高一(上)期末数学试卷A3
2023-2024学年上海建平中学高一上学期数学期末试卷及答案(2024.01)
1建平中学2023学年第一学期高一数学期末2024.1一、填空题(每题3分,满分36分)1.已知扇形的面积是4,半径为2,则扇形的圆心角为________弧度.2.已知α是第二象限角,且35sin α=,则tan α=________.3.若函数()()23(0a f x log x a =−−>且1)a ≠的图像恒过定点A ,则A 的坐标是______.4.已知02,πα∈−,若728cos α=,则sin α=________.5.方程)20sin xx =≤≤π的解集为________. 6.函数()2f x x =+的值域是________. 7.已知α为锐角,167cos πα+=,则cos α=________.8.已知函数()9999999f x ax bx x =+−+,且()210f −=,则()2f =________. 9.若存在x R ∈,使34cosx sinx k =+成立,则实数k 的取值范围是________.10.已知函数()(2x f x ln x =+,若()2561f m m +−<,则实数m 的取值范围是_____.11.已知函数()()242,1,23,1xx f x g x x ax x x −< ==++ −≥ ,若函数()()y g f x =有6个零点,则实数a 的取值范围是________.12.若存在实数,a b ,对任意实数[]01x ,∈,不等式32x m ax b x −≤+≤恒成立,则实数m 的取值范围是________.二、选择题（每题3分,满分12分) 13.“1sinx =”是“0cosx =”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件214.已知实数,a b 满足a b >,则下列不等式恒成立的是( )A.11a b −−>;B.22a b >;C.33a b >;D.a b >.15.对于ABC ∆,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,有如下判断：(1)若cosA cosB =,则ABC ∆为等腰三角形;(2)若A B >,则sin sinA B >;(3)若8,10,60a c B === ,则符合条件的ABC ∆有两个;(4)若sinAsinB cosAcosB <,则ABC ∆是钝角三角形.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个16.已知集合S 是由某些正整数组成的集合,且满足:若a S ∈,则当且仅当(a m n =+其中正整数,m n S ∈,且)m n ≠或(a p q =+其中正整数,p q S ∉,且)p q ≠.现有如下两个命题:(1)5S ∈;(2)集合{}*3xx n,n N S =∈⊆∣.则下列判断正确的是( ) A.(1)是真命题,(2)是真命题. B.(1)是真命题,(2)是假命题. C.(1)是假命题，(2)是真命题. D.(1)是假命题,(2)是假命题. 三、解答题（本题共有5大题,满分52分) 17.已知角α的终边经过点()12M ,−, (1)求()23sin cos cos sin α+π−αα−α的值.(2)求24tan πα+的值.18.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2sin B =. (1)求角B 的大小.(2)若ABC ∆的面积为6,4a =,求b 的长.319.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现，某水果的产量W (单位:千克)与施用肥料x (单位:千克)满足如下关系:()()2217,02850,251x x W x x x +≤≤=−<≤−,且施用肥料及其它成本总投入为20x 元.已知这种水果的市场售价大约10元/千克,且生产的水果都能售出.记该水果利润为()f x (单位:元)（利润=销售额-成本）(1)写出利润()f x (元)关于施用肥料x (千克)的关系式.(2）当施用肥料为多少千克时，该水果利润最大？最大利润是多少？20.对于函数()f x ,若存在0x R ∈,使()00f x x =成立,则称0x 为()f x 的不动点. (1)已知函数()23f x x x =−−,求函数()f x 的不动点.(2)若对于任意的b R ∈,二次函数()()()2180f x ax b x b a =+−+−≠恒有两个相异的不动点,求实数a 的取值范围.(3)若函数()()211f x mx m x m =−+++在区间()02,上有唯一的不动点,求实数m 的取值范围.421.若函数()f x 满足:对任意正数,s t ,都有()()()f s f t f s t +<+,则称函数()f x 为“H 函数”. (1)试判断函数()21f x x =与()()21f x ln x =+是否为“H 函数”,并说明理由. (2)若函数33x y x a =+−是“H 函数”,求实数a 的取值范围.(3)若函数()f x 为“H 函数”,()11f =,对任意正数,s t ,都有()()0,0f s f t >>,求证:对任意()()122k k x ,k N +∈∈,都有()122x f x f x x −>−.5参考答案一、填空题 1.2 ; 2. 34−3.()33,−4.14−;5.388,ππ ;6.54,⋅−∞; 8.8; 9.[]55,⋅−; 10.()61,−；11.(3,⋅−− 12.14,+∞二、选择题13.A 14. C 15. C 16.A 三．解答题17.【答案】（1）-1 (2)-7【解析】（1）由已知得2tan α=−,()22211333sin cos sin cos tan cos sin cos sin tan α+π−αα−αα−∴===−α−αα−α−α;(2)2tan α=− ,224231tan tan tan α∴α==−α,则2127412tan tan tan πα+α+==− −α. 18.【答案】（1）4B π=(2)b = 【解析】（1）因为2sin B =，所以2sinBcosB =. 因为0sinB ≠,所以cosB =,又,0B <<π,所以4B π=.(2)因为114622ABC S acsinB c ∆==××=,所以c =由余弦定理可得222216182410b a c accosB +−+−××,所以b =. 19.【答案】(1)()22020340,028050020,251x x x f x x x x −+≤≤= −−<≤−(2)肥料为3千克时,该水果的利润最大,最大利润是400元【解析】(1)由已知()()1020f x W x x =−,又()()2217,02850,251x x W x x x +≤≤= −<≤ −,6所以()()2201720,028050020,251x x x f x x x x +−≤≤= −−<≤ − ,整理得()22020340,028050020,251x x x f x x x x −+≤≤ = −−<≤− . （2）当02x ≤≤时,()2212020340203352f x x x x−+−+，∴当02x ≤≤时,()()2380f x f ≤=,当25x <≤时,()80500201f x x x =−−−, ()80500201201x x =−+−+ − ()804802014804001x x−+−≤− −当且仅当()802011x x =−−,即3x =时等号成立,()400max f x =,因为380400<综上,所以()f x 的最大值为400.故当施用肥料为3千克时,该水果的利润最大,最大利润是400元. 20．【答案】(1)1,3− (2)()06,(3)11m −<≤或m =【解析】(1)设0x 为不动点,因此20003x x x −−=,解得01x =−或03x =,所以1,3−为函数()f x 的不动点.(2)方程()f x x =，即()218ax b x b x +−+−=，有()22800ax b x b a +−+−=≠，， 于是得方程()2280ax b x b +−+−=有两个不等实根, 即()()()22(2)480414810Δb a b b a b a =−−−>⇔−+++>, 依题意,对于任意的b R ∈,不等式()()2414810b a b a −+++>恒成立, 则()216(1)16810,Δa a ′=+−+<整理得260a a −<,解得06a <<, 所以实数a 的取值范围是()06,.(3)由于函数()f x 有且只有一个不动点在()02,上所以()211mx m x m x −+++=， 即()2210mx m x m −+++=在()02,上有且只有一个解令()()221g x mx m x m =−+++7①()()020g g ⋅<,则()()110m m +−<,解得11m −<<;②()00g =即1m =−时，方程可化为20x x −−=,另一个根为-1,不符合题意,舍去; ③()20g =即1m =时，方程可化为2320x x −+=,另一个根为1,满足; ④0∆=,即()()22410m m m +−+=,解得m =(I)当m =时,方程的根为()2222m m x m m −++=−=,满足; （II）当m =时,方程的根为()2222m m x m m −++=−=,不符合题意,舍去; 综上,m 的取值范围是11m −<≤或m =. 21．【答案】（1）不是 （2）13a ≥（3）见解析【解析】(1)对于任意()()()()()222111,0,,s t ,f s f t s t f s t s t ∈+∞+=++=+,()()()()222111()20f s t f s f t s t s t st ∴+−+=+−+=> ,即()()()111f s f t f s t +<+成立;故()21f x x =是“H 函数”.对于()()21f x ln x =+，取1s t ==,则()()()22222,3f s f t ln f s t ln +=+=. 因为22ln 3ln >,故()()21f x ln x =+不是“H 函数”.(2)因为函数33x y x a =+−是“H 函数”,故对于任意的(),0s t ,∈+∞有 ()333333s t s t s t a s a t a +++−>+−++−恒成立,即3333s t s t a +−−>−恒成立所以()()313113s t a −−>−恒成立.又(),0s t ,∈+∞,故()3,31s t ,∈+∞,则()()()31310s t ,−−∈+∞则130a −≤,即13a ≥. (3)由函数()f x 为“H 函数”,可知对于任意正数,s t , 都有()()0,0f s f t >>,且()()()f s f t f s t +<+,8令s t =,可知()()22f s f s >,即()()22f s f s >,故对于自然数k 与正数s ,都有()()()()()()()()111122222,22k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s +++−=⋅>对任意()()122k k x ,k N +∈∈,可得111122k k,x +∈,又()11f =, 所以()()()()()122222122k kkkkxf x f x f f f +>−+>≥=>,同理()1111111122222222k k k k k k f f f f f x x x + <−−<≤==< ,故()122x f x f x x−>− .。
贵州省贵阳市普通中学2022-2023学年高一上学期期末监测考试数学试题(1)
贵阳市普通中学2021-2022学年度第一学期期末监测考试试题高一数学一､选择题（本大题共8小题,每小题4分,共32分.每小题有四个选项,其中只有一个选项正确,请将你认为正确地选项填写在答题卷地相应位置上.）1 已知集合{}3782A x x x =-<-,{}2340B x x x =--<,则A B = （ ）A. {}4x x < B. {}34x x << C. {}13x x -<< D. {}43x x -<<【结果】C 【思路】【思路】求出集合A ,B ,再由交集定义求出A B ．【详解】∵集合{}{}37823A x x x x x =-<-=<,{}{}234014B x x x x x =--<=-<<,∴{}13A B x x ⋂=-<<．故选：C ．2. 已知命题2:,10p n N n n ∀∈++>,则p 地否定为（ ）A. 2,10n N n n ∀∈++< B. 2,10n N n n ∀∈++≤C. 2,10n N n n ∃∈++< D. 2,10n N n n ∃∈++≤【结果】D 【思路】【思路】全称命题地否定为存在命题,利用相关定义进行判断即可【详解】全称命题地否定为存在命题,命题2:,10p n N n n ∀∈++>,则p ⌝为2,10n N n n ∃∈++≤.故选：D3. 函数12xy =地定义域为（ ）A. R B. (,0)(0,)-∞+∞ C. (,0)-∞ D. (0,)+∞【结果】B.【思路】【思路】要使函数12xy =有意义,则需要满足0x ≠即可.【详解】要使函数12x y =有意义,则需要满足0x ≠所以12x y =地定义域为(0)(0)∞∞-⋃+，，,故选：B4. 在平面直角坐标系xoy 中,角α与角β项点都在坐标原点,始边都与x 轴地非负半轴重合,它们地终边有关y 轴对称,若1cos 2α=-,则cos β=（ ）A.12B. 12-C.D. 【结果】A 【思路】【思路】利用终边相同地角和诱导公式求解.【详解】因为 角α与角β地终边有关y 轴对称,所以2,k k Z βπαπ=-+∈,所以 ()1cos cos 2cos 2k βπαπα=-+=-=,故选：A5. 借助信息技术画出函数ln y x =和||y x x a =-（a 为实数）地图象,当 1.5a =时图象如图所示,则函数| 1.5|ln y x x x =--地零点个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【结果】B 【思路】的【思路】由| 1.5|ln 0y x x x =--=转化为 1.5y x x =-与ln y x =地图象交点个数来确定正确选项.【详解】令| 1.5|ln 0y x x x =--=, 1.5ln x x x -=,所以函数| 1.5|ln y x x x =--地零点个数即 1.5y x x =-与ln y x =地图象交点个数,结合图象可知 1.5y x x =-与ln y x =地图象有2个交点,所以函数| 1.5|ln y x x x =--有2个零点.故选：B6. 设 1.53cos2,0.3,log 2a b c -===,则a ,b ,c 地大小关系是（ ）A. a b c <<B. c a b<< C. a c b<< D. b c a<<【结果】C 【思路】【思路】比较a ，b ，c 与0和1地大小即可判断它们之间地大小.【详解】cos20a =<,1.500.30.31b -=>=,()333log 1log 2log 3,0,1c c <=<∈,故a c b <<故选：C.7. 已知1(0,),sin cos 5απαα∈+=-,则下面结论正确地是（ ）A. 4cos 5α= B. 7sin cos 5αα-=C.sin cos 4tan 15ααα+=-D.sin cos 73sin 2cos αααα-=-+【结果】B 【思路】【思路】先求出34sin cos 55αα==-,再对四个选项一一验证即可.【详解】因为1(0,),sin cos 5απαα∈+=-,又22sin cos 1αα+=,.解得：34sin cos 55αα==-.故A 错误。
高一数学期末试卷带答案解析
高一数学期末试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.若角的终边上有一点，则的值是（ ）. A ．B ．C ．D ．2.设向量，，，，，若，则的最小值是（ ） A ．B ．C ．D ．3.已知集合，则=A ．B ．C ．D ．4.已知lg2≈0.3010，且a = 2×8×5的位数是M ，则M 为( )． A ．20 B ．19 C ．21 D ．225.在中，已知向量，则的面积等于（ ） A ． B ．C ．D ．6.已知，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．8.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取数名学生进行问卷调查．如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为( ) A ．10 B ．9C．8D．79.在△ABC中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则的值为（）A．19 B．-14 C．-18 D．-1910.已知函数的一部分图象如图所示，如果，则（）A． B． C． D．11.已知函数设表示中的较大值,表示中的较小值,记的最小值为的最大值为,则( )A． B． C．16 D．-1612.若,则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．13.已知下列说法正确的是（A．B．C．D．14.设f:x→y=2x是A→B的映射，已知集合B={0,1,2,3,4},则A满足（）A．A={1，2，4，8，16}B．A={0，1，2，log23}C．A{0,1,2,log23}D．不存在满足条件的集合15.已知函数，且，则等于（）A． B． C． D．16.已知数列满足（）A． B． C． D．17.已知满足，则直线必过定点( ) A ．B ．C ．D ．18.满足M ｛a 1, a 2, a 3, a 4｝,且M ∩｛a 1 ,a 2, a 3｝={ a 1，a 2}的集合M 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．419.一名射击运动员射击10次，命中环数如下，则该运动员命中环数的标准差为（ ）10 10 10 9 10 8 8 10 10 8 A ．B ．C ．D ．20.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题 21.已知都是定义域内的非奇非偶函数，而是偶函数，写出满足条件的一组函数，______________；________________； 22.求满足＞的x 的取值集合是 ．23.已知幂函数满足，则24.25.函数的定义域是 .26.二面角α﹣l ﹣β的平面角为120°，在面α内，AB ⊥l 于B ，AB=2在平面β内，CD ⊥l 于D ，CD=3，BD=1，M 是棱l 上的一个动点，则AM+CM 的最小值为 ．27.根据任意角的三角函数定义，将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的值在各象限的符号（用“＋”或“－”）填入括号（填错任何一个将不给分）。
九江市重点中学2022-2023学年高一上数学期末统考模拟试题含解析
【解析】先求出直观图中，∠ADC=45°，AB=BC=2， AD 2 2 ，DC=4，即可得到原图形是一个直角梯形和各个边
长及高，直接求面积即可.
【详解】直观图中，∠ADC=45°，AB=BC=2，DC⊥BC，∴ AD 2 2 ，DC=4，
∴原来的平面图形上底长为 2，下底为 4，高为 4 2 的直角梯形，
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1 当 a 1，求函数 f x 在 ,0 上的值域，并判断函数 f x 在 ,0 上是否为有界函数，请说明理由； 2 若函数 f x 在0, 上是以 3 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围 21．设非空集合 P 是一元一次方程 ax2 bx c 0a 0 的解集.若 A 1, 2,3, 4,5， B 2, 4,6,8，满足
【详解】解： f x 定义域为 R ，
A 中定义域为0, ，定义域不同，错误；
B 中化简为 f x x ，对应关系不同，错误；
C 中定义域为 R ，化简为 f x x ，正确；
D 中定义域为t | t 0，定义域不同，错误；
故选：C 3、D 【解析】由分数指数幂的运算性质可得结果.
