曲率及其计算公式-高数中曲率的计算公式
曲率公式和曲率半径
曲率公式和曲率半径曲率和曲率半径公式是什么?曲率半径是ρ=|[(1+y'^2)^(3/2)/y'']|，K=1/ρ。
计算公式：K=lim|Δα/Δs|。
曲率K=|dα／ds|。
在数学上，曲率是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲率的公式可以表示为：K=|dα／ds|。
曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率。
曲率半径为曲率的倒数。
在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。
平面曲线的曲率定义为曲线上一点的切向角对弧长的微分旋转率，表示曲线偏离直线的程度。
对于曲线，它等于靠近该点曲线的圆弧半径。
曲率半径求法：ρ＝｜｜，K=1/ρ。
或曲率和曲率半径公式是什么？曲率和曲率半径公式是R=1/K。
平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
对于曲线，它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。
对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。
曲率的作用在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。
平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
对于曲线，它等于最接该点处曲线的圆弧的半径。
对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。
圆形半径越大，弯曲程度就越小，也就越近似于一条直线。
所以说，曲率半径越大曲率越小，反之亦然。
如果对于某条曲线上的某个点可以找到一个与其曲率相等的圆形，那么曲线上这个点的曲率半径就是该圆形的半径（注意，是这个点的曲率半径，其他点有其他的曲率半径)。
也可以这样理解：就是把那一段曲线尽可能地微分，直到最后近似为一个圆弧，此圆弧所对应的半径即为曲线上该点的曲率半径。
曲率和曲率半径1、弧微分公式上式ds是一段曲线上的微元弧。
2、曲率如图，从M点沿曲线C到M'点，点上的切线转动了Δα的角度，Δs是曲线的弧微元，|Δα/Δs|就是从M到M‘的曲线的平均曲率，对平均曲率取极限得到M处的曲率：如果导数存在，也可以写成：根据曲率的定义式，可以求出曲率的一般形式，设函数y=f(x)，从前面的曲率示意图可以看出，tanα=dy/dx，对式子两边再求一次导得到：将上式和前面给出的ds一起代入曲率公式得到：3、曲率圆和曲率半径如图所示，在某点可以按照该点曲率作一个圆，即曲率圆，D是圆心，ρ是曲率半径，曲率半径的得出很简单，对于圆来说，弧长比上半径即是对应的角度，即ds/ρ=dα，所以ρ=ds/dα=1/K。
曲率及讲义其计算公式00517
4
2O
y=0．4 x2
2
x
谢谢观看
例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K ( 1 | y y 2 | ) 3 2
解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，
代入曲率公式，得 K ( 1 | y y 2 | ) 3 2 [1(2a|2xa|b)2]32
要使K 最大，只须2axb0， 即 x b ． 而 x b 对应的点为 2 a 2 a
a a a s e c 2 d y ， d y y ，
a． a d d 1 t 2 1 y x a 2 x
于是 d y d x ． 又 知 d s 1 y 2 d x 1 y 2
从而，有 | y |
K ( 1 y 2 ) 3 2
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
M1
M2
N1
N2 )j
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我 们 称 K D a为 弧 段 M M 的 平 均 曲 率 ． D s 曲率：
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
y
yHale Waihona Puke M0 s>0M
O x0
x
M s<0 M0
xO x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
曲率的定义及计算公式
曲率的定义及计算公式哎呀，曲率这玩意儿，说起来可真是让人头大。
你知道的，就是那个数学上的东西，弯弯曲曲的，不是直的。
我得说，这玩意儿可真不是一般人能懂的，但咱们今天就来聊聊它，用点大白话，不整那些复杂的。
首先，曲率，简单来说，就是描述一个东西弯得有多厉害。
比如说，你拿根绳子，把它拉直了，那曲率就是零，因为直的嘛。
但你要是把绳子弯成个圈，那曲率就大了去了。
