第6章 圆轴的扭转(5)

进一步实验表明：当剪 应力不超过材料的剪切比例 极限τP时，剪应力τ与剪应 变γ成正比。即
γ
t =Gg
上式称为剪切胡克定律。式中比例系数G
称为材料的切变模量或者剪切弹性模量，常用单位 GPa,其值随材料而异，并由实验测定。
，
对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ 三 个弹性常数之间存在着如下关系
τ=
T .ρ IP
当ρ=R时，剪应力最大，即圆轴横截面上边缘点 的剪应力最大。其值为
τ 引入记号
max
TR = IP
IP WP = R 上式变为
τ
max
=
T WP
W P称为抗扭截面模量，单位为
m。
3
可见，最大扭转剪应力与扭矩成正比，与抗扭截 面模量成反比。
T = Ip
max
T = Wp
M
圆筒横截面上没有正应力，只有剪应力。剪应力在截面上均匀分布， 方向垂直于半径。
剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径
M
M
T
T
百度文库 dA
.
r
T
dA
. .d A Ar
A
=T
. dA = T r r. . 2p rt = T T = 2 2p r t
根据精确的理论分析,当t ≤r/10时,上式
M = 9549 式中:
P
n
M
—外力偶矩（N· m）
P
—轴所传递的功率（KW） —轴的转速（r/min）
n
当功率P为马力时（1马力=735.5 N· m/s），外力 偶矩的计算公式为:
P M = 7024 n
外力偶的方向可以根据下列原则来确定：输入 力偶矩为主动力偶矩，其转向与轴的转向相同；输 出力偶矩为阻力偶矩，其转向与轴的转动方向相反。
6.3 扭矩与扭矩图
下面用截面法研究圆轴横截面上的内力：
m
m
由平衡条件 ∑M=0，有 T-M=0，得T=M 若取右段研究，求得的扭矩与上面求得的扭矩大 小相同，转向相反。
为了使不论取左段或右段求得的扭矩大小、符号都一致， 对扭矩的正负号规定如下：按照右手的螺旋法则，用右手的 四个手指沿扭矩方向环绕，若大拇指的指向与外向法线一致， 则扭矩为正；反之为负。
6.1 圆轴扭转的概念与实例
受力特点：杆受一对大小相等、方向相反的 力偶作用，力偶作用面垂直于轴 线。 变形特点：各横截面绕轴线相对转动。
以扭转变形为主的杆件称为轴。 扭转变形以横截面间绕轴线的相对角位 移即扭转角表示，如图中的角 j 。
6.2 传动轴外力偶矩的计算
对于传动轴等转动构件，工程上通常是给出轴 所传递的功率和轴的转速。而作用在轴上的外力偶 矩并不直接给出，其计算公式为：
解:（1）计算作用在主动轮上和作用在从动轮上的外力 偶矩 80 PA MA=9549 n =(9549× 250 ) N . m = 3056 N . m
PB 25 MB=9549 n =(9549× 250 ) N . m =955N . m
、
PC 30 MC =9549 n =(9549× 250 ) N. m =1146N . m PD 25 MD =9549 n =(9549× 250 ) N. m =955N . m
例题1 一直径为D=50mm的圆轴，受到扭矩的 作用 T = 2.15 kN . m 。试求在距离轴心10mm处 的剪应力，并求轴横截面上的最大剪应力。
D
解：
πD = Ip = 32
4
π ×50 32
6
4
= 613281.2 mm 4
T
τ
Tρ . 15×10 ×10 = 35.1 MPa 2 = τ = 613281.2 IP
（1）扭转强度校核。已知轴的横截面尺寸，轴上 所受的外力偶矩（或传递的功率和转速），及材料 的许用剪应力，校核工件能否安全工作。 （2）圆轴截面尺寸设计。已知轴所承受的外力偶 矩（或传递的功率），以及材料的许用剪应力，完 成圆轴截面尺寸的设计。
（3）确定圆轴的许可载荷。已知圆轴的截面尺寸 和材料的许用剪应力， 求得轴的扭矩，确定轴上所 能承受的许可载荷。
max
/ max
τ
可求得：D=51.1mm，
T 2.15× 10６ = = = 87.7 MPa 3 WP πD 4 (1 - α ) 16
d = 25 . 5 mm d D
在两轴长度相等、材料相同的条件下， 两轴重量之比等于横截面面积之比：
A空 A实
2 π 2 （51.１ - 25.5 ） = 4 = 0 .8 π 2 ×50 4
Rdj A A g = tang = = dx dx
