高一数学集合的概念
高一数学必修一集合知识点梳理
高一数学必修一集合知识点梳理一、集合的概念：1.集合：由一些确定的事物按照一定的规则组成的整体。
2.元素：构成集合的单个事物。
3.集合的表示方法：枚举法、描述法。
4.空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
5.集合的相等：两个集合的元素完全相同，则称两个集合相等。
二、集合的运算：1.并集：包含两个集合中的所有元素的集合，用符号∪表示。
2.交集：包含两个集合中共有的元素的集合，用符号∩表示。
3.差集：包含第一个集合中有而第二个集合中没有的元素的集合，用符号\(A-B\)表示。
4.互斥集：两个集合没有相同的元素，即交集为空集。
5.补集：在一个全集中，除去一个集合的元素剩下的元素构成的集合，用符号A'表示。
三、集合的关系：1. 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，用符号\( A \subseteq B \)表示。
2. 真子集：如果集合A是集合B的子集且集合A不等于集合B，则称集合A是集合B的真子集，用符号\( A \subset B \)表示。
3. 幂集：由原集合的所有子集构成的集合，用符号\(\mathcal{P}(A)\)表示。
四、集合的拓展：1.有限集与无限集：元素个数有限的集合称为有限集，元素个数不限的集合称为无限集。
2.嵌套集：集合中的元素本身也是集合的集合。
3.无序对：是由两个元素组成的二元关系，其中元素的顺序是不重要的。
4.索引集：用一个集合的所有元素作为索引的集合。
五、集合的运用：1.列举集合的元素。
2.解集合间的元素关系问题。
3.使用集合运算解决实际问题。
4.使用文氏图表示集合的关系。
六、集合的应用：1. Venn图：用圆形表示集合，用图示的方式描述集合间的关系和运算。
2.元素的分类：将一组事物按其中一种特征分类，构建一个集合。
3.基数计数：通过挑选元素，建立元素与集合间的一一对应关系，测量集合中元素的个数。
4.群体角度问题：确定集合元素满足其中一种性质的条件，并找出集合中所满足不同性质条件的元素个数。
高一数学集合知识点总结_高三数学知识点总结
高一数学集合知识点总结_高三数学知识点总结一、集合的概念集合是指具有某种特定性质的对象的总体。
一般记为大写英文字母A,B,C…集合中的对象称为元素，记作小写字母a,b,c…。
二、集合的表示方法1. 列举法：将集合中的元素按一定次序一一列举出来。
例如：A={1,2,3,4,5}2. 描述法：给出集合中元素的某种性质的数学表达式。
例如：B={x|x为自然数，且0<x<6}三、集合的基本运算1. 并集定义：设A和B是两个集合，由所有属于集合A或者属于集合B的元素所构成的集合，称为A和B的并集，记作A∪B。
例如：若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}五、集合的基本定理1. 有限集的基本定理对于有限集A，|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B||A|表示集合A的元素个数。
2. 集合的基本性质（1）空集的性质空集是任意集合的子集。
（2）全集的性质全集是任意集合的父集。
六、集合的应用集合的相关知识在数学中有着广泛的应用，例如在概率统计中，集合的运算可以很好地描述事件、样本空间等概念；在数学分析中，集合可以用来表示数轴上的区间、开闭集等概念；在数理逻辑中，集合运算可以用来表示充分条件、必要条件等概念。
在高一数学中，集合的知识虽然只是数学的基础知识之一，但是却是十分重要的内容，能够帮助学生建立起数学基本思维，培养学生的逻辑思维能力，为将来数学的学习打下基础。
高三数学作为学生们数学学习的最后阶段，涉及到的知识点繁多，其中包括了微积分、立体几何、概率统计等内容。
下面就对高三数学的一些重要知识点进行总结。
一、微积分微积分是高三数学中一个重要的知识点，主要包括了导数、微分、积分等内容。
1. 导数导数是函数在某一点处的变化率，通常用函数f(x)关于自变量x的一阶微分dx的商来表示。
例如：若y=f(x)，则y’=f’(x)=lim（Δx→0）（f（x+Δx）-f(x)）/Δx2. 微分微分是导数的一种形式，通常用于刻画变化量小的两点之间的差别。
高一数学必修一知识点之集合的有关概念
高一数学必修一知识点之集合的有关概念（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高一集合的概念知识点归纳
高一集合的概念知识点归纳在高中数学的学习中，集合是一个重要而基础的概念。
集合不仅贯穿于高中数学的各个分支中，而且在现实生活中也有着广泛的应用。
因此，掌握集合的基本概念和性质对于高中数学的学习至关重要。
接下来，我们将对高一阶段学习的集合的概念知识点进行归纳总结。
一、集合的基本概念1. 集合的定义集合是由一些特定的事物组成的整体。
这些事物被称为集合的元素，用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c 等表示元素。
如果a是集合A的元素，我们则记作a∈A。
2. 集合的表示方法集合的表示方法有三种：列举法、描述法和图示法。
列举法是将集合中的元素逐个列举出来；描述法是通过给出元素满足的条件来描述集合；图示法是用图形表示集合中的元素，常用的图形有圆形和长方形。
3. 集合的相等和子集集合A和B相等，表示A和B的元素完全相同，记作A=B；如果集合A的所有元素都是集合B的元素，我们称A是B的子集，记作A⊆B。
特别地，集合A包含于集合B，即A⊆B，且A≠B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。
二、集合的运算1. 交集和并集集合A和B的交集，表示同时属于A和B的元素组成的集合，记作A∩B；集合A和B的并集，表示属于A或B（或同时属于A 和B）的元素组成的集合，记作A∪B。
2. 补集和差集集合A相对于全集U的补集，表示全集中不属于A的元素组成的集合，记作A'或A^C；集合A和B的差集，表示属于A而不属于B的元素组成的集合，记作A-B。
3. 积集笛卡尔积是集合A和B的一个新集合，表示A中的每个元素与B中的每个元素按一定顺序组成的有序对，记作A×B。
三、集合的性质和应用1. 同一律、交换律、结合律和分配律集合的运算满足同一律、交换律、结合律和分配律，这些性质在集合的计算中起着重要的作用。
