③ 1.3三角函数的诱导公式 学案
三角函数的诱导公式学案
— 的终边与单位圆的交点是什么？ 3.根据三角函数的定义，写出 与 - 的各三角函数值.
观察以上结论得出：
sin( )
cos( )
tan( )
tan 5
观察得出三角函数的诱导公式四： sin( - )= cos( - )=
1.3 三角函数的诱 导公式 姓名
将下列三角函数转化为锐角三角函数
将下列三角函数转化为锐角三角函数
sin(1 ) =
自主 检测
sin( 5)=
自主 检测
sin(1 ) =
sin( 5)=
tan 6 =
5
) sin( 74
tan 6 =
5
) sin( 74
1.已知 sin( ) -0.5，则 sin =
3 应用： tan 5
tan( - )=
上述公式叫三角函数的诱导公式二。 应用：sin225° cos225°
tan 31 36
cos 150 °
，正负号的变换规律是
4
由公式一～四可知,等式左右两边的函数名称
例 1．求下列三角函数值 （1） cos （—420°） （2） sin(
sin( 2k ) sin ，
作用：将任意角转化为 0～2 求值 应用： sin 1200°=
2.由三角函数定义，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交与点 P(x,y),则 sin ＝ cos ＝ tan ＝ 观察以上结论得出： ：sin(﹣ )=
y
cos 2640°=
83
11 4
sin
cos
tan
我的 问题
灵石一中课前自主学习型导学案 2
1.3《三角函数的诱导公式》教学案3
1.3《三角函数的诱导公式》教学案31.3《三角函数的诱导公式》教学案整体设计教学分析本节主要是推导诱导公式二、三、四，并利用它们解决一些求解、化简、证明问题.本小节介绍的五组诱导公式在内容上既是公式一的延续，又是后继学习内容的基础，它们与公式一组成的六组诱导公式，用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题.在诱导公式的学习中，化归思想贯穿始末，这一典型的数学思想，无论在本节中的分析导入，还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，均清晰地得到体现，在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识，特别是在本课时的三个转化问题引入后，为什么确定180°+α角为第一研究对象，-α角为第二研究对象，正是化归思想的运用.运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用.3.进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的能力.重点难点教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用，三角函数式的求值、化简和证明等.教学难点:六组诱导公式的灵活运用.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值.②复习诱导公式一及其用途.思路2.在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值，求锐角三角函数值，我们可以通过查表求得，对到2π)范围内的角的三角函数怎于90°到360°(2样求解，能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解，这一节就来探讨这个问题.推进新课新知探究提出问题由公式一把任意角α转化为［0°，360°)内的角后，如何进一步求出它的三角函数值？活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得，特殊角的三角函数值学生记住了，对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得？90°到360°的角β能否与锐角α相联系？通过分析β与α的联系，引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求［90°，360°)内的角β的三角函数值，转化为求有关锐角α的三角函数值，则问题将得到解决，适时提出，这一思想就是数学的化归思想，教师可借此向学生介绍化归思想.图1讨论结果:通过分析，归纳得出:如图1. β=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈+∈-],360,270[,360],270,180[,180],180,90[,180 βββa a a提出问题①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何？②它们与单位圆的交点的位置关系如何？ ③任意角α与180°+α呢？活动:分α为锐角和任意角作图分析:如图2.图2引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论探究角的关系.无论α为锐角还是任意角，180°+α的终边都是α的终边的反向延长线，所以先选择180°+α为研究对象.利用图形还可以直观地解决问题②，角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的，对应点的坐标分别是P(x，y)和P′(-x，-y).指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义，导出公式二:sin(180°+α)=-sinα，cos(180°+α)=-cosα.并指导学生写出角为弧度时的关系式:sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα.引导学生观察公式的特点，明了各个公式的作用.讨论结果:①锐角α的终边与180°+α角的终边互为反向延长线.②它们与单位圆的交点关于原点对称.③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称.提出问题①有了以上公式，我们下一步的研究对象是什么？②-α角的终边与角α的终边位置关系如何？活动:让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系，这时可通过复习正角和负角的定义，启发学生思考:任意角α和-α的终边的位置关系；它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程，由学生自己完成公式三的推导，即:sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tan α.教师点拨学生注意:无论α是锐角还是任意角，公式均成立.并进一步引导学生观察分析公式三的特点，得出公式三的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦.②-α角的终边与角α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数.提出问题①下一步的研究对象是什么？②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何？活动:讨论π-α与α的位置关系，这时可通过复习互补的定义，引导学生思考:任意角α和π-α的终边的位置关系；它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程，由学生自己完成公式四的推导，即: sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα.强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立.引导学生观察分析公式三的特点，得出公式四的用途:可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值.让学生分析总结诱导公式的结构特点，概括说明，加强记忆.我们可以用下面一段话来概括公式一—四: α+k·2π(k∈Z)，-α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.进一步简记为:“函数名不变，符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角.讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数；②π-α角的终边与角α的终边关于y 轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等，横坐标互为相反数.示例应用思路1例1 利用公式求下列三角函数值: (1)cos 225°；(2)sin 311π；(3)sin (316π-)；(4)cos(-2 040°).活动:这是直接运用公式的题目类型，让学生熟悉公式，通过练习加深印象，逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围，对照公式找出哪个公式适合解决这个问题. 解：(1)cos 225°=cos (180°+45°)=-cos 45°=22-；(2)sin311π=sin (4π3π-)=-sin 3π=23-；(3)sin (316π-)=-sin316π=-sin (5π+3π)=-(-sin 3π)=23；(4)cos (-2 040°)=cos 2 040°=cos (6×360°-120°)=cos 120°=cos (180°-60°) =-cos 60°=21-.点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行:上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.变式训练利用公式求下列三角函数值: (1)cos (-510°15′)；(2)sin (317-π).解:(1)cos (-510°15′)=cos 510°15′ =cos (360°+150°15′) =cos 150°15′=cos (180°-29°45′)=-cos 29°45′=-0.868 2； (2)sin (317-π)=sin (3π-3×2π)=sin 3π=23.例2 2007全国高考，1 cos 330°等于( ) A .21 B .21-C .23D .23-答案:C变式训练化简:790cos 250sin 430cos 290sin 21++解:790cos 250sin 430cos 290sin 21++=)70720cos()70180sin()70360cos()70360sin(21 ++++-+ =70sin 70cos |70sin 70cos |70cos 70sin 70cos 70sin 21--=+--=170sin 70cos 70cos 70sin -=--.