最新圆切线练习题(含答案)
初三圆的切线试题及答案
初三圆的切线试题及答案
一、选择题
1. 下列说法正确的是（）
A. 圆的切线垂直于过切点的半径
B. 圆的切线与过切点的半径垂直
C. 圆的切线与过切点的直径垂直
D. 圆的切线与过切点的弦垂直
答案：B
2. 经过圆外一点作圆的切线，下列说法正确的是（）
A. 只能作一条
B. 能作两条
C. 能作无数条
D. 不能作
答案：B
二、填空题
3. 已知圆的半径为5，圆心到切线的距离为3，则切线的长度为______。
答案：4√2
4. 圆的直径为10，切线与直径的夹角为30°，则切线的长度为______。
答案：5√3
三、解答题
5. 已知圆O的半径为2，点A在圆外，OA=4，求经过点A的圆O的切
线长。
答案：首先，连接OA，设切点为B。
由题意知，OA=4，OB=2。
在直角
三角形OAB中，根据勾股定理，AB²=OA²-OB²=4²-2²=12，所以
AB=2√3。
由于切线与半径垂直，所以切线长为2√3。
6. 圆的半径为3，圆心到切线的距离为2，求切线与圆心的夹角。
答案：设切线与圆心的夹角为θ，根据切线的性质，圆心到切线的距
离等于半径乘以sinθ，即2=3sinθ。
解得sinθ=2/3。
由于θ在0°到90°之间，所以θ=arcsin(2/3)。
圆的切线的性质和判定-练习题-含答案.doc
D.不能确定的切线的性质与判定副标题 题号 * 总分 得分一、选择题（本大题共2小题，共6.0分）1.己知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3,此时直线和圆的位置关系为（） A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定【答案】C 【解析】解：半径r = 5,圆心到直线的距离d=3,v 5 > 3, BPr > d,二直线和圆相交，故选C.由直线和圆的位置关系：r>d,可知：直线和圆相交.本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系： 设。
的半径为厂，圆心。
到直线/的距离为丈 ①直线/和0。
相交②直线 /和。
相切od=r ；③直线/和。
0相离^d>r.2. 在中，zC= 90°, BC=3cm, AC=4cm,以点 C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则。
C 与直线AB 的位置关系是（） A,相交 B.相切 C.相离 【答案】A 【解析】解：过C 作CD LAB 于。
，如图所示： A ABC 中，L.C — 90, AC= 4, BC = 3, ・・・AB =、泌=5,7 A ABC^Jm=^-ACxBC=预8x CD, 2 2・•. 3 X 4 = 5 CD ,CD= 2.4<2.5, 即』< r, .••以2.5为半径的。
C 与直线AB 的关系是相交； 故选A.过C 作CD LAB 于C,根据勾股定理求出AB,根据三角形的面积公式求出CD,得出 d<r,根据直线和圆的位置关系即可得出结论.本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此 题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CO 的长，注意：直线和圆的位置关系有: 相离，相切，相交.二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）3, 如图，已知。
是MBC 的内切圆，切点为。
、E 、 尸，如果AE=2, CD= 1, BF= 3,则内切圆的半 径『= .BD【答案】1【解析】解：・.・。
圆的切线练习题
圆的切线练习题一、选择题1. 已知圆的半径为5，点P到圆心的距离为10，则点P与圆的位置关系是（）。
A. 点P在圆内B. 点P在圆上C. 点P在圆外2. 圆的切线与圆相切于点A，若切线与圆心的距离为6，则圆的半径是（）。
A. 3B. 6C. 12D. 9二、填空题1. 若圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，当d等于r时，点P与圆的位置关系是________。
2. 已知圆的切线在圆上与点A相切，若切线与圆心的距离为d，圆的半径为r，则切线与圆心的距离d等于________。
三、计算题1. 已知圆的半径为7，圆上一点A的坐标为(3,4)，求过点A的圆的切线方程。
2. 圆心坐标为(0,0)，半径为5，求过点(3,3)的圆的切线方程。
四、证明题1. 证明：圆的切线垂直于经过切点的半径。
2. 证明：若两圆相切于点A，且两圆的半径分别为r1和r2，点P在两圆的公共切线上，且PA=PB，则PA=PB=r1+r2。
五、应用题1. 一个圆的半径为10，圆心在原点(0,0)，求过点(6,8)的圆的切线方程。
2. 已知两圆外切，圆心分别为O1(-3,0)和O2(3,0)，半径分别为5和3，求两圆的公共切线方程。
六、综合题1. 在平面直角坐标系中，圆C的圆心在(1,2)，半径为3。
点A的坐标为(4,0)，求过点A的圆C的切线方程。
2. 圆心在(2,3)的圆与x轴相切，求圆的半径，并求出切点坐标。
七、探索题1. 探索：若圆的半径为定值，当圆上一点到圆心的距离逐渐增大时，过该点的圆的切线数量会如何变化？2. 探索：若两圆相切，且已知一圆的半径和两圆心的距离，如何求另一圆的半径？八、开放性问题1. 若圆的切线与圆心构成一个直角三角形，求切线的长度与圆的半径之间的关系。
2. 设想一个实际问题，其中涉及到圆的切线，并尝试构建一个数学模型来解决这个问题。
请注意，以上题目仅为示例，具体题目应根据实际教学大纲和学生水平进行适当调整。
初三圆的切线试题及答案
初三圆的切线试题及答案一、选择题1. 圆的切线与圆相切于一点，该点称为切点。
圆的切线有以下哪个特征？A. 切线与半径垂直B. 切线与直径平行C. 切线与切点的半径垂直D. 切线与圆心的距离等于半径答案：C2. 已知圆的半径为5，点A到圆心的距离为7，那么点A到圆的切线距离是多少？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A二、填空题1. 圆的切线与圆相切于______，并且切线与该点的半径垂直。
答案：切点2. 如果圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，当d > r时，点P到圆的切线距离为d - r；当d < r时，点P到圆的切线距离为______。
答案：r - d三、解答题1. 如图，圆O的半径为3，点P在圆O上，PA是圆O的切线，PA垂直于OP，求PA的长度。
解：由于PA是圆O的切线，根据切线的性质，我们知道PA与OP 垂直，且PA的长度等于OP的长度减去半径的长度。
因此，PA的长度为OP - 3。
由于OP是半径，所以OP = 3。
代入公式得PA = 3 - 3 = 0。
但这个结果显然是错误的，因为PA不可能为0。
这里需要重新审视题目，如果题目没有错误，那么可能是题目本身存在问题。
2. 已知圆的半径为5，点A在圆上，点B在圆外，AB是圆的切线，且AB垂直于过圆心的直线l，求点B到圆心O的距离。
解：由于AB是圆的切线，且AB垂直于过圆心的直线l，我们可以知道OA = 5（半径），并且由于AB垂直于l，根据勾股定理，我们可以计算出OB的长度。
设OB = x，那么根据勾股定理，我们有：\[ x^2 = OA^2 + AB^2 \]由于AB垂直于OA，所以AB的长度等于OA的长度，即AB = 5。
代入公式得：\[ x^2 = 5^2 + 5^2 = 50 \]解得x = √50 ≈ 7.07。
结束语：通过上述试题，我们可以看到圆的切线问题涉及到切线的性质、勾股定理以及几何图形的构造。
解决这类问题需要对圆的性质有深入的理解，并且能够灵活运用几何知识。
圆的切线综合练习题与答案完整版