【详解】因为 ， ，所以
P A ， P B P ，求 b c 的值. a
22．求下列关于 x 的不等式的解集：
（1） 5 1； x7
（2） 2a2x2 3ax 2 0
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）
1、D
【解析】将函数化简，根据曲线 y＝f（x）与直线 y＝1 的交点中，相邻交点的距离的最小值为 3 ，即 ωx 2kπ
44
44
∴（ 3 ）+2kπ＝ω（x2﹣x1）， 44
令 k＝0，
∴x2﹣x1 2 3 ，
山东省潍坊市寿光中学2020-2021学年高一数学理上学期期末试卷含解析
山东省潍坊市寿光中学2020-2021学年高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，，，且△ABC的面积为，则BC=A. 2B.C.D. 1参考答案：A【分析】根据△ABC的面积为bc sin A，可得c的值，根据余弦定理即可求解BC．【详解】解：由题意：△ABC的面积为bc sin A，∴c＝2．由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A即a2＝4+12﹣84，∴a＝2．即CB＝a＝2．故选：A．【点睛】本题考查解三角形问题，涉及到三角形面积公式，余弦定理，考查转化能力与计算能力，属于基础题.2. 已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a3+a9=6，则S11等于（）A．12B．33C．66D．11参考答案：B【考点】等差数列的前n项和；等差数列；等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质可得a1+a11=a3+a9=6，代入求和公式可得答案．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a11=a3+a9=6，由求和公式可得S11===33，故选：B3. 如果且，则角为（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角参考答案：D4. 在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则△ABC是（）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形参考答案：D【分析】根据正弦定理，将等式中的边a,b消去，化为关于角A,B的等式，整理化简可得角A,B的关系，进而确定三角形。
【详解】由题得，整理得，因此有，可得或，当时，为等腰三角形；当时，有，为直角三角形，故选D。
【点睛】这一类题目给出的等式中既含有角又含有边的关系，通常利用正弦定理将其都化为关于角或者都化为关于边的等式，再根据题目要求求解。
5. 设集合A={f（x）|存在互不相等的正整数m，n，k，使得[f（n）]2=f（m）f（k）成立}，则下列不属于集合A的函数是（）A．f（x）=1+x B．f（x）=1+lgx C．f（x）=1+2x D．f（x）=1+cos x参考答案：C【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据条件分别确定n，m，k的值即可得到结论．【解答】解：A．∵f（1）=2，f（27）=4，f]2=f（1）f=1，f（10）=2，f]2=f（1）f=1，f（）=1，f（）=4，∴满足[f（）]2=f（）f（）．故只有C不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件找出满足条件的n，m，k是解决本题的关键，比较基础．6. 设向量＝（2，4）与向量＝（x，6）共线，则实数x＝（）A. 2B. 3C. 4D. 6参考答案：B由向量平行的性质，有2∶4＝x∶6，解得x＝3，选B考点：本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.7. 已知∠AOB=lrad，点A l，A2，…在OA上，B1，B2，…在OB上，其中的每一个实线段和虚线段氏均为1个单位，一个动点M从O点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为l单位／秒，则质点M到达A10点处所需要的时间为( ) 秒。
山西省运城市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(解析版)
运城市2021～2022学年高一1月份期末调研测试数学一，选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 下面各角中,与角1560°终边相同地角是（ ）A. 180° B. -240°C. -120°D. 60°【结果】B 【思路】【思路】终边相同地角,相差360°地整数倍,据此即可求解.【详解】与1560°终边相同地角为1560360k β=︒+︒,k ∈Z ,当5k =-时,156********β=︒-︒⨯=-︒.故选：B .2. 已知集合{}2,1,2,3A =-,{}12B x x =-<≤,则()A B =R ð（ ）A. ∅ B. {}1,2 C. {}2,3- D. {}2,1,2-【结果】C 【思路】【思路】依据集合地交集和补集运算法则计算即可.【详解】{R 1B x x =≤-ð或}2x >,∴(){}R 2,3A B ⋂=-ð.故选：C.3. 设x ∈R ,则“220x x -<”是“12x -<”（ ）A. 充分不必要款件 B. 必要不充分款件C. 充要款件 D. 既不充分也不必要款件【结果】A 【思路】【思路】解不等式,再判断不等式解集地包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈,由12x -<得()1,3x ∈-,故“220x x -<”是“12x -<”地充分不必要款件.的故选：A.4. 假如,,a b c ∈R ,且0abc ≠,那么下面命题中正确地是（ ）A. 若11a b<,则a b > B. 若ac bc >,则a b >C. 若33a b >,则11a b<D. 若a b >,则22a b>【结果】D 【思路】【思路】依据不等式地性质逐项思路判断即可.【详解】对于A ,若1a =-,1b =,满足11a b<,但a b >不成立,错误。
河北省沧州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
河北省沧州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}1,2,3,5,2,3,5,6,7A B ==，则A B ⋂的子集的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．82．下列函数是幂函数的是（）A ．22y x =B ．21y x =C ．1y x -=-D ．2xy =3．“lg lg a b <”是“33a b <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()21,0πtan ,03x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.设()0f a =，则()f a =（）A ．1-B ．0C ．12D ．25．若1t >，则关于x 的不等式()10t x x t ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解集是（）A ．1|x x t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．1|x x t ⎧<⎨⎩或}x t >C ．{|x x t <或1x t ⎫>⎬⎭D ．1|x t x t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭6．已知sin α=cos αtan 2α等于（）A．2-B．2C2D．2)±7．函数sin cos y x x x =-的部分图象是（）A．B．C ．D ．8．定义：对于()f x 定义域内的任意一个自变量的值1x ，都存在唯一一个2x 使得1=成立，则称函数()f x 为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是（）A ．()ln f x x=B ．()exf x =C ．()sin exf x =D ．()cos f x x=二、多选题9．若“,0x M x ∃∈<”为真命题，“,3x M x ∃∈≥”为假命题，则集合M 可以是（）A ．(,1)-∞B ．[]1,3-C ．[)0,2D ．()3,3-10．设0a b <<，且2a b +=，则（）A ．12b <<B ．21a b -<C ．1ab <D ．123a b+≥11．已知函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<为偶函数，则（）A ．()f x 的图象关于直线πx =对称B ．()f x 的最小正周期是πC ．()f x 的图象关于点()2π,0-对称D ．()f x 在区间()2,3上是增函数12．设函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论正确的是（）A ．7324f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上为减函数D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解三、填空题13．已知()222x f x =+，则()1f =__________.14．函数()22log 4y x =-的定义域是__________.15．在直角坐标系中，O 是原点，A1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__.16．若正实数0x 是关于x 的方程e ln x x ax ax +=+的根，则00e xax -=__________.四、解答题17．已知集合{|13}A x x =<<，{}24x B x=>∣.(1)求集合A B ⋃，B R ð；(2)若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为A B ⋂，求,a b 的值.18．已知函数||()2x f x =-(1)判断并证明函数()f x 的奇偶性;(2)判断函数()f x 在区间[0,)+∞上的单调性（不必写出过程），并解不等式(2)(21).f x f x +>-19．已知函数()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的单调增区间；(2)当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.20．将函数()2cos 2sin g x x x x =-的图象向左平移π02ϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象.(1)若()()0f x f ≤恒成立，求ϕ；(2)若()f x 在7ππ,6⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围.21．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到()100.1x -万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价-供货价格.（1）求每套丛书利润y 与售价x 的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？（2）每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润.22．已知函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中a ∈R .(1)若()13f <，求实数a 的取值范围；(2)设函数()()()2log 425g x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦，试讨论函数()g x 的零点个数.参考答案：1．D【分析】先求A B ⋂中元素的个数，再求A B ⋂的子集的个数.【详解】因为集合{}{}1,2,3,5,2,3,5,6,7A B ==，所以{}2,3,5A B = ，所以A B ⋂的子集的个数为328=个.故选：D.2．B【分析】根据幂函数的概念，即可得出答案.【详解】B 项可化为2y x -=，根据幂函数的概念，可知函数2y x -=是幂函数，即函数21y x =是幂函数.ACD 均不是幂函数.故选：B.3．A【分析】根据充分条件以及必要条件的定义，分别判断充分性以及必要性即可得出答案.【详解】由lg lg a b <，根据函数lg y x =在()0,∞+上单调递增，可得0a b <<，由3y x =在R 上单调递增，则有33a b <，所以充分性成立；当33a b <时，由3y x =在R 上单调递增，可得a b <，在0a b <<的情况下，lg lg a b <不成立，所以必要性不成立.所以，“lg lg a b <”是“33a b <”的充分不必要条件.故选：A.4．D【分析】根据分段函数的解析式，结合已知求出a =.【详解】由已知可得，()π0tan 3f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭a =又(312f =-=，所以()2f a =.故选：D.5．A【分析】首先根据不等式的性质可得1t t <，进而将不等式转化为()10x t x t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，求解即可得出结果.【详解】因为()()111t t t t t+--=，1t >，所以10t t ->，所以1t t >.原不等式()10t x x t ⎛⎫--> ⎪⎝⎭可化为所以()10x t x t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得1x t t <<.所以，不等式()10t x x t ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解集为1|x x t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.故选：A.6．C【分析】应用半角正切公式即可求值，注意法二：2α正切值的符号.【详解】方法一：∵sin α，cos 5α=，∴sin tan221cos ααα==-+.方法二：∵sin 05α=>，cos 0α=>，∴α的终边落在第一象限，2α的终边落在第一或第三象限，即tan02α>，∴tan 2.2α=-故选：C 7．C【分析】首先判断函数的奇偶性，即可排除AD ，又3333sin cos 102222y f ππππ⎛⎫===-<⎪⎝⎭，即可排除B.【详解】因为()sin cos y f x x x x ==-，定义域为R ，关于原点对称，又()()()()()sin cos sin cos f x x x x f x x x x f x =-+-=-+-==-，故函数()sin cos y f x x x x ==-为奇函数，图象关于原点对称，故排除AD ；又3333sin cos 102222y f ππππ⎛⎫===-<⎪⎝⎭，故排除B.故选：C.8．B【分析】根据“正积函数”的定义一一判断即可.【详解】对于A ，()ln f x x =，121ln ln 1x x ==⇒=，当11x =时，则不存在2x 满足情况，故A 不是正积函数；对于B ，()e xf x =，12121e e 10x x x x ==⇒=⇒+=，则任意一个自变量的值1x ，都存在唯一一个2x 满足120x x +=，故B 是正积函数；对于C ，()sin e xf x =，1212sin sin sin sin 1e e 1e 1x x x x +==⇒=⇒=，得12sin sin 0x x +=，当10x =时，则2sin 0x =，2πx k =，k ∈Z ，则2x 不唯一，故C 不是正积函数；对于D ，()cos f x x =，121cos cos 1x x ==⇒=，当[)1cos 0,1x ∈时，则不存在2x 满足情况，故D 不是正积函数.故选:B.9．AD【分析】由已知条件，写出命题,3x M x ∃∈≥的否定，即为真命题，四个选项逐一判断即可.【详解】由题意,0x M x ∃∈<为真命题，,3x M x ∀∈<为真命题，则应满足选项为集合{}3x x <的子集，且满足,0x M x ∃∈<，AD 选项均满足，B 选项当3x =时不符合,3x M x ∀∈<，故错误，C 选项不存在,0x M x ∈<，故错误.故选：AD 10．ABC【分析】结合选项及条件逐个判定，把2a b =-代入0a b <<可得A 正确，利用指数函数单调性可得B 正确，利用基本不等式可得C 正确，利用1的代换及基本不等式可得D 不正确.【详解】对于A ，0a b <<，且2,02a b b b +=∴<-<，解得12b <<，故A 正确；对于B ，a b < ，即0a b -<，0221a b -∴<=，故B 正确；对于C ，0a b <<，且2()2,14a b a b ab ++=∴≤=，当且仅当1a b ==时，等号成立，1ab ∴<，故C 正确；对于D ，0a b <<，2a b +=，∴()(1211212113332222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2b aa b=，即2,4a b ==-又((131330,33,222+-=<∴+<故D 错误.故选：ABC .11．ABD【分析】先利用偶函数求出ϕ，再利用周期公式求解周期，利用图象的性质求解对称性和单调性.【详解】因为()f x 为偶函数，所以ππ,2k k ϕ=+∈Z ，又0πϕ<<，所以π2ϕ=，即()πsin 2cos22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.对于A ，由2π,x k k =∈Z ，得π,2k x k =∈Z .当2k =时，πx =，故()f x 的图象关于直线πx =对称，A 正确；对于B,()f x 的最小正周期是2ππ,2T ==B 正确；对于C,()()cos2,f x x f x =图象的对称中心为()ππ,0,42k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z C 错误；对于D ，令2π+π22π+2π,k x k k ≤≤∈Z ，则ππ+π+π,2k x k k ≤≤∈Z ，即π,π2⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个单调增区间；由于()()π2,3,π,2f x ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，D 正确.故选:ABD.12．BD【分析】由已知可推出()()22f x f x +=--，令32x =，可得7122f f ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出函数值，即可判断A 项；由题意可推出()f x 周期为8，结合()1f x -为奇函数，可判断B 项；根据()f x 的对称性，结合已知可推出()f x 在()2,0-上单调递增，进而根据周期性即可判断C 项；根据()f x 的性质画出图象以及lg y x =-的图象，由lg121-<-结合图象即可判断D 项.【详解】因为()1f x -为奇函数，所以()()11f x f x --=--，所以()()2f x f x -=--.因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-+，所以()()2f x f x -=+.所以有()()22f x f x +=--，所以()()26f x f x -=--，所以()()26f x f x +=-，即有()()8f x f x +=，所以()f x 的一个周期为8.对于A 项，因为()()22f x f x +=--，且21131224f ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令32x =，有713224f f ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B 项，因为()1f x -为奇函数，()f x 的周期为8.故()()71f x f x +=-，()()71f x f x -+=--.所以()()()()7117f x f x f x f x -+=--=--=-+，从而()7f x +为奇函数，故B 正确；对于C 项，()21f x x =-+在区间(]1,0-上是增函数，且()f x 的图象关于点()1,0-对称，所以()f x 在()2,0-上单调递增，又()f x 周期为8，故()f x 在()6,8上单调递增，故C 项错误；对于D 项，作出()f x 与lg y x =-的大致图象，如图所示.其中lg y x =-单调递减且lg121-<-，所以两函数图象有6个交点，故方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解，故D 正确.故选：BD.【点睛】方法点睛：根据抽象函数的奇偶性，可根据对称性得出解析式关系式，进而由两个关系式，即可得出函数的周期.13．2【分析】对x 赋值即可求得(1)f .【详解】()()0212022f f ==+=.故答案为：2.14．(]()2,01,2-⋃【分析】由已知，解不等式组2011040xx x x ⎧≥⎪-⎪-≠⎨⎪->⎪⎩，即可得出答案.【详解】要使函数有意义，则2011040xx x x ⎧≥⎪-⎪-≠⎨⎪->⎪⎩，解得20x -<≤或12x <<，所以函数的定义域为(2,0](1,2)-⋃.故答案为：(2,0](1,2)-⋃.15．(－1【分析】由已知∠AOx ＝30°，则∠BOx ＝120°，又OB=2，结合三角函数定义求点B 的坐标.【详解】依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°B (－1故答案为：(－116．0【分析】设()e xf x x =+，同构变形得到ln e e ln x ax x ax +=+，即()()ln f x f ax =，从而得到00ln x ax =，即00e x ax =，从而结果.【详解】令()e xf x x =+，则()f x 在()0,∞+上单调递增，e ln x x ax ax +=+，即ln e e ln x ax x ax +=+，故()()lnf x f ax =，∵正实数0x 是方程e ln x x ax ax +=+的根，()()00ln f x f ax ∴=，则00ln x ax =，得00e x ax =，即00e 0x ax -=.故答案为：017．(1){1}A B xx ⋃=>∣，{}R 2B x x =≤∣ð；(2)5a =-，6b =.【分析】（1）解出集合B ，根据并集以及补集的运算，即可求出答案；（2）先求出交集，进而根据一元二次不等式的解集，得出一元二次方程的根，代入即可求出答案.【详解】（1）解24x >可得，2x >，所以{2}B xx =>∣.因为{13}A xx =<<∣，所以{1}A B xx ⋃=>∣，{}R 2B x x =≤∣ð.（2）由（1）知，{23}A B xx ⋂=<<∣，所以20x ax b ++<的解集为{23}xx <<∣，所以20x ax b ++=的解为2，3.所以420930a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得56a b =-⎧⎨=⎩.所以，5a =-，6b =.18．(1)函数()f x 是R 上的偶函数，证明见解析(2)函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用偶函数的定义判断并证明函数为偶函数；（2）根据指数函数和复合函数及函数的加减合成的单调性规律判定函数的单调性，然后结合函数是偶函数，将不等式转化为221x x +>-，进而两边同时平方，等价转化为二次方程，求解即得.【详解】（1）证明：依题意，函数()f x 的定义域为R ．对于任意R x ∈，都有()()22x x f x f x --===，所以函数()f x 是R 上的偶函数．（2）解：函数()f x 在[)0,∞+上单调递增．