2. 集合的应用集合在现实生活中有着广泛的应用，例如：用集合来表示各种人群、事物的分类；集合也是概率论和数理统计的基础，用于研究随机事件和统计现象。
高一数学集合知识点总结
高一数学集合知识点总结一、集合的概念集合是由若干个元素组成的整体，通常用大写字母表示，元素用小写字母表示，元素的个数为有限个或无限个。
例如，A={1，2，3}表示由1，2，3这3个元素组成的集合A。
二、集合的运算1.并集若A、B是两个集合，由所有属于A或属于B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B。
例如，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B={1，2，3，4}。
2.交集若A、B是两个集合，由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集，记作A∩B。
例如，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∩B={2，3}。
3.差集若A、B是两个集合，由所有属于A但不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记作A-B。
例如，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A-B={1}。
4.补集设U是一个集合，A是U的一个子集，由所有属于U而不属于A的元素组成的集合称为A在U中的补集，记作A’或U-A。
例如，U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，则A’={4，5}。
5.集合的运算律（1）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C（2）交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A（3）分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)（4）对偶律：(A∪B)’=A’∩B’，(A∩B)’=A’∪B’三、集合的关系1.子集若A、B是两个集合，如果A的所有元素都属于B，则称A是B的子集，记作A⊆B。
特别地，任何集合都是它自身的子集。
例如，A={1，2，3}，B={1，2，3，4}，则A⊆B。
2.真子集若A是B的子集且A≠B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。
例如，A={1，2，3}，B={1，2，3，4}，则A⊂B。
3.全集和空集若给定集合A，包含A的集合称为全集，通常用符号U表示；不包含任何元素的集合称为空集，通常用符号∅表示。
高一数学集合的概念
例4．（04湖北）设集合
Q m R | mx2 4mx 4 0对任意实数 x恒成立 ，
则下列关系中成立的是（ A．P Q B．Q P
P m | 1 m 0 ，
C
） C．P＝Q D． P Q Q
例5.已知非空集合M {1,2,3,4,5},且若a∈M,则6-a∈M， 求集合M的个数 23-1=7 7个 例6．已知 A {x x 2x a 0}, B {x x 3x 2 0} 且A B，求实数a的取值范围。
集合的概念
1．集合
①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合， 每个对象叫做集合的元素。 ②表示 列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括 起来，如{a,b,c} 描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式 为：P={x∣P(x)}. 如:{x︱x≥1}与{y ︱y=x2-2x+2} 如： {x y x 1},{ y y x 1},{( x, y) y x 1} 图示法：用文氏图表示题中不同的集合。 ③分类：有限集、无限集、空集。 ④性质 :确定性：a A或a A必居其一， 互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2，3}， 集合中元素互不相同， 无序性：{1，2，3}={3，2，1}
1 (－∞,－2)∪[2
,1]
小结 1.集合中元素的性质（互异性）如例1； 1．元素与集合之间的关系，如例2； 2．集合与集合之间的关系，如例3，不要忘记“ ” 的考虑，如例6； 3．子集个数问题，如例5； 4．含参问题常用转化思想或数形结合求解，如例4、 6 、7 。
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2 2
a的取值范围是[1，+∞)
高一数学集合知识点笔记整理
高一数学集合知识点笔记整理
高一数学集合是高中数学学习的基础，以下是对集合相关知识点进行的整理：
一、集合的基本概念
1.集合：由具有某种特定性质的对象的全体组成的一个整体。
2.元素：构成集合的每个个体。
3.集合的表示方法：列举法和描述法。
二、集合的运算
1.交集：属于两个或两个以上集合的元素所组成的集合。
2.并集：由属于两个或两个以上集合的元素所组成的集合。
3.补集：属于一个集合的元素中，不属于另一个集合的元素组成的集合。
三、集合的关系
1.子集：一个集合是另一个集合的子集，则称它们之间存在包含关系。
2.真子集：如果一个集合是另一个集合的真子集，那么称它们之间存在真包含
关系。
3.空集：没有任何元素的集合称为空集。
空集是任何集合的子集，是任何非空
集合的真子集。
四、集合的运算律
1.交换律：A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。
2.结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
3.分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
五、集合的特性
1.无序性：集合中的元素没有固定的顺序，可以根据需要调整。
2.确定性：每个元素都属于某个集合，没有不确定性。
3.互异性：集合中的元素互不相同，没有重复。
4.独立性：集合的元素不会因为集合的改变而改变，即集合的元素与集合本身
是独立的。
高一数学上册集合的概念
高一数学上册集合的概念高一数学上册集合的概念概念1.集合的定义：集合是由确定的对象所组成的一个整体，这些对象称为集合的元素。
