卢瑟福散射

卢瑟福散射

卢瑟福散射实验是近代物理科学发展史中最具有影响力的重要实验之一。本世纪初，人们虽然知道了物质由原子构成，并且由气体性质和热力学理论也知道了原子的大概尺寸，约为10-8cm 。1897年，汤姆生（J.J.Thomson ）发现了电子，而且知道了电子是原子的组成部分，但原子的内部结构却仍处于假想阶段。由于原子是中性的，电子带有负电荷，所以原子中还应有带正电的部分。汤姆生提出一种原子模型，认为正电荷均匀地分布在整个原子球内，一定数目的电子“镶嵌”在这个球内或球面上。电子可以在它们的平衡位置附近振动，从而发出特定频率的电磁波，这就是汤姆生的原子模型。这似乎可以解释当时已观察到的原子光谱，但事实很快否定了这一模型。1909年，卢瑟福（Lord Ernest Rutherford ）和其合作者盖革（H.Geiger ）与马斯顿（E.Marsden ）所进行的α粒子散射实验则为另一种原子模型，即原子的核式模型（又称“行星模型”）的建立奠定了基础。

卢瑟福散射实验最重要的结果是发现大约有1/8000的α粒子散射角大于900，甚至接近1800，即发现存在大角度散射。当卢瑟福试图用汤姆生模型解释这个实验结果时，他发现大角度上的散射截面是不能被解释的。在汤姆生模型中，正电荷分布于整个原子，因而在原子内部的任何位置上都不可能有足够强的电场使α粒子发生大角度散射。为了证实该实验结果，卢瑟福认为原子中的正电荷不得不更紧密地集中在一起。通过他对物理现象深刻的洞察力，最终提出了原子的核式模型。在核式模型中，原子核的半径近似为10-13cm ，约为原子半径的1/105。卢瑟福散射实验给了我们正确的有关原子结构的图像，是现代核物理的基石。

一、原理

1. 瞄准距离与散射角的关系

卢瑟福把α粒子和原子都当做点电荷，并且假设两者之间的静电斥力是唯一的相互作用力。设一个α粒

子以速度v 0沿AT 方向入射，由于受到核电荷的库仑作用，α粒子将沿轨道ABC 出射。通常，散射原子的质量比α粒子质量大得多，可近似认为核静止不动。按库仑定律，相距为r 的α粒子和原子核之间库仑斥力的大小为：

202

42r

Ze F πε= （1） 式中Z 为靶核电荷数。α粒子的轨迹为双曲线的一支，如图1所示。原子核与α粒子入射方向之间的垂直距离b 称为瞄准距离（或碰撞参数），θ是入射方向与散射方向之间的夹角。

图1 散射角与瞄准距离的关系

由牛顿第二定律，可导出散射角与瞄准距离之间的关系为：

D

b ctg

22=θ （2） 其中，

2/241

202

0mv Ze D πε= （3） 式中，m 为α粒子质量。

2. 卢瑟福微分散射截面公式

由散射角与瞄准距离的关系式（2）可见，瞄准距离b 大，散射角θ就小；反之，b 小，θ就大。只要 瞄准距离b 足够小，θ就可以足够大，这就解释了大角度散射的可能性。但要从实验上来验证式（2），显然是不可能的，因为我们无法测量瞄准距离b 。然而我们可以求出α粒子按瞄准距离b 的分布，根据这种分布和式（1），就可以推出散射α粒子的角分布，而这个角分布是可以直接测量的。

设有截面积为S 的α粒子束射到厚度为t 的靶上。其中某一α粒子在通过靶时相对于靶中某一原子核a 的瞄准距离在b ~ b + db 之间的几率，应等于圆心在a 而圆周半径分别为b 、b + db 的圆环面积与入射截面S 之比。若靶的原子数密度为n ，则α粒子束所经过的这块体积内共有nSt 个原子核，因此，该α粒子相对于靶中任一原子核的瞄准距离在b 与b + db 之间的几率为

ntbdb nSt S

bdb dw ππ22== （4） 这也就是该α粒子被散射到θ到θ+dθ之间的几率，即落到角度为θ和θ+dθ的两个圆锥面之间的几率。

由式（2）求微分可得

θθθd D db b 2

/sin 2/cos 22132⎟⎠⎞⎜⎝⎛= （5） 于是，

θθθπd nt D dw 2/sin 2/cos 232⎟⎠

⎞⎜⎝⎛= 另外，由角度为θ和θ+dθ的两个圆锥面所围成的立体角为： θθπθθπd r

rd r r dA d sin 2sin 222===Ω 因此，α粒子被散射到该范围内单位立体角内的几率为： 2

/sin 1442θnt D d dw ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=Ω （6） 上式两边除以单位面积的靶原子数nt 可得微分散射截面：

2/sin 1412/sin 14422022042θπεθσ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=Ωmv Ze D d d （7）

这就是著名的卢瑟福α粒子散射公式，它是根据经典力学得出的，在量子力学建立后，用量子力学重新计算了α粒子微分散射截面，证明公式仍是成立的。

代入各常数值，以E 代表入射α粒子的能量，得到公式：

)

2/(sin 12296.142

θσ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=ΩE Z d d （8） 其中，Ωd d /σ的单位为，E 的单位为。

sr mb /MeV 实验过程中，设探测器的灵敏面积对靶所张的立体角为ΔΩ，由卢瑟福散射公式可知在某段时间间隔内所观察到的α粒子数N 应是：

T nt mv Ze N 2/sin 4142

20220θπε∆Ω⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛= （9） 式中T 为该时间内射到靶上的α粒子总数。由于式中N 、ΔΩ、θ等都是可测的，所以式（9）可和实验进行比较。由该式可见，在θ方向上ΔΩ 内所观察到的α粒子数N 与散射靶的核电荷数Z 、α粒子动能202

1Mv 及散射角θ等因素都有关。 对卢瑟福散射公式（8）或（9），可以从以下几个方面加以验证。

（1） 固定散射角，改变金靶的厚度，验证散射计数率与靶厚度的线性关系N ∝t 。

（2） 更换α粒子源以改变α粒子能量，验证散射计数率与α粒子能量的平方反比关系N ∝1/E 2。

（3） 改变散射角，验证散射计数率与散射角的关系∝1/N 2sin 4θ

。这是卢瑟福散射公式中最突出

和

最重要的特征。

（4） 固定散射角，使用厚度相等而材料不同的散射靶，验证散射计数率与靶材料核电荷数的平方关系N ∝Z 2。由于很难找到厚度相同的散射靶，而且需要对原子数密度n 进行修正，这一实验内容的难度较大。

在本实验中，只涉及到第（3）方面的实验内容，这是卢瑟福散射理论最有力的验证。

参考资料

1. 清华大学物理系.卢瑟福散射实验指示书.

2. 吴祥兴、忻贤堃主编.近代物理实验，上海科技教育出版社，1998.

二、仪器与器材

卢瑟福散射实验装置包括散射真空室、电子学系统和步进电机的控制系统。

1. 散射真空室的结构

散射真空室中主要包括有α放射源、散射样品台、α粒子探测器、步进电机及传动机构等。放射源为 241Am 或238Pu 源，241Am 源主要的α粒子能量为5.486MeV ，238Pu 源主要的α粒子能量为5.499MeV 。真空室机械装置的结构见图2。

图2. 卢瑟福散射实验装置的机械结构