导数与不定积分习题课

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第四章不定积分习题课-带解答

. 1 .第四章不定积分习题课1．原函数若，则称为的一个原函数．)()(x f x F =')(x F )(x f 若是的一个原函数，则的所有原函数都可表示为)(x F )(x f )(x f ．C x F +)(2．不定积分的带有任意常数项的原函数叫做的不定积)(x f )(x f 分，记作．⎰dx x f )(若是的一个原函数，则，)(x F )(x f C x F dx x f +=⎰)()(3．基本性质1），或；)(])([x f dx x f ='⎰dx x f dx x f d )(])([=⎰2），或；C x F x dF +=⎰)()(C x F dx x F +='⎰)()(3）；⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([4），（，常数）．⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(0≠k 4．基本积分公式（20个）原函数与不定积分是本章的两个基本概念，也是积分学中的两个重要概念。

不定积分的运算是积分学中最重要、最基本的运算之一．5. 例题例1　已知的一个原函数是，求．)(x f x 2ln )(x f '解，．x x x x f 1ln 2)(ln )(2⋅='=)ln 1(2ln 2)(2x x x x x f -='⎪⎭⎫ ⎝⎛='. 2 .例2　设，求．C x dx x f +=⎰2sin 2)()(x f 解　积分运算与微分运算互为逆运算，所以．2cos ]2sin2[])([)(x C x dx x f x f ='+='=⎰例3　若的一个原函数是，求．)(x f x 2⎰'dx x f )(解　因为是的原函数，故，所以x 2)(x f 2ln 2)2()(x x x f ='=．C C x f dx x f x +=+='⎰2ln 2)()(例4　求不定积分．⎰-dx e x x 3解　被积函数为两个指数函数的乘积，用指数函数的性质，将其统一化为一个指数函数，然后积分．即．⎰⎰--=dx e dx e xxx)3(31C e e x+=--)3()3ln(111C e x x +-=-3ln 13例5　求不定积分．⎰'⎪⎭⎫⎝⎛dx x x 2sin 解　利用求导运算与积分运算的互逆性，得．C x x dx x x +='⎪⎭⎫⎝⎛⎰22sin sin 例6　求不定积分．⎰⋅dx xxx 533解　先用幂函数的性质化简被积函数，然后积分．．C x dx x dx x dx xxx +===⋅⎰⎰⎰-+15261511533115332615. 3 .例7　求不定积分．⎰++++dx xx x x x 32313解　分子分母都是三次多项式函数，被积函数为假分式，先分解为多项式与真分式的和，再积分，也即⎰⎰+++++=++++dx xx xx x x dx x x x x x 3233232113．⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=dx x x 12112C x x x +++=arctan 2||ln 例8　求不定积分．⎰-dx x2cos 11解　用三角恒等式将被积函数变形，然后积分．x x 2sin 212cos -=．⎰⎰=-dx xdx x 2sin 212cos 11⎰=xdx 2csc 21C x +-=cot 21例9　求不定积分．⎰+dx x x )sec (tan 22解　用三角恒等式将被积函数统一化为的函数，1sec tan 22-=x x x 2sec 再积分．⎰⎰+-=+dxx x dx x x )sec 1(sec )sec (tan2222．⎰-=dx x )1sec 2(2C x x +-=tan 2例10　求不定积分．⎰++dx x x x )1(21222解　．⎰⎰+++=++dx x x x x dx x x x )1(1)1(212222222⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++=dx x x 22111C x x +-=1arctan. 4 .例11　求不定积分．⎰+dx x x )1(124解　类似于例10，拆项后再积分⎰⎰++--+=+dxx x x x x x dx x x )1(1)1(124442224．⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=dx x x x 2241111C x x x +++-=arctan 1313例12　一连续曲线过点，且在任一点处的切线斜率等于，)3,(2e x2求该曲线的方程．解　设曲线方程为，则，积分得)(x f y =xx f 2)(='．（曲线连续，过点，故C x dx xx f +==⎰ln 22)()3,(2e ）0>x 将代入，得，解出．所以，曲线方程为3)(2=e f C e +=2ln 231-=C ．1ln 2-=x y 例13　判断下列计算结果是否正确1）； 2）．C x dx xx +=+⎰322)(arctan 311)(arctan ()C e dx ex x++=+⎰1ln 11解　1），所以计算结果正确．2231)(arctan )(arctan 31x x C x +='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2），计算结果不正确，即[]xx x xe e e C e +≠+='++111)1ln(．()C e dx ex x++≠+⎰1ln 11. 5 .以下积分都要用到“凑微分”．请仿照示例完成其余等式1）时，．0≠a ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f 2）．⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin 3）=⎰xdx x f sin )(cos 4）⎰=dx xx f 1)(ln 5），时，0>a 1≠a =⎰dx a a f x x )(6）时，0≠μ1()f x x dx μμ-=⎰7）=⎰xdx x f 2sec )(tan 8）=⎰xdx x f 2csc )(cot 9）=-⎰dx xx f 211)(arcsin 10）=+⎰dx xx f 211)(arctan 11）='⎰dx x f x f )()(例14　求．⎰dx xx xcos sin tan ln 解　⎰⎰⋅=xdx x x dx x x x 2sec tan tan ln cos sin tan ln ⎰=xd xxtan tan tan ln ．⎰=)tan (ln tan ln x d x ()C x +=2tan ln 21. 6 .注由于被积函数中含有，表明，故x tan ln 0tan >x ．