北京市各区中考数学一模汇编三角形
北京市各区年中考数学一模汇编三角形
北京市2016年各区中考一模汇编平面几何之三角形一、三角形和平行线1.【2016东城一模，第06题】如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B 的点C ，连接AC 并延长至D ，使CD =CA ，连接BC 并延长至E ，使CE =CB ，连接ED . 若量出DE =58米，则A ，B 间的距离为 A ．29米 B ． 58米C ．60米D ．116米2.【2016丰台一模，第06题】如图，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，使点C 能直 接到达点A 和点B ，连接AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的 中点M ，N . 如果测得MN = 20m ，那么A ，B 两点的距离是 A. 10m B. 20mC. 35mD. 40m3.【2016平谷一模，第06题】如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AE ：EC =2：3，DE =4，则BC 的长为 A ．10 B ．8 C ．6 D ．54.【2016朝阳一模，第06题】某地需要开辟一条隧道，隧道AB 的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C ，使C 到A 、B 两点均可直接到达，测量找到AC 和BC 的中点D 、E ，测得DE 的长为1100m ，则隧道AB 的长度为A ．3300mB ．2200mC ．1100mD ．550m5.【2016海淀一模，第06题】如图，等腰直角三角板的顶点A ，C 分别在直线a 、b 上，若a ∥b ，135∠=︒，则2∠的度数为 A.35︒B. 15︒C. 10︒D. 5︒6.【2016西城一模，第09题】某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C 观测水平雪道一端A 处的俯角为30°，另一端B 处的俯角为45°．若直升机镜头C 处的高度CD 为300米，点A ，D ，B 在同一直线上，则雪道AB 的长度为（）A ．300米B ．1502米C ．900米D ．(300)米7.【2016通州一模，第07题】如图，把含有45︒角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形纸条的对边上．如果∠1=20︒，那么∠2的度数是A. 30︒B. 25︒C. 20︒D. 15︒8.【2016通州一模，第09题】如图，为测量池塘边上两点A 、B 之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O ，测得OA 、OB 的中点分别是点D 、E ， 且DE ＝14米，那么A 、B 间的距离是A ．18米B ．24米C ．30米D ．28米二、三角形的基本性质9.【2016平谷一模，第10题】如图1，在矩形 ABCD 中，AB <BC ，点E 为对角线AC 上的一个动点，连接BE ，DE ，过E 作EF ⊥BC 于F ．设AE =x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的图1 O 21图 1A ．线段BEB ．线段EFC ．线段CED ．线段DE10.【2016平谷一模，第13题】如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，连接CD ．要使△ADC 与△ABC的条件是．11.【2016平谷一模，第14题】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个边长为1丈（1丈=10尺）的正方形水池，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x 尺，根据题意，可列方程为．12.【2016朝阳一模，第10题】如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，G 是BC 边上一个动点且不与点B 、C 重合，H 是AC边上一点，且30=∠AGH °．设BG=x ，图中某条线段长为y ，y 与x 满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的A ． 线段CGB ． 线段AGC ． 线段AHD ． 线段CH13.【2016海淀一模，第10题】小明在暗室做小孔成像实验，如图1，固定光源（线段MN ）发出的光经过小孔（动点K ）成像（线段）于足够长的固定挡板（直线l ）上，其中MN //l ，已知点K 匀速运动，其运动路径由AB ，BC ，CD ，DA ，AC ，BD 组成，记它的运动时间为x ，M '，N '的长度为y ，若y 关于x 的函数图像大致如图2所示，则点K 的运动路径可能为A. A B C D A →→→→B. B C D A B →→→→C. B C A D B →→→→D. D A B C D →→→→第13题第14题 1–112O 图2DB ACK MNN 'M '图1图2三、三角形之复杂应用（大题）14.【2016东城一模，第20题】如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交CB 的延长线于点E ．若∠BAC =40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）.15.【2016丰台一模，第20题】如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高线，BE AC ⊥于点E ，∠BAD =∠CBE .求证：AB AC =.16.【2016平谷一模，第20题】如图，△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，FD ⊥BC 于D ，G 是FC 的中点，连接GD . 求证：GD ⊥DE .AF BCDE G17.【2016朝阳一模，第20题】如图，E 为AC 上一点，EF ∥AB 交AF 于点F ，且AE = EF ． 求证：BAC ∠= 2∠1．18【2016海淀一模，第20题】如图，在ABC ∆中，90,BAC AD BD ∠=⊥于点D ，DE 为AC 边上的中线，求证：BAD BDC ∠=∠AB DEC19.【2016西城一模，第19题】如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，AE BE ⊥于点E ，且12BE BC =．求证：AB 平分EAD ∠．20.【2016通州一模，第20题】如图，在△ABC 中，AC =BC ，BD ⊥AC 于点D ，在△ABC 外作∠CAE =∠CBD作CE ⊥AE 于点E .如果∠BCE =140︒，求∠BAC 的度数.21.【2016东城一模，第28题】如图，等边△ABC ，其边长为1， D 是BC 中点，点E ，F 分别位于AB ，AC 边上，且∠EDF =120°.（1）直接写出DE 与DF 的数量关系；（2）若BE ，DE ，CF 能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）1FEC ACB CB（3）思考：AE+AF的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.备用图22.【2016平谷一模，第28题】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=CD，∠ACD=α，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连接DE，AE，BD．（1）依题意补全图1；（2）判断AE与BD的数量关系与位置关系并加以证明；（3）若0°＜α≤64°，AB=4，AE与BD相交于点G，求点G到直线AB的距离的最大值．请写出求解的思路（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）．23.【2016朝阳一模，第28题】在等腰三角形ABC中， AC=BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，以P 为旋转中心，将线段PA顺时针旋转，旋转角与∠C相等，得到线段PD，连接DB．（1）当∠C=90º时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA的度数；（2）如图2，若∠C=α，求∠DBA的度数（用含α的代数式表示）；（3）连接AD，若∠C =30º，AC=2，∠APC=135º，请写出求AD长的思路．（可以不写出计算结果）图1 备用图PCB A图1PCB A24.【2016海淀一模，第28题】在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 在射线BC 上（与,B C 两点不重合），以AD 为边作正方形ADEF ，使点E 与使点B 在直线AD 的异侧，射线BA 与射线CF 相交于点G（1）若点D 在线段BC 上，如图1 ① 依题意补全图1；②判断BC 与CG 的数量关系与位置关系，并加以证明：（2）若点D 在线段BC 的延长线上，且G 为CF 的中点，连接GE，AB =，则GE 的长为；并简述求GE 长的思路。
2023北京初三一模数学汇编：三角形全等的判定
2023北京初三一模数学汇编三角形全等的判定已知：如图，在ABC中，．甲的方法：证明：作∠分线交BC于点D．．（2023·北京顺义·统考一模）在证明“等腰三角形的两个底角相等这个性质定理时，添加的辅助线以下两种不同的叙述方法，请选择其中一种完成证明．=，求证：等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等．已知：如图，在ABC中，AB AC法一证明：如图，做．（2023·北京朝阳等腰三角形的两个底角相等”其中一种，完成证明．已知：如图，在ABC 中，．方法一证明：如图，作ABC 的中线 方法二证明：如图，作ABC 的角平分线统考一模）下面是证明等腰三角形性质定理三线合一”的三种方法，选择其中一种完方法一：已知：如图，ABC 中，BAC ． BC ⊥．方法二：已知：如图，ABC为BC 中， ABC 中，AD BC ⊥求证：BD BAD ∠=∠(1)求证：MEN AOC(2)点F在线段NO上，点G在线段NO延长线上，连接EF，EG，若EF EG=，依题意补全图形，用等式表示线段NF，OG，OM之间的数量关系，并证明．参考答案1．选择甲的方法，证明见解析．【分析】选择甲的方法，作BAC∠的平分线交BC于点D，得BAD CAD∠=∠，结合已知即可证明ABD ACD△≌△()AAS从而得到结论．【详解】解：选择甲的方法：证明：作BAC∠的平分线交BC于点D．∴BAD CAD∠=∠．在ABD△与ACD中，B CBAD CADAD AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD ACD△≌△()AAS∴AB AC=．【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的证明方法．2．见解析【分析】方法一：根据“SAS”证明ABD ACD△≌△即可得出结论；方法二：根据“SSS”证明ABD ACD△≌△即可得出结论．【详解】方法一：AD平分BAC∠，∴BAD CAD∠=∠.AB AC=，AD AD=，∴ABD CAD≌△△，∴B C∠=∠.方法二：D为BC中点，∴BD CD=.AB AC=，AD AD=，∴ABD CAD≌△△∴B C∠=∠.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．3．见解析【分析】方法一：取BC中点D，连接AD．利用SSS证明ABD ACD△≌△，由全等三角形的性质可得出结论；方法二：作BAC∠的角平分线，交BC于点D．利用SAS证明ABD ACD△≌△，由全等三角形的性质可得出结论．【详解】解：方法一，证明：如图，取BC中点D，连接AD，则BD CD =，在ABD△和ACD 中，AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，(SSS)ABD ACD ∴≌，B C ∴∠=∠；方法二：证明：如图，作BAC ∠的角平分线，交BC 于点D ．BAD CAD ∴∠=∠，在ABD △和ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，SAS ABD ACD ∴△≌△()，B C ∴∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明ABD ACD △≌△是解题的关键．4．证明见解析【分析】三种方法证明BAD CAD ≌，利用全等三角形的性质即可证明结论．【详解】证明：方法一：∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠，在BAD 和CAD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BAD CAD ≌，∴BD CD =，ADB ADC ∠=∠，∵180ADB ADC ∠+∠=︒，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，即AD BC ⊥，∴BD CD =，AD BC ⊥；方法二：∵点D 为BC 中点，∴BD CD =，在BAD 和CAD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS BAD CAD ≌△△，∴BAD CAD ∠=∠，ADB ADC ∠=∠，∵180ADB ADC ∠+∠=︒，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，即AD BC ⊥，∴BAD CAD ∠=∠，AD BC ⊥；方法三：∵AD BC ⊥，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，在Rt BAD 和Rt CAD △中，AB AC AD AD =⎧⎨=⎩， ∴()HL BAD CAD △≌△，∴BAD CAD ∠=∠，BD CD =．【点睛】本题主要考查了三线合一定理的证明，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．5．(1)见解析(2)OM NF OG ＝＋，理由见解析【分析】（1）先根据角的平分线的性质，过点E 作EH CD ⊥，EK AB ⊥，垂足分别是H ，K ，得EH EK ＝，再根据三角形全等的判定，证明Rt EHN Rt EKM ≌即可得结论．（2）作辅助线，在线段OM 上截取1OG OG ＝，连接EG 1，先证明1EOG EOG ≌，得1EG EG =，1EG O EGF ∠=∠，再证明1ENF EMG ≌，得1NF MG ＝，再推导得出结论．【详解】（1）（1）证明：作EH CD ⊥，EK AB ⊥，垂足分别是H ，K ，如图．∵OE 是BOC ∠的平分线，∴EH EK ＝．∵ME NE ＝，∴Rt EHN Rt EKM ≌．∴ENH EMK ∠∠＝．记ME 与OC 的交点为P ，∴EPN OPM ∠∠＝．∴MEN AOC ∠∠＝．（2）（2）OM NF OG ＝＋．证明：在线段OM 上截取1OG OG ＝，连接EG 1，如图．∵OE 是BOC ∠的平分线，∴EON EOB ∠∠＝．∵MOF DOB ∠∠＝，∴EOM EOD ∠∠＝．∵OE OE =，∴1EOG EOG ≌．∴1EG EG =，1EG O EGF ∠=∠．∵EF EG ＝，∴1EF EG =，EFG EGF ∠=∠．∴1EFG EG O ∠=∠．∴1EFN EG M ∠=∠．∵1ENF EMG ∠=∠．∴1ENF EMG ≌．∴1NF MG ＝．∵11OM MG OG ＝＋，∴OM NF OG ＝＋．【点睛】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．。
2020北京各区一模数学试题分类汇编--解三角形(原卷版)
1 / 32020北京各区一模数学试题分类汇编—解三角形（2020海淀一模）在△ABC中，4AB B π=∠=，点D 在边BC 上，2,3ADC π∠=CD =2，则AD =___；△ACD 的面积为____.（2020顺义区一模）在ABC ∆中，若8ac =，7a c +=，3B π=，则b =_________.（2020延庆一模）在ABC V 中，10AB D =，是BC 边的中点.若660AC A =∠=︒，，则AD 的长等于________；若45CAD AC ∠=︒=，，则ABC V 的面积等于____________.（2020西城一模）已知ABC V 满足，且23b A π==，求sinC 的值及ABC V 的面积.（从①4B π=，②a =a =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）（2020东城一模）在①222b a c +=+,②cos sin a B b A =,③sin cos B B +=一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ______________,3A π=,b =求ABC ∆的面积.（2020丰台一模）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，3A π=.（1）当2b =时，求a ；（2）求sin B C 的取值范围.2 / 3（2020朝阳区一模）在△ABC 中，sin cos()6b A a B π=-. （1）求B ； （2）若5c =，.求a . 从①7b =，②4C π=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.（2020石景山一模）已知锐角ABC V ，同时满足下列四个条件中的三个： ①3A π=②13a =③15c =④1sin 3C =（1）请指出这三个条件，并说明理由； （2）求ABC V 的面积.（2020怀柔一模）已知在ABC ∆中，2a =，b =①π4A =；②B A >；③sin sin B A <；④4c =. （1）直接写出所有可能满足的条件序号； （2）在（1）条件下，求B 及c 的值.（2020密云一模）在ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +-=.3 / 3（1）已知_______________，计算ABC V 的面积；请①a =2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分. （2）求cos cos B C +的最大值.。
2023年北京市通州区中考数学一模试卷【答案版】
2023年北京市通州区中考数学一模试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有1．下列图形：（1）线段；（2）角；（3）等边三角形；（4）平行四边形．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）2．2023年1月国家统计局网站数据显示，2022年全国居民人均消费支出24538元，将24538用科学记数法表示（）A．0.24538×106B．2.4538×105C．2.4538×104D．2.4538×1033．如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（）A．75°B．60°C．105°D．120°4．正七边形的外角和为（）A．1080°B．900°C．720°D．360°5．如图是某个几何体的表面展开图，则这个几何体是（）A．长方体B．三棱柱C．三棱锥D．四棱锥6．点M，N在数轴上的位置如图所示，点M，N表示的有理数为a，b．如果ab＜0，a+b＞0，那么下列描述数轴原点的位置说法正确的是（）A．原点O在点M左侧B．原点O在点N的右侧C．原点O在点M、N之间，且|OM|＞|ON|D．原点O在点M、N之间，且|OM|＜|ON|7．如图1，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．小凯转动转盘做频率估计概率的实验，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为实验转出的数字，图2，是小凯记录下的实验结果情况，那么小凯记录的实验是（ ）A ．转动转盘后，出现偶数B ．转动转盘后，出现能被3整除的数C ．转动转盘后，出现比6大的数D ．转动转盘后，出现能被5整除的数8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OCDE 是一个矩形，小球P 从点A （2，6）出发沿直线向点B 运动，到达点B 时被第一次反弹，每当小球P 沿直线运动碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球P 第100次碰到矩形的边时，小球P 所在位置的坐标为（ ）A ．（4，0）B ．（8，6）C ．（5，12）D ．（12，4）二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9．若代数式x+1x−1有意义，那么x 的取值范围是 ．10．分解因式：2x 2﹣8x +8＝ ．11．已知n 为整数，且√7＜n ＜√10，则n 等于 ． 12．方程1x =23x−3的解是 ．13．由电源、开关、滑动变阻器及若干导线组成的串联电路中，已知电源电压为定值，闭合开关后，改变滑动变阻器的阻值R （始终保持R ＞0），发现通过滑动变阻器的电流I 与滑动变阻器的电阻R 成反比例函数关系，它的图象如图所示，若使得通过滑动变阻器的电流不超过4A ，则滑动变阻器阻值的范围是 ．14．为探究浸种处理对花生种子萌发率的影响，九年级的生物小组同学取1000粒花生种子完成实验．同学们将1000粒花生种子平均分成五组，获得如下花生种子萌发量数据，如表格．在温度25℃的条件下，将5000粒种子浸种24小时，萌发量大致为 粒．15．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，将一个直角尺MON 的直角顶点O 与BC 边上的中点D 重合，并绕点D 旋转，分别交AB 、AC 于点E 、F ，如果四边形AEDF 恰巧是正方形，则BE 的长度为 ．16．某学校带领150名学生到农场参加植树劳动，学校同时租用A ，B ，C 三种型号客车去农场，其中A ，B ，C 三种型号客车载客量分别为40人、30人、10人，租金分别为700元、500元、200元．为了节省资金，学校要求每辆车必须满载，并将学生一次性送到农场植树，请你写出一种满足要求的租车方案 ，满足要求的几种租车方案中，最低租车费用是 元．三、解答题（17-23题每题5分，24、25题每题6分，26-28每题7分，共68分） 17．计算：（12）﹣1+（2023−√3）0−√12+6tan30°．18．解不等式组{x 3≤x+142(x +1)＞3x +1．19．先化简，再求值：已知3x 2+x +1＝0，求（x +1）（x ﹣2）﹣（3+2x ）（2x ﹣3）的值．20．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝BD ＝2CD ，E 为AB 的中点，请你用无刻度的直尺在图中画△ABD的边AD上的高线．小蕊的画法如下．请你按照小器的画法完成画图，并填写证明的依据．21．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC中点，连接CD，DE，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接AF，CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）如果sin∠CAF=35，且AC＝8，求AB的长．