最新北师大版九年级数学上总复习

最新北师大版九年级数学上总复习
第一章：1．菱形的定义和性质
(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
(2)性质：①菱形的四条边都；②菱形的对角线互相，并且每一条对角线平分一组对角；③菱形是中心对称图形，它的对称中心是
两条对角线的交点；菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴．
[注意] 菱形是特殊的平行四边形，故它具有平行四边形的一切性质．
2．菱形的判定方法
(1)有一组邻边相等的是菱形；
(2)对角线互相垂直的是菱形；
(3)四边相等的是菱形．
[辨析] 四边形、平行四边形、菱形关系如图S1－1：
3．菱形的面积
(1)由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝底×高；
(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成4个全等的三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的一半．4．矩形的性质
(1)矩形的对边；(2)矩形的对角；(3)矩形的对角线、；(4)矩形的四个角都是直角(或矩形的四个角相等)；
(5)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的三角形；
(6)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有条，对称中心是对角线的交点．
(7)矩形的面积等于两邻边的．[注意] 利用“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质可以得出直角三角形的一个常用的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的．
5．矩形的判定
(1)有一个角是直角的是矩形；
(2)有三个角是直角的是矩形；
(3)对角线相等的是矩形．
6．正方形的性质
(1)正方形的对边；(2)正方形的四边；(3)正方形的四个角都是；
(4)正方形的对角线相等、互相垂直、互相平分，每条对角线平分一组对角；
(5)正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有条，对称中心是对角线的交点．
7．正方形的判定
(1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形；
(2)有一组邻边相等的是正方形；(3)有一个角是直角的是正方形．
[注意] 矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形．矩形是有一个内角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻
边相等的平行四边形；正方形既是矩形，又是菱形．
8．中点四边形
中点四边形就是连接四边形各边中点所得的四边形，我们可以得到下面的结论：
(1)顺次连接四边形四边中点所得的四边形是．
(2)顺次连接矩形四边中点所得的四边形是．
(3)顺次连接菱形四边中点所得的四边形是．
(4)顺次连接正方形四边中点所得的四边形是．
(5)顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形是．
[总结] 顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是；顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是．
?考点一菱形的性质和判定
例1如图S1－2，菱形的对角线与相交于点O，点E，F分别为边，
的中点，连接，，.求证：四边形是菱形．
方法技巧
在证明一个四边形是菱形时，要注意：首先判断是平行四边形还是任意四边形.若是任意四边形，则需证四条边都相等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组邻边相等来证明.
例2如图S1－3，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F点处．
已知＝3 ，＝8 ，求图中阴影部分的面积．
方法技巧
矩形的折叠问题，一般是关于面积等方面的计算问题，主要考查同学们的逻辑思维能力和空间想象能力.解决与矩形折叠有关的面积问题，关键是将轴对称的特征、勾股定理以及矩形的有关性质结合起来
考点3;和正方形有关的探索性问题
例3如图S1－4，在正方形中，点E在上，＝3，＝2，点P在上，求与的长度和的最小值．
上册第二章复习
1．一元二次方程
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
[注意] 定义应注意四点：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程．
2．一元二次方程的一般形式
2＋＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中2，，c分别称为、和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
3．直接开平方法
直接开平方法的理论依据是平方根的定义．直接开平方法适用于解形如(x＋a)2＝b(b≥0)的一元二次方程，根据平方根的定义可知x＋a是b的平方根，当b≥0时，x＝；当b＜0时，方程没有实数根．
4．配方法
(1)配方法的基本思想：转化思想，把方程转化成(x＋a)2＝b(b≥0)的形式，这样原方程的一边就转化为一个完全平方式，然后两边
同时开平方．
(2)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①化二次项系数为1；②含未知数的项放在一边，常数项放在另一边；
③配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，并写成(x＋a)2＝b的形式，若b≥0，直接开平方求出方程的根．
5．公式法
(1)一元二次方程2＋＋c＝0(b2－4≥0)的求根公式：x＝
(2)用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①把一元二次方程化成一般形式：2＋＋c＝0(a≠0)；②确定a，b，c的值；③求b2－4的值；
④当b2－4≥0时，则将a，b，c及b2－4的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4＜0，则方程无实数根．
6．用分解因式法解一元二次方程的一般步骤
(1)将方程变形为右边是0的形式；(2)将方程左边分解因式；(3)令方程左边的每个因式为0，转化成两个一次方程；
(4)分别解这两个一次方程，它们的解就是原方程的解．
7．一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程2＋＋c＝0(a≠0)．
当Δ＝b2－4>0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4＝0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4<0时，方程没有实数根．
反之，结论也成立．
8．一元二次方程根与系数的关系
若x
1，x
2
是一元二次方程2＋＋c＝0(a≠0)的两个根，则
9．列方程解应用题的一般步骤
(1)审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．
(2)设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法．
(3)列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．
(4)解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．
(5)作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
考点一用配方法解方程例
1用配方法解方程：3x2＋4x－4＝0.。