乐学教育_导数综合练习题

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人教版导数及其应用多选题综合模拟测评学能测试

人教版导数及其应用多选题综合模拟测评学能测试一、导数及其应用多选题1．已知函数()f x 对于任意x ∈R ，均满足()()2f x f x =-.当1x ≤时()ln ,01,0x x x f x e x <≤⎧=⎨≤⎩，若函数()()2g x m x f x =--，下列结论正确的为（）A ．若0m <，则()g x 恰有两个零点B ．若32m e <<，则()g x 有三个零点 C ．若302m <≤，则()g x 恰有四个零点 D ．不存在m 使得()g x 恰有四个零点【答案】ABC 【分析】设()2h x m x =-，作出函数()g x 的图象，求出直线2y mx =-与曲线()ln 01y x x =<<相切以及直线2y mx =-过点()2,1A 时对应的实数m 的值，数形结合可判断各选项的正误. 【详解】由()()2f x f x =-可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 令()0g x =，即()2m x f x -=，作出函数()f x 的图象如下图所示：令()2h x m x =-，则函数()g x 的零点个数为函数()f x 、()h x 的图象的交点个数，()h x 的定义域为R ，且()()22h x m x m x h x -=--=-=，则函数()h x 为偶函数，且函数()h x 的图象恒过定点()0,2-，当函数()h x 的图象过点()2,1A 时，有()2221h m =-=，解得32m =. 过点()0,2-作函数()ln 01y x x =<<的图象的切线，设切点为()00,ln x x ，对函数ln y x =求导得1y x'=，所以，函数ln y x =的图象在点()00,ln x x 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，切线过点()0,2-，所以，02ln 1x --=-，解得01x e=，则切线斜率为e ，即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确；若函数()g x 恰有三个零点，由图可得32m e <<，B 选项正确；若函数()g x 恰有四个零点，由图可得302m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.2．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+，则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.3．已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（）A ．()f x 在1,上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D ．若163a =，则()f x 只有一个零点【答案】ACD 【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163a =代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则212401a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >，当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误；因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++- 1112111ln 1ln 22a a a a a a a a⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭，易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数，则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--，所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确；当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34，则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>，所以()f x 只有一个零点，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点： ①切点坐标满足原曲线方程； ②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.4．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值，又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点，当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭，当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞，当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点；当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点，综上可知ABD 正确，C 错误．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．5．已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（） A ．当0k >时，有3个零点 B ．当0k <时，有2个零点 C ．当0k >时，有4个零点 D ．当0k <时，有1个零点【答案】CD 【分析】令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点．故选：CD ．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．6．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（） A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立 D ．2ln a a b be e-<恒成立【答案】AD 【分析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误.【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b 设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b += 此时1+→a b ，故A 错误. B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2xf x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确C. ()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a bb a，C 正确D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =； min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e；所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误.故选：AD 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.7．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=，对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误；对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t f g θθ=+，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.8．（多选题）已知函数31()1x x xe x f x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是（）A ．点(0,0)是函数()f x 的零点B ．12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >C ．函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣D ．若关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】BC 【分析】根据零点的定义可判断A ；利用导数判断出函数在()0,1、()1,3上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B ；利用导数求出函数的最值即可判断C ；利用导数求出函数的最值即可判断D. 【详解】对于选项A ，0是函数()f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误. 对于选项B ，当1x <时，()(1)xf x x e '=+，可得，当1x <-时，()f x 单调递减；当11x -<<时，()f x 单调递增；所以，当01x <<时， 0()<<f x e ，当1x >时，4(3)()x e x f x x -'=，当13x <<时，()f x 单调递减；当3x >时，()f x 单调递增；()y f x =图像所以，当13x <<时， 3()27e f x e << ，综上可得，选项B 正确；对于选项C ，min 1()(1)f x f e=-=-，选项C 正确. 对于选项D ，关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，22,1(),1x xx e x g x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩当1x <时，/2()(2)=+xg x e x x ，当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：x2x <-2-20x -<<0 01x << /()g x +-+()g x极大值极小值极大值2(2)g e -=，极小值(0)0g =，当1≥x 时，3(2)'()e x g x x-= 当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下： x 112x <<2 2x >/()g x-+()g xe极小值极小值(2)4e g =，()y g x =图像综上可得，22424<<e a e 或2a e >，a的取值范围是222e e,(,)e82⎛⎫+∞⎪⎝⎭，D不正确.故选：BC【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.。

2023年人教版数学导数基础练习题及答案

2023年人教版数学导数基础练习题及答案（正文）在2023年人教版数学教材中，导数是数学中重要的基础概念之一。

为了帮助学生更好地理解和掌握导数的概念和应用，教材中提供了一系列的基础练习题及答案。

本文将为大家呈现部分2023年人教版数学导数基础练习题及答案。

练习题1：已知函数f(x)=3x²-2x+1，求f(x)的导函数f'(x)。

解答：导数的求法主要是运用导数的基本公式，对函数中的各项进行求导。

f'(x)=d(3x²)/dx - d(2x)/dx + d(1)/dx=6x - 2练习题2：已知函数y=x⁴-2x³+x²，求x=2时的切线方程。

解答：根据导数的定义，切线的斜率等于函数在该点的导数值。

因此，要求得切线方程，需要先求得函数在x=2时的导数值，然后再带入切点坐标即可。

y' = d(x⁴)/dx - d(2x³)/dx + d(x²)/dx= 4x³ - 6x² + 2x将x=2代入导数表达式，得到斜率k：k = 4(2)³ - 6(2)² + 2(2)= 16 - 24 + 4= -4切点坐标已知为(2, f(2))，将x=2代入函数表达式，得到切点的纵坐标：f(2) = (2)⁴ - 2(2)³ + (2)²= 16 - 16 + 4= 4由切点坐标和斜率可以得到切线方程y-y₁=k(x-x₁)，将值代入：y-4=-4(x-2)练习题3：求函数f(x)=x³-3x²+2x-5的驻点和拐点。

解答：驻点的求法主要是通过求导数，令导函数f'(x)的值为0，然后求得对应的x值。

拐点的求法则是通过求二阶导数，令二阶导函数f''(x)的值为0，然后求得对应的x值。

首先，求导函数f'(x)：f'(x) = d(x³)/dx - d(3x²)/dx + d(2x)/dx - d(5)/dx= 3x² - 6x + 2然后，令导函数f'(x)为0，解方程得到驻点x：3x² - 6x + 2 = 0利用求根公式，可以求得两个解：x₁ = (6 + √(6²-4×3×2))/(2×3) ≈ 2.732x₂ = (6 - √(6²-4×3×2))/(2×3) ≈ 0.268接着，求二阶导函数f''(x)：f''(x) = d(3x²)/dx - d(6x)/dx + d(2)/dx= 6x - 6将x₁和x₂代入二阶导函数，解方程得到拐点x：6x - 6 = 0x = 1综上所述，函数f(x)=x³-3x²+2x-5的驻点分别为x₁≈2.732和x₂≈0.268，拐点为x=1。