例3 化简cos 315°+sin (-30°)+sin 225°+cos 480°.活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数，再求值、合并、约分.解:cos 315°+sin (-30°)+sin 225°+cos 480° =cos (360°-45°)-sin 30°+sin (180°+45°)+cos (360°+120°) =cos (-45°)21--sin 45°+cos 120° =cos 45°21-22-+cos (180°-60°)=2221-22--cos 60°=-1.点评:利用诱导公式化简，是进行角的转化，最终达到统一角或求值的目的.变式训练求证:θθπθθπθπθπtan )5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(=+----.分析:利用诱导公式化简较繁的一边，使之等于另一边. 证明:左边=)5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(θπθθπθπθπ+----=)sin()cos ()cos()sin()tan(θπθθθθ+----=θθθθθsin cos cos sin tan =tanθ=右边.所以原式成立.规律总结:证明恒等式，一般是化繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简.知能训练课本本节练习1—3. 解答:1.(1)-cos 94π；(2)-sin 1；(3)-sin 5π；(4)cos 70°6′.点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数. 2.(1)21；(2)21；(3)0.642 8；(4)23-.点评：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值.3.(1)-sin 2αcosα；(2)sin 4α.点评：先利用诱导公式变形为角α的三角函数，再进一步化简.课堂小结本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式，这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的，为了记牢公式，我们总结了“函数名不变，符号看象限”的简便记法，同学们要正确理解这句话的含义，不过更重要的还是应用，我们要多加练习，切实掌握由未知向已知转化的化归思想.作业课本习题1.3A组2、3、4.设计感想一、有关角的终边的对称性(1)角α的终边与角π+α的终边关于原点对称.(2)角α的终边与角-α的终边关于x轴对称.(3)角α的终边与角π-α的终边关于y轴对称.二、三角函数的诱导公式应注意的问题(1)α+k·2π(k∈Z)，-α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数的符号；可简单记忆为:“函数名不变，符号看象限.”(2)公式中的α是任意角.(3)利用诱导公式一、二、三、四，可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值. 基本步骤是:任意负角的三角函数−−−→−公式三或一相应的正角的三角函数−−→−公式一0到2π角的三角函数−−−→−四公式二、锐角的三角函数−−→−查表三角函数. 即负化正，大化小，化为锐角再查表.第2课时导入新课上一节课我们研究了诱导公式二、三、四.现在请同学们回忆一下相应的公式.提问多名学生上黑板默写公式.在此基础上，我们今天继续探究别的诱导公式，揭示课题.推进新课 新知探究 提出问题终边与角α的终边关于直线y =x 对称的角有何数量关系？活动:我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y =x 对称的角的数量关系.教师充分让学生探究，启发学生借助单位圆，点拨学生从终边关于直线y =x 对称的两个角之间的数量关系，关于直线y =x 对称的两个点的坐标之间的关系进行引导.图3讨论结果:如图3，设任意角α的终边与单位圆的交点P 1的坐标为(x ，y )，由于角2π-α的终边与角α的终边关于直线y =x 对称，角2π-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y =x 对称，因此点P 2的坐标是(y ，x )，于是，我们有 sinα=y ，cosα=x ，cos (2π-α)=y ，sin (2π-α)=x .从而得到公式五:cos (2π-α)=sinα，sin (2π-α)=cosα.提出问题能否用已有公式得出2π+α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式？活动:教师点拨学生将2π+α转化为π-(2π-α)，从而利用公式四和公式五达到我们的目的.因为2π+α可以转化为π-(2π-α)，所以求2π+α角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五，这时可以让学生独立推导公式六. 讨论结果:公式六Sin (2π+α)=cosα，π+cos(2α)=-sinα.提出问题你能概括一下公式五、六吗？活动:结合上一堂课研究公式一—四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征，指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括.π±α的正弦(余弦)函数值，分别等讨论结果:2于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.进一步可以简记为:函数名改变，符号看象限.利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.公式一—六都叫做诱导公式.提出问题学了六组诱导公式及上例的结果后，能否进一步归纳概括诱导公式，怎样概括？ 讨论结果:诱导公式一—四，函数名称不改变，这些公式左边的角分别是2kπ+α(k ∈Z )，π±α，-α(可看作0-α).其中2kπ，π，0是横坐标轴上的角，因此，上述公式可归结为横坐标轴上的角±α，函数名称不改变.而公式五、六及上面的例1，这些公式左边的角分别是2π±α，23π-α.其中2π，23π是纵坐标轴上的角，因此这些公式可归结为纵坐标上的角±α，函数名称要改变.两类诱导公式的符号的考查是一致的，故而所有的诱导公式可用十个字来概括:纵变横不变，符号看象限. 教师指点学习方法:如果我们孤立地记忆这么多诱导公式，那么我们的学习将十分苦累，且效率低下.学习过程中，能挖掘各个公式的本质特征，寻求它们之间的共性，那么我们对数学公式的记忆就不再是负担了.因此，要求大家多做这方面的工作，以后数学的学习就不再是枯燥无味的了.示例应用思路1例1 证明(1)sin (23π-α)=-cosα；(2)cos (23π-α)=-sinα.活动:直接应用公式五、六或者通过转化后利用公式五、六解决化简、证明问题. 证明:(1)sin (23π-α)=sin [π+(2π-α)]=-sin (2π-α)=-cosα； (2)cos (23π-α)=cos [π+(2π-α)]=-cos (2π-α)=-sinα.点评:由公式五及六推得23π±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，从而进一步可以推广到212+k π(k ∈Z )的情形.本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用. 例2 化简.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(a a a a a a a a +-----++-ππππππππ活动:仔细观察题目中的角，哪些是可以利用公式二—四的，哪些是可以利用公式五、六的.认真应用诱导公式，达到化简的目的. 解:原式=)]2(4sin[)]sin()[sin()cos ()]2(5cos[)sin )(cos )(sin (a a a a a a a a +++----+---ππππππ=)2sin()]sin ([sin )cos ()]2cos([cos sin 2a a a a a a a +------ππ=aa cos sin -=-tanα.思路2例1 (1)已知f (cosx )=cos 17x ，求证:f (sinx )=si n 17x ；(2)对于怎样的整数n ，才能由f (sinx )=sinnx 推出f (cosx )=cosnx ？活动:对诱导公式的应用需要较多的思维空间，善于观察题目特点，要灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似，差别在于一个含余弦，一个含正弦，注意到正弦、余弦转化可借助sinx =cos (2π-x )或cosx =sin (2π-x ).要善于观察条件和结论的结构特征，找出它们的共性与差异；要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移.证明:(1)f (sinx )=f [cos (2π-x )]=cos [17(2π-x )]=cos (8π+2π-17x )=cos (2π-17x )=sin 17x ，即f (sinx )=sin 17x .(2)f (cosx )=f [sin (2π-x )]=sin [n (2π-x )]=sin (2πn -nx )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+=-∈+=∈+=∈=-,,34,cos ,,24,sin ,,14,cos ,,4,sin Z k k n nx Z k k n nx Z k k n nx Z k k n x故所求的整数n =4k +1(k ∈Z ).点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.变式训练已知cos (6π-α)=m (m ≤1)，求sin (32π-α)的值. 解:∵32π-α-(6π-α)=2π，∴32π-α=2π+(6π-α).∴sin (32π-α)=sin ［2π+(6π-α)］=cos (6π-α)=m .点评:(1)当两个角的和或差是2π的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来. (2)化简已知与所求，然后探求联系，这是解决问题的重要思想方法.例2 已知sinα是方程5x 2-7x -6=0的根，且α为第三象限角， 求)2cos()2cos()tan()2(tan )23sin()23sin(2a a a a a a +•--•-•-•+ππππππ的值.活动:教师引导学生先确定sinα的值再化简待求式，从而架起已知与未知的桥梁. 