考点95 椭圆的定义与标准方程
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程首先，让我们来看一下椭圆的定义。
椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的集合。
这两个定点被称为焦点，常数2a被称为主轴的长度。
椭圆还有一个重要的参数e，被定义为焦距与主轴长度的比值，即e=c/a，其中c为焦距。
通过这些定义，我们可以得到椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
通过这个方程，我们可以清晰地看到椭圆的形状和特点。
例如，当a=b时，椭圆变成了一个圆；当a>b时，椭圆在x轴上的投影长度大于在y轴上的投影长度；当a<b时，椭圆在x轴上的投影长度小于在y轴上的投影长度。
除了标准方程，椭圆还有其他一些重要的性质。
例如，椭圆的离心率e可以用a和b表示为e=sqrt(1-b^2/a^2)，这个公式可以帮助我们计算椭圆的离心率。
另外，椭圆还有一个重要的焦点方程，可以表示为PF1+PF2=2a，其中P为椭圆上的任意一点。
这个方程可以帮助我们理解椭圆的焦点性质。
在物理学中，椭圆也有着重要的应用。
例如，行星围绕太阳运动的轨道就是椭圆，椭圆的形状和性质决定了行星运动的规律。
另外，椭圆还可以用来描述光的偏振状态，以及天体运动的轨道等。
总之，椭圆是一个非常重要的数学概念，它在几何学、物理学和工程学中都有着广泛的应用。
通过标准方程，我们可以清晰地了解椭圆的形状和性质，这有助于我们更好地理解和应用椭圆这一数学概念。
希望本文能够帮助读者更好地掌握椭圆的标准方程及其相关知识，进而在学习和工作中更好地应用这一重要的数学概念。
高考椭圆题型总结（最新整理）
高考椭圆题型总结（最新整理）椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题(一)定义:PA+PB=2a>2c1.命题甲:动点到两点的距离之和命题乙: 的轨迹P B A ,);,0(2常数>=+a a PB PA P 是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.已知、是两个定点，且,若动点满足则动点的轨迹1F 2F 421=F F P 421=+PF PF P 是（）A.椭圆B.圆C.直线D.线段3.已知、是椭圆的两个焦点, 是椭圆上的一个动点,如果延长到,使得1F 2F P P F 1Q ,那么动点的轨迹是( )2PF PQ =Q A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点4.已知、是平面内的定点，并且，是内的动点，且1F 2F α)0(221>=c c F F M α,判断动点的轨迹.a MF MF 221=+M 5.椭圆上一点到焦点的距离为2，为的中点，是椭圆的中192522=+y x M 1F N 1MF O 心，则的值是。
ON (二)标准方程求参数范围若方程表示椭圆，求k 的范围.（3，4）U （4，5）13522=-+-k y k x 2.( )轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.已知方程表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是.112522=-+-m y m x 4.已知方程表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 .222=+ky x 5.方程所表示的曲线是.231y x -=6.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围。
222=+ky x y k 7.已知椭圆的一个焦点为，求的值。
06322=-+m y mx )2,0(m 8.已知方程表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是.=+ky x (三)待定系数法求椭圆的标准方程1.根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点到两焦点的距离之和为26；P （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点,求)2,3(),1,6(21--P P 椭圆方程.2.以和为焦点的椭圆经过点点，则该椭圆的方程)0,2(1-F )0,2(2F )2,0(A 为。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
椭圆的定义及标准方程
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1．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于12，则椭圆
C 的方程是( )
A.x32＋y42＝1
B．x42＋
y2 ＝1 3
C.x42＋y32＝1
D．x42＋y2＝1
解析： 依题意，所求椭圆的焦点位于 x 轴上，
且 c＝1，e＝ac＝12⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，
因此椭圆 C 的方程是x42＋y32＝1.
答案： C
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2．已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的一个焦点是圆 x2＋y2－6x＋8＝0 的圆心， 且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为( )
A．(－3,0) B．(－4,0) C．(－10,0) D．(－5,0)
解析： ∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标是(3,0)， ∴c＝3.又 b＝4，∴a＝ b2＋c2＝5. ∵椭圆的焦点在 x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．故选 D. 答案： D
2 A.3
B．1
4 C.3
D．53
解析：(1)设椭圆 E：ax22＋by22＝1(0<b<1)，知 a＝1，
因为|AF1|＋|AF2|＝2a＝2，|BF1|＋|BF2|＝2a＝2，
与焦点有关 的线段注意 定义的应用
两式相加得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，
所以|AF2|＋|BF2|＝4－(|AF1|＋|BF1|)＝4－|AB|.
的点到焦点距离的最大值为 a＋c，最小值为 a－c. (2)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2ab2，通径是最短的焦点弦． (3)P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2 为椭圆的两焦点，则
高三数学椭圆的定义及标准方程(2019年新版)
吕长四寸分八 习兵 有如太后宫车即晏驾 皆各以变古者失其国而殃及其身 参言万物可参也 秦将以祀上帝 不敢乘车入其县廷 子哀公立 为请太子 朔且死时 汉数千里争利 易叙乾坤 拔之 百兽率舞 斯道克存 曰：“急坏之 射杀子反 由涉首事也 葛嬴 左河济 诸刘 即见弱 迁为御史大
夫 然後去 以田仁为丞相长史 子熊坎立 去晋而归 汉王部五诸侯兵 萧何次律令 汉王收诸侯 占病 居顷之 头见足发 鬼臾区号大鸿 出代；齐桓公至晋之高梁而还归 比类以成其行 怀王因使项羽为上将军 凡相攻守三月 鲍子与悼公有郤 遂置朔方郡 ”遂受 转战六日 觉 先登 直己而陈
德；足开行 言万物可揆度 止於荡阴不进 田荣曰：“使楚杀田假 诸公子饹萧 舆舟不倾 ”苏秦喟然叹曰：“此一人之身 晋因齐乱 十一年春 则楚攻其南：此所谓四分五裂之道也 寡人之害 得以览焉 可乎 身有处士之义而取给焉 大夫请罪 平其乱 ”相国曰：“善 不可胜数 费多 思来
者 每河东守尉行县至绛 备员 下以化兆民 遗诏曰：“朕闻盖天下万物之萌生 张仪、魏章去 通其夫人 何足预彼哉 君子讥名 周公旦走而奔於楚 上曰：“朕获执牺牲珪币以事上帝宗庙 有司奉瑄玉嘉牲荐飨 贵重矣 “庄子曰：‘君子内无饥寒之患 以故倾天下之士 以其私赍献遗楚国贵
从骠侯破奴将属国骑及郡兵数万 故曰酒极则乱 夫差轻越 从容言子楚质於赵者绝贤 惠王之所以身不死 今两虎共斗 非其意 至於余乎 问：“王欲发兵罪名明白 使使召彭越并力击楚 出代郡； 汉三年 献之於纣 举音不尽其哀 其校吏有功为侯者凡六人 硃弦而疏越 骠骑所将常选 以求见
孟尝君 皆若是 吾无罪 ”番吾君曰：“牛畜、荀欣、徐越皆可 虚、危 中山献四邑和 初 赐爵一级 上大说之 尚善饭 代曰：“君何患於是 事必危 於是孙子使使报王曰：“兵既整齐 言曰：“子得君 房、心 禹袒裸国 齐使章子 爱之 周武王同母少弟也 ”吕禄信然其计 女登帝位 後坐
椭圆及其标准方程