导数的综合应用答案

1专题三导数及其应用第八讲导数的综合应用答案部分 2019 年1.解析当 x =1 时， f (1) =1- 2a + 2a = 1 > 0 恒成立；当 x <1时， f (x ) = x 2- 2ax + 2a 厖0 ⇔ 2ax 2 x - 1恒成立，x 2 x 2(1 - x -1)2(1 - x )2-2 (1 - x ) +1令 g (x )=x -1 = - 1- x= - 1- x= -1- x=-(1- x ) + 1 1- x-⎛ 2(1 - x ) ⋅ 11- x ⎫ - 2 ⎪ = 0 ，⎝⎭所以 2a …g ( x )max = 0 ，即a > 0 ．当 x >1 时， f (x )= x - a ln x 厔0 ⇔ ax ln x恒成立，令 h (x ) = x，则 h '( x ) =ln x ln x - x ⋅ 1x (ln x )2= ln x -1 ， (ln x )2当 x > e 时， h '( x ) > 0 ， h (x )递增，当1 < x < e 时， h '( x ) < 0， h (x )递减，所以当 x = e 时， h (x )取得最小值h (e )= e . 所以a … h (x )min = e .综上， a 的取值范围是[0, e ]．2.解析（1） f '(x ) = 6x 2- 2ax = 2x (3x -a ) ．令 f '(x ) = 0 ，得 x =0 或x = a.3若 a >0，则当x∈(-∞, 0) ⎛ a , +∞ ⎫ 时，f '(x ) > 0 ；当 x ∈⎛ 0, a ⎫时， f '(x ) < 0 ．故 f (x ) 3 ⎪ 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭在(-∞, 0), ⎛ a , +∞ ⎫ 单调递增，在⎛ 0, a ⎫单调递减； 3 ⎪ 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭3若 a =0， f (x ) 在(-∞, +∞) 单调递增；若a <0，则当x ∈⎛-∞, a ⎫ (0, +∞) 时，f '(x ) > 0 ；当x ∈⎛ a , 0⎫时， f '(x ) < 0 ．故 f (x ) 3 ⎪ 3 ⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭在⎛ -∞,a ⎫ , (0, +∞) 单调递增，在⎛ a , 0⎫单调递减. 3 ⎪ 3 ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭（2）满足题设条件的 a ，b 存在.（i ）当a ≤0 时，由（1）知，f (x ) 在[0，1]单调递增，所以 f (x ) 在区间[0，l]的最小值为 f (0)=b ，最大值为 f (1) = 2 - a + b .此时 a ，b 满足题设条件当且仅当b = -1 ，2 - a + b =1 ，即 a =0，b = -1 ．（ii ）当 a ≥3 时，由（1）知， f (x ) 在[0，1]单调递减，所以 f (x ) 在区间[0，1]的最大值为f (0)=b ，最小值为 f (1) = 2 - a + b ．此时a ，b 满足题设条件当且仅当 2 - a + b = -1 ，b =1，即 a =4，b =1．f (x )f ⎛ a ⎫= - a 3+ b （iii ）当 0<a <3 时，由（1）知，或2 - a + b ．在[0，1]的最小值为 ⎪ ⎝ ⎭27 ，最大值为 b- a 327 + b = -1 ，b =1，则 a = 33 2 ，与 0<a <3 矛盾.- a 327 + b = -1 ，2 - a + b =1，则 a = 3 3 或 a = -3 3 或 a =0，与 0<a <3 矛盾．综上，当且仅当 a =0，b = -1 或 a =4 ，b =1 时， f (x ) 在[0，1]的最小值为–1，最大值为 1． 3.解析：（Ⅰ）当a = - 3 时， f ( x ) = - 3ln x + 1 + x , x > 0 ．4 4f ' (x ) = - 3+ 1 = ( 1+ x - 2)(2 1+ x + 1) ，4x 2 1+ x 4 x 1+ x所以，函数 f (x ) 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+ ∞ ）．（Ⅱ）由 f (1) ≤ 1 2a，得0 < a ≤2 ．4当0 < a ≤2 时， f ( x ) ≤x 等价于x - 2 1+ x- 2ln x ≥ 0 ． 42a令t = 1，则t ≥ 2 2 ．aa 2 a若若1 7 ⎭ ⎝ ⎭ ⎭设 g (t ) = t 2 x - 2t 1+ x - 2ln x ,t ≥ 2 2 ，则g (t ) ≥ g (2 2) = 8 x - 4 2 1+ x - 2ln x ．（i ）当x ∈⎡ 1 , +∞⎫时， 1 + ≤ 2 2 ，则⎢⎣ 7 ⎪xg (t ) ≥ g (2 2) = 8 x - 4 2 1+ x - 2ln x ．记 p (x ) = 4x - 2 2 1+ x - ln x , x ≥1，则7p' (x ) = 2-2- 1 =2 x x + 1 - 2 x - x + 1 .xx +1 x x x +1故x1 ( 1,1) 771 (1, +∞)p'(x )-+p (x )p ( 1 ) 7单调递减极小值 p (1)单调递增所以， p (x ) ≥ p (1) = 0 ．因此， g (t ) ≥ g (2 2) = 2 p (x ) ≥ 0 ．（ii ）当x ∈⎡ 1 , 1 ⎫时， g (t )…g ⎛ 1+ 1 ⎫ = -2 x ln x - (x + 1) ．⎢⎣ e 2 7 ⎪ x ⎪ 2 x⎭ ⎝ ⎭令q (x ) = 2 x ln x + (x +1), x ∈ ⎡ 1 , 1 ⎤ ，则q' (x ) =ln x + 2 +1 > 0 ， ⎢⎣ e 2 7⎥⎦x故 q (x ) 在⎡ 1 , 1⎤ 上单调递增，所以 q (x )… q ⎛ 1 ⎫ ．⎢⎣ e 2 7⎥⎦ ⎪由（i ）得q⎛ 1 ⎫= - 2 7 p ⎛ 1 ⎫< - 2 7 p (1) = 0 ． 7 ⎪ 7 7 ⎪ 7 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以，q (x )<0 ．因此 g (t )…g ⎛1+ 1 ⎫ = -q ( x )> 0．x ⎪ 2 x ⎝ ⎭由（i ）（ii ）得对任意 x ∈ ⎡ 1 , +∞⎫， t ∈[2 2, +∞), g (t )…0 ，⎢⎣e 2 ⎪⎭即对任意x ∈⎡ 1, +∞⎫，均有 f ( x )…x ． ⎢⎣e 2 ⎪ 2a 综上所述，所求a 的取值范围是⎛ 2 ⎤0, 4 ⎥ ⎝ ⎦4.解析：（1）设g (x ) = f '(x ) ，则g (x ) = cos x -11 + x， g' (x ) = - sin x +1 . (1+ x )2当 x ∈⎛-1,π ⎫时， g' (x )单调递减，而 g'(0) > 0, g'( π) < 0 ，2 ⎪2 ⎝ ⎭可得 g' (x ) 在⎛-1,π ⎫有唯一零点，设为α. 2 ⎪ ⎝⎭则当x ∈( -1,α) 时， g'(x ) > 0 ；当x ∈⎛α, π ⎫ 时， g'(x ) < 0 . 2 ⎪ ⎝ ⎭所以 g (x ) 在(-1,α) 单调递增，在 ⎛α, π ⎫ 单调递减，故 g (x ) 在⎛-1, π⎫ 存在唯一极2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭大值点，即 f '(x ) 在⎛-1, π⎫ 存在唯一极大值点.2 ⎪ ⎝ ⎭（2） f (x ) 的定义域为(-1, +∞) .（i ）当x ∈ (-1, 0] 时，由（1）知， f '(x ) 在( -1,0) 单调递增，而 f '(0) = 0 ，所以当x ∈ (-1, 0) 时， f '(x ) < 0 ，故 f (x ) 在( -1,0) 单调递减，又 f (0)=0 ，从而x = 0 是f (x ) 在(-1, 0] 的唯一零点.（ii ）当 x ∈⎛0, π⎤ 时，由（1）知， f '(x ) 在(0,α) 单调递增，在⎛α, π⎫ 单调递减，2⎥ 2 ⎪ ⎝ ⎦ ⎝ ⎭而 f '(0)=0 f '⎛ π ⎫ < 0 ，所以存在β∈ ⎛α, π ⎫，使得 f '(β) = 0 ，且当x ∈(0,β) 时，， 2 ⎪2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭f '(x ) > 0 ；当 x ∈⎛ β, π ⎫时， f '(x ) < 0 .故 f (x ) 在(0,β) 单调递增，在⎛ β, π⎫ 单调2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 递减.又 f (0)=0 ， f ⎛ π ⎫ =1 -ln ⎛1 + π ⎫ >0 ，所以当 x ∈⎛0, π⎤时， f (x ) > 0 .2 ⎪ 2 ⎪ 2⎥从而 f (x ) ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎦ 在⎛0, π⎤没有零点.2⎥ ⎝ ⎦（iii ）当x ∈⎛ π , π⎤ 时， f '(x ) < 0 ，所以 f (x ) 在⎛ π, π⎫ 单调递减.而f ⎛ π⎫ > 0 ，2 ⎥ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎦ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭f (π) < 0 ，所以 f (x ) 在⎛ π, π⎤有唯一零点.2 ⎥ ⎝ ⎦（iv ）当x ∈(π, +∞) 时，ln(x +1) > 1 ，所以 f (x ) <0，从而 f (x ) 在(π, +∞) 没有零点. 综上， f (x ) 有且仅有2个零点.5.解析：（1）f （x ）的定义域为(0,1) (1, +∞) .因为 f '(x ) = 1+x 1( x -1) 2> 0，所以 f (x ) 在（0，1），（1，+∞）单调递增．f e =1- e +1< 0f (e 2) = 2 - e 2 +1 = e 2 - 3> 0因为（），e - 1 ，e 2 -1 e 2-1所以 f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即 f （x 1 ）=0．又0 <1 <1， f ( 1) = -ln x + x 1 +1 = - f ( x ) = 0 ， x x 1x -1 1111故 f （x ）在（0，1）有唯一零点 1．x 1综上，f （x ）有且仅有两个零点．（2）因为 1 x 0 = e - ln x 0，故点 B （–ln x 0， 1 x 0）在曲线 y =e x 上．由题设知 f (x ) = 0 ，即ln x = x 0 +1 ，1- ln xx 0 -11 - x 0 + 1 故直线 AB 的斜率k = x 0= x 0 x 0 -1 = 1 ．- ln x 0 - x 0 - x 0 +1 - x x 0x 0 -1 0所以 f (x ) 的极小值为 f (1) = (1- 3)(1+ 3)2= -32 ．（3）因为 a = 0, c = 1，所以 f (x ) = x (x - b )(x -1) = x 3 - (b + 1)x 2+ bx ，f ' (x ) = 3x 2 - 2(b + 1)x + b ．因为0 < b ≤ 1 ，所以∆= 4(b + 1)2- 12b = (2b - 1)2+ 3> 0 ，则 f '(x )有2个不同的零点，设为 x 1 , x 2 (x 1 < x 2 ) ．曲线 y =e x 在点B ( -ln x 0 , 1) 处切线的斜率是 1 ，曲线 y = ln x 在点A ( x , ln x ) 处切线的x 0 x 00 0 斜率也是 x ，1所以曲线y = ln x 在点A ( x 0, ln x 0 )处的切线也是曲线y =e x 的切线．6.解析（1）因为a = b = c ，所以 f (x ) = (x - a )(x - b )( x - c ) = (x -a )3 ．因为 f (4) = 8 ，所以 (4 - a ) 3 = 8 ，解得a = 2 ．（2）因为b = c ，所以 f (x ) = (x - a )(x - b )2= x 3- (a + 2b )x 2+ b (2a + b ) x - ab 2，从而 f ' (x ) = 3(x - b ) x - ⎛2a +b ⎫．令 ⎝ 3 ⎪⎭f '(x ) = 0 ，得x = b 或x = 2 a + b 3 ．因为a ,b ,2a + b都在集合{-3,1, 3}中，且a ≠ b ， 3 所以 2 a + b= 1, a = 3, b = -3 ． 3此时 f (x ) = (x - 3)(x + 3)2， f '(x ) = 3(x + 3)(x -1) ．令 f '(x ) = 0 ，得x = -3 或 x =1 ．列表如下：xf '(x ) f (x )(-∞, -3)+-30 (-3,1)–10 (1, +∞)+极大值极小值1 1 13 ⎝ ⎭由 f '(x ) = 0 ，得x 1 = b +1- b 2 - b +1 3 , x 2 =b +1+ b 2 - b +13列表如下：x(-∞, x 1 )x 1(x 1, x 2 )x 2( x 2 , +∞)f '(x ) f (x )+0 –0 +极大值极小值所以 f (x ) 的极大值M = f (x 1) ．解法一： M = f ( x 1) = x 3 - (b +1)x 2+ bx⎛ x b +1 ⎫ 2 (b 2- b +1)b (b +1) = [3x 2 - 2(b +1) x 1 + b ] 1- ⎪ -x 1 + 1⎝ 3 9 ⎭9 9 -2(b 2 - b + 1)(b + 1) b (b +1) 2 3= + + 27 9 27b 2 - b + 1)= b (b +1) - 2(b -1)2 (b +1) + 2 (b (b - 1) + 1) 327 27 27≤ b (b +1) + 2 ≤4 ．因此M ≤ 4． 27 27 27 27解法二：因为0 < b ≤ 1 ，所以x 1 ∈ (0,1) ．当x ∈ (0,1) 时， f (x ) = x (x - b )(x -1) ≤ x (x -1)2．令 g (x ) = x ( x -1)2, x ∈ (0,1) ，则g'(x ) = 3⎛ x -1 ⎫( x -1) ．3 ⎪ ⎝ ⎭令g'(x ) = 0 ，得 x = 1．列表如下：3x(0, 1) 1 33(1 ,1) 3g' (x ) g (x ) +0 –极大值所以当 x = 1时， g (x ) 取得极大值，且是最大值，故g (x ) = g⎛ 1 ⎫ = 4 ．3max⎪． (27所以当x ∈(0,1) 时， f ( x) ≤g( x) ≤4，因此M ≤4．27 277.解析：（I）由f(x)=1x3-x2+x，得4f '( x) =3x2 -2x +1 ．4令 f '(x) =1 ，即3x2 -2x +1 =1 ，解得 x = 0 或x =8.4 3又 f (0) =0, f ( 8) =8,3 27所以曲线y =f (x) 的斜率为 1 的切线方程是 y =x 与y -8=x -8，即y =x 与y =x -64. 27（II）令g(x) =f (x) -x ， x ∈[-2, 4].由g (x) =1x3 -x2 得g '( x) =3x2 -2 x .27 3 4 4令g '( x) = 0 得x = 0 或x =8 .3g '( x), g(x) 随x 的变化情况如表所示x -2 (-2,0)0⎛0, 8⎫8 ⎛8, 4 ⎫43⎪ 3 3 ⎪⎝⎭⎝⎭g '(x)+ - +g(x)-6 Z 0 ]-64Z 0 27所以 g(x) 的最小值为-6，最大值为 0，所以-6 ≤g(x) ≤ 0 ，即 x - 6 ≤f (x) ≤x .（III）由（II）知，当a ≤-3 时，M (a)≥F (0)=g (0)-a =-a > 3；当a >-3 时， M (a)≥F (-2)=当a =-3 时， M (a)= 3.综上，当M (a )最小时， a =-3.g (-2)-a = 6 +a > 3 ；8. 解析（Ⅰ）由已知，有 f '( x) = e x (cos x - sin x). 因此，当x ∈⎛2kπ+π, 2k π+5π⎫(k ∈Z) 时，有sin x > cos x ，得f '(x)< 0，则f (x)单调递减；4 4 ⎪ ⎝⎭4 2⎪ 2 2 4 2 ⎪ 4 2 4 当 x ∈⎛ 2k π -3π , 2k π + π ⎫(k ∈ Z) 时，有sin x < cos x ，得 f ' (x ) > 0 ，则 f (x ) 单调递 4 4⎪ ⎝⎭增.所以， f (x )的单调递增区间为 ⎡2k π -3π, 2k π + π⎤(k ∈ Z), f ( x ) 的单调递减区间为⎡2k π + π , 2k π + 5π⎤ ⎢⎣(k ∈ Z ) .4 4 ⎥⎦⎣⎢ 4 4 ⎥⎦（Ⅱ）记h (x ) = f (x ) + g (x )⎛ π -x ⎫ .依题意及（Ⅰ），有g (x ) = e x(cos x - sin x ) ，从而 2 ⎪ ⎝ ⎭g '( x ) = -2e x sin x .当 x ∈⎛ π, π⎫ 时，g ' (x )< 0 ， ⎝ ⎭故h '(x ) = f '(x )+ g '(x )⎛ π - x ⎫+ g (x )(-1) = g '(x )⎛ π - x ⎫< 0.2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭因此，h (x )在区间⎡ π , π⎤ 上单调递减，进而 h (x )…h ⎛ π ⎫ = f ⎛ π ⎫= 0. ⎢⎣ 4 2 ⎥⎦ 所以，当x ∈⎡ π, π⎤ 时， f ( x ) + g ( x ) ⎛ π - x ⎫…0 .⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎢⎣ 4 2⎥⎦ 2 ⎪（Ⅲ）依题意，u (x n )= f ⎝ ⎭(x n )-1= 0 ，即e xn cos x n =1 .记 y n = x n - 2n π ，则 y n ∈⎛ π , π ⎫ ，⎝ ⎭且 f ( y n ) = e y n cos y n = e x n -2n π cos ( x n - 2n π) = e -2n π (n ∈N ). 由 f (y n ) = e -2n π… 1= f (y 0 ) 及（Ⅰ），得y n …y 0 . 由（ Ⅱ）知，当 x ∈⎛ π , π ⎫ 时， g '(x )< 0 ，所以 g (x ) 在⎡ π , π⎤上为减函数，因此 ⎪ ⎝ ⎭g ( y )… g ( y ) < g ⎛ π ⎫= 0.⎢⎣ 4 2 ⎥⎦ n 0 ⎪⎝ ⎭又由（Ⅱ）知， f ( y )+ g (y )⎛ π - y ⎫…0， nn2 n ⎪π f (y n ) ⎝ ⎭e -2n π e -2n πe -2n πe -2n π 故 2 - y n 剟- g (y ) = - g (y ) g (y ) = e y 0 (sin y -cos y ) <sin x -cos x .n nπ e -2 n π 0 0 0 0 0 所以，2n π + 2 - x n < sin x - cos x .2010-2018 年 1．A 【解析】∵ f '(x ) = [x 2 + (a + 2)x + a - 1]ex- 1，∵f '(-2) = 0 ，∴a = -1 ，所以 f ( x ) = ( x 2 - x -1)e x -1 ， f '(x ) = (x 2 + x - 2)e x -1，令 f '(x ) = 0 ，解得x = -2 或 x = 1 ，所以当x ∈(-∞, -2) ， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增；当 x ∈ (-2,1) 时， f '(x ) < 0， f (x ) 单调递减；当 x ∈ (1, +∞) ， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增，所以 f (x ) 的极小值为 f (1) = (1-1-1)e 1-1 = -1，选 A ．2．D 【解析】由导函数的图象可知，y = f (x ) 的单调性是减→ 增→ 减→ 增，排除 A 、C ；由导函数的图象可知， y = f (x ) 的极值点一负两正，所以 D 符合，选 D ．ln 4 ）上单调递增，在[ ln 4 ，2]上单调递减，又 f '(0) = -1< 0 ，f '(1 ) = 2- 2e > 0 ，f '(1) = 4 - e > 0，f '(2) = 8- e 2> 0，所以存在 x ∈(0, 1) 是函数 f ( x ) 的极小值点，2即函数 f ( x ) 在(0, x 0) 上单调递减，在( x 0, 2) 上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图像为 D ． 4．B 【解析】（解法一） m ≠ 2 时，抛物线的对称轴为 x = - n - 8．据题意，当m > 2时，m - 2- n - 8≥ 2 即 2m + n ≤12 ． m - 22m ⋅n ≤ 2m + n≤ 6 ∴mn ≤ 18 ．由 2m = n 且 2⎨ ⎩⎨ 2⎨ 2m + n =12 得m = 3, n = 6 ．当 m < 2时，抛物线开口向下，据题意得，-n - 8 ≤ 1m - 2 2即 m + 2n ≤18 ．2m ⋅n ≤ 2m + n ≤9 ∴ mn ≤ 81．由2n = m 且 m + 2n = 18 得 2 2m = 9 > 2 ，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有m + 2n = 18 (m < 2, n > 8) ．所以mn = (18- 2n )n < (18 - 2⨯8) ⨯8 = 16 ，所以最大值为 18．选 B ．（解法二）由已知得 f '(x ) = (m - 2)x + n - 8，对任意的 x ∈[1, 2] ， 2f '(x ) ≤ 0，所⎧ f '(1) ≤0 ⎧m ≥ 0, n ≥ 0 ⎪，即⎪ m + 2n ≤18 ．画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分 ⎪⎩ f '( x ) ≤ 0 ⎪ 2m + n ≤ 2所示，m18m +2n =1862m +n =12nO9 12令mn = t ，则当n = 0时，t = 0 ，当 n ≠ 0时，m = t n，由线性规划的相关知识，只有当直线2m + n =12 与曲线m = t n⎧ - t 相切时，t 取得最大值，由⎪ n 21 = - 12 ，解得 n = 6， tt =18 ，所以 (mn )max = 18 ，选 B ．⎪9 - n = ⎩ 2 n 5．A 【解析】令h (x ) =f ( x )，因为 f (x ) 为奇函数，所以h (x ) 为偶函数，由于xh '(x ) = xf '(x ) - f (x )，当x > 0 时， xf '(x ) - f (x ) x2 < 0 ，所以h (x ) 在(0, +∞)上单调递减，根据对称性h (x ) 在(-∞, 0) 上单调递增，又 f (-1) = 0 ， f (1) = 0 ，数形结合可知，使得 f (x ) > 0 成立的 x 的取值范围是( -∞, -1)( 0,1) ．6．D 【解析】由题意可知存在唯一的整数x 0 ，使得e x0 (2x 0 -1) < ax 0 - a ，设g (x ) = e x (2x -1) ， h (x ) = ax - a ，由 g '( x ) = e x (2 x +1) ，可知g (x ) 在(-∞, - 1 )2上单调递减，在(- 1, +∞) 上单调递增，作出 g (x ) 与h (x ) 的大致图象如图所示，2以⎩ ⎨⎪ ⎪3 2 1 O–3 –2–1 –1yg (x )=e x (2x -1)h (x )= ax -a 12 x⎧h (0) > g (0) 故⎨h ( -1) ≤ g ( -1) ⎧ a < 1，即⎪-2a ≤ - ⎩ 3 ，所以 3 e2e≤ a < 1 ． 7．D 【解析】∵ f (x ) = kx - ln x ，∴f '(x ) = k - 1，∵ f (x ) 在(1, +∞) 单调递增， x所以当 x > 1 时， f '(x ) = k - 1 ≥ 0 恒成立，即k ≥ 1在(1, +∞) 上恒成立，∵ x > 1 ，∴01< x< x x 1 ，所以k ≥1，故选 D ．8．A 【解析】法一由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y = -x ，在(2，0)处的切线方程为 y = 3x - 6 ，以此对选项进行检验．A 选项， y = 1x 3- 1x 2- x ，显然过两个定点，又 y ' = 3x 2- x -1 ，22 2则 y ' |x =0 = -1, y ' |x =2 = 3，故条件都满足，由选择题的特点知应选 A ．法二设该三次函数为 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ，则 f '(x ) = 3ax 2+ 2bx + c⎧f (0) = 0 ⎪f (2) = 0a 1 ,b 1 ,c 1,d 0 ⎪由题设有⎨ f '(0) = -1 ，解得 =2 = - 2 = - = ． ⎩⎪ f '(2) = 3故该函数的解析式为 y = 1 x 3 - 1 x 2- x ，选 A ．2 29．C 【解析】由正弦型函数的图象可知： f (x )的极值点x 0 满足 f (x 0 ) = ± 3 ，则πx 0 = π+ 2k π (k ∈ Z ) ，从而得x = (k + 1)m ( k ∈ Z ) ．所以不等式m 2 02x 2 +[ f (x )]2 < m2 ，即为(k + 1)2 m 2 +3 < m 2 ，变形得m 2[1- (k + 1)] > 3， 0 02 2其中k ∈ Z ．由题意，存在整数k 使得不等式m 2[1- (k + 1)] > 3 成立．2当 k ≠ -1且k ≠ 0 时，必有(k + 1)2 > 1 ，此时不等式显然不能成立，2故k = -1 或k = 0 ，此时，不等式即为3m 2 > 3 ，解得m < -2 或m > 2 ．410．A 【解析】设所求函数解析式为 y = f (x ) ，由题意知 f (5) = -2, （f - 5）= 2 ，且 f '(±5) = 0 ，代入验证易得y =1x 3 - 3x 符合题意，故选A ． 125 511．C 【解析】当x ∈ (0,1] 时，得a ≥ -3( 1 )3 -4(1 )2 + 1 ，令t = 1，则t ∈[1, +∞) ，x x x xa ≥ -3t 3 - 4t 2 + t ，令 g (t ) = -3t 3 - 4t 2 + t ， t ∈[1, +∞) ，则g '(x )= -9t 2- 8t +1= -(t +1)(9t -1) ，显然在[1, +∞) 上， g '(t )< 0 ，g (t )单调递减，所以 g (t )max = g (1) = -6 ，因此a ≥-6 ；同理，当x ∈[-2,0) 时，得 a ≤-2．由以上两种情况得-6≤a ≤-2 ．显然当x = 0时也成立，故实数 a 的取值范围为[-6, -2] ．12．C 【解析】设 f ( x ) = e x - ln x ，则 f '(x ) = e x- 1，故 f (x ) 在(0,1) 上有一个极值点，x即 f (x ) 在(0,1) 上不是单调函数，无法判断 f (x 1 ) 与 f (x 2 ) 的大小，故 A 、B 错；构造函数 g (x ) =e x ，g '( x ) =e x (x -1)，故 g (x ) 在(0,1) 上单调递减，所以 g ( x ) > g ( x ) ，xx 212选 C ．13．【解析】B当a = 0 ，可得图象 D ；记 f ( x ) = ax 2 - x + a， g (x ) = a 2 x 3 - 2ax 2+ 2x + a (a ∈ R ) ，取a = 1， f ( x ) = 1( x -1) 2 - 1，令g '(x ) = 0 ，得 x = 2, 2 ，易知2 2 43 g (x )的极小值为 g (2) = 1 ，又 f (2) = 1，所以g (2) > f (2) ，所以图象 A 有可能；2 4同理取a = 2 ，可得图象 C 有可能；利用排除法可知选 B ． 14．C 【解析】若c = 0则有 f (0) = 0 ，所以 A 正确．由 f (x ) = x 3+ ax 2+ bx + c 得f (x ) - c = x 3 + ax 2 + bx ，因为函数 y = x 3 + ax 2 + bx 的对称中心为（0,0），所以 f (x ) = x 3 + ax 2+ bx + c 的对称中心为(0, c ) ，所以 B 正确．由三次函数的图象可知，若 x 0 是 f ( x ) 的极小值点，则极大值点在 x 0 的左侧，所以函数在区间(-∞, x 0 ) 单调递减是错误的，D 正确．选 C ． 15．A 【解析】法一：由题意可得， y 0 = sin x 0∈[-1,1] ，而由 f (x ) = e x + x - a 可知 y 0 ∈[0,1] ，当 a = 0 时， f (x ) ＝ e x + x 为增函数， ∴ y 0 ∈[0,1] 时， f (x 0 ) ∈[1, e +1]． ∴ f ( f ( y 0 ))≥ e +1 >1．∴ 不存在 y 0 ∈[0,1] 使 f ( f ( y 0 )) = y 0 成立，故 B ，D 错；当a = e +1 时， f (x ) ＝ e x + x - e -1，当 y 0 ∈[0,1] 时，只有 y 0 = 1 时 f (x ) 才有意义，而 f (1) = 0 ， ∴ f ( f (1)) = f (0) ，显然无意义，故 C 错．故选 A ．法二：显然，函数 f (x ) 是增函数， f (x ) ≥ 0 ，从而以题意知 y 0 ∈[0,1] ．于是，只能有 f ( y 0 ) = y 0 ．不然的话，若 f ( y 0 ) > y 0 ，得 f ( f ( y 0)) > f ( y 0 ) > y 0 ，与条件矛盾；若 f ( y 0 ) < y 0 ，得 f ( f ( y 0 )) < 于是，问题转化为 f (t ) = t 在[0,1] 上有解．f ( y 0 ) < y 0 ，与条件矛盾．由t = e t + t - a ，得t 2 = e t + t - a ，分离变量，得 a = g (t ) = e t - t 2+ t ，t ∈[0,1]因为 g '(t ) = e t- 2t +1 > 0 ，t ∈[0,1] ，所以，函数 g (t )在[0,1] 上是增函数，于是有1 = g (0) ≤ g (t ) ≤ g (1) = e ，即 a ∈[1, e ] ，应选 A ．16．D 【解析】A ．∀x ∈ R , f (x ) ≤ f (x 0) ，错误． x 0 (x 0 ≠ 0) 是 f (x ) 的极大值点，并不是最大值点；B ． - x 0 是 f (-x ) 的极小值点．错误． f (-x ) 相当于 f (x ) 关于 y 轴的对称图像，故 - x 0 应是 f (-x ) 的极大值点；C ．- x 0 是 - f (x ) 的极小值点．错误．- f (x ) 相当于 f (x ) 关于x 轴的对称图像，故 x 0 应是 - f (x ) 的极小值点．跟- x 0 没有关系；D ．- x 0是 - f (-x ) 的极小值点．正确． - f (-x ) 相当于 f (x ) 先关于 y 轴的对称，再关于 x 轴的对称图像．故 D 正确．17．B【解析】∵ y =1x2 - ln x ,∴ y'=x -1,由 y'…0 ，解得-1剟x 1 ，又x > 0 ，2 x∴0 <x … 1 故选B．18．D【解析】 f ( x) =xe x ， f '(x ) =e x (x + 1)， e x > 0 恒成立，令 f '(x) =0，则 x =-1当x <-1时，f '(x) <0 ，函数单调减，当x >-1时，则x =-1 为f ( x) 的极小值点，故选D．f '(x) >0，函数单调增，19．D【解析】f '(x) =12x2 -2ax -2b ，由f '(1) =0，即12 - 2a - 2b = 0 ，得a +b =6 ．由a > 0，b > 0，所以ab ≤(a +b)2 =9 ，当且仅当a =b =3 时取等号．选2D．20．D【解析】若x =-1为函数f ( x)e x 的一个极值点，则易知a =c ，∵选项A，B 的函数为f (x) =a(x +1)2 ，∴[ f ( x)e x ] =[ f '( x) +f (x)]e x =a( x +1)( x +3)e x ，∴x =-1 为函数 f ( x)e x 的一个极值点满足条件；选项 C 中，对称轴x =-且开口向下，∵a < 0,b > 0 ，∴f (-1) = 2a -b < 0 ，也满足条件；b>0 ，2a选项 D 中，对称轴 x =-b<0，且开口向上，∴a > 0,b > 2a ，2a∴ f (-1) = 2a - b < 0 ，与题图矛盾，故选D．21．D【解析】由题| MN |=x2 - ln x ，(x > 0) 不妨令h(x) =x 2 - ln x ，则h'(x) = 2x -1，令 h'(x) = 0解得 x =x2，因 x ∈(0,22) 时，h'(x) < 0 ，2当 x ∈(即t =2, +∞) 时，h'(x) > 0 ，所以当x =22．2时，| MN | 达到最小．2222．①③④⑤【解析】令f (x) =x3 +ax +b, f '(x) =3x2 +a ，当a ≥ 0 时，f '(x) ≥0 ，则f (x) 在R 上单调递增函数，此时x3 +ax +b = 0 仅有一个实根，所以(4)(5)对；当a =-3 时，由f '(x) =3x2 -3<0 得-1<x < 1 ，所以x = 1 是f (x) 的极小值点．由 f (1) > 0 ，得13 - 3⋅1+ b > 0 ,即 b > 2 ，(3)对． x = -1 是 f (x ) 的极大值点，由 f (-1) < 0 ，得(-1)3- 3⋅ (-1) + b < 0 ，即 b < -2 ，(1)对．23．①④【解析】（1）设 x 1 > x 2 ，函数2x 单调递增，所有2x 1 >2x2 ， x 1 - x 2 >0 ，则 m = f (x 1 )- f (x 2 ) = 2 x 1 - 2 x 2 >0x 1 - x 2 x 1 - x 2 ，所以正确；（2）设x 1 > x 2 ，则x 1 - x 2 > 0 ，则n = g (x 1 ) - g (x 2 ) = x 122 x 1 - x 2 - x 2 +a (x 1 - x 2 ) x 1 - x 2=(x - x )(x +x +a )1 2 1 2 x - x = x + x +a ，可令 =1， 1 2 x 1 x 2 =2， a = - 4， 1 2则 n = -1< 0，所以错误；（3）因为m = n ，由（2）得：f ( x 1) - f ( x 2 )= x + x + a ，分母乘到右边，x 1 - x 21 2 右边即为g ( x 1 ) - g (x 2 ) ，所以原等式即为 f (x 1 ) - f (x 2 ) = g ( x 1 ) - g (x 2 ) ，即为 f (x 1 ) - g (x 2 ) = f (x 1 )- g (x 2 ) ，令h (x ) = f (x ) - g (x ) ，则原题意转化为对于任意的a ，函数h (x ) = f (x ) - g (x ) 存在不相等的实数 x 1 ，x 2 使得函数值相等，h (x ) = 2 x - x 2 - ax ，则 h '(x ) = 2 x ln 2 - 2 x - a ，则h '(x ) = 2x(ln 2) - 2 ，令h '(x 0 ) = 0 ，且1 < x 0 < 2 ，可得h '( x 0 ) 为极小值．