主曲率

n n
(5.2)
从(5.2)消去 du, dv , 即得确定主曲率的方程 kn E − L kn F − M 消去 kn , 即得确定主方向的方程 Edu + F dv 方程(5.3)可以改写成
2 (EG − F 2 )kn − (EN − 2F M + GL)kn + (LN − M 2 ) = 0,
93
【注 1】
定理5.2只说明在非脐点处, 两个主方向垂直, 但任意两个垂直的方向却不是
主方向. 另一方面, 在脐点处, 任意方向都是主方向, 因此主方向未必垂直, 而任意两个垂直 的方向都是主方向. 2.5.2 Euler 公式 现在我们考察在曲面的一个非脐点, 法曲率随方向而变化的规律, 并可以看到, 主曲率 就是法曲率的最大值和最小值. 首先我们证明这样一个事实. 定理 5.4 证明 不含脐点的曲面片上, 参数曲线的方向是主方向 ⇐⇒ F = M = 0. (=⇒)首先因参数曲线的切方向是主方向, 而主方向必正交, 因此 F = 0, 同时
如果曲面 S : r = r (u, v ) 在给定点 P0 (u0 , v0 ) 处, 沿方向 (du0 , dv0 ) 法曲率 kn 取得 ∂kn ∂ du I IIdu − II Idu I2 = 0,
(du0 ,dv0 )
∂kn ∂ dv
= 0,
(du0 ,dv0 )
即
= 0,
(du0 ,dv0 )
第二基本形式化为 I = Edu2 + Gdv 2 , 于是在 P 点, 各个切线方向的法曲率公式为 kn = Ldu2 + N dv 2 , Edu2 + Gdv 2 L , E N , G Gdv 2 , Edu2 + Gdv 2 II = Ldu2 + N dv 2 ,
设 k1 , k2 分别为对应于主方向 dv = 0 和 du = 0 的主曲率, 则 k1 = k2 =
L E
是主曲率, 同时在脐点处, 非脐点来证明之.
=
M F
=
N G,
故在脐点处任意方向的法曲率都相同, 即 kn 在脐
点处为常数, 换句话说, 在脐点处, kn = k1 = k2 , Euler 公式自然成立. 下面我们假设 P 是 设 P 为曲面上一个非脐点, 根据连续性, 曲面必包含 P 在内的一整片, 在这片曲面上完 全没有脐点. 在这片曲面上选取参数曲线的方向作为主方向, 则由定理5.4, 曲面的第一、 94
将其代入(5.1)式得
(k0 E − L)du0 + (k0 F − M )dv0 = 0, (k F − M )du + (k G − N )dv = 0, 0 0 0 0
由于以上各步均可逆, 因此, 我们证明了沿方向 (du, dv ) 使法曲率 kn 取得临界值的充要条 件是 (kn E − L)du + (kn F − M )dv = 0, (k F − M )du + (k G − N )dv = 0,
满足(5.8)式 的 点 称 为 脐 点, 否则 称 为 非脐点. 所以在一 个非脐 点, 判别式 ∆ > 0, 方 程(5.5)总 有 两 个 不 相 等 的 实 根, 曲 面 在 这 一 点 总 有 两 个 不 相 等 的 主 曲 率. 在 脐 点, 92
若 令 L = λE, M = λF, N = λG, 则 任 意 方 向 的 法 曲 率 为 主 曲 率 λ, 而 方 程(5.5)变 为 (kn − λ)2 = 0, 但这个关系无非表示主曲率和任意方向的法曲率相等. 确定主方向的方程(5.4)也可以写成 dv 2 −dudv du2 E L 或 (EM − F L)du2 − (GL − EN )dudv + (F N − GM )dv 2 = 0, (5.10) F M G = 0, N (5.9)
不难验证它的判别式和(5.5)的判别式 ∆ 相等. 所以在一个非脐点, 方程(5.9)总有两个不相 等的实根, 曲面在这一点总有两个不相同的主方向. 在脐点处, 方程(5.9)变成恒等式, 即任 意方向都为主方向. 定理 5.2 引理 5.3 证明 [证毕]
