(完整word)历年上海高考试题(立体几何)
【文科】历年上海高考真题汇编
不积跬步,无以至千里 , 不积小流,无以成江海.
高中教育
上海历年高考经典真题专题汇编 科 目 ： 基础提高 版 本 ： 学生用书 姓名： 学校： 年级：
1
不积跬步,无以至千里 , 不积小流,无以成江海.
2
不积跬步,无以至千里 , 不积小流,无以成江海.
3
不积跬步,无以至千里 , 不积小流,无以成江海.
4
不积跬步,无以至千里 , 不积小流,无以成江海.
专题 1：立体几何
1、若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与轴所成的角的大小
为
（结果用反三角函数值表示）．
2、在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，
7
不积跬步,无以至千里 , 不积小流,无以成江海. 16、如图，正三棱锥 O − ABC 底面边长为 2 ，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．
O
B
A
C
第１９题图
2024年上海市15区数学高考一模试题汇编 专题8 空间向量与立体几何含详解
专题08空间向量与立体几何（15区新题速递）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、点、直线、平面之间的位置关系
3．（2023·上海普陀·统考一模）图于E 点，现将ADE ∆沿直线(1)若22=PC ，求证：PE ⊥平面EBCD ；(2)若直线PE 与平面EBCD 所成的角为
3
π
，求二面角二、空间几何体
4．
（2023·上海长宁·统考一模）豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐ABC 悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T .若忽略三角形豆腐ABC 的厚度，设3,4,5AB BC AC ===，点P 在ABC 内部.假设对于任意点P ，满足1PQ ≤的点Q 都在T 内，且对于T 内任意一点Q ，都存在点P ，满足1PQ ≤，则T 的体积为（
）
(1)若13
，，求证：四面体
AB PC
==
(2)若四面体-P ABC是鳖臑，当
9．（2023·上海嘉定·统考一模）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．
材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，
积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，圆形截面正方形截面
(1)求证：CE⊥平面PAD；
-的体积为
(2)若四棱锥P ABCD
三、空间向量与立体几何
11．（2023上·上海奉贤·高三校考期中）如图，己知四棱锥
∠= ，PA⊥平面ABCD
2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)第6讲 立体几何(含详解)
第6讲 立体几何
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为面上，则该球的表面积为（ ） A ．100π
B ．128π
C ．144π
D ．192π
2．（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．
上升到1575m ．时，
2.65）（ ） A ．931.010m ⨯
B ．931.210m ⨯
C ．931.410m ⨯
D ．931.610m ⨯
3．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且
3l ≤≤ ）
A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．2781,44⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[18,27]
4．（2022·全国·高考真题（文））在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为,AB BC 的中点，则（ ） A ．平面1B EF ⊥平面1BDD B ．平面1B EF ⊥平面1A BD C ．平面1//B EF 平面1A AC
D ．平面1//B EF 平面11AC D
5．（2022·全国·高考真题（文））已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
上海市各区高三二模数学试题分类汇编立体几何
20XX 年上海市各区高三数学二模试题分类汇编
第7部分:立体几何
一、选择题：
15．（上海市卢湾区20XX 年4月高考模拟考试文科）如右图，已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图是下列各图中的（ B ）．
15、（上海市奉贤区20XX 年4月高三质量调研理科）已知一球半径为2，
球面上A 、B 两点的球面距离为32π
,则线段AB 的长度为（ C ）
（A ） 1 （B ）3 （C ） 2 （
D ） 23
16、（上海市长宁区20XX 年高三第二次模拟理科）已知α，β表示两
个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的 ( B )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 17. (上海市普陀区20XX 年高三第二次模拟考试理科) 四棱
A ．
俯视
主视
左视
俯视
主视
左视
俯视
主视
左视
B ．
C ．
D ．
第17题图
锥P ABCD -底面为正方形,侧面PAD 为等边三角形,且侧面PAD ⊥底面
ABCD ,点M
在底面正方形ABCD 内运动,且满足MP MC =,则点M 在正
方形ABCD
内的轨迹一定是
（ B ）
17. (上海市普陀区20XX 年高三第二次模拟考试文科) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个
大
圆
上
，
则
该
正
三
棱
锥
的
体
积
是
（ B ）
A ．33
；
B ．3；
C ．3；
D ．3
.