若 a = -10000，则 h '(x 0) > 0 ，即h '(x 0) > 0 ， h (x ) 单调递增，不满足题意，所以错误．（4）由(3) 得 f (x 1) - f (x 2 ) = g ( x 1 ) - g (x 2 ) ，则 f (x 1 ) + g (x 1 ) = g (x 2 ) + f (x 2 ) ，设h (x ) = f (x ) + g (x ) ，有 x 1 ， x 2 使其函数值相等，则h (x ) 不恒为单调．h (x ) = 2 x + x 2 + ax ，h '(x ) = 2 x ln 2 + 2x + a ，h '(x ) = 2 x (ln 2 )2+ 2 > 0 恒成立，h '(x ) 单调递增且h '(-∞) < 0 ，h '( +∞) >0 ．所以h (x ) 先减后增，满足题意，所以正确．24．4【解析】当0 < x ≤1 时， f (x ) = - ln x ， g (x ) = 0 ，此时方程| f (x ) + g (x ) |=1即为ln x =1 或ln x = - 1 ，故 x = e 或 x = 1 ，此时 x = 1 符合题意，方程有一个实根．ee当1< x < 2 时， f (x ) = ln x ， g (x ) = 4 - x 2- 2 = 2 - x 2，方程| f (x ) + g (x ) |=1即为ln x + 2 - x 2 =1 或ln x +2 - x 2 = - 1 ，即ln x +1- x 2 = 0 或ln x +3 - x 2 = 0 ，令 y = ln x +1- x 2，则 y ¢= 1- x2x < 0，函数 y = ln x +1- x 2 在x Î(1, 2) 上单调递减，且x =1 时 y = 0，所以当1< x < 2 时，方程ln x +1- x 2 = 0 无解；令 y = ln x +3 - x 2 ，则 y ¢= 1- x2x < 0 ，函数 y = ln x +3 - x 2 在 x Î (1, 2) 上单调递减，且 x =1时 y = 2 > 0 ，x = 2时 y = ln 2 - 1 < 0 ，所以当1< x < 2 时，方程ln x +3 - x 2 = 0 有一个实根．当 x ≥ 2 时， f (x ) = ln x ，g (x ) = x 2- 6，方程| f (x ) + g (x ) |=1 即为ln x + x 2 -6 =1或ln x + x 2 - 6 = - 1 ，即ln x + x 2 - 7 = 0 或ln x + x 2 - 5 = 0 ，令y = ln x + x 2 - 7，xy = ln 2 - 3 < 0 ， x = 3时 y = ln 3 +2 > 0 ，所以当 x ≥ 2 时方程ln x + x 2 - 7 = 0故方程| f (x ) + g (x ) |= 1 实根的个数为 4 个．)有 1 个实根．25．2【解析】由题意 f '(x ) = 3x 2- 6x = 3x (x - 2) ，令 f '(x ) = 0 得 x = 0或 x =2 ．因 x < 0 或x > 2 时， f '(x ) > 0 ，0 < x < 2 时， f '(x ) < 0 ．∴ x = 2 时f (x ) 取得极小值．26 (1) f (x )(0, +∞) f '(x ) = - 1 - 1+ a = - x 2- ax + 1 ．【解析】的定义域为，． x2 xx 2（i ）若a ≤2 ，则 f '(x )≤ 0 ，当且仅当a = 2，x = 1时 f '(x ) = 0 ，所以 f (x ) 在(0, +∞)单调递减．（ii ）若a > 2，令f '(x ) = 0得， x = a -a 2- 4 a + 2或x =a 2 - 4 2当x ∈(0, a - a 2 -4 ) U( a + a 2 -4, +∞) 时， f '(x ) < 0 ； 2 2．当 x ∈( a - a 2 - 4 a + 2 , a 2 - 4 2 ) 时， f (x ) > 0 ．所以 f (x ) 在(0,' a - a 2 - 42) ， ( a + 2 a 2 - 4, +∞) 单调递减，在( a - a 2- 4 , a + a 2 - 4) 2 2单调递增． (2)由(1)知， f (x ) 存在两个极值点当且仅当 a > 2．由于 f (x ) 的两个极值点 x 1 ， x 2 满足 x 2- ax +1 = 0 ，所以x 1x 2 = 1 ，不妨设 x 1 < x 2 ，则x 2 > 1 ．由于f (x 1 ) - f (x 2 ) = - 1 -1 + a ln x 1 - ln x 2 = -2 + a ln x 1 - ln x 2 = -2 + a -2ln x 2 ，x 1 - x 2 x 1 x 2 x 1 - x 2 x 1 - x 2x 21 - x2 所以f (x ) - f (x ) 1 2x - x < a - 2等价于 - x + 2ln x < 0 ．1 2 2 1 2 x 2设函数 g (x ) = 1- x + 2 ln x ，由(1)知， g (x ) 在(0, +∞) 单调递减，又g (1) = 0 ，从而 x当x ∈ (1, +∞) 时， g (x ) < 0 ．所以 1- x + 2ln x < 0，即 f (x 1 ) - f (x 2 )< a - 2．22 2 x 1 - x 227．【解析】(1)当a =1时， f (x ) ≥1 等价于(x 2 +1)e -x-1≤ 0 ．设函数g (x ) = (x 2+ 1)e - x- 1 ，则g'( x ) = -( x 2- 2 x + 1)e- x= -( x -1)2 e -x．当x ≠ 1 时，g'(x ) < 0 ，所以g (x ) 在(0, +∞) 单调递减．而 g (0) = 0 ，故当x ≥0 时， g (x ) ≤ 0 ，即 f (x ) ≥1 ．(2)设函数h (x ) = 1 - ax 2e - x．f (x ) 在(0, +∞) 只有一个零点当且仅当h (x ) 在(0, +∞) 只有一个零点．（i ）当a ≤0 时， h ( x ) > 0 ， h (x ) 没有零点；（ii ）当a > 0 时， h' (x ) = ax (x -2)e - x．当x ∈ (0, 2) 时，h'(x ) < 0 ；当 x ∈ (2,+∞) 时， h'(x ) > 0 ．xe所以h (x ) 在(0, 2) 单调递减，在(2, +∞) 单调递增．故h (2) =1 -4a 是h (x ) 在[0, +∞) 的最小值．e22 ①若h (2) > 0 ，即a < 4， h (x ) 在(0, +∞) 没有零点；②若h (2) = 0 ，即 a = e 24， h (x ) 在(0, +∞) 只有一个零点；③若h (2) < 0 a > e 24，由于 h (0) = 1 ，所以h (x ) 在(0, 2)有一个零点，由(1)知，当 x > 0时， e x> x 2，h a16a 3 16a 3 16a 3 1所以 (4 ) =1- e4a = 1- (e 2a )2 > 1- (2a )4 = 1- a > 0 ．故h (x ) 在(2, 4a ) 有一个零点，因此h (x ) 在(0, +∞) 有两个零点．综上， f (x ) 在(0, +∞) 只有一个零点时， a = e 2．428．【解析】(1)当a = 0 时， f (x ) = (2 + x ) ln(1+ x ) - 2x ， f '(x ) = ln(1+ x )-x ． 1 + x设函数g (x ) = f ' (x ) = ln(1+ x )-x 1 + x，则g '( x ) =x ．(1 + x )2当-1< x < 0 时， g '(x ) < 0 ；当 x > 0 时， g '(x ) > 0 ．故当 x > -1时， g (x ) ≥ g (0) = 0 ，且仅当 x = 0时， g (x ) = 0 ，从而 f '(x ) ≥ 0，且仅当 x = 0时， f '(x ) = 0．所以 f (x ) 在(-1, +∞) 单调递增．又 f (0) = 0 ，故当-1< x < 0时， f (x ) < 0 ；当 x > 0 时， f (x ) > 0 ．(2)（i ）若a ≥ 0 ，由(1)知，当x > 0 时， f (x )≥ (2 + x ) ln(1+ x ) - 2x > 0 = f (0) ，这与 x = 0是 f (x ) 的极大值点矛盾．（ii ）若a < 0，设函数h (x ) = f ( x )2 + x + a x 2 = ln(1 + x ) - 2 x ． 2 + x + a x 2，即由于当| x |< min{1,1| a |} 时，2 + x + ax 2 > 0 ，故h (x ) 与 f (x ) 符号相同．又h (0) = f (0) = 0 ，故 x = 0是 f (x ) 的极大值点当且仅当x = 0 是h (x ) 的极大值点．' 12(2+x + ax 2 )- 2x (1+ 2ax ) x 2 (a 2x 2 + 4ax + 6a + 1) h (x ) = 1+ x - (2 + x + ax 2 )2 = ． (x +1)(ax 2 + x + 2)2如果6a +1 > 0 ，则当0 < x < -6a +1 ，且| x |< min{1,4a1| a |} 时，h '(x ) > 0 ，故x = 0 不是h (x ) 的极大值点．如果6a +1 < 0 ，则a 2 x 2 + 4ax + 6a +1 = 0 存在根x 1 < 0 ，故当 x ∈ (x 1 ,0)，且| x |< min{1,1| a |} 时，h '(x ) < 0 ，所以 x = 0 不是h (x ) 的极大值点．如果6a +1 = 0 ，则h '( x ) =x 3 (x - 24)( x +1)( x 2 - 6x -12)2．则当x ∈ (-1, 0) 时，h '(x ) > 0 ；当x ∈ (0,1) 时，h '(x ) < 0 ．所以 x = 0是h (x ) 的极大值点，从而 x = 0是 f (x ) 的极大值点综上，a = - 1．629．【解析】(1)因为f ( x ) = [ax 2 - (4a +1) x + 4a +3]e x ，所以 f '(x ) = [2ax - (4a +1)]e x + [ax 2 - (4a + 1)x + 4a + 3]e x（ x ∈ R ）=[ ax 2 -(2 a +1) x +2]e x．f '(1) = (1- a )e ．由题设知 f '(1) = 0 ，即(1- a )e = 0 ，解得a=1．此时 f (1) = 3e ≠ 0 ．所以a 的值为 1．(2)由(1)得 f '(x ) = [ax 2 - (2a + 1)x + 2]e x = (ax - 1)(x - 2)e x．22若 a > 1 ，则当 x ∈(1, 2)时， f '(x ) < 0 ；2a当 x ∈(2, +∞)时， f '(x ) > 0．所以 f (x ) < 0 在 x = 2 处取得极小值．若 a ≤ 1 ，则当 x ∈ (0, 2) 时， x - 2 < 0 ， ax -1≤ 1x -1< 0 ，22所以 f '(x ) > 0 ．所以 2 不是 f (x ) 的极小值点．综上可知， a 的取值范围是( 1, +∞) ．230．【解析】(1)由已知，h (x ) = a x - x ln a ，有h '( x ) = a xln a -lna ．令h '(x ) = 0 ，解得x = 0 ．由a >1 ，可知当 x 变化时， h '(x ) ， h (x ) 的变化情况如下表：x(-∞,0)0 (0, +∞)h '(x )h (x )-0 +极小值所以函数h (x ) 的单调递减区间(-∞,0) ，单调递增区间为(0, +∞) ．(2) 证明：由 f '(x ) = a xln a ，可得曲线 y = f (x ) 在点 ( x 1, f (x 1)) 处的切线斜率为x'1a 1 ln a ．由 g ( x ) =x ln a，可得曲线 y = g (x ) 在点(x 2, g ( x 2 )) 处的切线斜率为1 x1 x 2x ln a ．因为这两条切线平行，故有 a 1 ln a =x ln a ，即x 2 a 1 (ln a ) =1．两边取以 a 为底的对数，得log x 2 + x 1 + 2log ln a = 0 ，所以 x + g ( x ) = - 2ln ln a ．aa12ln a(3)证明：曲线y = f (x ) 在点(x 1,a x 1 ) 处的切线l 1 ： y - a x 1 = a x 1 ln a ⋅ (x - x 1) ．曲线 y = g (x ) 在点(x 2 , log a x 2 ) 处的切线l 2 ： y - log a 1x 2 =1x 2 ln a⋅ (x - x 2 ) ．要证明当 a ≥ e e 时，存在直线l ，使l 是曲线 y = f (x ) 的切线，也是曲线y = g (x ) 的⎩1 切线，只需证明当a ≥ e e时，存在 x 1 ∈ (-∞, +∞) ， x 2 ∈ (0, +∞) ，使得 l 1 和 l 2 重合．⎧a x 1ln a = a 1 ⎪1 ① x2 ln a 即只需证明当 ≥ e e 时，方程组⎨⎪a x 1 - x 1a x 1 ln a = log a x 2 - 1ln a有解， ②由①得x 2 =1 a x 1 (ln a )2 ，代入②，得 a x 1 - x 1a x 1ln a + x 1+ 1 ln a+ 2 ln ln a = 0． ③ ln a1因此，只需证明当a ≥ e e 时，关于 x 1 的方程③有实数解．设函数u (x ) = a x - xa xln a + x +11 ln a2 ln ln a ，ln a 即要证明当a ≥ e e 时，函数 y = u (x ) 存在零点．u '(x ) = 1 - (ln a )2 xa x ，可知x ∈ (-∞,0) 时， u '(x ) > 0 ；x ∈ (0, +∞) 时， u '(x )单调递减，又u '(0) =1 > 0 ， u '( 1(ln a )21) =1 - a (ln a )2< 0 ，故存在唯一的x 0 ，且 x 0 > 0 ，使得u '(x 0) = 0 ，即1 -(ln a )2 x 0a x 0 = 0 ．由此可得u (x ) 在(-∞, x 0 ) 上单调递增，在(x 0 , +∞) 上单调递减． u (x ) 在x = x 0 处取得极大值u (x 0 ) ． 1 因为a ≥ e e，故ln(ln a ) ≥ -1，所以u (x ) = a x - x a xln a + x + 1+ 2ln l n a 00 0 0ln a ln a= 1+ x + 2ln ln a ≥ 2 + 2ln ln a ≥ 0． x 0 (ln a )2ln a ln a下面证明存在实数t ，使得u (t ) < 0 ．由(1)可得a x≥1+ x ln a ，当x >1时，ln a有u (x ) ≤ (1+ x ln a )(1- x ln a ) + x + 1 ln a 2ln ln a ln a= -(ln a )2 x 2 + x +1+ 1 ln a2ln ln a ，ln a⎩- 2 0 ⎩所以存在实数t ，使得u (t ) < 01因此，当a ≥ e e 时，存在 x 1 ∈ (-∞, +∞) ，使得u (x 1 ) = 0 ．1所以，当 a ≥ e e 时，存在直线l ，使l 是曲线 y = f (x ) 的切线，也是曲线y = g (x ) 的切线．31．【解析】(1)函数 f (x ) = x ， g (x ) = x 2 + 2x - 2 ，则 f '(x ) = 1， g '(x ) = 2x + 2 ．f (x )g (x ) f '(x ) g '(x ) ⎧x = x 2 + 2x - 2 由 = 且= ，得⎨1 = 2x + 2 ，此方程组无解，因此， f (x ) 与 g (x ) 不存在“S 点”．(2)函数 f (x ) = ax 2- 1 ， g (x ) = ln x ，则 f '(x ) = 2ax ，g '(x ) = 1．x设 x 0 为 f (x ) 与 g (x ) 的“ S 点”，由 f (x 0) = g (x 0) 且f '(x 0 )=g '(x 0 ) ，得⎧ax 2 -1 = ln x 2 ⎪ 0 0⎧⎪ax 0 -1 = l n x 0 ⎨2ax = 1，即⎨2ax 2 = 1 ，（*）⎪ 0 x 01⎩⎪ 0 -1 1 e 得ln x 0 = - 2，即x 0 =e 2 ，则a = 12(e 2)= 2 ．当a = e 2时，x 0=e - 12 满足方程组（*），即 x 0 为 f (x ) 与 g (x ) 的“ S 点”．因此，a 的值为 e．2(3)对任意a > 0 ，设 h (x ) = x 3 - 3x 2 - ax + a ．因为h (0) = a > 0，h (1) =1- 3 - a + a = -2 < 0 ，且h (x ) 的图象是不间断的，所以存在 x 0 ∈ (0,1)，使得 h (x 0) = 0 ．令b =函数 f ( x ) = -x 2+ a ，g ( x ) = b e x，x2 x 3e x 0(1 - x 0)，则b > 0．。