圆的切线综合练习题与答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】切线的判定与性质练习题一、选择题（答案唯一，每小题3分）1．下列说法中，正确的是( )A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )A．70° B．35° C．20° D．40°第2题第3题第4题第5题3. 如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°4.如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )A．8 B．6 C．5 D．45.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC二．填空题（每小题3分）6．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________．第6题第7题第8题7.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________．8.如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______．9. 如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝_______度．第9题第10题第11题10. 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为______．11．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°，则∠B＝________度．三、解答题（写出详细解答或论证过程）12.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线．第12题第13题第14题13.（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.14.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．15.（10分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．第15题第16题16．（12分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．17.（12分）如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．答案：DDADC 6. 相切 7. ∠ABC＝90°不排除等效答案 8. 6 9. 45 10. 4 11. 6012. 解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线13. 解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A14. 解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB＝DH，∴AC与⊙D相切15. 解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2，由勾股定理，得OD＝22＋22＝22，∴BD＝OD－OB＝22－216. (1) ∠BAE＝90°∠EAC＝∠ABC(2) (2)EF是⊙O的切线．证明：作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线17. 解：(1)连接OC，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD为⊙O 的切线(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，∴四边形OCDF为矩形．∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x，AF＝5－x，在Rt△AOF中，有AF2＋OF2＝OA2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x1＝2，x2＝9，由AD＜DF知0＜x＜5，故x＝2，从而AD＝2，AF＝5－2＝3，由垂径定理得AB＝2AF＝6。
圆的切线性质题 2024高考数学题目及答案
圆的切线性质题 2024高考数学题目及答案
题目：
已知圆O的半径为r，点A在圆上，且AO的长度为3r。
过点A作
圆O的切线，切线与AO的交点为点B。
若AC是圆O的直径，求证：∠ABC = 90°。
解析：
为了证明∠ABC = 90°，我们可以通过几何方法来推导。
首先，连接OB。
由于AB是圆O的切线，根据切线与半径的关系
可知∠OAB = 90°。
因此，三角形OAB是直角三角形。
另一方面，AC是圆O的直径，所以∠OAC = 90°。
根据直径的性质，直径所对的两个角是直角。
由于∠OAB = 90°，且∠OAC = 90°，所以∠OAB = ∠OAC。
根据
等角定理可知，∠ABC = ∠OAB + ∠OAC = ∠OAB + ∠OAB =
2∠OAB = 2 × 90° = 180°。
因为∠ABC = 180°，所以∠ABC是一个平角。
而在平面几何中，平角是不存在的。
所以，我们推断∠ABC只能是90°。
因此，已证明∠ABC = 90°。
答案：已证明∠ABC = 90°。
初中圆切线试题及答案
初中圆切线试题及答案一、选择题1. 圆的切线与过切点的半径垂直，这是圆的切线性质中的哪一条？A. 切线与半径垂直B. 切线与直径垂直C. 切线与切点垂直D. 切线与圆心垂直答案：A2. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，则直线与圆的位置关系是：A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定答案：C3. 圆的切线与圆的交点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：B二、填空题4. 圆的切线与过切点的半径垂直，因此圆的切线与_________垂直。
答案：过切点的半径5. 如果圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，那么直线与圆相切的条件是_________。
答案：d = r三、解答题6. 已知圆O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，求证：直线l是圆O的切线。
证明：由题意知，圆心O到直线l的距离d=3，圆的半径r=4。
因为d=r，所以直线l与圆O相切。
7. 已知圆的半径为6，圆心到直线的距离为5，求圆与直线的交点个数。
解：由于圆心到直线的距离d=5小于圆的半径r=6，所以直线与圆相交，交点个数为2个。
四、计算题8. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25，直线方程为3x + 4y - 15 = 0，求直线与圆的切线方程。
解：首先求圆心坐标，圆心为(2, 3)。
计算圆心到直线的距离d，利用点到直线距离公式：\[ d = \frac{|3*2 + 4*3 - 15|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 + 12 - 15|}{5} = 1 \]由于d=1，直线与圆相切。
设切线方程为3x + 4y + c = 0，将圆心坐标代入得：\[ 3*2 + 4*3 + c = 0 \]\[ 6 + 12 + c = 0 \]\[ c = -18 \]所以切线方程为3x + 4y - 18 = 0。
圆切线练习题(含答案)
圆切线练习题(含答案)XXX∠OAD，又∠OAD＝90°，∴∠XXX°。
又因为CD与半径OD重合，∴CD垂直于过切点D的半径，即CD是⊙O的切线。
例5.证明：由点悟可知，须证OD＝OA。
XXX是⊙O的直径，∴∠OAB＝90°，又∠XXX°，因此O、B、D三点共线。
OBD是直角三角形，∴OD＝OB×sin∠OBD＝r×sin∠OAB＝OA。
又因为OD是⊙O的半径，∴OD＝r。
OA＝r，即AC与⊙O相切。
例6.证明：如图所示。
OA⊥OB，∴∠XXX°，又∠OAD＝∠DPB，∴∠DPB＝90°。
CD是⊙O的切线，∴PC＝CD。
例7.解：如图所示。
O是内心，∴∠BOC＝2∠A＝140°。
答案：∠BOC＝140°。
题目：证明在一个圆中，若一条直径的一端点与圆上一点相连，且与该点相连的两条切线分别与直径所在直线交于不同点，则这两个交点和圆上的该点构成一个等腰三角形。
证明：连接直径的另一端点和圆上的该点，得到三角形ACD。
由于OA=OD，所以∠ODA=∠OAD，从而∠COB=∠COD。
又因为OD=OB，所以三角形COB≌三角形COD，从而∠B=∠XXX。
由于BC是切线，而AB是直径，所以∠B=90°，∠ODC=90°，因此CD是圆的切线。
在证明中，我们先利用“切线的性质定理”和“全等三角形”的基本图形，构造辅助线OD。
然后利用切线的判定定理，得到CD是圆的切线。
这样就证明了∠COB=∠COD和CD是圆的切线。
接下来，我们连接直径的另一端点和圆上的该点，得到三角形ACD。
由于OA=OD，所以∠ODA=∠OAD，从而∠COB=∠COD。