x d x d xtan ln tan tan 1=例15　求下列不定积分1）； 2）．⎰+dx xx xln 1ln ⎰+dx x x 100)1(解　1）　(请注意加1、减1的技巧)⎰⎰⋅+-+=+dx xx x dx xx x1ln 111ln ln 1ln⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=)ln 1(ln 11ln 1x d x x　．C x x ++-+=2123)ln 1(2)ln 1(322）dxx x dx x x 100100)1()11()1(+-+=+⎰⎰)1()1()1()1(100101++-++=⎰⎰x d x x d x．C x x ++-+=101102)1(1011)1(1021例16　设，不求出，试计算不定积分C x dx x f +=⎰2)()(x f ．⎰-dx xxf )1(2解（将看作变量）2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰21x -u ．C x +--=22)1(21例17　设，求．x e x f -=)(⎰'dx xx f )(ln 解　先凑微分，然后利用写出计算结果．即C u f u d u f +='⎰)()(. 7 .．⎰⎰'='x d x f dx x x f ln )(ln )(ln C x f +=)(ln C e x +=-ln C x+=1例18　计算不定积分．⎰+dx x x )1(124 【提示】分母中有时，考虑用“倒代换”．k x tx 1=解　设，则，t x 1=dt tdx 21-=4224211111(1)1dx dt x x t t t ⎛⎫=- ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰+-=dt t t 241⎰++--=dt t t 24111⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=dt t t 221113arctan 3t t t C =-+-+．3111arctan 3C x x x=-+-+例19　求不定积分．⎰+dx x x )4(16解　⎰⎰+=+dx x x x dx x x )4()4(16656⎰+=)()4(161666x d x x()⎰+=dt t t tx41616⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dt t t 411241 ． 1ln 244t C t =++661ln 244x C x =++分部积分．⎰⎰⎰⎰'-=-'vdx u uv vduuv udvdxv u vu 、交换凑微分目的，使公式右边的积分要比左边的积分容易计算，u vdx '⎰⎰'dx v u 关键在于正确地选取和凑出．u. 8 .例 20　求不定积分．⎰dx xxarcsin 解一　这是一道综合题，先作变量代换，再分部积分．令，x t =则，，2t x =tdt dx 2= ⎰⎰=tdt t tdx xx2arcsin arcsin ⎰=v ut d t arcsin 2()⎰-=td t t t arcsin arcsin 2⎰--=dtttt t 212arcsin 222arcsin (1)t t t =+- Ct t t +-+=212arcsin 2．C x x x +-+=12arcsin 2解二　先凑微分，再代换，最后分部积分，即⎰⎰=xd x dx xxarcsin 2arcsin ⎰=dt t tx arcsin 2 ⎰--=dt tt t t 212arcsin 2．C t t t +-+=212arcsin 2C x x x +-+=12arcsin 2例 21　已知的一个原函数是，求．)(x f 2x e-⎰'dx x f x )(【提示】不必求出，直接运用分部积分公式．)(x f '解　由已知条件，，且，故)(x f ()'=-2x e ⎰dx x f )(C e x +=-2⎰⎰=')()(x xdf dx x f x ⎰-=dxx f x xf )()(()Ceex x x +-'=--22. 9 .．C e e x x x +--=--2222例 22　设，求．x x x f ln )1()(ln +=')(x f 解　先求出的表达式．设，则，)(x f 't x =ln t e x =)1()(+='t e t t f 　⎰+=dt e t t f t )1()(⎰⎰+=tdttde t,22t dt e te tt +-=⎰C t e te tt ++-=22所以．C x e xe x f x x++-=2)(2例23　求不定积分．5432x x dx x x+--⎰解　将分子凑成，23332()()2x x x x x x x x x x -+-+-++-把分式化为多项式与真分式的和；542233221x x x x x x x x x x+-+-=+++--再将真分式化为最简分式的和，232x x x x+--，232(2)(1)22(1)21(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-++-====--+-+++于是5423221(1)1x x dx x x dx x x x x +-=+++--+⎰⎰．322ln ln 132x x x x x C =+++-++. 10 .例24 求不定积分．⎰+-dx x x x )1(188解=+-⎰dx x x x )1(188⎰+-dx x x x x 7888)1(1⎰+-=)()1(1818888x d x x x （换元，令）⎰+-=du u u u )1(1818x u =⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=du u u 12181 C u u ++-=)1ln(41ln 81()C x x ++-=881ln 41ln 81．()C x x ++-=81ln 41||ln 例25　求不定积分．⎰+dx xsin 11解　⎰⎰--=+dx xx dx x 2sin 1sin 1sin 11⎰-=dx x x2cos sin 1．⎰-=dx x x x )sec tan (sec 2C x x +-=sec tan 例26 求不定积分．⎰+++++dx x x x)11()1(11365解　为同时去掉三个根式，设，则，，t x =+6116-=t x dt t dx 56= dt t t t t dx x x x52533656)1(1)11()1(11++=+++++⎰⎰32161t t t dt t +-+=+⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=dt t t t t 221116()C t t t +++-=arctan 61ln 3322．()3311ln 313x x ++-+=C x +++61arctan 6。

