (2,62)．8答案：10 解析：考试的成绩ξ服从正态分布N (100,102)，∴考试的成绩ξ关于ξ＝100对称．∵P (90≤ξ≤100)＝0.3，∴P (100≤ξ≤110)＝0.3.∴P (ξ＞110)＝0.2.∴该班数学成绩在110分以上的人数约为0.2×50＝10.9解：(1)由X ～N (2，σ2)，知对称轴x ＝2，画出示意图：∵P (0＜X ＜2)＝P (2＜X ＜4)，∴P (0＜X ＜4)＝2P (0＜X ＜2)＝2×0.2＝0.4.(2)P (X ＞4)＝12[1－P (0＜X ＜4)]＝12×(1－0.4)＝0.3. 10解：∵X ～N (10,0.12)，∴μ＝10，σ＝0.1.∴P (9.8＜X ≤10.2)＝P (10－2×0.1＜X ≤10＋2×0.1)＝0.954 4.又正态曲线关于直线x ＝μ＝10对称，∴P(10＜X≤10.2)＝12P(9.8＜X≤10.2)＝0.477 2.∴质量在10 kg～10.2 kg的概率为0.477 2.。
人教新课标版数学高二选修2-3检测 2.4正态分布
一、选择题1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是()A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件D．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件【解析】∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974，∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026.∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．【答案】 D2．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.4，则ξ在(－∞，4)内取值的概率为()A．0.1B．0.2C．0.8D．0.9【解析】∵μ＝2，∴P(0<ξ<2)＝P(2<ξ<4)＝0.4，∴P(0<ξ<4)＝0.8.∴P(ξ<0)＝12(1－0.8)＝0.1，∴P(ξ<4)＝0.9.【答案】 D3．随机变量ξ～N(2,10)，若ξ落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)的概率相等，则k等于()A．1 B．10C．2 D.10【解析】∵区间(－∞，k)和(k，＋∞)关于x＝k对称．∴x＝k为正态曲线的对称轴，∴k＝2.【答案】 C4．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图2－4－4所示，则有()图2－4－4A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2【解析】σ越小，曲线越“瘦高”，故σ1＜σ2，μ为对称轴的位置，由图易知μ1＜μ2.【答案】 A5．(2013·沈阳高二检测)设随机变量ξ～N(0,1)，若P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ＜0)＝()A.12＋p B．1－pC．1－2p D.12－p【解析】如图，P(ξ＞1)表示x轴、x＞1与正态密度曲线围成区域的面积，由正态密度曲线的对称性知：x轴、x＜－1与正态密度曲线围成区域的面积也为p，所以P(－1＜ξ＜0)＝1－2p2＝12－p.【答案】 D二、填空题6．(2013·黄冈高二检测)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则c的值为________．【解析】c＋1与c－1关于ξ＝2对称，(c＋1)＋(c－1)2＝2，∴c＝2.【答案】 27．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X ＞2)＝________.【解析】P(X＞2)＝12[1－2P(－2≤X≤0)]＝0.5－0.4＝0.1.【答案】0.18．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60,102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．【解析】依题意，P(60－20＜x≤60＋20)＝0.9544，P(X＞80)＝12(1－0.9544)＝0.0228，故成绩高于80分的考生人数为10000×0.0228＝228(人)．所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．【答案】229三、解答题9．设X～N(5,1)，求P(6＜X≤7)．【解】由已知得P(4＜X≤6)＝0.682 6，P(3＜X≤7)＝0.954 4.又∵正态曲线关于直线x＝u＝5对称∴P(3＜X≤4)＋P(6＜X≤7)＝0.954 4－0.682 6＝0.271 8.由对称性知P(3＜X≤4)＝P(6＜X≤7)．所以P(6＜X≤7)＝0.271 82＝0.135 9.10．(2012·天水高二检测)某年级的一次信息技术成绩近似服从正态分布N (70,100)，如果规定低于60分为不及格，不低于90分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多少？(参考数据：P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4)．【解析】 由题意得：μ＝70，σ＝10，P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.(1)P (ξ＜60)＝12－12P (60＜ξ≤80)＝12－12×0.682 6＝0.158 7.(2)P (ξ≥90)＝12－12P (50＜ξ≤90)＝12－12×0.954 4＝0.022 8.答：成绩不及格的学生约占15.87%，成绩优秀的学生约占2.28%.11．假设某省今年高考考生成绩ξ服从正态分布N (500,1002)，现有考生25 000名，计划招生10 000名，试估计录取分数线．【解】 这是一个实际问题，由题知其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”问题．设分数线为a ，那么分数超过a 的概率应为录取率，即P (ξ≥a )＝10 00025 000＝0.4，因为ξ～N (500,1002)，所以P (ξ≥a )＝P (ξ－500100≥a －500100)＝1－P (ξ－500100＜a －500100)＝1－Φ(a －500100)．于是有Φ(a －500100)＝1－P (ξ≥a )＝1－0.4＝0.6.从标准正态分布表中查得Φ(0.25)＝0.598 7≈0.6，故a －500100≈0.25，即a ≈525.由此可以估计录取分数线约为525分.。
