2014年华师大版数学八上能力培优14.2勾股定理的应用

合集下载

华师大版数学八年级上册第14章勾股定理14.2勾股定理的运用教学设计

4.设计丰富的课堂练习，让学生在实践操作中巩固勾股定理的应用，培养学生的动手能力和实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.增强学生对勾股定理的兴趣，激发学生探索数学问题的热情。
2.培养学生勇于面对挑战，克服困难的精神，提高学生在解决问题过程中的自信心。
3.使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，增强学生的数学应用意识。
（3）课堂练习：15分钟，设计不同难度的练习题，让学生在实践中巩固勾股定理的应用。
（4）小组合作：10分钟，组织学生进行小组讨论，共同解决实际问题，培养学生的团队协作能力。
（5）总结与拓展：5分钟，对本节课的学习内容进行总结，并提出拓展性问题，激发学生的思考。
4.教学评价：
（1）课堂问答：通过提问，了解学生对勾股定理应用方法的掌握程度，及时给予指导和鼓励。
（2）讲授新课：结合实际案例，引导学生运用勾股定理解决问题，通过分析、讲解、总结，使学生掌握勾股定理的应用方法。
（3）课堂练习：设计具有层次性的练习题，让学生在实践中巩固勾股定理的应用，提高解题能力。
（4）小组合作：组织学生进行小组讨论和交流，培养学生的团队协作能力和表达能力。
2.教学策略：
（1）情境创设：以生活中的实际问题为背景，创设情境，引导学生运用勾股定理解决问题。
1.教学内容：对本节课的学习内容进行总结，强调勾股定理在实际问题中的应用。
2.教学过程：
a.学生分享学习心得，总结勾股定理的应用方法；
b.教师点评学生的表现，强调勾股定理在数学中的重要地位；
c.提出拓展性问题，激发学生对勾股定理的深入思考。
五、作业布下作业题：
拓展作业旨在激发学生的探究兴趣，提高学生的数学应用意识。
4.作业要求：
（1）作业需独立完成，要求书写规范，步骤清晰；

华东师大版八年级数学上册第十四章勾股定理14.2勾股定理的应用(1)优秀教案

14.2勾股定理的应用（1）
教学目标
1．知识目标
(1)了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”；而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”.
(2)掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算. 2．过程性目标
(1)让学生亲自经历卷折圆柱.
(2) 让学生在亲自经历卷折圆柱中认识到圆柱的侧面展开图是一个长方形（矩形）.
(3)让学生通过观察、实验、归纳等手段，培养其将“实际问题转化为应用勾股定理解直角三角形的数学问题”的能力.
教学重点、难点
教学重点：勾股定理的应用.
教学难点：将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”.
原因分析：
1.例1中学生因为其空间想象能力有限，很难想到蚂蚁爬行的路径是什么，为此通过制作圆柱模型解决难题.
2.例2中学生难找到要计算的具体线段.通过多媒体演示来启发学生的思维.
教学突破点：突出重点的教学策略：
通过回忆复习、例题、小结等，突出重点“勾股定理及其逆定理的应用”，
教学过程
【解析】蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行．大家用一
解
现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使其仍为直角三
（四）作业：习题
（五）策略分析
为防止以上错误的出现，除了讲清楚定理，还应该强调：
1.定理中基本公式中的项都是平方项；
2.计算直角边时需要将基本公式移项变形，按平方差计算.
3.最后求边长时，需要进行开平方运算.。

