高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)34函数的应用(Ⅱ)课堂探究新人教B版1.
版高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.4 函数的应用(Ⅱ)课件 新人教B版必修1.pptx
跟踪训练3 一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如
果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行为
集体票，按原价
2 3
优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的
孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更
优惠. 解 设家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N＋)，旅游收费为y，旅游原价为a. 甲旅行社收费：y＝a＋a2(x＋1)＝a2(x＋3)；乙旅行社收费：y＝23a(x＋2). ∵23a(x＋2)－a2(x＋3)＝a6(x－1)，
C.(－∞，2)
√D.(4，＋∞)
12345
21 答案
3.某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t
＋60，t＝0表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时温度为
∴当x＝1时，两家旅行社收费相等.
当x＞1时，甲旅行社更优惠.
18 解答
当堂训练
19
1.下列函数中随x的增长而增长最快的是
√A.y＝ex
C.y＝x100
B.y＝ln x D.y＝2x
12345
20 答案
2.能使不等式log2x<x2<2x一定成立的x的取值区间是
A.(0，＋∞)
B.(2，＋∞)
11
跟踪训练x2
的大致图象为
解析 f(x)为偶函数，排除A、B.
当x＞1时，y＝lg|x|＝lg x＞0，且增长速度小于y＝x2，
所以随着x的逐渐增大，
lg|x| x2
越来越接近0且函数值为正数，故选D.
解析 12 答案
类型二 函数模型应用
命题角度1 选择函数模型
人教B版高中数学必修一《第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.4 函数的应用(Ⅱ)》_0
《函数的应用》教学设计一、教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学1》（人教B版）第三章第四节第一课时《函数的应用》．函数的应用是在学生学习了函数，指数函数、对数函数和幂函数的概念与性质后进行的一次综合应用，它不仅能加深学生对所学函数知识的理解，同时能提高学生利用所学知识解决实际问题的能力．通过经历由实际问题建立函数模型，再利用模型分析、解决问题的过程，学生体验了数学在解决实际问题中的价值和作用，体验了数学与日常生活的联系，有助于增强学生的应用意识，激发他们学习数学的兴趣，发展他们的实践能力．二、教学目标设置根据教学内容，以及学生现有的认知水平和数学能力，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面：1．了解数学建模的基本步骤，会建立函数模型解决实际问题；2．经历建立函数模型解决实际问题的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，提高综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力；3．加深学生对数学应用问题的理解，培养学生的科学态度和反思意识，提高学习数学的兴趣．本节课的教学重点是建立函数模型解决实际问题；本节课的教学难点是选择适当的方案和函数模型解决问题．三、学生学情分析学生已经研究了一次函数、二次函数、指数函数等基本初等函数的图象和性质，能利用函数知识解决简单的数学应用问题．他们初步掌握了图形计算器的使用方法，能根据给定数据进行指定函数模型的拟合．授课班级的学生思维活跃，能积极参与课堂讨论．学生已经对北京的交通情况作了初步的调查和数据整理，对问题背景有一定的了解．但学生应用数学的意识不强，数据处理能力不足，也缺乏利用数学模型对实际问题进行分析和评价的经验．四、教学策略分析本节课以探究学习作为主要的学习方式，通过情境引入、初步探究、综合应用、总结提升四个环节，逐步将研究引向深入．引导学生通过自主探究、合作交流，经历数学建模的过程，培养应用数学的能力．为了突破难点，落实重点，我采取了以下措施：首先，学生使用图形计算器辅助学习，避免繁琐的计算，为从多角度，多层次研究问题提供了支持．其次，以北京的热点问题——交通问题作为研究背景，激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性．第三，将资料的采集和整理工作交给学生课前完成，让学生提前熟悉问题背景，降低探究难度，提高课堂效率．本节课的效果评价以当堂反馈为主，教师通过巡视、提问的方式关注学生的学习过程和学习进展．学生通过自主探索，交流讨论，上台展示等方式，展示学习的效果，发现认知障碍，以便得到及时的引导、分析和纠正．教师还将通过开放式作业进一步评估学生的学习效果．五、教学过程（一）创设情境，引入新课（1）教师对学生之前的调查作简单小结，引导学生回顾他们所提出的问题，引出本节课的课题——函数的应用．设计意图：让学生体会到数学来源于生活，激发学生的学习兴趣，并做好利用所学知识解决实际问题的准备，为后续探究做好铺垫．（2）ppt展示学生作业，师生共同梳理解题过程，并进行题后反思．设计意图：1. 复习利用确定函数模型解决应用问题的基本方法和步骤．2. 引发认知冲突，引导学生对问题进行反思，意识到实际问题往往数据多且没有确定的函数模型，从而引出后续的探究活动．（二）初步探究，归纳步骤展示阅读材料，探究问题一阅读材料——北京机动车保有量作为一个人口约为2000万的特大城市，北京市的交通拥堵问题一直比较严重．为了缓解拥堵，2011年，小客车（含私人小客车和非私人小客车）限购政策正式实施．从2011到2015年，小客车限购指标分别为24．．万．、24．．万．、24．．万．、12．．万．、12．．万．，在未来几年中，小客车限购指标将减少至每年1．0．万．．通过调控，北京市机动车（包含小客车和非小客车（如货车、摩托车等））增长趋势得到了一定的控制（见下图），截至2015年年底，北京市机动车保有量为562万．市交通委此前发布规划：力争到2020年将工作日高峰时段交通指数保持在6.0及以下，全市机动车保有量控制在630万辆以内．问题1 请你估计一下若不实行限购，2015年底北京市机动车保有量约为多少？学生分析、处理数据，利用图形计算器进行探究．之后学生上台展示探究过程，师生共同对探究过程和结果作简单评价并总结解决问题的基本步骤．设计意图：1．经历利用函数拟合解决实际问题的过程，了解解决实际问题的基本步骤，提高提取数据，分析数据的能力．2．通过选择不同的函数模型解决问题并对结果的合理性进行评价，学生感受到应用问题的现实意义．（三）综合应用，小结反思根据问题1总结的步骤，学生进一步探究问题2．问题2 请你预测一下按照现行的小客车限购政策，2020年北京市机动车的保有量控制目标能否达到？学生交流探究结果并对不同的问题处理方案进行简单评价．方案预设数据处理：（1）对总体数据（机动车保有量）进行拟合；（2）对调控部分（小客车）和非调控部分分别拟合．拟合函数：（1）y ax b =+；（2）2y ax bx c =++；（3）x y a b =⋅；（4）b y a x =⋅；（5）分段函数．设计意图：1．通过对问题的进一步探究，掌握解决实际问题的基本步骤．2．在对不同方案进行比较、评价的过程中，意识到解决实际问题应注意根据问题背景选择较合理的方案．题后反思： 1．请你对之前总结的流程图作适当修改，总结出利用函数知识解决实际问题的步骤．2．请你评价一下这个应用问题．设计意图：1．反思问题探究过程，归纳解决问题的一般方法，提高数学实践能力．2．体会到函数应用的现实意义，尝试从背景的现实性、方法的合理性、结果的有效性方面对应用问题进行反思．教师说明，现实问题往往受到很多因素的影响，并通过视频，让学生进一步了解问题背景．（四）课堂总结，提升认识师生共同回顾本节课的学习过程，归纳数学建模的过程与方法，了解了数学建模的两种方式．1．建立函数解决实际问题的步骤；2．建立函数模型的两种途径：（1）匹配确定模型（2）函数拟合3. 数学应用问题的现实意义背景的现实性、方法的合理性、结果的有效性设计意图：回顾本节课内容，总结解决问题的一般方法，体会到数学来源于生活，应用于生活，加深了对数学应用问题的理解，培养反思的意识．作业：1. 阅读教材113—115页，了解数学建模的第三种途径——创造新的函数模型．2. 请你利用本节课所学的知识和方法，整理和补充相关信息，建立适当的模型解决你提出的问题，并写出一篇小论文．设计意图：作业1给学有余力的同学以拓展的空间，完善学生的知识结构．通过开放式作业2，学生评估自身的学习效果，同时通过解决自己提出的问题，再次经历学数学、用数学的过程，提高数学实践能力．《函数应用》点评本节课研究的是北京市汽车保有量的问题，这是一堂数学建模课。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.4 函数的应用(Ⅱ)教案 新人教B版新人教B版高一数学教案
