三角函数的定义
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α的终边 P(x， P(x，y)
y
O
x
思考2 思考2：设α是一个任意的象限角，那么 是一个任意的象限角， 在第一、 四象限时， 当α在第一、二、三、四象限时，sinα 的取值符号分别如何？cosα，tanα的 的取值符号分别如何？cosα，tanα的 取值符号分别如何？ 取值符号分别如何？
思考3 综上分析， 思考3：综上分析，各三角函数在各个象限 的取值符号如下表： 的取值符号如下表：
x x +y
2 2
O
x
P(x， P(x，y)
y tanα = x
有时我们还用到下面三个函数：
1 r 角α的正割：secα = = cos α x 1 r 角α的余割： α = csc = sin α y 1 x 角α的余切： α = cot = tan α y
理论迁移
已知角的终边过点P（－3，－4 例1 已知角的终边过点P（－3，－4）， 求角的正弦、余弦和正切值. 求角的正弦、余弦和正切值.
青云学府数学组 王斌
知识回顾
ห้องสมุดไป่ตู้
1.什么叫做1弧度的角？ 1.什么叫做1弧度的角？角度与弧度是 什么叫做 怎样换算的？ 怎样换算的？
（1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角. 弧度的角. 180° （2）180°＝ πrad.
与角α 2. 与角α终边相同的角的一般表达式 是什么？ 是什么？
思考4 为了使sinα，cosα的表示式更 思考4：为了使sinα，cosα的表示式更 sinα 简单，你认为点P的位置选在何处最好？ 简单，你认为点P的位置选在何处最好？ 此时，sinα，cosα分别等于什么 分别等于什么？ 此时，sinα，cosα分别等于什么？
sinα = b
cosα = a
BC sin a = AB BC tan a = AC
AC cos a = AB
B α
C
A
2.当角α不是锐角时， 2.当角α不是锐角时，我们必须对 当角 sinα，cosα，tanα的值进行推广 的值进行推广， sinα，cosα，tanα的值进行推广， 以适应任意角的需要. 以适应任意角的需要.
知识探究（ ）：任意角的三角函数 知识探究（一）：任意角的三角函数 思考1 为了研究方便，我们把锐角α 思考1：为了研究方便，我们把锐角α 锐角 放到直角坐标系中，并使角α 放到直角坐标系中，并使角α的顶点与 原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合. 原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合. 在角α的终边上取一点P 在角α的终边上取一点P（a，b）,设点 ， 与原点的距离为r 那么，sinα， P与原点的距离为r，那么，sinα， cosα，tanα的值分别如何表示 的值分别如何表示？ cosα，tanα的值分别如何表示？
3.若已知角α的一个三角函数符号， 3.若已知角α的一个三角函数符号，则 若已知角 所在的象限有两种可能； 角α所在的象限有两种可能；若已知角 的两个三角函数符号，则角α α的两个三角函数符号，则角α所在的 象限就惟一确定. 象限就惟一确定. 4.一个任意角的三角函数只与这个角的 4.一个任意角的三角函数只与这个角的 终边位置有关，与点P 终边位置有关，与点P（x，y）在终边上 的位置无关. 的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈 周期性变化， 周期性变化，即角的终边绕原点每旋转 一周，函数值重复出现. 一周，函数值重复出现.