因为函数()f x R 上的偶数函数，所以()()221f x f x +>-等价于()()221f x f x +>-．因为函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以221x x +>-，即23830x x --<，解得133x -<<，所以不等式()()221f x f x +>-的解集为1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．19．(1)()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；(2)[]0,3.【分析】（1）由正弦函数性质知在()πππ2π22πZ 262k x k k -≤+≤+∈上递增，即可求增区间；（2）应用整体法求π26x +的区间，再由正弦函数性质求值域.【详解】（1）由()πππππ2π22πππZ 26236k x k k x k k -≤+≤+⇒-≤+∈，所以函数()f x 的单调增区间是()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得ππ5π2,666x -≤+≤.从而1sin 2,162πx ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]π2sin 210,36x ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭.所以()f x 的值域为[]0,3.20．(1)π6ϕ=(2)ππ,62ϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先化简()g x ，根据平移规律可得到()f x ，利用()0f 是函数的最大值即可求解；（2）由7ππ,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得πππ222π2,2π2662x ϕϕϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭，结合函数的周期可考虑区间ππ2,262ϕϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质列出不等式即可【详解】（1）∵()()2πcos 2sin 21cos 22sin 216g x x x x x x x ⎛⎫=-=--=+- ⎪⎝⎭，∴()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，又()()0f x f ≤恒成立，∴()0f 是函数的最大值，故()ππ22π62k k ϕ+=+∈Z ，得ππ6k ϕ=+，k ∈Z ，∵π02ϕ<≤，∴π6ϕ=.（2）∵7ππ,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴πππ222π2,2π2662x ϕϕϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭，令π226t x ϕ=++，所以()f x 在7ππ,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数可转化成()()2sin 1f x h t t ==-在ππ2π2,2π262ϕϕ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭是单调函数，因为()2sin 1h t t =-的周期为2πT =，所以()2sin 1h t t =-在ππ2,262ϕϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭是单调函数，∵π02ϕ<≤，∴ππ7π2,666ϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，ππ3π2,222ϕ⎛⎤+∈ ⎝⎦.∵()2sin 1h t t =-在ππ2,262ϕϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭是单调函数，∴ππ2,62π0,2ϕϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩∴ππ,62ϕ⎡⎤∈⎢⎣⎦.21．（1）()100200100100y x x x=--<<-，总利润为110(万元)；（2）当90元时，每套利润最大为60元.【解析】（1）首先据销售量求得x 的范围，然后计算出供货价格，可得利润函数，令80x =代入计算出每套书的利润，再乘以销量可得总利润；（2）利用基本不等式可得最值．【详解】（1）∵0100.10x x >⎧⎨->⎩∴0100x <<()1010020200100100.1100y x x x x x ⎛⎫=-+=--<< ⎪--⎝⎭当80x =时，10080205510080y =--=-(元)此时销量为100.1802-⨯=(万件)总利润为255110⨯=(万元)（2）10020100y x x=---∵0100x <<∴1000x ->∴()100100808060100y x x ⎡⎤=-+-+≤-=⎢⎥-⎣⎦当且仅当100100100x x=--，即x =90元时，每套利润最大为60元.．【点睛】本题考查基本不等式的实际应用，解题关键是确定利润函数，并凑出应用基本不等式的条件“一正二定”，然后再考虑“三相等”．22．(1)()1,7-；(2)答案见解析.【分析】（1）求出()1f ，根据对数函数的单调性，列出不等式，求解即可得到答案；（2）原题可转化为，结合()g x 的定义域，求方程()()24510a x a x -+--=根的个数.对a 的取值范围分类讨论，得出()()24510a x a x -+--=根的个数，结合函数()g x 的定义域即可得出答案.【详解】（1）因为()()221log 13log 8f a =+<=，所以018a <+<，即17a -<<，所以a 的取值范围为()1,7-.（2）由已知可得，()()()2log 425g x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦()221log log 425a a x a x ⎛⎫⎡⎤=+--+- ⎪⎣⎦⎝⎭.求函数()g x 零点的个数，即求方程()0g x =根的个数.由()0g x =，可得()221log log 425a a x a x ⎛⎫+=-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，即()1425a a x a x+=-+-，整理可得，()()24510a x a x -+--=.①当4a =时，可化为10x +=，解得=1x -，方程只有一个根，故此时函数()g x 有一个零点；②当3a =时，方程可化为2210x x ++=，解得=1x -，方程只有一个根，故此时函数()g x 有一个零点；③当4a ≠且3a ≠时，解方程()()24510a x a x -+--=得，=1x -或14x a =-.令()1u x a x=+，()()425v x a x a =-+-.则()()111u v a -=-=-，112444u v a a a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.（ⅰ）2a >且4a ≠且3a ≠，则10a ->且240a ->，此时有()()110u v -=->，11044u v a a ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ --⎝⎭⎝⎭，故此时函数()g x 有两个零点；（ⅱ）12a <≤，则10a ->，240a -<，则()()110u v -=->，11044u v a a ⎛⎫⎛⎫=≤ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即14a -不在函数()g x 的定义域内，故此时函数()g x 有一个零点；（ⅲ）当1a ≤，则10a -≤，240a -<，则()()110u v -=-≤，11044u v a a ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即此时1-和14a -均不在函数()g x 的定义域内，故此时函数()g x 无零点.综上，当(],1a ∈-∞时，()g x 无零点；当(]{}1,23,4a ∈⋃时，()g x 有一个零点；当()()2,33,4(4,)a ∈⋃⋃+∞时，()g x 恰有2个零点.【点睛】方法点睛：结合()g x 的定义域，转化为求方程()()24510a x a x -+--=根的个数.然后对a 分类讨论，即可得出解析.。
中职高一(上)期末数学试卷A3
2
A.a＝2 B.a≤2 C.a ≥2 D.a≠2 2 6.函数 y=2x -8x+9 的最小值是 （ ） A. 0 B. 1 C. 7 D. 9 7.若 x∈[3,5），那么式子 3-x 的值一定是 （ ） A.正数 B. 负数 C.非负数 D. 非正数 8.某商品零售价 2006 年比 2005 年上涨 25%，欲控制 2007 年比 2005 年只上涨 10%，则 2007 年应比 2006 年降价 （ ） A.15% B.12% C.10% D.50% 9.已知 a＜b＜0,那么一定有 （ ） A. b a ＞ a b b B.0＜ ＜1 a C. 1 1 ＜ a b （ D.ab＜b2
29.(6 分)计算 27
x2+1 1 28.(6 分)已知 f(x)= 2 ,求 f(3), f( ). x -1 x
上海市同济大学第二附属中学2023-2024学年高一上学期末考试数学试卷
21．对于函数 y f (x) ，若在定义域内存在实数 x ，满足 f (x) kf (x) ，其中为 k 整数，
则称函数 y f (x) 为定义域上的“阶 k 局部奇函数”．
(1)已知函数 f (x) x 2 2x ，试判断 y f (x) 是否为 (1,1) 上的“2 阶局部奇函数”？并说明
9．设 f x 为奇函数，且当 x 0 时， f x ex 1，则当 x 0 时， f x =
10．已知函数 f (x) | x 3 |, g(x) | x 4 | m ，若函数 f (x) 的图像恒在函数 g(x) 图像的
上方，则 m 的取值范围为
．
11．已知函数 f (x) ax2 2x 1(x R) 两个零点，一个大于 2 另一个小于 2，则实数 a
1 a
1 b
2 ，则
m
7．函数
y
1 2
x2
4 x 5
的严格递减区间为
． ．
8．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画， 扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其 中 OA 20cm ， AOB 120 ，M 为 OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 cm2 ．
20．已知函数 f (x) x2 ax a ．
(1)若 f (x) 的最大值为 0，求实数 a 的值；
(2)设 f (x) 在区间 [0, 2] 上的最大值为 M (a) ，求 M (a) 的表达式；
(3)令
g(x)
f
(x) x
，若
g(x)
在区间[1, 2] 上的最小值为
1，求正实数
a
的取值范围．
山东省威海市2023-2024学年高一上学期期末考试 数学含答案
高一数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{12345}U =,,,,，{13}A =,，{35}B =,，则()U A B = C A.{24}, B.{5}C.{1245},,, D.{3}2.命题“x Q ∀∈，x A.x Q ∃∈，x + B.x Q ∃∈，x +C.x Q ∃∉，x +D.x Q ∃∉，x +3.函数()f x =的定义域为A.[0)+∞,B.(0)+∞,C.(]0-∞,D.()0-∞,4.已知幂函数2()(214)k f x k k x =--在(0)+∞,上单调递增，则k =A.3- B.3C.5- D.55.甲、乙两校各有2名教师报名支教，若从报名的4名教师中任选2名，则选出的2名教师来自不同学校的概率为A.14B.13C.23D.346.已知343(4a -=，5log 3b =，6log 3c =，则A.a b c <<B.c b a <<C.b c a <<D.b a c<<7.掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件1A ：红骰子的点数为2，2A ：红骰子的点数为3，3A ：两个骰子的点数之和为7，4A ：两个骰子的点数之和为9，则A.1A 与2A 对立 B.3A 与4A 不互斥C.1A 与3A 相互独立D.2A 与4A 相互独立8.已知函数()lg 1f x x =-，若()()f a f b =，且a b <，则2[()](10)f a f b -的最小值为A.3- B.54-C.94-D.134-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年山东省临沂高一上学期期末数学质量测试题(含答案)
2023-2024学年山东省临沂高一上册期末数学质量测试题一、单选题1．已知1sin3α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tanα的值为（）A．4BC．-D．【正确答案】A根据同角三角函数的基本关系求出cosα，tanα；【详解】解：因为1sin3α=，22sin cos1αα+=，所以cos3α=±，因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos3α=-，所以1sin3tancos43ααα==-故选：A2．已知命题:0p x∀>，2log2x x>，则命题p的否定为（）A．0x∀>，2log2x x≤B．00x∃>，002log2x x≤C．00x∃>，002log2x x<D．00x∃≤，002log2x x≤【正确答案】B根据全称命题的否定是特称命题，可得选项．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:0p x∀>，2log2x x>，则命题p的否定为“00x∃>，002log2x x≤”，故选：B．3．已知函数()xf x a=（0a>且1a≠）在(0,2)内的值域是2(1,)a，则函数()y f x=的函数大致是（）A ．B．C ．D ．【正确答案】B【详解】试题分析：由题意可知21a>，所以1a>，所以()f x是指数型的增函数.故选B.指数函数的图象与性质.4．若正实数a ，b ，c 满足1b a c c c <<<，则a ，b 的大小关系为（）A ．01a b <<<B ．01b a <<<C ．1b a <<D ．1a b<<【正确答案】A【分析】根据已知可得01c <<，根据指数函数的单调性，即可得出答案.【详解】因为c 是正实数，且1c <，所以01c <<，则函数x y c =单调递减.由1b a c c c <<<，可得10b a c c c c <<<，所以01a b <<<．故选：A.5．若0a >且1a ≠，函数()(),140.52,1x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩，满足对任意的实数12x x ≠都有11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,)+∞B ．(1,8)C ．(4,8)D ．[4,8)【正确答案】D【分析】由已知可得函数()f x 在R 上单调递增，根据分段函数的单调性列出不等式组，即可求得实数a 的取值范围.【详解】解：11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ ，∴对任意的实数12x x ≠都有1212()[()()]0x x f x f x -->成立，可知函数()f x 在R 上单调递增，1140.50(40.5)12a a a a >⎧⎪∴->⎨⎪≥-⨯+⎩，解得[4,8)a ∈，故选：D.6．已知1:12p x ≥-，:2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（）A ．(],4-∞B ．[]1,4C ．(]1,4D ．()1,4【正确答案】C【分析】求出p 、q 中的不等式，根据p 是q 的充分不必要条件可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】解不等式112x ≥-，即131022x x x --=≤--，解得23x <≤，解不等式2x a -<，即22x a -<-<，解得22a x a -<<+，由于p 是q 的充分不必要条件，则(]2,3()2,2a a -+，所以2223a a -≤⎧⎨+>⎩，解得14a <≤.因此，实数a 的取值范围是(]1,4.故选：C.本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了分式不等式和绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.7．已知函数π()cos()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且当π3x =时，函数()f x 取最小值，若函数()f x 在[,0]a 上单调递减，则a 的最小值是（）A ．π6-B ．5π6-C ．2π3-D ．π3-【正确答案】A【分析】根据最小正周期求出2ω=，根据当π3x =时，函数取最小值，求出π3ϕ=，从而π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由[,0]x a ∈得到22,33πππ3x a ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由单调性列出不等式，求出06π,a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，得到答案.【详解】因为0ω>，所以2π2π2πT ω===，故13πcos(2)ϕ⨯+=-，所以2ππ2π,Z 3k k ϕ+=+∈，解得：ππ,Z k k ϕ=+∈23，因为π||2ϕ<，所以只有当0k =时，π3ϕ=满足要求，故π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[,0]x a ∈，所以22,33πππ3x a ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，故π2,33π0a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭+，解得：06π,a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故a 的最小值为π6-.故选：A8．质数也叫素数，17世纪法国数学家马林·梅森曾对“21p -”（p 是素数）型素数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“21p -”（p 是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第6个梅森素数为1721M =-，第14个梅森素数为60721N =-，则下列各数中与NM最接近的数为（）（参考数据：lg 20.3010≈）A ．18010B ．17710C ．14110D ．14610【正确答案】B【分析】根据题意，得到6076075901717212==2212N M -≈-，再结合对数的运算公式，即可求解.【详解】由第6个梅森素数为1721M =-，第14个梅森素数为60721N =-，，可得6076075901717212=212N M -≈-，令5902k =，两边同时取对数，则590lg 2lg k =，可得lg 590lg 2k =，又lg 20.3010≈，所以lg 5900.3010177.59k ≈⨯=，17710k ≈与NM最接近的数为17710.故选：B.二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．若,a b 为正实数，a b ¹，则3223+a b a b b a +>B ．若,,a b m 为正实数，a b <，则a m ab m b+<+C ．若,a b R ∈，则“0a b >>”是“11a b <”的充分不必要条件D ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2sin sin x x +的最小值是【正确答案】AC利用作差法可考查选项A 是否正确；利用作差法结合不等式的性质可考查选项B 是否正确；利用不等式的性质可考查选项C 是否正确；利用均值不等式的结论可考查选项D 是否正确.【详解】对于A ，若a ，b 为正实数，a b ¹，()()()233220a b a b ab a b a b +-+=-+>，3322a b a b ab ∴+>+，故A 正确；对于B ，若a ，b ，m 为正实数，a b <，()()0m b a a m a b m b b b m -+-=>++，则a m ab m b+>+，故B 错误；对于C ，若11a b <，则110b aa b ab--=<，不能推出0a b >>，而当0a b >>时，有0>0b a ab -<，，所以0b aab -<成立，即11a b<，所以“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件，故C 正确；对于D ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0sin 1x <<，2sin sin x x +≥=，当且仅当()sin 0,1x =时取等号，故D 不正确.故选：AC.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10．已知关于x 的方程23xm -=有两个不等实根，则实数m 的取值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】CD【分析】化简方程得23x m =±，利用指数函数的值域，列式求解得出答案.【详解】23xm -= ，23x m ∴-=±，23x m -= 有两个不等实根，即23x m =±有两个不等实根，则3030m m +>⎧⎨->⎩，解得3m >，显然选项A ，B 不满足，选项C ，D 满足.故选：CD.11．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =+，当[3,5]x ∈时，()2|4|f x x =--，则下列说法正确的是（)A ．ππsin cos 66f f⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭B ．(sin1)(cos1)f f <C ．2π2πcos sin 33f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．(cos 2)(sin 2)f f >【正确答案】BD【分析】根据函数的周期性可得()f x 在[]1,1-上的解析式以及函数在[0,1]上的单调性.比较自变量的大小，即可根据单调性判断A 、B 项；又易知()f x 在[1,1]-上为偶函数，则根据()()f x f x =，可将[1,0]-上的自变量转化为[0,1]上，进而根据单调性，即可判断C 、D 项.【详解】当[1,1]x ∈-时，则[45]3,x +∈，于是()(2)(4)2||f x f x f x x =+=+=-，当01x ≤≤时，()2f x x =-，所以函数()f x 在[0,1]上单调递减；当10x -≤<时，()2f x x =+，所以函数()f x 在[1,0]-上是增函数.()f x 的定义域[1,1]-关于原点对称，且此时()()22-=--=-=f x x x f x则()f x 在[1,1]-上为偶函数.