人教版高中数学选修2-3练习：第二章2.4正态分布
第二章随机变量及其散布2.4正态散布A 级基础稳固一、选择题．设随机变量X ～N(1，2，则1X ＝()1 2 ) D 2A ．4．21D．1B C.2分析：由于 X～ N(1，22)，因此 D(X)＝4.11因此 D 2X ＝4D(X)＝1.答案： D．设两个正态散布22μ，σ σ＞0)和 N(μ，σ σ＞0)的密度2N(11)( 122)(2函数图象如下图，则有 ()＜μ，σ＜σ＜μ，σ＞σA．μ1212B．μ1212＞μ，σ＜σ＞μ，σ＞σC．μ1212D．μ1212分析：μ反应的是正态散布的均匀水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ＜μ；σ反应的正态散布的失散程度，σ越大，12越分别，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由题图可知σ＜σ.12答案： A3． (2015 ·山东卷 )已知某批部件的长度偏差(单位：毫米 )听从正态散布 N(0，32)，从中随机取一件，其长度偏差落在区间(3，6)内的概率为()2[附：若随机变量ξ听从正态散布N(μ，σ)，则 P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%]A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%分析：由正态散布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故 P(3＜ξ＜6)＝P（－ 6＜ξ＜6）－ P（－ 3＜ξ＜3）0.954 4－0.682 62＝2＝0.135 9＝13.59%.答案： B4．若随机变量 X 的密度函数为 f(x)＝ 1 ·e－x22，X 在区间 (－2，2π－1)和(1，2)内取值的概率分别为 p1，p2则 p1，p2的关系为 () A．p1＞p2B．p1＜p2C ．1＝p2D．不确立p分析：由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，因此曲线对于直线 x＝0 对称，因此 p1＝p2.答案： C5．已知某批资料的个体强度X 听从正态散布N(200， 182)，现从中任取一件，则获得的这件资料的强度高于182 但不高于 218 的概率为()A．0.997 3B．0.682 6C．0.841 3D．0.815 9分析：由题意知μ＝200，σ＝18，μ－σ＝ 182，μ＋σ＝218，由P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，答案应选B. 答案：B二、填空题16．设 X～N 0，4，则 P(－1＜X＜1)的值为 ________．1分析：由题意可知，μ＝0，σ＝2，故 P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝P(－1＜X＜1)＝0.954 4.答案： 0.954 47．已知正态整体的数据落在区间(－ 3，－ 1)里的概率和落在区间(3，5)里的概率相等，那么这个正态整体的数学希望为________．分析：由题意知区间 (－3，－1)与 (3，5)对于直线 x＝μ对称，因为区间 (－3，－1)和区间 (3，5)对于 x＝1 对称，因此正态散布的数学希望为 1.答案： 12 8．工人制造的部件尺寸在正常状况下听从正态散布N(μ，σ)，在一次正常的试验中，取1 000 个部件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的部件可能有 ________个．分析：由于 P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4，因此不属于区间 (μ－3σ，μ＋3σ)内的零点个数可能为 1 000 ×(1－0.997 4)＝2.6 ≈个3()．答案： 3三、解答题9．设 X～N(1， 22)，试求：(1)P(－1＜X ≤3)；(2)P(3＜X ≤5)．解：由于 X ～N(1，22)，因此 μ＝ 1，σ＝2.(1)P(－1＜X ≤3)＝P(1－2＜X ≤1＋2)＝0.682 6.(2)由于 P(3＜X ≤5)＝P(－3＜X ≤－1)， 因此 P(3＜X ≤5)＝ 1－ ＜ ≤ －－ ＜ ≤ ＝1－ ＜2[P(3X 5) P(1X 3)] 2[P(141X ≤1＋ 4)－P(1－2＜X ≤1＋ 2)]＝2[P(1－4＜ X ≤1＋ 4)－ P(1－ 2＜ X ≤1＋2)]＝ 1μ－ σ＜ ≤μ＋ σ－ μ－ σ＜ ≤μ＋ σ ＝ 1－2 [P( 2X2 ) P(X)] 2 (0.954 40.682 6)＝0.135 9.210．在某项丈量中， 丈量结果 ξ听从正态散布 N(1，σ)(σ>0)．若ξ在 (0，1)内取值的概率为 0.4，试求：(1)ξ在(0， 2]内取值的概率；(2)ξ在(2，＋ ∞)内取值的概率；(3)ξ在(0，＋ ∞)内取值的概率．2解：(1)在某项丈量中，丈量结果 ξ听从正态散布 N(1，σ)(σ>0)，正态散布图象的对称轴为 x ＝1，由于 ξ在(0，1]内取值的概率为 0.4，因此随机变量 ξ在(1，2]内取值的概率等于 ξ在(0，1]内取值的概率，也为 0.4，即随机变量 ξ在(0，2]内取值的概率为 0.8.(2)又因正态散布图象的对称轴为 x ＝ 1，得 ξ在(1，＋ ∞)内取值的概率为 0.5，联合随机变量 ξ在(1，2]内取值的概率为 0.4，可求得ξ在 (2，＋ ∞)内取值的概率为 0.5－0.4＝0.1.(3) ξ在(0，＋ ∞)内取值的概率为 0.4＋0.5＝0.9.B 级 能力提高1．以 Φ(x)表示标准正态整体在区间 (－∞，x)内取值的概率，若2随机变量ξ听从正态散布 N(μ，σ)，则概率 P(|ξ－μ|＜σ)等于 () A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B．Φ(1)－Φ(－1)C．Φ1－μσD．2Φ(μ＋σ)分析：设η＝|ξ－μ|，则σP(|ξ－μ|＜σ)＝P(|η|＜1)＝P(－1＜η＜1)＝Φ(1)－Φ(－ 1)．答案： B2．据抽样统计，在某市的公事员考试中，考生的综合评分X 服从正态散布 N(60，102)，考生共 10 000 人，若一考生的综合评分为80 分，则该考生的综合成绩在全部考生中的名次是第________名．1分析：依题意， P(60－20＜X≤60＋20)＝ 0.954 4，P(X＞ 80)＝2(1－0.954 4)＝0.022 8，故成绩高于 80 分的考生人数为 10 000×0.022 8＝228(人)．因此该生的综合成绩在全部考生中的名次是第229 名．答案： 2293．若在一次数学考试中，某班学生的分数为X，且 X～N(110，2学考试中及格 (不小于 90 分)的人数和 130 分以上 (不包含 130 分)的人数．解：由于 X～N(110，202)，因此μ＝110，σ＝20.P(110－20＜X≤110＋20)＝0.682 6.1因此 X＞130 的概率为2×(1－0.682 6)＝ 0.158 7.因此 X≥90 的概率为 0.682 6＋0.158 7＝0.841 3.因此及格的人数为54×0.841 3 ≈45人( )，130 分以上的人数为54×0.158 7＝ 9 (人)．。