17．(上海市松江区20XX 年4月高考模拟文科)三棱锥P —ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两互相
垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是( A ) A ．4 B ．6 C ．8 D ． 10
立体几何高考真题大题
立体几何高考真题大题
1．(2016高考新课标1卷）如图,在以A,B,C,D,E ，F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形，AF=2FD, 90AFD ∠=,且二面角D-AF-E 与二面角C —BE-F 都是60．
(Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC; （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）19
- 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先证明F A ⊥平面FDC E ，结合F A ⊂平面F ABE ，可得平面F ABE ⊥平面FDC E ．（Ⅱ）建立空间坐标系，分别求出平面C B E 的法向量m 及平面C B E 的法向量n ,再利用cos ,n m
n m n m
⋅=
求二面角． 试题解析：（Ⅰ）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ⊂平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ．
（Ⅱ）过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由（Ⅰ）知DG ⊥平面F ABE ．
以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GF 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．
由（Ⅰ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角，故DF 60∠E =,则DF 2=，
DG 3=，可得()1,4,0A ，()3,4,0
B -,()3,0,0E -，(D ．
由已知，//F AB E ，所以//AB 平面FDC E ．
又平面CD AB 平面FDC DC E =，故//CD AB ，CD//F E ．
由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角,
2013-2018年上海高考试题汇编-立体几何(带参考答案)
近五年上海高考试卷汇编——立体几何
（2015理19）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AA AB AD E F ===、分别是AB BC 、的中点，证明11A C F E 、、、四点共面，并求直线1CD 与平面11AC FE 所成的角的大小．
答案：arcsin
（2018春14）如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线条数为（ ）
（A ）1
（B ）2 （C ）3
（D ）4
答案 C
（2012理19）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 底面ABCD ，
E
是PC 的中点，已知2AB =，AD =2PA =，求：
（1）三角形PCD 的面积．
（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．
答案：（1）
（2）
4
π
（2012文19）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥ 底面ABC ，D 是PC 的中点，已知
2
BAC π
∠=
，2AB =，AC
=2PA =，求：
（1）三棱锥P ABC -的体积．
（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）
答案：（1）
（2）3
arccos 4
（2013文10）已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下
底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为
6
π
，则
l
r
= ．
（2016理19）将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为
23
高考文科数学总复习——真题汇编之立体几何含参考答案
高考文科数学总复习——真题汇编之立体几何
（含参考答案）
一、选择题
1.【2018全国一卷5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12
O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π
B ．12π
C ．82π
D ．10π
2.【2018全国一卷9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172
B ．52
C ．3
D ．2
3.【2018全国一卷10】在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为 A ．8
B ．62
C ．82
D ．83
4.【2018全国二卷9】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A ．
B ．
C ．
D ．
5.【2018全国三卷3】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
1111ABCD A B C D -E 1CC AE CD 2
35
7
6.【2018全国三卷12】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A ．
B ．
C ．
D ．
7.【2018北京卷6】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
十年上海高考数学真题专题汇编-立体几何专题
A
B
D
C
A 1
B 1
C 1
D 1
立体几何
【2010年上海文6】已知四棱椎P ABCD −的底面是边长为6的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是 .
【2010年上海理12】如图所示，在边长为4的正方形ABCD 纸片中，A C 与BD 相交于O ,剪去AOB ,将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A 、()B 、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为 。
【2011年上海理7】 若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 . 【2011年上海文7】若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为
【2011年上海文20】已知1111ABCD A B C D −是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =，求 （1）异面直线BD 与1AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）四面体11AB D C 的体积.
O 1
D 1
C 1
B 1
A 1
C
D
B
A
【2011年上海理21】已知1111ABCD A B C D −是底面边长为1的正四棱柱，1O 为11A C 与11B D 的交点.
（1）设1AB 与底面1111A B C D 所成角的大小为α，二面角111A B D A −−的大小为β.求证：tan 2tan βα=；
（2）若点C 到平面111A B D 的距离为4
3
，求正四棱柱1111ABCD A B C D −的高.
【2012年上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 ．
2024年高考数学立体几何大题突破(解析版)
立体几何
立体几何是高考数学的必考内容，在大题中一般分两问，第一问考查空间直线与平面的位置关系证明；第二问考查空间角、空间距离等的求解。考题难度中等，常结合空间向量知识进行考查。2024年高考有很大可能延续往年的出题方式。
题型一：空间异面直线夹角的求解
1(2023·上海长宁·统考一模)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.
