第六章 圆轴的扭转

O
D
(a)
(b)
(c)
第五节 圆轴扭转时变形和刚度计算
圆轴扭转时的变形由两横截面间相对扭转角 来度量： 即
MTl GI p
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。
二、圆轴扭转时的刚度条件：单位长度的扭转角不超过许用 单位扭转角[ ]，即
max
或
MT GI p
扭矩和扭矩图
轴传递的功率P、转速n与外力偶矩M的关系：
P M 9549 (N m) n
其中：P — 轴传递的功率，千瓦（kW）
n — 转速，转/分（r/min）
外力偶矩转向的确定方法：输入功率的主动轮上作用的力偶 矩为主动力矩，其方向与轴的转动方向一致；输出功率的从 动轮上作用的力偶矩为阻力矩，其方向与轴的转动方向相反。
max
Ip MT G[ ]
max
max
MT
GI p [ ]
有时，还可依据此条件进行选材。
[例6.4]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图， 若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 []=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m ，试校核此杆的刚 度，并求右端面转角。
二、扭转时的内力— 扭矩的计算
M
m m
MT MT
M
M
x
0
M
MT M 0 MT M
扭矩单位：N · m或kN· m
M
扭矩正负规定：
右手螺旋法则
例6.1 传动轴的主动轮B上作用的力偶矩为MB=6kN· m的主动 力偶，A、C、D三个从动轮上的阻力偶矩分别为MA=3kN· m、 MC=2kN· m、MD=1kN· m，用截面法来求Ⅱ-Ⅱ截面的内力。
D ) 2
WP — 抗扭截面系数（抗扭截面模量），
几何量，单位：mm3或m3。
第四节 圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转的强度条件是：轴的危险截面（即 产生最大扭转剪切应力的截面）上的最大剪切应 力τmax不超过材料的许用剪切应力[τ]即
max
M T max W
许用剪切应力[τ]值由相应材料试验测定并 考虑安全系数后加以确定。
例 6.3 汽车的传动轴 AB 由 45 钢无缝钢管制成，外径 D=90mm，壁厚 t=2.5mm，如图所示。该轴传递的最大转矩 M=1.5kN· m，材料的许用剪切应力[τ]=60Mpa。试求： 1.校核该传动轴的抗扭强度。 2.若改用相同材料的实心圆轴，且和原钢管传动轴有 同等的抗扭强度，计算其直径DS。 3.比较空心轴和实心轴的重量。
(b)
a F c
b d
F
a＇ a
b＇b d
F
γ
F c
(a)
(b)
剪切面：发生相对错动的截面，位于二力作用线之间。 剪切面上与截面相切的内力称为剪力，用Q表示。 与剪力对应的应力称为剪切应力，以τ表示。剪 切应力τ与剪切力Q方向一致，与剪切面相切，单位为 帕（Pa）或兆帕（MPa）。 等直圆杆扭转时，相邻截面保持平行，只存在剪应力， 而无正应力。
A a) A M b)
B
M B
解 1. 校核强度 由受力图可知，传动轴内横截 面上的最大扭矩 MTmax 就等于它传递的最大转矩 M ， 即：MTmax=M=1.5kN· m 该轴内、外径之比
d / D ( D 2t ) / D (90 2 2.5) / 90 0.944
解：①设计杆的外径
Tmax Wt [ ]
D3 Wt （ 1 4）
16
16Tmax D 4 1 ） [ ] （
MT
而在图b情况下， MT
max
1910N m
max
1051N m
可见，虽然传动轴输入、输出的功率相同，但将主 动轮布置在几个从动轮的中间位置，使主动轮两侧从动 轮上的转矩之和接近相等，可以降低传动轴承受的转矩， 从而有利于提高传动轴的抗扭强度，或缩小传动轴的直 径、减少用材，减轻重量。 所以，图b所示的布置形式将主动轮布置在几个从动 轮之间的情况较为合理。
1. 横截面变形后仍为平面，只是绕轴线相对转过了一 个角度； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行，转过相同的角度γ 。