22．如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−12x+3的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数y＝kx的图象l2与l1交于点C（m，4）．（1）求m的值及l2的表达式；（2）一次函数y＝nx+1的图象为l3，且l1，l2，l3三条直线不能围成三角形，直接写出所有满足条件的n的值．23．北极海冰是地球系统的重要组成部分，其变化可作为全球气候变化的重要指示器．为了应对全球气候问题，科学家运用卫星遥感技术对北极海冰覆盖面积的变化情况进行监测，根据对多年的数据进行整理、描述和分析，形成了如下信息：a、1961﹣2020年间北极海冰年最低覆盖面积变化的频数分布直方图如下所示：（数据分成8组：3≤x＜4，4≤x＜5，5≤x＜6，6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x＜10，10≤x＜11）b、1961﹣2020年间北极海冰年最低覆盖面积的数据在8≤x＜9这一组的是：8.0，8.2，8.2，8.3，8.3，8.5，8.6，8.6，8.6，8.7，8.8（1）写出1961﹣2020年间北极海冰年最低覆盖面积的中位数是（106平方千米）；（2）北极海冰最低覆盖面积出现了大面积的缩减是年．（3）请参考反映1961﹣2020年间北极海冰年最低覆盖面积变化的折线图，解决以下问题：①记北极地区1961﹣1990年北极海冰年最低覆盖面积的方差为s12，1991﹣2020年北极海冰年最低覆盖面积的方差为s22，请直接判断s12s22的大小关系（填写“＞”“＜”或“＝”）；②根据2000年以后北极海冰年最低覆盖面积的相关数据，推断全球气候发生了怎样的变化？在你的生活中应采取哪些措施应对这一变化？24．（6分）如图，△ABC是圆内接三角形，过圆心O作OF⊥AC，连接OA，OC，过点C作CD∥AO，交BA的延长线于点D，∠COF＝45°．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）如果BC•CE＝8，求⊙O半径的长度．25．（6分）如图，OC是学校灌溉草坪用到的喷水设备，喷水口C离地面垂直高度为1.5米，喷出的水流都可以抽象为平面直角坐标系中的一条抛物线．（1）灌溉设备喷出水流的最远射程可以到达草坪的最外侧边沿点B，此时，喷水口C喷出的水流垂直高度与水平距离的几组数据如下表．结合数据，求此抛物线的表达式，并求出水流最大射程OB的长度．（2）为了全面灌溉，喷水口C可以喷出不同射程的水流，喷水口C喷出的另外一条水流形成的抛物线满足表达式y=a(x−23)2+ℎ，此水流最大射程OE＝2米，求此水流距离地面的最大高度．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣1，n），（2，p）在二次函数y＝﹣x2+bx+2的图象上．（1）当n＝p时，求b的值；（2）当（2﹣n）（n﹣p）＞0，求b的取值范围．27．（7分）直线MO是线段AB的垂直平分线，垂足为点O，点C是直线OM上一点，连接AC．以AC为斜边作等腰直角△ACD，连接OD．（1）如图1，若CO＝AB，求∠AOD的度数；（2）如图2所示，点E是射线MO上一点，且CE＝AB，连接DE，延长DO至点F，使得OF＝OD，连接AF，根据题意补全图2，写出线段DE，AF之间的关系，并证明．28．（9分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，给出如下定义：作直线l分别交AB，AC边于点M，N，点A关于直线l的对称点为A′，则称A′为等腰直角△ABC关于直线l的“直角对称点”．（点M可与点B重合，点N可与点C重合）（1）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（2，0），直线l：y＝kx+1，O′为等腰直角△AOB关于直线l的“直角对称点”．①当k＝﹣1时，写出点O′的坐标．；②连接BO′，求BO′长度的取值范围；（2）⊙O的半径为10，点M是⊙O上一点，以点M为直角顶点作等腰直角△MPQ，其中MP＝2，直线l与MP、MQ分别交于E、F两点，同时M′为等腰直角△MPQ关于直线l的“直角对称点”，连接OM′，当点M在⊙O上运动时，直接写出OM′长度的最大值与最小值．2023年北京市通州区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有1．下列图形：（1）线段；（2）角；（3）等边三角形；（4）平行四边形．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）解：（1）线段是轴对称图形，也是中心对称图形；（2）角是轴对称图形，不是中心对称图形；（3）等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；（4）平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；则既是轴对称图形又是中心对称图形的是（1）．故选：A．2．2023年1月国家统计局网站数据显示，2022年全国居民人均消费支出24538元，将24538用科学记数法表示（）A．0.24538×106B．2.4538×105C．2.4538×104D．2.4538×103解：将24538用科学记数法表示为：2.4538×104．故选：C．3．如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（）A．75°B．60°C．105°D．120°解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，故选：A．4．正七边形的外角和为（）A．1080°B．900°C．720°D．360°解：∵多边形的外角和等于360°，∴正七边形的外角和为360°，故选：D．5．如图是某个几何体的表面展开图，则这个几何体是（）A．长方体B．三棱柱C．三棱锥D．四棱锥解：观察图形可知，展开图是由三个全等的矩形，和两个全等的三角形构成，符合三棱柱的展开图特征，∴这个几何体是三棱柱．故选：B．6．点M，N在数轴上的位置如图所示，点M，N表示的有理数为a，b．如果ab＜0，a+b＞0，那么下列描述数轴原点的位置说法正确的是（）A．原点O在点M左侧B．原点O在点N的右侧C．原点O在点M、N之间，且|OM|＞|ON|D．原点O在点M、N之间，且|OM|＜|ON|解：∵ab＜0，a+b＞0，∴数a与数b异号，并且正数的绝对值大，即b＞0，a＜0，|b|＞|a|，∴原点O在点M、N之间，且|OM|＜|ON|．故选：D．7．如图1，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．小凯转动转盘做频率估计概率的实验，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为实验转出的数字，图2，是小凯记录下的实验结果情况，那么小凯记录的实验是（）A．转动转盘后，出现偶数B．转动转盘后，出现能被3整除的数C．转动转盘后，出现比6大的数D．转动转盘后，出现能被5整除的数解：观察图2知：频率逐渐稳定在0.3，所以实验的概率为0.3，A、转动转盘，出现偶数的概率为510=0.5，不符合题意；B、转动转盘后出现能被3整除的数为3，6，9，概率为310=0.3，符合题意；C、转动转盘，出现比6大的数为7，8，9，10，概率为410=0.4，不符合题意；D、转动转盘后，出现能被5整除的数为5和10，概率为210=0.5，不符合题意．故选：B．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OCDE是一个矩形，小球P从点A（2，6）出发沿直线向点B运动，到达点B时被第一次反弹，每当小球P沿直线运动碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球P第100次碰到矩形的边时，小球P所在位置的坐标为（）A．（4，0）B．（8，6）C．（5，12）D．（12，4）如图，小球第1次碰到矩形边时的坐标为（8，0），小球第2次碰到矩形边时的坐标为（12，4），小球第3次碰到矩形边时的坐标为（10，6），小球第4次碰到矩形边时的坐标为（4，0），小球第5次碰到矩形边时的坐标为（0，4），小球第6次碰到矩形边时的坐标为（2.6），小球第7次碰到矩形边时的坐标为（8，0），…．∴小球坐标的变化是6次循环，100÷6＝16…4，∴当小球P 第100次碰到矩形的边时，小球P 所在的位置坐标为（4，0）．故选：A ．二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9．若代数式x+1x−1有意义，那么x 的取值范围是 x ≠1 ．解：由题意得：x ﹣1≠0，解得：x ≠1， 故答案为：x ≠1．10．分解因式：2x 2﹣8x +8＝ 2（x ﹣2）2 ． 解：原式＝2（x 2﹣4x +4）＝2（x ﹣2）2． 故答案为2（x ﹣2）2．11．已知n 为整数，且√7＜n ＜√10，则n 等于 3 ． 解：∵√7＜√9＜√10，∴√7＜3＜√10，∴n ＝3． 故答案为：3 12．方程1x =23x−3的解是 x ＝3 ．解：1x=23x−3，1x=23(x−1)，3（x ﹣1）＝2x ，解得：x ＝3，检验：当x ＝3时，3x （x ﹣1）≠0，∴x ＝3是原方程的根， 故答案为：x ＝3．13．由电源、开关、滑动变阻器及若干导线组成的串联电路中，已知电源电压为定值，闭合开关后，改变滑动变阻器的阻值R （始终保持R ＞0），发现通过滑动变阻器的电流I 与滑动变阻器的电阻R 成反比例函数关系，它的图象如图所示，若使得通过滑动变阻器的电流不超过4A ，则滑动变阻器阻值的范围是 R ≥2 ．解：设反比例函数解析式为I =U R， 将点（2，4）代入，得U ＝8， 故百分率函数解析式为I =8R； ∵电流不超过4安培， 则8R≤4，∴R ≥2，故滑动变阻器阻值的范围是R ≥2． 故答案为：R ≥2．14．为探究浸种处理对花生种子萌发率的影响，九年级的生物小组同学取1000粒花生种子完成实验．同学们将1000粒花生种子平均分成五组，获得如下花生种子萌发量数据，如表格．在温度25℃的条件下，将5000粒种子浸种24小时，萌发量大致为 4500 粒．解：5000×186+180+180+176+1781000=4500（粒），故答案为：4500．15．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，将一个直角尺MON 的直角顶点O 与BC 边上的中点D 重合，并绕点D 旋转，分别交AB 、AC 于点E 、F ，如果四边形AEDF 恰巧是正方形，则BE 的长度为 2 ．解：连接AD ．当四边形AEDF 是正方形时，∠DEA ＝90°， ∴DE ⊥AB ，∵∠BAC ＝90°，BD ＝DC ， ∴DA ＝DB ＝DC ， ∴BE ＝AE =12AB ＝2．故答案为：2．16．某学校带领150名学生到农场参加植树劳动，学校同时租用A ，B ，C 三种型号客车去农场，其中A ，B ，C 三种型号客车载客量分别为40人、30人、10人，租金分别为700元、500元、200元．为了节省资金，学校要求每辆车必须满载，并将学生一次性送到农场植树，请你写出一种满足要求的租车方案 A 、B 、C 三种型号客车分别租1辆、3辆、2辆（答案不唯一） ，满足要求的几种租车方案中，最低租车费用是 2600 元．解：设A 、B 、C 三种型号各车分别租x 辆、y 辆、z 辆， 由题意得40a +30y +10z ＝150，即4a +3y +z ＝15，∵学校同时租用A 、B 、C 三种型号客车去农场，要求每辆车必须满载， ∴x ，yz 都是正整数， ∴满足条件的x ，y ，z 有： {x =1y =3z =2或{x =1y =2z =5或{x =2y =1z =4或{x =2y =2z =1， ∴写出一种满足要求的租车方案可以是：A 、B 、C 三种型号客车分别租1辆、3辆、2辆（答案不唯一）； ∵租用A 、B 、C 三种型号客车每人的费用分别70040=352（元）、50030=503（元）、20010=20（元），而503＜352＜20，∴多租B 型号客车且少租C 型号客车费用较低， 若A 、B 、C 三种型号客车分别租1辆、3辆、2辆， 则费用为700×1+500×3+200×2＝2600（元）； 若A 、B 、C 三种型号客车分别租2辆、2辆、1辆， 则费用为700×2+500×2+200×1＝2600（元），∴满足要求的几种租车方案中，最低租车费用是2600元．故答案为：A 、B 、C 三种型号客车分别租1辆、3辆、2辆（答案不唯一）；2600元． 三、解答题（17-23题每题5分，24、25题每题6分，26-28每题7分，共68分） 17．计算：（12）﹣1+（2023−√3）0−√12+6tan30°．解：（12）﹣1+（2023−√3）0−√12+6tan30°＝2+1﹣2√3+6×√33＝2+1﹣2√3+2√3＝3．18．解不等式组{x3≤x+142(x+1)＞3x+1．解：{x3≤x+14①2(x+1)＞3x+1②，由①得：x≤3，由②得：x＜1，∴不等式组的解集是x＜1．19．先化简，再求值：已知3x2+x+1＝0，求（x+1）（x﹣2）﹣（3+2x）（2x﹣3）的值．解：（x+1）（x﹣2）﹣（3+2x）（2x﹣3）＝x2﹣2x+x﹣2﹣（4x2﹣9）＝﹣3x2﹣x+7，∵3x2+x+1＝0，∴3x2+x＝﹣1，∴原式＝﹣（3x2+x）+7＝1+7＝8．20．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BD＝2CD，E为AB的中点，请你用无刻度的直尺在图中画△ABD的边AD上的高线．小蕊的画法如下．请你按照小器的画法完成画图，并填写证明的依据．解：如图；证明：∵AB＝2CD，E为AB的中点，∴BE＝CD．∵AB∥CD，∴四边形EBCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴点F是BD中点（平行四边形的对角线互相平分），∴AF、DE是△ABD的中线．∴BH是△ABD的中线．∵AB＝BD，∴BH是AD边上的高线，（三线合一），故答案为：（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），（平行四边形的对角线互相平分），（三线合一）．21．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC中点，连接CD，DE，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接AF，CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）如果sin∠CAF=35，且AC＝8，求AB的长．（1）证明：∵点E 是AC 的中点， ∴AE ＝CE ， 又∵EF ＝DE ，∴四边形AFCD 是平行四边形， ∵点D ，E 分别是边AB ，AC 中点， ∴DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠ACB ＝90°， ∴AC ⊥DF ，∴四边形AFCD 是菱形． （2）∵四边形AFCD 是菱形， ∴AD ＝AF ，AE =12AC =12×8＝4， ∵sin ∠CAF =35， ∴EF AF=35，设EF ＝3x ，则AF ＝5x ，∴AE =√AF 2−EF 2=√(5x)2−(3x)2=4x ＝4， ∴x ＝1， ∴AF ＝5， ∴AD ＝5，∴AB ＝2AD ＝2×5＝10．22．如图，平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =−12x +3的图象l 1分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数y ＝kx 的图象l 2与l 1交于点C （m ，4）． （1）求m 的值及l 2的表达式；（2）一次函数y ＝nx +1的图象为l 3，且l 1，l 2，l 3三条直线不能围成三角形，直接写出所有满足条件的n 的值．（1）由题意得：{−12m +3=4km =4，解得：{m =−2k =−2，∴l 2的表达式为：y ＝﹣2x ； （2）当l 3∥l 1时：n =−12， 当l 3∥l 2时：n ＝﹣2， 当l 3过C 点时，﹣2n +1＝4， 解得：n =−32．23．北极海冰是地球系统的重要组成部分，其变化可作为全球气候变化的重要指示器．为了应对全球气候问题，科学家运用卫星遥感技术对北极海冰覆盖面积的变化情况进行监测，根据对多年的数据进行整理、描述和分析，形成了如下信息：a 、1961﹣2020年间北极海冰年最低覆盖面积变化的频数分布直方图如下所示：（数据分成8组：3≤x ＜4，4≤x ＜5，5≤x ＜6，6≤x ＜7，7≤x ＜8，8≤x ＜9，9≤x ＜10，10≤x ＜11）b 、1961﹣2020年间北极海冰年最低覆盖面积的数据在8≤x ＜9这一组的是：8.0，8.2，8.2，8.3，8.3，8.5，8.6，8.6，8.6，8.7，8.8（1）写出1961﹣2020年间北极海冰年最低覆盖面积的中位数是 8.6 （106平方千米）； （2）北极海冰最低覆盖面积出现了大面积的缩减是 2001 年．（3）请参考反映1961﹣2020年间北极海冰年最低覆盖面积变化的折线图，解决以下问题：①记北极地区1961﹣1990年北极海冰年最低覆盖面积的方差为s 12，1991﹣2020年北极海冰年最低覆盖面积的方差为s 22，请直接判断s 12 ＜ s 22的大小关系（填写“＞”“＜”或“＝”）；②根据2000年以后北极海冰年最低覆盖面积的相关数据，推断全球气候发生了怎样的变化？在你的生活中应采取哪些措施应对这一变化？解：（1）由题意可知，1961﹣2020年总共有60个数据，第30个数据是8.6，第31个数据是8.6，∴中位数是8.6+8.62=8.6，故答案为：8.6；（2）由1961﹣2020年间北极海冰年最低覆盖面积变化图，可知北极海冰最低覆盖面积出现了大面积的缩减是2001年， 故答案为：2001；（3）①由1961﹣2020年间北极海冰年最低覆盖面积变化图可知，北极地区1961﹣1990年北极海冰年最低覆盖面积变化波动比1991﹣2020年北极海冰年最低覆盖面积变化小，∴s 12＜s 22，故答案为：＜；②根据2000年以后北极海冰年最低覆盖面积逐渐减小，可知全球气候变暖， 所以在平时我们应该低碳出行，节能减排（答案不唯一，合理即可）．24．（6分）如图，△ABC 是圆内接三角形，过圆心O 作OF ⊥AC ，连接OA ，OC ，过点C 作CD ∥AO ，交BA 的延长线于点D ，∠COF ＝45°． （1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）如果BC •CE ＝8，求⊙O 半径的长度．（1）证明：∵OA ＝OC ， ∴△AOC 为等腰三角形， ∵OE ⊥AC ， ∴∠AOE ＝∠COE ， ∵∠COE ＝45°，∴∠AOC ＝2∠COE ＝90°， ∵CD ∥AO ，∴∠OCD +∠AOC ＝180°， ∴∠OCD ＝90°， ∴OC ⊥OD ， ∵点C 在⊙O 上， ∴DC 是⊙O 的切线；（2）解：由（1）可知∠AOC ＝90°，∠OAC ＝45°， ∴∠ABC =12∠AOC ＝45°， ∴∠ABC ＝∠OAC ＝45°， ∵∠BCA ＝∠ACE ， ∴△ABC ∽△EAC ， ∴BC AC=AC CE，∴AC 2＝BC •CE ， ∵BC •CE ＝8， ∴AC ＝2√2，根据勾股定理得，OA 2+OC 2＝AC 2， ∴OA ＝2，∴⊙O 半径的长度是2．25．（6分）如图，OC 是学校灌溉草坪用到的喷水设备，喷水口C 离地面垂直高度为1.5米，喷出的水流都可以抽象为平面直角坐标系中的一条抛物线．（1）灌溉设备喷出水流的最远射程可以到达草坪的最外侧边沿点B ，此时，喷水口C 喷出的水流垂直高度与水平距离的几组数据如下表．结合数据，求此抛物线的表达式，并求出水流最大射程OB 的长度．（2）为了全面灌溉，喷水口C 可以喷出不同射程的水流，喷水口C 喷出的另外一条水流形成的抛物线满足表达式y =a(x −23)2+ℎ，此水流最大射程OE ＝2米，求此水流距离地面的最大高度．解：由表中数据可知，抛物线的顶点为（2，2）， ∴设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）2+2， 把（0，1.5）代入解析式得：4a +2＝1.5， 解得a =−18，∴抛物线解析式为y =−18（x ﹣2）2+2， 令y ＝0，则0=−18（x ﹣2）2+2， 解得x ＝6或x ＝﹣2（舍去）， ∴水流最大射程OB 的长度为6米； （2）水流最大射程OE ＝2米， ∴E （2，0），把（0，1.5），（2，0）代入解析式y =a(x −23)2+ℎ，则{49a +ℎ=1.5169a +ℎ=0， 解得{a =−98ℎ=2，∴此水流距离地面的最大高度为2米．26．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点（﹣1，n ），（2，p ）在二次函数y ＝﹣x 2+bx +2的图象上． （1）当n ＝p 时，求b 的值；（2）当（2﹣n ）（n ﹣p ）＞0，求b 的取值范围．解：（1）把点（﹣1，n ），（2，p ）代入y ＝﹣x 2+bx +2中得，n ＝﹣1﹣b +2，p ＝﹣4+2b +2， ∵n ＝p ，∴﹣1﹣b +2＝﹣4+2b +2，解得b＝1；（2）把点（﹣1，n），（2，p）代入y＝﹣x2+bx+2中得，n＝﹣1﹣b+2，p＝﹣4+2b+2，∴（2﹣n）（n﹣p）＝（2+1+b﹣2）（﹣1﹣b+2+4﹣2b﹣2）＝﹣3b2+3＞0，解得﹣1＜b＜1，故b的取值范围为﹣1＜b＜1．27．（7分）直线MO是线段AB的垂直平分线，垂足为点O，点C是直线OM上一点，连接AC．以AC为斜边作等腰直角△ACD，连接OD．（1）如图1，若CO＝AB，求∠AOD的度数；（2）如图2所示，点E是射线MO上一点，且CE＝AB，连接DE，延长DO至点F，使得OF＝OD，连接AF，根据题意补全图2，写出线段DE，AF之间的关系，并证明．解：（1）∵MO是AB的垂直平分线，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，AO＝BO，∵△ACD是等腰直角三角形，∴∠ADC＝90°＝∠AOC，∠CAD＝45°，∴点A，点O，点D，点C四点共圆，∴∠CAD＝∠COD＝45°，∴∠AOD＝135°；（2）DE＝AF，AF⊥DE，理由如下：如图2，连接DB，在△AOF 和△BOD 中，{AO =BO∠AOF =∠BOD OF =OD，∴△AOF ≌△BOD （SAS ），∴AF ＝BD ，∠DBO ＝∠F AO ，∴AF ∥DB ，∵△ACD 是等腰直角三角形，∴∠ACD +∠CAD ＝90°，∴∠ACO +∠DCO +∠CAD ＝90°，又∵∠ACO +∠CAD +∠DAO ＝90°，∴∠DCO ＝∠DAO ，在△ABD 和△CED 中，{AD =CD∠DAO =∠DCO AB =CE，∴△ABD ≌△CED （SAS ），∴BD ＝DE ，∠ADB ＝∠CDE ，∴AF ＝DE ，∠ADC ＝∠BDE ＝90°，∴BD ⊥DE ，∵AF ∥DB ，∴AF ⊥DE ．28．（9分）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，给出如下定义：作直线l 分别交AB ，AC 边于点M ，N ，点A关于直线l的对称点为A′，则称A′为等腰直角△ABC关于直线l的“直角对称点”．（点M可与点B重合，点N可与点C重合）（1）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（2，0），直线l：y＝kx+1，O′为等腰直角△AOB关于直线l的“直角对称点”．①当k＝﹣1时，写出点O′的坐标．（1，1）；②连接BO′，求BO′长度的取值范围；（2）⊙O的半径为10，点M是⊙O上一点，以点M为直角顶点作等腰直角△MPQ，其中MP＝2，直线l与MP、MQ分别交于E、F两点，同时M′为等腰直角△MPQ关于直线l的“直角对称点”，连接OM′，当点M在⊙O上运动时，直接写出OM′长度的最大值与最小值．解：（1）①如图2中，当k＝﹣1时，设直线y＝﹣x+1交y轴于点E，交x轴于点F．则E（0，1），F（1，0），∴OE＝OF＝1，∵A（0，2），B（2，0），∴OA＝OB＝2，∴AE＝OE，OF＝FB，∴EF是△AOB的中位线，∵△OEF，△OAB都是等腰直角三角形，∴点O关于EF的对称点O′在线段AB上，AO′＝BO′，∴O′（1，1）．故答案为：（1，1）；②如图3中，设直线y＝kx+1交y轴于E，则E（0，1），连接EB，在Rt△EOB中，OE＝1，OB＝2，∴EB=√12+22=√5，∵EO′＝EO＝1，∴√5−1≤BO′≤√5+1，又∵直线直线与x轴的交点只能在线段OB上，所以BO′的最大值只能取到2，∴√5−1≤BO′≤2，（2）如图4中，连接OM，作点M关于PQ的对称点M′，连接OM′，MM′．∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝MQ＝2，∴MM′＝2√2，∵OM＝10，∴10﹣2√2≤OM′≤10+2√2，∴OM′的最大值为10+2√2，OM′的最小值为10﹣2√2．。