解:∵5x 2-7x -6=0的两根x =2或x =53-，∵-1≤x ≤1，∴sinα=53-.又∵α为第三象限角，∴cosα=2sin-1-=54-.∴tanα=43. ∴原式=)sin (sin )tan (tan )cos ()cos (2a a a a a a -•-••-•-=tana =43点评:综合运用相关知识解决综合问题.变式训练若函数f (n )=sin 6πn (n ∈Z )，则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (102)=____________________. 解:∵=sin 6πn (6πn +2π)=sin6)12(π+n ，∴f(n)=f(n+12).从而有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0，∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+(6)=2［f(1)+ f(2)+f(3)］=2+3.例3已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β).其中a，b，α，β都是非零实数，又知f(2003)=-1，求f(2004)的值.活动:寻求f(2003)=-1与f(2004)之间的联系，这个联系就是我们解答问题的关键和要害.解:f(2003)=asin(2003π+α)+bcos(200 3π+β)=asin(2002π+π+α)+bcos(2002π+π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asinα-bcosβ=-(asinα+bcosβ)，∵f (2 003)=-1， ∴asinα+bcosβ=1.∴f (2 004)=asin (2 004π+α)+bcos (2 004π+β) =asinα+bcosβ=1.点评:解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程，在这个过程中一定要抓住关键和要害，注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键和要害就是求得式子asinα+bcosβ=1，它是联系已知和未知的纽带.知能训练课本练习4—7. 4. Α 34π-45π-35π-47π-38π-411π-Sin α 23-2223-2223-22-C o sα21-22-212221-22-5.(1)-tan 52π；(2)-tan 79°39′；(3)-tan 365π；(4)-tan 35°28′. 6.(1)23(2)22-；(3)-0.2116；(4)-0.758 7(5)3；(6)-0.647 5. 7.(1)sin 2α；(2)cos 2α+acos 1课堂小结本节课同学们自己导出了公式五、公式六，完成了教材中诱导公式的学习任务，为求任意角的三角函数值“铺平了道路”.公式一至六可用一句话“纵变横不变，符号看象限”来记忆，简单方便，不会遗忘.利用这些公式，可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，为求值带来很大的方便，这种转化的思想方法，是我们经常用到的一种策略，要细心去体会、去把握.利用这些公式，还可以化简三角函数式，证明简单的三角恒等式，我们要多练习，在应用中达到熟练掌握的程度.作业1.课本习题1.3 B 组2.2.求值:sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 288°+sin 289°.答案:44.5.设计感想1.本节设计指导思想是:在教师引导下放手让学生自主探究.因为公式多，学生容易记混，所以在学生的主动探究中明了公式的来龙去脉，在应用公式解决问题中灵活熟练掌握公式.通过学生的自主探究、推导公式，培养学生独立思考、知难而上的科学态度，更进一步地体会数学的奇特美、对称美.激发学生强烈的探究欲望，培养学生会学习的良好品质.2.用口诀记忆公式:①π±α，-α，2kπ+α的三角函数公式为:“函数名不变，符号看象限.”②2π±α，23π±α的三角函数公式为:“函数名改变，符号看象限.”其中α看成锐角. 3.用类比的方法学习本节课的基础知识，用化归的数学思想指导三角函数的求值、化简与证明.。
1.3三角函数的诱导公式导学案
§1.3三角函数的诱导公式导学案（第1课时）姓名：诱导公式一：实质：用途：探究：给定一个角α(1)终边与角α的终边关于原点对称的角与α有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?(3)终边与角α的终边关于y轴对称的角与α有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?小结：练习：P27第1题例题：P24页例1概括步骤：P25页总结：练习：P27页第2题例题：P25页2练习：P27页第3题(4)终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角与α有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?练习：sin 3π= sin()4πα-= sin()3πα-= 牛刀小试：1sin(),cos()633ππαα+=-= 探索：2πα+=小结：※记忆方法：奇变偶不变，符号看象限．说明：0.90()k k 奇偶指的是中的奇偶性；符号指的是前面三角函数的符号由象限决定教材例3：、例4练习：P28页4——7题。
典型例题：例1、求下列三角函数值：311(1)tan ;(2)cos(1650);(3)sin 46o ππ-例2：若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，求3sin(5)sin()2πθπθ-- 的值。
例3求下列各式的值：（1）7cos2703sin 270tan765;o o o ++（2）234cos cos cos cos 5555ππππ+++练习：求下列各式的值：（1）41921sincos tan 364πππ ；（2）cos(2640)sin1665o o -+例5已知cos()6πα-=，求25cos()sin ()66ππαα+--的值。
练习：（1）已知1cos(75)(270360)3o o oαα-=-<<，求sin(105)o α+的值。
（2）已知1cos()2πα+=-，求cos()2πα+的值。
人教版必修四三角函数的诱导公式教案
人教版必修四三角函数的诱导公式教案1.3三角函数的诱导公式一、教材分析（一）教材的地位与作用：1、本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。
2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。
诱导公式是求三角函数值的基本方法。
诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。
诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。
这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。
（二）教学重点与难点：1、教学重点：诱导公式的推导及应用。
2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
二、目标分析根据教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和新课程标准的要求，结合学生的实际水平，本节课的教学目标为：1、知识目标：（1）识记诱导公式。
（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明。
2、能力目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。
（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。
（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。
3、情感目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神。
（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。
三、过程分析（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。
1_1.3三角函数的诱导公式教案
三角函数的诱导公式目标：理解诱导公式及其探究思路，学会利用诱导公式求解任意角的三角函数值，会进行简单的化简与证明。
一、问题情景：回顾前面已经学习的理论知识，我们已经学习了任意角的三角函数的定义，学习了三角函数线，还有同角三角函数关系，但是我们还有一个关键问题没有解决，那就是：我们如何来求任意角的三角函数值呢？二 、学生活动： 讨论：1、找出我们可以解决的和目前无法解决的2、对于还无法解决的，可否借助前面学习的知识求解3、这些角之间有何关联指导：我们前面学过了三角函数的定义和三角函数线，知道角的终边和单位圆的交点的坐标就是角对应的三角函数值，大家先画出一个单位圆，然后把第一个角的终边画出来，它和单位圆的交点记为（00,x y ），然后分别画出另外四个角的终边和单位圆的交点，看看你在画图的时候发现了什么。
（给五分钟画图、总结，学生在画图中容易看出另外的几个角和开始的锐角的关系） 三、 意义建构：A第一组：由画图发现0390的角的终边和6π的终边是重合的，它们相差0360，由三角函数定义可知,终边相同的角的同一三角函数值相等，表中第二列和第一列值相同。
我们可否也把它推广到任意的角呢？总结一下就是“终边相同的角的三角函数值相同”，如何用符号表示？ 诱导公式一: απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+kαπαtan )2tan(=+k （其中Z ∈k ） 这个公式有什么作用？作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为00360 之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在000360 内找出与角α终边相同的角再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果简单来说就是“大化小”。
此处还可以得出三角函数是“多对一”的单值对应，为下面研究函数的周期性打下铺垫。
B 、第二组：由画图发现030-的角的终边和6π的终边是关于x 轴对称的，由三角函数定义可知,它们的余弦值相等，正弦值和正切值互为相反数。