又因为OD=OB，所以三角形COB≌三角形COD，从而∠B=∠XXX。
由于BC是切线，而AB是直径，所以∠B=90°，∠ODC=90°，因此CD是圆的切线。
圆切线40道题
1. 如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA =，1PB =，那么APC ∠等于( )A ． 15B ． 30C ． 45D ．601答案：B2. 已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，4PA =，那么PC 的长等于( )A ．6B ．C ．D ．答案：D 3. 如图，⊙O 为ABC 的内切圆，=90C ︒∠，AO 的延长线交BC 于点D ，4AC =，1CD =，则⊙O 的半径等于( )A ．45B ．45C ．43D ．651答案：A4. 如图，PA 切⊙O 于点A ，PBC 是⊙O 的割线且过圆心，4PA =，2PB =，则⊙O的半径等于( )A ．3B ．4C ．6D ．8答案：A5. 如图，两个等圆⊙O 和⊙O '的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则AOB ∠等于 ( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒答案：C6. 如图：已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于点P ．5PC =，则⊙O 的半径为 ( ) A ．335 B ．635 C ．10 D ．5答案：A7. 如图：PA 切⊙O 于点A ，PBC 是⊙O 的一条割线，有3PA =2，PB BC =，那么BC 的长是( )A. 3B ．CD ．答案：A8. 如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC 2=6，PA 4=，则⊙O 的半径等于( )A. 1 B ．2 C ．32 D ．2答案: A9. 如图，已知直线AB 是⊙O 的切线，A 为切点，OB 交⊙O 于点C ，点D 在⊙O 上，且40OBA ︒∠=，则ADC ∠的度数为( )A ．20︒B ．25C ．40︒D ．50︒答案：B解答：∵AB 为圆O 的切线∴AB OA ⊥∵40OBA ︒∠=∴50AOB ︒∠=∵AOB ∠与ADC ∠都对弧AC ∴1252ADC AOB ︒∠=∠= 故选B10. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，连接OP 交AB 于点C ，连接OA 、OB ，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为( )A ．1, 0B ．22，C ．2， 6D ．1， 6答案：C解：因为OA 、OB 为圆O 的半径，所以OA OB =，所以AOB ∆为等腰三角形， 根据切线长定理，PA PB =，故△APB 为等腰三角形，共两个，根据切线长定理，PA PB =，APC BPC ∠=∠，PC PC =，所以△PAC ≅△PBC ， 故AB PE ⊥，根据切线的性质定理90OAP OBP ︒∠=∠=，所以直角三角形有：△AOC ，△AOP ，△APC ，△OBC ，△OBP ，△CBP ，共6个． 故选C ．11. 如图，点C 、O 在线段AB 上，且5AC CO OB ===，过点A 作以BC 为直径的⊙O切线，D 为切点，则AD 的长为( )A ．5B ．6C ．D ．10解：∵AD 是O 的切线，ACB 是O 的割线∴2AD AC AB =⋅又15AB AC CO OB =++=∴251575AD =⨯=∴AD = （AD =-故选c二、填空题12. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知80BAC ∠= ，那么BDC ∠=____________度．答案：50 13. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，弧BC ，弧CD ，弧AD 的度数比为3:2:4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则BCM ∠的度数为______答案：30︒14. 如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，6PC =，:1:2BC AC =，则AB 的长为______．答案：915. 如图，8AB =，6AC =，以AC 和BC 为直径作半圆，两圆的公切线MN 与AB 的延长线交于D ，则BD 的长为______．答案：116. 如图，AB 为⊙O 的直径，P 点在AB 的延长线上，PM 切⊙O 于M 点．若OA a =，PM =，那么△PMB 的周长的______．答案：()a 23+17. 如图，PA 、PB 与⊙O 分别相切于点A 、点B ，AC 是⊙O 的直径，PC 交⊙O 于点D ．已知60APB ︒∠=，2AC =，那么CD 的长为______．答案：774 18. 如图，PT 是⊙O 的切线，T 为切点，PB 是⊙O 的割线交⊙O 于A 、B 两点，交弦CD 于点M ，已知：10CM =，2MD =，4PA MB ==，则PT 的长等于______．答案：13219. 如图，PE 是⊙O 的切线，E 为切点，PAB 、PCD 是割线，35AB =，50CD =，:1:2AC DB =，则PA = ______答案：25°解：连接OC∴CD 是O 的切线∴OC ⊥CD∴90OCD ︒∠=∵40D ︒∠=∴9050COD D ︒︒∠=-∠=∴1252B COD ︒∠=∠=故答案为：25︒24. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 是切点，CD 切劣弧AB 于点E ，已知切线PA 的长为6cm ，则PCD ∆的周长为______cm ．答案：12解答：根据切线长定理得：PA PB =，AC EC =，BD ED =，则PCD ∆的周长212PA cm ==25. 如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，⊙O 的割线PBC 过点O 与⊙O 分别交于B 、C ，8PA cm =，4PB cm =，求⊙O 的半径．解：设⊙的半径为r ，由切割线定理，得2PA PB PC =⋅，∴284(42r =+），解得6()r cm =． 即⊙O 的半径为6r cm =．26. 已知：如图，BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ，若:2:3AD DB =，10AC =，求sin B 的值．解：由已知:2:3AD DB =，可设2AD k =，3(0)DB k k =>．∵ AC 切⊙O 于点C ，线段A D B 为⊙O 的割线， ∴ 2AC AD AB =⋅， ∵ 235AB AD DB k k k =+=+=， ∴ 21025k k =⨯，∴ 210k =， ∵ 0k >，∴k =．∴ 5AB k ==．∵ AC 切⊙O 于C ，BC 为⊙O 的直径， ∴ AC BC ⊥．在Rt ACB ∆中，sin B =51010510==AB AC 27. 如图，PC 为⊙O 的切线，C 为切点，PAB 是过O 的割线，CD AB ⊥于点D ，若1tan 2B =，10PC cm =，求三角形BCD 的面积．解： ∵ AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∴ 90ACB ︒∠=．C D A B ⊥于点D ， ∴ 90ADC BDC ︒∠=∠=，290BAC B ︒∠=-∠=∠．∵ tanB ＝21，∴ tan ∠2＝21．∴ CB AC DB CD CD AD ===21． 设(0)AD x x =>，2CD x =，4DB x =，5AB x =．∵ PC 切⊙O 于点C ，点B在⊙O 上，∴ 1B ∠=∠． ∵ P P ∠=∠，∴ △PAC ∽△P C B ，∴21==CB AC PC PA ． ∵ 10PC =，∴ 5PA =， ∵ PC 切⊙O 于点C ，PAB 是⊙O 的割线，∵2PC PA PB =⋅，∴ 2105(55)x =+．解得3x =.∴3AD =，612CD DB ＝，＝．∴ 116123622BCD S CD DB ∆=⋅=⨯⨯=． 即三角形BCD 的面积236cm ．28. 如图14，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，O 交直线OB 于E D ，，连接EC CD ，．