3.4 函数的应用（Ⅱ）整体设计教学分析教材利用3个实例介绍了指数函数、对数函数和幂函数在社会学、经济学和核物理学等领域中的广泛应用．由于本节与社会生活经验有联系，建议学生课前了解相关生活的知识．三维目标掌握指数函数、对数函数和幂函数在实际中的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，树立应用的意识．重点难点教学重点：建立函数模型．教学难点：建立函数模型．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105 m，g(20)＝2 m.也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解．思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的应用．推进新课新知探究提出问题①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力，湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数.④分别用表格、图象表示上述函数.⑤指出它们属于哪种函数模型.⑥讨论它们的单调性.⑦继续扩大x的取值范围，比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．①总价等于单价与数量的积．②面积等于边长的平方．③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….④列表画出函数图象．⑤引导学生回忆学过的函数模型．⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性． ⑦让学生自己比较并体会．⑧另外还有与对数函数有关的函数模型． 讨论结果：①y＝x.②y＝x 2.③y＝(1＋5%)x，甲 乙 丙 ⑤它们分别属于：y ＝kx ＋b(直线型)，y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0，抛物线型)，y ＝ka x＋b(指数型)．⑥从表格和图象得出它们都为增函数．⑦在不同区间增长速度不同，随着x 的增大y ＝(1＋5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．⑧另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y ＝log a x ＋b ，我们把它叫做对数型函数． 函数模型是应用最广泛的数学模型之一．许多实际问题一旦认定是函数关系．就可以通过研究函数的性质把握问题，使问题得到解决．应用示例例11995年我国人口总数是12亿．如果人口的自然年增长率控制在1.25%，问哪一年我国人口总数将超过14亿？解：设x 年后人口总数为14亿．依题意，得12·(1＋0.012 5)x＝14，即(1＋0.012 5)x＝1412.两边取对数，得xlg1.012 5＝lg14－lg12，所以x ＝lg14－lg12lg1.012 5≈12.4.所以13年后，即2008年我国人口总数将超过14亿．x，写出本利和y随存期x变化的函数式．如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少(精确到0.01元)?解：已知本金为a元：1期后的本利和为y1＝a＋a×r＝a(1＋r)；2期后的本利和为y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；3期后的本利和为y3＝a(1＋r)3；……x期后的本利和为y＝a(1＋r)x.将a＝1 000(元)，r＝2.25%，x＝5代入上式得y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55.由计算器算得y＝1 117.68(元)．所以复利函数式为y＝a(1＋r)x,5期后的本利和为1 117.68元.例3一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减：(1)求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期．(精确到0.1)．解：(1)最初的质量为500 g，经过1年，ω＝500(1－10%)＝500×0.91，经过2年，ω＝500×0.92，…由此推知，t年后，ω＝500×0.9t.(2)解方程500×0.9t＝250.0．9t＝0.5，lg0.9t＝lg0.5，tlg0.9＝lg0.5，t ＝lg0.5lg0.9≈6.6.知能训练(1)根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．(2)若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm ，体重为78 kg 的在校男生的体重是否正常？活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：根据表中的数据画出散点图．观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线．根据这些点的分布情况，可以考虑用y ＝a·b x这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系．解：(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图(下图甲)．根据点的分布特征，可以考虑用y ＝a·b x作为刻画这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 关系的函数模型．如果取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y ＝a·b x，得⎩⎪⎨⎪⎧7.9＝a·b 70，47.25＝a·b 160.用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y ＝2×1.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象(下图乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．(2)将x ＝175代入y ＝2×1.02x ，得y ＝2×1.02175， 由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以这个男生偏胖．甲 乙2．在自然界中，有些种群的世代是隔离，即每一代的生活周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡，第二年种子萌发产生下一代．