八年级数学上册第14章勾股定理 14.2 勾股定理的应用(第1课时)教案华东师大版

勾股定理的应用活动二：实践探究交流新知【探究】如右图，蚂蚁在点A处观察到点B处有食物，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近呢？回忆圆柱的展开图，并尝试利用“两点之间线段最短〞找出最短路线.活动三：开放训练表达应用【应用举例】图14－2－例1 如图14－2－，一圆柱体的底面周长为20 cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路径．(准确到0.01 cm)变式变形：如图14－2－，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离.图14－2－在训练学生的读题能力和标准书写解题过程的能力的根底上，使学生进一步理解勾股定理，体会数学与现实世界的联系.活动四：课堂总结反思1.小雨用竹杆扎了一个长80 cm、宽60 cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹杆作斜拉杆将四边形定形，那么斜拉杆最长需________ cm.2.小杨从学校出发向南走150米，接着向东走了360米到九龙山商场，学校与九龙山商场的距离是________米.图14－2－3.如图14－2－：带阴影局部的半圆的面积是多少？(π取3.14)4.如图14－2－，一个梯子AB长，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为，求梯子顶端A下落了多少米？总结、扩展学生活动：通过本堂课的学习，你有哪些收获？你有哪些困惑？对同学，你有哪些温馨提示.教学说明：学生畅谈自己的收获，通过本节课的学习，同学们经历了运用勾股定理和勾股逆定理解决简单实际问题的过程，体会转化思想及数学和生活的密切联系.作业：1.课本P121中的随堂练习1和22.课本P123中的习题14.2中的1、2、3.学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，到达全面提高的目的【知识网络】勾股定理的实际应用(1)勾股定理实际应用常见题型框架图式总结，更容易形成知识网络如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

新华师大版八年级上册初中数学 14-2 勾股定理的应用教案

第十四章勾股定理14.2 勾股定理的应用【知识与技能】(1)能用勾股定理解决实际问题.(2)能利用勾股定理和其逆定理综合解决相关问题.【过程与方法】(1)在解决实际问题的过程中培养学生建立数学模型的意识和能力.(2)在解决问题中体会转化思想的意义.【情感态度与价值观】(1)通过对勾股定理的逆定理的探究,体会从特殊到一般的研究方法,培养良好的学习习惯.(2)在自主探究运用逆定理解决实际问题中感受数学价值,增强学好数学的信心.运用勾股定理和其逆定理解决实际问题.把实际问题转化为数学问题的思维过程.多媒体课件.思考下面的问题:1.直角三角形的性质有哪些?2.勾股定理的内容是什么?勾股定理的逆定理如何运用?3.两点之间的最短路线是什么?如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB 为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A 在AC 上运动，量的滑竿下端B 距C 点的距离为1.5米，当端点B 向右移动0.5米时，求滑竿顶端A 下滑多少米？【分析】滑竿在下滑中它的长度是不变的，先在直角三角形ACB 中利用勾股定理求出AC 的长，然后再在直角三角形ECD 中利用勾股定理求出CE 的长，即可求出AE 的长.【教师点拨】勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，他的前提是直角三角形，在求解时常运用题目中的条件构造直角三角形，而构造直角三角形方式有两种：一是根据已知条件中的直角构造，二是作垂线构造.（1）勾股定理只在直角三角形中成立，运用时，必须分清斜边、直角边，然后在使用；若没有明确告诉斜边的情况下，经常有两解，勿漏解。

（2）勾股定理将“形”转化为“数”，而这对于实际问题的解决起着积极的作用。

（3）勾股定理的应用：1.已知直角三角形任意两边，求第三边；2.已知直角三角形的一边，求另两边的关系；3.用于说明平方关系；4.作长为n 的线段。

【正式作业】教材118P 习题1.14 6。

华东师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用教学设计

2.新课讲解：
-通过动态演示或实物模型，引导学生发现直角三角形三边之间的关系，从而引出勾股定理。
-结合图形，详细讲解勾股定理的公式及其推导过程，让学生深刻理解定理的内涵。
-通过例题，展示勾股定理在实际问题中的应用，如计算斜边长度、确定直角三角形的形状等。
3.课堂练习：
-设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固勾股定理的知识。
2.实践应用题：设计一道与实际生活相关的勾股定理应用题，要求同学们运用所学知识解决问题。例如，假设学校旗杆的高度不易直接测量，但我们可以测得旗杆底端到地面的水平距离以及旗杆顶端到视线的垂直距离，请计算旗杆的大致高度。
3.创新思维题：请同学们思考并尝试证明勾股定理的逆定理，即在一个三角形中，如果一边的平方等于另外两边平方和，那么这个三角形是直角三角形。鼓励同学们运用多种方法进行证明，如几何法、代数法等。
2.学生在解决实际问题时，可能难以将勾股定理与问题情境有效结合。教师应通过丰富的实例，引导学生学会运用勾股定理分析问题、解决问题。
3.学生的几何直观能力和逻辑思维能力发展不平衡，部分学生可能在学习过程中感到困难。教师应关注学生的个体差异，提供不同难度的学习任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
4.学生在合作学习过程中，可能存在交流不畅、分工不明确等问题。教师应引导学生学会倾听、表达和协作，提高学生的团队协作能力。
-针对学生的错误，及时进行讲解和指导，帮助学生克服难点。
4.小组合作：
-将学生分成小组，针对实际问题进行讨论和合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
-引导学生运用勾股定理解决实际问题，如设计建筑物的高度、测量河流宽度等。
5.课堂小结：
-通过提问、总结等方式，帮助学生梳理本节课的知识点，形成知识结构。