专题1第一章导数及其应用单元检测题〖基础题〗(解析版)(选修2-2)

专题1人教A 版第一章导数及其应用单元检测题〖基础题〗（解析版）一、单选题1．下列求导结果正确的是（） A ．cossin 66ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()133x x x -'=C ．()22log log ex x'= D ．()sin 2cos 2x x '=【答案】C 【分析】利用导数的求导法则以及复合函数的求导法则可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，cos 06π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 选项错误；对于B 选项，()33ln 3x x '=，B 选项错误；对于C 选项，()22log 1log ln 2e x x x'==，C 选项正确；对于D 选项，()()sin 2cos 222cos 2x x x x ''=⋅=，D 选项错误. 故选：C.2．曲线ln y ax x =+在点()()1,1f 处的切线斜率为3，则实数a 的值为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】首先对函数求导，根据函数图象在某个点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，从而将相应的量代入，求得结果. 【详解】函数()+ln f x ax x =，可得1()+f x a x'=，所以切线的斜率为(1)+13k f a '===，解得2a =，故选：B.A ．2,4a b ==B ．2,4a b =-=C ．8,1a b ==D ．8,1a b ==-【答案】B 【分析】将()1,a -代入切线方程求出a ，再由导数的几何意义求出b . 【详解】将()1,a -代入860x y -+=，得2a =- 又因为1b y abx -'=所以()1218,4b b b ---==.故选：B4．已知函数()()2,2xe f e x f x x '=-为()f x 的导函数，若()()f a f a '=，则a =（） A ．0 B ．1- C ．2 D ．0或2【答案】D 【分析】求导，再由()()f a f a '=解方程得出a 的值. 【详解】()x f x e ex '=-，根据条件得22a a ee a e ea -=-，解得0a =或2.故选：D5．函数3y x x =+的递增区间是（） A ．(0,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．(,)-∞+∞ D ．(1,)+∞【答案】C 【分析】利用导数的性质进行求解即可. 【详解】3'2，因为'在整个实数集上恒成立，所以函数3的递增区间是(,)-∞+∞. 故选：C6．若函数()f x 在R 上可导，且()()()222f x x f x m m R '=++∈，则（）A ．()()05f f <B ．()()05f f =C ．()()05f f >D ．以上答案都不对【答案】C 【分析】由已知等式两边同时求导，取2x =，求出()2'2f 的值．利用二次函数的对称性和单调性即可解决问题．【详解】()()22'2f x x f x m =++， ()()'22'2f x x f ∴=+, ()()22222f f ∴=⨯'+', ()24f ∴'=-,()28f x x x m ∴=-+，图象为开口向上的抛物线，其对称轴方程为：4x =，()()05f f ∴>.故选C ．【点睛】本题考查导数的运算，求出()2f '的值是关键，属于中档题．7．函数()2y f x x ==在区间[]00x x x +∆，上的平均变化率为1k ，在区间[]00x x x -∆，上的平均变化率为2k ，则1k 与2k 的大小关系为（）A ．12k k >B ．12k k <C ．12k k =D ．不能确定【答案】A 【分析】根据函数的平均变化率的定义表示1k 与2k ，作差可得选项.因为函数()2y f x x ==在区间[]00x x x +∆，上的平均变化量为2200000()()()()(2)f x x f x x x x y x x x =+∆-=+∆-=∆+∆∆，所以102.yk x x x∆==+∆∆，函数()2y f x x ==在区间[]00x x x -∆，上的平均变化量()2200000()()()(2)f x f x x x x x x x x y =--∆=--∆=∆-∆∆，所以202yk x x x∆==-∆∆，所以122,k k x -=∆，又0x ∆>，所以12k k >，故选：A.8．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】根据导函数大于0，原函数单调递增；导函数小于0，原函数单调递减；即可得出正确答案. 【详解】由导函数得图象可得：0x >时，()0f x '<，所以()f x 在(),0-∞单调递减，排除选项A 、B ，当0x >时，()f x '先正后负，所以()f x 在()0,∞+先增后减，因选项C 是先减后增再减，故排除选项C ，9．定积分()22xedx +⎰的值为（）A ．1B ．2eC ．24e +D ．23e +【答案】D 【分析】求出2xy e =+的原函数()2xf x e x c =++，再计算()()20f f -即可.【详解】2x y e =+的原函数为()2xf x e x c =++()()()2220220413xedx f f e e +=-=+-=+⎰故选：D10．已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =在区间(),a b 内的极小值点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【分析】通过读图由()y f x '=取值符号得出函数()y f x =的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案．【详解】由图象，设()'f x 与x 轴的两个交点横坐标分别为c 、d 其中c d <，知在(,)c -∞，(),d +∞上()0f x '≥，所以此时函数()f x 在(,)c -∞，(,)d +∞上单调递增，所以x c =时，函数取得极大值，x d =时，函数取得极小值．则函数()y f x =的极小值点的个数为1．故选: A11．一物体做直线运动，其位移s 与时间t 的关系是22s t t =+，则物体在2t =时的瞬时速度为（） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】B 【分析】利用导数的物理意义可直接求导得到结果. 【详解】由22s t t =+得：22s t '=+，当2t =时，6s '=，即物体在2t =时的瞬时速度为6. 故选：B.12．函数()y f x =在区间[],a b 上的最大值是M ，最小值是m ，若m M =，则()f x '（） A ．小于0 B ．等于0C ．大于0D ．以上都有可能【答案】B 【分析】由最大最小相等，可得()y f x =是常数函数，即可得出结论. 【详解】∵()y f x =在区间[],a b 上的最大最小相等， ∴()y f x =是常数函数，∴()0f x '=，故选：B.二、填空题13．函数3()3f x x x =-在区间[]1,3-上的最小值为__________．【答案】2- 【分析】由3()3f x x x =-，得2()33f x x '=-. 令0fx，解得11x =-，21x =.()f x 在区间[]1,1-上单调递减，在区间[]1,3上单调递增，所以最小值为(1)2f =-. 故答案为：-2. 【点睛】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．14．若曲线562x y e x =-+的一条切线与直线l ：60x y -+=互相垂直，则该切线的方程为_________. 【答案】70x y +-= 【分析】设切点，利用导数的几何意义，结合直线互相垂直的性质进行求解即可.【详解】设曲线562xy e x =-+的切点坐标为000(,562)xx e x -+，'56256x x y e x y e =-+⇒=-，所以过该切点的切线的斜率为056x e -，因为直线l ：60x y -+=的斜率为1，过该切点的切线与直线l 互相垂直，所以00(56)110xe x -⋅=-⇒=，所以切点坐标为：(0,7)，过该切点的切线的斜率为1-，所以过该切点的切线的方程为：7y x =-+，化为一般式为：70x y +-=.故答案为：70x y +-=15．函数32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则m 的范围是_________. 【答案】[1,)+∞【分析】32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则导函数恒大于等于0或恒小于等于0，32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则导函数恒大于等于02'20y x x m =++≥则440m ∆=-≤，m 1≥ 故答案为：[1,)+∞ 【点睛】若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 16．曲线[]()sin 0,y x x π=∈与x 轴所围成的图形面积为______．【答案】2 【分析】直接利用定积分0sin S xdx π=⎰求解.【详解】由题得00sin (cos )|cos (cos 0)112S xdx x πππ==-=---=+=⎰.所以所求的图形的面积为2. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：求定积分的方法：(1)代数法：利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求.三、解答题17．已知函数3()395f x x x =-+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值. 【答案】（1）()1,1-；（2）最大值为59，最小值为49- 【分析】（1）求出()f x '，令()0f x '<，得到函数()f x 的单调递减区间；（2）求出函数在[]3,3-的单调性，根据极值和端点值，求得最值.（1）()2999(1)(1)f x x x x =-+-'=，x ∈R令()0f x '<，得11x -<<，所以()f x 的减区间为()1,1-.（2）由（1），令()0f x '>，得1x <-或1x >知：[]3,1x ∈--，()f x 为增函数，[]1,1x ∈-，()f x 为减函数，[]1,3x ∈，()f x 为增函数.()349f -=-，()111f -=，()11f =-，()539f =.所以()f x 在区间[]3,3-上的最大值为59，最小值为49-. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题. 18．已知函数f (x )＝x ＋4x，g (x )＝2x ＋a . （1）求函数f (x )＝x ＋4x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）若∀x 1∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[5,17]2；（2）1a ≤. 【分析】（1）先求导数，判断函数单调性，结合单调性求解值域；（2）把条件转化为()()12min min f x g x ≥，分别求解()()12,f x g x 的最小值可得实数a 的范围. 【详解】（1）()222441x f x x x -'=-=，因为1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()0f x '<，即函数()f x 为减函数，因为()51217,12f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以值域为[5,17]2. （2）因为∀x 1∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，所以()()12min min f x g x ≥，因为2[2,3]x ∈，所以()2224a g x a ≥+=+，所以54≥+a ，即1a ≤.19．（1）求导：33cos 243ln xy x x x =+-+（2）求函数ln y x x =在1x =处的导数. 【答案】（1）233sin 6(2ln 2)4xy x x x'=-+-⋅+；（2）1；【分析】（1）直接根据导数的运算法则，即可得答案；（2）求导后可得ln 1y x ，再将1x =代入即可得答案；【详解】（1）233sin 6(2ln 2)4xy x x x'=-+-⋅+；（2）ln 1(1)1y x y ''=+⇒=；【点睛】本题考查导数的四则运算，属于基础题.20．函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c ，曲线y ＝f （x ）上点P （1，f （1））处的切线方程为y ＝3x +1（1）若y ＝f （x ）在x ＝﹣2时有极值，求函数y ＝f （x ）在[﹣3，1]上的最大值；（2）若函数y ＝f （x ）在区间[﹣2，1]上单调递增，求b 的取值范围．【答案】(1) f （x ）在[﹣3，1]上最大值为13 (2) [0，+∞）．【分析】（1）由f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c 求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f （x ）在x ＝﹣2时有极值即可列出关于a ，b ，c 的方程，求得a ，b ，c 的值，从而得到f （x ）的表达式，求函数的导数f ′（x ），通过f ′（x ）＞0，及f ′（x ）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可．（2）方法一：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[﹣2，1]上恒成立，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出f ′（x ）的最小值，令最小值大于等于0，求出b 的范围．方法二：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[﹣2，1]上恒成立，分离出参数b ，构造新函数m （x ），利用基本不等式求出m （x ）的最大值，令b 大于等于m （x ）的最大值即可．解：（1）由f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c ，求导数得f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ，过y ＝f （x ）上点P （1，f （1））的切线方程为：y ﹣f （1）＝f ′（1）（x ﹣1）即y ﹣（a +b +c +1）＝（3+2a +b ）（x ﹣1）故32321a b a b c ++=⎧⎨++-=⎩，即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，∵有y ＝f （x ）在x ＝﹣2时有极值，故f ′（﹣2）＝0，∴﹣4a +b ＝﹣12，则203412a b a b c a b +=⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩，解得a ＝2，b ＝﹣4，c ＝5，f （x ）＝x 3+2x 2﹣4x +5．f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ＝3x 2+4x ﹣4＝（3x ﹣2）（x +2）f （x ）极大＝f （﹣2）＝（﹣2）3+2（﹣2）2﹣4（﹣2）+5＝13,f （1）＝13+2×1﹣4×1+5＝4∴f （x ）在[﹣3，1]上最大值为13．（2）方法一：y ＝f （x ）在区间[﹣2，1]上单调递增，又f '（x ）＝3x 2+2ax +b ，由（1）知2a +b ＝0，∴f '（x ）＝3x 2﹣bx +b ，依题意f '（x ）在[﹣2，1]上恒有f '（x ）≥0，即g （x ）＝3x 2﹣bx +b ≥0在[﹣2，1]上恒成立．①在x 6b=≥1时，即b ≥6，g （x ）最小值＝g （1）＝3﹣b +b ＞0，∴b ≥6， ②在x 6b=≤-2时，即b ≤﹣12，g （x ）最小值＝g （﹣2）＝12+2b +b ≥0，则b ∈∅，③在﹣26b ＜＜1时，即﹣12＜b ＜6，g （x ）最小值21212b b -=≥0，综合上述讨论可知，b 取值范围是：[0，+∞）．解法二：（1）y ＝f （x ）在区间[﹣2，1]上单调递增，又f '（x ）＝3x 2+2ax +b ，由（1）知2a +b ＝0，∴f '（x ）＝3x 2﹣bx +b ，依题意f '（x ）在[﹣2，1]上恒有f '（x ）≥0，即g （x ）＝3x 2﹣bx +b ≥0在[﹣2，1]上恒成立∴b 231x x ≥=-3（x ﹣1）31x ++-6（x ≤1），令m （x ）＝3（x ﹣1）31x +=--3[﹣（x ﹣1）+（11x --）]≤﹣3（＝﹣6，（x ≤1），∴3（x ﹣1）31x ++-6最大值为0，∴（231x x -）max ＝0，∴b ≥0，∴b 取值范围是：[0，+∞）．【点评】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题． 21．(本题满分16分) 已知函数2233()[(log )(log )](log )(log )=+--a x a x f x k x a x a ,2()(3)(log log )=-+a x g x k x a ,(其中1a >)，设log log =+a x t x a .（Ⅰ）当(1,)(,)∈+∞x a a 时,试将()f x 表示成t 的函数()h t ,并探究函数()h t 是否有极值（Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，若存在0(1,)x ∈+∞，使00()()f x g x >成立，试求k 的范围. 【答案】（Ⅰ）32()32,(2)h t t kt t k t =-++->；当94k >时()h t 在定义域内有且仅有一个极值，当94k ≤时()h t 在定义域内无极值；（Ⅱ）12k <或12k >. 【详解】【分析】log log a x t x a =+由，可得2222(log )(log )(log log )22a x a x x a x a t +=+-=-333(log )(log )3a x x a t t +=-，进而将()()f x t h t 表示成关于的函数，进而利用导数法。

导数练习题(含答案)

导数概念及其几何意义、导数的运算一、选择题：1 已知32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于A193B103C163D1332 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A3B-3C 5D -53 函数2y x a a =+2（）(x-)的导数为 A222()x a -B223()x a +C223()x a -D 222()x a +4 曲线313y x x =+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A19B 29C 13D 235 已知二次函数2y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 A3B52C 2 D326 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B()2(1)f x x =-C2()2(1)f x x =-D ()1f x x =-7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x'+=+B21(log )ln 2x x '=C3(3)3log x x e '=⋅D 2(cos )2sin x x x x '=-8 曲线32153y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A6π B 34π C 4π D 3π9 曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A34y x =-B32y x =-+C43y x =-+ D 45y x =-10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为11 一质点的运动方程为253s t =-，则在一段时间[1,1]t +∆内相应的平均速度为 A36t ∆+B36t -∆+C36t ∆- D 36t -∆-12 曲线()ln(21)f x x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是ABCD 013 过曲线32y x x =+-上的点0P 的切线平行于直线41y x =-，则切点0P 的坐标为 A (0,1)(1,0)-或B(1,4)(1,0)--或C(1,4)(0,2)---或D (2,8)(1,0)或14 点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 A[0,]2πB3[0,)[,)24πππ C 3[,)4ππ D 3(,]24ππ二、填空题15 设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等实根，且()22f x x '=+，则()y f x =的表达式是______________16 函数2sin x y x=的导数为_________________________________17 已知函数()y f x =的图像在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=_________ 18 已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，则k 的最大值为___________________________ 三、解答题19 求下列函数的导数（1）1sin 1cos x y x-=+ (2) 52sin x x y x +=(3) y = (4) tan y x x =⋅ 20 已知曲线21:C y x =与22:(2)C y x =--，直线l 与12,C C 都相切，求直线l 的方程21 设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --= （1）求()f x 的解析式（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

导数知识点与基础习题(含答案)(K12教育文档)

一．导数知识点与基础习题(含答案)(word版可编辑修改)二．三．四．编辑整理：五．六．七．八．九．尊敬的读者朋友们：十．这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（导数知识点与基础习题(含答案)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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十二．十三．导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率.一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆,我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y =',即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数二．导数的计算1。

基本初等函数的导数公式 2. 导数的运算法则 3。

复合函数求导()y f u =和()u g x =，称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•三。

导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数： 2。

函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值；4.函数的最大（小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题1、已知函数2()21f x x =-的图象上一点(1,1)及邻近一点,1(1)x y ∆++∆，则yx∆∆等于（）A ．4 B ．4x ∆ C ．42x +∆ D ．242x +∆2、如果质点M 按规律23S t =+运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度为（）A ．4B ．4.1C ．0。