我们可否也把它推广到任意的角？ 总结一下就是“函数名不变，正号是余弦”，如何用符号表示？诱导公式二： αα-sin sin(=-）ααcos cos(=-）ααtan tan(-=-） 这个公式有什么作用？作用：把任意负角的正弦、余弦、正切化为该角正角的正弦、余弦、正切，其方法是对于正弦和正切直接提出负号，对于余弦可以直接去掉负号，简单来说就是“负变正”。
1.3三角函数的诱导公式(教案)
1.3三角函数的诱导公式教案教学目标：（1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式；（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题；（3）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力；（4）通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.教学重点：用联系的观点发现并证明诱导公式．教学难点: 如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法．教学过程:一．问题引入与复习巩固:角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢？先看一个具体的问题。
求390°角的正弦、余弦值.一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，即有：sin(α+2kπ) = sinα，cos(α+2kπ) = cosα，ta n(α+2kπ) = tanα (k∈Z) 。
(公式一) 二．尝试推导由上一组公式，我们知道，终边相同的角的同一三角函数值一定相等。
反过来呢？问题：你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？角π-α与角α的终边关于y轴对称,有sin(π -α) = sin α，cos(π -α) = - cos α，（公式二）tan(π -α) = - tan α。
因为与角α终边关于y轴对称是角π-α，，利用这种对称关系，得到它们的终边与单位圆的交点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。
于是，我们就得到了角π-α与角α的三角函数值之间的关系:正弦值相等，余弦值互为相反数，进而，就得到我们研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系。
三．自主探究问题：两个角的终边关于x轴对称,你有什么结论?两个角的终边关于原点对称呢？角-α与角α的终边关于x轴对称，有：sin(-α) = -sin α，cos(-α) = cos α，（公式三）tan(-α) = -tan α。
必修四1.3.三角函数的诱导公式(教案)
教案教学目标一、知识与技能1．牢记诱导公式.2．理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明.二、过程与方法1．通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法.2．通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式.3．通过基础训练题和能力训练题的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.三、情感、态度与价值观1．通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神.2．通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想.教学重点、难点教学重点：用联系的观点，发现并证明诱导公式，进而运用诱导公式解决问题．教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法．学法与教学用具学法：在教师的组织和引导下学生以自主探索、动手实践、合作交流的方式进行学习．在学习中了解和体验公式的发生、发展过程，让学生领会到诱导公式是前面三角函数定义、单位圆对称性等知识的延续和拓展，应用迁移规律，引导学生联想、类比、归纳推导公式．教学用具：电脑、投影机、三角板．教学设想：一、创设情境在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值，求锐角三角函数值，我们可以通过查表求得，对于90°到360°(π2到2π)范围内的角的三角函数怎样求解，能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解，这一节就来探讨这个问题．二、探究新知1.诱导公式二：思考：（1）锐角α的终边与180α+的终边位置关系如何？1（2）写出α的终边与180α+的终边与单位圆交点,'P P 的坐标． （3）任意角α与180α+呢？结论：任意α与180α+的终边都是关于原点中心对称的．则有(,),'(,P x y P x y--，由正弦函数、余弦函数的定义可知： sin y α=， cos x α=；sin(180)y α+=-， cos(180)x α+=-．从而，我们得到诱导公式二：sin(180)α+=sin α-；cos(180)α+=-cos α．说明：①公式中的α指任意角；②若α是弧度制，即有sin(π)α+=sin α-，cos(π)α+=-cos α； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：sin(180)sin tan(180)tan cos(180)cos αααααα+-+===-+-．用弧度制可表示如下：sin(π-sin αα+=）；cos(π-cos αα+=）；tan(πtan αα+=）．2. 诱导公式三：思考：（1）360α-的终边与α-的终边位置关系如何？从而得出应先研究α-； （2）任意角α与α-的终边位置关系如何？结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：sin()sin αα-=-；cos()cos αα-=． 说明：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：tan()tan αα-=-．3. 诱导公式四： sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-．2说明：①公式四中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立； ③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：tan(180)tan αα-=-． 用弧度制可表示如下：s i n (πs i n αα-=）；cos(π-cos αα-=）；tan(πtan αα-=-）．4. 终边与角α的终边关于直线y =x 对称的角有何数量关系．结论：如图所示，设任意角α的终边与单位圆的交点P 1的坐标为（x ，y ），由于角π2-α的终边与角α的终边关于直线y =x 对称，角π2-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y=x 对称，因此点P 2的坐标是（y ，x ），于是我们有sin α=y ，cos α=x ；sin(π2-α) = x ， cos(π2-α) = y ． 从而得到诱导公式五：sin(π2-α) = cos α， cos(π2-α) = sin α．由于π2+α =π-(π2-α)，由公式四及五可得 公式六sin(π2+α) = cos α， cos(π2+α) =- sin α．公式五和公式六可以概括如下：π2±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 公式一～六都叫做诱导公式. 三、例题讲解3例1 求下列三角函数值：（1）sin 960； （2）43cos()6π-． 解：（1）sin 960sin(960720)sin 240=-=sin(18060)sin 60=+=-32=-． （2）43π43πcos()cos 66-=7π7πcos(6π)cos66=+= ππcos(π)cos 66=+=-32=-． 例2 已知：tan 3α=，求2cos(π)3sin(π)4cos()sin(2π)αααα--+-+-的值.解：∵tan 3α=，∴原式2cos 3sin 23tan 74cos sin 4tan αααααα-+-+===--．例3 化简sin(π)sin(π)()sin(π)cos(π)n n n n n αααα++-∈+-Z ．解：①当2n k k =∈Z ，时， 原式sin(2π)sin(2π)2sin(2π)cos(2π)cos k k k k ααααα++-==+-．②当21,n k k =+∈Z 时，原式sin[(21)π]sin[(21)π]2sin[(21)π]cos[(21)π]cos k k k k ααααα+++-+==-++-+例4．已知π2π63α<<，πcos()(0)3m m α+=≠，求2πtan()3α-的值． 解：因为2πππ()33αα-=-+， 所以，2ππcos()cos[π()]33αα-=-+=πcos()3α-+＝-m .由于π2π63α<<所以42ππ032α<-<于是22π2πsin()1cos ()33αα-=--=21m -. 所以，2πsin()2π3tan()32πcos()3ααα--=-=m m 21-- 四、课堂小结1．五组公式可概括如下：360(),,180,360k k Z αααα+⋅∈-±-的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；2．要化的角的形式为90k α⋅±（k 为常整数）；记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（k 为奇数还是偶数）3．利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”．五、作业课本第29页习题1．3B 组第1、2题.。
《§1.3 三角函数的诱导公式》学案
《§1.3 三角函数的诱导公式》学案
¤学习目标：1. 通过本节内容的教学，使学生掌握αααα±±±o o o 360,90-180，，
角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路.
2. 能正确地运用这些公式进行任意角的正弦值，余弦值的求解，简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明.
¤知识要点：
（1）若α是锐角，则απ-2是第四象限角；απ+是第三象限角；απ-是第二象限角； -a 是第四象限角；απ+2是第二象限角；απ
-2是第一象限角.
（2）诱导公式（1）～（6）， 可以归纳为“奇变偶不变，符号看象限”.