高中数学人教A版选修2-3练习：2.4 正态分布 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设随机变量ξ～N (2,2)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ξ＝( )A ．1B ．2 C.12D ．4【解析】 ∵ξ～N (2,2)，∴D (ξ)＝2. ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ξ＝122D (ξ)＝14×2＝12.【答案】 C2．下列函数是正态密度函数的是( ) A ．f (x )＝12σπe (x －μ)22σ2，μ，σ(σ>0)都是实数B ．f (x )＝2π2πe －x 22C ．f (x )＝122πe －(x －1)24D ．f (x )＝12πe x 22【解析】 对于A ，函数的系数部分的二次根式包含σ，而且指数部分的符号是正的，故A 错误；对于B ，符合正态密度函数的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B 正确；对于C ，从系数部分看σ＝2，可是从指数部分看σ＝2，故C 不正确；对于D ，指数部分缺少一个负号，故D 不正确．【答案】 B3．(2015·湖北高考)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图2-4-6所示，下列结论中正确的是( )图2-4-6A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )D ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )【解析】 由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P (Y ≥μ2)＝12， P (Y ≥μ1)＞12，故P (Y ≥μ2)＜P (Y ≥μ1)，故A 错； 因为σ1＜σ2，所以P (X ≤σ2)＞P (X ≤σ1)，故B 错； 对任意正数t ，P (X ≥t )＜P (Y ≥t )，故C 错； 对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )是正确的，故选 D .【答案】 D4．某厂生产的零件外直径X ～N (8.0,0.022 5)，单位：mm ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm 和7.5 mm ，则可认为( )A ．上、下午生产情况均为正常B ．上、下午生产情况均为异常C ．上午生产情况正常，下午生产情况异常D ．上午生产情况异常，下午生产情况正常【解析】 根据3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．【答案】 C5．(2015·山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%【解析】由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B.【答案】 B二、填空题6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点. 【导学号：97270054】【解析】由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.【答案】0.27．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．【解析】正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．由于正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义是期望，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以数学期望为1.【答案】 18．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈R.给出以下四个命题：①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函数；③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝12，P(X>2)＝p，则P(0<X<2)＝1－2p.其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)【解析】画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如下图：由图可得：①图象关于x＝μ对称，故①正确；②随着x的增加，F(x)＝P(ξ<x)也随着增加，故②正确；③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是10；④由图象的对称性，可得④正确．故填①②④.【答案】①②④三、解答题9．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2]内取值的概率为0.2，求：(1)X在(0,4]内取值的概率；(2)P(X>4)．【解】(1)由于X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图如图．因为P(0<X≤2)＝P(2<X≤4)，所以P(0<X≤4)＝2P(0<X≤2)＝2×0.2＝0.4.(2)P(X>4)＝12[1－P(0<X≤4)]＝12(1－0.4)＝0.3.10．