咱们数学上呢，就用一个公式来计算这个曲率，就是那个著名的“曲率半径”的倒数。
啥叫曲率半径？就是说，你把一个弯弯的东西想象成是一个圆，这个圆的半径就是曲率半径。
圆越小，曲率就越大，因为弯得更厉害嘛。
记得有一次，我去公园散步，看到那些老人家在打太极拳。
他们的手啊，就像在画圈一样，那动作，真是柔中带刚。
我看着他们的动作，突然就想到了曲率。
你看，他们的手在画圈的时候，那个圈的半径就在不停地变，曲率也就跟着变。
这就像是数学里的曲率公式，只不过这个公式是活的，是动态的。
我还注意到，公园里的那些小路，弯弯曲曲的，走起来特别有感觉。
那些小路的曲率，比直路要大得多。
你走在上面，感觉就像是在探险一样，因为你不知道下一个弯会带你去哪里。
这就像是曲率，它告诉我们，世界不是一成不变的，它有它的弯曲和变化。
说到曲率，我还得提一下那个著名的“曲率驱动”理论。
你知道的，就是科幻电影里的那种，飞船通过改变空间的曲率来实现超光速飞行。
虽然这只是科幻，但这个概念真的很酷。
它让我们想象，也许有一天，我们真的能够通过改变空间的曲率来实现一些不可思议的事情。
好了，说了这么多，咱们再回到曲率的定义和计算公式上来。
其实，说到底，曲率就是描述一个东西弯得有多厉害。
它的计算公式呢，就是曲率半径的倒数。
虽然听起来有点复杂，但只要你想想那些弯弯的绳子，或者公园里的小路，就能理解了。
总之，曲率这东西，虽然听起来挺高大上的，但其实它就在我们身边，无处不在。
它告诉我们，世界是丰富多彩的，有直有弯，有快有慢。
曲率及其计算公式
应用
通过空间曲率计算公式，可以了 解空间曲线在某一点的弯曲程度 ，对于分析三维几何图形、优化 航天器轨道等方面具有重要意义
。
曲率计算公式的应用
工程设计
在工程设计中，曲率计算公式常 用于分析曲线形状的合理性，如 道路设计、桥梁工程等。
物理研究
在物理研究中，曲率计算公式可 用于描述粒子运动的轨迹、电磁 场的分布等。
解释
该公式表示平面曲线在某一点的曲率，其中y''表示该点处曲线的二阶导数，y'表示该点 处曲线的导数。
应用
通过曲率计算公式，可以了解平面曲线在某一点的弯曲程度，对于分析几何图形、优化 道路设计等方面具有重要意义。
空间曲线的曲率计算公式
曲率计算公式
对于空间曲线，曲率K由下式给 出：K = |(3*[(x''*y''*z'' +
相对曲率
相对曲率是描述曲线或曲面在某一点的方向性弯曲程度的量，它等于该点的主曲率与次曲率的比值。相对曲率在 几何学和物理学中有重要的应用，例如在分析力学和电磁学等领域中，相对曲率可以帮助我们更好地理解和描述 物体的行为。
曲率在物理学中的应用
光学
在光学中，曲率是描述光学元件（如 透镜和反射镜）的弯曲程度的量。透 镜的曲率决定了光线通过透镜的折射 方向和聚焦点，反射镜的曲率决定了 反射光的方向。
曲率等于曲线在该点的切线的 斜率的倒数，即曲率 = 1/斜率 。
当曲率为正时，表示曲线在该 点向外凸出；当曲率为负时， 表示曲线在该点向内凹进。
曲率在几何学中的重要性
曲率是几何学中重要的概念之一，它在曲线和曲面理论中扮演着重要的角 色。
曲率在曲线和曲面分析、微分几何等领域中有着广泛的应用，如曲线拟合 、曲面重建等。
曲率计算公式参数方程
曲率计算公式参数方程曲率计算是在几何学中，用来表示曲面的曲率的一种方法，曲率的计算是学习几何学的一个重要的概念，不仅可以了解曲率的概念，而且也可以理解曲率参数方程（有时也称为曲率表达式）。
曲率参数方程是一种特殊的公式，用来描述曲面上各点的曲率，曲率参数方程经常以μ（曲率系数）的形式出现，其中μ表示曲率系数，其值依赖于曲率的参数r（曲率半径）。
一般来说，曲率半径由曲率公式计算出来，而曲率的参数方程可以用以下的公式表示：μ[](r)=1/r*[1+(1/2)[(d2F/dr2)2-1]1/2]其中，F(r)表示几何形状的角度，r表示曲率半径，d2F/dr2表示几何形状的曲率。
r是曲率参数，很多时候也是可以调节曲率系数μ的参数。
曲率参数方程主要用来描述几何形状，如圆弧、椭圆、抛物线和曲线的曲率。
这些形状的曲率可以准确地用曲率参数方程来计算。
比如，圆弧的曲率参数方程可以用以下公式来表示：μ(r)=1/(r*sin(θ))其中，θ表示圆弧的弧度，r表示圆弧的曲率半径，即圆弧的直径被分割成圆上任意两点之间的角度。
如果r越小，则θ越小，曲率参数方程中的曲率系数μ也会变小，也就是圆弧越来越尖。
此外，曲率参数方程还可以用来求解其他几何形状的曲率，如椭圆的曲率参数方程可以用以下公式来表示：μ(r)=1/[r1*r2]其中，r1和r2分别为椭圆的两个焦点到椭圆上任意点的距离。
曲率参数方程的另一个应用是，可以用来确定物体的曲率是否超出了安全的界限，如在航空运输、航空和汽车制造中，曲率参数方程可以用来确定机翼外形曲率是否超出了安全界限，这样就可以确保机翼安全地运行。
总之，曲率计算公式参数方程是一种特殊的公式，用来表示曲面上各点的曲率，是几何学中重要概念。
它不仅可以用来描述几何形状的曲率，而且还可以用来确定机翼外形曲率是否超出了安全的界限，从而保证机翼的安全运行。
曲率的概念及计算公式
曲率的概念及计算公式
部门： xxx
时间： xxx
整理范文，仅供参考，可下载自行编辑
曲率的概念及计算公式
概念
来源：为了平衡曲线的弯曲程度。