（1）求证：直线AB 是O 的切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若1tan 2CED ∠=，O 的半径为3，求OA 的长．解：（1）证明：如图3，连接OC ． OA OB = ，CA CB =，OC AB ∴⊥．AB ∴是O 的切线．（2）2BC BD BE =⋅． ED 是直径，90ECD ∴∠= ．90E EDC ∴∠+∠=． 又90BCD OCD ∠+∠= ，OCD ODC ∠=∠，BCD E ∴∠=∠． 又CBD EBC ∠=∠ ，BCD BEC ∴△∽△．BC BD BE BC∴=．2BC BD BE ∴=⋅． （3）1tan 2CED ∠= ，12CD EC ∴=．BCD BEC △∽△，12BD CD BC EC ∴==． 设BD x =，则2BC x =．又2BC BD BE =⋅，2(2)(6)x x x ∴=⋅+．解之，得10x =，22x =．0BD x => ，2BD ∴=． 325OA OB BD OD ∴==+=+=．29. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且DCB A ∠=∠．（1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．（2）若CD 与⊙O 相切，且30,10D BD ︒∠==，求⊙O 的半径．A解：（1）CD 与⊙O 相切 理由：①C 点在⊙O 上（已知）②∵AB 是直径 ∴90OCD ︒∠=，即90ACO OCB ︒∠+∠= ∵A OCA ∠=∠且DCB A ∠=∠ ∴OCA DCB ∠=∠ ∴90OCD ︒∠= 综上：CD 是⊙O 的切线．（2）在R t O C D ∆中，30D ︒∠= ∴60COD ︒∠= ∴30A ︒∠=∴30BCD ︒∠=∴10BC BD == ∴20AB =，∴10r =答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10．30. AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连BC ．若30P ∠= ，求B ∠的度数．解题思路：运用切线的性质 .解：PA 切⊙O 于AAB ，是⊙O 的直径， ∴90PAO ∠=． 30P ∠= ，∴60AOP ∠= ．∴1302B AOP ∠=∠= 31. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠．求证：AE 是⊙O 的切线；解题思路：运用切线的判定证明：连接OA ，DA 平分BDE ∠，BDA EDA ∴∠=∠．OA OD ODA OAD =∴∠=∠ ，．OAD EDA ∴∠=∠．OA CE ∴∥．B PAE DE ⊥ ，9090AED OAE DEA ∴∠=∠=∠= ，．AE OA ∴⊥．AE ∴是⊙O 的切线．32. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 的中点D 在⊙O 上，DE BC ⊥于E ．求证：DE 是⊙O 的切线．证明：连接OD∵AO OB =，D 为AC 的中点，∴//OD BC∵DE BC ⊥∴DE OD ⊥∵OD 是O 的半径∴DE 是O 的切线33. 已知：如图，以Rt ABC ∆的直角边AB 为直径的半圆O ，与斜边AC 交于D ，E 是BC边上的中点，连接DE ，求证：DE 与半圆O 相切．证明：连OD ，OE ，如图∵E 是BC 边上的中点，AB 为半圆O 的直径∴OE 是Rt ABC ∆的中位线∴//OE AC∴13,2A ∠=∠∠=∠，而OD OA =，3A ∠=∠∴12∠=∠又∵OD OB =，OE 为公共边∴OED OEB ∆≅∆∴90ODE OBE ︒∠=∠=∴DE 与半圆O 相切34. 如图所示，ABC ∆为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，⊙O 与腰AB 相切于点D 。
初三圆的切线练习题及答案
初三圆的切线练习题及答案圆的切线是数学中的重要概念，初三学生需要通过练习来巩固和掌握相关的知识。
下面是一些圆的切线练习题及答案，供初三学生参考。
题目一：已知圆O的半径为6cm，A为圆上一点，B为圆上与A相对应的点，且AB为圆的直径。
点C为圆上任意一点,点D为OC的垂足。
求证：OC是∠ACD的平分线。
（解析）解：首先，连接OD、AD。
由于AB是圆的直径，所以∠BAD为直角。
因为AO、OD都是半径，所以AO=OD。
又因为∠OAD=∠ODA，所以△AOD是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，可知∠DAO=∠DOA。
又因为∠DAB=90°，所以∠ODA+∠DAB=90°。
所以∠ODA+∠DAB=∠DAO+∠DOA。
整理得到∠ODA=∠DAO。
因此，OC是∠ACD的平分线。
已知圆O的半径为8cm，切线AB与半径OC相交于点D，且CD = 14cm。
求证：AD = 2BD。
（解析）解：首先，连接OD、AO、BO。
根据切线与半径的性质，可知∠ODB=90°，∠OAB=90°。
所以△ODB与△OAB共边且有一个角是90°，因此△ODB≌△OAB。
根据等腰三角形的性质，可知OD=OA。
设AD=x，BD=y。
根据勾股定理可得：x²+y²=OD²①由于△ODB≌△OAB，所以AD=2y。
根据勾股定理可得：(2y)²+y²=OA²②由于OD=OA，所以OD²=OA²。
代入上式，得到：化简得到：x²=2y²由于AD=2y，所以x=2y。
所以AD=2BD。
答案一：OC是∠ACD的平分线。
答案二：AD = 2BD。
通过以上的练习题及答案，初三学生可以加强对圆的切线性质的理解与掌握。
希望同学们通过不断地练习与思考，能够熟练运用相关知识解决实际问题。
祝大家学习进步！。
圆形切线经典习题
圆形切线经典习题1. 切线定义在数学中，一条切线是一条与圆的曲线相切，且切点与圆心连线垂直的直线。
切线的长度与半径相等。
2. 切线性质- 切线与圆的交点处，切线的斜率是切点处切线的斜率的负倒数。
- 切线与半径在交点处构成直角。
3. 切线计算设圆的方程为 x^2 + y^2 = r^2，圆心为 (a, b)，切线的斜率为 k，则切线方程为：y - b = k(x - a)4. 经典题题1已知圆的方程为 x^2 + y^2 = 4 和点 P(1, -1) 是圆上的一点，求通过点 P 切圆的切线方程。
题2已知圆的方程为 x^2 + y^2 = 9 和切点为 A(3, -2)，求通过切点A 切圆的切线方程。
题3已知圆的方程为 x^2 + y^2 = 25 和切线方程为 y = 2x + 1，求切点坐标。
题4已知圆的方程为 (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25，求与圆相切且斜率为 3 的切线方程。
5. 解答题1通过点 P 切圆的切线方程为：y - (-1) = k(x - 1)题2通过切点 A 切圆的切线方程为：y - (-2) = k(x - 3)题3设切点坐标为 (x1, y1)，代入切线方程得：2x1 + 1 = y1代入圆的方程得：x1^2 + y1^2 = 25联立解方程得切点坐标。
题4斜率为 3 的切线方程为：y - 3 = 3(x - 2)解得切点坐标。
以上是圆形切线的经典习题及解答。
通过这些习题的练习，可以加深对圆形切线的理解与掌握。
圆的切线证明 中考数学专项训练(含答案解析)
圆的切线证明(1)求证：CD 为O 切线；(2)若1CD =，5AC =，求PB (1)求证：CD 是O 的切线；(2)若16ABCD S =正方形，求CE3．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的O 分别交AB ，AC 于点E ，F 连接OF 交AD 于点G ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若60OFA ∠=︒，半径为4，在圆O 上取点P ，使15PDE ∠=︒，求点P 到直线DE 的距离．4．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足是点H ，过点C 作直线分别与AB ，AD 的延长线交于点E ，F ，且2ECD BAD ∠=∠．(1)求证：CF 是O 的切线；(2)如果20AB =，12CD =，求AE 的长．5．如图，O 是ABC 的外接圆，O 点在BC 边上，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接BD 、CD ，过点D 作BC 的平行线，与AB 的延长线相交于点P ．(1)求证：PD 是O 的切线；(2)若3AB =，4AC =，求线段BD 的长．