圆轴扭转的平面假设： 圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平 面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间 的距离不变。 结论： 1. 扭转变形的实质是剪切变形； 2. 横截面上只有垂直于半径方向的剪应力τ ，没有正应 力σ。
空心传动轴的合理性 采用空心传动轴能有效节省材料，减轻自重，提高承 受能力。空心轴受扭在力学上的合理性，可以从扭转剪切 应力在横截面上的分布图得到说明。但空心圆轴的环形壁 厚尺寸也不能过小。另外，只有截面闭合的空心圆轴才有 较高的抗扭强度，开口圆管的抗扭能力是很低的。
T
τmax
T
τmax
O
O
D1
t
MT
O
τmax
O
R
(a)
R
(b)
结论： 1.剪应力的方向与半径垂直，绕圆心转向与扭矩方 向相同； 2. 剪应力沿半径成线性规律分布。
τmax
τ ρ
ρ
MT
r
三.最大剪应力计算公式
MT 由 Ip

D , max 知：当 R 2
max
D MT MT MT 2 (令 WP I p D WP Ip Ip 2
第六章 圆轴的扭转
• • • • • 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 扭矩和扭矩图 剪切—剪切胡克定律 圆轴扭转时横截面上的应力 圆轴扭转时强度计算 圆轴扭转时变形和刚度计算
扭转：直杆的两端，在垂直于杆轴线的平面内作 用一对大小相等，方向相反的外力偶，使杆件各 横截面发生绕轴线相对转动。这种变形形式称为 扭转。 轴：以扭转变形为主要变形的杆件称为轴。横截面 为圆形的轴称为圆轴。
3 0.2DS 0.2D3 (1 4 )
所以 DS D(1 4 )1 / 3 90 3 1 0.944 4 53mm
3．空心轴重量G和实心轴重量GS的对比 两轴的材料和长度相同，两者重量之比等于 它们的横截面面积之比
G [D 2 (1 2 )] / 4 902 (1 0.9442 ) 0.31 31% 2 2 GS (DS ) / 4 53
T MT O (-) A
1910N m
x
(-)
1051N m
(-) C
525N m
D
B
图b中： MT1 ＝859 N· m MT2 ＝－1051 N· m MT3 ＝－525 N· m
T MT A 859N m (+) B O (-)
1051N m
x
(-) C
525N m
D
3. 对比两种布置形式下传动轴所受的转矩。 在图 a 情况下，
Q [ ] A
二.剪应变和剪切胡克定律
剪切变形时，剪切面附近的截面互相间发生错动。 将剪切面附近变形前后的情况放大如图a、b：剪切面附 近的材料由变形前的矩形，变形后成为斜平行四边形， 变化的角度γ 称为剪应变，用弧度（rad）来度量。
a F c
b d
F
a＇ a
b＇b d
F
γ
F c
(a)
MA
(a)
MB B
MC
MD
A
C MB
(b)
D MD
MC B A C
MA
D
解：1.求作用于传动轴上的外力偶矩。扭矩要由外力 偶矩M来计算，而实际问题中更常见的已知条件是功率P和 转速n，所以先要由功率、转速计算外力偶矩
PA 40 M A 9549 9549 1910N m n 200
剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极 限时，剪应变与剪应力成正比：
G
Ｇ为材料的剪切弹性模量，单位 GPa, 是材料抵 抗剪切变形能力的指标。 常用钢材的G＝80～84GPa。 线应变ε和剪应变γ是度量构件变形的两个基 本参量。
第三节 圆轴扭转时横截面上的应力
一、等直圆杆扭转实验观察及假设：
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
①变形几何方面 等直圆杆横截面应力 ②物理关系方面 ③静力学方面
MT Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