平均曲率，这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度。
其中
表示曲线段AB上切线变化的角度，为AB弧长。
计算公式的推导：
由于，所以要推导与ds的表示法，ds称为曲线弧长的微分。
因为，所以。
令，同时用代替得
所以或
具体表示；
1、时，
2、时，
3、时，<令）
再推导，因为，所以，两边对x求导，得
，推出。
下面将与ds代入公式中：
，即为曲率的计算公式。
曲率半径：
一般称为曲线在某一点的曲率半径。
几何意义为在该点做曲线的法线<在凹的一侧），在法线上取圆心，以ρ为半径做圆，则此圆称为该点处的曲率圆。
曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。
b5E2RGbCAP
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
曲率计算公式推导过程
曲率计算公式推导过程
曲率k=y''/[(1+(y')^2)^(3/2)]，其中y', y"分别为函数y对x的一阶和二阶导数(函数形式)。
曲率计算公式的推导过程如下：
曲线的曲率（curvature）就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。
曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。
曲率的倒数就是曲率半径。
扩展资料：
曲率是几何体不平坦程度的一种衡量。
平坦对不同的几何体有不同的意义。
在动力学中，一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。
这是关于时空扭曲造成的。
结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而产生曲率。
按照广义相对论的解释，在引力场中，时空的性质是由物体的“质量”分布决定的，物体“质量”的分布状况使时空性质变得不均匀，引起了时空的弯曲。
因为一个物体有质量就会对时空造成弯曲，而你可以认为有了速度，有质量的物体变得更重了，时空弯曲的曲率就更大了。
在物理中，曲率通常通过法向加速度（向心加速度）来求，具体请参见法向加速度。
大一上学期同济版高数第三章曲率
y
D( , )
CR
T
M (x, y)
(注意o y 与 y异号 ) x
当点 M (x , y) 沿曲线
移动时, 相应的曲率中心
的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 , 曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 .
曲率中心公式可看成渐
屈线的参数方程(参数为x).
点击图中任意点动画开始或暂停
14
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
y
由例3可知, 椭圆在
处曲率最大 ,
即曲率半径最小, 且为
R
(a2 sin2 t
b2
cos2
t
)
3 2
ab
t0
o
x
显然, 砂轮半径不超过 时, 才不会产生过量磨损 ,
或有的地方磨不到的问题.
对应切线转角为 ,
定义 弧段 s上的平均曲率
K
s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
M M s
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
4
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R K lim 1
s0 s R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
5
曲率K 的计算公式
设曲线弧 y f (x) 二阶可导, 则由
tan y (设 )
2
2
得 arctan y
高等数学《曲率》
为零,并且当 l 很小 R
( l 1) 时，在终端 R A的曲率近似为 1 .
R
y
B
R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0 ,0)
x
证 如图
y
B
x的负半轴表示直道，
OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
在缓冲段上,
y 1 x2 , y 1 x.
2Rl
Rl
R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0 ,0)
o
C( x0 ,0)
x
l 1, R
略去二次项 l2 4R2
,
得
kA
1. R
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x) 在点 y
M( x, y) 处的曲率为k(k 0). 在点 M 处的曲线的法线上,
D 1
k
y f (x)
在凹的一侧取一点D, 使 DM
o
1 .以 D 为圆心, 为半径
二、k cos x , sec x .