¤例题精讲：
【例1】求下列各式的值：
（1）)210sin()60cos(o o ---； （2）1011sin )310cos()631sin(π
ππ
----
【例2】化简：)()2cos()2sin(]
)12(sin[2])12(sin[Z n n n n n ∈--+++++αππαπαπα
【例3】已知,223)360tan(1)
720tan(1+=--++o o θθ 求)2(cos 1
)](sin 2)sin()([cos 222πθπθθπθπ--⋅-+-+-的值。
【例4】已知)32sin(,1)sin(,31
sin βαβαβ+=+=求的值。
必修四1.3.三角函数的诱导公式(教案)
必修四1.3.三角函数的诱导公式(教案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1.3 三角函数的诱导公式教案 A教学目标一、知识与技能1．理解诱导公式的推导过程；2．通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用．3．进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的能力．二、过程与方法的轴对称性以及关于原点利用三角函数线，从单位圆关于x轴、y轴、直线y xO的中心对称性出发，通过学生的探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想．三、情感、态度与价值观通过本节的学习使学生认识到了解任何新事物须从它较为熟悉的一面入手，利用转化的方法将新事物转化为我们熟知的事物，从而达到了解新事物的目的，并使学生养成积极探索、科学研究的好习惯．教学重点、难点教学重点：五组诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用，三角函数式的求值、化简和证明等．教学难点：六组诱导公式的灵活运用．教学关键：五组诱导公式的探究．教学突破方法：问题引导，充分利用多媒体引导学生主动探究．教法与学法导航教学方法：探究式，讲练结合．学习方法：切实贯彻学案导学，以学生的学为主，教师起引导的作用，具体表现在教学过程当中．1.充分利用多媒体引导学生完善从特殊到一般的认知过程；2.强调记忆规律，加强公式的记忆；3.通过对例题的学习，完成学习目标．教学准备教师准备：多媒体，投影仪、直尺、圆规．学生准备：练习本、直尺、圆规．教学过程一、创设情境，导入新课1我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性．能否利用圆的这种对称性来研究三角函数的性质呢？例如，能否从单位圆关于x轴、y 轴、直线y=x的轴对称性以及关于原点O的中心对称性等出发，获得一些三角函数的性质呢？二、主题探究，合作交流提出问题①锐角α的终边与π+α角的终边位置关系如何？②它们与单位圆的交点的位置关系如何？师生互动：引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论探究角的关系．无论α为锐角还是任意角，π+α的终边都是α的终边的反向延长线，所以先选择π+α为研究对象．利用图形还可以直观地解决问题②，角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的，对应点的坐标分别是P1(x，y)和P2 (-x，-y)．指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义，导出公式二：sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα．提出问题：-α角的终边与角α的终边位置关系如何？师生互动：让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系，这时可通过复习正角和负角的定义，启发学生思考．-α角的终边与角α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数．从而完成公式三的推导，即：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα．教师点拨学生注意：无论α是锐角还是任意角，公式均成立．并进一步引导学生观察分析公式三的特点，得出公式三的用途：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值．2提出问题：π-α角的终边与角α的终边位置关系如何？师生互动：讨论π-α与α的位置关系，这时可通过复习互补的定义，引导学生思考：任意角α和π-α的终边的位置关系；它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标：π-α角的终边与角α的终边关于y轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等，横坐标互为相反数．从而完成公式四的推导，即：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα．强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立．引导学生观察分析公式三的特点，得出公式四的用途：可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值．让学生分析总结诱导公式的结构特点，概括说明，加强记忆．我们可以用下面一段话来概括公式一～四：α+k·2π(k∈Z)，-α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”．点拨、引导学生注意公式中的α是任意角．提出问题终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系？师生互动：我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y=x对称的角的数量关系．教师充分让学生探究，启发学生借助单位圆，点拨学生从终边关于直线y=x对称的两个角之间的数量关系，关于直线y=x对称的两个点的坐标之间的关系进行引导．讨论结果：如图，设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x，y)，由于角π2-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称，角π2-α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称，因此点P2的坐标是(y，x)，于是，我们有sinα=y，cosα=x，cos(π2-α)=y，sin(π2-α)=x．从而得到公式五：cos(π2-α)=sinα， sin(π2-α)=cosα．提出问题能否用已有公式得出π2+α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式？34 师生互动：教师点拨学生将π2+α转化为π- (π2-α)，从而利用公式四和公式五达到我们的目的．因为π2+α可以转化为π- (π2-α)，所以求π2+α角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五，这时可以让学生独立推导出公式六： sin (π2+α)=cos α， cos(π2+α)=-sin α． 提出问题你能概括一下公式五、六吗？师生互动：结合上一堂课研究公式一～四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征，指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括． 讨论结果：2π±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．进一步可以简记为：函数名改变，符号看象限．利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．公式一～六都叫做诱导公式． 三、拓展创新，应用提高例1 利用公式求下列三角函数值：（1）cos225°；（2）sin 11π3；（3）sin(16π3-)；（4）cos(-2 040°)． 解：（1）cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=22-； （2）sin 11π3=sin(4ππ3-)=-sin π3=23-； （3）sin(16π3-)=-sin 16π3=-sin(5π+π3)=-(-sin π3)=23； （4）cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°)=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=21-． 点评：利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下列步骤进行：5上述步骤体现了由未知转化为已知的化归的思想方法．例2 化简 0cos(180)sin(360).sin(180)cos(180)αααα︒++︒---︒- 解：sin(180)sin[(180)]αα--︒=-+︒ sin(180)(sin )sin ααα=-+︒=--= cos(180)cos[(180)]cos(180)cos .αααα-︒-=-︒+=︒+=-所以，原式cos sin 1.sin (cos )αααα-==- 例3 证明：（1）sin(3π2-α)=-cos α；（2）cos(3π2-α)=-sin α． 证明：（1）sin(3π2-α)=sin[π+(π2-α)]=-sin(π2-α)=-cos α； （2）cos(3π2-α)=cos[π+(π2-α)]=-cos(π2-α)=-sin α． 点评：由公式五及六推得3π2±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，从而进一步可以推广到212+k π(k ∈Z )的情形．本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用．例4 化简π11πsin(2π)cos(π)cos()cos()22.9πcos(π)sin(3π)sin(π)sin()2a a a a a a a a -++-----+ 解：原式=π(sin )(cos )(sin )cos[5π()]2π(cos )sin(π)[sin(π)]sin[4()]2a a a a a a a a π---+----+++6 =2πsin cos [cos()]2π(cos )sin [(sin )]sin()2a a a a a a a ------+=a a cos sin -=-tan a ． 四、小结①熟记诱导公式；②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；并进行简单的求值；③运用诱导公式进行简单的三角化简．课堂作业1．在△ABC 中，下列等式一定成立的是( )A ．sin 2B A +=-cos 2C B ．sin(2A +2B )=-cos2C C ．sin(A +B )=-sin CD ．sin(A +B )=sin C2．如果f (sin x )=cos x ，那么f (-cos x )等于( )A ．sin xB ．cos xC ．-sin xD ．-cos x3．计算下列各式的值：（1）sin(-1 200°)cos(1 290°)+cos(-1 020°)sin(-1 050°)+tan945°；（2）tan(27°-α)tan(49°-β)tan(63°+α)tan(139°-β)．4．化简：sin(540)tan(270)cos(270).cos(180)tan(810)sin(360)a a a a a a •---︒-+-- 参考答案：1．D 2．A3．（1）2；（2）-1．4．-tan a ．教案 B教学目标一、知识与技能1．牢记诱导公式.2．理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明.二、过程与方法1．