式中： MT—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 —该点到圆心的距离。 Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
剪应力公式同样适用于空心圆截面杆，只是 Ip值不同。
而
max
M T max M T max W 0.2 D3 ( 1 4 )
1.5 1000 7 5 . 03 10 Pa [ ] 3 9 4 0.2 90 10 (1 0.944 )
所以，传动轴能满足抗扭强度要求。
2．计算等强度的实心圆轴直径DS 即要求实心圆轴横截面的抗扭截面模量和原 WS W 圆管截面的抗扭截面模量相等： 由抗扭截面模量公式有
MA
(a)
MB Ⅰ B A Ⅰ
Ⅱ MC
Ⅲ
MD ω
χ
Ⅱ C
Ⅲ D
解：求扭矩MT2
图b 如图b
图c
M x 0 MT 2 M A M B 0
MT 2 M B M A 6 3 3kN m
或如图c
Mx 0
MT 2 M C M D 0
MT 2 MC M D 2 1 3kN m
圆轴扭转的强度计算可解决三类强度问题 1.强度校核
max
M T max W
2. 设计截面尺寸（圆轴直径）：已知外载荷 条件和选定材料的许用剪切应力[τ]，要求设计 圆轴的直径D，或空心圆轴的外径D和内径d。 3.确定许可载荷：已知圆轴的直径 D，或空心 圆轴的外径 D 和内径 d 以及选定材料的许用剪切应 力[τ]，求圆轴上所能承受的最大外力偶矩或传 递的最大功率，即许可载荷。
(rad/m)
max
M T 180 GI p
(/m)
精密仪器仪表的轴： []=0.15 ～0.5(°/m); 一般传动轴： []=0. 5 ～1(°/m); 精度较低的轴： []=1～4(°/m);
刚度计算的三方面： ①校核刚度： ②设计截面尺寸： ③计算许可载荷：
扭转变形的受力特点是：在与杆件轴线垂 直的平面内，受到一对大小相等、方向相反的 力偶作用。 扭转变形的变形特点是：各横截面绕杆件 轴线发生相对转动。 实心圆轴和圆管受扭转作用时的力学分析较 为简单，而且又是最常见的受扭构件形状，本 节只研究等截面圆轴（含圆管）的扭转问题。
第一节
一、外力偶矩的计算
PB 18 M B 9549 9549 859N m n 200
PC 11 M C M D 9549 9549 525N m n 200
2.传动轴各段的扭矩值（MT1、MT2、MT3），并绘制扭矩 图。
图a中： MT1＝－1910N· m MT2＝－1051 N· m MT3＝－525 N· m
第二节 剪切——剪切胡克定律
一.剪切的概念
剪切变形的受力特点是：作用在构件两侧面上外力 的合力大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近。
常见的剪切变形
键 轴
源自文库
轮
F
mn
F F
m
F
n
(a)
(b)
实用计算中，通常假设剪切应力τ在剪切面上 是均匀分布的，如图d。则:
Q A
不发生剪切破坏的条件，即抗剪强度条件为:
扭矩另一种计算方式：
1、假设某截面扭矩皆为正，则该截面上的扭 矩等于截面一侧轴上所有外力偶矩的代数和。 2、计算时外力偶矩的正负号规定：右手拇 指与截面外法线方向一致，四指与外力偶矩 转向相同时取负号；不同时取正号。
4
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
扭矩图的绘制：与轴力图绘制方法相似，绘制扭矩图时， 需先以轴线方向为横轴（x轴）、以扭矩（MT）为纵轴，建 立MT-x坐标系。然后将圆轴各段截面上的扭矩（MT）标在 MT-x坐标中，即可绘出扭矩图。 ①扭矩变化规律； 目 ②|MT|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。 的
例6.2 传动轴上主动轮A的输入功率PA=40kw，三个从 动轮B、C、D的输出功率分别为PB=18kw，PC=PD=11kw，轴 的转速为n=200r／min。现在两种主、从动轮的布置形式， 分别如图a、b。试求两种布置情况下：1.传动轴各段中的 转矩值；2.绘制传动轴的扭矩图；3.对传动轴承受的转矩 大小进行对比，说明哪种布置形式较为合理。