2.元素与集合的关系：一个元素可以属于一个集合，也可以不属于一个集合。
3.集合的表示方法：常用的表示方法有列举法和描述法。
4.集合的基本运算：包括并集、交集、补集和差集等运算。
5.集合的关系：集合之间可以有包含关系、相等关系和不相交关系等。
6.子集和真子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，则称该集合为另一个集合的子集；如果一个集合是另一个集合的子集，并且两个集合不相等，则称该集合为另一个集合的真子集。
相关内容1.集合的运算法则：并集运算满足交换律和结合律；交集运算满足交换律和结合律；补集运算满足对偶律和恒等律；差集运算满足补集定律和恒等律。
2.集合的属性：空集是任意集合的子集；任意集合是自身的子集；全集是包含所有元素的集合；两个集合相等当且仅当它们的元素完全相同。
3.集合的应用：集合的概念在数学中具有广泛的应用，例如概率论、离散数学、集合论等领域。
总结集合是数学中的基本概念之一，它描述了确定的对象所组成的一个整体。
通过集合的定义和基本运算，我们可以进行集合的操作和研究集合之间的关系。
集合的概念在数学的各个领域都有应用，是数学学习的重要基础。
继续介绍集合相关的内容：集合的定义集合是由确定的对象所组成的一个整体，这些对象称为集合的元素。
集合可以用大写字母A、B、C等表示，元素可以用小写字母a、b、c等表示。
元素与集合的关系一个元素可以属于一个集合，也可以不属于一个集合。
如果元素a属于集合A，我们可以用符号a ∈ A表示；如果元素a不属于集合A，我们可以用符号a ∉ A表示。
集合的表示方法常用的表示方法有列举法和描述法： - 列举法：将集合的元素一一列举出来，用花括号{}括起来。
例如，集合A = {1, 2, 3}。
- 描述法：通过描述元素的性质或特点来表示集合。
例如，集合B是所有大于0且小于10的整数的集合，可以表示为B = {x | 0 < x < 10, x ∈ Z}。
高一上数学集合的概念
高一上数学集合的概念摘要：一、集合的概念1.集合的定义2.集合的元素3.集合的表示方法二、集合的基本运算1.集合的并集2.集合的交集3.集合的补集三、集合之间的关系1.子集2.超集3.相等集四、集合的应用1.数学问题中的集合应用2.集合在实际生活中的应用正文：集合是数学中的一个基本概念，它是一种包含一组元素的东西。
在高一上学期的数学课程中，我们将学习集合的概念以及集合的基本运算和关系。
一、集合的概念集合的定义是指一个确定的、互异的、无序的一组元素。
这些元素可以是任何事物，如数字、字母、人、动物等。
集合的元素是集合的基本构成部分，可以是单个元素，也可以是多个元素。
集合的表示方法有列举法、描述法和图示法等。
二、集合的基本运算集合的运算主要包括并集、交集和补集三种。
集合A 和集合B 的并集是指包含所有属于集合A 或集合B 的元素的集合。
集合A 和集合B 的交集是指包含所有既属于集合A 又属于集合B 的元素的集合。
集合的补集是指包含所有不属于该集合的元素的集合。
三、集合之间的关系集合之间存在三种关系：子集、超集和相等集。
如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么前者是后者的子集。
如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么前者是后者的超集。
如果两个集合拥有相同的元素，那么这两个集合是相等集。
四、集合的应用集合在数学中有广泛的应用，如集合的运算可以用来解决一些复杂的问题，如集合的补集可以用来求解一些不等式问题，集合的关系可以用来证明一些数学结论。
此外，集合的概念和运算在实际生活中也有广泛的应用，如数据处理、计算机科学、经济学等领域。
高一数学集合知识点全总结
高一数学集合知识点全总结一、集合的概念集合是具有某种特定性质的事物的总体或类别。
集合中具体的元素称为集合的成员。
集合的表示方法有三种：列举法、描述法和集合的图示法。
1. 列举法：集合A = {a, b, c, d, e}2. 描述法：集合A = {x|x具有某种特定的性质}3. 图示法：通常用Venn图来表示，也可以用数轴、区间等形式表示。
二、集合的基本运算1. 并集设A和B是两个集合，A和B的并集，记作A∪B，是一个集合C，C中的元素是A和B 中所有元素的集合，即C={x | x∈A或x∈B}。
2. 交集设A和B是两个集合，A和B的交集，记作A∩B，是一个集合C，C中的元素是A和B 中共有元素的集合，即C={x | x∈A且x∈B}。
3. 差集设A和B是两个集合，A和B的差集，记作A-B，是一个集合C，C中的元素是属于A 但不属于B的所有元素的集合，即C={x | x∈A,x∉B}。
4. 补集A的补集，记作Ā，是一个集合C，C中的元素是不属于A的所有元素的集合，即C={x | x∈U,x∉A}，其中U为全集。
5. 交叉并集设A和B是两个集合，A和B的交叉并集，记作A⊕B，是一个集合C，C中的元素是A 和B中所有元素的集合减去A和B的交集，即C={x | x∈A或x∈B,但x∉A∩B}。
6. 笛卡尔积对于两个集合A和B，在数学上，A和B的笛卡尔积，记作AxB，是一个集合C，C中的元素是由A和B中的每个元素按一定次序组成的。
写作C={(a,b)|a∈A,b∈B}以上的集合运算规则和公式需要通过具体的例题来进行练习和理解。
三、集合的关系1. 包含关系若集合A的每个元素都是集合B的元素，则A是B的子集，记作A⊆B或B⊇A。
特别地，空集是每个集合的子集。
2. 相等关系若集合A和B有相同的元素，则A等于B，记作A=B。
3. 差集和补集的关系若A⊆B，则A-B=BĀ。
四、集合论的重要定理1. 德摩根定理对于任意两个集合A和B，有以下两个等式成立：A∪B = AĀ∩BĀA∩B = AĀ∪BĀ2. 韦恩图定理对于任意三个集合A、B和C，有以下等式成立：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)3. 分配率对于任意三个集合A、B和C，有以下等式成立：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)以上定理是在集合论中非常重要的定理，需要通过具体的例题来进行理解和应用。
高一数学必修1集合知识点高一数学必修1知识点
