计量经济学(回归方程)

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回归方程的f检验和t检验计量经济学

回归方程的f检验和t检验计量经济学

回归方程的f检验和t检验计量经济学首先,我们来讨论回归方程的f检验。

回归方程的f检验用于判断回归方程是否具有统计显著性,即独立变量对因变量的联合影响是否显著。

f检验的原假设是所有的回归系数都等于零,备择假设是至少有一个回归系数不等于零。

如果f统计量大于临界值,则拒绝原假设,表示回归方程具有统计显著性。

在进行f检验之前,我们需要计算f统计量。

f统计量的计算公式如下:f统计量=(SSR/k)/(SSE/(n-k-1))其中,SSR表示回归平方和,也即回归模型的解释平方和。

SSE表示残差平方和,也即回归模型的误差平方和。

k表示回归变量的个数,n表示样本观测值的个数。

临界值可以从f分布表中查找,其根据置信水平和自由度确定。

接下来,我们来讨论t检验。

t检验用于评估回归方程中单个变量的显著性,即独立变量对因变量的个别影响是否显著。

t检验的原假设是回归系数等于零,备择假设是回归系数不等于零。

如果t统计量的绝对值大于临界值,则拒绝原假设,表示该变量具有统计显著性。

在进行t检验之前,我们需要计算t统计量。

t统计量的计算公式如下:t统计量=回归系数/标准误差其中,回归系数表示单个回归变量的系数估计值,标准误差表示该系数的标准差估计值。

标准误差是通过对残差平方和进行修正计算得到的。

临界值可以从t分布表中查找,其根据置信水平和自由度确定。

f检验和t检验是计量经济学中常用的检验方法,用于评估回归方程的显著性和变量的个别显著性。

通过这两种检验方法,我们可以对回归分析结果进行统计推断,并判断模型的有效性和可靠性。

在使用这些检验方法时,我们需要注意以下几点。

首先,需要注意取样误差的假设。

f检验和t检验都基于正态分布假设,因此在使用这些检验方法之前,需要确保样本数据来自正态分布总体,或者样本容量足够大,以满足中心极限定理。

其次,需要根据具体情况选择适当的置信水平和临界值。

常用的置信水平包括95%和99%,而临界值根据自由度和置信水平来确定。

计量经济学多元线性回归

计量经济学多元线性回归
31
调整过的R2(The Adjusted R-squared)
因此, R2增加并不意味着加入新的变量一定 会提高模型拟合度。
调整过的R2是R2一个修正版本,当加入新的 解释变量,调整过的R2不一定增加。
R 21(SS /n (R (k 1 ) )1n(k 1 )SSR
SS /n (T 1 )
定义:
y i y 2 to su to a s m flqS ua S总 rT es平
y ˆi y 2exp slu o as m ifq nu e Sd a Sr解 E es释 u ˆi2 ressiu d os m u fq au S l a SrR 残 es 差平
SST= SSE + SSR
3
重新定义变量
为什么我们想这样做? 数据测度单位变换经常被用于减少被估参数小数
点后的零的个数,这样结果更好看一些。 既然这样做主要为了好看,我们希望本质的东西
不改变。
4
重新定义变量:一个例子
以下模型反映了婴儿出生体重与孕妇吸烟量和家 庭收入之间的关系:
(1) b w g h t ˆ 0 ˆ 1 c ig s ˆ 2 fa m in c
explog考虑如果我们想知道时的百分比变化我们不能只报告因为所以22含二次式的模型u的模型我们不能单独将b解释为关于xy变化的度量我们需要将b如果感兴趣的是给定x的初始值和变动预测y的变化那么可以直接使用1
课堂提纲
重新定义变量的影响
估计系数 R 平方 t 统计量
函数形式
对数函数形式 含二次式的模型 含交叉项的模型
24
wage
7.37
3.73
24.4
exper
25
对含二次式模型的进一步讨论

计量经济学课程第4章(多元回归分析)

计量经济学课程第4章(多元回归分析)
Page 2
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1:CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数,但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意:“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想: 对 R2 进行自由度调整。
Page 20
基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度:
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N,TSS

N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总,所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》,高教出版社2011年6月,王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 23
双侧检验
概 率 密 度
概率1-
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1

