自动控制原理 孟华 第4章习题解答

4-1如果单位反馈控制系统的开环传递函数

1

)(+=

s K s G 试用解析法绘出K 从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： (

2，j 0)，(0+j 1)，(

3+j 2)。

解：根轨迹如习题4-1答案图所示。（-2，+j 0）在根轨迹上；(0,+j 1), (-3, +j 2) 不在根轨迹上。

习题4-1答案图

4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数。

)

12()

13()(++=

s s s K s G

试用解析法给出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。

解： 解析法：K =0时：s=-1/2，0；K =1：s=-122；K =-∞：s=-∞，-1/3。根轨迹如习题4-2答案图所示。

习题4-2答案图

4-3 已知系统的开环传递函数)

1()

1()()(-+=

s s s K s H s G ，试按根轨迹规则画出该系统的根轨

迹图，并确定使系统处于稳定时的K 值范围。

解：分离点：；会合点： ；与虚轴交点：±j 。稳定的K 值范围：K >1。 根轨迹如习题4-3答案图所示。

习题4-3答案图

4-4已知一单位反馈系统的开环传递函数为

2

*

)

4)(1)(1()(+-+=

s s s K s G （1）试粗略画出K *

由0到∞的根轨迹图；（2）分析该系统的稳定性。 解：稳定性分析：系统不稳定。根轨迹如习题4-4答案图所示。

-10

-5

05

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

Root Locus

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

习题4-4答案图

4-5 设控制系统的开环传递函数为)

164)(1()

1()()(2

*++-+=s s s s s K s H s G ，试绘制系统根轨迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。 解：渐近线：

=60°，180°；

=-2/3；复数极点出射角

55°；分离会合点和；

与虚轴交点和；使系统稳定的开环增益为 ＜K ＜ (即 ＜K *

＜。

习题4-5答案图

4-6 已知系统的特征方程为

0)4()3)(1)(3)(1(2=++--++s K s s s s

试概略绘出K 由0→∞时的根轨迹（计算出必要的特征参数）。

解：渐近线：=90°，

=0；分离点2，相应K =；会合点，相应K =；复数零点

入射角

90°；无论K 为何值系统均不稳定。

习题4-6答案图

4-7反馈系统的特征方程为

0)160(123234=+-+++K s K s s s

作出0< K <∞的根轨迹，并求出系统稳定时所对应的K 值范围。

解：渐近线：=60°，180°；=-2/3；复数极点出射角 63°；分离点： ，会

合点：。由图可知系统在任何K 值下都是不稳定的。

习题4-7答案图

4-8 已知闭环系统的特征方程为0)1()(2=+++s K a s s 。

(1)画出a =10时的根轨迹，并说明系统的过渡过程为单调变化和阻尼振荡时K 的取值范围；

(2)确定根轨迹具有一个非零分离点的a 值，并画出相应的根轨迹； (3)在(2)中确定的a 值下，求闭环传递函数具有二重极点时所对应的K 值；

(4)画出a =5时的根轨迹。当K =12时，已知一个闭环极点为s 1= 2，问该系统能否等效为一个二阶系统

解：（1）渐近线：

=90°，

=；会合点：，分离点：-4。阻尼振荡时K 的取值范

围为（0，）（32，∞），呈单调变化时K 的取值范围为（，32）。

习题4-8（1）答案图（2）具有一个非零分离点的a=9。

习题4-8（2）答案图

（3）a =9时，闭环二重极点s1,2=-3对应的K=27。（4）渐近线：=90°，=-2；不能等效。画出a =5时的根轨迹。

-5

-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50

-5-4-3-2-1012

345Root Locus

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

习题4-8（4）答案图

4-9设单位反馈系统的开环传递函数为

)

()(a s s K

s G +=

试绘出K 和a 从零变到无穷大时的根轨迹簇；当K = 4时，绘出以a 为参变量的根轨迹。

解：令a =0 绘制K 为参变量的根轨迹如习题4-9答案图之一所示。

习题4-9答案图之一

当K 取不同值时，绘出a 变化的根轨迹簇如习题4-9答案图之二所示。当K = 4时，画

a 从零到无穷大时的根轨迹如图中粗线示。

习题4-9答案图之二

4-10设单位反馈系统的开环传递函数为

)

1)(1()(++=

s T s s K

s G α

其中开环增益K 可自行选定，试分析时间常数T a 对系统性能的影响。

解：重做该题。等效开环传递函数

[]2'

2

(1)

()T s s G s s s K α+=++

当K

时， G (s ) ’具有实数极点。取任何正实数T a 系统都是稳定的。选

择K =画根轨迹如习题-答案图之一所示。

-1.4

-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20

-0.2-0.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15

0.2

Root Locus

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

习题答案图之一

当K

时， G (s ) ’具有复数极点。取K =，1，2，画根轨迹如习题-