曲面在非脐点处, 两个主方向互相垂直. 曲面上一点由方程 P du2 + 2Qdudv + Rdຫໍສະໝຸດ Baidu 2 = 0 所确定的两个切方向互相垂
kn F − M kn G − N
= 0;
(5.3)
F du + Gdv
Ldu + M dv M du + N dv
= 0;
(5.4)
(5.5)
其判别式为 ed∆ = (EN − 2F M + GL)2 − 4(EG − F 2 )(LN − M 2 ) = [(EN − GL) − 故当 EN − GL = EM − F L = 0, 时, 而且只有此时, 判别式为零, 但由于 E = 0, G = 0, (5.7)式可以写成 L : M : N = E : F : G, (5.8) (5.7) ed 2F 4(EG − F 2 ) 2 (EM − F L)]2 + ( EM − F L ) ≥ 0 E E2 (5.6)
I IIdv − II Idv I2
= 0,
(du0 ,dv0 )
两边乘以 I 得到 IIdu − II Idu I = 0,
(du0 ,dv0 )
IIdv −
II Idv I
= 0,
(du0 ,dv0 )
但是, (II/I )|(du0 ,dv0 ) = kn |(du0 ,dv0 ) = k0 , 因此 (IIdu − k0 Idu )|(du0 ,dv0 ) = 0, 注意到 Idu = 2E du + 2F dv, IIdu = 2L du + 2M dv, 91 Idv = 2F du + 2G dv, IIdv = 2M du + 2N dv, (IIdv − k0 Idv )|(du0 ,dv0 ) = 0, (5.1)
要证明这个定理, 只要应用以下引理于方程(5.10). 直的充要条件是 ER − 2F Q + GP = 0, 这里 E, F, G 是曲面的第一类基本量. 两个方向 du : dv 和 δu : δv 正交的充要条件是 Eduδu + F (duδv + dvδu) + Gdvδv = 0, 换一种写法即 E 将已知的二次方程写成 P 则它的两个根, 记为 du dv ,
§2.5 主曲率 Gauss 曲率和平均曲率
根据法曲率的几何意义, 法曲率完全反映了曲面在一点处沿指定方向的弯曲程度和弯 曲方向, 因此, 理论上曲面在一点处沿任意方向的弯曲性是完全可以量化. 但实际上是做不 到的, 因为曲面在一点处有无穷多个切方向. 于是我们自然提出这样两个问题: 法曲率随方 向变化的变化规律是什么? 法曲率是否有最大值和最小值? 下面针对这两个问题展开讨论. 得到的结论是: 由 Euler 公式给处了曲面上一点沿各个方向, 法曲率的变化规律, 而且法曲 率有最大值和最小值, 它们被称为主曲率, 最后由主曲率进一步引出Gauss曲率和平均曲率 的概念. 2.5.1 主曲 率和主 方向 对曲面 S : r = r (u, v ) 上一给定点 P0 (u0 , v0 ), 法曲率 kn 是切方向 du : dv 的函数, 称法 曲率的每个临界值(critical value)为曲面在这一点的 主曲率; 对应的方向称为曲面在这一 点的 主方向. 定理 5.1 证明 临界值 k0 , 则 曲面在非脐点处(证明中定义), 有两个不相等的主曲率和两个不同的主方向.
K = k1 · k2 =
−b2 , (u2 + b2 )2
H = (k1 + k2 )/2 = 0. 【例 2】 设 C : r = r (s) 是一条空间正则曲线, 其切线构成的曲面为 S : r (s, t) =
r (s) + tα, 其中 α 是 C 的单位切向量. 求 S 的 Gauss 曲率. 【解】 记曲线 C 的曲率和挠率分别为 k, τ , 基本向量为 α, β , γ , 则 r t = α, 于是 E = r2 t = 1, 进一步计算得到 r tt = 0, r ts = k β , n= rt × rs = γ, |r t × r s | F = r t · r s = 1,
δu δv ,
du δu dv δv du dv
+F
2
du δu + dv δv du dv
+ G = 0.