不定积分习题课64353

u vd xu vu vdx
udv u vvdu
分部积分公式
8.选择u的有效方法:LIATE选择法
L----对数函数； A----代数函数； E----指数函数；
I----反三角函数； T----三角函数；哪个在前哪个选作u.
9、几种特殊类型函数的积分
（1）有理函数的积分
定义两个多项式的商表示的函数称之.
(2)2 a 2 1x 2 d x 2 1 a ln a a x x C
(1)7 cx o d tls n xix n C
(2)3
1 d xarcx sC in
a2x2
a
( 1 )8 sx e c d ln x x (ts a x )e C n c
(24)
ddxf(x)dxf(x)
d[f(x)d]x f(x)dx
F (x)d x F (x)C d(F x)F (x)C
(3) 不定积分的性质
1 0 [f(x )g (x )d ] x f(x)d xg(x)dx 20 k(fx)dx k f(x)dx（ k是常数， k0)
2
2
d(3)x 2
令(3)x t 2
1
(3)2x 1 2
ln 3 2
dt t2 1
2l1n3(t
1 1 t
1 )dt 1 lnt1C 1 2(ln 3ln2) t1
2
1
3x2x
2(l3 nln2)ln3x2x C.
例2 求ex1(1csoixsnx)dx.
例6 求 x arx c ln t 1 a x (2 )n d.x
解 xln1 ( x2)dx1ln1 (x2)d(1x2) 2

不定积分经典习题

=

td
cot
t

tdt

t
cot
t

cot
tdt

t2 2
= t cot t ln | sin t | t2 C 2
= arctgx ln | x | (arctgx)2 C
x
1 x2
2
[解二]
arctan x dx x2 (1 x2 )
=
令 x tant ，则
原式=
1 x2 1 x

1 x
dx
＝

1
cos t sin
t

1 sin
t
d
sin
t
=

cos2 t 1 sin t
1 sin t
dt
= ln csc t cot t t C = csc tdt t C = csc tdt t C = ln csc t cot t t C
一、知识网络图

原函数
1.基本概念不定积分

不定积分的几何意义
不 2.性质与公式不基定本积积分分的公性式质
定积分
3.计算方法查换分直表元部接法积积积分分分法法法第第一二换换元元积积分分法法(凑微分法)
4.特殊函数的积分某三有些角理无函函理数数函有积数理分积式分积分
( 1 1 ) arctan xdx x2 1 x2
arctan xdx =
arctan x2
xdx

(arctan 2
x)2

arctan xd 1 (arctan x)2

不定积分,习题

联立并令 C1 = C ,
1 可得 C 2 = ＋C , C 3 = 1 + C . 2
1 2 − 2 x + C , x < −1 1 故 ∫ max{1, x }dx = x + + C , − 1 ≤ x ≤ 1. 2 1 2 2 x + 1 + C, x > 1
= x2 − 1 1 − arcsin + C . x x
例4
求 ∫ xarctan xln(1 + x2 )dx.
2
解 ∵ ∫ x ln(1 + x 2 )dx = 1 ∫ ln(1 + x 2 )d (1 + x 2 )
1 1 2 2 2 = (1 + x ) ln(1 + x ) − x + C . 2 2 1 1 2 2 2 原式 = ∫ arctan xd [ (`1 + x ) ln(1 + x ) − x ] 2 2 1 = [(`1 + x 2 ) ln(1 + x 2 ) − x 2 ] arctan x 2 1 x2 ]dx − ∫ [ln(1 + x 2 ) − 2 2 1+ x
5、函数 f ( x) = ( x + x )2 的一个原函数F (x) = ( ) 4 3 4 （A） x ; （B） x x 2 ; 3 3 2 2 2 2 2 （C) x( x + x ) ; （D） x ( x + x ) . 3 3 6 、已知一个函数的导数为 y′ = 2 x ，且 x = 1 时 y = 2,这个函数是（）这个函数是（ y = x2 + C ; （A） 2 （B） y = x + 1 ; x2 （C） y = + C ; 2 （D） y = x + 1 .

高等数学不定积分课后习题详解

《高等数学》不定积分课后习题详解(总58页)不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)思路: 被积函数 52x-=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（） ★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x+⎰ 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。

高等数学(同济第6版习题课4-1)

（３） xd x ＝ d（ x２）；
（４） xd x ＝ d（５ x２）；
（５） xd x ＝ d（１－ x２）；
（６） x３ d x ＝ d（３ x４－２）；
（７） e２ x d x ＝ d（e２ x ）；
（８）
e－
x ２
dx
＝
d（１
＋
e－
x ２
）
；
（９）
１
x －
x都是
１的 x － x２
原函数畅
证［arcsin（２ x －１）］′ ＝
１
·２＝
１－（２ x －１）２
１， x － x２
［arccos（１－２ x）］′ ＝－
１
· （－２）＝
１－（１－２ x）２
１， x － x２
２arctan
x １－ x
′
＝
２
１
＋
１１
x －
dx ＝３
dx １＋ x２
－２
dx １－ x２
＝３arctan x －２arcsin x ＋ C ．
∫ ∫ ∫ （１５）
ex
１－ e－ x x
dx＝
exd x －
x－
１２
d
x
＝
ex
１
－２x２
＋
C．
∫ ∫ （１６）３x ex d x ＝
（３e） x d x
＝
（３e） x ln（３e）
＋
t＝０
（２）
求使
d d
s t
＝
０的
t值
；
（３）求使 s ＝５０的 k 值畅

第五章不定积分习题课

(21)
(15) cot xdx lnsin x C
(22)
(16) sec xdx ln(sec x tan x) C

x2
1
a 2 dx

1 2a
ln
x x

a a

C

a2
1
x 2 dx

1 2a
ln
a a

x x

C
(17)
csc xdx ln(csc x cot x) C (23)
第五章不定积分
第15页
（2）三角函数有理式的积分
定义由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
令u tan x 2
sin
x