高一数学必修1集合知识点高一数学必修1知识点1.集合的有关概念1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(aA和aA，二者必居其一)、互异性(若aA，bA，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。
4)常用数集：N，Z，Q，R，N某2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念1)子集：若对某∈A都有某∈B，则AB(或AB);2)真子集：AB且存在某0∈B但某0A;记为AB(或，且)3)交集：A∩B={某|某∈A且某∈B}4)并集：A∪B={某|某∈A或某∈B}5)补集：CUA={某|某A但某∈U}3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：4.有关子集的几个等价关系①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。
5.交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩=，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪=A，A∪B=B∪A;③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。
7.集合中的元素有三个特征：1)确定性(集合中的元素必须是确定的)2)互异性(集合中的元素互不相同。
例如：集合A={1，a}，则a不能等于1)3)无序性(集合中的元素没有先后之分。
)1.用符号“∈”或“∉”填空(1)22________R,22________{某|某<7};(2)3________{某|某=n2+1，n∈N+};(3)(1,1)________{y|y=某2};(1,1)________{(某，y)|y=某2}.【解析】(1)22∈R，而22=8>7，∴22∉{某|某<7}.(2)∵n2+1=3，∴n=±2∉N+，∴3∉{某|某=n2+1，n∈N+}.(3)(1,1)是一个有序实数对，在坐标平面上表示一个点，而{y|y=某2}表示二次函数函数值构成的集合，故(1,1)∉{y|y=某2}.集合{(某，y)|y=某2}表示抛物线y=某2上的点构成的集合(点集)，且满足y=某2，∴(1,1)∈{(某，y)|y=某2}.【答案】(1)∈∉(2)∉(3)∉∈2.已知集合C={某|63-某∈Z，某∈N某}，用列举法表示C=________.【解析】由题意知3-某=±1，±2，±3，±6，∴某=0，-3,1,2,4,5,6,9.又∵某∈N某，∴C={1,2,4,5,6,9}.【答案】{1,2,4,5,6,9}3.已知集合A={-2,4，某2-某}，若6∈A，则某=________.【解析】由于6∈A，所以某2-某=6，即某2-某-6=0，解得某=-2或某=3.【答案】-2或31.下列各组对象能构成集合的有()①美丽的小鸟;②不超过10的非负整数;③立方接近零的正数;④高一年级视力比较好的同学A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】①③中“美丽”“接近零”的范畴太广，标准不明确，因此不能构成集合;②中不超过10的非负整数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共十一个数，是确定的，故能够构成集合;④中“比较好”，没有明确的界限，不满足元素的确定性，故不能构成集合.【答案】A2.小于2的自然数集用列举法可以表示为()A.{0,1,2}B.{1}C.{0,1}D.{1,2}【解析】小于2的自然数为0,1，应选C.【答案】C3.下列各组集合，表示相等集合的是()①M={(3,2)}，N={(2,3)};②M={3,2}，N={2,3};③M={(1,2)}，N={1,2}.A.①B.②C.③D.以上都不对【解析】①中M中表示点(3,2)，N中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2.【答案】B4.集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，则6-a∈A，那么a为()A.2B.2或4C.4D.0【解析】若a=2，则6-a=6-2=4∈A，符合要求;若a=4，则6-a=6-4=2∈A，符合要求;若a=6，则6-a=6-6=0∉A，不符合要求.∴a=2或a=4.。
高一数学集合的概念知识点笔记
高一数学集合的概念知识点笔记一、集合的概念集合是由一些特定对象组成的整体，这些对象被称为集合的元素。
表示一个集合的方式有两种：列举法和描述法。
在列举法中，将集合的元素一一列举出来；在描述法中，通过一定的条件来描述集合的元素。
二、集合的运算1. 并集：并集是将多个集合的所有元素合并在一起得到的集合。
用符号“∪”表示。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}的并集为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
2. 交集：交集是多个集合中共有的元素组成的集合。
用符号“∩”表示。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}的交集为A∩B={3}。
3. 差集：差集是从一个集合中减去另一个集合中的元素得到的集合。
用符号“-”表示。
例如，集合A={1, 2, 3}减去集合B={3, 4, 5}的差集为A-B={1, 2}。
4. 互斥：两个集合没有共同元素时称为互斥。
即两个集合的交集为空集。
三、集合的性质1. 子集关系：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则称前者为后者的子集。
用符号“⊆”表示。
“A⊆B”表示集合A是集合B的子集。
2. 空集：一个不包含任何元素的集合称为空集，用符号“∅”表示。
3. 幂集：由一个集合的所有子集构成的集合称为幂集。
例如，集合A={1, 2}的幂集为P(A)={{}, {1}, {2}, {1, 2}}。
四、集合的表示与求解1. 集合的表示：利用集合的运算符号可以将集合的关系用简洁的符号表示出来，以便进行计算和求解。
例如，对于集合A={1, 2, 3}的表示，可以写作A={x | x是正整数，1≤x≤3}。
2. 集合的求解：在数学问题中，需要求解集合的交集、并集、差集等操作。
通过利用集合的性质和运算法则，可以得出集合的具体元素或描述。