假设一个理想种群，其每个个体产生2个后代，又假定种群开始时有10个个体，到第二代时，种群个体将上升为20个，以后每代增加1倍，依次为40,80,160，…，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡．活动：学生仔细审题，理解题目的含义，教师指导，注意归纳总结．解：设N t表示t世代种群的大小，N t＋1表示t＋1世代种群的大小，则N0＝10；N1＝10×2＝20；N2＝20×2＝40；N3＝40×2＝80；N4＝80×2＝160；….由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示：N t＋1＝R0·N t，其中R0为世代净繁殖率．如果种群的R0速率年复一年地增长，则N1＝R0N0，N2＝R0N1＝R02N0，N3＝R0N2＝R30N0，…N t＝R t0N0.R0是种群离散增长模型的重要参数，如果R0＞1，种群上升；R0＝1，种群稳定；0＜R0＜1，种群下降；R0＝0，雌体没有繁殖，种群在一代中死亡．拓展提升某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象(如下图所示)．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1＋t2＝t3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．哪些说法是正确的？解：①说法正确．∵关系为指数函数，∴可设y＝a x(a＞0且a≠1)．∴由图知2＝a1.∴a＝2，即底数为2.②∵25＝32＞30，∴说法正确．③∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确．④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴说法正确．⑤∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确．课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．小结：(1)建立函数模型；(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题．作业课本习题3—4 A 2、3、4.设计感想本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣．课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，是课本的补充和提高，其难度适中是各地高考模拟经常选用的素材．其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点，是一个不可多得的素材．备课资料[备选例题]例1某公司一年需要一种计算机元件8 000个，每天需同样多的元件用于组装整机．该元件每年分n 次进货，每次购买元件的数量均为x ，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，可以认为平均库存量为12x 件，每个元件的库存费是一年2元．请核算一下，每年进货几次花费最小？解：无论分几次进货，公司进货的总数是8 000个元件，元件费用是固定不变的，影响总费用变化的量只是库存费和购货手续费，若想减少库存费，就要增加进货次数，而进货次数的增加又使手续费的总量增加了，这就需要将二者对总费用的影响用数学关系表示清楚，进而求最小的花费．设购进8 000个元件的总费用为F ，一年总库存费为E ，手续费为H ，其他费用为C(C 为常数)，则E ＝2×12x ，H ＝500×8 000x ，x ＝8 000n (n≥1，n∈Z )，所以F ＝E ＋H ＋C ＝2×12x ＋500×8 000x ＋C＝8 000n ＋500n ＋C ＝500(16n＋n)＋C＝500(4n －n)2＋4 000＋C≥4 000＋C ，当且仅当4n＝n ，即n ＝4时，总费用最少，故以每年进货4次为宜．例2电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB 胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由于对AB 胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量．经过实验，已有一些恰当用胶量的具体数据(见下表)．现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系．解：我们取磁钢面积x 为横坐标、用胶量y 为纵坐标，建立直角坐标系．根据上表数据在直角坐标系中描点，得出下图．从图中我们清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近．画出这条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数y ＝ax ＋b 表示用胶量与磁钢面积的关系．取点(56.6,0.812)，(189.0,2.86)，将它们的坐标代入y ＝ax ＋b ，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧0.812＝56.6a ＋b ，2.86＝189.0a ＋b.解得a ＝0.015 47，b ＝－0.063 50.这条直线是y ＝0.015 47x －0.063 50.点评：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的．例3某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1 000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10,1 000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x的图象(如下图所示)．观察函数的图象，在区间[10,1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x的图象都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图象始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万． 对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x ＝20时，y ＝5，因此，当x ＞20时，y ＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10,1 000]上递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，所以该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1 000]时，是否有y x ＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f(x)＝log 7x ＋1－0.25x ，x∈[10,1 000]．利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象(如下图所示)，由函数图象可知它是递减的，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0， 即log 7x ＋1＜0.25x.所以当x∈[10,1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25. 说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司的要求．。
高中数学 第三章 基本初等函数(ⅰ) 3.4 函数的应用(ⅱ)课件 b必修1b高一必修1数学课件
12/7/2021