j d g ( ρ )= ρ dx
dj ρ ) = Gg ( ρ ) = Gρ 物理关系 ( Hooke 定律 ) t ( dx
扭转剪应力公式推导
dj ρ ) = Gρ t( dx
R T r rρ g (r) dj g A dA A t dx
剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同
时指向或背离两平面的交线。
三、剪应变
剪切胡克定律
如图所示的单元体，四个侧 面上均只有剪应力而无正应力。 单元体的这种应力情况称为纯剪 切应力状态，简称纯剪切。
纯剪切单元体的相对两侧面 将发生微小的相对错动，使原来 互相垂直的两个棱边的夹角改变 了一个微量γ ，我们把直角的微 小改变量γ称为剪应变 。
3 πD 4 α = Wp (1 ) 16
三、圆轴扭转时的强度条件
为了保证受扭圆轴安全可靠地工作，轴内最大剪 应力不得超过材料的许用剪应力，即圆轴扭转时的 强度条件为
T τ max= WP
对等截面圆轴 ，则有
[ τ
max
]
τ
max =
T
ma x
Wp
[ τ
]
根据扭矩强度条件，可以解决以下三种强度问题：
E G= 2(1 +m )
6.5 圆轴扭转时的应力与强度计算
一、圆轴扭转时横截面上的应力
变形几何关系 从三方面考虑：物理关系 静力学关系
扭转试验
观察到下列现象:
(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距
离没有变化
(2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度γ
平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它 像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
τ
max 2
T = max = Wp πD
＜ [τ]
所以轴的扭转强度足够。
6.6 圆轴扭转时的变形与刚度计算
1、圆轴扭转时的变形
圆轴扭转的变形用两端面的
j
L
相对转角来表示。
相距为dx两相邻截面的相对
转角为dj 。
dj
.
dj =
T dx GI P
令： θ =
dj
dx
=
T GIP
dx
θ称为单位长度扭转角，其单位为rad/m。 GIP 称为圆轴的抗扭刚度。
正的扭矩
负的扭矩
通常，扭转圆轴各横截面上的扭矩是不同的，为 了形象地表达扭矩沿轴线的变化情况，我们仿照作轴 力图的方法，作出扭矩图。
例1： 如图(a)所示传动轴，已 知转速 n=250r/min，主动轮A的 输入功率PA=80kW,三个从动轮B、 C、D输出功率分别为25kW、 30kW和25kW，试画出传动轴 的扭矩图。
第二篇
材料力学
第6章 圆轴的扭转
本章教学要求
1、掌握剪应力互等定理，能够熟练绘制轴的 扭矩图。
2、掌握圆轴扭转时横截面上的剪应力分布规 律，并能熟练地进行圆轴扭转的强度和刚度的
计算。
本章内容安排
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 圆轴扭转的概念与实例 传动轴外力偶矩的计算 扭矩与扭矩图 剪应力互等定理 剪切胡克定律 圆轴扭转时的应力与强度计算 圆轴扭转时的变形与刚度计算
WP
16M A ×103 16×150 = = = 81.26 MPa ＜[τ] 4 4 d 1 π ×243 - 18 3 1 πD 1 1 24 D1 16 M C 16× 100×10 3 = = 86.9 MPa 4 4 18 d2 3 3 π × 22 1 2 1 22 D2
6.4 剪应力互等定理 剪切胡克定律 一、薄壁圆筒的扭转应力分析
等厚度的薄壁圆筒,平均半径为 r,壁厚为 t
受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成方格,然后加载。
M γ
观察到如下现象：
(1) 各纵向线倾斜了同一微小角度γ (2) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变 根据以上实验现象,可得结论：
max max
分析与讨论
圆轴扭转时横截面上切应力方
向为什么总是垂直于半径的？
二、极惯性矩IP和抗扭截面模量WP
1、实心圆截面
d 2 0 4
I p = Aρ d A =
2