五、应用实例集合在实际问题中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的实际应用实例：1. 人员分类：将一群人根据不同的条件进行分类，根据年龄、性别、兴趣爱好等条件可以形成不同的集合。
高一数学集合知识点归纳
高一数学集合知识点归纳集合是高一数学中的重要概念，它是现代数学的基础，对于后续数学知识的学习起着至关重要的作用。
下面我们来对高一数学中集合的相关知识点进行归纳。
一、集合的定义集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。
这些对象称为该集合的元素。
例如，一个班级里的所有学生可以组成一个集合，每个学生就是这个集合的元素；自然数的全体也可以组成一个集合。
二、集合的表示方法1、列举法把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。
例如：｛1, 2, 3, 4, 5} 表示由 1 到 5 这 5 个自然数组成的集合。
2、描述法用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
例如：｛x ｜ x 是大于 5 的整数} 表示大于 5 的整数组成的集合。
3、图示法（韦恩图）用圆、椭圆、矩形等封闭曲线来直观地表示集合的方法。
三、集合中元素的特征1、确定性给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的。
比如“个子高的同学”不能构成集合，因为“个子高”没有明确的标准，不具有确定性。
2、互异性集合中的元素不能重复。
例如集合{1, 2, 2, 3}应写成{1, 2, 3}。
3、无序性集合中的元素没有顺序之分。
｛1, 2, 3}和{3, 2, 1}表示的是同一个集合。
四、常见的集合及其符号表示1、自然数集：N （包括 0）2、正整数集：N 或 N+ （不包括 0）3、整数集：Z4、有理数集：Q5、实数集：R五、集合间的关系1、子集如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素，那么集合 A称为集合 B 的子集，记作 A ⊆ B 。
例如：A ＝｛1, 2}，B ＝｛1, 2, 3}，则 A 是 B 的子集。
特别地，任何一个集合都是它本身的子集。
2、真子集如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 称为集合 B 的真子集，记作 A ⊂ B 。
例如：A ＝｛1, 2}，B ＝｛1, 2, 3}，则 A 是 B 的真子集。
高一上学期数学集合知识点
高一上学期数学集合知识点集合是数学中一个非常重要的概念，它在高中数学课程中常常被提及并且运用广泛。
集合是由一组对象（元素）组成的整体，它们之间没有次序关系。
在高一上学期数学中，集合的概念和运算是必须掌握的知识点。
本文将从集合的基本概念、集合的元素、子集与真子集、并、交、差运算以及集合的表示方法等方面进行论述。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
数学中通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素。
集合中的元素是无序的，每个元素在集合中只能出现一次。
例如，集合A={1, 2, 3}表示由元素1、2、3组成的集合，集合B={a, b, c}表示由元素a、b、c组成的集合。
二、集合的元素集合中的元素可以是任意的东西，如数字、字母、甚至是其他集合。
在数学中，集合的元素通常具有某种共同的特性或者满足一定的条件。
例如，自然数的集合N={1, 2, 3, 4, ...}中的元素都是正整数。
三、子集与真子集如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么我们称这个集合为另一个集合的子集。
例如，集合A={1, 2}，集合B={1, 2, 3}，则A是B的子集。
如果一个集合是另一个集合的子集，并且两个集合不相等，那么我们称这个集合为另一个集合的真子集。
在上述例子中，A是B的真子集。
四、并、交、差运算集合的并运算指的是将两个集合中的所有元素合并得到的新集合。
以集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}为例，A∪B={1, 2, 3, 4}。
集合的交运算指的是找出两个集合中共有的元素构成的新集合。
以集合A和B为例，A∩B即为A与B共有的元素。
集合的差运算指的是在一个集合中去掉和另一个集合共有的元素，得到的新集合。
以集合A和B为例，A-B即为在A中去掉B中元素的新集合。
五、集合的表示方法集合可以用不同的表示方法进行表达。
最常见的方式是枚举法，即通过列举集合中的所有元素来表示集合。
另外，集合还可以用描述法进行表示，即通过描述集合中的元素所具有的特征或满足的条件来表示集合。
高一数学集合的知识点归纳总结
高一数学集合的知识点归纳总结一、集合的概念和表示集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合的表示方法有三种：描述法、列举法和等价关系法。
二、集合的运算1. 并集：表示由两个或多个集合中所有的元素组成的集合，记作A∪B。
2. 交集：表示两个或多个集合中共有的元素组成的集合，记作A∩B。
3. 差集：表示一个集合中除去与另一个集合共有的元素之外的元素组成的集合，记作A-B。
4. 互补集：表示对于给定的全集U，与某个给定集合A中的元素不相同的元素所组成的集合，记作A'。
三、集合的性质1. 互斥性：两个集合没有共同的元素，即A∩B=∅。
2. 全集性：某个给定集合A的所有元素都是全集U的元素，即A⊆U。
3. 空集性：一个集合中没有任何元素，记作∅。
4. 幂集性：一个集合的所有子集所组成的集合称为幂集，记作P(A)。
四、集合的关系和判定1. 包含关系：若A中的每一个元素都是B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。
2. 相等关系：若A是B的子集且B是A的子集，则称A和B相等，记作A=B。
3. 真包含关系：若A是B的真子集（A不等于B），则称A真包含于B，记作A⊂B。
4. 子集数量关系：若集合A和集合B都是有限集合，且A的元素个数小于B的元素个数，则称A的元素个数少于B的元素个数，记作|A|<|B|。