三、k 2 . 3a sin 2t0
五、( ,1)处曲率半径有最小值 1. 2
六. ( 1 ln 2, 1 ), 3 3 .
2
2
2
3、0.
的曲率突然改变,容易发生事故，为了行驶平 稳，往往在直道和
弯道之间接入一段
缓冲段(如图),使曲 率连续地由零过渡
到 1 (R为圆弧轨道 R
的半径).
点击图片任意处播放\暂停
通常用三次抛物线
y
1 6Rl
x 3，x
[0,
x0
]．作为
缓冲段 OA，其中 l 为 OA的长度，验证缓冲段
大一高数知识点曲率
大一高数知识点曲率在大一的高等数学学习过程中，曲率是一个重要的知识点。
曲率描述的是曲线弯曲程度的大小，并且在物理学、工程学以及计算机图形学等领域都有着广泛的应用。
本文将从曲率的定义、计算方法以及几何意义等方面进行论述。
1. 曲率的定义曲率是描述曲线弯曲程度的一个量。
对于平面上的曲线来说，曲率可理解为曲线上某一点处的切线与曲线在该点切线方向上的转角大小。
曲率的记号通常为k，其定义如下：k = |dθ / ds|其中，dθ表示曲线在该点的切线方向上的转角变化量，ds表示曲线在该点处的弧长。
2. 曲率的计算方法为了计算曲线上某一点的曲率，我们可以采用以下方法之一：(1) 参数方程法：如果曲线的方程已知，可以将曲线的参数方程与曲率定义带入公式进行计算；(2) 直角坐标法：如果曲线的方程只能用直角坐标系表示，可以直接对方程进行求导并代入曲率定义公式求解；(3) 极坐标法：如果曲线的方程采用极坐标系表示，可以对方程进行求导后带入曲率定义公式计算。
3. 曲率的几何意义曲率不仅可以描述曲线的弯曲程度，还有以下几何意义：（1）曲率半径：曲率的倒数是曲率半径，即R = 1 / k。
曲率半径表示曲线在某一点上的弯曲程度，曲率半径越大，曲线越接近于直线，曲率越小；曲率半径越小，曲线越弯曲，曲率越大。
（2）曲率圆：曲线上的每一点都可以与一圆相切，该圆被称为曲线的曲率圆。
曲率圆的半径就是曲率半径R。
曲率圆可以用来描述曲线在某一点上的弯曲情况。
（3）曲率中心：曲线上的每一点都存在一个曲率中心，它是曲率圆的圆心，曲线在该点的切线过曲率中心。
4. 曲率的应用领域曲率在多个学科和领域中具有广泛应用，以下是其中几个典型的应用领域：（1）物理学：曲率在物理学中被广泛应用于描述光线的传播规律，尤其在几何光学中发挥着重要作用。
（2）工程学：曲率可以用于描述曲线道路的弯曲程度，对于道路设计和车辆行驶安全具有重要意义。
（3）计算机图形学：曲率可以用来生成平滑曲线或曲面，广泛应用于计算机动画、电影特效以及虚拟现实等领域。
曲率公式_??????
未知驱动探索，专注成就专业
曲率公式
曲率公式是一种用于计算曲线的曲率的公式。
曲线的曲率
描述了曲线的弯曲程度。
曲率公式的一种常见形式是:
曲率(k) = |(dy/dx'') / (1+(dy/dx)^2)^(3/2)|
其中，dy/dx表示曲线在某一点处的斜率（即变化率），
dy/dx''表示曲线在这一点处的二阶导数（即曲率）。
以参
数方程表示的曲线，可以通过将x和y分别表示为参数t的函数来计算曲率。
曲率公式可以帮助我们衡量曲线的弯曲程度，从而在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
通过计算曲线的曲率，我们可以判断曲线的凸、凹性，找到曲线的高低点，以及
解决各种与曲线相关的问题。
1。
曲率的三种计算公式
曲率的三种计算公式
曲率是描述曲面特性的数学概念，是衡量曲面上任意一点与曲面正常方向之间
的夹角变化的一种度量。
曲率一般是指二次曲面(如椭圆曲面、抛物线曲面)的曲率，这种曲率的度量方法是利用椭圆函数或者抛物线方程来计算，三维曲面的曲率是指曲面空间在自身曲面空间上变换而得到的曲面，而计算三维曲面曲率需要用到几何计算学的技术，包括局部曲率和平均曲率。
曲率具有重要的应用价值，主要用于分析平面的非线性变换、衡量物体表面曲
率和光滑程度、识别空间几何特征等等。
曲率的三种计算公式也是求解曲面曲率的关键手段，它们分别是：极短线法、泰勒公式和变坐标系公式。
极短线法是一种用于测量曲面曲率的定性方法，它允许曲面上任意两点之间的
连线为“极短线段”，经过定义曲面上任意点的曲率和计算曲面曲率的方法，可以得出曲面曲率的值。
泰勒公式是一种求解曲面上两点曲率的方法，它是在泰勒级数展开式中求解曲
率的关键公式，该公式可以用于求解曲面在特定点处的曲率。
变坐标系公式是一种用于计算曲面曲率的数学公式，它使用特定变形应用量来
代替基本变量。
所以，这种方法可以精确地计算曲面曲率，尤其适用于计算简单曲面以及复杂曲面的变形应用。
总之，曲率的三种计算公式是求解曲面曲率的重要手段，它们可以应用于分析
平面的非线性变换、衡量物体表面曲率和光滑程度等等，为曲面检测和物体检测提供了理论基础。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
高校教育精品PPT
1
一、弧微分
(
有向弧段M0 M 的值 s(简称为弧s) ：
s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0．
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
y
y=0．4 x2