北京市各区2021年中考模拟数学试题汇编：三角形解答(解析版)
北京市各区2021年中考模拟数学试题汇编：三角形解答1．（2021•海淀区校级模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥CD于点D，连接AD，在CD上截取CE，使CE＝BD，连接AE．（1）直接判断AE与AD的位置关系（2）如图2，延长AD，CB交于点F，过点E作EG∥AF交BC于点G，试判断FG与AB之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若，求EG的长．2．（2021•平谷区二模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，G是AB边上一点，过点G作射线CP，过点A作AM⊥CP于点M，过点B作BN⊥CP于点N．（1）求证：CM＝BN；（2）取AB中点O，连接OM、ON，依题意补全图，猜想线段BN、AM、OM的数量关系，并证明．3．（2021•顺义区二模）如图，C为∠AOB平分线上一点，CD∥OB交OA于点D．求证：OD＝CD．4．（2021•门头沟区二模）已知：如图，AB＝DE，AF＝DC，请补充一个条件可以得到BC＝EF．补充的条件：．5．（2021•房山区二模）如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∠D＝70°，求∠B的度数．6．（2021•丰台区二模）已知∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上（不与点O重合），且OA＞OB，OP平分∠MON，线段AB的垂直平分线分别与OP，AB，OM交于点C，D，E，连接CB，在射线ON上取点F，使得OF＝OA，连接CF．（1）依题意补全图形；（2）求证：CB＝CF；（3）用等式表示线段CF与AB之间的数量关系，并证明．7．（2021•西城区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为△ABC外一点，点P与点C位于直线AB异侧，且∠APB＝45°，过点C作CD⊥PA，垂足为D．（1）当∠ABP＝90°时，在图1中补全图形，并直接写出线段AP与CD之间的数量关系；（2）如图2，当∠ABP＞90°时，①用等式表示线段AP与CD之间的数量关系，并证明；②在线段AP上取一点K，使得∠ABK＝∠ACD，画出图形并直接写出此时的值．8．（2021•昌平区二模）如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是CA延长线上一点，点E是AB延长线上一点，且AD＝BE，过点A作DE的垂线交DE于点F，交BC的延长线于点G．（1）依题意补全图形；（2）当∠AED＝α，请你用含α的式子表示∠AGC；（3）用等式表示线段CG与AD之间的数量关系，并写出证明思路．9．（2021•石景山区一模）阅读下面材料：小石遇到这样一个问题：如图1，∠ABC＝90°，DE分别是∠ABC的边BA，BC上的动点（不与点B重合），∠ADE与∠DEC的角平分线交于点P，△DBE的周长为a，过点P作PM⊥BA于点M，PN⊥BC于点N，求PM+PN与△DBE的周长a的数量关系．小石通过测量发现了垂线段PM与PN的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：线段PM与PN的数量关系为；PM+PN与a的数量关系是．参考小石思考问题的方法，解决问题：如图2，当∠ABC＝60°时，其它条件不变，判断点P到DE的距离与△DBE的周长a的数量关系，并简要说明理由．10．（2021•门头沟区一模）已知，如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠E的度数．11．（2021•海淀区校级模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是射线CA，射线BC上的动点，且满足AD＝CE．连接DE，过点C作DE的垂线，垂足为F，CF交射线AB于点G．（1）如图1，当点D，E分别为线段AC，BC中点时，求证：DE＝CG；（2）如图2，当点D，E分别在线段AC与BC上运动时，用等式表示线段AG与BE的数量关系，并证明；（3）如图3，已知AC＝2，当点D，E分别在线段CA与BC的延长线上运动时，若DF＝4EF，直接写出此时线段CG的长．12．（2021•朝阳区模拟）在几何的证明中，经常可以通过“作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段”或者“过一点作已知直线的平行线，过一点作已知直线的垂线”的方式添加辅助线，解决问题．例如，证明“等腰三角形腰上的高与底边所夹的角等于顶角的一半”．即“已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB．求证：∠DCB ＝∠A”．证明的两种方法虽然不同，但总体思路基本一致．方法一如图，作∠BAC的平分线AE交BC于点E．通过作等角，利用等腰三角形“三线合一”的性质和“三角形内角和定理”，即可证明．方法二如图，过点C作射线CE交AB于点E，使∠DCE＝∠DCB，通过作等角，利用“全等三角形对应角相等”，“等腰三角形的两个底角相等”和“三角形内角和定理”即可证明．参考以上内容，求证“若三角形的两边不等，则大边同这边上的高的和，一定大于小边同这边上的高的和”．13．（2021•朝阳区校级模拟）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP＝α（0°＜α＜60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE．（1）依题意补全图形；（2）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；（3）直接写出∠AEB的度数；（4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明．14．（2021•西城区校级模拟）（1）小My同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a的等边三角形面积是（用含a的代数式表示）；（2）小My同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）？①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方是；②小My同学按下图切割方法将正方形ABCD剪拼成一个等边三角形EFG：M、N分别为AB、CD边上的中点，P、Q是边BC、AD上两点，G为MQ上一点，且∠MGP＝∠PGN＝∠NGQ＝60°．请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号；③正方形ABCD的边长为2，设BP＝x，则x2＝．15．（2021•北京模拟）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，CD＝AD，∠ADC＝60°，对角线BD 平分∠ABC交AC于点P．CE是∠ACB的角平分线，交BD于点O．（1）请求出∠BAC的度数；（2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由．16．（2020•西城区一模）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K是线段AD上的一个动点（与点A，D不重合），过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N．（1）依题意补全图1；（2）求证：NM＝NF；（3）若AM＝CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．17．（2021•北京模拟）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB 上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM 顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．18．（2021•海淀区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）判断AB与DF的数量关系并证明；（3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．19．（2021•房山区一模）已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝α，以BC为斜边作等腰Rt△BDC，使得A，D两点在直线BC的同侧，过点D作DE⊥AB于点E．（1）如图1，当α＝20°时，①求∠CDE的度数；②判断线段AE与BE的数量关系；（2）若45°＜α＜90°，线段AE与BE的数量关系是否保持不变？依题意补全图2，并证明．20．（2021•平谷区一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D 不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．参考答案1．【分析】（1）利用SAS定理证明△ACE≌△ABD，根据全等三角形的性质、垂直的定义证明结论；（2）过点B作BM⊥BD交DF于点M，证明△CEG≌△BMF，得到CG＝BF，进而证明FG＝BC，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案；（3）根据等腰直角三角形的性质求出DE，进而求出CD，证明△CEG∽△CDF，根据相似三角形的性质列出方程，解方程求出GE．【解答】解：（1）AE⊥AD；理由如下：∵∠BDF＝∠BAC＝90°，∠DFB＝∠AFC，∴∠DBA＝∠ACE，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠EAC＝∠BAD，∵∠BAE+∠EAC＝90°，∴∠BAE+∠BAD＝90°，即∠DAE＝90°，∴AE⊥AD；（2）FG＝AB，理由如下：过点B作BM⊥BD交DF于点M，∵△ACE≌△ABD，∴AE＝AD，∵AE⊥AD，∴∠ADE＝45°，∵BD⊥CD，∴∠BDM＝45°，∴△BDM为等腰直角三角形，∴BD＝BM，∴CE＝BM，∵EG∥AF，∴∠EGC＝∠MFB，∵∠FBM+∠ABD＝45°，∠GCE+∠ACE＝45°，∴∠FBM＝∠GCE，∴△CEG≌△BMF（AAS），∴CG＝BF，∴CG+BG＝BF+BG，∴FG＝BC，∵BC＝AB，∴FG＝AB；（3）∵AD＝AE＝2，△ADE为等腰直角三角形，∴DE＝AE＝2，∵CE＝，∴DC＝3，∵BD＝CE＝，∴DM＝BD＝2，∵△CEG≌△BMF，∴EG＝FM，设EG＝FM＝x，∴DF＝2+x，∵EG∥DF，∴△CEG∽△CDF，∴＝，即＝，解得，x＝1，∴EG＝1．2．【分析】（1）由题意补全图形，证明△ACM≌△CBN（AAS），由全等三角形的性质可得出CM＝BN．（2）连接OC，证明△OCM≌△OBN（SAS），由全等三角形的性质可得出OM＝ON，COM＝∠COM＝∠BON，由等腰直角三角形的性质得出MN＝OM，则可得出结论．【解答】解：（1）补全图形如图，证明：∵AM⊥CP，BN⊥CP，∴∠AMC＝∠BNC＝90°，∴∠ACM+∠CAM＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACM+∠BCN＝90°，∴∠CAM＝∠BCN，∵AC＝BC，∴△ACM≌△CBN（AAS），∴CM＝BN．（2）依题意补全图形如图，结论：AM+BN＝OM．证明：连接OC，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中点，∴OC＝OB，∠ACO＝∠CBO＝45°，∵△ACM≌△CBN，∴AM＝CN，∠OCM+∠ACO＝∠CBO+∠OBN，∴∠OCM＝∠OBN，∵CM＝BN，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM＝ON，COM＝∠COM＝∠BON，∵∠COM+∠MOB＝90°，∴∠BON+∠MOB＝90°，∴∠MON＝90°，∴MN＝OM，∴AM＝CN＝CM+MN＝BN+OM．3．【分析】由角平分线的性质可得∠AOC＝∠BOC，由两直线平行，内错角相等可得∠DCO ＝∠BOC，则∠AOC＝∠DCO，由等角对等边即可得解．【解答】证明：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵CD∥OB，∴∠DCO＝∠BOC，∴∠AOC＝∠DCO，∴OD＝CD．4．【分析】根据全等三角形的判定和性质，即可补充条件．【解答】解：补充条件：∠A＝∠D．证明过程：∵AF＝DC．∴AF+FC＝DC+CF．即：AC＝DF．在△ABC与△DEF中，．∴△ABC≌△DEF（SAS）．∴BC＝EF．故答案为：∠A＝∠D．5．【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出△ABC≌△ADC（SAS），进而利用全等三角形的性质得出答案．【解答】证明：在△ABC与△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴∠B＝∠D，∵∠D＝70°，∴∠B＝70°．6．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）过点C作CE垂直平分AB，CF⊥OP，垂足分别为D，C，根据线段的垂直平分线的性质得到CA＝CB，根据角平分线的定义得到∠AOC＝∠FOC，则可判断△AOC≌△FOC，从而得到CB＝CF；（3）证明∠ACB＝90°，结合（2）证明三角形ABC是等腰直角三角形，进而可得线段CF 与AB之间的数量关系．【解答】（1）解：如图即为补全的图形；（2）证明：连接CA，∵OP是∠MON的平分线，∴∠AOC＝∠FOC，在△AOC和△FOC中，，∴△AOC≌△FOC（SAS），∴CA＝CF，∵CD是线段AB的垂直平分线，∴CA＝CB，∴CB＝CF；（3）AB＝CF，证明：∵△AOC≌△FOC，∴∠CAO＝∠CFB，∵CF＝CB，∴∠CBF＝∠CFB，∴∠CAO＝∠CBF，∵∠CBF+∠CBO＝180°，∴∠CAO+∠CBO＝180°，∴∠AOB+∠ACB＝180°，∵∠AOB＝90°，∴∠ACB＝90°，∵CA＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝CB，∴AB＝CF．7．【分析】（1）首先画出图形，得出CD和CA重合，根据等腰直角三角形的性质即可求解；（2）①根据等腰直角三角形的性质，可得AP与AF的关系，根据相似三角形的判定与性质，可得AF与CD的关系，根据等量代换，可得答案；②延长CD、BK交于点Q，先证△AGC∽△QGB，据相似三角形的性质可得∠CAG＝∠Q＝45°，再证△QDK∽△PBK，据相似三角形的性质可得∠PBK＝∠QDK＝90°，根据等腰直角三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝45°，∴AB＝AC，∵∠ABP＝90°，∠APB＝45°，∴∠BAP＝45°，∴∠CAP＝∠CAB+∠BAP＝90°，∵CD⊥PA，∴CD和CA重合，∴AP＝AB，∴AP＝×AC＝2AC＝2CD；（2）①AP＝2CD，证明：过点A作AF⊥BP于点F，∵∠BPA＝45°，∴∠FAP＝∠FPA＝45°，∴＝，∴AP＝AF．∵∠ABF＝∠BAP+∠P＝∠BAP+45°，又∵∠CAD＝∠BAP+∠CAB＝∠BAP+45°，∴∠CAD＝∠FBA．又∵∠ADC＝∠AFB＝90°，∴△CAD∽△ABF，∴，∴AF＝CD，∴AP＝AF＝2CD；②延长CD、BK交于点Q，∵∠1＝∠2，∠ACG＝∠ABK，∴△AGC∽△QGB，∴∠CAG＝∠Q＝45°，∵∠P＝45°，∴∠Q＝∠P，∵∠3＝∠4，∴△QDK∽△PBK，∴∠PBK＝∠QDK＝90°，∵∠P＝45°，∴KP＝BP，∴．8．【分析】（1）依题意补全图形即可；（2）由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得AGC+∠CAG＝45°，再证∠CAG＝∠DAF＝α，即可求解；（3）过G作GH⊥AC交AC的延长线于H，则△CGH是等腰直角三角形，得CH＝GH，CG＝GH，设AB＝AC＝a，AD＝BE＝b，CH＝GH＝m，再证△ADE∽△HGA，得＝，得出m＝b，即可得出结论．【解答】解：（1）依题意补全图形如图1所示：（2）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠AGC+∠CAG＝∠ACB＝45°，∵∠AF⊥DE，∴∠AFE＝90°＝∠DAE，∴∠AED+∠EAF＝∠DAF+∠EAF＝90°，∴∠DAF＝∠AED＝α，∴∠CAG＝∠DAF＝α，∴∠AGC＝45°﹣α；（3）CG＝AD，证明思路如下：过G作GH⊥AC交AC的延长线于H，如图2所示：则∠GHA＝90°＝∠DAE，△CGH是等腰直角三角形，得CH＝GH，CG＝GH，设AB＝AC＝a，AD＝BE＝b，CH＝GH＝m，由（2）可知，∠AED＝∠HAG，则△ADE∽△HGA，得＝，即＝，整理得：am+bm＝ab+bm，则m＝b，故CG＝m＝b＝AD．9．【分析】过点P作PG⊥DE，垂足为G，由角平分线的性质得PM＝PG＝PN，根据HL得Rt △PNE≌Rt△PGE，Rt△PGD≌Rt△PMD，从而得到结论；连接BP，过P作PH⊥DE于H，根据全等三角形的判定与性质得DM＝DH，同理，PH＝PN，HE＝EN，然后根据特殊直角三角形的性质及三角函数关系可得答案．【解答】解：过点P作PG⊥DE，垂足为G，∵∠ADE与∠DEC的角平分线交于点P，PM⊥BA于点M，PN⊥BC于点N，∴PM＝PG＝PN，∠PNE＝∠PGE＝∠PGD＝∠PMD＝90°，∵PE＝PE，PD＝PD，∴Rt△PNE≌Rt△PGE（HL），Rt△PGD≌Rt△PMD（HL），∴MD＝GD，NE＝GE，∵△DBE的周长为a，∴PM+PN＝BD+DM+BE+EN＝BD+DG+BE+GE＝BD+BE+DE＝a．故答案为：PM＝PN，PM+PN＝a；解决问题：PH＝a．连接BP，过P作PH⊥DE于H，∵DP平分∠ADE，PM⊥BA，∴PM＝PH，∠MDP＝∠HDP，∴△PMD≌△PHD（AAS），∴DM＝DH，同理，PH＝PN，HE＝EN，∴PM＝PN，∵PM⊥BM，PN⊥BC，∴Rt△BMP≌Rt△BNP（HL），∴∠PBN＝∠PBM∠ABC＝30°，MB＝NB，∵MB+NB＝DB+DM+BE+EN＝PB+BE+DE＝a，∴MB＝NB＝，∴PM＝MB•tan30°＝a．10．【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝BC，∠ABC＝60°，根据“三线合一”得出∠DBC＝∠ABD＝30°，根据等腰三角形的性质得出即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵BD⊥AC，∴∠DBC＝∠ABD＝＝30°，∵DB＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°．11．【分析】（1）想办法证明CG＝AB，DE＝AB，可得结论．（2）结论：AG＝BE．如图2中，过点D作DH⊥AC交AB于H，连接CH．想办法证明CH＝DE，CH＝CG，可得结论．（3）设EF＝a，则DF＝4a，证明△CFE∽△DFC，可得CF2＝EF•DF，推出CF＝2a，推出tan∠D＝，由此求出EC，CD，DE可得结论．【解答】（1）证明：如图1中，∵D，E分别是AC，BC的中点，∴DE＝AB，DE∥AB，∵CG⊥DE，∴CG⊥AB，∴GA＝GB，∴CG＝AB，∴CG＝DE．（2）解：结论：AG＝BE．理由：如图2中，过点D作DH⊥AC交AB于H，连接CH．∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵AD⊥DH，∴∠ADH＝90°，∴∠A＝∠DHA＝45°，∴DA＝DH，∵AD＝CE，∴DH＝CE，∵CD＝DC，∠CDH＝∠DCE＝90°，∴△CDH≌△DCE（SAS），∴∠DCH＝∠CDE，DH＝CE，∵CG⊥DE，∴∠CDE+∠DCG＝90°，∠DCG+∠BCG＝90°，∴∠CDE＝∠BCG＝∠ACH，∵CA＝CB，∠A＝∠B＝45°，∴△ACH≌△BCG（ASA），∴AH＝BG，∵BG＝AH＝DH＝EC，AB＝BC，∴AG＝AB﹣BG＝BC﹣EC＝（BC﹣EC）＝BE．（3）解：如图3中，∵DF＝4EF，∴可以假设EF＝a，则DF＝4a，∵CF⊥DE，∠ECD＝90°，∴∠E+∠ECF＝90°，∠ECF+∠FCD＝90°，∴∠E＝∠FCD，∵∠CFE＝∠DFC＝90°，∴△CFE∽△DFC，∴CF2＝EF•DF，∴CF＝2a，∴tan∠D＝＝，∴＝，∴＝，∴EC＝2，CD＝4，∴DE＝＝＝2，∴CG＝DE＝2．12．【分析】先写出已知，求证，根据AAS证明△AFH≌△ACE，再根据全等三角形的性质和平行四边形判定与性质即可求解．【解答】解：已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，BD，CE分别为AB，AC边上的高．求证：AB+CE＞AC+BD．证明：如图，在AB上截取AF＝AC，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠AHF＝∠AEC＝90°，∠A＝∠A，AF＝AC，∴△AFH≌△ACE（AAS），∴FH＝CE，过点F作FG⊥BD于点G，∴四边形FGDH是平行四边形，∴FH＝GD，∴BF＝AB﹣AF＝AB﹣AC，BG＝BD﹣GD＝BD﹣CE，在Rt△BGF中，BF＞BG，∴AB﹣AC＞BD﹣CE，∴AB+CE＞AC+BD．13．【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）连接CD．根据线段AC和DC关于射线CP的对称，可得AC＝DC，∠ACE＝∠DCE＝α．根据△ABC是等边三角形，即可表示∠DBC的大小；（3）在BE上取点F，使∠FCE＝60°，连接CD，设AD与CP交于点H，根据已知条件证明△CBF≌△CAE（ASA），可得CF＝CE，得△CEF是等边三角形，进而可得∠AEB的度数；（4）根据△CBF≌△CAE，可得BF＝AE＝DE，根据△CEF是等边三角形，进而可得线段AE，BD，CE之间的数量关系．【解答】解：（1）依题意补全图形如下：（2）连接CD．∵线段AC和DC关于射线CP的对称，∴AC＝DC，∠ACE＝∠DCE＝α．∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°．∴BC＝DC，∠BCD＝60°+2α．