6．如图，已知以Rt ABC △的直角边AB 为直径作O ，与斜边AC 交于点D ，E 为BC 边上的中点，连接DE ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若AD ，AB 的长是方程210240x x -+=的两个根，求直角边BC 的长．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30C ∠=︒，23CD =，求图中阴影部分的面积．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若2AB =，30C ∠=︒，求9．如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，BAC DAC ∠=∠，过点C 作直线EF AD ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接BC ．(1)求证：EF 是O 的切线；(2)若30CAO ∠=︒，2BC =，求CE 的长．10．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点（与点A ，B 不重合），过点C 作直线PQ ，使得ACQ ABC ∠=∠．(1)求证：直线PQ 是O 的切线．(2)过点A 作AD PQ ⊥于点D ，交O 于点E ，若O 的半径为2，30DAC ∠=︒，求图中阴影部分的面积．11．如图，等腰ABC 的顶点A ，C 在O 上， BC 边经过圆心0且与O 交于D 点，30B ∠=︒.(1)求证：AB 是O 的切线；(2)若6AB =，求阴影部分的面积12．如图，AB 是ABC 外接圆O 的直径，PA 是O 的切线，BD OP ∥，点D 在O 上．(1)求证：PD 是O 的切线．(2)若ABC 的边6cm AC =，8cm BC =，I 是ABC 的内心，求IO 的长度．13．如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，点D 是O 上一点，OD AB ⊥，连接CD 交AB 于点E ，F 是AB 延长线上的一点，且CF EF =．(1)求证：CF 是O 的切线；(2)若8CF =，4BF =，求弧BD 的长度．14．如图所示，在Rt ABC △中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆O ，分别与BC 、AB 相交于点D 、E ，连接AD ，已知CAD B ∠=∠．(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若23AD CD ==时，求阴影部分的面积．(1)求证：PA是O(2)若tan CAD∠=(3)延长CD，AB交于点(1)求证：DE BG=；(2)求证：BF是O的切线；(3)若23DEEG=时，AE(1)当60A ∠=︒，2AD =时，求(2)求证：DF 是O 的切线．(1)求证：DF 是O (2)若 BE DE =，tan(1)求证：直线AB 为O 的切线；(2)若4tan 3A =，O 的半径为2，求AB (1)求证：BF 是O 的切线；(2)若6EF =，cos ABC ∠①求BF 的长；②求O 的半径．参考答案：∵CD AE ⊥，∴90ADC ∠=︒，∵OC OA =，∴OCA OAC ∠=∠，∵的平分线AC 交O 于∵AB 为O 直径，∴90ACB ∠=︒，∴90ADC ACB ∠=∠=︒，∵DAC OAC ∠=∠，∴，【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．3．(1)见解析(2)232-或423-【分析】（1）连接OD ，可得（2）①过点P 作PN DE ⊥交交于H ，可求60EOD ∠=︒，即可求解；②连接OD ，OP 60EOD ∠=︒，30POE ∠=︒，可证求解．【详解】（1）解：如图，连接∴OA OD =，∴ODA OAD ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线，， ∠=︒PDE15=，PE PE ∴∠=︒POE30，OA OF∠=︒60OFA=，∴∠=︒，OAF60∠的平分线， AD是BAC同理可求60EOD ∠=︒，30POE ∠=︒，1302DOL EOD ∴∠=∠=︒，30DOP EOD POE ∠=∠-∠=︒，DOP DOL ∴∠=∠，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，AO OB =，AB CD ⊥ ，AB ∴平分弦CD ，AB 平分 CD，CH HD ∴=， CBDB =，90CHA CHE ∠=︒=∠，BAD BAC DCB ∴∠=∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴BDC 为直角三角形，∵E 为BC 边上的中点，∴ED EB =，∴12∠=∠，∵OB OD =，3=4∠∠∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，设OB OD r ==，∴ABC ODB ∠=∠，∵AB AC =，23CD =，C ∠=∴23BD CD ==，30B C ∠=∠=∴1803030120BOD ∠=︒-︒-︒=︒OF BD ⊥==OB OD AB AC,∴∠=∠，B CB ODB∠=∠∴∠=∠．ODB C∴∥．OD AC，=OA OC∴∠=∠，OAC OCAQ，∠=∠DAC BAC∴∠=∠，DAC OCA∥，∴AD OC，EF AD⊥∴⊥，而OC为半径，EF OC的切线；∴是OEF的直径，（2）解：AB为O（1）根据题意连接OC ，可知90ACB ∠=︒，可知AOC 是等腰三角形，OAC OCA ∠=∠，继而可证90OCD ∠=︒；（2）连接OE ，过点E 作EF AB ⊥，根据题意可知60EAO ∠=︒即可得知AEO △为等边三角形，再求出扇形AOE 面积减去AEO △的面积即为阴影面积．【详解】（1）解：连接OC ，，∵OA OC =，AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB CBA ∠+∠=︒，∴AOC 是等腰三角形，∴OAC OCA ∠=∠，∵ACQ ABC ∠=∠，∴90ACQ OCA ∠+∠=︒，∴OC PQ ⊥，∴直线PQ 是O 的切线；（2）解：连接OE ，过点E 作EF AB ⊥，，∵AD PQ ⊥，ACQ ABC ∠=∠，∴30DAC CAB ∠=∠=︒，∴60EAO ∠=︒，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∵BD OP ∥，∴OP AD ⊥，OP 是AD 的垂直平分线，∴PD PA =，则IU IV IQ ==，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵6cm AC =，8cm BC =，∴226810AB =+=，5OB OA ==(2)3π．【分析】本题考查了切线的判定，求弧长；（1）如图，连接OC ，OD ．证明90OCF ∠=︒即可；（2）设O 的半径为r ，在Rt COF △中，勾股定理可得6r =，再根据弧长公式可解决问题．【详解】（1）证明：连接OCCF EF= CEF ECF∴∠=∠OD AB⊥ 90DOE ∴∠=︒，90ODE OED ∴∠+∠=︒，OD OC = ，ODE OCD ∴∠=∠，CEF OED ∠=∠ ，OED ECF ∴∠=∠，90OCD ECF ∴∠+∠=︒，即90OCF ∠=︒，OC CF ∴⊥，CF ∴是O 的切线．（2）设O 的半径为r ，∵4BF =，∴4OF r =+，在Rt OCF 中，90,∠=︒ACB∴∠+∠CAD ADC=,OB OD∴∠=∠,B ODB则sin 30OH OD =⋅ODB S S S ∴=-阴影扇形∴CAD BAD ∠=∠，∴5CD BD ==，∵AB 为直径，点∴90ADB ∠=︒，∵2DOB DAB ∠=∠=∠又∵DFO CFA ∠=∠，∴DOF CAF ∽，又∵OB BF OA ==，∴23DF FO FC FA ==，∴90EHB BGF ∠=∠=︒，∵点C 为劣弧BD 中点，∴ CDBC =，∴DAC BAC DBC ∠=∠=∠∵AD 是O 的直径，∴90AED ∠=︒，∵60A ∠=︒，2AD =∴30ADE ∠=︒，则12AE =∴2222DE AD AE =-=∵AD 是直径，∴90AED ∠=︒，∴1809090DEB ∠=︒-︒=︒∵四边形ABCD 为菱形，∴DBE DBF ∠=∠，AD ∥∵BE BF =，DB DB =，∴()SAS DBE DBF ≌，∴90DFB DEB ∠=∠=︒，∵AD BC ∥，∴90ADF DFB ∠=∠=︒，∴AD DF ⊥，∵AD 为直径，∴DF 是O 的切线．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的判定方法．18．(1)见解析(2)52AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90BDC ∴∠=︒，90BDF CDF ∠∠∴+=︒，OB OD = ，OBD ODB ∴∠=∠，CDF ABD ∠∠= ，ODB CDF ∠∠∴=，90ODB BDF ∴∠+∠=︒，90ODF ∴∠=︒，DF OD ∴⊥，OD 是O 的半径，DF ∴是O 的切线；（2）如图，连接AE ，∵ BEDE =，BAE CAE ∴∠=∠，AB 是O 的直径，90AEB ∴∠=︒，90AEC ∴∠=︒，AEB AEC ∴∠=∠，∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠．设OCD ODC α∠=∠=，∴22A BCD α∠=∠=．∵90ACB ∠=︒，。