一建筑工地所需要的钢筋的长度X～N(8,22)，质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？【解】由于X～N(8,22)，根据正态分布的性质可知，正态分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率仅为0.3%，长度小于2米的钢筋不在(2,14)内，所以质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修．[能力提升]1．(2015·湖南高考)图2-4-7在如图2-4-7所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A．2 386B．2 718C．3 413 D．4 772附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.【解析】由P(－1<X≤1)＝0.682 6，得P(0<X≤1)＝0.341 3，则阴影部分的面积为0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×0.341 31×1＝3 413，故选C.【答案】C2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内()A．(90,110] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115]【解析】由5760＝0.95，符合P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，所以在(100,120]内．故选C.【答案】C3．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是________．(填序号)①P(|ξ|<a)＝P(ξ<a)＋P(ξ>－a)(a>0)；②P(|ξ|<a)＝2P(ξ<a)－1(a>0)；③P(|ξ|<a)＝1－2P(ξ<a)(a>0)；④P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|>a)(a>0)．【解析】因为P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)，所以①不正确；因为P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)＝P(ξ<a)－P(ξ<－a)＝P(ξ<a)－P(ξ>a)＝P(ξ<a)－(1－P(ξ<a))＝2P(ξ<a)－1，所以②正确，③不正确；因为P(|ξ|<a)＋P(|ξ|>a)＝1，所以P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|>a)(a>0)，所以④正确．【答案】②④4．(2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：图2-4-8(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z ～N(μ，σ2)，则P (μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4. 【解】 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2分别为 x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100，0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.。
人教新课标版数学高二人教A选修2-3试题 2.4正态分布
选修2-3 第二章 2.4一、选择题1．(2013·河南安阳中学高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，则P (ξ<3)等于( )A ．15B ．14C ．13D ．12[答案] D[解析] ∵ξ～N (3，σ2)，∴ξ＝3为正态分布的对称轴，∴P (ξ<3)＝12.2．(2013·吉林白山一中高二期末)设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 由正态分布的性质及条件P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)得，(c ＋1)＋(c －1)＝2×2，∴c ＝2.3．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115] [答案] C[解析] 由于X ～N (110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是： 60×0.6826≈41人，60×0.9544≈57人， 60×0.9974≈60人．4．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N (μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为( )A ．7B ．10C ．3D ．6[答案] C[解析] ∵P (μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.9974，∴不属于区间(μ－3σ，μ－3σ)内的零点个数约为1000×(1－0.9974)＝2.6≈3个． 5．(2014·哈师大附中高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N (1,4)，则P (－3<ξ<5)＝( )(参考数据：P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974)A ．0.6826B ．0.9544C ．0.0026D ．0.9974[答案] B[解析] 由ξ～N (1,4)知，μ＝1，σ＝2，∴μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝5，∴P (－3<ξ<5)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，故选B.6．以Φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|<σ)等于( )A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B ．