五、常见的数学符号和概念1. 自然数集：{1, 2, 3, 4, ...}，用符号N表示。
2. 整数集：{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}，用符号Z表示。
3. 有理数集：用两个整数的比表示的数的集合，用符号Q表示。
4. 实数集：包含有理数和无理数的集合，用符号R表示。
5. 空集：没有任何元素的集合，用符号∅表示。
六、集合的应用1. 排列组合：通过对集合的操作和排列组合的方法，可以解决一些计数问题。
2. 概率论：集合论是概率论的重要基础，通过集合的运算和性质，可以推导出概率计算的公式。
集合的概念高一数学
集合的概念
1、集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。
集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。
现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。
2、集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。
当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。
一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。
3、集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性。
集合论的基础是由德国数学家康托尔在19世纪70年代奠定的，经过一大批科学家半个世纪的努力，到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位，可以说，现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。
4、运算定律
交换律：A∩B=B∩A；A∪B=B∪A
结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
分配对偶律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
5、表示集合的方法通常有四种，即列举法、描述法、图像法和
符号法。
高一数学集合知识点归纳
一、集合的概念1. 集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
2. 集合的表示方法：集合通常用大写字母表示，如A、B、C等，元素用小写字母表示，如a、b、c等。
3. 集合的分类：有限集和无限集。
有限集中元素的个数是有限的，无限集中元素的个数是无限的。
二、集合的基本运算1. 并集：两个集合A和B的并集是指包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。
2. 交集：两个集合A和B的交集是指既属于A又属于B的元素组成的集合，记作A∩B。
3. 差集：两个集合A和B的差集是指属于A但不属于B的元素组成的集合，记作A-B。
4. 补集：一个集合A的补集是指不属于A的所有元素的集合，记作A'或A^c。
5. 幂集：一个集合的所有子集构成的集合称为该集合的幂集，记作P(A)。
三、集合的性质1. 互异性：一个集合中的元素都是不同的。
2. 无序性：一个集合中的元素没有固定的顺序。
3. 确定性：一个元素要么属于某个集合，要么不属于该集合。
4. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。
5. 全集：包含所有元素的集合称为全集，记作U。
6. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合称为另一个集合的子集。
7. 真子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，但这个集合本身不是另一个集合，那么这个集合称为另一个集合的真子集。
8. 相等集：如果两个集合的元素完全相同，那么这两个集合称为相等集。
9. 空集是任意集合的子集。
10. 空集是任意非空集合的真子集。
四、集合的关系1. 包含关系：一个集合A包含另一个集合B，记作A⊆B。
2. 相等关系：两个集合A和B的元素完全相同，记作A=B。
3. 不相等关系：两个集合A和B的元素不完全相同，记作A≠B。
4. 子集关系：一个集合A是另一个集合B的子集，记作A⊆B。
5. 真子集关系：一个集合A是另一个集合B的真子集，记作A⊆B且A≠B。
6. 相等关系与包含关系的关系：如果两个集合相等，那么它们一定相互包含；如果两个集合相互包含，那么它们不一定相等。
集合的概念高一数学
集合的概念高一数学（最新版）目录1.集合的定义与表示方法2.集合的元素特性3.集合的分类4.集合的运算5.集合的应用正文一、集合的定义与表示方法集合是数学中一个重要的概念，它包含了一组确定的元素。
集合可以用大写字母表示，如 A、B 等。
集合的元素可以用小写字母表示，如 a、b 等。
集合的定义可以表述为：一个集合是由一组确定的元素所组成的，集合中的元素具有唯一性，即集合中任何元素都只能出现一次。
二、集合的元素特性集合的元素具有以下特性：1.确定性：集合中的元素是确定的，不会有任何模糊或不确定的地方。
2.无序性：集合中的元素没有先后顺序，也不会因为元素的顺序改变而改变集合的本质。
3.互异性：集合中的元素互相独立，不会有重复的元素出现。
4.完整性：集合中的元素是完整的，不会有任何缺失的元素。
三、集合的分类集合可以按照元素的性质进行分类，一般分为以下几类：1.数集：由数字构成的集合。
2.字符集：由字母或符号构成的集合。
3.关系集：由关系构成的集合。
4.函数集：由函数构成的集合。
四、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集、补集等。
1.并集：由两个或多个集合中所有元素组成的集合。
2.交集：由两个或多个集合中共同拥有的元素组成的集合。
3.差集：由属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的集合。
4.补集：由属于一个集合的元素组成的集合，与该集合的补集相等。
五、集合的应用集合在数学中有广泛的应用，如在数论、图论、逻辑、概率论等领域中都有重要的应用。
高一数学集合知识点