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2．某个病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖 规律为 y＝ekt(其中 k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表 示病毒个数)，则 k＝________，经过 5 小时，1 个病毒能繁 殖为________个． 答案：2ln 2 1 024
12/7/2021
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常见的几种函数模型 (1)直线模型：一次函数模型 y＝kx＋b(b≠0)的图象增长特点 是直线式上升 (x 的系数 k>0)，通过图象可以直观地认识它， 特例是正比例函数模型 y＝kx(k>0)． (2)反比例函数模型：y＝kx(k>0)型，增长特点是 y 随 x 的增 大而减小．
12/7/2021
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解：(1)设 v＝k·log31Q00． 因为当 Q＝900 时，v＝1， 所以 1＝k·log3910000， 所以 k＝12， 所以 v 关于 Q 的函数解析式为 v＝12log31Q00．
12/7/2021
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(2)令 v＝1．5，则 1．5＝12log31Q00， 所以 Q＝2 700． 即一条鲑鱼的游速是 1．5 m/s 时耗氧量为 2 700 个单位．
12/7/2021
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所以 y＝15(3－t2)＋35t ＝－15(t－32)2＋2210． 当 t＝32时，ymax＝2210＝1．05(万元)； 当 t＝32时，x＝34＝0．75(万元)．所以 3－x＝2．25(万元)． 由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品投入的资金 分别为 0．75 万元和 2．25 万元，总共获得利润 1．05 万元．
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高中数学（ B 版）必修一第一章集合1．1集合与集合的表示方法1．2集合之间的关系与运算第二章函数2．1函数2．2一次函数和二次函数2．3函数的应用（Ⅰ）2．4函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1指数与指数函数3．2对数与对数函数3．3幂函数3．4函数的应用（Ⅱ）高中数学（ B 版）必修二第一章立体几何初步1．1空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3圆的方程2．4 空间直角坐标系高中数学（ B 版）必修三第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1随机抽样 2．2用样本估计总体 2．3 变量的相关性第三章概率3．1随机现象3．2古典概型3．3随机数的含义与应用3． 4概率的应用高中数学（ B 版）必修四第一章基本初等函 (Ⅱ)1．1任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1向量的线性运算2．2向量的分解与向量的坐标运算2．3平面向量的数量积2．4向量的应用第三章三角恒等变换3．1和角公式3．2倍角公式和半角公式3．3三角函数的积化和差与和差化积高中数学（ B 版）必修五第一章解直角三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列2．2等差数列2．3等比数列第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2均值不等式3．3一元二次不等式及其解法3．4不等式的实际应用3．5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题高中数学（ B 版）选修 1－ 1第一章常用逻辑用语1．1命题与量词1．2基本逻辑联结词1．3充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2．2双曲线第三章导数及其应用3．1导数3．2导数的运算高中数学（ B 版）选修3．31－ 2导数的应用第一章第三章统计案例数系的扩充与复数的引入第二章第四章推理与证明框图高中数学（ B 版）选修 2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词 1.2基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程 2.2椭圆 2.3双曲线2.4抛物线 2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算 3.2空间向量在立体几何中的应用高中数学（ B 版）选修 2-2第一章导数及其应用1.1导数 1.2导数的运算1.3导数的应用 1.4定积分与微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念 3.2 复数的运算高中数学（ B 版）选修 2-3第一章计数原理1.1 基本计数原理 1.2 排列与组合1.3 二项式定理第二章概率2.1 离散型随机变量及其分布列2.3 随机变量的数字特征2.2 条件概率与事件的独立性2.4 正态分布第三章统计案例3.1 独立性检验 3.2 回归分析高中数学（ B 版）选修 4－4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的压缩变换 2 极坐标系1.3曲线的极坐标方程 1.4圆的极坐标方程1.5柱坐标系和球坐标系第二章参数方程2.1 曲线的参数方程 2.2 直线和圆的参数方程2.3 圆锥曲线的参数方程高中数学（ B 版）选修 4－ 5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法式1．3绝对值不等式的解法1．41．2 基本不等绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法原理 3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.4函数的应用(Ⅱ)课件新人教版必修1
当a>1，m>0时，随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢． y＝a·xα＋b(a≠0) ，其中最常见的是二次函数模型：y (3)幂函数模型，即_________________
＝ax2＋b(a≠0)，其特点是：当a>0时，随着自变量的增大，函数值先减小，后增
大．
1．当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是 导学号 65165010 ( D ) A．y＝100x C．y＝x100 B．y＝log100x D．y＝100x
(2)10年后该城市人口数为：100×(1＋1.2%)10＝112.7(万)．
(3)设x年后该城市人口将达到120万，即 100×(1＋1.2%)x＝120， ∴1.012x＝1.20. ∴x＝log1.0121.20＝15(年)．
答：人口总数y与年份x间的函数关系是
y＝100×(1＋1.2%)x， 10年后的城市人口总数约为112.7万，大约15年后该城市人口将达到120万
[分析] 具体列出一年后、二年后、三年后的人口总数，利用归纳的方法，
确定函数关系． [解析] (1)1年后该城市人口总数为： y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为：
y＝100×(1＋1.2%)＋100×1.2%(1＋1.2%)＝100(1＋1.2%)2；
3年后该城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2·1.2%＝100(1＋1.2)3； x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.