【最新】华师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用1导学案

【最新】华师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用1导学案新华师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用1导学案【学习目标】能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．【重、难点】在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值．【预习指导】一、学前准备1、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若BC=4，AC=2，则AB=_______；若AB=4，BC=则AC=_________．2、一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm 、3cm ，?则第三边的长是_________．3．要登上8m 高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑建6m ．?问至少需要多长的梯子？二、【教学过程】一．创设情境1．如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．（精确到0.01cm ）.（1）自制一个圆柱，尝试从A 点到C 点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路线最短呢？（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A 点到C 点的最短路程是什么？你画对了吗？（3）蚂蚁从A 点出发，想吃到C 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？三、练习1：有一圆柱形油罐，底面周长是12米，高是5米，现从油罐底部A 点环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方B 点，问梯子最短需多少米?2、如图，在长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的外部，一只蚂蚁从顶点A 沿纸箱表面爬到顶点B 处，求它所行的最短路线的长。

3. 在一棵树的10 m 高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m 的池塘A 处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A 处，如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高学习体会：我们知道勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边就可以依据勾股定理求出第三边．从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系“a 2+b 2=c 2”看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把解实际问题转化为解方程．四、例题讲解BA10cm 4cmcmB A例：一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如左图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门练习：如图所示，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160米，假设一拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，周围100米以内会受到噪声的影响，那么学校是否会受到噪声的影响?说明理由，若受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，则学校受影响的时间有多长?五、小结由学生分组进行总结，教师请个别组学生在全班总结勾股定理的应用方法六、课堂练习：1.若一个三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是____________三角形2.在△ABC中，∠A: ∠B: ∠C=1：2：3，则BC:AC:AB=_________3.设直角三角形的三条边长为连续自然数，则这个直角三角形的面积是____________4.甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了4km，乙往南走了6km，这时甲、乙两人相距__________km．5.在△ABC中，AB=AC=4cm, ∠A: ∠B=2:5,过点C作△ABC的高CD，与AB交于D点，则CD=_______6．如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（）．（A）20cm （B）10cm （C）14cm （D）无法确定7.如果梯子的底端建筑物有5m，15m长的梯子可达到该建筑物的高度大约是（）A.13mB.14m C 15m D. 16 m8.如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B=90°，AB=3m，BC=4m，?CD=?12m，AD=13m．求这块草坪的面积．9、如图所示，在长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝14cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长。