对于A 项，因为ππ0sincos 166<<<，所以ππsin cos 66f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B 项，因为0cos1sin11<<<，所以(cos1)(sin1)f f >，故B 正确；对于C项，因为2π12π0cossin 1323<==<，所以2π2πcossin 33f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，所以2π2πcos sin 33f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；因为ππ0|cos 2|cos sin |sin 2|144<<=<<，所以(|cos2|)(|sin 2|)f f >，所以(cos 2)(sin 2)f f >，故D 正确．故选：BD.12．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，21,01()1,121x x x f x x x ⎧-+<≤⎪=⎨>⎪-⎩，下列说法中错误的是（）A ．当121122x x -<<<时，恒有()()12f x f x >B ．若当(0,]x m ∈时，()f x 的最小值为34，则m 的取值范围为17,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．存在实数k ，使函数()()F x f x kx =-有5个不相等的零点D ．若关于x 的方程3()[()]04f x f x a ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦所有实数根之和为0，则34a =-【正确答案】ACD【分析】根据奇函数的定义确定()f x 在(1,0)-上单调性与性质，然后由函数值大小可判断A ，由函数解析式分段求函数值的范围后可判断B ，由直线y kx =与函数()f x 的图象交点个数判断C ，求出3()4f x =的根是17,26，然后确定a 值使()f x a =根的和为53-即可判断D ．【详解】选项A ，()f x 是奇函数，10x -≤<时，22()()[()()1]1f x f x x x x x =--=----+=---213()24x =-+-，在1(,0)2-上递减，且()0f x <，()f x 是奇函数，则(0)0f =，01x <≤时，2213()1()24f x x x x =-+=-+，在1(0,)2上递减，但()0f x >，因此()f x 在11(,)22-上不是增函数，A 错；选项B ，当01x <≤时，2213()1()24f x x x x =-+=-+，13()24f =，因此12m ≥，当1m >时，1()21f x x =-是减函数，由13214x =-得76x =，因此76m ≤，综上有1726m ≤≤，B 正确；选项C ，易知0x =是()F x 的一个零点，由于(1)1f =，y kx =过点(1,1)时，1k =，此时由21y xy x x =⎧⎨=-+⎩得21x x x -+=，2(1)0x -=，121x x ==，即直线y x =与21y x x =-+在点(1,1)处相切，因此1k >时，直线y kx =与21(01)y x x x =-+<<的图象只有一交点，在01k <<时，直线y kx =与1(1)21y x x =>-只有一个交点，从而0k >时，直线y kx =与()F x 的图象有三个交点，而0x >时，()0f x >，因此0k ≤，直线y kx =与()F x 的图象无交点，所以直线y kx =与()F x 的图象不可能是5个交点，即函数()()F x f x kx =-不可能有5个不相等的零点，C 错；选项D ，由上讨论知3()4f x =的解为12x =和76x =，因此若关于x 的方程3()[()]04f x f x a ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦所有实数根之和为0，由()f x 是奇函数知若34a =-，则()f x a =的解是12x =-和76x =-，符合题意，但513(537213f ==⨯-（由此讨论知3()7f x =只有一解），即53()37f -=-，即37a =-时，关于x 的方程3()[()]04f x f x a ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦所有实数根之和也为0，D 错．故选：ACD ．方法点睛：解决分段函数的零点与交点问题，把零点问题转化为直线与函数图象交点问题进行处理，从而利用函数的性质确定出函数解析式，作出函数图象，观察出结论并找到解题思路．三、填空题13．已知弧长为πcm 3的弧所对圆周角为6π，则这条弧所在圆的半径为____________cm ．【正确答案】1【分析】由弧度制公式lrα=求解即可得出答案.【详解】已知弧长为πcm 3的弧所对圆周角为6π，则所对的圆心角为π3，lrα=，313l r ππα∴===，故1.14．已知函数()()22,1log 1,1x ax f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，若()02f f ⎡⎤=⎣⎦，则实数a 的值为_________．先求()03f =，再代入求()3f ，求实数a 的值.【详解】()00223f =+=，()()03log 22a f f f ⎡⎤===⎣⎦，即22a =，又0a >，且1a ≠，所以a =15．若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为m，函数()(32g x m =+[0,)+∞上是增函数，则a m -的值是____________．【正确答案】3【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，再结合已知进行求解得出a 和m 的值，最后根据()g x 的单调性检验即可得到.【详解】当1a >时，函数()log a f x x =是正实数集上的增函数，而函数()log a f x x =在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，因此有(4)log 42a f ==，解得2a =，所以21log 12m ==-，此时()g x =[)0,∞+上是增函数，符合题意，因此()213a m -=--=；当01a <<时，函数()log a f x x =是正实数集上的减函数，而函数()log a f x x =在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，因此有11log 222a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，a =44m ==-，此时()g x =-在[)0,∞+上是减函数，不符合题意.综上所述，2a =，1m =-，3a m -=.故3.16．若函数()()()sin cos 0f x x x ϕϕ<π=++<的最大值为2，则常数ϕ的值为_______．【正确答案】2π根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()f x x θ=+，可得2=，即可解出.【详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，因为0ϕπ<<，所以2ϕπ=.故答案为.2π四、解答题17．在①22{|1}1x A x x -=<+，②{||1|2}A x x =-<，③23{|log }1xA x y x -==+这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集U =R ，______，22{|0}.B x x x a a =++-<(1)若2a =，求()()U UC A C B ；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)1{}1|x x x ≤-≥或(2)(][),34,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据除法不等式，绝对值不等式，对数函数的定义域即可分别求出三种情形下的集合A ；（2）对集合B 中不等式进行因式分解，再根据充分必要条件和集合包含关系即可求解.【详解】（1）若选①：222213{|1}{|0}{|0}{|13}1111x x x x A x x x x x x x x x --+-=<=-<=<=-<<++++，()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.若选②：{|12}{|212}{|13}A x x x x x x =-<=-<-<=-<<()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.若选③：()(){}233{|log }031011x x A x y x x x x x x ⎧⎫--====-+=⎨⎬++⎩⎭{|13}x x -<<，()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.（2）由（1）知{|13}A x x =-<<，()22{|0}{|()10}B x x x a a x x a x a ⎡⎤=++-<=++-<⎣⎦，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，（i ）若(1)a a -<--，即12a >，此时{|(1)}B x a x a =-<<--，所以1,3(1)aa -≥-⎧⎨≤--⎩等号不同时取得，解得4a ≥.故4a ≥.（ii ）若(1)a a -=--，则B =∅，不合题意舍去；（iii ）若(1)a a ->--，即12a <，此时{|(1)}B x a x a =--<<-，1(1),3a a -≥--⎧⎨≤-⎩等号不同时取得，解得3a ≤-.综上所述，a 的取值范围是(][),34,-∞-⋃+∞.18．（1）已知sin 2cos 0αα-=，求22sin cos sin 3sin cos 2cos αααααα--的值；（2）已知4sin()5απ+=，且sin cos 0αα<，求()()()2sin 3tan 34cos παπααπ----的值.【正确答案】（1）12-；（2）73.【分析】（1）先求出tan 2α=，再进行弦化切代入即可求解；（2）先求出4sin 5α=-，3cos 5α=，得到4tan 3α=-，再进行诱导公式和弦化切变换，代入即可求解.【详解】（1）由sin 2cos 0αα-=知tan 2α=∴原式=2tan 21tan 3tan 24622ααα==-----（2） 4sin()5απ+=∴4sin 05α=-<又sin cos 0αα<∴cos 0α>∴3cos 5α==∴4tan 3α=-原式=()()2sin 3tan 4cos απαπα---=2sin 3tan 4cos ααα+-=44237533345⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯19．已知函数()323log 1x f x x -=-．(1)求函数()f x 的解析式及定义域；(2)求函数()f x 在()(),00,2x ∈-∞⋃时的值域．【正确答案】(1)()()12031xf x x =-≠-，()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U (2)()15,3,8⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用换元法求得函数的解析式，根据函数定义域的求法，求得函数的定义域.（2）结合3x 的取值范围来求得()f x 在()(),00,2x ∈-∞⋃时的值域．【详解】（1）对于3log x ，需0x >；对231x x --，需1x ≠；则()()3log ,00,x ∈-∞⋃+∞，令3log t x =，则0t ≠，3t x =，()()231123312313131tt t t t f t ⋅--⋅-===----，所以()()12031x f x x =-≠-，即()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U .（2）当0x <时，11031,1310,1,13131x xxx <<-<-<<-->--，12331x ->-.当02x <<时，1111139,0318,,318318x xx x <<<-<>-<---，1115223188x-<-=-.所以()f x 在()(),00,2x ∈-∞⋃时的值域为()15,3,8⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.20．已知函数()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.【正确答案】（1）最小正周期为π，单调减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）max ()f x =，此时8x π=，min ()1f x =-，此时2x π=.【分析】（1）直接利用周期公式计算周期，再利用整体代入法求余弦型函数的单调减区间即可；（2）先求出24x π-的取值范围，再利用余弦函数的性质求最值及取最值的条件即可.【详解】解：（1）()f x 的最小正周期22||2T πππω===.令2224k x k ππππ≤-≤+，解得588k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈，此时时，()f x 单调递减，()f x ∴的单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则32,424x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故cos 2,142x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()24f x x π⎛⎫⎡=-∈- ⎪⎣⎝⎭，max ()f x ∴=cos 214x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即204x π-=，即8x π=；min ()1f x =-，此时cos 242x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即3244x ππ-=，即2x π=.方法点睛：解决三角函数()cos y A x ωϕ=+的图象性质，通常利用余弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.21．2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度(y 单位：毫克/立方米)随着时间(x 单位：小时)变化的关系如下：当04x 时，1618y x =--；当410x <时，15.2y x =-若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用.(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒(14)a a 个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a 的最小值.(精确到0.1取1.4)【正确答案】(1)8(2)1.6【分析】（1）根据喷洒4个单位的净化剂后浓度为()644,048202,410x f x x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩，由()4f x ≥求解；（2）得到从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤小时后，浓度为()()116251286g x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，化简利用基本不等式求解.【详解】（1）解：因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以其浓度为()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩，当04x ≤≤时，64448x-≥-，解得0x ≥，此时04x ≤≤，当410x <≤时，2024x -≥，解得8x ≤，此时48x <≤，综上08x ≤≤，所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时；（2）设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤小时后，其浓度为()()116251286g x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，1616101441414a ax a x a x x=-+-=-+----，因为[][]144,8,1,4x a -∈∈，所以161444414a x a a a x -+--≥--=---，当且仅当161414ax x-=-，即14x =-时，等号成立；所以其最小值为4a --，由44a -≥，解得244a -≤，所以a 的最小值为24 1.6-≈.22．我们知道，指数函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）与对数函数()log a g x x =（0a >，且1a ≠）互为反函数.已知函数()2xf x =，其反函数为()g x .(1)求函数()()()223F x g x tg x =-+⎡⎤⎣⎦，[]2,8x ∈的最小值；(2)对于函数()x ϕ，若定义域内存在实数0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，则称()x ϕ为“L 函数”.已知函数()()()223,1,3,1f x mf x x h x x ⎧⎡⎤--≥-⎪⎣⎦=⎨-<-⎪⎩为其定义域上的“L 函数”，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)答案见解析(2)[)1,∞-+【分析】（1）利用换元法令2log ,[1,3]p x p =∈，可得所求为关于p 的二次函数，根据二次函数的性质，分析讨论，即可得答案.（2）根据题意，分别讨论在[1,1]-、(,1)-∞-和(1,)+∞上存在实数0x ，满足题意，根据所给方程，代入计算，结合函数单调性，分析即可得答案.【详解】（1）由题意得2()log g x x=所以()()()()222223log 2log 3F x g x tg x xt x =-+=-+⎡⎤⎣⎦，[]2,8x ∈，令2log ,[1,3]p x p =∈，设2()23,[1,3]M p p tp p =-+∈则()M p 为开口向上，对称轴为p t =的抛物线，当1t ≤时，()M p 在[1,3]上为单调递增函数，所以()M p 的最小值为(1)42M t =-；当13t <<时，()M p 在(1,)t 上单调递减，在(,3)t 上单调递增，所以()M p 的最小值为2()3M t t =-；当3t ≥时，()M p 在[1,3]上为单调递减函数，所以()M p 的最小值为(3)126M t =-；综上，当1t ≤时，()F x 的最小值为42t -，当13t <<时，()F x 的最小值为23t -，当3t ≥时，()F x 的最小值为126t-（2）①设在[1,1]-上存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，则0000114234230x x x x m m +--+-⋅-+-⋅-=，令0022x x t -=+，则2t ≥=，当且仅当00x =时取等号，又0[1,1]x ∈-，所以115222t -≤+=，即52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以00001124234232260x x x x m m t mt +--+-⋅-+-⋅-=---=，所以28471,2220t t m t t -⎡⎤==---⎢⎥⎣⎦所以71,20m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦②设在(,1)-∞-存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，则00134230x x m --+-+-⋅-=，即001232x x m --=-⋅有解，因为1232x x y --=-⋅在(,1)-∞-上单调递减，所以12m >-，同理当在(1,)+∞存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-时，解得12m >-，所以实数m 的取值范围[)1,∞-+解题的关键是理解新定义，并根据所给定义，代入计算，结合函数单调性及函数存在性思想，进行求解，属难题。
浙江省宁波市2013-2014学年高一第一学期期末考试数学试卷(解析版)
浙江省宁波市2013-2014学年高一第一学期期末考试数学试卷（解析版）一、选择题1（A （B （C （D 【答案】A 【解析】2，即B ={2}A 为正确答案.考点：集合的运算. 2．)60sin(︒-（A （B （C （D【答案】C【解析】试题分析：故C 为正确答案. 考点：三角函数的诱导公式、三角函数值的计算.3（A （B （C （D 【答案】A 【解析】试题分析：所以该. 考点：函数的奇偶性、周期性.4（A （B （C （D 【答案】D【解析】试题分析：（A（B是R上的减函数；（C（D）D为正确答案.考点：函数的单调性.5（A（B（C（D【答案】D【解析】D为正确答案.考点：分段函数求值.6（A（B（C（D【答案】B【解析】试题分析：B为正确答案.考点：函数的单调性和值域的求法.7（A （B（C（D 【答案】B 【解析】 试题分析：根据新定义，可知2,0xB 为正确答案.考点：新定义问题、函数值域的求法.8（A（B（C（D【答案】B 【解析】①；又②，①+考点：向量的加减运算法则. 9（A（B （C（D【答案】A 【解析】试题分析：将函数的图像向左平移个单位，得=；而所得图像关轴对称，即A为正确答案.考点：三角函数的平移变换、奇偶性.10（A（B（C（D【答案】C【解析】根据函数的单调性可求得C为正确答案.考点：三角函数的运算、三角函数的性质.二、填空题11的定义域是．【解析】试题分析：由定义域的求法知，考点：函数定义域的求法. 12【解析】考点：对数函数的运算.13a b ==b【解析】试题分析：因为)b，所以考点：向量的数量积.14【解析】=-2.考点：三角函数之间的关系、诱导公式. 15的值域为 ．【解析】试题分析：当时，，在区间上考点：三角函数的值域求法、函数性质.16，则【解析】 试题分析：定义上的奇函数，所，求得；而7考点：函数奇偶性.17．若函数对于上的任意都有的取值范围是 ．【解析】考点：函数的单调性.三、解答题18【解析】再根据得，即512（7分）（14分）考点：三角函数之间的关系及运算.19．（1（2【答案】（1（2．【解析】试题分析：（1y轴，从而可求得实数的值；（2）把代入，用换元法设，则2试题解析：（1（4分）（2（8分）．（14分）考点：函数的性质、函数定义域及值域的求法.20．已知点是函数，一个周期内图象上的两点，满足（1（2【答案】（1（2【解析】试题分析：（1，；又，有已知条件可知)，，进而可得，所以的表达式为)（2）关于x.试题解析：（1（3分）（6分），，（9分） （2即（14分）考点：三角函数的性质、函数的零点、向量的数量积.21为实数）． （1； （2c 的最小值，并求出此时向量【答案】（1；（22c2c=【解析】试题分析：（1；（2(1c =-2c=试题解析：（1（4分）； （6分）（2(1c =-（9分）2c=（12分）2c = （15分）考点：向量的坐标表示、向量的数量积等运算. 22． （1（2【答案】（1. （2【解析】试题分析：（1（2）由（1试题解析：（1证明如下：（6分）（2（9分）（11分），（13分）（15分）考点：函数的单调性、分段函数求值域问题.第11 页共11 页。
2023届高一上期末考试数学试卷(含答案)
若 <－1，即－1<a<0，则 <x<－1；
若 ＝－1，即a＝－1，则不等式的解集为空集；
若 >－1，即a<－1，则－1<x< ．
综上所述，当a<－1时，不等式的解集为 ；
当a＝－1时，不等式解集为∅；
当－1<a<0时，不等式的解集为 ；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，－1)；
(2)由题意结合函数单调性的定义确定函数的单调性即可；
(3)由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性脱去f符号，结合恒成立的结论求解实数 的取值范围即可.