第一节 椭圆1．椭圆的定义(1) 第一定义：|)|2(2||||2121F F a a PF PF >=+ （21,F F 为焦点，c F F 2||21=为焦距） 注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．（2）第二定义：)10(,||<<=e e dPF注：第二定义中焦点与准线应对应2．椭圆的标准方程（中心在原点，对称轴为坐标原点）(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+by ax ，其中( > >0，且=2a )(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+bx a y ，其中a ，b 满足： ．说明：（1）焦点在22,y x 分母大的对应的坐标轴上； （2）222c b a +=及c b a ,,的几何意义 （3）标准方程的统一形式：),0,0(122n m n m nymx≠>>=+适用于焦点位置未知的情形（4）参数方程：⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 3．椭圆的几何性质(对12222=+by ax ,a > b >0进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；(4)离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ．(5) 椭圆的准线方程为 ．【课前预习】1．若方程11322=-+-k ykx为焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是_______________2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是43，则此椭圆的标准方程是_____________3．若椭圆1222=+myx的离心率为21，则实数=m ______4．已知21,F F 为椭圆1422=+yx的左、右焦点，弦AB 过1F ，则AB F 2∆的周长为______85．已知椭圆121622yx+=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是椭圆上一点，N 是MF 1的中点，若6||2=MF ，则|ON|的长等于 .1 【例题讲解】例1：根据下列条件求椭圆方程（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P （3，0），求椭圆的方程； （2）中心在原点的椭圆，一条准线方程为5=y ，且它的离心率55=e ；（3）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为534和532，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；（4）中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，经过两点)2,3(),1,6(21--P P 小结：求椭圆的方法 例2：（1）椭圆1162522=+yx上一点P 到它的左焦点1F 的距离为6，则点P 到椭圆右准线的距离为_________（2）已知21,F F 是椭圆148:22=+yxC 的焦点，在C 上满足21PF PF ⊥的点P 的个数为________2小结：（3）椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，这个椭圆的方程是_________________1129,19122222=+=+yxyx（4）已知椭圆192522=+yx的焦点21,F F ，P 是椭圆上一点，9021=∠PF F ，则=∆21PF F S _______变式1： 6021=∠PF F ，则=∆21PF F S _______变式2：θ=∠21PF F ，则=∆21PF F S _______变式3：已知椭圆12222=+bya x的焦点21,F F ，椭圆上存在一点P ，使6021=∠PF F ，则离心率e 的取值范围是____________ 例3：关于离心率的运算（1）设椭圆的两个焦点分别为21,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点B A ,，若1ABF ∆为正三角形，则椭圆的离心率为_________ （2）在平面直角坐标系中，椭圆12222=+by ax (a ＞b ＞0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2c a 作圆的两切线互相垂直，则离心率e= .（3）在ABC ∆中，187cos ,-==B BC AB ，若以B A ,为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e=(4) 以椭圆12222=+by ax 的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则e 的取值范围是_______________1215<<-e小结： 例4：（最值问题） （1）设P 是椭圆1162522=+yx上任意一点，F A ,分别为椭圆的左顶点和右焦点，则AFPA PF PA ⋅+⋅41的最小值为________-9变式：P 为椭圆13422=+yx上任一点，A 为右顶点，B 为下顶点则AB PA ⋅最大值为________（2）椭圆1162522=+yx内有两点)0,3(),2,2(B A P 为椭圆上一动点则||35||PB PA +的最小值为____319变式：若)0,3(-C 则||||PC PA +最大值为__________510+例5：设椭圆()22221,0x y a b ab+=>>的左右焦点分别为12,F F，离心率2e =，点2F 到右准线为l 的距离为1）求,a b 的值；（2）设,M N 是l 上的两个动点，120F M F N ⋅=，证明：当M N 取最小值时，12220F F F M F N ++=。
椭圆的定义与标准方程
谢谢指导！
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得 了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
2013年12月2日凌晨，嫦娥三号月球探测器由长征 火箭发射升空，并准确送入地月转移轨道，正式开启 中国首次地外天体软着陆之旅。这是中国在深空探测 领域迈出的最新步伐。
压扁
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
((21))因因||MMFF11||++||MMFF22||==46=>||FF11FF22||==44，，故故点点MM的的轨轨迹迹不为是椭椭圆。 圆(是线段F1F2)。
(3)因|MF1|+|MF2|=3<|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆。
椭圆在坐标系下有什么样的方程？ y
o
x
椭圆标准方程的推导：
求椭圆的方程可分为哪几步？建立角坐标系设点坐标列等式
化简方程
所谓椭圆的标准方程，指的就是 焦点在坐标轴上，且两焦点的中点 为坐标原点得到的方程.
椭圆标准方程的推导：
取焦点F1、F2 所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直 平分线为y轴，建立直角坐标系。
设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c>0)， 椭圆上的点与两个定点F1，F2的距离之和为 2a(a 0) ，
2.1.1椭圆的定义与标准方程
萧山三职 楼钦
圆锥曲线的由来
两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线， 并且获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼采用平 面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的 平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭 圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时， 得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿 波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲 线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
椭圆的定义及标准方程
1、椭圆的定义： 、椭圆的定义：
椭圆定义
平面内到两个定点 的距离之和等于常 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常 大于|F 椭圆。 数（大于 1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 ）的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点， 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 焦点 M 叫做椭圆的焦距。 叫做椭圆的焦距。 焦距
y x + 2 =1 2 a b
2
2
(a > b > 0 )
它也是椭圆 的标准方程。 的标准方程。
这样建立平面直角坐标系椭圆方程会是什 么样？ 么样？
y
M ( x, y )
F1 O F2
x
( x − c) y + 2 = 1 (a > b > 0 ) 2 a b
2 2
椭圆的标准方程
思考四: a、 思考四: a、b、c的几何意义
M
F1 F2
动画
椭圆的标准方程
2、椭圆的标准方程 、
怎样建立平面直角坐标系呢？ 怎样建立平面直角坐标系呢？
y
M ( x, y )
F1
O
F2
x
椭圆的标准方程
x y + 2 =1 2 a b
2
2
(a > b > 0)
y
M ( x, y )
F1
O
F2
x
这个方程叫做椭圆的标准方程， 这个方程叫做椭圆的标准方程， 椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在 轴上。 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。 焦点在x 如果椭圆的焦点在y 轴上， 如果椭圆的焦点在y 轴上，用类似的 方法，可得出它的方程为： 方法，可得出它的方程为：
2025年高考数学一轮复习-9.5.1-椭圆的定义及标准方程【课件】
预计2025年高考求椭圆的标准方程、直线与椭圆的交汇问题仍会
预测 出题,一般以解答题出现,求椭圆的离心率,考查比较灵活,一般以选择
题、填空题的形式出现.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.椭圆的定义
常数
把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于______(大于|F
1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
(3)
源自教材第113页例6.此题给出椭圆的另一种定义方式
[例1](1)如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在
2 2
+y =1
圆上运动时,则线段PD的中点M的轨迹方程为______________.