导数综合练习题(基础型)共16页word资料

第 1 页1．曲线在点处的切线方程为 A ． B ． C ． D ．2．函数的导数A. B. C. D.3．已知点P 在曲线上，为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A. B. C. D.[0,)4．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足＞f （x ），则（）A ．f （2）＜f （0）B ．f （2）≤f （0）C ．f （2）＝f （0）D ．f （2）＞f （0）5．对于R 上可导的任意函数，若满足，则必有（）A ．B ．C ．D ．6．若曲线与曲线在交点处有公切线，则（）（A ）（B ）（C ）（D ） 7．函数的单调递增区是（） A ．B ．C ．和D ．8．已知，为的导函数，则得图像是（）9．设a R ∈，函数()x xf x e a e -=+⋅的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数，则a 的值为( )31y x =+(1,0)-330x y ++=330x y -+=30x y -=330x y --=2sin y x =y '=2cos x 2cos x -cos x cos x -41x y e =+αα3[,)4ππ[,)42ππ3(,]24ππ4π()f x '2e 2e 2e 2e )(xf 0)('1≤-x f x)1(2)2()0(f f f ＜+)1(2)2()0(f f f ≤+)1(2)2()0(f f f ＞+)1(2)2()0(f f f ≥+()cos f x a x =2()1g x x bx =++(0,)m a b +=1-012()23xy x e =-(),0-∞()0,+∞(),3-∞()1,+∞()3,1-21()sin()42f x x x π=++()f x '()f x ()f x 'A ．1B ．12-C ．12D ．1-10．函数导数是（） A. B.D. C.11．已知定义域为R 的奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋＞0，若a ＝f ，b ＝－2f (－2)，c ＝ln f (ln 2)，则下列关于a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c12．函数y=2x 3+1的图象与函数y=3x 2-b 的图象有三个不相同的交点,则实数b 的取值范围是( )(A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2)13．已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为f ′(x),满足f ′(x)<f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)<e x的解集为( ) (A)(-2,+∞) (B)(0,+∞) (C)(1,+∞) (D)(4,+∞)14．函数y=x ·e -x在x ∈[2,4]上的最小值为( ) (A)0 (B) (C)(D)15．如图,其中有一个是函数f(x)=x 3+ax 2+(a 2-1)x+1(a ∈R,a ≠0)的导函数f ′(x)的图象,则f(-1)为( )(A)2 (B)- (C)3 (D)- 16．若函数在R 上可导，且，则（）A.B.C.D. 不能确定17．函数f(x)＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．无数个 18．已知函数的图象在处的切线斜率为（），且当时，其图象经过，则（）A. B ． C ． D ．19．直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x 3＋ax ＋1相切于点(2,3)，则b 的值为( )． A ．－3 B ．9 C ．－15 D ．－7)cos()(2x x x f +=)sin(2x x +-)sin()12(2x x x ++-)sin()12(2x x x ++)sin(22x x x +-()f x x 1212⎛⎫ ⎪⎝⎭12()()222f x x f x m'=++2(0,)n n y a x a n N *=≠∈1x =121n a -+*2,n n N ≥∈1n =()2,87a =12567第 3 页20．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是________．21．已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________. 22．函数f (x )＝x (a ＞0)的单调递减区间是________．23．已知函数f(x)=e x+2x,若f ′(x)≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是________.24．若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c 的值为 .25．设a>0,f(x)=ax 2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,],则点P 到曲线y=f(x)的对称轴的距离的取值范围为 .26．设f(x)是偶函数，若曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．27．已知函数在区间（-1,1）上恰有一个极值点，则实数的取值范围是 ____ ．28．已知函数f(x)＝aln x ＋x 2(a>0)，若对定义域内的任意x ，f ′(x)≥2恒成立，则a 的取值范围是________．29．若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k)处的切线平行于x 轴，则k ＝________.30．若函数f(x)＝x 3－x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________．31．若函数f (x )＝ln x －ax 2－2x (a ≠0)存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是______．32．已知函数f (x )＝x －，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是______． 33．设函数在其图像上任意一点00(,)x y 处的切线方程为()()0020063x x x x y y --=-，且,则不等式的解集为．34．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是______．35．已知函数f (x )＝＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a的取值范围是______．36．设函数解不等式；（4分）2ax x -12)(23+-+=ax x x x f a 1213321211x +()x f y =()30f =()10x f x -≥1xax -2()1,()7.xxf x e xg x e x =--=--()()f x g x ≤事实上：对于有成立，当且仅当时取等号.由此结论证明:.（6分）37．已知函数，其中为常数，为自然对数的底数. （1）求的单调区间；（2）若，且在区间上的最大值为，求的值；（3）当时，试证明：.39．设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．40．设函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）在（2）的条件下，设函数，若对于[1，2]，[0，1]，使成立，求实数的取值范围．41．已知 (其中是自然对数的底)(1) 若在处取得极值,求的值；(2) 若存在极值，求a 的取值范围42．已知f (x )＝e x－ax －1. (1)求f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围．,x R ∀∈()0f x ≥0x =1(1),(0)x e x x +<>()ln f x ax x =+a e ()f x 0a <()f x (0,]e 2-a 1a =-1|()|ln 2x f x x x >+()f x 1x =()f x b ()f x (2,2)-a ()()30f x ax bx c a =++≠()()1,1f 670x y --=()f x '12-,,a b c ()f x ()f x []1,3-()1ln 1af x x ax x -=-+-1a =()f x 1x =13a =()f x ()25212g x x bx =--1x ∀∈2x ∃∈()()12f x g x ≥b ,],0(,ln 2)(2e x x ax x f ∈-=e)(x f 1=x a )(x f第 1 页参考答案1．B 【解析】试题分析：∵，∴，由点斜式知切线方程为：，即.考点：导数的几何意义，切线的求法. 2．A 【解析】试题分析：根据导函数运算公式可知A 正确.考点：导函数的计算公式. 3．A 【解析】试题分析：因为，所以，选A.考点：导数的几何意义、正切函数的值域. 4．D 【解析】试题分析：函数f （x ）（x ∈R ）满足，则函数为指数函数，可设函数，则导函数，显然满足，，，显然，即，故选 B ．本题入手点是根据函数导数运算法则，构造满足条件函数，从而解题。

数学选修11导数测试题含答案(K12教育文档)

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数学选修1-1导数测试题【选择题】1．已知定义在R上的函数f(x），其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是( )A．f（b）>f(c）〉f（d) B．f（b)〉f（a)>f(e)C．f(c）〉f(b)〉f(a) D．f(c）〉f（e)>f（d）2．函数f（x)的定义域为R，f(－1)＝2,对任意x∈R，f ′x〉2,则f（x）〉2x＋4的解集为( ）A．（－1，1）B．（－1，＋∞） C．(－∞，－1) D．（－∞，＋∞）3．设函数f(x)＝错误!＋ln x，则（)A．x＝错误!为f(x）的极大值点 B．x＝错误!为f（x）的极小值点C．x＝2为f（x)的极大值点 D．x＝2为f（x）的极小值点4．函数f（x）＝错误!＋x2－3x－4在［0，2]上的最小值是（）A．－错误! B．－错误! C．－4 D．－错误!5．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝（)A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或16．设函数f(x）＝ax2＋bx＋c（a，b,c∈R)．若x＝－1为函数f（x）e x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f（x）的图象是（)7．已知f(x）＝x3－ax在［1，＋∞）上是单调增函数,则a的最大值是( ）A．0 B．1 C．2 D．38．设动直线x＝m与函数f(x)＝x3，g（x）＝ln x的图象分别交于点M，N，则|MN｜的最小值为( ）A。

2023年人教版数学导数及其应用练习题及答案

2023年人教版数学导数及其应用练习题及答案首先，我们来介绍一下导数及其应用的相关概念。

在数学中，导数是一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。

导数的求解可以帮助我们了解函数的特征及其在不同点的变化情况。

导数在许多实际问题中都有广泛的应用，包括物理学、工程学等领域。

接下来，我们将给出一些关于导数的练习题以及它们的答案，供同学们进行练习和巩固知识。

练习题1:已知函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求 f(x) 的导数 f'(x)。

解答：根据导数的定义，我们可以使用求导法则来求解这个问题。

对于多项式函数而言，求导的方法非常简单，只需要将各个项的指数降低一次，并乘以原来的系数即可。

对于函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，将每一项的指数降低一次，有 f'(x) = 2*3x^1 - 1*2x^0 + 0 = 6x - 2。

所以，f(x) 的导数 f'(x) = 6x - 2。

练习题2:已知函数 g(x) = e^x，求 g(x) 的导数 g'(x)。

解答：对于指数函数 e^x，其导数仍然是 e^x。

这是因为指数函数的变化率与自身相等。

所以，g(x) 的导数 g'(x) = e^x。

练习题3:已知函数 h(x) = sin(x)，求 h(x) 的导数 h'(x)。

解答：对于三角函数 sin(x)，其导数是余弦函数 cos(x)。

所以，h(x) 的导数 h'(x) = cos(x)。

练习题4:已知函数 i(x) = ln(x)，求 i(x) 的导数 i'(x)。

解答：对于自然对数函数 ln(x)，其导数是 1/x。

所以，i(x) 的导数 i'(x) = 1/x。

通过以上的练习题，我们可以初步掌握导数的求解方法及其在不同函数类型下的应用。

在实际问题中，导数可以帮助我们解决最优化问题、求取曲线的切线与法线、估算函数值等。

导数的综合应用练习题及答案word精品文档16页

导数应用练习题答案1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。

2(1)()23[1,1.5]f x x x =---； 21(2)()[2,2]1f x x =-+；(3)()[0,3]f x =； 2(4)()1[1,1]x f x e =--解：2(1)()23[1,1.5]f x x x =---该函数在给定闭区间上连续，其导数为()41f x x '=-，在开区间上可导，而且(1)0f -=，(1.5)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(1,1.5)ξ∈-，使()410f ξξ'=-=，解出14ξ=。

解：21(2)()[2,2]1f x x =-+该函数在给定闭区间上连续，其导数为222()(1)x f x x -'=+，在开区间上可导，而且1(2)5f -=，1(2)5f =，满足罗尔定理，至少有一点(2,2)ξ∈-，使222()0(1)f ξξξ-'==+，解出0ξ=。

解：(3)()[0,3]f x =该函数在给定闭区间上连续，其导数为()f x '=，在开区间上可导，而且(0)0f =，(3)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(0,3)ξ∈，使()0f ξ'==，解出2ξ=。

解：2(4)()e 1[1,1]x f x =--该函数在给定闭区间上连续，其导数为2()2e x f x x '=，在开区间上可导，而且(1)e 1f -=-，(1)e 1f =-，满足罗尔定理，至少有一点ξ，使2()2e 0f ξξξ'==，解出0ξ=。

2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。

3(1)()[0,](0)f x x a a =>； (2)()ln [1,2]f x x=；32(3)()52[1,0]f x x x x =-+--解：3(1)()[0,](0)f x xa a =>该函数在给定闭区间上连续，其导数为2()3f x x '=，在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点(0,)a ξ∈，使()(0)()(0)f a f f a ξ'-=-，即3203(0)a a ξ-=-，解出ξ=。

人教版导数及其应用多选题综合模拟测评学能测试试卷

人教版导数及其应用多选题综合模拟测评学能测试试卷一、导数及其应用多选题1．函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（）A ．(2)(3)f f >B ．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e <D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y < 【答案】BD 【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设25xyk ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ==，再由函数()f x 性质判断D ．【详解】由ln (),0x f x x x=>得：21ln ()xf x x -'=令()0f x '=得，x e =当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：故，()f x x=在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，A ．1132ln 2(2)ln 2,(3)ln 32f f ===66111133223232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错B ．e e π<，且()f x 在(0,)e 单调递增lnf fπ∴<<<∴>，故：B正确C．()f x m=有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m∴==不妨设120x e x<<<要证：212x x e<，即要证：221222,()e ex x e e f xx x<>∴<在(0,)e单调递增，∴只需证：()212ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭即：()222ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭只需证：()222ef x fx⎛⎫-<⎪⎝⎭……①令2()(),()eg x f x f x ex⎛⎫=->⎪⎝⎭，则2211()(ln1)g x xe x'⎛⎫=--⎪⎝⎭当x e>时，2211ln1,()0()x g x g xe x'>>∴>∴在(,)e +∞单调递增()22()0x e g x g e>∴>=，即：()222ef x fx⎛⎫->⎪⎝⎭这与①矛盾，故C错D．设25x y k==，且,x y均为正数，则25ln lnlog,logln2ln5k kx k y k====252ln,5lnln2ln5x k y k∴==1152ln2ln5ln2,ln525==且1010111153222525⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪>> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ln2ln52502525ln2ln5x y∴>>∴<∴<，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．2．已知函数()3sinf x x x ax=+-，则下列结论正确的是（）A．()f x是奇函数B．当3a=-时，函数()f x恰有两个零点C．若()f x为增函数，则1a≤D．当3a=时，函数()f x恰有两个极值点【答案】ACD【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ，()()()()33sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选项正确；对于B 选项，当3a =-时，()3sin 3f x x x x =++，则()2cos 330f x x x '=++>，所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；对于C 选项，()2cos 3f x x x a '=+-，由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()23cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，所以，函数()g x '在R 上为增函数，当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数；当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数. 所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；对于D 选项，当3a =时，()3sin 3f x x x x =+-，则()2cos 33f x x x '=+-.由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点，因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立；（2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立；（3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立；（5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.3．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'()1f x f x ->，(1)3f =，则（）A ．(4)(3)f ef >B ．2(4)(2)f e f ->-C ．3(4)41f e >-D ．2(4)41f e -<--【答案】ACD 【分析】由已知构造得'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.【详解】因为当0x >时，()'()1fx f x ->，所以()'()10f x f x -->，即()[]'()+10xf x f e x ->，所以'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1xf xg x e=，则当0x >时，()'>0g x ，函数()g x 单调递增，所以()()4>3g g ，即43(4)+1(3)+1>f f e e ，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；()()4>2g g ，即42(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-，所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；()()4>1g g ，即4(4)+1(1)+1>f f e e，又(1)3f =，化简得3(4)41f e >-，故C 正确；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.4．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（）A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上 B ．若阿基米德三角形PAB为正三角形，则其面积为4C ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=【答案】ABC 【分析】设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A ：把抛物线焦点的坐标代入直线AB 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线AB 一定存在斜率，所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，由题意可知：点221122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，由2'2yx y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，两方程联立得：211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩，解得：12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，直线AB 的方程与抛物线方程联立得：2121220,y kx m x kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 14y =-，因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而1214x x m =-=-，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，此时221111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：21(0,)x -，因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，1122x x =-⇒=-，因此正三角形PAB，所以正三角形PAB的面积为11sin 602224︒==，故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时，所以1212121222121122122114PAPBx x x xx x kk x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---，直线AB 的方程为：14y kx =+所以P 点坐标为：1(,)24k -，点 P 到直线AB 的距离为：=||AB ===，因为12121,4x x k x x +==-，所以21AB k =+，因此直角PAB的面积为：2111(1)224k ⨯+=≥，当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确； D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以1||AB x x ===-，点P 到直线AB 的距离为：212== 所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x x S x x -=⋅-=，故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.5．已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（）A ．()f x 在1,上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D ．若163a =，则()f x 只有一个零点【答案】ACD 【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163a =代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则212401a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >，当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误；因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++- 1112111ln 1ln 22a a a a a a a a⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭，易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数，则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--，所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确；当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34，则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>，所以()f x 只有一个零点，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点： ①切点坐标满足原曲线方程； ②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.6．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC 【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<，令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x'-='<， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >； A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+； C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.7．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln xf x x=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（）A ．y x =B ．12y x =-C ．3ex y =D ．1122y x =-【答案】AB 【分析】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，由函数()ln x f x x =，可得()21ln xf x x -'=，所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-，且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方；又由函数()1x g x e-=，可得()1e0x g x -'=>，()g x 单调递增，因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =，此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合；设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ，根据导数的几何意义，可得切线的斜率为021ln x k x -=，又由斜002000ln 0y x k x x -==-，可得002100ln 1ln x x x x -=，解得0x =，所以12k e ==，可得切线方程为2x y e =，又由直线3xy e=与曲()y f x =相交，故C 不符合；由直线1122y x =-过点()1,0，斜率为12，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，明显不满足，排除D. 故选：AB.【点睛】对于函数的新定义试题：（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.8．对于函数2ln ()x f x x =，下列说法正确的是（） A ．()f x 在x e =12e B ．()f x 有两个不同的零点 C ．(23f f f π<< D ．若()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立，则2e k > 【答案】ACD【分析】求得函数的导数312ln ()-'=x f x x ，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x e >()0f x >，可判定B 不正确；由函数的单调性，得到3))f f π>，再结合作差比较，得到)2)f f π>，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x+>+=在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1x g x x+=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数2ln ()x f x x =，可得312ln ()(0)x f x x x -'=>，令()0f x '=，即312ln 0x x -=，解得x e = 当0x e <<()0f x '>，函数()f x 在)e 上单调递增；当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，极大值为12f e=，所以A 正确；由当1x =时，()10f =，因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，当x >()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，由于ln ln 2ln ,242f f πππ====，则2ln ln 2ln ln 22444f f ππππππ-=-=-，因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，所以f f f <<，所以C 正确；由()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，设()2ln 1x g x x +=，则()32ln 1x g x x --'=，令()0g x '=，即32ln 10x x --=，解得x = 所以当0x<<()0g x '>，函数()g x 在上单调递增；当x>()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减，所以当x=()g x 取得最大值，最大值为22e e g e =-=，所以2e k >，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