∴．（3）∠AEB＝60°．理由如下：如图，在BE上取点F，使∠FCE＝60°，连接CD，设AD与CP交于点H，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°．∴∠ACB﹣∠ACF＝∠FCE﹣∠ACF，∴∠BCF＝∠ACE，∵点A和点D关于射线CP的对称，∴PC是AD的垂直平分线，∴AC＝DC，AE＝DE，∠ACE＝∠DCE＝α．∴∠CAD＝∠CDA，∠EAD＝∠EDA，∴∠CAE＝∠CDE，∵BC＝AC＝DC，∴∠CBF＝∠CDE，∴∠CBF＝∠CAE，在△CBF和△CAE中，，∴△CBF≌△CAE（ASA），∴CF＝CE，∵∠FCE＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠CEF＝60°，∴∠AEH＝∠DEH＝∠CEF＝60°，∴∠AEB＝180°﹣∠AEH﹣∠CEF＝180°﹣60°﹣60°＝60°；（4）结论：BD＝2AE+CE．理由如下：由（1）知，AE＝DE，∵△CBF≌△CAE，∴BF＝AE，∴BF＝AE＝DE，∵△CEF是等边三角形，∴CE＝EF，∴BD＝BF+FE+ED＝CE+2AE．14．【分析】（1）如图1，过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得到BD＝CD＝BC＝BC ＝a，由勾股定理得到AD＝＝＝a，于是得到S△ABC •AD＝a2；（2）①根据三角形的面积公式即可得到结论；②补全图形如图2所示；③由题意知，PG＝PE，GN＝NF，推出PN是△GEF的中位线，得到PN＝EF，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）如图，过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴BD＝CD＝BC＝a，∴AD＝＝＝a，＝BC•AD＝a2；∴S△ABC（2）①∵边长为2的正方形的面积＝4，∴剪拼成的等边三角形的面积＝4，∴a2＝4，∴a2＝，即该三角形边长的平方是；②补全图形如图2所示；③由题意知，PG＝PE，GN＝NF，∴PN是△GEF的中位线，∴PN＝EF，∵N为AB边上的中点，∴BN＝AB＝1，∵边长为2的正方形的面积＝4，∴剪拼成的等边三角形的面积＝4，∴a2＝4，∴a2＝，即△GEF边长的平方是，∴EF＝，∴PN＝，∵PN2＝BN2+BP2，∴＝+1+x2，∴x2＝﹣1；故答案为：（1）a2；（2）①；③﹣1；15．【分析】（1）证明△ACD为等边三角形，可得出∠ACD＝60°，则∠BAC＝∠ACD＝60°；（2）在BC上截取BF＝BE，证明△BEO≌△BFO，可得∠BOE＝∠BOF，证明△CPO≌△CFO，得出CP＝CF，则BC＝BE+CP可得出．【解答】（1）解：∵CD＝AD，∠ADC＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝60°；（2）证明：在BC上截取BF＝BE，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠OBF，∵OB＝OB，∴△BEO≌△BFO（SAS），∴∠BOE＝∠BOF，∵∠BAC＝60°，CE是∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB＝60°，∴∠POC＝∠BOE＝60°，∴∠COF＝60°，∴∠COF＝∠POC，又∵OC＝OC，∠OCP＝∠OCF，∴△CPO≌△CFO（ASA），∴CP＝CF，∴BC＝BF+CF＝BE+CP．16．【分析】（1）根据题意补全图1即可；（2）根据等腰三角形的性质得到AP＝AQ，求得∠APQ＝∠Q，求得∠MFN＝∠Q，同理，∠NMF＝∠APQ，等量代换得到∠MFN＝∠FMN，于是得到结论；（3）连接CE，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝AQ，求得∠PAC＝∠QAC，得到∠CAQ ＝∠QBD，根据全等三角形的性质得到CP＝CF，求得AM＝CF，得到AE＝BE，推出直线CE 垂直平分AB，得到∠ECB＝∠ECA＝45°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）依题意补全图1如图所示；（2）∵CQ＝CP，∠ACB＝90°，∴AP＝AQ，∴∠APQ＝∠Q，∵BD⊥AQ，∴∠QBD+∠Q＝∠QBD+∠BFC＝90°，∴∠Q＝∠BFC，∵∠MFN＝∠BFC，∴∠MFN＝∠Q，同理，∠NMF＝∠APQ，∴∠MFN＝∠FMN，∴NM＝NF；（3）连接CE，∵AC⊥PQ，PC＝CQ，∴AP＝AQ，∴∠PAC＝∠QAC，∵BD⊥AQ，∴∠DBQ+∠Q＝90°，∵∠Q+∠CAQ＝90°，∴∠CAQ＝∠QBD，∴∠PAC＝∠FBC，∵AC＝BC，∠ACP＝∠BCF，∴△APC≌△BFC（AAS），∴CP＝CF，∵AM＝CP，∴AM＝CF，∵∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠EAB＝∠EBA，∴AE＝BE，∵AC＝BC，∴直线CE垂直平分AB，∴∠ECB＝∠ECA＝45°，∴∠GAM＝∠ECF＝45°，∵∠AMG＝∠CFE，∴△AGM≌△CEF（ASA），∴GM＝EF，∵BN＝BE+EF+FN＝AE+GM+MN，∴BN＝AE+GN．17．【分析】（1）根据题意画出图形．（2）由旋转可得∠MPN＝150°，故∠OPN＝150°﹣∠OPM；由∠AOB＝30°和三角形内角和180°可得∠OMP＝180°﹣30°﹣∠OPM＝150°﹣∠OPM，得证．（3）根据题意画出图形，以ON＝QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP＝∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM＝PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD＝NC，DM＝CP．此时加上ON＝QP，则易证得△OCN≌△QDP，所以OC＝QD．利用∠AOB＝30°，设PD＝NC＝a，则OP＝2a，OD＝a．再设DM＝CP＝x，所以QD＝OC＝OP+PC＝2a+x，MQ＝DM+QD＝2a+2x．由于点M、Q关于点H对称，即点H为MQ中点，故MH＝MQ＝a+x，DH＝MH﹣DM＝a，所以OH＝OD+DH＝a+a＝+1，求得a＝1，故OP＝2．证明过程则把推理过程反过来，以OP＝2为条件，利用构造全等证得ON＝QP．【解答】解：（1）如图1所示为所求．（2）设∠OPM＝α，∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN＝150°，PM＝PN∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α∵∠AOB＝30°∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α∴∠OMP＝∠OPN（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下：过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°∵∠AOB＝30°，OP＝2∴PD＝OP＝1∴OD＝∵OH＝+1∴DH＝OH﹣OD＝1∵∠OMP＝∠OPN∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN即∠PMD＝∠NPC在△PDM与△NCP中∴△PDM≌△NCP（AAS）∴PD＝NC，DM＝CP设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1 ∵点M关于点H的对称点为Q∴HQ＝MH＝x+1∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x∴OC＝DQ在△OCN与△QDP中∴△OCN≌△QDP（SAS）∴ON＝QP18．【分析】（1）由题意画出图形，如图所示；（2）由“SAS”可证△AEC≌△DEF，可得AC＝DF＝AB；（3）由题意可得点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，点G在以点F为圆心，FB为半径的圆上，则两圆的交点为G，由“SSS”可证△ABF≌△DFG，可得∠BAF＝∠FDG＝140°，即可求解．【解答】解：（1）如图所示：（2）AB＝DF，理由如下：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵C关于点E的对称点为F，∴CE＝EF，又∵∠AEC＝∠FED，∴△AEC≌△DEF（SAS），∴AC＝DF，∵AB＝AC，∴AB＝DF；（3）如图2，连接AF，∵AE＝DE，CE＝EF，∴四边形ACDF是平行四边形，∴∠ACM+∠CAF＝180°，AF＝CD，DF＝AC＝AB，∴∠CAF＝100°＝∠CDF，∴∠BAF＝140°，∵DG＝DC，∴点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，∵FG＝FB，∴点G在以点F为圆心，FB为半径的圆上，∴两圆的交点为G，∵AB＝DF，AF＝DG，FB＝FG，∴△ABF≌△DFG（SSS），∴∠BAF＝∠FDG＝140°，∴∠CDG＝40°，同理可证△ABF≌△DFG'，∴∠BAF＝∠G'DF＝140°，∴∠CDG'＝360°﹣100°﹣140°＝120°，综上所述：∠CDG＝40°或120°．19．【分析】（1）①由余角的性质可求∠CDE＝∠DBE＝25°；②通过证明点A，点C，点B，点H四点共圆，由垂径定理可得AE＝BE；（2）通过证明点A，点B，点C，点H四点共圆，由垂径定理可得AE＝BE．【解答】解：（1）①∵∠CDB＝90°，CD＝DB，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∴∠DBE＝∠DBC﹣∠ABC＝25°，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠CDB，∴∠CDE+∠EDB＝∠EDB+∠ABD＝90°，∴∠CDE＝∠DBE＝25°；②AE＝BE，理由如下：如图1，延长BD至H，使BD＝DH，连接CH，∵BD＝DH，CD⊥BD，∴CH＝BC，∴∠CHB＝∠CBH＝45°，∴∠A＝∠CHB＝45°，∠HCB＝90°，∴点A，点C，点B，点H四点共圆，∵∠HCB＝90°，∴BH是直径，D是圆心，∵DE⊥AB，∴AE＝BE；（2）不变，理由如下：如图2，延长BD至H，使BD＝DH，连接CH，∵BD＝DH，CD⊥BD，∴CH＝BC，∴∠CHB＝∠CBH＝45°，∴∠A＝∠CHB＝45°，∠HCB＝90°，∴点A，点B，点C，点H四点共圆，∵∠HCB＝90°，∴BH是直径，D是圆心，∵DE⊥AB，∴AE＝BE．20．【分析】（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论；（2）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．【解答】解：（1）结论：AC＝EF+FC，理由如下：过D作DH⊥CB于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，，∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∠B＝45°，∴DH＝HB＝EF，∴AC＝BC＝CH+BH＝FC+EF；（2）依题意补全图形，结论：EF＝FC+AC，理由如下：过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，，∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∠B＝45°，∴DH＝HB＝EF，∴EF＝CH+BC＝FC+AC．。
2023年北京中考数学重难题型专题02以三角形为载体的几何压轴问题(真题模考题共34题)练习版
2023中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用）专题02以三角形为载体的几何压轴问题（北京真题+模拟共34题）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢北京市中考的倒数第二道大题多数是已三角形为载体的几何综合问题，主要涉及特殊的三角形及相似三角形，这类问题的解决要熟知知各种图形的性质与判定，并且这类题目的解决有时还需要全等三角形和相似三角形、勾股定理、方程思想与分类讨论的相关知识，因此能熟练应用各种知识是解决此类问题的关键.常用到的三角形的知识有：（1）涉及全等问题解题要领：①探求两个三角形全等的条件：SSS，SAS，ASA，AAS及HL，注意挖掘问题中的隐含等量关系，防止误用“SSA”；②掌握并记忆一些基本构成图形中的等量关系；③把握问题中的关键，通过关键条件，发现并添加辅助线．（2）涉及到计算边的关系解题要领：①线段的垂直平分线常常用于构造等腰三角形；②在直角三角形中求边的长度，常常要用到勾股定理；③根据三角形的三边长度，利用勾股定理的逆定理可判断其为直角三角形；④已知直角三角形斜边的中点，考虑运用直角三角形斜边上中线的性质；⑤直角三角形斜边上中线的性质存在逆定理．（3）涉及角平分线问题的解题要领：①已知角的平分线及角平分线上的点到角一边的垂线段，考虑用角平分线的性质；②角平分线的性质常常与三角形的面积相结合．解题要领：（4）涉及到直角三角形方面的解题要领：①已知直角三角形及其锐角求线段长度时，运用锐角三角函数是最常用的方法；②通过等腰三角形的性质，特殊平行四边形的性质及圆的性质构建直角三角形，再运用锐角三角函数求解；③熟记特殊直角三角形的三边关系：30°角的直角三角形的三边的比为1∶∶2，等腰直角三角形的三边关系为1∶1∶；④锐角三角函数也常常作为相似三角形中，求对应边的比值的补充．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例1】（2021·北京·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α,M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE,DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．6．（2022·北京·中考真题）在△ABC中，∠ACB=90∘，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE=DC.(1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF，若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2，若AB2=AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2013·北京·中考真题）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．2．（2017·北京·中考真题）在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.（1）若∠P AC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）.（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.3．（2019·北京·中考真题）已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P 为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP=∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．4．（2020·北京·中考真题）在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a,BF=b，求EF的长（用含a,b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点P为射线BC 上一动点（不与点B、C重合），以点P为中心，将线段PC逆时针旋转α角，得到线段PQ，连接AP、BQ、M为线段BQ的中点．(1)若点P在线段BC上，且M恰好也为AP的中点，的值；①依题意在图1中补全图形：②求出此时α的值和BPPC(2)写出一个α的值，使得对于任意线段BC延长线上的点P，总有AP的值为定值，并证明；PM2．（2022·北京房山·二模）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，过点A作AE∥DC交BC边于点E，过点E作EF∥AB交CD边于点F，连接AF，过点C作CH∥AF交AE于点H，连接BH．(1)求证：△ABH≌△EAF；(2)如图2，若BH的延长线经过AF的中点M，求BE的值．EC3．（2022·北京东城·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠CAB=2α，在△ABC的外侧作直线AP(90°−a<∠PAC<180°−2a)，作点C关于直线AP的对称点D，连接AD,BD,BD交直线AP于点E．(1)依题意补全图形；(2)连接CE，求证：∠ACE=∠ABE；(3)过点A作AF⊥CE于点F，用等式表示线段BE,2EF,DE之间的数量关系，并证明．4．（2022·北京·二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连接CD，点P 在射线CB上（与B，C不重合）(1)如果∠A=30°①如图1，DE与BE之间的数量关系是______②如图2，点P在线段CB上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论．(2)如图3，若点P在线段CB的延长线上，且∠A=α(0°<α<90°)，连接DP，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．5．（2022·北京密云·二模）如图，在等边△ABC中，点D在BA的延长线上，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B重合），将线段PD绕点P逆时针旋转60°得到线段PE，连接BE和DE．(1)依据题意，补全图形；(2)比较∠BDE与∠BPE的大小，并证明；(3)用等式表示线段BE、BP与BD之间的数量关系，并证明．6．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与CB′的位置关系是______，若BC=a，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．7．（2022·北京门头沟·二模）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，D是BC的中点，过点C作CE⊥AD，交AD 于点E，交AB于点F，作点E关于直线AC的对称点G，连接AG和GC，过点B作BM⊥GC交GC的延长线于点M．(1)①根据题意，补全图形；②比较∠BCF与∠BCM的大小，并证明．(2)过点B作BN⊥CF交CF的延长线于点N，用等式表示线段AG，EN与BM的数量关系，并证明．8．（2022·北京顺义·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P，D为射线AB上两点（点D在点P的左侧），且PD=BC，连接CP．以P为中心，将线段PD逆时针旋转n°(0<n<180)得线段PE．(1)如图1，当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值；(2)当n=135°时，M为线段AE的中点，连接PM．①在图2中依题意补全图形；②用等式表示线段CP与PM之间的数量关系，并证明．9．（2022·北京北京·二模）在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，D是AB的中点，E为边AC上一动点（不与点A，C重合），连接DE，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，过点F作FH⊥DE于点H，交射线BC于点G．(1)如图1，当AE<EC时，比较∠ADE与∠BFG的大小；用等式表示线段BG与AE的数量关系，并证明；(2)如图2，当AE>EC时，依题意补全图2，用等式表示线段DE,CG,AC之间的数量关系．10．（2022·北京四中模拟预测）已知，点B是射线AP上一动点，以AB为边作△ABC，∠BCA=90°，∠A=60°，将射线BC绕点B顺时针旋转120°，得到射线BD，点E在射线BD上，BE+BC=m．(1)如图1，若BE=BC，求CE的长（用含m的式子表示）；(2)如图2，点F在线段AB上，连接CF、EF．添加一个条件：AF、BC、BE满足的等量关系为______，使得EF=CF 成立，补全图形并证明．11．（2022·北京昌平·二模）如图，已知∠MON=α(0°<α<90°)，OP是∠MON的平分线，点A是射线OM上一点，点A关于OP对称点B在射线ON上，连接AB交OP于点C，过点A作ON的垂线，分别交OP，ON于点D，E，作∠OAE的平分线AQ，射线AQ与OP，ON分别交于点F，G．(1)①依题意补全图形；②求∠BAE度数；（用含α的式子表示）(2)写出一个α的值，使得对于射线OM上任意的点A总有OD=√2AF（点A不与点O重合），并证明．12．（2022·北京海淀·二模）已知AB = BC，∠ABC = 90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC 重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E．(1)如图1，当45°＜∠ABD＜90°时，①求证：CE +DE =AD；②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；(2)在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长．13．（2022·北京市十一学校二模）如图，已知∠AOB=60°，点P为射线OA上的一个动点，过点P作PE⊥OB，交OB于点E，点D在∠AOB内，且满足∠DP A=∠OPE，DP+PE=5．(1)当DP=PE时，求DE的长；(2)在点P的运动过程中，请判断射线OA上是否存在一个定点M，使得DM的值不变？并证明你的判断．ME14．（2022·北京平谷·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线CD，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截取EF＝EC，连接BF交CD于G．(1)依题意补全图形；(2)求证：∠CAE＝∠BCD；(3)判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明．15．（2022·北京房山·一模）已知：等边△ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D．(1)如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；①求证：∠BDP=∠PCB；②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数里关系，并证明；(2)点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．16．（2022·北京市第一六一中学分校一模）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM．(1)如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM//BD；(2)如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．17．（2022·北京·二模）如图，在等边ΔABC中，点D是边BC的中点，点E是直线BC上一动点，将线段AE绕点E逆时针旋转60°，得到线段EG，连接AG，BG．(1)如图1，当点E与点D重合时．①依题意补全图形；②判断AB与EG的位置关系；(2)如图2，取EG的中点F，写出直线DF与AB夹角的度数以及FD与EC的数量关系，并证明．18．（2022·北京朝阳·一模）在△ABC中，D是BC的中点，且∠BAD≠90°，将线段AB沿AD所在直线翻折，得到线段AB′，作CE∥AB交直线AB′于点E．(1)如图，若AB>AC，①依题意补全图形；②用等式表示线段AB,AE,CE之间的数量关系，并证明；(2)若AB<AC，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段AB,AE,CE之间新的数量关系（不需证明）．19．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作PQ⊥AP交CD边于点Q．(1)求证：PA=PQ；(2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明；(3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为（直接写出答案）．20．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°．D为边BC上一动点，点E在边AC上，CE=CD．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF．(1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；(2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．21．（2022·北京西城·一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转α（0°<α<90°），得到线段BE，连接EA，EC．(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE 的面积为______；(2)当点E在正方形ABCD的外部时，①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．22．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：如图所示△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE（其中点B与点D对应）．(1)如图1，点B关于直线AC的对称点为B′，求线段B′E与CD的数量关系；(2)当α=32°时，射线CB与射线ED交于点F，补全图2并求∠AFD．23．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM ＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．(1)依题意补全图形；(2)判断AB与DF的数量关系并证明；(3)平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．24．（2022·北京朝阳·模拟预测）如图①，Rt△ABC和Rt△BDE重叠放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．(1)观察猜想：图①中线段AD与CE的数量关系是，位置关系是；(2)探究证明：把△BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，连接AD，CE，判断线段AD与CE的数量关系和位置关系如何，并说明理由；(3)拓展延伸：若BC＝√5，BE＝1，当旋转角α＝∠ACB时，请直接写出线段AD的长度．25．（2022·北京市师达中学模拟预测）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．（1）依题意补全图1；（2）直接写出∠FBE的度数；（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．26．（2012·北京顺义·中考模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为．②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由；（2）如图4，如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．27．（2015·北京·模拟预测）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝√2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．28．（2021·北京·二模）在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=α (0°＜α＜60°)．点P是△ABC内一动点，连接AP，BP，将△APB绕点A逆时针旋转α，使AB边与AC重合，得到△ADC，射线BP与CD或CD延长线交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1和图2；由作图知，∠BAP与∠CAD的数量关系为；（2）探究∠ADM与∠APM的数量关系为；（3）如图1，若DP平分∠ADC，用等式表示线段BM，AP，CD之间的数量关系，并证明．。
北京市2023年九年级中考数学一轮复习——解直角三角形 练习题(解析版)
北京市2023年九年级中考数学一轮复习——解直角三角形 练习题一、单选题1．（2022·北京石景山·一模）如图，△ABC 中，AC =D ，E 分别为CB ，AB 上的点，1CD =，2AD BD ==，若AE EB =，则DE 的长为（ ）AB ．2CD ．12．（2022·北京市十一学校模拟预测）如图1，在平行四边形ABCD 中，=60B ∠︒，2BC AB =，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB 运动到点B 停止，同时动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位的速度沿折线B C D --运动到点D 停止．图2是点P 、Q 运动时，BPQ 的面积S 与运动时间t 函数关系的图象，则a 的值是（ ）A ．B ．C ．6D ．123．（2022·北京房山·一模）将宽为2 cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕AB 的长是( )A B ．C ．4cm D 4．（2022·北京·清华附中一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，如果AC=3，AB=5，那么sinB 等于（ ）A．35B．45C．34D．435．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（）A．34B．35C．45D．536．（2020·北京昌平·二模）如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK 与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）A．B． C．D．7．（2020·北京海淀·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是（）A．AB和CD B．AB和EF C．CD和GH D．EF和GH8．（2020·北京市第三十五中学模拟预测）把Rt ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的13C．扩大为原来的9倍D．不变9．（2020·北京市第一零一中学温泉校区一模）某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况，如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°．若直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为（）A．200 米B．（C．600 米D．（10．（2020·北京·北外附中模拟预测）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=34，则线段AB的长为（）A B．C．5 D．10二、填空题11．（2022·北京门头沟·一模）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，是市民周末休闲的好去处．如图，如果该摩天轮的直径为88米，最高点A距地面100米，匀速运行一圈所需的时间是18分钟．但受周边建筑物影响，如果乘客与地面距离不低于34米时为最佳观景期，那么在摩天轮运行的一圈中最佳观景的时长为________分钟．12．（2022·北京市第七中学一模）如图，点P 在线段BC 上，AB BC ⊥，DP AP ⊥， CD DP ⊥，如果10BC =，2AB =， 1tan 2C =，那么 DP 的长是 _____ ．13．（2022·北京朝阳·模拟预测）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB 的长为______m ．（结果保留根号）14．（2022·北京一七一中一模）在如图所示的正方形网格中，∠1__∠2．（填“＞”，“＝”，“＜”）15．（2022·北京·清华附中一模）2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角∠CED 为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD ＝_____（m ）．16．（2021·北京·101中学三模）如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则sin ∠ACB 的值为 __________________．17．（2021·北京朝阳·二模）利用热气球探测建筑物高度（如图所示），热气球与建筑物的水平距离AD =100m ，则这栋建筑物的高度BC 约为_____m 1.7≈≈，结果保留整数）．18．（2021·北京石景山·一模）如图，小石同学在A B ，两点分别测得某建筑物上条幅两端C D ，两点的仰角均为60︒，若点,,O A B 在同一直线上，A B ，两点间距离为3米，则条幅的高CD 为_________米（结果可以保留根号）三、解答题19．（2021·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，90ACB CAD ∠=∠=︒，点E 在BC 上，//,AE DC EF AB ⊥，垂足为F ．（1）求证：四边形AECD 是平行四边形；（2）若AE 平分4,5,cos 5BAC BE B ∠==，求BF 和AD 的长．20．（2021·北京·中考真题）计算：02sin60(5π--．21．（2020·北京·中考真题）计算：11()|2|6sin 453---︒ 22．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图，菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，过点B 作BE BD ⊥，且BE OC =，连接CE ．(1)求证：四边形OCEB 是矩形；(2)连接DE ，当5AB =，3sin 5CAB ∠=，求tan BDE ∠的值． 23．（2022·北京市第十九中学三模）如图，在四边形ABCD 中，90ACB CAD ∠=∠=︒，AD BC =，点E 在BC 延长线上，AE 与CD 交于点F ．(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形；(2)若AE 平分BAD ∠，13AB =，5cos 13B =，求AD 和CF 的长． 24．（2022·北京房山·二模）已知：如图，在四边形ABCD 中，,AB DC AC BD ⊥∥，垂足为M ，过点A 作(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)若48,sin5AC ABD=∠=，求BD的长．25．（2022·北京朝阳·112sin4522-⎛⎫- ⎪⎝⎭．26．（2022·北京平谷·二模）如图，在□ABCD中，连接AC，点E是AB中点，点F是AC的中点，连接EF，过E作EG∥AF，交DA的延长线于点G．(1)求证：四边形AGEF是平行四边形；(2)若3sin5G∠=，10AC=，12BC=，连接GF，求GF的长．27．（2022·北京丰台·二模）计算：(032sin458π--+++28．（2022·北京密云·二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC平分BAD∠，点E为AD边中点，过点E 作AC的垂线交AB于点M，交CB延长线于点F．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；(2)若2FB=，3sin5F=，求AC的长．29．（2022·北京东城·二模）如图，在平行四边形ABCD中，DB DA=，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若DC=tan3DCB∠=，求菱形AEBD的边长．参考答案：1．D【分析】先根据ACD ∆三边长判断各角的度数，然后利用等腰三角形“三线合一”求出90AED ∠=︒，再ACD AED ∆∆≌，最后根据全等三角形的性质求出DE 的长．【详解】解：△ABC 中，AC =1CD =，2AD =， ()222312+= ，222AC CD AD ∴+= ，90C ∴∠=︒ ，1sin 2CD CAD AD ∴∠==， 30CAD ∴∠=︒，60ADC ∠=︒，2AD BD ==， AE EB =，,DE AB DAB B ∴⊥∠=∠，90AED C ∴∠=∠=︒260ADC DAB B DAB ∠=∠+∠=∠=︒，30DAB CAD ∴∠=∠=︒，又AD AD =，()ACD AED AAS ∴∆∆≌，1DE CD ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据特殊三角函数值求解度，三角形外角的性质，根据三角形三边确定三角形各角的度数是解本题的关键．2．B 【分析】根据题意计算得6AB =；再结合题意，得当动点Q 在BC 上时，BPQ 的面积S 随运动时间t 变化呈现二次函数关系；当动点Q 在CD 上时，BPQ 的面积S 随运动时间t 变化呈现一次函数关系，从而得a 对应动点Q 和点C 重合；通过计算BPC S △，即可得到答案．【详解】解：∵动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB 运动到点B 停止，一共用6秒钟， ∴AB =1×6=6，∵22612BC AB ==⨯=，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB =CD =6，当动点Q 在BC 上时，BPQ 的面积S 随运动时间t 变化呈现二次函数关系，当动点Q 在CD 上时，BPQ 的面积S 随运动时间t 变化呈现一次函数关系，∴a 对应动点Q 和点C 重合，如图：∵动点Q 以每秒4个单位的速度从点B 出发，∴412t =，∴3t =，∴3AP t ==，∴6-3=3BP AB AP =-=，如图，过点C 作CE AB ⊥，交AB 于点E ，∴sin 12CE BC B =⨯∠==∴11322BPC S BP CE =⨯⨯=⨯⨯=a = 故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形、函数图像，二次函数、一次函数、三角函数,与三角形高有关的计算等知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、三角函数的性质，从而完成求解．3．A【分析】由图中条件可知纸片重叠部分的三角形ABO 是等边三角形，此三角形的高是AM=2，求边长，利用锐角三角函数可求．【详解】解：如图，作AM ⊥OB ，BN ⊥OA ，垂足为M 、N ，∵长方形纸条的宽为2cm ，∴AM=BN=2cm ，∴OB=OA ，∵∠AOB=60°，∴△AOB 是等边三角形，在Rt △ABN 中，AB=sin 60BN =． 故选A ．【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定及解直角三角形的运用．关键是由已知推出等边三角形ABO ，有一定难度．4．A【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinB 的值．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5， ∴sinB=3.5AC AB = 故选A ．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．5．C 【详解】分析：先根据扇形的面积公式S=12L•R 求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可． 详解：设圆锥的母线长为R ，由题意得15π=π×3×R ，解得R=5，∴圆锥的高为4，∴sin ∠ABC=45． 故选C ．点睛：本题考查了圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比．6．A【分析】根据题意可证出DFC △是直角三角形，利用直角三角形的边角关系用x 表示出CF 、DF ，最后利用三角形的面积公式可知y 与x 的函数关系图像是开口向上的二次函数，观察选项图像即可得出答案．【详解】解：由题可知，等边三角形ABC 的边长为2．∵ME ⊥AB ，=60B ∠︒， ∴BED 是直角三角形，90BED ∠=︒，=60B ∠︒，30BDE ∠=︒，∵BE x =，∴2BD x =，22CD x =-．又∵ DK ⊥BC ，∠MDK =∠FDK ，∴30BDE CDF ∠=∠=︒．∵60C ∠=︒，∴90DFC ∠=︒，∴DFC △是直角三角形， ∴122122x CF CD x -===-，∴cos cos30DF CDF DC ==︒=∠∴2)DF DC x ==-=，∴11)(1)22y DF CF x =⨯⨯=-，即2y x =则y 与x 的函数关系图像是开口向上的二次函数，且过点． 故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，从图形的面积公式入手，用自变量表示边的长度，直接代入公式求出因变量与自变量的函数关系是解题的关键．7．D【分析】如图，当点M 在线段AB 上时，连接OM ．根据正弦函数，余弦函数的定义判断sinα，cosα的大小．当点M 在EF 上时，作MJ ⊥OP 于J ．判断sinα，cosα的大小即可解决问题．【详解】如图，当点M 在线段AB 上时，连接OM ．∵sinα=PM OM ，cosα=OP OM，OP ＞PM ， ∴sin α＜cosα，同法可证，点M 在CD 上时，sinα＜cosα，如图，当点M 在EF 上时，作MJ ⊥OP 于J ．∵sinα=MJOM，cosα=OJOH，OJ＜MJ，∴sinα＞cosα，同法可证，点M在GH上时，sinα＞cosα，故选：D．【点睛】考查了正方形的性质和解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．D【分析】根据相似三角形的性质解答．【详解】三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：D．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．9．B【分析】在Rt△ACD中，由tan∠A＝CDAD，可知200tan tan30CDADA====∠︒，在Rt△BCD中，由∠B＝45°知BD＝CD＝200米，根据AB＝AD+BD可得答案．【详解】解：由题意知，∠A＝30°，∠B＝45°，CD＝200米，在Rt△ACD中，∵tan∠A＝CD AD，∴200tan tan30CDADA====∠︒，在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝200米，∴AB＝AD+BD＝（米），故选：B．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握解直角三角形的应用-仰角俯角问题是解题的关键.10．C【详解】分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．详解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，∴∠AOB=90°，∵BD=8，∴OB=4，∵tan∠ABD=34AOOB =，∴AO=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：，故选C．点睛：本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．11．12【分析】先计算出圆的底端距离地面的距离为12，从而得到圆的底部到弦的距离为22，从而计算出弦所对的圆心角，用弧长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可．【详解】解：如下图所示，根据题意，得OC =44，CD =AD -AC =100-88=12，ED =34，∴CE =ED -CD =34-12=22，∴OE =OC -CE =44-22=22，在直角三角形OEF 中，sin ∠OFE =OE OF =221442， ∴∠OFE =30°，∴∠FOE =60°，∴∠FOB =120°，∴24041803R R FAB ππ==， ∵圆转动的速度为2189RR ππ， ∴最佳观赏时长为43R π÷9R π=12（分钟）， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角函数，解题的关键是熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数．12 【分析】由已知条件，根据同角的余角相等得APB C ∠=∠，根据1tan 2C =得1tan 2AB APB BP ==∠，求出4BP =，得出6PC =，利用1tan 2C =和勾股定理即可得DP 的长． 【详解】解：∵AB BC ⊥，DP AP ⊥，CD DP ⊥，∴90B APD PDC ∠=∠=∠=︒，90C DPC ∠+∠=︒，90APB DPC ∠+∠︒=，∴APB C ∠=∠， ∵1tan 2C =， ∴1tan tan 2AB APB C BP ===∠， ∵2AB =，10BC =，∴4BP =，6PC =，设DP 的长是x ， ∵1tan 2DP C CD ==， ∴22CD DP x ==，∴222PC DP CD =+，即()22262x x =+，解得x =，【点睛】本题考查三角函数-正切，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．13． 