4
【解析】(1)设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),
(6)焦点三角形的周长为2(a+c).
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
题号
1
2
4
3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.
(
×
)
提示:(1)因为2a=|F1F2|=8,动点的轨迹是线段F1F2,不是椭圆;
(2)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.
(
×
)
提示:(2)由于2a<|F1F2|,动点不存在,因此轨迹不存在;
(3)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的
椭圆的定义、标准方程及其性质
椭圆的定义、标准方程及其性质[考纲传真]1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．【知识通关】1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝ca，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2 1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2＜1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.2．焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中：(1)当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc . (3)a －c ≤|PF 1|≤a ＋c .3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边长，a 2＝b 2＋c 2.4．已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . 5．椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝－b 2a 2，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． 【基础自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( ) (3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(4)关于x ，y 的方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为( )A ．(±3,0)B ．(0，±3)C ．(±9,0)D ．(0，±9)B3．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为( ) A .x 29＋y 2＝1 B .y 29＋x 25＝1 C .y 29＋x 2＝1 D .x 29＋y 25＝1 D4．若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是( ) A .5－12B .1＋52C .－1＋52D .－1±52C5．椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为________． 20【题型突破】椭圆的定义及其应用【例1】 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A .x 264－y 248＝1 B .x 248＋y 264＝1 C .x 248－y 264＝1 D .x 264＋y 248＝1 (2)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( ) A ．7 B .74 C .72D .752(1)D (2)C[方法总结] 1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等. 2.椭圆的定义式必须满足2a ＞|F 1F 2|.(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆(2)(2019·徐州模拟)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. (1)A (2)3椭圆的标准方程【例2】 (1)在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A .x 225＋y 29＝1(y ≠0) B .y 225＋x 29＝1(y ≠0) C .x 216＋y 29＝1(y ≠0) D .y 216＋x 29＝1(y ≠0) (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．(3)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．(1)A (2)y 210＋x 26＝1 (3)y 220＋x 24＝1[方法总结] (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a ＞|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )的形式.(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A .x 23＋y 22＝1 B .x 23＋y 2＝1 C .x 212＋y 28＝1 D .x 212＋y 24＝1 (2)椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为( ) A .x 22＋y 22＝1 B .x 22＋y 2＝1 C .x 24＋y 22＝1 D .y 24＋x 22＝1 (3)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________． (1)A (2)C (3)x 2＋32y 2＝1椭圆的几何性质►考法1 求离心率或范围【例3】 (1)(2019·深圳模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A .36B .13C .12D .33(2)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)(1)D (2)A►考法2 与椭圆几何性质有关的范围问题【例4】 (2019·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________． 4[方法总结] (1)求椭圆离心率的方法,①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.,②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路,求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.建立关于a 、b 、c 的方程或不等式.(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－32B ．2－ 3C .3－12D .3－1(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8(1)D (2)C【真题链接】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14D2．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34B。