(1)求证：AO⊥CD；
(2)若BD⊥DC,BD=DC,AO=BO，求异面直线BC与AD所成的角的大小.
【思路分析】
(1)利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得.
(2)分别取AB,AC的中点M,N，利用几何法求出异面直线BC与AD所成的角.
【规范解答】
(1)在三棱锥A-BCD中，由AB=AD,O为BD的中点，得AO⊥BD，
而平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，
因此AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD.
(2)分别取AB,AC的中点M,N，连接OM,ON,MN，于是MN⎳BC,OM⎳AD，
则∠OMN是异面直线BC与AD所成的角或其补角，
由(1)知，AO ⊥BD ，又AO =BO ，AB =AD ，
则∠ADB =∠ABD =π4，于是∠BAD =π
2
，
令AB =AD =2，则DC =BD =22，
又BD ⊥DC ，则有BC =BD 2+DC 2=4，OC =DC 2+OD 2=10，又AO ⊥平面BCD ，OC ⊂平面BCD ，
则AO ⊥OC ，AO =2，AC =AO 2+OC 2=23，
立体几何高考真题大题
立体几何高考真题大题
1．（2016高考新课标1卷）如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD, 90AFD ∠=o ,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60o ．
（Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；
（Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先证明F A ⊥平面FDC E ,结合F A ⊂平面F ABE ,可得平面
F ABE ⊥平面FDC E ．（Ⅱ）建立空间坐标系,分别求出平面C B E 的法向量m u r 及平面C B E 的法向量n r ,再利用cos ,n m n m n m ⋅=r r r r r r 求二面角．
试题解析：（Ⅰ）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ⊂平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ．
（Ⅱ）过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由（Ⅰ）知DG ⊥平面F ABE ．
以G 为坐标原点,GF u u u r 的方向为x 轴正方向,GF u u u r 为单位长度,建立如图所示的
空间直角坐标系G xyz -．
由（Ⅰ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =o ,则DF 2=,DG 3=,
可得()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E -,(D ．
由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E ．
又平面CD AB I 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ．
上海高考数学真题专题-立体几何专题
第七部 立体几何专题
【考点1】立体几何判断题
公理1 如果直线l上有两个点在平面 上，那么直线l在平面 上.
公理2 如果不同的两个平面 、 有一公共点A，那么 、 的交集是过点A的直线. 公理3 不在同一直线上的三点确定一个平面.
公理4 平行于同一直线的两条直线相互平行.
推论1 一条直线和直线外的一点确定一个平面.
推论2 两条相交的直线确定一个平面.
推论3 两条平行的直线确定一个平面.
等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
线面平行判定：若平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则线面平行.
线面平行性质：若线面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则直线和交线平行. 线面垂直判定：若直线l与平面 上的两条相交直线都垂直，则直线l与平面 垂直.
推论：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
线面垂直性质：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内的所有直线.
推论若两条直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线平行.
面面平行判定：若平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则面面平行.
推论：若平面内的两条相交直线，分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则面面平行. 推论：垂直于同一条直线的两个平面平行.
面面平行性质：若两个平行平面同时和第三个平面相交，则得到的两条交线互相平行.
推论：若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面.
面面垂直判定：若平面经过另一个平面的一条垂线，则面面垂直.
面面垂直性质：若面面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编11 立体几何
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编
十一、立体几何
一、多选题
1．（2021·全国高考真题）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）
A ．当1λ=时，1A
B P △的周长为定值
B ．当1μ=时，三棱锥1P A B
C -的体积为定值
C ．当12
λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D ．当12
μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P
二、单选题
2．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体1111ABCD A BC D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）
A ．直线1A D 与直线1D
B 垂直，直线//MN 平面ABCD
B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD
B C ．直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD
D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD
B 3．（2021·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．32
B ．3
C ．2
D ．4．（2021·全国高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）
A ．12
B
C ．4
D 5．（2021·全国高考真题（文））在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为
E ，
F ，
G ．该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
上海高考数学真题
那些曾经让你印象深刻的上海高考数学真题
一、2009年——与疫情有关的概率统计
点评：这题是我初来上海教学时经历的第一次高考题，此题对今年高考真应景.