通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法.2．通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式.3．通过基础训练题和能力训练题的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.三、情感、态度与价值观1．通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神.2．通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想.教学重点、难点教学重点：用联系的观点，发现并证明诱导公式，进而运用诱导公式解决问题．教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法．学法与教学用具78学法：在教师的组织和引导下学生以自主探索、动手实践、合作交流的方式进行学习．在学习中了解和体验公式的发生、发展过程，让学生领会到诱导公式是前面三角函数定义、单位圆对称性等知识的延续和拓展，应用迁移规律，引导学生联想、类比、归纳推导公式．教学用具：电脑、投影机、三角板．教学设想：一、创设情境在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值，求锐角三角函数值，我们可以通过查表求得，对于90°到360°(π2到2π)范围内的角的三角函数怎样求解，能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解，这一节就来探讨这个问题．二、探究新知1. 诱导公式二：思考：（1）锐角α的终边与180α+的终边位置关系如何？（2）写出α的终边与180α+的终边与单位圆交点,'P P 的坐标．（3）任意角α与180α+呢？结论：任意α与180α+的终边都是关于原点中心对称的．则有(,),'(,)P x y P x y --，由正弦函数、余弦函数的定义可知：sin y α=， cos x α=；sin(180)y α+=-， cos(180)x α+=-．从而，我们得到诱导公式二：sin(180)α+=sin α-；cos(180)α+=-cos α．说明：①公式中的α指任意角；②若α是弧度制，即有sin(π)α+=sin α-，cos(π)α+=-cos α；③公式特点：函数名不变，符号看象限；9 ④可以导出正切：sin(180)sin tan(180)tan cos(180)cos αααααα+-+===-+-． 用弧度制可表示如下： sin(π-sin αα+=）；cos(π-cos αα+=）；tan(πtan αα+=）．2. 诱导公式三：思考：（1）360α-的终边与α-的终边位置关系如何？从而得出应先研究α-；（2）任意角α与α-的终边位置关系如何？结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：sin()sin αα-=-；cos()cos αα-=．说明：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：tan()tan αα-=-．3. 诱导公式四： sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-．说明：①公式四中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：tan(180)tan αα-=-．用弧度制可表示如下：sin(πsin αα-=）；cos(π-cos αα-=）；tan(πtan αα-=-）． 4. 终边与角α的终边关于直线y =x 对称的角有何数量关系． 结论：如图所示，设任意角α的终边与单位圆的交点P 1的坐标为（x ，y ），由于角π2-α的终边与10角α的终边关于直线y =x 对称，角π2-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y=x 对称，因此点P 2的坐标是（y ，x ），于是我们有sin α=y ，cos α=x ； sin(π2-α) = x ， cos(π2-α) = y ． 从而得到诱导公式五： sin(π2-α) = cos α， cos(π2-α) = sin α． 由于π2+α =π-(π2-α)，由公式四及五可得 公式六 sin(π2+α) = cos α， cos(π2+α) =- sin α． 公式五和公式六可以概括如下：π2±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 公式一～六都叫做诱导公式.三、例题讲解例1 求下列三角函数值：（1）sin 960； （2）43cos()6π-． 解：（1）sin 960sin(960720)sin 240=-=sin(18060)sin 60=+=-=． （2）43π43πcos()cos 66-=7π7πcos(6π)cos 66=+= ππcos(π)cos 66=+=-=．11例2 已知：tan 3α=，求2cos(π)3sin(π)4cos()sin(2π)αααα--+-+-的值. 解：∵tan 3α=，∴原式2cos 3sin 23tan 74cos sin 4tan αααααα-+-+===--． 例3 化简sin(π)sin(π)()sin(π)cos(π)n n n n n αααα++-∈+-Z ． 解：①当2n k k =∈Z ，时， 原式sin(2π)sin(2π)2sin(2π)cos(2π)cos k k k k ααααα++-==+-． ②当21,n k k =+∈Z 时， 原式sin[(21)π]sin[(21)π]2sin[(21)π]cos[(21)π]cos k k k k ααααα+++-+==-++-+ 例4．已知π2π63α<<，πcos()(0)3m m α+=≠，求2πtan()3α-的值． 解：因为2πππ()33αα-=-+，所以，2ππcos()cos[π()]33αα-=-+=πcos()3α-+＝-m . 由于π2π63α<<所以2ππ032α<-< 于是2πsin()3α-21m -. 所以，2πsin()2π3tan()32πcos()3ααα--=-=m m 21--12 四、课堂小结1．五组公式可概括如下：360(),,180,360k k Z αααα+⋅∈-±-的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；2．要化的角的形式为90k α⋅±（k 为常整数）；记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（k 为奇数还是偶数）3．利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”．五、作业课本第29页习题1．3B 组第1、2题.。
1.3三角函数的诱导公式_导学案2
1.2.4三角函数的诱导公式 第三课时学习目标：1.学习诱导公式四的推导过程，体会数学知识的“发现”过程。
2.总结诱导公式的应用口诀；3.领会数学中转化思想的广泛性，了解诱导公式就是具有一定关系的几何特征关系的代数表示。
学习过程：一、课前完成部分： （一）回顾旧知，引出新课sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（二）请写出诱导公式四： s i n ()2πα+= cos()2πα+= （三）请推导出一下公式：3cos()2πα+= 3s i n ()2πα+= 3c o s ()2πα-= 3s i n ()2πα-= 典型题型训练1、化简1）⎪⎭⎫⎝⎛-βπ25sin 2） )27cos(απ- 2、化简 （1）11sin(2)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπαπαα-++-----+（2）()()()()0000261sin .171sin 99sin .1071sin --+-； （3） ()()αππααππα--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2cos .2sin .25sin 2cos3、先化简后求值（1）已知():,21sin 计算-=+απ 1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-23cos πα 2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2tan（2）已知0sin 75=00cos15,cos165.（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-++425tan 325cos 625sinπππ4、已知f(cosx)=cos3x,则f(sin30°)的值等于（ ）（A ）-1 （B ）1 （C ）（D ）05、已知33)6cos(=+θπ，求cos()3πθ-的值。
6、思维拓展：若⎪⎭⎫⎝⎛+=απα2cos sin ,则角α的集合为________.学习小结 ：1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.2.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.。
高中数学 1.3三角函数的诱导公式(一) 学案 新人教A版必修4
广东省佛山市顺德区罗定邦中学高一数学 必修四1.3三角函数的诱导公式(一) 学案【学习目标】1. 认识诱导公式。
2. 初步运用诱导公式求三角函数值，并进行三角函数式的化简和证明。
【重点、难点】应用诱导公式进行化简、求值自主学习案【问题导学】P(x,y)关于原点对称的点为_________P(x,y)关于x 轴对称的点为_________P(x,y)关于y 轴对称的点为_________与a 角终边相同的角的集合________与a 角终边关于原点对称的角的集合________与a 角终边关于x 轴对称的角的集合________与a 角终边关于y 轴对称的角的集合________诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数相等sin(2k π+α)=_______ cos(2k π+α)=__________ tan(2k π+α)=_______ 诱导公式（二）终边关于原点对称的三角函数公式sin(π+α)=___________ cos(π+α)=____________ tan(π+α)=_______ 诱导公式（三） 关于x 轴对称的三角函数公式sin(－α)=____________ cos(－α)=____________ tan(－α)=______ 诱导公式（四） 关于y 轴对称的三角函数公式sin(π－α)=____________ cos(π－α)=____________tan(π－α)=______【预习自测】1.把任意角的三角函数问题转化成0°到360°的三角函数值。