πd ρ ρ = π d ρ ×2 32
2 3
Wp =
2、空心圆截面
= πd d 2 16
Ip
a = d /D
πD 4 4 = α Ip (1 ) 32
τ
max
T 2 .15×10 6 = 87.7 MPa = = Wp 613281.2 / 25
例题2 如将上题中轴的实心圆截面改为内、外径 之比为1:2的空心圆截面，要使两种情况产生相同的 最大剪应力，求此时空心截面的外径，并比较实心 轴和空心轴的重量。 解：由上题求得实心圆截面 τ
= 87.7 MPa ,设空心圆 截面的内、外径分别为 d 和 D,α=d/D=1/2,，此时横截 面上最大剪应力为
。
4、变形后，半径仍为直线且转过了角度 j ，说明半 径上各点的剪应变不同，圆心处剪应变为零,离圆心越 远,剪应变越大。
扭转剪应力公式推导
R
几何关系
dj 是前后两个端面的相对转角。
g 是外表面沿轴线方向上的剪应变。
在外表面处的剪应变 在离轴心ρ 处的剪应变
变形前位置 变形后位置 g( r) γ（ρ ） ρr dj g A A dx dx
由此例题我们可以知道，在载荷相同的条件下，空心轴 的重量只有实心轴的80%，说明空心截面比实心截面节省材 料。如果将空心截面改为薄壁截面，可以发现节省材料更为 明显。
一些大型轴或对于减轻重量有特殊要求的轴，通常均作 成空心的。空心轴之所以比实心圆轴优越，可以从扭转剪应 力的分布图中得到说明。当截面边缘的最大剪应力达到许用 剪应力值时，圆心附近各点处的剪应力仍然很小。因此，为 了合理的利用材料，宜将材料放置在远离圆心的部位，即作 成空心的。
力学关系
( 剪应力对轴的合力矩即截面上的扭矩 )
j j ρ d dA = G d ρ 2 dA T = ρ t dA = G dx dx A A A


2

令
2 I P = ρ dA A

IP仅与截面尺寸有关,称为横截面对圆心O的极惯性矩
dj T = GI P dx dj T = dx GI P
重要公式
g
分析以上圆轴的扭转变形情况可得到以下结论：
1、变形后，各圆周线的间距保持不变，即横截面间 的距离保持不变，说明横截面上没有正应力。 2、变形后，各横截面绕轴线发生了相对转动，表面 上的矩形网格变成了平行四边形，说明产生了剪切变 形，因而横截面上有剪应力存在。 3、变形后，横截面的形状和大小不变，各纵向线倾 斜了同一角度，说明横截面上只有垂直于半径方向的 剪应力，且同一圆周上各点的剪应力大小相同。
的误差不超过4.52%,是足够精确的。
在受扭的薄壁圆筒中， 任选圆轴表面上的一点。 用两个横截面、两个纵 向截面围绕此点切出一 瓦片状单元体。因单元 体尺寸很小，故可视为 边长为dx、dy、t正六面 体。
( × t dy )dx = ( × t d x ) dy
=
剪应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上,
、 、
（2）计算计算各段横截面上的扭矩
对BC段 由平衡方程 ∑M = 0, 有MB+T1=0, 得: T1= － MB= －955N . m
同理对CA段
T2 = －MB－MC = －2101 N . m
同理对AD段 T3 = －MB－MC＋MA = 955 N . m
（3）画扭矩图
根据以上计算结果，按一 定比例画出扭矩图，如图（e） 所示。从图中我们可以看出， 最大扭矩发生在AC段内，其值 为 T max =2101 N . m
对于长度为l,扭矩T不随长度变化的等截面圆轴， 其两端横截面间的扭转角为
Tl j= GI P 注意
例题3 如图所示的轴，在横截面A、 B、C处承受外力偶矩作用。已知 M A = 150 N . m , M B = 50 N . m , M C = 100 N . m , 许用剪应力 [τ ] = 90 MP a ，试校核轴的强度。
解:
1、绘制轴的扭矩图
，
2、分段校核轴的强度
τ
max 1
=
T
max