B．二次函数 D．对数型函数
本题考查对常见函数模型不同增长特点的理解．四种函数模型中只
有对数型函数具有初期利润增长迅速、后来增长越来越慢的特点，故选D．
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.3 幂函数学习导航学案 新人教B版必修1
3.3 幂函数自主整理1.幂函数的定义 (1)定义:一般地，我们把形如y=x α(α∈R )的函数叫做幂函数，其中x 为自变量，α为常数. (2)关于定义的理解： ①幂的底数是自变量;②幂的指数是一个常数，它可以取任意实数;③幂值前面的系数是1，否则不是幂函数,如函数y=5x 21就不是幂函数.④幂函数的定义域是使x α有意义的所有x 的集合，因α的不同，定义域也不同,如函数y=x 2的定义域为R ，而函数y=x1的定义域为{x|x∈R ,且x≠0}. 2.函数y=x ，y=x 2，y=x 3，y=x 21，y=x -1的图象与性质:y=xY=x 2y=x 3y=x 21y=x -1图象定义域 RRR［0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域 R ［0,+∞) R ［0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性增增 增 定点 (0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(1,1)3.幂函数的性质当n>0时，幂函数y=x n有下列性质： （1）图象都通过点（0，0），（1，1）；（2）在第一象限内，函数值y 随x 的增大而增大.当n<0时，幂函数y=x n的性质：（1）图象都过点（1，1）；（2）图象以直线x=0，y=0为渐近线；（3）在第一象限内的图象是下降的，即函数值y随x的增大而减小；（4）x∈(0,1)时，n越大曲线越靠近y轴;x∈(1,+∞)时，n越小曲线越靠近x轴.高手笔记1.判断函数是否为幂函数时要根据定义，即xα的系数为１，指数位置的α为一个常数，且常数项要为０，或者经过变形后满足条件的均可.2.在研究幂的性质时，通常将分数指数幂化为根式形式，负指数整数幂化为分式形式再去进行讨论.3.记忆口诀：如何分析幂函数，记住图象是关键，虽然指数各不同，分类之后变简单.大于0时抛物线，小于0时双曲线，还有0到1之间，抛物开口方向变,不仅开口向右方，原来图象取一半.函数奇偶看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数.图象第一象限内，函数增减看正负.名师解惑1.如何理解幂函数的图象和性质?剖析：幂函数y＝x n的性质和图象，由于n的取值不同而比较复杂，我们可以从下面几个方面来把握：(1)n<0时,图象不过原点,在第一象限内图象是下降的曲线,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.n>0时,图象必经过原点和(1,1)两定点,在第一象限内图象是上升的曲线,并且在区间［0,+∞)上是增函数.(2)幂函数的图象和性质,可归纳为下表:图象幂函数y=x n(n为常数)n>0 n<0性质(1)图象都通过点(0,0)和(1,1);(2)在第一象限内,函数值随x的增大而增大(1)图象都通过(1,1);(2)在第一象限内,函数值随x的增大而减小;(3)以x、y轴为渐近线剖析：当n∈N *时，定义域为R ； 当n=0时，定义域为{x|x≠0}；当n 为负整数时，定义域为{x|x≠0}； 当n=qp (p,q∈N *,q>1且p,q 互质）时， ①若q 为偶数，则定义域为［0,+∞)； ②若q 为奇数，则定义域为R ； 当n=qp -(p,q∈N *,q>1且p,q 互质）时， ①若q 为偶数，则定义域为(0,+∞)； ②若q 为奇数，则定义域为{x|x≠0}. 讲练互动【例题1】若（a+1）21-＜（3-2a ）21-，则a 的取值范围是__________.解析：因为函数y ＝x 21在［0，+∞)上单调递增， 所以y ＝x21-在(0，+∞)上单调递减.所以⎪⎩⎪⎨⎧>->+->+.023,01,231a a a a解得32＜a ＜23. 答案：（32，23）绿色通道虽然解决恒成立问题方法很多，但这里由于是选择题，用赋值法较方便. 黑色陷阱忘记负指数幂函数底数需大于0，将导致解题错误.用幂函数的单调性解不等式，但要注意x 的取值范围. 变式训练 1.已知(x-3)31-<(1+2x)31-，求x 的取值范围.分析:其实质是解不等式(x-3)31-<(1+2x)31-，由于不等式的左右两边的幂指数都是31-，因此可借助于幂函数y=x 31-的图象性质来求解.解：因为y=x31-在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数.x>0时，y>0；x<0时，y<0,原不等式可以化为：⎩⎨⎧>++>0,2x 12x,13-x ① ⎩⎨⎧<+>0,3-x 2x,13-x ② ⎩⎨⎧<>+0.3-x 0,2x 1 ③ ①无解；②的解为x<-4；③的解是21-<x<3. 所以所求的x 的取值范围为{x|x<-4或21-<x<3}.【例题2】已知0＜a ＜1，试比较a a，（a a）a，)(a a a的大小为__________.解析：为比较a a与（a a）a的大小，将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数f （x ）＝xa（0＜a ＜1)在区间［0，＋∞）上是增函数，因此只需比较底数a 与a a的大小.由于指数函数y ＝a z （0＜a ＜1）是减函数，且a ＜1，所以a ＜a a ，从而a a ＜（a a ）a.比较a a 与（a a ）a 的大小，也可将它们看成底数相同（都是a a）的两个幂，于是可以利用指数函数y ＝b x （b ＝a a ，0＜b ＜1)是减函数，由a ＜1，得到a a ＜（a a ）a. 由于a ＜a a，函数y ＝a z（0＜a ＜1）是减函数，因此a a＞)(a a a.答案：a )(a a a＜a a ＜（a a ）a绿色通道解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题就简单. 变式训练2.比较下列各组中两个值的大小: (1)1.553与1.653; (2)0.61.3与0.71.3; (3)3.532-与5.332-;(4)0.18-0.3与0.15-0.3.分析：比较幂值的大小是一种常见题型，也是一类容易做错的问题.如果指数相同，可以利用幂函数的单调性比较，如果底数相同就利用指数函数的单调性比较. 解：(1)∵1.553与1.653可分别看作幂函数y=x 53在1.5与1.6处的函数值, 且53>0,1.5<1.6, ∴由幂函数单调性,知1.553<1.653.(2)∵0.61.3与0.71.3可分别看作幂函数y=x 1.3在0.6与0.7处的函数值, 且1.3>0,0.6<0.7,∴由幂函数单调性,知0.61.3<0.71.3. (3)∵3.532-与5.332-可分别看作幂函数y=x32-在3.5与5.3处的函数值,且32-<0,3.5<5.3, ∴由幂函数单调性,知3.532->5.332-.(4)∵0.18-0.3与0.15-0.3可分别看作幂函数y=x -0.3在0.18与0.15处的函数值, 且-0.3<0,0.18>0.15,∴由幂函数单调性,知0.18-0.3<0.15-0.3.