(1) sin 1110°=__________ (2) tan 94π = ____________ (3) cos(－ 116π)= ____________ 2.把任意角三角函数转化成0到π的三角函数值(1) cos(－ 3π5)=___________(2) tan 138π= _____________ (3) sin 197π=_________________ 3.求下列三角函数值(1)sin(- π4)=___________ (2) cos(-60°)=____________ (3)tan(-236π) =__________ (4) sin(- 103π)=____________【我的疑问】合作探究案【课内探究】例1 在0°到360°写出下列角终边相同的角（1）1289° （2）-2040°例2 利用公式求下列三角函数值（1）cos 225° (2) sin311π (3) sin(-623π) (4) cos(-2040°)例3（1）化简)180cos()180sin())sin(360180cos(αααα-︒--︒--︒-︒(2)sin(α+180°)cos(-α)sin(-α-180°)【当堂检测】1. 转化为锐角三角函数(1) cos210°=_____________ (2) sin 263°42′=_____________(3)cos(－7π)=____________ (4) tan 617π=_________________ 2. 化简 )sin()an(360)(cos 2αα-+︒--t a = __________3. 化成关于a 的三角函数(1) sin(360°－α)=___________ (2) cos(360°－α)=_______________(3) tan(360°－α)=___________【小结】课后练习案1. 利用公式求下列三角函数值cos(－420°)=_________ sin(－76π)= _____________ sin(－1300°)=_________ cos(679π-)=__________________ 2. 若sin20°=a ，则tan 200°=________________3. sin 34πtan(45π-)=____________ sin 210°=_____________ 4. 已知cos α=31，02<<-a π，求a a a a )tan cos(-))sin(2cos(+--ππ5. 化简(1) sin 3(－a)cos(2π+a)tan(－a －π)(2) ))tan(k -sin(k ))cos((sin 2a a a a k --+πππ。
1.3 三角函数的诱导公式(第1课时) 精品教案
1.1.1 诱导公式（一）
【课题】：诱导公式（一） 【教学三维目标】： 一、知识与技能 1、借助单位圆推导诱导公式，特别是学习从单位圆的对称性鱼任意角终边的对称性中发现问题（任意角α的三角函数值与πα-，πα+等三角函数值之间有内在联系），提出研究方法（利用坐标的对称性，从三角函数定义得出相应的关系式）；
2、能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式证明，并从中体会未知到已知、复杂到简单的转化过程； 二、过程与方法
1、理解诱导公式的推导方法；
2、掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明；
3、培养学生化归、转化的能力； 三、情感态度与价值观
通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径． 【教学重点】：理解并掌握诱导公式． 【教学难点】：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
【课前准备】：三角板、圆规、多媒体．。
三角函数诱导公式学案
1.3三角函数的诱导公式<第一课时>学案学习目标：1、能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式。
2、能初步运用诱导公式进行求值与化简。
3、通过诱导公式的推导过程，经历由几何直观探讨数量关系式的过程，体会数形结合及转化思想的运用,培养学生数学发现能力和概括能力。
4、通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，培养学生由特殊到一般的归纳意识，学会用联系的观点看待问题,提高学生分析问题和解决问题的能力。
5、通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神、科学态度和学生团结协作的精神。
教学重点：诱导公式的探究，运用诱导公式进行求值与化简，提高对单位圆与三角函数关系的认识。
教学难点：诱导公式的灵活应用教学过程：一、创设情境：问题1：1、任意角的三角函数的定义是什么？2、各象限内角的三角函数值的符号分别是什么？3、（1）诱导公式（一）:（2）诱导公式（一）的作用：二、导入新课：问题2：00sin210,cos225.如何利用三角函数的定义求的值三、探究与公式的推导：活动一：απα+探究任意角与（）三角函数值间的关系 问题3：sin +sin cos +cos tan +tan πααπααπαα（）与，（）与，（）与关系如何？公式二：问题4：α公式中的角仅是锐角吗？活动二：合作探究 -αα任意角与（）三角函数值的关系问题5：000sin -45cos -tan -.如何利用三角函数的定义求（）,（45），（45）的值问题6：你有何猜想？公式三：问题7：公式三如何证明，又有什么用途呢？活动三：独立探究 -απα任意角与（）三角函数值的关系问题8：sin sin -cos cos -tan tan -απααπααπα与（），与（），与（）关系如何？公式四：证明：四、总结概括新结论：问题9：你能用一句话概括公式一、二、三、四吗？五、巩固应用：0011cos1352tan2103sin -3π例：利用公式求下列三角函数值：（）（）（）（）016111sin -2sin 3cos -204033ππ变式：利用公式求下列三角函数值：（）（）（）（）（）问题10：把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤有哪些？六、课堂小结：七、课后作业：1、P27：2、3；ααα2、思考题：给定一个角，终边与角的终边关于直线y=x 对称的角与角有什么关系？它们的三角函数之间又有什么关系？能否证明.。
1.3三角函数的诱导公式_导学案2
11.3三角函数的诱导公式 第二课时学习目标：1.经历诱导公式五、六的推导过程，体会数学知识的“发现”过程。
2.掌握诱导公式五、六，能初步应用公式解决一些简单的问题。
复习案回顾三角函数的诱导公式二到公式四，公式二： 公式三： 公式四：sin()cos()tan()παπαπα+=+=+= sin()cos()tan()ααα-=-=-= sin()cos()tan()παπαπα-=-=-=它们的记忆口诀是：探究案 一、探究角α与απ-2终边的关系 问题1.画出角α关于直线y x =对称的角的终边.设角α与单位圆的交点为P ，所画的角与单位圆的交点为'P ，问题2：：由图象我们可以看到，与角α关于直线y x =对称的角可以表示为如上图单位圆中，假设点P 的坐标为）（y x ,，则'P 的坐标为 =sin α ,=cos α=)-sin(απ2 ,=)-cos(απ2由此可得出αcos 与)-sin(απ2，αsin 与)-cos(απ2的关系，总结为公式为：预习检测1. 1、化简1）⎪⎭⎫⎝⎛-βπ25sin 2） )27cos(απ-2、证明：ααπcos 23sin )1-=⎪⎭⎫⎝⎛- ααπsin 23cos )2-=⎪⎭⎫⎝⎛- 证：二．由（公式五）推导（公式六）观察可得记忆口诀：把α看成锐角，函数名奇变偶不变，符号看象限。
预习检测2：1、求值：（1） )+cos(323ππ 5(2)sin 6π（用两种方法计算）=)-cos(=)-sin(απαπ22=)+cos(=)+sin(απαπ222典型例题：（一）例1：化简：1）11sin(2)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπαπαα-++-----+例2、已知0sin 75=，求00cos15,cos165.例3、已知:,212sin 计算-=⎪⎭⎫⎝⎛+απ（1）();2cos απ- （2）()πα7tan -例4、若⎪⎭⎫⎝⎛+=απα2cos sin ,则角α的集合为 课后练习案1、化简：1）()()()()0000261sin .171sin 99sin .1071sin --+-；2) ()()αππααππα--⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2cos .2sin .25sin 2cos 3）()()()ααα-+--sin 360tan cos 022、计算：1）()()0000660cos .330sin 750cos .420sin --+ 2）⎪⎭⎫⎝⎛-++425tan 325cos 625sin πππ3、已知():,21sin 计算-=+απ 1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-23cos πα 2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2tan。
1.3《三角函数的诱导公式》教学案1
1.3《三角函数的诱导公式》教学案一、教材分析(一)教材的地位与作用：1、本节课教学内容“诱导公式(二)、(三)、(四)”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式(一)等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式(五)的理论依据。
2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。
诱导公式是求三角函数值的基本方法。
诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。
诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。
这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。
(二)教学重点与难点：1、教学重点：诱导公式的推导及应用。
2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
二、教学目标1、知识与技能(1)识记诱导公式．(2)理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明．2、过程与方法(1)通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法．(2)通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式．(3)通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力．3、情感态度和价值观(1)通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神．(2)通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想．三、教学设想三角函数的诱导公式(一)(一)创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题 I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。
1、提问：试叙述三角函数定义 2、提问：试写出诱导公式(一) 3、提问：试说出诱导公式的结构特征 4、板书诱导公式(一)及结构特征： 诱导公式(一)②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题。
高中数学优质学案 §1.3 三角函数的诱导公式(一)