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.注意：定义中的常数用2a表示，｜F1F2｜用2c表示，当2a＞2c＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c 时，轨迹为线段F1F2；当2a＜2c时，无轨迹.这样，椭圆轨迹一定要有2a＞2c这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便.2.椭圆的标准方程当焦点在x轴上时：+ =1(a＞b＞0)当焦点在y轴上时：+ =1(a＞b＞0)注意：(1)三个量之间的关系：a2=b2+c2(2)由x2,y2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x2的分母大，焦点就在x轴上，y2的分母大，焦点就在y轴上.(3)在方程Ax2+By2=C中，只有A、B、C同号时，才可能表示椭圆方程.(4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式.典型例题例1 求与椭圆+ =1共焦点，且过点M(3，-2)的椭圆方程.解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程+ =1得C2=9-4=5，且焦点在x轴上，设所求椭圆方程为+ =1又∵点M(3，-2)在椭圆上∴+ =1，得a4-18a2+45=0∴a2=15或a2=3＜5=C2(舍)∴所求椭圆方程为+ =1解法二：(定义法)椭圆两焦点为F1(- ，0)，F2( ，0)，点M(3，-2)到这两个焦点距离之和是2a，即2a=｜M1F1｜+｜M1F2｜= + =2∴a2=15 b2=a2-c2=15-5=10∴所求椭圆方程为+ =1例2 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1( ，1)，P2(- ，- )，求椭圆的方程.解：设椭圆方程为mx2+ny2=1,(m＞0，n＞0)由题意有解得m= ，n=∴所求椭圆方程为+ =1说明：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)可免讨论焦点的位置，而且计算简便.例3 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两个焦点为F1F2，且｜PF1｜= ，｜PF2｜=由椭圆定义知2a=｜PF1｜+｜PF2｜=2 ∴a=而｜PF1｜＞｜PF2｜知PF2与焦点所在的对称轴垂直.∴Rt△PF2F1中，sin∠PF1F2= =∴∠PF1F2=2C=｜PF1｜cos =∴b2=a2-c2=故所求方程为+ y2=1或x2+ =13.(代入法)与椭圆有关的轨迹问题：常用的方法有定义法，坐标转移法，交轨法，点差法. 例4 已知圆C1：x2+y2+4x-12=0与圆C2:x2+y2-4x=0，动圆C与C1相内切，且与C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程.解：圆C1与C2的标准方程是(x+2)2+y2=16，(x-2)2+y2=4圆心分别为C1(-2，0)，C2(2，0)设动圆P的圆心为P，半径为r，有｜PC1｜=4-r,｜PC2｜=2+r∴｜PC1｜+｜PC2｜=6＞｜C1C2｜=4∴P点在椭圆上运动，又2a=6，2c=4，∴b2=a2-c2=5∴P的轨迹为+ =1(在已知圆C1内)例5 已知MN是椭圆+ =1(a＞b＞0)中垂直于长轴的动弦，AB是椭圆长轴的两端点，求直线MA与NB的交点P的轨迹方程.解：设M、N的坐标为M(x0,y0)，N(x0,-y0)，又A(-a,0),B(a,0)所以直线AM的方程为y= (x+a) ①直线BN的方程为：y= ②①×②得：y2= (x2-a2) ③∵点M(x0,y0)在椭圆上，∴b2x20+a2y20=a2b2∴x20-a2=- y02,代入得③得：y2= (x2-a2)∴交点P的轨迹方程为- =1例6已知椭圆+y2=1(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程(2)过A(2，1)引椭圆的割线，求截得的弦中点轨迹方程(3)求过点P( ，)，且被P平分的弦所在的直线方程.解：(点差法)设弦的两端点分别为M(x1,y1)N(x2,y2)、MN的中点为P(x,y)，则x21+2y21=2，x22+2y22=2,两式相减弄除以(x2-x1)得：x1+x2+2(y1+y2) =0而x1+x2=2x,y1+y2=2y∴x+2y· =0 (*)(1)将=2代入(*)式得所求的轨迹方程为x+4y=0(椭圆内部分)(2)将= 代入(*)式，得所求的轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0(椭圆内部分)(3)将x1+x2=1,y1+y2=1代入(*)式，得=-∴所求的直线方程为2x+4y-3=0例7已知中心在原点，一焦点为F(0，)的椭圆被直线l:y=3x-2截得弦的中点横坐标为，求椭圆方程.解：∵C= ，∴a2=b2+50∴可设椭圆方程为+ =1把直线y=3x-2代入椭圆方程整理得10(b2+5)x2-12b2x-b4-46b2=0∴x1+x2=又∵=∴12b2=10b2+50解得b2=25 a2=75∴所求的椭圆方程为+ =1例8已知P为椭圆+ =1上的一点，F1F2是椭圆上的两焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积.解：∵= ｜PF1｜·｜PF2｜sin∠F1PF2∴只需求｜PF1｜·｜PF2｜即可又｜PF1｜+｜PF2｜=10｜PF1｜2+｜PF2｜2-2｜PF1｜·｜PF2｜cos60°=4C2=64解得｜PF1｜·｜PF2｜=12∴= ×12× =3例9已知方程2(k2-2)x2+k2y2+k2-k-6=0表示椭圆，求实数k的取值范围.解：结合椭圆的变形方程式a2y2+b2x2-a2b2=0从而有：2(k2-2)＞0 k＜- 或k＞k2≠0解得k≠0k2-k-6＜0 -2＜k＜32(k2-2)≠k2k≠±2∴k∈(-2，- )∪( ，2)∪(2，3)例10△ABC的三边a＞b＞c，且a+c=2b，｜AC｜=2,求顶点B的轨迹.解：以AC的中点为坐标原点建立坐标系，则A(-1，0)，C(1，0)，又a+c=2b=4由椭圆的定义知B点在椭圆上运动.∵a＞b＞c，且A、B、C三点不共线∴B点的轨迹方程是椭圆+ =1，在y轴左侧的部分，但要去掉点(-2，0)，(0，)，(0，- )核心知识1.椭圆+ =1(a＞b＞0)，范围：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里，即｜x｜≤a，｜y｜≤b.2.对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，即为椭圆的中心.3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0，b),B2(0,-b)4.离心率：e= ,(o＜e＜1),e越接近于1，则椭圆越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于圆.5.椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e＜1＝的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点，定直线为椭圆的准线.6.椭圆的焦半径公式：设P(x0,y0)是椭圆+ =1(a＞b＞0)上的任意一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则｜PF1｜=a+ex0,｜PF2｜=a-ex0.7.椭圆的参数方程典型例题例1 设直线l过点P(-1，0)，倾角为，求l被椭圆x2+2y2=4所截得的弦长.解：直线l的方程为y= x+ ，代入椭圆方程，得7x2+12x+2=0,∵△=144-4×7×2=88∴弦长= =例2 求椭圆+ =1上的点到直线3x+4y-64=0的最长距离与最短距离.解：设椭圆上的点为(5cosθ，9sinθ)，则d= ==∴d max=例3 已知椭圆+ =1内有一点P(1，-1)，F是右焦点，M是椭圆上的动点，求｜MP｜+2｜MF｜的最小值，并求此时M的坐标.解：过M作右准线x=4的垂线，垂足为M1，由椭圆第二定义，有= ∴2｜MF｜=｜MM1｜∴｜MP｜+2｜MF｜=｜MP｜+｜MM1｜过P作右准线的垂线交椭圆于N，垂足为N1，垂线方程为y=-1.显然｜MP｜+｜MM1｜≥｜NP｜+｜NN1｜(当M与N重合时等号成立)而｜NP｜+｜NN1｜=｜PN1｜=3由方程组得N( ，-1)∴｜MP｜+2｜MF｜的最小值是3，此时M的坐标是( ，-1)例4 P是椭圆方程为+ =1上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，试求｜PF1｜·｜PF2｜的取值范围.解：设｜PF1｜=t,则t∈［a-c,a+c］，即t∈［4- ，4+ ］且｜PF2｜=2a-t=8-t.∴｜PF1｜·｜PF2｜=t(8-t)=-(t-4)2+16 t∈［4- ，4+ ］当t=4时，取最大值为16当t=4± 时，取最小值为9.∴所求范围为［9，16］例5 F1、F2是椭圆的两个焦点，过F2作一条直线交椭圆于P、Q两点，使PF1⊥PQ，且｜PF1｜=｜PQ｜，求椭圆的离心率e.