华师大版八年级数学上册导学案含答案-14.2 勾股定理的应用

14.2 勾股定理的应用学习目标：1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题；（重点）2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.（难点）自主学习一、知识链接1. 你能补全以下勾股定理的内容吗？如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么____________.2.勾股定理公式的变形：a=_________,b=_________,c=_________.3.在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)若a=3,b=4,则c=_________;(2)若a=5,c=13,则b=_________.合作探究一、探究过程探究点1：勾股定理的应用例1如图，一根12米高的电线杆CD两侧各用15米的铁丝固定，求两个固定点A、B之间的距离.【方法总结】解题关键是利用转化思想将实际问题转化成直角三角形模型，然后利用勾股定理求出未知的边长.【针对训练】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？探究点2：勾股定理逆定理的应用例2如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？分析：题目已知“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离，实质是要求出两艘船航向所成角，由此容易联想到勾股定理的逆定理.【方法总结】解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.例3一个零件的形状如图①所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图②所示,这个零件符合要求吗？【针对训练】如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30，DC＝12，AB＝3，BC＝4，求△ABC的面积．探究点3：利用勾股定理求最短距离例4如图是一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米？（已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3）例5如图，一个牧童在小河的南4 km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？【方法总结】求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.【针对训练】如图，一只蚂蚁从棱长为12cm的正方体纸盒的顶点A处，沿纸盒表面爬到点B处，已知BC＝4 cm，则蚂蚁爬行的最短距离是多少？二、课堂小结当堂检测1.一个梯子（如图）靠在垂直于地面的墙上，顶端到地面的距离为2.8m，底端距离墙面2.1m，则这个梯子的长度为（）A.2.1c mB.2.8c mC.3.5c mD.3.7c m第1题图第2题图第4题图2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，上面露出一截，笔筒的内部底面直径是9c m，内壁高12c m，则这只铅笔的长度可能是（）A.9c mB.12c mC.15c mD.18c m3.已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走4 km，乙往南走了3 km，这时甲、乙两人相距km．4.如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是16，3，1，点A和点B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点，则最短路程是．5.如图，已知AB＝13cm，AD＝4cm，CD＝3cm，BC＝12cm，∠D＝90°，求四边形ABCD 的面积．6.高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2km，BB′＝4km，且A′B′＝8km，要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最短，求这个最短路程．参考答案自主学习一、知识链接1. a²+b²=c²2.22b-c22a-c22ba+ 3.5 12合作探究一、探究过程探究点1：例1解：在△ADC中，∠ADC=90°，AC=15米，CD=12米，∴AD=9米．同理可得BD=9米，∴AB=9+9=18（米）.即A、B之间的距离为18米.【针对训练】解：如图，设大树高为AB=10米，小树高为CD=4米，过C点作CE⊥AB于E，连接AC.∴EB=4米，EC=8米，AE=AB-EB=10-4=6（米）．在Rt△AEC中，AC=2286+=10（米），故小鸟至少飞行10 米．探究点2：例2解：由题意可得RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里.∵182+242=302，∴△RPQ是直角三角形，∴∠RPQ=90°.∵“远航”号沿东北方向航行，∠QPN=45°，∴∠RPN=45°，∴“海天”号沿西北方向航行.例3解：∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，∴AB2+AD2=BD2，BD2+BC2=DC2，∴△ABD、△BDC是直角三角形，∠A=90°，∠DBC=90°，则这个零件符合要求. 【针对训练】解：∵S△ADC=，∴AC＝5.∵AB2+CB2＝42+32＝25＝AC2.∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°.∴△ABC的面积＝．探究点3：例4解：如图，∵油罐的底面半径是2m，∴油罐的底面周长为2π×2=4π≈12 m．又∵高AB为5m，即展开图中，BC=5m，∴AB=22512+≈13（m）．故所建梯子最短约为13m．例5解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则从A沿AP 到P再沿PB到B，所走路程最短，此时AP+BP=A′B．在Rt△A′DB中，由勾股定理得A′B=22DB+DA′=17（km）.答：他要完成这件事情所走的最短路程是17 km．【针对训练】解：蚂蚁爬行的最短路径展开图如图所示：易得AB＝＝20cm，∴蚂蚁爬行的最短路程是20cm．当堂检测1.D2.D3.54.205.解：连接AC．∵AD＝4cm，CD＝3cm，∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5（cm）.∴S△ACD＝CD•AD＝6（cm2）．在△ABC中，∵52+122＝132，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴S△ABC＝AC•BC＝30（cm2）．∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ACD＝30﹣6＝24（cm2）．6.解：如图，作A点关于直线MN的对称点C，再连接CB，交直线MN于点P，则此时AP+PB 最小，为CB的长.过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D.∵AA′＝2km，BB′＝4km，A′B′＝8km，∴A′C＝2km，A′D＝4km，BD＝8km,则CD＝6km，在Rt△CDB中，CB ＝＝10（km），即最短距离为10km.~。

华东师大版八年级上册数学第14章14.2课题2 勾股定理的实际应用

AB＝ AD2＋BD2＝ 152＋202＝25.
答：蚂蚁爬行的最短距离为25米．
知识模块二勾股定理的实际应用
阅读教材P121，完成下面的内容：范例如图，一块长4m，宽2.1m的薄木板能否从一个宽1m，高2m的门框内通过．
分析：木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着通过，门框对角线的长度是斜着通过的最大长度，求出AC，在与木板的宽比较，就知道能否通过．
情景导入
回顾： 1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么一定有__a_2＋__b_2_＝__c_2__． 2．线段的基本事实：两点之间，线__段__最__短__． 3．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、 c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是 __直__角__三__角__形__，且___边__c___所对的角是直角．
AC＝ AB2－BC2＝ 252－72＝24.
所以梯子的顶端距地面24米．
(2)已知AD＝4米，则CD＝24－4＝20(米)．在Rt△CDE中，DE为斜边，根据勾股定理得：
CE＝ DE2－CD2＝ 252－202＝15(米)．
BE＝15－7＝8(米)．所以梯子的底部在水平方向移动了8米，不是4米．
仿例如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点 B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短距离．解：将长方体表面展开，连结AB，根据两点之间线段最短，线段AB的长度即为蚂蚁爬行的最短距离．如图，BD＝10＋5＝15，AD＝20，三角形 ABD为直角三角形，由勾股定理得，
4．勾股定理是适用于___直__角____三角形的三边数量关系的定理． 5．直角三角形的两边长分别是5和12，则斜边长为_1ห้องสมุดไป่ตู้3__或___1_19_____．