§1.3三角函数的诱导公式(一)学习目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α)．知识点一诱导公式二角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，角π＋α的终边与单位圆的交点P1与P也关于原点对称，因此点P的坐标是(－cos α，－sin α)，它们的三角函数关系如下：诱导公式二知识点二诱导公式三角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三知识点三诱导公式四角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式四公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系，这四组公式的共同特点是：2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．1．诱导公式中角α是任意角．(×)提示正弦、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．2．sin(α－π)＝sin α.(×)提示sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α.3．cos 43π＝－12.(√)提示cos 4π3＝cos⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－cos π3＝－12.4．诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用．(×) 提示在角度制和弧度制下，诱导公式都成立.题型一 给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值： (1)cos 210°；(2)sin11π4；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－43π6；(4)cos(－1 920°)． [考点] 同名诱导公式 [题点] 诱导公式二、三、四 解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－32. (2)sin 11π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋3π4 ＝sin3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π4 ＝sin π4＝22.(3)sin ⎝⎛⎭⎫－43π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫6π＋7π6 ＝－sin7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°)＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.反思感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化．(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 跟踪训练1 求下列三角函数式的值： (1)sin(－330°)·cos 210°；(2)3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)； (3)sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－43π. [考点] 同名诱导公式 [题点] 诱导公式二、三、四 解 (1)sin(－330°)·cos 210° ＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°)＝sin 30°·(－cos 30°)＝12×⎝⎛⎭⎫－32＝－34.(2)3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)＝－3sin(1 080°＋120°)·⎝⎛⎭⎫－33－cos(720°－135°)·tan(－9°×180°－45°) ＝sin(1 080°＋120°)－cos 135°·tan(－45°) ＝32－⎝⎛⎭⎫－22×(－1)＝3－22. (3)sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3cos ⎝⎛⎭⎫π－π6tan ⎝⎛⎭⎫－2π＋2π3 ＝－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6tan ⎝⎛⎭⎫π－π3 ＝－32·⎝⎛⎭⎫－32·(－3)＝－334. 题型二 条件求值或给值求角问题例2 (1)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π3[考点] 同名诱导公式 [题点] 诱导公式一、二、三[答案] D[解析] 由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，可得－sin θ＝－3cos θ，|θ|<π2，即tan θ＝3，|θ|<π2，∴θ＝π3.(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值． [考点] 同名诱导公式 [题点] 诱导公式三、四解 因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33， sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.反思感悟 (1)解决条件求值问题的策略①解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．②可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．(2)对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．跟踪训练2 如果A 为锐角，sin(π＋A )＝－12，那么cos(π－A )等于( )A.22 B ．－22 C.32 D ．－32[考点] 同名诱导公式 [题点] 诱导公式二、四 [答案] D[解析] 因为sin(π＋A )＝－sin A ＝－12，所以sin A ＝12，又A 为锐角，所以A ＝π6；所以cos(π－A )＝－cos A ＝－cos π6＝－32.利用诱导公式化简典例 化简下列各式：(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.[考点] 同名诱导公式[题点] 诱导公式一、二、三、四综合应用 解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 引申探究若本例(1)改为：tan (n π－α)sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简．解 当n ＝2k (k ∈Z )时，原式＝－tan α·(－sin α)·cos α－cos α·sin α＝－tan α；当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，原式＝－tan α·sin α·(－cos α)cos α·(－sin α)＝－tan α.[素养评析] (1)三角函数式的化简方法①利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． ②常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． ③注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.(2)理解运算对象、掌握运算法则、求得运算结果，通过运算促进数学思维发展，提升数学运算的数学核心素养．1．sin7π6的值是( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12[考点] 同名诱导公式 [题点] 诱导公式二 [答案] A [解析] sin7π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－sin π6＝－12. 2．已知角α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是( ) A ．sin α＝sin β B ．sin(α－2π)＝sin β C ．cos α＝cos β D ．cos(2π－α)＝－cos β[考点] 同名诱导公式 [题点] 诱导公式三 [答案] C[解析] 由角α和β的终边关于x 轴对称，可知β＝－α＋2k π(k ∈Z )，故cos α＝cos β. 3．已知cos α＝35，则sin(3π＋α)·cos(2π－α)·tan(π－α)等于( )A ．±35B ．±45 C.925 D.1625[考点] 同名诱导公式 [题点] 诱导公式二、三、四 [答案] D[解析] 原式＝sin(π＋α)·cos(－α)·tan(π－α) ＝(－sin α)·cos α·(－tan α)＝sin 2α， 由cos α＝35，得sin 2α＝1－cos 2α＝1625.4．已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )A ．1B ．－1 C.13 D ．－13[考点] 同名诱导公式 [题点] 诱导公式一、二 [答案] D[解析] 由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )， 则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2k π＋π＋β(k ∈Z )， sin(α＋2β)＝sin(2k π＋π＋β)＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13. 5．若f (θ)＝2cos 3θ－sin 2(θ＋π)－2cos (－θ－π)＋12＋2cos 2(7π＋θ)＋cos (－θ)，求f ⎝⎛⎭⎫π3的值． [考点] 同名诱导公式[题点] 诱导公式二、三、四解 由已知得f (θ)＝2cos 3θ－sin 2θ＋2cos θ＋12＋2cos 2θ＋cos θ＝2cos 3θ－(1－cos 2θ)＋2cos θ＋12＋2cos 2θ＋cos θ＝2cos 3θ＋cos 2θ＋2cos θ2＋2cos 2θ＋cos θ＝cos θ(2cos 2θ＋cos θ＋2)2cos 2θ＋cos θ＋2＝cos θ， 所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＝12.1．明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．3．已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解．必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”．。
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cos(－α)＝________，
tan(－α)＝________.
(4)公式四：sin(π－α)＝________，
cos(π－α)＝________，
tan(π－α)＝________.
(5)公式五：sin＝________；
cos＝________.
怀仁名师教育假期高一数学必修四导学案
编号：3课题：1.3三角函数的诱导公式时间：7.1
一、学习目标：
1.熟记三角函数的诱导公式．
会运用三角函数的诱导公式解决问题
二、完成目标：
知识梳理
1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.
相关角
终边之间的对称关系
π＋α与α
关于____对称；
(6)公式六：sin＝________；
cos＝________.
记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”
当堂训练
1．sin585°的值为()
A．－B．C．－D．
2．若n为整数，则代数式的化简结果是()
A．tannαB．－tannα
C．tanαD．－tanα
3．记cos(－80°)＝k，那么tan100°等于()
A．B．－
C．D．－
4．tan(5π＋α)＝m，则的值为()
A．mB．－mC．－1D．1
5．若sin(3π＋α)＝－，则cos等于()
A．－B．C．D．－
6．已知sin＝，则cos的值等于()
A．－B．C．D．
7．已知cos＝，且|φ|＜，则tanφ等于()
A．－B．C．－D．
－α与α
关于____对称；
π－α与α
关于____对称.
2.诱导公式
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝______，
cos(α＋2kπ)＝______，
tan(α＋2kπ)＝______，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(π＋α)＝________，
cos(π＋α)＝________，
tan(π＋α)＝________.