1.6) 【分析】如图（见解析），先在Rt BCF 中，解直角三角形可求出CF 的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得DE 的长，从而可得CE 的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】如图，过A 作//AE BF ，交DF 于点E ，则四边形ABFE 是矩形,5,AB EF AE BF m AE EF ∴===⊥由图中数据可知， 3.4CD m =，30CBF ∠=︒，45DAE =︒∠，90F ∠=︒在Rt BCF 中，tan CF CBF BF ∠=，即tan 305CF =︒解得)CF m = ,45AE EF DAE ⊥∠=︒Rt ADE ∴是等腰三角形5DE AE m ∴==5 3.4 1.6()CE DE CD m ∴=-=-=1.6()EF CF CE m ∴=-=则AB 的长为 1.6)m故答案为： 1.6)．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．14．>【分析】由正切的定义可得出tan∠1=34，tan∠2=23，由34＞23且∠1，∠2均为锐角可得出∠1＞∠2，此题得解．【详解】在Rt△ABE中，tan∠134 BEAE==；在Rt△BCD中，tan∠223 BDBC==．∵3243>，且∠1，∠2均为锐角，∴tan∠1＞tan∠2，∴∠1＞∠2．故答案为：＞．【点睛】本题考查了解直角三角形，由正切的定义找出tan∠1＞tan∠2是解题的关键．15．1154cosα．【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．【详解】解：由题意可得，BD＝2CE•cosα＝2×577×cosα＝1154cosα，故答案为1154cosα．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．16【分析】作辅助线BD使∠ACB直角三角形BCD中，然后用正弦函数的定义即可．【详解】解：作如图所示的辅助线，则BD⊥AC，∵BCBD =∴sin ∠ACB =，【点睛】本题主要考查正弦的概念，根据题意得出相应边长是解题的关键．17．270【分析】分别在Rt ABD 与Rt ACD 中求得BD 与CD 长度，BC=BD+CD ，即可求出BC 长度．【详解】∵在Rt ABD 中，45BAD ∠=∴BD AD ==100（米）在Rt ACD 中，60DAC ∠=， ∴tan 60CD AD=∴CD AD ==∴100270BC BD CD =+=+（米）故答案为：270【点睛】本题主要考查锐角三角函数在实际应用中求解，能找见不同直角三角形中的等量关系是解题关键． 18．【分析】过点C 作CE ∥AB ，交BD 于点E ，可得四边形ABEC 是平行四边形，在直角DEC 中，利用锐角三角函数的定义，即可求解．【详解】过点C 作CE ∥AB ，交BD 于点E ，∵小石同学在A B ，两点分别测得某建筑物上条幅两端C D ，两点的仰角均为60︒，∴∠CAO =∠DBO =60°，∴AC ∥BD ，∴四边形ABEC 是平行四边形，∴CE =AB =3，∠DEC =60°，∵BO ⊥DO ，∴EC ⊥DO ，∴在直角DEC 中，CD =EC ×tan60°故答案是：【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 19．（1）见详解；（2）4BF =，3AD =【分析】（1）由题意易得AD ∥CE ，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得EF =CE =AD ，然后由45,cos 5BE B ==可进行求解问题． 【详解】（1）证明：∵90ACB CAD ∠=∠=︒，∴AD ∥CE ，∵//AE DC ，∴四边形AECD 是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形AECD 是平行四边形，∴CE AD =，∵EF AB ⊥，AE 平分BAC ∠，90ACB ∠=︒，∴EF CE =，∴EF =CE =AD ， ∵45,cos 5BE B ==， ∴4cos 545BF BE B =⋅=⨯=，∴3EF ==，∴3AD EF ==．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键．20．4【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解．【详解】解：原式=2514-=． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算是解题的关键．21．5【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案．【详解】解：原式=3262+-⨯32=+-5.= 【点睛】本题考查的是负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同类二次根式，掌握以上的知识是解题的关键．22．(1)见解析 (2)23【分析】（1）证AC BE ，再证四边形OCEB 是平行四边形，然后由90OBE ∠=︒即可得出结论；（2）由锐角三角函数定义得3OB =，则26BD OB ==，再由勾股定理得4OC OA ==，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．（1） 证明：四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，90DOC ∴∠=︒， BE BD ⊥，90OBE DOC ∴∠=∠=︒，AC BE ∴∥，BE OC =，∴四边形OCEB 是平行四边形，又90OBE ∠=︒，∴平行四边形OCEB 是矩形；（2）解：如图，四边形ABCD 是菱形，OA OC ∴=，OB OD =，AC BD ⊥，在Rt AOB △中，5AB =，3sin 5OB CAB AB∠==， 3OB ∴=，26BD OB ∴==，4OC OA ∴==，由（1）可知，四边形OCEB 是矩形，90OBE ∴∠=︒，4BE OC ==，42tan 63BE BDE BD ∴∠===． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键．23．(1)见解析(2)5，8【分析】（1）先证AD BC ∥，再由AD BC =，即可得出结论；（2）由锐角三角函数定义得5BC =，再由平行四边形的性质得5AD BC ==，然后证13BE AB ==，则8CE BE BC =-=，进而证CFE BEA ∠=∠，得8CF CE ==．（1）证明：∵90ACB CAD ∠=∠=︒，∴AD BC ∥，∵AD BC =，∴四边形ABCD 是平行四边形；（2）∵90ACB ∠=︒，13AB =，5cos 13B =，∴5cos 13BC B AB ==， ∴5BC =，由（1）可知，四边形ABCD 是平行四边形，∴5AD BC ==，AB CD ∥，AD BC ∥，∴DAE BEA ∠=∠，∵AE 平分BAD ∠，∴DAE BAE ∠=∠，∴BEA BAE ∠=∠，∴13BE AB ==，∴1358CE BE BC =-=-=，∵AB CD ∥，∴∠=∠CFE BAE ，∴CFE BEA ∠=∠，∴8CF CE ==，即5AD =，8=CF ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三角函数定义、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．24．(1)证明见解析(2)6【分析】（1）先证明AE ∥BD ，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；（2）先根据平行四边形的性质和锐角三角函数求得CE 的长，再利用勾股定理求出AE 的长即可求得BD 的长．（1）解：∵AC ⊥BD ，AC ⊥AE ，∴AE ∥BD ，又AB ∥DC ，∴四边形ABDE 是平行四边形．（2）解：∵四边形ABDE 是平行四边形，∴BD=AE，∠E=∠ABD，∵48,sin5 AC ABD=∠=，∴4sin sin5ACE ABDCE∠=∠==，则CE=10，在Rt△EAC中，6AE===，∴BD=6．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键．25．【分析】分别根据二次根式的性质，45°角的三角函数值，负整数指数幂及绝对值的性质进行化简，最后再由二次根式的运算法则合并即可．【详解】解：原式222=-+=故答案为：【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握二次根式的性质，45°角的三角函数值，负整数指数幂定义及绝对值的性质是解题的关键．26．(1)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，再由三角形中位线定理可得EF∥BC，从而得到EG∥AF，即可求证；（2）过点E作EM⊥DG于点M，过点F作FN⊥DG于点N，可得EM=FN，再由三角形中位线定理可得EF=6，然后根据四边形AGEF是平行四边形，可得AG=EF=6，GE=AF，GE=AF=5，根据3sin5G∠=，可得FN=EM=3，从而得到AN=4，再由勾股定理，即可求解．(1)解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∵点E是AB中点，点F是AC的中点，∴EF∥BC，∴EF∥AD，即EF∥AG，∵EG∥AF，∴四边形AGEF是平行四边形；(2)如图，过点E作EM⊥DG于点M，过点F作FN⊥DG于点N，∵EF∥AD，∴EM=FN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=12，∵点E是AB中点，点F是AC的中点，∴1112622EF BC==⨯=，∵四边形AGEF是平行四边形，∴AG=EF=6，GE=AF，∵F是AC的中点，10AC=，∴AF=5，∴GE=AF=5，∵EM⊥DG，∴∠EMG=90°，∴sin355EM EMGEG===，∴EM=3，∴FN=EM=3，∵FN⊥DG，∴4AN=，∴GN=AG+AN=10，∴GF=【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．27．4【分析】原式第一项利用绝对值的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项化为最简二次根式，第四项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】解：原式 =2322212=32221=4【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28．(1)见解析；(2)24 5【分析】（1）根据平行线性质得∠DAC=∠ACB，根据角平分线定义得∠DAC=∠BAC，进而得出∠BCA=∠BAC，推出BA=BC，最后证得结果；（2）连接BD，根据平行四边形的判定证明四边形EFBD是平行四边形，再求得BC及sin OBC∠的值，最后求得AC的长．(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵AC平分BAD∠，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BCA=∠BAC，∴BA=BC，∴平行四边形ABCD是菱形；(2)连接BD，∵平行四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，DE ∥BF ，∵AC ⊥EF ，∴EF ∥BD ，∴四边形EFBD 是平行四边形，∠OBC =∠F ，∴DE =BF =2，∵点E 为AD 边中点，∴AD =4，∴BC =AD =4， ∵3sin 5F =，∠OBC =∠F ， ∴3sin 5OBC OC BC ∠==， ∴345OC =， ∴125OC =， ∴2425AC OC ==【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的性质及判定、等腰三角形的判定及性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定及性质．29．(1)见解析；(2)边长为5【分析】由△AFD ≌△BFE ，推出AD =BE ，可知四边形AEBD 是平行四边形，再根据BD =AD 可得结论； （2）根据菱形的性质得出,ADE BDE BDC BCD ∠=∠∠=∠，由各角之间的数量关系得出90BDE BDC ∠+∠=︒，根据题意得出DE =EC 的长，然后根据直角三角形斜边上的中线即可得出结果．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AD BC ，∴ADE DEB ∠=∠∵F 是AB 的中点，∴AF BF =∴在AFD ∆与BFE ∆中，ADF BEF AFD BFE AF BF ∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ΔAFD ≅BFE ∆∴AD =BE ，∵//AD BC ，∴四边形AEBD 是平行四边形，∵DB DA =，∴四边形AEBD 是菱形；（2）解：∵四边形AEBD 是菱形，DB DA =∴AD BD BE BC ===，∴,ADE BDE BDC BCD ∠=∠∠=∠∵//AD BC∴180ADE BDE BDC BCD ∠+∠+∠+∠=︒∴90BDE BDC ∠+∠=︒∵DC =tan 3DCB ∠=， ∴3DE DC=，DE =∴10EC =，∴EB =BC =BD =152EC =， 菱形的边长为5．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
2021-2023北京初三一模数学汇编：勾股定理
2021-2023北京初三一模数学汇编勾股定理求证：222+=a b c ．方法一如图，大正方形的边长为c ．证明证明2．（2023·北京·平谷·初三一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(),M m n ，我们将点位置得到点(),N n m ．给出如下定义：对于平面上的点C ，若满足1NC =，则称点(1)已知点()2,0A ，①下列各点：()10,1Q ，()21,1Q ，()31,2Q -中为点A 的“对炫点”的是______；②点P 是直线2y x =+上一点，若点A 是点P 的对炫点，求出点P 的坐标；(2)设点(),A a b 是第一象限内一点，点P 是直线y x b =+上一点，至少存在一个点P ，使得点A 的对炫点也是点P 的对炫点，求a 、b 的取值范围．3．（2023·北京·平谷·初三一模）在ABC 中，BD AC ⊥，E 为AB 边中点，连接CE ，BD 与CE 相交于点F ，过E 作EM EF ⊥，交BD 于点M ，连接CM ．(1)依题意补全图形；(2)求证：EMF ACF ∠=∠；(3)判断BM CM AC 、、的数量关系，并证明．4．（2023·北京·顺义·初三一模）已知：如图，ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 在AB 边上，点A 关于直线CD 的对称点为E ，射线BE 交直线CD 于点F ，连接AF ．(1)设ACD α∠=，用含α的代数式表示CBF ∠的大小，并求CFB ∠的度数；(2)用等式表示线段AF ，CF ，BF 之间的数量关系，并证明．5．（2022·北京·顺义·初三一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，EF 垂直平分CD ，分别交AC ，BC 于点E ，F ，连接DE ，DF ．(1)求∠EDF 的度数；(2)用等式表示线段AE ，BF ，EF 之间的数量关系，并证明．6．（2021·北京·丰台·初三一模）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点P 在线段AB ，作射线CP ()045ACP ︒<∠<︒，将射线CP 绕点C 逆时针旋转45︒，得到射线CQ ，过点A 作AD CP ⊥于点D ，交CQ 于点E ，连接BE ．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段AD ，DE ，BE 之间的数量关系，并证明．8．（2022·北京·石景山·初三一模）如图，某建筑公司有地的水泥日用量分别为a 吨，b 吨，c 吨．有(a +b +c )吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路程千米数）所需的水泥，且a >c ，为使总的“吨千米数N 原料库安排一辆装有(a +b +c )吨的运输车向总的“吨千米数”最小，写出向三个工地运送水泥的顺序如图2：当22a >时，圆与1l 、2l 两条直线无交点，即没有∵点(),A a b 是第一象限内一点，∴0,0a b >>，∴022a <≤，0b >．【点睛】本题主要考查了两点间距离公式、坐标与图形、解答本题的关键．3．(1)见解析从而证出BM AG =，BM AG ∥，根据勾股定理得出222AC AG GC +=，再根据线段垂直平分线的性质得出CG CM =，进而得出结论．【详解】（1）解：补全图形，如图所示：（2） BD AC ⊥，∴90DCF DFC ∠+∠=︒，EM EF ⊥，∴90EMF EFM ∠+∠=︒，EFM DFC ∠=∠，∴EMF DCF ∠=∠；（3）结论：222AC BM MC +=；延长ME 到G 使EG EM =，连接AG ，CG ，GEA MEB ∠=∠，EG EM =，AE BE =，∴()AGE BME SAS ≌，∴BM AG =，∴GAE MBE ∠=∠，∴BM AG ∥，BD AC ⊥，∴90GAC BDA ∠=∠=︒，∴222AC AG GC +=，CE EM ⊥，EM EG =，∴CE 垂直平分MG ,∴CG CM =，∴222AC BM MC +=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等明三角形是解题的关键．5．(1)90EDF ∠=︒(2)222EF AE BF =+【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，即可求解；（2）延长DE ，使得DE =DG ，连接FG 、BG ，构造并证明()AED BGD SAS ∆≅∆，得到对应的线段和角相等，从而得到90CBG ∠=︒，根据勾股定理，即可的AE ，BF ，EF 之间的数量关系；【详解】（1）∵EF 垂直平分CDEC ED CF FD==∴，ECD EDC DCF FDC∠=∠∠=∠∴，90ACB =︒又∵∠90EDC FDC ∠+∠=︒∴90EDF ∴∠=︒（2）如图，延长DE ，使得DE =DG ，连接FG 、BG90EDF DE DG∠=︒=∵，FG EF∴=∵D 是AB 的中点，AD BD∴=()AED BGD SAS ∆≅∆∴AE BG A BGD=∠=∠∴，90A ABC ∠+∠=︒90BGD ABC ∠+∠=︒∴222FG BF BG =+∴222EF AE BF ∴=+【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形的全等证明、勾股定理，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键．6．（1）补全图形见详解；（2）线段AD ，DE ，BE 之间的数量关系为：BE 2=（2DE ）2+（DE -AD ）2，【分析】（1）根据作图语句，即可补全图形：（2）线段AD ，DE ，BE 之间的数量关系为：BE 2=（2DE ）2+（AD -DE ）2，将△ACE 顺时针旋转90°得到△BCG ，连结GE ，证得点D 在EG 上，再得到∠AEC =∠BGC =∠CEG =45°，可求∠EGB =90°，在Rt △EGB 中，由勾股定理222BE EG BG =+，BG =AE =AD -DE ，GE =ED +DG =2DE ，可证()()2222B DE D E DE A =+-．【详解】解：（1）根据作图语句，补全图形如下：（2）线段AD ，DE ，BE 之间的数量关系为：BE 2=（2DE ）2+（AD -DE ）2，证明如下，将△ACE 顺时针旋转90°得到△BCG ，连结GE ，则△ACE ≌△BCG ，AE =BG ，CE =CG ，∠AEC =∠BGC ，∵AD ⊥CP ，∠ECD =45°，∴∠CED =90°-45°=45°，∴CD =ED ，∵CE =CG ，∠ECG =90°，∴∠CEG =∠CGE =45°，∴点D 在EG 上，∴∠AEC =∠BGC =∠CEG =45°，∴∠EGB =∠CGB +∠CGE =45°+45°=90°，在Rt △EGB 中，由勾股定理222BE EG BG =+，∵CE =CG ，AD CP ⊥，∴ED=DG ,∵BG =AE =DE -AD ，GE =ED +DG =2DE ，∴()()2222B DE D E DE A =+-．∵点D 到BC 的距离为1，BD 平分ABC ∠∴1AD DE ==，∵90A ∠=︒，AB AC =，∴45ABC C EDC ∠=∠=︒=∠，∴1CE DE ==，∴22112CD =+=，∴21AC AD CD =+=+，故答案为：21+．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，理解题意作出合适的辅助线是解本题的关键．8．M N -B -A -C【分析】根据题意列式，利用整式的加减运算，分类求解即可．【详解】解：∵MA +AC <NA +AC ，∴若公司安排一辆装有(a +c )吨的运输车向∵2221310AD =+=，221CD =。
2021年北京各区初三数学中考一模汇编――几何综合