解：如下图，设｜PF1｜=t，则｜PQ｜=t，｜F1Q｜= t，由椭圆定义有：｜PF1｜+｜PF2｜=｜QF1｜+｜QF2｜=2a∴｜PF1｜+｜PQ｜+｜F1Q｜=4a 即( +2)t=2a,t=(4-2 )a∴｜PF2｜=2a-t=(2 -2)a在Rt△PF1F2中，｜F1F1｜2=(2c)2∴［(4-2 )a］2+［(2 -2)a］2=(2c)2∴=9-6 ∴e= = -双曲线1.双曲线的定义平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值是常数(大于零小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示.常数用2a表示.(1)若｜MF1｜-｜MF2｜=2a时，曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线.(2)若｜MF1｜-｜MF2｜=-2a时，曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1、F2为端点向外的两条射线.(4)若2a＞2c时，动点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程- =1(a＞0,b＞0)焦点在x轴上的双曲线；- =1(a＞0,b＞0)焦点在y轴上的双曲线.判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.典型例题例1 若方程+ =1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )A.-3＜m＜2或m＞3B.m＜-3或m＞3C.-2＜m＜3D.-3＜m＜3或m＞3分析该方程表示双曲线，则x2与y2项的系数的符号相反，即(2-m)(｜m｜-3)＜0，将问题转化为不等式的求解.答：A例2 求与椭圆+ =1共焦点，且过点(3 ，)的双曲线的方程.分析一由题意知所求双曲线的焦点在x轴上，且焦距为8，∴c=4,设所求双曲线方程为- =1代入点(3 ，)，得λ2=7，故所求双曲线方程为- =1.分析二运用与椭圆共焦点的曲线系方程.设所求双曲线方程为+ =1，代入点(3 ，)，得λ=16或λ=-7(舍)，故所求双曲线方程为- =1.例3 课本第108页习题8.3第一题：△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边所在直线的斜率之积是，求顶点A的轨迹.分析其顶点A的轨迹方程求得：- =1(x≠0).若将问题一般化：B(0，a)、C(0，-a)·k AB·k AC= ，则顶点A的轨迹方程为：- =1(x≠0).若B(bcotφ，acosφ)、C(-cotφ，-acscφ).k AB·k AC= ，则顶点A的轨迹会是怎样?反之，双曲线- =1(x≠0)上任一点到B(0，a)，C(0，-a)两点的连线的斜率之和，等于;若改变B、C的位置保持B、C两点关于原点对称于双曲线上，k AB·k AC是否成立.总之，同学们在学习过程中要多动手、多思考，举一反三，做到“以点代面，以少胜多”.例4一动圆与圆(x+3)2+y2＝1外切又与圆(x-3)2+y2＝9内切，求动圆圆心轨迹方程.分析如图，设动圆M与⊙O外切于A，与⊙O2内切于B，由位置关系可得数量关系：｜MO1｜＝｜MA｜+1 ｜MO2｜＝｜MB｜-3由｜MA｜＝｜MB｜可得｜MO1｜-｜MO2｜＝4由定义可知M点轨迹为双曲线的一支.解：如图，设动圆圆心M坐标为M(x,y)，圆M与圆O1外切于A，与圆O2内切于B，则，MO1＝｜MA｜+1，①｜MO2｜＝｜MB｜＝3②，①-②：｜MO1｜-｜MO2｜＝4由双曲线定义知，M点轨迹是以O1(-3，0)O2(3，0)为焦点2a＝4的双曲线的右支∴b2＝32-23＝5∴所求轨迹方程为：- ＝1(x≥2)说明：在求轨迹方程时，要注意使用曲线的定义，此时的思路：位置关系(内切，外切)数量关系(｜MO1｜＝r1+r0,｜MO2｜＝r-r2其中r为动圆半径曲线形状写出标准方程，可以简化运算.同时应注意定义中是到两定点距离的绝对值，此时不含绝对值，要求｜MO1｜>｜MO2｜，所以是双曲线的右支，而不是整个双曲线.例5过双曲线- ＝1的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB的中点C到右焦点F 的距离，并求弦AB的长.分析将直线方程与双曲线方程联立，求出A、B两点的坐标，再求其中点，由两点的距离公式求出｜CF｜.解：∵双曲线的右焦点为F(5，0)，直线AB的方程为y＝x-5，故16x2-9y2-144＝0 ①y＝x-5 ②消去y，并整理得7x2+90x-369＝0 ③此方程的两个根x1、x2是A、B两点的横坐标，设AB的中心点C的坐标为(x,y)，则x＝＝＝- .C点的坐标满足方程②，故y＝- -5＝-∴｜CF｜＝＝(5+ )＝又设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2)，则y1＝x1-5,y2＝x2-5.∴y1-y2＝x1-x2，｜AB｜＝＝＝＝由方程③知x1+x2＝- ,x1·x2＝-∴｜AB｜＝＝＝＝27点评：利用韦达定理及两点间距离公式求弦长核心知识1.双曲线- ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称。
01.椭圆的定义、标准方程(讲解1)
(ⅱ)具有某共同特征的椭圆求标准方程时，可根据它们的共同特征设出椭圆的标准方程，再根据其它条件确 定方程，如例 2(1)． (ⅲ)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤： ①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能； x² y² y² x² ②设方程：根据上述判断设方程a² ＋b² ＝1 (a＞b＞0)或a² ＋b² ＝1 (a＞b＞0)，当焦点位置不确定时，可设为 mx² ＋ny² ＝1 (m＞0，n＞0，m≠n)，如例 2(2)． ③找关系：根据已知条件，建立方程组； ④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．
1
椭圆的定义、标准方程
[讲解 1]
∴(PF1＋PF2)² －2PF1· PF2＝4c² ， ∴2PF1· PF2＝4a² －4c² ＝4b² ． 1 1 ∴S△PF1F2＝2PF1· PF2＝2×2b² ＝b² ＝9， ∴ b＝3．
∴PF1· PF2＝2b² ．
★考向 2 求椭圆的标准方程 〔例 2〕求满足下列条件的椭圆的标准方程： x² y² (1) 与椭圆 4 ＋ 3 ＝1 有相同的离心率且经过点(2,－ 3)； (2) 已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别为 5, 3，过 P 且与长轴垂直的直 线恰过椭圆的一个焦点； 3 5 (3) 经过两点(－2, 2)，( 3, 5)．
〔点拨〕本题主要考查椭圆标准方程的求法，解题的关键是正确选择椭圆标准方程的形式，利用待定系数 法求解．在求椭圆标准方程时应注意椭圆的焦点位置是否确定，焦点位置未确定的可设统一方程式分类讨 论，以免漏解． x² y² y² x² 〔解析〕(1)由题意，设所求椭圆的方程为 4 ＋ 3 ＝t1 或 4 ＋ 3 ＝t2 (t1, t2＞0)， (－ 3)² 2² 25 2² (－ 3)² ∵椭圆过点(2,－ 3)， ∴t1＝ 4 ＋ 3 ＝2，或 t2＝ 4 ＋ 3 ＝12． x² y² y² x² 故所求椭圆的方程为 8 ＋ 6 ＝1 或25＋25＝1． 3 4 x² y² y² x² (2)由于焦点的位置不确定，∴设所求椭圆的方程为 ＋ ＝1 (a＞b＞0)或 ＋ ＝1 (a＞b＞0)， a² b² a² b²
椭圆的定义和标准方程
1. 已知椭圆经过点P(3,0), 且a 3b, 求椭圆的标准方程。
变式训练
(2)当椭圆的焦点在y轴上时 y x 设方程为 2 2 1(a b 0) a b 9 1 y2 x2 2 则 b 得a 9, b 3, 1 81 9 a 3b x2 y2 x2 综合(1)( 2)得椭圆的标准方程为 y 2 1或 1 9 81 9
2
2
2
例 1 已知动点 P 到点 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) 的距离之 和为 12,求动点 P 的轨迹方程.
解:⑴由椭圆定义可知,动点 P 的轨迹是椭圆, 且焦点是 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) ,∴ c 2 . ∵ PF1 PF2 12 ,∴ 2a 12 ,∴ a 6 , ∴ b2 a 2 c 2 36 4 32 x2 y2 1. ∴所求的轨迹方程为 32 36
例 2 已知 B、C 是两个定点， BC 6 ，且△ABC 的周长 等于 16，求顶点 A 的轨迹方程.