华师大版八年级数学上册优秀教学案例：142勾股定理的应用

四、教学内容与过程
（一）导入新课
导入新课是引起学生兴趣和关注的重要环节。我会通过一个有趣的生活情境来导入新课。例如，我可以展示一张图片，图片中有一个直角三角形，其中一个直角边长为3cm，斜边长为5cm，然后提问学生：“如果我们想知道这个直角三角形的高是多少cm，应该如何计算呢？”这个问题的提出会激发学生的好奇心和求知欲，从而引出本节课的主题——勾股定理的应用。
（二）问题导向
问题导向是引导学生深入思考和探究的关键。在本节课中，我会提出一系列具有挑战性和思考性的问题，激发学生的思维，引导学生主动探究和解决问题。例如，在学生掌握了勾股定理的基本应用后，我可以提出一些拓展性的问题，如“如何运用勾股定理解决一个复杂的几何问题？”等，让学生在思考和解决问题的过程中，进一步深化对勾股定理的理解和运用。
（三）情感态度与价值观
本节课的情感态度与价值观目标主要包括两个方面。首先，通过解决实际问题，让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生对数学的兴趣和亲近感。其次，通过克服困难、解决问题，培养学生坚韧不拔的精神品质，提高学生的自我价值观念。
在教学过程中，我会注重激发学生的学习兴趣，通过生动有趣的例子和实际问题，让学生感受数学的魅力。同时，我还会关注学生的情感体验，鼓励学生克服困难、勇往直前，通过这个过程，培养学生的自我价值观念和精神品质。
华师大版八年级数学上册优秀教学案例：142勾股定理的应用
一、案例背景
本案例背景以华师大版八年级数学上册的《勾股定理的应用》为例，旨在通过具体的教学实践，探讨如何有效地引导学生理解和掌握勾股定理，并能够灵活运用到实际问题中。本节课是在学生已经学习了勾股定理的基础上进行的，通过前面的学习，学生们已经对勾股定理有了初步的认识和理解。然而，如何将这一理论运用到实际问题中，解决生活中的问题，是本节课的主要教学目标。

初中数学华师版八年级数学上册优秀教学课件PPT 第14章勾股定理14.2 勾股定理的应用

AC = AB2 +BC2 = 42 +102 答：爬行的最短路程约 = 116 10.7（7 cm）为 10.77 cm.
讲授新课
一勾股定理的应用把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点
之间，线段最短”性质来解决问题.
例1 如果圆柱换成如图的棱长为
B
10 cm 的正方体盒子，蚂蚁沿着表
面需要爬行的最短路程又是多少呢？
分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬动，
如果将这半个侧面展开，得到长方形 ABCD，
根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路
程就是这一展开图 — — 长方形ABCD 的对角
线 AC 之长.
A
B
C
B
C
A
D
解：如图，在 Rt△ABC 中，
A
BC = 底面周长的一半 = 10 cm.由勾股定理，可得
D1 A1
D
A
B1
C1 D
D1
C1
2
C
B
A 1 A1
3
B1
AC1 AB12 B1C12 42 22 4.47 (cm)
5.10＞4.47＞4.24 所以由 A 爬到 C1 需要爬行的最短路程是4.24.
例3 一辆装满货物的卡车，
其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要 A
B
开进厂门形状如图所示的某工
2.3 米
厂，问这辆卡车能否通过该工
厂的厂门(厂房上方为半圆形拱
门)？说明理由.
D 2米
C
解：在Rt△ONM 中，∠MNO = 90°，由勾股定理，得
MN＝ OM 2 ON 2 1 0.82 0.6(米). MH＝0.6＋2.3＝2.9 (米)＞2.5 (米). A 答：卡车能通过厂门．