人教版九年级数学上册《圆的切线》题组训练(含答案解析)
提技能·题组训练切线的判定1.如图,△ABC的一边AB是☉O的直径,请你添加一个条件,使BC是☉O的切线,你所添加的条件为.【解析】当△ABC为直角三角形时,即∠ABC=90°时,BC与圆相切,∵AB是☉O的直径,∠ABC=90°,∴BC是☉O的切线(经过半径外端,与半径垂直的直线是圆的切线).答案:∠ABC=90°2.如图,已知点A是☉O上一点,半径OC的延长线与过点A的直线交于点B,OC=BC,AC=OB.则AB (填“是”或“不是”)☉O的切线.【解析】连接OA,∵OC=BC,AC=OB,∴∠OAB=90°,∴AB是☉O的切线.答案:是3.如图,点A,B,D在☉O上,∠A=25°,OD的延长线交直线BC于点C,且∠OCB=40°,直线BC与☉O的位置关系为.【解析】∵∠A=25°,∴∠BOD=50°,又∵∠OCB=40°,∴∠OBC=90°,∴BC为☉O的切线.答案:相切4.(2013·牡丹江中考)如图,点C是☉O的直径AB延长线上的一点,且有BO=BD=BC.(1)求证:CD是☉O的切线.(2)若半径OB=2,求AD的长.【解析】(1)连接OD,如图,则有BO=BD=BC=DO,∴∠C=∠CDB,∠DOB=∠BDO.又∵∠C+∠CDB+∠DOB+∠BDO=180°,∴∠CDB+∠BDO=90°,即∠CDO=90°,∴CD是☉O的切线.(2)∵OB=2,∴BD=OB=2,AB=4.∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴AD=2.【方法技巧】证明一条直线是圆的切线的常用方法1.当直线和圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连接起来,然后证明直线垂直于这条半径,简称“作半径,证垂直”.2.当直线和圆公共点没有明确时,可过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称“作垂直,证半径”.切线的性质1.(重庆中考)如图,AB是☉O的切线,B为切点,AO与☉O交于点C,若∠BAO=40°,则∠OCB的度数为( )A.40°B.50°C.65°D.75°【解析】选C.∵AB是☉O的切线,∴∠OBA=90°,∴∠O=90°-∠BAO=90°-40°=50°,又∵O B=OC,∴∠OCB=∠OBC=(180°-50°)=65°.2.(2013·黔西南州中考)如图所示,线段AB是☉O的直径,∠CDB=20°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于( )A.50°B.40°C.60°D.70°【解析】选A.连接OC,∵CE为切线,∴∠OCE=90°,∵∠CDB=20°,∴∠COE=40°,∴∠E=50°.3.(济南中考)如图,AB是☉O的直径,点D在☉O上,∠BAD=35°,过点D作☉O的切线交AB的延长线于点C,则∠C= .【解析】连接OD,则∠ODC=90°,∠DOC=2∠BAD=70°,因此∠C=90°-70°=20°.答案:20°4.(永州中考)如图,已知△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,MN与☉O相切,切点为A,若∠MAB=30°.则∠B= .【解析】连接OA,则OA⊥MN,由于∠MAB=30°,所以∠OAB=90°-30°=60°,而OA=OB,所以∠B=∠OAB=60°.答案:60°5.如图,AB为☉O的直径,BC切☉O于B,CO交☉O于D,AD的延长线交BC于E,若∠C=25°,求∠A的度数.【解析】∵AB为☉O的直径,BC切☉O于B,∴∠ABC=90°.∵∠C=25°,∴∠BOC=65°.∵∠A=∠BOD,∴∠A=32.5°.【知识归纳】关于切线性质的五点理解1.切线与圆只有一个公共点.2.切线和圆心的距离等于半径.3.切线垂直于过切点的半径.4.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.5.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.注意:对于任意一条直线,如果具备下列条件中的两个,就可以推出第三个结论:①垂直于切线;②经过切点;③经过圆心.【错在哪？】作业错例课堂实拍如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=30°,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上,且与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动,那么☉P与直线CD相切时运动时间为秒.(1)错因:.(2)纠错:.答案：(1)☉P在点O的左右两边各相切一次,本题错在只考虑了一种情况,而遗漏另一种情况(2)作PE⊥CD于E.若☉P与直线CD相切,则PE=1,当点P在OA上时,此时OP=2PE=2,则☉P需要移动6-2=4(cm),需要时间4s;当点P在OB上时,此时OP=2PE=2,则☉P需要移动6+2=8(cm),需要时间8s。
圆的切线综合练习题与答案
切线的判定与性质练习题一、选择题（答案唯一，每小题3分）1．下列说法中，正确的是( )A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )A．70° B．35° C．20° D．40°第2题第3题第4题第5题3. 如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°4.如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )A．8 B．6 C．5 D．45.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC二．填空题（每小题3分）6．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________．第6题第7题第8题7.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________．8.如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______．9. 如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝_______度．第9题第10题第11题10. 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为______．11．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°，则∠B＝________度．三、解答题（写出详细解答或论证过程）12.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线．第12题第13题第14题13.（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.14.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．15.（10分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．第15题第16题16．（12分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗试证明你的判断．