4
2O
2
x
高校教育精品PPT
12
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y0．8x ，y0．8， y|x00，y|x00．8．
把它们代入曲率公式，得
K | y | 0．8．2
解 由y 1 ，得
x
1 y x 2
，y
2 x3
．
因此，y|x11，y|x12．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
K | y |
2
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
高校教育精品PPT
8
例2
抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K
| y | (1 y2 )3 2
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
抛物线顶点处的曲率半径为
r 1 1．25．
K
所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过
2．50单位长．
高校教育精品PPT
13
谢谢您的聆听
9
讨论：
1．直线上任一点的曲率等于什么？
提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是
K
| (1
y | y2 )3
2
0.
2．若曲线由参数方程
x j (t)
y
(t
)
给出，那么曲率如何计算？
提示：
K
| j(t) (t) j(t) (t) [j2 (t) 2 (t)]3 2
|
．
高校教育精品PPT
y
y
M0 s>0
M
M s<0 M0
O x0
x
xO x
高校教育精品PPT
x0
x
2
下面来求s(x)的导数及微分．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
(
(
(
Ds Dx
2
MM Dx
2
|
平均曲率：
O
x
）
我们称 K Da
为弧段 MM 的平均曲率．
Ds
曲率：
我们称 K lim Da 为曲线C在点M处的曲率．
Ds0 Ds
在 lim Da da 存在的条件下K da ．
Ds0 Ds ds
ds
高校教育精品PPT
6
曲率的计算公式：
K da ．
ds 设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数．
高校教育精品PPT
4
二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：
M1
M2
N1
N2 )j
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
高校教育精品PPT
5
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
10
三、曲率圆与曲率半径
y
曲线在M点的曲率半径
Dr
y=f(x)
M
1 |DM|
r
K
O 曲线在M点的曲率圆
x 曲线在M点的曲率中心
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r
有如下关系：
r1
，
1 K
．
r K 高校教育精品PPT
11
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
因为tan a y ，所以
sec 2a da y， da y y ，
dx
dx 1 tan2 a 1 y2
于是
da
y 1 y2
dx．又知 ds
1 y2
dx．
从而，有
| y | K (1 y2 )3 2
．
高校教育精品PPT
7
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
K
| y | (1 y2 )3 2
|
MM MM
|
2
1
Dy Dx
2
(
(
因为 lim | MM | lim | MM | 1，又 lim Dy y，
Dx0 | MM | M M | MM |
Dx0 Dx
因此 ds dx
1 y2 ．
由于ss(x)是单调增加函数，从而
ds dx
>0,
ds
1 y2 ．
dx
于是 ds 1 y2 dx．这就是弧微分公式．
MM MM
|
2
|
MM |2 (Dx)2
|
MM MM
|
2
(Dx)2 (Dy (Dx)2
)2
(
|
MM MM
|
2
1
Dy Dx
2
(
Ds Dx
|
MM MM
|
2
1
Dy Dx
2
y M0
M
Ds M
Dy
Dx
O x 高校教育精品PPT 0
x x+Dx x 3
(
Ds
Dx
解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，
代入曲率公式，得
K
| (1
y | y2 )3
2
． [1
| 2a | (2ax b)2 ]3
2
要使K 最大，只须2axb0， 即 x b ．而 x b 对应的点为
2a
2a
抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为
K|2a| ．
高校教育精品PPT