【详解】
（1）由题设，需 ．经验证， 为奇函数，
（2）减函数.
证明：任取 ， ，
，
，
所以 在 上是减函数.
（3）由 得 ，
是奇函数， ，
由（2）知 在是减函数，
二、填空题(共20分)
13．已知 ________.
14.已知函数 是幂函数，且 在 上单调递增，则实数 ________.
15．已知函数 ， ，则 ________.
16．函数 的单调递增区间是________．
三、解答题(共70分)
17．(本题10分)计算
（1）
（2）
18．（本题12分）
已知 ( )，求：
13.
14．2
【分析】
由函数 是幂函数，求得 或 ，结合幂函数的性质，即可求解.
【详解】
由题意，函数 是幂函数，
可得 ，即 ，解得 或 ，
当 时，函数 ，此时 在 上单调递增，符合题意；
当 时，函数 ，此时 在 上单调递减，不符合题意，
2022-2023学年北京市清华大学附属中学高一上学期数学期末试卷含逐题详解
高一第一学期期末试卷数学（清华附中高22级）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合{}{}|1,|21x A x x B x =≤=≥，则A B ⋂等于（）A.{|0}x x ≤B.{|1}x x ≤ C.{|0}x x ≥ D.{|01}x x ≤≤2.若点(1,2)P -在角α的终边上，则sin α=（）A.2- B.12-C.5-D.3.计算：332log 6log 4-=（）A.1B.2C.3D.64.为了得到函数sin(2)4y x π=+的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（）A.向左平移4π个单位长度 B.向右平移4π个单位长度C.向左平移8π个单位长度 D.向右平移8π个单位长度5.已知0.50.2lg12,log 5,4a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c>> B.c b a>> C.a c b>> D.b a c >>6.下列函数中，以2π为最小正周期，且在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（）A.sin 2y x= B.πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πcos 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.tan 2y x=7.下列区间包含函数()24x f x x =+-零点的为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)8.若函数()cos(3)f x x ϕ=+是奇函数，使得|()|f x 取到最大值时的一个x 值为（）A .π6-B.0C.π4D.π39.已知实数,αβ，则“(21)π,Z k k αβ=+-∈”是“cos cos αβ=-”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.已知函数()*()sin cos N nnf x x x n =+∈，则下列说法正确的是（）①1n =时，()f x ；②2n =时，方程()2sin |sin |f x x x =+在[0,2π]上有且只有三个不等实根；③3n =时，()f x 为奇函数；④4n =时，()f x 的最小正周期为π2A.①②B.①③C.②④D.①④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知1sin 3θ=，则sin(π)θ+=___________．13.已知函数()a f x x =经过点(9,3)，则不等式()211f x x -+<的解集为___________．14.设函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________．15.已知()log (0,1)a f x x a a =>≠，给出下列四个结论：①若(2)1f =，则12a =或2；②若0m n <<，且()()f m f n =，则1mn =；③不存在正数k ，使得()()1g x f x kx =--恰有1个零点；④存在实数1a >，使得()()x g x f x a =-恰有3个零点．其中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知二次函数2()1f x x x m =-+，其中0m >．（1）若()f x 的最小值为0，求m 的值；（2）若()f x 有两个不同的零点12,x x ，求证：()2121284x x x x -+>+．17.已知函数π()2sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象过点(0,1)，相邻的两个对称中心之间的距离为π2.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 单调递增区间和对称中心．18.已知函数2()21x x f x a a =--，其中0a >且1a ≠．（1）已知()f x 的图象经过一个定点，写出此定点的坐标；（2）若2a =，求()f x 的最小值；（3）若()f x 在区间[0,1]上的最大值为2，求a 的值．19.已知函数22π()2sin 4f x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭．（1）求π4f ⎛⎫⎪⎝⎭，并求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并求相应的x 值．20.如图，在函数2()log f x x =图像任取三点(,()),(,()),(,())A a f a B b f b C c f c ，满足1a ≥，2b a =+，2c b =+，分别过A 、B 、C 三点作x 轴垂线交x 轴于D 、E 、F．（1）当2a =时，求梯形ADEB 的周长；（2）用a 表示ABC 的面积S ，并求S 的最大值．21.已知整数,3m n ≥，集合(){}12,,,{0,1},1,2,,n niX x x x x i n =∈= ∣，对于nX 中的任意两个元素()12,,,n A a a a = ，()12,,,n B b b b = ，定义A 与B 之间的距离为1(,)ni i i d A B a b ==-∑．若12,,,m n A A A X ∈ 且()()()12231,,,m m d A A d A A d A A -=== ，则称是12,,,m A A A 是n X 中的一个等距序列．（1）若1234(1,0,0,0),(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,1)A A A A ====，判断1234,,,A A A A 是否是4X 中的一个等距序列？（2）设A ，B ，C 是3X 中的等距序列，求证：(,)d A C 为偶数；（3）设12,,,m A A A 是6X 中的等距序列，且161(1,1,,1)A = 个，60(0,0,,0)m A = 个，()12,5d A A =．求m 的最小值．高一第一学期期末试卷数学（清华附中高22级）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合{}{}|1,|21x A x x B x =≤=≥，则A B ⋂等于（）A.{|0}x x ≤B.{|1}x x ≤ C.{|0}x x ≥ D.{|01}x x ≤≤【答案】D【分析】首先解指数不等式得到{}|0B x x =≥，再求A B ⋂即可.【详解】{}{}|21|0xB x x x =≥=≥，{}|1A x x =≤，则{}|01A B x x =≤≤ .故选：D2.若点(1,2)P -在角α的终边上，则sin α=（）A.2-B.12-C.5-D.【答案】C【分析】根据三角函数的概念求解即可得到答案.【详解】O 点为坐标原点，OP ==根据三角函数的概念可得，225sin5OP α-===-.故选：C.3.计算：332log 6log 4-=（）A.1B.2C.3D.6【答案】B【分析】由对数的运算法则化简即可求得.【详解】由对数运算法则化简得23333333362log 6log 4log 36log 4log log 9log 324-=-====故选：B4.为了得到函数sin(2)4y x π=+的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（）A.向左平移4π个单位长度 B.向右平移4π个单位长度C.向左平移8π个单位长度 D.向右平移8π个单位长度【答案】C【分析】根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可.【详解】因为sin(2)sin[2(48y x x ππ=+=+，所以由函数sin 2y x =的图象向左平移8π个单位长度可以得到函数sin(24y x π=+的图象，故选：C5.已知0.50.2lg12,log 5,4a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.b a c>>【答案】C【分析】根据题意得到1a >，0b <，01c <<，即可得到答案.【详解】1lg12lg 01a =>=，即1a >.0.20.2log 5log 10b =<=，即0b <.00.544-<<0，即01c <<.所以a c b >>.故选：C6.下列函数中，以2π为最小正周期，且在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（）A.sin 2y x =B.πsin 4y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.πcos 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.tan 2y x=【答案】B【分析】逐项分析各选项中函数的最小正周期以及各函数在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，可得出结论.【详解】对于A 选项，函数sin 2y x =的最小正周期为2ππ2=，故A 错误；对于B 选项，函数πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ,044x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，因为sin y x =在π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，所以πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于C 选项，函数πcos 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为2π，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ,442⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭x ，因为cos y x =在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以πcos 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；对于D 选项，函数tan 2y x =的最小正周期为π2，故D 错误.故选：B.7.下列区间包含函数()24x f x x =+-零点的为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【答案】C【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处的函数值，根据零点存在定理即可判断答案.【详解】因为函数2x y =在()-∞+∞，上单调递增，函数4y x =-在()-∞+∞，上单调递增，函数()24x f x x =+-在()-∞+∞，上单调递增，因为()()()()11250,0140,1=230,220,(3)70f f f f f --=-<=-<-<=>=>，所以()()120f f <，函数零点在区间(1,2)内，故选：C.8.若函数()cos(3)f x x ϕ=+是奇函数，使得|()|f x 取到最大值时的一个x 值为（）A.π6-B.0C.π4D.π3【答案】A【分析】根据三角函数的奇偶性求出ϕ,再根据对称轴使得|()|f x 取到最大值,计算即可.【详解】若函数()cos(3)f x x ϕ=+是奇函数,所以ππ,Z 2k k ϕ=+∈.所以π()cos(3π)sin32f x x k x =++=,当|()|f x 取到最大值时,()sin31,sin31f x x x ===±,即π3π,Z 2x k k =+∈,可得ππ,Z 63k x k =+∈，当1k =-时,π6x =-.故选:A .9.已知实数,αβ，则“(21)π,Z k k αβ=+-∈”是“cos cos αβ=-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据诱导公式，结合充分性、必要性、余弦型函数的性质进行求解即可.【详解】当(21)π,Z k k αβ=+-∈时，[]()(21)πcos cos cos πcos k αβββ+-==-=-，当cos cos αβ=-时，()()()cos cos cos π2ππZ k k αββαβ=-=-⇒=±-∈，(21)π(Z)k k αβ⇒=+-∈，或(21)π(Z)k k αβ=-+∈，所以“(21)π,Z k k αβ=+-∈”是“cos cos αβ=-”的充分不必要条件，故选：A10.已知函数()*()sin cos Nnnf x x x n =+∈，则下列说法正确的是（）①1n =时，()f x ；②2n =时，方程()2sin |sin |f x x x =+在[0,2π]上有且只有三个不等实根；③3n =时，()f x 为奇函数；④4n =时，()f x 的最小正周期为π2A.①②B.①③C.②④D.①④【答案】D【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质判断命题①，结合平方关系，正弦函数性质化简不等式求方程的解，判断命题②，根据奇函数的定义及正弦函数和余弦函数性质判断命题③，根据三角恒等变换及余弦型函数的周期公式判断命题④，由此可得正确选项.【详解】因为()*()sin cos Nnnf x x x n =+∈，所以当1n =时，π()sin cos 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，此时函数()f x 的，命题①为真命题；当2n =时，22()sin cos 1f x x x =+=，方程()2sin |sin |f x x x =+可化为2sin |sin |1x x +=，当0πx ≤≤时，3sin 1x =，故1sin 3x =，由正弦函数性质可得方程1sin 3x =在[]0,π上有两个解，当π2πx <≤时，原方程可化为sin 1x =，方程sin 1x =在(]0,2π上无解，所以方程()2sin |sin |f x x x =+在[0,2π]上有且只有两个不等实根；命题②为假命题；当3n =时，33()sin cos f x x x =+，33πππ2sin cos 4442f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，33πππsin cos 0444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ44f f ⎛⎫⎛⎫≠-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 不为奇函数，命题③为假命题；当4n =时，44()sin cos f x x x =+2212sin cos x x =-211sin 22x =-31cos 444x =+，所以()f x 的最小正周期为π2，命题④正确；故选：D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知1sin 3θ=，则sin(π)θ+=___________．【答案】13-【分析】直接运用正弦的诱导公式进行求解即可.【详解】1sin(π)sin 3θθ+=-=-，故答案为：13-13.已知函数()a f x x =经过点(9,3)，则不等式()211f x x -+<的解集为___________．【答案】{01}xx <<∣【分析】首先代入求出12a =，则()()211f x x f -+<，利用函数单调性即可得到不等式，解出即可.【详解】由题意得93a =，解得12a =，故12()f x x =，则()211f x x -+<即为()()211f x x f -+<，根据12()f x x =在[)0,∞+上为单调增函数，则有2011x x ≤-+<，解得01x <<，故解集为{}1|0x x <<，故答案为：{}1|0x x <<.14.设函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________．【答案】1【分析】由条件确定当π3x =时，函数取得最大值，代入即可求ω的集合，从而得到ω的最小值.【详解】由条件π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，可知，π3f ⎛⎫⎪⎝⎭是函数的最大值，当π3x =时，πππ2π362k ω⋅+=+，Z k ∈，解得：61,Z k k ω=+∈，0ω>，所以当k =0时，ω取最小值为1.故答案为：115.已知()log (0,1)a f x x a a =>≠，给出下列四个结论：①若(2)1f =，则12a =或2；②若0m n <<，且()()f m f n =，则1mn =；③不存在正数k ，使得()()1g x f x kx =--恰有1个零点；④存在实数1a >，使得()()x g x f x a =-恰有3个零点．其中，所有正确结论的序号是___________．【答案】①②【分析】对于①，解log 21a =即可判断；对于②，由对数函数的图象与性质可得log log a a m n -=，由对数的运算可判断；对于③，分01x <<与1x >讨论，结合对数函数的图象即可判断；对于④，根据指对数的图象即可判断.【详解】对于①，若(2)1f =，则log 21a =，解得12a =或2，故①正确；对于②，若0m n <<，且()()f m f n =，则log log a a m n -=，则()log log log 0a a a n m mn +==，解得1mn =，故②正确；对于③，当01x <<，易知1y kx =+与()y f x =的图象有一个交点，当k →+∞时，1y kx =+与()y f x =的图象在()1,+∞上没有交点，此时()()1g x f x kx =--恰有1个零点，故③错误；对于④，当1a >时，log ,01()log log ,1a a a x x f x x x x -<<⎧==⎨≥⎩，易知x y a =与()y f x =的图象在()0,1上有一个交点，因为x y a =与()log a f x x =的图象关于y x =对称，且没有交点，故()()x g x f x a =-恰有1个零点，故④错误.故答案为:①②.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知二次函数2()1f x x x m =-+，其中0m >．（1）若()f x 的最小值为0，求m 的值；（2）若()f x 有两个不同的零点12,x x ，求证：()2121284x x x x -+>+．【答案】（1）2m =（2）证明见解析【分析】（1）根据二次函数的性质即可得到()2min104m f x =-=，再解方程即可.（2）首先根据题意得到()2121284x x m x x m-+=++，再利用基本不等式的性质求解即可.【小问1详解】222()1124m f x x m x m x ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，因为()2min104m f x =-=，0m >，解得2m =.【小问2详解】因为()f x 有两个不同的零点12,x x ，所以240m ->，又因为0m >，所以m>2.因为12x x m +=，121=x x ，所以()()2221212121212848444x x x x x x m m x x x x m m-++-+===+≥+++，当且仅当4m m=，即2m =时等号成立，因为m>2，所以()2121284x x x x -+>+，即证.17.已知函数π()2sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象过点(0,1)，相邻的两个对称中心之间的距离为π2.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 单调递增区间和对称中心．【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）()f x 的增区间为(),,36k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，对称中心为(),0,Z 122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据函数所过点，建立方程，结合周期的性质以及公式，可得答案；（2）利用整体思想，根据正弦函数的单调性以及对称性，可得答案.【小问1详解】由函数π()2sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象过点(0,1)，()02sin 1f ϕ==，则1sin 2ϕ=，由02πϕ<<，则6πϕ=，由相邻的两个对称中心之间的距离为π2，则函数()f x 的周期222T πππω=⨯==，解得2ω=，故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）可知，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()222,262k x k k πππππ-+<+<+∈Z ，解得(),36k x k k ππππ-+<<+∈Z ，则函数()f x 的增区间为(),,36k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ；令()2,6x k k ππ+=∈Z ，解得(),Z 122k x k ππ=-+∈，则函数()f x 的对称中心为(),0,Z 122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.18.