2
(N-K-1)的双侧临界值
双侧检验:统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》,高教出版社2011年6月,王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 24
单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 (2 N-K-1)的单侧临界值
H0:
2


2,
0
HA :

2


2 0

计量经济学第3章 线性回归模型

计量经济学第3章 线性回归模型

计量经济学-第3章 线性回归模型
4
(3)等方差性:Var (i ) 2,i 1,2,, n ,因而
Var ( yi ) 2 , i 1,2,, n
(4)正态性:i ~ N (0, 2 ), i 1,2,, n ,因而
yi ~ N ( xi , 2 ), i 1,2,, n
上述四个条件可简化为: ij
1 lxx
n
xi
i 1
x E( yi )
1 n
lxx i1
xi x
(
xi
)
1 lxx
n i 1
xi x xi
1 lxx
lxx
E(ˆ)
2021/5/8
计量经济学-第3章 线性回归模型
14
E(ˆ ) E(Y ˆx )
1 n
n
E(
i 1
Yi )
E(ˆ ) x
1 n
n
i 1
i 1
i 1
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计量经济学-第3章 线性回归模型
21
n i 1
( yi
y)2
2 lxy lxx
lxy
(
lxy lxx
)2
lxx
n i 1
( yi
y)2
l
2 xy
lxx
n i 1
yi2
ny 2
l
2 xy
lxx
n i 1
yi2
n( 1 n
n i 1
yi )2
n
(
i 1
( xi
x)(yi lxx
y))2
n i 1
yi2 (
1 n
n i 1
yi )2
n

回归方程名词解释

回归方程名词解释

回归方程名词解释
回归方程是统计学中用于描述两个或多个变量之间关系的数学方程。

回归分析是一种统计方法,用于研究一个或多个自变量与因变量之间的关系,并通过建立回归方程来量化这种关系。

回归方程通常以以下形式表示:
Y=β0+β1X1+β2X2+...βn X n+ℇ
其中:
Y是因变量;
X1,X2+...X n 是自变量;
β1,β2...βn是回归系数,表示自变量对因变量的影响;
ℇ是误差项,表示不能由自变量解释的随机误差。

在回归分析中,通过拟合回归方程,我们可以得到回归系数的估计值,进而理解自变量对因变量的影响程度。

回归方程还可以用于预测因变量的数值,评估模型的拟合程度,检验自变量的显著性等。

回归方程有不同的类型,包括简单线性回归方程和多元线性回归方程。

简单线性回归方程用于描述一个自变量和一个因变量之间的关系,而多元线性回归方程用于描述两个或更多自变量和一个因变量之间的关系。

总体来说,回归方程是统计学中重要的工具,可用于分析和理解变量之间的关系,为预测、决策和研究提供基础。

计量经济学讲义——线性回归模型的异方差问题1

计量经济学讲义——线性回归模型的异方差问题1
ndiv = 248 .8055 + 0 .206553 * Atprofits se = ( 31 .89255 )( 0 .049390 ) t = ( 7 .801368 )( 4 .182100 ) p = ( 0 . 00000 )( 0 .00060 ), R 2 = 0 .507103
Gleiser检验与Park检验存在同样的弱点。
(9.3) (9.4) (9.5)
9.4 异方差的诊断-方法4:怀特(White)检验法
Yi = B1 + B 2 X 2 i + B3 X 3 i + u i
2、做如下辅助回归: (9.6) (9.7)
1、首先用普通最小二乘法估计方程(9.6),获得残差ei
E(Y|X)=α+β*X Y
+u +u -u -u -u +u
0
同方差(homoscedasticity)
X 0
E(Y|X)=α+β*X
异方差(heteroscedasticity)
X
一元线性回归分析-回归的假定条件
假定5 无自相关假定,即两个误差项之间不相关。 Cov(ui,uj) = 0。
ui
9.2 异方差的性质
例9.1 美国创新研究:销售对研究与开发的影响 ^ R&D = 266.2575 + 0.030878*Sales se=(1002.963) (0.008347) t =(0.265471) (3.699508) p =(0.7940) R2 = 0.461032 从回归结果可以看出: (1)随着销售额的增加,R&D也逐渐增加,即销售 额每增加一百万美元,研发相应的增加3.1 万美元。 (2)随着销售额的增加,R&D支出围绕样本回归线 的波动也逐渐变大,表现出异方差性。 (0.0019)