华师大版八年级上册14.2勾股定理的应用

华东师大版数学八年级（上）
14.2勾股定理的应用1
初二数学组
网格问题
如图，正方形网 A 格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的 △ABC三边的大小关系？
C B
网格问题
如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ＡＢＣD的面积．
面积问题有一块田地的形状和尺寸如图所示，，a2-b2=7， 2 2 2a =32，a =16， a=4， 2 b =9 b=3 又c=5c为最大边设最大边上的高为Ｘ
１ ab= １ cＸ２２Ｘ=2.4
甲船在港口A正南方向60 海里的B处向港口行进，同时，在甲船正东方向 80海里的C处有乙船也向港口行进,甲船的速度为 30海里/时,乙船的速度为40海里/时. 问:1.甲、乙两船谁先到达港口? 2.先到的船比后到的船提前几小时?
解：如图，在Rt∆ABC BC2=AB2+AC2 中， BC= (30×2)2+(40×2)2
=100(海里)
答：甲乙两船相距100 C 海里。
B A
例
1、已知：等边△ ABC的边长是6cm (1) 求高AD的长. (2) 求S △ ABC.
A
B
D
C
例
解：（1）∵ △ ABC是等边三角形，AD是高，
A
E
C
B 勾a C 弦c 股b
一、勾股定理：字母表示：
如果在Rt∆ABC中，
A
∠C=90°
2 那么a + 2 b = 2 c
语言叙述：
直角三角形的两条直角边的平方和等于它斜边的平方。
Ｃ
二、勾股定理的证明 b
a c b
a c
c
（一）
c

华师版数学八上 14.2勾股定理的应用(精品课件共2课时39页)

4.已知有一块四边形的空地ABCD，如图所示，经测量∠A =90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，求这块空地的面积.
C
D
A
B
解：如图，连接BD.
在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，
在Rt△CBD中，CD2=132， BC2=122，
而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90°.
根据题意可知在Rt△ABC中，∠ABC =90°，BC=8米，AB＋AC=16米．若设AB=x米，则AC=(16-x)米，然后根据勾股定理列出方程求解．
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°. 设AB=x米，则AC=(16-x)米. 根据勾股定理，得x2+82=(16-x)2，解得x=6，即AB=6米. 答：电线杆断裂处A到地面的距离为6米.
∴S阴影部分=S△ACB-S△ACD
C
1
1
= 10 24 6 8 A
2
2
D
=96m2 .
B
试一试
如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20 海里/时的速度向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行.已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？
根据方向角可知两船所走的方向正好构成了直角，根据勾股定理求出乙轮船航行的路程，进而求出速度.
第14章勾股定理
14.2勾股定理的应用 (共2课时)
华东师大版·八年级上册
第14章勾股定理
勾股定理的应用（1）
华东师大版·八年级上册
情境导入
看一看：观察下图中物体的运动过程，试着计算其运动路程。

