优化方案高中数学 第一章 三角函数 5.1正弦函数的图像5.2 训练案知能提升 新人教A版必修4

【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数 5.1正弦函数的图像
5.2 训练案知能提升 新人教A 版必修4
[A.基础达标]
1．关于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是( ) A ．关于原点对称 B ．有最大值1
C ．与y 轴有一个交点
D ．关于y 轴对称
解析：选D.正弦函数y ＝sin x 的图像如图所示．
根据y ＝sin x ，x ∈R 的图像可知A ，B ，C 均正确，D 错误． 2．函数y ＝sin x 的图像与函数y ＝－sin x 的图像关于( ) A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称
D ．直线y ＝x 对称
解析：选A.在同一直角坐标系中画出函数y ＝sin x 与函数y ＝－sin x 在[0，2π]上的图像，可知两函数的图像关于x 轴对称．
3．下列函数图像相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π)
B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2与y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－x
C ．y ＝sin x 与y ＝sin(－x )
D ．y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x
解析：选D.对A ，由于y ＝sin(x ＋π)＝－sin x ，故排除A ；对B ，由于y ＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π2－x ＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2，故排除B ；对C ，由于y ＝sin(－x )＝－sin x ，故排除C ；对D ，由于y
＝sin(2π＋x )＝sin x ，故选D.
4.函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π2，3π2的简图是( )
解析：选D.当x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2＝1，故排除A 、B 、C ，选D . 5．函数y ＝x sin x 的部分图像是( )
解析：选A.函数y ＝x sin x 的定义域为R ，令f (x )＝x sin x ，则f (－x )＝(－x )sin(－
x )＝x sin x ＝f (x )，知f (x )为偶函数，排除B 、D ；当x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )>0，故排除C ，
故选A.
6．在[0，2π]上，满足sin x ≥2
2
的x 的取值范围为________．
解析：在同一直角坐标系内作出y ＝sin x 和y ＝
2
2
的图像如图，观察图像并求出交点横坐标，可得到x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，34π.
答案：⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤π4，34π
7.函数y ＝sin x 的图像和y ＝
x
2π
的图像交点个数是________． 解析：在同一直角坐标系内作出两个函数的图像如图所示：
由图可知交点个数是3. 答案：3
8.已知sin x ＝m －1且x∈R ，则m 的取值范围是________．
解析：由y ＝sin x ，x ∈R 的图像知，－1≤sin x ≤1， 即－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2. 答案：0≤m ≤2
9.用“五点法”画出函数y ＝3－sin x (x ∈[0，2π])的图像． 解：(1)列表，如表所示：
x 0 π2 π 3
2
π
2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝3－sin x 3 2 3 4 3
(2)描点，连线，如图所示．
10.若函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点，求k 的取值范围．
解：f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，
－sin x ，π<x ≤2π，作出函数的图像如图：
由图可知当1<k <3时函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝k 有且只有两个不同的交点．
[B.能力提升]
1．若y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，2π3，则函数的值域为( )
A.⎝
⎛⎭
⎪⎫
22，1 B.⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
22，1 C ．(1，2]
D ．[1，2]
解析：选B.画出函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3的图像如图所示，可知y ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤22，1.
2．设a >0，对于函数f (x )＝sin x ＋a
sin x
(0<x <π)，下列结论正确的是( )
A ．有最大值而无最小值
B ．有最小值而无最大值
C ．有最大值且有最小值
D ．既无最大值也无最小值
解析：选B.f (x )＝sin x ＋a sin x ＝1＋a
sin x
.
因为0<x <π，所以0<sin x ≤1.所以1
sin x
≥1.
所以1＋a
sin x
≥a ＋1.
所以f (x )有最小值而无最大值． 故选B.
3．已知f (sin x )＝x 且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝________．
解析：因为x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin x ＝12时，x ＝π6，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫sin π6＝π6. 答案：π6
4．若x 是三角形的最小角，则y ＝sin x 的值域是________． 解析：
不妨设△ABC 中，0<A ≤B ≤C ， 得0<A ≤B ，且0<A ≤C ，
所以0<3A ≤A ＋B ＋C ，而A ＋B ＋C ＝π，
所以0<3A ≤π，即0<A ≤π
3
.
若x 为三角形中的最小角，则0<x ≤π
3，
由y ＝sin x 图像知y ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，32. 答案：⎝
⎛⎦
⎥⎤0，
32 5．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图像，写出满足下列条件的x 的区间． ①y >1；②y <1.
(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]有两个交点，求a 的取值范围． x －π －π2 0 π
2
π sin x 0 －1 0 1 0 1－2sin x 1 3 1 －1 1
(1)由图像可知图像在y ＝1上方部分时y >1，在y ＝1下方部分时y <1，
所以当x ∈(－π，0)时，y >1；当x ∈(0，π)时，y <1.
(2)如图所示，当直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点时，1<a <3或－1<a <1. 所以a 的取值范围是{a |1<a <3或－1<a <1}．
6．(选做题)已知函数y ＝f (x )为奇函数，且是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12上的减函数，f (1－sin α)＋f (1－sin 2
α)<0，求α的取值范围．
解：由题意可知f (1－sin α)<－f (1－sin 2
α)． 因为f (x )是奇函数，
所以－f (1－sin 2α)＝f (sin 2
α－1)，
所以f (1－sin α)<f (sin 2
α－1)．
又由f (x )是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上的减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－12<1－sin α<12，－12<sin 2
α－1<12，1－sin α>sin 2
α－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧12<sin α<32
，12<sin 2
α<32，sin 2
α＋sin α－2<0，
解得2
2
<sin α<1， 所以2k π＋π4<α<2k π＋π2(k ∈Z )或2k π＋π2<α<2k π＋3π
4
(k ∈Z )，
所以α的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋3π4(k ∈Z )．。