b sinα = r a cosα = r b tanα = a
y
P(a， P( ，b) α
r
o x
思考2： 思考 ：我们现在把角推广到了任意 角，那么任意角的三角函数应该如何 定义？
A b y P(a， P( ，b) sinα = r r a α cosα = r o B x b tanα = a 思考3 对于确定的角α 思考3：对于确定的角α，上述三个比值 是否随点P在角α 是否随点P在角α的终边上的位置的改变 而改变呢？为什么？ 而改变呢？为什么？
k·360° k∈Z） β=α＋k·360°（k∈Z）或 b = a + 2kp(k Z )
问题提出
1.如图，在直角三角形ABC中 sinα， 1.如图，在直角三角形ABC中，sinα， 如图 ABC cosα，tanα分别叫做角 分别叫做角α 正弦、 cosα，tanα分别叫做角α的正弦、余 弦和正切，它们的值分别等于什么？ 弦和正切，它们的值分别等于什么？
三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sinα
+ + +
+ － －
－ － +
－ + －
cosα
tanα
你有什么办法记住这些信息？ 你有什么办法记住这些信息？
确定下列三角函数值的符号. 例4 确定下列三角函数值的符号. π ° ° （1）cos250 ;（2）sin(− ) ;（3）tan(−672 ) ;
知识探究（ ）：三角函数符号与公式 知识探究（二）：三角函数符号与公式 思考1 当角α在某个象限时， 思考1：当角α在某个象限时，设其终 边经过点P ），根据三角函数定 边经过点P（x，y），根据三角函数定 sinα，cosα，tanα的函数值符 义，sinα，cosα，tanα的函数值符 号是否确定？为什么？ 号是否确定？为什么？
4
（4 ） tan3π
9π 11 π tan( ; （5）cos ; （6 ） − ) . 6 4
小结作业
1.三角函数都是以角为自变量， 1.三角函数都是以角为自变量，在弧度 三角函数都是以角为自变量 制中， 制中，三角函数的自变量与函数值都是 在实数范围内取值. 在实数范围内取值.
2.三角函数的定义是三角函数的理论基 2.三角函数的定义是三角函数的理论基 三角函数的定义域、函数值符号、 础，三角函数的定义域、函数值符号、 公式一等，都是在此基础上推导出来的. 公式一等，都是在此基础上推导出来的.
b tanα = a
o
y
1
α
P(a，b) P( ，
x
思考5 依据函数的定义， 思考5：依据函数的定义，这几个比值可以分 别构成函数吗？若能够成， 别构成函数吗？若能够成，他们的自变量是 什么？ 还是y 还是角α 什么？x还是y？r还是角α？
函数 y=sinα y=cosα y=tanα 定义域 R R
{α | α ≠ kπ +
π
2
, k ∈ Z}
思考8：若点P（x，y）为角α终边上任 思考8 若点P 为角α 意一点，那么sinα，cosα，tanα对应 意一点，那么sinα，cosα，tanα对应 sinα 的函数值分别等于什么？ 的函数值分别等于什么？
sinα = y x +y
2 2
y
cosα =
y
O
x
思考2 思考2：设α是一个任意的象限角，那么 是一个任意的象限角， 在第一、 四象限时， 当α在第一、二、三、四象限时，sinα 的取值符号分别如何？cosα，tanα的 的取值符号分别如何？cosα，tanα的 取值符号分别如何？ 取值符号分别如何？
思考3 综上分析， 思考3：综上分析，各三角函数在各个象限 的取值符号如下表： 的取值符号如下表：
x x +y
2 2
O
x
P(x， P(x，y)
y tanα = x
有时我们还用到下面三个函数：
1 r 角α的正割：secα = = cos α x 1 r 角α的余割： α = csc = sin α y 1 x 角α的余切： α = cot = tan α y
理论迁移
已知角的终边过点P（－3，－4 例1 已知角的终边过点P（－3，－4）， 求角的正弦、余弦和正切值. 求角的正弦、余弦和正切值.
青云学府数学组 王斌
知识回顾
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1.什么叫做1弧度的角？ 1.什么叫做1弧度的角？角度与弧度是 什么叫做 怎样换算的？ 怎样换算的？
（1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角. 弧度的角. 180° （2）180°＝ πrad.
与角α 2. 与角α终边相同的角的一般表达式 是什么？ 是什么？
思考4 为了使sinα，cosα的表示式更 思考4：为了使sinα，cosα的表示式更 sinα 简单，你认为点P的位置选在何处最好？ 简单，你认为点P的位置选在何处最好？ 此时，sinα，cosα分别等于什么 分别等于什么？ 此时，sinα，cosα分别等于什么？
sinα = b
cosα = a
BC sin a = AB BC tan a = AC
AC cos a = AB
B α
C
A
2.当角α不是锐角时， 2.当角α不是锐角时，我们必须对 当角 sinα，cosα，tanα的值进行推广 的值进行推广， sinα，cosα，tanα的值进行推广， 以适应任意角的需要. 以适应任意角的需要.