(5.11)
+ 2Q
+ R = 0,
均应满足上述方程, 由根与系数的关系知, R du δu = , dv δv P du δu 2Q + =− . dv δv P
将上式代入(5.11)式即得引理.
根据曲面上两条曲线夹角的公式, 容易计算得到 cos2 θ = 于是 Edu2 , Edu2 + Gdv 2 sin2 θ =
kn =
Ldu2 + N dv 2 Edu2 + Gdv 2 L Edu2 N Gdv 2 = + E Edu2 + Gdv 2 G Edu2 + Gdv 2
= k1 cos2 θ + k2 sin2 θ, 定理 5.6 最小值. 证明 设 k1 , k2 是两个主曲率, 不妨设 k1 < k2 (否则可交换坐标 u 和 v ), 由 Euler 公式 kn = k1 cos2 θ + k2 sin2 θ = k1 cos2 θ + k2 (1 − cos2 θ) = k2 + (k1 − k2 ) cos2 θ, 所以 k2 − kn = (k2 − k1 ) cos2 θ ≥ 0, 即 k2 ≥ kn , 同样的方法, 可以证明 kn ≥ k1 , 即 k1 ≤ kn ≤ k2 , 95 曲面在非脐点处的主曲率是曲面在这点沿所有方向的法曲率中的最大值和
EN − 2F M + GL . 2(EG − F 2 )
曲面在椭圆点处 K > 0, 双曲点处 K < 0, 抛物点处 K = 0.
【例 1】 求螺面 r (u, v ) = {u cos v, u sin v, bv } 的主曲率, 总曲率和全曲率. 【解】 直接计算得到螺面的第一和第二基本形式如下 I = du2 + (u2 + b2 )dv 2 , II = √ −2b dudv, u 2 + b2
这就是说, 主曲率是法曲率的最大值和最小值. 2.5.3 Gauss曲率和 平均曲 率 对于曲面上一个非脐点, 仍令 k1 , k2 为两个主曲率, 对于脐点, 则 k1 = k2 = kn 为任意方 向的法曲率. Gauss曲率 称 k1 · k2 为曲面在一点处的Gauss曲率, 记为 K = k1 · k2 , 它描述了曲面在一点处总的弯曲程度, 又称为总曲率或全曲率. 平均曲率 称 (k1 + k2 )/2 为曲面在一点处的平均曲率, 记为 H = (k1 + k2 )/2, 它描述了曲面在一点处的平均弯曲程度, 又称为中曲率. 根据韦达定理, 由主曲率的计算公式, 易知 K= H= 推论 5.7 LN − M 2 , EG − F 2
du = 0, dv = 0 及 du = 0, dv = 0 适合主方向的微分方程, 故得 E F = F M G N = 0,
L M 因 F = 0, E = 0, G = 0, 由上式得 M = 0.
(⇐=)若 F = M = 0, 则主方向的微分方程可化为 (EN − GL)dudv = 0, 因为 EN − GL = 0 (否则 L : M : N = E : F : G , 与没有脐点的已知条件不符), 这时主方 向的微分方程即为 dudv = 0, 与参数曲线的微分方程相同, 这就证明了参数曲线方向是主 方向. 定理 5.5 设 du : dv 是曲面上一点 P 处的任意一个切方向, 它与 u -线的夹角记为 θ, k1 , k2 表示曲面在 P 点处的主曲率, 则 kn = k1 cos2 θ + k2 sin2 θ, 这个公式称为Euler公式, 它表明了法曲率随方向而变化的变化规律. 证明 首先若 P 是脐点, 则因脐点处, 任意方向都是主方向, 因而任意方向的法曲率都
可见 L : M : N = E : F : G , 由此便知正螺面上所有点都非脐点, 于是其上每点处都有两 个不相等的主曲率. 将基本量代入主曲率的计算公式, 得到
2 (u2 + b2 )kn −
b2 = 0, u 2 + b2
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于是, 螺面的主曲率 k1 , k2 , 总曲率 K 和平均曲率 H 分别为 k1 = u2 b , + b2 k2 = u2 −b , + b2