已知函数2()21x x f x a a =--，其中0a >且1a ≠．（1）已知()f x 的图象经过一个定点，写出此定点的坐标；（2）若2a =，求()f x 的最小值；（3）若()f x 在区间[0,1]上的最大值为2，求a 的值．【答案】（1）()0,2-；（2）2-；（3）3.【分析】（1）求出()0f 即可得出结果；（2）由已知2()2221x x f x =-⨯-，令2x t =，0t >，可得()()212f t t =--，即可求出最小值；（3）令x u a =，则2()21f u u u =--.分类讨论当01a <<以及1a >时，根据指数函数的单调性求出x u a =在[0,1]上的值域.进而根据二次函数的性质，求出最大值，根据已知得到方程，求解即可得出a 的值．【小问1详解】因为()000212f a a =-⨯-=-，所以定点坐标为()0,2-.【小问2详解】当2a =时，2()2221x x f x =-⨯-.令2x t =，0t >.则()()222112f t t t t =--=--，当1t =，即0x =时，函数()f x 有最小值2-.【小问3详解】令x u a =，则2()21f u u u =--.①当01a <<时，可知x u a =在[0,1]上单调递减，所以1a u ≤≤.又根据二次函数的性质可知，当1a u ≤≤时，2()21f u u u =--单调递减，所以2()21f u u u =--在u a =处取得最大值2()21f a a a =--.由已知可得，2212a a --=，解得1a =-或3a =.因为01a <<，所以两个数值均不满足；②当1a >时，可知x u a =在[0,1]上单调递增，所以1u a ≤≤.又根据二次函数的性质可知，当1u a ≤≤时，2()21f u u u =--单调递增，所以2()21f u u u =--在u a =处取得最大值2()21f a a a =--.由已知可得，2212a a --=，解得3a =或1a =-（舍去），所以3a =.综上所述，3a =.19.已知函数22π()2sin 4f x x x ⎛⎫=--+-⎪⎝⎭．（1）求π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，并求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并求相应的x 值．【答案】（1）π04f ⎛⎫=⎪⎝⎭，πT =（2）π12x =时，()max 1f x =；5π12x =时，()min 2f x =-.【分析】(1)将函数化简为正弦型函数即可求解；(2)整体替换法先计算区间内是否含有极值，若有则为最值，若无则最值在端点处取得.【小问1详解】22π()2sin4f x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ππcos 221sin 2212sin 2123x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππ2sin 212cos 104433f ⎛⎫⎛⎫∴=⨯+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2π2ππ2T ω===.【小问2详解】由(1)知()π2sin 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令ππ22π,32x k +=+得ππ,Z 12x k k =+∈,当0k =时，，()max πππ2sin 21112123f x f ⎛⎫⎛⎫==⨯+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令ππ22π,32x k +=-+得5ππ,Z 12x k k =-+∈,与区间π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦无交集，又π2sin 0116f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，5π7π2sin 121126f ⎛⎫⎛⎫∴=-=-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()min 5π212f x f ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭故π12x =时，()max 1f x =；5π12x =时，()min 2f x =-.20.如图，在函数2()log f x x =图像任取三点(,()),(,()),(,())A a f a B b f b C c f c ，满足1a ≥，2b a =+，2c b =+，分别过A 、B 、C 三点作x 轴垂线交x 轴于D 、E 、F．（1）当2a =时，求梯形ADEB 的周长；（2）用a 表示ABC 的面积S ，并求S 的最大值．【答案】（1）5+；（2）答案见解析.【分析】对于（1），由题可得12，AD BE DE ===，AB =，据此可得答案；对于（2），设AC 与BE 交点为P ，则S 12BP DF =⋅，据此可得答案.【小问1详解】由题可得，221log AD ==，2242，log DE BE ===.AB ==，则梯形ADEB 的周长为5+【小问2详解】设AC 与BE 交点为P ，则S 12BP DF =⋅.又()224log ，log AD a CF a ==+，且AD BE CF ∥∥，E 为DF 中点，则由梯形中位线定理得()222142log log log PE a a ⎡⎤=++=⎣⎦1a =，PE 变为三角形中位线，结论不变.），则()2222log log log BP BE PE a ⎛⎫=-=+-=则S 22222144421244log log a a BP DF BP a a a a ⎛⎫⎛⎫++=⋅===+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，其中1a ≥.因()22424a a a +=+-，则函数24y a a =+在[)1,+∞上单调递增，得当1a ≥时，2224449450115544a a a a a a+≥⇒<≤⇒<+≤++.当且仅当1a =时取等号.又函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，则22249154log log a a ⎛⎫⎛⎫+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a =时取等号.即ABC 的面积22414log S a a ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，其中1a ≥；当且仅当1a =时，ABC 的面积有最大值295log ⎛⎫⎪⎝⎭.21.已知整数,3m n ≥，集合(){}12,,,{0,1},1,2,,n n iX x x x x i n =∈= ∣，对于n X 中的任意两个元素()12,,,n A a a a = ，()12,,,n B b b b = ，定义A 与B 之间的距离为1(,)n i i i d A B a b ==-∑．若12,,,m n A A A X ∈ 且()()()12231,,,m m d A A d A A d A A -=== ，则称是12,,,m A A A 是n X 中的一个等距序列．（1）若1234(1,0,0,0),(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,1)A A A A ====，判断1234,,,A A A A 是否是4X 中的一个等距序列？（2）设A ，B ，C 是3X 中的等距序列，求证：(,)d A C 为偶数；（3）设12,,,m A A A 是6X 中的等距序列，且161(1,1,,1)A = 个，60(0,0,,0)m A = 个，()12,5d A A =．求m 的最小值．【答案】（1）1234,,,A A A A 不是4X 中的一个等距序列（2）见解析（3）7【分析】（1）算出()12,d A A 与()23,d A A 验证不相等；（2）()(),,d A B d B C =结果为0,1,2,3来讨论；（3）分析从1变成0经过变换次数的规律，根据()12,5d A A =知道每次需要变换几个对应坐标.【小问1详解】()4121,110100001i i i d A A a b ==-=-+-+-+-=∑ ()4231,101101002i i i d A A a b ==-=-+-+-+-=∑ ()()1223,,d A A d A A ∴≠所以1234,,,A A A A 不是4X 中的一个等距序列【小问2详解】设()()()123123123,,,,,,A a a a B b b b C c c c ===把123123123,,a a a b b b c c c 分别称作()()()123123123,,,,,,A a a a B b b b C c c c ===的第一个，第二个，第三个坐标，若(){},,0,1,2,3d A B x x =∈则,A B 中有x 个对应坐标不相同，例如当(),1d A B =时，说明,A B 中有1个对应坐标不相同，其中()()1,1,0,1,1,1A B ==就是符合(),1d A B =的一种情况.①当()(),,0d A B d B C ==得A B C ==，所以(),0d A C =是偶数②当()(),,1d A B d B C ==，则,A B 中有1个对应坐标不相同，并且,B C 中有1个对应坐标不相同，所以,A C 中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即A C =则(),0d A C =，当有2个对应坐标不相同时，(),2d A C =，都满足(),d A C 为偶数.③当()(),,2d A B d B C ==则,A B 中有2个对应坐标不相同，并且,B C 中有2个对应坐标不相同，所以,A C 中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即A C =则(),0d A C =，当有2个对应坐标不相同时，(),2d A C =，都满足(),d A C 为偶数.④当()(),,3d A B d B C ==则,A B 中有3个对应坐标不相同，并且,B C 中有3个对应坐标不相同，所以,A C 中有0个对应坐标不相同，即A C =则(),0d A C =，满足(),d A C 为偶数.综上：A ，B ，C 是3X 中的等距序列，则(,)d A C 为偶数【小问3详解】根据第二问可得()12,5d A A =，则说明12,A A 中有5个对应坐标不相同由i A 变换到1i A +需改变5个坐标，保留1个不变，又因为从1变成0经过奇数次变化，所以从161(1,1,,1)A = 个变到60(0,0,,0)m A = 个至少经过6次变换，每个坐标变换5次，故m 的最小值为7.。
广东省湛江市2023-2024学年高一上学期期末考试 数学(含答案)
湛江市2023—2024学年度第一学期期末高中调研测试高一数学试卷（答案在最后）（满分：150分，考试时间：120分钟）2024年1月注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．阅读答题卡上面的注意事项，所有题目答案均答在答题卡上，写在本试卷上无效.3．作答选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“(),0x ∀∈-∞，有20x x -=”的否定为（）A.(),0x ∃∈-∞，使20x x -≠ B.[)0,x ∃∈+∞，使20x x -≠C .(),0x ∀∈-∞，有2x x -≠ D.[)0,x ∞∀∈+，有2x x -≠2.若集合{}1,3,5,6,7A =，{}Z 19B x x =∈≤≤，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（）A.3B.4C.5D.63.sin 300cos 0︒︒的值为（）A .B.12C.12-D.24.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，0πϕ<<）的图象如图所示，则ϕ=（）A.π6B.π3C.2π3D.5π65.函数()3ln f x x x=-的零点所在的区间是（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,46.角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上还有密位制（gradient system ）．密位制的单位是密位，1密位等于周角的16000.密位的记法很特别，高位与低两位之间用一条短线隔开，例如1密位写成0-01，1000密位写成10–00．若一扇形的弧长为4π，圆心角为40-00密位，则该扇形的半径为（）A .4B.3C.2D.17.已知函数()22e4(2)x f x x -=--，则()f x 的图象大致为（）A. B.C. D.8.在R 上定义新运算a b ad bc c d =-，若存在实数11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得401mx m x -≤成立，则m 的最小值为（）A.83-B.23-C.0D.83二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知集合{}1143,A x x k k ==-∈Z ，{}2221,B x x k k ==+∈Z ，则（）A.7A B∈∩ B.13A B∈ C. A B⋃ D.A B B= 10.已知0c b a <<<，则（）A.ac b bc a+<+ B.3232a c b c +>+C.a c ab c b+<+ D.<11.下列函数在()1,∞+上单调递增的为（）A.()4f x x x=+B.()ln 2f x x =+C.()225f x x x =-+ D.()2,23,2x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩12.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，满足()π6f x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，5π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且在π2π,189⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的取值可能为（）A.1B.3C.5D.7三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数()2lg1xxf x -=+的定义域为______________．14.已知120πx x ≤<≤，满足12sin sin x x =，则12cos 2x x +=______________．15.德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数[]y x =，其中[]x 表示“不超过x的最大整数”，如[]3.143=，[]0.6180=，[]2.718283-=-，则23251lg lg8lg 7log 10⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦________．16.已知函数()214,0222,0x x x x f x x ⎧--+≤⎪=⎨⎪->⎩，若存在实数a ，b ，c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，则()()a b f c +的取值范围是______________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）若α的终边经过点()2,4P -，求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且π3sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求sin α的值．18.已知幂函数()mf x x =的图象过点()25,5．（1）求()8f 的值；（2）若()()132f a f a +>-，求实数a 的取值范围．19.已知集合()(){}230A x x x =-+≤，{}11B x a x a =-<<+，定义两个集合P ，Q 的差运算：{},P Q x x P x Q -=∈∉且．（1）当1a =时，求A B -与B A -；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．20.随着时代的发展以及社会就业压力的增大，大学生自主创业的人数逐年增加.大学生小明和几个志同道合的同学一起创办了一个饲料加工厂.已知该工厂每年的固定成本为10万元，此外每生产1斤饲料的成本为1元，记该工厂每年可以生产x 万斤司料.当046x <<时，年收入为4001004x ⎛⎫-⎪+⎝⎭万元；当46x ≥时，年收入为92万元.记该工厂的年利润为()f x 万元（年利润=年收入-固定成本-生产成本）.（1）写出年利润()f x 与生产饲料数量x 的函数关系式；（2）求年利润的最大值.21.已知函数()2sin cos sin f x x x x =+．（1）求()f x 的最小值及相应x 的取值；（2）若把()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到()g x 的图象，求()g x 在[]0,π上的单调递增区间．22.已知函数()42x xf x a =-⋅．（1）当2a =时，求()f x 在[]1,2-上的最值；（2）设函数()()()g x f x f x =+-，若()g x 存在最小值11-，求实数a 的值．湛江市2023—2024学年度第一学期期末高中调研测试高一数学试卷（满分：150分，考试时间：120分钟）2024年1月注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．阅读答题卡上面的注意事项，所有题目答案均答在答题卡上，写在本试卷上无效.3．作答选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“(),0x ∀∈-∞，有20x x -=”的否定为（）A.(),0x ∃∈-∞，使20x x -≠ B.[)0,x ∃∈+∞，使20x x -≠C.(),0x ∀∈-∞，有2x x -≠ D.[)0,x ∞∀∈+，有2x x -≠【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题否定为特称命题即可.【详解】根据将全称命题否定为特称命题即可.可得“(),0x ∞∀∈-，有20x x -=”的否定为“(),0x ∞∃∈-，使20x x -≠”，故选：A ．2.若集合{}1,3,5,6,7A =，{}Z 19B x x =∈≤≤，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B 【解析】【分析】利用集合运算求解阴影部分即可.【详解】易知{}1,2,3,4,5,6,7,8,9B =，故图中阴影部分表示的集合为{}2,4,8,9，共4个元素，故选：B ．3.sin 300cos 0︒︒的值为（）A.0B.12C.12-D.【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案.【详解】()()sin 300cos 0sin 300360sin 60sin 602︒︒=︒-︒=-︒=-︒=-.故选：D ．4.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，0πϕ<<）的图象如图所示，则ϕ=（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用()01f =，得到1sin 2ϕ=，结合题意，即可求解.【详解】由函数()f x 的图象知，()02sin 1f ϕ==，则1sin 2ϕ=，因为0ω>，且0x =处在函数()f x 的递减区间，所以5π2π,Z 6k k ϕ=+∈，又因为0πϕ<<，所以5π6ϕ=.故选：D ．5.函数()3ln f x x x=-的零点所在的区间是（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4【答案】C 【解析】【分析】根据零点存在性定理即可求解.【详解】由于3ln ,==-y x y x均为定义域（0,+∞）内的单调递增函数，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 至多只有一个零点，且()32ln 202f =-<，()3ln 310f =->，故()()230f f ⋅<，所以该函数的零点所在的区间是()2,3.故选：C ．6.角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上还有密位制（gradient system ）．密位制的单位是密位，1密位等于周角的16000.密位的记法很特别，高位与低两位之间用一条短线隔开，例如1密位写成0-01，1000密位写成10–00．若一扇形的弧长为4π，圆心角为40-00密位，则该扇形的半径为（）A.4B.3C.2D.1【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得40-00密位的圆心角的弧度为4π3，进而根据扇形的弧长公式即可求解.【详解】40-00密位的圆心角的弧度为2π4π400060003⨯=，设该扇形的半径为r ，由4π4π3r ⨯=，解得3r =，故选：B ．7.已知函数()22e4(2)x f x x -=--，则()f x 的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由特值法，函数的对称性对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为()0222e e 0440(02)4f -=-=-<-，故C 错误；又因为()()4222222e e e4444(42)(2)(2)x x x f x f x x x x -+--+--+=-=-==-+--+-，故函数()f x 的图象关于2x =对称，故B 错误；当x 趋近2时，2e x -趋近1，2(2)x -趋近0，所以()22e 4(2)xf x x -=--趋近正无穷，故D 错误.