17.（12分）如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．答案：DDADC 6. 相切 7. ∠ABC＝90°不排除等效答案 8. 6 9. 45 10. 4 11. 60 12. 解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线13. 解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A14. 解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB＝DH，∴AC与⊙D相切15. 解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2，由勾股定理，得OD＝22＋22＝22，∴BD ＝OD－OB＝22－216. (1) ∠BAE＝90°∠EAC＝∠ABC(2) (2)EF是⊙O的切线．证明：作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线17. 解：(1)连接OC，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD为⊙O的切线(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，∴四边形OCDF为矩形．∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x，AF＝5－x，在Rt△AOF中，有AF2＋OF2＝OA2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x1＝2，x2＝9，由AD＜DF知0＜x＜5，故x＝2，从而AD＝2，AF＝5－2＝3，由垂径定理得AB＝2AF＝6。
圆的切线专题(全)
圆的切线专题训练姓名：例题讲析：如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）求证：BD2=AB•BE．例题2、（2012•温州）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E 是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长．变式训练：1、如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA＝∠CBA.（1）求证：直线MN是⊙O的切线；（2）过点A作A D⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB＝6，BC＝3，求阴影部分的面积.2、(2012•兰州)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．(1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；(2)若ta n C＝，DE＝2，求AD的长．（10分）3、如图，点A．B．C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．（10分）课后作业4 .如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB 的延长线于点E , AD⊥EC 于点D 且交⊙O于点F ，连接BC , CF , AC 。
（1）求证：BC=C F；（2）若AD=6 , DE=8 ，求BE 的长；（3）求证：AF + 2DF = AB。
（10分）5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ACB的平分线交AB于点O，以O为圆心的⊙O与AC相切于点D．（1）求证: ⊙O与BC相切；（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O的半径．第二课时例题讲析：如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）当OB=BE=1时，求AD的长．变式练习：1、如图，⊙O的直径AB=13，弦BC=l2．过点A作直线MN，使∠BAM=1∠AOB。
圆切线练习题(含答案)
圆切线问题典型问题例1. 已知半径为3的⊙O上一点P和圆外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ 和圆的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 位置不定例2. 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O为AB上一点，AO＝m，⊙O的半径，问m在什么范围内取值时，AC与圆：（1）相离；（2）相切；（3）相交。
例3. 已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，FE：FD＝4：3。
求证：AF＝DF；例4. 已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC 交⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线。
例5. 如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB 相切于点D。
求证：AC与⊙O相切。
点悟：显然AC与⊙O的公共点没有确定，故用“d＝r”证之。
而AB与⊙O 切于D点，可连结OD，则OD⊥AB。
例6. 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。
例7. 在△ABC中，∠A＝70°，点O是内心，求∠BOC的度数。
圆切线问题典型问题答案例1 解：∵OP＝3，PQ＝4，OQ＝5，∴，∴△OPQ是直角三角形，且∠OPQ＝90°，∴PQ⊥OP。
即圆心O到PQ的距离等于圆的半径。
∴PQ和圆的位置关系相切，故选B。
点拨：在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时，通过已有的知识进行推证。
本题也可以通过切线的判定定理求解，即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
例2.点悟：要判定直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离与半径的大小。
解：如图所示，过O作OD⊥AC垂足为D，，∴（1）当，即，也即时，则AC与⊙O相离；（2）当，即，也即时，AC与⊙O相切；（3）当，即，也即时，AC与⊙O相交。
圆的切线练习题
圆的切线练习题连接BD，过点B作BE⊥AC交BD于点E，交⊙O于点F．1）求证：EF是⊙O的切线；2）若BC=4，AD=6，求⊙O的半径及BE的长．例1：已知直线CD与AB的延长线交于点E，且CD⊥AD，垂足为D，XXX于点C。
证明直线CD为⊙O的切线。
对应练：在△DAB中，AB经过圆心O，∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，且∠DAB＝60°，AB=10.求BD与CD的长。
例2：已知△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F。
证明直线EF是⊙O的切线，当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径。
对应练：在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点，经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点。
求证：BC与⊙O相切，当AD=23；∠CAD=30°时，求弧AD的长。
3.已知AB是半圆O的直径，点C是⊙O上一点（不与A，B重合），连接AC，BC，过点O作OD∥AC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，连接EB，使∠XXX∠ABC。
⑴证明：BE是⊙O的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE的长。
4.已知⊙O经过点B、D、E，BD是⊙O的直径，∠C＝90°，BE平分∠ABC。
试说明直线AC是⊙O的切线；当AE＝4，AD＝2时，求⊙O的半径及BC的长。