知识探究（ ）：任意角的三角函数 知识探究（一）：任意角的三角函数 思考1 为了研究方便，我们把锐角α 思考1：为了研究方便，我们把锐角α 锐角 放到直角坐标系中，并使角α 放到直角坐标系中，并使角α的顶点与 原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合. 原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合. 在角α的终边上取一点P 在角α的终边上取一点P（a，b）,设点 ， 与原点的距离为r 那么，sinα， P与原点的距离为r，那么，sinα， cosα，tanα的值分别如何表示 的值分别如何表示？ cosα，tanα的值分别如何表示？
3.若已知角α的一个三角函数符号， 3.若已知角α的一个三角函数符号，则 若已知角 所在的象限有两种可能； 角α所在的象限有两种可能；若已知角 的两个三角函数符号，则角α α的两个三角函数符号，则角α所在的 象限就惟一确定. 象限就惟一确定. 4.一个任意角的三角函数只与这个角的 4.一个任意角的三角函数只与这个角的 终边位置有关，与点P 终边位置有关，与点P（x，y）在终边上 的位置无关. 的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈 周期性变化， 周期性变化，即角的终边绕原点每旋转 一周，函数值重复出现. 一周，函数值重复出现.
b sinα = r a cosα = r b tanα = a
y
P(a， P( ，b) α
r
o x
思考2： 思考 ：我们现在把角推广到了任意 角，那么任意角的三角函数应该如何 定义？
A b y P(a， P( ，b) sinα = r r a α cosα = r o B x b tanα = a 思考3 对于确定的角α 思考3：对于确定的角α，上述三个比值 是否随点P在角α 是否随点P在角α的终边上的位置的改变 而改变呢？为什么？ 而改变呢？为什么？
k·360° k∈Z） β=α＋k·360°（k∈Z）或 b = a + 2kp(k Z )
问题提出
1.如图，在直角三角形ABC中 sinα， 1.如图，在直角三角形ABC中，sinα， 如图 ABC cosα，tanα分别叫做角 分别叫做角α 正弦、 cosα，tanα分别叫做角α的正弦、余 弦和正切，它们的值分别等于什么？ 弦和正切，它们的值分别等于什么？
三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sinα
+ + +
+ － －
－ － +
－ + －
cosα
tanα
你有什么办法记住这些信息？ 你有什么办法记住这些信息？
确定下列三角函数值的符号. 例4 确定下列三角函数值的符号. π ° ° （1）cos250 ;（2）sin(− ) ;（3）tan(−672 ) ;
知识探究（ ）：三角函数符号与公式 知识探究（二）：三角函数符号与公式 思考1 当角α在某个象限时， 思考1：当角α在某个象限时，设其终 边经过点P ），根据三角函数定 边经过点P（x，y），根据三角函数定 sinα，cosα，tanα的函数值符 义，sinα，cosα，tanα的函数值符 号是否确定？为什么？ 号是否确定？为什么？
4
（4 ） tan3π
9π 11 π tan( ; （5）cos ; （6 ） − ) . 6 4
小结作业
1.三角函数都是以角为自变量， 1.三角函数都是以角为自变量，在弧度 三角函数都是以角为自变量 制中， 制中，三角函数的自变量与函数值都是 在实数范围内取值. 在实数范围内取值.
2.三角函数的定义是三角函数的理论基 2.三角函数的定义是三角函数的理论基 三角函数的定义域、函数值符号、 础，三角函数的定义域、函数值符号、 公式一等，都是在此基础上推导出来的. 公式一等，都是在此基础上推导出来的.
b tanα = a
o
y
1
α
P(a，b) P( ，
x
思考5 依据函数的定义， 思考5：依据函数的定义，这几个比值可以分 别构成函数吗？若能够成， 别构成函数吗？若能够成，他们的自变量是 什么？ 还是y 还是角α 什么？x还是y？r还是角α？
函数 y=sinα y=cosα y=tanα 定义域 R R
{α | α ≠ kπ +
π
2
, k ∈ Z}
思考8：若点P（x，y）为角α终边上任 思考8 若点P 为角α 意一点，那么sinα，cosα，tanα对应 意一点，那么sinα，cosα，tanα对应 sinα 的函数值分别等于什么？ 的函数值分别等于什么？
sinα = y x +y
2 2
y
cosα =