【例题3】幂函数y=x a ,y=x b ,y=x c ,y=x d在第一象限内的图象如图3-3-1所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )图3-3-1A.b<c<d<aB.b<c<a<dC.a<b<c<dD.a<d<c<b 解析：重点掌握幂函数在第一象限的图象特征，它是判断一些问题的法宝，当自变量x ＞1时，幂指数大的函数的函数值大. 方法一(性质法):由幂函数的性质可知，当自变量x ＞1时，幂指数大的函数的函数值较大，故有b ＞c ＞d ＞a.方法二(类比法):当x 趋于+∞时，函数y=x a 图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴，类似于典型幂函数y=x -1，故a<0.函数y=x b 在区间［0,+∞)上是增函数，图象下凸，类似于函数y=x 2,故b>1. 同法可知y=x c,y=x d类似于y=x 21,故0<c<1,0<d<1.∴a 最小，b 最大. 方法三(特殊值法):作直线x=2，由图象可知2a <2d <2c <2b,由指数函数的性质可知a<d<c<b,故选D. 答案：D 绿色通道通过这道题,可知对于幂函数不仅仅是从“形式上”掌握其概念、图象和性质，更重要的是真正的理解，例如需要掌握幂函数在第一象限的图象特征，这在今后的学习中也应注意. 变式训练3.图3-3-2中曲线是幂函数y=x α在第一象限的图象，已知α取±2，±21四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( )图3-3-2A.-2,21-,21,2 B.2,21,21-,-2 C.21-,-2,2,21D.2,21,-2,21-解析：要确定一个幂函数y=x α在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y=x α随着α值的改变图象的变化规律.随着α的变大，幂函数y=x α的图象在直线x=1的右侧从低向高分布.从图中可以看出，直线x=1右侧的图象，由高向低依次为C 1，C 2，C 3，C 4，所以C 1,C 2,C 3,C 4的指数α依次为2，21，21-21-，-2. 答案：B【例题4】画函数y=1+x -3的草图，并求出其单调区间.分析:此函数的作图有两个途径，一是根据描点的方法作图，二是利用坐标系的平移来作图.一般说来，作草图时，利用坐标平移较为方便. 解：y=1+x -3=)3(--x +1. ∴此函数的图象可由下列变换而得到:先作函数y=x 的图象，作其关于y 轴的对称图象，即y=x -的图象，将所得图象向右平移3个单位，向上平移1个单位，即为y=1+x -3的图象〔如图3-3-3(1)-(4)所示〕.图3-3-3黑色陷阱本题容易发生的错误：一是函数概念不清（该函数是以x 为自变量的函数）；二是在将函数式变形的过程不是等价变形，导致变形后的函数已不再是原有的函数了. 变式训练4.求出函数f （x ）=445422++++x x x x 的单调区间，并比较f （-π）与f （22-）的大小.分析:要写出f （x ）的单调区间，可通过化简把f （x ）转化成我们熟悉的基本初等函数的形式，利用基本初等函数的单调区间，表示出f （x ）的单调区间.解：f （x ）=4414422+++++x x x x =1+4412++x x =1+（x+2）-2， 它是由g （x ）=x -2向左平移2个单位，再向上平移1个单位而得到的.∵g（x ）的单调增区间是（-∞，0），单调减区间是（0，+∞），∴f（x ）=445422++++x x x x 的单调增区间是（-∞，-2），单调减区间是（-2，+∞），f （x ）的图象关于直线x=-2对称. ∵-π∈（-∞，-2），22-∈（-2，+∞），22-关于x=-2对称的点的横坐标是22-4， 又∵22-4<-π， ∴f （22-4）<f （-π）,即f （22-）<f （-π）. 教材链接［思考与讨论］(1)在幂函数y=x α中,如果α是正偶数(α=2n,n 为非零自然数),如α=2,4,6,…,这一类函数具有哪些重要性质?(2)在幂函数y=x α中,如果α是正奇数(α=2n -1,n 为非零自然数),如α=1,3,5,…,这一类函数具有哪些重要性质?(3)幂函数y=x α,x∈［0,+∞),α>1与0<α<1的图象有何不同? 答:(1)(2)(3)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间［0,+∞)上是增函数.当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；特别要记住幂函数在第一象限的图象可用口诀记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α>0(α≠1)时图象是抛物线型;α<0时图象是双曲线型,α>1时图象是竖直抛物线型，0<α<1时，图象是横卧抛物线型.。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.4 函数的应用(Ⅱ)教研素材 新人教B版必修1
3.4 函数的应用（Ⅱ）教研中心教学指导一、课标要求1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.2.结合实例体会直线上升,指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义.3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格)并借助信息技术解决一些实际问题.4.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等).了解函数模型的广泛应用.二、教学建议教学思路和意图在函数建模的教学过程中，一方面要求学生注意熟悉相关的实际背景，另一方面要注意总结整理常用的函数模型.同时，不能忽视归纳思想的应用，通过从具体到一般，发现函数的变化规律是建立数学模型的一种有效方法.必要情况下，对学生生疏的实际背景，应当予以补充.在本章的学习中，我们要重点掌握指数函数，对数函数和幂函数这三种不同增长的函数模型，能够利用计算器、计算机等辅助手段，通过列表、画图切身体会不同的增长情况，利用这三种函数模型解决生活中的实际问题.虽然幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型都是增长型的函数模型，但对三者进行细致的研究和分析可以发现这三种函数在增长的速度的快慢方面是有区别的，对这三种函数增长快慢的研究主要还是应该通过函数的图象进行，因此，准确地得到三者的函数图象是理解这一问题的关键，利用计算机进行作图是同学们应当掌握的基本技能.已给出函数模型的实际问题，关键是考虑考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给的模型，列出函数关系式，最后结合实际意义作出解答.要想提高解决实际问题的能力，需要培养从实际问题中抽象出数学本质、建立数学模型的能力，建立数学模型需要“过三关”：（1）事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解决问题寻找突破口；（2）文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；（3）数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型.