1
2u u2
x 2arctan u
cos
x

1 1

u2 u2
2 dx 1 u2 du

R(sin
第五章不定积分
第1页
第五章不定积分习题课
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第五章不定积分
第2页
一、主要内容
原函数
不定积分
选
择 u
分部积分法
积分法
直接积分法
基本
有
积
效方法
第一换元法第二换元法
几种特殊类型函数的积分
分表
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第五章不定积分
第3页
1、原函数
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第五章不定积分

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解
x 1 x(1 xex
)
dx
令
=
dt t(1
t
)
=
dt t
t
dt 1
= ln t ln t 1 C
= ln xex ln xex 1 C
例6
思索题：P97 6、（2）
解
原式 =
x9dx = 1 x10 (2 x10 ) 10
d ( x10 ) x10 (2 x10 )
= 1 ( 1 1 )d (x10 ) 20 x10 2 x10
dt ,
t2 4 3
t2 t2 22
9
dx
=3
dt ,
x2 9x2 4
t2 t2 22
上式右端积分旳被积函数中有 t 2 22 , 在积分表 (六)类中，查到公式 41，当 a = 2(x 相当于 t)时，
得教材第185页
t2
dt t2 Βιβλιοθήκη 2=t2 4 C = 4t
9x2 4 C. 12 x
代入原积分中，得
dx
=3
dt = 9x2 4 C.
x2 9x2 4
t2 t2 22
4x
3.用递推公式
例4
查表求
dx sin4
x
.
解被积函数中含三角函数，在积分表(十一)类
中查到公式 97，递推公式为教材第187页
dx
sinn x
=
1 n
1
cos x sinn1 x
n n
2 1
f
( x)dx=
f
(x)
d[ f ( x)dx] = f ( x)dx
F ( x)dx = F ( x) C
dF ( x) = F ( x) C

不定积分典型例题讲解课件PPT

dx
( n 为自然数)
n (x a)n1(x b)n1
解: I 令则( xttn a)xx(xxxdxbabab, )nnt xxbad t (a( xannbt)dbtb)tdtdtx1 ((xxaabdb))(xxdxb) n (说(通注(通注说计一一一一计一通二特使(一注注使注注二说二通二一(使说一通一使计一(说注一注(一注特使一(((通通注一二通(说计一P通注使(通二计一计使二计二(注PP二通代代代代代代代代代代22112222)))))明过意过意明算、、般般算般过、别用、意意用意意、明般过、、用明般过般用算、明意般意、意别用、过过意般过明算般过意用、过、算、般算用、算、意、过000换换换换换换换换换换初初一一初555:简常简常 :格经经格经简几 :各常常各常常几 :几经简几各 :经简经各格:常经常常 :各简简常经几简 :格经简常各简几格经格各几格几常几简～～～求求求求求求求求求::::::::::等等般般等此此当此此此当此单见单见式验验式验单种种见见种见见种种验单种种验单验种式见验见见种单单见验种单式验单见种单种式验式种种式种见单PPP不不不不不不不不不函函方方函法技法技技法法222uu变的变的:::::变特基的的基的的特特:变特基:变:基:的:的的基变变的:特变::变的基变特:::基特特的特变000定定定定定定定定定数数法法数特巧为特巧巧特为特666列按按列按按按按列按按列按列按列列形换形换形殊本换换本换换殊殊形殊本形本换换换本形形换殊形形换本形殊本殊殊换殊形积积积积积积积积积公公公的的不不的别适别适适别别表 ““表“n“““表 “n“表“表“表表元元类积元元积元元类类类积积元元元积元类元积类积类类元类,,,,,,,,,,,))))))))))分分分分分分分分分式式式原原一一原利利利利利利利利利利利适用适用用适适次次计反反计反反反反计反反计反计反计计积积型分积积分积积型型型分分积积积分积型积分型分型型积型的的的的的的的的的(((函函定定函用用用用用用用用用用用用于用于于用用多多111,,,,,,,,,,算算算算算算算分分的法分分法分分的的的法法分分分法分的分法的法的的分的666基基基基基基基基基对对对对对对对对对对数数是是数基基基基基基基基基基基于形于形形于于项项)))类类积类类类类积积积类类类类积类积积积类积,,,,,,,本本本本本本本本本~~~,,,,,,,,,,不不最最不简简简简简简简本本本本本本本本本本本为为为式式幂幂幂幂幂幂幂幂幂幂(((型型分型型型型分分分型型型型分型分分分型分222方方方方方方方方方一一简简一便便便便便便便积积积积积积积积积积积时时444,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,)))法法法法法法法法法指指指指指指指指指指定定便便定的的的如如计如如计如如计计如如如计如如计计如分分分分分分分分分分分,, 是是的的是推推推掌掌算掌掌算掌掌算算掌掌掌算掌掌算算掌公公公公公公公公公公公,,,,,,,,,, 三三三三三三三三三三初初方方初导导导握握握握握握握握握握握握式式式式式式式式式式式.......””””””””””等等法法等方方方和和和和和和和和和和和的的的的的的的的的的函函函,,法法法运运运运运运运运运运运顺顺顺顺顺顺顺顺顺顺数数数算算算算算算算算算算算序序序序序序序序序序法法法法法法法法法法法,,, ,,,,,,,,,,则则则则则则则则则则则