计量经济学第二章(第二部分)

计量经济学第二章(第二部分)

其中,有k个解释变量;k+1个回归参数
3
计量经济学 第二章B
同 上
(2)矩阵形式: Y XB N Y1 Y2 Y ... Y n 1 1 X ... 1 0 u1 1 u2 , B , N ... ... u n 1 k (k 1) 1 n n 1 X 11 X 12 ... X 1n X 21 X 22 ... X 2n ... ... ... ... X k1 X k2 ... X kn n (k 1)
2
(2)当 R
2

k n -1
时,
R
2
<0 ,此时, 使
2
用 R 将失去意义。因此, R 只适
2
用于Y与解释变量整体相关程度较的
情况。
34
计量经济学 第二章B
四、回归方程的显著性检验
(1) 提出原假设 (2) 构造统计量 H 0 : 1 2 ... k 0 F ESS/k RSS/n (3) 对于给定的显著性水平 (4)判定方程的显著性, 若 F F , 则拒绝原假设 若 F F ,则接受原假设 H 0,即模型的线性关系 F 检验; - k -1 ~ F(k, n - k - 1) ( 在 H 0 成立时) F
不管其质量的好坏,而所要求的样本容量
的下限。
20
计量经济学 第二章B
同 上
ˆ 由 B ( X X)
-1
ˆ X Y 中看到,要使 B
存在,
必须保证(XˊX)-1存在,因此,必须满
足|XˊX|≠0 ,即XˊX为满秩矩阵,而

计量经济学回归方程复习题

计量经济学回归方程复习题

第二、三章 回归方程复习题一、 单项选择题1、将内生变量的前期值作解释变量,这样的变量称为( D )。

A .虚拟变量 B. 控制变量 C .政策变量 D. 滞后变量2、把反映某一总体特征的同一指标的数据,按一定的时间顺序和时间间隔排列起来,这样的数据称为( B )。

A .横截面数据 B. 时间序列数据 C .修匀数据 D. 原始数据3、在简单线性回归模型中,认为具有一定概率分布的随机数量是( A )。

A .内生变量 B. 外生变量 C .虚拟变量 D. 前定变量 4、回归分析中定义的(B ) 。

A .解释变量和被解释变量都是随机变量B .解释变量为非随机变量,被解释变量为随机变量C .解释变量和被解释变量都为非随机变量D .解释变量为随机变量,被解释变量为非随机变量5、双对数模型μββ++=X Y ln ln ln 10中,参数β1的含义是( C )。

A .Y 关于X 的增长率 B. Y 关于X 的发展速度 C .Y 关于X 的弹性 D. Y 关于X 的边际变化6、半对数模型i i i X Y μββ++=ln 10中,参数β1的含义是( D )。

A .Y 关于X 的弹性 B. X 的绝对量变动,引起Y 的绝对量变动 C .Y 关于X 的边际变动 D. X 的相对变动,引起Y 的期望值绝对量变动 7、在一元线性回归模型中,样本回归方程可表示为:( C )。

A .t t t X Y μββ++=10 B. t t t t X Y E Y μ+=)|(C .tt X Y 10ˆˆˆββ+= D. t t t X X Y E 10)|(ββ+= (其中t=1,2,…,n ) 8、设OLS 法得到的样本回归直线为ii i e X Y ++=10ˆˆββ,以下说法不正确的是( D )。

A .0=∑ieB. ),(Y X 在回归直线上C .Y Y=ˆ D. 0),(≠i i e X COV 9、同一时间,不同单位相同指标组成的观测数据称为( B )。