高一数学集合知识点一、集合的概念集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的元素组成的整体。
集合的元素可以是任意事物，如数字、字母、几何图形等。
集合用大写字母表示，元素用小写字母表示，元素用花括号括起来并用逗号分隔。
二、集合的表示方法1. 列举法：直接将集合的所有元素列举出来。
例如：A = {1, 2, 3, 4, 5}，表示集合A由元素1, 2, 3, 4, 5组成。
2. 描述法：通过描述集合元素的特征或性质来表示。
例如：B = {x | x是偶数}，表示集合B由所有偶数构成。
三、集合的关系1. 相等关系：两个集合的元素完全相同。
例如：A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 1}，则A与B相等。
2. 包含关系：一个集合的所有元素都是另一个集合的元素。
例如：A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {1, 2, 3}，则B是A的子集。
3. 交集：两个集合中共有的元素构成的集合。
例如：A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {4, 5, 6, 7}，则A与B的交集为{4, 5}。
4. 并集：两个集合中所有元素构成的集合。
例如：A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {4, 5, 6, 7}，则A与B的并集为{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。
5. 差集：一个集合中除去与另一个集合相同的元素所得到的集合。
例如：A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {4, 5, 6, 7}，则A与B的差集为{1, 2, 3}。
四、常用集合1. 空集：不含任何元素的集合，用符号∅表示。
2. 自然数集：正整数的集合，用符号N表示。
3. 整数集：正整数、负整数和0的集合，用符号Z表示。
4. 有理数集：可以表示为两个整数之商的数的集合，用符号Q表示。
5. 实数集：包括有理数和无理数的集合，用符号R表示。
五、集合的运算1. 交运算：两个集合中共有的元素构成的集合。
2. 并运算：两个集合中所有元素构成的集合。
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解 由集合中元素的确定性知（1）、（3）、（5）、（6）是集合， （2）、（4）不构成集合。 （1）{-4，-2，0，2，4}； （3）{东禅中学的学生}； （5）{自然数}； （6）{单项式}。 说明 集合的表示，必须严格遵守规定。如（5），若写成{所有自然 数}、{全体自然数}、{自然数集}是错误的，因为符号{}本身就具有“所 有”、“全体”、“集”的意思了。
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开咯万丈光芒.东舌闭目凝神感受着万物,壹切都变得那么の清新整齐,没什么半分の紊乱否均.正自思绪纷飞之时,身后响起咯壹阵轻快の脚步声,东舌本能の回过头去长望.走来の否是别人,正是吐茂公.东舌淡然壹笑,转而问道:"吐军师,有什么事情吗？"吐茂公轻摇手中羽扇,掀起无数尘 埃飘散开来,在阳光の耀射之下格外の显眼,沉静如水地说道:"殿下,在下已经召集咯全部人在正堂集中,还望殿下无事の话速速前去."听咯吐茂公の话,东舌心中突然有种否好の预感,旋即问道:"军师,莫否是出咯什么事情？"吐茂公警觉地环扫四周,点咯点头,匆匆转身离去.从吐茂公の表 现,东舌便猜测出咯事情の重要性.也否多问什么,随着吐茂公壹起朝正堂走去..半响过后,钱塘王府正堂.东舌端坐在王座之上,台下文武按顺序摆开,已经颇有壹番******の样子.右侧武将之中走出壹人,只见身高七尺有余.身挂金甲,背披紫袍,长得却是有些异于常人.此人便是日行千里,神 驹子马灵,马灵早在半个月前就被东舌派出到各地搜罗情报,如今归来定是情况有变.马灵上前壹步,拱手说道:"殿下,末将在隋朝廷打听到咯壹个消息."东舌否假思索の问道:"什么消息,尽管说来便是.""北方罗艺军团全线崩溃.被其部下完颜阿骨打所杀,如今完颜阿骨打拥兵五万坐守幽州, 罗艺之子罗成报仇心切,领着七万兵力投降北方の神秘人,否过北方突降数百年否遇の大雪,怕是壹年半载否能作战."马灵将北方情况壹壹道来.东舌思酌着情报,用手抚着下颚の须绒,点咯点头说道:"那汤广有没什么什么动静？"马灵顿咯顿语气.旋即说道:"汤广派高颎带兵十五万出兵北方, 平定幽州之乱.并派出十万大军企图企图."马灵说到另外壹支大军之时,突然语气变得迟钝起来,好像有点难以启齿壹般.东舌眼中流露出壹丝异色,说道:"无妨,什么大风大浪没什么见过,马将军您尽管说来便是."马灵那才深吸壹口气说:"殿下.汤广派出十万大军否日将来攻打襄阳,并将尪 氏皇族逐壹斩首示众.""他奶奶の狗东西,居然那么否要脸,那汤广要是那天落到咯我の手里,看我否戳他几百个透明窟窿/"此言壹出.长飞最先叫嚣起来,满脸の怒气瞬间引燃.吐茂公却抚咯抚须,右手轻摇羽扇,壹副山崩于前而否惊の样子,淡然说道:"长将军稍安勿躁,马将军您说说那十万 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么记错の话,裸值统率到达咯101,难道白起统率仅仅只有99吗？"操作界面整顿咯壹下语气,沉吟片刻回道:"回复宿主,白起拥有杀神和人屠双潜能,巅峰统率将达到人类巅峰.""杀神人屠？川布已经是壹个特殊状态咯,现在居然还有壹个双潜能の男人."东舌忍否住拍案惊呼,白起竟然同时拥 有两项潜能.操作界面却并否理会东舌の想法,紧接着发送咯信息:"检测到发布咯新任务,并将呈上八人乱入名单,请宿主注意聆听/"（未完待续o(n_n)o）ps:（青衣也是够无语の,本来存稿居然被突然电脑自动关机给弄没咯,所以更新慢咯,请各位见谅.再次宣传壹下企鹅群号321769784,感 兴趣の朋友可以来和我们壹起讨论古代那些被埋没の人物.）</dd>壹百六十二部分赤壁火神反王雨集刚刚咯解白起の双潜能,东舌恨否得立即让白起出现在自己眼前,操作界面就发布咯新任务和乱入名单."颁布新任务,击败朝廷二路大军,奖励人物叁国时期吴国大都督,周瑜.""周瑜/火烧 赤壁の火神周瑜,有咯周瑜何愁否能扫平杜伏威萧铣之辈,那次大发咯啊/"听到周瑜の名号,东舌忍否住再次惊呼起来,可惜检测过咯白起,现在检测否咯周瑜咯.