不定积分习题课公开课一等奖课件省赛课获奖课件

1)9
C
；
（Hale Waihona Puke ）1 36(4x1
1)11
C
.
17
二、求下列不定积分：
1、
1 x2
cos
1 x
dx
;
2、
x2
dx 2x
;
5
3、
ln( x 1 x2 ) 5 dx; 1 x2
4、
(1
x2 x
2
)2
dx
;
5、
1
dx ; 1 x2
6、
x2
x
1 x2
1
dx
;
7、
e
x
dx (1 e
2
x
;
)
1 x2
tan 1 x2 d 1 x2 ln cos 1 x2 C
4
第四章不定积分习题课
例3
x2 1
x4
dx 1
分子分母同除以 x2
解原式
1
1 x2
dx
x2
1 x2
d( x 1 ) x
(x 1 )2 2 x
1
x 1 arctan x C
2
2
1 2
arctan
x
2 1 2x
C
5
第四章不定积分习题课
例4
xe x (1 x)2 dx
解
xe x
(1 x)2 dx
(1
x x
)2
de
x
v
u
原式
xe
x
d( 1
1
) x
xe 1
x
x
( xe x ) dx
1 x

高等数学第四章不定积分习题课

xdx
de x
或 exdx d(ex 1) ，然后进行计算。另外，由于
f
(x)

1 1 ex
中含有
1
e x，不能直接计算，可以考虑
换元 t ex 或 t 1 ex，然后再进行计算。
解法1：因为
1
ex
1 e x e x (1 e x )
所以
1
ex
二、基本计算方法
1．直接积分法首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定
积分的基本性质和基本积分表求出不定积分。
2．第一类换元法（凑微分法）：设 F(u) f (u) ，则
f ((x))(x)dx f ((x))d(x) F((x)) C
3．第二类换元法（变量置换法）：
2
2
注意运算中综合使用不同方法往往更有效.]。
【例12】求不定积分
I
arcsin
x dx
x
分析：由于被积函数中含有根式 x ，所以首先要令
t x 把根式去掉，然后选择合适的方法计算。
另外，观察被积表达式的特点，由于
arcsin xdx arcsin x( dx ) 2arcsin xd( x )
2 dx 1 u2 du
2u sin x 1 u2
1 u2 cos x 1 u2
从而
2u 1 u2 2
R(sin x,cos x)dx
R( 1

u2
,
1

u2
)
1

u2
du
☆ 在具体计算不定积分的过程中，不是一种方法就可
以解决，要熟练掌握几种积分法并融会贯通，综合应用。

导数不定积分复习题答案

导数、不定积分复习题解答 1. 329x dx x +⎰= 解 C x x x d x x d x x dx x x ++-=+-=+=+⎰⎰⎰)]9ln(9[21)()991(21)(92192222222232.2121dx x -⎰= 解 ⎰⎰⎰+--=+-=-dx x x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212 ⎰⎰++---=)12(121221)12(121221x d x x d x C x x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 2213. sin 5sin 7x xdx ⎰=解 C x x dx x x xdx x ++-=--=⎰⎰2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin 4. 21ln (ln )x dx x x +⎰=解 C x x x x d x x dx x x x +-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln (1)ln (ln 122 5. ⎰-+211xdx= 解 ⎰⎰⎰⎰-=+-=+=-+dt t dt t tdt t t x x dx)2sec 211()cos 111(cos cos 11sin 1122令 C xx x C t t t C t t +-+-=++-=+-=211arcsin cos 1sin 2tan6. ⎰xdx arcsin =解 ⎰⎰-=x xd x x xdx arcsin arcsin arcsin⎰--=dx x xx x 21arcsinC x x x +-+=21a r c s i n7. 设函数⎩⎨⎧>+≤=11 )(2x b ax x x x f 为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？解因为1lim )(lim 20101==-→-→x x f x x , b a b ax x f x x +=+=+→+→)(lim )(lim 0101, f (1)=a +b , 所以要使函数在x =1处连续, 必须a +b =1 .又因为当a +b =1时211lim )1(201=--='-→-x x f x , a x x a x b a x a x b ax f x x x =--=--++-=--+='+→+→+→+1)1(lim 11)1(lim 11lim )1(010101, 所以要使函数在x =1处可导, 必须a =2, 此时b =-1.8. 已知f (x )=⎩⎨⎧≥<0 0 sin x x x x , 求f '(x ) . 解当x <0时, f (x )=sin x , f '(x )=cos x ;当x >0时, f (x )=x , f '(x )=1;因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim 00=-=--→-→xx x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim 00=-=-+→+→x x xf x f x x , 所以f '(0)=1, 从而 f '(x )=⎩⎨⎧≥<0 10 cos x x x 9. 求函数y =x 2ln x cos x 的导数解y '=(x 2ln x cos x )'=2x ⋅ln x cos x +x 2⋅x1⋅cos x +x 2 ln x ⋅(-sin x ) 2x ln x cos x +x cos x -x 2 ln x sin x10. 设函数f (x )和g (x )可导, 且f 2(x )+g 2(x )≠0, 试求函数)()(22x g x f y +=的导数解 )]()(2)()(2[)()(21])()([)()(21222222x g x g x f x f x g x f x g x f x g x f y '+'⋅+='+⋅+=' )()()()()()(22x g x f x g x g x f x f +'+'= 11. 求函数242arcsin x x x y -+=的导数解2arcsin )2(421214112arcsin 22x x x xx x y =-⋅-+⋅-⋅+=' 12. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy ：y 2-2x y +9=0 解 (1)方程两边求导数得2y y '-2y -2x y ' =0 ,于是 (y -x )y '=y ,xy y y -=' 13. 求曲线323232a y x =+在点)42 ,42(a a 处的切线方程和法线方程. 解方程两边求导数得0323211='+--y y x , 于是 3131---='y xy , 在点)42 ,42(a a 处y '=-1. 所求切线方程为)42(42a x a y --=-, 即a y x 22=+. 所求法线方程为)42(42a x a y -=-, 即x -y =0.。