高二理数课外辅导(8)选修2-2《导数综合》

．
10、设 f (x) x3 1 x2 2x 5 ,当 x [1,2] 时, f (x) m 恒成立,则实数 m 的取值范围为
.
2
二、解答题
11
错误!未指定书签。．（2013
山东数学（理）设函数
f
(x)
x e2x
c
.(Ⅰ)求
f
(x)
的单调区间、最大值;
解:(Ⅰ)
f ' (x) (1 2x)e2x ,
解
y
|x1
2x 1 2x (2x 1)2
|x1
[
1 (2x 1)2
]
|x1
1,
故切线方程为 y 1 (x 1) ,即 x y 2 0 故选 B.
3、 f (x) x3 x 2 x 的单调减区间是( )
A.( , 1) 3
B. (1, )
C.( , 1) , (1, ) D. ( 1 ,1)
2．曲线 y x 在点 1,1 处的切线方程为 (
2x 1
C. cos2x 2xsin 2x )
D. cos 2x xsin 2x
A. x y 2 0 B. x y 2 0 C. x 4y 5 0 D. x 4 y 5 0
3． f (x) x3 x 2 x 的单调减区间是( )
所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方.
又解 : g(xln x 0 , 记 h(x) x2 x ln x , 则 x
h(x) 2x 1 1 2x2 x 1 (2x 1)(x 1) ,
x
x
x
所以当 0 x 1时, h(x) 0 , h(x) 在(0,1)上单调递减;
7．若函数 f (x) x2 bx c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f (x) 的图象是( )

高中数学导数综合二关注原函数课后练习二新人教版选修22

导数综合（二）——关注原函数课后练习（二）已知函数()2f x x =+2(3)(1)l n p x px -+-(∈p )R ．(Ⅰ)若()x f 无极值点，求p 的取值范围； (Ⅱ)设0x 为函数()x f 的一个极值点，问在直线0x x =的右侧，函数()y f x=的图象上是否存在点11(,())A xf x ，B ))(,(22x f x )(21x x <，使得px x x f x f -=--3)()(1212成立？若存在，求出1x 的取值范围；若不存在，请说明理由．已知函数(),()ln x xf x e axg x e x =+=．（1）设曲线()y f x =在1x =处的切线与直线(1)1x e y +-=垂直，求a 的值；（2）若对任意实数0,()0x f x ≥>恒成立，确定实数a 的取值范围；（3）当1a =-时，是否存在实数0[1,]x e ∈，使曲线C ：()()y g x f x =-在点0x x =处的切线与y轴垂直？若存在，求出0x 的值，若不存在，说明理由．已知函数()ln f x x =，21()22g x x x =-．（1）设/()(1)()h x f x g x =+-（其中/()g x 是()g x 的导函数），求()h x 的最大值；（2）证明：当0b a <<时，求证：()(2)2b af a b f a a -+-<；（3）设k Z ∈,当1x >时，不等式/(1)()3()4k x xf x g x -<++恒成立，求k 的最大值．若22(ln 1)(0)()(ln 1)()x a x x e f x x a x x e ⎧--<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，其中R a ∈．（1）当2a =-时，求函数()f x 在区间2[,]e e 上的最大值；（2）当0a >时，若[)+∞∈,1x ，ax f 23)(≥恒成立，求a 的取值范围．已知函数f(x)＝ln(ex ＋a)(a 为常数)是实数集R 上的奇函数，函数g(x)＝λf(x)＋sinx 是区间[－1,1]上的减函数．(1)求g(x)在x ∈[－1,1]上的最大值；(2)若g(x)≤t2＋λt ＋1对∀x ∈[－1,1]及λ∈(－∞，－1]恒成立，求t 的取值范围； (3)论关于x 的方程lnxf x ＝x2－2ex ＋m 的根的个数．已知函数f （x ）=32ax bx cx d +++的图象如图所示，则实数b 的取值范围是____．导数综合（二）——关注原函数课后练习参考答案(Ⅰ)[1,1]-；(Ⅱ)当1p <-时,1x 的取值范围为22(1)1(,)2p p-+-，当13p <<时,1x 的取值范围为22(1)(1,p p --．详解：(Ⅰ)由已知得()2(3)f x x p '=+-21p x -+(0>x )，令()0f x '=得22(3)x p x +-2(1)0p +-=，则[(1)]x p +-[2(1)]0x p ++=因为()x f 无极值点,所以10,10,2p p -≤⎧⎪⎨+-≤⎪⎩或211p p +-=-，得11p -≤≤或13p =．所以p 的取值范围为[1,1]-(Ⅱ)因为0>x ,由(Ⅰ)0)(='x f 可知，函数)(x f 最多只有一个极值点0x ,且函数)(x f 在 0x x >上单调递增．由2121()()30fx fx p x x -=->-得3<p 又212121()()()f x f x x x x x -=+-2(3)(1)p p +-+-2121ln ln 3x x p x x -=--,所以2122221l n l n 11x x p x x -=--,所以222112221ln 211x x x p x x ⎛⎫⎪⎝⎭=-⎛⎫- ⎪⎝⎭因为012>>x x ,所以112>x x ,设212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x t ,t t t g ln 1)(--=()1t >, 则1()10g t t '=->,则函数)(x g 在()1,+∞上单调递增,又(1)0g =,所以()(1)g t g >, 所以212212ln 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x , 所以11ln 212212<-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x ,即112221<-p x ,得22(1)2p --1x <<22(1)2p -(1-<p 或31<<p )又因为点A 在直线0x x =右侧，且在函数()y f x =图象上，所以①当1-<p 时,21p x +-=,此时2)1(22121-<<+-p x p； ②当31<<p 时,10-=p x ,此时,2)1(2121-<<-p x p ；综上，存在满足条件的点A ，且当1p <-时,1x 的取值范围为22(1)1(,)22p p-+-当13p <<时,1x 的取值范围为22(1)(1,)2p p --（1）a ＝－1；（2）a 的取值范围为(),e -+∞；（3）不存在实数[]01,x e ∈．详解：（1）()xf x e a '=+，因此()y f x =在()1,(1)f 处的切线l 的斜率为e a +，又直线(1)1x e y +-=的斜率为11e -， ∴（e a +）11e ⋅-＝－1，∴ a ＝－1．（2）∵当x ≥0时，()xf x e ax =+0>恒成立，∴ 先考虑x ＝0，此时，()xf x e =，a 可为任意实数；又当x ＞0时，()xf x e ax =+0>恒成立，则xe a x >-恒成立，设()h x ＝x e x -，则()h x '＝2(1)x x e x -，当x ∈(0,1)时，()h x '＞0，()h x 在(0,1)上单调递增，当x ∈(1,＋∞)时，()h x '＜0，()h x 在(1,＋∞)上单调递减，故当x ＝1时，()h x 取得极大值，max ()(1)h x h e==-，∴实数a 的取值范围为(),e -+∞．（3）依题意，曲线C 的方程为ln x xy e x e x =-+，令()u x ＝ln x xe x e x -+，则()ln 1xx x e u x e x e x '=+-+设1()ln 1v x x x =+-，则22111()x v x x x x -'=-+=，当[]1,x e ∈，()0v x '≥，故()v x 在[]1,e 上的最小值为(1)0v =，所以()v x ≥0，又0x e >，∴1()ln 11xu x x e x ⎛⎫'=+-+ ⎪⎝⎭＞0，而若曲线C ：()()y g x f x =-在点0x x =处的切线与y 轴垂直，则0()u x '＝0，矛盾．所以，不存在实数[]01,x e ∈，使曲线C ：()()y g x f x =-在点0x x =处的切线与y 轴垂直．（1）2；（2）见详解；（3）k 的最大值是5．详解：（1）/()(1)()ln(1)2h x f x g x x x =+-=+-+,1x >-所以1()111x h x x x -'=-=++．当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<．因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减．因此，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =．（2）当0b a <<时，102b aa --<<．由（1）知：当10x -<<时，()2h x <，即ln(1)x x +<．因此，有()(2)lnln 1222a b b a b af a b f a a a a +--⎛⎫+-==+< ⎪⎝⎭．（3）不等式/(1)()3()4k x xf x g x -<++化为ln 21x x xk x +<+-所以ln 21x x xk x +<+-对任意1x >恒成立．令()ln 21x x x g x x +=+-，则()()2ln 21x x g x x --'=-，令()ln 2h x x x =--()1x >，则()1110x h x x x -'=-=>，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．因为()()31ln30,422ln 20h h =-<=->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在独一实根0x ，且满足()03,4x ∈．当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>，所以函数()ln 21x x xg x x +=+-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．所以()()()()()000000min 001ln 122225,611x x x x g x g x x x x ++-==+=+=+∈⎡⎤⎣⎦--．所以()()0min 25,6k g x x <=+∈⎡⎤⎣⎦．故整数k 的最大值是5．（1）42e -；（2）a 的取值范围是(]2,0．详解：（1）当2a =-，2[,]x e e ∈时，2()2ln 2f x x x =-+， ∵x x x f 22)(-='，∴当],[2e e x ∈时，()0f x '>，∴函数2()2ln 2f x x x =-+在2[,]e e 上单调递增，故2222max ()()()2ln f x f e e e ==-422e +=- （2）①当e x ≥时，a x a x x f -+=ln )(2，()2af x x x '=+，0>a ，()0f x '>，∴f （x ）在),[+∞e 上增函数，故当e x =时，2min )()(e e f x f ==；②当e x <≤1时，2()ln =-+f x x a x a ，)2)(2(22)(ax a x x x a x x f -+=-='，（i ）当,12≤a即20≤<a 时，)(x f 在区间),1[e 上为增函数，当1=x 时，a f x f +==1)1()(min ，且此时)()1(e f f <2=e ；（ii ）当12a e <≤，即222a e <≤时，)(x f 在区间1,2a ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上为减函数，在区间,2a e ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上为增函数，故当2a x =时，2ln223)2()(min aa a a f x f -==，且此时)()2(e f a f <2=e ；（iii ）当2a e >，即22a e >时，2()ln =-+f x x a x a 在区间[1，e]上为减函数，故当e x =时，2min )()(e e f x f ==．综上，函数)(x f y =的在[)+∞,1上的最小值为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤<+=222min2,22,2ln 22320,1)(e a e e a a a a a a x f由⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤<,231,2aaa得20≤<a；由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤<,232ln223,222aaaaea得无解；由⎪⎩⎪⎨⎧≥>,23,222aeea得无解；故所求a的取值范围是(]2,0．(1)－λ－sin1；(2)t≤－1；(3)①当m－e2>1e，即m>e2＋1e时，方程无解；②当m－e2＝1e，即m＝e2＋1e时，方程有一个根；③当m－e2<1e，即m<e2＋1e时，方程有两个根．详解：(1)f (x)＝ln(ex＋a)是奇函数，则ln(e x＋a)＝－ln(ex＋a)恒成立．∴(e x＋a)(ex＋a)＝1．1＋ae x＋aex＋a2＝1，∴a(ex＋e x＋a)＝0，∴a＝0．又∵g(x)在[－1,1]上单调递减，∴g(x)max＝g(－1)＝－λ－sin1．(2)只需－λ－sin1≤t2＋λt＋1在λ∈(－∞，－1]上恒成立，∴(t＋1)λ＋t2＋sin1＋1≥0在λ∈(－∞，－1]上恒成立．令h(λ)＝(t＋1)λ＋t2＋sin1＋1(λ≤－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧t＋1≤0－t－1＋t2＋sin1＋1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧t≤－1t2－t＋sin1≥0，∵Δ＝(－1)2－4sin1<0，∴t2－t＋sin1≥0恒成立，∴t≤－1．(3)由(1)知f(x)＝x，∴方程为lnxx＝x2－2ex＋m，令f1(x)＝lnxx，f2(x)＝x2－2ex＋m，∵f 1′(x)＝1－lnxx2，当x∈(0，e)时，f 1′(x)≥0，∴f1(x)在(0，e]上为增函数；当x∈[e，＋∞)时，f 1′(x)≤0，∴f1(x)在[0，e)上为减函数．∴当x＝e时，f1(x)max＝f1(e)＝1e．而f2(x)＝(x－e)2＋m－e2，∴函数f1(x)、f2(x)在同一坐标系的大致图象如图所示，∴①当m－e2>1e，即m>e2＋1e时，方程无解．②当m－e2＝1e，即m＝e2＋1e时，方程有一个根．③当m －e2<1e ，即m<e2＋1e时，方程有两个根．b ∈(－∞，0)．详解：由图象可知，当x ＝0时，f (0)＝a·03＋b×0＋c×0+d ＝0 ∴d ＝0，∴f (x)＝ax3＋bx2＋cx ＝x(ax2＋bx ＋c) 又∵当x ＝1，x ＝2时，f (1)＝f (2)＝0∴1,2是方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根∴120ba +=-> 又∵由图象可知，a ＞0，∴b ＜0 ∴b ∈(－∞，0)．。

2023年人教版数学导数求解练习题及答案

2023年人教版数学导数求解练习题及答案数学是一门重要的学科，也是我们日常生活中不可或缺的一部分。

在数学学习中，导数是一个基础且重要的概念，涉及到各种应用问题的解决方法。

为了帮助学生更好地理解和掌握导数的求解方法，人教版在2023年的数学教材中特别编写了一系列导数求解练习题。

本文将为大家介绍这些练习题，并提供详细的答案。

第一章导数的概念与基本操作1. 已知函数y = x² + 3x，求其一阶导数。

解答：首先，我们可以使用求导的基本公式，对函数进行求导。

根据导数的定义，导数表示函数在某一点上的变化率。

对于一次幂函数，比如x²，其导数为2x。

对于常数函数，比如3x，其导数为3。

因此，函数y = x² + 3x的一阶导数为dy/dx = 2x + 3。

2. 已知函数y = sin(x) + cos(x)，求其二阶导数。

解答：首先，我们对函数进行一阶导数运算。

根据导数的基本公式，sin(x)的导数为cos(x)，cos(x)的导数为-sin(x)。

因此，函数y = sin(x) + cos(x)的一阶导数为dy/dx = cos(x) - sin(x)。

接下来，我们对一阶导数再进行一次导数运算。

根据导数的基本公式，cos(x)的导数为-sin(x)，-sin(x)的导数为-cos(x)。

因此，函数y = sin(x) + cos(x)的二阶导数为d²y/dx² = -sin(x) - cos(x)。

第二章导数的应用3. 一个长方形的长是x，宽是y，若长的增长率为2cm/min，宽的减小率为3cm/min，则当长为10cm，宽为5cm时，长方形面积的变化率是多少？解答：首先，我们知道长方形的面积S等于长乘以宽，即S = x * y。