建议教学方法应用题的数学模型是针对或参照应用特征或数量依存关系采用形式化的数学语言，概括或近似表达出来的一种数学结构.解决应用问题的过程就是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构，并运用自己掌握的数学知识去分析求解的过程，这一过程中需要培养学生的数学建模能力.建立数学模型的方法和步骤：模型准备:了解问题的实际背景，明确其实际意义、建模目的，搜集掌握对象的各种信息,弄清对象的特征，用数学语言来描述问题.模型假设:根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设.模型建立:在假设的基础上，利用对象的内在规律和适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构.（尽量用简单的数学工具）模型求解：利用获取的数据资料，采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术，对模型的所有参数作出计算（估计）. 模型分析:对模型解答所得结果进行数学上的误差分析，数据稳定性等分析.模型检验:将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性.如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释.如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程.模型应用:应用方式因问题的性质和建模的目的而异.资源参考经典考题“血浓于水”多少倍？基于“血浓于水”的观念，人们对有血统关系的亲人（以至推广到其他同胞），给予更多关爱.那么“血浓于水”的倍数是多少？这里我们可以通过对数（Logarithm）把血比水浓的程度计算出来.液体的酸碱浓度可以用化学上的pH来表示：pH=-lg［H+］.由于纯水中氢离子的浓度［H+］是1×10-7mol/L（浓度单位），所以纯水的pH=-lg［H+］=7.0与纯水相比，愈高的pH会有愈高的碱浓度；愈低的pH则表示愈高的酸浓度.血液的pH约为7.4（若高过7.5或低于7.3，人就会昏迷，甚至有死亡的危险！）.利用这些资料，便可以找到血比水浓的程度.血液的pH-纯水的pH=lg＝7.4-7.0=0.4，=100.4≈2.5,由此可见，血液的碱浓度是纯水的2.5倍.除血液外，日常生活中还有很多液体用品和食品，可与纯水比较其相对酸碱浓度.比方说，我们洗澡时是否留意沐浴露的pH？与纯水相比，它的相对浓度又是其多少倍？。
高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.4函数的应用Ⅱ课件新人教B版必修108012100
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【精彩点拨】 (1)理解题意，根据所给函数模型的增长趋势来选择； (2)根据(1)中所选择的函数模型，求出其解析式并求最大值． 【自主解答】 (1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均 GDP 处于中等 的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间上是单调 函数，所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适． (2)因为人均 GDP 为 1 千美元时，年人均 A 饮料的销量为 2 升；人均 GDP 为 4 千美元时，年人均 A 饮料的销量为 5 升，把 x＝1，y＝2；x＝4，y＝5 代入 到 y＝ax2＋bx，
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得25＝ ＝a1＋ 6ab＋，4b， 解得 a＝－14，b＝94，所以函数解析式为 y＝－14x2＋94x.(x ∈[0.5,8])
∵y＝－14x2＋94x＝－14x－922＋8116，∴当 x＝92时，年人均 A 饮料的销售量最 多是8116 L.
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不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律 1．线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律． 2．指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律． 3．对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律． 4．幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律． 因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数 模型来解决实际问题．
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根据函数图象判断增长函数模型时，通常是根据函数图象上升的快慢来判 断，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函 数是对数函数，中间的是幂函数.
2019_2020学年高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.4函数的应用Ⅱ课件新人教B版必修1
(2)若x0=5,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为多少个单位?
解:(2)将 x0=5,v=0 代入函数式可得 0= 1 log3 x -lg 5, 2 100
即 log3 x =2lg 5=2·(1-lg 2)≈2×0.70=1.40, 100
2
+2.6.
当 xA= 19 ≈3.2 万元时, 6
W 取最大值,约为 4.1 万元,此时 xB≈8.8 万元. 即该经营者下月把 12 万元中的 3.2 万元投资 A 种商品,8.8 万元投资 B 种
商品,
可获得最大利润约为 4.1 万元.
方法技巧
此题幂函数模型(y=a·xn+b(a≠0))的问题,关键是根据
思路点拨:此题属于图表信息题,涉及分段函数.主要考查学生阅读理解能力、构
建数学模型的能力和应用数学知识解决问题的能力,这也是今后几年高考的热点
之一.
解:设每月用气量为 x
m3,支付费用为
y
元,则由题意得
y=
3 3
C B
,
x
A
C
0 ,x
x
A.
A
,
由 0≤C≤5,有 3≤3+C≤8, 由于第二、第三月份的费用都大于 8,即用气量 25 m3,35 m3 都大于最低限度 A m3,
是 km/min,其中 x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数,x0 表示测量过程中候鸟每 分钟的耗氧偏差.(参与数据:lg 2≈0.30,31.2≈3.74,31.4≈4.66) (1)若 x0=2,候鸟每分钟的耗氧量为 8 100 个单位时,它的飞行速度是多少 km/min?