解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(3,0), C (3,0) .
设顶点 A 的坐标为 ( x , y )
∵ AB AC BC 16 , ∴ BA CA 10 . x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 1 25 16 又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
2
o
M
x
F1
b a o c F2 x
F1
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
其中F1(-c,0)，F2(c,0)
b2=a2— c2 其中F1(0,-c)，F2(0,c) 共同点：椭圆的标准方程表示焦点在坐标轴上，中心 在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
椭圆的定义与标准方程
2
2 2
y
2
0
2
4 y 1
36
x (2)
2
2
y
2
1
2
16 x (4) 2
9 y 1
4
9y
2
9
课堂练习 练习2：
写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
（1） a 4 , b 1，焦点在x轴上； （2） a 4 , c
15 ，焦点在坐标上；
天体的运行
一.课题引入：
生 活 中 的 椭 圆
椭圆的画法
♦如何定义椭圆?
圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长
的点的轨迹叫圆.
椭圆的定义: 平面上到两个定点F1, F2的距离之
和等于常数(大于| F1F2 |)的点的轨迹叫作椭圆.
再思考
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
得方程
| PF 1 |
2
x ( y c ) , | PF 2 |
2 2
x ( y c)
2
2
x ( y c)
2
x ( y c) 2a
2 2
2 2 （问题：下面怎样化简？） ( x c ) 2 y 2 2 a 焦点在 x 轴 ( x c ) y
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
♦提出了问题就要试着解决问题. 怎么推导椭圆的标准方程呢？
♦ 求动点轨迹方程的一般步骤：
坐标法
椭圆知识点
椭圆知识清单1.椭圆的两种定义：①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a=时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|e dPF =，0＜e ＜1的常数}。
（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线）（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）.2 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。
其中22b a c-=（一个Rt 三角形）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。
其中22b a c -=注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c-=并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
4 一般方程：)0,0(122>>=+B A By Ax5.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）有以下性质： 坐标系下的性质：① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）；③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）；④椭圆的准线方程：对于12222=+b y a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线cx l 22:=对于12222=+b x a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线cy l 22:=焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称⑤焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。
椭圆的定义和标准方程
椭圆的定义和标准方程教学目标:1.理解椭圆定义2.掌握椭圆标准方程3.会求椭圆标准方程教学重点：定义法求标准方程，待定系数法求标准方程一、课前准备：1、椭圆的定义●在平面内到两定点F1,F2的距离的___等于_____（大于|F1F2| ）的点的轨迹叫椭圆。
●两个定点叫________●两焦点的距离叫______注意：●|PF1|+|PF2|=2a●|F1F2|=2c●2a> |F1F2|时，轨迹为椭圆●2a= |F1F2|时，轨迹为线段F1F2●2a< |F1F2|时，轨迹不存在二、典例探究例1、设定点F1 (0,-3),F2 (0,3),动点P(x,y)满足条件|PF1|+|PF2|=a(a>0)，则动点P的轨迹是( )● A.椭圆● B.线段● C.椭圆或线段或不存在● D.不存在变式训练1：若△ABC的两个顶点的坐标为A(-4，0)B(4，0), △ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是____________变式训练2：已知动圆M过定点A(-3,0)并且与定圆B:(x-3)2+y2=64相切，则动圆圆心M的轨迹方程是____________小结论：例2、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1,0），离心率为0.5，则C 的方程是 A. B. C. D.变式训练：则C 的方程是____________ A. B. C. D.小结论：当堂训练：14322=+y x 13422=+y x 12422=+y x 13422=+y x 33,,)0(1:212222离心率的左右焦点为已知椭圆F F b a b y a x C >>=+34,2周长两点，若于交的直线过ABC B A C l F∆12322=+y x 1322=+y x 181222=+y x 141222=+y x● 已知△ABC 的顶点B,C 在1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边BC 上，则△ABC 的周长是___________● 已知椭圆C )0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23 ，直线y=±x 与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程是____________三、巩固小结：1、掌握椭圆定义中定点、距离和、常数、大于几要素2、定义法和待定系数法求标准方程四：课后提升1. 椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.求椭圆C 的方程;2. 已知三角形ABC 三边|CB|,|AB| ,|CA|成等差数列，若A,B 的坐标分别为（-1,0）（1,0），求顶点C 的轨迹方程。
椭圆知识点总结
椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+,则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时,椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ,其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ,其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时, 才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中,都有)0(>>b a 和222b a c -=；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时,椭圆的焦点坐标为)0,(c ,)0,(c -； 当焦点在y 轴上时,椭圆的焦点坐标为),0(c ,),0(c -知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质1对称性：对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变,所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心; 2范围：椭圆上所有的点都位于直线a x±=和b y ±=所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足a x ≤,b y ≤;3顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点;②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为)0,(1a A -,)0,(2a A ,),0(1b B -,),0(2b B③线段21A A ,21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,a A A 221=,b B B 221=;a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长;4离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e 表示,记作ac a c e==22; ②因为)0(>>c a ,所以e 的取值范围是)10(<<e ;e 越接近1,则c 就越接近a ,从而22c a b -=越小,因此椭圆越扁；反之,e 越接近于0,c 就越接近0,从而b 越接近于a ,这时椭圆就越接近于圆; 当且仅当b a =时,0=c ,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为a y x=+22;注意：椭圆12222=+by a x 的图像中线段的几何特征如下图：1)2(21a PF PF =+；e PM PF PM PF ==2211；)2(221ca PM PM =+；2)(21a BF BF ==；)(21c OF OF ==；2221b a B A B A +==；3c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；知识点四：椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点)0,(1c F -,)0,(2c F ),0(1c F -,),0(2c F焦距c F F 221= c F F 221= 范围a x ≤,b y ≤b x ≤,a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±,),0(b ±),0(a ±,)0,(b ±轴长长轴长=a 2,短轴长=b 2离心率)10(<<=e ace 准线方程ca x 2±= ca y 2±=焦半径01ex a PF +=,02ex a PF -= 01ey a PF +=,02ey a PF -=注意：椭圆12222=+b y a x ,12222=+bx a y )0(>>b a 的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有)0(>>b a 和)10(<<=e ace ,222c b a +=；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同;规律方法： 1．如何确定椭圆的标准方程任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴;当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式;此时,椭圆焦点在坐标轴上;确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,；一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型;2．