5.在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥XXX与点D，E将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F，连接OC、FC。
⑴证明：CE是⊙O的切线；⑵若FC∥AB，证明四边形AOCF是菱形。
6.已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，延长AB交CD于点E。
连接AC，作∠DAC＝∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G。
⑴证明：AD是⊙O的切线；(2)如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长。
圆的切线的判定练习题2024~2025学年人教版数学九年级上册++
切线的判定练习题1.如图，⊙O是△ACD的外接圆，CD是⊙O的直径，点B为圆外一点，且∠BAD＝∠C．求证：AB是⊙O的切线．2.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．3.如图，在△ABC，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．4.如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：AD＝CD；（2）求证：DE为⊙O的切线．5.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AĈ=CD̂=DB̂，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．6.如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线．7.如图△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．（1）求证：⊙D与AC相切；（2）若AC＝5，BC＝3，试求AE的长．8.如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．求证：直线DE是⊙O的切线．9.如图，在△ABC中，CA＝CB，O为AB上一点．以O为圆心，OB长为半径的⊙O过点C，交AB于另一点D．若D是OA的中点，求证：AC是⊙O的切线．10.如图所示，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，AD平分∠CAB交半圆于点D，过点D作DE⊥AC，DE交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，DE=√3，求线段AC的长．11.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G，求证：FG是⊙O的切线．12.如图，已知AB＝AC，以AB为直径的圆O交边BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）如果∠BAC＝120°，求证：DE=14BC．13.如图，已知AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，且∠A＝∠CDB＝∠COB．求证：CB是⊙O的切线．14.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝6，∠ACB的平分线CO交AB于点O，以OB为半径作⊙O．（1）请判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求⊙O的半径．。
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圆切线问题典型问题
例1. 已知半径为3的⊙O上一点P和圆外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ 和圆的位置关系是（）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 位置不定
例2. 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O为AB上一点，AO＝m，⊙O
的半径，问m在什么范围内取值时，AC与圆：
（1）相离；（2）相切；（3）相交。
例3. 已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，FE：FD＝4：3。
求证：AF＝DF；
例4. 已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC 交⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线。
例5. 如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB 相切于点D。
求证：AC与⊙O相切。
点悟：显然AC与⊙O的公共点没有确定，故用“d＝r”证之。
而AB与⊙O 切于D点，可连结OD，则OD⊥AB。
例6. 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。
例7. 在△ABC中，∠A＝70°，点O是内心，求∠BOC的度数。
圆切线问题典型问题答案
例1 解：∵OP＝3，PQ＝4，OQ＝5，
∴，
∴△OPQ是直角三角形，且∠OPQ＝90°，∴PQ⊥OP。
即圆心O到PQ的距离等于圆的半径。
∴PQ和圆的位置关系相切，故选B。
点拨：在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时，通过已有的知识进行推证。
本题也可以通过切线的判定定理求解，即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
例2.点悟：要判定直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离与半径的大小。
解：如图所示，过O作OD⊥AC垂足为D，
，∴
（1）当，即，也即时，则AC与⊙O相离；
（2）当，即，也即时，AC与⊙O相切；
（3）当，即，也即时，AC与⊙O相交。
例3.证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC。
∵∠B＝∠CAE，∴∠BAD＋∠B＝∠DAC＋∠CAE
∵∠ADE＝∠BAD＋∠B，∴∠ADE＝∠DAE，∴EA＝ED
∵DE是半圆C的直径∴∠DFE＝90°∴AF＝DF
例4. 点悟：要证CD是⊙O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。
证明：连结OD。
∵AD∥OC，
∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD ∴∠COB＝∠COD
∵CO为公用边，OD＝OB
∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC∵BC是切线，AB是直径，
∴∠B＝90°，∠ODC＝90°，∴CD是⊙O的切线。
点拨：辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。
例5.点悟：显然AC与⊙O的公共点没有确定，故用“d＝r”证之。
而AB与⊙O切于D点，可连结OD，则OD⊥AB。
证明：连结OD、OA。
过O作OE⊥AC，垂足为E。
∵AB＝AC，O为BC的中点，∴∠BAO＝∠CAO
又∵AB切⊙O于D点，∴OD⊥AB，又OE⊥AC，∴OE＝OD，
∴AC与⊙O相切。
点拨：此题用了切线的性质定理，同时又用了切线的判定方法“d＝r”。
例6. 点悟：要证PC＝CD，可证它们所对的角等，即证∠P＝∠CDP，又OA ⊥OB，故可利用同角（或等角）的余角相等证题。
证明：连结OD，则OD⊥CE。
∴∠EDA＋∠ODA＝90°∵OA⊥OB
∴∠A＋∠P＝90°，又∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A，∠P＝∠EDA∵∠EDA＝∠CDP，
∴∠P＝∠CDP，∴PC＝CD
点拨：在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。
例7. 点悟：已知O是内心，由内心的概念可知OB、OC分别是∠ABC、∠ACB 的平分线。
解：在△ABC中，∠A＝70°，
∵O是△ABC的内心∴。
∴
∴。