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ˆ ˆ 记: Q ei 2 [Yi (1 2 X i )]2
i i
最小化:即找到使得残差平方和最小的参数近似值。 Q ˆ ˆ 2 [Yi ( 1 2 X i )] 0 ˆ i
1
Q ˆ ˆ 2 [Yi ( 1 2 X i )] X i 0 ˆ 2 i
3
(2)、总体回归模型
总体回归模型 Y 1 2 X u
其中E (u) 0
总体回归方程:
E(Y X ) 1 2 X
4
(3)、样本回归模型
样本回归模型
ˆ Y Y e ˆ ˆ 1 2 X e
样本回归方程:
ˆ ˆ可以计算出来的
残差=实际值-拟合值
(思考,u和e的区别和联系)
8
2、产生随机误差的原因
模型中被忽略的影响 模型函数形式的设定误差 数据的测量与归并误差 随机因素的影响(如自然灾害)
9
小结:样本回归方程与总体回归方程的关系
10
三、古典回归模型的基本假定
假设1、解释变量x为非随机变量。 即在重复抽样过程中,x取值是可控的、固 定的。 (可推出假设5)
( X i X )2 ( X i X )2 1 2 (3) i 2 2 2 2 ( ( X i X ) ) ( ( X i X ) ) ( X i X )2
29
2、无偏性:
(1)定义:参数估计量的均值就是真实值:
ˆ E[1 ] 1
ˆ E[2 ] 2
3、最小方差性——在所有线性无偏估计中,最小 二乘估计量的方差最小。
26
1、线性性:
含义 :参数估计量可以表示为被解释变量观 测值的线性组合。 证明只要把参数估计量表达式作适当的变形 即可。 意义:由于随机干扰项假定为正态分布,线 性性使得参数的估计量也是正态分布。
27 27
(Y Y )( X X ) Y ( X X ) ˆ = (X X ) (X X )
(2)证明:利用线性性表达和模型假设(用 到零均值假定,以及解释变量与随机项不相 关的假定)。 (3)意义: 参数估计量是以参数真实值为分布中心的随 机变量,反复抽样估计可得真实值。
30
2 iYi i ( 1 2 X i ui )
2 uii E2 2 1 i 2 i X i uii
19
Y
Yt
* * *
** * *
ˆ ˆ ˆ Y 1 2 X
ˆ Yt
et
* *
*
* * * *
*
*
*
Xt
X
20 20
最小二乘原理:要求所选择的回归模型对所 有观察值的残差平方和达到最小。即
ˆ ˆ min ei2 min (Yi 1 2 X i )2
21
2、最小二乘法参数估计
i i i i i i 2 2 2 i i i i
Xi X Y Y ( X X )2 i i i i i i i
ˆ =Y- X= ( 1 X )Y VY ˆ 1 n i i ii 2 i i
28
有用的结果:
Xi X i ( X i X )2 (1) i 0 Xi X (2) i X i Xi 2 (Xi X ) 1 (Xi X ) (Xi X ) 1 2 (Xi X )
代表了排除在模型外的所有因素对Y的影响
观测值围绕期望值的离差
不可观测 (通常假定)期望为0,具有一定分布的随机变量
7
残差
ˆ 在样本回归方程中,实际值Yi 与估计值Yi 之 间的差距,称为残差。
ˆ ˆ ˆ Yi Yi ei 1 2 X i ei
可以看作是 u i 的估计量。
*
ˆ lim P(| | ) 1
n
25
(二)高斯-马尔科夫定理 在基本假定下,最小二乘估计是所有线性无偏估计 中的有效估计量。 即满足:线性性、无偏性、最小方差性。
ˆ ˆ 1、线性性—— 估计量1和2是Yi的线性组合
ˆ ˆ 2、无偏性—— E(1 ) 1 E(2 ) 2
其中,X Xi n Y ,Y i n ,称为样本均值
*公式的理解(估计量,估计值)
*公式成立的前提:X要有变异性 *估计结果的经济含义
xi X i X , yi Yi Y , 称为样本的离差
23
案例操作:
例1:一元回归方程参数的计算(P23) 例2:税收预测模型(时间序列数据) (P24,exp22) 例3:中国城镇居民消费函数(横截面数据 )(P28, 作业1:P322-323 课程实验一 课程实验二
用残差表示得到:
e 0 e X 0
i i i i i
并可以推导得到: eiYi 0
i
22
正规方程:
ˆ ˆ n1 2 X i Yi ˆ ˆ 1 X i 2 X i2 X iYi
参数估计:
ˆ n X iYi X i Yi ( X i X )(Yi Y ) xi yi 2 2 2 2 n X i ( X i ) (Xi X ) xi 2 ˆ 1 ˆ ˆ 1 ( Yi 2 X i ) Y 2 X n
(2)方差的影响因素
ˆ 1 的方差:
ˆ Var[ 1 ]
2 X i2
n xi2
ˆ 2 的方差:
ˆ Var[ 2 ]
xi2
2
xi X i X
34
(3)最小方差性:
证明的思想:设参数的任意其他线性无偏估计, 证明它们的方差大于最小二乘估计。 最小方差性也称为有效性。方差小是对参数估 计量价值的重要支持。 最小方差线性无偏估计 ——求解方差的过程和证 明有效性的过程都用到同方差假定和无序列相关 假定。
24
二、最小二乘估计的性质
(一)参数估计量的评价标准
1、线性性 ˆ 2、无偏性 E( ) 3、有效性: ˆ ˆ* ˆ , 均为参数的无偏估计,若 Var ( ) var( ) ˆ 设 ˆ ,称 比 *有效。 ˆ 如果在所有无偏估计量中, 的方差最小,称 为有效估计量。 4、一致性。如果随着样本容量的增加,估计量 越来越接近真实值,称为一致估计。
含义: 所需估计的方差数简化为一个。 因变量可能取值的分散程度也是相同的,因 而每个观察值的可靠性相同。
13
假设4:无自相关假定。即各个随机误差项之间 无自相关。
cov(ui , u j ) 0
可以推出:cov(ui , u j ) E(ui u j ) 0 含义: 表明产生干扰的因素是完全随机的。此次干 扰和彼此干扰互不相关,相互独立 在给定X的前提下,因变量序列值之间也互 不相关。
保证可以求解 在一元回归中,要求解释变量不能为常数 可以分析每个解释变量对Y的单独影响
16
补充假定
对随机误差项分布的正态性假定。 ui N (0, 2 ) 结合前面的假定,有 含义:
一般不列为基本假定 对参数求解和参数估计的性质没有影响 但是对研究参数估计量的分布有用,是假设 检验和区间估计的基础 中心极限定理表明,该假设通常是合理的。
5
二、模型的随机设定
1、随机误差项 总体回归方程只是反映了总体的平均变化规 律,但是对个体而言,Y与平均E(Y|X)存在 差距,所以引入随机误差项
Y 1 2 X u
6
随机误差项代表了排除在模型以外的所有因素 对Y的影响
u Y E(Y ) ui Yi E(Y X ) Y (1 2 X )