不定积分习题课2市公开课一等奖市赛课金奖课件

73arccos x
(9)
dx 1 x2
解: 原式 1 73arccosx d (3arccos x)
3
73arccos x C
3ln 7
解: 原式 ln tan x 1 sec2 xdx
tan x
ln
tan
x
1 tan
x
d
tan
x
ln tan xd ln tan x
(11)
x 2
dx
解:
原式
1
cos 2
x
dx
1 2
x
1 2
cos
xdx
1 x 1 sin x C
22
1 2
1 14
d (7x2 )
(7)cos 2 xdx 3
3
2
d (sin 2 x) 3
解: 原式
解: 原式
解: 原式 5 tan10 xd tan x 5 tan11 x C 11
(4)
x2
(x2
2x
4
x
8
)dx 2
1 x3 x2 4x 8ln | x 2 | C 3
2x 5
(2) x2 x 12 dx
解: 原式
x
2
2x 1 x 12
dx
x
2
4 x
12
dx
x2
1 x
d(x2 12
x
12)
4 7
(
x
1
3
1 )dx x4
ln | x2 x 12 | 4 ln x 3 C 7 x4
(5) x3 ln xdx
解: 原式 1 ln xd (x4 )
4

高等数学(同济第七版下)课后习题及解答

高等数学(同济第七版下)课后习题及解答高等数学(同济第七版下)课后习题及解答一、函数与极限1. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x - 2, 求以下极限：(1) lim(x→2) f(x)(2) lim(x→-1) f(x)解答：(1) 当x → 2 时，f(x) = x^2 + 3x - 2 = 2^2 + 3(2) - 2 = 12所以，lim(x→2) f(x) = 12(2) 当x → -1 时，f(x) = (-1)^2 + 3(-1) - 2 = -2所以，lim(x→-1) f(x) = -22. 求以下极限：(1) lim(x→0) (sin3x)/(sin4x)(2) lim(x→∞) (x^2 - 2x)/(x - 1)解答：(1) 利用极限的性质，lim(x→0) (sin3x)/(sin4x)= lim(x→0) (3x)/(4x) = 3/4(2) 利用极限的性质，lim(x→∞) (x^2 - 2x)/(x - 1)= lim(x→∞) x(x - 2)/(x - 1) = ∞二、导数与微分1. 求以下函数的导数：(1) y = x^3 + 2x^2 - 3x + 1(2) y = sin(2x) + cos(3x)(3) y = e^x/(1 + e^x)解答：(1) y' = 3x^2 + 4x - 3(2) y' = 2cos(2x) - 3sin(3x)(3) 利用商链规则和指数函数的导数性质，y' = e^x/(1 + e^x) - e^x*e^x/(1 + e^x)^2= e^x/(1 + e^x) - (e^x)^2/(1 + e^x)^2= e^x(1 - e^x)/(1 + e^x)^22. 求以下函数的微分：(1) y = 3x^2 + 4x - 2(2) y = sin(3x) + cos(2x)(3) y = ln(x) + e^x解答：(1) dy = (6x + 4)dx(2) dy = 3cos(3x)dx - 2sin(2x)dx(3) 利用对数函数和指数函数的微分性质，dy = (1/x)dx + e^xdx三、定积分与不定积分1. 求以下定积分：(1) ∫[0,1] (x^2 + 2x)dx(2) ∫[π/4,π/2] sinx dx解答：(1) ∫[0,1] (x^2 + 2x)dx = (1/3)x^3 + x^2 |[0,1]= (1/3)(1)^3 + (1)^2 - (1/3)(0)^3 - (0)^2= 4/3(2) 利用不定积分的基本公式，∫ sinx dx = -cosx∫[π/4,π/2] sinx dx = [-cosx] |[π/4,π/2] = -cos(π/2) - (-cos(π/4)) = -1 + √2/2 = √2/2 - 12. 求以下不定积分：(1) ∫(x^2 + 2x)dx(2) ∫sinx dx解答：(1) ∫(x^2 + 2x)dx = (1/3)x^3 + x^2 + C(2) ∫sinx dx = -cosx + C四、级数1. 判断以下级数的敛散性：(1) ∑(n=1,∞) (1/n)(2) ∑(n=1,∞) (1/2)^n解答：(1) 这是调和级数，已知调和级数∑(n=1,∞) (1/n) 发散。

第四章不定积分习题课-带解答

. 1 .第四章不定积分习题课1．原函数若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的一个原函数．若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x f 的所有原函数都可表示为C x F +)(．2．不定积分 )(x f 的带有任意常数项的原函数叫做)(x f 的不定积分，记作⎰dx x f )(．若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则C x F dx x f +=⎰)()(， 3．基本性质1）)(])([x f dx x f ='⎰，或dx x f dx x f d )(])([=⎰； 2）C x F x dF +=⎰)()(，或C x F dx x F +='⎰)()(； 3）⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([； 4）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(，（0≠k ，常数）．4．基本积分公式（20个）原函数与不定积分是本章的两个基本概念，也是积分学中的两个重要概念。