故选：A .8.在R 上定义新运算a b ad bc c d =-，若存在实数11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得401mx m x -≤成立，则m 的最小值为（）A.83-B.23-C.0D.83【答案】A 【解析】【分析】根据题意，转化为2min 41x m x ⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭，令函数()241x f x x =-，11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，结合函数的奇偶性和单调性，求得()min 83f x =-，即可求解.【详解】由a b ad bc c d=-，可得()4401mx m x mx m x-=--≤，因为存在实数11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得401mx m x -≤，即2min 41x m x ⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭，令函数()241x f x x =-，11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，由()()f x f x -=-，可得()f x 是奇函数，且()00f =，当102x <≤时，()41f x x x=-，所以()f x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以()803f x -≤<，同理可得，当102x -≤<时，()803f x <≤，故()min 83f x =-，即83m ≥-，所以实数m 的最小值为83-.故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知集合{}1143,A x x k k ==-∈Z ，{}2221,B x x k k ==+∈Z ，则（）A.7A B ∈∩B.13A B∈ C. A B⋃ D.A B B= 【答案】BC 【解析】【分析】依题意列举A 、B 中的元素，观察可得答案【详解】依题意，{},3,1,5,9,13,17,21,A =- ，{},3,1,1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,B =-- ，观察可知A ，D 错误，B ，C 正确，故选：BC ．10.已知0c b a <<<，则（）A.ac b bc a+<+ B.3232a c b c +>+C.a c ab c b+<+ D.<【答案】AB 【解析】【分析】根据不等式的性质判断A 、B 、D ，利用赋值法判断C.【详解】因为0c b a <<<，所以ac bc <，且b a <，故ac b bc a +<+，故A 正确；因为0b a <<，所以33a b >，故3232a c b c +>+，故B 正确；取4a =，1b =，12c =-，则7a cb c +=+，4a b =，故C 错误；因为0c <<，则>，故D 错误，故选：AB ．11.下列函数在()1,∞+上单调递增的为（）A.()4f x x x=+B.()ln 2f x x =+ C.()225f x x x =-+ D.()2,23,2x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，由对勾函数性质得到A 错误；B 选项，根据对数函数性质直接得到B 正确；C 选项，配方后得到函数的单调性；D 选项，求出()()2.12f f <，故D 错误.【详解】A 选项，由对勾函数性质可知()4f x x x=+在()1,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，故A 错误；B 选项，()ln 2f x x =+在()0,∞+上单调递增，故B 正确；C 选项，()()222514f x x x x =-+=-+在()1,∞+上单调递增，故C 正确；D 选项，因为()25f =，()()22log 5log 552f f ===，故D 错误.故选：BC ．12.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，满足()π6f x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，5π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且在π2π,189⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的取值可能为（）A.1B.3C.5D.7【答案】AB 【解析】【分析】由()π6f x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，知函数()f x 的图象关于直线π12x =-对称，结合5π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知5π12是函数()f x 的零点，进而得到=2+1n ω，Z n ∈，由()f x 在π2π,189⎛⎫⎪⎝⎭上单调，可得6ω≤，进而1,3,5ω=，分类讨论验证单调性即可判断.【详解】由()π6f x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，知函数()f x 的图象关于直线π12x =-对称，又5π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即5π12是函数()f x 的零点，则()()5ππ112π2121121244n T n ω+=+⋅=+⋅⋅，Z n ∈，即=2+1n ω，Z n ∈.由()f x 在π2π,189⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则12π2πππ29186ω⋅≥-=，即6ω≤，所以1,3,5ω=.当1ω=时，由5ππ12k ϕ+=，Z k ∈，得5ππ12k ϕ=-+，Z k ∈，又π2ϕ<，所以5π12ϕ=-，此时当π2π,189x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，5π13π7π,123636x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以()5πsin 12f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在π2π,189⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故1ω=符合题意；当3ω=时，由5π3π12k ϕ⨯+=，Z k ∈，得5ππ4k ϕ=-+，Z k ∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-，此时当π2π,189x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ5π3,41212x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()πsin 34f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在π2π,189⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故3ω=符合题意；当5ω=时，由5π5π12k ϕ⨯+=，Z k ∈，得25ππ12k ϕ=-+，Z k ∈，又π2ϕ<，所以π12ϕ=-，此时当π2π,189x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π7π37π5,123636x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以()πsin 512f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在π2π,189⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故5ω=不符合题意.综上所述，1ω=或3.故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数()2lg 1x xf x -=+的定义域为______________．【答案】{}12x x -<<【解析】【分析】根据对数真数必须大于零可得不等式，求解得到定义域【详解】依题意，201x x->+，得()()202101x x x x -<⇔-+<+，则12x -<<，故所求定义域为{}12x x -<<．故答案为：{}12x x -<<14.已知120πx x ≤<≤，满足12sin sin x x =，则12cos 2x x +=______________．【答案】0【解析】【分析】根据三角函数的对称性可得12πx x +=，即可代入求解.【详解】因为120πx x ≤<≤，由12sin sin x x =，得12πx x +=，所以12cos02x x +=．故答案为：015.德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数[]y x =，其中[]x 表示“不超过x的最大整数”，如[]3.143=，[]0.6180=，[]2.718283-=-，则2325421lg lg8lg 7log 10⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦________．【答案】1【解析】【分析】通过已知条件确定取整函数[]y x =的取值法则，即[]=x a ，1a x a ≤<+；利用对数运算法则计算2325421lg lg8lg 7log 10-++，进而确定23251lg lg8lg 7log 10⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦的值.【详解】232511lg lg8lg lg lg 252lg 57lg 10742⎛-+=⨯+=+ ⨯⎝，因为()lg 0y x x =>为增函数，所以0lg1lg 5lg101=<<=，112lg 522<+<，故23251lg lg8lg 17log 10⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦．故答案为：116.已知函数()214,0222,0x x x x f x x ⎧--+≤⎪=⎨⎪->⎩，若存在实数a ，b ，c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，则()()a b f c +的取值范围是______________．【答案】(]18,2--【解析】【分析】画出分段函数图像，数形结合，找到三根的关系，利用图像交点求出最后结果.【详解】作出函数()f x 的图象，知4a b +=-，()1922f c ≤<，故()()182a b f c -<+≤-，即()()a b f c +的取值范围是(]18,2--．故答案为：(]18,2--四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）若α的终边经过点()2,4P -，求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且π3sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求sin α的值．【答案】（1）13-；（2）7210【解析】【分析】（1）首先根据正切定义求出tan 2α=-，再利用两角和的正切公式计算即可；（2）根据同角三角函数关系求出π4cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（1）因为α的终边经过点()2,4P -，所以4tan 22α==--，所以()πtan 1211tan 41tan 123ααα+-+⎛⎫+===- ⎪---⎝⎭．（2）因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππ,444α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，且π3sin 045α⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以π4cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin sin sin cos cos sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦34525210=⨯+⨯=．18.已知幂函数()mf x x =的图象过点()25,5．（1）求()8f 的值；（2）若()()132f a f a +>-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()8f =（2）23,32⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）代入点到函数中即可求解解析式，进而可求解值，（2）根据函数的单调性，即可求解.【小问1详解】依题意，255m=，解得12m =，故()12f x x =（0x ≥），则()1288f ==．【小问2详解】易知()12f x x =在[)0,∞+上是增函数，依题意，10320132a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩，解得2332a <≤，故实数a 的取值范围为23,32⎛⎤ ⎥⎝⎦．19.已知集合()(){}230A x x x =-+≤，{}11B x a x a =-<<+，定义两个集合P ，Q 的差运算：{},P Q x x P x Q -=∈∉且．（1）当1a =时，求A B -与B A -；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}30,2A B x x x -=-≤≤=或，B A -=∅．（2）[]2,1-【解析】【分析】（1）用集合的新定义求解即可；（2）由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件得到B A ⊆，再利用范围求出即可.【小问1详解】()(){}{}23032A x x x x x =-+≤=-≤≤，当1a =时，{}02B x x =<<，所以{}30,2A B x x x -=-≤≤=或，B A -=∅．【小问2详解】因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，所以B A ⊆，故1312a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得21a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]2,1-．20.随着时代的发展以及社会就业压力的增大，大学生自主创业的人数逐年增加.大学生小明和几个志同道合的同学一起创办了一个饲料加工厂.已知该工厂每年的固定成本为10万元，此外每生产1斤饲料的成本为1元，记该工厂每年可以生产x 万斤司料.当046x <<时，年收入为4001004x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭万元；当46x ≥时，年收入为92万元.记该工厂的年利润为()f x 万元（年利润=年收入-固定成本-生产成本）.（1）写出年利润()f x 与生产饲料数量x 的函数关系式；（2）求年利润的最大值.【答案】（1）()40090,046482,46x x f x x x x ⎧--<<⎪=+⎨⎪-≥⎩（2）54【解析】【分析】（1）根据年利润公式列分段函数解析式即可；（2）结合基本不等式和一元二次函数性质分别求分段函数的最值，比较即可得最大值.【小问1详解】由题意，当046x <<时，()f x =400400100109044x x x x ⎛⎫---=-- ⎪++⎝⎭；当46x ≥时，()f x =921082x x --=-；所以()40090,046482,46x x f x x x x ⎧--<<⎪=+⎨⎪-≥⎩；【小问2详解】当046x <<时，()f x ()40040090944945444x x x x ⎡⎤=--=-++≤-⎢⎥++⎣⎦，当且仅当40044x x =++即16x =时等号成立；当46x ≥时，()f x 82824636x =-≤-=；因为5436>，所以当16x =时，年利润()f x 有最大值为54万元.21.已知函数()2sin cos sin f x x x x =+．（1）求()f x 的最小值及相应x 的取值；（2）若把()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到()g x 的图象，求()g x 在[]0,π上的单调递增区间．【答案】（1）7π,Z 8x k k π=+∈时，()fx 取得最小值12．（2）π0,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，13π,π24⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）化简得到()π1sin 2242f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的性质，即可求解；（2）化简得到()5π1sin 22122g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合题意，利用正弦型函数的性质，即可求解.【小问1详解】因为()211cos 2π1sin cos sin sin 2sin 222242x f x x x x x x -⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，所以当π3π22π,Z 42x k k -=+∈，即7ππ,Z 8x k k =+∈时，()f x 取得最小值12．【小问2详解】由函数()ππ15π1sin 2sin 2323422122g x f x x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由π5ππ222π,Z 2122k x k k π-≤+≤+∈，可得11ππππ,Z 2424k x k k -≤≤+∈，又[]0,πx ∈，取0k =时，可得π024x ≤≤；取1k =时，可得13ππ24x ≤≤；所以()g x 在[]0,π上的单调递增区间为π0,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，13π,π24⎡⎤⎢⎥⎣⎦．22.已知函数()42x x f x a =-⋅．（1）当2a =时，求()f x 在[]1,2-上的最值；（2）设函数()()()g x f x f x =+-，若()g x 存在最小值11-，求实数a 的值．【答案】（1）()f x 最小值为1-；()f x 最大值8（2）6a =【解析】【分析】（1）换元后结合二次函数单调性得到最值；（2）令22x x m -=+，求出2m ≥，转化为()22h m m am =--在区间[)2,+∞上存在最小值11-，分22a ≤和22a >两种情况，结合函数单调性，得到方程，求出实数a 的值.【小问1详解】当2a =时，()()2422222x x x x f x ==-⨯-⨯，令2x t =，因为[]1,2x ∈-，所以1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．所以()22211y t t t =-=--，1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故当1t =时，min 1y =-；当4t =时，max 8y =，即当0x =时，()f x 取得最小值1-；当2x =时，()f x 取得最大值8．【小问2详解】()()()2424222222x x x x x x x x g a a x a ----=-⋅+-⋅=+-⋅+-，令22x x m -=+，则2m =≥，当且仅当22-=x x ，即0x =时，等号成立，于是问题等价转化为()22h m m am =--在区间[)2,+∞上存在最小值11-，二次函数()h m 的对称轴方程为2a m =，当22a ≤，即4a ≤时，()h m 在区间[)2,+∞上单调递增，此时存在最小值()222h a =-，令2211a -=-，解得132a =，不符合题意，舍去；当22a >，即4a >，()h m 在区间2,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以存在最小值222222424a a a a h ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，令22114a --=-，解得6a =（负值舍去）．综上得，6a =．。
辽宁省朝阳市建平县建平二中2023届数学高一上期末学业质量监测模拟试题含解析
2x
1
2x
1
3
1
2x x
4x 1 2x
3
2
12x 4x 7， x 12x
当且仅当 1 2x 4x ，即 x 1 时，取等号，
x 1 2x
4
即 1 1 2x 的最小值是 7. x 1 2x
故选：C
3、B
【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出 a、b、c 的取值范围，从而可得结果. 【详解】 0 a 0.70.8 0.70 1，
值是（）
A.
6
C.
3
6．若 是第三象限角，且 cos 0 ，则 是
2
2
A.第一象限角
B.
12 5 D. 6
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
7．定义运算： a1 a2 a3 a4
a1a4 a2a3 ，将函数
f (x)
3 1
cos x 2
sin x
的图象向左平移 m(m 0) 的单位后，所得图象关于 y 轴
的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知 35 49 岁的职工抽取了 56 人，则 50 岁及以上的职工
抽取的人数为（）
A.19
B. 95
C. 220
D. 280
10．若函数
f
x
cos 2x
0
在区间
0，3
上为减函数，在区间
3
， 2
上为增函数，则 =
A.3
B.2
3
2
C.
D.