华师版八年级数学上册(HS)教案第14章勾股定理的应用

14.2 勾股定理的应用1．熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)2．掌握勾股定理的简单应用，探究最短距离问题．(难点)一、情境导入一个门框的宽为1.5m，高为2m，如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？二、合作探究探究点：勾股定理的应用【类型一】勾股定理的直接应用如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA=CD，求物品中转站与车站之间的距离．解析：根据题意利用勾股定理易得BD长，再用x表示出线段CD，CB的长，根据Rt△ABC的各边利用勾股定理即可求得商店与车站之间的距离．解：∵AB⊥l于B，AB=3千米，AD=5千米．在Rt△ABD中：BD2=AD2−AB2=52−32=16，即BD=4（千米）．设CD=AC=x千米，则CB=（4−x）千米，Rt△ABC中：AC2=BC2+AB2即x2=（4−x）2+32，解得x=3.125．答：物品中转站与车站之间的距离为3.125千米．方法总结：从实际问题中抽象出直角三角形模型，用未知数表示出直角三角形的各边，最后根据勾股定理列方程解决问题.【类型二】运用勾股定理解决折叠中的有关计算如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM 的长是( )A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5解析：连接BM，MB′.设AM＝中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2＝B′M2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－＝2.故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．【类型三】勾股定理解决能否通过问题某工厂为扩大生产，购置一大型机械，其外包装高2.7米，长2米，宽1.6米，车间门的形状如图，问这个大型机械能否通过车间大门？解析：根据勾股定理得出CD的长，进而得出CH的长，即可判定．解：∵车宽1.6米，∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高．在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD2=OC2−OD2=1−28.0=0.36，即CD=0.6（m），CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9＞2.7，∴卡车能通过此门．方法总结：解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．【类型四】利用勾股定理解决最短距离问题如图，长方体的长BE＝15cm，宽AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？解析：长方体的展开不止一种情况，因此要分情况画出展开图并分别求出最短路径，再比较几种最短路径，然后找出最短的一条即为最后答案.解：分三种情况比较最短距离：如图①所示，AM 2＝102+(20+5)2=725；如图②所示，AM2＝202+(10+5)2=625；如图③所示，AM 2＝52+(20+10)2=925．∵925>725＞625，∴蚂蚁沿着图②所示的路线爬路程最短，易得AM=25 cm,即最短距离为25 cm.答：需要爬行的最短距离是25cm.方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而进行比较取其最小值即可．三、板书设计勾股定理的应用勾股定理直接应用；路程最短问题；折叠问题；数形结合思想，能否通过．通过观察图形，探索图形间的关系，培养学生的空间观念．在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．在利用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学学习的魅力.。

华东师大版八年级上册14.2勾股定理的应用

人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出
了一条“路”，仅仅少走了__4_步路, 却踩伤
了花草。（假设1米为2步）
C
4B
5
“路”
3
A
2、如图，盒内长，宽，高分别是30米， 24米和18米，盒内可放的棍子最长是多少米？
18 30
24
课后作业
1、已知直角三角形一条直角边长为8，另两
边长为连续奇数，求这个三角形的周长。
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2 在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2
∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)
A
= DE2-BE2
= (DE+BE)·( DE-BE)
= (DE+CE)·( DE-BE)
D
B E C =BD·CD
小试身手
1、如图，学校有一块长方形花园，有极少数
C
B
2000
2000
把实际问题抽象化、简单化、规则化，
得到数学图形，从 A
而解决问题。
例1：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方2000米处.过了10秒，飞机距离这个男孩2500米,飞机每小时飞行多少千米？
解：由题意，得
在Rt△ABC中，∠C=90º， C
B
AB=2500m，AC=2000m.
6、四边形ABCD中，AB＝BC＝2， CD＝3，DA＝1，且∠B＝90o，求∠DAB的度数。
7、如图所示，现在已测得长方体木块的长2，
宽1，高3.一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点A处，
一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B
处。蜘蛛急于想捉住苍蝇，沿着长方体的表面

华师大版八年级数学上册教学设计：142勾股定理的应用

3.创新思维题：设计一道综合性的几何问题，要求学生运用勾股定理及其他相关数学知识解决。例如，给定一个直角三角形的斜边和一个直角边，求另一个直角边的长度，并计算该直角三角形的面积。
4.探究性问题：鼓励学生课后自主探究勾股定理的证明方法，了解并尝试至少两种不同的证明途径。让学生在探究过程中，锻炼逻辑思维和几何直观。
4.通过勾股定理在实际问题中的应用，培养学生将数学知识应用于实际生活的意识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对勾股定理的兴趣，激发学生探究数学问题的热情。
2.通过对勾股定理的发现和应用，让学生体会数学的简洁美、严谨美，培养学生的数学审美能力。
3.引导学生认识到勾股定理在数学发展史上的重要地位，激发学生的民族自豪感。
4.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生面对困难、解决问题的信心。
在教学过程中，教师要注重引导学生主动参与、积极思考，关注学生的个体差异，因材施教。通过本章节的学习，使学生能够熟练掌握勾股定理，并在实际问题中灵活运用，提高学生的数学素养。同时，培养学生合作交流、探究创新的能力，使学生在数学学习中获得成就感，树立自信心。
3.灵活运用定理：在解决综合性的几何问题时，如何灵活运用勾股定理，结合其他数学知识，是学生需要克服的难点。
教学设想：
1.引入环节：通过历史故事、实际例子或数学游戏等方式引入勾股定理，激发学生的学习兴趣，为后续的教学打下基础。
2.探究学生自己发现并验证勾股定理，增强学生的体验感和理解深度。
针对学生的个体差异，教师应充分运用多样化的教学方法和手段，激发学生的学习兴趣，帮助他们克服学习中的困难，使全体学生都能在原有基础上得到提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.勾股定理的理解与记忆：学生需要理解并熟练掌握勾股定理的表达形式，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