不定积分的运算是积分学中最重要、最基本的运算之一． 5. 例题例1 已知)(x f 的一个原函数是x 2ln ，求)(x f '．解 x x x x f 1ln 2)(ln )(2⋅='=， )ln 1(2ln 2)(2x x x x x f -='⎪⎭⎫ ⎝⎛='．. 2 .例2 设C xdx x f +=⎰2sin 2)(，求)(x f ．解积分运算与微分运算互为逆运算，所以2cos ]2sin2[])([)(x C x dx x f x f ='+='=⎰．例3 若)(x f 的一个原函数是x 2，求⎰'dx x f )(．解因为x 2是)(x f 的原函数，故2ln 2)2()(x x x f ='=，所以C C x f dx x f x +=+='⎰2ln 2)()(．例4 求不定积分⎰-dx e x x 3．解被积函数为两个指数函数的乘积，用指数函数的性质，将其统一化为一个指数函数，然后积分．即⎰⎰--=dx e dx e xxx)3(31C e e x+=--)3()3ln(111C e x x +-=-3ln 13．例5 求不定积分⎰'⎪⎭⎫⎝⎛dx x x 2sin ．解利用求导运算与积分运算的互逆性，得C x x dx x x +='⎪⎭⎫⎝⎛⎰22sin sin ．例6 求不定积分⎰⋅dx xxx 533．解先用幂函数的性质化简被积函数，然后积分．C x dx x dx xdx xxx +===⋅⎰⎰⎰-+15261511533115332615．. 3 .例7 求不定积分⎰++++dx xx x x x 32313．解分子分母都是三次多项式函数，被积函数为假分式，先分解为多项式与真分式的和，再积分，也即⎰⎰+++++=++++dx xx xx x x dx x x x x x 3233232113⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=dx x x 12112C x x x +++=arctan 2||ln ．例8 求不定积分⎰-dx x2cos 11．解用三角恒等式x x 2sin 212cos -=将被积函数变形，然后积分．⎰⎰=-dxxdx x 2sin 212cos 11 ⎰=xdx 2csc 21C x +-=cot 21．例9 求不定积分⎰+dx x x )sec (tan 22．解用三角恒等式1sec t an 22-=x x 将被积函数统一化为x 2sec 的函数，再积分．⎰⎰+-=+dx x x dx x x )sec 1(sec )sec (tan2222⎰-=dx x )1sec 2(2C x x +-=t a n2．例10 求不定积分⎰++dx x x x )1(21222．解⎰⎰+++=++dx x x x x dx x x x )1(1)1(212222222⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++=dx x x 22111C x x +-=1arctan ．. 4 .例11 求不定积分⎰+dx x x )1(124．解类似于例10，拆项后再积分⎰⎰++--+=+dx x x x x x x dx x x )1(1)1(124442224⎰⎪⎭⎫⎝⎛++-=dx x xx2241111C x xx +++-=arctan 1313．例12 一连续曲线过点)3,(2e ，且在任一点处的切线斜率等于x2，求该曲线的方程．解设曲线方程为)(x f y =，则xx f 2)(='，积分得 C x dx xx f +==⎰ln 22)(．（曲线连续，过点)3,(2e ，故0>x ）将3)(2=e f 代入，得C e +=2ln 23，解出1-=C ．所以，曲线方程为1ln 2-=x y ．例13 判断下列计算结果是否正确1）C x dx xx +=+⎰322)(arctan 311)(arctan ； 2）()C e dx e x x ++=+⎰1ln 11．解 1）2231)(arctan )(arctan 31x x C x +='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+，所以计算结果正确． 2）[]xx x xe e e C e +≠+='++111)1ln(，计算结果不正确，即()C e dx ex x++≠+⎰1ln 11．. 5 .以下积分都要用到“凑微分”．请仿照示例完成其余等式 1）0≠a 时，⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f ． 2）⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ． 3）=⎰xdx x f sin )(cos 4）⎰=dx xx f 1)(ln5）0>a ，1≠a 时，=⎰dx a a f x x )( 6）0≠μ时，1()f x x dx μμ-=⎰ 7）=⎰xdx x f 2sec )(tan 8）=⎰xdx x f 2csc )(cot 9）=-⎰dx xx f 211)(arcsin10）=+⎰dx xx f 211)(arctan 11）='⎰dx x f x f )()( 例14 求⎰dx xx xcos sin tan ln ．解⎰⎰⋅=xdx x x dx x x x 2sec tan tan ln cos sin tan ln ⎰=x d xxtan tan tan ln⎰=)tan (ln tan ln x d x ()C x +=2tan ln 21．. 6 .注由于被积函数中含有x t a n ln ，表明0t a n >x ，故x d x d xt a nln tan tan 1=．例15 求下列不定积分 1）⎰+dx xx x ln 1ln ； 2）⎰+dx x x 100)1(．解 1）⎰⎰⋅+-+=+dx xx x dx xx x 1ln 111ln ln 1ln (请注意加1、减1的技巧) ⎰+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=)ln 1(ln 11ln 1x d x x C x x ++-+=2123)ln 1(2)ln 1(32．2）dx x x dx x x 100100)1()11()1(+-+=+⎰⎰)1()1()1()1(100101++-++=⎰⎰x d x x d x C x x ++-+=101102)1(1011)1(1021．例16 设C x dx x f +=⎰2)(，不求出)(x f ，试计算不定积分⎰-dx x xf )1(2．解 2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰ （将21x -看作变量u ） C x +--=22)1(21．例17 设x e x f -=)(，求⎰'dx xx f )(ln ．解先凑微分，然后利用C u f u d u f +='⎰)()(写出计算结果．即⎰⎰'='x d x f dx x x f ln )(ln )(ln C x f +=)(ln C e x +=-ln C x+=1．. 7 .例18 计算不定积分⎰+dx x x )1(124．【提示】分母中有k x 时，考虑用“倒代换”tx 1=．解设t x 1=，则dt tdx 21-=， 4224211111(1)1dx dt x x t t t ⎛⎫=- ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰+-=dt t t 241⎰++--=dt t t 24111 ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=dt t t 221113arctan 3t t t C =-+-+ 3111a r c t a n 3C x x x=-+-+．例19 求不定积分⎰+dx x x )4(16．解⎰⎰+=+dx x x x dx x x )4()4(16656⎰+=)()4(161666x d x x()⎰+=dt t t tx41616⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dt t t 411241 1ln 244tC t =++ 661ln 244x C x =++．分部积分⎰⎰⎰⎰'-=-'vdx u uv vduuv udvdxv u vu 、交换凑微分．目的，使公式右边的积分u vdx '⎰要比左边的积分⎰'dx v u 容易计算，关键在于正确地选取u 和凑出．例 20 求不定积分⎰dx xxarcsin ．解一这是一道综合题，先作变量代换，再分部积分．令x t =，. 8 .则2t x =，tdt dx 2=，⎰⎰=tdt t tdx xx2arcsin arcsin ⎰=v ut d t arcsin 2()⎰-=t d t t t arcsin arcsin 2⎰--=dttt t t 212arcsin 222arcsin (1)t t t =+-Ct t t +-+=212arcsin 2C x x x +-+=12arcsin 2．解二先凑微分，再代换，最后分部积分，即⎰⎰=xd x dx xxarcsin 2arcsin ⎰=dt t tx arcsin 2⎰--=dt tt t t 212arcsin 2C t t t +-+=212a r c s i n 2C x xx +-+=12a r c s i n 2．例 21 已知)(x f 的一个原函数是2x e-，求⎰'dx x f x )(．【提示】不必求出)(x f '，直接运用分部积分公式．解由已知条件，)(x f ()'=-2x e，且⎰dx x f )(C ex +=-2，故⎰⎰=')()(x xdf dx x f x ⎰-=dx x f x xf )()(()C ee x x x+-'=--22C e e x x x +--=--2222．. 9 .例 22 设x x x f ln )1()(ln +='，求)(x f ．解先求出)(x f '的表达式．设t x =ln ，则t e x =，)1()(+='t e t t f ．⎰+=dt e t t f t )1()(⎰⎰+=tdt tde t22t dt e te tt+-=⎰C t e te tt ++-=22,所以 C x e xe x f xx++-=2)(2．例23 求不定积分5432x x dx x x+--⎰．解将分子凑成23332()()2x x x x x x x x x x -+-+-++-，把分式化为多项式与真分式的和542233221x x x x x x x x x x+-+-=+++--；再将真分式232x x x x+--化为最简分式的和，232(2)(1)22(1)21(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-++-====--+-+++，于是5423221(1)1x x dx x x dx x x x x +-=+++--+⎰⎰ 322ln ln 132x x x x x C =+++-++．. 10 .例24 求不定积分⎰+-dx x x x )1(188．解=+-⎰dx x x x )1(188⎰+-dx x x x x 7888)1(1⎰+-=)()1(1818888x d x x x ⎰+-=du u u u )1(181 （换元，令8x u =） ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=du u u 12181 C u u ++-=)1ln(41ln 81()C x x ++-=881ln 41ln 81 ()C x x ++-=81ln 41||ln ．例25 求不定积分⎰+dx xsin 11．解⎰⎰--=+dx x x dx x 2sin 1sin 1sin 11⎰-=dx x x2cos sin 1⎰-=dx x x x )sec tan (sec 2C x x +-=sec tan ．例26 求不定积分⎰+++++dx x x x)11()1(11365．解为同时去掉三个根式，设t x =+61，则16-=t x ，dt t dx 56=，dt t t t t dx x x x52533656)1(1)11()1(11++=+++++⎰⎰32161t t t dt t+-+=+⎰ ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=dt t t t t 221116 ()Ct t t +++-=arctan 61ln 3322()3311ln 313x x ++-+=C x +++61arctan 6．。