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义椭圆标准方程中,c b a ,,三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的;分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为：)0(>>b a ,)0(>>c a ,且)(222c b a +=;可借助右图理解记忆：直显然：c b a ,,恰构成一个直角三角形的三条边,其中a 是斜边,b 、c 为两条角边;3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是：看2x ,2y 的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上;4．方程均不为零）C B A C By Ax ,,(22=+是表示椭圆的条件方程C By Ax =+22可化为122=+CBy C Ax ,即122=+BC By A C x ,所以只有A 、B 、C 同号,且A ≠B 时,方程表示椭圆;当B C A C >时,椭圆的焦点在x 轴上；当BCA C <时,椭圆的焦点在y 轴上; 5．求椭圆标准方程的常用方法： ①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数c b a ,,的值;其主要步骤是“先定型,再定量”；②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程; 6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点,则c 相同;与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为12222=+++mb y m a x )(2b m ->,此类问题常用待定系数法求解;7．判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据：① 若把曲线方程中的x 换成x -,方程不变,则曲线关于y 轴对称； ② 若把曲线方程中的y 换成y -,方程不变,则曲线关于x 轴对称；③ 若把曲线方程中的x 、y 同时换成x -、y -,方程不变,则曲线关于原点对称; 8．如何求解与焦点三角形△PF 1F 2P 为椭圆上的点有关的计算问题思路分析：与焦点三角形△PF 1F 2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理或勾股定理、三角形面积公式2121sin 2121PF F PF PF S F PF ∠⨯⨯=∆相结合的方法进行计算解题; 将有关线段2121F F PF PF 、、,有关角21PF F ∠ 21PF F ∠≤21BF F ∠结合起来,建立21PF PF +、21PF PF ⨯之间的关系.9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化;离心率)10(<<=e ace ,因为222b a c -=,0>>c a ,用b a 、表示为)10()(12<<-=e ab e ;显然：当a b 越小时,)10(<<e e 越大,椭圆形状越扁；当ab越大,)10(<<e e 越小,椭圆形状越趋近于圆;1、椭圆的定义1平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数大于|F 1 F 2|的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距;2一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ,那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数e 就是离心率2、椭圆的标准方程3、椭圆的参数方程)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x4、离心率: 椭圆焦距与长轴长之比a c e =⇒2)(1abe -= 10<<e 椭圆的准线方程左准线ca x l 21:-= 右准线c a x l 22:=二、椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式：左焦半径01ex a r += 右焦半径02ex a r -= 其中e 是离心率 焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=0201ey a MF ey a MF其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点 三、直线与椭圆问题韦达定理的运用1、弦长公式：若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点,),(),,2211y x B y x A （则 弦长221221)()(y y x x AB -+-=221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+=2122124)(1x x x x k -++=例1. 已知椭圆及直线y ＝x ＋m;1当直线和椭圆有公共点时,求实数m 的取值范围；2求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程;2、已知弦AB 的中点,研究AB 的斜率和方程AB 是椭圆错误!＋错误!＝1a >b >0的一条弦,中点M 坐标为x 0,y 0, 则AB 的斜率为－错误!.运用点差法求AB 的斜率,设Ax 1,y 1,Bx 2,y 2．A 、B 都在椭圆上,∴错误!两式相减得错误!＋错误!＝0,∴错误!＋错误!＝0, 即错误!＝－错误!＝－错误!.故k AB ＝－错误!.例、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦,使弦被M 点平分,求这条弦所在直线的方程;四、四种题型与三种方法四种题型1：已知椭圆C ：1162522=+y x 内有一点A 2,1,F 是椭圆C 的左焦点,P 为椭圆C 上的动点,求｜PA ｜+35｜PF ｜的最小值;2： 已知椭圆1162522=+y x 内有一点A 2,1,F 为椭圆的左焦点,P 是椭圆上动点,求｜PA ｜+｜PF |的最大值与最小值;3：已知椭圆1162522=+y x 外一点A 5,6,l 为椭圆的左准线,P 为椭圆上动点,点P 到l 的距离为d ,求|PA |+d 53的最小值;4：定长为d a b d 22≥的线段AB 的两个端点分别在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上移动,求AB 的中点M 到椭圆右准线的最短距离;三种方法1：椭圆22221x y a b+=的切线与两坐标轴分别交于A,B 两点, 求三角形OAB 的最小面积 ;2：已知椭圆221123x y +=和直线 l:x-y+9=0 ,在l 上取一点M ,经过点M 且以椭圆的焦点12,F F 为焦点作椭圆,求M 在何处时所作椭圆的长轴最短,并求此椭圆方程 ; 3：过椭圆2222x y +=的焦点的直线交椭圆A,B 两点 ,求AOB ∆面积的最大值 ;1.椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是 , 离心率是________,准线方程是_________. 2.已知F 1、F 2是椭圆191622=+y x 的两个焦点,过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点,则△MNF 2的周长为 A ．8B ．16C ．25D ．323.椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5,则P 到另一个焦点的距离为4.已知椭圆方程为1112022=+y x ,那么它的焦距是 31 D.315.如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是A.0,+∞B.0,2C.1,+∞D.0,16．设21,F F 为定点,|21F F |=6,动点M 满足6||||21=+MF MF ,则动点M 的轨迹是 A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 7.已知方程12-m x +my -22=1,表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围为 . 8.已知椭圆的两个焦点坐标是F 1-2,0,F 22,0,并且经过点P23,25-,则椭圆标准方程是__ ___ 9.过点A -1,-2且与椭圆19622=+y x 的两个焦点相同的椭圆标准方程是__ __ 10.过点P 3,-2,Q -23,1两点的椭圆标准方程是_ __ ___11.若椭圆19822=++y k x 的离心率是21,则k 的值等于 .12.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆错误!＋y 2＝1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是 .、F 2分别为椭圆22a x +22by =1的左、右焦点,点P 在椭圆上,△POF 2是面积为3的正三角形,则b 2的值是 14.设M 是椭圆1162522=+y x 上一点,F 1、F 2为焦点,621π=∠MF F ,则=∆21F MF S15.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为A 2B 22C 21D 4216.设11229(,),(4,),(,)5A x y B C x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点,则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的A 充要条件B 必要不充分条件C 充分不必要条件D 既非充分也非必要17.如图,把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点,F 是椭圆的一个焦点,则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=; ;18、已知定点Aa,0,其中30<<a ,它到椭圆14922=+y x 上的点的距离的最小值为1,求a 的值;19、已知F 1､F 2是椭圆22110064x y +=的两个焦点,P 是椭圆上任一点. 1若∠F 1PF 2=3π,求△F 1PF 2的面积; 2求|PF 1|·|PF 2|的最大值;。
椭圆的定义与标准方程
先移项再平方化简可得：
x2 y2 2 1(a b 0). 2 a b
2、椭圆的标准方程
Y
M M F1 (-c,0)
2 2
Y F2(0 , c)
O
F2 (c,0)
X
2
O
F1(0,-c)
X
x y 2 1(a b 0) 2 a b
y x 2 1(a b 0) 2 a b
2
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（3）椭圆的标准方程中，分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。
3、典例分析
2 2 x y 例1.已知椭圆方程为 1 , 25 16 则(1)a= 5 , b= 4 , c= 3 ;
(2)焦点在 x 轴上,其焦点坐标为 (-3,0)、(3,0)
,
焦距为 6 。
2 2 x y (3)若椭圆方程为 1 , 演练 加深理解
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（- 4，0）、（4，0）， 椭圆上一点到两焦点距离的和等于10； （2）两个焦点的坐标分别是（0， - 2）、（0，2）， 3 5 并且椭圆经过点（- ，）. 2 2
M
F1
F2
探究2：怎样推导椭圆的标准方程呢？
♦ 回顾求动点轨迹方程的一般步骤：
1、建立适当的坐标系，用有序实数对 （x,y）表示曲线上任意一点M的坐标； 2、写出适合条件 P（M）； 3、列出方程； 4、化方程为最简形式； 5、检验。
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y
y M
M
F2
x
O
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考点95 椭圆的定义与标准方程
一、课本基础提炼
1. 椭圆的定义
把平面内与两定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：|PF1|+|PF2|=2a(2a＞|F1F2|).