华师大版-数学-八年级上册--辅导-14.2 勾股定理的应用回味《勾股定理》

回味《勾股定理》同学们已经学习了勾股定理的内容，相信大家对勾股定理的基础知识有了正确的认识，为了帮助同学们能够灵活运用勾股定理的知识，现从以下几个方面和同学们再来回味一下勾股定理.一、注意在比较中重新认识勾股定理和勾股定理的逆定理由此我们可以知道，勾股定理的使用条件：必须是直角三角形，并且要分清斜边和直角边，避免盲目代入等式而出现错误，勾股定理的逆定理中的条件中不能出现直角或斜边的字眼.另外勾股定理的字母表达式可以变形运用.二、注意加强学科内知识的运用勾股定理和勾股定理的逆定理是数形结合、方程思想、转化等数学方法的集中体现，复习时应注意加强学科内知识的综合运用.例1 在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树直向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？分析为了求解问题，将这个实际问题转化为数学问题，于是，根据题意画出图形，将问题转化到在直角三角形中来，从而可以运用勾股定理构建方程求解.解如图1，D 为树顶，AB ＝10ｍ，C 为池塘，AC ＝20 m ，设BD 的长是x m ，则树高(x ＋10)m.因为AC +AB ＝BD +DC ，所以DC ＝20+10－x ，在△ACD 中，∠A ＝90°，所以AC 2+AD 2＝DC 2.故202+(x ＋10)2＝(30－x )2，解得x ＝5.所以x ＋10＝15，即树高15米.说明勾股定理的本身就是数形结合的体现，求解时它又与方程紧密相联.三、注意加强学科间知识的运用勾股定理既是典型的数学定理，它不但在本学科内有着广泛地应用，而且还渗透到其它学科领域中，所以复习时不能小看.例2 我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直至算法统宗》里由一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；图1 B仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”分析诗的意思告诉我们：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步，这里的每一步合五尺，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这是秋千的绳索是呈直线状态，要求这个秋千的绳索有多长？要解决这个古诗中的问题，我们可以先画出图形，再运用勾股定理求解.解如图1，不妨设图中的OA 为秋千的绳索，CD 为地平面，BC 为身高5尺的人，AE 为两步，即相当于10尺的距离，A 处有一块踏板，EC 为踏板离地的距离，它等于一尺.设OA ＝x ，即OB ＝OA ＝x ，F A ＝BE ＝BC －EC ＝5－1＝4尺，BF ＝EA ＝10尺.在Rt △OBF 中，由勾股定理，得OB 2＝OF 2+BF 2，即x 2＝(x －4)2+102，解这个方程，得x ＝14.5（尺）所以这个秋千的绳索长度为14.5尺..三、注意加强创新和研究性问题的训练与巩固勾股定理的知识充分体现了观察、实践、推理、交流等研究性过程的学习，近年来有关勾股定理问题的创新型试题也层出不穷，这些有关勾股定理的创新型问题主要集中表现为猜想归纳、动手操作、阅读与理解，等等. 所以复习时不但要注意基础知识的巩固外，还要加强创新和研究性问题的复习.例3 据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，如果勾是3，股是4，那么弦为5，后人概括为“勾3，股4，弦5”.（1）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过，计算)125(21),1—25(21)19(21),1—9(21++与，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股与弦的算式；（2）根据（1）的规律，用n (n 为奇数，且n ≥3)的代数式所表示的这些勾股数的勾、股、弦，合理猜想它们之间两种相等关系，并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从第4起没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用m (m 为偶数且m ≥4)的代数式来表示它们的股和弦.解（1）因为13)125(21,24)1—25(21;5)19(21,4)1—9(21=+==+=；所以7，24，25中股的算式为：).17(21)149(211),7(21)1—49(2122+=+=弦的算式为：— （2）当n 为奇数且n ≥3时，勾、股、弦的代数式分别为n ，).1(21),1—(2122+n n 例如关系式①：弦－股＝1；关系式②：勾2+股2＝弦2.图2F OD E C B A。