*注意:估计量表达式的新含义 想一想1:哪些假设在这里起了作用? *想一想2:如果这些假设不满足,结果会怎样?
31
3、最小方差性:
(1)求方差 (2)方差的影响因素 (3)证明这个方差是最优的(略)
32 32
(1)求方差
2 2 i ui

ˆ ] E ( )2 E ( u )2 Var[ 2 ii 2 2
第二章 回归模型
第一节 第二节 第三节 第四节 古典回归模型 回归模型的参数估计 回归模型的统计检验 非线性回归模型
1
第一节 古典回归模型
一、回归分析 二、模型的随机设定 三、古典回归模型的基本假定
2
一、回归分析
(1)基本概念 一元线性模型 Y 1 2 X u 回归线: 对每一个X的取值,Y的条件期望E(Y|Xi)的 点的轨迹所形成的直线或曲线,称为回归线 回归函数(方程) 如果把Y的条件期望E(Y|Xi)表示成为X的某种 函数,即E(Y|Xi)=f(Xi)这个函数称为回归函 数
2 2 2 2 E (u1212 u2 2 un n ui2 2 ) j
= 2 i2 0
ˆ Var[ 1 ]
xi2
2
其中;xi X i X
2 X i2
n xi2
*想一想1:哪些假设在这里起了作用? *想一想2:如果这些假设不满足,结果会怎样? 33
35
三、估计量的分布与置信区间
(一)随机扰动项的方差估计 一元线性回归模型中,随机扰动项方差的无偏 估计
ˆ 2 ei2 n2 (Yi Yi )2 ˆ n2 ˆ ˆ [Yi ( 1 2 X i )]2 n2
36
(二)OLS估计的概率分布 1、估计量的分布
17
第二节 回归模型的参数估计
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