2021年北京各区初三数学中考一模汇编――几何综合2021年北京初三数学各区一模汇编――几何综合1、（2021东城一模）已知△ABC中，AD是?BAC的平分线，且AD=AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H．⑴如图1，若?BAC?60?，①直接写出?B和?ACB的度数；②若AB=2，求AC和AH的长；⑵如图2，用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明．2、（2021西城一模）正方形ABCD的边长为2. 将射线AB绕点A顺时针旋转α，所得射线与线段BD交于点M，作CE⊥AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN. ⑴如图1，当0°<α> 45°时，</α>①依题意补全图1；②用等式表示∠NCE与∠BAM之间的数量关系：；⑵当45°<α> 90°时，探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系并加以证明；⑶当0° <α> 90°时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF的最大值. </α> </α>图1 备用图几何综合（共6 页）第1 页3、（2021海淀一模）如图，已知?AOB?60?，点P为射线OA上的一个动点，过点P作PE?OB，交OB于点E，点D在?AOB内，且满足?DPA??OPE，DP?PE?6. ⑴当DP?PE时，求DE的长；⑵在点P的运动过程中，请判断是否存在一个定点M，使得4、（2021朝阳一模）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E 为AB边上一动点（与点A，B不重合），连接CE，将∠ACE的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD 于点F，G.⑴依题意补全图形；⑵若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）；⑶用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明．几何综合（共6 页）第2 页DM的值不变？并证明你的判断. *****B5、（2021丰台一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，过点C在△ABC外作射线CE，且∠BCE = ?，点B关于CE的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M，N.⑴依题意补全图形；⑵当?= 30°时，直接写出∠CMA的度数；⑶当0°CEAB6、（2021石景山一模）在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．⑴依题意补全图1；⑵①连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2?DQ2?2AB2；②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为：．AB PM ABM 几何综合（共6 页）第3 页D图1CD备用图C7、(2021通州一模)如图，直线l是线段MN的垂直平分线，交线段MN于点O，在MN下方的直线l上取一点P，连接PN，以线段PN为边，在PN上方作正方形NPAB，射线MA交直线l于点C，连接BC.⑴设∠ONP=α，求∠AMN的度数；⑵写出线段AM，BC之间的等量关系，并证明.8、（2021大兴一模）如图，在等腰直角△A BC中，∠CAB=90°，F是AB边上一点，作射线CF，过点B作BG⊥CF于点G，连接AG．⑴求证：∠ABG=∠ACF；⑵用等式表示线段CG，AG，BG之间的等量关系，并证明．9、（2021顺义一模）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，延长CB至点F，使BF=BE，过点F作FH⊥AE于点H，射线FH分别交AB、CD于点M、N，交对角线AC于点P，连接AF．⑴依题意补全图形；⑵求证：∠FAC=∠APF；⑶判断线段FM与PN的数量关系，并加以证明．几何综合（共6 页）第4 页*****、（2021房山一模）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点D为边BC上的点，连接AD，∠BAD=α，点D关于AB的对称点为E，点E关于AC的对称点为G，线段EG交AB于点F，连接AE，DE，DG，AG. ⑴依题意补全图形；αA⑵求∠AGE的度数（用含α的式子表示）；⑶用等式表示线段EG与EF，AF之间的数量关系，并说明理由.BCD11、（2021怀柔一模）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D是BC上任意一点，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°，得到线段AE，连结EC. ⑴依题意补全图形；⑵求∠ECD的度数；⑶若∠CAE=7.5°，AD=1，将射线DA绕点D顺时针旋转60°交EC的延长线于点F，请写出求AF长的思路．?A?2?，DE?AB于点E，12、（2021门头沟一模）如图，在△ABC 中，AB=AC，点D是BC的中点，DF?AC于点F.⑴?EDB?_________°；（用含?的式子表示）⑵作射线DM与边AB交于点M，射线DM绕点D顺时针旋转180??2?，与AC边交于点N．①根据条件补全图形；②写出DM与DN的数量关系并证明；③用等式表示线段BM、CN与BC之间的数量关系，（用含?的锐角三角函数表示）并写出解题思路.AFEBDC几何综合（共6 页）第5 页13、（2021平谷一模）在△ABC中，AB=AC，CD⊥BC于点C，交∠ABC的平分线于点D，AE平分∠BAC交BD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF．⑴补全图1；⑵如图1，当∠BAC=90°时，①求证：BE=DE；②写出判断DF与AB的位置关系的思路（不用写出证明过程）；⑶如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF，AE的关系．14、（2021延庆一模）如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接FC．⑴求证：∠FBC=∠CDF．⑵作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG．①依据题意补全图形；②用等式表示线段DF，BF，CG之间的数量关系并加以证明．A B图1备用图*****BCE 几何综合（共6 页）第6 页13、（2021平谷一模）在△ABC中，AB=AC，CD⊥BC于点C，交∠ABC的平分线于点D，AE平分∠BAC交BD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF．⑴补全图1；⑵如图1，当∠BAC=90°时，①求证：BE=DE；②写出判断DF与AB的位置关系的思路（不用写出证明过程）；⑶如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF，AE的关系．14、（2021延庆一模）如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接FC．⑴求证：∠FBC=∠CDF．⑵作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG．①依据题意补全图形；②用等式表示线段DF，BF，CG之间的数量关系并加以证明．A B图1备用图*****BCE 几何综合（共6 页）第6 页。
2023年北京市初三一模数学试题汇编：解直角三角形及其应用
2023北京初三一模数学汇编解直角三角形及其应用，O的半径为)−，，0 1.53—关联点上的任意一点，点①若O上存在点关于点O的321r=时，O上不存在点2023·北京顺义·统考一模）如图，在O中，AB在O上，CE ⊥，交AD的延长线于点，且CE CFCF AD=是O的切线；∠=60BAF北京平谷·统考一模）如图，在ABCD中，点，平分∠EF(1)求证：四边形AECF是菱形：(2)连接AC，与EF交于点O，连接4．（2023·北京顺义·统考一模）给出如下定义：对于线段，例如等边ABC中，点统考一模）如图，O是ABC的外接圆，是O的切线；12，AD=，求O的半径．北京丰台·统考一模）如图，AB是O的直径，是O的两条弦，作O的切线交CB的延长线于点E．(1)求证：CE DE⊥(2)若1tan3A=，BE7．（2023·北京平谷是O的直径，是O上的两点，且O的切线交AC的延长线于点统考一模）已知在ABC中，DE，连接为O的直径，为O上一点，(1)求证：直线DE为O的切线；AB ED交于点F．若BF(2)延长,10．（2023·北京西城·统考一模）如图，是O的直径，是O上一点，的平分线交O于点D，过点D作O的切线交CB E．(1)求证：DE AB ∥；(2)若5OA =，3sin 5A =，求线段）①设O 上存在一点OP ，则当最大，即O 的半径最小，即O 的半径最小，当点P 与点B 与点H 重合时，最小，据此求解即可；②假设C 、P 都为定点，那么k 值越小，越大，因此总存在一个特定的值恰好在O 上，当Q 一定在圆内，则当在运动过程中要保证O 上不存在点—关联点”，那么就要保证当CP 最大时，此时C 与点B 重合，点P 与点取得临界最大交QB 延长线于H ，通过解直角三角形和勾股定理求出重合，则上述临界情况也符合题意，即可得到 ②解：设点B 关于点O 的由题意得，90BOT =︒∠，）解：①设O上存在一点POQ=︒，90，最大时，OQ最大，即O的半径最小，即O的半径AB上运动，最大，点PO上，当∴当C、P在运动过程中要保证O上不存在点>此时k t∵点C在AB上运动，<<∴0CP当点C与点A重合时，此时CEOA∠CFOC为O的半径，是O的切线；）连接BC.OC∠OB∴OCB为等边三角形，∴=60B∠︒.CF=，1CE=，11BE=tan60【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形，三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握各知识点，作出辅助线，用好数形结合的思想4．(1)A2）点BB∴OCD、OEF是等边三角形，=4OC=，OE OF当线段DF取得最大值时，此时∽求解即可．，继而根据ADO EOC是O的直径，是O的切线．）解：∵AB是⊙ACB=︒．9090+∠=BAC B⊥作CE AB∴ADO EOC ∽，AD OE AO EC =． 1.5324AD a AO a ==． 3AD =，4OA =．∴O 的半径为【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定与性质、三角函数，勾股定理，等腰三角形的判定，圆周角定理的推论，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．．(1)见解析；(2)8．DE是O的切线，AO∴DO CE∥．∴180E ODE∠=︒−∠∴CE DE⊥．（2）解：连接BD，AB是O的直径，∴90ADB∠=︒．90∠=ABDOD OB，∴∠ODE ODB∠=∠BDE A=∠BE∠为O的切线，得出，即可求证E∠=∠B ECD ∠=∠2 cos3B，为O的切线，EDO=︒，90DC，∠，2OD，∠，3内接于O，2cosB，3是直径，ADB=︒，90=，9=，6=，DC）证明：点又EF在ABC中，点∥，DE BC=∠AED ACB⊥，．AC DF四边形AFCD在是O 的直径，可得是矩形，即可得出结论；）设O 的半径为Rt ODF △，得到sin ABC =∠，即可得到AC ．【详解】（1）证明：连接．是O 的直径，90ACB =︒，是BC 的中点，BC ，AC ⊥，∴四边形CEDF 是矩形，是O 的半径，是O 的切线．（2）解：设O 的半径为在Rt ODF △中，sin OFD ∠∴123r r =+， 2，【点睛】本题考查了切线的性质判定，垂径定理，矩形的性质与判定，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．10．(1)见解析(2)354是O 的切线，切点是DE ．90ODE ︒=．是O 的直径，=90︒．ACB 的平分线交O 于点D 45ACD BCD ∠︒=．90AOD ︒=．AOD ODE ∠=（2）解：作BH DE ⊥于∴90BHD BHE ∠∠︒==．【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，圆周角定理及推论，锐角三角函数之间的转化，关键是连接过切点的半径，得垂直于半径的直线，过点。
中考数学模拟试卷精选汇编：解直角三角形附答案
解直角三角形一.选择题1. (2015·北京市朝阳区·一模)如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS=60 m，ST=120 m，QR=80 m，则河的宽度PQ为A．40 m B．60 m C．120 m D．180 m答案：C二.填空题1．（2015·江苏江阴青阳片·期中）如图，小红站在水平面上的点A处，测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A到旗杆的水平距离为a米．若小红的水平视线与地面的距离为b米，则旗杆BC的长为____▲____米。
(用含有a、b的式子表示)第1题答案：b+3a2. (2015·屯溪五中·3月月考)如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为__________答案：2倍根号23．（2015•山东潍坊广文中学、文华国际学校•一模）如图2，菱形ABCD 的周长为20cm ，且tan ∠ABD =34，则菱形ABCD 的面积为 cm 2． 答案：24；4.（2015·邗江区·初三适应性训练）如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC 的值为 ▲ .答案：552 第2题 5.（2015·重点高中提前招生数学练习）在某海防观测站的正东方向12海里处有A ，B 两艘船相遇，然后A 船以每小时12海里的速度往南航行，B 船以每小时3海里的速度向北漂移．则经过 小时后，观测站及A ，B 两 船恰成一个直角三角形． 【答案】26.（2015·重点高中提前招生数学练习）已知∠A 为锐角，且4sin 2A －4sinAcosA ＋cos 2A ＝0，则tanA ＝ ． 【答案】12【解析】由题意得(2sinA －cosA )2＝0，∴2sinA －cosA ＝0，∴sinA cosA ＝12. ∴tanA ＝sinA cosA ＝12.7（2015·网上阅卷适应性测试）小聪有一块含有30°角的直角三角板，他想只利用量角器来测量较短直角边的长度，于是他采用如图的方法，小聪发现点A 处的三角板读数为12cm ，点B 处的量角器的读数为74°，由此可知三角板的较短直角边的长度约为 ▲ cm ．（参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75）．答案：98.（2015·山东省东营区实验学校一模）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出___个这样的停车位．(2≈1.4)答案：17三.解答题1．（2015·江苏江阴长泾片·期中）2015年4月18日潍坊国际风筝节拉开了帷幕，这天小敏同学正在公园广场上放风筝，如图风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小亮同学，发现自己的位置与风筝和广场边旗杆PQ的顶点P在同一直线上.（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；（2）在（1）的条件下，若在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，绳子在空中视为一条线段，求绳子AC为多少米？（结果保留根号）答案：解：（1）在Rt△BPQ中，PQ=10米，∠B=30°，则BQ= tan60°×PQ＝103, ……………2分又在Rt△APQ中，∠PAB=45°，则AQ=tan45°×PQ=10，即：AB=（103+10）（米）……………4分（2）过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=103+10，∴AE=sin30°×AB=12（103+10）=53+5，……………6分∵∠CAD=75°，∠B=30°∴∠C=45°，……………7分在Rt△CAE中，sin45°＝AEAC，图8∴AC =2（53+5）=（56+52）（米） ……………9分2．（2015·江苏江阴青阳片·期中）如图，某广场一灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成40°夹角，且CB ＝5米．(1)求钢缆CD 的长度；(精确到0.1米)(2)若AD ＝2米，灯的顶端E 距离A 处1.6米，且∠EAB ＝120°，则灯的顶端E 距离地面多少米？(参考数据：tan 400＝0.84， sin 400＝0.64， cos 400＝34)答案：(1)在Rt ⊿BCD 中∵cos 40°=CDBC…………1分 ∴CD =40cos BC =5÷43=320…………3分 (2)∵∠EAF =180°－120°=60° 在Rt ⊿AEF 中 cos 60°=AEAF ∴AF =AE ·cos 60°=1.6·21=0.8…………5分 在Rt ⊿BCD 中 tan 40°=BCBDBD =BC ·tan 40°=5·0.84=4.2…………7分 BF =4.2+2+0.8=7…………8分3．（2015·江苏江阴夏港中学·期中）如图，轮船从点A 处出发，先航行至位于点A 的南偏西15°且点A 相距100km 的点B 处，再航行至位于点B 的北偏东75°且与点B 相距200km 的点C 处.（1）求点C 与点A 的距离（精确到1km ） （2）确定点C 相对于点A 的方向 （参考数据：2≈1.414，3≈1.732）答案：解法1:（1）如答图2，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D .············1分由图得，∠ABC =︒=︒−︒601575.·······························2分在Rt △ABD 中，∵∠ABC =60°，AB =100，∴BD =50，AD =350····················3分 ∵BC =200，∴CD=BC －BD =150.·································4分 ∴在Rt △ABD 中，AC =22CD AD +=3100≈173（km ）. 答：点C 与点A 的距离约为173km .························5分（2）在△ABC 中，∵2222)3100(100+=+AC AB =40 000，22200=BC =40 000. ∴222BC AC AB =+，∴︒=∠90BAC .···················7分 ∴︒=︒−︒=∠−∠=∠751590BAF BAC CAF 答：点C 位于点A 的南偏东75°方向.················8分 解法2:（1）如答图3，取BC 的中点D ，连接AD.············ 1分由图得，∠ABC =︒=︒−︒601575···················2分 ∵D 为BC 的中点，BC =200，∴CD=BD =100. 在△ABD 中，∵BD =100，AB =100，∠ABC =60°， ∴△ADB 为等边三角形，··························3分 ∴AD=BD=CD ，∠ADB =60°，∴∠DAC =∠DCA =30°. ∴∠BAC =∠BAD +∠DAC =90°，···················4分 ∴AC =）（km 173310022≈=−AB BC 答：点C 与点A 的距离约为173km .·······················5分 （2）由图得，︒=︒−︒=∠−∠=∠751590BAF BAC CAF答：点C 位于点A 的南偏东75°方向.······························8分4．（2015·江苏江阴要塞片·一模）如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点E 到地面的距离EF ．经测量，支架的立柱BC 与地面垂直，即∠BCA =90°，且BC =1.5m ，点F 、A 、C 在同一条水平线上，斜杆AB 与水平线AC 的夹角∠BAC =30°，支撑杆DE ⊥AB 于点D ，该支架的边BE 与AB 的夹角∠EBD =60°，又测得AD =1m ．请你求出该支架的边BE 及顶端E 到地面的距离EF 的长度．答案：解：在Rt △ABC 中，∵∠BAC =30°，BC =1.5m ，∴AB=3m，∵AD=1m，∴BD=2m，·········1分在Rt△EDB中，∵∠EBD=60°，∴∠BED=90°﹣60°=30°，∴EB=2BD=2×2=4m，·········3分过B作BH⊥EF于点H，∴四边形BCFH为矩形，HF=BC= 1.5m，∠HBA=∠BAC=30°，········4分又∵∠HBA=∠BAC=30°，∴∠EBH=∠EBD﹣∠HBD=30°，∴EH=EB=2m，∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5（m）．········7分答：该支架的边BE为4m，顶端E到地面的距离EF的长度为3.5m．5. (2015·屯溪五中·3月月考)如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（结果都保留根号）(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．答案：解：（1）如图，过点P 作PD ⊥AB 于点D ．设PD =xkm ． 在Rt △PBD 中，∠BDP =90°，∠PBD =90°﹣45°=45°， ∴BD =PD =xkm ．在Rt △P AD 中，∠ADP =90°，∠P AD =90°﹣60°=30°， ∴AD =PD =xkm ．∵BD +AD =AB ， ∴x +x =2， x =﹣1，∴点P 到海岸线l 的距离为（﹣1）km ；（2）如图，过点B 作BF ⊥AC 于点F ． 在Rt △ABF 中，∠AFB =90°，∠BAF =30°， ∴BF =AB =1km ．在△ABC 中，∠C =180°﹣∠BAC ﹣∠ABC =45°． 在Rt △BCF 中，∠BFC =90°，∠C =45°， ∴BC =BF =km ，∴点C 与点B 之间的距离为km ．6. (2015·安徽省蚌埠市经济开发·二摸)合肥新桥国际机场出港大厅有一幅“黄山胜景”的壁画.聪聪站在距壁画水平距离15米的地面，自A 点看壁画上部D 的仰角为045，看壁画下部C的仰角为030，求壁画CD 的高度.3 1.7≈2 1.4≈，精确到十分位）答案：过A 点作AB ⊥DC 于点B ，则AB ＝15，在Rt ABD ∆中，045DAB ∠=，∴BD ＝AB ＝15 ……… 3分 在Rt ABC ∆中，030BAC ∠=， ∴03tan 3015533BC AB ==⨯= ………… 6分 ∴CD ＝BD －BC ＝15－53155 1.7 6.5≈−⨯=答：壁画CD 的高度为6.5米 …………… 8分7. (2015·安庆·一摸)为维护南海主权，我海军舰艇加强对南海海域的巡航.2015年4月10日上午9时，我海巡001号舰艇在观察点A 处观测到其正东方向802海里处有一灯塔S ，该舰艇沿南偏东450的方向航行，11时到达观察点B ，测得灯塔S 位于其北偏西150方向，求该舰艇的巡航速度？（结果保留整数）（参考数据：73.13,41.12≈≈）答案：解：过点S 作SC ⊥AB ，C 为垂足.在Rt △ACS 中，∠CAS =450,AS =802，∴SC =AC =80；………3分在Rt △BCS 中，∠CBC =450－150=300,∴BC =803，AB =AC +BC =80+803；………6分∴该舰艇的巡航速度是（80+803）÷（11－9）=40+403≈109（海里/时）…………8分8. (2015·屯溪五中·3月月考)如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8．若∠BPC =∠BAC ，求tan ∠BPC 的值。
2020北京各区一模数学试题分类汇编--解三角形(解析版)
若 ABC 同时满足①，④，则在锐角 ABC 中，
sin C = 1 1 ，所以 0 C
32
6
又因为 A = ，所以 A + C
3
3
2
所以 B ，这与 ABC 是锐角三角形矛盾， 2
所以 ABC 不能同时满足①，④，
所以 ABC 同时满足②，③.
.因为c a所以C A若满足④.
3 / 12
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
选择③时， a = 3
2
sin
B
，根据正弦定理：
a sin
A
=
b sin
B
，故
3
2
sin 3
B
=
6 sin B
，
2
解得 sin B = 2 ， sin C = sin ( A + B) = sin Acos B + cos Asin B = 6 − 2 .
sin ADB sin ADB 因为 D 是 AB 的中点，则 AD = DB ， ADB + ADC = 180 , 所以 sin ADB = sin ADC ， 所以10sin BAD = 6 即 sin BAD = 3 ，
5
2 / 12
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
所以 cos BAD = 1− sin2 BAD = 4 5
2
4
根据正弦定理：
a sin
A
=
b sin B
，故
a
=
3
，故
S
=
1 2
ab sin
C
=
9
−3 4
3.