照曹操统率97来看,周瑜の统率排除本土作战の因素,应该有96以上."现在为宿主呈上乱入名单,请宿主注意聆听.""来吧,本宿主 已经准备好咯."东舌深吸壹口气,收咯激动の心态,准备接受那乱入名单."叁国与宋各乱入四人,叁国名单如下,乱入第壹人,袁绍,袁绍四维如下,武力:77,智力:79,统率:80,政治:71,植入身份为运河沿岸の造反势力,请宿主注意查看.""袁本初来咯啊,虽然四维否咋滴,否过当个小反王也足 够咯."东舌看着袁绍の信息,若有所思の点咯点头,并没什么太大の反应."乱入第二人,袁绍手下谋士审配,审配四维如下,武力:70,智力:89,统率:79,政治:82,植入身份为秦琼手下谋士,目前正在江陵防御.""审配虽然在袁绍手中并否是很起眼,但却是难得の死忠,宁死否降.""乱入第叁人, 孔融部下大将武安国,武安国四维如下,武力:92,智力:57,统率:63,政治:52,植入身份为刘备手下大将."吸引东舌注意の否是武安国.而是刘备,若是刘备带出咯诸葛亮或者五虎将,也否晓得秦琼能否能扛得住."乱入第四人,韩馥手下上将潘凤.潘凤四维如下,武力:84,智力:59,统率:63,政 治:56.植入身份为袁绍部将.""尼玛逗我呢,潘无双都来咯,本宿主记得他否是网上流传の叁国第壹隐藏神将,更有人说他就是司马懿吗？"东舌双手按着案台,开始吐槽起来.操作界面却懒得搭理东舌,继续报道:"宋朝名单如下,乱入第壹人,水浒后传花荣之子花逢春,花逢春四维如下,武 力:80.智力:65,统率:63,政治:62,植入身份为花荣之弟."花逢春此人虽然描写笔墨否多,但是此人箭术可比花荣,木俊暹罗国很大程度就是靠花逢春撑起来の."乱入第二人,水浒梁山头领宋江,宋江四维如下,武力:67,智力:75.统率:76,政治:68,植入身份为运河沿岸趁势造反の反王."想到 宋江,东舌心里就有点否郁闷咯.宋江那货好汉否是好汉,英雄否是英雄,把梁山泊那么多英雄全部坑在咯招安中,否过和袁绍壹起做壹个小反王,那也没什么问题."乱入第叁人,北宋末年起义势力王庆.王庆四维如下,武力:72,智力:67,统率:74,政治:59,植入身份为运河沿岸の起义势力.""乱 入第四人,水浒梁山好汉孙立,孙立四维如下,武力:92,智力:61,统率:67,政治:57,植入身份为孙坚堂弟,已经投靠咯孙坚.""嘶,操作界面大爷,那次乱入名单是反王加上逗逼の大杂烩啊."听完最后两个名单,东舌指尖轻敲案台,又吐槽咯壹句."宿主手中将领水平有所上升,宿主是否选择查 看？"东舌毫否犹豫地选择咯查看."长飞统率:86(+3)",川蒙率:92(+1),否过尚未达到巅峰,请宿主注意查看."东舌会心壹笑,对二人の发展表示十分满意."否错,吴下阿蒙和长飞都朝统帅型发展咯."提到咯统帅,东舌又想起咯朝廷二路大军,于是向操作界面发送咯信息,"帮本宿主检测壹下 川布,裴元庆等人の四维.""正在检测中……川布四维如下,武力:103,智力:63,统率:94(偏冲锋陷阵),政治:58.""裴元庆四维如下,武力:102,智力:56,统率:75,政治:53.""裴仁基四维如下,武力:86,智力:71,统率:84,政治:63.""裴元绍四维如下,武力:81,智力:61,统率:62,政治:59.""裴元 福四维如下,武力:77,智力:60,统率:57,政治52."看完裴元庆壹家の四维,东舌用手轻抚须绒,感慨道:"那老裴家果真就壹个裴元庆和裴仁基能上得咯场面.""尚师徒四维如下,武力:96,智力:77,统率:84,政治:70.""左天成四维如下,武力:97,智力:64,统率:79,政治:65.""麻叔谋四维如下, 武力:88,智力:62,统率:66,政治:62.""王宇航(客串角色)四维如下,武力:76,智力:56,统率:59,政治:54.""尚师徒和左天成两人死忠于隋,川布の骑兵天赋过人,好在本宿主还有王牌在手中."吱就在东舌神思之余,虚掩の门突然晃动咯壹下,东舌鹰眉壹变,朝门外望去,壹个隐隐约约可见の 身影呈现在窗布之上.东舌顿时浑身警觉起来,右手按在王椅侧位所悬の宝剑上,喝问道:"是何人在外/"只见那身躯微微壹颤紧接着推开门来,来の并否是别人,正是刚迎娶の王妃甄宓.东舌神色壹惊,却又带有壹丝疑色地问道:"甄儿,您怎么在那？"甄宓壹袭碎蓝衣裙,显得格外妖艳,俏脸上 浮现几分初经人事の羞涩,手捧壹碗燕窝,笑靥如花地朝东舌迎来."夫君,我怕您累坏身子,为您亲手熬咯燕窝,趁热喝咯吧."甄宓柔情似水地说到,便将燕窝轻轻放在桌上,走到东舌身边将玉手搭在东舌の肩上,东舌脸上の疑色方才慢慢褪去."孤の身体好着,现在还要看政务,甄儿您自己先下 去休息吧,别把身子折腾坏咯."东舌敷衍壹句,甄宓也否再说什么,娇羞地点咯点头转身推门离去.美人虽然动心,但否可为咯美人而弃黎民百姓于否顾.见甄宓走后,东舌将儿女私情暂且搁置壹边,起身走到窗边,望着那碧如美玉の池水,眼眸中の神韵否断流转,心中否断琢磨着破敌之策.眼帘 之间,壹只白鸽飞过天际,却误认为壹道风景.大战壹触在即.O(∩_∩)O)壹百六十叁部分迫否及待地找死四日后,隋军后部队伍.帐外将士否断搬运着此次出征所需要の粮食.裴仁基高坐在主位之上,左右两边依次是裴元绍,裴元福,裴元庆叁人.然而裴仁基望着那壹长物货文书之时,眼神中满 是纠结,眉头深深の皱起,凹成咯壹个字眼鲜明の川字."为何朝廷无缘无故扣咯我军叁分之二の粮草？"裴仁基将手中の文书抛在咯案台之上,壹脸否解地问向前来传话の军部粮草使者.眼前の男子却什么都否晓得,只是回话道:"那种事情我并否晓得,粮草是宇文丞相安排の,若是将军有疑问 の话,就回京问宇文丞相吧.""您什么意思？宇文化及给我们安排咯粮草,现在又给那么点,那么点怎么打仗,饿着肚子去打仗么？"听咯使者の回话,裴元庆登时脸上油然而生几分愠色,上千直接将他擎在咯半空之中,恶狠狠地问道."小人真の否晓得啊,裴将军救我啊."那传话の男子却被裴元 庆の举动着实吓咯壹跳,知觉壹股巨力掌控着自己无法动弹半分,便朝裴仁基求救起来.裴仁基无奈叹息壹声,却又怕得罪咯宇文化及の人,便急忙向裴元庆催促道:"唉,元庆,快把人家放下来.""哼,要否是看在我父亲の面子上,今天我就要教训您壹顿."裴元庆壹把将顾问摔在地上摔咯个狗吃 屎,意犹未尽,咬牙切齿地又指着他骂咯壹句."是,是."那男子否敢再多说半句,摸咯摸自己重重摔痛の屁股,急忙掀开帘帐跑咯出去.使者走后,壹时间众人将目光又聚焦到咯裴仁基の身上,等待着他做出决定.裴仁基目光紧凝,沉吟片刻才沉重地说道:"为咯前线粮草充备.每日全军减粮叁分, 包括将军.".凉夜の天幕,天空如深江般深邃,星辰倒映在那江面之上.随波上下翻动,时隐时现.襄阳叁十里城外,隋军前部.中军大营,帐中烛光点点,却布满咯整个