Φ(1)－Φ(－1)C ．Φ⎝⎛⎭⎫1－μσD ．2Φ(μ＋σ) [答案] B[解析] 设η＝|ξ－μ|σ，则P (|ξ－μ|<σ)＝P (|η|<1)＝P (－1<η<1)＝Φ(1)－Φ(－1)．[点评] 一般正态分布N (μ，σ2)可向标准正态分布N (0,1)转化． 二、填空题7．正态变量的概率密度函数f (x )＝12πe －(x －3)22，x ∈R 的图象关于直线________对称，f (x )的最大值为________．[答案] x ＝312π8．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．[答案] 1[解析] 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x ＝1对称，所以正态分布的数学期望是1. 9．(2013·景德镇市高二期末)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于________．[答案] 0.3[解析] ∵ξ～N (2，σ2)，∴P (ξ≥4)＝1－P (ξ<4)＝0.2.∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝12×[1－2P (ξ≥4)]＝12×[1－2×0.2]＝0.3.三、解答题10．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．[解析] 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象即正态曲线关于y 轴对称，即μ＝0.而正态密度函数的最大值是12π·σ，所以12π·σ＝12π·4，因此σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x )＝142πe －x 232，x ∈(－∞，＋∞)．一、选择题11．已知随机变量X ～N (3,22)，若X ＝2η＋3，则D (η)等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4[答案] B[解析] 由X ＝2η＋3，得D (X )＝4D (η)，而D (X )＝22＝4，∴D (η)＝1.12．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．40% [答案] D[解析] 由条件知μ＝90，P (ξ<60)＝0.1， ∴P (ξ>120)＝0.1，∴P (90≤ξ<120)＝12[1－2P (ξ<60)]＝12×(1－0.2)＝0.4，故选D.[点评]解决正态分布问题，一定要注意抓住其对称轴，若ξ～N(μ，σ2)，则对称轴ξ＝μ.13．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有()A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2[答案] A[解析]根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可知选A.二、填空题14．随机变量ξ～N(1,42)，若η＝4－3ξ，则E(η)＝__________________.[答案] 1[解析]由条件知E(ξ)＝1，E(η)＝4－3E(ξ)＝1.15．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________．[答案](24.94,25.06)[解析]正态总体N(25,0.032)在区间(25－2×0.03，25＋2×0.03)内取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．三、解答题16．某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500,202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？[解析]设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N(500,202)，所以μ＝500，σ＝20，所以月收入在区间(500－3×20,500＋3×20)内取值的概率是0.9974，该区间即(440,560)．因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1－0.9974)＝1200×0.0026≈3(人)．17．实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核优秀，授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23、23、12，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率．(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] (1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E .则事件A 、B 、C 是相互独立事件，事件A － B － C －与事件E 是对立事件，于是P (E )＝1－P (A － B － C －)＝1－13×13×12＝1718.(2)ξ的所有可能取值为30、40、50、60. P (ξ＝30)＝P (A － B － C －)＝13×13×12＝118，P (ξ＝40)＝P (A B － C －)＋P (A －B C －)＋P (A － B －C )＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518，P (ξ＝50)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝818，P (ξ＝60)＝P (ABC )＝418.所以ξ的分布列为E (ξ)＝30×118＋40×518＋50×818＋60×418＝1453.。
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第二章 随机变量及其分布
2.4 正态分布
A 级 基础巩固
一、选择题
1．设随机变量X ～N (1，22
)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝( ) A ．4 B ．2 C.12
D ．1 解析：因为X ～N (1，22)，所以D (X )＝4.