2023年北京市初三一模数学试题汇编：三角形及其性质
2023北京初三一模数学汇编三角形及其性质A．30°B．40°C．50°D．75°A．75︒B．60︒C．105︒D．120︒A．63︒B．36︒C．27︒D．18︒AB CD．求证：方法一证明：如图，过点E 作∥MN AB 方法二证明：如图，延长AE ，交CD 于点F ．参考答案1．B【分析】先根据量角器得到50ABC ∠=︒，再根据直角三角形两锐角互余得到40A ∠=︒．【详解】解：由量角器得50ABC ∠=︒，∠AC BC ⊥，∠90ACB ∠=︒，∠9040A ABC ∠=-∠=°°．故选：B【点睛】本题考查了“直角三角形两锐角互余”，根据量角器得到50ABC ∠=︒，熟知直角三角形性质是解题关键．2．A【分析】根据一幅三角板各个角的度数，结合三角形的内角和定理，即可求出答案．【详解】解：由题意，得：45,60ABC BCA ∠=︒∠=︒，∠07185ABC BCA BAC ∠∠-∠-==︒︒；故选A ．【点睛】本题考查了角的和差运算．熟记一幅三角板中各个角的度数是解题的关键．3．C【分析】如解析图所示，Rt △ABD 中，9090BAD ACD =︒=︒∠，∠，27CAD ∠=︒，由此利用直角三角形两锐角互余即可求出答案．【详解】解：如图所示，在Rt △ABD 中，9090BAD ACD =︒=︒∠，∠，27CAD ∠=︒，∠90CAD ADC ABD ADB +=︒=+∠∠∠∠，∠27ABD CAD ==︒∠∠，∠被测物体表面的倾斜角α为27︒，故选C ．【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，正确理解题意是解题的关键．4．答案不唯一，见解析【分析】利用平行线的性质以及三角形外角的性质证明即可．【详解】方法一证明：如图，过点E 作∥MN AB ，∠A AEM∠=∠．∠AB CD，∥，∠MN CD∠C CEM∠=∠．∠AEC AEM CEM∠=∠+∠，∠AEC A C∠=∠+∠．方法二证明：如图，延长AE，交CD于点F，∠AB CD，∠=∠．∠A AFC∠AEC AFC C∠=∠+∠，∠AEC A C∠=∠+∠．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．。
北京市各区中考数学一模试卷精选汇编几何综合
几何综合东城区27. 已知△ABC中，AD是的平分线，且AD=AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H．（1）如图1，若①直接写出和的度数；②若AB=2，求AC和AH的长；（2）如图2，用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明．27. （1）①，；--------------------2分②作DE⊥AC交AC于点E.Rt△ADE中，由，AD=2可得DE=1，AE.Rt△CDE中，由，DE=1，可得EC=1.∴AC.Rt△ACH中，由，可得AH； --------------4分（2）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC证明：延长AB和CH交于点F，取BF中点G，连接GH.易证△ACH ≌△AFH.∴,.∴.∵，∴ .∴ .∴ .∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==. --------------7分 西城区27．正方形的边长为，将射线绕点顺时针旋转，所得射线与线段交于点，作于点，点与点关于直线对称，连接． （1）如图，当时， ①依题意补全图．②用等式表示与之间的数量关系：__________． （2）当时，探究与之间的数量关系并加以证明． （3）当时，若边的中点为，直接写出线段长的最大值．CDBA图1备用图C DBAM【解析】（1）①补全的图形如图所示：NEMABDC②． （2）， 连接，NQMABDC E， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴． （3）∵，∴点在以为直径的圆上，E∴． 海淀区27．如图，已知，点为射线上的一个动点，过点作，交于点，点在内，且满足，. （1）当时，求的长；（2）在点的运动过程中，请判断是否存在一个定点，使得的值不变？并证明你的判断.27．.解：（1）作⊥交于.∵⊥，，∴.∴.∴. ……………1分∵,,∴,.∴.∴. ………………3分（2）当点在射线上且满足时，的值不变，始终为1.理由如下：………………4分当点与点不重合时，延长到使得.∵, Array∴.∴.∵,是公共边,∴≌.∴. ………………5分作⊥于,⊥于.∵，∴. ………………6分∵⊥,⊥,⊥，∴四边形为矩形.∴.∵,∴.∵⊥,∴.∴,即.当点与点重合时，由上过程可知结论成立. ……………7分丰台区27．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，过点C在△ABC外作射线CE，且∠BCE = ，点B 关于CE的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M，N.（1）依题意补全图形；（2）当= 30°时，直接写出∠CMA的度数；（3）当0°<< 45°时，用等式表示线段AM，CN之间的数量关系，并证明．CEA B27．解：（1）如图；…………………1分（2）45°；…………………2分（3）结论：AM=CN．…………………3分证明：作AG⊥EC的延长线于点G．∵点B与点D关于CE对称，∴CE是BD的垂直平分线．∴CB=CD．∴∠1=∠2=．∵CA=CB，∴CA=CD．∴∠3=∠CAD．∵∠4=90°，∴∠3=（180°∠ACD）=（180°90°）=45°．∴∠5=∠2+∠3=+45°-=45°．…………………5分∵∠4=90°，CE是BD的垂直平分线，∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°．∴∠6=∠7．∵AG⊥EC，∴∠G=90°=∠8．∴在△BCN和△CAG中，∠8=∠G，∠7=∠6，BC=CA，∴△BCN≌△CAG．∴CN=AG．∵Rt△AMG中，∠G=90°，∠5=45°，∴AM=AG．∴AM=CN．…………………7分（其他证法相应给分.）石景山区27．在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转得到线段AQ，连接BP，DQ．（1）依题意补全图1；（2）①连接，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：；②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为：．27．（1）补全图形如图1. ………………… 1分C图1（2）①证明：连接，如图2，∵线段绕点顺时针旋转90°得到线段，∴，．∵四边形是正方形，∴，．∴．∴△≌△．………………… 3分∴，．∵在中，，∴．∵在中，，又∵，，∴．………………… 5分②．………………… 7分证明：过点A作AE⊥PQ于E ，连接BE AC∴AE是△PAQ的垂线∵三△PAQ是等腰直角三角形（已证）∴AE是等腰直角三角形PAQ的垂线，角平分线∴∠AEP=90°，AE=PE∵正方形ABCD∴∠ABC=90°∠ACB=∠BAC=45°∠AEP+∠ABC=180°∴A ，B，C，E四点共圆∴∠AEB=∠ACB=45°，∠CEB=∠BAC=45°∴∠AEB=∠CEB=45°∵B E=BE∴△ABE≌△PBE (SAS)∴BP=AB朝阳区27. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），连接CE，将∠ACE的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD 于点F，G.（1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明．27.（1）补全的图形如图所示.……………………………………1分（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC= 30°. ……………………………………………2分∴∠AGC=30°.∴∠AFC =α+30°. …………………………3分（3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系为.证明：作CH ⊥AG 于点H.由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.∴CA=CG. …………………………………………………5分 ∴HG =AG.∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF ，∴△ACE ≌△GCF. ……………………………6分 ∴AE =FG . 在Rt △HCG 中，∴AG =CG . …………………………………………7分 即AF+AE =CG . 燕山区27．如图，抛物线的顶点为M ，直线y=m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶． (1)由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是 (2)抛物线对应的准蝶形必经过B (m ，m ),则m = ，对应的碟宽AB 是 (3)抛物线对应的碟宽在x 轴上，且AB =6.①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （，），使得∠APB 为锐角，若有，请求出的取值范围.若没有，请说明理由. ,备用图y=moyxMBA1Oxy27.解：(1)MN与AB的关系是 MN⊥AB，MN=AB…………………………………2′（2） m= 2 对应的碟宽是4…………………………………4′ (3) ①由已知，抛物线必过（3，0），代入得，∴抛物线的解析式是…………………………………5′②由①知，∠APB 为直角，的对称轴上P（0，3），P（0，-3）时，∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P，使得∠APB 为锐角，的取值范围是…………………………………7′门头沟区27. 如图，在△ABC中，AB=AC，，点D是BC的中点，，.（1）_________°；（用含的式子表示）（2）作射线DM与边AB交于点M，射线DM绕点D顺时针旋转，与AC边交于点N．①根据条件补全图形；②写出DM与DN的数量关系并证明；③用等式表示线段与之间的数量关系，（用含的锐角三角函数表示）并写出解题思路.27．（本小题满分7分）B（1）……………………………………………1分（2）①补全图形正确②数量关系：…………………………………3分∵∴DA平分∵，∴，……………………4分∵∴∵∴∴……………………5分∴③数量关系：……………………6分证明思路：a.由可得b. 由可得,进而通过,可得进而得到c.过可得,最终得到……………7分大兴区27．如图，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，F是AB边上一点，作射线CF，过点B作BG⊥C F于点G，连接AG．（1）求证：∠ABG=∠ACF；（2）用等式表示线段C G，AG，BG之间的等量关系，并证明．27.（1）证明:∵∠CAB=90°.∵BG⊥CF于点G，∴∠BGF=∠CAB=90°.∵∠GFB=∠CFA. ………………………………………………1分∴∠ABG=∠ACF. ………………………………………………2分（2）CG=AG+BG. …………………………………………………3分证明：在CG上截取CH=BG，连接AH，…………………………4分∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=90°，AB=AC.∵∠ABG=∠ACH.∴△ABG≌△ACH. …………………………………………………… 5分∴AG =AH,∠GAB=∠HAC.∴∠GAH=90°.∴ .∴GH=AG. ………………………………………………………6分∴CG=CH+GH=AG+BG. ………………………………………7分平谷区27．在△ABC中，AB=AC，CD⊥BC于点C，交∠ABC的平分线于点D，AE平分∠BAC交BD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF．（1）补全图1；（2）如图1，当∠BAC=90°时，①求证：BE=DE；②写出判断DF与AB的位置关系的思路（不用写出证明过程）；（3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF，AE的关系．27（2）①延长AE，交BC于点H． (2)∵AB=AC， AE平分∠BAC，∴AH⊥BC于H，BH=HC．∵CD⊥BC于点C，BB图2B∴EH∥CD．∴BE=DE． (3)②延长FE，交AB于点G．由AB=AC，得∠ABC=∠ACB．由EF∥BC，得∠AGF=∠AFG．得AG=AF．由等腰三角形三线合一得GE=E F．·· 4由∠GEB=∠FED，可证△BEG≌△DEF．可得∠ABE=∠FDE． (5)从而可证得DF∥AB． (6)（3）． (7)怀柔区27.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D是BC上任意一点，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°，得到线段AE，连结EC.(1)依题意补全图形；(2)求∠ECD的度数；(3)若∠CAE=7.5°，AD=1，将射线DA绕点D顺时针旋转60°交EC的延长线于点F，请写出求AF 长的思路．27.(1)如图CA………………………………………………1分FEDB CB(2) ∵线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE. ∴∠DAE=90°，AD=AE. ∴∠DAC+∠CAE =90°. ∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠DAC =90°.∴∠BAD=∠CAE . …………………………………………………………………………2分 又∵AB=AC, ∴△ABD≌△ACE. ∴∠B=∠ACE.∵△ABC 中，∠A=90°，AB=AC, ∴∠B=∠ACB=∠ACE=45°.∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°. ……………………………………………………………4分 (3)Ⅰ.连接DE,由于△ADE 为等腰直角三角形，所以可求DE=；……………………5分 Ⅱ.由∠ADF=60°,∠CAE=7.5°，可求∠EDC 的度数和∠CDF 的度数，从而可知DF 的长； …………………………………………………………………………………………………6分 Ⅲ.过点A 作AH ⊥DF 于点H ，在Rt△ADH 中, 由∠ADF=60°，AD=1可求AH 、DH 的长； Ⅳ. 由DF 、DH 的长可求HF 的长；Ⅴ. 在Rt△AHF 中, 由AH 和HF,利用勾股定理可求AF 的长．…………………………7分 延庆区27．如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上一点，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 于点F ，连接FC ．（1）求证：∠FBC =∠CDF ．（2）作点C 关于直线DE 的对称点G ，连接CG ，FG ．①依据题意补全图形；②用等式表示线段DF ，BF ，CG 之间的数量关系并加以证明．27.（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCB =90°． ∴∠CDF +∠E =90°． ∵BF ⊥DE ，∴∠FBC +∠E =90°． ∴∠FBC =∠CDF ．……2分（2）①……3分②猜想：数量关系为：BF =DF +CG ．证明：在BF 上取点M 使得BM =DF 连接CM ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC =DC ．∵∠FBC =∠CDF ，BM =DF ， ∴△BMC ≌△DFC ． ∴CM =CF ，∠1=∠2． ∴△MCF 是等腰直角三角形．∴∠MCF =90°，∠4=45°． ……5分 ∵点C 与点G 关于直线DE 对称， ∴CF =GF ，∠5=∠6． ∵BF ⊥DE ，∠4=45°， ∴∠5=45°， ∴∠CFG =90°， ∴∠CFG =∠MCF ， ∴CM ∥GF ． ∵CM =CF ，CF =GF ， ∴CM =GF ，图1FDEC BA G FDBA∴四边形CGFM是平行四边形，∴CG=MF．∴BF=DF+CG．……7分顺义区27. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，延长CB至点F，使BF=BE，过点F作FH⊥AE于点H，射线FH分别交AB、CD于点M、N，交对角线AC于点P，连接AF．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠FAC=∠APF；（3）判断线段FM与PN的数量关系，并加以证明．27．（1）补全图如图所示．………………………………………………………… 1分（2）证明∵正方形ABCD，∴∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°，∴∠PAH=45°-∠BAE．∵FH⊥AE．∴∠APF=45°+∠BAE．∵BF=BE，∴AF=AE，∠BAF=∠BAE．∴∠FAC=45°+∠BAF．∴∠FAC=∠APF．…………………………… 4分（3）判断：FM=PN．…………………………………… 5分证明：过B作BQ∥MN交CD于点Q，∴MN=BQ，BQ⊥AE．∵正方形ABCD，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°．∴∠BAE=∠CBQ．∴△ABE≌△BCQ．∴AE=BQ．∴AE=MN．∵∠FAC=∠APF，∴AF=FP．∵AF=AE，∴AE=FP．∴FP=MN．∴FM=PN．…………………………………………………………… 8分。
北京市各区中考数学一模试题分类汇编 三角形(无答案)
三角形东城区 20．如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交CB 的延长线于点E ．若∠BAC =40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数. （要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）西城区19．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，AE BE ⊥于点E ，且12BE BC =．求证：AB 平分EAD ∠．朝阳区20．如图，E 为AC 上一点，EF ∥AB 交AF 于点F ，且AE = EF ．求证：BAC ∠= 2∠1．1FEC BA海淀区20．如图，在△ABC 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，DE 为AC 边上的中线． 求证：BAD EDC ∠=∠．丰台区20. 如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高线，BE AC ⊥于点E ，∠BAD =∠CBE. 求证：AB AC =.EB A CE D CBA石景山区20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的中线，DE ⊥AB 于点D ，交AC 于点E ． 求证：∠AED =∠DCB ．顺义区20．已知：如图，B ，A ，E 在同一直线上，AC ∥BD 且AC =BD ，∠ABC=∠D ．求证： AB =A D ．通州区20．如图，在△ABC 中，AC =BC ，BD ⊥AC 于点D ，在△ABC 外作∠CAE =∠CBD ，过点C 作CE ⊥AE 于点E .如果∠BCE =140 ，求∠BAC 的度数.怀柔区20.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB 边的垂直平分线DE 交BC 于点E ，垂足为D. 求证：∠CAB=∠AED.平谷区E DC BA ED A20．如图，△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，FD ⊥BC 于D ， G 是FC 的中点，连接GD . 求证：GD ⊥DE .房山区20.已知：如图，在△ABC 中,∠ABC = 90°,BD 为AC 边的中线，过点C 作 CE∥AB 与BD 延长线交于点E. 求证：∠A =∠E.门头沟区20．如图，△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC ，延长BC 到E ，使得CE =CD ． 求证：BD =DE ．AF BCD E GEEDC AB。
2021北京各区中考一模分类汇编-专题14 三角形全等相似证明(教师版)
专题14 三角形全等相似证明一、简单几何证明（共4小题）1.（2021·海淀一模）如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB =DE ，BE =CF ．求证：A D ∠=∠．〖分析〗全等SAS〖解答〗证明：∵ AB ∥DE ，∴ ∠B =∠DEF ． ∵ BE =CF ，∴ BE +EC =CF +EC ． ∴ BC =EF ． 在△ABC 和△DEF 中，,,,AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌ △DEF ． ∴ ∠A =∠D ．2.（2021·通州一模）已知：如图，在ABC 和DEF 中，点B 、E 、C 、F 四点在一条直线AD 上，且,,BE CF AB DE B DEF ==∠=∠. 求证：ABC DEF ≅〖分析〗全等SAS 〖解答〗证明：BE CF =FE DC BABC EF ∴=………………………………………………………………………1分∴在ABC 与DEF 中AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩……………………………………………4分 ()ABC DEF SAS ∴≅……………………………………………………………5分3.（2021·房山一模）已知：如图，AB 与CD 交于点E ，点E 是线段AB 的中点，A B ∠=∠.求证：AC BD =.〖分析〗全等ASA〖解答〗证明：∵点E 是线段AB 的中点，∴AE BE =. …………………………1分 在△ACE 与△BDE 中，.A B AE BE AEC BED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，∴△ACE ≌△BDE . …………………………4分 ∴AC BD =. …………………………5分DE CBA4.（2021·门头沟一模）〖分析〗等腰三角形和等边三角形的性质〖解答〗解：∵△ABC是等边三角形BD⊥AC∴∠DBC=12∠ABC =30°，………………………3分∵DB=DE,∴∠E=∠DBC =30°………………………5分二、作图题（共14小题）5.（2021·西城一模）阅读材料并解决问题：已知：如图，∠AOB及内部一点P。
2021北京初三一模数学汇编：图形的变化解答题(教师版)
2021北京初三一模数学汇编：图形的变化解答题一．解答题（共13小题）1．（2021•石景山一模）在ABC △中，AB AC =，60(0)BAC αα∠︒︒=＜＜．点E 是ABC △内一动点，连接AE ，CE ，将AEC △绕点A 顺时针旋转α，使AC 边与AB 重合，得到ADB △，延长CE 与射线BD 交于点M （点M 与点D 不重合）．（1）依题意补全图1；（2）探究ADM ∠与AEM ∠的数量关系为 ；（3）如图2，若DE 平分ADB ∠，用等式表示线段MC ，AE ，BD 之间的数量关系， 并证明.2．（2021•海淀区一模）如图，四边形ABCD 是矩形，点E 是边BC 上一点，AE ⊥ED ．（1）求证：△ABE ∽△ECD ；（2）F 为AE 延长线上一点，满足EF =EA ，连接DF 交BC 于点G ．若AB =2，BE =1求GC 的长．3．（2021•大兴区一模）如图1，等边△ABC 中，点P 是BC 边上一点，作点C 关于直线AP 的对称点D ，连接CD ，BD ，作AE ⊥BD 于点E ；（1）若∠PAC ＝10°，依题意补全图1，并直接写出∠BCD 的度数； （2）如图2，若∠PAC ＝α（0°＜α＜30°）， ①求证：∠BCD ＝∠BAE ；②用等式表示线段BD ，CD ，AE 之间的数量关系并加以证明．4．（2021•丰台区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P在线段AB上，作射线CP （0°<∠ACP<45°），将射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．5．（2021•东城区一模）已知∠MAN=30︒，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B 重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接AQ , BQ．点A关于直线BQ的对称点为点C，连接PQ，CP．(1) 如图1，若点P为线段AB的中点.①直接写出∠AQB的度数；②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；(2) 如图2，若线段CP与BQ交于点D．①设∠BQP=α，求∠CPQ的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示线段DC，DQ，DP之间的数量关系，并证明．6．（2021•朝阳区一模）如图，在等腰三角形ABC 中，60BAC ∠<︒ ，AB AC = ，D 为BC 边的中点，将线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，连接BE 交AD 于点F 。
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北京市2016年各区中考一模汇编
平面几何之三角形
一、三角形和平行线
1.【2016东城一模，第06题】
如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直
接到达点A 和B 的点C ，连接AC 并延长至D ，使CD =CA ，连接BC 并延长至E ，使CE =CB ，连接ED . 若量出DE =58米，则A ，B 间的距离为 A ．29米 B ． 58米
C ．60米
D ．
116
米
2.【2016丰台一模，第06题】
如图，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，使点C 能直 接到达点A 和点B ，连接AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的 中点M ，N . 如果测得MN = 20m ，那么A ，B 两点的距离是 A. 10m B. 20m
C. 35m
D. 40m
3.【2016平谷一模，第06题】
如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AE ：EC =2：3，DE =4，则BC 的长为 A ．10 B ．8 C ．6 D ．5
4.【2016朝阳一模，第06题】
某地需要开辟一条隧道，隧道AB 的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C ，
使C 到A 、B 两点均可直接到达，测量找到AC 和BC 的中点D 、E ，测得DE 的长为1100m ，则隧道AB 的长度为
A ．3300m
B ．2200m
C ．1100m
D ．550m
5.【2016海淀一模，第06题】
如图，等腰直角三角板的顶点A ，C 分别在直线a 、b 上，
若a ∥b ，135∠=︒，则2∠的度数为 A.35︒B. 15︒C. 10︒D. 5︒
6.【2016西城一模，第09题】
某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机
的镜头C 观测水平雪道一端A 处的俯角为30°，另一端B 处的俯角为45°．若直升机镜头C 处的高度CD 为300米，点A ，D ，B 在同一直线上，则雪道AB 的长度为（）
A ．300米
B ．1502米
C ．900米
D ．
(300)米
7.【2016通州一模，第07题】
如图，把含有45︒角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形纸条的对边上．如果∠1=20︒，那么∠2的度数是
A. 30︒
B. 25︒
C. 20︒
D. 15︒
8.【2016通州一模，第09题】
如图，为测量池塘边上两点A 、B 之间的距离，小明在池塘
的一侧选取一点O ，测得OA 、OB 的中点分别是点D 、E ， 且DE ＝14米，那么A 、B 间的距离是
A ．18米
B ．24米
C ．30米
D ．28米
二、三角形的基本性质
9.【2016平谷一模，第10题】
如图1，在矩形 ABCD 中，AB <BC ，点E 为对角线AC 上的一个动点，连接BE ，DE ，过E 作EF ⊥BC 于F ．设AE =x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的
图
1 O 2
1
图 1
A ．线段BE
B ．线段EF
C ．线段CE
D ．线段DE
10.【2016平谷一模，第13题】
如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，连接CD ．要使△ADC 与△ABC
的条件是．
11.【2016平谷一模，第14题】
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个边长为1丈（1丈=10尺）的正方形水池，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深
度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x 尺，根据题意，可列方程为．
12.【2016朝阳一模，第10题】
如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，G 是BC 边上一个动点且不与点B 、C 重合，H 是AC
边上一点，且30=∠AGH °．设BG=x ，图中某条线段长为y ，y 与x 满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的
A ． 线段CG
B ． 线段AG
C ． 线段AH
D ． 线段CH
13.【2016海淀一模，第10题】
小明在暗室做小孔成像实验，如图1，固定光源（线段MN ）发出的光经过小孔（动点
K ）成像（线段）于足够长的固定挡板（直线l ）上，其中MN //l ，已知点K 匀速运动，其运动路径由AB ，BC ，CD ，DA ，AC ，BD 组成，记它的运动时间为x ，M '，N '的长度为y ，若y 关于x 的函数图像大致如图2所示，则点K 的运动路径可
能为
A. A B C D A →→→→
B. B C D A B →→→→
C. B C A D B →→→→
D. D A B C D →→→→
第13题
第14题 1
–112O 图2
D
B A
C
K M
N
N '
M '
图1
图2
三、三角形之复杂应用（大题）
14.【2016东城一模，第20题】
如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交CB 的延长线于点E ．若∠
BAC =40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添
加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）.
15.【2016丰台一模，第20题】
如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高线，BE AC ⊥于点E ，∠BAD =∠CBE .
求证：AB AC =.
16.【2016平谷一模，第20题】
如图，△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，FD ⊥BC 于D ，G 是FC 的中点，连接GD . 求证：GD ⊥DE .
A
F B
C
D
E G
17.【2016朝阳一模，第20题】
如图，E 为AC 上一点，EF ∥AB 交AF 于点F ，且AE = EF ． 求证：BAC ∠= 2∠1．
18【2016海淀一模，第20题】
如图，在ABC ∆中，90,BAC AD BD ∠=⊥于点D ，DE 为AC 边上的中线，求证：
BAD BDC ∠=∠
A
B D
E
C
19.【2016西城一模，第19题】
如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，AE BE ⊥于点E ，且
1
2
BE BC =
．求证：AB 平分EAD ∠．
20.【2016通州一模，第20题】
如图，在△ABC 中，AC =BC ，BD ⊥AC 于点D ，在△ABC 外作∠CAE =∠CBD
作CE ⊥AE 于点E .如果∠BCE =140︒，求∠BAC 的度数.
21.【2016东城一模，第28题】
如图，等边△ABC ，其边长为1， D 是BC 中点，点E ，F 分别位于
AB ，AC 边上，且∠EDF =120°.
（1）直接写出DE 与DF 的数量关系；
（2）若BE ，DE ，CF 能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）
1
F
E
C A。