人教B版高中数学必修一《第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.4 函数的应用(Ⅱ)》_2
《方程的根与函数的零点》教学设计【教材分析】对教材的理解与把握：教材特点：将《数学分析》中的零点定理下放中学课程。
教材地位和作用：从中学教材结构看，起着承上启下的作用，地位至关重要．承上：本课内容可以看作是函数概念的一个子概念，是函数概念外延的一次扩充。
给出函数零点概念的目的是把函数与方程联系起来，把所有的中学代数问题都统一到函数的思想指导之下，从这个角度看本节课应承载建立函数与方程思想和数形结合思想的任务。
启下：本节课的主要教学内容是函数零点的定义和函数零点存在的判定依据，这两者显然是为“用二分法求方程近似解”这一“函数的应用”服务的。
【目标分析】 学情分析：学生具备的：(1)基本初等函数的图象和性质；(2)一元二次方程的根和相应二次函数图像与x 轴的联系； (3)具备将“数”与“形”相结合及转化的意识。
学生欠缺的：(1)应用函数解决问题的意识还不强；(2)由特殊到一般的归纳总结能力还不够；(3)理论型思维能力需进一步培养。
根据本节课的教学内容以及新课标对本节课的教学要求，结合以上对教材以及学情的分析，我制定以下教学目标：知识与技能目标：了解函数零点的概念；理解方程的根与函数零点之间的关系；掌握零点存在的判定方法；理解利用函数单调性判断函数零点的个数。
过程与方法目标：经历“类比——归纳——应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力；感悟由具体到抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力。
情感与价值观目标：培养学生自主探究，合作交流的能力，体验探究的乐趣；认识到事物的联系与转化；学会用辨证与联系的观点看问题。
【重点难点】重点：理解函数的零点与方程根的联系，掌握函数零点存在性的判定依据。
（问题情境—建立模型—解释—应用和拓展）难点：准确理解概念，探究发现函数零点存在的判定依据。
（直观类比—实践体验—归纳总结—发展问题） 【教法学法】结合本节课的教学内容和学生的认知水平：在教法上，我借助多媒体和几何画板软件，采用“启发—探究—讨论”的教学模式。
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3.4 函数的应用（Ⅱ）
课堂探究
探究一指数函数模型
指数函数y＝a x(a>1)经复合可以得到指数型函数，指数型函数的函数值变化较快，例如，生活中接触的储蓄问题，也就是增长率问题，就是指数型函数．指数型函数函数值的增长速度随底数不同而不同．
【典型例题1】某公司预投资100万元，有两种投资方案可供选择：方案一：年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；方案二：年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
思路分析：这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题．可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少，再通过比较作答．
解：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是
100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
由此可见，方案二更有利，5年后多得利息约3.86万元．
探究二对数函数模型
对数函数y＝l og a x(x>0，a>1)经复合可以得到对数型函数，其函数值变化比较缓慢．直接以对数型函数作为模型的应用问题不是很多，但我们知道，对数运算实际上是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算．
【典型例题2】 20世纪30年代，查尔斯·里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝l g A－l g A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差)．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪测得的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍(精确到1)．
解：(1)依题意知M＝l g 20－l g 0.001＝l g
20
0.001
＝l g 20 000＝l g 2＋l g 104＝4＋l g
2≈4.3.
因此这是一次里氏约4.3级的地震． (2)由M ＝l g A －l g A 0，可知M ＝l g 0A A ，所以0
A A ＝10M
. 所以A ＝A 0·10M
.
当M ＝7.6时，地震的最大振幅为A 1＝A 0·107.6
； 当M ＝5时，地震的最大振幅为A 2＝A 0·105
.
所以两次地震的最大振幅之比是12A A ＝7.605
01010
A A ⋅⋅＝107.6－5＝102.6
≈398， 所以7.6级地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的398倍． 探究三 幂函数模型
幂函数y ＝x α
(α>0)经过复合可以得到幂函数型函数，其增长变化率也较快． 【典型例题3】 2014年某地官方数字显示：该地区人口约有60万，但其人口总数在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？
以下数据供计算时使用：
40时，y ＝30，
即30(1＋x )40
＝60.
∴(1＋x )40
＝2，两边取对数， 则40l g(1＋x )＝l g 2，则l g(1＋x )＝12
40
g ≈0.007 526， ∴1＋x ≈1.017，得x ＝1.7%. 探究四 建立拟合函数模型
对于给出一组数据拟合函数模型的题目，应根据数据找出比较合理的函数模型．根据数据特点，可能有多种结果，因此用哪一个还需结合实情选择，总之建立拟合函数模型是一个不断优化的过程．
【典型例题4】 某工厂今年1,2,3月生产产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y (万件)与月份数x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或者函数y ＝ab x
＋c (a ≠0)，如果已知4月份的产量为1.37万件，问用以上哪一个函数模拟比较好？理由是什么？
思路分析：本题已给定两种供选择的函数模型，处理的关键就是根据已知数据求出模拟函数的具体表达式，然后分别用这两个所求的函数表达式来预测4月份的产量，看哪一个函数表达式的预测值与实际值比较接近．
解：设f (x )＝px 2
＋qx ＋r (p ≠0)．
由f (1)＝1，f (2)＝1.2，f (3)＝1.3，得142 1.2,93 1.3,p q r p q r p q r ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
解得p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7.
∴f (x )＝－0.05x 2
＋0.35x ＋0.7.∴f (4)＝1.3. 设g (x )＝ab x
＋c (a ≠0)．
由g (1)＝1，g (2)＝1.2，g (3)＝1.3，得2
31,1.2,1.3,ab c ab c ab c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
解得a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴g (x )＝－0.8×0.5x
＋1.4.∴g (4)＝1.35. ∵|1.3－1.37|＝0.07＞0.02＝|1.35－1.37|， ∴用y ＝－0.8×0.5x ＋1.4作模拟函数较好．。