二、2010年——与世博会有关的算法之程序框图
点评：我记得好像就是从这一年开始，算法和程序框图→从此退出高考的历史舞台.
三、2011年——与圆锥曲线有关的一道自选难度的压轴题
点评：这种大胆创新真是别具一格，正应验了那句话“撑死胆大的饿死胆小的”。
四、2012年——立体几何中难得一见的小题压轴题
点评：上海高考，向来立体几何这个章节不怎么为难学生，这应该是高考真题中难度一见的高难度立体几何小题。
五、2013年——立体几何中隗宝——“祖暅原理”
点评：又多少人是从这题开始留意、认识、了解、掌握祖暅原理的，哈哈。
还有这个钱大姐，把中国文化，深深的体验了一把：好货不便宜，便宜没好货.
六、2014年——小白玩游戏
点评：加权或权重的理念，在这题提现得淋漓尽致. 出题人说：玩不好这题，真成了小白了.
七、2015年——学生的梦魇，从这一年开始，新定义下的充要性论证走向舞台.
点评：论证分析，曾经迷茫了多少孩子，后面的一模二模，也跟着高考这个方向标转舵.
八、2016年——笛卡尔极坐标心形图
点评：从这年后，2017年开始因为高考改革，文理卷合并，极坐标从此退出高考舞台，笛卡尔充满爱情的心形图——从此成了极坐标的绝唱，一阵悲凉仿佛随风飘过.
九、2017年春考——平面几何与向量
点评：从这一年开始，向量被重新提高地位，无论是之后的一二三模还是高考题，向量的灵活性和难度陡增.
(完整word)历年上海高考试题(立体几何)
GH 在原正方体中相互异面的有 对。3
(02)若正四棱锥的底面边长为 2、3cm ,体积为4cm 3
，则它的侧面与底面所成的二
面角的大小是 ________ 30
(03春)关于直线a,b,l 以及平面M , N ，下列命题中正确的是().
(A) 若a//M,b//M ,则 a//b (B) 若 a // M , b a ,则 b M (C) 若 a M ,b M ,且 l a,l b ,则 I M (D) 若 a M ,a // N ,则 M
N D
(03)在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为
60°,则异面直线 PA
历年上海高考试题(立体几何)
(01春)若有平面与，且 (A )过点P 且垂直于 (C )过点P 且垂直于 I, ,P 的直线平行于 的直线在 内. ,P I ，则下列命题中的假命题为( )
B )过点P 且垂直于I 的平面垂直于 . (D )过点P 且垂直于|的直线在 内. (01)已知a 、b 为两条不同的直线，a 、B 为两个不同的平面，且
命题中的假命题是( )D a 丄a, b 丄则下列 A.若 a // b ,则 a//B C.若a 、b 相交，则a 、B 相交
B.若a 丄B ，贝y a 丄b D.若a 、B 相交，则 a 、b 相交 (02春)下图表示一个正方体表面的一种展开图，图中四条线段 AB 、CD 、EF 和
一 2
（05）有两个相同的直三棱柱 ,高为一，底面三角形的三
a
边长分别为3a 、4a 、5a （a>0）.用它们拼成一个三棱 柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是
历年(2019-2023)全国高考数学真题分项(立体几何)汇编(附答案)
历年（2019-2023）全国高考数学真题分项（立体几何）汇编
考点一 空间几何体的侧面积和表面积
1．（2021( )
A ．2
B ．
C ．4
D ．2．（2022•上海）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为 ．
3．（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，C 是下底面圆周上的一个动点，则ABC ∆的面积的取值范围为 ．
4．（2021•上海）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 ．
5．（2019•上海）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为( ) A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
6．（2020•浙江）已知圆锥的侧面积（单位：2)cm 为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：)cm 是 ．
7．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．100π
B ．128π
C ．144π
D ．192π
8．（2021•新高考Ⅱ）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，该卫星信号覆盖地球表面的表面积22(1cos )S r πα=-（单位：2)km ，则S 占地球表面积的百分比约为( ) A ．26%
上海市2024年高考二模分类汇编：立体几何
立体几何汇编
一、题型一：空间几何体
1．
（2024·上海闵行·二模）已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成
个等边三角形.