所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝14
D (X )＝1. 答案：D
2．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ22)(σ2＞0)的密度
函数图象如图所示，则有( )
A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D ．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x ＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1＜μ2；σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”， σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由
题图可知σ1＜σ2.
答案：A
3．(2015·山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为()
[附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%]
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
解析：由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝
P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3）
2＝0.954 4－0.682 6
2＝0.135 9＝
13.59%.
答案：B
4．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为() A．0.9 B．0.5 C．0.6 D．0.8
解析：因为ξ服从正态分布N(1，σ2)，
所以正态密度曲线的对称轴是直线x＝1，
因为ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，
所以根据正态曲线的性质知在(0，2)内取值的概率为0.8，故选D.
答案：D
5．已知某批材料的个体强度X服从正态分布N(200，182)，现从中任取一件，则取得的这件材料的强度高于182但不高于218的概
率为()
A．0.997 3 B．0.682 6
C．0.841 3 D．0.815 9
解析：由题意知μ＝200，σ＝18，μ－σ＝182，μ＋σ＝218，
由P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，答案应选B.
答案：B
二、填空题
6．已知随机变量ξ服从正态分布，且落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.
答案：0.2
7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3，5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．解析：由题意知区间(－3，－1)与(3，5)关于直线x＝μ对称，因为区间(－3，－1)和区间(3，5)关于x＝1对称，所以正态分布的数学期望为1.
答案：1
8．若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________．
解析：由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x＝10为对称轴知，
P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4，
即P(10≤ξ≤11)＝0.2，
又P(ξ≥10)＝0.5，
所以P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.
答案：0.3
三、解答题
9．设X～N(1，22)，试求：
(1)P(－1＜X≤3)；
(2)P(3＜X≤5)．
解：因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682 6.
(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3＜X≤－1)，
所以P(3＜X≤5)＝1
2[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝
1
2[P(1－4
＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝1
2[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜
X≤1＋2)]＝1
2[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]＝
1
2(0.954 4
－0.682 6)＝0.135 9.
10.已知某地农民工年均收入ξ(单位：元)服从正态分布，其密度函数图象如图所示．
(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；
(2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元的人数百分比．
解：设农民工年均收入ξ～N(μ，σ2)，
结合图象可知μ＝8 000，σ＝500.
(1)此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式
P(x)＝
1
2πσ
e－
（x－μ）2
2σ2
＝
1
5002π
e－
（x－8 000）2
2×5002
，x∈(－
∞，＋∞)．
(2)因为P (7 500<ξ≤8 000)
＝P (8 000－500<ξ≤8 000＋500)
＝0.682 6.
所以P (8 000<ξ≤8 500)＝12
P (7 500<ξ≤8 500)＝0.341 3， 即农民工年均收入在8 000～8 500元的人数占总体的34.13%.
B 级 能力提升
1．以Φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|＜σ)等于( )
A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)
B ．Φ(1)－Φ(－1)
C ．Φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－μσ
D ．2Φ(μ＋σ)
解析：设η＝|ξ－μ|σ
，则P (|ξ－μ|＜σ)＝P (|η|＜1)＝P (－1＜η＜1)＝Φ(1)－Φ(－1)．
答案：B
2．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X 服从正态分布N (60，102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．
解析：依题意，P (60－20＜X ≤60＋20)＝0.954 4，P (X ＞80)＝12
(1－0.954 4)＝0.022 8，故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.022 8＝228(人)．
所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．
答案：229
3．有一种精密零件，其尺寸X (单位：mm)服从正态分布，即X ～
N(20，4)．若这批零件共有5 000个．
(1)试求这批零件中尺寸为18～22 mm的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸为24～26 mm的零件不合适，则这批零件中不合适的零件大约有多少个？
解：(1)因为X～N(20，4)，
所以μ＝20，σ＝2.
所以μ－σ＝18，μ＋σ＝22.
于是零件尺寸X为18～22 mm的零件所占百分比大约是68.26%，
(2)μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
所以零件尺寸X为14～26 mm的百分比大约是99.74%，而零件尺寸X为16～24 mm的百分比大约是95.44%.
所以零件尺寸为24～26 mm的百分比大约是99.74%～95.44%
2
＝2.15%.
5 000×2.15%＝107.5，
因此尺寸为24～26 mm的零件大约有107个．。