2
（1）求 f (x) 的最小正周期T ；
（2）求 f (x) 的单调区间；
（3）在给定的坐标系中作出函数 f (x)(x [ π , π T ]) 的简图，并直接写出函数 f (x) 在区间[ π , 2 π] 上的取值范
2021-2022学年辽宁省大连市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
辽宁省大连市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符号题目要求.1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x|﹣2≤x≤3}，则A∩B＝（）A．〖﹣1，3〗B．〖﹣2，4〗C．〖﹣2，﹣1〗D．〖﹣1，4〗2．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70%分位数是（）A．86B．87C．88D．893．已知函数y＝f（x）在区间〖a，b〗上的图象是连续不断的，则“f（a）f（b）＜0”是“函数y＝f（x）在区间（a，b）中至少有一个零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．在△ABC中，P、Q分别在AB，BC上，且＝，＝，若＝，＝，则＝（）A．+B．﹣+C．﹣D．﹣﹣5．我国古代数学名著《九章算术》中有以下问题：“今有人合伙买羊，每人出5钱，差45钱，每人出7钱，差3钱．问合伙人数、羊价各是多少．”由此可推算，羊价为（）A．24钱B．165钱C．21钱D．150钱6．抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6的正方体玩具，设事件A 为“向上一面点数为偶数”，事件B为“向上一面点数为6的约数”，则P（A+B）为（）A．B．C．D．7．神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为（）（参考数据：lg2＝0.3010．）A．10B．12C．14D．168．已知幂函数y＝x a与y＝x b的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m（0＜m＜1）与y＝x a，y＝x b分别交于A，B，C，D四点，且|AB|＝|CD|，则m a+m b＝（）A．B．1C．D．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若ab＞0，则下列不等式中恒成立的是（）A．a2+b2≥2ab B．C．D．10．下列说法不正确的是（）A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B互相对立”的必要不充分条件B．若A，B为两个事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B）C．若事件A，B，C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）＝1D．若事件A，B满足P（A）+P（B）＝1，则A与B互相对立11．如果，是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是（）A．可以表示平面α内的任意一个向量B．对于平面α内任意一个向量，使的实数对（λ，μ）有无穷多个C．若向量与（λ1，λ2，μ1，μ2∈R）共线，则有且只有一个实数λ，使得D．若存在实数λ，μ使得，则λ＝μ＝012．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的高斯取整函数为y＝〖x〗，〖x〗表示不超过x的最大整数，例如〖﹣3.5〗＝﹣4，〖2.1〗＝2，已知函数，g（x）＝〖f（x）〗，则下列说法中正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在R上是增函数C．g（x）是偶函数D．g（x）的值域是{﹣1，0}三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把〖答案〗填在答题卡相应的位置上.13．某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为n的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，那么n ＝．14．已知函数f（x）＝a x+b（a＞0且a≠1）的图象过点（1，7），其反函数y＝f﹣1（x）图象过点（4，0），则a的值为．15．如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量，则λ+μ的最大值为．16．已知，若方程f（x）﹣a＝0有四个根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知不等式|x﹣4|≤2的解集为A，当m＞0时，关于x的不等式x2﹣4x﹣m2+4≤0的解集为B．（1）求A，B；（2）当m＞4时，求证：x∈A是x∈B的充分条件．18．（12分）（1）已知A（3，﹣6），B（﹣5，2），C（6，y）三点共线，求y的值；（2）在（1）的条件下求线段AC的两个三等分点的坐标．19．（12分）从学校随机抽取100名学生，测得它们的身高（单位：cm），按照区间〖160，165），〖165，170），〖170，175），〖175，180），〖180，185〗分组，得到样本身高的频率分布直方图，如图所示．（1）求频率分布直方图中x的值；（2）估计该校学生身高的平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）估计该校学生身高的75%分位数．20．（12分）已知函数g（x）＝a x﹣1﹣1（a是常数，a＞0，且a≠1）的图象过定点（m，n），函数．（1）求证：函数f（x）在〖2，+∞）上单调递增；（2）解不等式f（x2﹣2x+4）+f（﹣7）≤0．21．（12分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．（1）求比赛四场结束且丙获胜的概率；（2）求甲最终获胜的概率．22．（12分）已知函数（a＞0且a≠1）．（1）当a＝2时，解不等式f（x）＞1；（2）∀x∈〖2a，4a〗，f（x）≤1，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在α，β∈（a，+∞），使f（x）在区间〖α，β〗上的值域是〖log aβ，log aα〗？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，试说明理由．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符号题目要求.1．A〖解析〗∵集合A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x|﹣2≤x≤3}，∴A∩B＝〖﹣1，3〗．故选：A．2．C〖解析〗该组数据从小到大排列为：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98．且15×70%＝10.5，所以这15人成绩的第70百分位数是88．故选：C．3．A〖解析〗函数y＝f（x）在〖a，b〗上的图象是连续不断的一条曲线，“f（a）•f（b）＜0”⇒“函数y＝（x）在（a，b）内有零点“，反之不成立，比如函数y＝x2，x∈〖﹣1，1〗，有零点x＝0，但f（﹣1）⋅f（1）＞0，∴“f（a）•f（b）＜0”是“函数y＝（x）在（a，b）内有零点“的充分不必要条件．故选：A．4．A〖解析〗＝＝＝故选：A．5．D〖解析〗设合伙人为x人，由题意可得5x+45＝7x+3，解得x＝21．则羊价为7×21+3＝150钱．故选：D．6．D〖解析〗抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6的正方体玩具，基本事件总数n＝6，设事件A为“向上一面点数为偶数”，事件B为“向上一面点数为6的约数”，事件A+B包含的基本事件个数m＝5，则P（A+B）＝．故选：D．7．C〖解析〗设过滤的次数为n，原来水中杂质为1，则（1﹣20%）n＜5%，即，∴lg0.8n＜﹣lg20，∴n lg0.8＜﹣lg20，∴n＝＝≈13.4，又∵n∈N*，∴n的最小值为14，即至少需要过滤14次，故选：C．8．B〖解析〗由题意，|AB|＝（m2）a﹣（m2）b，|CD|＝m a﹣m b，根据图象可知b＞1＞a＞0，当0＜m＜1时，（m2）a＞（m2）b，m a＞m b，∵|AB|＝|CD|，∴m2a﹣m2b＝（m a+m b）（m a﹣m b），∵m a﹣m b＞0，∴m a+m b＝1．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．ACD〖解析〗对于A，a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，故a2+b2≥2ab，故A正确，对于B，令a＝﹣1，b＝﹣1，满足ab＞0，但a+b＜2，故B错误，对于C，∵ab＞0，∴＞0，＞0，（a+）（b+）＝ab+++，∴＞0，＞0，∴+≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立，故D正确，且ab+≥2＝2，当且仅当ab＝时，等号成立，∴（a+）（b+）＝ab+++≥2+2＝4，当且仅当ab＝，＝时，等号成立，故C对，故选：ACD．10．BCD〖解析〗对于A，A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B互相对立”的必要不充分条件，原因是对立事件一定是互斥事件，到互斥事件不一定是对立事件，故A正确；对于B，若A，B为两个互斥事件，则P（A+B）＝P（A）+P（B），故B错误；对于C，若事件A，B，C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）≤1，故C错误；对于D，若事件A，B满足P（A）+P（B）＝1，则A与B不一定互相对立，故D错误．故选：BCD．11．AD〖解析〗根据平面向量基本定理可知A、D选项正确，根据平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定，那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的，故B选项错误，当两向量的系数均为0，这样的λ有无数个，故C选项错误．故选：AD．12．AD〖解析〗∵函数，∴f（﹣x）+f（x）＝﹣+﹣＝﹣+﹣＝0，故f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）为奇函数，故A正确，C错误．∵函数＝﹣＝1﹣﹣＝﹣在R上单调第增，故B正确．再根据f（x）＝﹣∈（﹣，），故g（x）＝〖f（x）〗∈{﹣1，0}，即g（x）的值域是{﹣1，0}，故D正确，故选：AD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把〖答案〗填在答题卡相应的位置上.13．45〖解析〗∵某校学生高一年级有400人，高二年级有300人，高三年级有200人，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为n的样本．已知从高三学生中抽取的人数为10，∴，解得n＝45．故〖答案〗为：45．14．4〖解析〗∵函数f（x）＝a x+b（a＞0且a≠1）的图象过点（1，7），∴a+b＝7 ①，∵反函数y＝f﹣1（x）图象过点（4，0），∴函数f（x）＝a x+b（a＞0且a≠1）的图象过点（0，4），∴1+b＝4②，联立①②解得a＝4．故〖答案〗为：4．15．3〖解析〗以A为原点，以AB、AD分别为x，y轴建立直角坐标系，设正方形的边长为2，则C（2，2），B（2，0），D（0，2），P（x，2），x∈〖0，2〗，∴＝（2，2），＝（2，﹣2），＝（x，2），∵，∴，∴，∴λ+μ＝，令f（x）＝，（0≤x≤2）∵f（x）在〖0，2〗上单调递减，∴f（x）max＝f（0）＝3．故〖答案〗为：3.16．（﹣2，〗〖解析〗由题意，作出函数，的图象，如图所示，因为方程f（x）﹣a＝0有四个根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，由图象可知x1+x2＝﹣4，﹣log3x3＝log3x4，可得x3x4＝1，则x1+x2+x3+x4＝﹣4+x3+x4，设log3x3＝﹣t，log3x4＝t，所以x3+x4＝3﹣t+3t，因为0＜t≤2，所以1＜3t≤9，所以2＜3﹣t+3t≤，所以﹣2＜﹣4+3﹣t+3t≤，即﹣2＜x1+x2+x3+x4≤，即x1+x2+x3+x4的取值范围是（﹣2，〗．故〖答案〗为：（﹣2，〗．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（1）|x﹣4|≤2，解得2≤x≤6，∵x2﹣4x﹣m2+4≤0，m＞0，∴2﹣m≤x≤2+m，故A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2﹣m≤x≤2+m}．（2）证明：当m＞4时，，∴A⫋B，故x∈A是x∈B的充分条件．18．解：（1）已知A（3，﹣6），B（﹣5，2），C（6，y）三点共线，所以：，，所以8×（2﹣y）﹣88＝0，解得y＝﹣9．（2）由（1）得：设分点坐标D（x，y），利用分点坐标x＝，y＝，故D（4，﹣7）；或E（x，y），则，y＝；即E（5，﹣8）．故分点坐标为D（4，﹣7）和E（5，﹣8）．19．解：（1）由频率分布直方图可知5×（0.01+0.02+0.04+x+0.07）＝1，解之得x＝0.06；（2）＝5（162.5×0.01+167.5×0.07+172.5×0.06+177.5×0.04+182.5×0.02）＝172.25；（3）〖180，185〗的人数占比为5×0.02＝10%，〖175，180〗的人数占比为5×0.04＝20%，∴该校100名生学身高的75%分位数落在〖175，180〗，设该校100名生学身高的75%分位数为x，则0.04（180﹣x）+0.1＝25%，解得x＝176.25，故该校100名生学身高的75%分位数为176.25．20．解：∵函数g（x）＝a x﹣1﹣1的图象过定点（m，n），∴m﹣1＝0，n＝1﹣1＝0，故m＝1，n＝0；故f（x）＝x+；（1）证明：任取2≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1+﹣（x2+）＝（x1﹣x2）+（﹣）＝（x1﹣x2）•，∵2≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2﹣4＞0，x1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在〖2，+∞）上单调递增；（2）∵函数f（x）＝x+是奇函数，∴f（﹣7）＝﹣f（7），∴不等式f（x2﹣2x+4）+f（﹣7）≤0可化为f（x2﹣2x+4）≤f（7），又∵x2﹣2x+4≥3，且函数f（x）在〖2，+∞）上单调递增；故x2﹣2x+4≤7，解得﹣1≤x≤3，故不等式的解集为〖﹣1，3〗．21．解：（1）比赛四场结束且丙获胜的情况有2种：①甲胜乙，丙胜甲，丙胜乙，丙胜甲，概率为：P1＝＝；②乙胜甲，丙胜乙，丙胜甲，丙胜乙，概率为：P2＝＝．∴比赛四场结束且丙获胜的概率P＝p1+p2＝＝．（2）甲最终获胜包含的情况有3种：①甲胜乙，甲胜丙，甲胜乙，甲胜丙，概率为P1＝＝；②甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，甲胜丙，概率为P2＝×＝；③乙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，甲胜丙，甲胜乙，概率为P4＝×＝．∴甲最终获胜的概率P＝p1+p2+p3＝＝．22．解：（1）当a＝2时，f（x）＝log2（x﹣1）+log2（x﹣2）＝log2（x﹣2）（x﹣1），由f（x）＝log2（x﹣2）（x﹣1）＞1得（x﹣2）（x﹣1）＞2且x﹣2＞0，x﹣1＞0，即x2﹣3x＞0，x＞2，解得x＞3，故不等式f（x）＞1的解集（3，+∞）；（2）因为∀x∈〖2a，4a〗，f（x）≤1，令t＝＝（x）2﹣，则t在〖2a，4a〗上为增函数，当0＜a＜1时，结合复合函数单调性可知，f（2a）≤1，则（2a）2﹣≥a，整理得a（﹣1）≥0，解得a或a≤0，因为0＜a＜1，所以，当a＞1时，则f（4a）＝（4a）2﹣≤a，整理得a（）≤0，解得0，因为a＞1，此时a不存在，综上，（3）假设存在α，β∈（a，+∞），使f（x）在区间〖α，β〗上的值域是〖log aβ，log aα〗，由（2）知f（x）在（a，+∞）上单调递减，则，即，即α，β是方程的大于a的两个不等根，设h（x）＝，对称轴x＝，由题意得，解，又，此时a不存在．。
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17.比较大小：2x2+5x-3_______ x2+5x-4.
18.已知f(1)=3,f(n+1)=2f(n)+n,nN+，则f(4)=_______.
19.函数f(x)=lg(x2-kx+k)无论x取何值均有意义，则k的取值范围为_______________.
20.已知x(0,2π),且sinx－cosx=0,则x=________.
21.终边在直线y=-x上所有角的集合是_____________________.
三、解答题
22.（6分）写出集合P={1,2,3}的所有子集。
23.(12分)计算(1) 27-－（-）log24－2lg＋4lg5
（2）2sin＋3cos0－cos－4tanπ－5sin
24.(6分)已知f(x)=,求f(3),f().
衢江区职业中专期末试卷
2010—2011学年第一学期
课程职高数学专业高职预科年级2010高职
本试卷共3页，满分150分；考试时间：120分钟；出卷教师：邵志刚
题号
一
二
三
四
五
六
七
总分
得分
评卷人
题满分
45
30
75
150
得分
一、选择题（3分×15=45分）
1.如果全集U=R,A={x|2＜x≤4},B={3,4},则A∪(CUB)等于（）
学生姓名：___________________学号：_________________专业班级：_________________考试教室：_________________
----------密-----------------封-----------------线-------------------内-------------------不---------------------要-----------------------答-------------------题---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A.15% B.12% C.10% D.50%
9.已知a＜b＜0,那么一定有（）
A.＞B.0＜＜1 C.＜D.ab＜b2
10.函数y=x+(x＞2)的最小值为（）
A.4 B.3 C.2 D.1
11.函数y=的定义域是（）
A.[-2,2] B.(0,2) C.(0,2] D.(0,1)∪(0,2]
12.函数y=lg(x2-2x-3)的单调递增区间为（）
A.(2,3)∪（3,4）B.(2,4) C.(2,3)∪（3,4] D.（2,4]
2.不等式|3x-12|≤9的整数解的个数是（）
A. 7 B.6 C. 5 D. 4
3.(-a2)3的运算结果是（）
A. a5B.-a5C.a6D.-a6
4.将rad化为角度，正确的是（）
A. 45°B.120°C.135°D.150°
25.(6分)已知U=R,A={x|3＜x＜8},B={x|x≤5},求CUA，CUB,A∩CUB.
学生姓名：___________________学号：_________________专业班级：_________________考试教室：_________________
----------密-----------------封-----------------线-------------------内-------------------不---------------------要-----------------------答-------------------题---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
29.(10分)设,是方程（lgx）2－lgx2－2=0的两根，求log＋log的值.
30.（10分）已知tan(π+)=3,（0,），求sin2+3sincos+2cos2x的值.
26.（7分）m为何值时，方程（m+2）x2-2mx+1=0有两个不相等的实根？
27.（8分）解不等式（x+1）(x-2)(x-3)＞0,并把解集在数轴上表示出来。
28.(10分)已知二次函数y=f(x)满足条件f(0)=0，f(1)=-2，f(-1)=4.（1）求这个函数的解析式
（2）求函数的顶点坐标、对称轴.
14.已知角的顶点为原点，始边在x轴正半轴，终边过点P(,-1),则tan等于（）
A.-B.C.-D.
15.若f(x+1)=x2+3x+5,则f（0）的填空题（5分×6=30分）
16.满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合的个数是________.
5.已知sinA tanA＜0,则A所在的象限是（）
A.第二或第四象限B.第一或第三象限
C.第二或第三象限D.第一或第四象限
6.函数y=2x2-8x+9的最小值是（）
A. 0 B.1 C. 7 D. 9
7.若是第二象限角，且sin=,则cos等于（）
A.B. -C.D. -
8.某商品零售价2006年比2005年上涨25%，欲控制2007年比2005年只上涨10%，则2007年应比2006年降价（）
A.(3,+∞)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-∞,1)
13.集合AB是AB=A的( )
A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件
C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件
学生姓名：___________________学号：_________________专业班级：_________________考试教室：_________________