2．（2024·上海虹口·二模）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且60BAD ∠= .若
12AB AA ==，点M 为棱1CC 的中点，点P 在1A B 上，则线段,PA PM 的长度和的最小值为
.
3．
（2024·上海崇明·二模）已知底面半径为1的圆柱，O 是其上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线．若直线OA 与BC 所成角的大小为
π
3
，则BC =．
4．（2024·上海青浦·二模）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P Q R 、、在棱1AB BC BB 、、上，且111
,,234
PB QB RB =
==，以PQR 为底面作一个三棱柱111PQR PQ R -，使点111,,P Q R 分别在平面11111111A ADD D DCC A B C D 、、上，则这个三棱柱的侧棱长为
．
二、题型二：表面积与体积
5．（2024·上海普陀·二模）若一个圆锥的体积为22π
3
，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为π
2
，则该圆锥的侧面积为（）A 2π
B ．2π
C ．22π
D ．42π
6．（2024·上海徐汇·二模）三棱锥-P ABC 各顶点均在半径为
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历年上海高考试题(立体几何)
(01春)若有平面α与β，且l P P l ∉α∈β⊥α=βα,,,I ，则下列命题中的假命题为（ ）
（A ）过点P 且垂直于α的直线平行于β．（B ）过点P 且垂直于l 的平面垂直于β． （C ）过点P 且垂直于β的直线在α内． （D ）过点P 且垂直于l 的直线在α内． （01）已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中的假命题是（ ）D
A. 若a ∥b ，则α∥β
B.若α⊥β，则a ⊥b
C.若a 、b 相交，则α、β相交
D.若α、β相交，则a 、b 相交
(02春)下图表示一个正方体表面的一种展开图，图中四条线段AB 、CD 、EF 和
GH 在原正方体中相互异面的有 对。3
(02)若正四棱锥的底面边长为cm 32,体积为34cm ，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 ο30
(03春)关于直线l b a ,,以及平面N M ,，下列命题中正确的是( ).
(A) 若M b M a //,//,则b a // (B) 若a b M a ⊥,//,则M b ⊥
(C) 若M b M a ⊂⊂,,且b l a l ⊥⊥,,则M l ⊥ (D) 若N a M a //,⊥,则N M ⊥ D
(03) 在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA
1C C
B
1B
1A
与BC 所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）arctg2 (03)在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ）
A ．α、β都垂直于平面r .
B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等.
C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β.
D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β. D (04春)如图,在底面边长为2的正三棱锥V-ABC 中,
E 是BC 的中点,
若△V AE 的面积是
4
1
,则侧棱V A 与底面所成角的大小为 (结果用反三角函数表示) arctg 4
1
(04) 在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是( ) (A)若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α. (B) 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α. (C) 若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α. (D) 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α. B (05春)已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是 （A ）若//l m ，//m n ，则//l n . （B ）若l α⊥，//n α，则l n ⊥.
（C ）若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥. （D ）若//l α，//n α，则//l n .D
(05)有两个相同的直三棱柱,高为
a
2
,底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是
一个四棱柱,则a 的取值范围是 ．0 3 15 (06春)正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 . 3 16 (06文)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 A (06理)若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 [答]（ ）A （A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件． (07文) 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，ο 90=∠ACB ， 21=AA ，1==BC AC ，则异面直线B A 1与AC 所成角的 大小是 （结果用反三角函数值表示）． 6 6arccos (07理)在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个 相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是 直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异 面直线的充分条件： ．21//s s ，并且1t 与2t 相交（//1t 2t ，并且1s 与2s 相交） (01春) 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h 米，盖子边长为a 米． （1）求a 关于h 的函数解析式； （2）设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值． （求解本题时，不计容器的厚度） 解（1）设'h 为正四棱锥的斜高 由已知⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧=+=⋅+,'h a 41h ,2a 'h 2 14a 2222 解得)0(1 12 >+= h h a （2）)0() 1(33122>+==h h h ha V 易得) h 1h (31V += 因为2121=⋅≥+ h h h h ，所以6 1≤V 等式当且仅当h h 1 = ，即1=h 时取得。 故当1=h 米时，V 有最大值，V 的最大值为 6 1 立方米． (01春) 在长方体1111D C B A ABCD -中，点E 、F 分别1BB 、1DD 上，且B A AE 1⊥，D A AF 1⊥。