注意：
(1)当2a=|F1F2|时，轨迹是线段F1F2. (2)当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程为；焦点在y轴上的椭圆的标准方程
为.给定椭圆，要根据m,n的大小判定焦点在那个坐标轴上，焦点在分母大的那个坐标轴上.
(2)椭圆中a,b,c的关系为：a2=b2+c2.
二、二级结论必备
1. 在求椭圆方程时，若椭圆的焦点位置不定，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上，也可设椭圆方程Ax2+By2=1(A＞0,B＞0)，可避免分类讨论和繁琐的计算.
2.若A,F1,F2分别为椭圆的左顶点、左焦点、右焦点，P是椭圆上的动点，则|PF1|min=|AF1|=a-c，|PF1|max=|AF2|=a+c.
3.过椭圆的焦点作长轴的垂线交椭圆与P,Q，则|PQ|叫椭圆的通径，.
1．椭圆定义的应用
1.1利用椭圆定义求椭圆标准方程
若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之和为常数（常数大于两点之间的距离），符合椭圆的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为长轴长的椭圆，从而求出椭圆方程中的参数，写出椭圆的标准方程.
例1.已知△ABC中，C（-1，0），B（1，0），sinB+sinC=3sinA，求顶点A的轨迹方程. 【解析】由正弦定理及sinB+sinC=3sinA，得|AC|+|AB|=3|BC|＞|BC|由椭圆的定义知顶点A 的轨迹是以C、B为焦点，长轴长为6的椭圆（去掉B,C两点），∴c=1,a=3，∴b2=a2-c2=8∴顶
点A的轨迹方程为.
1.2利用椭圆定义解焦点三角形问题
利用椭圆的定义可以将椭圆上一点到两焦点的距离进行转化，对椭圆上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用椭圆的定义与正弦、余弦定理去处理.
例2.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，求椭圆的离心率.
【解析】由△ABF2是正三角形，得△AF1F2是∠AF2F1为的直角三角形，设|AF1|=m，则
|AF2|=2m，则，由椭圆的定义知，|AF1|+|AF2|=2a=3m，则. 【点评】本题考查了椭圆的定义与椭圆性质，对焦点三角形问题，常用到第一定义.
2.椭圆的标准方程
2.1求椭圆标准方程
求椭圆标准方程常用待定系数法，其步骤一般分三步完成，①定性，确定它是椭圆；②定位，判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量，建立关于基本量a,b,c,e的关系式，解出参数即可求出椭圆的标准方程.若椭圆的焦点位置不定，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上，也可设椭圆方程为Ax2+By2=1(A＞0,B＞0)，可避免分类讨论和繁琐的计算.
例3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是()
【解析】右焦点为F(1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c=1.又离心率为，故
a=2，b2=a2-c2=4-1=3，故椭圆的方程为.
2.2椭圆标准方程的应用.
根据椭圆的标准方程的特征可以判断椭圆中参数的范围，根据椭圆的标准方程可以确定椭圆中的参数a,b值，进而求出c，根据标准方程可以确定焦点的位置，求出焦点坐标.
例4.若方程表示椭圆，则k的取值范围是______．【答案】(3，4)∪(4，5)
考点95 椭圆的定义与标准方程
1.已知椭圆(m＞0)的左焦点为F1(-4,0)，则m=（）
A．9B．4C．3D．2
2.【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=()
A.3
B.6
C.9
D.12 【答案】B
3.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过点F2作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，则
△F1AB的周长为______．【答案】8
4.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为______. 【答案】
5.【2015高考重庆，理21】如图，椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的
直线交椭圆于P,Q两点，且PQ⊥PF1
(1)若，求椭圆的标准方程
(2)若|PF1|=|PQ|求椭圆的离心率e.
【查看答案】
【解析】
(1)由椭圆的定义，，故a=2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此
故所求椭圆的标准方程为.
(2)设点P(x0,y0)在椭圆上，且PF1⊥PF2，则x02+y02=c2.求得
由|PF1|=|PQ|＞|PF2|,得x0＞0,从而
由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，有
|QF1|=4a-2|PF1|又由PF1⊥PF2，|PF1|=|PQ|知，因此
1. 已知椭圆的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C 于A、B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为（）
【答案】A．
2.设F1,F2为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则
的值为（）
【答案】C
3.方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）
A.(4,+∞)
B.(4,7)
C.(7,10)
D.(4,10) 【答案】C
4.设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A,B两点，若|AF1|=3|BF1|,AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为______. 【答案】
5.【2015高考安徽，理20】设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0,b)，点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为
.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0,-b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程. 【解析】
(1)由题设条件知，点M的坐标为
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为，点N的坐标为
，设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且k NS•k AB=-1,从而有解得b=3，所以，故椭圆E的方程为.
1.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且|AB|=3,则C的方程为（）
【答案】C
【解析】
如图，|F1F2|=2，由椭圆定义得.①在Rt△AF1F2中，.②由
①②得a=2，∴b2=a2-c2=3.∴椭圆C的方程为.应选C.
2.已知椭圆的右焦点为F，离心率为，过原点O且倾斜角为的直线l与椭圆E相交于A、B两点，若△AFB的周长为，则椭圆方程为______．
【答案】
3.已知椭圆，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，
B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=______. 【答案】12
【解析】
如图所示，由已知条件得，点F1,F2分布是椭圆的左、右焦点，且F1,F2，K分别
是线段MB,MA,MN的中点，则在△NBM和△NAM中，|NB|=2|KF1|，|NA|=2|KF2|，又由椭圆定义得，|KF1|+|KF2|=2a=6，故|AN|+|BN|=2(|KF1|+|KF2|)=12．。