利用链式法则，可知面积的变化率dS/dt等于面积对长的变化率的导数乘以长对时间的变化率，再加上面积对宽的变化率的导数乘以宽对时间的变化率。

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导数练习题（B ）1．（本题满分12分）已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．（I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=．（I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．3．（本小题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．4．（本小题满分12分）已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=．（I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >；（II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围；6．（本小题满分12分）已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）．（I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值．7．（本小题满分14分）已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．（本小题满分12分）已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立． 9．（本小题满分12分）已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意10．（本小题满分14分）已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈= ，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．11．（本小题满分12分）设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数．（I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 12．（本小题满分14分）定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；（III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >．导数练习题（B ）答案1．（本题满分12分）已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．（I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分）（I ）由图可知函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f 得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--++=0323233c d b a c b a d …………（4分）（II ）依题意3)2('-=f 且5)2(=f⎩⎨⎧=+--+-=--+534648323412b a b a b a b a解得 6,1-==b a 所以396)(23++-=x x x x f …………（8分）（III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实根，即：()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点； ()()()42381432--=+-='x x x x x g ，()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,273． …………（10分）当且仅当()01640276832<--=>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且时，有三个交点，故而，276816<<-m 为所求． …………（12分）2．（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=．（I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．解：（I ）)0()1()('>-=x xx a x f （2分）当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞<x f a当a=0时，)(x f 不是单调函数（5分）（II ）32ln 2)(,22343)4('-+-=-==-=x x x f a a f 得 2)4()(',2)22(31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x mx x g （6分）2)0(',)3,1()(-=g x g 且上不是单调函数在区间⎩⎨⎧><∴.0)3(',0)1('g g （8分）⎪⎩⎪⎨⎧>-<∴,319,3m m （10分）)3,319(--∈m （12分）3．（本小题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．解：（I ）,23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=⇒=320)1(--=⇒='a b f ),323)(1()32(23)(2++-=+-+='∴a x x a ax x x f由33210)(+-==⇒='a x x x f 或，因为当1=x 时取得极大值，所以31332-<⇒>+-a a ，所以)3,(:--∞的取值范围是a ；…………（4分）（依题意得：9)32(272-=+a ，解得：9-=a所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(23+-=…………（10分）（III ）对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα在区间[-2，2]有： 230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f ,7)1()(=f x f 的最大值是7430368)2()(-=---=-f x f 的最小值是函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81，所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．…………（14分） 4．（本小题满分12分）已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=．（I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >；（II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．解：（I ）01)(≥-='x e x f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞， …………（2分） ∵0>a ，∴1)0()(=>f a f ，∴a a e a >+>1，即a e a >． …………（4分）（II ）a x a x a x x g )22)(22(22)(-+=-='，由0)(='x g ，得22ax =，列表当2x )222(a，无极大值． …………（6分）由（I ）a e a >，∵⎪⎩⎪⎨⎧>>22aa e e aa ，∴22a e a >，∴22ae a >01)1(>=g ，0))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a …………（8分）（i ）当122≤a，即20≤<a 时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点（ii ）当122>a ，即2>a 时若0)2ln 1(2>-a a ，即e a 22<<时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点若0)2ln 1(2=-a a ，即e a 2=时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在一个零点e x =；若0)2ln 1(2<-a a ，即e a 2>时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在两个零点；综上所述，)(x g y =在(1,)a e 上，我们有结论：当02a e <<时，函数()f x 无零点；当2a e = 时，函数()f x 有一个零点；当2a e >时，函数()f x 有两个零点．…………（12分） 5．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围；解：（I ）当1k =时，2()1x f x x -'=-)(x f 定义域为（1，+∞），令()0,2f x x '==得， ………………（2分） ∵当(1,2),x ∈时()0f x '>，当(2,),x ∈+∞时()0f x '<， ∴()(1,2)f x 在内是增函数，(2,)+∞在上是减函数 ∴当2x =时，()f x 取最大值(2)0f = ………………（4分）（II ）①当0k ≤时，函数ln(1)y x =-图象与函数(1)1y k x =--图象有公共点， ∴函数()f x 有零点，不合要求； ………………（8分） ②当0k >时，1()11()111kk x k kxk f x k x x x +-+-'=-==---- ………………（6分）令1()0,k f x x k +'==得，∵1(1,),()0,k x f x k +'∈>时1(1,),()0x f x k'∈++∞<时，∴1()(1,1)f x k+在内是增函数，1[1,)k++∞在上是减函数，∴()f x 的最大值是1(1)ln f k k+=-，∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k -<，1k >，因此，若函数()f x 没有零点，则实数k 的取值范围(1,)k ∈+∞．………………（10分） 6．（本小题满分12分）已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）．（I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值．解：（I ）由2()(23)x f x x ax a e =+--可得22()(2)(23)[(2)3]x x x f x x a e x ax a e x a x a e '=+++--=++--……（4分）∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴(2)0f '=∴2(5)0a e +=，解得5a =- ……………（6分）（II ）由0)1)(2()(>--='x e x x x f ，得)(x f 在)1,(-∞递增，在),2(+∞递增，由0)(<'x f ，得)(x f 在在)2,1(递减∴2)2(e f =是()f x 在]3,23[∈x 的最小值； ……………（8分）2347)23(e f =，3)3(e f =∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233f f e e e e e f f >>-=-=-∴()f x 在]3,23[∈x 的最大值是3)3(e f =． ……………（12分）7．（本小题满分14分）已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值．解：（Ⅰ）x x x x f ln 164)(2--=，xx x x x x f )4)(2(21642)('-+=--= 2分由0)('>x f 得0)4)(2(>-+x x ，解得4>x 或2-<x 注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递增区间是（4，+∞）由0)('<x f 得0)4)(2(<-+x x ，解得-2＜x ＜4，注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递减区间是]4,0(. 综上所述，函数)(x f 的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是]4,0( 6分（Ⅱ）在],[2e e x ∈时，x a x x x f ln )2(4)(2-+-= 所以xax x x a x x f -+-=-+-=242242)('2，设a x x x g -+-=242)(2当0<a 时，有△=16+4×208)2(<=-a a ，此时0)(>x g ，所以0)('>x f ，)(x f 在],[2e e 上单调递增，所以a e e e f x f -+-==24)()(2min 8分当0>a 时，△=08)2(2416>=-⨯-a a ，令0)('>x f ，即02422>-+-a x x ，解得221a x +>或221ax -<；令0)('<x f ，即02422<-+-a x x ，解得221a -221ax +<<. ①若221a+≥2e ，即a ≥22)1(2-e 时， )(x f 在区间],[2e e 单调递减，所以a e e e f x f 244)()(242min -+-==.②若2221e ae <+<，即222)1(2)1(2-<<-e a e 时间， )(x f 在区间]221,[a e +上单调递减，在区间],221[2e a +上单调递增，所以min )(x f )221(a f +=)221ln()2(322aa a a +-+--=.③若221a+≤e ，即a <0≤22)1(-e 时，)(x f 在区间],[2e e 单调递增，所以a e e e f x f -+-==24)()(2min综上所述，当a ≥222)1(-e 时，a e a x f 244)(24min -+-=；当222)1(2)1(2-<<-e a e 时，)221ln()2(322)(min aa a ax f +-+--=；当a ≤2)1(2-e 时，a e e x f -+-=24)(2min14分 8．（本小题满分12分）已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立．解：（I ）226()26a x x af x x x x-+'=-+=， ………………（2分）∵()f x 在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性，∴在(2,)x ∈+∞上()f x '有正也有负也有0，即二次函数226y x x a =-+在(2,)x ∈+∞上有零点 ………………（4分） ∵226y x x a =-+是对称轴是32x =，开口向上的抛物线，∴222620y a =⋅-⋅+<的实数a 的取值范围(,4)-∞ ………………（6分）（II ）由（I ）22()2a g x x x x =+-，方法1：2222()()62(0)a g x f x x x x x x '=-+=+->， ∵4a <，∴323233444244()22a x x g x x x x x x -+'=-+>-+=，…………（8分）设2344()2h x x x =-+，3448124(23)()x h x x x x-'=-= ()h x 在3(0,)2是减函数，在3(,)2+∞增函数，当32x =时，()h x 取最小值3827∴从而()g x '3827>，∴38(())027g x x '->，函数38()27y g x x =-是增函数，12x x 、是两个不相等正数，不妨设12x x <，则22113838()()2727g x x g x x ->-∴212138()()()27g x g x x x ->-，∵210x x ->，∴1212()()3827g x g x x x ->-∴1212()()g x g x x x --3827>，即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分）方法2：11(,())M x g x 、22(,())N x g x 是曲线()y g x =上任意两相异点，121222121212()()2()2g x g x x x ax x x x x x -+=+--，12x x +> 4a <12221212122()22x x a a x x x x x x +∴+->+-1242x x >+- ………（8分）设0t t =>，令32()244MN k u t t t ==+-，()4(32)u t t t '=-，由()0u t '>，得2,3t >由()0u t '<得20,3t <<()u t ∴在)32,0(上是减函数，在),32(+∞上是增函数，)(t u ∴在32=t 处取极小值2738，38()27u t ∴≥，∴所以1212()()g x g x x x --3827>即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分）9．（本小题满分12分）已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意（1）)(x f 的定义域为),0(+∞，xa x x x a ax x x a a x x f )1)(1(11)('2-+-=-+-=-+-=2分（i ）若2,11==-a a 即，则 .)1()('2xx x f -=故)(x f 在),0(+∞单调增加．（ii ）若.0)(',)1,1(,21,1,11<-∈<<><-x f a x a a a 时则当故而)1,1()(,0)(',),1()1,0(->+∞∈-∈a x f x f x a x 在故时及当单调减少，在（0，a-1）， ),1(+∞单调增加．（iii ）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11+∞-->>-a a x f a a 在单调减少在同理可得即单调增加．（II ）考虑函数x x f x g +=)()( .ln )1(212x x a ax x +-+-=由 .)11(1)1(121)1()('2---=---⋅≥-+--=a a xa x x a a x x g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5+∞><x g x g a a ，从而当021>>x x 时有 ,0)()(,0)()(212121>-+->-x x x f x f x g x g 即故1)()(2121->--x x x f x f ，当210x x <<时，有1)()()()(12122121->--=--x x x f x f x x x f x f10．（本小题满分14分）已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈= ，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．解：（I ）(),()1a f x x g x a x''=+=+， ……………（2分） ∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，∴当[1,3]x ∈时，2(1)()()()0a x a f x g x x++''⋅=≥恒成立， ……………（4分）即2(1)()0a x a ++≥恒成立， ∴21a a x >-⎧⎨≥-⎩在[1,3]x ∈时恒成立，或21a a x <-⎧⎨≤-⎩在[1,3]x ∈时恒成立， ∵91x -≤≤-，∴1a >-或9a ≤- ………………（6分）（II ）21()ln ,(1)2F x x a x a x =+-+，()(1)()(1)a x a x F x x a x x--'=+-+=∵()F x 定义域是(0,)+∞，(1,]a e ∈，即1a >∴()F x 在(0,1)是增函数，在(1,)a 实际减函数，在(,)a +∞是增函数 ∴当1x =时，()F x 取极大值1(1)2M F a ==--，当x a =时，()F x 取极小值21()ln 2m F a a a a a ==--， ………………（8分）∵12,[1,]x x a ∈，∴12|()()|||F x F x M m M m -≤-=- ………………（10分）设211()ln 22G a M m a a a =-=--，则()ln 1G a a a '=--，∴1[()]1G a a''=-，∵(1,]a e ∈，∴[()]0G a ''>∴()ln 1G a a a '=--在(1,]a e ∈是增函数，∴()(1)0G a G ''>=∴211()ln 22G a a a a =--在(1,]a e ∈也是增函数 ………………（12分）∴()()G a G e ≤，即2211(1)()1222e G a e e -≤--=-，而22211(1)(31)1112222e e e ----=-<-=，∴()1G a M m =-< ∴当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． ………………（14分） 11．（本小题满分12分）设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数．（I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '．解：（I ）11()0ex f x e xx -'=-==，得1x e= 当x 变化时，()f x '与()f x 变化情况如下表：∴当1x e =时，()f x 取得极大值()2f e=-，没有极小值；…………（4分）（II ）（方法1）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，∴21201ln 0x x xx x --=即20211ln()0x x x x x --=，设2211()ln ()xg x x x x x =-- 211211()ln ()x g x x x x x =--，1/211()ln 10x x g x x =->，1()g x 是1x 的增函数， ∵12x x <，∴2122222()()ln ()0xg x g x x x x x <=--=；222211()ln()x g x x x x x =--，2/221()ln 10x x g x x =->，2()g x 是2x 的增函数， ∵12x x <，∴1211111()()ln ()0xg x g x x x x x >=--=，∴函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x ， …………（10分）又∵22111,ln0xx x x >∴>，函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 是增函数， ∴函数2121()ln x x xg x x x -=-在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立…………（12分）（方法2）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，即020112ln ln 0x x x x x x -+-=，012(,)x x x ∈，且0x 唯一设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-，则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-，再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-，20x x <<，∴2()ln ln 0h x x x '=-> ∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=，同理2()0g x > ∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 …………（10分） ∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数 ∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解，命题成立………（12分）注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C 不存在拐点，不给分． 12．（本小题满分14分）定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；（III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >．解：（I ）22log (24)0x x -+>，即2241x x -+> ……………………（2分）得函数()f x 的定义域是(1,3)-， ……………………（4分）（II ）22322()(1,log (1))1,g x F x ax bx x ax bx =+++=+++设曲线00(41)C x x -<<-在处有斜率为－8的切线，又由题设,23)(,0)1(log 2232b ax x x g bx ax x ++='>+++∴存在实数b 使得⎪⎩⎪⎨⎧>+++-<<--=++1114823020300020bx ax x x b ax x 有解， ……………………（6分）由①得,238020ax x b ---=代入③得082020<---ax x ，200028041x ax x ⎧++>⎪∴⎨-<<-⎪⎩由有解， ……………………（8分）方法1：0082()()a x x <-+-，因为041x -<<-，所以0082()[8,10)()x x -+∈-，当10a <时，存在实数b ，使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线………………（10分）方法2：得08)1()1(208)4()4(222>+-⨯+-⨯>+-⨯+-⨯a a 或，1010,10.a a a ∴<<∴<或 ………………（10分）方法3：是222(4)(4)802(1)(1)80a a ⎧⨯-+⨯-+≤⎪⎨⨯-+⨯-+≤⎪⎩的补集，即10a < ………………（10分）（III ）令2)1ln(1)(,1,)1ln()(x x x xx h x x x x h +-+='≥+=由又令,0),1ln(1)(>+-+=x x x x x p 0)1(11)1(1)(22<+-=+-+='∴x x x x x p ， ),0[)(+∞∴在x p 单调递减. ……………………（12）分0()(0)0,1()0,x p x p x h x '∴><=∴≥<当时有当时有 ),1[)(+∞∴在x h 单调递减，x y y x y x x y yy x x y x )1()1(),1ln()1ln(,)1ln()1ln(,1+>+∴+>+∴+>+<≤∴有时， ).,(),(,x y F y x F y x N y x ><∈∴*时且当 ………………（14分）①②③。