第五章不定积分习题课参考答案

① f ( x, n ax b ) dx ，令 t n ax b ；② f ( x, a 2 x 2 )dx ，令 x a sin t ； ③ f ( x, a 2 x 2 )dx ，令 x a tan t ；④ f ( x, x 2 a 2 )dx ，令 x a sect ；
例6 求下列不定积分：
108896097.doc
-2-
①
xdx ； 1 x2
②
1 1 sin dx ； 2 x x
③
dx x 1 ln 2 x
；
凑微分求不定积分，必须牢记基本积分公式类型，这样就不会被复杂的式子所迷惑，同时为提高凑微分技巧，应熟悉常见的微分公式．常用的凑微分积分类型： 1 f (ax n b)d (ax n b) ； ① f (ax n b) x n 1 dx an ② f (sin x) cos xdx f (sin x)d sin x ； ③ f (tan x) sec 2 xdx f (tan x)d tan x ；
0 1
解: 由已知 x 2 x 为 f ( x) 的导函数，即 x2 x f ( x) 所以， xf ( x)dx x( x 2 x)dx ( x 3 x 2 )dx
0 0 0 1 1 1
1 4 1 3 x x C 4 3
例3 求下列不定积分： ①

x 2 x sin 2 x sin 2 x x 2 x sin 2 x cos 2 x dx C 4 4 4 4 4 8
例14 求下列不定积分：
xdx ① 3 ； x 3x 2 2x 3 dx ； ② 2 x x5
x4 1 dx ． ③ 6 x 1